4.1确定二次函数的解析式(2010年)
二次函数解析式的求法
二次函数解析式的求法二次函数是一种形如y=ax+bx+c的函数，其中a、b、c是常数，且a≠0。
要求二次函数的解析式，需要掌握以下几个步骤：1. 求出a、b、c的值，这可以通过函数的已知点、导数或根的信息来确定。
2. 根据一般式y=ax+bx+c或顶点式y=a(x-h)+k，选择其中一种形式。
3. 将a、b、c的值代入选择的形式中，得到最终的解析式。
具体求法如下：1. 已知点求解析式如果已知二次函数通过两个点(x1,y1)和(x2,y2)，可以利用这两个点的坐标和函数的一般式来求解析式。
我们可以将两个点的坐标带入一般式中，得到以下两个方程：y1=ax1+bx1+cy2=ax2+bx2+c将两个方程联立，消去c，得到：a=(y2-y1)/(x2-x1)b=(y1x2-y2x1)/(x2-x1)将a、b的值带入一般式y=ax+bx+c中，得到最终的解析式。
2. 已知导数求解析式二次函数的导数为y'=2ax+b，如果已知导数，可以通过求导数反推出a和b的值，然后代入一般式或顶点式中求解析式。
例如，当已知函数f(x)=2x+4x+1的导数为f'(x)=4x+4时，可以根据导数的定义得到a=2，b=4，然后代入一般式y=2x+4x+c中，用已知点的坐标求解c，得到最终的解析式。
3. 已知根求解析式如果已知二次函数的两个根x1和x2，可以根据根的定义得到(x-x1)(x-x2)=0，将它展开得到x-(x1+x2)x+x1x2=0，然后用已知点的坐标求解a、b、c，最后代入一般式或顶点式中求解析式。
例如，当已知函数f(x)=x+2x-3的两个根为-3和1时，可以利用(x+3)(x-1)=0得到x+2x-3=0，根据二次函数的一般式得到a=1，b=2，c=-3，然后代入一般式y=x+2x-3中即可得到最终的解析式。
总之，求二次函数解析式需要根据不同的已知信息选择合适的求解方法，掌握这些方法可以更加轻松地解决二次函数的相关问题。
确定二次函数的表达式课件
跟踪练习1．已知抛物线的顶点为(1，-3)，且与y 轴交于点(0，1)，求这个二次函数的解析式
解:因为抛物线的顶点为(1，-3)，所以设二此函数的
关系式为y＝a(x－1)2－3，又由于抛物线与y轴交于
点(0，1)，可以得到
1＝a(0－1)2－3
解得
a＝4
所以，所求二次函数的关系式是y＝4(x－1)2－3．
1.通过知识回顾,交流思考,明确待定系数法求二次 函数解析式的方法和步骤; 2.通过例题的学习和跟踪练习的训练,熟练得根据 条件设顶点式.交点式.一般式(恰当的情势)求二次 函数解析式
3.通过一题多变,一题多解等变式训练,培养发散思 维
4.通过典例学习,跟踪训练,综合运用和拓展提升等 环节,学会用数形结合,方程,转化,优选的数学思想 解决数学问题.
1、用待定系数法确定二次函数的关系式的 基本步骤是什么？
设
代
解
写
2、如何选择设法？
①已知三点，设y=ax2+bx+c ②已知顶点，设y=a(x-h)2+k
3、求待定系数时需要几个条件？ 几个待定系数需要几个点
4、体会用到了什么样的数学思想？ ①特殊到一般 ②方程 ③ 数形结合
综合应用
一题多解
例4 已知抛物线的顶点为A(-1，-4)，又知它y与x 轴 的两个交点B、C间的距离为4，求其解析式。
一般式： 例3 求经过有三点 A（-2，-3），B（1，0）， C（2，5）的二次函数的解析式.
三个点设一般式 代入有先后
y
·5 ·C
·
·
·
·
··
-3 –2
–·1 o
B·
1
·
2
x
求二次函数解析式的四种方法详解
求二次函数解析式的四种基本方法二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。
熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。
二次函数的解析式有三种基本形式：1、一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0)。
2、顶点式：y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h 。
3、交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2) (a ≠0)，其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。
4.对称点式： y=a(x －x 1)(x －x 2)+m (a ≠0)求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。
2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。
3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x 轴的交点距离，通常可设交点式。
4.若已知二次函数图象上的两个对称点（x 1、m)(x 2、m),则设成： y=a(x －x 1)(x －x 2)+m (a ≠0)，再将另一个坐标代入式子中，求出a 的值，再化成一般形式即可。
探究问题，典例指津：例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(．求这个二次函数的解析式．分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax 2+bx+c (a ≠0)。
解：设这个二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c (a ≠0) 依题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-=+-145c b a c c b a 解这个方程组得：⎪⎩⎪⎨⎧-===432c b a∴这个二次函数的解析式为y=2x 2+3x －4。
例2、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，与y 轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式。
分析：此题给出抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，最好抛开题目给出的c bx ax y ++=2，重新设顶点式y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点。
初中二次函数解析式的确定,例题和答案
第一、求二次函数解析式的问题一．知识要点:1.已知抛物线的顶点(m,n ）及抛物线上的另一点(a,b)，这时可以设抛物线的解析式为：y=k(x-a)2+b.，式中只有一个待定系数k,把(m,n ）代入即可求出k ，从而求出抛物线的解析式。
2. 已知抛物线与x 轴的交点(x 1，0)和(x 2,0）及抛物线上的另一点(a,b)，这时可以设抛物线的解析式为：y=k(x-x 1 )(x-x 2 ) 式中只有一个待定系数k,把(a,b ）代入即可求出k ，从而求出抛物线的解析式。
3. 已知抛物线上任意三点(x 1,y 1）(x 2,y 2）(x 3,y 3）这时可以设抛物线的解析式为：y=ax 2+bx+c,式中含有三个待定系数a 、b 、c 把(x 1,y 1）(x 2,y 2）(x 3,y 3）代入,得到含a , b, c 的方程组，即可求出k ，从而求出抛物线的解析式。
二. 重点、难点：重点：求二次函数的函数关系式难点：建立适当的直角坐标系，求出函数关系式，解决实际问题。
三. 教学建议：求二次函数的关系式，应恰当地选用二次函数关系式的形式，选择恰当，解题简捷；选择不当，解题繁琐；解题时，应根据题目特点，灵活选用。
