8.6抛物线的简单几何性质练习1

合集下载

抛物线的简单几何性质典型例题

平分线．
分析：本题所要证的命题结论是否定形式，一方面可根据垂直且平分列方程得矛盾结论；别一方面也可以根据 l 上任一点到 C、D 距离相等来得矛盾结论．
证法一：假设直线 l 是抛物线的弦 CD 的垂直平方线，因为直线 l 与抛物线交于 A、B 两点，所以直线 l 的斜率存在，且不为零；直线 CD 的斜率存在，且不为 0．
7．已知直线中点坐标是__
与抛物线 _．
交于、两点，那么线段的
8．一条直线经过抛物线
（
两点，过、点分别向准线引垂线
）的焦点与抛物线交于、、，垂足为、，如果
，
，为的中点，则 =__________．
9．是抛物线的一条焦点弦，若抛物线
，
，则的
中点到直线
的距离为_________．
来表示，也可结合几何知识，通过巧妙替
解法一：设
则：，
，即
，
①
把 N 点看作定点，则 AB 所在的直线方程为：
代入
化简整理得：
，
②
由①、②得：用 x、y 分别表示
得：
，化简得
显然
解法二：点 N 在以 OA、OB 为直径的两圆的交点（非原点）的轨迹上，设，则以 OA 为直径的圆方程为：
①
设
，OA⊥OB，则
A．1 B．
C．2 D．
15．记定点
与抛物线
此抛物线准线的距离为，则当
上的点之间的距离为，到取最小值时点的坐标为（）
A．（0，0） B．
C．（2，2） D．
16．方程 A．椭圆 B．双曲线
表示（）
C．抛物线
D．圆

高二抛物线的简单几何性质习题一(附答案)

抛物线的几何性质习题一、选择题1.若A 是定直线l 外的一定点，则过A 且与l 相切圆的圆心轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线一支 D.抛物线2.抛物线y 2=10x 的焦点到准线的距离是( )A.2.5B.5C.7.5D.103.已知原点为顶点，x 轴为对称轴的抛物线的焦点在直线2x-4y+11=0上，则此抛物线的方程是( )A.y 2=11xB.y 2=-11xC.y 2=22xD.y 2=-22x4.过抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦点且垂直于x 轴的弦AB ，O 为抛物线顶点，则∠AOB( ) A.小于90° B.等于90° C.大于90° D.不能确定5.以抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦半径｜PF ｜为直径的圆与y 轴位置关系为( ) A.相交 B.相离 C.相切 D.不确定二、填空题6.圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的圆的方程是 .7.若以曲线252x +162y =1的中心为顶点，左准线为准线的抛物线与已知曲线右准线交于A 、B 两点，则｜AB ｜= .8.若顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线y=2x+1所得的弦长为15，则此抛物线的方程是 .三、解答题9.抛物线x 2=4y 的焦点为F ，过点(0，-1)作直线l 交抛物线A 、B 两点，再以AF 、BF 为邻边作平行四边形FABR ，试求动点R 的轨迹方程.10.是否存在正方形ABCD ，它的对角线AC 在直线x+y-2=0上，顶点B 、D 在抛物线y 2=4x 上?若存在，试求出正方形的边长；若不存在，试说明理由.一、选择题1.经过抛物线y 2=2px(p ＞0)的所有焦点弦中，弦长的最小值为( ) A.p B.2p C.4p D.不确定2.直线y=kx-2交抛物线y 2=8x 于A 、B 两点，若AB 的中点横坐标为2，则｜AB ｜为( )A.15B.415C.215D.423.曲线2x 2-5xy+2y 2=1( ) A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称C.关于原点对称，但不关于y=x 对称D.关于直线y=x 对称也关于直线y=-x 对称4.若抛物线y 2=2px(p ＞0)的弦PQ 的中点为(x 0,y 0)(y ≠0)，则弦PQ 的斜率为( )A.-x pB.y pC.px -D.-px 05.已知抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则2121x x y y 的值一定等于( ) A.4 B.-4 C.p 2D.-p 2二、填空题6.抛物线y 2=4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB 的长为43，则焦点到AB 的距离为 .7.以椭圆52x +y 2=1的右焦点F 为焦点，以原点为顶点作抛物线，抛物线与椭圆的一个公共点是A ，则｜AF ｜= .8.若△OAB 为正三角形，O 为坐标原点，A 、B 两点在抛物线y 2=2px 上，则△OAB 的周长为 .三、解答题9.抛物线y=-22x 与过点M(0，-1)的直线l 相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若直线OA 和OB 斜率之和为1，求直线l 的方程.10.已知半圆的直径为2r ，AB 为直径，半圆外的直线l 与BA 的延长线垂直，垂足为T ，且｜TA ｜=2a(2a ＜2r),半圆上有M 、N 两点，它们与直线l 的距离｜MP ｜、｜NQ ｜满足条件｜MP ｜=｜AM ｜,｜NQ ｜=｜AN ｜，求证：｜AM ｜+｜AN ｜=｜AB ｜.【素质优化训练】一、选择题1.过点A(0，1)且与抛物线y 2=4x 有唯一公共点的直线的条数为( ) A.1 B.2 C.3 D.42.设抛物线y=ax 2(a ＞0)与直线y=kx+b 相交于两点，它们的横坐标为x 1,x 2,而x 3是直线与x 轴交点的横坐标，那么x 1、x 2、x 3的关系是( )A.x 3=x 1+x 2B.x 3=11x +21x C.x 1x 2=x 2x 3+x 3x 1 D.x 1x 3=x 2x 3+x 1x 23.当0＜k ＜31时，关于x 的方程x 2=kx 的实根的个数是( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个4.已知点A(1，2)，过点(5，-2)的直线与抛物线y 2=4x 交于另外两点B 、C ，则△ABC 是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不确定5.将直线x-2y+b=0左移1个单位，再下移2个单位后，它与抛物线y 2=4x 仅有一个公共点，则实数b 的值等于( )A.-1B.1C.7D.9二、填空题6.抛物线y 2=-8x 被点P(-1，1)所平分的弦所在直线方程为 .7.已知抛物线y 2=2x 的弦过定点(-2，0)，则弦AB 中点的轨迹方程是 .8.已知过抛物线y 2=2px 的焦点F 的弦AB 被F 分成长度为m 、n 的两部分，则m 1+n1= .三、解答题9.已知圆C 过定点A(0，p)(p ＞0)，圆心C 在抛物线x 2=2py 上运动，若MN 为圆C 在x 轴上截得的弦，设｜AM ｜=m,｜AN ｜=n ，∠MAN=θ.(1)当点C 运动时，｜MN ｜是否变化?写出并证明你的结论?(2)求m n +nm的最大值，并求取得最大值时θ的值和此时圆C 的方程.10.已知抛物线y 2=4ax(0＜a ＜1)的焦点为F ，以A(a+4,0)为圆心，｜AF ｜为半径在x 轴上方作半圆交抛物线于不同的两点M 和N ，设P 为线段MN 的中点，(Ⅰ)求｜MF ｜+｜NF ｜的值；(Ⅱ)是否存在这样的a 值，使｜MF ｜、｜PF ｜、｜NF ｜成等差数列?如存在，求出a 的值，若不存在，说明理由.【生活实际运用】1.已知点P(x 0,y 0)在抛物线含焦点的区域内，求证以点P 为中点的抛物线y 2=2px(p ＞0)的中点弦方程为yy 0-p(x+x 0)=y 20-2px 0注：运用求中点弦的方法不难求出结论，这一结论和过抛物线y 2=2px 上点的切线方程有什么联系?若P(x 0,y 0)为非对称中心，将抛物线y 2=2px 换成椭圆22a x +22b y =1或双曲线22a x -22by =1，它们的中点弦存在的话，中点弦方程又将如何?证明你的结论.中点弦方程在高考中多以选择题、填空题的形式出现. 2.公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个柱子OA ，O 恰在圆形水面中心，OA=1.25米.安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路经落下，且在过OA 的任一平面上抛物线路径如图所示，为使水流形状较为漂亮，设计成水流在到OA 距离1米处达到距水面最大高度2.25米.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外?分析根据图形的对称性，设出并求出一边的抛物线的方程，便可求出水池的半径. 以OA 所在直线为y 轴，过O 点作oy 轴的垂直线ox 轴，建立直角坐标系如图依题意A(0，1.25)，设右侧抛物线顶点为则B(1，2.25)，抛物线与x 轴正向交点为C ，OC 即圆型水池的半径.设抛物线ABC 的方程为(x-1)2=-2p(y-2.25)将A(0，1.25)代入求得p=21 ∴抛物线方程为(x-1)2=-(y-2.25)令y=0，(x-1)2=1.52,x=2.5(米)即水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不致落到池外.【知识验证实验】1.求函数y=136324+--x x x -124+-x x 的最大值.解：将函数变形为y=222)2()3(---x x -222)1(-+x x ，由几何意义知，y 可以看成在抛物线f(x)=x 2上的点P(x,x 2)到两定点A(3，2)和B(0，1)的距离之差，∵｜PA ｜-｜PB ｜≤｜AB ｜，∴当P 、A 、B 三点共线，且P 在B 的左方时取等号，此时P 点为AB 与抛物线的交点，即P 为(6371-，183719-)时，y max =｜AB ｜=10. 2.参与设计小花园的喷水池活动.要求水流形状美观，水流不落池外.【知识探究学习】1.如图，设F 是抛物线的焦点，M 是抛物线上任意一点，MT 是抛物线在M 的切线，MN 是法线，ME 是平行于抛物线的轴的直线.求证：法线MN 必平分∠FME ，即φ1=φ2.解：取坐标系如图，这时抛物线方程为y 2=2px.(p ＞0)，因为ME 平行x 轴(抛物线的轴)，∴φ1=φ2,只要证明φ1=φ3，也就是△FMN 的两边FM 和FN 相等.设点M 的坐标为(x 0,y 0)，则法线MN 的方程是y-y 0=-p y 0(x-x 0),令y=0，便得到法线与x 轴的交点N 的坐标(x 0+p,0)，所以｜FN ｜=｜x 0+p-2p ｜=x 0+2p ,又由抛物线的定义可知，｜MF ｜=x 0+2p,∴｜FN ｜=｜FM ｜,由此得到φ1=φ2=φ3，若M 与顶点O 重合，则法线为x 轴，结论仍然成立.2.课本第124页阅读材料：圆锥曲线的光学性质及其应用参考答案【同步达纲练习】A 级1.D2.B3.D4.C5.C6.(x-21)2+(y ±1)2=1 7.3100 8.y 2=12x 或y 2=-4x9.解：设R(x,y),∵F(0,1),∴平行四边形FARB 的中心为C(2x ,21+y ),l :y=kx-1,代入抛物线方程，得x 2-4kx+4=0,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=4k,x 1x 2=4，且△=16k 2-16＞0，即|k|＞1 ①，∴y 1+y 2=42221x x +=42)(21221x x x x -+=4k 2-2,∵C 为AB 的中点.∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+=+=1222122222121k y y y k x x x ⇒⎩⎨⎧-==3442k y k x 消去k 得x 2=4(y+3),由①得，｜x ｜＞4，故动点R 的轨迹方程为x 2=4(y+3)(｜x ｜＞4).10.解：设存在满足题意的正方形.则BD ：y=x+b,代入抛物线方程得x 2+(2b-4)x+b 2=0,∴△=(2b-4)2-4b 2=16-16b ＞0,∴b ＜1, ①，设B(x 1,y 1),D(x 2,y 2),BD 中点M(x 0,y 0),则x 1+x 2=4-2b,∴x 0=2-b,y 0=x 0+b=2,∵M 在AC 直线上，∴(2-b)+2-2=0，∴b=2与①相矛盾，故不存在满足要求的正方形.AA 级1.B2.C3.D4.B5.B6.27.95-188.123p9.解：设l :y=kx-1,代入y=-22x ,得x 2+2kx-2=0，设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=-2k,x 1x 2=-2,又11x y +22x y =111x kx -+221x kx -=2k-2121x x x x +=2k-22--k=k=1，∴直线l 的方程为y=x-1.10.证明：由｜MP ｜=｜AM ｜,｜NQ ｜=｜AN ｜知M 、N 在以l 准，A 为焦点的抛物线上，建立直角坐标系，设抛物线方程为y 2=2px ，又｜TA ｜=2a=p,∴抛物线方程为y 2=4ax ，又圆的方程为(x-a-r)2+y 2=r 2，将两方程相减可得：x 2+2(a-r)x+a 2+2ar=0，设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)，则x 1+x 2=2r-2a,∴｜AM ｜+｜AN ｜=｜PM ｜+｜QN ｜=x 1+x 2+2a=2r,即｜AM ｜+｜AN ｜=｜AB ｜【素质优化训练】1.C2.C3.D4.C5.C6.4x+y+3=07.y 2=x+2(在已知抛物线内部的部分) 8.2p 9.解：(1)设圆心C(x 0,y 0),则x 20=2py 0，圆C 的半径｜CA ｜=2020)(p y x -+，其方程为(x-x 0)2+(y-y 0)2=x 20+(y 0-p)2,令y=0，并将x 20=2py 0，代入，得x 2-2x 0x+x 20-p 2=0，解得x m =x 0-p,x N =x 0+p,∴｜MN ｜=｜x N -x M ｜=2p(定值)(2)∵m=｜AM ｜=220)(p p x +-,n=｜AN ｜=220)(p p x ++,∴m 2+n 2=4p 2+2x 20,m ·n=4044x p +，∴m n +n m =mn n m 22+=40422424x p x p ++=20202)(4y p p y p p ++=220)(2y p y p ++=222021y p py ++≤22，当且仅当y 0=p 时等号成立，x 0=±2p ，此时△MCN 为等腰直角三角形，且∠MCN=90°，∴∠MAN=21∠MCN=45°，故当θ=45°时，圆的方程为(x-2 p)2+(y-p)2=2p 2或(x+2p)2+(y-p)2=2p 210.解：(1)由已知得F(a,0),半圆为［x-(a+4)］2+y 2=16(y ≥0)，设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)，则｜MF ｜+｜NF ｜=x 1+x 2+2a=2(4-a)+2a=8(2)若｜MF ｜、｜PF ｜、｜NF ｜成等成数列，则有2｜PF ｜=｜MF ｜+｜NF ｜,另一方面，设M 、P 、N 在抛物线的准线上的射影为M ′、P ′、N ′，则在直角梯形M ′MNN ′中，P ′P是中位线，又有2｜P′P｜=｜M′M｜+｜N′N｜=｜MF｜+｜FN｜,因而｜PF｜=｜P′P｜,∴P 点应在抛物线上，但P点是线段MN的中点，即P并不在抛物线上，故不存在使｜MF｜、｜PF｜、｜NF｜成等差数列的a值.。

