高一数学恒成立问题
高一函数恒成立与存在性问题
高一函数恒成立与存在性问题本文主要介绍了数学中恒成立与存在性问题的基础知识和解决方法。
其中恒成立问题包括六种情况，分别是当a大于所有f(x)时，a也大于f(x)的最大值；当a小于所有f(x)时，a也小于f(x)的最小值；当g(x)大于f(x)时，g(x)-f(x)大于0；当g(x)小于f(x)时，g(x)-f(x)小于0；当f(x1)大于g(x2)时，f(x1)也大于g(x2)的最大值；当f(x1)小于g(x2)时，f(x1)也小于g(x2)的最小值。
存在性问题同样包括六种情况，与恒成立问题类似。
此外，还介绍了恒成立与存在性混合不等式问题和恒成立与存在性混合等式问题，以及解决这些问题的方法。
对于恒成立问题，可以采用反证法或数学归纳法；对于存在性问题，可以采用构造法或反证法。
在解决问题时，需要注意精确表述和符号运用。
例四：1) 当$x\in(1,2)$时，不等式$(x-1)^2<\log_a{x}$恒成立，求实数$a$的取值范围。
改写后：对于$x\in(1,2)$，使得$(x-1)^2<\log_a{x}$恒成立，求实数$a$的取值范围。
2) 当$x\in(0,\infty)$时，不等式$4x<\log_a{x}$恒成立，求实数$a$的取值范围。
改写后：对于$x\in(0,\infty)$，使得$4x<\log_a{x}$恒成立，求实数$a$的取值范围。
3) 已知$f(x)=m(x-2m)(x+m+3)$，$g(x)=2x-2$。
若对于所有$x\in\mathbb{R}$，都有$f(x)g(x)$，则$m$的取值范围是什么？改写后：已知$f(x)=m(x-2m)(x+m+3)$，$g(x)=2x-2$。
若对于所有$x\in\mathbb{R}$，都有$f(x)g(x)$，求$m$的取值范围。
题：1.当$x\in(-\infty,-1]$时，不等式$(m^2-m)4x-2x<0$恒成立，求实数$m$的取值范围。
2024年新高一数学讲义(人教A版2019必修第一册)函数不等式恒成立与能成立(解析版)
专题拓展：函数不等式恒成立与能成立一、单变量不等式恒成立问题一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：1、∀∈x D ，()()min ≤⇔≤m f x m f x 2、∀∈x D ，()()max ≥⇔≥m f x m f x 3、∃∈x D ，()()max ≤⇔≤m f x m f x 4、∃∈x D ，()()min≥⇔≥m f x m f x 二、双变量不等式与等式一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈1、不等关系（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()max min f x g x <；（2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()max max f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∀∈，有()()12f x g x <成立，故()()min min f x g x <；（4）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()min max f x g x <．2、相等关系记()[],,y f x x a b =∈的值域为A ,()[],,y g x x c d =∈的值域为B,（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12=f x g x 成立，则有A B ⊆；（2）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∀∈，有()()12=f x g x 成立，则有A B ⊇；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12=f x g x 成立，故A B ⋂≠∅；考点一：单变量不等式恒成立例1．（23-24高一上·广东湛江·月考）若不等式10x a -++≥对一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦成立，则a 的最小值为（）A ．0B ．2-C ．52-D ．12-【答案】D【解析】若不等式10x a -++≥对一切10,2x ⎛⎤∈ ⎝⎦成立，则max (1)a x ≥-+，当12x =时，1x -+取最大值12-，故12a ≥-，故a 的最小值是12-.故选：D ．【变式1-1】（23-24高一上·河南·月考）若对于任意的0x >，不等式()2310x a x +-+≥恒成立，则实数a的取值范围为（）A ．[)5,+∞B ．()5,+∞C ．(],5-∞D ．(),5-∞【答案】C【解析】不等式()2310x a x +-+≥可化为，231x x a x++≥，令()231x x f x x++=，由题意可得()min a f x ≤，()1335f x x x =++≥=，当且仅当1x x =，即1x =时等号成立，()min 5a f x ≤=，所以实数a 的取值范围为(],5-∞.故选：C.【变式1-2】（23-24高一下·贵州遵义·月考）已知函数()()lg 31kf x x =+，若不等式()1f x <在()0,33x ∈上恒成立，则k 的取值范围为（）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．()0,2D ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】因为033x <<，所以131100x <+<，所以()20lg 31x <+<，由()1f x <，得()1lg 31kx <+，即()lg 311k x <+，因为不等式()1f x <在()0,33x ∈上恒成立，所以()min lg 311k x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣<+⎦，()0,33x ∈即可.由()20lg 31x <+<，得()21g 31l 1x >+，即12k ≤，所以k 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选：A.【变式1-3】（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()e x f x g x +=，且()2e 0x f x m ->-≥在[]1,2x ∈上恒成立，则实数m 的取值范围为.【答案】(2e ,0-⎤-⎦【解析】因为()()e xf xg x +=，①得()()e xf xg x --+-=，又()f x 和()g x 分别为偶函数和奇函数，所以()()e xf xg x --=，②由①②相加得()2e e x xf x -=+，又()2e 0xf x m ->-≥在[]1,2x ∈上恒成立即e 0x m --<≤在[]1,2x ∈上恒成立，设()e xh x -=-，则只需()max m h x >，易知()h x 在[]1,2上为增函数，()()2max 2e h x h -==-，所以2e 0m --<≤，故答案为：(2e ,0-⎤-⎦.考点二：单变量不等式能成立例2.（23-24高一上·重庆·期末）已知函数()22f x x x =-，若存在[]2,4x ∈，使得不等式()23f x a a≤+成立，则实数a 的取值范围为.【答案】][(),30,∞∞--⋃+【解析】因为函数()22f x x x =-的对称轴为1x =，所以当[]24x ,∈时，该二次函数单调递增，所以()()min 20f x f ==，因为存在[]24x ,∈，使得不等式()23f x a a ≤+成立，所以有2300a a a +≥⇒≥，或3a ≤-，因此实数a 的取值范围为][(),30,∞∞--⋃+，故答案为：][(),30,∞∞--⋃+【变式2-1】（22-23高一上·四川南充·月考）已知函数()142f x x x =+-．若存在()2,x ∈+∞，使得()2f x a a ≤-成立，则实数a 的取值范围是．【答案】(][),34,-∞-⋃+∞【解析】因为()2,x ∈+∞，所以20x ->，所以()1144(2)822f x x x x x =+=-++--812≥+=，当且仅当14(2)2x x -=-，即52x =时取等号，所以min ()12f x =，因为存在()2,x ∈+∞，使得()2f x a a ≤-成立，所以只要()2min f x a a ≤-，即212a a ≤-，得3a ≤-或4a ≥，所以a 的取值范围为(][),34,-∞-⋃+∞.【变式2-2】（22-23高一上·山东枣庄·月考）设函数1()f x x x =+，1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，若1,32x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得2()a a f x -≥成立，则实数a 的取值范围是.【答案】(][),12,-∞-⋃+∞【解析】因为函数1()f x x x =+，1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，而函数()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数，在[]1,3为增函数，所以min ()(1)112f x f ==+=，即函数的最小值为2,又1,32x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得2()a a f x -≥成立，则2min ()a a f x -≥，即22a a -≥，解得：2a ≥或1a ≤-，即实数a 的取值范围是2a ≥或1a ≤-，故答案为：(][),12,-∞-⋃+∞【变式2-3】（23-24高一下·河北张家口·开学考试）已知函数()22(0)g x ax ax b a =++>在区间[]0,2上有最大值11和最小值3，且()()g x f x x=．(1)求a b 、的值；(2)若不等式()220x xk f ⋅-≤在[]1,2x ∈-上有解，求实数k 的取值范围．【答案】(1)1,3a b ==；(2)17k ≤.【解析】（1）函数()22(0)g x ax ax b a =++>图象的对称轴为=1x -，显然函数()g x 在[]0,2上单调递增，因此min ()(0)3g x g b ===，max ()(2)811g x g a b ==+=，解得1a =，所以1,3a b ==.（2）由（1）知，2()23g x x x =++，()3()2g x f x x x x==++，因此不等式2332)2)012(202(22()22x x x xx x xk f k k ⋅-⋅++≤≤-⇔≤⇔++，令12x t =，由[]1,2x ∈-，得124t ≤≤，则22321321(22)x xt t ++=++，显然函数2321y t t =++在1[,2]4t ∈上单调递增，当2t =时，max 17y =，由不等式()220x xk f ⋅-≤在[]1,2x ∈-上有解，得17k ≤，所以实数k 的取值范围是17k ≤.考点三：任意-任意型不等式成立例3.（21-22高二下·北京·月考）已知()()21,2xf x xg x m ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，若对任意[]10,2x ∈，任意[]21,2x ∈，使得()()12f x g x ≥，则实数m 的取值范围是（）A ．14m ≥B ．14m ≤C ．12m ≥D ．12m ≤【答案】C【解析】由[]10,2x ∈，2()f x x =，所以1()[0,4]f x ∈，对任意的[]10,2x ∈，要使()()12f x g x ≥成立，即要2()0g x ≤，对任意[]21,2x ∈上成立，所以任意[1,2]x ∈，使得1()2x m ≤成立，即max 11()22x m ≥=.故选：C.【变式3-1】（22-23高一上·湖北鄂州·期中）已知()f x 是定义在[]31,3D a a =++上的奇函数，且当(]0,3x a ∈+时，()22f x x ax =+.(1)求函数()f x 的解析式；(2)设()g x x b =-+，对任意12,x x D ∈，均有()()12f x g x ≥，求实数b 的取值范围.【答案】(1)()222,020,02,20x x x f x x x x x ⎧-<≤⎪==⎨⎪---≤<⎩；(2)(,3]-∞-【解析】（1）因为()f x 是定义在[]313a a ++,上的奇函数，所以3130a a ++=+，解得1a =-，所以()f x 是定义在[]22-,上的奇函数，可得()00f =，当2(]0,x ∈时，()22f x x x =-.当[2,0)x ∈-时，则(0,2]x -∈，所以()()()2222f x x x x x -=---=+，因为()f x 是奇函数，所以()()22f x f x x x -=-=+，所以()22f x x x =--，所以()222,020,02,20x x x f x x x x x ⎧-<≤⎪==⎨⎪---≤<⎩.（2）对任意12,x x D ∈，均有()12()f x g x ≥，只需min max ()()f x g x ≥，由（1）知，当2(]0,x ∈时，()222(1)1f x x x x =-=--，当1x =时，()min 1f x =-；当[2,0)x ∈-时，()222(1)1f x x x x =--=-++，当2x =-时，()min 0f x =，又由()00f =，所以函数min ()(1)1f x f ==-，因为()g x x b =-+在[2,-上为单调递减函数，所以()()max 22g x g b =-=+，所以12b -≥+，解得3b ≤-，故实数b 的取值范围为(,3]-∞-.【变式3-2】（23-24高一上·湖南永州·期末）已知函数()lg f x x =，()2e e x xg x a =-.(1)若对[]11,10x ∀∈，[)20,x ∀∈+∞都有()()12f x g x ≤，求实数a 的取值范围；(2)若函数()()()h x g x g x =+-，求函数()h x 的零点个数.【答案】(1)2a ≥；(2)答案见解析.【解析】（1）对[]11,10x ∀∈，[)20,x ∀∈+∞都有()()12f x g x ≤，只需()()12max min f x g x ≤，由()11lg f x x =在[]11,10x ∈上递增，故()1max (10)1f x f ==，由()2222ee x x g x a =-，在[)20,x ∈+∞上有2[1,)e x t ∈=+∞，所以()22g x y at t ==-且[1,)t ∈+∞，故有21at t -≥在[1,)t ∈+∞上恒成立，所以2max max 211111()[()24a t t t ≥+=+-，而1(0,1]t∈，即2a ≥.（2）由题设()2222e e e )e e e e ()(e x x x x x x x xh a x a a ----=--=+-++，令2e e x x μ-=≥+，当且仅当0x =时等号成立，则2222()2e e e e x x x x μ--+=+=+，即2222e e x x μ-+=-，所以()2()2a a h x ϕμμμ==--且[2,)μ∈+∞，令2()20a a ϕμμμ=--=，则问题等价于2122a μμμμ==--在[2,)μ∈+∞上解的个数，又12y μμ=-在[2,)μ∈+∞上递减，故(0,1]y ∈，当1a >或0a ≤时，22a μμ=-在[2,)μ∈+∞上无解，即()h x 无零点；当1a =时，22(1)(2)0μμμμ--=+-=在[2,)μ∈+∞上有2μ=，所以2e e x x μ-+==，即0x =，故()h x 有1个零点；当01a <<时，220a a μμ--=在[2,)μ∈+∞上有122aμ+=>（负值舍），又e e x x μ-=+为偶函数，此时()h x 有2个零点；综上，1a >或0a ≤时，()h x 无零点；1a =时，()h x 有1个零点；01a <<时，()h x 有2个零点；【变式3-3】（23-24高一上·北京·月考）已知函数()()()()()21122log 1log 1,6R f x x x g x x ax a =++-=-+∈.(1)求函数()f x 的定义域.(2)判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由.(3)对)[]12,1,2x x ∀∈+∞∈，不等式()()12f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(1)()1,+∞；(2)函数()f x 为非奇非偶函数，理由见解析；(3)11,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】（1）由函数()()()1122log 1log 1f x x x =++-有意义，则满足1010x x +>⎧⎨->⎩，解得1x >，所以函数()f x 的定义域为()1,+∞.（2）因为()f x 的定义域为()1,+∞，不关于原点对称，所以函数()f x 为非奇非偶函数.（3）由“对)[]12,2,4x x ∀∈+∞∈-，不等式()()12f x g x ≤恒成立”，可得max min ()()f x g x ≤，当x ()()()()2111222log 1log 1log 1f x x x x =++-=-由()f x 在)+∞上单调递减，max ()1f x f==-，根据题意得，对[]21,2,70x x ax ∀∈-+≥法一：可转化为[]71,2,x a x x∀∈≤+，令()7h x x x =+，由()h x 在[]1,2上单调递减得，可得()min 711()2222h x h ==+=，实数a 的取值范围为11,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.