2011高考数学课下练兵：2.03-函数的单调性
2011高考数学课下练兵：函数的单调性
第二章 第三节 函数的单调性课下练兵场一、选择题1.(2010·大连模拟)下列函数在(0,1)上是减函数的是 ( ) A.y ＝log 0.5(1－x ) B.y ＝x 0.5C.y ＝0.51－x D.y ＝12(1－x 2)解析：y ＝log 0.5(1－x )在(0,1)上为增函数；y ＝x 0.5在(0,1)上是增函数；[来书利华教育网 精心打造一流新课标资料] y ＝0.51－x在(0,1)上为增函数；函数y ＝12(1－x 2)在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数，∴函数y ＝12(1－x 2)在(0,1)上是减函数.答案：D2.函数y ＝2x 2－(a －1)x ＋3在(－∞，1]内递减，在(1，＋∞)内递增，则a 的值是 ( ) A.1 B.3 C.5 D.－1 解析：依题意可得对称轴x ＝14a ＝1，∴a ＝5.答案：C [来书利华教育网 精心打造一流新课标资料]3.函数y( ) A.(－∞，－2) B.[－5，－2] C.[－2,1] D.[1，＋∞) 解析：由5－4x －x 2≥0，得函数的定义域为 {x |－5≤x ≤1}.∵y ＝5－4x －x 2＝－(x 2＋4x ＋4)＋9＝－(x ＋2)2＋9， 对称轴方程为x ＝－2，拋物线开口向下， ∴函数的递增区间为[－5，－2]. 答案：B4.(2009·福建高考)下列函数f (x )中，满足“对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f(x 1)>f(x 2)”的是 ( ) A.f (x )＝1x B.f (x )＝(x －1)2 C.f (x )＝e x D .f (x )＝ln(x ＋1)解析：由题意知，函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数. 在A 中，由f ′(x )＝－21x<0得x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数；在B 中，由f ′(x )＝2(x －1)<0得x <1，所以f (x )在(－∞，1)上为减函数. 在C 中，由f ′(x )＝e x >0，知f (x )在R 上为增函数. 在D 中，由f ′(x )＝1x ＋1且x ＋1>0知，f ′(x )>0， 所以f (x )在(－1，＋∞)上为增函数. 答案：A5.(2009·天津高考)已知函数2240,()40.x xx f x x xx ⎧+⎪=⎨-<⎪⎩≥若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是 ( ) A.(－∞，－1)∪(2，＋∞) B.(－1,2)C.(－2,1)D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：22224(2)40,()4(2)40,x x x x f x x x x x ⎧+=+-⎪=⎨-=-+<⎪⎩≥由f (x )的图象可知，f (x )在(－∞，＋∞)上是单调递增函数.由f (2－a 2)>f (a )，得2－a 2>a ， 即a 2＋a －2<0，解得－2<a <1. 答案：C6.(2009·辽宁高考)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)单调增加，则满足f (2x －1)<f (13)的x 的取值范围是 ( )A.(13，23)B.[13，23)C.(12，23)D.[12，23)[来书利华教育网 精心打造一流新课标资料解析：f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称， 又f (x )在[0，＋∞)上递增，∴f (2x －1)<f (13)⇔|2x －1|<13⇔13<x <23.答案：A 二、填空题7.函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是 .解析：y ＝－(x －3)|x |=3(0),23().x xx x xx -+>⎧⎨-⎩≤0作出该函数的图象，观察图象知递增区间为[0，32].答案：[0，32]8.若在区间[12，2]上，函数f (x )＝x 2＋px ＋q 与g (x )＝x ＋1x 在同一点取得相同的最小值，则f (x )在该区间上的最大值是 .解析：对于g (x )＝x ＋1x 在x ＝1时，g (x )的最小值为2，则f (x )在x ＝1时取最小值2， ∴－p2＝1，4q －p 24＝2.∴p ＝－2，q ＝3.[来书利华教育网 精心打造一流新课标资料]∴f (x )＝x 2－2x ＋3，∴f (x )在该区间上的最大值为3.[来书利华教育网 精心打造一流新课标资料] 答案：39.有下列几个命题：①函数y ＝2x 2＋x ＋1在(0，＋∞)上不是增函数；②函数y ＝1x ＋1在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上是减函数；[来书利华教育网精心打造一流新课标资料]③函数y ＝5＋4x －x 2的单调区间是[－2，＋∞)；④已知f (x )在R 上是增函数，若a ＋b >0，则有f (a )＋f (b )>f (－a )＋f (－b ). 其中正确命题的序号是 .解析：①函数y ＝2x 2＋x ＋1的对称轴为x ＝－14，故在(0，＋∞)上是增函数，∴①错；②函数y ＝1x ＋1的单调减区间为(－∞，－1)、(－1，＋∞)，但单调区间不能并起来写，不符合减函数定义，∴②错；③要研究函数y ＝5＋4x －x 2的单调区间，首先要求函数的定义域，由被开方数5＋4x －x 2≥0，解得－1≤x ≤5，而[－2，＋∞)不是上述区间的子区间，∴③错； ④∵f (x )在R 上是增函数，且a >－b ， ∴b >－a ，f (a )>f (－b )，f (b )>f (－a )， f (a )＋f (b )>f (－a )＋f (－b )，因此④是正确的. 答案：④三、解答题10.函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是递增的，求实数a 的取值范围.解：f (x )＝ax ＋1x ＋2＝a (x ＋2)＋1－2a x ＋2＝1－2ax ＋2＋a . 任取x 1，x 2∈(－2，＋∞)，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝1－2a x 1＋2－1－2ax 2＋2＝(1－2a )(x 2－x 1)(x 1＋2)(x 2＋2).∵函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上为增函数， ∴f (x 1)－f (x 2)<0.∵x 2－x 1>0，x 1＋2>0，x 2＋2>0，∴1－2a <0，a >12，即实数a 的取值范围是(12，＋∞).11.已知函数f (x )＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )＜2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围.[来书利华教育网 精心打造一流新课标资料]解：(1)证明：当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x ， 设0<x 1<x 2，则x 1x 2>0，x 2－x 1>0. f (x 1)－f (x 2)＝(a －1x 1)－(a －1x 2)＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2<0.∴f (x 1)<f (x 2)， 即f (x )在(0，＋∞)上是增函数.[来书利华教育网 精心打造一流新课标资料(2)由题意a －1x ＜2x 在(1，＋∞)上恒成立， 设h (x )＝2x ＋1x ，则a ＜h (x )在(1，＋∞)上恒成立. 可证h (x )在(1，＋∞)上单调递增.故a ≤h (1)，即a ≤3，∴a 的取值范围为(－∞，3].12.已知函数f (x )对任意的a 、b ∈R 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，且当x >0时，f (x )>1.(1)求证：f (x )是R 上的增函数；[来书利华教育网 精心打造一流新课标资料(2)若f (4)＝5，解不等式f (3m 2－m －2)<3.解：(1)证明：任取x 1<x 2， ∴x 2－x 1>0. ∴f (x 2－x 1)>1.∴f (x 2)＝f [x 1＋(x 2－x 1)] ＝f (x 1)＋f (x 2－x 1)－1>f (x 1)， ∴f (x )是R 上的增函数. (2)f (4)＝f (2)＋f (2)－1＝5， ∴f (2)＝3.∴f (3m 2－m －2)<3＝f (2).又由(1)的结论知，f (x )是R 上的增函数， ∴3m 2－m －2<2，∴－1<m <43.。
2011届高考数学函数的单调性复习
解析
依据增函数的定义可知，对于①③， 依据增函数的定义可知，对于①③，当自变 ①③
,∴x +1>0,x +1>0,x ∵-1<x1<x2,∴x1+1>0,x2+1>0,x2-x1>0. 1<x
2( x2 x1 ) ∴ > 0, ( x1 + 1)( x2 + 1)
)>0，所以f )>f 即f(x1)-f(x2)>0，所以f(x1)>f(x2).