典型例题例1.已知某二次函数的图象经过点A （－1，－6），B （2，3），C （0，－5）三点，求其函数关系式。
例2. 已知二次函数y ax bx c =++2的图象的顶点为（1，-92），且经过点（－2，0），求该二次函数的函数关系式。
例3. 已知二次函数图象的对称轴是x =-3，且函数有最大值为2，图象与x 轴的一个交点是（－1，0），求这个二次函数的解析式。
例4. 已知二次函数y ax bx c =++2的图象如图1所示，则这个二次函数的关系式是__________________。
图1例5. 已知：抛物线在x 轴上所截线段为4，顶点坐标为（2，4），求这个函数的关系式例6. 已知二次函数y m x mx m m =-++-()()()123212≠的最大值是零，求此函数的解析式。
二次函数解析式的确定-三点与交点式
二次函数与一元二次方程关系
一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的解即为二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 与 $x$ 轴交点的横坐标。
若一元二次方程有两个相等的实根 $x_1 = x_2$，则二次函数图像与 $x$ 轴有一个交点，即抛物线的顶点。
若一元二次方程有两个不相等的实根 $x_1, x_2$，则二次函数图像与 $x$ 轴有两个交点，且这两个交点关于对 称轴对称。
灵活选用方法
在求解二次函数解析式时，可以根据题目给出的条件灵活选用适当的方法。如果已知三个 点的坐标，则可以使用三点确定二次函数解析式的方法；如果已知与$x$轴的两个交点和 另外一点的坐标，则可以使用交点式确定二次函数解析式的方法。
注意方程组的解法
在使用三点确定二次函数解析式的方法时，需要解一个包含三个未知数的方程组。在解方 程组时，可以使用代入法或加减法等方法进行求解。
构造方程组求解系数
设二次函数的解析式为$y = ax^2 + bx + c$。 将三个点的坐标分别代入解析式，得到如下方程组
构造方程组求解系数
$begin{cases} y_1 = ax_1^2 + bx_1 + c
y_2 = ax_2^2 + bx_2 + c
构造方程组求解系数
• y_3 = ax_3^2 + bx_3 + c
设二次函数解析式为$y = a(x x_1)(x - x_2)$，将点$(x_0,
y_0)$代入解析式，得到一个方 程。
解这个方程，可以求得$a$的值， 从两个交点 $(x_1, 0), (x_2, 0)$，以及另一个不在 $x$轴上的点$(x_3, y_3)$。
求二次函数解析式几种常用方法
求二次函数的解析式的几种方法山东省沂水县高桥镇初级中学 王瑞辉二次函数解析式的求法是二次函数知识的重点，也是中考必考内容。
现在举例，说明求二次函数解析式的常用方法，希望对同学们学习有所帮助。
一、二次函数常见的三种表达式：（1）一般式：y ax bx c a =++≠20()；（2）交点式：y a x x x x =--()()12，其中点(,)()x x 1200，，为该二次函数与x 轴的交点；（3）顶点式：()2()0y a x h k a =-+≠，其中点(),h k 为该二次函数的顶点。
二、利用待定系数法求二次函数关系式(1)、已知二次函数图象上任意三个点的坐标，可设一般式求二次函数的关系式。
例1、已知抛物线2y ax bx c =++，经过点（2，1）、（-1，-8）、（0，-3）．求这个抛物线的解析式． 解：根据题意得421,8,3,a b c a b c c ++=⎧⎪-+=-⎨⎪=-⎩ 解之得1,4,3,a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以抛物线为243;y x x =-+-说明：用待定系数法求系数a b c 、、需要有三个独立条件，若给出的条件是任意三个点，可设解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，然后将三个点的坐标分别代入，组成一次方程组用加减消元法来求解．(2)、已知抛物线与x 轴的两个交点坐标和图象上另一个点坐标，可设交点式求二次函数的关系式。
若知道二次函数与x 轴有两个交点()()1200x x ，，，，则相当于方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根12x x ，，从而212()()ax bx c a x x x x ++=--，故二次函数可以表示为12()()(0)y a x x x x a =--≠．例2、已知一个二次函数的图象经过点A （－1，0），B （3，0），C （0，－3）三点．求此二次函数的解析式．解：根据题设，设此二次函数的解析式为(1)(3)y a x x =+-．又∵该二次函数又过点（0，－3）， ∴(01)(03)3a +-=-． 解得1a =．因此，所求的二次函数解析式为(1)(3)y x x =+-，即223y x x =--．说明：在把函数与x 轴的两个交点坐标代入12()()(0)y a x x x x a =--≠求值时，要注意正确处理两个括号内的符号．(3)、已知抛物线顶点和另外一个点坐标时，设顶点式y =a (x -h )2+k (a ≠0)例3、对称轴与y 轴平行的抛物线顶点是(-2，-1)，抛物线又过(1，0)，求此抛物线的函数解析式。
二次函数图像的变换及解析式的确定(必考)
2，解得a=2,∴抛物线的解析式为 = ሺ − ሻ − = − + .
>
/m
<
解法2：∵抛物线 = + + 的对称轴为x=2，且与x轴交于点(1,0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），∴抛物线的解析式为 = ሺ −
+ ሻሺ − ሻ，把(0,3)代入，得a·3×(-1)=3，解得a=-1，
∴该二次函数的表达式为 = −ሺ + ሻሺ − ሻ，
即 = − − + .
>
m
<
>
/m
<
类型8 利用平移变换求抛物线解析式
（人教九上P35例3改编）将二次函数 = 22 + 4 + 1 的图象向右平移2个
<
>
/m
<
>
m
<
>
/m
<
续表
变换形式
图象关系
点坐标变化
横坐标 互
>
m
<
关于 轴
>
m
<
>
m
<
>
/m
<
>
/m
<
为相反数，
>
/m
<
系数关系
不变
______
本质
相同
开口方向______
相 − 值______，
变号
互为____
2
反数
二次函数的解析式的确定
二次函数的解析式的确定二次函数解析式的确定二次函数的研究必然离不开二次函数解析式的确定，因为求解二次函数的解析式是二次函数知识的实际运用中的必不可少的一环。
本讲主要讲解利用二次函数的一般式、顶点式和交点式，以及通过二次函数的平移和对称求解二次函数解析式的方法。
重点在于根据不同的条件，灵活选择求解二次函数解析式的方法，从而快速准确地确定二次函数的解析式。
一般式y=ax^2+bx+c(a≠0)任何二次函数都可以整理成一般式y=ax^2+bx+c(a≠0)的形式。
如果已知二次函数的图像上三点的坐标，可用一般式求解二次函数的解析式。
模块一：一般式y=ax^2+bx+c(a≠0)例1：已知二次函数的图像经过点A（-1，-5）、B（0，-4）和C（1，1）。
求这个二次函数的解析式。
解析：设二次函数为y=ax^2+bx+c，把A、B、C代入二次函数解析式，可得：a-b+c=-5a+b+c=-4a+b+c=1解得a=2，b=3，c=-4.所以这个二次函数的解析式：y=2x^2+3x-4.例2：已知二次函数y=ax^2+bx+c图像经过点（1，3）、（3，-5）和（-2，-5）。
1）求这个二次函数的解析式；2）求这个二次函数的最值。
