。高中数学讲义微专题26未知角的三角函数值
高一数学任意角的三角函数知识精讲.doc
高一数学任意角的三角函数【本讲主要内容】任意角的三角函数（三角函数的定义、单位圆与三角函数线）【知识掌握】 【知识点精析】1. 任意角的三角函数的定义：设P （x ，y ）是角α的终边上任意一点，|OP|＝r （r ＞0），则sin cos αα==y r xr， tan cot αα==y x x y ， sec csc αα==r x r y， 正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别可以看成是从一个角的集合到一个比值的集合的映射，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，这六个函数统称为三角函数。
注意：①一个角的三角函数值只与这个角的终边位置有关，而与P 点的选取无关。
②为计算方便，我们把半径为1的圆（单位圆）与角的终边的交点选为P 点的理想位置。
2. 三角函数的定义域、值域确定三角函数的定义域时，要抓住分母不为0这一关键，当角的终边在坐标轴上时，点P 的坐标中必有一个为0。
3. 三角函数值符号记忆口诀为：“一全正，二正弦，三两切，四余弦”。
（注：余割和正弦互为倒数关系，正割和余弦互为倒数关系。
） 4. 诱导公式（一）：根据三角函数的定义知，角的三角函数值是由角的终边位置确定的，所以终边相同的角的同一三角函数的值相等。
即：sin()sin ()cos()cos ()tan()tan ()()k k Z k k Z k k Z ²°²°²°诱导公式一360360360+=∈+=∈+=∈⎫⎬⎪⎭⎪ααααααsin()sin ()cos()cos ()tan()tan ()()()222k k Z k k Z k k Z πααπααπαα+=∈+=∈+=∈⎫⎬⎪⎭⎪诱导公式一弧度制用途：使用诱导公式（一），可以把求任意角的三角函数值问题化为0～2π间三角函数值，具体求法是将任意角化为2k π＋α，()k Z ∈，其中0≤α＜2π，然后利用诱导公式（一）化简，再求值。
未知角的三角函数值
求未知角的三角函数值在三角函数的解答题中，经常要解决求未知角的三角函数值，此类问题的解决方法大体上有两个，一是从角本身出发，利用三角函数关系列出方程求解，二是向已知角（即三角函数值已知）靠拢，利用已知角将所求角表示出来，再利用三角函数运算公式展开并整体代换求解，本周着力介绍第二种方法的使用和技巧 一、基础知识：1、与三角函数计算相关的公式： （1）两角和差的正余弦，正切公式： ①()sin sin cos sin cos αβαββα+=+ ②()sin sin cos sin cos αβαββα-=-③()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- ④()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+⑤ ()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ⑥ ()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+（2）倍半角公式： ① sin22sin cos ααα=② 2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- ③ 22tan tan 21tan ααα=-（3）辅助角公式：()sin cos a b αααϕ+=+，其中tan b aϕ= 2、解决此类问题的方法步骤：（1）考虑用已知角表示未知角，如需要可利用常用角进行搭配（2）等号两边同取所求三角函数，并用三角函数和差公式展开 （3）利用已知角所在象限和三角函数值求出此角的其他函数值 （4）将结果整体代入到运算式即可3、确定所涉及角的范围：当已知角的一个三角函数值求其他三角函数值时，角的范围将决定其他三角函数值的正负，所以要先判断角的范围，再进行三角函数值的求解。
确定角的范围有以下几个层次：（1）通过不等式的性质解出该角的范围（例如：43ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ，则56122πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，） （2）通过该角的三角函数值的符号，确定其所在象限。
高中特殊三角函数值记忆口诀
高中特殊三角函数值记忆口诀
三角函数在高中数学中占有重要地位，其中特殊角的三角
函数值是必须要掌握的重点内容。
掌握这些特殊角的值不仅有利于计算，还对理解三角函数的性质和图像具有重要意义。
为了帮助大家更轻松地记忆这些特殊角的三角函数值，下面将介绍一些口诀和记忆方法。
正弦、余弦、正切特殊角值
1.当角度为0度时，正弦值为0，余弦值为1，正切
值为0。
记忆口诀：零秒一分零度
2.当角度为30度时，正弦值为0.5，余弦值为√3/2，
正切值为√3/3。
记忆口诀：三无不等
3.当角度为45度时，正弦值为√2/2，余弦值为√2/2，
正切值为1。
记忆口诀：对角均根号二
4.当角度为60度时，正弦值为√3/2，余弦值为0.5，
正切值为√3。
记忆口诀：三有半度
5.当角度为90度时，正弦值为1，余弦值为0，正切
值为无穷。
记忆口诀：莫尔零度
前三者函数线性之不等
[高斯毕达哥拉斯秦乐音，已统与标等]
以上是对高中数学中特殊角的三角函数值的简单口诀总结。
通过这些口诀可以更好地记忆和理解特殊角的三角函数值，希望对大家学习有所帮助。
如果想要更深入地理解三角函数的性质和应用，建议多做相关练习，加深对知识的掌握。
希望这些口诀和方法能帮助大家更轻松地掌握高中数学中
特殊角的三角函数值，让学习变得更加有趣和易懂。
三角函数的定义 课件
(2)sin -
11π
6
25π
+cos
3
tan -
15π
4
.
