高三数学查缺补漏试题
高三数学查漏补缺小专题
高三数学查漏补缺小专题直线和圆1．设直线12=+my x 的倾斜角为α，若),2[)32,(+∞--∞∈Y m ，则角α的取值范围 是2．已知圆过抛物线261y x x =-+与坐标轴的交点，则该圆方程为3．若直线y x b =+与曲线x b 的取值范围为 ．4．已知,AC BD 为圆22:4O x y +=的两条互相垂直的弦，,AC BD 交于点(M ，且AC BD =，则四边形ABCD 的面积等于 ．5．若过点(,)A a a 可作圆2222230x y ax a a +-++-=的两条切线，则实数a 的取值范围是6．已知点)1,1(在圆03322=+-++k y x y x 外，则实数k 的取值范围是 。
7．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a>0)的公共弦长为23，则a ＝________.8．已知圆C 与直线0=-y x 与04=--y x 都相切，且圆心C 在直线0=+y x 上，则圆C 的方程为 。
9．如果圆2244100x y x y +---=上至少有三点到直线0ax by +=的距离为那么直线0ax by +=的斜率的取值范围为 .10．设a>0，b>0,4a ＋b ＝ab ，则在以(a ，b)为圆心，a ＋b 为半径的圆中，面积最小的圆的标准方程是____________________ .11．已知圆C 通过不同的三点P(m,0)Q(2,0)R(0,1)、、，且圆C 在点P 处的切线的斜率为1.（1）试求圆C 的方程； （2）若点A 、B 是圆C 上不同的两点，且满足CP CA CP CB ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，①试求直线AB 的斜率；②若原点O 在以AB 为直径的圆的内部，12．已知点A(-2,0)，B(2，0)，直线PA 与直线PB P 的轨迹为曲线C.(1)求曲线C 的方程. (2)设M ，N 是曲线C 与MN 总相切的圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由.。
北京市东城区届高三查缺补漏数学试题含答案
东城区查缺补漏题1．已知向量(3,4)=-a ，向量b 与a 方向相反，且,1λ==b a b ，则实数λ的值为 B A. 3-4B. 1-5C.15D.132．若双曲线12222=-b y a x 的离心率是椭圆171622=+y x 的二倍，则双曲线的渐近线方程为AA. y =B. 12y x =±C. y =D. y x =3．点(tan 2015,cos2016)P 位于的象限为 DA. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4．已知函数()sin()f x x ϖϕ=+ 是偶函数,其图象与直线1y = 的交点间的最小距离是π,则( ) A. 2,2πϖϕ==B. 2,ϖϕπ==C. 1,22πϖϕ== D. 1,24πϖϕ== 5．函数x x x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是BA ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,)eD ．(3,4)6．已知O 是ABC ∆内一点，020=++OC OB A ,则AOB ∆的面积与ABC ∆的面积之比为D A. 1：4B. 2：3C. 1：3D. 1：27．已知函数sin (0)y x ωω=>在一个周期内的图象如图所示，要得到函数1sin()212y x π=+的图象，则需将函数sin y x ω=的图象D(A)向右平移12π(B) 向左平移12π(C)向右平移6π(D) 向左平移6π8． 已知命题（其中l ，m 表示直线，γβα,,表示平面） (1)若βαβα⊥⊥⊥⊥则,,,m l m l ；(2)若βαβα⊥⊂⊂⊥则,,,m l m l ；(3)若βαγβγα⊥⊥则,//,； (4)若βαβα⊥⊂⊥则,,,//m l m lT DEAB P上述命题正确．．的序号是C A. （1）(2) (3) B. （2）(3)(4) C. （1）(3)(4) D. （1）(2) (4) 9．已知圆C 的圆心是直线,12.x t y t =⎧⎨=+⎩（t 为参数）与y 轴的交点，且圆C 与直线30x y +-=相切，则圆C 的方程为 22(1)2x y +-=10．如图，PT 是⊙O 的切线，切点为T ，直线PA 与⊙O 交于A B 、两点，TPA ∠的平分线分别交直线TA TB 、于D E 、两点，已知2,PT PB ==，则PA = ；TE AD = . 334；23.11．如图，矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，点E 、G 分别为BC 、DC 中点， 点F 为EC 中点，则矩形去掉阴影部分后，以BC 为轴旋转一周所得的几何体的体积是______解：ππππ329112342142232=⋅⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⋅⋅=V 12．