解析：（1）把（1，3）、（3，-5）和（-2，-5）代入二次函数解析式，可得：a-b+c=39a+3b+c=-54a-2b+c=-5解得a=-1，b=2，c=3.所以这个二次函数的解析式：y=-x^2+2x+3；2）y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4，则当x=1时，函数有最大值，最大值为y=4.例3：已知抛物线y=ax^2+bx+c经过点A（2，3）、B（0，3）和C（4，-5）。
1）求该抛物线的解析式；2）当x为何值时，y>3？解析：（1）把A（2，3）、B（0，3）和C（4，-5）代入二次函数解析式，可得：a+b+c=3c=316a+4b+c=-5解得a=-1，b=2，c=3.所以这个二次函数的解析式：y=-x^2+2x+3；2）将y>3代入解析式，得到-x^2+2x>0，解得13.已知二次函数的图像经过点（0，3）、（-3，-5）、（2，-3），且与x轴交于A、B两点。
确定二次函数解析式的常用方法
确定二次函数解析式的常用方法求二次函数的解析式是初中函数学习的重点,其常用方法就是待定系数法,选择什么样形式的解析式来求解,要根据题目的条件而定,下面介绍求二次函数解析式的三种常用方法：一、已知三点坐标，通常选择一般式：y=ax2+bx+c：例1、已知二次函数的图象经过三点（1，1），（-1，7），（2，4），求其解析式。
解：设二次函数的解析式y=ax2+bx+c,把三点坐标代入得：a+b+c=1 a=2a-b+c=7 解得 b=-34a+2b+c=4 c=2∴二次函数的解析式为：y=2x2-3x+2。
二、已知顶点和另一点，通常选择顶点式：y=a(x-h)2+k。
例2、已知抛物线的顶点为（-1，-3），与y轴交点为（0，-5），求此抛物线的解析式。
解：∵抛物线的顶点为(-1,-3)。
∴设其解析式为y=a(x+1)2-3。
把(0,-5)代入上式得：-5=a-3, 则a =-2∴抛物线的解析式为y=-2(x+1)2-3即：y=-2x2-4x-5，（最后要化为一般式）三、已知抛物线与x轴的两个交点A（x1,0）,B(x2,0) 和另一条件时，通常选用交点式：y=a(x-x1)(x-x2)。
例3、已知抛物线与y轴交于点A（0，3），与X轴分别交于B（1，0），C（5，0）两点，求此抛物线的解析式。
解：∵点B（1，0），C（5，0）是抛物线与X轴的交点。
∴可设其解析式为y=a(x-1)(x-5)。
把点A（0，3）坐标代入上式得：3=a(0-1)(0-5), 解得a=3/5∴所求抛物线的解析式为y=3/5（x-1 ）（x-5）即：y=3/5 x2-18/5 x+3，（最后要化为一般式）由此可以看出，求二次函数的解析式要根据题目不同条件，灵活的采用不同类型的分析式作为解题模型，这样才能提高解题效率，另外所求的解析式最后要化为一般式。
九年级数学待定系数法求二次函数的解析式
y -27 -13 -3 3 5 3
则当x=1时，y的值为 A.5 B.-3 C.-13 D.-27
5. 已知二次函数中，其函数与自变量之间 的部分对应值如下表所示：
．
x …0 1 2 3 4 …
y …4 1 0 1 4 …
点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，
部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程
x2 2x k 0 的一个解x1 3，另一个
解 x2 ；
y
O1 3
x
(第15题图)
22.1.4二次函数 y=ax2+bx+c的图象
8 6 4 2
－4 －2
24
1.完成下列表格:
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5
向上 直线x=－3 (－3,5)
y 1 (x 4)2 4 2
x
如何平移：
y 3 (x 1)2 4
y 3 (x 1)2 2 4
y 3 (x 3)2 3 4
y 3 (x 5)2 2 4
发展性训练
1.由y=3(x+2)2+4的图像经过怎样的平移 变换，可以得到y=3x2的图像.
右移2单位，下移4单位
2.把函数y=x2-2x的图像向右平移２个单 位，再向下平移３个单位所得图像对应 的函数解析式为
（1）请直接写出抛物线y=2x2-4x+1的伴随抛物线和伴随直线的解析 式：
伴随抛物线的解析式： y=-2x2+1 。
伴随直线的解析式： y=-2x+1 。
（2）若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y= -x2-3和y= -
二次函数的解析式
二次函数的解析式二次函数是指形式为y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
它是数学中的重要内容，在代数学、几何学和物理学中都有广泛的应用。
本文将介绍二次函数的解析式的含义、性质及应用。
一、解析式的含义二次函数的解析式是指其函数表达式，即y = ax^2 + bx + c。
其中，a、b、c是常数，而x是自变量。
二次函数的解析式可以帮助我们确定函数的图像、求解方程、计算函数的性质等。
二、二次函数的性质1. 函数图像二次函数的图像通常为抛物线。
当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
b、c的值会影响函数图像的位置和形状，b 决定了抛物线的对称轴位置，c决定了抛物线与y轴的交点。
2. 零点二次函数的解析式中，y=0对应的x的值即为二次函数的零点。
我们可以通过解二次方程ax^2 + bx + c = 0来求解零点。
当Δ(判别式)=b^2 - 4ac > 0时，二次方程有两个不同的实根；当Δ = 0时，二次方程有两个相同的实根；当Δ < 0时，二次方程没有实根。
3. 极值点当a > 0时，二次函数的最小值为f(-b/2a)；当a < 0时，二次函数的最大值为f(-b/2a)。
这个点也被称为函数的顶点。
通过求解二次函数的极值点，我们可以进一步确定函数图像的形状。
4. 对称性二次函数的图像具有轴对称性，其对称轴为x = -b/2a。
这意味着函数图像关于对称轴对称。
这个性质在讨论二次函数的图像时非常重要。
三、二次函数的应用二次函数在现实生活中有广泛的应用。
以下是一些典型的应用场景：1. 物体运动的抛物线轨迹在物理学中，抛体运动的轨迹是一个抛物线。
通过分析抛体运动的初速度、角度和位移等参数，可以建立物体运动的二次函数模型，从而求出对象的运动轨迹。
2. 经济学中的成本函数在经济学中，成本函数用来描述企业的生产成本。
二次函数可以用来建立成本函数模型，分析生产成本与产量之间的关系，从而帮助企业进行经济决策。
求二次函数解析式的四种方法
求二次函数解析式的四种方法一、根据函数的顶点坐标和开口方向求解析式方法：设二次函数解析式为 y = ax^2 + bx + c，已知顶点坐标为 (h, k)。
1.根据开口方向求a的取值：-若二次函数开口向上，则a>0；-若二次函数开口向下，则a<0。
2.根据已知点求解a、b、c的值：将已知顶点坐标代入解析式，得到方程 k = ah^2 + bh + c。
由此，可得到关系式：- 若 a = 0，则b ≠ 0，方程为 kh + c = k；- 若a ≠ 0，则方程为 ah^2 + bh + c = k。
解方程组，得到a、b、c的值。
3.根据a、b、c的值写出二次函数的解析式：将求得的 a、b、c 的值带入解析式 y = ax^2 + bx + c，即得到最终的二次函数解析式。
二、根据已知的三个点求解析式方法：设已知的三个点为(x₁,y₁)，(x₂,y₂)，(x₃,y₃)。
1.求解a的值：通过使用待定系数法，假设解析式为 y = ax^2 + bx + c，将三个点代入解析式得到一个方程组：{a(x₁)² + bx₁ + c = y₁{a(x₂)² + bx₂ + c = y₂{a(x₃)² + bx₃ + c = y₃解方程组，得到a的值。
2.求解b、c的值：将求得的a的值带入上述方程组中，并解方程组，得到b、c的值。