法二：设函数()27g x x ax =-+，①当22a≥，即4a ≥时，()g x 在[]1,2上单调递减，可得()min ()21021g x g a ==-≥-，解得112a ≤，则1142a ≤≤；②当12a≤，即2a ≤时，()g x 在[]1,2上单调递增，可得()min ()171g x g a ==-≥-，解得8a ≤，则2a ≤；③当122a<<，即24a <<时，()g x 在[]1,2先减后增，可得()2min ()7122a ag x a =-⨯+≥-，解得a -≤≤24a <<，综上，实数a 的取值范围为11,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.考点四：任意-存在型不等式成立例4.（23-24高一下·山东淄博·期中）已知函数()3f x x =+，[]0,2x ∈，()ag x x x=+，[]1,2x ∈．对[]10,2x ∀∈，都[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，则a 的范围是．【答案】9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】函数()3f x x =+，在[]0,2x ∈上单调递增，所以min ()(0)3f x f ==，当a<0时，()ag x x x=+在区间[]1,2上单调递增，min ()1g x a =+，所以31a ≥+，解得2a ≤，又因为a<0，所以031a a <⎧⎨≥+⎩，解得a<0；当01a ≤≤时，()ag x x x=+在区间[]1,2上单调递增，其最小值为(1)1g a =+，所以有0131a a ≤≤⎧⎨≥+⎩，解得01a ≤≤，当14a <<时，()ag x x x=+在区间上单调减，在上单调增，其最小值为g =，所以有143a <≤⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得914a <≤，当4a >时，()ag x x x =+在区间[]1,2上单调减，()min ()222a g x g ==+，此时4322a a >⎧⎪⎨≥+⎪⎩，无解；所以a 的取值范围是9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故答案为：9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【变式4-1】（23-24高一上·重庆·月考）已知函数()()4,2xf x xg x a x=+=+.若[][]121,3,2,3x x ∀∈∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，则实数a 的范围是（）A ．4a ≤B ．3a ≤C ．0a ≤D ．1a ≤【答案】C【解析】因为()44f x x x =+≥=，当且仅当4x x =，且0,x >即2x =时等号成立，所以()min 4f x =，又函数()2x g x a =+在[]2,3上单调递增，所以()2min 24g x a a =+=+，由题意可知()()min min f x g x ≥，即44a ≥+，所以0a ≤，故选：C.【变式4-2】（23-24高一上·广东佛山·期中）已知()221f x x x =--，()log a g x x =（0a >且1a ≠），若对任意的[]11,2x ∈-，都存在[]22,4x ∈，使得()()12f x g x <成立，则实数a 的取值范围是（）A ．,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．(D ．()1,2【答案】D【解析】由题意可知：()()12max max <⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦f x g x ，因为()221f x x x =--的图象开口向上，对称轴为1x =，且[]1,2x ∈-，可知当=1x -时，()f x 取到最大值()12f -=，由题意可得：()22<g x ，可知存在[]22,4x ∈，使得()22<g x 成立，当01a <<，可知()log a g x x =在()0,∞+上单调递减，可得()()2102<=<g x g ，不合题意；当1a >，可知()log a g x x =在()0,∞+上单调递增，可得()2g x 的最大值为()4g ，则()24log 42log =>=a a g a ，即24a <又1a >，解得12a <<；综上所述：实数a 的取值范围是()1,2.故选：D.【变式4-3】（23-24高一上·广东茂名·期中）已知函数()()()2222410,2log 123x f x x x g x x m m =-+=+++-，若对任意[]10,4x ∈，总存在[]2x ∈，使()()12f x g x ≥成立，则实数m 的取值范围为.【答案】[1,2]【解析】对任意[]10,4x ∈，总存在[]22,4x ∈，使()()12f x g x ≥成立,∴对[][]()()1212min min 0,4,2,4,x x f x g x ∈∈≥成立()22410(2)6,f x x x x =-+=-+∴ 当[]10,4x ∈时，()()1min 26f x f ==，()()2222log 123x g x x m m =+++- 在[]2,4上是增函数，∴当[]22,4x ∈时，()()()222222min 22log 212338g x g m m m m ==+++-=-+，()()22638,320,120,12m m m m m m m ∴≥-+∴-+≤∴--≤∴≤≤，故实数m 的取值范围为[1,2].故答案为：[1,2].考点五：存在-存在性不等式成立例5.（22-23高一上·北京丰台·期中）已知函数()f x ax =和221()8g x x a =+（其中0a >），若存在12,(1,1)x x ∈-使得()()12f x g x ≥成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(0,1)B ．(0,1]C ．22,44⎛-+ ⎝⎭D ．22,44⎡+⎢⎣⎦【答案】A【解析】存在12,(1,1)x x ∈-使得()()12f x g x ≥成立，等价于()()max min f x g x ≥在()1,1x ∈-上恒成立，由0a >得，()f x a <，()2min ()0g x g a ==，所以2a a >，解得01a <<，所以实数a 的取值范围是(0,1).故选：A.【变式5-1】（23-24高一上·河北·月考）已知()()[]()()212121,22,,0,1,f x ax g x x x a x x f x g x =+=-+∃∈>，则a 的取值范围是（）A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．(),1-∞D ．()1,+∞【答案】A【解析】[]12,0,1x x ∃∈，()()12f x g x >，所以，()()12max min f x g x >，()()2222121g x x x a x a =-+=-+-在[]0,1上单调递减，所以()2min 21g x a =-，当0a =时，())2122212f x g x x =>=-，即22212x x >-，取210x x ==成立.当a<0时，()1max 1f x =，即211a -<，得1a <，所以a<0当0a >时，()1max 1f x a =+，即121a a +>-，得2a <，所以02a <<，综上：a 的取值范围是(),2-∞.故选：A【变式5-2】（22-23高一上·辽宁营口·期末）已知函数()4f x x x =+，()2x g x a =+，若11,12x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，[]22,3x ∃∈，使得()()12f x g x ≤，则实数a 的取值范围是（）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)3,∞-+D ．[)1,+∞【答案】C【解析】若11,12x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，[]22,3x ∃∈，使得()()12f x g x ≤，故只需()()min max f x g x ≤，其中()4f x x x =+在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，故()()min 5114f x f ==+=，()2x g x a =+在[]2,3x ∈上单调递增，故()()max 38g x g a ==+，所以58a ≤+，解得：3a ≥-，实数a 的取值范围是[)3,∞-+.故选：C【变式5-3】（23-24高一上·全国·期末）已知2()21,()log (0a f x x x g x x a =--=>且0)a ≠，若存在[]11,2x ∈-,存在[]22,4x ∈,使得12()()f x g x <成立,则实数a 的取值范围是.【答案】()1,2∞⎛⎫⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】因为22()21(1)2f x x x x =--=--，当[]1,2x ∈-时,max min ()(1)2,()(1)2f x f f x f =-===-，因为存在[]11,2x ∈-，存在[]22,4x ∈，使得12()()f x g x <成立,所以函数()f x 在[]1,2-上的最小值小于函数()g x 在[]2,4上的最大值.当01a <<时,函数()log a g x x =在[]2,4上单调递减，则2log 2a -<，解得02a <<;当1a >时,函数()log a g x x =在[]2,4上单调递增，则2log 4a -<，解得1a >，综上,实数a 的取值范围是()0,1,2∞⎛⋃+ ⎪⎝⎭.故答案为：()0,1,2∞⎛⎫⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭.考点六：任意-存在型等式成立例6.（22-23高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知221()2,()e 1x f x x x m g x -=-+=-，若对[]12130,3,,22x x ⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x =，则实数m 的取值范围是（）A ．22,e 4⎡⎤-⎣⎦B ．21,e 5⎡⎤-⎣⎦C ．22,e 5⎡⎤-⎣⎦D ．21,e 4⎡⎤-⎣⎦【答案】D【解析】因为22()2(1)1f x x x m x m =-+=-+-，[]0,3x ∈，所以()f x 在[0,1)上递减，在(1,3]上递增，所以()f x 的最小值为(1)1f m =-，因为(0),(3)3f m f m ==+，3m m +>，所以()f x 的最大值为3m +，所以()f x 的值域为[1,3]m m -+，因为21()e 1x g x -=-在13,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上递增，所以()g x 的值域为2[0,e 1]-，因为对[]12130,3,,22x x ⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x =，所以[1,3]m m -+是2[0,e 1]-的子集，所以2103e 1m m -≥⎧⎨+≤-⎩，解得21e 4m ≤≤-，即m 的取值范围21e 4m ≤≤-故选：D 【变式6-1】（23-24高一上·甘肃酒泉·期末）已知函数()2f x ax =-，()122,13,1,31,x x g x x x -⎧≤≤=⎨-+-≤<⎩对1[3,3]x ∀∈-，2[3,3]x ∃∈-，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[1,1]-B ．[]0,4C ．[]1,3D ．[2,2]-【答案】D【解析】因为()122,13,1,31,x x g x x x -⎧≤≤=⎨-+-≤<⎩所以[)23,1x ∈-时，()[]22218,1g x x =-+∈-，[]21,3x ∈时，()[]21221,4x g x -=∈，综上()[]28,4g x ∈-.当0a >时，1[3,3]x ∀∈-，[]1()32,32f x a a ∈---，由题意，[][]32,328,4a a ---⊆-，即328324a a --≥-⎧⎨-≤⎩，解得02a <≤；当0a =时，1()2f x =-，符合题意；当0a <时，1[3,3]x ∀∈-，[]1()32,32f x a a ∈---，由题意，[][]32,328,4a a ---⊆-，即328324a a -≥-⎧⎨--≤⎩，解得20a -≤<；综上可得[]2,2a ∈-.故选：D.【变式6-2】（23-24高一上·江苏南通·期中）已知函数()f x 为偶函数，且[]2,0x ∈-时，()f x x =-.(1)求(]0,2x ∈时，()f x 的解析式；(2)若函数()()20g x ax a a =+-≠，对[][]122,2,2,2x x ∀∈-∃∈-，使得()()21g x f x =成立，求实数a 的取值范围.【答案】(1)()f x x =--，(]0,2x ∈；(2)6a ≤-或2a ≥.【解析】（1）(]0,2x ∈时，[)2,0x -∈-，所以()f x x x -=--=--，因为()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=，则()f x x =--(]0,2x ∈；（2）因为()f x 为偶函数，所以()f x 在[]2,0-和[]0,2上的值域相同，当(]0,2x ∈时，()f x x =--，令t 23x t =-，t ⎡∈⎣，所以函数化为()222314y t t t =--=--，t ⎡∈⎣，所以1t =时，min 4y =-；t =max y =-即()f x 在[]22-,上的值域为4,⎡--⎣.又对[]12,2x ∀∈-，[]22,2x ∃∈-，使得()()21g x f x =成立，所以()f x 的值域是()g x 的值域的子集，①当0a >时，()g x 在[]22-,上的值域为[]23,2a a -+则4232aa -≥-⎧⎪⎨-≤+⎪⎩，解得2a ≥②当a<0时，()g x 在[]22-,上的值域为[]2,23a a +-，则4223a a -≥+⎧⎪⎨-≤-⎪⎩，解得6a ≤-综上所述，实数a 的取值范围为6a ≤-或2a ≥.【变式6-3】（21-22高一下·上海黄浦·月考）已知函数2()f x x x k =-+，若2log ()2f a =，2(log )f a k =，1a ≠．(1)求,a k 的值，并求函数(log )a f x 的最小值及此时x 的值；(2)函数()42g x mx m =+-，若对任意的1[1,3]x ∈，总存在2[1,3]x ∈，使得()()12f x g x =成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)2a =，2k =，x (log )a f x 有最小值74；(2)(,4][4,)-∞-+∞【解析】（1）因为2()f x x x k =-+，所以2()f a a a k =-+，所以()2222log 2log 44a a k a a k -+==⇒-+=，①因为2(log )f a k =，所以()2222log log l )og (f k a a a k =-+=，②由②得，()2222log log log 00a a a -=⇒=或21log a =，解得1a =或2a =因为0a >，且1a ≠，所以2a =，代入①得22242k k -+=⇒=，所以2,2a k ==，所以2()2f x x x =-+所以22222217(log )(log )(log )log 2(log )24a f x f x x x x ==-+=-+．所以当21log 2x =，即x =(log )a f x 有最小值74．（2）2()2f x x x =-+，当1[1,3]x ∈时，1()[2,8]f x ∈，因为对任意的1[1,3]x ∈，总存在2[1,3]x ∈，使得()()12f x g x =成立，所以1()f x 的值域是2()g x 值域的子集，当0m =时，()4g x =，舍去；当0m >时，因为2[1,3]x ∈，所以2()[4,4]g x m m ∈-++，所以4248m m -+≤⎧⎨+≥⎩，所以4m ≥；当0m <时，因为2[1,3]x ∈，所以2()[4,4]g x m m ∈+-+，所以4248m m +≤⎧⎨-+≥⎩，所以4m -；综上，实数m 的取值范围是(,4][4,)-∞-+∞ ．一、单选题1．（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知函数2()224x x f x a =-⋅+，若()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．(,4]-∞B ．(,2]-∞C ．[4,)+∞D ．[2,)+∞【答案】A【解析】因为()0f x ≥恒成立，即22240x x a -⋅+≥恒成立，所以422xx a ≤+恒成立，又由4242x x +≥=（当且仅当1x =时取等号），所以4a ≤．故选：A ．2．