【配套K12】南京市2018年高二数学暑假作业24直线与平面平面与平面的垂直关系

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【精品】高中数学 必修2_直线、平面垂直的性质 讲义 知识点讲解+巩固练习(含答案) _基础

【精品】高中数学 必修2_直线、平面垂直的性质 讲义 知识点讲解+巩固练习(含答案) _基础

直线、平面垂直的性质【学习目标】1.掌握直线与平面垂直的性质定理,并能解决有关问题; 2.掌握两个平面垂直的性质定理,并能解决有关问题;3.能综合运用直线与平面、平面与平面的垂直、平行的判定和性质定理解决有关问题. 【要点梳理】要点一:直线与平面垂直的性质 1.基本性质文字语言:一条直线垂直于一个平面,那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线. 符号语言:,l m l m αα⊥⊂⇒⊥ 图形语言:2.性质定理文字语言:垂直于同一个平面的两条直线平行. 符号语言:,//l m l m αα⊥⊥⇒ 图形语言:3.直线与平面垂直的其他性质(1)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面. (2)若l α⊥于A ,AP l ⊥,则AP α⊂. (3)垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则它必垂直于另一个平面. 要点诠释:线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽,通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化.要点二:平面与平面垂直的性质 1.性质定理文字语言:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 符号语言:,,,m l l m l αβαββα⊥=⊂⊥⇒⊥I 图形语言:要点诠释:面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法,在解决二面角问题中作二面角的平面角经常用到.这种线面垂直与面面垂直间的相互转化,是我们立体几何中求解(证)问题的重要思想方法.2.平面与平面垂直性质定理的推论如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内.要点三:垂直关系的综合转化线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的,能够相互转化,转化的纽带是对应的定义、判定定理和性质定理,具体的转化关系如下图所示:在解决问题时,可以从条件入手,分析已有的垂直关系,早从结论探求所需的关系,从而架起条件与结论的桥梁.垂直间的关系可按下面的口诀记忆: 线面垂直的关键,定义来证最常见, 判定定理也常用,它的意义要记清. 平面之内两直线,两线交于一个点, 面外还有一条线,垂直两线是条件.面面垂直要证好,原有图中去寻找, 若是这样还不好,辅助线面是个宝. 先作交线的垂线,面面转为线和面, 再证一步线和线,面面垂直即可见. 借助辅助线和面,加的时候不能乱, 以某性质为基础,不能主观凭臆断, 判断线和面垂直,线垂面中两交线. 两线垂直同一面,相互平行共伸展, 两面垂直同一线,一面平行另一面. 要让面和面垂直,面过另面一垂线, 面面垂直成直角,线面垂直记心间. 【典型例题】类型一:直线与平面垂直的性质例1.设a ,b 为异面直线,AB 是它们的公垂线(与两异面直线都垂直且相交的直线). (1)若a ,b 都平行于平面α,求证:AB ⊥α;(2)若a ,b 分别垂直于平面α,β,且c αβ=I ,求证:AB ∥c .【思路点拨】(1)依据直线和平面垂直的判定定理证明AB ⊥α,可先证明线与线的平行.(2)由于此时垂直的关系较多,因此可以考虑利用线面垂直的性质证明AB ∥c .证明:(1)如图(1),在α内任取一点P ,设直线a 与点P 确定的平面与平面α的交线为a ',设直线b 与点P 确定的平面与平面α的交线为b '.∵a ∥α,b ∥α,∴a ∥a ',b ∥b '. 又∵AB ⊥a ,AB ⊥b ,∴AB ⊥a ',AB ⊥b ', ∴AB ⊥α.(2)如图,过B 作BB '⊥α,则AB ⊥BB '. 又∵AB ⊥b ,∴AB 垂直于由b 和BB '确定的平面.∵b ⊥β,∴b ⊥c ,∵BB '⊥α,∴BB '⊥c . ∴c 也垂直于由BB '和b 确定的平面. 故c ∥AB .【总结升华】由第(2)问的证明可以看出,利用线面垂直的性质证明线与线的平行,其关键是构造平面,使所证线皆与该平面垂直.如题中,通过作出辅助线BB',构造出平面,即由相交直线b与BB'确定的平面,然后借助于题目中的其他垂直关系证明.举一反三:【变式1】设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是()A.若l⊥m,m⊂α,则l⊥αB.若l⊥α,l∥m,则m⊥αC.若l∥α,m⊂α,则l∥m D.若l∥α,m∥α,则l∥m【答案】 B【解析】两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.高清:空间的线面垂直398999 例3例2.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.(1)证明:AE⊥CD;(2)证明:PD⊥平面ABE.【思路点拨】(1)由PA⊥底面ABCD,可得 CD⊥PA,又CD⊥AC,故CD⊥面PAC,从而证得CD ⊥AE;(2)由等腰三角形的底边中线的性质可得AE⊥PC,由(Ⅰ)知CD⊥AE,从而AE⊥面PCD,AE⊥PD,再由 AB⊥PD 可得 PD⊥面ABE。