Hale Waihona Puke 故 f ( x) =（2）函数f(x)=-x2+2x+1在［1,+∞）上为减函数， 函数f )=- +2x+1在 1,+∞）上为减函数， 证明如下： 证明如下： 任取x 任取x1、x2∈R，且x2>x1≥1,
1 |) < f (1) x
（C）
1 | 由已知条件： 解析 由已知条件： |> 1, x
| x |< 1 , 不等式等价于 x ≠ 0
解得-1<x<1,且 解得-1<x<1,且x≠0.
4.函数y=(2k+1)x 4.函数y=(2k+1)x+b在（-∞，+∞）上是减函数，则 函数 +∞）上是减函数， ( D) A. k > 1 B.k < 1 2 2 C. k > 1 D. k < 1 2 2 =(2k+1)x +∞）上是减函数， 解析 使y=(2k+1)x+b在（-∞，+∞）上是减函数，
(整理)(高考数学复习讲练3)函数的单调性求函数解析式.
个性化教学辅导教案学科：数学 任课教师：叶雷 授课时间：2011 年 月 日(星期 ) : ~ : 姓名 阳丰泽年级 高三 性别男教学课题 函数的单调性、求函数解析式教学 目标 函数的单调性是函数的核心内容，也是高考重点考查的知识，主要包括对函数单调性定义的考查，对函数图象的考查，对复合函数单调性和对数函数的单调性的综合应用的考查等等。
重点 难点函数单调性的概念 函数单调性的判断和证明课前检查作业完成情况：优□ 良□ 中□ 差□ 建议__________________________________________第 讲 函数的单调性、求函数解析式1．上节课我们学习了函数的概念，同学们回忆一下： （1）函数有几个要素？各是什么？（2）函数的定义域怎样确定？怎样表示？（3）函数的表示方法常见的有几种？各有什么优点？前面我们学习了函数的概念、表示方法以及区间的概念，现在我们来研究一下函数的性质 2．观察函数的图像：（当x 增加的时候，y 的变化怎样？）函数2y x =的图像在y 轴右侧的部分是上升的，说明什么？（随着x 的增加，y 值在增加），3y x =又怎样？知识点一：函数的单调性 1．单调函数的定义（1）单调递增函数的定义：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。
（2）单调减函数的定义：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。
（3）单调性：如果函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数。
那么就说函数()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做()y f x =的单调区间。
河北省2011年高考数学一轮复习精品导学案：2.2函数的单调性
函数、导数及其应用2。
2函数的单调性【高考目标定位】一、考纲点击1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；2．会运用函数图象理解和研究函数的单调性、最值。
二、热点、难点提示1．函数的单调性与最值是函数最重要的两个性质,在每年的高考中均有重要体现。
常见问题有求单调区间,判断函数的单调性,求函数的最值或求某变量的取值范围等。
2．在高考试题中三种题型都有可能出现，选择题、填空题题较多。
【考纲知识梳理】一、函数的单调性（1）单调函数的定义D上是增函数间D上是增函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2）单调区间的定义若函数f（x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x)在这一区间上具有（严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间。
注：单调区间是定义域的子区间二、函数的最值前提设函数f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意x∈I，都有f(x）≤M②存在x∈I，使得f(x)=M ①对于任意x∈I,都有f(x）≥M②存在x∈I,使得f(x）=M结论M为最大值M为最小值注：函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素与最大元素；任何一个函数,其值域必定存在,但其最值不一定存在.【热点、难点精析】一、函数单调性的判定1、用定义证明函数单调性的一般步骤(1）取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x1〈x2。
(2)作差：即f(x2）–f(x1)（或f（x1）—f(x2））,并通过通分、配方、因式分解等方法,向有利于判断差的符号的方向变形。
（3)定号：根据给定的区间和x2- x1符号，确定差f（x2) –f(x1)（或f（x1)—f(x2））的符号.当符号不确定时，可以进行分类讨论。
（4)判断：根据定义得出结论。
2．求函数的单调性或单调区间的方法（1）利用已知函数的单调性;（2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义；（3）图象法：如果f（x)是以图象形式给出的，或者f（x）的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间。
2011届高考数学 函数的单调性课时复习训练试题
函数的单调性时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．(2009·福建高考)下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是 ( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：∵对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上为减函数．故选A. 答案：A2．(2009·辽宁高考)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，23解析：f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称，又f (x )在[0，＋∞)上递增，∴f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13⇔|2x －1|<13⇔13<x <23.故选A. 答案：A3．函数y ＝log a (x 2＋2x －3)，当x ＝2时y >0，则此函数的单调递减区间是 ( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－1，＋∞)解析：当x ＝2时，y ＝log a 5>0， ∴a >1，由x 2＋2x －3>0⇒x <－3或x >1，易见函数t ＝x 2＋2x －3在(－∞，－3)上递减，故函数y ＝log a (x 2＋2x －3)(其中a >1)也在(－∞，－3)上递减． 答案：A4．已知f (x )＝log a [(3－a )x －a ]是其定义域上的增函数，那么a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1,3) C ．(0,1)∪(1,3) D ．(3，＋∞)解析：由题知，⎩⎨⎧ 3－a <00<a <1或⎩⎨⎧a >13－a >0，解得1<a <3.故选B.答案：B5．设f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数，已知x ∈(0,1)时，，则函数f (x )在(1,2)上( )A ．是增函数，且f (x )<0B ．是增函数，且f (x )>0C ．是减函数，且f (x )<0D ．是减函数，且f (x )>0解析：答案：D6．(2010·河南六市一模)奇函数f (x )在区间(－∞，0)上单调递减，f (2)＝0，则不等式(x －1)f (x ＋1)>0的解集为( ) A ．(－2，－1)∪(1,2) B ．(－3,1)∪(2，＋∞) C ．(－3，－1)D ．(－2,0)∪(2，＋∞)解析：奇函数f (x )在区间(－∞，0)上单调递减，在区间 (0，＋∞)上单调递减，由f (2)＝0得f (－2)＝0，则不等式(x －1)f (x ＋1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －1<0，－2<x ＋1<0或x ＋1>2或⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，0<x ＋1<2或x ＋1<－2，其解集为(－3，－1)，故选C. 答案：C二、填空题(每小题5分，共20分)7．函数y ＝ln 1＋x1－x 的单调递增区间是__________．解析：本题考查复合函数单调区间的确定；据题意需1＋x1－x>0即函数定义域为(－1,1)，原函数的递增区间即为函数u (x )＝1＋x 1－x 在(－1,1)上的递增区间，由于u ′(x )＝(1＋x 1－x )′＝2(1－x )2>0.