§8.6 抛物线的简单几何性质

y
GC
1 2
MA
BN

M l G O N B F C
A
又 M A AF B BF N M A NB AF BF AB GC 1 2 AB
x
所以以AB为直径的圆与准线相切
例2、 1）证明：设直线AB的方程为 x m y
p 2
y 2 px p 2 ) p y 2 p (m y 2 x my 2
2
例2、如图，AB是过抛物线的焦点F的弦，求证：1） x1 x 2 2）
1 FA
y 2 px ( p 0)
2
及
1
y 1 y 2 是定值
为定值
l
FB
y
C
答案
O
A
F x
D
B
( 例3、若抛物线 y 2 p x p 0) 上两点A、 B，满足OA⊥OB(O为坐标原点)
2
求证：1）A、B两点的横坐标之积与纵坐标之积分别为定值。 2）直线AB经过一个定点
，
A1 , B1
求证： OM
2
o A1 O B1
答案：
方程
图形范围
y2 = 2px
y2 = -2px （p＞0） y l
x
x2 = 2py （p＞0） y
F x
x2 = -2py （p＞0） y
x l
（p＞0） y
l O F
l x
F
O
O
O
F
x≥0 y∈R
x≤0 y∈R
x∈R y≥0
x∈R y≤0
2
p
x1 x 2 p
2

抛物线的定义及简单几何性质

15．B
【解析】
依题意，，则抛物线 ,过点M作，垂足为，过点作，垂足为，则，故选B.
16．B
【解析】抛物线方程可化为，线段的中点到抛物线的准线的距离为4，
结合抛物线的定义和梯形中位线的性质有：，故 .
本题选择B选项.
17．D
【解析】依题意知，抛物线焦点坐标为(4,0)．作AA′垂直抛物线的准线，垂足为A′，
∴|MB|＝3，
又由抛物线的定义知|MB|＝|MF|，且|MN|＝|MF|，
∴|NF|＝|NM|＋|MF|＝2|MB|＝6．选C．
14．D
【解析】根据题意，设P到准线的距离为d，则有|PF|＝d．
抛物线的方程为y＝2x2，即，其准线方程为y＝－，
结合图形可得当点P在抛物线的顶点时，d有最小值，即|PF|min＝．选D．
7．B
【解析】∵抛物线 = 经过点 ∴ = ∴ =
∴抛物线的焦点到准线的距离等于
8．D
【解析】因为抛物线方程是y2＝4x，所以F(1，0).又因为PF⊥x轴，所以P(1，2)，把P点坐标代入曲线方程y＝ (k>0)，即＝2，所以k＝2.故选D.
9．B
【解析】因为点在抛物线上，所以，解得，故选B．
点睛：
与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关，利用定义实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．
（1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，利用“两点之间线段最短”解决；
（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中的垂线段最短”解决．
20．D
【解析】记点P到抛物线C的准线l的距离为d，点N到抛物线C的准线l的距离为d′，故|NP|＋|PF|＝|NP|＋d≥d′＝6，故|NP|＋|PF|的最小值为6.