高中数学必修2立体几何常考题型:直线与平面垂直的判定

高中数学必修2立体几何常考题型:直线与平面垂直的判定

直线与平面垂直的判定【知识梳理】1. 直线与平面垂直的定义(1) 自然语言:如果直线I与平面a内的任意一条直线都垂直,就说直线I与平面a 互相垂直,记作I丄a直线I叫做平面a的垂线,平面a叫做直线I的垂面.直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做垂足.(2) 图形语言:如图.画直线I与平面a垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直.(3) 符号语言:任意a? a,都有I丄a? 1丄公2. 直线与平面垂直的判定定理(1) 自然语言:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直, 则该直线与此平面垂直.(2) 图形语言:如图所示.(3)符号语言:a? a,b? a,a A b = P,1 丄a,1 丄b? 13.直线与平面所成的角(1) 定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,巴做这条直线和这个平面所成的角.如图,/ PAO就是斜线AP与平面a所成的角.(2) 当直线AP与平面垂直时,它们所成的角是90°.(3) 当直线与平面平行或在平面内时,它们所成的角是0°.(4) 线面角B的范围:0 °90 °.【常考题型】题型一、线面垂直的定义及判定定理的理解【例1】下列说法中正确的个数是()①如果直线I与平面a内的两条相交直线都垂直,则I丄a;②如果直线I与平面a内的任意一条直线垂直,则I丄a;③如果直线I不垂直于a,则a内没有与I垂直的直线;④如果直线I不垂直于a,则a内也可以有无数条直线与I垂直.A . 0B . 1C. 2D. 3[解析]由直线和平面垂直的定理知①对;由直线与平面垂直的定义知,②正确;当不垂直时,I可能与a内的无数条直线垂直,故③不对;④正确.[答案]D【类题通法】1 .对于线面垂直的定义要注意"直线垂直于平面内的所有直线”说法与"直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事,后者说法是不正确的,它可以使直线与平面斜交.2•判定定理中要注意必须是平面内两相交直线.【对点训练】1. 下列说法中,正确的是()A .若直线I与平面a内无数条直线垂直,则I丄aB .若直线I垂直于平面a,则I与平面a内的直线可能相交,可能异面,也可能平行C.若a// b, a? a, I丄a,贝U I丄bD .若a丄b, b丄a,贝U a / a解析:选C 当I与a内的任何一条直线都垂直时,I丄a,故A错;当I丄a时,I与a内的直线相交或异面,但不会平行,故B错;C显然是正确的;而D中,a可能在a内,所以D错误.题型二、线面垂直的判定【例2】如图所示,在三棱柱ABC —A I B I C I中,侧棱AA i丄底面ABC,AB = AC= 1 , AA i = 2,Z B i A i C i= 90° D 为BB!的中点.求证:AD丄平面A1DC1.[证明]・.AA1丄底面ABC,平面A1B1C1/平面ABC ,••AA1 丄平面A1B1C1,••A1C11AA1.又/B1A1CL 90°「A1C1 JA1B1.而A1B1Q AA1 = A1,•AC1 丄平面AA1B1B.又AD?平面AA1B1B ,/A1C11AD.由已知计算得 AD = □.;2, A i D = 2, AA i = 2. •'AD 2+ A i D 2= AA 1, •AD!AD.・.A i C i Q A i D = A i , •AD 丄平面A i DC i . 【类题通法】1 .用线面垂直的判定定理判断一条直线与此平面垂直时,需在平面内找两条相交直线,证明一条直线同时垂直于这两条相交直线,这是证明线面垂直的一个常用方法.2. 线线垂直与线面垂直的转化关系.3. 解决线面垂直的常用方法: (1) 利用勾股定理的逆定理.(2) 利用等腰三角形底边的中线就是底边的高线. (3) 利用线面垂直的定义.⑷利用平行转化,即 a /b , b Jc ,则a Jc. 【对点训练】2•如图,直角三角形 ABC 所在平面外有一点 为斜边AC 的中点.⑴求证:SD 丄平面ABC ;⑵若AB = BC ,求证:BD 丄平面SAC.有 AD = DC = BD ,所以△ ADS^zBDS. 所以Z BDS =Z ADS = 90° 即 SD1BD.又AC A BD = D , AC , BD?平面 ABC ,所以SD 丄平面ABC. ⑵因为AB = BC , D 为AC 的中点,所以BD 丄AC.又由 ⑴知SDJBD ,于是BD 垂直于平面SAC 内的两条相交直线,所以BD 丄平面SAC.线线垂直线面垂直的判定定理线面垂直的定义线面垂直.证明:⑴因为SA = SC , D 为AC 的中点,所以 SD J AC.则在 Rt △KBC 中,S,且 SA = SB = SC ,点 D设0为底面中心,题型三、直线与平面所成的角【例3】 如图所示,在正方体 ABCD — A I B I C I D I 中,E 是棱DD i 的中点.求直线 BE 与所以EM /AD.又在正方体 ABCD — A i B i C i D i 中,AD 丄平面ABB i A i , 所以EM 丄平面ABB i A i ,从而BM 为直线BE 在平面ABB i A i 上的射影,左BM 即为直线BE 与平面ABB i A i 所成的角. 设正方体的棱长为 2,贝U EM = AD = 2, BE =」22+ 22+ i 2= 3, EM 2于是在 Rt^BEM 中,sinZEBM = =-,BE 3 2即直线BE 与平面ABB i A i 所成的角的正弦值为3. 【类题通法】求斜线与平面所成角的步骤(1) 作图:作(或找)出斜线在平面内的射影,作射影要过斜线上一点作平面的垂线,再过垂 足和斜足作直线,注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关,才能便于计算.(2) 证明:证明某平面角就是斜线与平面所成的角.(3) 计算:通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算. 【对点训练】3•已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的 2倍,求侧棱与底面所成角的余弦值. 解:如图,设正三棱锥的底面边长为a ,则侧棱长为2a.平面ABB I A I 所成的角的正弦值.[解]取AA i 的中点M ,连接EM , BM ,因为E 是DD i 的中点,四边形 ADD 1A 1为正方形,则/SAO 为SA 与平面ABC 所成的角.【练习反馈】1•一条直线和三角形的两边同时垂直,则这条直线和三角形的第三边的位置关系是 ()A .平行B .垂直C .相交不垂直D .不确定答案:B2•如图所示,若斜线段 AB 是它在平面 与平面a 所成的角是()A . 60 ° D . 120解析:选A Z ABO 即是斜线AB 与平面a 所成的角, 1在 Rt △KOB 中,AB = 2BO ,所以 cos Z ABO = 2, 即 /ABO = 60°3•如图所示,三棱锥 P — ABC 中,PA 丄平面 ABC , PA = AB ,则直线 PB 与平面ABC 所成的角等于 ___________ .解析:因为FA 丄平面ABC ,所以斜线PB 在平面ABC 上的射影为AB , 所以Z PBA 即为直线PB 与平面ABC 所成的角.在△ FAB 中,/BAP = 90°, PA = AB ,所以Z PBA = 45 °,即直线PB 与平面ABC 所成的角等于45 °答案:454•已知PA 垂直于平行四边形 ABCD 所在的平面,若 PC 丄BD ,则平行 四边形一定是在Rt 竺OA 中,:AO =a ,Aoj33a-Cos/SAO = SA = 2a__3 "6,即侧棱与底面所成角的余弦值为"6.C . 30 °a 上的射影BO 的2倍,则B . 45 °解析:连接AC、BD,则AC与BD交于点O.法知道它的对错。

高中数学 必修二 同步练习 直线与平面垂直的判定、平面与平面垂直的判定(解析版)

高中数学 必修二 同步练习 直线与平面垂直的判定、平面与平面垂直的判定(解析版)
【解析】(1)∵ 平面 , 平面 ,所以 .
在 中, ,
同理,得 ,又 ,则 即 ,
又 ,故 平面 .
又 平面 ,故 .
17.如图,在四棱锥 中,底面 是正方形,侧棱 底面 ,点 是 的中点,作 ,交 于点 .
(1)求证: 平面 ;
(2)求证:平面 平面 ;
(3)求证: 平面 .
【解析】(1)连接 ,与 相交于 ,连接 ,则 为 的中位线, ,又 平面 平面 ,由线面平行的判定定理知 平面 .
③如果m⊂α,n⊄α,m,n是异面直线,那么n与α相交;
④若α∩β=m,n∥m,且n⊄α,n⊄β,则n∥α且n∥β.
其中表述正确的个数是
A.1B.2C.3D.4
【答案】B
5.正四面体 中, 分别是 的中点,下面四个结论中不成立的是
A. 平面 B.平面 平面
C. 平面 D.平面 平面
【答案】B
【解析】因为 分别是 的中点,所以DF//BC,所以 平面 ,则A正确;
C.∠BPC是直线EF与直线PC所成的角
D.∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角
【答案】D
【解析】易知FG∥平面PBC,GE∥平面PBC,且FG∩GE=G,故平面EFG∥平面PBC,A正确;
由题意知PC⊥平面ABC,FG∥PC,所以FG⊥平面ABC,故平面EFG⊥平面ABC,B正确;
根据异面直线所成角的定义可知,C正确;
(2)∵ ,且 底面 ,∴ 为等腰直角三角形,
是 的中点, ,又底面 为正方形, ,
由 ,得 平面 ,而 平面 ,
又 平面 ,又 平面 ,故平面 平面 .
(3)由(2)知, 平面 平面 ,
又 , 平面 .
7.在矩形ABCD中,AB=1,BC= ,若PA⊥平面ABCD,PA=1,则PC与平面ABCD所成的角是