分析:将角转化为k·360°+α或2kπ+α的形式,利用公式一求值,注意
熟记特殊角的三角函数值.
解:(1)原式=a2sin(-4×360°+90°)+b2tan(360°+45°)-(ab)2tan(2×360°+45°)-2abcos(-3×360°)
解析式
y=sin x
y=cos x
正切函数
y=tan x
定义域
R
R
π
≠ π + ,∈Z
2
2.三角函数值的符号
sin α,cos α,tan α在各个象限的符号如下:
3.诱导公式一
(1)语言表示:终边相同的角的同一三角函数的值相等.
sin( + ·
2π) = sin,
2π) = cos,(k∈Z).
=a2sin 90°+b2tan 45°-(a-b)2tan 45°-2abcos 0°
=a2+b2-(a-b)2-2ab=0.
(2)原式
π
π
π
=sin -2π + +cos 8π + ·
tan -4π +
π
6
π
π
6
3
4
=sin +os tan
1
3
1
2
2
= + ×1=1.
4
三角函数定义理解中的误区
典例已知角α的终边过点P(-3m,m)(m≠0),则sin α=
特殊角的三角函数值公式大全
特殊角的三角函数值公式大全三角函数是数学中一类基础且重要的函数，它们在几何、物理、工程等各个领域都有着广泛的应用。
在三角函数中，特殊角所对应的三角函数值往往是我们熟知的，今天我们来总结一下特殊角的三角函数值公式。
正弦函数值正弦函数是一种常见的三角函数，用于表示直角三角形中的对边与斜边之比。
对于特殊角来说，它们的正弦函数值是固定的，常见的特殊角有0度、30度、45度、60度和90度。
下面是它们的正弦函数值公式：•正弦0度：sin(0) = 0•正弦30度：sin(30) = 1/2•正弦45度：sin(45) = √2/2•正弦60度：sin(60) = √3/2•正弦90度：sin(90) = 1余弦函数值余弦函数也是一种常见的三角函数，用于表示直角三角形中的邻边与斜边之比。
特殊角的余弦函数值也是固定的，和正弦函数值相似，下面是特殊角的余弦函数值公式：•余弦0度：cos(0) = 1•余弦30度：cos(30) = √3/2•余弦45度：cos(45) = √2/2•余弦60度：cos(60) = 1/2•余弦90度：cos(90) = 0正切函数值正切函数是三角函数中的另一个重要函数，它表示直角三角形的对边与邻边之比。
正切函数的特殊角值也是固定的，下面是特殊角的正切函数值公式：•正切0度：tan(0) = 0•正切30度：tan(30) = √3/3•正切45度：tan(45) = 1•正切60度：tan(60) = √3•正切90度：tan(90) = 无穷大总结通过以上内容，我们总结了特殊角的正弦、余弦和正切函数值公式，这些特殊角值在数学计算中应用非常广泛，能够帮助我们解决各种问题。
熟练掌握这些特殊角的三角函数值公式，将对我们理解和运用三角函数起到很大的帮助。
希望本文对特殊角的三角函数值公式有一个清晰的了解，也希望读者能够在学习和工作中充分利用这些知识，提高数学应用能力。
三角函数公式特殊角值
三角函数公式特殊角值三角函数是数学中的一类重要函数，主要涉及三角形中各个角的关系。
在三角函数的研究中，特殊角值是指一些角度的具体数值，它们的三角函数值可以通过特定的公式计算出来，不需要使用计算器或查表。
特殊角值在解决三角函数相关问题时起到了很大的作用，因此它们的相关知识点在数学学习中是非常重要的。
特殊角值通常是指一些特殊角的正弦、余弦、正切等三角函数的精确值。
这些特殊角的值既可以是整数延伸范围内的角度（如30度、45度、60度等），也可以是常见的分数角度（如30度的一半，即15度）。
下面是一些常见的特殊角值及其三角函数的精确值：1.30度角：正弦值：sin(30°) = 1/2余弦值：cos(30°) = √3/2正切值：tan(30°) = 1/√32.45度角：正弦值：sin(45°) = √2/2余弦值：cos(45°) = √2/2正切值：tan(45°) = 13.60度角：正弦值：sin(60°) = √3/2余弦值：cos(60°) = 1/2正切值：tan(60°) = √3通过这些特殊角值的计算，我们可以得到许多其他角的三角函数值。
特殊角值在解决三角函数问题时具有很大的优势。
例如，如果我们需要计算一个角度为45度的三角函数值，可以直接使用相关的特殊角值，而不需要使用计算器或查表。
这样不仅可以减少计算的复杂度，还可以提高计算的速度。
因此，掌握特殊角值的相关知识对于数学学习是非常有帮助的。
此外，特殊角值还能够在解决实际问题时进行应用。
例如，在物理学中，通过特殊角值可以计算物体在倾斜平面上的运动情况。
在工程学中，特殊角值也可以用来进行房屋建筑或工程设计中的测量和计算。
因此，特殊角值在实际应用中具有广泛的应用价值。
总结来说，特殊角值是指特定的角度的三角函数值可以通过公式直接计算得到的数值。
掌握特殊角值的知识对于解决三角函数相关问题和在实际应用中进行计算和测量非常重要。
特殊角的三角函数值
28.1.3 特殊角的三角函数值教学目标1．知识与技能（1）通过实例认识直角三角形的边角关系，即锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函数值．（2）记住30°，45°，60°锐角的三角函数值，从而达到知道特殊角能求三角函数和知道特殊三角函数值来求锐角的效果。
（3）运用特殊角三角函数值解决直角三角形有关的简单的实际问题．（4）能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题．2．过程与方法经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析，•解决问题的能力．贯彻在实践活动中发现问题，提出问题，再探究问题的过程中找出规律。