抛物线的简单几何性质讲解与例题

抛物线的简单几何性质一、抛物线几何性质的应用活动与探究1已知抛物线的顶点在原点，焦点F 在x 轴正半轴上．若抛物线上一动点P 到A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，F 两点距离之和的最小值为4，且A 为抛物线内一点，求抛物线方程．迁移与应用1．抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M 的纵坐标为－42，该点到准线的距离为6，则抛物线方程为________________．2．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线相切，则p ＝__________．注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称．二、抛物线的焦点弦活动与探究2已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．迁移与应用1．过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，若A ，B 在准线上的射影为A 1，B 1，则∠A 1FB 1等于( )．A ．45°B ．90° C．60° D．120°2．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作一条直线交抛物线于A ，B 两点，求1|AF |＋1|BF |的值．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，则弦AB 称为焦点弦．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有下列性质：|AB |＝x 1＋x 2＋p 或|AB |＝2psin 2α(α为AB 的倾斜角)，y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24等．三、直线与抛物线的位置关系活动与探究3已知抛物线y 2＝6x 的弦AB 经过点P (4,2)，且OA ⊥OB (O 为坐标原点)，求弦AB 的长．迁移与应用1．直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，且AB 中点的横坐标为2，则k 的值为( )．A ．－1B ．2C ．2或－1D ．42．过点Q (4,1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB ，若AB 恰被Q 平分，求AB 所在的直线方程．1．直线与抛物线位置关系的判定：直线方程与抛物线方程联立得方程ax 2＋bx ＋c ＝0，当a ＝0时，直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时直线与抛物线相交，且只有一个交点；当a ≠0时，两者位置关系的判定和椭圆、双曲线相同，用判别式法即可，即①相交：两个不同交点⇔a ≠0且Δ＞0；②相切⇔a ≠0且Δ＝0；③相离⇔a ≠0且Δ＜0．2．凡涉及抛物线的弦长、弦的中点问题，要注意“点差法”的运用，体现“设而不求”的优越性．当堂检测1．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为|PF|＝( )．A．．8 C．．162．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x只有一个公共点，则k的值为( )．A．1 B．1或3 C．0 D．0或13．过抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A，B两点，A，B在x轴上的正射影分别为D，C．若梯形ABCD的面积为，则p＝__________．4．已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为__________．5．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)过点A(1，－2)．(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．线OA与l的距离等于5答案：课前²预习导学【预习导引】1．⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 x ＝－p 2 y ＝p2 x ≤0y ≤0 x 轴 y 轴 (0,0)预习交流1 提示：抛物线与双曲线的一支不相同．双曲线的一支有渐近线，离心率e ＞1；抛物线没有渐近线，它的离心率是唯一的，e ＝1．2．x 0＋p2x 1＋x 2＋p 2p预习交流2 提示：抛物线方程化为y 2＝13x ，2p ＝13，故其通径长为13．预习交流3 提示：不正确，若直线与抛物线相切，则它们只有一个公共点，但当直线与抛物线只有一个公共点时，直线不一定与抛物线相切，还可能是相交，这时直线与抛物线的对称轴平行或重合．这一点与圆、椭圆是不同的，要注意区别．课堂²合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：先根据题目条件设出抛物线方程，再结合图形，探讨抛物线上的动点P 满足到A ，F 两点距离之和取最小值时的条件，进而列出等量关系．解：设所求的抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，其焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线l ：x ＝－p2．如图所示，若A 点在“抛物线所包含的区域之内”，过点P 作准线的垂线，垂足为H ，由抛物线定义可知|PF |＝|PH |．当H ，P ，A 在同一条直线上时， |PA |＋|PF |取最小值|AH |＝2＋2p ＝4，解得p ＝4，故所求的抛物线方程为y 2＝8x ．迁移与应用 1．y 2＝16x 或y 2＝8x 解析：由于抛物线的准线方程是x ＝－p2，而点M 到准线的距离为6，所以M 点的横坐标是6－p 2，于是M ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－p 2，－42，代入方程得32＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－p2，解得p ＝8或p ＝4，故方程为y 2＝16x 或y 2＝8x ．2．2 解析：圆x 2＋y 2－6x －7＝0的圆心为(3,0)，半径为4，抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2．由⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋p 2＝4，得p ＝2或－14(舍)．活动与探究2 思路分析：(1)由倾斜角可知斜率，从而得到l 的方程，与抛物线方程联立，结合抛物线定义可求得|AB |的值；(2)由|AB |＝9求得弦AB 中点的横坐标即可求得M 到准线的距离．解：(1)因为直线l 的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝3．又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，所以直线l 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32．联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，消去y 得x 2－5x ＋94＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5，而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，所以|AB |＝5＋3＝8．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知 |AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3．又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离为3＋32＝92．迁移与应用 1．B 解析：如图，由抛物线定义知|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，所以∠AA 1F ＝∠AFA 1．又∠AA 1F ＝∠A 1FO ，所以∠AFA 1＝∠A 1FO ．同理∠BFB 1＝∠B 1FO ．于是∠AFA 1＋∠BFB 1＝∠A 1FO ＋∠B 1FO ＝∠A 1FB 1．故∠A 1FB 1＝90°．2．解：已知抛物线的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．对于直线AB ，分两种情况考虑： (1)若直线AB 的倾斜角为90°，则有|AF |＝|BF |＝p ，所以112||||AF BF p+=； (2)若直线AB 的倾斜角不等于90°，设直线AB 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，与抛物线方程联立并消去y ，整理得k 2x 2－(k 2＋2)px ＋224k p ＝0，由韦达定理得，x 1＋x 2＝22(2)k p k +，x 1x 2＝24p ．另一方面，由抛物线定义得|AF |＝x 1＋2p ，|BF |＝x 2＋2p．于是121111||||22p p AF BF x x +=+++ ＝()122121224x x pp p x x x x +++++＝()()22222222=2424k pp k p k p p p pk ++++⋅+．活动与探究3 思路分析：要求弦AB 的长，只需求出A ，B 两点的坐标．为此，设出A ，B 两点的坐标，利用OA ⊥OB 以及A ，B ，P 三点共线的条件求解．解：∵A ，B 两点在抛物线y 2＝6x 上，可设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 216，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 226，y 2． ∵OA ⊥OB ，∴OA ²OB ＝0．由OA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 216，y 1，OB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 226，y 2，得y 21y 2236＋y 1y 2＝0．∵y 1y 2≠0，∴y 1y 2＝－36．①∵点A ，B 与点P (4,2)在一条直线上， ∴y 1－2y 216－4＝y 1－y 2y 216－y 226，化简得y 1－2y 21－24＝1y 1＋y 2，即y 1y 2－2(y 1＋y 2)＝－24．将①代入，得y 1＋y 2＝－6．②由①和②，得y 1＝－3－35，y 2＝－3＋35，从而点A 的坐标为(9＋35，－3－35)，点B 的坐标为(9－35，－3＋35)．∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝610．迁移与应用 1．B 解析：∵直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于两点，∴k ≠0．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，y 2＝8x ，消去y ，得k 2x 2－4kx －8x ＋4＝0， ∴x 1＋x 2＝4k ＋8k2．而AB 中点的横坐标为2， ∴4k ＋8k2＝4，解得k＝－1或k ＝2．而当k ＝－1时，方程k 2x 2－4kx －8x ＋4＝0只有一个解，即A ，B 两点重合，∴k ≠－1． 2．解：方法1：显然AB 不垂直于x 轴，故可设弦AB 所在的直线方程为y －1＝k (x －4)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x －4)，y 2＝8x ，消去x ，整理得ky 2－8y －32k ＋8＝0．此方程的两根是弦AB 的端点A ，B 的纵坐标，由韦达定理得y 1＋y 2＝8k．又Q 点是弦AB 的中点，∴y 1＋y 2＝2．∴k ＝4．故弦AB 所在的直线方程为y －1＝4(x －4)，即4x －y －15＝0．方法2：设弦AB 的端点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．则有2118y x ＝，2228y x ＝，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)．由于Q 点是弦AB 的中点，∴y 1＋y 2＝2，于是y 1－y 2x 1－x 2＝4，即直线AB 的斜率k ＝4，故弦AB 所在的直线方程为y －1＝4(x －4)，即4x －y －15＝0．当堂检测1．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为|PF |＝( )．A ．．8C ．．16答案：B 解析：如图，直线AF 的方程为2)y x =-，与准线方程x ＝－2联立得A (－2，．设P (x 0，，代入抛物线y 2＝8x ，得8x 0＝48，∴x 0＝6． ∴|PF |＝x 0＋2＝8．2．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，则k 的值为( )． A ．1 B ．1或3 C ．0 D ．0或1答案：D 解析：联立22,8y kx y x=+⎧⎨=⎩得(kx ＋2)2－8x ＝0．整理得k 2x 2＋(4k －8)x ＋4＝0．当k ＝0时，方程变为－8x ＋4＝0，只有一解，这时直线与抛物线只有一个公共点；当k ≠0时，由Δ＝0得(4k －8)2－16k 2＝0，解得k ＝1．综上，k ＝0或1．3．过抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A ，B 两点，A ，B在x 轴上的正射影分别为D ，C ．若梯形ABCD 的面积为，则p ＝__________．答案：2 解析：如图，抛物线焦点为0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB ：y －2p ＝x ，即y ＝x ＋2p ．联立x 2＝2py ，得2,22,p y x x py ⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去y 得x 2－2px －p 2＝0，∴x 1＝(1p ，x 2＝(1p ．∴|AD |＋|BC |＝y 1＋y 2＝x 1＋2p ＋x 2＋2p＝2p ＋p ＝3p ，|CD |＝|x 1－x 2|＝．由S 梯形ABCD ＝12(|AD |＋|BC |)²|CD |＝132p ⋅⋅=p 2＝4，∴p ＝±2．∵p ＞0，∴p ＝2．4．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为__________．答案：－4 解析：由已知可设P (4，y 1)，Q (－2，y 2)，∵点P ，Q 在抛物线x 2＝2y 上，∴212242(2)2y y ⎧=⎨-=⎩,①,② ∴128,2,y y =⎧⎨=⎩∴P (4,8)，Q (－2,2)．又∵抛物线可化为212y x =， ∴y ′＝x ，∴过点P 的切线斜率为4'4x y ==． ∴过点P 的切线为y －8＝4(x －4)，即y ＝4x －8．又∵过点Q 的切线斜率为2'2x y =-=-，∴过点Q 的切线为y －2＝－2(x ＋2)，即y ＝－2x －2．联立48,22,y x y x =-⎧⎨=--⎩得x ＝1，y ＝－4，∴点A 的纵坐标为－4．5．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点A (1，－2)． (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；答案：解：将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ²1，∴p ＝2．故所求的抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1．(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l l 的方程；若不存在，说明理由．答案：假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t ．由22,4y x t y x=-+⎧⎨=⎩得y 2＋2y －2t ＝0． ∵直线l 与抛物线C 有公共点， ∴Δ＝4＋8t ≥0，解得12t ≥-．另一方面，由直线OA 与l 的距离5d ==，解得t ＝±1． ∵11,2⎡⎫-∉-+∞⎪⎢⎣⎭，11,2⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，∴符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0．用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本。