故函数u (x )＝1＋x1－x在(－1,1)上的递增区间即为原函数的递增区间．答案：(－1,1)8．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是__________．解析：y ＝－(x －3)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x (x >0)x 2－3x (x ≤0)图1作出该函数的图象，观察图象知递增区间为⎣⎡⎦⎤0，32. 答案：⎣⎡⎦⎤0，32 9．若函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a >0，a ≠1)在区间(0，12)内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为__________．解析：当x ∈(0，12)时，0<2x 2＋x <1，又f (x )>0，则0<a <1.由2x 2＋x >0，解得：x <－12或x >0，则f (x )的递增区间为(－∞，－12)．答案：(－∞，－12)10．(2008·湖南高考)已知函数f (x )＝3－axa －1(a ≠1)． (1)若a >0，则f (x )的定义域是________；(2)若f (x )在区间(0,1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：(1)∵a >0且a ≠1，要使f (x )有意义，只需3－ax ≥0，即x ≤3a.∴x ∈⎝⎛⎦⎤－∞，3a ； (2)若a ＝0，f (x )＝－3不合题意； 若a <0，y ＝3－ax 是(0,1]上的增函数，且a －1<0，∴f (x )是(0,1]上的减函数；若a >0，∵y ＝3－ax 是(0,1]上的减函数，故需a －1>0，∴a >1，另一方面，f (x )的定义域为⎝⎛⎦⎤－∞，3a ， ∴3a≥1，∴a ≤3，∴a ∈(1,3]．综上知a ∈(－∞，0)∪(1,3]． 答案：(1)⎝⎛⎦⎤－∞，3a (2)(－∞，0)∪(1,3] 三、解答题(共50分)11．(15分)已知函数f (x )＝xx 2＋1(x ∈R )，求f (x )的单调区间，并加以证明．解：解法1：由函数的单调区间(增区间，减区间)的定义入手分析，取x 1<x 2，分析f (x 1)－f (x 2)的符号，由此找出单调增区间与单调减区间．∵f (x )＝xx 2＋1(x ∈R )是奇函数，∴只需研究(0，＋∞)上f (x )的单调区间即可． 任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 21＋1－x 2x 22＋1＝(x 2－x 1)(x 1x 2－1)(x 21＋1)(x 22＋1). ∵x 21＋1>0，x 22＋1>0，x 2－x 1>0， 而x 1，x 2∈(0,1)时，x 1x 2－1<0； x 1，x 2∈[1，＋∞)时，x 1x 2－1≥0，∴当x 1，x 2∈(0,1)时，f (x 1)－f (x 2)<0，函数f (x )是增函数；当x 1，x 2∈[1，＋∞)时，f (x 1)－f (x 2)≥0，函数f (x )是减函数．又f (x )是奇函数，∴f (x )在(－1,0)上是增函数，在(－∞，－1]上是减函数．又x ∈[0,1)，u ∈(－1,0]上恒有f (x )≥f (u )，等号只在x ＝u ＝0时取到，故f (x )在(－1,1)上是增函数．综上知，函数f (x )在(－1,1)上是增函数，在(－∞，－1]和[1，＋∞)上是减函数． 解法2：f ′(x )＝(x 1＋x 2)′＝1－x 2(1＋x 2)2，f ′(x )>0⇒x ∈(－1,1)，即在(－1,1)上函数单调递增．f ′(x )≤0⇒x ∈[1，＋∞)∪(－∞，－1]即在(－∞，－1]和[1，＋∞)上函数单调递减． 综上知，函数f (x )的单调增区间为(－1,1)，单调减区间为(－∞，－1]和[1，＋∞)． 12．(15分)函数f (x )的定义域为D ＝{x |x >0}，且满足：对于任意m ，n ∈D ，都有f (m ·n )＝f (m )＋f (n )．(1)求f (1)的值； (2)如果f (2)＝1，f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤2，且f (x )在 (0，＋∞)上是单调增函数，求x 的取值范围．解：(1)令m ＝n ＝1，有f (1×1)＝f (1)＋f (1)，解得f (1)＝0.(2)f (4)＝f (2×2)＝f (2)＋f (2)＝2，所以f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤2⇔f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤f (4)． 因为f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数，所以f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤f (4)⇔⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1>0，2x －6>0，(3x ＋1)(2x －6)≤4⇔3<x ≤4＋313，故x 的取值范围为(3，4＋313]．13．(20分)已知函数f (x )＝ln x －x －1x.(Ⅰ)判定函数f (x )的单调性；(Ⅱ)设a >1，证明：ln a a －1<1a.解：(Ⅰ)∵f ′(x )＝1x －x －(x －1)·12x x＝1x －2x －(x －1)2x x ＝1x －x ＋12x x ＝2x －x －12x x ＝－(x －1)22x x .又∵函数f (x )的定义域为x >0， ∴－(x －1)22x x≤0，而在(0，＋∞)上，只有当x ＝1时，f ′(x )＝0， ∴f (x )是定义域上的减函数． (Ⅱ)由(Ⅰ)f (x )是定义域上的减函数， ∴当a >1时，f (a )<f (1)， 即ln a －a －1a <0，即ln a <a －1a，又∵a －1>0，∴ln a a －1<1a成立．。
2011届高考数学函数的单调性复习教案1
课 题：2.3.1 函数的单调性1教学目的：（1）了解单调函数、单调区间的概念：能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思（2）理解函数单调性的概念：能用自已的语言表述概念；并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间（3）掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题：能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性教学重点：函数的单调性的概念；教学难点：利用函数单调的定义证明具体函数的单调性 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教材分析：函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；在历年的高考中对函数的单调性考查每年都有涉及；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学在本节课中的教学中以函数的单调性的概念为线，它始终贯穿于整个课堂教学过程；利用函数的单调性的定义证明具体函数的单调性是对函数单调性概念的深层理解，且在“作差、变形、定号”过程学生不易掌握按现行新教材结构体系，学生只学过一次函数、反比例函数、正比例函数、二次函数，所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数学生的现有认知结构中能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大函数值增大”等变化趋势，所以在教学中要充分利用好函数图象的直观性、发挥好多媒体教学的优势；由于学生在概念的掌握上缺少系统性、严谨性，在教学中须加强根据以上分析本节课教学方法以在多媒体辅助下的启发式教学为主；同时，本节课在教学过程中对教材中的函数3x y =的图象进行了删除，教学中始终以23+=x y 、2x y =、xy 1=等函数为例子进行讨论研究 教学过程： 一、复习引入：⒈ 复习：照列表、描点、连线等步骤先分别画函数2x y =3x y =的图象. 2x y =的图象如图1，3x y =如图2.⒉ 引入：从函数2x y =的图象（图1）看到：图象在y 轴的右侧部分是上升的，也就是说，当x 在区间[0，+∞)上取值时，随着x 的增大,相应的y 值也随着增大，即如果取21,x x ∈[0，+∞)，得到1y =)(1x f ,2y =)(2x f ,那么当1x <2x 时，有1y <2y .这时我们就说函数y =)(x f =2x 在[0,+ ∞)上是增函数. 图象在y 轴的左侧部分是下降的，也就是说， 当x 在区间（-∞，0）上取值时，随着x 的增大， 相应的y 值反而随着减小，即如果取21,x x ∈（-∞，0），得到1y =)(1x f ,2y =)(2x f ,那么当1x <2x 时，有1y >2y .