3．情感、态度与价值观通过用30°，45°，60°角的特殊三角函数值的应用过程，发展学生观察、分析，•解决问题的能力．培养学生数形结合的思想．重点与难点1．重点运用三角函数的知识，自主探索，推导出30°、45°、60°角的三角函数值.2．难点熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加以运用.复习引入如图在Rt △ABC 中，∠C=900AB BCA sinA =∠=斜边的对边AB ACA cosA =∠=斜边的邻边ACBCA A tanA =∠∠=的邻边的对边1. 对于sin α与tan α，角度越大，函数值越 ； 对于cos α，角度越大，函数值越 .2. 互余的两角之间的三角函数关系：若∠A+∠B=90°，则sinA cosB ，cosA sinB ， tanA · tanB = .在学生回答了这个问题后，教师再复述一遍，提出新问题：两块三角尺中有几个不同的锐角？是多少度？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．提醒学生：在300,600,900为角三角板时可以设300角所对的边长为a ，•利用勾股定理和三角函数的定义可以求出这些三角函数值．在450,450,900为角三角板时可以设450角所对的边长为a ，•利用勾股定理和三角函数的定义可以求出这些三角函数值． 探究新知（一）特殊值的三角函数学生在求完这些角的正弦值、余弦值和正切值后教师加以总结． 30°、45°、60°的正弦值、余弦值和正切值如下表：∠A的邻边b∠A的对边a 斜边c CBA通过上表，让学生观察上表中数字变化的规律并加以总结：对于正弦值，分母都是22，．对于正切，60•，即是下一个角的正切值． 要求学生记住上述特殊角的三角函数值．教师强调：（sin60°）2用sin 260°表示，即为（sin60°）·（sin60°）． （二）特殊角三角函数的应用1．师生共同完成课本第114页（盲文课本第314页）例3：求下列各式的值．（1）cos 260°+sin 260°． （2）cos 45sin 45︒︒-tan45°．教师以提问方式一步一步解上面两题．学生回答，教师板书．解：（1）cos 260°+sin 260°=（12）2+（2）2=1（2）cos 45sin 45︒︒-tan45°=2÷2-1=0巩固练习 一、选择题．1．已知：Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=600，则sinA 是（ ）．A ．21 B ．22 C ．23D ．1 2．已知：Rt △ABC 中，∠C=90°，tanB=33，则∠A 是（ ）． A ．300 B ．450 C ．600 D ．900二、计算：(1) sin30°+ cos45°； (2) sin 230°+ cos 230°－tan45° 解：原式 =2212221+=+解：原式 =01232122=-+）（）（2．师生共同完成课本第115页（盲文课本第315页）例4：教师解答题意：（1）如课本图28．1-9（1），在Rt △ABC 中，∠C=90，AB=6，BC=3，求∠A 的度数．（2）如课本图28．1-9（2），已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB 的3倍，求a ．教师分析解题方法：要求一个直角三角形中一个锐角的度数，可以先求它的某一个三角函数的值，如果这个值是一个特殊解，那么我们就可以求出这个角的度数．解：（1）在课本图28．1-9（1）中，∵sinA=BC AB =， ∴∠A=45°．（2）在课本图28．1-9（2）中，∵tana=AO OB OB=∴a=60°． 当堂练习1.tan α＝1，锐角 α 的度数应是 ( )A ．40°B ．30°C ．20°D ．10°2. 已知sinA =21，则下列正确的是 ( )A. cosA =22B. cosA =23C. tanA = 1D. tanA =33. tan (α+10°)，锐角 α 的度数应是 ( ) A ．60° B ．50° C ．40° D ．30° . 4. 求下列各式的值：(1) 1－2 sin30°cos30°；(2) 3tan30°－tan45°+2sin60°；课时总结 学生要牢记下表：对于sina 与tana，角度越大函数值也越大；对于cosa ，角度越大函数值越小． 拓展延伸1. 已知：| tanB －| ＋ (2 sinA － )2 ＝0， 求∠A ，∠B 的度数.解：∵ | tanB － | ＋ (2 sinA － )2 ＝0， ∴ tanB － =0 ，2 sinA ＝0， ∴ tanB ＝ ，sinA＝2∴ ∠B ＝60°，∠A ＝60°.2.已知 △ABC 中的 ∠A 与 ∠B满足 (1－tanA)2 ＋|sinB － 2|＝0，试判断 △ABC 的形状．解：∵ (1－tanA)2 ＋ | sinB －2|＝0， ∴ 1－tanA=0 ， sinB － =0 ∴ tanA ＝1，sinB ∴ ∠A ＝45°，∠B ＝60°， ∠C ＝180°－45°－60°＝75°，∴ △ABC 是锐角三角形． 课堂小结特殊角的三角函数值⎪⎩⎪⎨⎧三角函数值角函数通角的三角函数值60、45、30000过作业设计 课本练习做课本第114页习题28．1复习巩固第3题． 1．下列各式中不正确的是（ ）．A ．sin 260°+cos 260°=1B ．sin30°+cos30°=1C ．sin35°=cos55°D ．tan45°>sin45° 2．计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（ ）． A ．2 BCD ．1 3．已知∠A 为锐角，且cosA ≤12，那么（ ） A ．0°<∠A ≤60° B ．60°≤∠A<90° C ．0°<∠A ≤30° D ．30°≤∠A<90° 4．在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA=12，ABC 的形状是（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定5．如图Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，BC=3，AC=4，设∠BCD=a ，则tana•的值为（ ）．A ．34 B ．43 C ．35 D ．456．当锐角a>60°时，cosa 的值（ ）． A ．小于12 B ．大于12CD ．大于17．在△ABC 中，三边之比为a ：b ：c=1：2，则sinA+tanA 等于（ ）．A1.2B C D + 8．sin 272°+sin 218°的值是（ ）． A ．1 B ．0 C ．12D9）2+││=0，则△ABC （ ）． A ．是直角三角形 B ．是等边三角形C ．是含有60°的任意三角形D ．是顶角为钝角的等腰三角形 二、填空题．10．设α、β均为锐角，且sin α-cos β=0，则α+β=_______． 11．