抛物线的简单几何性质习题

[学业水平训练]1．已知抛物线的对称轴为x 轴，顶点在原点，焦点在直线2x －4y ＋11＝0上，则此抛物线的方程是( )A ．y 2＝－11xB ．y 2＝11xC ．y 2＝－22xD ．y 2＝22x解析：选C.在方程2x －4y ＋11＝0中，令y ＝0得x ＝－112， ∴抛物线的焦点为F (－112，0)，即p 2＝112， ∴p ＝11，∴抛物线的方程是y 2＝－22x ，故选C.2．若抛物线y 2＝2x 上有两点A ，B ，且AB 垂直于x 轴，若|AB |＝22，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A.12B.14C.16D.18解析：选A.线段AB 所在的直线的方程为x ＝1，抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，则焦点到直线AB 的距离为1－12＝12. 3．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，则k 的值为( )A ．1B ．1或3C ．0D ．0或1解析：选D.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2y 2＝8x ，得(kx ＋2)2－8x ＝0.整理得k 2x 2＋(4k －8)x ＋4＝0.当k ＝0时，方程变为－8x ＋4＝0，只有一解，这时直线与抛物线只有一个公共点；当k ≠0时，由Δ＝0得(4k －8)2－16k 2＝0，解得k ＝1.综上，k ＝0或1.4．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标为( )A ．(2，±22)B ．(1，±2)C ．(1,2)D ．(2,22)解析：选B.设A (x ，y )，则y 2＝4x ，①OA →＝(x ，y )，AF →＝(1－x ，－y )，OA →·AF →＝x －x 2－y 2＝－4，②由①②可解得x ＝1，y ＝±2.5．等腰Rt △AOB 内接于抛物线y 2＝2px (p ＞0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△AOB 的面积是( )A ．8p 2B ．4p 2C ．2p 2D ．p 2解析：选B.∵抛物线的对称轴为x 轴，内接△AOB 为等腰直角三角形，由抛物线的对称性知，直线AB 与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA 与x 轴的夹角为45°.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y 2＝2px ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p ，y ＝2p . ∴A ，B 两点的坐标分别为(2p,2p )和(2p ，－2p )．∴|AB |＝4p .∴S △AOB ＝12×4p ×2p ＝4p 2. 6．已知直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a ＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0y ＝ax 2，得ax 2－x ＋1＝0，由Δ＝1－4a ＝0，得a ＝14. 答案：147．抛物线顶点在坐标原点，以y 轴为对称轴，过焦点且与y 轴垂直的弦长为16，则抛物线方程为________．解析：∵过焦点且与对称轴y 轴垂直的弦长等于p 的2倍，∴所求抛物线方程为x 2＝±16y .答案：x 2＝±16y8．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若|AB |＝7，则AB 的中点M 到抛物线准线的距离为________．解析：抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由抛物线的定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p ，即x 1＋x 2＋2＝7，得x 1＋x 2＝5，于是弦AB 的中点M 的横坐标为52. 因此，点M 到抛物线准线的距离为52＋1＝72. 答案：729．求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，顶点到准线的距离为4；(2)顶点是双曲线16x 2－9y 2＝144的中心，准线过双曲线的左顶点，且垂直于坐标轴．解：(1)由抛物线的标准方程对应的图形易知：顶点到准线的距离为p 2，故p 2＝4，p ＝8.因此，所求抛物线的标准方程为y 2＝±16x 或x 2＝±16y .(2)双曲线方程16x 2－9y 2＝144化为标准形式为x 29－y 216＝1，中心为原点，左顶点为(－3,0)，故抛物线顶点在原点，准线为x ＝－3.由题意可设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)，可得p 2＝3，故p ＝6.因此，所求抛物线的标准方程为y 2＝12x . 10．直角△AOB 的三个顶点都在抛物线y 2＝2px 上，其中直角顶点O 为原点，OA 所在直线的方程为y ＝3x ，△AOB 的面积为63，求该抛物线的方程．解：因为OA ⊥OB ，且OA 所在直线的方程为y ＝3x ，所以OB 所在直线的方程为y ＝－33x .由⎩⎨⎧ y 2＝2px ，y ＝3x ，得A 点坐标(2p 3，23p 3)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝2px ，y ＝－33x ，得B 点坐标(6p ，－23p )．|OA |＝43|p |，|OB |＝43|p |， S △OAB ＝833p 2＝63，所以p ＝±32. 即该抛物线的方程为y 2＝3x 或y 2＝－3x .[高考水平训练]1．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是( )A ．(6，＋∞)B ．[6，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)解析：选D.∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，∴p 2＝3，即p ＝6. 又抛物线上的点到准线的距离的最小值为p 2， ∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞)．2．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值是________．解析：设P (x ，－x 2)为抛物线上任一点，则点P 到直线4x ＋3y －8＝0的距离d ＝|4x ＋3(－x 2)－8|42＋32＝15|－3x 2＋4x －8| ＝15⎪⎪⎪⎪－3(x －23)2－203，故当x ＝23时，d 取最小值，为d ＝15×203＝43. 答案：433．求过点P (0,1)且与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线方程．解：(1)若直线斜率不存在，则过点P (0,1)的直线方程为x ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y 2＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0. 所以直线x ＝0与抛物线只有一个交点．(2)若直线斜率存在，设为k ，则过点P 的直线方程为y ＝kx ＋1，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝2x ，消去y ，得k 2x 2＋2(k －1)x ＋1＝0. 当k ＝0时，则解得x ＝12，且y ＝1，即直线y ＝1与抛物线只有一个公共点．当k ≠0时，若直线与抛物线只有一个公共点，则Δ＝4(k －1)2－4k 2＝0，解得k ＝12，则直线方程为y ＝12x ＋1. 综上所述，所求直线的方程为x ＝0或y ＝1，或y ＝12x ＋1. 4．(2014·昆明高二检测)已知抛物线顶点在原点，焦点在x 轴上，又知此抛物线上一点A (4，m )到焦点的距离为6.(1)求此抛物线的方程．(2)若此抛物线与直线y ＝kx －2相交于不同的两点A ，B ，且AB 中点横坐标为2，求k 的值．解：(1)由题意设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，其准线方程为x ＝－p 2.∵A (4，m )到焦点的距离等于A 到其准线的距离．∴4＋p 2＝6，∴p ＝4，∴此抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝8x ，y ＝kx －2，消去y 得k 2x 2－(4k ＋8)x ＋4＝0.∵直线y ＝kx －2与抛物线相交于不同两点A ，B ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ k ≠0，Δ＞0，解得k ＞－1且k ≠0，∵AB 中点横坐标为2，则有x 1＋x 22＝4k ＋82k 2＝2，解得k ＝2或k ＝－1(舍去)．∴所求k 的值为2.。

高二数学寒假作业专题08 抛物线的简单几何性质(练)(含解析)(1)

专题8 抛物线的简单几何性质【练一练】一、选择题1.直线y=x-3与抛物线y2=4x 交于A ，B 两点，过A ，B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P ，Q ，则梯形APQB 的面积为( )(A)48 (B)56 (C)64 (D)722．直线l 过抛物线y2＝2px(p ＞0)的焦点，且与抛物线交于A 、B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是( )A ．y2＝12xB ．y2＝8xC ．y2＝6xD ．y2＝4x3．设直线l1：y ＝2x ，直线l2经过点P(2,1)，抛物线C ：y2＝4x ，已知l1、l2与C 共有三个交点，则满足条件的直线l2的条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．过抛物线y2＝a x (a>0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若PF 与FQ 的长分别为p 、q ，则1p＋1q等于( ) A ．2a B.12a C ．4a D.4a【答案】D【解析】试题分析：可采用特殊值法，设PQ 过焦点F 04a （，）且垂直于x 轴，则P |PF|=p=x 4442a a a a +=+=，|QF|=q=2a ，∴11224p q a a a +=+= 5．设抛物线y2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF|等于( )A ．4 3B ．8C ．8 3D ．16二、填空题6．已知F 是抛物线C ：y2＝4x 的焦点，A 、B 是抛物线C 上的两个点，线段AB 的中点为M(2,2)，则△ABF 的面积等于________．7．过抛物线x2＝2py (p>0)的焦点F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点(点A 在y 轴的左侧)，则|AF||FB|＝________. 【答案】13【解析】三、解答题8．在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A、B两点．（1）如果直线l过抛物线的焦点，求OA·OB的值；（2）如果OA·OB＝－4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．∴直线l 过定点(2,0)，∴若4OA OB ⋅=-，则直线l 必过一定点。

