八年级数学下册期末复习(一)二次根式学案(新版)新人教版
八年级数学下册16.1二次根式学案(新版)新人教版
八年级数学下册16.1二次根式学案（新版）新人教版16、1二次根式一、学习目标1、认识二次根式及其意义。
二次根式的乘方运算。
2、自主学习过程中渗透方程的思想及类比的方法。
3、培养学生探索和思考的精神及归纳的能力。
二、学习重难点二次根式的意义三、学习过程第一课时二次根式的认识（一）构建新知1、16的平方根是（），的平方根是（）,（）数没有平方根。
2、阅读教材2页（1）完成2页“思考”问题填空。
（2）形如这样的式子叫________，其中a是______数，数学表达式______。
（3）是二次根式的在下面画上横线，－，，3，，（b<0），3+，（a＜－3），。
（二）合作学习1、和的取值范围一样吗？2、完成教材3页练习。
（三）课堂检查1、下列式子是二次根式的在下面画上横线：、、、、、、、、2、下列式有意义的条件：（1）当x_____时，在实数范围内有意义。
（2）当x_____时，在实数范围内有意义。
（3）当x_____时，在实数范围内有意义。
（4）当x_____时，有意义。
3、选做题（1）已知式子有意义，计算（2）已知，求的值。
（3）若，求axx+bxx的值、（4）已知，求的（5）、若，求xy 的值。
（四）课堂学习评价（五）课后作业教材5页习题16、11题，3题第二课时二次根式的平方（一）构建新知1、计算：，，。
2、阅读教材3～4页（1）若a≥0，，，即：（填“＞，＜或=”）。
若a≤0，，。
（2）用运算符号把数或字母连接起来的式子叫____________。
（二）合作学习1、计算：（1）（2）2、教材4页练习（三）课堂检查1、计算：（1）（2）2、计算：（1）（2）（a＜b）3、选做题（1）化简若-3≤x≤2时，试化简│x-2│+（2）若是一个整数，则整数n的最小值是（3）已知的整数部分为a，小数部分为b，试求的值（4）如果，则x的取值范围是。
（四）课堂学习评价（五）课后作业教材5页习题16、12题，4题，5～8题。
新人教版八年级数学下册二次根式教案(14篇)
新人教版八年级数学下册二次根式教案（14篇）篇1：新人教版八年级数学下册二次根式教案1.二次根式：式子( ≥0)叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式; ⑵被开方数中不含分母; ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：(1)( )2= ( ≥0); (2)5.二次根式的运算：(1)因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面;如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.(2)二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.(3)二次根式的乘除法：二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)，所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式.= ? (a≥0，b≥0); (b≥0，a>0).(4)有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算.【典型例题】1、概念与性质例1下列各式1) ，其中是二次根式的是_________(填序号).例2、求下列二次根式中字母的取值范围(1) ;(2)例3、在根式1) ，最简二次根式是( )A.1) 2)B.3) 4)C.1) 3)D.1) 4)例4、已知：例5、 (龙岩)已知数a，b，若 =b-a，则 ( )A. a>bB. a2、二次根式的化简与计算例1. 将根号外的a移到根号内，得 ( )A. ;B. - ;C. - ;D.例2. 把(a-b)-1a-b 化成最简二次根式例3、计算：例4、先化简，再求值：，其中a= ，b= .例5、如图，实数、在数轴上的位置，化简：4、比较数值(1)、根式变形法当时，①如果，则;②如果，则。
人教版八年级数学下册教学设计《二次根式》复习
（二）讲授新知
1.教学内容：教师详细讲解二次根式的定义、性质、化简与运算规则。
（1）二次根式的定义：形如√a（a≥0）的式子，称为二次根式。
（2）二次根式的性质：a≥0时，√a为非负数；√(ab)=√a·√b；√(a/b)=√a/√b（a、b均为非负数）。
（3）二次根式的化简与运算规则：合并同类项、乘除运算、有理化等。
2.教学方法：采用讲解、举例、示范等方式，让学生掌握二次根式的相关知识。
（三）学生小组讨论
1.教学活动设计：教师提出讨论问题，学生分组讨论，共同探究二次根式的性质和运算规则。
讨论问题：“请举例说明二次根式的性质和运算规则，并尝试解决实际问题。”
1.注重激发学生的学习兴趣，通过实际例子引入二次根式的概念，使学生感受到数学的实用性和趣味性。
2.着重培养学生的逻辑思维和抽象思维能力，引导学生发现二次根式的性质和运算规律，提高学生的自学能力。
3.针对学生存在的问题，进行有针对性的教学，关注学生的个别差异，给予每个学生足够的关注和指导。
4.鼓励学生积极参与课堂讨论，培养学生的合作意识和沟通能力，使学生在互动交流中提高自己的数学素养。
4.创新思维：第六题是一道拓展题，鼓励学生运用所学知识进行创新思考，如探索二次根式的有理化方法，或寻找二次根式运算的新规律。
5.总结反思：要求学生撰写学习心得，总结自己在学习二次根式过程中的收获和遇到的困难，以及对未来学习的规划。
作业布置要求：
1.作业量适中，保证学生在课后有足够的时间进行复习和思考。
2.学生讨论：学生通过小组讨论，共同解决教师提出的问题，加深对二次根式知识的理解。
3.教师指导：教师巡回指导，关注学生的讨论过程，及时解答学生的疑问。
八年级数学下册期末复习1二次根式新人教版
A．0
B．1
C．2
D．4
2．(温岭市期末)下列代数式中，属于最简二次根式的是
( C)
A． 3.2
B．
4 3
C． 5
D． 40
3．下列各式计算正确的是( D )
A． 2 ＋ 3 ＝ 5
B．4 3 －3 3 ＝1
C．2 3 ×3 3 ＝6 3
D． 27 ÷ 3 ＝3
4．估算
50＋2 2
3 的值(
D
)
A．在 4 和 5 之间
＝______n_2_＋__n____________；
③应用：计算 8821＋1100 .
解：③应用： 8821＋1100 ＝ 1＋19 －110 ＝1910 .
1＋811＋1100 ＝
1＋912＋1102 ＝
B．在 5 和 6 之间
C．在 6 和 7 之间
D．在 7 和 8 之间
5．化简二次根式 a A． a－1 C． a＋1
－a＋a21 的结果是( B ) B．－ －a－1 D．－ a－1
6．若 k，m，n 都是整数，且 135 ＝k 15 ， 450 ＝15 m ，
180 ＝6 n ，则下列关于 k，m，n 的大小关系，正确的
是( D )
A．k＜m＝n
B．m＝n＞k
C．m＜n＜k
D．m＜k＜n
7．已知 a，b 分别是 6－ 13 的整数部分和小数部分，那
么 2a－b 的值是( C )
A．3－ 13
B．4－ 13
C． 13
D．2＋ 13
8．已知 m＝1＋ 2 ，n＝1－ 2 ，则代数式 m2＋n2－3mn
的值为( C )
解：原式＝9＋12 5 ＋20－(3－2) ＝29＋12 5 －1 ＝28＋12 5 .
八年级数学下册 16.1.1 二次根式学案(新版)新人教版
八年级数学下册 16.1.1 二次根式学案（新版）新人教版16、1、1二次根式》学习目标：1、理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目、2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题、重点：二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目、难点：应用概念解决实际问题、学法提示：自主研学合作探究学习过程：一、复习引入：（1）已知，那么是的________, 一定是_______数。
（2）4的算术平方根为2，用式子表示为=__________；正数的算术平方根表示为_______，0的算术平方根为_______；（3）面积为a的正方形的边长为________、二、自主学习：自学课本1--2页 (1)6的算术平方根表示为；(2)一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t(单位：秒)与开始下落时的高度h(单位：米)满足关系式。
如果用含h的式子表示t，则t= ；(3)圆的面积为S，则圆的半径是；(4)正方形的面积为，则边长为。
定义: 一般地我们把形如（）的式子叫做二次根式，叫做_____________。
称为。
【注意】二次根式应满足两个条件：1、形式上必须是的形式；2、被开方数必须是三、合作探究:例1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、、（x>0）、、-、（x≥0，y≥0）、解：二次根式有：；不是二次根式的有：。
例2、当x是多少时，在实数范围内有意义？解：由得：。
当时，在实数范围内有意义、归纳：1、形如的式子叫做二次根式的概念；2、当为正数时指的，而0的算术平方根是，负数，只有非负数才有算术平方根。
所以，在二次根式中，字母必须满足 , 才有意义。
3、（a≥0）是一个非负数；4、要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是。
三、合作交流：例3、当x是多少时，+在实数范围内有意义？例4、(1)已知y=++5，求的值、 (2)若+=0，求a2004+b2004的值、四、课堂检测1、下列式子中，是二次根式的是（）A、-B、C、D、x2、下列式子中，不是二次根式的是（）A、B、C、D、3、已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）A、5B、C、D、以上皆不对4、下列各式中、、、、、，二次根式的个数是（）、A、4B、3C、2D、15、数a没有算术平方根，则a的取值范围是（）、A、a>0B、a≥0C、a<0D、a=06、使式子有意义的未知数x有（）个、A、0B、1C、2D、无数7、若+有意义，则=_______、学后反思：16、1、1课后作业1、若在实数范围内有意义，则为（）。
八年级数学下册 16.1 二次根式学案(新版)新人教版
八年级数学下册 16.1 二次根式学案(新版)新人教版16、1 二次根式（1）学习目标：1、知道什么叫二次根式，理解被开方数是非负数；(重点)2、掌握二次根式在实数范围内有、无意义的条件。
（难点）一、自主学习案1、知识回顾：（1）3的算术平方根是多少？（2）面积为a 的正方形的边长是多少？2、认真阅读课本第24有算术平方根吗？（2）0的算术平方根是多少？（3）当a<0时，有意义吗？2、议一议：二次根式在实数范围内有意义的条件是。
二次根式在实数范围内无意义的条件是。
（学法指导：这些内容由学生自学后归纳，再小组合作交流，老师最后总结）探究二当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？【思路导航】1、当x是怎样的实数时，≥0？2、当x是怎样的实数时？（学法指导：先由学生合作交流，再由小组展示总结）（二）应用探究当x是何值时，+在实数范围内有意义？（学法指导：小组合作交流，老师适当点拨）三、随堂达标案1、下列式子一定是二次根式的是（）A、B、C、D、2、若为二次根式，则m的取值为（）A、m≤2B、m＜2C、m≥2D、m＞23、使式子无意义的x的取值范围是______________________。
4、当x________时，有意义。
5、若+有意义，则=_______、6、使式子有意义的未知数x有（）个、A、0B、1C、2D、无数7、求使下列各式有意义的字母的取值范围：（1）（2）（3）（4）8、（选做题）已知a、b为实数，且+2=b+4，求a、b的值、四、课堂小结1、形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号、2、要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数、五、学习反思16、1 二次根式（2）编写人：实验学校曾令宝审核人：实验学校陈翔学习目标：1、理解二次根式的性质；（重点）（1）是非负数(≥0）（2）()2 =（≥0）（3）=（≥0）2、会利用二次根的性质进行简单的计算和化简。
八年级数学下册 16.1 二次根式学案1 (新版)新人教版
二次根式学习目标：）2=a （a≥0），并利用它们进行计算和化简．通过2=a （a≥0）；最后运用结论严谨解题． 学习过程：一、复习引入（学生活动）口答1．什么叫二次根式？2．当a≥0a<0老师点评（略）．二、探究新知议一议：（学生分组讨论，提问解答）老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出做一做：根据算术平方根的意义填空：）2=_______；）2=_______；2=______；）2=_______；2=______；2=_______；）2=_______．是4是一个平方等于4的）2=4．同理可得：）2=2，2=9，2=3，2=13，2=72，）2=0，所以例1 计算1．2 2．（2 3．2 4．）2分析2=a （a≥0）的结论解题．解：2 =32，（2 =322=32·5=45，2=56，）274=． 三、巩固练习计算下列各式的值：2 2 （4）2 ）2 （）222-四、应用拓展例2 计算1．2（x≥0）2．23．24． 2分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；（2）a 2≥0；（3）a 2+2a+1=（a+1）≥0；（4）4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x·3+32=（2x-3）2≥0．所以上面的42=a （a≥0）的重要结论解题． 解：（1）因为x≥0，所以x+1>02=x+1（2）∵a 22=a 2（3）∵a 2+2a+1=（a+1）2又∵（a+1）2≥0，∴a22+2a+1 （4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2又∵（2x-3）2≥0∴4x2-2=4x2-12x+9例3在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3分析：(略)五、归纳小结本节课应掌握：12．2=a（a≥0）;反之:a=2（a≥0）．六、布置作业1．教材P5复习巩固2．（1）、（2）7．。