（23-24高一上·吉林长春·期中）设函数()221(1)f x x x =-+-，不等式()()3f ax f x ≤+在(]1,2x ∈上恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],2-∞C ．51,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】因为()212f x x x +=+，()212f x x x -=+，所以()()11f x f x +=-，所以函数()221(1)f x x x =-+-关于直线1x =对称，当1x ≥时，()()2221(1)1f x x x x =-+-=-，则函数()f x 在[)1,+∞上单调递增，所以在(),1-∞上单调递减，又不等式()()3f ax f x ≤+在(]1,2x ∈上恒成立，所以12ax x -≤+在(]1,2x ∈上恒成立，即12ax x -≤+在(]1,2x ∈上恒成立，所以212--≤-≤+x ax x 在(]1,2x ∈上恒成立，所以1311--≤≤+a x x 在(]1,2x ∈上恒成立，所以max min1311⎛⎫⎛⎫--≤≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a x x ，因为函数11y x =--在(]1,2x ∈上单调递增，所以max 1131122x ⎛⎫--=--=- ⎪⎝⎭，因为函数31=+y x 在(]1,2x ∈上单调递减，所以min3351122x ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，所以3522a -≤≤，即35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：D3．（22-23高一上·海南·期中）已知函数()24a x x x f =-+，()5g x ax a =+-，若对任意的[]11,3x ∈-，总存在[]21,3x ∈-，使得()()1f x g x =成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(],9-∞-B ．[]9,3-C ．[)3,+∞D ．(][),93,-∞-+∞ 【答案】D【解析】要使对任意的[]11,3x ∈-，总存在[]21,3x ∈-，使得()()12f x g x =成立，即()f x 在[]1,3-上值域是()g x 在[]1,3-上值域的子集，2()(2)4f x x a =-+-开口向上且对称轴为2x =，则[]1,3-上值域为[4,5]a a -+；对于()5g x ax a =+-：当a<0时()g x 在[]1,3-上值域为[25,52]a a +-，此时，0254525a a a a a <⎧⎪+≤-⎨⎪-≥+⎩，可得9a ≤-；当0a =时()g x 在[]1,3-上值域为{5}，不满足要求；当0a >时()g x 在[]1,3-上值域为[52,25]a a -+；此时，0255524a a a a a >⎧⎪+≥+⎨⎪-≤-⎩，可得3a ≥；综上，a 的取值范围(][),93,-∞-+∞ .故选：D4．（23-24高一上·江西南昌·月考）已知函数()4f x x x=+，()2xg x a =+.若[]11,3x ∀∈，[]22,3x ∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，则实数a 的取值范围是（）A ．4a ≤-B ．3a ≤-C ．0a ≤D ．1a ≤【答案】C【解析】设()4f x x x=+在[]1,3上的最小值为()min f x ，()2xg x a =+在[]2,3上的最小值为()min g x .因为44x x +≥=，当且仅当4x x =，且0x >，即2x =时等号成立，所以，()min 4f x =.()2x g x a =+在[]2,3上单调递增，所以()()min 24g x g a ==+.由[]11,3x ∀∈，[]22,3x ∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，可得()()min min f x g x ≥，即44a ≥+，所以0a ≤.故选：C.5．（22-23高二上·陕西西安·期中）已知()()()21ln 12xf x xg x m ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，，若对任意[]10,3x ∈，[]21,2x ∈，使得()()12f x g x ≥，则实数m 的取值范围是（）A ．14⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，B ．14⎛-∞⎤ ⎝，C ．12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．12⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，【答案】C【解析】易知()2(ln 1)f x x =+在[0,3]上单调递增，()()min 00f x f ==，()1()2x g x m =-在[1,2]上单调递减，()()max 112g x g m ==-，对任意[]10,3x ∈，[]21,2x ∈，使得()()12f x g x ≥，则()()min maxf xg x ≥所以102m -≤，即12m ≥.故选：C.6．（21-22高一上·福建泉州·期中）已知函数()3f x ax =，0a >，223()2g x x a =+，若存在1x ，211,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦使得()()12f x g x ≥成立，则a 的取值范围为（）A ．25a <<B ．02a <<C．52a <<或2a <-D ．108a <≤【答案】D【解析】设任意的11,,22m n ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且m n <，0a >，所以()()()()2233f a m n m m nm f n am a n n -=-++-=()223024n n a m n m ⎡⎤⎛⎫=-++<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，即()()f m f n <，所以()3f x ax =在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()max 128a f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭；因为223()2g x x a =+，其对称轴为0x =，所以根据二次函数的性质可得223()2g x x a =+在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦可得到最小值2(0)g a =，若存在1x ，211,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦使得()()12f x g x ≥成立，只需()()max min f x g x ≥，所以28a a ≥，解得108a ≤≤，因为0a >，所以a 的取值范围为108a <≤，故选：D 二、多选题7．（23-24高一上·辽宁丹东·月考）12x x m -++≥对于x ∀∈R 恒成立，则m 的可能取值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】ABC【解析】设()12f x x x =-++，则()21,1123,2121,2x x f x x x x x x +≥⎧⎪=-++=-<<⎨⎪--≤-⎩，则()f x的图象如下所示：由图可知当21x -≤≤时()f x 取得最小值3，即123x x -++≥当且仅当21x -≤≤时取等号，因为12x x m -++≥对于x ∀∈R 恒成立，所以3m ≤，故符合题意的有A 、B 、C.故选：ABC8．（23-24高一上·湖南株洲·月考）已知函数()21([2,2])f x x x =-+∈-，2()2([0,3])g x x x x =-∈，则下列结论正确的是（）A ．[2,2]x ∀∈-，()f x a >恒成立，则a 的取值范围是(,3)-∞-B ．[2,2]x ∃∈-，()f x a >，则a 的取值范围是(,3)-∞-C ．[0,3]x ∃∈，()g x a =，则a 的取值范围是[1,3]-D ．[2,2]x ∀∈-，[0,3]t ∃∈，()()f x g t =【答案】AC【解析】对于A ，因为()21([2,2])f x x x =-+∈-单调递减，所以min ()3f x =-，又因为()f x a >恒成立，则a 的取值范围是(,3)-∞-，故A 正确；对于B ，因为()21([2,2])f x x x =-+∈-单调递减，所以max ()5f x =，又[2,2]x ∃∈-，()f x a >，则a 的取值范围是(,5)-∞，故B 错误；对于C ，2()2([0,3])g x x x x =-∈在[]0,1单调递减，(]1,3单调递增，所以min max ()(1)1,()(3)3,g x g g x g ==-==所以()[1,3]g x ∈-，因为[0,3]x ∃∈，()g x a =，所以a 的取值范围是[1,3]-，故C 正确；对于D ，由上述过程可知[]()3,5f x ∈-，()[1,3]g x ∈-，则不能保证[2,2]x ∀∈-，[0,3]t ∃∈，()()f x g t =，例如：当2x =-时，不存在[0,3]t ∈，()()f x g t =，故D 错误.故选:AC.三、填空题9．（23-24高一上·广东·月考）已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭与2()24(0)g x x ax a =-+>，若对任意的1(0,1)x ∈，都存在2[0,2]x ∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是.【答案】,2⎫+∞⎪⎪⎣⎭【解析】1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，函数单调递减，1(0,1)x ∈，故()11,12f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，对任意的1(0,1)x ∈，都存在2[0,2]x ∈，使得()()12f x g x =，故()2g x 的值域包含1,12⎛⎫⎪⎝⎭，①当02a <<时，()()2min 142g x g a a ==-≤，解得22a ≤<，此时()()max 041g x g ==≥，成立；②当2a ≥时，函数在[]0,2上单调递减，()()max 041g x g ==≥，成立，()()min 12842g x g a ==-≤，解得158a ≥，即2a ≥；综上所述：2a ⎫∈+∞⎪⎪⎣⎭.故答案为：,2⎫+∞⎪⎪⎣⎭10．（23-24高一上·广东佛山·期中）已知函数()f x x x =，若对任意[],2x t t ∈+，不等式()()29f x t f x +≤恒成立，则实数t 的取值范围是.【答案】1⎡⎤⎣⎦【解析】因为()f x x x =，则有：当0x ≥时，()2f x x =，此时()f x 单调递增；当0x ≤时，()2f x x =-，此时()f x 单调递增，且()00f =，所以()f x 为R 上的连续函数且在R 上单调递增.又因为()()99333===f x x x x x f x ，则()()()293+≤=f x t f x f x ，可得23+≤x t x ，即23≤-t x x 对任意[],2x t t ∈+恒成立，注意到23y x x =-的图象开口向下，则()()223322t t t t t t ⎧≤-⎪⎨≤+-+⎪⎩，解得01≤≤t ，所以实数t 的取值范围为1⎡⎤⎦.故答案为：1⎡⎤⎣⎦.11．（23-24高一下·上海嘉定·月考）已知函数()()22log 1f x x =+，()12xg x m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若对于任意[]11,1x ∈-，存在[]21,1x ∈-，使得()()12f x g x ≤，则实数m 的取值范围为.【答案】[)1,-+∞【解析】因为[]11,1x ∈-，所以[]2111,2x ∈+，所以()[]221log 10,1x ∈+，即()[]10,1f x ∈，由[]21,1x ∈-，则211,222xm m m ⎡⎤+∈++⎢⎥⎛⎪⎭⎣⎫ ⎦⎝，即()21,22g x m m ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦，因为对于任意[]11,1x ∈-，存在[]21,1x ∈-，使得()()12f x g x ≤，所以()()12max max f x g x ≤，则21m +≥，解得1m ≥-，即[)1,m ∈-+∞.故答案为：[)1,-+∞.四、解答题12．（22-23高一上·江西赣州·期中）函数()log a f x b x =⋅（其中a ，b 为常数，且0a >，1a ≠）的图象经过点(),4A a ，()4,8B .(1)求函数()f x 的解析式；(2)若不等式110x xm b a ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在区间[]1,2-上有解，求实数m 的取值范围.【答案】(1)2()4log f x x =；(2)2m ≤【解析】（1）由题意得log 4log 48a a b a b ⋅=⎧⎨⋅=⎩，解之得24a b =⎧⎨=⎩，故2()4log f x x =；（2）由（1）知11042x xm ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在区间[]1,2-上有解，即1142x x m ⎛⎫⎛⎫≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在区间[]1,2-上有解，所以max 1142x x m ⎡⎤⎛⎫⎛⎫≤-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，因为2211111114222224x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由于[]1,2x ∈-得11,224x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以当122x =即=1x -时，1142x x ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有最大值为2，因此m 的取值范围为2m ≤.13．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）已知函数()()21log 212x f x x =+-.(1)解不等式()112f x x >+；(2)设()()g x f x x =+，()22h x x x m =-+，若对任意的[]10,4x ∈，存在[]20,5x ∈，使得()()12g x h x ≥，求m 的取值范围.【答案】(1)(),0∞-；(2)(,2]-∞【解析】（1）因为()112f x x >+，所以()211log 21122x x x +->+，所以()22221log 211log log 22x x xx ++->⇔>，由对数函数2log y x =的单调性可知：2122x x +>，所以21x <，由指数函数2x y =的单调性可知：0x <，所以不等式的解集为(),0∞-；（2）()()21log 212x g x x =++，因为对任意的[]10,4x ∈，存在[]20,5x ∈，使得()()12g x h x ≥，所以()g x 在[]0,4上的最小值不小于()h x 在[]0,5上的最小值；因为()21log 21,2x y y x =+=均在[]0,4上单调递增，所以()21()log 212x g x x =++在[]0,4上单调递增，所以()()min 01g x g ==，因为()()22211h x x x m x m =-+=-+-，所以()h x 在[]0,1上单调递减，在[]1,5上单调递增，所以()()min 11h x h m ==-，所以11m ≥-，解得2m ≤，所以m 的取值范围为(,2]-∞.。
高一不等式恒成立问题3种基本方法
高一不等式恒成立问题3种基本方法文章标题：探讨高一不等式恒成立问题的三种基本方法在高中数学学习中，不等式恒成立问题是一个很常见的题型。
学生们通常需要掌握多种方法来解决这类问题，而这些方法通常可以分为三种基本类型。
本文将会详细介绍这三种基本方法，帮助读者全面理解这一数学概念。
1. 方法一：代数法我们来介绍代数法。
这种方法是在不等式两边进行代数变换，使得不等式变成一个容易解决的形式。
代数法通常包括加减变形、乘除变形以及平方去根等技巧。
以不等式ax+b>0为例，我们可以通过移项得到ax>-b，然后再除以a的正负来确定不等式的方向，从而得到不等式的解集。
代数法在解决不等式恒成立问题中应用广泛，能够快速简便地找到解的范围和规律。
2. 方法二：图像法我们介绍图像法。
图像法是通过绘制不等式所代表函数的图像，来直观地找出不等式恒成立的区间。
对于一元一次不等式ax+b>0，我们可以画出函数y=ax+b的图像，从而通过观察图像的上升或下降趋势来确定不等式的解集。
图像法能够帮助我们更直观地理解不等式的性质和范围，提高我们的思维逻辑和空间想象能力。
3. 方法三：参数法我们介绍参数法。
参数法是通过引入一个或多个参数，将不等式转化为一个有参数的等式问题，进而进行求解。
参数法的典型应用包括辅助角法、二次函数法等。
以不等式ax²+bx+c>0为例，我们可以引入Δ=b²-4ac，然后根据Δ的正负来确定不等式的解集。