2018版高中数学第2章 2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质含解析

2018版高中数学第2章 2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质含解析

2.3.3直线与平面垂直的性质2。

3.4 平面与平面垂直的性质1.理解直线和平面垂直、平面与平面垂直的性质定理,并能用文字、符号和图形语言描述定理.(重点) 2.能应用线面垂直、面面垂直的性质定理证明相关问题.(重点、难点)3.理解“平行”与“垂直”之间的相互转化.(易错点)[基础·初探]教材整理1 直线与平面垂直的性质定理阅读教材P70的内容,完成下列问题.文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言错误!⇒a∥b图形语言判断(正确的打“√”,错误的打“×")(1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行.()(2)垂直于同一平面的两条直线互相平行.()(3)一条直线在平面内,另一条直线与这个平面垂直,则这两条直线互相垂直.( )【解析】由线面垂直的定义和性质可知(1)、(2)、(3)均正确.【答案】(1)√(2)√(3)√教材整理2 平面与平面垂直的性质定理阅读教材P71“思考”以下至P72“例4”以上的内容,完成下列问题.文字语言两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言错误!⇒a⊥β图形语言在长方体ABCD。

A1B1C1D1的棱AB上任取一点E,作EF⊥A1B1于F,则EF与平面A1B1C1D1的关系是()A.平行B.EF⊂平面A1B1C1D1C.相交但不垂直D.相交且垂直D[在长方体ABCD。

A1B1C1D1中,平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1且平面A1ABB1∩平面A1B1C1D1=A1B1,又EF⊂面A1ABB1,EF⊥A1B1,∴EF⊥平面A1B1C1D1,答案D正确.][小组合作型] 线面垂直性质定理的应用如图2.3.31所示,在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中,M 是AB 上一点,N 是A 1C 的中点,MN ⊥平面A 1DC 。

图2­3。

31求证:(1)MN ∥AD 1;(2)M 是AB 的中点.【精彩点拨】 (1)要证线线平行,则先证线面垂直,即证AD 1⊥平面A 1DC 。

高中数学必修2立体几何常考题型:直线与平面、平面与平面垂直的性质(复习课)全面版

高中数学必修2立体几何常考题型:直线与平面、平面与平面垂直的性质(复习课)全面版

直线与平面、平面与平面垂直的性质( 复习课 )【常考题型】题型一、线面、面面垂直的综合问题【例 1】如图,已知直线a⊥ α,直线 b⊥ β,且 AB⊥ a,AB⊥ b,平面α∩β= c.求证: AB∥ c.[ 证明 ]如图,过点 B 作直线 a′ ∥a, a′与 b 确立的平面设为γ.由于 a′ ∥a,AB⊥a,所以 AB ⊥a′,又 AB⊥b, a′∩ b= B,所以 AB ⊥γ.由于 b⊥β, c? β,所以 b⊥c.①由于 a⊥α, c? α,所以 a⊥c,又 a′ ∥a,所以 a′ ⊥c.②由①②可得c⊥γ,又 AB⊥γ,所以 AB∥c.【类题通法】判断线线、线面的平行或垂直关系,一般要利用判断定理和性质定理,有时也能够放到特殊的几何体中(如正方体、长方体等)而后再判断它们的地点关系.【对点训练】1.如下图:平面α,β,直线a,且α⊥ β,α∩ β=AB,a∥ α,a⊥ AB.求证: a⊥ β.证明:∵a∥α,过 a 作平面γ交α于 a′,则 a∥a′∵a⊥AB ,∴a′ ⊥AB.∵α⊥β,α∩β= AB,∴a′ ⊥β,∴a⊥β.题型二、求点到面的距离 【例2】 已知△ABC , AC =BC =1, AB =2,又已知S 是△ ABC所在平面外一点,SA= SB = 2, SC =5,点P 是 SC 的中点,求点P 到平面ABC的距离.[ 解] 法一: 如下图,连结 PA , PB.易知△SAC ,△ACB 是直角三角形,所以 SA ⊥AC ,BC ⊥AC.取 AB 、 AC 的中点 E 、F ,连结 PF , EF ,PE ,则 EF ∥BC ,PF ∥SA.所以 EF ⊥AC , PF ⊥AC.由于 PF ∩ EF =F ,所以 AC ⊥平面 PEF.又 PE? 平面 PEF ,所以 PE ⊥AC.易证△SAC ≌△SBC.由于 P 是 SC 的中点,所以 PA =PB .而 E 是 AB 的中点,所以 PE ⊥AB .由于 AB ∩ AC =A ,所以 PE ⊥平面 ABC.进而 PE 的长就是点 P 到平面 ABC 的距离.151 2在 Rt △AEP 中, AP =2SC = 2 ,AE =2AB = 2 ,225 1 3所以 PE = AP -AE =4- 2= 2 , 即点 P 到平面 ABC 的距离为3 2.法二: 如下图,过 A 作 AE ∥BC ,过 B 作 BF ∥AC ,交 AE 于点 D ,则四边形 ACBD 为正方形.连结 SD.由于 AC ⊥SA , AC ⊥AD , SA ∩ AD = A ,所以 AC ⊥平面 SDA.所以 AC ⊥SD.又由题意,可知BC ⊥SB.由于 BC ⊥BD ,SB ∩ BD = B ,所以 BC ⊥平面SDB ,所以 BC ⊥SD.又 BC ∩ AC =C ,于是 SD ⊥平面 ACBD .所以 SD 的长为点 S到平面 ABC 的距离.在 Rt△SDA 中易得 SD=SA2-AD 2= 22- 12= 3.由于 P 为 SC 的中点,故点P 到平面 ABC 的距离为13 2SD=2 .【类题通法】求点到面的距离的重点是确立过点与平面垂直的线段.可经过外形进行转变,转变为易于求解的点,等体积法也是求点到平面的距离的常用方法.【对点训练】2.如下图,正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1中,底面边长为 2 2,侧棱长为 4, E, F 分别为棱 AB ,BC 的中点, EF∩ BD =G.(1)求证:平面 B1EF⊥平面 BDD 1B1;(2)求点 D1到平面 B1EF 的距离.解:证明: (1)连结 AC.∵正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1的底面是正方形,∴AC⊥BD .又 AC ⊥DD 1,且 BD ∩DD 1= D,故 AC⊥平面 BDD 1B1,∵E, F 分别为棱 AB, BC 的中点,故EF ∥AC,∴EF⊥平面 BDD 1B1,∴平面 B1EF ⊥平面 BDD 1B1.(2)解题流程:题型三、折叠问题【例 3】如图,在矩形ABCD中,AB=2AD,E是AB的中点,沿 DE 将△ ADE 折起.(1)假如二面角 A- DE -C 是直二面角,求证: AB=AC ;(2) 假如 AB= AC,求证:平面ADE ⊥平面 BCDE .[证明 ] (1)过点 A 作 AM ⊥DE 于点 M,则 AM ⊥平面 BCDE ,∴AM ⊥BC.又 AD= AE,∴M 是 DE 的中点.取BC 中点 N,连结 MN , AN,则 MN ⊥BC.又 AM ⊥BC,AM∩ MN=M,∴BC⊥平面 AMN ,∴AN⊥BC.又∵N 是 BC 中点,∴AB= AC.(2)取 BC 的中点 N,连结 AN.∵AB= AC,∴AN⊥BC.取 DE 的中点 M,连结 MN , AM,∴MN ⊥BC.又 AN∩MN=N,∴BC⊥平面 AMN ,∴AM ⊥BC.又 M 是 DE 的中点, AD= AE,∴AM⊥DE .又∵DE 与 BC 是平面 BCDE 内的订交直线,∴AM ⊥平面 BCDE .∵AM ? 平面 ADE ,∴平面 ADE ⊥平面 BCDE .【类题通法】解决折叠问题的策略(1) 抓住折叠前后的变量与不变量.一般状况下,在折线同侧的量,折叠前后不变,“ 越过”折线的量,折叠前后可能会发生变化,这是解决这种问题的重点.(2) 在解题时认真审察从平面图形到立体图形的几何特点的变化状况.注意相应的点、直线、平面间的地点关系,线段的长度,角度的变化状况.【对点训练】3.如下图,在平行四边形 ABCD 中,已知 AD =2AB= 2a,BD = 3a, AC∩ BD= E,将其沿对角线 BD 折成直二面角.求证: (1) AB⊥平面 BCD ;(2) 平面 ACD ⊥平面 ABD .证明: (1) 在△ABD 中, AB= a,AD = 2a, BD =3a,222∴AB +BD =AD ,∴∠ABD = 90°,∴AB⊥BD.又∵平面 ABD ⊥平面 BCD ,平面 ABD ∩平面 BCD =BD ,AB? 平面 ABD,∴AB⊥平面 BCD .(2)∵折叠前四边形 ABCD 是平行四边形,且 AB⊥BD ,∴CD ⊥BD .∵AB⊥平面 BCD ,∴AB⊥CD .又∵AB∩ BD=B,∴CD ⊥平面 ABD.又∵CD ? 平面 ACD,∴平面 ACD ⊥平面 ABD .【练习反应】1.如下图,三棱锥P,A,B 是定点,则动点P-ABC 的底面在平面C 运动形成的图形是(α上,且)AC ⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,点A.一条线段B.一条直线分析:选 D∵平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,AC?平面PAC,且平面PAC∩平面 PBC =∴AC⊥平面 PBC.又∵BC? 平面 PBC ,∴AC ⊥BC,∴∠ACB= 90°,∴动点 C 运动形成的图形是以AB 为直径的圆,除掉 A 和 B 两点,应选 D.2.在三棱锥P— ABC 中,平面 PAC⊥平面角形, PC= 4,M 是 AB 边上的一动点,则PM ABC,∠ PCA = 90°,△ ABC 是边长为 4 的正三的最小值为 ()A.23B.27C.43D.47分析:选B连结CM ,则由题意PC⊥平面 ABC,可得PC⊥CM ,所以 PM=PC 2+CM 2,要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可,在△ABC 中,当CM ⊥AB 时CM有最小值,此时有CM=4×32 =23,所以 PM 的最小值为 2 7.3.若组成教室墙角的三个墙面记为α,β,γ,交线记为BA,BC,BD ,教室内一点墙面α,β,γ的距离分别为 3 m, 4 m,1 m ,则 P 与墙角 B 的距离为 ________ m.P 到三分析:过点P 向各个面作垂线,组成以BP为体对角线的长方体.|BP|=32+ 42+ 1=26.答案:264.如下图,平面α⊥平面β, A∈ α, B∈ β, AA′⊥ A′ B′, BB′⊥ A′ B′,且 AA′= 3, BB′= 4,A′ B′= 2,则三棱锥 A— A′ BB′的体积 V= ________.分析:由题意 AA1⊥面A′ BB′,BB′ ⊥面A′ B′A,则三棱锥 A—A′ BB′中,AA′为高,底面△A′ BB′为 Rt△.∴V A-′BB′ =1△′BB′=1×3×1× 2×4= 4.AA′ ·S323答案: 45.如图,已知平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ.α∩ γ= a,β∩γ=b,且 a∥b,求证:α∥ β.证明:在平面γ内作直线c⊥a.∵α⊥γ,α∩ γ= a,∴c⊥α.∵a∥b,∴c⊥b.又∵β⊥γ,β∩ γ= b,∴c⊥β,∴α∥β.你曾落的泪,最都会成阳光,照亮脚下的路。

