chapt04

k k 0 k 0 k 0


k
a n ( z z0 ) n a2 ( z z0 ) 2 a1 ( z z0 ) 1 a0 a1 ( z z0 ) an ( z z0 ) n
2
现在 0 z z0 R 内任取一条绕 z 0 的正向简单 闭曲线 C，对上式两边在 C 上作积分，并利用积分公式
第四章 留数定理
1
由 Laurent 展开定理可知，若函数 f ( z ) 在 z 0 的去心邻域
0 z z0 R 内解析，则在此邻域内， f ( z ) 可展开成罗朗级
数
f ( z)
k
a (z z )
k 0

k

k 1
a (z z ) a (z z )
8
留数概念在复变函数理论及实际应用中具有重要意义.
留数定理
设 函 数 f ( z) 在 区 域 B 内 除 有 限 个 孤 立 奇 点
z1 , z2 , , zn 外处处解析，L 为区域内包围各奇点的一条正向简单
闭曲线，则

L
f ( z ) d z πi R e s f k( z. ) 2
18
ez 例 4.4 求函数 f ( z ) 2 在 z 点处的留数。 z 1
ez 【解】 函数 f ( z ) 2 以 z 1及 z 1 为一阶 z 1 极点，而 z 为本性奇点 e 1 1 又 Res f (1) , Res f (1) e 2 2 e1 e 所以 Res f () ． 2
24
利用留数定理计算实积分
f ( x)dx 一般可采用如下步骤：
（1）添加辅助曲线，使积分路径构成闭合曲线； （2）选择一个在围线内除了一些孤立奇点外都解析的被积函数 F ( z ) ，使得满足 F ( x) f ( x), 通常选用 F ( z ) f ( z ) ，只有少数例 外； （3）计算被积函数 F ( z ) 在闭合曲线内的每个孤立奇点的留数， 利用留数定理计算实积分 f ( x ) dx 一般可采用如下步骤： （1）添加辅助曲线，使积分路径构成闭合曲线； 然后求出这些留数之和； （2）选择一个在围线内除了一些孤立奇点外都解析的被积函数 F ( z ) ，使得满足 F ( x) f ( x), 通常选用 F ( z ) f ( z ) ，只有少数例 （4）计算辅助曲线上函数 F ( z ) 的积分值．通常我们选择辅助 外； （3） 计算被积函数 F ( z ) 在闭合曲线内的每个孤立奇点的留数， 线使得积分简单易求，甚至直接为零． 然后求出这些留数之和；
20
例 4.5
5z I |z|4 ( z 2 1)4 ( z 4 2)5 d z ．
可 以 验 证 被 积 函 数 的 有 限 远 奇 点
27
【 解 】
1, 2e
4
π2 kπ i 4
(k 0,1, 2,3) 均在积分区域内.
按照无穷远点留数的定义及留数的计算方法得到
5 z 27 I |z|4 ( z 2 1)4 ( z 4 2)5 d z 2πi Res f () 利用 （5.5.5）式： Res f () lim[ z f ( z )] 得到 z
R | z | 内的罗朗级数为 c n c1 f ( z ) n c0 c1 z cn z n z z
由逐项积分定理及公式得到
1 Res f () L f ( z)dz c1 2πi 也就是说 Re sf ( ) 等于 f ( z ) 在 的去心邻域的罗朗展 1 开式中 项系数的负值． z
Re sf () lim[ zf ( z )] 5
z
所以
I 10πi
21
定理
若 lim f ( z ) 0 ，则 Res f () Res[ f ( )
z
1 1 , 0] . 2 z z
【证明】 f ( z ) 在 z 的去心邻域的罗朗级数为
c n c1 f ( z) n c0 c1 z c2 z 2 z z 1 1 1 作变换 t 则有 f c1t c0 c1 t z t c1 c0 c1 1 1 2 3 而 2 f t t t t t
z z0
14
P( z ) (2)第二种情形：若 z 0 为 f ( z ) 的一阶极点， Q( z ) 且 Q( z0 ) 0 , 则 P ( z0 ) Res f ( z0 ) Q( z0 )
【证明】 因为 z 0 为 f ( z ) 的一阶极点，所以 Q( z0 ) 0 ， 故有:
利用无穷远点留数的定义，因此
Res f () c1 Res[
1 1 f ( )] |t 0 ，故此留数即为 2 t t 1 1 1 1 Res f () Res[ f ( ) 2 , 0] Res[ f ( ) 2 , 0] t t z z
22
例 4.7
0 z z0 R 内的罗朗展开式为
f ( z ) a1 ( z z0 ) 1 a0 a1 ( z z0 )