cos 45sin 301cos 60tan 452︒-︒︒+︒的值是_______．12．已知，等腰△ABC•的腰长为，•底为30•°，•则底边上的高为______，•周长为______．13．在Rt △ABC 中，∠C=90°，已知cosA=________． 三、解答题．14．求下列各式的值．（1）sin30°·cos45°+cos60°;（2）2sin60°-2cos30°·sin45°（3）2cos602sin 302︒︒-; （4）sin 45cos3032cos 60︒+︒-︒-sin60°（1-sin30°）．（5）tan45°·sin60°-4sin30°·cos45°·tan30°（6）sin 45tan 30tan 60︒︒-︒+cos45°·cos30°15．若方程2x 2+（4sin θ）x+1=0（0<θ<90°）有两个相等的实数根，求θ的值．班主任经验介绍班主任是份繁琐的工作，我于2008年参加教师工作以来，一直在乡镇学校任教并且一直当班主任，整整十二年了，在这十二年里我想我付出了很多也得到了很多，谈谈以下几点：1.首先，作为班主任要明确自己的身份和责任，以自身来讲，要不断的学习，提高自身的业务水平，特别是勤于参加各种培训学习，如国培，外出跟班学习，参加名校，名师的学习，理论知识的学习等。
特殊三角函数值大全
特殊三角函数值大全在三角函数的世界里，除了我们熟知的正弦、余弦、正切等常见函数外，还存在一些特殊的三角函数，它们在特定角度下具有独特的数值。
这些特殊三角函数在数学、工程、物理等领域中都有着重要的应用价值。
下面我们将介绍一些常见的特殊三角函数值，让我们一起来探索它们的奥秘。
1. 正切函数的特殊值切(0°)正切函数在角度为0°时的值为0。
即tan(0°) = 0。
切(30°)在角度为30°时，正切函数的值为√3/3。
切(45°)正切函数在角度为45°时的值为1。
即tan(45°) = 1。
切(60°)在60°角度下，正切函数的值为√3。
切(90°)当角度为90°时，正切函数的值为无穷大。
即tan(90°) = ∞。
2. 余切函数的特殊值余切(0°)余切函数在0°角度下的值为无穷大。
即cot(0°) = ∞。
余切(30°)在30°角度下，余切函数的值为√3。
余切函数在45°时的值为1。
即cot(45°) = 1。
余切(60°)在60°角度下，余切函数的值为√3/3。
余切(90°)在90°角度下，余切函数的值为0。
即cot(90°) = 0。
3. 正割函数的特殊值正割(0°)正割函数在0°角度下的值为无穷大。
即sec(0°) = ∞。
正割(30°)在30°角度下，正割函数的值为√3。
正割(45°)正割函数在45°角度下的值为√2。
即sec(45°) = √2。
正割(60°)在60°角度下，正割函数的值为2。
正割(90°)当角度为90°时，正割函数的值为1。
特殊角的三角函数值表ppt课件
1
0 不存在
特殊角的三角函数值表 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目
第三象限
角
三角函数
弧度
2100 7π/6
sin
1 2
cos
3
2
tan
3
3
cot
3
2250
5π/4
2 2
2 2 1
1
2400 2700
4π/3 3π/2
3
1
2
1 2
0
3 不存在
3
0
3
特殊角的三角函数值表 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目
第四象限
角
三角函数
弧度
3000 5π/3
sin
3
2
cos
1
2
tan
3
cot
3
3
3150
7π/4
2 2 2 2
1
1
3300 3600
11π/6 2π
1
0
2
3
1
2
3
0
3
3 不存在
特殊角的三角函数值总表 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
特殊角的三角函数值表 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目
高中数学三角函数特殊角值表
cos（2kπ＋α）＝cosα （k∈Z）
tan（2kπ＋α）＝tanα （k∈Z）
公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2＋α）＝cosα sin（π/2－α）＝cosα
cos（π/2＋α）＝－sinα cos（π/2－α）＝sinα
tan（π/2＋α）＝－cotα tan（π/2－α）＝cotα
sin（3π/2＋α）＝－cosα sin（3π/2－α）＝－cosα
cos（3π/2＋α）＝sinα cos（3π/2－α）＝－sinα
tan（3π/2＋α）＝－cotα tan（3π/2－α）＝cotα
（以上k∈Z）
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
利用公式二和公式三可以得到的三角函数值之间的关系
一、特殊角三角函数值
角度
函数
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
三角函数特殊角值表
关系：
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
公式六： π/2±α及 3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2＋α）＝cosα
sin（π/2－α）＝cosα
cos（π/2＋α）＝－sinα
cos（π/2－α）＝sinα
tan（π/2＋α）＝－cotα
sin（－α）＝－sinα
——仅供参考
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关
系：
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
公式五： 利用公式一和公式三可以得到 2π-α与α的三角函数值之间的
tan（π/2－α）＝cotα
sin（3π/2＋α）＝－cosα
sin（3π/2－α）＝－cosα
cos（3π/2＋α）＝sinα
cos（3π/2－α）＝－sinα
tan（3π/2＋α）＝－cotα
tan（3π/2－α）＝cotα
（以上 k∈Z）
——仅供参考
利用公式二和公式三可以得到的三角函数值之间的关系
一、特殊角三角函数值
角度
120