这时我们就说函数y =)(x f =2x 在(-∞,0)上是减函数. 函数的这两个性质，就是今天我们要学习讨论的. 二、讲解新课： ⒈ 增函数与减函数定义：对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值21,x x ，⑴若当1x <2x 时，都有)(1x f <)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是增函数（如图3）；⑵若当1x <2x 时，都有)(1x f >)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是减函数（如图4）.说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数2x y =（图1），当x ∈[0,+∞)时是增函数，当x ∈(-∞,0)时是减函数. ⒉ 单调性与单调区间若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(x f 的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的. 说明：⑴函数的单调区间是其定义域的子集；⑵应是该区间内任意的两个实数，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在21,x x 那特定位置上，虽然使得)(1x f >)(2x f ，但显然此图象表示的函数不是一个单调函数；⑶除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“)(1x f <)(2x f 或)(1x f >)(2x f , ”改为“)(1x f ≤)(2x f 或)(1x f ≥)(2x f ,”即可；⑷定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；外延①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减.②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数. 三、讲解例题：例1 如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数)(x f y =的图象，根据图象说出)(x f y =的单调区间，以及在每一单调区间上，函数)(x f y =是增函数还是减函数.解：函数)(x f y =的单调区间有[-5，-2)，[-2，1)，[1，3)，[3，5]，其中)(x f y =在区间[-5，-2)，[1，3)上是减函数，在区间[-2，1)，[3，5]上是增函数.说明：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；另外，中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以；还要注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点.例2 证明函数23)(+=x x f 在R 上是增函数. 证明：设21,x x 是R 上的任意两个实数，且1x <2x ，则)(1x f －)(2x f =(31x +2)-(32x +2)=3(1x －2x ),由1x <2x x,得1x －2x <0 ,于是)(1x f －)(2x f <0,即 )(1x f <)(2x f .∴23)(+=x x f 在R 上是增函数. 例3 证明函数xx f 1)(=在(0,+∞)上是减函数. 证明：设1x ,2x 是(0,+∞)上的任意两个实数，且1x <2x ，则)(1x f －)(2x f =11x －21x =2112x x x x -, 由1x ,2x ∈(0,+ ∞)，得1x 2x >0,又由1x <2x ,得2x －1x >0 ,于是)(1x f －)(2x f >0,即)(1x f > )(2x f ∴xx f 1)(=在(0,+ ∞)上是减函数. 例4．讨论函数322+-=ax x f(x)在(-2,2)内的单调性.解：∵222332a (x-a)ax x f(x)-+=+-=，对称轴a x =∴若2-≤a ,则322+-=ax x f(x)在(-2,2)内是增函数；若22<<-a 则322+-=ax x f(x)在(-2,a)内是减函数,在[a,2]内是增函数 若2≥a ,则322+-=ax x f(x)在(-2,2)内是减函数. 四、练习：1：课本P59练习：1，2答案：)(x f 的单调区间有[-2,-1]，[-1,0]，[0,1]，[1,2]；)(x f 在区间[-2,-1]，[0,1]上是增函数，在区间[-1,0]，[1,2]上是减函数.)(x g 的单调区间有[-π,-2π]，[-2π,2π]，[2π, π]；)(x g 在区间[-π,-2π]，[2π，π]上是减函数，在区间[-2π，2π]上是增函数. 说明：要了解函数在某一区间是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用而又较为粗略的方法，严格地说，它需要根据增（减）函数的定义进行证明，下面举例说明.2判断函数23)(+-=x x f 在R 上是增函数还是减函数？并证明你的结论. 解：设1x ,2x ∈R ，且1x <2x ，∵)(1x f －)(2x f =(-31x +2)-(-32x +2)=3(2x -1x ), 又1x <2x ,∴)(1x f －)(2x f >0,即 )(1x f > )(2x f . ∴23)(+-=x x f 在R 上是减函数. 3判断函数)(x f =x1在(-∞,0)上是增函数还是减函数并证明你的结论. 解：设1x ,2x ∈(-∞，0)，且1x <2x ，∵)(1x f －)(2x f =11x －21x =2112x x x x -=2112x x x x -, 由1x ,2x ∈(-∞，0)，得1x 2x >0,又由1x <2x ,得2x －1x >0 ,于是)(1x f －)(2x f >0,即 )(1x f > )(2x f . ∴)(x f =x1在(0,+ ∞)上是减函数. 能否说函数)(x f =x1在(-∞，+∞)上是减函数？ 答：不能. 因为x =0不属于)(x f =x1的定义域. 说明：通过观察图象，对函数是否具有某种性质，作出猜想，然后通过推理的办法，证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法.4 ⑴ 判断函数b kx x f +=)(在R 上的单调性，并说明理由. ⑵ 课本P60练习：4.解：⑴设1x ,2x ∈R ，且1x <2x ,则)(1x f －)(2x f =(k 1x +b)-(k 2x +b)=k(1x -2x ).若k>0，又1x <2x ,∴)(1x f －)(2x f <0,即 )(1x f <)(2x f .∴b kx x f +=)(在R 上是增函数.若k<0，又1x <2x ,∴)(1x f －)(2x f >0,即 )(1x f > )(2x f .第4（2）题∴b kx x f +=)(在R 上是减函数. ⑵设1x ,2x ∈(0,+∞)，且1x <2x ，∵)(1x f －)(2x f =(21x +1)-(22x +1)= 21x -22x =(1x +2x ) (1x -2x ) ∵0<1x <2x ,∴1x +2x >0，1x -2x <0， ∴)(1x f －)(2x f <0,即)(1x f <)(2x f ， ∴)(x f =2x +1在(0,+∞)上是增函数.五、小结 ⒈讨论函数的单调性必须在定义域内进行,即函数的单调区间是其定义域的子集,因此讨论函数的单调性,必须先确定函数的定义域;⒉根据定义证明函数单调性的一般步骤是：⑴设1x ,2x 是给定区间内的任意两个值，且1x <2x ；⑵作差)(1x f －)(2x f ，并将此差式变形（要注意变形的程度）；⑶判断)(1x f －)(2x f 的正负（要注意说理的充分性）；⑷根据)(1x f －)(2x f 的符号确定其增减性. 六、课后作业：课本第60习题2.3：1，2，3补充：⑴)(x f =41252-⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 是以(25,41-)为顶点、对称轴平行于y 轴、开口向上的抛物线（如图）;它的单调区间是(-∞,25]与[25,+ ∞);它在(-∞,25]上是减函数，在[25,+ ∞)上是增函数.证明：设1x <2x ≤25,则 )(1x f －)(2x f =21x -22x -5(1x -2x )=(1x +2x -5) (1x -2x )∵1x <2x 25≤,∴1x +2x <5，1x -2x <0， ∴)(1x f －)(2x f >0,即 )(1x f > )(2x f .. ∴)(x f =2x -5x +6在(-∞,25]上是减函数.类似地，可以证明)(x f 在[25,+∞)上是增函数. ⑵)(x f =-2x +9的图象是以(0,9)为顶点、y 轴为对称轴、开口向下的一条抛物线（如图）；它的单调区间是(-∞,0]与[0,+∞)，它在(-∞,0]上是增函数，在[0,+∞)上是减函数.证明：设1x <2x ≤0,则)(1x f －)(2x f =-21x +22x =(1x +2x ) (2x -1x ) ∵1x <2x ≤0,∴1x +2x <0，2x -1x >0， ∴)(1x f －)(2x f <0,即)(1x f <)(2x f .∴)(x f =9-2x 在(-∞,0]上是增函数.类似地，可以证明)(x f 在[0,+∞)上是减函数. 七、板书设计（略） 八、课后记：。