直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质课件(优质课)

直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质课件(优质课)

在工程设计中的应用
机械设计
在机械设计中,直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质对于确保机械部件的稳定性和精 确性至关重要。例如,在制造精密仪器或高精度机械设备时,需要严格控制各个部件之间 的垂直关系。
电子设备
在设计和制造电子设备如电视、电脑和手机时,需要利用直线与平面垂直、平面与平面垂 直的性质来确保设备的稳定性和可靠性。
C. 平行于同一条直线的两条直线一定 平行
基础习题
4、题目:下列说法正确的是( )
A.垂直于同一平面的两直线平行 B.平行于同一平面的两直线平行
C.若直线$a$不垂直于平面$beta$内的无数条直线,则$a$也不垂直于平 面$beta$ D.若直线$a$不垂直于平面$beta$,则直线$a$与平面$beta$ 有斜交
解析:根据空间线面位置关系的定义及判定定理得D正确.在A中,过 $a$上任一点 $P$作直线 $c/backslash/$ $a$,则 $c,b$相交或为异面直线,故A错误;在B中, 可取 $a/backslash/b$判断B错误;在C中,可取 $a,b$都垂直于第三个平面判断C 错误.故选D.
THANKS
直线与平面垂直的性质定理
性质定理一
如果一条直线与平面垂直, 那么这条直线与平面内的任 意一条直线都垂直。
性质定理二
如果一条直线与平面垂直, 那么这条直线上任意一点到 平面的距离都相等。
性质定理三
如果两条直线分别与同一 个平面垂直,那么这两条 直线平行。
Part
02
平面与平面垂直的性质
平面与平面垂直的定义
A. 若直线与平面有两个公共点,则该直线在平面内
进阶习题
B. 若直线 l 上有无数个点不在 平面 α 内,则 l ∥ α