八年级数学下册 16.1 二次根式(第1课时)学案(新版)新人教版
八年级数学下册 16.1 二次根式（第1课时）学案（新版）新人教版【学习目标】1、了解二次根式和代数式的概念；2、会根据有关条件求被开放数中参数的取值范围；3、感受数学活动的乐趣，提高应用意识、【学习重点】二次根式的概念及求被开放数中参数的取值范围、【学习难点】根据有关条件求被开放数中参数的取值范围、【学前准备】认真阅读课本P2---P5，完成练习一、复习引入1、已知，那么是的______ __ ，记为___ ___，这里一定是_______数、2、一个正数的平方根有个，它们互为，没有平方根、（1）4的算术平方根是，平方根是、（2）正数的算术平方根是，平方根是、3、用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点？（1）面积为5的正方形的边长为，面积为S的正方形的边长为、（2）要修建一个面积为的圆形喷水池，它的半径为、（取3、14）（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 (单位: )与开始落下时的高度（单位: ）满足关系，如果用含有的式子表示，则= 、上述问题中，结果都表示一些正数的平方根、一般地，我们把形如的式子叫做二次根式、其中“”称为、注意这里的被开方数必须是数，也就是 0、例如：，，等等、4、回顾我们已学过的基本运算有，用基本运算符号把连接起来的式子叫代数式、例: ,,,,,,都叫代数式、5、下列式子，哪些是二次根式?、、、（）、、、、、（，）、是二次根式、6、思考：根据平方根的定义，二次根式在何时有意义？【课堂探究】例1当是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？（1）（2）（3）思考：当是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？呢？例2 用代数式表示：（1）要画一个面积为的矩形（长方形），使它的长宽之比为3:2，那么长、宽应各取多少？要画一个面积为的矩形（长方形），使它的长宽之比为3:2，那么长、宽应各取多少？（3）面积为的圆中，用含的式子表示圆的半径、【课堂检测】1、9的平方根是（）A、B、C、D、2、要使有意义，则（）A、B、C、D、3、当为怎样的实数时，下列各式有意义? （1）（2）（3）（4）4、有意义，则、【课堂小结】通过今天的学习，同学们应了解或掌握下列内容：（1）理解二次根式的概念；（2）会利用（）的意义列不等式，求出二次根式被开方数中参数的取值范围、课后作业1601－－二次根式（课时1）班级：座号：姓名：1、下列式子中，是二次根式的是（）A、B、C、D、2、下列式子中，不是二次根式的是（）A、B、C、D、3、已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）A、5B、C、D、以上皆不对4、代数式有意义，则（）A B C D5、为实数，下列式子一定有意义的是（）A、B、C、D、6、使式子有意义的未知数有（）个、A、0B、1C、2D、无数7、已知，则= ；若，则= 、8、计算：；、9、已知：，则的值为、10、若+有意义，则=__ _____、11、当是怎样的实数时，下列代数式在实数范围内有意义？（1）；（2）；（3）、12、某工厂要制作一批体积为1的产品包装盒，其高为0、2，按设计需要，底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？13、当是多少时，在实数范围内有意义？14、已知，求的值、15、当是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？（1）；（2）；（3）；（4）、。
新人教版八年级数学下册复习课教案(全册)
新人教版八年级数学下册复习课教案（全册）二次根式复习课教学目标1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．教学重点和难点重点：含二次根式的式子的混合运算．难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子．教学过程设计一、复习1．请同学回忆二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件．指出：二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的，主要应用于化简二次根式．2．二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来．指出：二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的．把两个二次根式相除，计算结果要把分母有理化．3．在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式：4．在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子：二、例题例1 x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义：分析：(1)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义；(3)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义；(4)题的分子是二次根式，分母是含x的单项式，因此x的取值必须使二次根式有意义，同时使分母的值不等于零．x≥-2且x≠0．解因为n2-9≥0，9-n2≥0，且n-3≠0，所以n2=9且n≠3，所以例3分析：第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式．把它们分别分解因式后，再利用二次根式的基本性质把式子化简，化简中应注意利用题中的隐含条件3-a≥0和1-a＞0．解：因为1-a＞0，3-a≥0，所以a＜1，|a-2|＝2-a．(a-1)(a-3)=[-(1-a)][-(3-a)]=(1-a)(3-a)≥0．这些性质化简含二次根式的式子时，要注意上述条件，并要阐述清楚是怎样满足这些条件的．问：上面的代数式中的两个二次根式的被开方数的式子如何化为完全平方式？分析：先把第二个式子化简，再把两个式子进行通分，然后进行计算．解注意：所以在化简过程中，例6：分析：如果把两个式子通分，或把每一个式子的分母有理化再进行计算，这两种方法的运算量都较大，根据式子的结构特点，分别把两个式子的分母看作一个整体，用换元法把式子变形，就可以使运算变为简捷．a+b＝2(n+2)，ab=(n+2)2-(n2-4)＝4(n+2)，三、课堂练习1．选择题：A．a≤2B．a≥2C．a≠2D．a＜2A．x+2 B．-x-2C．-x+2D．x-2A．2x B．2a C．-2x D．-2a2．填空题：4．计算：四、小结1．本节课复习的五个基本问题是“二次根式”这一章的主要基础知识，同学们要深刻理解并牢固掌握．2．在一次根式的化简、计算及求值的过程中，应注意利用题中的使二次根式有意义的条件(或题中的隐含条件)，即被开方数为非负数，以确定被开方数中的字母或式子的取值范围．3．运用二次根式的四个基本性质进行二次根式的运算时，一定要注意论述每一个性质中字母的取值范围的条件．4．通过例题的讨论，要学会综合、灵活运用二次根式的意义、基本性质和法则以及有关多项式的因式分解，解答有关含二次根式的式子的化简、计算及求值等问题．五、作业1．x是什么值时，下列各式在实数范围内有意义？2．把下列各式化成最简二次根式：第十七章 勾股定理教学目标：1.会用勾股定理解决简单问题。
人教版数学八年级下册二次根式复习课教案(最新整理)
形如 a （a≥0）的式子，叫做二次根式。
知识特点： 1、被开放数 a 是一个非负数；
2、二次根式 a 是一个非负数，即 a ≥0；
3、有限个二次根式的和等于 0，则每个二次根式的被开方数必须是 0. 考查题型
例 1、若式子 x 5 在实数范围内有意义,则 x 的取值范围是
A.x>-5
B.x<-5
A. x 1 2
B. x 1 2
C. x 1 2
D. x 1 2
解题策略：根据二次根式的定义，被开方数必须是非负数。答案为 A。
例 2 函数 y
1
5 x
的自变量 x 的取值范围是（
）
x2 x3
A. 2 x 5
B. 2 x 5
C. 2 x 5且x 3 D. 2 x 5且x 3
满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式： (1)被开方数的因数是整数，因式是整式； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 知识特点： 1、最简二次根式中一定不含有分母； 2、对于数或者代数式，它们不能在写成 an×m 的形式。 考查题型 例 5、下列根式中属最简二次根式的是（ ）
A. a2 1
1、不同点：
与 表示的意义是不同的，
而 表示一个实数 a 的平方的算术平方根；在
0，负实数。但
与 都是非负数，即
表示一个正数 a 的算术平方根的平方，
中
，而 中 a 可以是正实数，
，
。因而它的运算的结果
是有差别的，
，而
2、相同点：当被开方数都是非负数，即 时，
= ； 时，
无意义，而
. 考查题型 二次根式 知识回顾：
1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当 a≧0 时， 有意义，是二次根式， 所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
八年级数学下册二次根式复习课学案新人教
二次根式 学习目标1.掌握二次根式有意义的条件和性质。
2.熟练进行二次根式的乘除法运算。
3.理解同类二次根式的定义，熟练进行二次根式的加减法运算。
导学过程【课前复习】1．当a______时，12a -有意义，当a______时，35a +没有意义。
2．2(3)________π-=2(32)______-=3．________1872_______;4814=÷=⨯4．_______20125_______;2712=-=+【自主学习】例1.式子5454--=--x x x x 成立的条件是什么?例2.计算： (1) 341122⨯ (2)321259x y例3.计算(1) 253375-- (2) 2(3223)--【 课堂达标】1.化简()25-的结果是（ ）A.5B.-5C. 士5D.25 2.代数式24-+x x 中，x 的取值范围是_________. 3.化简2723-的结果是_________.4.计算．(1)453227+- (2)162564⨯ ()2412213483+⨯-÷ (4)2(3)x -5.已知223,223+=-=b a 求b a 11-的值【课后作业】1.55,51==b a ，则（ ） A. a,b 互为相反数 B.a,b 互为倒数 C.5=ab D.a=b2.在下列各式中，化简正确的是（ ）A.15335=B.22121±=C.b a b a 24=D.123-=-x x x x3.把1(1)1a a ---中根号外的(1)a -移人根号内得（ ） 1.-a A a B -1. 1.--a C a D --1.4..计算：20082009(23)(23)+⋅-=_________． 5.化简：113232+-+=________________. 4.计算：()2276141⨯÷ ()()62734822÷- ()1089654753-+-()()()6326324-+ ()()252355+ ()()()521036-+【拓展提高】2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，点D 是BC 上一点，DE ∥AC ，DF ∥AB ，则△BED 与△DFC 的周长的和为（ ）A ．34B ．32C ．22D ．202．方程(1)(2)1x x x -+=-的解是( )A ．2x =-B ．11x =，22x =-C ．11x =-，21x =D ．11x =-，23x = 3．下列关于一次函数()0,0y kx b k b =+<>的说法，错误的是( )A ．图象经过第一、二、四象限B ．y 随x 的增大而减小C ．图象与y 轴交于点()0,bD ．当b x k >-时，0y >4．已知x=1是一元二次方程的解，则b 的值为（ ）A ．0B ．1C ．D ．25．下列多项式能用完全平方公式进行分解因式的是（ ）A ．21x +B ．224x x ++C ．221x x -+D ．21x x ++6．若代数式有意义，则x 的取值是（ ）A ．x ＝2B ．x ≠2C ．x ＝3D ．x ≠﹣3 7．二次根式中字母 x 的取值范围是（ ） A ．x≠﹣3 B ．x≥﹣3 C ．x ＞﹣3 D ．全体实数8．下列表达式中是一次函数的是( )A ．5y x =-B ．27y x =-C ．235y x x =+-D ．24y x =+9．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有x 名同学，根据题意，列出方程为（ ）A ．x （x+1）=1056B ．x （x-1）=1056C ．x （x+1）=1056×2D ．x （x-1）=1056×2 10．用配方法解一元二次方程x 2-8x+3=0，此方程可化为（ ）A ．