2011年高考数学一轮复习 第三节函数的单调性 课下作业 新人教版
第二章 第三节 的单调性题组一函数单调性的判定1.(2009·某某高考)下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( ) A.f (x )＝1xB.f (x )＝(x －1)2C.f (x )＝e xD.f (x )＝ln(x ＋1)解析：∵对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时， 都有f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上为减函数. 答案：A2.函数y ＝x 2＋b x ＋c (x ∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是( ) A.b ≥0 B.b ≤0C. b ＞0 D. b ＜0解析：∵函数y ＝x 2＋bx ＋c 在[0，＋∞)上为单调函数 ∴x ＝－2b≤0，即b ≥0. 答案：A3.讨论函数f (x )＝x ＋a x(a >0)的单调性. 解：f (x )＝x ＋a x(a >0)， ∵定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}且f (－x )＝－x ＋a －x ＝－(x ＋ax)＝－f (x ).∴f (x )为奇函数，所以先讨论f (x )在(0，＋∞)上的单调性. 设x 1> x 2>0， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1a x －x 2－2a x ＝(x 1－x 2)(1－12ax x )， ∵当0<x 2<x 1≤a 时，恒有12ax x >1. 则f (x 1)－f (x 2)<0，故f (x )在(0，a ]上是减函数.当x 1>x 2≥a 时，恒有0<12ax x <1， 则f (x 1)－f (x 2)>0，故f (x )在[a ，＋∞)上是增函数. ∵f (x )是奇函数，∴f (x )在(－∞，－a ]，[a ，＋∞)上为增函数；f (x )在[－a ，0)，(0，a ]上为减函数.4.如果函数f a 的取值X围是 ( )A.[－3，＋∞)B.(－∞，－3]C.(－∞，5]D.[3，＋∞) 解析：f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2的对称轴为x ＝1－a ，∴f (x )在(－∞，1－a ]上是减函数，要使f (x )在区间(－∞，4]上是减函数，则只需1－a ≥4，即a ≤－3. 答案：B5.(2010·黄冈模拟)已知函数f (x )＝13log (2x 2＋x )，则f (x )的单调递增区间为( )A.(－∞，－14)B.(－14，＋∞)C.(0，＋∞)D.(－∞，－12)解析：由2 x 2＋x ＞0，得x ＞0或x ＜－12，令h (x )＝2 x 2＋x ，则h (x )的单调减区间为(－∞，－14).又∵x <－12，∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－12).答案：D 6.已知函数f (x )a ≠1).(1)若a ＞0，则f (x )的定义域是；(2)若f (x )在区间(0,1]上是减函数，则实数a 的取值X 围是. 解析：当a ＞0且a ≠1时，由3－ax ≥0得x ≤3a，即此时函数f (x )的定义域是(－∞，3a]； (2)当a －1＞0，即a ＞1时，要使f (x )在(0,1]上是减函数，则需3－a ×1≥0，此时1＜a ≤3.当a －1＜0，即a ＜1时，要使f (x )在(0,1]上是减函数，则需－a ＞0， 此时a ＜0.综上所述，所某某数a 的取值X 围是(－∞，0)∪(1,3]. 答案：(1)(－∞，3a] (2)(－∞，0)∪(1,3]7.已知a ＝f (log 47)，b ＝f (log 123)，c ＝f (0.20.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.c <b <aB.b <c <aC.c >a >bD.a <b <c 解析：由题意f (x )＝f (|x |).∵log 47＝log 27>1，|log 123|＝log 23>1,0<0.20.6<1，∴|log 123|>|log 47|>|0.20.6|.又∵f (x )在(－∞，0]上是增函数且为偶函数， ∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数.∴c >a >b . 答案：C8.(2009·某某高考)已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )，则f (52)的值是( )A.0B.12C.1D.52解析：令x ＝－12，∴－12f (12)＝12f (－12)＝12f (12)(∵f (－12)＝f (12))，∴f (12)＝0.令x ＝12，∴12f (32)＝32f (12)，∴f (32)＝0.令x ＝32，∴32f (52)＝52f (32)，∴f (52)＝0.答案：A9.设奇函数f (x )在 [－1,1]上是增函数，f (－1)＝－1.若函数f (x )≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]都成立，则当a ∈[－1,1]时，t 的取值X 围是.解析：若函数f (x )≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]都成立，由已知易得f (x )的最大值是1，∴1≤t 2－2at ＋1⇔2at －t 2≤0，设g (a )＝2at －t 2(－1≤a ≤1)，欲使2at －t 2≤0恒成立， 则g g ⎧⎨⎩(-1)≤0(1)≤0⇔t ≥2或t ＝0或t ≤－2.答案：t ≤－2或t ＝0或t ≥210.已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a ，在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f(x)x在区间(1，＋∞)上一定( )A.有最小值B.有最大值C.是减函数D.是增函数解析：由题意a <1，又函数g (x )＝x ＋a x－2a 在[|a|，＋∞)上为增函数，故选D. 答案：D11.已知函数f (x )＝22x x ax++，x ∈[1，＋∞).(1)当a ＝4时，求f (x )的最小值； (2)当a ＝12时，求f (x )的最小值；(3)若a 为正常数，求f (x )的最小值. 解：(1)当a ＝4时，f (x )＝x ＋4x＋2，易知，f (x )在[1,2]上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数. ∴f (x )min ＝f (2)＝6.(2)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x＋2.易知，f (x )在[1，＋∞)上为增函数. ∴f (x )min ＝f (1)＝72.(3)函数f (x )＝x ＋a x＋2在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数. 若a >1，即a >1时，f (x )在区间[1，＋∞)上先减后增，f (x )min ＝f (a )＝2a ＋2. 若a ≤1，即0<a ≤1时，f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，∴f (x )min ＝f (1)＝a ＋3.12.已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且对任意的正实数x ，y 都有f (xy )＝f (x )＋f (y )，且当x ＞1时，f (x )＞0，f (4)＝1，(1)求证：f (1)＝0； (2)求f (116)； (3)解不等式f (x )＋f (x －3)≤1.解：(1)证明：令x ＝4，y ＝1，则f (4)＝f (4×1)＝f (4)＋f (1).∴f (1)＝0. (2)f (16)＝f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，f (1)＝f (116×16)＝f (116)＋f (16)＝0，故f (116)＝－2. (3)设x 1，x 2＞0且x 1＞x 2，于是f (x 1x 2)＞0， ∴f (x 1)＝f (x 1x 2×x 2)＝f (x 1x 2)＋f (x 2)＞f (x 2). ∴f (x )为x ∈(0，＋∞)上的增函数.又∵f (x )＋f (x －3)＝f [x (x －3)]≤1＝f (4)，∴>6,3>0,3x x x x ⎧⎪-⎨⎪-⎩()≤4,⇒3＜x ≤4. ∴原不等式的解集为{x |3＜x ≤4}.。