江苏省南京市2018年高二数学 暑假作业(24)直线与平面、平面与平面的垂直关系

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高二暑假作业(24)直线与平面、平面与平面的垂直关系考点要求1.了解线面垂直的定义,理解线面垂直的判定定理和性质定理,并能熟练运用;2.了解面面垂直的定义,理解面面垂直的判定定理和性质定理,并能熟练运用;3.了解二面角及其平面角的含义,了解直线和平面所成的角,并能解决简单问题.考点梳理1.线面垂直的相关概念(1) 线面垂直的定义∶;(2) 判定定理∶;(3) 性质定理∶;(4) 结论1∶;(5) 结论2∶;(6) 斜线的定义∶;(7) 直线与平面所成角∶;(8) 点到面的距离∶;线到面的距离∶;2.面面垂直的相关概念(1) 二面角(平面角)的定义及范围∶;(2) 面面垂直的定义∶;(3) 判定定理:;(4) 性质定理:;(5) 重要结论:.考点精练1.直线l是平面α的一条斜线,则过l和平面α垂直的平面有__________个.2.给定空间中的直线l及平面α,条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的____________条件.3.如图,PA⊥平面ABC,在△ABC中,BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为____________.4.已知直线l⊥平面α,直线m平面β,给出下列命题:① α∥βl⊥m;② α⊥βl∥m;③ l∥mα⊥β;④ l⊥mα∥β.其中正确的是__________.(填序号)5.在四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面各边相等,M是PC上一动点,当M为________时,平面MBD⊥平面ABC D.6.在直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=AA1=a,则点A到平面A1BC的距离是________.7.已知a,b是直线,α、β、γ是平面,给出下列命题:① a⊥α,b⊥β,a⊥b,则α⊥β;② α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;③ b⊥α,β⊥α,则b∥β;④ α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,则a∥b.其中正确的命题是____________.(填序号)8.α、β表示平面,l表示既不在α内也不在β内的直线,存在以下三个事实:① l⊥α;② l∥β;③ α⊥β.若以其中两个为条件,另一个为结论,构成命题,其中正确命题的个数为____________.9.已知矩形ABCD,AB=1,BC=2.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中,下列说法正确的是____________.(填序号)① 存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直;② 存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直;③ 存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直;④ 对任意位置,三对直线“AC与BD”“AB与CD”“AD与BC”均不垂直.10.已知正方体ABCD—A1B1C1D1,O是底ABCD对角线的交点.求证:(1) C1O∥平面AB1D1;(2) A1C⊥平面AB1D111.在棱长都相等的斜三棱柱ABC—DEF中,BF⊥AE,BF∩CE=O,AB=AE.求证:(1) AO⊥平面FEBC;(2) 四边形BCFE为正方形.12.如图,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,AC=AD,DE=2AB,F为CD的中点.求证:(1) AF∥平面BCE;(2) 平面BCE⊥平面CDE.第24课时 直线与平面、平面与平面的垂直关系1. 1 2. 必要不充分 3. 4 4. ①③ 5. PC 中点 6. 22a 7. ①④ 8. 29. ② 解析:因为BC ⊥CD ,由线面垂直的判定可得CD ⊥平面ACB ,则有CD ⊥AC ,而AB =CD =1,BC =AD =2,可得AC =1,那么存在AC 这样的位置,使得AB ⊥CD 成立,故②正确.10. 证明:(1) 连结A 1C 1,设A 1C 1∩B 1D 1=O 1,连结AO 1,∵ ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体,∴ A 1ACC 1是平行四边形,∴ A 1C 1∥AC 且A 1C 1=A C .又O 1、O 分别是A 1C 1,AC 的中点,∴ O 1C 1∥AO 且O 1C 1=AO ,∴ AOC 1O 1是平行四边形,∴ C 1O ∥AO 1. 又AO 1平面AB 1D 1,C 1O 平面AB 1D 1,∴ C 1O ∥平面AB 1D 1.(2) ∵ CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1,∴ CC 1⊥B 1D 1.又A 1C 1⊥B 1D 1,∴ B 1D 1⊥平面A 1C 1C ,即A 1C ⊥B 1D 1.同理可证A 1C ⊥AB 1.又D 1B 1∩AB 1=B 1,∴ A 1C ⊥平面AB 1D 1.11. 证明:(1) 因为三棱柱ABCDEF 的棱长都相等,所以BCFE 是菱形,于是BF ⊥E C . 又BF ⊥AE ,AE ∩EC =E ,所以BF ⊥平面AE C .因为AO 平面AEC ,所以BF ⊥AO .因为AE =AB =AC ,OE =OC ,所以AO ⊥E C .又BF ∩EC =O ,所以AO ⊥平面BCFE .(2) 因为AO ⊥平面BCFE ,所以AO ⊥OE ,AO ⊥OB ,因为AE =AB ,所以OE =OB ,EC =BF .所以四边形BCFE 为正方形.12. 证明:(1) 因为AB ⊥平面ACD ,DE ⊥平面ACD ,所以AB ∥DE .取CE 的中点G ,连结BG 、GF ,因为F 为CD 的中点,所以GF ∥ED ∥BA .又GF =12ED =BA , 从而ABGF 是平行四边形,于是AF ∥BG .因为AF 平面BCE ,BG 平面BCE ,所以AF ∥平面BCE .(2) 因为AB ⊥平面ACD ,AF 平面ACD ,所以AB ⊥AF ,即ABGF 是矩形,所以AF ⊥GF .又AC =AD ,所以AF ⊥C D .而CD ∩GF =F ,所以AF ⊥平面GCD ,即AF ⊥平面CDE .因为AF ∥BG ,所以BG ⊥平面CDE .因为BG 平面BCE ,所以平面BCE ⊥平面CDE .本文档仅供文库使用。

高三数学直线和平面垂直与平面和平面垂直2课时

高三数学直线和平面垂直与平面和平面垂直2课时

三垂 线定 理的 逆定 理
PA a aAO aPO
7.二面角 1)二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面 所组成的图形叫做二面角 2)二面角的平面角:以两面角的棱上任意一点 为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两 条射线所成的角叫做二面角的平面角

3)二面角的大小,可以用它的平面角来度量. 范围是: 0, 定义法 B 0
② b⊥α , a∥b ⇒a⊥α (线面垂直性质定理) ③α ∥β ,a⊥β ⇒a⊥α (面面平行性质定理) ④α ⊥β ,α ∩β =l,a⊥l,a β ⇒a⊥α (面面垂直性质定理)
2.直线与平面垂直的性质
类别 语言表述 图 示 字母表示 应 用
性 质
如果一条直线和 一个平面垂直, 那么这条直线和 这个平面内的任 何一条直线都垂 直
⑵已知m,l是直线,α ,β 是平面,给出下列命题: A.若l垂直于α 内的两条相交直线,则l⊥α ; B.若l平行于α ,则l平行于α 内的所有直线; C.四面体中最多可以有四个面是直角三角形; D.若m α ,l⊥β ,且α ∥β ,则m⊥l 其中正确命题的是_______ ACD
【例1】 ⑶α ,β 是两个不同的平面,m ,n是平面α 及β 之 外两条不同的直线,给出四个论断: (A)m∥n (B)m∥β (C)α ⊥β (D)n⊥α ; 以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,
例5:如图,在棱长为a 的正方体ABCD—A1B1C1D中,
E、F分别为D1C1与AB的中点。 (1)求A1B1与截面A1ECF所成的角; (2)求点B到截面A1ECF的距离。
O
B
A
D