(x-4)2=13B ．(x+4)2=13C ．(x-4)2=19D ．(x+4)2=19二、填空题11．一次函数y kx b =+（,k b 是常数，0k ≠）的图象经过点()2,3A ，若3kx b +=，则x 的值是________.12．若一组数据1，3，a ，2，5的平均数是3，则a =__________.，这组数据的方差是_________.13．在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，∠B=30°，BC=63cm ，P 是BC 上任意一点，过P 作PD//AB ，PE//AC ，则PE+PD 的值为__________________.14．分解因式：2216ax ay -=__________．15．如图，平行四边形ABCD 中，AB=2cm ，BC=12cm ，点P 在边BC 上，由点B 向点C 运动，速度为每秒2cm ，点Q 在边AD 上，由点D 向点A 运动，速度为每秒1cm ，连接PQ ，设运动时间为t 秒．当t =______时，四边形ABPQ 为平行四边形；16．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠ACB ＝30°，D 是BC 上的一点，且知AC ＝20，CD ＝103﹣6，则AD ＝_____．17．等腰梯形的上底是10cm ，下底是16cm ，高是4cm ，则等腰梯形的周长为______cm ．三、解答题18．先观察下列等式，再回答问题：2211+2+()1=1+1=2； 2212+2+()212=2 12； 2213+2+()3=3+13=313；… （1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想第四个等式；（2）请按照上面各等式规律，试写出用 n （n 为正整数）表示的等式，并用所学知识证明． 19．（6分）从甲地到乙地有两条公路，一条是全长600km 的普通公路，另一条是全长480km 的高速公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45km/h ，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间．20．（6分）仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式2x 4x m -+有一个因式是()x 3+，求另一个因式以及m 的值．解：设另一个因式为()x n +，得()()2x 4x m x 3x n -+=++则()22x 4x m x n 3x 3n -+=+++ {n 34m 3n +=-∴=． 解得：n 7=-，m 21=-∴另一个因式为()x 7-，m 的值为21-问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式22x 3x k +-有一个因式是()2x 5-，求另一个因式以及k 的值．21．（6分）某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元.(1)第一批饮料进货单价多少元？(2)若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB 的顶点坐标分别为O （0，0），A （2，4），B （4，0），分别将点A 、B 的横坐标、纵坐标都乘以1．5，得相应的点A '、B '的坐标。
新人教版八年级数学下册《二次根式》复习教案-学习文档
新人教版八年级数学下册《二次根式》复习教案本章主要知识:
1.二次根式性质及运算律
1)（）2=a（a≥0）．
a(a≥0)
2)=/a/={-a(a＜0)
3)·＝（a≥0，b≥0），反之=·（a≥0，b≥0）
4)=（a≥0，b0），反过来=（a≥0，b0）
2.二次根式的应用
(1)二次根式的加减法：通常先把各个二次根式化成最简二次根式，在合并同类二次根式
(2)二次根式的乘法类似与多项式的乘法，运算中公式·＝（a≥0，b≥0），对于二次根式除法，通常是先化成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算，有时可以约分，有时可以利用公式，运算的结果都要化成最简二次根式。
基础题A组
1.计算或化简：
(1)×(2)√6/√216(3)(4)在直角坐标系中，点P（1，）到原点的距离是_________
基础题B组
2.化简下列各式
(1)+(-3)2(2)÷·(3)-(-3)
(4)(-3)(2+1)
3、计算下列各题，并概括二次根式的运算的一般步骤：(1)9+7-5(2)(-4)-(3-4√0.5)
(3)(3+2)(3-2)(4)·(÷√1/y)
5.√
设a、b为实数,且|2-a|+b-2=0
(2)若满足上式的a,b为等腰三角形的两边,求这个等腰三角形的面积?。
八年级数学下册 二次根式复习学案(新版)新人教版
16 二次根式一、学习目标1、了解二次根式的定义，掌握二次根式有意义的条件和性质。
2、熟练进行二次根式的乘除法运算。
3、理解同类二次根式的定义，熟练进行二次根式的加减法运算。
4、了解最简二次根式的定义，能运用相关性质进行化简二次根式。
二、学习重点、难点重点：二次根式的计算和化简。
难点：二次根式的混合运算，正确依据相关性质化简二次根式。
三、复习过程（一）自主复习自学课本第13页“小结”的内容，记住相关知识，完成练习：1．若a ＞0，a 的平方根可表示为___________a 的算术平方根可表示________2．当a______有意义，当a______没有意义。
3________=______=4．________1872_______;4814=÷=⨯5．_______20125_______;2712=-=+（二）合作交流，展示反馈1、式子5454--=--x x x x 成立的条件是什么?2、计算： (1) 25341122÷⨯3． (2) 2(-（三）精讲点拨在二次根式的计算、化简及求值等问题中，常运用以下几个式子：（1）22(0)(0)a a a a =≥=≥与（2）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==0a a 0a 00a a 2 a a （30,0)0,0)a b a b =≥≥=≥≥（40,0)0,0)a b a b =≥>=≥> （5）22222()2()()a b a ab b a b a b a b ±=±++-=-与（四）拓展延伸1、用三种方法化简66解：第一种方法：直接约分第二种方法：分母有理化第三种方法：二次根式的除法2、已知m,m 为实数，满足349922-+-+-=n n n m ， 求6m-3n 的值。
（五）达标测试：A 组1、选择题：（1）化简()25-的结果是（ ）A 5B -5C 士5D 25 （2）代数式24-+x x 中，x 的取值范围是（ ）A 4-≥xB 2>xC 24≠-≥x x 且D 24≠->x x 且（3）下列各运算，正确的是（ ）A 565352=⋅B 532592519==⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-C ()12551255-⨯-=-⨯-D y x y x y x +=+=+2222（40)y >是二次根式，化为最简二次根式是（）0)y > B 0)y >0)y > D ．以上都不对（5）化简2723-的结果是（ ）33A B C D - -2、计算．(1)453227+-(3)2) (4)23)3、已知223,223+=-=b a 求b a 11-的值B 组1、选择：（1）55,51==b a ，则（ ）A a,b 互为相反数B a,b 互为倒数C 5=abD a=b（2）在下列各式中，化简正确的是（ ） A 15335= B 22121±= C b a b a 24= D 123-=-x x x x（3）把(a -中根号外的(1)a -移人根号内得（）A B C D 2、计算：（1）5426362+-- （2）（3）22(-3、归纳与猜想：观察下列各式及其验证过程：,= =(1)按上述两个等式及其验证过程的基本思路， 猜想1544的变化结果并进行验证．(2)针对上述各式反映的规律，写出n(n 为任意自然数，且n ≥2)表示的等式并进行验证．参考答案二次根式(一)（五）拓展延伸1、 (1)1,12x x ≤≠-且 (2)6± (3)8- 2、(1)22(((2)((2x x a a（六）达标测试(A 组)(一)填空题：1、352、（1）x 2 - 9= x 2 -（3）2=（x+ 3）(x-3); （2）x 2 - 3 = x 22).（二）选择题：1、D2、C3、D(B 组)（一）选择题：1、 B2、A（二）填空题:1、 1 2、2(2)(x x x ++ 3、45-，0。
八年级数学下册《二次根式》复习学案
八年级数学下册《二次根式》复习学案
一、二次根式
I.二次根式的定义和概念
1、定义：一般地，形如√ā的代数式叫做二次根式。
当a>0时，√a表示a的算数平方根,√0=0
2、概念：式子√ā叫二次根式。
√ā是一个非负数。
II.二次根式√ā的简单性质和几何意义
1)a≥0;√ā≥0[双重非负性]
2)^2=a[任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式]
3)√表示平面间两点之间的距离，即勾股定理推论。
二、二次根式的乘除
1.积的算数平方根的性质
列如：√ab=√a·√b
2.乘法法则
列如：√a·√b=√ab
二次根式的乘法运算法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
三、二次根式的加减
知识点1：同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式，如这样的二次根式
都是同类二次根式。
判断同类二次根式的方法：
首先将不是最简形式的二次根式化为最简二次根式以后，再看被开方数是否相同。
几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关。
八年级数学下册 16.1《二次根式》二次根式的性质学案1(新版)新人教版
八年级数学下册 16.1《二次根式》二次根式的性质学案1（新版）新人教版
16、1《二次根式》二次根式的性质班级姓名
【学习目标】
1、理解=a（a≥0）并利用它进行计算和化简、
2、通过具体数据的解答，探究=a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题、
【学习重难点】
1、重点：＝a（a≥0）、
2、难点：探究结论、
3、关键：讲清a≥0时，＝a才成立、
(一)
【复习回顾】
1、取何值时，下列各二次根式有意义？①（）
②（）③ （）
（二）自主学习
1、填空：=_______；=_______；=______； =________；
=________；=_______、、因此，一般地：=a（a≥0）
三、合作探究例
1、化简（1）（2）（3）（4）
2、
【归纳】
二次根式的性质：例
2、计算：（1)
=________、5、若是一个正整数，则正整数m的最小值是
________
6、的值是（）、
A、0
B、
C、4
D、以上都不对
7、a≥0时，、、-，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（）、
A、=≥-
B、>>-
C、<<-
D、->=
8、已知0<x<1时，化简的结果是（）A2X-1 B1-2X C
12、若-3≤x≤2时，试化简│x-2│++。
14、在△ABC中，a,b,c是三角形的三边长，试化简备课时间存在问题。
八年级数学下册二次根式复习课学案新人教
二次根式 学习目标1.掌握二次根式有意义的条件和性质。
2.熟练进行二次根式的乘除法运算。
3.理解同类二次根式的定义，熟练进行二次根式的加减法运算。
导学过程【课前复习】1．当a______时，12a -有意义，当a______时，35a +没有意义。