《抛物线的简单几何性质》基础训练

《抛物线的简单几何性质》基础训练题组一抛物线的几何性质1.若双曲线2221316y p x -=的左焦点在抛物线y 2 = 2px(p>0)的准线上，则p 的值为( ) A. 2 B. 3 C. 4D.题组二抛物线的焦半径、焦点弦、通径2.已知抛物线y 2 =2px(p>0) ，过其焦点且斜率为2的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为1，则该抛物线的准线方程为 ( ) A. x=1 B. x=-1 C. x=2 D. x=-23.过抛物线y 2=8x 的焦点作倾斜角45°的直线，则被抛物线截得的弦长为 ( ) A.8 B.16 C.32 D.644.抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，其通径的两端与顶点连成的三角形的面积为4，则此抛物线的标准方程是 ( )A. 2y =B. 2y =±C. 24y x =±D. 2y =±5.抛物线y 2=4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB =，则焦点到弦AB 的距离为 .6.已知抛物线y 2=4x 上的任意一点P ，记点P 到y 轴的距离为d ，对于定点A(4，5) ，则PA d +的最小值为 .题组三直线与抛物线的位置关系7.设抛物线y 2=2x ，过定点(-2，1)的直线l 与抛物线只有一个交点，则直线l 的斜率为 ( )A.14-±B.04-C.104--D.104-± 8.已知点A(0，2)，B(2，0)，点C 在y=x 2的图象上，若△ABC 的面积为2，则这样的点C 有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个9.已知过抛物线y 2 =2px(p>0)的焦点，斜率为A(x 1，y 1)和B(x 2 ，y 2)(x 1<x 2)两点，且9AB =. (1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC OA OB λ=+，求λ的值.10.已知抛物线C ：y 2=4x ，点M(m ，0)在x 轴的正半轴上，过M 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点.(1)若m=1，且直线l 的斜率为1，求以AB 为直径的圆的方程； (2)是否存在定点M ，无论直线l 绕点M 如何转动，使得2211AMBM恒为定值?参考答案1.答案：C解析：双曲线化为标准方程为2221316x yp-=，所以c==由于抛物线y2 = 2px( p>0)的准线方程为2px=-，则由题意得2p=-，解得p=4.故选C.2.答案：B解析：设A(x1，y1) ，B(x2，y2)，则有2211222,2y px y px==(其中p>0)，两式相减得：()()()1212122y y y y p x x-+=-.又因为直线的斜率为2，所以有12y py+=，又线段AB的中点的纵坐标为1，即122y y+=，所以p=2，所以抛物线的准线方程为x= -1.故选B.3.答案：B解析：∵抛物线方程为2 8 ,28,22py x p===，∴抛物线的焦点是F(2，0).∵直线的倾斜角为45°，∴直线斜率tan451k==.可得直线方程为()12,2y x y x =⨯-=-即. 设直线交抛物线于点1122 ,()()A x y B x y ，，.联立22 8y x y x ⎧⎨==-⎩，消去y ，得x 2-12x+4=0，∴ 1212x x +=.根据抛物线的定义，可得11222,2,22p pAF x x BF x x =+=+=+=+ 12412416AB x x +=+∴==+，即直线被抛物线截得的弦长为16. 故选B. 4. 答案：B解析：设抛物线的方程为()20y ax a =≠，则通径为a .因为通径的两端与顶点连成的三角形的面积为4，所以1424aa ⋅⋅=，所以a =±所以抛物线的标准方程为2y =±.故选B. 5. 答案：2解析：不妨设A 点在x 轴的上方，依题意可知A y = 则1234A x ==. 而抛物线的焦点坐标为(1，0). ∴焦点到弦AB 的距离是3-1=2. 6.1-解析：抛物线的焦点在x 轴的正半轴，焦点为F(1 ，0) ，准线方程为x= -1 ，如图所示，根据抛物线的性质可知，1PA d PA PF +=+-，所以当点P 在点P'处时，PA PF +最小，且()()22min41534,PA PF+=-+=所以()min 341PA d +=. 7. 答案：D解析：设直线l ：y=k(x+2)+1.当k=0时，直线平行于拋物线的对称轴，此时直线与抛物线只有一个交点又由()2212y k x y x⎧=++⎪⎨=⎪⎩，消去x ，得ky 2-2y+4k+2=0 ，所以∆=4-4k(4k+2)= 0，解得15k -±=，故选D. 8. 答案：D解析：设C(a ，a 2)，由已知得直线AB 的方程为122x y+=，即x+y-2=0. 点C 到直线AB 的距离为222a a d +-=，则222112222222ABCa a SAB d a a +-=⋅⋅=⨯⨯=+-=，得：a 2+a=0或a 2+a-4=0，显然方程共有四个根，可知函数y=x 2的图象上存在四个点(如图中四个点C 1，C 2，C 3，C 4)使得△ABC 的面积为2.(即图中的△ABC 1，△ABC 2，△ABC 3，△ABC 4)故选D.9.答案：见解析解析：(1)由题意得直线 AB 的方程为222py x =-（），与y 2=2px 联立，消去y ，得4x 2-5px+p 2=0，所以1254p x x += 由抛物线定义得： 129AB x x p ++==，所以p=4，所以该抛物线的方程是y 2 =8x.(2)由p=4，4x 2 -5px+p 2 =0可简化为x 2 -5x+4=0，解得x 1=1，x 2=4.12y y =-=.从而((1, ,.A B - 设()33,.,OC x y OA OA OB λ=+=又∴(((1,4OC λλ=-+=+-.又223328,218[)]()(412141)y x λλλλ=-=+-=+即，即，解得λ=0或λ=2. 10.答案：见解析解析：(1)当m=1时，M(1，0)为抛物线的焦点坐标，且直线的斜率为1，设A(x 1，y 1) ，B(x 2，y 2)，则可得直线l 的方程为y=x-1.联立y 2=4x 可得224,6101y x x x y x ⎧=⇒-+=⎨=-⎩，12126,1x x x x +=⋅=则.设AB 的中点坐标为P(x 0，y 0).120==32x x x +， 121202=222y y x x y +-==+，故P(3，2)为圆的圆心，直径128AB x x p =++=，半径为4，则圆的方程为(x-3)2+(y-2) 2=16. (2)假设存在这样的定点M ，使得2211AMBM+恒为定值，设直线l 的方程为x=ky+m.联立抛物线的方程可得224440,y xy ky m x ky m⎧=⇒=-=⎨=+⎩()()()()12122222221222222122121222122224,4.1,1.11111=+121=11612.116y y k y y m AM y k BM y k k y y AMBMy y y y k y y m k k m+=⋅=-=+=+⎛⎫+⎪+⎝⎭+-⋅+⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⋅+又所以因为要与斜率k 无关，只需令12m=，即m=2，进而221114AMBM+=. 所以存在定点M(2，0)，无论直线l 绕点M 如何转动，2211AMBM+恒为定值，。

习题(23)-抛物线简单的几何性质(1)

习题（23）抛物线的简单几何性质（1）一、选择题：1．直线和抛物线有且仅有一个公共点是直线和抛物线相切的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 2．已知F 是抛物线y 2=-12x 的焦点，直线l 过焦点F 且x l ⊥轴，若l 交抛物线于A ，B 两点，则|AB |=（即通径长）（）A. 3B. 6C. 12D. 243．过抛物线x 2=4y 焦点作直线交抛物线于),(11y x A ,),(22y x B ，若y 1+y 2=6，则|AB |=（） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 4．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax )0(≠a 的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若OAF ∆（O 为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（）A. y 2＝4xB. y 2＝8xC. y 2＝±4xD. y 2＝±8x5．抛物线x 2=4y 截直线l : y =kx +1所得的弦长为316，则l 的倾斜角为（） A. ︒60 B. ︒30 C. ︒60或︒120 D. ︒30或︒150 *6．已知抛物线C : y 2=8x 与点M (-2,2),过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ,B 两点,若0=⋅MB MA ,则k =（） A.21B.22 C ．2 D ．2二、填空题：7．已知抛物线y 2=2x 上两点A ,B 到焦点的距离之和为5，则线段AB 的中点M 到y 轴的距离为．8．平面内动点P 到定点A (2,0)的距离比P 到y 轴的距离大2，则动点P 的轨迹方程为． 9．过(0,2)的直线与抛物线y 2=8x 交于A ,B ,若线段AB 的中点的横坐标是2,则|AB |= ． 10．已知点M (3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，P 是该抛物线上的点，则|PM |＋|PF |的最小值是，此时P 点的坐标是．11．过抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点F 作斜率为1的直线与该抛物线交于A ,B 两点，A ,B 在x 轴上的射影分别为D,C ，若梯形ABCD 的面积为212，则抛物线的焦点F 的坐标为．三、解答题：12．已知P (0,1)是抛物线y 2=x 上一点，直线l 经过点P 且与抛物线只有一个公共点，求直线l 的方程．13．已知直线l : y =-1及圆1)2(:22=-+y x C ，动圆M 与直线l 相切，且与圆C 相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．14．如图,在正方形OABC 中,O 为坐标原点,点A 的坐标为(10,0),点C 的坐标为(0,10).分别将线段OA 和AB 十等分,分点分别记为A 1, A 2, ……,A 9和B 1, B 2, ……,B 9,连结i OB ,过A 1做x 轴的垂线与i OB 交于点i OB ，i P )91*,(≤≤∈i N i .(1)求证:点i P )91*,(≤≤∈i N i 都在同一条抛物线上,并求该抛物线E 的方程；(2)过点C 做直线与抛物线E 交于不同的两点M ，N ,若OCM ∆与OCN ∆的面积比为1:4,求直线的方程.lCMOyx。