C
6.三垂线定理和三垂线定理的逆定理 名称 语言表述 字母表示

2020高二数学暑假作业24直线与平面平面与平面的垂直关系

2020高二数学暑假作业24直线与平面平面与平面的垂直关系

【2019最新】精选高二数学暑假作业24直线与平面平面与平面的垂直关系考点要求1.了解线面垂直的定义,理解线面垂直的判定定理和性质定理,并能熟练运用;2.了解面面垂直的定义,理解面面垂直的判定定理和性质定理,并能熟练运用;3.了解二面角及其平面角的含义,了解直线和平面所成的角,并能解决简单问题.考点梳理1.线面垂直的相关概念(1) 线面垂直的定义∶ ;(2) 判定定理∶ ;(3) 性质定理∶ ;(4) 结论1∶ ;(5) 结论2∶ ;(6) 斜线的定义∶ ;(7) 直线与平面所成角∶ ;(8) 点到面的距离∶ ;线到面的距离∶ ;2.面面垂直的相关概念(1) 二面角(平面角)的定义及范围∶ ;(2) 面面垂直的定义∶ ;(3) 判定定理:;(4) 性质定理:;(5) 重要结论:.考点精练1.直线l是平面α的一条斜线,则过l和平面α垂直的平面有__________个.2.给定空间中的直线l及平面α,条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的____________条件.3.如图,PA⊥平面ABC,在△ABC中,BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为____________.4.已知直线l⊥平面α,直线平面β,给出下列命题:① α∥β;② α⊥β;α⊥β;α∥β.其中正确的是__________.(填序号)5.在四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面各边相等,M是PC上一动点,当M为________时,平面MBD⊥平面ABCD.6.在直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=AA1=a,则点A到平面A1BC 的距离是________.7.已知a,b是直线,α、β、γ是平面,给出下列命题:① a⊥α,b⊥β,a⊥b,则α⊥β;② α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;③ b⊥α,β⊥α,则b∥β;④ α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,则a∥b.其中正确的命题是____________.(填序号)8.α、β表示平面,l表示既不在α内也不在β内的直线,存在以下三个事实:① l⊥α;② l∥β;③ α⊥β.若以其中两个为条件,另一个为结论,构成命题,其中正确命题的个数为____________.9.已知矩形ABCD,AB=1,BC=.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中,下列说法正确的是____________.(填序号)① 存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直;② 存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直;③ 存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直;④ 对任意位置,三对直线“AC与BD”“AB与CD”“AD与BC”均不垂直.10.已知正方体ABCD—A1B1C1D1,O是底ABCD对角线的交点.求证:(1) C1O∥平面AB1D1;(2) A1C⊥平面AB1D111.在棱长都相等的斜三棱柱ABC—DEF中,BF⊥AE,BF∩CE=O,AB=AE.求证:(1) AO⊥平面FEBC;(2) 四边形BCFE为正方形.12.如图,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,AC=AD,DE=2AB,F为CD的中点.求证:(1) AF∥平面BCE;(2) 平面BCE⊥平面CDE.第24课时直线与平面、平面与平面的垂直关系1. 1 2.必要不充分 3. 4 4.①③ 5. PC中点 6. a7.①④ 8. 2 9.② 解析:因为BC⊥CD,由线面垂直的判定可得CD⊥平面ACB,则有CD⊥AC,而AB=CD=1,BC=AD=,可得AC=1,那么存在AC这样的位置,使得AB⊥CD成立,故②正确.10.证明:(1) 连结A1C1,设A1C1∩B1D1=O1,连结AO1,∵ ABCD—A1B1C1D1是正方体,∴ A1ACC1是平行四边形,∴ A1C1∥AC且A1C1=AC.又O1、O分别是A1C1,AC的中点,∴ O1C1∥AO且O1C1=AO,∴ AOC1O1是平行四边形,∴ C1O∥AO1.又AO1AB1D1,C1O AB1D1,∴ C1O∥平面AB1D1.(2) ∵ CC1⊥平面A1B1C1D1,∴ CC1⊥B1D1.又A1C1⊥B1D1,∴ B1D1⊥平面A1C1C,即A1C⊥B1D1.同理可证A1C⊥AB1.又D1B1∩AB1=B1,∴ A1C⊥平面AB1D1.11.证明:(1) 因为三棱柱ABCDEF的棱长都相等,所以BCFE是菱形,于是BF⊥EC.又BF⊥AE,AE∩EC=E,所以BF⊥平面AEC.因为AO AEC,所以BF⊥AO.因为AE=AB=AC,OE=OC,所以AO⊥EC.又BF∩EC=O,所以AO⊥平面BCFE.(2) 因为AO⊥平面BCFE,所以AO⊥OE,AO⊥OB,因为AE=AB,所以OE=OB,EC=BF.所以四边形BCFE为正方形.12.证明:(1) 因为AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,所以AB∥DE.取CE的中点G,连结BG、GF,因为F为CD的中点,所以GF∥ED∥BA.又GF=ED=BA,从而ABGF是平行四边形,于是AF∥BG.因为AF BCE,BG BCE,所以AF∥平面BCE.(2) 因为AB⊥平面ACD,平面ACD,所以AB⊥AF,即ABGF是矩形,所以AF⊥GF.又AC=AD,所以AF⊥CD.而CD∩GF=F,所以AF⊥平面GCD,即AF⊥平面CDE.因为AF∥BG,所以BG⊥平面CDE.因为BG BCE,所以平面BCE⊥平面CDE.。

高二数学直线和平面垂直

高二数学直线和平面垂直

高二数学直线和平面垂直9.4直线和平面垂直 (5)教学目的:1.掌握三垂线定理及其逆定理的证明2.正确地运用三垂线定理或逆定理证明两直线垂直教学重点:三垂线定理及其逆定理的证明教学难点:用三垂线定理及其逆定理证明两条异面直线的垂直教学过程:一、复习引入:1. 线面垂直定义:如果一条直线和一个平面相交,并且和这个平面内的任意一条直线都垂直,我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂面交点叫做垂足2.斜线:一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直时,这条直线就叫做这个平面的斜线.3.斜线的射影:从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.二、讲解新课:1 三垂线定理在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直]说明:(1)定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系;(2)推理模式:2.三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那麽它也和这条斜线的射影垂直推理模式:.注意:⑴三垂线指PA,PO,AO都垂直α内的直线a 其实质是:斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理⑵要考虑a的位置,并注意两定理交替使用三、讲解范例:例1 已知:点是的垂心,,垂足为,求证:.例2 如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等,那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上已知:∠BAC在α内,P??,PE?AB于E,PF?AC于F且PE=PF,PO??求证:O在∠BAC的平分线上(即∠BAO=∠CAO)变式:已知:在平面内,点,垂足分别为.求证:.推广:经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线,如果斜线的这个角两边夹角相等,那麽斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在直线例3.在三棱锥P-ABC中,三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,H是△ABC的垂心.求证:⑴PH?底面ABC ⑵△ABC是锐角三角形.四、作业同步练习 09045。

专题50 直线与平面、平面与平面的垂直(解析版)

专题50   直线与平面、平面与平面的垂直(解析版)