第7课时——函数的单调性(2)——配套练习
第７课 函数的单调性(2)分层训练1．函数)(x f 在),(b a 和),(d c 都是增函数，若),(),,(21d c x b a x ∈∈，且21x x <那么（ ） A ．)()(21x f x f < B ．)()(21x f x f > C ．)()(21x f x f =D ．无法确定2．已知)(x f 在实数集上是减函数，若0≤+b a ，则下列正确的是 （ ）A ．)]()([)()(b f a f b f a f +-≤+B ． )()()()(b f a f b f a f -+-≤+C ．)]()([)()(b f a f b f a f +-≥+D ．)()()()(b f a f b f a f -+-≥+ 3．函数y =在区间(,)-∞+∞上是（ ） A ．增函数B ．既不是增函数又不是减函数C ．减函数D ．既是增函数又是减函数 考试热点4．如果函数f(x)＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(,4]-∞上是减函数，那么实数a 的取值范围是（）A ．a ≥－3B ．a ≤－3C ．a ≤5D ．a ≥3 5．函数267([1,7])y xx x =-+∈-的值域 。
6．若函数f(x)=(-k 2+3k+4)x+2是增函数，则k 的范围是 7．已知]3,1[,)2()(2-∈-=x x x f ，求函数)1(+x f 得单调递减区间.8．讨论函数)(x f =12-x ax(-1<x <1)的单调性.拓展延伸9．已知函数1)(2+=x x f ，且)]([)(x f f x g =，)()()(x f x g x G λ-=，试问，是否存在实数λ，使得)(x G 在]1,(--∞上为减函数，并且在)0,1(-上为增函数.10．函数)(),(x g x f 在区间],[b a 上都有意义，且在此区间上①)(x f 为增函数，0)(>x f ； ②)(x g 为减函数，0)(<x g .判断)()(x g x f 在],[b a 的单调性，并给出证明.本节学习疑点：。
2011高考数学课下练兵 三角函数的图象与性质
第三章 第三节 三角函数的图象与性质课下练兵场一、选择题 1.函数y＝|sin x |－2sin x的值域是( )A.[－3，－1]B.[－1,3]C.[0,3]D.[－3,0] 解析：当0≤sin x ≤1时，y ＝sin x －2sin x ＝－sin x ，此时y ∈[－1,0]；当－1≤sin x ＜0时，y ＝－sin x －2sin x ＝－3sin x ，这时y ∈(0,3]，求其并集得y ∈[－1,3]. 答案：B2.函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻的两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f (π4)的值是( )A.0B.1C.－1D.π4解析：由题意知，T ＝π4，由πω＝π4得ω＝4，∴f (x )＝tan4x ，∴f (π4)＝tanπ＝0.答案：A3.若函数y ＝2cos ωx 在区间[0，2π3]上递减，且有最小值1，则ω的值可以是 ( )A.2B.12C.3D.13解析：由y ＝2cosωx 在[0，23π]上是递减的，且有最小值为1，则有-(23π)＝1，即2×cos(ω×23π)＝1⇒cos 2π3ω＝12.检验各数据，得出B 项符合.答案：B 4.(2009·重庆高考)下列关系式中正确的是( )A.sin11°<cos10°<sin168°B.sin168°<sin11°<cos10°C.sin11°<sin168°<cos10°D.sin168°<cos10°<sin11° 解析：∵sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°， cos10°＝sin(90°－10°)＝sin80°. 又∵y ＝sin x 在x ∈[0，π2]上是增函数，∴sin11°<sin12°<sin80°，即sin11°<sin168°<cos10°. 答案：C5.函数f (x )＝sin 2x ＋2cos x 在区间[－23π，θ]上的最大值为1，则θ的值是( )A.0B.π3 C.π2 D.－π2解析：因为f (x )＝sin 2x ＋2cos x ＝－cos 2x ＋2cos x ＋1＝－(cos x －1)2＋2，又其在区间[－2π3，θ]上的最大值为1，结合选项可知θ只能取－π2. 答案：D6.(2010·福建六校联考)若函数f (x )同时满足下列三个性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x ＝π3对称；③在区间[－π6，π3]上是增函数.则y ＝f (x )的解析式可以是( ) A.y ＝sin(2x －π6) B.y ＝sin(x 2＋π6) C.y ＝cos(2x －π6) D.y ＝cos(2x ＋π3)解析：逐一验证，由函数f (x ) 的周期为π，故排除B ； 又∵cos(2×π3－π6)＝cosπ2＝0，故y ＝cos(2x －π6)的图象不关于直线x ＝π3对称；令－π2＋2kπ≤2x －π6≤π2＋2kπ，得－π6＋k π≤x ≤π3＋kπ，k ∈Z ，∴函数y ＝sin(2x －π6)在[－π6，π3]上是增函数.答案：A 二、填空题7.定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x∈[0，π2]时，f (x )＝sin x ，则f (5π3)的值为 .解析：f (5π3)＝f (－π3)＝f (π3)＝sin π3＝32. 答案：328.函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为 .解析：要使函数有意义必须有sin 0,1cos 2x x >⎧⎪⎨-⎪⎩sin 0,1cos 222,()2233x x k x k k k x k πππππππ>⎧⎪⎨⎪⎩<<+⎧⎪∈Z ⎨-++⎪⎩即解得≥≤≤∴2kπ<x ≤π3＋2kπ，k ∈Z ， ∴函数的定义域为{x |2kπ<x ≤π3＋2kπ，k ∈Z}.答案：{x |2kπ<x ≤π3＋2kπ，k ∈Z}9.(2010·青岛模拟)若函数f (x )＝3cos(ωx ＋θ)对任意的x 都有f (π6＋x )＝f (π6－x )，则f (π6)等于 .解析：∵f (π6＋x )＝f (π6－x )∴函数f (x )关于x ＝π6对称，∴x ＝π6时f (x )取得最值±3.答案：±3 三、解答题10.设函数f (x )＝cos ωx (3sin ωx ＋cos ωx )，其中0<ω<2. (1)若f (x )的周期为π，求当－π6≤x ≤π3时，f (x )的值域； (2)若函数f (x )的图象的一条对称轴为x ＝π3，求ω的值.解：f (x )＝32sin2ωx ＋12cos2ωx ＋12＝sin(2ωx ＋π6)＋12.(1)因为T ＝π，所以ω＝1. 当－π6≤x ≤π3时，2x ＋π6∈[－π6，5π6]， 所以f (x )的值域为[0，32].(2)因为f (x )的图象的一条对称轴为x ＝π3，所以2ω(π3)＋π6＝kπ＋π2(k ∈Z)， ω＝32k ＋12(k ∈Z)，又0<ω<2，所以 －13<k <1，又k ∈Z ，所以k ＝0，ω＝12.11.已知函数f (x )＝sin2x ＋a cos 2x (a ∈R ，a 为常数)，且π4是函数y ＝f (x )的零点.(1)求a 的值，并求函数f (x )的最小正周期； (2)若x ∈[0，π2]，求函数f (x )的值域，并写出f (x )取得最大值时x 的值.解：(1)由于π4是函数y ＝f (x )的零点，即x ＝π4是方程f (x )＝0的解， 从而f (π4)＝sinπ2＋a cos2π4＝0，则1＋12a ＝0，解得a ＝－2.所以f (x )＝sin2x －2cos 2x ＝sin2x －cos2x －1，4所以函数f (x )的最小正周期为π. (2)由x ∈[0，π2]，得2x －π4∈[－π4，3π4]， 则sin(2x －π4)∈[－22，1]， 则－1≤2sin(2x －π4)≤ 2，－2≤ 2sin(2x －π4)－1≤2－1，∴值域为[－2，2－1]. 当2x －π4＝2kπ＋π2(k ∈Z)，即x ＝kπ＋38π时，f (x )有最大值，又x ∈[0，π2]，故k ＝0时，x ＝38π，f (x )有最大值2－1.12.已知a >0，函数f (x )＝－2a sin(2x ＋π6)＋2a ＋b ，当x ∈[0，π2]时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f (x ＋π2)且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间.解：(1)∵x ∈[0，π2]， ∴2x ＋π6∈[π6，7π6]，∴sin(2x ＋π6)∈[－12，1]， ∴－2a sin(2x ＋π6)∈[－2a ，a ]，∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又－5≤f (x )≤1. ∴52,.315b a b b b =-=⎧⎧⎨⎨+==-⎩⎩解得 52,.315b a b b b =-=⎧⎧⎨⎨+==-⎩⎩解得6g (x )＝f (x ＋π2)＝－4sin(2x ＋7π6)－1＝4sin(2x ＋π6)－1.又由lg g (x )>0，得g (x )>1， ∴4sin(2x ＋π6)－1>1，∴sin(2x ＋π6)>12， ∴π6＋2kπ<2x ＋π6<56π＋2kπ，k ∈Z. 由π6＋2kπ<2x ＋π6≤2kπ＋π2，得kπ<x ≤kπ＋π6，k ∈Z ；由π2＋2kπ≤2x ＋π6<56π＋2kπ，得 π6＋kπ≤x <π3＋kπ，k ∈Z.∴函数g (x )的单调递增区间为(kπ，π6＋kπ](k ∈Z)，单调递减区间为[π6＋k π，π3＋k π)(k ∈Z).。