参数法在解决不等式问题中能够简化问题的复杂度，将不等式的求解转化为参数的求解，从而提高解题的效率和准确度。
总结回顾通过对以上三种基本方法的介绍，我们可以发现它们各有特点，应用范围和解题思路有所不同。
代数法能够利用代数变形快速求解不等式问题，图像法能够帮助我们直观地理解不等式的性质，而参数法则能够将问题转化为参数的求解，提高解题的效率。
个人观点和理解在实际解题中，我们应该根据具体情况灵活选用这三种方法，结合题目的特点和自身的掌握程度来选择合适的解题方法。
高一数学培优-恒成立问题
奥美高中2018级高一数学培优讲义——不等式恒成立问题一.不等式恒成立问题的处理方法1.利用根的判别式 设()()02≠++=a c bx ax x f（1）()0>x f 在R x ∈上恒成立⇔0>a 且0<∆； （2）()0<x f 在R x ∈上恒成立⇔0<a 且0<∆．例 1.对于任意实数x ，不等式()()042222<----x a x a 恒成立，则实数a 的取值范围是________.2.转换求函数的最值（1）若不等式()A x f >在区间D 上恒成立⇔在区间D 上()min f x A >（注：若()f x 的最小值不存在,则()0f x >恒成立⇔()f x 的下界大于0） （2）若不等式()B x f <在区间D 上恒成立⇔在区间D 上()max f x B <（注：若()f x 的最大值不存在,则()0f x <恒成立⇔()f x 的上界小于0）例2.设()222+-=ax x x f ,当[)+∞-∈,1x 时，都有()a x f ≥恒成立，求实数a 的取值范围.例3.R 上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ时， 有()()022sin 2cos 2>--++a f a f θθ恒成立，求实数a 的取值范围.3.分离参数法（1）将参数与变量分离，即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式； （2）求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；（3）解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤) ，得λ的取值范围.例4.当(1,2)x ∈时，不等式042<++ax x 恒成立，求实数a 的取值范围.例5.已知(],1x ∈-∞时，不等式()21240x x a a ++-⋅>恒成立，求实数a 的取值范围.4.主参换位法在不等式的恒成立问题中，有一类题型是题中的参数如a 、m 、k 等的范围是已知的，而题要求的反而是变量x 的范围.这类题型中，由于已知范围的变量是以前我们所接触的参数，因而题中的函数结构也就发生了改变，此时函数是以参数为自变量的函数.一般来说，我们在观察这类恒成立问题时，哪个变量的范围是已知的，哪个就是该函数的自变量. 例6.若不等式0224>+⋅-xx a 对于]3,(-∞∈a 恒成立，求实数x 的取值范围.例7.对于满足2a ≤的所有实数a ,求使不等式212x ax a x ++>+恒成立的x 的取值范围.5.数形结合若所给不等式进行合理的变形化为()()x g x f ≥（或()()x g x f ≤）后，能非常容易地画出不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断出结果.例8.若对任意x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________.例9.当()2,1∈x 时，不等式()x x a log 12<-恒成立，则实数a 的取值范围是________.6.消元转化法对于含有两个以上变量的不等式恒成立问题,可以根据题意依次进行消元转化,从而转化为只含有两变量的不等式问题,使问题得到解决．例10.已知()x f 是定义在[]1,1-上的奇函数,且()11=f ,若[]1,1,-∈n m ，0≠+n m 时()()0>++nm n f m f ,若()122+-≤at t x f 对于所有的[]1,1-∈x ，[]1,1-∈a 恒成立,求实数t 的取值范围．二.不等式能成立问题的处理方法若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >； 若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <.例11.已知不等式a a x x 3132-≤-++在实数集R 上的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________.例12.存在实数[]2,1∈x ，使得不等式022<-+a ax 有解，求实数a 的取值范围.三.不等式恰好成立问题的处理方法若不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()A x f >的解集为D ； 若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D .例13.不等式012>++bx ax 的解集为1|13x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭则a b ⋅=___________.例14.已知(),22xax x x f ++=当[)+∞∈,1x 时，()x f 的值域是[)+∞,0,试求实数a 的值.思考题 1.已知()x f ,()x g 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,且()()xx g x f ⎪⎭⎫⎝⎛=+21错误!未找到引用源。
高一数学 不等式恒成立问题中的参数求解策略
不等式恒成立问题中的参数求解策略不等式恒成立问题的题目一般综合性都比较强，本文结合例题谈谈不等式恒成立问题中参数的求解策略 关键词：不等式；恒成立；求解策略在不等式中，有一类问题是求参数在什么范围内不等式恒成立。
恒成立条件下不等式参数的取值范围问题，涉及的知识面广，综合性强，同时数学语言抽象，如何从题目中提取可借用的知识模块往往捉摸不定，难以寻觅，是同学们学习的一个难点，同时也是高考命题中的一个热点。
下面结合例题浅谈不等式恒成立问题的解题策略题型一、可化为二次函数类型有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。
常常有以下两类情况： ㈠可化为二次函数在R 上恒成立问题 设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ； （2）（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 。
例1 对于x ∈R ，不等式0m 3x 2x 2≥-+-恒成立，求实数m 的取值范围。
解：不妨设m 3x 2x )x (f 2-+-=，其函数图象是开口向上的抛物线，为了使)R x (0)x (f ∈≥，只需0≤∆，即0)m 3(4)2(2≤---，解得]2(m 2m ，-∞∈⇒≤。
变形：若对于x ∈R ，不等式03mx 2mx 2>++恒成立，求实数m 的取值范围。
此题需要对m 的取值进行讨论，设3mx 2mx )x (f 2++=。
①当m=0时，3>0，显然成立。
②当m>0时，则△<03m 0<<⇒。
③当m<0时，显然不等式不恒成立。
由①②③知)30[m ，∈。
关键点拨：对于有关二次不等式0c bx ax 2>++（或<0）的问题，可设函数c bx ax )x (f 2++=，由a 的符号确定其抛物线的开口方向，再根据图象与x 轴的交点问题，由判别式进行解决。
一元二次不等式的恒成立的基本类型与解题技巧
ʏ孙新晓一元二次不等式的恒成立及综合应用问题,是高考中比较常见的热点题型之一㊂解决这类问题,可以合理联系一元二次不等式㊁一元二次方程和二次函数这三个 二次 问题,实现三个 二次 问题之间的相互转化㊂下面就一元二次不等式的恒成立问题中最常见的三种基本类型,结合实例加以剖析,意在总结解题技巧与应试策略,探索解题规律与解题方法㊂一㊁一元二次不等式在R 上的恒成立问题涉及一元二次不等式在R 上的恒成立问题,可将一元二次不等式问题转化为相应的二次函数的图像问题,利用不等式与二次函数图像的开口情况,并结合判别式的取值进行转化求解㊂例1 若不等式(a -2)x 2+2(a -2)x -4<0对一切x ɪR 恒成立,则实数a 的取值范围是( )㊂A .{a |a ɤ2}B .{a |-2ɤa ɤ2}C .{a |-2<a ɤ2}D .{a |a <-2}分析:在解决一元二次不等式在R 上恒成立时,将一元二次不等式转化为相应的二次函数的图像问题,通过二次函数图像的开口情况与判别式的取值范围进行合理转化,列出不等式来确定参数的取值范围㊂解:当a -2=0,即a =2时,原不等式可化为-4<0,显然对一切x ɪR 恒成立;当a ʂ2时,则a -2<0,Δ=4(a -2)2+16(a -2)<0,整理得a -2<0,a 2<4,解得-2<a <2㊂综上可得,实数a 的取值范围是{a |-2<a ɤ2}㊂应选C㊂ 在解决一元二次不等式在R 上恒成立问题时,往往涉及以下两种情况:一元二次不等式a x 2+b x +c >0(a ʂ0)对任意实数x ɪR 恒成立⇔a >0,Δ<0;一元二次不等式a x 2+b x +c <0(a ʂ)对任意实数x ɪR 恒成立⇔a <0,Δ<0㊂需要特别注意的是,只要二次项系数含参数,必须分类讨论二次项系数是否为零的情况㊂二㊁一元二次不等式在给定自变量范围上的恒成立问题涉及一元二次不等式在给定自变量范围上的恒成立问题,可转化为二次函数在给定自变量范围上的最值问题来处理㊂在实际解题时,要注意自变量范围对二次函数图像的影响,可结合分类讨论思想㊁数形结合思想进行直观处理,凸显数学的内在联系和知识的综合运用㊂例2 已知函数f (x )=m x 2-m x -1,若对于任意x ɪ{x |1ɤx ɤ3},f (x )<5-m 恒成立,则实数m 的取值范围是㊂分析:利用所给不等式对应的二次函数,结合二次函数在给定自变量范围上的图像与性质的特征,确定相应参数的取值范围㊂解:要使不等式f (x )<-m +5对任意x ɪ{x |1ɤx ɤ3}恒成立,只需不等式m x -122+34m -6<0对任意x ɪ{x |1ɤx ɤ3}恒成立㊂解决此题有下面两种方法㊂(函数法)令函数g (x )=m x -122+34m -6,x ɪ{x |1ɤx ɤ3}㊂当m =0时,显然-6<0恒成立;当m >0时,函数g (x )在{x |1ɤx ɤ3}上是增函数,所以g (x )m a x =g (3),则g (3)=41 知识结构与拓展 高一数学 2023年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.7m -6<0,解得m <67,这时0<m <67;当m <0时,函数g (x )在{x |1ɤx ɤ3}上是减函数,所以g (x )m a x =g (1),则g (1)=m -6<0,解得m <6,这时m <0㊂综上所述,所求实数m 的取值范围是m m <67㊂(分离参数法)若使不等式m (x 2-x +1)-6<0对任意x ɪ{x |1ɤx ɤ3}恒成立,而x 2-x +1=x -122+34>0,则只需满足m <6x 2-x +1,x ɪ{x |1ɤx ɤ3}㊂因为函数y =6x 2-x +1=6x -122+34在x ɪ{x |1ɤx ɤ3}上的最小值为67,所以只需满足m <67,即所求实数m的取值范围是m m <67㊂解决一元二次不等式在给定自变量范围上的恒成立问题,有两种常见的求解方法:函数法,若f (x )>0在给定自变量范围上恒成立,可利用一元二次函数的图像转化为不等式(组)求范围;分离参数法,即转化为函数值域问题,已知函数f (x )的值域为{y |m ɤy ɤn },则f (x )ȡa 恒成立,可得f (x )m i n ȡa ,即m ȡa ;f (x )ɤa 恒成立,可得f (x )m a x ɤa ,即n ɤa ㊂三㊁一元二次不等式在给定参数范围上的恒成立问题涉及一元二次不等式在给定参数范围上的恒成立问题,可通过变换自变量与参数之间的关系,结合主元的变换,利用函数的图像与性质求解㊂例3 若不等式x 2+p x >4x +p -3,当0ɤp ɤ4时恒成立,则实数x 的取值范围是( )㊂A .{x |-1ɤx ɤ3}B .{x |x ɤ-1}C .{x |x ȡ3}D .{x |x <-1}ɣ{x |x >3}分析:利用参数的取值范围,变换主元,构建相应的不等式,进而转化为一次函数的图像问题求解;也可借助特殊值法来处理,即通过端点的选取,实现巧妙排除,即可得解㊂解:(变换主元法)原不等式变换主元可得(x -1)p +x 2-4x +3>0,当0ɤp ɤ4时恒成立㊂结合一次函数的图像与性质得x 2-4x +3>0,4(x -1)+x 2-4x +3>0,据此整理可得x 2-4x +3>0,x 2-1>0,解得x <1或x >3,x <-1或x >1,则x <-1或x >3㊂应选D ㊂(特殊值法)当x =-1时,由不等式x 2+p x >4x +p -3,代入得p <4,即x =-1不符合条件,排除A ㊁B ㊂当x =3时,由不等式x 2+p x >4x +p -3,代入得p >0,即x =3不符合条件,排除C ㊂应选D㊂解决一元二次不等式在给定参数范围上的恒成立问题,一定要清楚区分主元与参数㊂一般情况下,知道参数范围的,就选为主元,求参数范围的,就选为参数㊂在实际解题过程中,就是把变元与参数交换位置,构造以参数为变量的函数,变换主元后得到一次函数或二次函数,进而根据原变量的取值范围求解㊂若不等式k x 2-6k x +k +8ȡ0的解集为R ,则实数k 的取值范围是( )㊂A .0ɤk ɤ1 B .0<k ɤ1C .k <0或k >1D .k ɤ0或k ȡ1提示:由于不等式k x 2-6k x +k +8ȡ0的解集为R ,分以下两种情况讨论:①当k =0时,则8ȡ0,符合题意;②当k ʂ0时,则k >0,Δ=36k 2-4k (k +8)=32k (k -1)ɤ0,解得0<k ɤ1㊂综上所述,0ɤk ɤ1㊂应选A ㊂作者单位:江苏省靖江高级中学(责任编辑 郭正华)51知识结构与拓展高一数学 2023年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
高一数学——恒成立问题
1 函数()0f x ≥恒成立⇔ ()min 0f x ≥1.1 二次函数（定义域无限制）的恒成立问题对于一元二次函数),0(0)(2R x a c bx ax x f ∈≠>++=有： （1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ； （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a【例1】 若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。
【例2】 若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； 【练习1】 若函数R 上恒成立，求m 的取值范围。
2 函数()f x a ≥恒成立，⇔()min f x a ≥（分离参数法）2.1 二次函数（限制定义域）的恒成立问题【练习1】 当()1,2x ∈时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 . 【练习2】【2006江西】对于一切实数，不等式210x a x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是 【练习3】若不等式22210x mx m -++>对满足01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围。
【练习4】 已知函数2()10f x x ax =++≥对于一切1(0,]2x ∈成立，求a 的取值范围。
【练习5】已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(<x f 恒成立，求实数a 的取值范围。
解： 将问题转化为xx x a 24-<对]4,0(∈x 恒成立。
x 02>--a ax x ),(+∞-∞a y =令x x x x g 24)(-=，则min )(x g a < 由144)(2-=-=xxx x x g 可知)(x g 在]4,0(上为减函数，故0)4()(min ==g x g ∴0<a 即a 的取值范围为)0,(-∞。
【练习6】已知函数()lg 2a f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围。
高一数学知识点专题练习11 不等式中的恒成立问题探索
x
x
又 x + 1 ≥ 2 x⋅ 1 = 2 （当且仅当 x = 1 ，即 x =1时取等号）
x
x
x
∴
x
+
1 x
−
2 min
=
2
−
2
=
0
即 m 的取值范围为：(− ∞,0]
∴m ≤ 0
18．已知函数 f ( x) = −x2 + ax + b .
（1）若关于 x 的不等式 f (x) > 0 的解集为(−1,3) ，求实数a,b 的值；
1 / 10
故选 A. 4．下列命题中，正确的是( )
A．若 ac > bc ，则 a > b
．若 ，则 B a > b,c > d a − c > b − d
．若 ，则 C a > b,c > d ac ≥ bd
D．若 a < b ，则 a < b
【答案】D 【解析】c < 0 时，若 ac > bc ，则 a < b ，排除 A ；
【答案】 【解析】不等式
可化为
，
令
，
则对于 ，不等式
恒成立，等价于
，
因为 所以 故答案为 .
15．关于 的不等式 【答案】 【解析】由题得 因为
恒成立，所以 为 上的增函数， ，解得 ，
在区间 上恒成立，则实数 的取值范围是__________.
， ，
所以
.
当且仅当 x=-1 时得到等号.
所以 ≥a -2.