显然 a1 lim( z z0 ) f ( z ) ，故当 z 0 为 f ( z ) 的一阶极点时，
z z0
Res f ( z0 ) lim( z z0 ) f ( z )
数（Residue） ，记作 Resf ( z0 ) ，或 Res f ( z ), z0 ，
1 Res f ( z0 ) C f ( z ) d z a1 2πi
留数定义为我们提供了两个计算留数的方法： 一是将 f ( z ) 在 0 z z0 R 内展开成罗朗级数， 取其负一次 幂项的系数 a1 的值即可； 二是计算
7
此外，无穷远点的留数与有限点的留数还有一个 重大差别：当函数 f ( z ) 以 z 为可去奇点或解析点
1 时， 其留数 Res f () 可能不等于 0． 例如 f ( z ) ， z 以 z 为 解 析 点 ， 但 留 数 Res f ( ) 1 函 数 ； z 1 以 z 为 可 去 奇 点 ， 但 留 数 f ( z) z R e f ( )． 1 s
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定理
若 lim f ( z ) 0 ，则 Res f () lim[ z f ( z )]
z z
【证明】 由条件，故可设 f ( z ) 在 z 的去心邻域的罗朗 级数
c n c1 f ( z) n 0 0 0 z z 因此 Res f () c1 lim[ z f ( z )] ． z
Res f ( z ) Res f () 0
k k 1
n
11
由留数定理得知，计算函数 f ( z ) 沿 C 的积分，可归结 为计算围线 C 内各孤立奇点处的留数之和． 而留数又是该奇 点处的罗朗级数的负一次幂的系数， 因此我们只关心该奇点 处罗朗级数中的负一次幂系数，也就是说，不必完全求出罗 朗级数就可以完全确定该点的留数. 下面介绍求留数的几种常用方法， 使用时要根据具体条 件，选择一个较方便的方法来进行.
P ( z0 ) P( z ) Resf ( z0 ) lim( z z0 ) f ( z ) lim z z0 z z0 Q ( z ) Q ( z ) Q( z0 ) 0 z z0
15
3. 若 z 0 为 f ( z ) 的 m 阶极点，则
1 d m Res f ( z0 ) lim m1 [( z z0 ) f ( z )] (m 1)! z z0 d z
4. 当 z 0 为
m 1
f ( z ) 的本性奇点时，几乎没有什么简捷方法，
因此对于本性奇点处的留数， 就只能利用罗朗展开式的方法 或计算积分的方法来求．
16
ze z ,1 . 例 4.2 计算 Res 2 z 1
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z sin z 例 4.3 计算积分 |z|1 (1 e z )3 d z
k 1
n
9
【证明】 在 B 内将孤立奇点 zk (k 1, 2,, n) 分别用互不包含且互 不相交的围线 Ck 围绕起来， 而围线 L 包围了所有的奇点， 如图 5.1 所示． 应 用复围线的柯西积分定理得

Lቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f ( z) d z f ( z) d z
k 1 Ck
n
12
1. 若 z 0 为 f ( z ) 的可去奇点， f ( z ) 在 0 z z0 R 则 内的罗朗展开式中不含负幂项，从而 a1 0 ，故当 z 0 为
f ( z ) 的可去奇点时， Res f ( z0 ) 0
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2. 若 z 0 为 f ( z ) 的一阶极点 (1) 第 一 种 情 形 ： 若 z 0 为 f ( z ) 的 一 阶 极 点 ， 则 f ( z ) 在
1 2 3 求函数 f ( z ) 1 2 3 在 z z z z
点处的留数.
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用留数定理计算实积分
在自然科学中常常需要计算一些实积分，特别是计算一些在 无穷区间上的积分．例如，光学问题中需要计算菲涅耳积分


0
cos( x )d x,
2


0
sin( x2 )d x ； 热 传 导 问 题 中 需 要 计 算
1 C f ( z) d z . 2πi
4
例 4.1 求函数 f ( z ) ze 在孤立奇点 z 0 处的 留数.
【解】 由于在 0 z R 内有