3.写出二次函数的解析式：将求得的 a、b、c 的值带入二次函数的一般形式 y = ax^2 + bx + c，即得到最终的二次函数解析式。
三、根据已知的顶点坐标和另一点求解析式方法：设已知的顶点坐标为(h,k)，另一点坐标为(x,y)。
1.求解a的值：代入已知顶点坐标 (h, k)，得到方程 k = ah^2 + bh + c。
再代入另一点坐标 (x, y)，得到方程 y = ax^2 + bx + c。
消去c，并利用两个方程，可以解得a的值。
二次函数的解析式的确定
图像特点
二次函数图像为抛物线，开口方 向由二次项系数\(a\)决定。
顶点坐标
顶点坐标为\((-b/2a, f(-b/2a))\)。
顶点形式的二次函数
顶点形式更容易解释二次函数的图像平移和伸缩。顶点形式为： $$f(x) = a(x-h)^2 + k$$
解析式示例
例如：$$f(x) = 2(x-3)^2 + 1$$
图像特点
通过调整顶点的坐标\((h,k)\)，我 们可以平移和伸缩二次函数的图 像。
顶点坐标
顶点坐标为\((h,k)\)。
因式形式的二次函数
因式形式可以帮助我们迅速找到二次函数的根和$x$轴的交点。因式形式为： $$f(x) = a(x-r_1)(x-r_2)$$
解析式示例
例如：$$f(x) = 2(x-1)(x+3)$$
二次函数的解析式的确定
了解二次函数的不同形式以及如何确定解析式，包括标准形式、顶点形式和 因式形式。
标准形式的二次函数
通过探索二次函数的标准形式，我们可以了解其特点和图像的外观。标准形式为： $$f(x) = ax^2 + bx + c$$
解析式示例
例如：$$f(x) = 2x^2 + 3x - 5$$ຫໍສະໝຸດ 解二次方程的技巧和常见错误
掌握一些技巧可以更轻松地解决二次方程，同时避免一些常见的错误。
1 技巧
例如，可以使用因式分解、配方法或二次公式等方法来解决二次方程。
2 常见错误
避免在计算中出现符号错误、忽略或误解负数解等错误。
图像特点
二次函数与$x$轴的交点即为根， 可用于求解方程。
根的性质
根的坐标为\((r_1,0)\)和\((r_2,0)\)。
(完整版)二次函数解析式的确定(10种)
二次函数解析式的确定2〈一〉三点式。
1， 已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （3，0），B （32，0），C （0，-3）三点， 求抛物线的解析式。
2， 已知抛物线y=a(x-1)２+4 ， 经过点A （2，3），求抛物线的解析式。
〈二〉顶点式。
1， 已知抛物线y=x 2-2ax+a 2+b 顶点为A （2，1），求抛物线的解析式。
2， 已知抛物线 y=4(x+a)2-2a 的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。
〈三〉交点式。
1， 已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。
2， 已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=21a(x-2a)(x-b)的解析式。
〈四〉定点式。
1， 在直角坐标系中，不论a 取何值，抛物线2225212-+-+-=a x a x y 经过x 轴上一定点Q ， 直线2)2(+-=x a y 经过点Q,求抛物线的解析式。
2，抛物线y= x2 +(2m-1)x-2m与x轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。
3，抛物线y=ax2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A，求抛物线的解析式。
〈五〉平移式。
1，把抛物线y= -2x2向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线y=a( x-h)2 +k,求此抛物线解析式。
2，抛物线32-xy向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式.-=x+〈六〉距离式。
1，抛物线y=ax2+4ax+1(a﹥0)与x轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。
2，已知抛物线y=m x2+3mx-4m(m﹥0)与x轴交于A、B两点，与轴交于C点，且AB=BC,求此抛物线的解析式。
〈七〉对称轴式。
1、抛物线y=x2-2x+(m2-4m+4)与x轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y轴距离的2倍，求抛物线的解析式。
2、已知抛物线y=-x2+ax+4, 交x轴于A,B（点A在点B左边）两点，交y轴于点3OC，求此抛物线的解析式。
确定二次函数的表达式
已知抛物线与x轴的交点坐标，选择交点式。
2、顶点式
3、交点式
4、平移式
将抛物线平移，函数解析式中发生变化的只有顶点坐标， 可将原函数先化为顶点式，再根据“左加右减，上加下减”的法则，即可得出所求新函数的解析式。
二次函数关系:
（顶点式） 解： ∵ 抛物线与x轴相交两点(-1,0)和(3,0) ， ∴ (-1+3)/2 = 1 ∴ 点(1,4)为抛物线的顶点 可设二次函数解析式为： y=a(x-1)2+4 ∵ 抛物线过点(-1, 0) ∴ 0=a(-1-1)2+4 得 a= -1 ∴ 函数的解析式为： y= -(x-1)2+4
解：
1.已知抛物线的顶点为（－1，－3），与y轴交点为（0，－5）,求该抛物线的解析式？
所以设所求的二次函数解析式为：y=a(x＋1)2-3
因为已知抛物线的顶点为（－1，－3）
又点( 0,-5 )在抛物线上
a-3=-5, 解得a= -2
故所求的抛物线解析式为 y=－2(x＋1)2-3
即：y=－2x2-4x－5
3 已知二次函数的图象在x轴上截得的线段长是4，且当x＝1，函数有最小值-4，求这个二次函数的解析式．
由题意,得:
解:设图象与x轴的交点坐标为( ,0),( ,0),
把(1,-4)代入上式得:-4=a(1-3)(1+1)
解得:a=1
∴y=x2-2x-3
四、用平移式求二次函数的解析式、 1.将抛物线 向左平移4个单位，再向下平移3个单位，求平移后所得抛物线的解析式。
∴ a(0+1)(0-1)=1
解得： a=-1
故所求的抛物线解析式为 y=- (x＋1)(x-1)
二次函数的解析式与应用
二次函数的解析式与应用一、引言二次函数是高中数学中重要的内容之一，也是数学与实际问题联系最为紧密的部分之一。
二次函数的解析式及其应用是我们学习和掌握二次函数的关键。
本文将主要阐述二次函数的解析式的推导方法以及二次函数在实际问题中的应用。
二、二次函数的解析式二次函数是指函数的表达式为y=ax^2+bx+c的函数形式。
现将介绍如何通过一些特殊情况来确定二次函数的解析式。
1. 两点法确定二次函数的解析式当已知二次函数经过两个点P(x1, y1)和Q(x2, y2)时，可用以下步骤确定二次函数的解析式：（1）将两个点的坐标带入二次函数的一般式y=ax^2+bx+c，得到两个方程：y1=ax1^2+bx1+c 、y2=ax2^2+bx2+c。
（2）由求解方程组得到a、b和c的值。
（3）将a、b和c的值代入二次函数的一般式，得到确定的解析式。
2. 顶点法确定二次函数的解析式当已知二次函数的顶点坐标为V(h, k)时，可用以下步骤确定二次函数的解析式：（1）用一般式表示二次函数，得到方程y=a(x-h)^2+k。
（2）将已知顶点的坐标代入方程，得到k=a(h-h)^2+k，化简可得k=a(h^2)+k。
（3）将等式两边的k相消得到a(h^2)=0，求解得到a的值。
（4）将a的值代入方程y=a(x-h)^2+k，得到确定的解析式。