专题50 直线与平面、平面与平面的垂直专题知识梳理1.直线与平面垂直 (1)定义如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直,则直线l 与平面α互相垂直,记作l ⊥α,直线l 叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l 的垂面. (2)判定定理与性质定理2.直线和平面所成的角 (1)定义平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.若一条直线垂直于平面,它们所成的角是直角,若一条直线和平面平行,或在平面内,它们所成的角是0°的角. (2)X 围:⎣⎡⎦⎤0,π2. 3.平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念①二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角;②二面角的平面角:在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.(2)平面和平面垂直的定义两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理考点探究考向1线面垂直的判定与性质【例】如图,S是Rt△ABC所在平面外一点,且SA=SB=SC,D为斜边AC的中点.(1)求证:SD⊥平面ABC;(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.【解析】(1)如图所示,取AB的中点E,连接SE,DE,在Rt△ABC中,D,E分别为AC,AB的中点.∴DE∥BC,∴DE⊥AB,∵SA=SB,∴SE⊥AB.又SE∩DE=E,∴AB⊥平面SDE.又SD⊂平面SDE,∴AB⊥SD.在△SAC中,∵SA=SC,D为AC的中点,∴SD⊥AC.又AC∩AB=A,∴SD⊥平面ABC.(2)由于AB=BC,则BD⊥AC,由(1)可知,SD⊥平面ABC,又BD⊂平面ABC,∴SD⊥BD,又SD∩AC=D,∴BD⊥平面SAC.题组训练1.如图,已知P A⊥平面ABC,BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为________.【解析】∵P A⊥平面ABC,AB,AC,BC⊂平面ABC,∴P A⊥AB,P A⊥AC,P A⊥BC,则△P AB,△P AC为直角三角形.由BC⊥AC,且AC∩P A=A,得BC⊥平面P AC,从而BC⊥PC,因此△ABC,△PBC也是直角三角形.2.如图,在四棱锥P-ABCD中,P A⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,P A=AB=BC,E是PC的中点.证明:(1)CD⊥AE;(2)PD⊥平面ABE.【解析】(1)在四棱锥P-ABCD中,∵P A⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴P A⊥CD,又∵AC⊥CD,且P A∩AC=A,∴CD⊥平面P AC.而AE⊂平面P AC,∴CD⊥AE.(2)由P A=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=P A.∵E是PC的中点,∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD,且PC∩CD=C,∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD,∴AE⊥PD.∵P A⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴P A⊥AB.又∵AB⊥AD,且P A∩AD=A,∴AB⊥平面P AD,而PD⊂平面P AD,∴AB⊥PD.又∵AB∩AE=A,∴PD⊥平面ABE.3.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面:①若m⊥n,n∥α,则m⊥α;②若m∥β,β⊥α,则m⊥α;③若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥α;④若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α.上述命题中为真命题的是________(填序号).【解析】①中,由m⊥n,n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α,错误;②中,由m∥β,β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α,错误;③中,由m⊥β,n⊥β可得m∥n,又n⊥α,所以m⊥α,正确;④中,由m⊥n,n⊥β,β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α,错误.考向2面面垂直的判定与性质【例】如图,在四棱锥PABCD 中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥AD,点E和F分别是CD和PC的中点.求证:(1)PA⊥平面ABCD;(2)平面BEF⊥平面PCD.【解析】(1)∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PA⊥AD,PA⊂平面PAD∴ PA⊥平面ABCD.(2)∵ AB∥CD,CD=2AB,点E为CD的中点,∴ AB=ED,AB∥ED∴四边形ABED为平行四边形.∵ AB⊥AD,∴ BE⊥CD,AD⊥CD.由(1)知PA⊥平面ABCD,∴ PA⊥CD.又PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD,∴ CD⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD,∴ CD⊥PD.∵点E和F分别是CD和PC的中点,∴ PD∥EF,∴ CD⊥EF.又BE,EF⊂平面BEF,BE∩EF=E,∴ CD⊥平面BEF.又CD⊂平面PCD,∴平面BEF⊥平面PCD.题组训练1.如图,平面PAC⊥平面ABC,AC⊥BC,PE∥CB,点M是AE的中点.若点N是PA的中点,求证:平面CMN⊥平面PAC.【解析】因为平面PAC⊥平面ABC,AC为两平面的交线,AC⊥BC,BC⊂平面ABC,所以BC⊥平面PAC.因为点M,N分别为AE,AP的中点,所以MN∥PE.又PE∥CB,所以MN∥BC,即MN⊥平面PAC.又MN⊂平面CMN,所以平面CMN⊥平面PAC.2.如图,在四棱锥A-BCDE中,平面ABC⊥平面BCDE,∠CDE=∠BED=90°,AB=CD=2,DE=BE =1,AC= 2.求证:(1)AC⊥平面BCDE;(2)平面ABD⊥平面ABC.【解析】(1)连结BD.在直角梯形BCDE中,由DE=BE=1,CD=2,得BD=BC=2,由AC=2,AB=2,得AB2=AC 2+BC 2,即AC⊥BC.又平面ABC⊥平面BCDE,BC为两平面的交线,AC⊂平面ABC,所以AC⊥平面BCDE.(2)在直角梯形BCDE中,由BD=BC=2,DC=2,得BD⊥BC,又平面ABC⊥平面BCDE,BC为两平面的交线,BD⊂平面BCDE,所以BD⊥平面ABC.又BD⊂平面ABD,所以平面ABD⊥平面ABC.3.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,平面PAD⊥平面ABCD,AP=AD,点M,N分别为棱PD,PC的中点.求证:(1)MN∥平面PAB;(2)平面AMN⊥平面PCD.【解析】(1)因为M,N分别为棱PD,PC的中点,所以MN∥DC. 因为底面ABCD是矩形,所以AB∥DC,所以MN∥AB.又AB⊂平面PAB,MN⊄平面PAB,所以MN∥平面PAB.(2)因为AP=AD,点M为PD的中点,所以AM⊥PD.因为平面PAD⊥平面ABCD,又平面PAD∩平面ABCD=AD,CD⊥AD,CD⊂平面ABCD,所以CD⊥平面PAD.又AM⊂平面PAD,所以CD⊥AM.因为CD,PD⊂平面PCD,CD∩PD=D,所以AM⊥平面PCD.因为AM⊂平面AMN,所以平面AMN⊥平面PCD.考向3平行与垂直的探索性问题【例】如图所示,平面ABCD⊥平面BCE,四边形ABCD为矩形,BC=CE,点F为CE的中点.(1)证明:AE∥平面BDF;(2)点M为CD上任意一点,在线段AE上是否存在点P,使得PM⊥BE?若存在,确定点P的位置,并加以证明;若不存在,请说明理由.【解析】(1)连接AC交BD于O,连接OF,如图①.∵四边形ABCD是矩形,∴O为AC的中点,又F为EC的中点,∴OF为△ACE的中位线,∴OF∥AE,又OF⊂平面BDF,AE⊂平面BDF,∴AE∥平面BDF.(2)当P为AE中点时,有PM⊥BE,证明如下:取BE中点H,连接DP,PH,CH,∵P为AE的中点,H为BE的中点,∴PH∥AB,又AB∥CD,∴PH∥CD,∴P,H,C,D四点共面.∵平面ABCD⊥平面BCE,平面ABCD∩平面BCE=BC,CD⊂平面ABCD,CD⊥BC.∴CD⊥平面BCE,又BE⊂平面BCE,∴CD⊥BE,∵BC=CE,H为BE的中点,∴CH⊥BE,又CD∩CH=C,∴BE⊥平面DPHC,又PM⊂平面DPHC,∴BE⊥PM,即PM⊥BE.题组训练1.在如图所示的几何体中,面CDEF为正方形,面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AC=3,AB=2BC=2,AC⊥FB.(1)求证:AC⊥平面FBC;(2)求四面体FBCD的体积;(3)线段AC上是否存在点M,使EA∥平面FDM?若存在,请说明其位置,并加以证明;若不存在,请说明理由.【解析】(1)在△ABC中,因为AC=3,AB=2,BC=1,所以AC2+BC2=AB2,所以AC⊥BC.又因为AC⊥FB,BC∩FB=B,所以AC⊥平面FBC.(2)因为AC⊥平面FBC,FC⊂平面FBC,所以AC⊥FC.因为CD⊥FC,AC∩CD=C,所以FC⊥平面ABCD.在等腰梯形ABCD中可得CB=DC=1,所以FC=1.所以△BCD的面积为S=3 4.所以四面体FBCD的体积为V F-BCD=13S·FC=312.(3)线段AC上存在点M,且点M为AC中点时,有EA∥平面FDM.证明如下:连接CE,与DF交于点N,取AC的中点M,连接MN.因为四边形CDEF是正方形,所以点N为CE的中点.所以EA∥MN.因为MN⊂平面FDM,EA⊄平面FDM,所以EA∥平面FDM.所以线段AC上存在点M,且M为AC的中点,使得EA∥平面FDM成立.2.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,P A⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M 满足________时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)【解析】∵P A⊥底面ABCD,∴BD⊥P A,连接AC,则BD⊥AC,且P A∩AC=A,∴BD⊥平面P AC,∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD,而PC⊂平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.3.如图所示,平面ABCD⊥平面BCE,四边形ABCD为矩形,BC=CE,点F为CE的中点.(1)证明:AE∥平面BDF;(2)点M为CD上任意一点,在线段AE上是否存在点P,使得PM⊥BE?若存在,确定点P的位置,并加以证明;若不存在,请说明理由.【解析】(1)连接AC交BD于点O,连接OF.∵四边形ABCD是矩形,∴O为AC的中点.又F为EC的中点,∴OF∥AE.又OF⊂平面BDF,AE⊄平面BDF,∴AE∥平面BDF.(2)当点P为AE的中点时,有PM⊥BE,证明如下:取BE的中点H,连接DP,PH,CH.∵P为AE的中点,H为BE的中点,∴PH∥AB.又AB∥CD,∴PH∥CD,∴P,H,C,D四点共面.∵平面ABCD⊥平面BCE,且平面ABCD∩平面BCE =BC,CD⊥BC,CD⊂平面ABCD,∴CD⊥平面BCE.又BE⊂平面BCE,∴CD⊥BE,∵BC=CE,且H为BE的中点,∴CH⊥BE.又CH∩CD=C,且CH,CD⊂平面DPHC,∴BE⊥平面DPHC.又PM⊂平面DPHC,∴PM⊥BE.。