180
0° 30° 45° 60° 90°
135° 150°
函数
°
°
270 360°
°
角 a 的弧 0
度
sin
0
1
0 —1 0
cos
1
0 —1 — 2
2
2
— 3
—1
0
高中数学专题系列 三角函数讲义
§1.1.1、任意角1、 正角、负角、零角、象限角的概念.2、 与角α终边相同的角的集合：{}Z k k ∈+=,2παββ.§1.1.2、弧度制1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2、 rl =α. 3、弧长公式：R R n l απ==180. 4、扇形面积公式：lR R n S 213602==π. §1.2.1、任意角的三角函数1、 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么：xyx y ===αααtan ,cos ,sin 2、 设点(),A x y为角α终边上任意一点，那么：（设r =sin y r α=，cos x r α=，tan yxα=，cot x y α=3、 αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号和三角函数线的画法.正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT5、 特殊角0°，30°45°，60°，90°，180°，270等的三角函数值.§1.2.21、 平方关系：1cos sin 22=+αα 2、 商数关系：αααcos sin tan =. 3、 倒数关系：tan cot 1αα=§1.3、三角函数的诱导公式（概括为Z k ∈）§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质1、记住正弦、余弦函数图象：2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.3、会用五点法作图.sin y x =在[0,2]x π∈上的五个关键点为： 30010-12022ππππ（，）（，，）（，，）（，，）（，，）.y=tanx3π2ππ2-3π2-π-π2oyxy=cotx 3π2ππ22π-π-π2o yx图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质x y sin =x y cos =x y tan =图象定义域 RR},2|{Z k k x x ∈+≠ππ值域[-1,1][-1,1]R最值max min 2,122,12x k k Z y x k k Z y ππππ=+∈==-∈=-时，时，max min 2,12,1x k k Z y x k k Z y πππ=∈==+∈=-时，时，无周期性 π2=T π2=Tπ=T奇偶性 奇偶奇单调性Z k ∈ 在[2,2]22k k ππππ-+上单调递增在3[2,2]22k k ππππ++上单调递减 在[2,2]k k πππ-上单调递增在[2,2]k k πππ+上单调递减在(,)22k k ππππ-+上单调递增 对称性 Z k ∈对称轴方程：2x k ππ=+对称中心(,0)k π对称轴方程：x k π= 对称中心(,0)2k ππ+无对称轴 对称中心,0)(2k π§1.4.3、正切函数的图象与性质1、记住正切函数的图象2、记住余切函数的图象：3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.§1.5、函数()ϕω+=x A y sin 的图象 1、对于函数：()()sin 0,0y A x B A ωφω=++>>有：振幅A ，周期2T πω=，初相ϕ，相位ϕω+x ，频率πω21==Tf .2、能够讲出函数x y sin =的图象与()sin y A x B ωϕ=++的图象之间的平移伸缩变换关系.3、三角函数的周期，对称轴和对称中心函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期2||T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期||T πω=. 对于sin()y A x ωϕ=+和cos()y A x ωϕ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系. 求函数sin()y A x ωϕ=+图像的对称轴与对称中心，只需令()2x k k Z πωϕπ+=+∈与()x k k Z ωϕπ+=∈解出x 即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.4、由图像确定三角函数的解析式 利用图像特征：max min 2A =，max min2y y B +=. ω要根据周期来求,ϕ要用图像的关键点来求.§1.6、三角函数模型的简单应用 （要求熟悉课本例题.）§3.1.1、两角差的余弦公式§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1、()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+ 2、()βαβαβαsin cos cos sin sin -=- 3、()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+ 4、()βαβαβαsin sin cos cos cos +=- 5、()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ+-+=.6、()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ-+-=.§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式1、αααcos sin 22sin =，2、ααα22sin cos 2cos -=变形： 12sin cos sin 2ααα=. 1cos 22-=α α2sin 21-=.升幂公式：221cos 22cos 1cos 22sin αααα⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 降幂公式：221cos (1cos 2)21sin (1cos 2)2αααα=+=-⎧⎪⎨⎪⎩3、ααα2tan 1tan 22tan -=. 