抛物线的简单几何性质练习

抛物线的简单几何性质练习一、选择题（每小题四个选项中，只有一项符合题目要求）1．如果抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在直线3x-4y-12 =0 上，则抛物线的方程是（）A ．x y 162-=B ．x y 122=C ．x y 162=D ．x y 122-=2．AB 是抛物线x y 182=的一条过焦点的弦，|AB|=20，AD 、BC 垂直于y 轴，D 、C 分别为垂足，则梯形ABCD 的中位线长是（）A ．5B ．211 C ．29 D ．103．以1162522=+y x 的中心为顶点，以左准线为准线的抛物线与椭圆的右准线交于A 、B 两点，则|AB|的值为（）A ．518 B ．536 C ．380 D ．3100 4．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点（k ，-2）与F 点的距离为4，则k 等于（）A ．4B ．4或-4C ．-2D ．-2或25．过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于),(11y x A 、),(22y x B 两点，如果621=+x x ，那么|AB|等于（）A ．10B ．8C ．6D ．46．p 是抛物线x y 22=上一点，p 到点)310,3(A 的距离为1d ，p 到直线21-=x 的距离为2d ，当21d d +取最小值时，点p 的坐标为（）A ．（0，0）B ．（2，2）C ．)2,1(D ．)1,21(二、填空题7．已知F 是抛物线x y 42=的焦点，M 是这抛物线上的一个动点，P （3，1）是一个定点，则|MP|+|MF|的最小值是_________。

8．有一个正三角形的两个顶点在抛物线x y 322=上，另一个顶点在原点，则这个三角形的边长是_______。

三、解答题9．已知点A （5，0）和抛物线x y 42=上的动点P ，点M 分线段PA 为PM ：MA=3：1，求点M 的轨迹方程。

10．过抛物线x y 42-=的焦点，引倾斜角为120°的直线，交抛物线于A 、B 两点，求△OAB 的面积。

抛物线的简单几何性质练习一

抛物线的简单几何性质练习一1. 与直线2x −y +4=0平行的抛物线y =x 2的切线方程为( ) A.2x −y +3=0 B.2x −y −3=0 C.2x −y +1=0 D.2x −y −1=02. 已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，则过F 作倾斜角为60∘的直线分别交抛物线于A ，B （A 在x 轴上方）两点，则|AF||BF|的值为（）A.√3B.2C.3D.43. 过椭圆x 25+y 24=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积=( ) A.53 B.14C.34D.454. 若直线l 过抛物线x 2＝−2py(p >0)的焦点F 交抛物线M ，N 于两点，则1|FM|+1|FN|=2，若MF →=2FN →，则|MN|＝（） A.18 B.94C.√22+2D.65. 已知斜率为k 的直线l 与抛物线C:y 2=4x 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (2,1)，则直线l 的方程为( ) A.2x −y −3=0 B.2x −y −5=0 C.x −2y =0 D.x −y −1=06. 抛物线y 2=12x 截直线y =2x +1所得弦长等于( ) A.√15 B.2√15 C.√152D.157. 已知F 是椭圆C :x 23+y 22=1的右焦点，P 为椭圆C 上一点， A(1,2√2)，则 |PA|+|PF|的最大值为( ) A.4+√2 B.4√2 C.4+√3 D.4√38. 设P 是抛物线C:y 2＝4x 上的动点，Q 是C 的准线上的动点，直线l 过Q 且与OQ （O 为坐标原点）垂直，则P到l的距离的最小值的取值范围是（）A.(0, 1)B.(0, 1]C.[0, 1]D.(0, 2]9. 抛物线x2=8y的焦点坐标为( )A.(0, 2)B.(2, 0)C.(0, 4)D.(4, 0)10. 已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1, m)到其焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为________．11. 已知F为双曲线C：-＝1(a>0, b>0)的上焦点，A为C的上顶点，B为C 上的点，且BF平行于x轴．若AB的斜率为，则C的离心率为________．12. 已知F为抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点，点A在抛物线上，点B在抛物线的准线上，且A，B两点都在x轴的上方，若FA⊥FB，tan∠FAB＝，则直线FA的斜率为________．13. 若抛物线x2＝2py(p>0)上的点(m, 3)到焦点的距离是5，则m2＝________．14. 已知抛物线C:y2＝4x，其焦点为F，准线为l，P为抛物线C上第一象限内的点，过点P作l的垂线，垂足为Q．当△PFQ的周长为12时，△PFQ的面积为________．15. 已知抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点为F，原点为O，过F作倾斜角为θ的直线l交抛物线C于A，B两点．（1）过A点作抛物线准线的垂线，垂足为A′，若直线A′F的斜率为，且AF＝4，求抛物线的方程；（2）当直线l的倾斜角θ为多大时，AB的长度最小．16. 己知直线l:x−y−2＝0与抛物线E:y2＝2px(p>0)相交于A、B两点．(Ⅰ)若抛物线的焦点在直线l上，求抛物线的方程；(Ⅱ)若以|AB|为直径的圆经过坐标原点，求抛物线方程．17. 已知点P(4, 4)在抛物线C:y 2=2px(p >0)上，直线l:y =kx +2与抛物线C 有两个不同的交点．(Ⅰ)求k 的取值范围；(Ⅱ)设直线l 与抛物线C 的交点分别为A ，B ，过点A 作与C 的准线平行的直线，分别与直线OP 和OB 交于点M 和N （O 为坐标原点），求证：|AM|=|MN|．18. 已知抛物线C:y 2＝2px(p >0)的焦点为F ，倾斜角为45∘的直线l 过点F 与抛物线C 交于A ，B 两点，且|AB|＝8．（1）求p ；（2）设点E 为直线x ＝与抛物线C 在第一象限的交点，过点E 作C 的斜率分别为k 1，k 2的两条弦EM ，EN ，如果k 1+k 2＝−1，证明直线MN 过定点，并求出定点坐标．19. 已知直线l 过抛物线C:x 2＝2py(p >0)的焦点，且垂直于抛物线的对称轴，l 与抛物线两交点间的距离为2．（1）求抛物线C 的方程；（2）若点P(2, 2)，过点(−2, 4)的直线与抛物线C 相交于A ，B 两点，设直线PA 与PB 的斜率分别为k 1和k 2．求证：k 1k 2为定值，并求出此定值．20. 已知抛物线y 2＝−x 与直线y ＝k(x +1)相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．（1）求证：OA ⊥OB ；（2）当k ＝2时，求AB 的弦长．21. 如图，已知椭圆 E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的离心率为 √22，P(√2,1)是椭圆E 上一点．(1)求椭圆E 的方程；若过点 P(√2,1) 作圆 C:(x −√2)2+y 2=r 2(0<r ≤12) 的切线分别交椭圆于A 、B 两点，试问直线AB 的斜率是否为定值？若是，求出这个定值．若不是，说明理由．参考答案与试题解析抛物线的简单几何性质练习一一、选择题（本题共计 9 小题，每题 5 分，共计45分） 1.【答案】 D【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系【解析】根据切线与直线2x −y +4＝0的平行，可利用待定系数法设出切线，然后与抛物线联立方程组，使方程只有一解即可．【解答】解：由题意可设切线方程为2x −y +m =0，联立方程组{2x −y +m =0，y =x 2，得x 2−2x −m =0，Δ=4+4m =0解得m =−1， ∴ 切线方程为2x −y −1=0. 故选D . 2.【答案】 C【考点】直线与抛物线的位置关系【解析】利用抛物线的极坐标方程，求出AF ，BF ，然后推出结果．【解答】|AF|=p1−cos 60，|BF|=p1+cos 60， ∴ |AF||BF|=1+0.51−0.5=3．3. 【答案】 A【考点】直线与椭圆结合的最值问题【解析】将椭圆与直线方程联立{4x 2+5y 2−20=0y =2(x −1)，得交点A(0,−2)，B(53,43)，进而结合三角形面积公式计算可得答案．【解答】解：因为x 25+y 24=1，所以c 2=5−4=1，即c =1，所以右焦点为F(1,0)，设过椭圆的右焦点且斜率为2的直线的方程为y =2(x −1)，联立{4x 2+5y 2−20=0，y =2(x −1)，解得A(0,−2)，B(53,43)，所以S △OAB =12⋅|OF|⋅|y B −y A | =12×1×|43+2| =53．故选A ． 4.【答案】 B【考点】直线与抛物线的位置关系【解析】由MF →=2FN →，可得到|MF|＝2|FN|，联立1|FM|+1|FN|=2，解得|FN|=34，所以|MF|=64，所以|MN|＝|MF|+|FN|=94．【解答】根据题意，F 在M ，N 中间，则向量MF →和向量FN →方向相同，由MF →=2FN →，可得到|MF|＝2|FN|，联立1|FM|+1|FN|=2，得|FN|=34，所以|MF|=64，所以|MN|＝|MF|+|FN|=94，5. 【答案】 A【考点】与抛物线有关的中点弦及弦长问题【解析】本题通过交点A 、B 以及线段AB 的中点M (2,1)求出直线的斜率，最后求出直线。