2011高三数学一轮热身AB组 2.2《函数的单调性》
第二节 函数的单调性A 组1．(2009年高考某某卷改编)下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是________．①f (x )＝1x②f (x )＝(x －1)2③f (x )＝e x ④f (x )＝ln(x ＋1)解析：∵对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上为减函数．答案：①2．函数f (x )(x ∈R )的图象如右图所示，则函数g (x )＝f (log a x )(0<a <1)的单调减区间是________．解析：∵0<a <1，y ＝log a x 为减函数，∴log a x ∈[0，12]时，g (x )为减函数．由0≤log a x ≤12a ≤x ≤1.答案：[a ，1](或(a ，1))3．函数y ＝x －4＋15－3x 的值域是________．解析：令x ＝4＋sin 2α，α∈[0，π2]，y ＝sin α＋3cos α＝2sin(α＋π3)，∴1≤y ≤2.答案：[1,2]4．已知函数f (x )＝|e x ＋aex |(a ∈R )在区间[0,1]上单调递增，则实数a 的取值X 围__．解析：当a <0，且e x ＋a e x ≥0时，只需满足e 0＋ae 0≥0即可，则－1≤a <0；当a ＝0时，f (x )＝|e x |＝e x 符合题意；当a >0时，f (x )＝e x ＋a e x ，则满足f ′(x )＝e x －ae x ≥0在x ∈[0,1]上恒成立．只需满足a ≤(e 2x )min 成立即可，故a ≤1，综上－1≤a ≤1.答案：－1≤a ≤15．(原创题)如果对于函数f (x )定义域内任意的x ，都有f (x )≥M (M 为常数)，称M 为f (x )的下界，下界M 中的最大值叫做f (x )的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是________．①f (x )＝sin x ；②f (x )＝lg x ；③f (x )＝e x ；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1)解析：∵sin x ≥－1，∴f (x )＝sin x 的下确界为－1，即f (x )＝sin x 是有下确界的函数；∵f (x )＝lg x 的值域为(－∞，＋∞)，∴f (x )＝lg x 没有下确界；∴f (x )＝e x 的值域为(0，＋∞)，∴f (x )＝e x 的下确界为0，即f (x )＝e x 是有下确界的函数；∵f (x )＝⎩⎨⎧1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1)的下确界为－1.∴f (x )＝⎩⎨⎧1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1)是有下确界的函数．答案：①③④6．已知函数f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.(1)若存在x ∈R 使f (x )<b ·g (x )，某某数b 的取值X 围；(2)设F (x )＝f (x )－mg (x )＋1－m －m 2，且|F (x )|在[0,1]上单调递增，某某数m 的取值X 围. 解：(1)x ∈R ，f (x )<b ·g (x )x ∈R ，x 2－bx ＋b <0Δ＝(－b )2－4b >0b <0或b >4.(2)F (x )＝x 2－mx ＋1－m 2，Δ＝m 2－4(1－m 2)＝5m 2－4，①当Δ≤0即－255≤m ≤255时，则必需⎩⎨⎧m2≤0－255≤m ≤255－255≤m ≤0.②当Δ>0即m <－255或m >255时，设方程F (x )＝0的根为x 1，x 2(x 1<x 2)，若m2≥1，则x 1≤0.⎩⎪⎨⎪⎧ m 2≥1F (0)＝1－m 2≤0m ≥2.若m2≤0，则x 2≤0， ⎩⎪⎨⎪⎧m 2≤0F (0)＝1－m 2≥0－1≤m <－255.综上所述：－1≤m ≤0或m ≥2.B 组1．(2010年某某东营模拟)下列函数中，单调增区间是(－∞，0]的是________．①y ＝－1x②y ＝－(x －1) ③y ＝x 2－2 ④y ＝－|x |解析：由函数y ＝－|x |的图象可知其增区间为(－∞，0]．答案：④2．若函数f (x )＝log 2(x 2－ax ＋3a )在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值X 围是________．解析：令g (x )＝x 2－ax ＋3a ，由题知g (x )在[2，＋∞)上是增函数，且g (2)>0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2，4－2a ＋3a >0，∴－4<a ≤4.答案：－4<a ≤4 3．若函数f (x )＝x ＋a x (a >0)在(34，＋∞)上是单调增函数，则实数a 的取值X 围__．解析：∵f (x )＝x ＋a x (a >0)在(a ，＋∞)上为增函数，∴a ≤34，0<a ≤916.答案：(0，916]4．(2009年高考某某卷改编)定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则下列结论正确的是________．①f (3)<f (－2)<f (1) ②f (1)<f (－2)<f (3) ③f (－2)<f (1)<f (3) ④f (3)<f (1)<f (－2)解析：由已知f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，得f (x )在x ∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f (2)＝f (－2)，即f (3)<f (－2)<f (1)．答案：①5．(2010年某某某某模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x (x <0)，(a －3)x ＋4a (x ≥0)满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则a 的取值X 围是________．解析：由题意知，f (x )为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a －3<0，a 0≥(a －3)×0＋4a ，解得0<a ≤14.6．(2010年某某某某模拟)函数f (x )的图象是如下图所示的折线段OAB ，点A 的坐标为(1,2)，点B 的坐标为(3,0)，定义函数g (x )＝f (x )·(x －1)，则函数g (x )的最大值为________．解析：g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (x －1) (0≤x <1)，(－x ＋3)(x －1) (1≤x ≤3)，当0≤x <1时，最大值为0；当1≤x ≤3时， 在x ＝2取得最大值1.答案：17．(2010年某某某某模拟)已知定义域在[－1,1]上的函数y ＝f (x )的值域为[－2,0]，则函数y ＝f (cos x )的值域是________．解析：∵cos x ∈[－1,1]，函数y ＝f (x )的值域为[－2,0]，∴y ＝f (cos x )的值域为[－2,0]．答案：[－2,0]8．已知f (x )＝log 3x ＋2，x ∈[1,9]，则函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值是________．