4、sin 21cos 2tan 1cos 2sin 2ααααα-==+ §3.2、简单的三角恒等变换1、 注意正切化弦、平方降次.2、辅助角公式)sin(cos sin 22ϕ++=+=x b a x b x a y （其中辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan b aϕ=).解三角形1、正弦定理：R CcB A 2sin sin sin ===. （其中R 为ABC ∆外接圆的半径） 2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ⇔===sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R⇔=== ::sin :sin :sin .a b c A B C ⇔=用途：⑴已知三角形两角和任一边，求其它元素；⑵已知三角形两边和其中一边的对角，求其它元素。
特殊角的三角函数值记忆口诀
特殊角的三角函数值记忆口诀
一、特殊角的定义
在三角函数中，特殊角通常指的是0度、30度、45度、60度和90度这几个特殊角度。
这些角度具有特殊的三角函数值，对于学习和记忆这些数值，可以通过口诀来帮助记忆。
二、口诀的编制
为了方便记忆特殊角的三角函数值，可以借助以下口诀：0度，一个圆缺一点，
sin为零，cos为一，
30度，一角箭头眉，
sin为一半，cos为根三分之一，
45度，锐角二等分，
sin为根二分之一，cos也然，
60度，钟头指牵引，
sin为根三分之一，cos为一半，
90度，劈腿分海洋，
sin是一，cos是零。
三、口诀的应用
借助这个口诀，我们可以轻松记忆0度、30度、45度、60度和90度这几个特殊角的正弦值和余弦值，从而在学习三角函数时更加得心应手。
四、总结
通过口诀的记忆方法，可以帮助我们更好地掌握特殊角的三角函数值，这对于学习三角函数和解题将大有裨益。
因此，
在学习三角函数的过程中，可以尝试借助口诀这一记忆方法，以提高学习效率。
希望以上内容对特殊角的三角函数值的记忆有所帮助，更好地掌握知识。
高中三角函数的特殊角解析与归纳
高中三角函数的特殊角解析与归纳三角函数是数学中的重要概念，它在几何和物理等领域中有着广泛的应用。
特殊角是指具有特殊性质的角度，其三角函数值可以通过简单的分析和归纳得到。
本文将对高中三角函数的特殊角进行解析和归纳。
一、零度和九十度的特殊角1. 零度角（0°）：零度角的特点是其正弦值（sin）为0，余弦值（cos）为1，切线值（tan）为0。
这是因为零度角对应于坐标轴上的点(1,0)，位于x轴上。
2. 九十度角（90°）：九十度角的特点是其正弦值（sin）为1，余弦值（cos）为0，切线值（tan）为无穷大。
这是因为九十度角对应于坐标轴上的点(0,1)，位于y轴上。
二、十五度和三十度的特殊角1. 十五度角（15°）：十五度角的特点是其正弦值（sin）为0.2588（约），余弦值（cos）为0.9659（约），切线值（tan）为0.2679（约）。
这是因为十五度角可以通过三角函数的半角公式进行分解，具体计算过程略。
2. 三十度角（30°）：三十度角的特点是其正弦值（sin）为0.5，余弦值（cos）为0.866（约），切线值（tan）为0.5774（约）。
这是因为三十度角可以通过三角函数的三角恒等式进行分解，具体计算过程略。
三、四十五度的特殊角四十五度角（45°）是一个非常重要的特殊角，它的正弦值、余弦值和切线值都相等，均为0.7071（约）。
这是因为四十五度角对应于一个等腰直角三角形的斜边与直角边之间的角度，所以其三角函数值相等。
四、六十度和七十五度的特殊角1. 六十度角（60°）：六十度角的特点是其正弦值（sin）为0.866（约），余弦值（cos）为0.5，切线值（tan）为1.732（约）。
这是因为六十度角可以通过三角函数的三角恒等式进行分解，具体计算过程略。
2. 七十五度角（75°）：七十五度角的特点是其正弦值（sin）为0.9659（约），余弦值（cos）为0.2588（约），切线值（tan）为3.732（约）。
三角函数高中数学知识点归纳
三角函数高中数学知识点归纳
三角函数高中数学知识点归纳
函数表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。
为大家推荐了高中数学知识点，请大家仔细阅读，希望你喜欢。
一、三角函数
三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提，求三角函数的定义域实际上就是解最简单的三角不等式，通常可用三角函数的图像或三角函数线来求解，注意数形结合思想的应用,如何运用三角函数的图像解决问题能够帮助对数形结合思想的`掌握。
二、三角函数诱导公式
1.公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等运用同角三角函数的基本关系式求值
2.公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin(π+α)=—sinα
cos(π+α)=-cosα
tan(π+α)=tanα
cot(π+α)=cotα
公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：
sin(-α)=-sinα。
三角函数学习
锐角三角函数定义如右图，当平面上的三点A、B、C的连线，AB、AC、BC，构成一个直角三角形，其中∠ACB为直角。
对于AB与AC的夹角∠BAC而言：Rt△ABC对边（opposite）a=BC斜边（hypotenuse）h=AB邻边（adjacent）b=AC(注：tan、cot曾被写作tg、ctg，现已不用这种写法。
)1．锐角三角函数定义锐角角A的正弦（sin），余弦（cos）和正切（tan），余切（cot）以及正割（sec），（余割csc）都叫做角A的锐角三角函数。
正弦（sin）等于对边比斜边；余弦（cos）等于邻边比斜边；正切（tan）等于对边比邻边；余切（cot）等于邻边比对边；正割（sec)等于斜边比邻边；余割(csc)等于斜边比对边。
2．互余角的三角函数关系sin(90°-α)=cosα，cos(90°-α)=sinα,tan(90°-α)=cotα，cot(90°-α)=tanα。