，即
，
①a=0 时，不等式变为
，解得 ＜1；
②a＞0 时，不等式变为
高一数学复习考点题型专题讲解7 基本不等式
高一数学复习考点题型专题讲解第7讲 基本不等式一、单选题1．下列不等式恒成立的是（ ） A ．222a b ab +≤B ．222a b ab +≥-C ．a b +≥-．a b +≤【答案】B【分析】由基本不等式，可判定A 不正确；由2222()0a b ab a b ++=+≥，可判定B 正确；根据特例，可判定C 、D 不正确；【解析】由基本不等式可知222a b ab +≥，故A 不正确；由222a b ab +≥-，可得2220a b ab ++≥，即()20a b +≥恒成立，故B 正确； 当1,1a b =-=-时，不等式不成立，故C 不正确； 当0,1a b ==时，不等式不成立，故D 不正确. 故选：B.2．已知0x >，则2x x+的最小值为（ ） A．2C ．．4 【答案】C【分析】根据给定条件利用均值不等式直接计算作答.【解析】因为0x >，则2x x +≥2x x=，即x =“=”， 所以2xx+的最小值为故选：C3．已知a ＞0，b ＞0，a +b ＝4，则下列各式中正确的是（ ）A ．1114ab+…B ．111a b +…C 2D ．11ab…【答案】B【分析】利用基本不等式逐个分析判断即可 【解析】解：因为a ＞0，b ＞0，a +b ＝4，所以111112(22)1444a b a b b a a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫+=+=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…， 当且仅当a ＝b ＝2时取等号，B 正确，A 错误；由基本不等式可知ab 22a b +⎛⎫⎪⎝⎭…＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，2,C 错误；114ab …，D 错误． 故选：B ．4．0ab >是2ba ab+>的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【分析】解法一:根据充分条件与必要条件的概念，结合不等式的基本性质直接判断，即可得出结果.解法二:利用基本不等式的等号成立的条件可以否定充分性，利用代数变形，结合不等式的基本性质可以论证必要性.【解析】解法一：当1a b ==时，满足10ab =>，但2b a ab+=，2b a ab+>不成立，故0ab >是2b aa b+>的不充分条件； 当0ab <时02b a a b +<<，2b a a b +>不成立，当0ab =时b a a b +无意义，即2b a a b+>不成立，故0ab >是2b a a b+>的必要条件；综上，0ab >是2b a ab+>的必要不充分条件.解法二：当0ab >时，0,0b a ab>>，2b a ab+≥=，当且仅当a b =时取等号，所以0ab >是2ba a b+>的不充分条件；若2b a a b +>，则222b a b a a b ab++=>，所以0ab >,故0ab >是2b a a b +>的必要条件； 综上，0ab >是2b a a b+>的必要不充分条件. 故选：B.5．已知0x >，0y >，48x y +=，则x y的最大值为（ ）A．．4C ．6D ．8 【答案】B【分析】利用基本不等式化简已知条件，由此求得x y的最大值【解析】因为48x y =+≥2，从而4x y ≤．当且仅当44,1x x y y=⇒==时等号成立. 故选：B6．若a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，则（ ）A．2a b +2a b +C2a b +D 2a b + 【答案】B【解析】利用基本不等式或作差法判断选项. 【解析】∵a ，b ∈R +，且a ≠b ，∴a +b ＞2a b+， 而222()24a b a b ++-＝2()4a b -＞0，∴2a b +故选：B7．已知0x >，0y >，251x y +=，则1125x y+的最小值是（ ） A ．2B ．8C ．4D ．6 【答案】C【分析】根据题意，结合“1”的妙用，即可求解. 【解析】解析：由251x y +=得()1111522522224252525y x x y x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+=++≥=+= ⎪⎝⎭，当且仅当5225y x x y =，即14x =，110y =时，等号成立，所以1125x y +的最小值是4． 故选：C ．8．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．下图是我国古代数学家赵爽创作的弦图，弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形的直角边长分别为a 和b ，则该图形可以完成的无字证明为（ ）．A．)0,02a b a b +>>B ．()22200a b ab a b +≥>>， C()20,011a b a b≥>>+D()002a ba b +>>，【答案】B【分析】由图可知大正方形的面积大于等于4个直角三角形的面积和，从而可得结论 【解析】解：因为直角三角形的直角边长分别为a 和b ，所以大正方形的面积为22a b + 由图可知大正方形的面积大于等于4个直角三角形的面积和，所以221422a b ab ab +≥⨯=（0,0a b >>）故选：B9．下列结论正确的是（ ）A ．当0x >，0y >且21x y +=时，11x y+≤B ．当0x >4≥ C ．当2x ≥时，2x x+的最小值是D ．当0a >时，11a a ++的最小值为1 【答案】B【分析】根据1122x y x yx y x y+++=+结合基本不等式，即可判断A ；直接利用基本不等式即可判断BC ，注意取等号的条件； 根据111111a a a a +=++-++结合基本不等式，即可判断D. 【解析】解：因为0x >，0y >且21x y +=，所以112221233x y x y y x xyx y x y +++=+=+++≥+=+当且仅当2y x x y =，21x y +=，即1x ，1y =113x y +≥+A 错误：当0x >4≥=4x =时等号成立，故B 正确；当0x >时，2x x +≥当且仅当2x x=．即x 但已知条件中2x ≥，故C 错误；当10a +>时，1111121111a a a a +=++-≥=-=++，当且仅当111a a +=+，即0a =时等号成立，但已知条件中0a >，故D 错误．故选：B.10．已知0a >，0b >，若不等式41ma b a b+≥+恒成立，则m 的最大值为（ ） A ．10B ．12C ．16D ．9【答案】D【分析】利用参变分离的方法将不等式变形为41()m a b a b⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭恒成立，再由基本不等式得出代数式的最值，可得选项.【解析】由已知0a >，0b >，若不等式41ma b a b+≥+恒成立， 所以41()m a b a b⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭恒成立，转化成求41()y a b a b⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最小值，414()559b a y a b a b a b ⎛⎫=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4b aa b=时取等 所以9m ≤． 故选：D ．11．若x >1，则22222x x x -+-有（ ）A ．最小值1B ．最大值1C ．最小值-1D ．最大值-1 【答案】A【分析】将给定表达式整理变形，再利用基本不等式即可作答.【解析】因x >1，则()()()2211221*********x x x x x x x -+-+⎡⎤=⋅=-+≥⎢⎥---⎣⎦1，当且仅当111x x -=-，即2x =时取等号. 所以22222x x x -+-有最小值为1.故选：A12．设a ，b ，c ，d 均为大于零的实数，且abcd ＝1，令m ＝a （b +c +d ）+b （c +d ）+cd ，则a 2+b 2+m 的最小值为（ ）A ．8B ．．．【答案】B【分析】根据条件可得2222()()a b m a b a b c d ab cd ++=++++++，然后利用重要不等式和基本不等式可求出22a b m ++的最小值．【解析】解：a ，b ，c ，d 均大于零且1abcd =，()()m a b c d b c d cd =+++++，2222()()a b m a b a b c d ab cd ∴++=++++++ 2243ab ab cd ab cd ab cd +++=++…44++…当且仅当a b =，c d =，3ab cd=，即141()3a b ==，143c d ==时取等号，22a b m ∴++的最小值为4+故选：B ．【点睛】本题考查了重要不等式和基本不等式在求最值中的应用，考查了转化思想，属中档题．二、多选题13．(多选题)下列不等式不一定成立的是（ ）A．x ＋1x ≥2B 2．2212x x +≥D ．2－3x －4x ≥2【答案】AD【分析】取0x <可判断A ；2B ；由基本不等式可判断C ；取0x >可判断D.【解析】对于选项A ：当x <0时，102x x+<<，故A 错误；对于选项B 2B 正确；对于选项C ：221122x x x x+≥⋅=，故C 正确； 对于选项D ：变形为430x x+≤，当x 取正数时不成立，故D 错误． 故选：AD.14．已知0,0a b >>，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．114ab+B ．11()()4a b ab++≥C 22a b≥+D ．2≥+aba b 【答案】ABC【分析】对A ，利用基本不等式a b +≥B ，将不等式左边展开，再利用基本不等式即可判断；对C ，利用()2222a b a b ++≥以及a b +≥D ，利用特殊值即可判断.【解析】解：对A ，114a b ++≥， 当且仅当“a b =”时“=”成立，故A 正确；对B ，11()224baa b a b a b ⎛⎫++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当“a b =”时“=”成立，故B 正确；对C ()2222a b a b a b a b ++≥≥=++， 当且仅当“a b =”时“=”成立，故C 正确；对D ，当1,2a b ==时，2224123ab a b ⨯==++=2≥+aba b 不成立，故D 错误； 故选：ABC.15．某公司一年购买某种货物800吨，现分次购买，设每次购买x 吨，运费为8万元/次.已知一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和y 最小，则下列说法正确的是（ ） A ．当40x =时，y 取得最小值 B ．当45x =时，y 取得最小值 C ．min 320y = D ．min 360y = 【答案】AC【分析】根据题意列出总存储费用之和80084y x x=⨯+的表达式，再利用基本不等式求最值即可判断选项【解析】一年购买某种货物800吨，每次购买x 吨，则需要购买800x次，又运费是8万元/次，一年的总存储费用为4x 万元， 所以一年的总运费与总存储费用之和80084y x x=⨯+万元.因为80084320y x x =⨯+≥=，当且仅当64004x x =，即40x =时，等号成立， 所以当40x =时，y 取得最小值，min 320y =. 故选：AC .16．设0,0a b >>，则下面不等式中恒成立的是（ ） A ．221a b a b ++>+BC．211ab≤+．114a b a b+≤+ 【答案】ABC【解析】利用做差法可判断A ；讨论,a b ，平方作差可判断B ；利用基本不等式可判断C 、D.【解析】对于A ，()222222111110222a b a b a a b b a b ⎛⎫⎛⎫++-+=-+-+=-+-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以221a b a b ++>+，故A 正确；对于B ，当a b <当a b ≥时，2a b b a b b a =-+=-+≥，a b =时取等号，故B 正确；对于C ，0,0a b >>，2211ab a b ab=≤=++ 当且仅当a b =时取等号，故C 正确；对于D ，0,0a b >>，()11224b a a b ab ab⎛⎫∴++=++≥+ ⎪⎝⎭，114a b a b∴+≥+，当且仅当a b =时取等号，故D 错误. 故选：ABC【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 17．下列不等式正确的是（ ）A ．若0x <，则12xx +≤-B ．若x ∈R 22≥ C ．若x ∈R ，则2111x <+D ．若0x >，则()1114⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭x x 【答案】ABD【解析】利用基本不等式可判断ABD 选项的正误；取0x =可判断C 选项的正误.【解析】对于A 选项，当0x <时，0x ->，则()()112x x xx ⎡⎤+=--+≤-=-⎢⎥-⎣⎦， 当且仅当1x =-时，等号成立，A 选项正确； 对于B 选项，x R ∈Q ，则222x ≥+，22212x ++==≥，时，即221x +=，显然不成立，等号不成立，22>，B 选项正确；对于C 选项，取0x =，可得2111x =+，C 选项错误；对于D 选项，0x >，()1111224x x x x⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当1x =时，等号成立，D 选项正确. 故选：ABD.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.18．若不等式()2232a b x a b ++≥+对任意正数a ，b 恒成立，则实数x 的可能取值为（ ） A．2C．1 【答案】AD【分析】由题设可得()()2260,02a b a b a b x ++>>+≤恒成立，应用基本不等式求不等式右边的最小值，即可确定x 的范围.【解析】∵不等式()2232a b x a b ++≥+对任意正数a ，b 恒成立， ∴()()2260,02a b a b a b x ++>>+≤恒成立. ∵()()()2226632224a b a b a b a b a b a b +++++≥=+≥=+++a b =.∴x ≤A ，D. 故选：AD.三、填空题19．给出下面三个推导过程：①∵a ，b 为正实数，∴b a ＋a b 2；②∵a ∈R ，a ≠0，∴4a＋a 4；③∵x ，y ∈R ，xy <0，∴xy ＋yx ＝－x y y x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦≤－ 2.其中正确的推导过程为________. 【答案】①③【分析】①符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确； ②不符合基本不等式的条件，所以②的推导过程错误；③x y⎛⎫- ⎪⎝⎭，y x ⎛⎫- ⎪⎝⎭均为正数，符合基本不等式的条件，故③的推导过程正确.【解析】①∵a ，b 为正实数，∴ba ，a b为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确；②a ∈R ，a ≠0，不符合基本不等式的条件，∴②的推导过程错误；③由xy <0，得xy ，y x均为负数，∴x y⎛⎫- ⎪⎝⎭，y x ⎛⎫- ⎪⎝⎭均为正数，符合基本不等式的条件，故③的推导过程正确.故选①③. 故答案为：①③【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 20．