2019版一轮优化探究文数(苏教版)练习：第十一章 第五节 古典概型 Word版含解析

一、填空题
1．下列试验中，是古典概型的有________． ①种下一粒种子观察它是否发芽
②从规格直径为250 mm±0.6 mm 的一批合格产品中任意抽一个，测量其直径d ③抛一枚硬币，观察其出现正面或反面 ④某人射击中靶或不中靶 答案：③
2．4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为________．
解析：从4张卡片中有序地取得两张的取法共有4×3＝12种，其中取得一奇一偶的取法共有4×2＝8种(先任取，后取与第一张不同奇偶的)．故取得卡片上数字之和为奇数的概率为P ＝812＝23. 答案：23
3．甲乙二人玩数字游戏，先由甲任想一数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b ，且a ，b ∈{1,2,3}，若|a －b |≤1，则称甲、乙“心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为________． 解析：甲想一数字有3种结果，乙猜一数字有3种结果，基本事件总数为3×3＝9.
设“甲、乙心有灵犀”为事件A ，则A 的对立事件B 为“|a －b |>1”，即|a －b |＝2，包含2个基本事件， ∴P (B )＝29， ∴P (A )＝1－29＝7
9. 答案：79
4．一个坛子里有编号为1,2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为________．
解析：基本事件总数为C 212，事件包含的基本事件数为C 26－C 2
3，故所求的概率为P ＝C 26－C 2
3
C 212
＝211.
答案：2
11
5．一个口袋中，装有大小相等的5个黑球，6个白球和4个黄球，从中摸出3个球，那么摸出的3个球颜色不超过2种的概率是________．
解析：基本事件总数为C 315，事件“摸出的3个球颜色互不相同”包含的基本事件数为
C 16C 15C 1
4，故所求事件的概率为
P ＝1－C 16C 15C 1
4
C 315
＝1－2491＝6791.
答案：6791
6．在集合{x |x ＝n π
6，n ＝1,2,3，…，10}中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cos x ＝1
2的概率是________．
解析：基本事件总数为10，满足cos x ＝1
2的x 有两个． ∴P ＝
210＝15
. 答案：15
7．任取一个三位正整数N ，则对数log 2 N 是一个正整数的概率是________． 解析：∵26＝64,27＝128,28＝256,29＝512,210＝1 024， ∴满足条件的正整数只有27,28,29三个， ∴所求的概率P ＝3900＝1
300. 答案：1
300
8．有一质地均匀的正四面体，它的四个面上分别标有1,2,3,4四个数字．现将它连续抛掷3次，其底面落于桌面，记三次在正四面体底面的数字和为S ，则“S 恰好为4”的概率为________．
解析：本题是一道古典概型问题．用有序实数对(a ，b ，c )来记连续抛掷3次所得的3个数字，总事件中含4×4×4＝64个基本事件，取S ＝a ＋b ＋c ，事件“S
恰好为4”中包含了(1,1,2)，(1,2,1)，(2,1,1)三个基本事件，则P(S恰好为4)＝P(A)
P(Ω)
＝3
64.
答案：3
64
9．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑
选一人表演节目，若选到男教师的概率为9
20，则参加联欢会的教师共有________
人．
解析：设男教师为n个人，则女教师为(n＋12)人，
∴n
2n＋12＝
9 20.
∴n＝54，
∴参加联欢会的教师共有120人．
答案：120
二、解答题
10．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：
(1)
(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？
(3)在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率．
解析：(1)因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目，所以，经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．
(2)从题中所给条件可以看出收看新闻节目的共45人，随机抽取5人，则抽样比
为545＝19，故大于40岁的观众应抽取27×1
9＝3(人)．
(3)抽取的5名观众中大于40岁的有3人，在20至40岁的有2人，记大于40岁的人为a 1，a 2，a 3,20至40岁的人为b 1，b 2，则从5人中抽取2人的基本事件有(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 2，a 3)，(b 1，b 2)，(a 1， b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，共10个，其中恰有1人为20至40岁的有6个，故所求概率为610＝35.
11．现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品．
(1)如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；
(2)如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率．
解析：(1)有放回地抽取3次，按抽取顺序(x ，y ，z )记录结果，则x ，y ，z 都有10种可能，
所以基本事件总数为10×10×10＝103(种)；
设事件A 为“连续3次都取正品”，则包含的基本事件共有8×8×8＝83种，因此P (A )＝83
10
3＝0.512.
(2)可以看作不放回抽样3次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录(x ，y ，z )，
则x 有10种可能，y 有9种可能，z 有8种可能， 所以基本事件总数为10×9×8. 设事件B 为“3件都是正品”，
则事件B 包含的基本事件总数为8×7×6， 所以P (B )＝
8×7×610×9×8＝7
15
.
12．把一颗骰子投掷2次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b ，试就方程组⎩⎨⎧
ax ＋by ＝3，
x ＋2y ＝2，解答下列各题：
(1)求方程组只有一个解的概率； (2)求方程组只有正数解的概率．
解析：事件(a ，b )的基本事件有36个．
由方程组⎩⎨⎧ ax ＋by ＝3，x ＋2y ＝2，可得⎩⎨⎧
(2a －b )x ＝6－2b ，
(2a －b )y ＝2a －3.
(1)方程组只有一个解，需满足2a －b ≠0，
即b ≠2a ，而b ＝2a 的事件有(1,2)，(2,4)，(3,6)共3个， 所以方程组只有一个解的概率为 P 1＝1－336＝11
12.
(2)方程组只有正数解，需2a －b ≠0且 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6－2b 2a －b >0，y ＝2a －32a －b >0，
即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a >b
a >3
2b <3
或⎩⎪⎨⎪⎧
2a <b ，
a <32，
b >3.
其包含的事件有13个：(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(2,2)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(1,4)，(1,5)，(1,6)． 因此所求的概率为13
36.。