解析：∵函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤9，1≤x 2≤9，∴x ∈[1,3]，令log 3x ＝t ，t ∈[0,1]， ∴y ＝(t ＋2)2＋2t ＋2＝(t ＋3)2－3，∴当t ＝1时，y max ＝13.答案：139．若函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a >0，a ≠1)在区间(0，12)内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为__________．解析：令μ＝2x 2＋x ，当x ∈(0，12)时，μ∈(0,1)，而此时f (x )>0恒成立，∴0<a <1.μ＝2(x ＋14)2－18，则减区间为(－∞，－14)．而必然有2x 2＋x >0，即x >0或x <－12.∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－12)．答案：(－∞，－12)10．试讨论函数y ＝2(log 12x )2－2log 12x ＋1的单调性．解：易知函数的定义域为(0，＋∞)．如果令u ＝g (x )＝log 12x ，y ＝f (u )＝2u 2－2u ＋1，那么原函数y ＝f [g (x )]是由g (x )与f (u )复合而成的复合函数，而u ＝log 12x 在x ∈(0，＋∞)内是减函数，y ＝2u 2－2u ＋1＝2(u －12)2＋12在u ∈(－∞，12)上是减函数，在u ∈(12，＋∞)上是增函数．又u ≤12，即log 12x ≤12，得x ≥22；u >12，得0<x <22.由此，从下表讨论复合函数y ＝f [g (x )]的单调性：故函数y ＝2(log 12x )2－2log 12x ＋1在区间(0，22)上单调递减，在区间(22，＋∞)上单调递增．11．(2010年某某某某模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2. 解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0，所以f (x 1x 2)<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)由f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)得f (93)＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2.由于函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数，由f (|x |)<f (9)，得|x |>9，∴x >9或x <－9.因此不等式的解集为{x |x >9或x <－9}．12．已知：f (x )＝log 3x 2＋ax ＋bx ，x ∈(0，＋∞)，是否存在实数a ，b ，使f (x )同时满足下列三个条件：(1)在(0,1]上是减函数，(2)在[1，＋∞)上是增函数，(3)f (x )的最小值是1.若存在，求出a 、b ；若不存在，说明理由．解：∵f (x )在(0,1]上是减函数，[1，＋∞)上是增函数，∴x ＝1时，f (x )最小，log 31＋a ＋b1＝1.即a ＋b ＝2.设0＜x 1＜x 2≤1，则f (x 1)＞f (x 2)．即x 12＋ax 1＋b x 1＞x 22＋ax 2＋bx 2恒成立．由此得(x 1－x 2)(x 1x 2－b )x 1x 2＞0恒成立．又∵x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0，∴x 1x 2－b ＜0恒成立，∴b ≥1.设1≤x 3＜x 4，则f (x 3)＜f (x 4)恒成立．∴(x 3－x 4)(x 3x 4－b )x 3x 4＜0恒成立．∵x 3－x 4＜0，x 3x 4＞0，∴x 3x 4＞b 恒成立．∴b ≤1.由b ≥1且b ≤1可知b ＝1，∴a ＝1.∴存在a 、b ，使f (x )同时满足三个条件．。
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)
解析： 由 ax2－ x－ c>0 的解集为 (－ 2,1)，
21 1
得
a
a
∴
1,
c c 2.
21
,
a
∴ f( x)＝－ x2－ x＋ 2
∴ f(－ x)＝－ x2＋ x＋ 2，图象为 D.
答案： D
4.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解
析式为 y＝ 2x2＋ 1，值域为 {5,19} 的“孪生函数”共有
0 ∴ g(x)= ( x 1)2
图象如图所示：
3≤ x≤1 x 3 或x 1
1 2t 时，漏斗中液面下落的高度不
会达到漏斗高度的 12，对比四个选项的图象可知选
B.
答案： B
二、填空题
7.已知 f( 2x＋1)＝ lg x，则 f( x)＝
.
解析： 令 2x＋ 1＝ t( t>1) ，则 x＝ t－2 1，
∴ f( t)＝ lg 2 ， f(x)＝ lg 2
(x>1).
t1
x1
答案： lg 2 （ x>1 ） t1
2t x
x 2,
8.设 f(x)= logt ( x 2 1)
且 f(2)=1, 则 f ( f (源自5)) 的值 x ≥ 2..
解析： 由 f(2) ＝ logt(22－ 1)＝ logt3＝ 1，
∴ t＝ 3，又 5>2 ，
所以 f(f ( 5))＝ f (log3(5－ 1))＝ f(log34)＝ 2×3log34 ＝ 2×4＝ 8.
2
(2 x 1)2,
∴ f [ g(x)]=
1,
(
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第二章 第三节 函数的单调性
课下练兵场
一、选择题
1.(2010·大连模拟)下列函数在(0,1)上是减函数的是 ( ) A.y ＝log 0.5(1－x ) B.y ＝x 0.5 C.y ＝0.51－
x D.y ＝12
(1－x 2)
2.函数y ＝2x 2－(a －1)x ＋3在(－∞，1]内递减，在(1，＋∞)内递增，则a 的值是 ( ) A.1 B.3 C.5 D.－1
3.函数y 254x x -- ( ) A.(－∞，－2) B.[－5，－2] C.[－2,1] D.[1，＋∞)
4.(2009·福建高考)下列函数f (x )中，满足“对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f(x 1) >f(x 2)”的是 ( ) A.f (x )＝1
x
B.f (x )＝(x －1) 2
C.f (x )＝e x D .f (x )＝ln(x ＋1)
5.(2009·天津高考)已知函数22
40,()40.
x x
x f x x x
x ⎧+⎪=⎨-<⎪⎩≥若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取
值范围是 ( ) A.(－∞，－1)∪(2，＋∞) B.(－1,2)
C.(－2,1)
D.(－∞，－2)∪(1，＋∞) 答案：C
6.(2009·辽宁高考)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)单调增加，则满足f (2x －1)<f (1
3)的x 的
取值范围是
( )
A.(13，23)
B.[13，23)
C.(12，23)
D.[12，23) 二、填空题
7.函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是 .
8.若在区间[12，2]上，函数f (x )＝x 2＋px ＋q 与g (x )＝x ＋1
x 在同一点取得相同的最小值，则
f (x )在该区间上的最大值是 . 9.有下列几个命题：
①函数y ＝2x 2＋x ＋1在(0，＋∞)上不是增函数； ②函数y ＝
1
x ＋1
在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上是减函数； ③函数y ＝5＋4x －x 2的单调区间是[－2，＋∞)；
④已知f (x )在R 上是增函数，若a ＋b >0，则有f (a )＋f (b )>f (－a )＋f (－b ). 其中正确命题的序号是 .
三、解答题 10.函数f (x )＝
ax ＋1
x ＋2
在区间(－2，＋∞)上是递增的，求实数a 的取值范围. 11.已知函数f (x )＝a －1
|x |
.
(1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若f (x )＜2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围.
12.已知函数f (x )对任意的a 、b ∈R 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，且当x >0时，f (x )>1.
(1)求证：f (x )是R 上的增函数； (2)若f (4)＝5，解不等式f (3m 2－m －2)<3. ∴3m 2－m －2<2，∴－1<m <4
3.。