若0a b <<，且1a b +=，则实数12、b 、2ab 、22a b +中最大的一个是______． 【答案】b【分析】由0a b <<，1a b +=，所以12a b <<，再结合222a b ab +>，则可判断22122a ab a b b <<<+<，得解.【解析】因为0a b <<，1a b +=，所以12a b <<，222ab a b <+，因为22222a b a b +⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以2212a b +>，又()222221a b a a b a b b b b b b +=⋅+<⋅+=-+=，所以2212a b b <+<，又212222a b ab +⎛⎫<= ⎪⎝⎭，1222ab a a >⨯=， 所以122a ab <<.所以22122a ab a b b <<<+<. 故答案为：b .21．若a 、b 、x 、y ∈R ，221x y +=，221a b +=，则ax by +的最大值是______． 【答案】1【分析】利用基本不等式得最大值． 【解析】因为221x y +=，221a b +=，所以22222222222222222()2()()1ax by a x abxy b y a x a y b x b y a b x y +=++≤+++=++=， 当且仅当ay bx =即a xb y =时等号成立．故答案为：1．22．设0,0a b >>，且不等式110ka b a b++≥+恒成立，则实数k 的最小值等于___________. 【答案】4-【分析】先分离出参数k ，得11()()k a b a b -++…，然后利用基本不等式求得11()()a b a b -++的最大值即可．【解析】解：由110ka b a b +++…，得11()()k a b a b-++…，11()()(2)(24b a a b a b a b -++=-++-+=-…， 当且仅当a b =时取等号，4k ∴-…，即实数k 的最小值等于4-.故答案为：4-.23．若一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，设()12p a b c =++，则该三角形的面积S =这就是著名的“秦九韶-海伦公式”若△ABC 的周长为8，2AB =，则该三角形面积的最大值为___________. 【答案】【分析】计算得到4p =，2c =，6a b +=，根据均值不等式得到9ab ≤，代入计算得到答案.【解析】()142p a b c =++=，2c =，6a b +=，6a b +=≥9ab ≤， 当3a b ==时等号成立.S ==故答案为：24．已知a b c >>2a c-的大小关系是____________2a c-. 【分析】将2a c -化为()()2a b b c -+-，然后运用基本不等式比较大小. 【解析】∵a b c >>，∴0a b ->，0b c ->，∴()()22a b b c a c -+--=a b b c -=-，即2b a c =+时取等号，2a c-. 【点睛】本题考查利用基本不等式的运用，属于简单题，将2a c -化为()()2a b b c -+-是关键.四、解答题25．已知实数a 和b ，判断下列不等式中哪些是正确的． (1)222a b ab +≥； (2)222a b ab +≥-(3)2a b+≥ (4)2b a a b+≥； (5)12a a +≥； (6)2b aa b+≥； (7)()()2222a b a b +≥+． 【答案】(1)正确 (2)正确 (3)错误 (4)错误 (5)错误 (6)正确 (7)正确【分析】（1）由()20a b -≥判断不等式成立. （2）由()20a b +≥判断不等式成立. （3）利用特殊值判断不等式错误. （4）利用特殊值判断不等式错误. （5）利用特殊值判断不等式错误. （6）结合基本不等式判断不等式成立. （7）利用差比较法判断不等式成立. (1)由于()20a b -≥，222220,2a ab b a b ab -+≥+≥，所以不等式正确. (2)由于()20a b +≥，222220,2a ab b a b ab ++≥+≥-，所以不等式正确. (3)当,a b 为负数时，不等式2a b+≥. (4)当,b a a b 为负数时，不等式2b a a b+≥不成立，所以不等式错误. (5)当a 为负数时，不等式12a a +≥不成立，所以不等式错误. (6)依题意,a b 不为零，,b a a b同号，2b a b a a b a b +=+≥，当且仅当1b a =±时等号成立，所以不等式正确.()()()222220a b a b a b +-+=-≥，所以()()2222a b a b +≥+，所以不等式正确.26．下列结论是否成立？若成立，试说明理由；若不成立，试举出反例．(1)若0ab >，则a b +≥(2)若0ab >2； (3)若0ab <，则2b a ab+≤-． 【答案】(1)不成立，理由见解析； (2)成立，理由见解析； (3)成立，理由见解析；【分析】取特殊值判断（1），由均值不等式判断（2）（3）. (1)取1,2a b =-=-满足0ab >，此时a b +≥ (2)0ab >，0,0a bb a∴>>，2，当a b =时等号成立. (3)0ab <，0,0b aa b∴<<，2b a b a a b a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴+=--+-≤-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当a b =-时等号成立. 27．证明下列不等式，并讨论等号成立的条件： (1)若0a >，则322a a a +≥； (2)若4ab =，则228a b +≥；(3)若11x -≤≤12； (4)若0ab ≠，则2b aa b+≥； (5)对任意实数a 和b ，2222431a b a b ++≥++．【答案】(1)证明见解析，当且仅当1a =时等号成立； (2)证明见解析，当且仅当2a b ==±时，等号成立．(3)证明见解析，当且仅当x = (4)证明见解析，当且仅当220a b =≠时，等号成立． (5)证明见解析，当且仅当221a b +=时等号成立．【分析】（1）直接利用作差法对关系式进行变换，进一步求出结果． （2）利用基本不等式的应用求出结果．（3）利用算术平均数和几何平均数的运用及整体思想的应用求出结果． （4）利用分类讨论思想的应用和均值不等式的应用求出结果． （5）利用关系式的变换和均值不等式的应用求出结果． (1)证明：由于3232222()()(1)a a a a a a a a a -+=---=-，当0a >时，2(1)0a -≥，所以20(1)a a -≥，即3202a a a -+≥，所以322a a a +≥，当且仅当1a =时，等号成立．(2)证明：因为4ab =，所以2228a b ab +≥=，当且仅当2a b ==±时，等号成立． (3)证明：因为11x -≤≤，所以201x ≤≤，210x -≥22(1)122x x +-=，当且仅当221x x =-，即x = (4)证明：因为0ab ≠，当0ab >时，2ba b a a b a b +=+…，当且仅当0a b =≠时，等号成立．当0ab <时，()()2b a b a a b a b +=-+-…，当且仅当0a b =-≠时，等号成立． 综上可得0ab ≠，则2b aa b+≥，当且仅当220a b =≠时，等号成立． (5)证明：对任意实数a 和b ，2211a b ++≥所以222222224411141311a b a b a b a b ++=+++-=-=++++．当且仅当221a b +=时等号成立．28．已知0a >，0b >，21a b +=，求23ab+的最小值．下面是某同学的解答过程：请指出上面解答过程中的错误，并给出正确解答．【答案】解答过程中没有给出取最小值的条件，事实上这个最小值是取不到的，原因是两次利用均值不等式，等号成立的条件不一致；正确解答见解析．【分析】根据基本不等式应用的条件： “一正”、“二定”、 “三相等” 即可得出答案. 【解析】解答过程中没有给出取最小值的条件，事实上这个最小值是取不到的， 原因是两次利用均值不等式，等号成立的条件不一致．具体情况如下：23a b +≥23a b =，即32a b =时，等号成立，2a b +≥2a b =时，等号成立，显然，32a b =和2a b =不可能同时成立． 正确的解答如下：因为0a >，0b >，21a b +=，所以()2323432888baa b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++⎪≥+ ⎝⎭当且仅当43b aa b=时，等号成立，即2b =，代入21a b +=，得a =，从而b =因此23ab+的最小值为8+a =，b =29．已知1y x x=+.（1）已知x ＞0，求y 的最小值； （2）已知x ＜0，求y 的最大值． 【答案】（1）2；（2）－2.【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可（2）由于x ＜0，所以先对式子变形()1y x x ⎡⎤=--+⎢⎥-⎣⎦，然后再利用基本不等式即可【解析】（1）因为x ＞0，所以12y x x=+≥，当且仅当1x x=，即x ＝1时等号成立．所以y 的最小值为2.（2）因为x ＜0，所以－x ＞0.所以()12y x x ⎡⎤=--+≤-=-⎢⎥-⎣⎦，当且仅当1x x -=-，即x ＝－1时等号成立． 所以y 的最大值为－2.【点睛】此题考查基本不等式的应用，属于基础题. 30．已知x ，y 都是正数.求证：()12y xx y+≥； ()2()()()2233338.x y x y x y x y +++≥【答案】()1证明见解析；()2证明见解析.【分析】()1运用基本不等式：a b +≥a b =时取得等号），即可求证；()2运用基本不等式和不等式的基本性质即可求证.【解析】解：()1证明：由x ，y 都是正实数，可得2y x xy+≥（当且仅当x y =时取得等号）；()2证明：由基本不等式可知()()()(()(22332x y x y x y xy +++≥⋅⋅()23388xy xy x y =⋅=，（当且仅当x y =时取得等号）.【点睛】本题考查不等式的证明，运用基本不等式，考查化简推理的能力，属于基础题.31．已知a ，b ，c 均为正数，且1abc =，求证： （1）()()()8a b b c a c +++≥；（2111a b c≤++．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）利用基本不等式直接证明即可. （2）利用基本不等式直接证明即可.【解析】证明：（1）因为a ，b ，c 均为正数，1abc =，所以a b +≥b c +≥a c +≥ 三式相乘，得()()()88a b b c a c abc +++≥=， 当且仅当1a b c ===时，等号成立． （2）因为a ，b ，c 均为正数，1abc =，所以11ab+≥=11b c +≥=11a c +≥=三式相加，得11122a b c⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，111a b c≤++，当且仅当1a b c ===时，等号成立．32．已知0a >，0b >，且(1a b +．(1)求3311a b +的最小值；(2)是否存在实数,a b ，使得1123a b +？若存在，求出,a b 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)不存在，理由见解析【分析】（1a b=+≥12≤ab ，再根据3311a b +≥=求解即可.（2）首先根据基本不等式得到1123a b +≥>，即可判断不存在实数,a b ，使得1123a b +． (1)因为0a >，0b >，(1a b +，a b=+≥a b == 所以12≤ab ．因为3311a b +≥=≥a b == 所以3311a b +的最小值为 (2)因为0a >，0b >，又由（1）知12≤ab ，所以1123a b +≥=≥， 当且仅当23a b =时取等号．因为当且仅当a b ==12ab =，所以1123a b +><,a b ，使得1123a b +． 33．在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为2200m 的矩形区域（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排2m 宽的绿化，绿化造价为200元/2m ，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/2m .设矩形的长为(m)x ，总造价为y （元）.（1）将y 表示为关于x 的函数；（2）当x 取何值时，总造价最低，并求出最低总造价. 【答案】（1）8000040018400,050y x xx=++<<；（2）当x =为18400.【解析】（1）根据题设先计算出绿化的面积和硬化地面的面积，从而可得y 表示为关于x 的函数；（2）利用基本不等式可求何时取何最值.【解析】（1）因为矩形区域的面积为2200m ，故矩形的宽为200x， 绿化的面积为20080022224416x x x x ⎛⎫⨯⨯+⨯⨯-=+-⎪⎝⎭，中间区域硬化地面的面积为()200800442164x x x x ⎛⎫--=--⎪⎝⎭，故8008004162002164100y x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-⨯+--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得到8000040018400y x x=++， 由4020040x x->⎧⎪⎨->⎪⎩可得050x <<，故8000040018400,050y x x x=++<<. （2）由基本不等式可得80000400184004001840018400x x++≥⨯=，当且仅当x =故当x =18400.【点睛】方法点睛：利用基本不等式解决应用问题时，注意合理构建数学模型，求最值时注意“一正二定三相等”，特别是检验等号是否可取. 34．（1）已知01x <<，则(43)x x -取得最大值时x 的值为？ （2）已知54x <，则1()4245f x x x =-+-的最大值为？ （3）函数22(1)1x y x x +=>- 的最小值为？ 【答案】（1）23；（2）1；（3）2【分析】（1）积的形式转化为和的形式，利用基本不等式求最值，并要检验等号成立的条件；（2）结构为和的形式转化为积的形式，并使积为定值，同时要检验等号成立的条件；（3）二次式除以一次式求最值，一般二次式用一次式表示出来，然后再分离，最后用基本不等式求解即可.【解析】（1）2113434(43)(3)(43)[]3323x x x x x x +--=⨯⨯-≤⨯=， 当且仅当343x x =-，即23x =时，取等号. 故所求x 的值为23.（2）因为54x <，所以540x ->，则11()42(54)332314554f x x x x x =-+=--++≤-=-+=--. 当且仅当15454x x-=-，即1x =时，取等号. 故1()4245f x x x =-+-的最大值为1. （3）2222122311x x x x y x x +-++-+==-- 2(1)2(1)31x x x -+-+=-3(1)221x x =-++≥-.当且仅当311x x -=-，即1x =时，取等号.故函数的最小值为2.。
高一数学恒成立问题方法题型
高一数学恒成立问题方法题型1. 证明：对于任意实数x，恒有x^2 ≥ 0。
证明方法：- 方法一：利用二次函数的性质。
二次函数的图像是一个开口朝上的抛物线，因此对于任意实数x，x^2 的值都大于等于0。
- 方法二：利用乘法的性质。
对于任意实数x，x^2 = x * x。
根据乘法的性质，两个非负数的乘积仍然是非负数，因此x^2 ≥ 0。