3．同角三角函数间的关系商数关系：sinA/cosA=tanA·平方关系：sin^2(A)+cos^2(A)=1·积的关系：sinA=tanA·cosAcosA=cotA·sinAcotA=cosA²cscAtanA²cotA=1²倒数关系：直角三角形ABC中角A的正弦值就等于角A的对边比斜边，余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边,余切等于邻边比对边4.三角函数值（1）特殊角三角函数值（2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表（3）锐角三角函数值的变化情况（i）锐角三角函数值都是正值（ii）当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（iii）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinα≤1, 1≥cosA≥0当角度在0°<∠A<90°间变化时，tanA>0, cotA>0特殊的三角函数值特殊角的三角函数在三角函数中，有一些特殊角，例如30°、45°、60°，这些角的三角函数值为简单单项式，计算中可以直接求出具体的值。
高中数学讲义微专题26 未知角的三角函数值
微专题26 求未知角的三角函数值在三角函数的解答题中，经常要解决求未知角的三角函数值，此类问题的解决方法大体上有两个，一是从角本身出发，利用三角函数关系列出方程求解，二是向已知角（即三角函数值已知）靠拢，利用已知角将所求角表示出来，再利用三角函数运算公式展开并整体代换求解，本周着力介绍第二种方法的使用和技巧 一、基础知识：1、与三角函数计算相关的公式： （1）两角和差的正余弦，正切公式： ① ()sin sin cos sin cos αβαββα+=+② ()sin sin cos sin cos αβαββα-=-③ ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- ④ ()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+ ⑤ ()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-⑥ ()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+（2）倍半角公式：① sin 22sin cos ααα=② 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-③ 22tan tan 21tan ααα=-（3）辅助角公式：()sin cos a b αααϕ+=+，其中tan b aϕ=2、解决此类问题的方法步骤：（1）考虑用已知角表示未知角，如需要可利用常用角进行搭配 （2）等号两边同取所求三角函数，并用三角函数和差公式展开 （3）利用已知角所在象限和三角函数值求出此角的其他函数值 （4）将结果整体代入到运算式即可3、确定所涉及角的范围：当已知角的一个三角函数值求其他三角函数值时，角的范围将决定其他三角函数值的正负，所以要先判断角的范围，再进行三角函数值的求解。
确定角的范围有以下几个层次：（1）通过不等式的性质解出该角的范围（例如：43ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭， ，则56122πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，）（2）通过该角的三角函数值的符号，确定其所在象限。
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的值．
cos
cos
2
2
sin
sin
2
2
, , 0,
2
2
,,
0,
2 42 2
4
,,
,
24
2
42
sin
1 cos2
45 ,cos
1 sin2
5
2
2
9
2
2
3
cos 2
1 5 245 75 9 3 3 9 27
cos
2cos 2
245
239
12
1
2
729
729
例 5：已知 sin sin sin 0,cos cos cos 0 ，则 cos
47
（ 2）
c os c os
cos cos
si n si n
33
0,
sin
2
14
cos cos cos
sin sin
13 36 1 98 98 2
3
3
例 3：已知 0
，cos
4
4
4
3
3
,sin
5
4
5 ，求 sin 13
解：
3
4
4
2
3
3
sin
sin
cos
4
4
2
4
4
= 0
4 si n
4
cos 3 4
cos 4
sin
cos cos
sin
0,
cos
1 s2i n 4
2
5
0, , 2
sin
, 2 1 cos2
当 sin
3 时， sin
5
34 55
3 , 22
3 5
4 3 24 5 5 25
当 sin
3 时， sin
1，化 简后 可得：
1 1即 cos
2
4
，且 , 均为锐角，求 cos
5
2
cos cos
cos
cos sin
sin ①
, 0, 2
cos
1 s2i n 5 13
sin 12,sin 13
4 sin 5
若
为锐角，
则根据 y sin x 在 0, 单调递增，可知 sin 2
sin ，与条件矛盾
,
cos
sin 33
cos cos 33
sin 33
而
,，
, 而 sin
3 ，故
在第一象限
26
3
62
35
3
4
13 34 3 43
cos
si n
35
25 2 5
10
（ 2） 与（ 1）类似。考虑 2 2
2 ，则 33
2
2
2
sin 2 sin 2
sin 2
cos sin cos2
33
3
3
3
3
1
2sin
cos
3 1
3
4
24
4
3
, cos
5
4
sin 3 4
0, 3 4
12 13
sin 4
3 4
12 3 4 5 56 si n
13 5 5 13 65
小炼有话说：本题注意如何确定两个角的范围：利用已知条件和不等式性质求解
例 4：设 cos
1 ,sin
2
9
2
2 ,
,,
0, ，求 cos
3
2
2
解：
2
22
cos
cos
2
22
32
sin2 cos2 1
但方程过于复杂，难于计算，要进行比较，体会题目所给方法的方便之处
例 2：已知 cos
1 ,cos(
13
)
，且 0
.