2．2(3)________π-=2(32)______-=3．________1872_______;4814=÷=⨯4．_______20125_______;2712=-=+【自主学习】例1.式子5454--=--x x x x 成立的条件是什么?例2.计算： (1) 341122⨯ (2)321259x y例3.计算(1) 253375-- (2) 2(3223)--【 课堂达标】1.化简()25-的结果是（ ）A.5B.-5C. 士5D.25 2.代数式24-+x x 中，x 的取值范围是_________. 3.化简2723-的结果是_________.4.计算．(1)453227+- (2)162564⨯ ()2412213483+⨯-÷ (4)2(3)x -5.已知223,223+=-=b a 求b a 11-的值【课后作业】1.55,51==b a ，则（ ） A. a,b 互为相反数 B.a,b 互为倒数 C.5=ab D.a=b2.在下列各式中，化简正确的是（ ）A.15335=B.22121±=C.b a b a 24=D.123-=-x x x x3.把1(1)1a a ---中根号外的(1)a -移人根号内得（ ） 1.-a A a B -1. 1.--a C a D --1.4..计算：20082009(23)(23)+⋅-=_________． 5.化简：113232+-+=________________. 4.计算：()2276141⨯÷ ()()62734822÷- ()1089654753-+-()()()6326324-+ ()()252355+ ()()()521036-+【拓展提高】八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．以下是有关环保的四个标志，从图形的整体看，是轴对称图形的是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】根据轴对称图形的定义求解即可得答案．【详解】A，此图案不是轴对称图形，故该选项不符合题意；B、此图案是轴对称图形，故该选项符合题意；C、此图案不是轴对称图形，故该选项不符合题意；D、此图案不是轴对称图形，故该选项不符合题意；故选B．【点睛】本题主要考查轴对称图形，掌握其定义是解题的关键：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．2．下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是（）A．a2﹣1 B．a2+4 C．a2+2a+1 D．a2﹣4a﹣4【答案】C【解析】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A. 21a -不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故错误；B. 24a +不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故错误；C.22 2a 1a 1a ++=+（），符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故正确； D.2 4a 4a --，不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故错误.故选C .【点睛】本题考查因式分解-运用公式法.3．如图，图形中，具有稳定性的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据三角形具有稳定性的性质解答即可．【详解】所有图形里，只有三角形具有稳定性．故选B ．【点睛】本题考查了三角形的稳定性．掌握三角形的稳定性是解答本题的关键．4．如图，已知BAD CAD ∠=∠，欲证ABD ACD ∆≅∆，还必须从下列选项中补选一个，则错误的选项是（ ）A ．ADB ADC ∠=∠B ．BC ∠=∠ C ．BD CD =D ．AB AC =【答案】C 【分析】全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，根据定理逐个判断即可．【详解】A 、符合ASA 定理，即根据ASA 即可推出△ABD ≌△ACD ，故本选项错误； B 、符合AAS 定理，即根据AAS 即可推出△ABD ≌△ACD ，故本选项错误；C 、不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABD ≌△ACD ，故本选项正确；D 、符合SAS 定理，即根据SAS 即可推出△ABD ≌△ACD ，故本选项错误；故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ．5．把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图1）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图2）的对应点所具有的性质是（ ）A ．对应点连线与对称轴垂直B ．对应点连线被对称轴平分C ．对应点连线被对称轴垂直平分D ．对应点连线互相平行【答案】B【分析】根据轴对称的性质结合图形分析可得.【详解】解：观察原图，有用进行了平移，所以有垂直的一定不正确，A 、C 是错误的； 对应点连线是不可能平行的，D 是错误的；找对应点的位置关系可得：对应点连线被对称轴平分．故选B ．6．下列四个命题中，真命题有（ ）①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；②三角形的一个外角大于任何一个内角；③如果1∠和2∠是对顶角，那么12∠=∠；④若22a b =，则a b =．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A 【分析】逐一对选项进行分析即可．【详解】①两条直线被第三条直线所截，内错角不一定相等，故错误；②三角形的一个外角大于任何与它不相邻的两个内角，故错误；③如果1∠和2∠是对顶角，那么12∠=∠，故正确；④若22a b =，则a b =或=-a b ，故错误．所以只有一个真命题．故选：A ．【点睛】本题主要考查真假命题，会判断命题的真假是解题的关键．7．图中的小正方形边长都相等，若MNP MFQ ≌，则点Q 可能是图中的（）A ．点DB ．点C C ．点BD ．点A【答案】A【分析】根据全等三角形的判定即可解决问题．【详解】解：观察图象可知△MNP ≌△MFD ．故选：A ．【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．如图所示的方格纸，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形，那么涂法共有（ ）种．A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A 【分析】根据轴对称的概念作答，如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析，得出共有6处满足题意.【详解】选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，选择的位置有以下几种：1处，2处，3处，4处，5处，6处，选择的位置共有6处． 故选：A ．【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，根据定义构建轴对称图形，成为轴对称图形每种可能性都必须考虑到，不能有遗漏.9．如图, ABC 中, ,,19AB AC AD DE BAD ==∠=︒,14EDC ∠=︒,则DAE ∠的度数为( )A．33︒B．63︒C．44︒D．58︒【答案】B【分析】设∠ADE=x，则∠B+19°=x+14°，可用x表示出∠B和∠C，再利用外角的性质可表示出∠DAE和∠DEA，在△ADE中利用三角形内角和求得x，即可得∠DAE的度数．【详解】解：设∠ADE=x，且∠BAD=19°，∠EDC=14°，∴∠B+19°=x+14°，∴∠B=x-5°，∵AB=AC，∴∠C=∠B=x-5°，∴∠DEA=∠C+∠EDC=x-5°+14°=x+9°，∵AD=DE，∴∠DEA=∠DAE=x+9°，在△ADE中，由三角形内角和定理可得x+ x+9°+ x+9°=180°，解得x=54°，即∠ADE=54°，∴∠DAE=63°故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质，用∠ADE表示出∠DAE和∠DEA是解题的关键．10．下列代数式中，属于分式的是（ ）A ．﹣3B ．1xC ．﹣a ﹣bD ．﹣14【答案】B【分析】根据分式的定义：形如A B，A 、B 是整式，B 中含有字母且B 不等于0的式子叫做分式，逐一判断即可．【详解】解：A ．﹣3不是分式，故本选项不符合题意；B ．1x 是分式，故本选项符合题意；C ．﹣a ﹣b 不是分式，故本选项不符合题意；D ．﹣14不是分式，故本选项不符合题意．故选B ．【点睛】此题考查的是分式的判断，掌握分式的定义是解决此题的关键．二、填空题11．如图，在ABC ∆中，150,20,30A AB AC ∠===则，ABC ∆的面积为__________．【答案】150【分析】过点B 作BD ⊥AC ，根据∠A=150°，可得∠BAD=30°，再由AB=20cm ，可得BD 的长，再根据三角形的面积公式求解即可．【详解】如图，过点B 作BD ⊥AC ，∵∠BAC=150°，∴∠BAD=30°，∴BD=12AB ， ∵AB=20，∴BD=10，∵S △ABC =12AC •BD= 12×30×10=150， 故答案为150 .【点睛】本题考查含30度角的直角三角形，在直角三角形中，如果有一个角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半．12．如图，已知函数y=ax+b 和12y x =的图象交于点P ，根据图象，可得关于x 的二元一次方程组12y ax b y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩的解是_______．【答案】42x y =-⎧⎨=-⎩【分析】根据题意利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．【详解】解：根据函数图可知，y=ax+b 和12y x =的图象交于点P ，P 的纵坐标为-2，代入12y x =，求出P 的坐标为（-4，-2）， 所以方程组12y ax b y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩的解为42x y =-⎧⎨=-⎩. 故答案为42x y =-⎧⎨=-⎩. 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．13．有一个数值转换器，原理如图：当输入x 为81时，输出的y 的值是_____．3【分析】将x 的值代入数值转化器计算即可得到结果．【详解】将x=81代入得：81=9， 将x=9代入得：9=3， 再将x=3代入得3则输出y 的值为3．14．有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为（2a ＋b ），宽为（a ＋b ）的长方形，则需要A 类卡片_____张，B 类卡片_____张，C 类卡片_____张．【答案】2 1 1【分析】首先分别计算大矩形和三类卡片的面积，再进一步根据大矩形的面积应等于三类卡片的面积和进行分析所需三类卡片的数量．【详解】解：长为2a ＋b ，宽为a ＋b 的矩形面积为(2a ＋b )(a ＋b )＝2a 2＋1ab ＋b 2， ∵A 图形面积为a 2，B 图形面积为b 2，C 图形面积为ab ，∴需要A 类卡片2张，B 类卡片1张，C 类卡片1张．故答案为：2；1；1．【点睛】本题考查了多项式与多项式的乘法运算的应用，正确列出算式是解答本题的关键．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．15．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分CAB ∠交BC 于点D ，BE AD ⊥于点E .若28DBE ∠=︒，则∠=CAB _______________．【答案】56°【分析】根据三角形内角和定理证明∠DBE=∠DAC，再根据角平分线的定义即可解决问题．【详解】∵∠C=∠E=90°，∠ADC=∠BDE，∴∠DBE=∠DAC=28°．∵AD平分∠CAB，∴∠CAB=2∠CAD=2×28°=56°．故答案为：56°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解答本题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16．如图，在正方形网格中有两个小正方形被涂黑，再涂黑一个图中其余的小正方形，使得整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形，那么涂法共有_____种．【答案】1【分析】直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案．【详解】解：如图所示：所标数字处都可以使得整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形，共1种涂法．故答案为：1．【点睛】本题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．17．若点P（2−a，2a+5）到两坐标轴的距离相等，则a的值为____．【答案】a=-1或a=-1．【分析】由点P到两坐标轴的距离相等可得出|2-a|=|2a+5|，求出a的值即可．【详解】解：∵点P到两坐标轴的距离相等，∴|2-a|=|2a+5|，∴2-a=2a+5，2-a=-（2a+5）∴a=-1或a=-1.故答案是：a=-1或a=-1．【点睛】本题考查了点到坐标轴的距离与坐标的关系，解答本题的关键在于得出|2-a|=|2a+5|，注意不要漏解．三、解答题18．如图,在等边三角形ABC中,D是AB上的一点,E是CB延长线上一点,连结CD,DE,已知∠EDB=∠ACD，（1）求证:△DEC 是等腰三角形.（2）当∠BDC=5∠EDB, BD=2时,求EB 的长.【答案】（1）证明见解析；（231.【解析】（1）先根据等边三角形的性质可得60ABC ACB ∠=∠=︒，再根据角的和差、外角的性质可得E DCE ∠=∠，然后根据等腰三角形的判定定理即可得证；（2）先根据角的和差倍分求出E ∠的度数，从而可得DEF ∆是等腰直角三角形，再利用直角三角形的性质、等边三角形的性质求出,BF DF 的长，然后由线段的和差即可得．【详解】（1）ABC ∆是等边三角形60A ABC ACB ∴∠=∠=∠=︒E ABC EDB ∠=∠-∠E ACB EDB ∴∠=∠-∠EDB ACD ∠=∠E ACB ACD DCE ∴∠=∠-∠=∠DEC ∴∆是等腰三角形；（2）如图，过点D 作DF BC ⊥于点F6055BDC A ACD ACD BDC EDB ACD ∠=∠+∠=︒+∠⎧⎨∠=∠=∠⎩15ACD ∴∠=︒45E DCE ACB ACD ∴∠=∠=∠-∠=︒DEF ∴∆是等腰直角三角形DF EF ∴=60,90,2DBF DFB BD ∠=︒∠=︒= 2211,32BF BD DF BD BF ∴===-= 31EB EF BF DF BF ∴=-=-=-故EB 的长为31-．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定定理、直角三角形的性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造一个等腰直角三角形是解题关键．19．如图1，公路上有,,A B C 三个车站，一辆汽车从A 站以速度1v 匀速驶向B 站，到达B 站后不停留，以速度2v 匀速驶向C 站，汽车行驶路程y (千米)与行驶时间x (小时)之间的函数图象如图2所示.