对一道高考题的追本溯源和总结

对一道高考题的追本溯源和总结
2010年浙江省高考数学卷"立足基础、强化能力、注重创新",许多题目设计别具匠心,如第17题，有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复. 若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人. 则不同的安排方式共有______________种（用数字作答）.
本题粗略一看，好像很难懂，实质只要稍微想象一下：把四个人编号为1、2、3、4，把五个项目看做是五个位置，并标号为A 、B 、C 、D 、E ，上午四位同学分别站在A 、B 、C 、E ，下午站在A 、B 、C 、D ，但是A 、B 、C 上上午和下午站的人不能相同，如1号同学上午站在A 号位置上，下午就不能站在A 号位置上了。

那么本问题就变成了上午是一个“全排列”问题，下午是一个“指定人不站在指定位置”问题。

“指定人不站在指定位置”问题在平时教学和课本上经常遇到。

如“5个人排成一排，
甲不站第一位有多少种排法？”答案为 964455=-A A 。

“5个人排成一排，甲不站第一位，乙不站第二位有多少种排法？”答案为 782334455=+-A A A 。

“5个人排成一排，甲不站第一位，乙不站第二位，丙不站第三位有多少种排法？”答案为 643322334455=-+-A A A A 。

这样三个式子的系数的绝对值有很明显的特征如图1。

即可归纳出以下结论：“n 个元素排成一排，其中有m )(n m ≤个元素不排在指定位置，则共有排法为
m n m n m
m t n n m n n m n n m n n m A C A C A C A C A C m f ---------++-+-=)1()(333
222
1110
其中.3210m t 、、、、、
= （1） 证明：根据容斥原理①全排列共有：n n A ；②减去“一个元素不排在指定位置上”的情
况，则为111---n n m n n A C A ；③加上减重复的“两个元素排在指定位置”的情况，则为222111----+-n n m n n m n n A C A C A ；④这时又要减去加重复了的“三个元素排在指定位置”的情况 ，
则为33
3222111-------+-n n m n n m n n m n n A C A C A C A ，⑤依此类推，最后结果为m t A C A C A C A C A C m f m n m n m m t n n m n n m n n m n n m 、、、、、 3210)1()(3332221110=-++-+-=-------- 实质上，该类问题与“装错信封问题”是一样的。

“装错信封问题”是当时著名数学家约翰·伯努利的儿子丹尼尔·伯努利提出的。

著名数学家欧拉曾经对“装错信封问题”进行过深入的研究：
编号为 1 ， 2 ，……，n 的n 封信，和编号为 1 ， 2 ，……，n 的n 信封，每封信装入了与它的编号不同的信封（全装错）的情况数)(n f 。

则可以用一个简单的递归算法
11
121
1331 图1
得到)(n f ：
n 封不同的信全部装错分两个步骤完成：
第一步，“装错” 1 号信（将 1 号信装在在第 2 至第n 个信封之一），有1-n 种方法。

第二步，“装错”其余1-n 封信，按如下顺序进行。

若 1 号信装在第k 个信封，第二步就先把k 号信“错装”好，k 号信的不同错法将导致两类不同的情况发生：（ 1 ）k 号信装在第 1 个信封，留下的2-n 封信和信封，有)2(-n f 种错装方法；（ 2 ） k 号信不装进第 1 个信封，这时可将第 1 个信封“看成”
第k 个信封，于是形成（包括k 号信和信封在内的）1-n 封信和信封的“错装”，有)1(-n f
种方法。

据加法原理，完成第二步共有)1()2(-+-n f n f 种方法。

根据乘法原理，n 封不同的信和信封装错的种数为：1)2(0)1(==f f
)]1()2()[1()(-+--=n f n f n n f +∈≥N n n 且3 也可以根据容斥原理得到：]!
1)1(!31!21!111[!)(n n n f n -++-+-= （2） 公式（2）可以由公式（1）推导：当n m =时
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n A C A C A C A C A C n f ---------++-+-=)1()(3332221110
!!)1()!3()!3(!3!)!2()!2(!2!)!1()!1(!1!!n n n n n n n n n n n n n -+-----+---
= ]!!)1(!3!!2!!1!!n n n n n n n -++-+-= ]!
1)1(!31!21!111[!n n n -++-+-= 有了上面公式即可很容易写出答案：上午 四个人站四个位置：2444=A
下午 上午站在A 、B 、C 位置上的人不能站在原来位置上113311223344=-+-A A A A
根据分步乘法计数原理264)33(1122334444=-+-A A A A A
像这种“指定元素不放在指定位置”问题在以前高考题中也考查过。

4个编号为1、2、3、4的球放入编号为1、2、3、4的4个盒子中，1号球不能放入1号盒子，2号球不能放入2号盒子，3号球不能放入3号盒子，4号球不能放入4号盒子，共有多少种放法？
解：共有900441134222433144404=+-+-A C A C A C A C A C 种放法。