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高二暑假作业(24)直线与平面、平面与平面的垂直关系
考点要求
1.了解线面垂直的定义,理解线面垂直的判定定理和性质定理,并能熟练运用;
2.了解面面垂直的定义,理解面面垂直的判定定理和性质定理,并能熟练运用;
3.了解二面角及其平面角的含义,了解直线和平面所成的角,并能解决简单问题.考点梳理
1.线面垂直的相关概念
(1) 线面垂直的定义∶;
(2) 判定定理∶;
(3) 性质定理∶;
(4) 结论1∶;
(5) 结论2∶;
(6) 斜线的定义∶;
(7) 直线与平面所成角∶;
(8) 点到面的距离∶;线到面的距离∶;
2.面面垂直的相关概念
(1) 二面角(平面角)的定义及范围∶;
(2) 面面垂直的定义∶;
(3) 判定定理:;
(4) 性质定理:;
(5) 重要结论:.
考点精练
1.直线l是平面α的一条斜线,则过l和平面α垂直的平面有__________个.
2.给定空间中的直线l及平面α,条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是
“直线l与平面α垂直”的____________条件.
3.如图,PA⊥平面ABC,在△ABC中,BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为____________.
4.已知直线l⊥平面α,直线m平面β,给出下列命题:
① α∥βl⊥m;② α⊥βl∥m;③ l∥mα⊥β;④ l⊥mα∥β.
其中正确的是__________.(填序号)
5.在四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面各边相等,M是PC上一动点,当M
为________时,平面MBD⊥平面ABC D.
6.在直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=AA1=a,则点A到平面A1BC的距离是________.
7.已知a,b是直线,α、β、γ是平面,给出下列命题:① a⊥α,b⊥β,a⊥b,则α⊥β;② α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;③ b⊥α,β⊥α,则b∥β;④ α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,则a∥b.其中正确的命题是____________.(填序号)
8.α、β表示平面,l表示既不在α内也不在β内的直线,存在以下三个事实:① l⊥α;② l∥β;③ α⊥β.若以其中两个为条件,另一个为结论,构成命题,其中正确命题的个数为____________.
9.已知矩形ABCD,AB=1,BC=2.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中,下列说法正确的是____________.(填序号)
① 存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直;
② 存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直;
③ 存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直;
④ 对任意位置,三对直线“AC与BD”“AB与CD”“AD与BC”均不垂直.
10.已知正方体ABCD—A1B1C1D1,O是底ABCD对角线的交点.求证:
(1) C1O∥平面AB1D1;
(2) A1C⊥平面AB1D1
11.在棱长都相等的斜三棱柱ABC—DEF中,BF⊥AE,BF∩CE=O,AB=AE.
求证:(1) AO⊥平面FEBC;(2) 四边形BCFE为正方形.
12.如图,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,AC=AD,DE=2AB,F为CD的中点.求证:
(1) AF∥平面BCE;
(2) 平面BCE⊥平面CDE.
第24课时 直线与平面、平面与平面的垂直关系
1. 1 2. 必要不充分 3. 4 4. ①③ 5. PC 中点 6. 22
a 7. ①④ 8. 2
9. ② 解析:因为BC ⊥CD ,由线面垂直的判定可得CD ⊥平面ACB ,则有CD ⊥AC ,而AB =CD =1,BC =AD =2,可得AC =1,那么存在AC 这样的位置,使得AB ⊥CD 成立,故②正确.
10. 证明:(1) 连结A 1C 1,设A 1C 1∩B 1D 1=O 1,
连结AO 1,∵ ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体,∴ A 1ACC 1是平行四边形,
∴ A 1C 1∥AC 且A 1C 1=A C .
又O 1、O 分别是A 1C 1,AC 的中点,∴ O 1C 1∥AO 且O 1C 1=AO ,
∴ AOC 1O 1是平行四边形,∴ C 1O ∥AO 1. 又AO 1平面AB 1D 1,C 1O 平面AB 1D 1,∴ C 1O ∥平面AB 1D 1.
(2) ∵ CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1,∴ CC 1⊥B 1D 1.
又A 1C 1⊥B 1D 1,∴ B 1D 1⊥平面A 1C 1C ,即A 1C ⊥B 1D 1.
同理可证A 1C ⊥AB 1.
又D 1B 1∩AB 1=B 1,∴ A 1C ⊥平面AB 1D 1.
11. 证明:(1) 因为三棱柱ABCDEF 的棱长都相等,所以BCFE 是菱形,于是BF ⊥E C . 又BF ⊥AE ,AE ∩EC =E ,所以BF ⊥平面AE C .
因为AO 平面AEC ,所以BF ⊥AO .
因为AE =AB =AC ,OE =OC ,所以AO ⊥E C .
又BF ∩EC =O ,所以AO ⊥平面BCFE .
(2) 因为AO ⊥平面BCFE ,所以AO ⊥OE ,AO ⊥OB ,
因为AE =AB ,所以OE =OB ,EC =BF .
所以四边形BCFE 为正方形.
12. 证明:(1) 因为AB ⊥平面ACD ,DE ⊥平面ACD ,所以AB ∥DE .
取CE 的中点G ,连结BG 、GF ,因为F 为CD 的中点,
所以GF ∥ED ∥BA .又GF =12
ED =BA , 从而ABGF 是平行四边形,于是AF ∥BG .
因为AF 平面BCE ,BG 平面BCE ,所以AF ∥平面BCE .
(2) 因为AB ⊥平面ACD ,AF 平面ACD ,
所以AB ⊥AF ,即ABGF 是矩形,所以AF ⊥GF .
又AC =AD ,所以AF ⊥C D .
而CD ∩GF =F ,所以AF ⊥平面GCD ,即AF ⊥平面CDE .
因为AF ∥BG ,所以BG ⊥平面CDE .
因为BG 平面BCE ,所以平面BCE ⊥平面CDE .。

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