三、二次函数的应用二次函数在实际问题中有着广泛的应用，包括经济学、物理学、几何学以及工程学等领域。
以下介绍二次函数在这些领域的应用案例。
1. 经济学中的应用二次函数可以用来描述某些经济学模型，如成本函数、利润函数等。
例如，假设某企业的生产成本与产量之间存在二次关系，可以利用二次函数来表达成本与产量之间的关系，并通过函数的最小值点来确定最佳产量，以达到成本最小化的目标。
2. 物理学中的应用二次函数可以用来描述某些物理学模型，如自由落体运动、弹性碰撞等。
例如，利用二次函数可以确定抛体的轨迹、计算弹性物体的反弹高度以及描述物体在重力作用下的振动等。
怎么求二次函数解析式
怎么求二次函数解析式
1. 二次函数的定义
二次函数指的是有独立变量x的一次平方项，其二次函数的一般形式为：f（x）=ax2 + bx + c（a≠0），其中，a, b, c为常数。
2. 求二次函数的解析式
（1）求根法：将二次函数化简，并确定当函数的值为零时，x的值，即得到二次函数的解析式。
（2）因式分解法：将二次函数化为两个一元二次方程，从而求出两组实数解，从而得到二次函数的解析式。
（3）图象分界法：由二次函数的一般形式，给出该函数图象，从而确定x的取值范围，从而得出二次函数的解析式。
（4）代数对式法：将二次函数化简，以满足两个式子的相同，并让x 的值满足这两个式子，从而得出二次函数的解析式。
（5）牛顿迭代法：利用累加和或累积函数，通过求倒数，使得每个x 点处的近似值接近实际值，最终解出二次函数的解析式。
3. 二次函数解析式的应用
（1）应用于统计学的分析：二次函数的解析式可以用来研究不同类别的人口变化，从而进行统计学的分析。
（2）应用于气候变化的研究：利用二次函数的解析式，可以分析不同地区的气候变化趋势，并作出预测。
（3）应用于工程科学的研究：二次函数的解析式可以用来进行曲线插值，实现准确的计算结果，进而研究工程科学。
二次函数的解析式(解析版)-2023年升初三人教版暑假衔接教材
❊2.5二次函数的解析式知识点二次函数的解析式题型一求二次函数解析式（1）例1已知二次函数的图象经过点A （-1，0），B （0，-3）和C （3，12）．求二次函数的解析式并求出图象的顶点D 的坐标.【分析】设一般式为y ＝ax 2+bx +c ，然后把三个点的坐标代入得到a 、b 、c 的方程组，再解方程组即可；【解答】解：设抛物线解析式为y ＝ax 2+bx +c ，把A （﹣1，0），B （0，﹣3）和C （3，12）代入，得0=−+−3=12=9+3+，解得：=2=−1=−3，∴抛物线解析式为y ＝2x 2﹣x ﹣3，∵y ＝2x 2﹣x ﹣3=2(−14)2−258，∴顶点D 的坐标为（14，−258）；例2一个二次函数，当x =0时，y =-5；当x =-1时，y =-4；当x =-2时，y =5，则这个二次函数的关系式是（）A ．y =4x 2+3x -5B ．y =2x 2+x +5C ．y =2x 2-x +5D ．y =2x 2+x -5【答案】A【分析】设二次函数的关系式是y ＝ax 2+bx +c （a ≠0），然后由当x ＝0时，y ＝﹣5；当x ＝﹣1时，y ＝﹣4；当x ＝﹣2时，y ＝5，得到a ，b ，c 的三元一次方程组，解方程组确定a ，b ，c 的值即可．【详解】解：设二次函数的关系式是y ＝ax 2+bx +c （a ≠0），∵当x ＝0时，y ＝﹣5；当x ＝﹣1时，y ＝﹣4；当x ＝﹣2时，y ＝5，∴c ＝﹣5①，a ﹣b +c ＝﹣4②，4a ﹣2b +c ＝5③，解由①②③组成的方程组得，a ＝4，b ＝3，c ＝﹣5，所以二次函数的关系式为：y ＝4x 2+3x ﹣5．故选：A ．变1已知一个二次函数的图象经过（-1，10），（1，4），（2，7）三点．求这个二次函数的解析式，并求出它的开口方向、对称轴和顶点坐标．【解题思路】设二次函数的解析式为y ＝ax 2+bx +c ，把（﹣1，10），（1，4），（2，7）三点坐标代入，列方程组求a 、b 、c 的值，确定函数解析式，根据二次函数解析式可知抛物线的对称轴及顶点坐标．【解答过程】解：设二次函数的解析式为y ＝ax 2+bx +c ，把（﹣1，10），（1，4），（2，7）各点代入上式得−+=10++=44+2+=7，解得=2=−3=5．则抛物线解析式为y ＝2x 2﹣3x +5；由y ＝2x 2﹣3x +5＝2（x −34）2+318可知，抛物线对称轴为直线x =34，顶点坐标为（34，318）．变2已知二次函数的图象经过(4,3)-和(6,3)-两点，与y 轴交于(0,21)，求此二次函数的解析式．【分析】利用待定系数法即可求解．【解答】解：二次函数解析式为2y ax bx c =++，二次函数的图象经过(4,3)-和(6,3)-两点，与y 轴交于(0,21)，∴1643366321a b c a b c c ++=-⎧⎪++=-⎨⎪=⎩，解得11021a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴二次函数的解析式为21021y x x =-+．题型二求二次函数解析式（2）例1若二次函数图象的顶点坐标为（2，-1），且抛物线过（0，3），则二次函数解析式是_________．【答案】243y x x =-+【详解】解：设二次函数解析式为()221y a x =--，把()03，代入得：341a =-，解得：1a =，则二次函数解析式为()222143y x x x =--=-+，故答案为：243y x x =-+．变1已知二次函数当x =1时有最大值是-6，其图象经过点（2，-8），求二次函数的解析式．【解题思路】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y ＝a （x ﹣1）2﹣6，然后把（2，﹣8）代入求出a 的值即可．【解答过程】解：设抛物线解析式为y ＝a （x ﹣1）2﹣6，把（2，﹣8）代入得a （2﹣1）2﹣6＝﹣8，解得a ＝﹣2．所以抛物线解析式为y ＝﹣2（x ﹣1）2﹣6．例2抛物线2y x bx c =++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：x ⋯01234⋯y⋯3-13⋯则抛物线的解析式是_________．【答案】243y xx =-+【分析】结合题意，根据二次函数的性质，通过列二元一次方程组并求解，即可得到答案．【详解】根据题意，得：310c b c =⎧⎨++=⎩将3c =代入到10b c ++=，得：130b ++=∴4b =-∴2243y x bxc x x =++=-+故答案为：243y x x =-+．例3已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠中的x 和y 满足下表：x4-3-2-1-012 y5-0343m5-（1）根据表格，直接写出该二次函数的对称轴以及m 的值；（2）求该二次函数的表达式．【分析】（1）由于2x =-，3y =；0x =，3y =，则可利用抛物线的对称性得到对称轴；然后利用对称性确定m 的值；（2）设顶点式2(1)4y a x =++，然后把(0,3)代入求出a 的值，从而得到抛物线解析式．【解答】解：（1） 抛物线经过点(2,3)-，(0,3)，∴抛物线的对称轴为直线1x =-，1x = 和3x =-所对应的函数值相等，0m ∴=；（2）设抛物线解析式为2(1)4y a x =++，把(0,3)代入得23(01)4a =⨯++，解得1a =-，∴该二次函数的解析式为(1)24y x =-++，即223y x x =--+．变2小聪在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组y 与x 的对应值：x⋯012345⋯y⋯53-4-3-0⋯该二次函数的解析式是_________．【分析】根据待定系数法即可求得．