(1)求y 与x 之间的函数关系式及自变量的取值范围.(2)汽车距离C 站20千米时已行驶了多少时间？【答案】 (1)当0≤x≤3时y=100x ；当3＜x≤4时y=120x-60；(2)236h.【分析】（1）根据函数图象设出一次函数解析式，运用待定系数法求出解析式即可；（2）由图可知，当汽车距离C 站20千米时，y=400，代入解析式，求出时间即可.【详解】解：（1）由图像可知，第一段函数为正比例函数，设为1y k x =，则把点（1，100）代入，解得：1100k =，∴100y x =，当y=300时，有300100x =，解得：3x =；∴第一段函数解析式为：100y x =（03x ≤≤）；设第二段函数为2y k x b =+，把点（3，300）和（4，420）代入，得：2233004420k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：212060k b =⎧⎨=-⎩，∴12060y x =-（34x <≤）；（2）由图可知，当汽车距离C 站20千米时，42020400y =-=，∴40012060x =-， 解得：236x =， ∴汽车距离C 站20千米时已行驶了236小时. 【点睛】本题考查的是一次函数的应用，正确读懂函数图象、从中获取正确的信息、掌握待定系数法求函数解析式的步骤是解题的关键，解答时，注意方程思想的灵活运用．20．如图，ABC ∆三个顶点坐标分别是(1,1),(4,2),(3,4)A B C（1）请画出ABC ∆关于y 轴对称的111A B C ∆；（2）直接写出111,,A B C 的坐标；（3）求出111A B C ∆的面积．【答案】（1）见解析；（2）111(1,1),(4,2),(3,4)A B C ---；（3）52【分析】（1）分别作出A ，B ，C 的对应点A 1，B 1，C 1，依次连接即可．（2）根据点的位置写出坐标即可．（3）利用分割法求三角形的面积即可．【详解】（1）如图,111A B C ∆即为所求；（2）111(1,1),(4,2),(3,4)A B C ---；（3）111A B C ∆的面积为11133213231222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=3591322---=． 【点睛】本题考查作图-对称变换，三角形的面积等知识，根据对称变换得出对应点位置是解题关键． 21．如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD ，AE=AC ．（1）证明：BC=DE ；（2）若AC=13，CE 经过点D ，求四边形ABCD 的面积．【答案】（1）见解析；（2）1692【分析】（1）利用SAS 证明BAC DAE △≌△即可解决问题；（2）根据全等的性质，将四边形ABCD 的面积转化为ACE △的面积，然后根据面积公式求解即可．【详解】（1）∵∠BAD=∠CAE=90°，BAC CAD CAD DAE ∴∠+∠=∠+∠，BAC DAE ∴∠=∠．在BAC 和DAE △中，AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BAC DAE SAS ∴△≌△，BC DE ∴=；（2）BAC DAE ∴△≌△，BAC DAE S S ∴△△=．∵AC=13，111691313222ACE ABCD S S AC AE ∴==⋅=⨯⨯=△四边形 ． 【点睛】 本题主要考查全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 22．2019年，在新泰市美丽乡村建设中，甲、乙两个工程队分别承担某处村级道路硬化和道路拓宽改造工程．己知道路硬化和道路拓宽改造工程的总里程数是1．6千米，其中道路硬化的里程数是道路拓宽里程数的2倍少1千米．（1）求道路硬化和道路拓宽里程数分别是多少千米；（2）甲、乙两个工程队同时开始施工，甲工程队比乙工程队平均每天多施工10米．由于工期需要，甲工程队在完成所承担的13施工任务后，通过技术改进使工作效率比原来提高了15．设乙工程队平均每天施工a 米，若甲、乙两队同时完成施工任务，求乙工程队平均每天施工的米数a 和施工的天数．【答案】（1）道路硬化里程数为5.4千米，道路拓宽里程数为3.2千米；（2）乙工程队平均每天施工20米，施工的天数为160天【分析】（1）设道路拓宽里程数为x千米，则道路硬化里程数为（2x-1）千米，根据道路硬化和道路拓宽改造工程的总里程数是1.6千米，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）设乙工程队平均每天施工a米，则甲工程队技术改进前每天施工（a+10）米，技术改进后每天施工65（a+10）米，由甲、乙两队同时完成施工任务，即可得出关于a的分式方程，解之经检验后即可得出a值，再将其代入3200a中可求出施工天数．【详解】解：（1）设道路拓宽里程数为x千米，则道路硬化里程数为(21)x-千米，依题意，得：(21)8.6x x+-=，解得： 3.2x=，21 5.4x-=∴．答：道路硬化里程数为5.4千米，道路拓宽里程数为3.2千米．（2）设乙工程队平均每天施工a米，则甲工程队技术改进前每天施工(10)a+米，技术改进后每天施工点6(10)5a+米，依题意，得：乙工程队施工天数为3200a天，甲工程队技术改造前施工天数为：15400180031010a a⨯=++天，技术改造后施工天数为：15400(1)30003610(10)5aa⨯-=++天．依题意，得：3200180030001010a a a =+++， 解得：20a =，经检验，20a =是原方程的解，且符合题意，3200a∴160=． 答：乙工程队平均每天施工20米，施工的天数为160天．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，用含a 的代数式表示出施工天数；找准等量关系，正确列出分式方程．23．因式分解: (1)4x 2-9 (2) -3x 2+6xy-3y 2【答案】 (1) (2x+3)(2x-3);(2) 2-3()x y -.【分析】（1）利用平方差公式分解即可；（2）先提公因式，再利用完全平方公式分解即可得出结果.【详解】（1）原式=()2223x -=(2x+3)(2x-3) （2）原式=22-3(2)x xy y -+=2-3()x y - 24．某汽车专卖店销售A ，B 两种型号的新能源汽车.上周售出1辆A 型车和3辆B 型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A 型车和1辆B 型车，销售额为62万元.（1）求每辆A 型车和B 型车的售价各为多少万元？（2）甲公司拟向该店购买A ，B 两种型号的新能源汽车共6辆，且A 型号车不少于2辆，购车费不少于130万元，则有哪几种购车方案？【答案】（1）每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元；（2）共有两种方案：方案一：购买2辆A型车和4辆B型车；方案二：购买1辆A型车和1辆B型车.【分析】（1）每辆A型车和B型车的售价分别是x万元、y万元．构建方程组即可解决问题；（2）设购买A型车a辆，则购买B型车（6﹣a）辆，则依题意得18a+26（6﹣a）≥110，求出整数解即可；【详解】（1）每辆A型车和B型车的售价分别是x万元、y万元．则396 262x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得1826xy=⎧⎨=⎩，答：每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元；（2）设购买A型车a辆，则购买B型车（6﹣a）辆，则依题意得18a+26（6﹣a）≥110，解得a≤114，∴2≤a≤114．a是正整数，∴a＝2或a＝1．共有两种方案：方案一：购买2辆A型车和4辆B型车；方案二：购买1辆A型车和1辆B型车；【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．25．某班级组织学生参加研学活动，计划租用一辆客车，租金为1000元，乘车费用进行均摊.出发前部分学生因有事不能参加，实际参加的人数是原计划的45，结果每名学生比原计划多付5元车费，实际有多少名学生参加了研学活动？【答案】实际有40名学生参加了研学活动【分析】设计划有x 名学生参加研学活动，根据题意列出分式方程即可求解.【详解】解：设计划有x 名学生参加研学活动，由题意得10001000545xx -=.解得，50x =.经检验，50x =是原方程的解. 所以，4405x =.答：实际有40名学生参加了研学活动.【点睛】此题主要考查分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列出分式方程.八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图所示，在ABC ∆与DEF ∆中，AB DE =，BC EF =，90C F ∠=∠=︒.能判定这两个三角形全等的依据是（ ）A ．SSAB ．SASC ．ASSD ．HL【答案】D 【分析】根据直角三角形全等的判定方法解答即可．【详解】在△ABC 与△DEF 中，AB=DE ，BC=EF ，∠C=∠F=90°，根据HL 可以判定这两个三角形全等，故选项D 符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用直角三角形全等的判定．2．如图：若函数11y x =--与23y ax =-的图象交于点(),2P m -,则关于x 的不等式13x ax --<-的解集是（ ）A ．1x <B ．1x >C ．2x <-D ．2x >- 【答案】B【分析】首先得出m 的值，再观察函数图象得到，当1x >时，一次函数3y ax =-的图象都在一次函数1y x =--的图象的上方，由此得到不等式13x ax --<-的解集．【详解】∵函数11y x =--与23y ax =-的图象相交于点()2P m -，， ∴21m -=--，解得：1m =，观察函数图象得到：关于x 的不等式13x ax --<-的解集是：1x >．故选：B ．【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．3．下列图形经过折叠不能围成棱柱的是（ ）.A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】试题分析：三棱柱的展开图为3个矩形和2个三角形，故B 不能围成.考点：棱柱的侧面展开图.4．已知一个等腰三角形底边的长为5cm ，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为3cm ，则腰长为（ ）A ．2cmB ．8cmC ．2cm 或8cmD ．10cm【答案】B【详解】解：如图，∵BD 是△ABC 的中线，∴AD=CD ，∴两三角形的周长的差等于腰长与底边的差， ∵BC=5cm ，∴AB-5=3或5-AB=3，解得AB=8或AB=2，若AB=8，则三角形的三边分别为8cm 、8cm 、5cm ， 能组成三角形，若AB=2，则三角形的三边分别为2cm 、2cm 、5cm ， ∵2+2=4＜5，∴不能组成三角形，综上所述，三角形的腰长为8cm ．故选：B ．故选B ．5．若分式211x x -+的值为零，那么x 的值为( ) A ．1x =-或1x =B ．0x =C ．1x =D ．1x =-【答案】C【分析】根据分式的值为0的条件分子为0，分母不能为0，得到关于x 的方程以及不等式，求解即可得出答案． 【详解】分式2x 1x 1-+的值为零，2x 10∴-=，x 10+≠，解得：x 1=，故选C ．【点睛】本题考查了分式值为0的条件，熟练掌握分式值为0的条件是解题的关键.6．把式子()()()()()2482562121212121++++⋅⋅⋅+化筒的结果为（ ） A ．102421-B ．102421+C ．51221-D ．51221+【答案】C 【分析】添一项2-1后，与第一个括号里的数组成平方差公式，依次这样计算可得结果．【详解】解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（2256+1），=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（2256+1），=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）…（2256+1），=（24-1）（24+1）（28+1）…（2256+1），=（28-1）（28+1）…（2256+1），=（216-1）（216+1）…（2256+1），…=2512-1．故选：C【点睛】本题考查了利用平方差公式进行计算，熟练掌握平方差公式是解题的关键．7．已知P 1（-3，y 1），P 2（2，y 2）是一次函数y=2x+1的图象上的两个点，则y 1， y 2的大小关系是( )A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1= y2D．不能确定【答案】B【分析】先根据一次函数y=2x+1中k=2判断出函数的增减性，再根据-3＜2进行解答即可．【详解】∵一次函数y=2x+1中k=2>0，∴此函数是增函数，∵−3<2，∴y1<y2.故选B.【点睛】本题考查了一次函数的知识点，解题的关键是熟练的掌握一次函数的性质与其图象上点的坐标特征.8．已知11xy==-⎧⎨⎩是方程230x my--=的一个解，那么m的值是( )A．1 B．3 C．－3 D．－1 【答案】A【解析】把11xy==-⎧⎨⎩代入230x my--=得2+m-3=0,解得m=1故选A9．一个正多边形，它的一个内角恰好是一个外角的4倍，则这个正多边形的边数是（）A．八B．九C．十D．十二【答案】C【分析】可设正多边形一个外角为x，则一个内角为4x，根据一个内角和一个外角互补列方程解答即可求出一个外角的度数，再根据多边形的外角和为360°解答即可．