7
14
2
（ 1）求 tan2 ；
3 cos
2
3 5 来求解，
（ 2）求 .
解：（ 1） 0
, sin 4 3
t an
43
2
7
2 tan
83
tan 2
1 tan2
开后即可利用已知角的三角函数进行整体代入，由
0 2
和 sin
3
可知
5
4
cos
，但
5
3 ,
， 所 以 不 能 判 定 sin
22
的符号， 所以由
cos(
) 4 可 得 ： si n
5
3
， 分 别 代 入 表 达 式 可 计 算 出 si n
0或
5
24
sin
，由
25 2
24 可知 sin
25
解：
sin sin
（ 3）利用特殊角将该角圈在一个区间内（区间长度通常为
（ 4）通过题目中隐含条件判断角的范围。例如： sin
二、典型例题：
）
4
cos
6
，可判断出
5
在第一象限
例 1：已知 sin
3， 35
,
，求：
26
（ 1） sin （ 2） sin2
解：（ 1）已知的角为
，而所求角
3
,故可以考虑
33
sin sin
（）
A. 1
思路： 所求角与
B. 1
1
C.
2
1
D.
2
, 相关， 但题目中有 sin ,cos ，所以考虑利用 sin 2 cos2
1 消去 ，
sin sin
sin
即
cos cos cos
2sin sin 2cos cos
答案： D
例 6：已知 sin
12 ,sin 13
解：
2
2
sin sin
cos cos
2
3
，代入①可得：
5
cos
3 5 12 4 33
5 13 13 5 65
2cos2
33 1
cos2
49
2
65
2 65
0,
0,
2
2
4
cos 2
77 65
65 65
例 7：已知 0 2
， sin
思路一：考虑用已知角表示未知角，
3 ， cos(
5
4
)
，则 sin
5
，从而 sin sin
_______ ，展
① sin
sin cos sin cos
② sin
sin cos sin cos
③ cos
cos cos sin sin
④ cos
cos cos sin sin
⑤ tan
tan tan 1 tan tan
⑥ tan
tan tan 1 tan tan
（ 2）倍半角公式：
① sin2 2sin cos
② cos2 cos2 sin 2 2cos 2 1 1 2sin 2
2sin 2
23323来自34 31 9 5 5 2 25
12 8 3 25
小炼有话说： （ 1）本题先利用已知角表示未知角，然后用已知角整体代换求解 （ 2）注意在求已知角其他的三角函数值时，要确定已知角的范围，进而确定其他三角函数值 的符号
sin
（ 3）本题第 1 问也可利用方程的思想，即
1 sin
微专题 26 求未知角的三角函数值
在三角函数的解答题中，经常要解决求未知角的三角函数值，此类问题的解决方法大体上 有两个，一是从角本身出发，利用三角函数关系列出方程求解，二是向已知角（即三角函数 值已知）靠拢，利用已知角将所求角表示出来，再利用三角函数运算公式展开并整体代换求 解，本周着力介绍第二种方法的使用和技巧 一、基础知识： 1、与三角函数计算相关的公式： （ 1）两角和差的正余弦，正切公式：
（ 4）将结果整体代入到运算式即可
3、确定所涉及角的范围：当已知角的一个三角函数值求其他三角函数值时，角的范围将决定 其他三角函数值的正负，所以要先判断角的范围，再进行三角函数值的求解。确定角的范围
有以下几个层次：
（ 1）通过不等式的性质解出该角的范围（例如：
， ，则 43
5， ） 6 12 2
（ 2）通过该角的三角函数值的符号，确定其所在象限。
③ tan2
2tan 1 tan2
（ 3）辅助角公式： a sin b cos
a2 b2 sin
b ，其中 tan
a
2、解决此类问题的方法步骤：
（ 1）考虑用已知角表示未知角，如需要可利用常用角进行搭配
（ 2）等号两边同取所求三角函数，并用三角函数和差公式展开
（ 3）利用已知角所在象限和三角函数值求出此角的其他函数值