【解答】解：由表格数据结合二次函数图象对称性可得图象顶点为(3,4)-，设二次函数的表达式为2(3)4(0)y a x a =--≠，将(1,0)代入得440a -=，解得1a =，∴该二次函数的表达式为2(3)4y x =--（或265)y x x =-+．变3二次函数23y ax bx =+-中的x 、y 满足下表：x ⋯-10123⋯23y ax bx =+-⋯-3-4-3m⋯（1）求这个二次函数的解析式．（2）求m 的值．【答案】(1)223y x x =--(2)0【分析】（1）根据表格数据待定系数法求解析式即可求解．（2）根据二次函数的对称性即可求解．（1）解：根据表格可知对称轴为直线1x =，且1x =时4y =-，即顶点为()1,4-，设解析式为()214y a x =--，当0x =时，3y =-，即43a -=-，解得1a =，∴这个二次函数的解析式为：()221423y x x x =--=--，即223y x x =--（2）解：∵对称轴为直线1x =，∴当3x =与1x =-时的函数值相等，∴0m =题型三求二次函数解析式（3）例1在直角坐标系中，抛物线经过点A (0，4)、B (1，0)、C (5，0)，求抛物线的解析式和顶点E 坐标．变1已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，3），则二次函数的解析式是_________．变2抛物线经过点(2,0),(1,0)A B -，且与y 轴交于点C ．若2OC =，则该抛物线解析式为（）A ．22--=x x yB ．22y x x =---或22++=x x yC ．22++-=x x yD ．22--=x x y 或22++-=x x y 【答案】D【分析】抛物线和y 轴交点的为（0,2）或（0，-2），根据A 、B 两点坐标设出抛物线解析式为()()21y a x x =-+()0a ≠，代入C 点坐标即可求解．【详解】设抛物线的解析式为()()21y a x x =-+()0a ≠∵2OC =∴抛物线和y 轴交点的为（0,2）或（0，-2）①当抛物线和y 轴交点的为（0,2）时，得()()20201a =-+解得1a =-∴抛物线解析式为()()121y x x =--+，即22y x x =-++②当抛物线和y 轴交点的为（0，-2）时，()()20201a -=-+解得1a =∴抛物线解析式为()()y x 2x 1=-+，即2y x x 2=--故选D ．例2在平面直角坐标系xOy 中，二次函数图象上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表，求这个二次函数的表达式．x⋯1-012⋯y⋯3-01⋯【分析】利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为(1,1)，则可设顶点式2(1)1y a x =-+，然后把点(0,0)代入求出a 即可．【解答】解：由题意可得二次函数的顶点坐标为(1,1)，设二次函数的解析式为：2(1)1y a x =-+，把点(0,0)代入2(1)1y a x =-+，得1a =-，故抛物线解析式为2(1)1y x =--+，即22y x x =-+；例3如图，抛物线23y ax bx =+-与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点3OB OC OA ==，则该抛物线的解析式是_________．【答案】223y x x =--【分析】根据抛物线与y 轴交于点C 易得点C 的坐标为()0,3C -，根据3OB OC OA ==，可得点A 、B 的坐标，再利用待定系数法即可求得二次函数的解析式．【详解】当0x =时，3y =-，∴()0,3C -，∴3OC =，∴3OB =，1OA =，∴()3,0B ，()1,0A -，将()3,0B ，()1,0A -代入23y ax bx =+-得，093303a b a b =+-⎧⎨=--⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩，∴该抛物线的解析式是223y x x =--．变3小聪在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组y 与x 的对应值：x⋯012345⋯y⋯53-4-3-0⋯该二次函数的解析式是_________．【分析】根据待定系数法即可求得．【解答】解：由表格数据结合二次函数图象对称性可得图象顶点为(3,4)-，设二次函数的表达式为2(3)4(0)y a x a =--≠，将(1,0)代入得440a -=，解得1a =，∴该二次函数的表达式为2(3)4y x =--（或265)y x x =-+．变4如图是二次函数2y x c =++的图像，该函数的最小值是_________．将2b =代入930b c -+=得：9320c -⨯+=，解得3c =-，则二次函数的解析式为223y x x =+-，当1x =-时，2(1)2(1)34y =-+⨯--=-，即该函数的最小值是4-，故答案为：4-．课后强化1.已知一条抛物线经过E （0，10），F （2，2），G （4，2），H （3，1）四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（）A ．E ，F B ．E ，GC ．E ，HD ．F ，G2.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax bx c =++经过点(3,0)A 、(2,3)B -、(0,3)C -．求抛物线的表达式．【分析】根据二次函数图象上的点的坐标特征解决此题．【解答】解：由题意得，930a b c ++=，423a b c ++=-，3c =-．1a ∴=，2b =-．∴这个抛物线的表达式为223y x x =--．3.求分别满足下列条件的二次函数解析式：（1）二次函数图像经过(1,2),(0,1),(2,3)-三点．（2）二次函数图像的顶点坐标是()2,3-，并经过点()1,2．4.已知二次函数2y ax bx c =++经过(1,0)A -，(5,0)B ，(0,2.5)C -三点．求二次函数2y ax bx c =++的解析式．【分析】利用待定系数法，即可求出二次函数的解析式；【解答】解：将(1,0)A -，(5,0)B ，(0, 2.5)C -代入2y ax bx c =++得：025502.5a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得：0.522.5a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，∴二次函数2y ax bx c =++的解析式为20.52 2.5y x x =--；5.二次函数的图象顶点坐标为(2,2)--，且过(1,0)．求该二次函数解析式．【分析】由抛物线顶点式表达式得：2(2)2y a x =+-，将点(1,0)代入上式即可求解；【解答】解：由抛物线顶点式表达式得：2(2)2y a x =+-，1x =时，2(12)20y a =+-=，解得：29a =，故抛物线的表达式为：22(2)29y x =+-；6.一个二次函数的图象与抛物线23y x =的形状相同、开口方向相同，且顶点为(1,4)，那么这个函数的解析式是_________．【分析】根据二次函数性质形状及开口方向相同即a 的值一样，设出解析式23()y x h k =-+，根据顶点为(1,4)，即可得到答案．【解答】解： 二次函数的图象与抛物线23y x =的形状相同、开口方向相同，3a ∴=，设二次函数的解析式为23()y x h k =-+，顶点为(1,4)，1h ∴=，4k =，∴这个函数的解析式是23(1)4y x =-+，故答案为：23(1)4y x =-+．7.