2. 证明：对于任意正实数a，b，恒有(a + b)^2 ≥ 4ab。
证明方法：- 方法一：利用二次函数的性质。
展开(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2，根据二次函数的性质，二次项系数2是正数，因此(a + b)^2 ≥ a^2 + 2ab + b^2 ≥ 4ab。
- 方法二：利用乘法的性质。
展开(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2，根据乘法的性质，两个非负数的乘积仍然是非负数，因此2ab ≥ 0，所以(a + b)^2 ≥ a^2 + 2ab + b^2 ≥ 4ab。
3. 证明：对于任意正实数a，b，恒有(a + b)^3 ≥ 8ab(a + b)。
证明方法：- 方法一：利用立方函数的性质。
展开(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3，根据立方函数的性质，三次项系数3是正数，因此(a + b)^3 ≥ a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 ≥ 8ab(a + b)。
- 方法二：利用乘法的性质。
展开(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3，根据乘法的性质，两个非负数的乘积仍然是非负数，因此3a^2b + 3ab^2 ≥ 0，所以(a + b)^3 ≥ a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 ≥8ab(a + b)。
以上是几个常见的高一数学恒成立问题的证明方法题型，希望对你有帮助！。
高一数学痛点大揭秘专题3 一元二次不等式恒成立问题(解析版)
一元二次函数、方程和不等式 专题3 一元二次不等式恒成立问题一元二次不等式恒成立问题是数学中常见的问题，在高考中频频出现，是高考的一个难点问题。
含参一元二次不等式恒成立问题设计二次函数的性质和图象，渗透着换元、划归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力。
【题型导图】类型一 实数集R 上的不等式恒成立问题例1：若一元二次不等式23208kx kx +-<对一切实数 x 恒成立，则 k 的取值范围是（ ） A ．3,0B ．(]3,0-C ．(,3]-∞-D ．(0,)+∞【答案】A 【详解】解：由已知可知0k ≠，所以要一元二次不等式23208kx kx +-<对一切实数 x 恒成立，则200k <⎧⎨∆<⎩， 即220342()08k k k <⎧⎪⎨-⋅⋅-<⎪⎩，解得30k -<<， 所以k 的取值范围为3,0，故选：A【变式1】“0a >”是“一元二次不等式20ax bx c ++>恒成立”的A ．充分且不必要条件B ．必要且不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【详解】由一元二次不等式20ax bx c ++>恒成立，则0a >且240b ac =-<， 反之，0a >时，如：2320x x ++>不恒成立， 故选B.【变式2】设a 为实数，若关于x 的一元二次不等式20x x a ++>恒成立，则a 的取值范围是_____. 【答案】1(,)4+∞【详解】一元二次不等式20x x a ++>恒成立，∴140a ∆=-<，解得14a >． a ∴的取值范围是1(,)4+∞．故答案为：1(,)4+∞．【变式3】若不等式()270x mx m -++>在实数集R 上恒成立，求m 的取值范围.【答案】(2-+. 【详解】解：一元二次不等式()270x mx m -++>在实数集R 上恒成立，则∆<0，即()24170m m -⨯⨯+<，整理得24280m m --<，解得22m -<+，所以m 的取值范围是(2-+.【痛点直击】一元二次不等式在实数集R 上的恒成立问题，可结合图象，考虑图象的开口方向以及图象与x 轴的交点个数判断即可，可从二次项系数的正负和判别式两个方面来考虑。
【高中数学考点精讲】考点一 单变量不等式恒成立问题
考点15 任意性和存在性问题“任意性问题”与“存在性问题”是一类形同质异的问题，同时也是各类考试的高频考点，求解这两类问题的策略是转化为等价问题，恒成立问题与能成立问题，而后进行求解.“任意性问题”与“存在性问题”的求解策略：1.任意性问题转化为恒成立问题2.存在性问题转化为有解问题3.等式问题转化为值域关系问题4.不等式问题转化为最值关系问题对于一个不等式一定要看清楚是对“”恒成立，还是对“”使之成立，同时还要看清楚不等式两边中同一个变量，还是两个独立的变量，然后再根据不同的情况采取不同的等价条件.1、单函数恒成立、能成立、恰成立问题的求解1.恒成立问题的转化：恒成立；恒成立2.能成立问题的转化：能成立；能成立·3.恰成立问题的转化：在M上恰成立的解集为另一转化方法：若，在D上恰成立，等价于在D上的最小值，若,在D上恰成立，则等价于在D上的最大值.注：含参不等式恒成立问题一般较为复杂.仅运用不等式的性质，往往很难找到使不等式恒成立的条件，使问题顺利得解.这就需要采用不同思路，如函数性质、变换主元、分离参数、分类讨论、数形结合等来解题.1、函数性质法（1）一次函数——单调性法给定一次函数,若在内恒有,则根据函数的图像可得上述结论等价于（1）或（2）可合并定成同理,若在内恒有,则有（2）二次函数——利用判别式①一元二次不等式在R上的恒成立问题设上恒成立；（2）上恒成立．②一元二次不等式在给定区间上的恒成立或有解问题二次函数在区间D上大于(小于）零恒成立，讨论的标准是二次函数的图象的对称轴与区间D的相对位置，一般分对称轴在区间左侧、内部、右侧进行讨论。
“同号要分类，异号看端点”设（1）当时，上恒成立上恒成立（2）当时，上恒成立上恒成立（3）其它函数：恒成立（注：若的最小值不存在,则恒成立的下界大于0）；恒成立（注：若的最大值不存在,则恒成立的上界小于0）．2、分离参数法——极端化原则分离参数法是解答含参不等式恒成立问题的重要方法.运用分离参数法求解不等式恒成立问题，需先将不等式进行变形，使参数分离，得到形如的式子，只要使，就能确保不等式恒成立.在求的最值时，往往可根据导数的性质、函数的单调性，或利用基本不等式.3、主参换位——反客为主法某些含参不等式恒成立问题,在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度“反客为主”,即把习惯上的主元变与参数变量的“地位”交换一下,变个视角重新审查恒成立问题,往往可避免不必要的分类讨论或使问题降次、简化,起到“山穷水尽疑无路,柳暗花明又一村”的出奇制胜的效果．运用变更主元法解答含参不等式恒成立问题，需先找出所要求证不等式中的变量与参数，然后将两者进行互换，得到新不等式，根据新主元的取值或者限制条件，列出满足题意的不等式或不等式组，从而解题.4、分类讨论法含参不等式恒成立问题中参数的取值往往不确定，因而在求解含参不等式恒成立问题时，需灵活运用分类讨论法，对参数或某些变量进行分类讨论，从而求得问题的答案.而确定分类讨论的标准是解题的关键，可根据一元二次方程的判别式大于、等于、小于0进行分类讨论；也可根据二次函数的二次项系数大于、小于0进行分类讨论；还可根据导函数值大于、等于、小于0进行分类讨论.5、数形结合——直观求解法若所给不等式进行合理的变形化为（或）后,能非常容易地画出不等号两边函数的图像,则可以通过画图直接判断得出结果．尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷．2、单变量双函数“任意性问题”与“存在性问题”的求解策略1.（1）若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数的图象在函数图象上方；即有（2）若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数的图象在函数图象下方.2.（1）对，使得不等式成立，则问题等价于. （2）若，使得不等式成立，则问题等价于3、双变量双函数“任意性问题”与“存在性问题”的求解策略一般地，已知函数，1、不等关系（1）若，，总有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有成立，故．2、相等关系记的值域为A, 的值域为B,（1）若，，有成立，则有；（2）若，，有成立，则有；（3）若，，有成立，故；考点一单变量不等式恒成立问题（一）函数性质法1．（2022·四川南充·高一期末（理））不等式的解集为，则实数的取值范围是（）A． B． C．D．【答案】B【解题思路】由题意列不等式组求解【解题过程】当即时，恒成立，满足题意，当时，由题意得，解得，综上，的取值范围是，故选：B2．（2022·陕西汉中·高一期末）若关于x的一元二次不等式对于一切实数x都成立，则实数k的取值范围为__________.【答案】【解题思路】由判别式小于0可得．【解题过程】由题意，．故答案为：．3．（2022·浙江·杭州高级中学高一期末）已知函数满足，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解题思路】首先判断函数的单调性，依题意恒成立，再根据对数函数的性质得到不等式组，解得即可.【解题过程】解：因为且，又单调递减，在定义域上单调递增，所以在定义域上单调递减，因为在区间上恒成立，所以恒成立，所以，解得，即；故选：C4．（2022·河南·新乡市第一中学高一期末）已知定义在上的函数是奇函数．(1)求实数的值；(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【解题思路】（1）根据奇函数的性质得到，即可取出，再代入检验即可；（2）首先判断函数的单调性，依题意可得恒成立，则，即可求出参数的取值范围；(1)解：函数是定义域上的奇函数，，即，解得．此时，则，符合题意；(2)解：因为，且在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，所以在定义域上单调递增，则不等式恒成立，即恒成立，即恒成立，即恒成立，所以，解得，即；（二）分离参数法5．（2022·广东揭阳·高一期末）对任意的，恒成立，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解题思路】采用分离变量的方式，结合基本不等式可求得，进而得到所求范围. 【解题过程】当时，由得：，（当且仅当，即时取等号），，解得：，即的取值范围为.故选：D.6．（2022·云南·昆明一中高一期末）已知对恒成立，则实数的取值范围___________.【答案】【解题思路】将不等式分离参数，换元构造函数，利用单调性求得最小值，可得结论. 【解题过程】因为对恒成立，即在时恒成立，令，则代换为，令，由对勾函数可知，在上单增，所以，所以.故答案为：7．（2022·湖南·湘阴县教育科学研究室高一期末）已知函数为奇函数．(1)求实数的值；(2)若对任意的，有恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【解题思路】（1）根据奇函数的性质可求得b的值，验证符合题意，即可得答案;（2）求得，确定其为增函数，且，从而将恒成立，转化为在上恒成立，构造函数，求得其最值，即可得答案. （1）∵函数的定义域为，且为奇函数，∴，解得,经验证：为奇函数，符合题意，故；（2）∵，∴在上单调递增，且．∵，则，又函数在上单调递增，则在上恒成立，∴在上恒成立，设，令，则，函数在上递减，在上递增，当时，，当时，，故，则，∴实数的取值范围为．8．（2022·福建省福州高级中学高一期末）已知函数，．(1)若对于任意的，恒成立，求实数k的取值范围；(2)若，且的最小值为，求实数k的值．【答案】(1)，(2)【解题思路】（1）问题转化为对于任意的，恒成立，然后利用基本不等式求出的最大值即可得答案，（2）化简变形函数得，令，则，然后分，和求其最小值，从而可求出实数k的值．（1）由，得恒成立，所以对于任意的，恒成立，因为，当且仅当，即时取等号，所以，即实数k的取值范围为（2），令，当且仅当，即时取等号，则，当时，为减函数，则无最小值，舍去，当时，最小值不是，舍去，当时，为增函数，则，最小值为，解得，综上，9．（2022·河南濮阳·高一期末（文））已知对任意恒成立，则实数的取值范围为_________.【答案】【解题思路】对任意恒成立，利用参变分离，可等价为对任意恒成立，即，然后利用复合函数值域的求法，求出的最小值，从而求出的取值范围. 【解题过程】依题意，对任意恒成立，可等价为对任意恒成立，即，令，，，，解得，实数的取值范围为.故答案为：.10．（2022·湖南·邵阳市第二中学高一期末）若，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________.【答案】【解题思路】分离参数，将恒成立问题转化为函数最值问题，根据单调性可得.【解题过程】因为，不等式恒成立，所以对恒成立.记，，只需.因为在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递减，所以，所以.故答案为：11．（2022·云南楚雄·高一期末）已知函数.(1)当时，求的定义域；(2)若对任意的恒成立，求的取值范围.【答案】(1)(2)【解题思路】（1）根据对数函数、指数函数的性质计算可得；（2）依题意可得对任意的恒成立，参变分离可得对任意的恒成立，再根据指数函数的性质计算可得；（1）解：当时，令，即，即，解得，所以的定义域为.（2）解：由对任意的恒成立，所以对任意的恒成立，即对任意的恒成立，因为是单调递减函数，是单调递减函数，所以在上单调递减，所以，所以在上单调递减，所以，所以，即的取值范围为.（三）主参换位法12．（2022·陕西·永寿县中学高一阶段练习（理））已知，不等式恒成立，则的取值范围为___________.【答案】【解题思路】设，即当时，，则满足解不等式组可得x的取值范围．【解题过程】，不等式恒成立即，不等式恒成立设，即当时，所以，即，解得或故答案为：13．（2022·上海市复兴高级中学高一期中）若对于满足的一切实数t，不等式恒成立，则x的取值范围为______.【答案】【解题思路】不等式可化为，求出不等式的解集，再求出函数的最值，即可确定x的取值范围.【解题过程】不等式可化为∵，∴∴或∵在时，最大值为9；在时，最小值为，∴或故答案为：【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，转换为函数的最值是解题的关键. 14．（2022·陕西西安·高一期中（文））若存在，使得不等式成立，则实数x的取值范围为_________．【答案】或【解题思路】令，由题意得f(1)＞0，或f(3)＞0，由此求出实数x的取值范围．【解题过程】令，是关于a的一次函数，由题意得，①或②,解①可得或．解②可得或．∴实数x的取值范围为或．故答案为：或．15．（2022·江苏·南京市燕子矶中学高一期中）已知时，不等式恒成立，则x的取值范围为__________．【答案】【解题思路】由题意构造函数关于a的函数，则可得，从而可求出x的取值范围.【解题过程】由题意，因为当，不等式恒成立，可转化为关于a的函数，则对任意恒成立，则满足，解得，即x的取值范围为．故答案为：（四）分类讨论法16．（2022·全国·高一课时练习）已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，恒成立，则a的取值范围是_________．【答案】.【解题思路】g(x)＝x2－2ax＋2－a，根据对称轴与定义区间位置关系分类讨论：当时，；当时，；解不等式，再求并集得a的取值范围．【解题过程】解：法一：f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为x＝a.①当a∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，即2a＋3≥a，解得－3≤a＜－1；②当a∈[－1，＋∞，)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，由2－a2≥a，解得－1≤a≤1.综上所述，所求a的取值范围为－3≤a≤1.