【详解】设正多边形一个外角为x，则一个内角为4x，根据题意得：x+4x=180°x=36°360°÷36°=10故这个正多边形为十边形．故选：C【点睛】本题考查的是正多边形的外角与内角，掌握正多边形的外角和为360°是关键．10．下列各多项式从左到右变形是因式分解，并分解正确的是（）A．2---=--+()()()(1)a b b a a b a bB．2++=++(2)(3)56x x x xC．22-=-+49(49)(49)a b a b a bD．222()()2-+=+-+m n m n m n【答案】A【分析】直接利用因式分解的定义进而分析得出答案．【详解】解：A、2---=--+，是因式分解，故此选项正确；()()()(1)a b b a a b a bB、（x+2）（x+3）=x2+5x+6，是整式的乘法运算，故此选项错误；C、4a2-9b2=（2a-3b）（2a+3b），故此选项错误；D 、m 2-n 2+2=（m+n ）（m-n ）+2，不符合因式分解的定义，故此选项错误．故选：A ．【点睛】此题主要考查了因式分解的意义，正确把握因式分解的定义是解题关键．二、填空题11．已知11x y +=3，则3x xy yxy ++=_____． 【答案】43【分析】首先将已知变形进而得出x ＋y ＝3xy ，再代入原式求出答案．【详解】∵11x y +=3， ∴3x yxy +=，∴x+y=3xy ∴3x xy y xy ++=3433xy xy xy += 故答案为：43．【点睛】此题主要考查了分式的值，正确将已知变形进而化简是解题关键．12．_________.【分析】根据相反数的意义，可得答案．【详解】−3 的相反数是3，故答案为3.【点睛】本题考查相反数，掌握相反数的定义是关键.13．如图，若△ABC ≌△ADE ，且∠B=65°，则∠BAD= ．【答案】50°【解析】试题分析：由全等三角形的性质可知AB=AD ，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得到答案．∵△ABC ≌△ADE ， ∴AB=AD ， ∴∠B=∠ADB ， ∵∠B=65°， ∴∠BAD=180°﹣2×65°=50°考点：全等三角形的性质．14．我国许多城市的“灰霾”天气严重，影响身体健康．“灰霾”天气的最主要成因是直径小于或等于2.5微米的细颗粒物（即 2.5PM ），已知2.5微米0.0000025=米，此数据用科学记数法表示为__________米．【答案】62.510-⨯【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】60.0000025 2.510-=⨯，故答案为62.510-⨯．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．15．若分式221x x -+的值为零，则x 的值等于_____． 【答案】1【解析】根据题意得：x ﹣1=0，解得：x=1．此时1x +1=5，符合题意，故答案为1．16．如图，两个四边形均为正方形，根据图形的面积关系，写出一个正确的等式__________.【答案】222()2a b a ab b +=++【分析】根据图形的分割前后面积相等，分别用大正方形的面积等于分割后四个小的图形的面积的和，即可得出结论.【详解】如图可知，把大正方形分割成四部分，大正方形的边长为()a b +，大正方形面积为2()a b +，两个小正方形的面积分别为2a 、2b ，两个长方形的面积相等为ab ，所以有222()2a b a ab b +=++，故答案为：222()2a b a ab b +=++..【点睛】分割图形，找到分割前后图形的关系，利用面积相等，属于完全平方公式的证明，找到a、b的关系式，即可得出结论.17．已知：1232724839x x--⎛⎫⎛⎫•=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则x=_______________【答案】-2【分析】根据幂的乘方、负指数幂及同底数幂的运算公式即可求解.【详解】∵123 2724 839x x--⎛⎫⎛⎫•= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴33232 322 233x x--⎛⎫⎛⎫⎛⎫•=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故33232 222 333x x--⎛⎫⎛⎫⎛⎫•=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴3-3x+2x-3=2, 解得x=-2，故填：-2.【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算公式及运用.三、解答题18．已知：如图，C 为线段BE 上一点，//AB DC ，AB EC =，BC CD =．求证：ACD E ∠=∠．【答案】详见解析【分析】由题意利用平行线性质和直接利用全等三角形的判定方法得出△ABC ≌△ECD ，即可得出答案．【详解】证明：//AB DCB ECD ∴∠=∠，A ACD ∠=∠在ABC ∆和ECD ∆中，AB EC B ECD BC CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABC ECD ∆≅∆()SASA E ∴∠=∠（全等三角形的对应角相等），ACD E ∴∠=∠（等量代换）．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．。
八年级数学下册二次根式教案新版新人教版
第十六章二次根式1.理解二次根式的概念.2.理解(a≥0)是一个非负数,()2=a(a≥0),=a(a≥0).3.掌握·=(a≥0,b≥0),=·(a≥0,b≥0),=(a≥0,b>0),=(a≥0,b>0).4.了解最简二次根式的概念,并能灵活运用其对二次根式进行加减.1.通过先提出问题,让学生探讨、分析问题,师生共同归纳得出概念,再对概念的内涵进行分析,得出几个重要结论,并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简.2.让学生用具体数据探究规律,采用不完全归纳法得出二次根式的乘(除)法法则,并运用法则进行计算.3.让学生利用逆向思维,得出二次根式的乘(除)法法则的逆向等式,并运用它们进行化简.4.通过分析前面的计算和化简结果,抓住它们的共同特点,给出最简二次根式的概念.利用最简二次根式的概念,让学生对被开方数相同的二次根式进行合并,达到对二次根式进行计算和化简的目的.1.培养学生利用二次根式的性质和重要结论进行准确计算的能力,培养学生一丝不苟的科学精神.2.经过探索二次根式的重要结论和二次根式的乘除法法则,发展学生观察、分析、发现问题的能力.二次根式是新课标中数与代数领域的重要内容,它是在前面平方根、立方根的基础上进行学习的,是对代数式及实数等内容的延伸与补充.同时,也是后继学习勾股定理、一元二次方程的求根公式及三角形的边角关系等内容的学习基础.因此,本章的相关知识对于整个初中阶段学习数与代数有着承前启后的重要意义.本章内容分为三节,第一节主要学习二次根式的概念和性质;第二节是二次根式的乘法和除法运算,主要研究二次根式的乘除法运算法则和二次根式的化简;第三节是二次根式的加法和减法运算,主要研究二次根式的加减法运算法则和二次根式的化简.【重点】1.对(a≥0)是一个非负数的理解和对()2=a(a≥0),=a(a≥0)的理解及应用.2.二次根式乘除法的法则及其运用.3.最简二次根式的概念.4.二次根式的加减运算.【难点】1.对(a≥0)是一个非负数的理解和对等式()2=a(a≥0),=a(a≥0)的理解及应用.2.二次根式的乘法、除法的条件限制.3.利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式.1.通过前面的学习,我们已经知道了平方根、立方根的概念和求法,实数的有关概念和运算,对数的认识已经由有理数的范围扩大到实数范围,并对实数的运算性质和运算法则有了初步的感受.因此,本章应充分注意与已有经验的联系.同时,本章内容与整式也有着密切的联系.由于数式通性,当将二次根式中的实数看成字母时,二次根式的运算实际上就是整式的运算,所以整式的运算法则和公式在二次根式的运算中仍然适用.因此本章强调了与整式相关内容的联系.2.对于一些重要结论,要注意经历观察、思考、讨论等探究活动归纳得出结论的过程.例如,对于二次根式的乘法法则,首先利用二次根式的概念和性质进行具体的计算,并观察所得结果发现二次根式相乘与积的算术平方根之间的关系,并利用发现的规律进行计算,再归纳得出二次根式的乘法运算法则.这个过程实际上就是反映了一个由特殊到一般的认识过程.要通过这样的探究活动来发展我们的思维能力,有效改变学生的学习方式.3.熟练掌握二次根式的概念和运算需要一定的训练,可以适当增加练习,以便较好地理解二次根式的意义,较好地掌握二次根式的性质和运算,为后续学习打下良好的基础.16.1二次根式2课时16.2二次根式的乘除2课时16.3二次根式的加减2课时单元概括整合1课时16.1二次根式1.了解二次根式的概念,理解二次根式有意义的条件.2.掌握二次根式的性质,并能将二次根式的性质运用于化简.3.了解最简二次根式的概念,会判断一个二次根式是不是最简二次根式.经历观察、比较,总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程,发展学生的归纳概括能力.经历观察、比较和应用等数学活动,感受数学活动充满了探索性和创造性,体验发现的快乐,并提高应用的意识.【重点】会求二次根式中字母的取值范围,理解和掌握二次根式的性质,熟练化简二次根式.【难点】运用二次根式的双重非负性解决问题,二次根式性质的综合运用.第课时使学生理解并掌握二次根式的概念,掌握二次根式中被开方数的取值范围和二次根式的取值范围.经历观察、比较,总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程,发展学生的归纳概括能力.经历观察、比较和应用等数学活动,感受数学活动充满了探索性和创造性,体验发现的快乐,并提高应用的意识.【重点】了解二次根式的概念,理解二次根式有意义的条件.【难点】会求二次根式中字母的取值范围.【教师准备】教学所需的习题资料.【学生准备】复习平方根和立方根的有关知识.导入一:唐僧师徒在万寿山五庄观做客.猪八戒来到后花园,看见人参果树上结满了人参果,嘴馋得直流口水.正准备伸手摘时,突然一道金光,在同一个枝头上一大一小的两个果子同时掉了下来,噗的一声同时着地.有爱好数学的电视迷算了人参果下落的时间t与h之间的关系式为t=,你觉得他算的正确吗?要解决这个问题,我们得从二次根式说起.[设计意图]将数学问题融入到学生喜爱的神话故事中,激发学生学习的兴趣,拉近了数学与学生的距离,为探究本节课奠定了基础.导入二:1.教师出示复习题:(1)4的平方根是;0的平方根是;-16的平方根是.(2)5的平方根是;5的算术平方根是.学生口答:(1)4的平方根是±2;0的平方根是0;-16没有平方根.(2)5的平方根是±;5的算术平方根是.2.教师出示教材第2页“思考”题:用带有根号的式子填空,看看写出的结果有什么特点:(1)面积为3的正方形的边长为,面积为S的正方形的边长为.(2)一个长方形的围栏,长是宽的2倍,面积为130 m2,则它的宽为m.(3)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t(单位:s)与开始落下时离地面的高度h(单位:m)满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t,那么t为.学生思考后回答,教师补充得出答案:(1),;(2);(3).[设计意图]以回顾练习和思考的形式引导学生回忆,巩固所学知识,并引入新课.1.二次根式的概念[过渡语](针对导入二)让我们一起来看下面的问题:上面得到的式子,,,分别表示什么意义?它们有什么共同特征?教师引导学生说出各式的意义,概括它们的共同特征:都表示一个非负数(包括字母或式子表示的非负数)的算术平方根.讨论:你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗?学生小组讨论,全班交流.教师由此给出二次根式的定义:一般地,我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式,“”称为二次根号.追问:在二次根式的概念中,为什么要强调“a≥0”?教师引导学生举出例子说明,经过讨论知道二次根式被开方数必须是非负数.[设计意图]让学生在填空过程中初步感知二次根式与实际生活的紧密联系,体会研究二次根式的必要性,再让学生体会由特殊到一般的过程,培养学生的概括能力,最后通过讨论二次根式中被开方数a≥0,进一步加深学生对二次根式被开方数必须是非负数的理解.思路二像,,,这样的式子有什么共同特点呢?学生观察,交流发现:一是从形式上看,都含有二次根号;二是被开方数的取值范围有限制:被开方数必须是非负数.教师进一步明确:形如(a≥0)的式子叫做二次根式.引导学生说一说对二次根式的认识:(1)表示a的算术平方根;(2)a可以是数,也可以是代数式;(3)从形式上看,含有二次根号;(4)a≥0,≥0.[设计意图]加深对二次根式的理解,进一步明确二次根式的非负性.[过渡语]二次根式的定义怎样理解?让我们一起来学习几个例题.下列各式中,哪些是二次根式?并指出二次根式中的被开方数.,,,(x≥3),(y>-1),,,(xy>0).引导学生观察根指数和被开方数分析发现:显然不是二次根式(因为它的根指数是4,含有四次根号),其余式子都含有二次根号,关键看根号下的被开方数是否为非负数.若根号下是负数,则二次根式没有意义.解:,(x≥3),,(xy>0)是二次根式.其中被开方数依次是7,x-3,(x+1)2,.[解题策略]①当被开方数形式是含有字母的代数式时,可以把这个代数式看成一个整体.如的被开方数是x2+2015.②当被开方数形式比较复杂时,可以将这个被开方数适当化简.