若抛物线2y ax bx c =++的顶点是()2,1A ，且经过点()10B ,，则抛物线的函数关系式为（）A ．243y x x =+-B ．243y x x =-+-C ．243y x x =---D ．243y x x =-++【答案】B 【详解】解：∵抛物线顶点是A （2，1），且经过点B （1，0），∴设抛物线的函数关系式是y =a （x -2）2+1，把B 点的坐标代入得：0=a （1-2）2+1，解得：a =-1，即抛物线的函数关系式是y =-（x -2）2+1，即y =-x 2+4x -3．故选：B ．8.二次函数2y ax bx c =++的y 与x 的部分对应值如下表，则下列判断中正确的是（）x…0134…y …242-2…A ．抛物线开口向上B ．当1x >时，y 随x 的增大而减小C ．当02x <<时，1724y <≤D ．y 的最大值为29【答案】C 【详解】解：将点()0,2，()1,4，()3,2代入二次函数的解析式，得：24934c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得：132a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为223173224y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，∵10-<，∴抛物线开口向下，∴A 选项不符合题意；∵由抛物线解析式可知，抛物线的对称轴为32x =，这时抛物线取得最大值17y 4=，∴当32x <时，y 随x 的增大而增大；当32x >时，y 随x 的增大而减小，∴当1x >时，y 随x 的增大先增大，到达最大值174后，y 随x 的增大而减小，∴B 选项不符合题意；∵当0x =时，2y =；当2x =时，4y =，又∵抛物线的对称轴为32x =，当32x =时，17y 4=，又∵17244<<，∴当02x <<时，1724y <≤，∴C 选项符合题意；∵抛物线的解析式为223173224y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，∴当32x =时，抛物线取得最大值17y 4=，∴D 选项不符合题意．故选：C ．9.已知二次函数的图象经过点（-1，-5），（0，-4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（）A ．y =-6x 2+3x +4B ．y =-2x 2+3x -4C ．y =x 2+2x -4D ．y =2x 2+3x -4【答案】D【详解】解：设所求函数的解析式为y =ax 2+bx +c ，把（-1，-5），（0，-4），（1，1）分别代入，得：541a b c c a b c -+-⎧⎪-⎨⎪++⎩＝＝＝解得234a b c ⎧⎪⎨⎪-⎩＝＝＝所求的函数的解析式为y =2x 2+3x -4．故选D10.如果抛物线2y ax bx c =++的对称轴是x =-3，且开口方向与形状与抛物线y =-2x 2相同，又过原点，那么a =_______，b =_______，c =_______．【答案】-2-120【详解】解：∵抛物线y =ax 2+bx +c 的开口方向，形状与抛物线y =-2x 2相同，∴a =-2，∵抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴是直线x =-3，∴-2b a=-3，即-()22b ⨯-=-3，解得b =-12；∵抛物线过原点，∴c =0．故答案为：-2，-12；0．11.一个二次函数图象上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如表：（1）这个二次函数的对称轴为直线_______，顶点坐标为_______；（2）m 的值是_______，n 的值是_______；（3）这个二次函数的解析式为_________．【分析】（1）根据二次函数图象的对称性，结合表格数据即可求解；（2）根据二次函数图象的对称性，结合表格数据即可求解；（3）待定系数法求解析式即可求解．【解答】解：（1）根据二次函数图象的对称性，可知，当0x =时与2x =时，函数值相等，∴对称轴为直线1x =，当1x =时，1y =-，即顶点坐标为(1,1)-，故答案为：1x =，(1,1)-；（2） 对称轴为直线1x =，3y ∴=时，1x =-或x n =，∴112n -+=，解得：3n =，当4x =与2x =-时，函数值相等，8m ∴=，故答案为：8，3；（3） 顶点坐标为(1,1)-，设该二次函数解析式为2(1)1y a x =--，将(0,0)，代入得01a =-，解得：1a =，∴二次函数解析式为：22(1)12y x x x =--=-，故答案为：22y x x =-．12.已知抛物线过A （1，0）和B （4，0）两点，交y 轴于C 点，且BC =5，求该二次函数的解析式．【解题思路】由于已知抛物线与x 轴的交点坐标，则可设交点式y ＝a （x ﹣1）（x ﹣4），再利用B 点坐标和BC ＝5得到C 点坐标，然后把C 点坐标代入可求出a 的值，从而得到两个解析式．【解答过程】解：设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣1）（x ﹣4），∵B （4，0）两点，交y 轴于C ，BC ＝5，∴C 点坐标为（0，3）或（0，﹣3），当C 点坐标为（0，3），把（0，3）代入得a •（﹣1）•（﹣4）＝3，解得a =34，所以此时抛物线的解析式为y =34（x ﹣1）（x ﹣4）=34x 2−154x +3；当C 点坐标为（0，﹣3），把（0，﹣3）代入得a •（﹣1）•（﹣4）＝﹣3，解得a =−34，所以此时抛物线的解析式为y =−34（x ﹣1）（x ﹣4）=−34x 2+154x ﹣3，所以该二次函数的解析式为y =34x 2−154x +3或y =−34x 2+154x ﹣3．13.二次函数图象过A ，C ，B 三点，点A 的坐标为（-1，0），点B 的坐标为（4，0），点C 在y 轴正半轴上，且AB ＝OC ，求二次函数的表达式．【解题思路】根据A ．B 两点的坐标及点C 在y 轴正半轴上，且AB ＝OC ．求出点C 的坐标为（0，5），然后根据待定系数法即可求得．【解答过程】解：∵A （﹣1，0），B （4，0）∴AO ＝1，OB ＝4，AB ＝AO +OB ＝1+4＝5，∴OC ＝5，即点C 的坐标为（0，5），设二次函数的解析式为y ＝ax 2+bx +c ，∵二次函数图象过A ，C ，B 三点，∴−+=016+4+=0=5，解得=−54=154=5，∴二次函数的表达式为y =−54x +154x +5．。
解读确定二次函数的解析式
解：
因为，抛物线的
对称轴是 y 轴， 所以，设二次函数解析式为：
y=ax 2+c（a≠ 0），
因为，二次函数图象过点 C（0， 1），
所以， c=1，
因为，此桥垂直于桥面的相邻两柱之间距离为２米（图中用线段ＡＤ、ＣＯ、ＢＥ等表示 桥柱），且ＦＧ＝２米，
所以，点 F 的坐标是（ -4 ， 2），
所以， 16a+1=2，
2
4.2 二次函数关系式设为： y=ax +bx（ a≠ 0）
例 2 、（ 2008 年巴中市）王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛
物线 y
12 x
8 x ，其中 y （ m ）是球的飞行高度，
5
5
果球离球洞的水平距离还有 2m，如图 2 所示。
x （ m）是球飞出的水平距离，结
因为，抛物线经过点（ 10， 0）， 所以， 100a+10b=0 ，即 10a+b=0 ，
10m
因为，抛物线经过点（ 5， 16 ）， 5
所以，
16 25a+5b=
，即
16 5a+b=
，
5
25
解得： a
16
32
， b= ，
125
25
所以，二次函数的解析式是： y