高中数学-抛物线的简单几何性质练习

高中数学-抛物线的简单几何性质练习基础达标(水平一 )1.设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,点F为抛物线C的焦点,以F为圆心、|FM|为半径的圆与抛物线C 的准线相交于不同两点,则y0的取值范围是().A.(0,2)B.[0,2]C.(2,+∞)D.[2,+∞)【解析】圆心到抛物线准线的距离为p=4,根据题意,只要满足|FM|>4即可.由抛物线定义知,|FM|=y0+2.由y0+2>4,解得y0>2,故y0的取值范围是(2,+∞).【答案】C2.探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点处,已知灯口直径是60 cm,灯深40 cm,则光源到反光镜顶点的距离是().A.11.25 cmB.5.625 cmC.20 cmD.10 cm【解析】如图,建立平面直角坐标系,设抛物线方程为y2=2px(p>0),则点A(40,30).∴302=2p·40,∴p=,∴y2=x.∴光源到反光镜顶点的距离为=×==5.625(cm).【答案】B3.抛物线y2=2x的焦点为F,其准线经过双曲线-=1(a>0,b>0)的左顶点,点M为这两条曲线的一个交点,且|MF|=2,则双曲线的离心率为().A.B.2 C.D.【解析】点F,准线l:x=-,由题意知a=.由抛物线的定义知,x M-=2,∴x M=,∴=3.∵点(x M,y M)在双曲线上,∴-=1,∴b2=,∴c2=a2+b2=,∴e2==×4=,∴e=.【答案】A4.已知点O为坐标原点,点F为抛物线y2=4x的焦点,点A是抛物线上一点,若·=-4,则点A的坐标是().A.(1,2)B.(4,4)C.(1,2)或(1,-2)D.(4,4)或(4,-4)【解析】因为抛物线的焦点为F(1,0),设点A,则=,=.由·=-4,得y0=±2,所以点A的坐标是(1,2)或(1,-2).【答案】C5.对标准形式的抛物线,给出下列条件:①焦点在y轴上;②焦点在x轴上;③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6;④由原点向过焦点的某直线作垂线,垂足坐标为(2,1).其中满足抛物线方程y2=10x的是.(要求填写适合条件的序号)【解析】抛物线y2=10x的焦点在x轴上,①不满足,②满足;设M(1,y0)是抛物线y2=10x上的一点,F为抛物线的焦点,则|MF|=1+=1+=≠6,所以③不满足;由于抛物线y2=10x的焦点为,过该焦点的直线方程为y=k,若由原点向该直线作垂线,垂足坐标为(2,1)时,则k=-2,此时存在,所以④满足.【答案】②④6.设过点P(-2,4)且倾斜角为135°的直线l与抛物线C:y2=2px(p>0)相交于A,B两点,若|PA|,|AB|,|PB|成等比数列,则抛物线C的方程为.【解析】直线l的方程为y=-x+2,联立y=-x+2和y2=2px,消去x,得y2+2py-4p=0.设点A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-2p,y1y2=-4p.由P,A,B三点共线,且|PA|,|AB|,|PB|成等比数列,则|y1-4|,|y1-y2|,|y2-4|也成等比数列,得|(y1-4)(y2-4)|=|y1-y2|2≠0,则|y1y2-4(y1+y2)+16|=(y1+y2)2-4y1y2,且y1≠y2,即|p+4|=p2+4p,且Δ=(2p)2-4(-4p)=4p2+16p>0,解得p=1.所求抛物线的方程为y2=2x.【答案】y2=2x7.在平面直角坐标系中,已知点A(0,4),B(0,-2),动点P(x,y)满足·-y2+8=0.(1)求动点P的轨迹方程;(2)设(1)中所求的轨迹与直线y=x+2交于C,D两点,求证:OC⊥OD(O为坐标原点).【解析】(1)由题意,可知=(-x,4-y),=(-x,-2-y),∴x2+(4-y)(-2-y)-y2+8=0,整理得x2=2y,∴动点P的轨迹方程为x2=2y.(2)由整理得x2-2x-4=0,∴x1+x2=2,x1x2=-4.∵k OC·k OD=·====-1,∴OC⊥OD.拓展提升(水平二)8.已知点M在抛物线y2=6x上,N为抛物线的准线l上的一点,F为抛物线的焦点,若=,则直线MN的斜率为().A.±B.±1C.±2D.±【解析】由题设可知点M,N,F三点共线,且点F是线段MN的中点,不妨设点M(x0,y0)(y0<0),N(t>0),F,则x0=,y0=-t.又点M(x0,y0)在抛物线上,所以=6x0,即y0=-3,所以t=3.故直线MN的斜率k=-.设y0>0,则t<0,同理可得MN的斜率k=,故选D.【答案】D9.已知点A(1,2)在抛物线C:y2=4x上,过点A作两条直线分别交抛物线于D,E两点,直线AD,AE的斜率分别为k AD,k AE,若直线DE过点P(-1,-2),则k AD·k AE=().A.4B.3C.2D.1【解析】设点D(x1,y1),E(x2,y2),则k AD=,k AE=,∴k AD·k AE=·=,①设直线DE:y+2=k(x+1),联立方程消去x,可得ky2-4y+4k-8=0.∴y1+y2=,y1y2=.∴x1+x2==,x1x2==,代入①可得k AD·k AE==2.【答案】C10.已知南北方向有条公路L,A地在公路正东2 km处,B地在A地北偏东60°方向2 km处,河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路L和到A地距离相等.现要在曲线PQ上某处建一座码头,向A,B两地运货物.经测算,从M到A,B修建公路的费用都为a万元/km,那么,修建这两条公路的总费用最低是万元.【解析】如图所示,由题意知,曲线PQ是以A为焦点、L为准线的抛物线,根据抛物线的定义,知欲求M到A,B修建公路的费用最低,只需求出B点到准线L的距离即可.∵B地在A地北偏东60°方向2 km处,∴B点到抛物线L的距离为2·sin 60°+2=5(km),∴修建这两条公路的总费用最低为5a万元.【答案】5a11.已知抛物线y2=4x的焦点为F,(1)若直线l过点M(4,0),且点F到直线l的距离为2,求直线l的方程.(2)设A,B为抛物线上两点,且AB不与x轴垂直,若线段AB中点的横坐标为2.求证:线段AB的垂直平分线恰过定点.【解析】(1)由已知,x=4不合题意.设直线l的方程为y=k(x-4),由已知,抛物线的焦点坐标为F(1,0),因为点F到直线l的距离为2,所以=2,解得k=±,所以直线l的斜率为±.所以直线l的方程为y=±(x-4).(2)设A,B两点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),因为AB不与x轴垂直,所以设直线AB的方程为y=kx+b,联立方程消去y,得k2x2+(2bk-4)x+b2=0,x1+x2=,又因为线段AB中点的横坐标为2,所以=4,整理得b=.由线段AB中点的坐标为(2,2k+b),得线段AB的垂直平分线的方程为y-(2k+b)=-(x-2),(※)将b=代入方程(※),整理得x+ky-4=0,显然过定点(4,0).所以线段AB的垂直平分线恰过定点(4,0).。

抛物线的简单性质(第1课时)作业

2 3 31 2 2 抛物线的简单性质（第 1 课时）新余一中高二年级数学练习题选 2020-3-11一、基本能力达标1．以 x 轴为对称轴，通径长为 8，顶点为坐标原点的抛物线方程是()A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝8x 或 y 2＝－8xD ．x 2＝8y 或 x 2＝－8y 2．若直线 y ＝2x ＋p 与抛物线 x 2＝2py(p>0)相交于 A ，B 两点，则|A B |等于( )2A ．5pB ．10pC ．11pD ．12p3．O 为坐标原点，F 为抛物线 C ：y 2＝4 2x 的焦点，P 为 C 上的一点，若|PF|＝4 2，则△P O F 的面积为() A ．2B ．2C ．2D ．44．设抛物线 y 2＝8x 的焦点为 F ，准线为 l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥ l ，A 为垂足．如果直线 A F 的斜率为－ 3，那么|PF|＝( )（自己画图很容易求解）A ．4B ．8C ．8D ．165．顶点在原点，焦点在 x 轴上且通径长为 6 的抛物线方程是_ _ ．6．已知 A B 是抛物线 2x 2＝y 的焦点弦，若|AB|＝4，则 A B 的中点的纵坐标为 _ _．（自己先预习一下焦弦长度的计算公式：|AB |＝x +x +p 或[AB ]＝y + y +p ） 17．已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点 O ，并且经过点 M(2，y 0)．若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3，求抛物线方程及|O M |的值．3.8．已知抛物线 C ：y 2＝2px(p>0)过点 A(2，－4)．(1)求抛物线 C 的方程，并求其准线方程；(2)若点 B(0,2)，求过点 B 且与抛物线 C 有且仅有一个公共点的直线 l 的方程．二、综合能力提升1．过抛物线 y 2＝4x 的焦点，作一条直线与抛物线交于 A ，B 两点，若它们的横坐标之和等于 5，则这样的直线() A ．有且仅有一条B ．有两条C ．有无穷多条D ．不存在2．已知 A(2,0)，B 为抛物线 y 2＝x 上的一点，则|A B |的最小值为 _ _． 3．已知抛物线 y 2＝1 ，则弦长为定值 1 的焦点弦有 _ _条．x 24．已知抛物线的焦点 F 在 x 轴上，直线 l 过 F 且垂直于 x 轴，l 与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于 4，求此抛物线的标准方程．（创新应用：选做题）5．设点 P(x ，y)(y≥0)为平面直角坐标系 xOy 内的一个动点(其中 O 为坐标原点)，点 P 到定点 M (0，1)的距离比点 P 到 x 轴的距离大1 2 2(1)求点 P 的轨迹方程；(2)若直线 l ：y ＝k x ＋1 与点 P 的轨迹相交于 A ，B 两点，且|A B |＝2 6，求实数 k 的值．。