如,因为(-3)2-7=9-7=2,所以它的被开方数其实就是2.【变式训练】下列各式中,一定是二次根式的是()A. B.C. D.(其中a<0)〔解析〕的被开方数-9<0,的被开方数m-1可能是负数,的根指数是3,所以选项A,B,C 中的式子都不是二次根式.含有二次根号,并且无论a取什么负数,被开方数a2+8都是正数,所以一定是二次根式.故选D.(教材例1)当x是怎样的实数时,在实数范围内有意义?引导学生从概念出发进行思考:二次根式的被开方数为非负数,则x-2≥0.解:由x-2≥0,得x≥2.当x≥2时,在实数范围内有意义.【变式训练】若式子1+有意义,则x的取值范围是.〔解析〕根据二次根式的性质可知:x+1≥0,即x≥-1;又因为分式的分母不能为0,所以x的取值范围是x≥-1且x≠0.故填x≥-1且x≠0.[易错分析]容易产生只考虑到x+1≥0,而忽略了x≠0的错误.[设计意图]通过变式训练,加深学生对二次根式被开方数为非负数的理解,提高学生对所学知识的迁移能力和应用意识.[知识拓展](1)二次根式的定义是从代数式的结果和形式上界定的,必须含有二次根号“”,如,都是二次根式,而就不是二次根式了.(2)在二次根式中,被开方数可以是具体的数,也可以是含有字母的单项式、多项式、分式等代数式.(3)形如b(a≥0)的式子也是二次根式,其表示的是b与的乘积,如3表示3×,-表示-×,但是不能写成3的形式.(4)当a≥0时,表示a的算术平方根.也就是说,有意义的条件是a≥0.(5)当a是非负数时,(其中a≥0)本身也是一个非负数.师生共同回顾本节课所学主要内容:知识要点关键点注意事项二次根式的概念形如≥0(a≥0)的式子叫做二次根式,其中被开方数是a被开方数也可以是含有字母的单项式、多项式、分式等二次根式有意义的条件被开方数必须是非负数求解二次根式中字母的取值范围,要注意根号下的式子整体不小于零1.已知下列各式:,(a≥2),,,其中二次根式的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:的被开方数不是非负数,所以不是二次根式,其余3个都是二次根式.故选C.2.(2014·南通中考)若在实数范围内有意义,则x的取值范围是()A.x≥B.x≥-C.x>D.x≠解析:是二次根式,因此2x-1≥0,在分母上,因此≠0.则解得x>.故选C.3.当x=时,二次根式有最小值,其最小值是.解析:∵二次根式有意义,∴x+3≥0,即x+3的最小值是0,∴x+3=0,解得x=-3.答案:-304.求下列各式中字母a的取值范围:(1);(2);(3);(4).解:(1)由a+1≥0,得a≥-1.∴字母a的取值范围是大于或等于-1的实数. (2)由>0,得1-2a>0,即a<.∴字母a的取值范围是小于的实数. (3)因为无论a取何值,都有(a-3)2≥0,所以字母a的取值范围是全体实数. (4)因为无论a取何值,都有|a|+1>0,所以字母a的取值范围是全体实数.第1课时1.二次根式的概念2.例题讲解例1例2一、教材作业【必做题】教材第3页练习第1,2题;教材第5页习题16.1第1题.【选做题】教材第5页习题16.1第7题.二、课后作业【基础巩固】1.若是二次根式,则下列结论正确的是()A.x≥0,y≥0B.x>0,y>0C.x,y同号D.≥02.已知实数x,y,m满足+=0,且y为负数,则m的取值范围是()A.m>6B.m<6C.m>-6D.m<-63.如果式子+有意义,那么在直角坐标系中点A(a,b)的位置在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.(2015·遵义中考)使二次根式有意义的x的取值范围是.【能力提升】5.当x 时,+在实数范围内有意义.6.(2015·攀枝花中考)若y=++2,则x y=.7.已知x,y为实数,且满足-(y-1)=0,求x2016-y2016的值.8.已知实数a满足+=a,求a-20142的值.【拓展探究】9.若x,y,n满足关系式+=·,试确定m的值.【答案与解析】1.D(解析:依题意得≥0,即≥0.故选D.)2.A(解析:根据题意,结合非负数的性质,得=0,=0,所以解得因为y是负数,所以6-m<0.解得m>6.故选A.)3.A(解析:根据二次根式有意义的条件,易得a>0,b>0.故选A.)4.x≥(解析:要使二次根式有意义,则需满足5x-2≥0,∴x≥.)5.≥-且x≠-1(解析:要使+在实数范围内有意义,必须同时满足的被开方数2x+3≥0和的分母x+1≠0,即由①得x≥-,由②得x≠-1.∴当x≥-且x≠-1时,+在实数范围内有意义.)6.9(解析:由题意得x-3≥0,3-x≥0,得x=3,故y=2,∴x y=9.)7.解:∵-(y-1)=0,∴+(1-y)=0.∴x+1=0,1-y=0.解得x=-1,y=1.∴x2016-y2016=(-1)2016-12016=1-1=0.8.解:由a-2015≥0,得a≥2015,故已知式子可化为a-2014+=a.∴=2014.两边平方并整理,得a-20142=2015.9.解:由等式的右边,根据二次根式有意义的条件得x-2013+y≥0且2013-x-y≥0,得x+y≥2013且x+y≤2013,所以x+y=2013.所以+=0.所以①-②,得x+2y=2.又x+y=2013,两式相加,得2x+3y=2015.所以m=2015.我们经常说过程比结果更重要.我对整节课的设计力求符合学生的认知特点,想方设法创设生动活泼的教学情境,使学生始终处在好奇、好学的高亢的学习情绪当中,同时,整节课努力做到先有框架,中有深化,后有突破.学生学有情趣,学有所获,并由衷感到:学习是快乐的事,学会了更是幸福的事.在教学中,我适当增加了有拓展性的练习,层层递进,想使不同的学生得到不同程度的发展和提高,但受到教材中练习题的局限,就当a是非负数时,本身也是一个非负数的练习没有落实到位.根据教学时间多少调整例题教学,适当增加对二次根式非负性的例题的讲解,注重变式练习,以加深对二次根式具有双重非负性的理解.练习(教材第3页)1.解:设长方形的长和宽分别为3a cm,2a cm.由题意,得3a·2a=18,∴a2=3,a=(舍去a=-),∴3a=3,2a=2.故长方形的长取3 cm,宽取2 cm.2.解:(1)当a-1≥0,即a≥1时,有意义. (2)当2a+3≥0,即a≥-时,有意义. (3)当-a ≥0,即a≤0时,有意义. (4)当5-a≥0时,即a≤5时,有意义.若x,y为实数,且满足y=+-3,求x+2y的值.〔解析〕根据二次根式的被开方数不小于0,求得x,y的值,然后将其代入所求的代数式并计算.解:由二次根式有意义的条件得即x2-4=0,所以x=±2.当x=±2时,y=-3.①当x=2,y=-3时,x+2y=2+2×(-3)=-4;②当x=-2,y=-3时,x+2y=-2+2×(-3)=-8.所以x+2y的值是-4或-8.[解题策略]根据已知得出并得到x=±2是解决本题的关键.已知(3a-6)2+=0,求b a的值.〔解析〕根据非负数的性质:若两个非负数的和为0,则这两个非负数的值都为0,解出a,b的值,再代入原式中计算.解:因为(3a-6)2与都是非负数,且它们的和为0,所以3a-6=0,b-3=0,即a=2,b=3.此时b a=32=9.[解题策略]本题考查了非负数的性质,初中阶段有三种类型的非负数:(1)绝对值;(2)偶次方;(3)二次根式(算术平方根).当它们的和为0时,必须满足其中的每一项都等于0.根据这个结论可以求解这类问题.第课时1.理解()2=a(a≥0)和=a(a≥0),并利用它们进行计算和化简.2.用具体数据结合算术平方根的意义推出()2=a(a≥0)和探究=a(a≥0),会用这个结论解决具体问题.3.了解代数式的概念.在明确()2=a(a≥0)和=a(a≥0)的算理的过程中,感受数学的实用性.通过运用二次根式的性质化简的相关计算,解决一些实际问题,培养学生解决问题的能力.【重点】掌握二次根式的性质,并能将二次根式的性质运用于化简.【难点】能运用二次根式的性质化简.【教师准备】教学所需的习题资料.【学生准备】自学教材第3~4页的内容.导入一:教师出示问题:先化简再求值:当a=9时,求a+值,甲、乙两人的解答如下:甲的解答为:原式=a+=a+(1-a)=a+1-a=1;乙的解答为:原式=a+=a+(a-1)=2a-1=17.两种解答中,谁的解答是错误的呢?本节课,我们一起来学习二次根式的性质,然后就可以解决上面的问题了.[设计意图]以问题设疑,发挥问题导向作用,激发学生的求知欲,为本节课学习打下基础.导入二:1.什么叫二次根式?2.当a≥0时,叫什么?当a<0时,有意义吗?学生口答,老师点评.通过前面的学习,我们知道了二次根式具有双重非负性.今天我们主要学习一些二次根式的其他性质.[设计意图]复习旧知导入新知,让本节课自然过渡,为本节课学习奠定了基础.思路一1.二次根式的性质1:()2=a(a≥0)[过渡语]我们先来探究性质1:()2=a(a≥0).()2,()2,,()2.学生口述,教师根据情况评价.()2表示4的算术平方根的平方;()2表示2的算术平方根的平方;表示的算术平方根的平方;()2表示0的算术平方根的平方.追问:根据算术平方根的意义填空,并说出得到结论的依据.()2=;()2=;=;()2=.学生独立完成填空后,让学生展示其思维过程,说出得到结论的依据.教师引导学生说出每一个式子的含义.是4的算术平方根,根据算术平方根的意义,是一个平方等于4的非负数,因此有()2=4.是2的算术平方根,根据算术平方根的意义,是一个平方等于2的非负数,因此有()2=2. 是的算术平方根,根据算术平方根的意义,是一个平方等于的非负数,因此有=.表示0的算术平方根,因此有()2=0.讨论:从以上的结论中你能发现什么规律?你能用一个式子表示这个规律吗?引导学生归纳得出二次根式的性质:一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数,即()2=a(a≥0).(教材例2)计算:(1)()2;(2)(2)2.学生独立完成,两名学生板演,再集体订正.〔解析〕(1)直接运用()2=a(a≥0)化简即可.(2)运用幂的性质(ab)2=a2b2.解:(1)()2=1.5.(2)(2)2=22×()2=4×5=20.[解题策略]把底数看成根号外因数与二次根式的积,按照积的乘方计算即可.【变式训练】计算:(-2)2.〔解析〕把原式的底数看成是-2与的积,先利用(mn)2=m2n2,再根据()2=a(a≥0)化简.解:(-2)2=(-2)2()2=4×3=12.[知识拓展]形如(x)2的关于二次根式的运算可结合(ab)2=a2b2得到(x)2=x2a.[设计意图]让学生经历从特殊到一般的过程,概括出二次根式的性质1,培养学生抽象概括的能力,并通过例题和变式训练及时巩固二次根式的性质1,学会灵活运用.2.二次根式的性质2:=a(a≥0)[过渡语]我们再来探究一下性质2:=a(a≥0).,,,.教师引导学生说出每一个式子的含义.表示2的平方的算术平方根;表示0.1的平方的算术平方根;表示的平方的算术平方根;表示0的平方的算术平方根.追问:根据算术平方根的意义填空,并说出得到结论的依据.=;=;=;=.学生独立完成填空后,让学生展示其思维过程,说出得到结论的依据.∵4=22,∴=2,因此=2;∵0.01=0.12,∴=0.1,因此=0.1;∵=,∴=,因此=;∵0=02,∴=0,因此=0.讨论:从以上的结论中你能发现什么规律?你能用一个式子表示这个规律吗?引导学生归纳得出:一个非负数的平方的算术平方根等于这个数.即=a(a≥0).(教材例3)化简:(1);(2).引导学生根据=a(a≥0)进行分析:(1)因为16=42,所以=,再计算即可得出结果.(2)因为(-5)2=52,所以=.学生独立完成,集体订正.解:(1)==4.(2)==5.[知识拓展](1)中的a的取值范围可以是任意实数,即不论a取何值,一定有意义.(2)化简时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数,若是正数或0,则等于a本身,即=a(a≥0);若a是负数,则等于a的相反数-a,即=-a(a<0).小组讨论:()2和有什么关系?学生自由讨论,教师根据情况引导学生从式子的意义和结果两个方面去分析,得出: ()2表示a的算术平方根的平方,()2=a(a≥0);表示a的平方的算术平方根,=|a|=[设计意图]让学生经历从特殊到一般的过程,概括出二次根式的性质2,培养学生抽象概括的能力,并通过例题练习及时巩固二次根式的性质2.思路二请同学们阅读和自学课本第3~4页的内容,并思考下面的问题:1.(1)填空:()2=;()2=;=;()2=;=;()2=. (2)猜想当a≥0时,()2=.2.(1)观察下列各式的特点,找出各式的共同规律,并用表达式表示你发现的规律.==;==;==;==;….通过观察,你得到的结论是什么?试着说一说.(2)发现:当a≥0时,=,当a<0时,=.学生用充足的时间学习后,交流学习情况,教师分析并讲解.1.(1)根据算术平方根与乘方运算的关系,得=2,所以()2=22=4;=4,所以()2=42=16;=,所以==.根据以上规律,可以得出()2=2;=;()2=0.(2)从第(1)问可以发现,一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数,即()2=a(a≥0).2.先计算==2;==2;==3;==3;….可以看出:一个正数的平方的算术平方根等于这个数,一个负数的平方的算术平方根等于这个数的相反数.于是当a≥0时,=a,当a<0时,=-a.归纳并板书:二次根式的性质:1.()2=a(a≥0);2.=a(a≥0).提问:()2和有什么关系?学生自由讨论,教师根据情况引导学生从式子的意义和结果两个方面去分析,得出: ()2表示a的算术平方根的平方,()2=a(a≥0);表示a的平方的算术平方根,=|a|=[设计意图]在计算的基础上,引导学生观察、猜想、归纳得出二次根式的两个性质,并从式子的意义和结果进行比较,得出二者之间的关系.3.代数式提问:回顾我们学过的式子,如a+b,-ab,,-x3,,(a≥0),这些式子有哪些共同特征?学生概括式子的共同特征,得出代数式的概念.这些式子都是用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的式子为代数式.