法二：令g(x)＝x2－2ax＋2－a，由已知，得x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或解得－3≤a≤1.点睛：研究二次函数单调性的思路(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论．(2)若已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间A上单调递减(单调递增)，则A⊆（A⊆）即区间A一定在函数对称轴的左侧(右侧)．17．（2022·云南玉溪·高一期末）设关于x的二次函数．(1)若，解不等式；(2)若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)；(2).【解题思路】（1）由题设有，解一元二次不等式求解集即可.（2）由题意在上恒成立，令并讨论m 范围，结合二次函数的性质求参数范围.【解题过程】（1）由题设，等价于，即，解得，所以该不等式解集为.（2）由题设，在上恒成立．令，则对称轴且，①当时，开口向下且，要使对恒成立，所以，解得，则．②当时，开口向上，只需，即.综上，．（五）数形结合法18．（2019·北京四中高三期中）已知函数f（x）=x2﹣a x（a＞0且a≠1），当x∈（﹣1，1）时，恒成立，则实数a的取值范围是__．【答案】【解题过程】“当x∈（﹣1，1）时，恒成立”等价于“当x∈（﹣1，1）时，恒成立”．设，，则在区间（﹣1，1）上，函数的图象在函数图象的上方．在坐标系内画出函数的图象，由图象知，当时，需满足，即，解得；当时，需满足，即，解得．综上可得实数的取值范围为．答案：．点睛：解决函数的有关问题时要注意函数图象在解题中的应用，借助于函数的图象，可使解题过程变得简单、直观形象．所以在学习中要记住常见函数图象的形状，并能在解题时能准确画出它的图象，同时在解题中要根据函数图象的相对位置关系得到相关的不等式（组）进行求解．19．（2022·陕西·长安一中高一期末）设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的最大值是（）A．B．C．D．【答案】A【解题思路】分别求得，，，，，，，时，的最小值，作出的简图，因为，解不等式可得所求范围．【解题过程】解：因为，所以，当时，的最小值为；当时，，，由知，，所以此时，其最小值为；同理，当，时，，其最小值为；当，时，的最小值为；作出如简图，因为，要使，则有．解得或，要使对任意，都有，则实数的取值范围是．故选：A．20．（2022·湖南常德·高一期末）已知．(1)若时，，求实数k的取值范围；(2)设若方程有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．【答案】(1)；(2)[，＋∞）【解题思路】（1）将含参不等式，进行参变分离，转换为二次函数求最值即可求函数最值，得k的取值范围；（2）将原方程转换为，利用整体换元，结合二次函数的实根分布即可求解.【解题过程】(1)解：即，令，记．∴，∴即k的取值范围是．(2)解：由得，即，且，令，则方程化为．又方程有三个不同的实数解，由的图象可知，有两个根，且或．记，则或，解得或综上所述，k的取值范围是[，＋∞）．。
高一预习材料不等式恒成立、能成立问题(学生版)初升高数学暑假衔接(人教版)
强化专题2不等式恒成立、能成立问题【方法技巧】在解决不等式恒成立、能成立的问题时，常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决，方法灵活，能提升学生的逻辑推理，数学运算等素养.一、“力”法解决恒成立问题⑴如图①一元二次不等式ax1+/?%+C>0(6Z7^0)在R上恒成立=一元二次不等式6ZX2+/?%+C>0(6Z7^0)的解集为RO二次函数*=。
菸+bx~\~C(Q尹0)的图象恒在X轴上方=J4nin>0O］』<0图①图②(2)如图②一元二次不等式ax2+/?%+c<0(a7^0)在R上恒成立=一元二次不等式ax2+/?%+c<0(a7^0)的解集为RO二次函数y=ax2+bx+c(a^0)的图象恒在%轴下方=3笊<00二、数形结合法解决恒成立问题结合函数的图象将问题转化为函数图象的对称轴，区间端点的函数值或函数图象的位置(相对于x轴)关系求解.可结合相应一元二次方程根的分布解决问题.三、分离参数法解决恒成立问题通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题.四、主参换位法解决恒成立问题转换思维角度，即把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围求解.五、利用图象解决能成立问题结合二次函数的图象，将问题转化为端点值的问题解决.六、转化为函数的最值解决能成立问题能成立问题可以转化为rn>y mm或的形式，从而求*的最大值与最小值，从而求得参数的取值范围.【题型目录】一、“妒法解决恒成立问题二、 数形结合法解决恒成立问题三、 分离参数法解决恒成立问题四、 主参换位法解决恒成立问题五、 利用图象解决能成立问题六、 转化为函数的最值解决能成立问题【例题详解】一、“力”法解决恒成立问题1.不等式（q -2K+4（q -2）x-12<0的解集为R,则实数。
的取值范围是（ ）A . {。
—1V Q < 2}B . {q —1 < q V 2}C. [a\-l<a<2^ D. [a\-\<a<2\32.若关于x 的一元二次不等式2x -A x + ->0对于一切实数x 都成立，则实数左满足（）22. 已知不等式-2x 2+bx + c> 0的解集{x|-l<xv3},若对任意-iWxWO,不等式-2x 2 +bx +c + t <4恒成 立.贝U 的取值范围是.OB. V —V3C. ^|-V3<^<V3)D.3.（多选）不等式x 2+bx + c>2x + b 对任意的勇R 恒成立，则（）A. /j 2-4c + 4<0B. b<0C. c>lD. Z? + c>04.若3x 0 g R , 2mx^ + 2V2mx 0 -3 > 0w 是假命题，则实数秫的取值范围是二、数形结合法解决恒成立问题1. （多选）若“Vx>0,都有2x -+1 >0是真命题，则实数人可能的值是（）2A. 1 B. 2^2 C. 3 D.3^23.当1 WxW2时，不等式x +mx+4<0恒成立，求m 的取值范围.2四、主参换位法解决恒成立问题1.若命题€ [-1,3],。
专题一单双变量不等式恒(能)成立问题课件-高一数学人教版(2019)必修第一册
图①
2 ＋＋ > 0 ( ≠ 0)在R上恒成立
(1)
如图①，一元二次不等式
2
注：当不等式 ＋＋ > 0未说明为一元二次不等式时，
⟺一元二次不等式 2 ＋＋ > 0 ( ≠ 0)的解集是R
对任意实数恒成立问题，应分情况讨论：
2
⟺二次函数 ==
= ＋＋ ( ≠ 0) 的图像恒在x轴上方
当 = 时，
>
⟺a>0且Δ<0 >
当 ≠ 时，
2 ＋＋ < 0 ( ≠ 0)在R上恒成立
∆<
(2) 如图②，一元二次不等式
⟺一元二次不等式 2 ＋＋ < 0 ( ≠ 0)的解集是R
函数 = +
1
在[ , 2]上单调递增，故()
2
= 1 =1+
函数 = − 2 − 3在[1,2]上单调递减，故() = 1 = −4
所以1 + ≥ −4
综上，所求的取值范围为{|�� ≥ −5}
练习
4
练习 设 = − − ， = + 1
，
故() = 2 = −4
函数 = + 1
2
+ 在(−∞, −1]上单调递减，在[−1, +∞)上单
调递增，故() = −1 =
所以−4 ≥
活学活用
例题2 已知函数 1 = 12 , 2 = −22 − ，若∀1 ∈ | − 1 ≤ < 1 ,
≤ ()恒成立⟺ ≤
课堂小结
二、双变量恒成立主要学习了双参数不等式问题的求解方法：
高一数学必修一积分恒成立
高一数学必修一积分恒成立
在高一的数学必修一中，积分恒成立是一个非常重要的内容。
积分是微积分中的一个分支，被认为是微积分的逆运算。
因此，学好积分对于高中数学的研究至关重要。
首先，我们需要了解什么是积分。
积分是一个数学概念，它表示曲线下的面积。
在微积分中，我们通常使用定积分来表示曲线下的面积。
定积分有一个重要的性质，那就是积分的区间可加性。
其次，我们需要知道的是，如果一个函数在一个区间上是连续的，那么它就可以被积分。
这个能被积分的函数被称为可积函数。
当然，在实际应用中，我们也可以使用一些技巧来使得一些不可积函数变得可积。
最后，在高一数学必修一中，我们会学到一个重要的公式，那就是牛顿-莱布尼茨公式。
这个公式指出，在一定条件下，函数的原函数与函数在一个区间上的定积分是相等的。
这个公式被广泛应用于微积分的各个方面，是学好积分的重要基础。
总之，在学习高一数学必修一中的积分部分时，我们需要深入了解积分的概念和性质，掌握可积函数的特征，掌握将不可积函数转化为可积函数的技巧，以及学会使用牛顿-莱布尼茨公式求解一些问题。
只有通过不断地实践和探究，我们才能掌握这一学科，为以后的学习打下坚实的基础。
高一数学复习考点知识与题型讲解14---恒成立和存在性问题
高一数学复习考点知识与题型讲解第14讲恒成立和存在性问题1 恒成立和存在性问题单变量的恒成立问题①恒成立，则；②恒成立，则；③恒成立，则；④恒成立，则;单变量的存在性问题①，使得成立，则；②，使得成立，则；③，使得恒成立，则；④，使得恒成立，则;双变量的恒成立与存在性问题①，使得恒成立，则;②，使得恒成立，则;③恒成立，则;④，使得恒成立，则;相等问题①，使得，则两个函数的值域的交集不为空集；②，使得，则的值域的值域2 解题方法恒成立和存在性问题最终可转化为最值问题，具体的方法有◆直接最值法◆分类参数法◆变换主元法◆数形结合法【题型一】恒成立和存在性问题的解题方法1 直接构造函数最值法【典题1】设函数的最大值是，若对于任意的，恒成立，则的取值范围是.【解析】当时，；当时，，则，即．由题意知＜在上恒成立，即＜在上恒成立，(把不等式中移到右边，使得右边为，从而构造函数求最值)令，则问题等价于在上恒成立，在上，－，即．【点拨】①直接构造函数最值法：遇到类似不等式恒成立问题，可把不等式变形为，从而构造函数求其最值解决恒成立问题；②在求函数的最值时，一定要优先考虑函数的定义域;③题目中在上是取不到最大值，，而要使得恒成立，可等于，即，而不是.2 分离参数法【典题1】已知函数关于点对称，若对任意的，恒成立，则实数k的取值范围为.【解析】由为奇函数，可得其图象关于对称，可得的图象关于对称，函数关于点－对称，可得，对任意的恒成立，－恒成立，【思考：此时若利用最值法，求函数－的最小值，第一函数较复杂，第二函数含参要分离讨论，路漫漫其修远兮，务必另辟蹊径】即在恒成立，所以3，(使得不等式一边是参数，另一边不含关于的式子，达到分离参数的目的)令，由，可得，设，当时，取得最大值，则的取值范围是，【点拨】①分离参数法：遇到类似或等不等式恒成立问题，可把不等式化简为或的形式，达到分离参数的目的，再求解的最值处理恒成立问题；②恒成立问题最终转化为最值问题，而分离参数法，最好之处就是转化后的函数不含参，避免了麻烦的分离讨论.【典题2】已知，其中为常数(1)当时，求的值；(2)当时，关于的不等式恒成立，试求的取值范围；【解析】(1) ⇒ －⇒ － ⇒ ⇒；(2)⇒⇒，令，，设，则在上为增函数⇒ 时，有最小值为2，.【点拨】在整个解题的过程中不断的利用等价转化，把问题慢慢变得更简单些.3 变换主元法【典题1】对任意，不等式恒成立，求的取值范围.思考痕迹见到本题中“恒成立”潜意识中认为是变量，是参数，这样会构造函数，而已知条件是，觉得怪怪的做不下去;此时若把看成变量，看成参数呢？【解析】因为不等式恒成立不等式恒成立...①，令若要使得①成立，只需要解得或故的取值范围或【点拨】变换主元法，就是要分辨好谁做函数的自变量，谁做参数，方法是以已知范围的字母为自变量.4 数形结合法【典题1】已知当时，有恒成立，求的取值范围.思考痕迹本题若用直接最值法，去求函数的最大值，就算用高二学到的导数求解也是难度很大的事情；用分离参数法呢？试试也觉得一个硬骨头.看看简单些的想法吧！【解析】不等式恒成立等价于恒成立...①，令，若①成立，则当时，的图像恒在图像的下方，则需要或(不要漏了，因为，不一定是指数函数)又，解得或即实数的取值范围为【点拨】①数形结合法：恒成立⇒在上，函数的图像在函数图像的下方.② 遇到不等式恒成立，可以把不等式化为用数形结合法，而函数与最好是熟悉的函数类型，比如本题中构造出,两个常见的基本初级函数.【题型二】恒成立与存在性问题混合题型【典题1】已知函数．(1)若对任意，任意都有成立，求实数的取值范围．(2)若对任意，总存在使得成立，求实数m的取值范围．【解析】(1)由题设函数，．对任意，任意都有成立，知：，在上递增，又在上递减，有，的范围为(2)由题设函数，．对任意，总存在，使得成立，知，有，即，的范围为．【点拨】对于双变量的恒成立--存在性问题，比如第二问中怎么确定，即到底是函数最大值还是最小值呢？具体如下思考如下，先把看成定值，那，都有，当然是要；再把看成定值，那，都有，当然是；故问题转化为.其他形式的双变量成立问题同理，要理解切记不要死背..【典题2】设，，若对于任意，总存在，使得成立，则的取值范围是．【解析】，当时，，当时，，由，即，，，故，又因为，且．由递增，可得－，对于任意，总存在，使得成立，可得， 可得， ． 巩固练习1(★★) 已知 对一切 上恒成立，则实数 的取值范围是． 【答案】【解析】可化为，令 ＝ － ，由 －∞， ，得 [，+∞)， 则 － － ，－ － 在 ， ∞ 上递减，当 时－ － 取得最大值为，所以．故答案为：， ∞ ．2(★★)若不等式 对满足 的所有 都成立，求 的取值范围. 【答案】【解析】令x m x m f 21)1()(2-+-=；不等式()2211x m x ->-对满足2m ≤的所有m 都成立⇔对任意22≤≤-m ，021)1(2<-+-x m x 恒成立⇔⎩⎨⎧<-->-+⇔⎩⎨⎧<<-012203220)2(0)2(22x x x x f f ，解得。
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10.（06江西）对一切实数，不等式 10.（06江西）对一切实数， 江西
恒成立， x + a | x | +1 ≥0恒成立，则实数 a
2
的取值范围是( 的取值范围是( C ) A、(-∞，－2］ ，－2 、［－2 C、［－2，+∞) B、［－2，2］ 、［－2 、［0 D、［0，+∞)
Hale Waihona Puke 2时 f ( x) ≥ 0恒 立 求 数 取 范 ， 成 ， 实 a的 值 围
3.若不等式x + ax + 3 ≥ 0对一切x ∈[ −1,1]
2
恒成立，求实数a的取值范围
4.二次函数f ( x)满足f ( x +1) − f ( x) = 2x,且f ( 0) = 1 （）求f ( x)的解析式 1 （ 2）在区间 −11]上，函数y=f ( x)的图像恒在 [ ， 直线y=2x+m的上方，求实数m的取值范围
5.设 ( x) = x − 2ax + 2,且 x ∈[ −1, +∞)时 f 当 ，
2
都 f ( x) ≥ a成 ， 实 a的 值 围 有 立 求 数 取 范
6.已 两 正 x, y满 x + y = 2, 知 个 数 足 1 2 若 等 不 式 + ≥ a恒 立 成 ， x y 求 数 取 范 实 a的 值 围
7.已知函数y=f ( x) 是偶函数，当x > 0 时， 4 f ( x) = x + ，且当x ∈[ −3, −1]时， x n ≤ f ( x) ≤ m恒成立，求m− n的最小值
3 8.若方程x − x − k = 0在[ −11内 ， ] 2 有实数解，求实数k的取值范围
2
9.若对任意 不等式 x ≥ ax恒成立，则实数 的取 若对任意R,不等式 恒成立，则实数a的取 若对任意 值范围是（ 07安徽卷 安徽卷） 值范围是（ B ） （07安徽卷） A. a＜-1 B. |a≤1 C. a＜1 D.a≥1 ＜ | |＜ |
恒成立问题
1.已知函数f ( x) =
(1−a) x + 3(1−a) x + 6
2
（）若函数f ( x)的定义域为R 1 求实数a的取值范围 （2）若函数f ( x)的值域为 0 +∞) [， 求实数a的取值范围
2.已 函 f ( x) = x +10x −a + 3,当 ∈[ −2, +∞) 知 数 x