抛物线的简单几何性质专题训练

抛物线的简单几何性质专题训练[A 基础达标]1．已知直线l 与抛物线x 2＝2py (p >0)只有一个交点，则直线l 与抛物线的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相切解析：选D.当直线l 与y 轴平行(重合)时，直线l 与抛物线x 2＝2py (p >0)有一个交点，此时直线l 与抛物线是相交的．当直线l 的斜率存在，直线l 与抛物线x 2＝2py (p >0)只有一个交点时，直线l 与抛物线相切．2．顶点在原点，对称轴是x 轴，并且顶点与焦点的距离等于4的抛物线的标准方程是( )A ．y 2＝±4xB ．x 2＝±16yC ．y 2＝±16xD ．y 2＝±8x解析：选C.依题意知抛物线方程为y 2＝±2px (p >0)的形式，又p 2＝4，所以p ＝8，2p ＝16，故方程为y 2＝±16x .3．若抛物线y 2＝2x 上有两点A ，B ，且AB 垂直于x 轴，若|AB |＝22，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A.12B.14C.16D.18解析：选A.线段AB 所在的直线的方程为x ＝1，抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，则焦点到直线AB 的距离为1－12＝12. 4．过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线，交抛物线于P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，若y 1＋y 2＝6，则|P 1P 2|＝( )A ．5B ．6C ．8D ．10解析：选C.抛物线x 2＝4y 的准线为y ＝－1，因为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点，所以P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点到准线的距离分别是y 1＋1，y 2＋1，所以由抛物线的定义，知|P 1P 2|＝|P 1F |＋|P 2F |＝y 1＋1＋y 2＋1＝y 1＋y 2＋2＝8.5．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2解析：选B.因为抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p 2，代入y 2＝2px 得y 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋p 2＝2py ＋p 2，即y 2－2py －p 2＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 22＝p ＝2(y 1，y 2分别为点A ，B 的纵坐标)，所以抛物线方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1.6．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝________．解析：因为y 2＝4x ，所以p ＝2，F (1，0)．又|AF |＝2，所以x A ＋p 2＝2，所以x A ＋1＝2，所以x A ＝1，即AB ⊥x 轴，F 为AB 的中点，所以|BF |＝|AF |＝2.答案：27．已知A (2，0)，B 为抛物线y 2＝x 上的一点，则|AB |的最小值为________．解析：设点B (x ，y )，则x ＝y 2≥0，所以|AB |＝（x －2）2＋y 2＝（x －2）2＋x ＝x 2－3x ＋4＝⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋74. 所以当x ＝32时，|AB |取得最小值，且|AB |min ＝72.答案：728．在抛物线y 2＝16x 内，过点(2，1)且被此点平分的弦AB 所在直线的方程是________．解析：显然斜率不存在时的直线不符合题意．设直线斜率为k ，则直线方程为y －1＝k (x －2)①，由⎩⎨⎧y －1＝k （x －2），y 2＝16x消去x 得ky 2－16y ＋16(1－2k )＝0，所以y 1＋y 2＝16k ＝2(y 1，y 2分别是A ，B 的纵坐标)，所以k ＝8.代入①得y ＝8x －15.答案：y ＝8x －159．抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，且与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6，求抛物线与双曲线的方程．解：由题意知，抛物线焦点在x 轴上，开口方向向右，可设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，将交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6代入得p ＝2，故抛物线方程为y 2＝4x ，因为双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，所以双曲线的焦点坐标为F 1(－1，0)和F 2(1，0)，即c ＝1.又点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6也在双曲线上，因此由定义可得2a ＝|AF 1|－|AF 2| ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12＋（6－0）2－ ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋（6－0）2＝72－52＝1，所以a ＝12，b ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32，因此，双曲线的方程为4x 2－4y 23＝1.10．斜率为k 的直线l 经过抛物线y ＝14x 2的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，若线段AB 的长为8.(1)求抛物线的焦点F 的坐标和准线方程；(2)求直线的斜率k .解：(1)化y ＝14x 2为标准方程x 2＝4y ，由此，可知抛物线的焦点F 的坐标为(0，1)，准线方程为y ＝－1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义知|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1，于是|AB |＝y 1＋y 2＋2，又|AB |＝8，所以y 1＋y 2＝6，由(1)得到抛物线的焦点为(0，1)，所以直线l 的方程为y ＝kx ＋1，所以kx 1＋1＋kx 2＋1＝6，k (x 1＋x 2)＝4，由直线l 的方程与抛物线方程联立得kx ＋1＝x 24，即x 2－4kx －4＝0，所以x 1＋x 2＝4k ，代入k (x 1＋x 2)＝4，得k 2＝1，k ＝±1.[B 能力提升]1．等腰Rt △AOB 内接于抛物线y 2＝2px (p ＞0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△AOB 的面积是( )A ．8p 2B ．4p 2C ．2p 2D ．p 2解析：选B.因为抛物线的对称轴为x 轴，内接△AOB 为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB 与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA 与x 轴的夹角为45°.由方程组⎩⎨⎧y ＝x ，y 2＝2px ，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎨⎧x ＝2p ，y ＝2p .所以A ，B 两点的坐标分别为(2p ，2p )和(2p ，－2p )．所以|AB |＝4p .所以S △AOB ＝12×4p ×2p ＝4p 2.2．在直角坐标系xOy 中任给一条直线，它与抛物线y 2＝2x 交于A 、B 两点，则OA→·OB →的取值范围为________．解析：设直线方程为x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2＝2x ，得y 2－2ty －2b ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2t ，y 1y 2＝－2b .所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2＝b 2－2b ＝(b －1)2－1，所以OA→·OB →的取值范围为[－1，＋∞)．答案：[－1，＋∞)3．设点P (x ，y )(y ≥0)为平面直角坐标系xOy 内的一个动点(其中O 为坐标原点)，点P 到定点M ⎝⎛⎭⎪⎫0，12的距离比点P 到x 轴的距离大12. (1)求点P 的轨迹方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋1与点P 的轨迹相交于A ，B 两点，且|AB |＝26，求实数k 的值．解：(1)过点P 作x 轴的垂线且垂足为点N ，则|PN |＝y ，由题意知|PM |－|PN |＝12，所以 x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝y ＋12，化简得x 2＝2y .故点P 的轨迹方程为x 2＝2y .(2)由题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋1x 2＝2y ，消去y 化简得x 2－2kx －2＝0，所以x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－2.因为|AB |＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋k 24k 2＋8＝26，所以k 4＋3k 2－4＝0，又k 2≥0，所以k 2＝1，所以k ＝±1.4．(选做题)已知A ，B 是抛物线y 2＝2px (p >0)上的两点，满足OA →·OB →＝0(O 是原点)．求证：(1)A ，B 两点的横坐标之积、纵坐标之积均为定值；(2)直线AB 过定点．证明：由题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，(1)因为OA →·OB →＝0，所以OA ⊥OB ，所以y 1x 1＝－x 2y 2，所以x 1x 2＝－y 1y 2 ①.因为⎩⎨⎧y 21＝2px 1②y 22＝2px 2 ③，所以(y 1y 2)2＝4p 2(x 1x 2) ④.由①④得y 1y 2＝－4p 2且x 1x 2＝4p 2，所以结论成立．(2)在(1)中②－③，得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝2p (x 1－x 2)，所以y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2，所以直线AB 的方程为y －y 1＝2p y 1＋y 2(x －x 1)，所以y ＝2p y 1＋y 2x ＋y 1－2px 1y 1＋y 2＝2p y 1＋y 2x ＋y 1y 2y 1＋y 2＝2px y 1＋y 2＋－4p 2y 1＋y 2＝2p y 1＋y 2(x －2p )．所以直线AB 过定点(2p ，0)．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

高二圆锥曲线方程同步练习6（抛物线的简单几何性质）
一、选择题
1．如果抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在直线3x-4y-12 =0 上，则抛物线的方程是（）
A ．x y 162-=
B ．x y 122=
C ．x y 162=
D ．x y 122-=
2．AB 是抛物线x y 182=的一条过焦点的弦，|AB|=20，AD 、BC 垂直于y 轴，D 、C 分别为垂足，则梯形ABCD 的中位线长是（）
A ．5
B ．
211 C ．2
9 D ．10 3．以116
252
2=+y x 的中心为顶点，以左准线为准线的抛物线与椭圆的右准线交于A 、B 两点，则|AB|的值为（）
A ．
5
18 B ．536 C ．380 D ．3100 4．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点（k ，-2）与F 点的距离为4，则k 等于（）
A ．4
B ．4或-4
C ．-2
D ．-2或2
5．过抛物线x y 42
=的焦点作直线交抛物线于),(11y x A 、),(22y x B 两点，如果621=+x x ，那么|AB|等于（）
A ．10
B ．8
C ．6
D ．4
6．p 是抛物线x y 22=上一点，p 到点)310,3(A 的距离为1d ，p 到直线21-=x 的距离为2d ，当21d d +取最小值时，点p 的坐标为（）
A ．（0，0）
B ．（2，2）
C ．)2,1(
D ．)1,2
1(
二、填空题
7．已知F 是抛物线x y 42
=的焦点，M 是这抛物线上的一个动点，P （3，1）是一个定点，则|MP|+|MF|的最小值是_________。