学生举出一些例子,并书写,教师针对学生书写出现问题的地方进行指导.[设计意图]学生通过观察式子的共同特征,形成代数式的概念,培养学生的概括能力.4.例题讲解(补充)计算:(-5)2,,-.〔解析〕利用()2=a(a≥0)和=a(a≥0)化简,注意被开方数的符号.解:(-5)2=(-5)2×()2=25×2=50.==.-=-=-.(补充)比较2与3的大小.〔解析〕直接比较这两个二次根式的大小不太容易,由于这两个二次根式平方后得到两个有理数,因此可以通过比较这两个二次根式平方的大小来比较它们的大小.解:∵(2)2=22×()2=44,(3)2=32×()2=45,又∵44<45,且2>0,3>0,∴2<3.师生共同回顾本节课所学主要内容:知识要点关键点注意事项()2=a(a≥0) 任何非负数的算术平方根的平方,其结果仍然是它本身被开方数a是非负数=|a|= 任何实数的平方的算术平方根是它的绝对值底数a可以是任何实数代数式用运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫代数式①式子中不能出现“=,≠,≥,≤,<,>”;②单个的数字或单个的字母也是代数式1.计算的结果是()A.-3B.3C.-9D.9解析:==3.故选B.2.下列各式:①m2-3;②(a>0);③a-1=6;④3x-5>0;⑤;⑥66.其中代数式的个数是()A.2个B.3个C.4个D.5个解析:③a-1=6是方程,不是代数式;④3x-5>0是一元一次不等式,也不是代数式;其余都是代数式.故选C.3. +的值是.解析:+=2+2=4.故填4.4.(1)当x 时,=2-x成立;(2)计算=.解析:(1)当x-2≤0时,=2-x,所以x≤2;(2)因为3<π,所以3-π<0,因此=π-3.答案:(1)≤2(2)π-35.计算:(1);(2)(2)2;(3);(4)(-)2.解:(1)=0.9. (2)(2)2=22×()2=12. (3)=(-2)2×=2.(4)(-)2=(-1)2×()2=15.第2课时1.二次根式的性质1:()2=a(a≥0)例12.二次根式的性质2:=a(a≥0)例23.代数式4.例题讲解例3例4一、教材作业【必做题】教材第4页练习第1,2题;教材第5页习题16.1第2,3,4,5,6题.【选做题】教材第5页习题16.1第7,8,9,10题.二、课后作业【基础巩固】1.已知二次根式的值为3,那么x的值是()A.3B.9C.-3D.3或-32.若=1-2a,则()A.a<B.a≤C.a>D.a≥3.(2015·杭州中考)若k<<k+1(k是整数),则k等于()A.6B.7C.8D.94.实数a,b在数轴上的位置如图所示,则化简-|a+b|的结果为()A.2a+bB.-2a+bC.bD.2a-b【能力提升】5.若是一个正整数,则正整数m的最小值是.6.在实数范围内分解因式:(1)x2-3=;(2)n5-6n3+9n=.7.列出下列代数式:(1)面积为3的圆的半径;(2)面积为S且两条邻边之比为3∶5的长方形的长、宽.8.计算:(1);(2)(3)2;(3);(4)-;(5).9.先化简,再求值:-,其中x=6.【拓展探究】10.对于题目“化简并求值:+,其中a=”,甲、乙两人的解答不同.甲的解答是:+=+=+-a=-a=;乙的解答是:+=+=+a-=a=.谁的解答是错误的?为什么?【答案与解析】1.D(解析:根据题意得x2=9,解得x=±3.故选D.)2.B(解析:由已知得2a-1≤0,解得a≤.故选B.)3.D(解析:本题主要考查了算术平方根的化简及算术平方根的估算,而<<,即9<<10,所以k=9.)。
八年级数学下册 16.1.2 二次根式性质学案(新版)新人教版
八年级数学下册 16.1.2 二次根式性质学案
（新版）新人教版
16、1、2二次根式性质(2)》学习目标：
1、理解=a（a≥0）并利用它进行计算和化简、
2、通过具体数据的解答，探究=a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题、重点：＝a（a≥0）、难点：探究结论讲清a≥0时，＝a才成立、学法提示：
自主研学合作探究学习过程：
一、复习引入：取何值时，下列各二次根式有意义？①
（）②（）③ （）
二、自主学习：自学课本4页
1、填空：=_______；=_______；=______； =________；
=________；=_______、、因此，一般地：= （a≥0）
三、合作探究例
1、化简（1）= （2）= （3） = （4）=
【归纳】
二次根式的性质：例
2、计算：（1)
=________、2、
6、的值是（）、
A、0
B、
C、4
D、以上都不对
3、a≥0时，、、-，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（）、
A、=≥-
B、>>-
4、如果，那么x的取值范围是。
5、若1<x<2，则的值为。
学后反思：
16、1、3课后作业
1、已知0<x<1时，化简的结果是（）A2X-1 B1-2X C
6、若-3≤x≤2时，试化简│x-2│++。
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期末复习(一) 二次根式
01 知识结构
⎪
⎪
⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪
⎩⎪
⎨⎧≥=≥≥=⋅⎪⎩⎪⎨⎧≥=≥=二次根式的加减＞，，二次根式的乘除二次根式的化简与运算）（二次根式及其性质二次根式)00()00()0()
0(22b a b a
b a b a ab b a a a a a a a
02 典例精讲
命题点1 二次根式有意义的条件 【例1】 要使式子
x ＋3x －1
＋(x －2)0
有意义，则x 的取值范围为x ≥－3且x≠1，x ≠2． 【思路点拨】 从式子的结构看分为三部分，二次根式、分式、零次幂，每一部分都应该有意义．
【方法归纳】
使分母不为零的一
1．(潍坊中考)若代数式x ＋1
（x －3）
2有意义，则实数x 的取值范围是(B )
A ．x≥－1
B ．x ≥－1且x≠3
C ．x ＞－1
D ．x ＞－1且x≠3
2．若式子x ＋4有意义，则x 的取值范围是x ≥－4． 命题点2 二次根式的非负性
【例2】 (自贡中考)若a －1＋b 2
－4b ＋4＝0，则ab 的值等于(D )
A ．－2
B ．0
C ．1
D ．2
【方法归纳】 这一类问题主要利用非负数的和为0，进而得出每一个非负数的式子为0构造方程求未知数的解，通常利用的非负数有：(1)||x ≥0；(2)x 2
≥0；(3)x ≥0.
3．(泰州中考)实数a ，b 满足a ＋1＋4a 2
＋4ab ＋b 2
＝0，则b a
的值为(B )
A ．2
B .12
C ．－2
D ．－12
命题点3 二次根式的运算
【例3】 (大连中考)计算：3(1－3)＋12＋(13
)－1
.
【思路点拨】 先去括号、化简二次根式及进行实数的负整指数幂的运算，把各个结果相加即可．
【解答】 原式＝3－3＋23＋3＝3 3.
【方法归纳】 二次根式的运算是实数运算中的一种，运算顺序与运算律都遵循有理数的运算顺序与运算律．
4．(泰州中考)计算：1
2
12－(3
1
3
＋2)． 解：原式＝1
2×23－3－2＝－ 2.
命题点4 与二次根式有关的化简求值
【例4】 (青海中考)先化简，再求值：y 2
－x 2
x 2－xy ÷(x＋2xy ＋y 2
x )·(1x ＋1
y )，其中x ＝2＋3，y ＝2－
3.
【思路点拨】 运用分式的运算法则先化简原式，然后将x 和y 的值代入化简后的式子求值即可．
【
解
答
】
原
式
＝
（y ＋x ）（y －x ）
x （x －y ）
÷
x 2
＋2xy ＋y
2
x
·
y ＋x xy
＝
（y ＋x ）（y －x ）x （x －y ）·x （x ＋y ）2·
y ＋x xy ＝－1
xy
. 当x ＝2＋3，y ＝2－3时，原式＝－1（2＋3）（2－3）
＝－1.
【方法归纳】 将二次根式的运算与分式的化简求值相结合考查，是最常见的考查形式．当未
知数的值是无理数时，求值时就用到二次根式的运算．
5．(成都中考)先化简，再求值：(a a －b －1)÷b
a 2－b
2，其中a ＝3＋1，b ＝3－1.
解：原式＝(a a －b －a －b a －b )÷b
（a ＋b ）（a －b ）
＝a －a ＋b a －b ·（a ＋b ）（a －b ）b
＝a ＋b.
∵a ＝3＋1，b ＝3－1， ∴原式＝3＋1＋3－1＝2 3.
命题点5 与二次根式有关的规律探究 【例5】 (黄石中考)观察下列等式：
第1个等式：a 1＝11＋2＝2－1；
第2个等式a 2＝1
2＋3＝3－2；
第3个等式：a 3＝1
3＋2＝2－3；
第4个等式：a 4＝1
2＋5＝5－2.
按上述规律，回答以下问题：
(1)请写出第n 个等式：a n
(2)a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n
【思路点拨】 (1)观察上面四个式子可得第n 个等式；(2)根据所得的规律可得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2－1＋3－2＋2－3＋5－2＋…＋n ＋1－n.
【方法归纳】 规律的探究都遵循从特殊到一般的思维过程，在探究过程中要认真分析等式左右两边“变的量”与“不变的量”．
6．(菏泽中考)下面是一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵排列的规律，第n(n是整数，且n≥3)行从左向右数第n－2用含n的代数式表示)．
03 期末复习卷
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列二次根式是最简二次根式的为(A)
A．23a B.8x2C.y3D.b 4
2．下列二次根式中，可与12进行合并的二次根式为(D)
A. 6
B.32
C.18
D.75 3．(宁夏中考)下列计算正确的是(D)
A.a＋b＝ab
B．(－a2)2＝－a4
C．(a－2)2＝a2－4
D.a÷b＝a
b
(a≥0，b＞0)
4．化简3－3(1－3)的结果是(A)
A．3 B．－3 C. 3 D．－ 3
5．设m＝32，n＝23，则m，n的大小关系为(A)
A．m＞n B．m＝n C．m＜n D．不能确定6．已知x＋y＝3＋22，x－y＝3－22，则x2－y2的值为(C)
A．4 2 B．6 C．1 D．3－2 2
7．如果最简二次根式3a－8与17－2a可以合并，那么使4a－2x有意义的x的取值范围是(A) A．x≤10 B．x≥10 C．x＜10 D．x＞10 8．甲、乙两人计算a＋1－2a＋a2的值，当a＝5时得到不同的答案，甲的解答是a＋1－2a＋a2＝a＋（1－a）2＝a＋1－a＝1；乙的解答是a＋1－2a＋a2＝a＋（a－1）2＝a＋a－1＝2a－1＝9.
下列判断正确的是(D)
A．甲、乙都对B．甲、乙都错C．甲对，乙错D．甲错，乙对
9．若a3＋3a2＝－a a＋3，则a的取值范围是(A)
A．－3≤a≤0 B．a≤0 C．a＜0 D．a≥－3 10．已知一个等腰三角形的两条边长a，b满足|a－23|＋b－52＝0，则这个三角形的周长为(C)
A．43＋5 2 B．23＋5 2
C．23＋10 2 D．43＋52或23＋10 2
二、填空题(每小题3分，共18分)
11．(常德中考)使代数式2x－6有意义的x的取值范围是x≥3．
12．(金华中考)能够说明“x2＝x不成立”的x的值是答案不唯一，如：－1(写出一个即可)．
13．(南京中考)比较大小：5－3＜5－2
2
.(填“＞”“＜”或“＝”)
14．若m，n都是无理数，且m＋n＝2，则m，n的值可以是m n(填一组即可)
15．在实数范围内分解因式：4m2－7
16．当x≤0时，化简|1－x|－x2的结果是1．
三、解答题(共52分)
17．(8分)计算：
(1)75×
6
3
÷
1
2
；
解：原式＝53×
6
3
×2＝10.
(2)a(a＋2)－a2b÷ b.
解：原式＝a＋2a－a＝2 a.
18．(10分)先化简，再求值：2(a＋3)(a－3)－a(a－6)＋6，其中a＝2－1.
解：原式＝a2＋6a.
当a ＝2－1时，原式＝42－3.
19．(10分)(雅安中考)先化简，再求值：x 2
＋y 2
－2xy x －y ÷(x y －y
x
)，其中x ＝2＋1，y ＝2－1.
解：原式＝（x －y ）2
x －y ÷x 2
－y 2
xy ＝（x －y ）2x －y ·xy （x ＋y ）（x －y ）＝xy
x ＋y .
当x ＝2＋1，y ＝2－1时，原式＝（2＋1）（2－1）（2＋1）＋（2－1）＝122＝2
4.
20．(12分)若实数a ，b ，c 满足|a －2|＋b －2＝c －3＋3－c.
(1)求a ，b ，c ；
(2)若满足上式的a ，b 为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的周长． 解：(1)由题意，得c －3≥0，3－c≥0，即c ＝3. ∴|a －2|＋b －2＝0.
∴a －2＝0，b －2＝0，即a ＝2，b ＝2.
(2)当a 是腰长，b 是底边时，等腰三角形的周长为2＋2＋2＝22＋2； 当b 是腰长，a 是底边时，等腰三角形的周长为2＋2＋2＝2＋4. 综上，这个等腰三角形的周长为22＋2或2＋4.
21．(12分)在如图8×10方格内取A ，B ，C ，D 四个格点，使AB ＝BC ＝2CD ＝4.P 是线段BC 上的动点，连接AP ，DP.
(1)设BP ＝a ，CP ＝b ，用含字母a ，b 的代数式分别表示线段AP ，DP 的长；
(2)设k ＝AP ＋DP ，k 是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
解：(1)AP ＝a 2
＋16，DP ＝b 2
＋4. (2)k 有最小值．
作点A 关于BC 的对称点A′，连接A′D，AP ，交BC 于点P ，过A′作A′E⊥DC 于点E.
∴AP＝A′P.
∴k＝AP＋DP＝A′P＋DP＝A′E2＋DE2＝16＋36＝52＝213.。