16 2 x
32 x。
1 25
25
1 解得： a= ，
16
所以，二次函数的关系式是：
12 y= x +1；
16
（2），因为， OD=8米，
设点 A 的坐标是（ -8 ， y），
所以， y= 1 ×（ -8 ） 2+1=5， 16
二次函数解析式的确定
二次函数解析式的确定 本讲例题及随堂练习待定系数法求函数解析式二次函数的三种表达式一般式：y=c bx ax ++2（a ，b ，c 为常数，a ≠0）顶点式：y=k h x a +-2)( [抛物线的顶点P （h ，k ）] 交点式：y=a(x-x ₁)(x-2x ) [仅限于与x 轴有交点A （x ₁ ，0）和 B （x ₂，0）的抛物线一般式：例1、已知二次函数的图象经过A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6); 求它的解析式。
练习、已知一个二次函数，当x=-1时，y=3；当x=1时，y=3；当x=2时，y=6。
求这个二次函数的解析式。
顶点式：例2、已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的关系式。
练习1：已知二次函数的图象经过A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8，求它的解析式。
练习2： 已知抛物线对称轴是直线x ＝2，且经过(3，1)和(0，－5)两点，求二次函数的关系式。
练习3：已知抛物线的顶点是(2，－4)，它与y 轴的一个交点的纵坐标为4，求函数的关系式。
练习4：一条抛物线y x mx n =++142经过点()032，与()432，。
求这条抛物线的解析式。
两点式：例3、已知二次函数的图象顶点坐标是(-1,9),与x 轴两交点间的距离是6.求它的解析式。
练习： 已知二次函数的图象与x 轴交点的横坐标分别是x 1=－3，x 2=1，且与y 轴交点为(0，－3)，求这个二次函数解析式。
结论:一般地,已知三个条件是抛物线上任意三点(或任意3对x,y 的值)可设表达式为y=ax 2+bx+c,组成三元一次方程组来求解;•如果三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最值,可选用y=a(x-h)2+k 来求解;若三个条件中已知抛物线与x 轴两交点坐标,则一般设解析式为y=a(x-x 1)(x-x 2).例4、 根据下列条件，求抛物线的解析式．（1）经过点（0，-1），（1，12-），（-2，-5）； （2）经过点（-3，2），顶点是（-2，3）；（3）与x 轴两交点坐标分别为（-2，0），（2，0）并且与y 轴交于点（0，-2）．例5、已知函数y=x 2＋bx ＋1的图象经过点（3，2）．（1）求这个函数的表达式；（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；（3）当x ＞0时，求使y ≥2的x 的取值范围．例6、一次函数y=2x ＋3，与二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象交于A （m ，5）和B （3，n ）两点，且当x=3时，抛物线取得最值为9．（1）求二次函数的表达式；（2）在同一坐标系中画出两个函数的图象；（3）从图象上观察，x 为何值时，一次函数与二次函数的值都随x 的增大而增大．（4）当x 为何值时，一次函数值大于二次函数值？例7、如图所示，求二次函数的关系式。
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1. (2010 甘肃省兰州市) 抛物线c bx x y ++=2图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为223y x x =--，则b c 、的值为（ ）
A ．22b c ==，
B ．20b c ==，
C ．21b c =-=-，
D ．32b c =-=，
答案：B
20100819171116656105 4.1 确定二次函数的解析式 选择题 双基简单应用 2010-08-19
2. (2010 浙江省宁波市) 如图，已知二次函数c bx x y ++-
=2
2
1的图象经过A (2，0)、B (0，-6)两点.
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设该二次函数图象的对称轴与x 轴交于点C ，连结BA 、BC ，求△ABC 的面积.
答案：解：(1)把A (2，0)、B (0，-6)代入c bx x y ++-
=2
2
1 得:220
6b c c -++=⎧⎨
=-⎩……………………………………………1分
解得4
6b c =⎧⎨
=-⎩
∴这个二次函数的解析式为2
1462y x x =-
+-.…………………3分 (2) ∵该抛物线对称轴为直线4
412()
2
x =-=⨯-……………………4分
∴点C 的坐标为(4，0) ∴AC=OC －OA =4－2=2
∴11
26622
ABC S AC OB =⨯⨯=⨯⨯=△………………………………6分
20100818100733873055 4.1 确定二次函数的解析式 复合题 基本技能 2010-08-20
3. (2010 广西来宾市) 将函数y ＝x 2的图象向左平移1个长度单位所得到的图象对应的函数
关系式是 （ ） A ．y ＝x 2－1
B ．y ＝x 2＋1
C ．y ＝(x －1)2
D ．y ＝(x ＋1)2
答案：D
20100817162504687220 4.1 确定二次函数的解析式 选择题 双基简单应用 2010-08-17
4. (2010 湖南省郴州市) 将抛物线y =x 2 +1向下平移2个单位，•则此时抛物线的解析式是_____________．
答案：y =x 2 －1
20100816170910796027 4.1 确定二次函数的解析式 填空题 双基简单应用 2010-08-16
5. (2010 广西桂林市) 将抛物线2
21216y x x =-+绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是（ ）
A ．2
21216y x x =--+ B ．2
21216y x x =-+- C ．2
21219y x x =-+- D ．2
21220y x x =-+-
答案：D
20100816165554437145 4.1 确定二次函数的解析式 选择题 双基简单应用 2010-08-16
6. (2010 黑龙江省哈尔滨市) 在抛物线2
4y x =-上的一个点是（ ）．
（A ）(44)，
（B ）(14)-， （C ）(20)， （D ）(04)，
答案：C
20100814143042421276 4.1 确定二次函数的解析式 选择题 双基简单应用 2010-08-14
7. (2010 福建省莆田市) 某同学利用描点法画二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象时，列出的部分数据如下表：
经检查，发现表格中恰好有一组数据计算错误，请你根据上述信息写出该二次函数的解析式：____________________________.
答案：243y x x =-+
20100813104213312750 4.1 确定二次函数的解析式 填空题 双基简单应用 2010-08-13
8. (2010 天津市) 已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)中自变量x 和函数值y 的部分对应值
如下表：
则该二次函数的解析式为 ．
答案：22y x x =+-
20100812143339281960 4.1 确定二次函数的解析式 填空题 基本技能 2010-08-12。