设函数()()()2142 1.x a x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--⎪⎩‚‚‚≥①若1a =，则()f x 的最小值为；②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ．-1 ； 1[,1)[2,)2+∞13．一个大风车的半径为8米，按逆时针方向12分钟旋转一周，它的最低点离地面高2米，如图所示，设风车翼片的一个端点P 离地面的距离为h （m ），P 的初始位置在最低点．风车转动的时间为t （min ），当t=8（min ）时，h= (m) ; h 与t 的函数关系为 ．答案 14；=)(t h14．已知函数()sin cos f x x a x =+的图象的一条对称轴是53x π=， （Ⅰ）求出a 的值（Ⅱ）若()sin cos g x a x x =+，求出函数()g x 在区间ππ[,]63-上的最大值和最小值.解答：（Ⅰ）因为函数()sin cos f x x a x =+的图象的一条对称轴是53x π=所以()100()3f f π=.所以2a a =.所以a = （Ⅱ）()2cos )3g x x x x π=+=+， 因为,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+πππ,232x . )(x g 的最大值为332， )(x g 的最小值为0. 15． 如图所示的几何体ABCDE 中，⊥DA 平面EAB ，DA CB //，CB AB DA EA 2===，AB EA ⊥，M 是EC 的中点.（Ⅰ）求证:EB DM ⊥;（Ⅱ）求二面角A BD M --的余弦值.EDCBAM解: 分别以直线AD AB AE ,,为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -，设a CB =，则)2,0,0(),,2,0(),0,2,0(),0,0,2(),0,0,0(a D a a C a B a E A ， 所以)2,,(aa a M . (Ⅰ)证:),0,22(),23,-,(a a EB a a a DM -==002)(-2=+⋅+⋅=⋅a a a a EB DMEB DM ⊥∴,即EB DM ⊥.(Ⅱ)解:设平面MBD 的法向量为),,(z y x n =,),-22,0(a a DB = 由DB n ⊥,DM n ⊥得⎪⎩⎪⎨⎧=-+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅==⋅0z 23z 23-y x 0z 2-y 2y x zy a a a DM n a a DB n取2z =得平面MBD 的一非零法向量为)2,2,1(=n 又平面BDA 的法向量为)0,0,1(1=n31001221001,cos 2222221=++⋅++++>=<∴n n ，∴二面角A BD M --的余弦值为31.16. 某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ； （Ⅱ）求η的分布列及期望E η． 解：（Ⅰ）由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”． 知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”3()(10.4)0.216P A =-=，()1()10.2160.784P A P A =-=-=．………………6分（Ⅱ）η的可能取值为200元，250元，300元．(200)(1)0.4P P ηξ====，(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=，(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=． η的分布列为2000.42500.43000.2E η=⨯+⨯+⨯240=（元）．17．已知函数()2ln f x ax x =-.（Ⅰ）当1a =时，函数()y x f x =⋅有几个极值点？（Ⅱ）若()0f x ≤对于1(,e)ex ∈的解集非空，求实数a 的取值范围.解：（Ⅰ）当1a =时，设2()2ln F x x x x =-，则'()22ln 2=2[(1)ln ]F x x x x x =----（0x >）. 令()1ln h x x x =--，则11'()1x h x x x-=-=，所以当01x <<时，'()0h x <，()h x 在(0,1)上单调递减；当1x >时，'()0h x >，()h x 在(1,)+∞上单调递增； 所以当1x =时min ()(1)0h x h ==， 所以当0x >时'()0F x ≥恒成立，所以函数()y x f x =⋅在(0,)+∞上单调递增，无极值点. （Ⅱ）因为()0f x ≤，即2ln 0ax x -≤.问题等价于存在1(,e)ex ∈使2ln xa x≤成立. 令2ln ()x g x x =，则22(1ln )'()x g x x -=.因为1(,e)ex ∈，所以1ln 1x -<<，所以'()0g x >在1(,e)e 上恒成立，所以()g x 在1(,e)e 上单调递增，所以1()()(e)eg g x g <<，即22e ()e g x -<<，所以2ea <.18．已知椭圆D 与y 轴交于上A 、下B 两点，椭圆的两个焦点1(0,1)F 、2(0,1)F -，直线4y =是椭圆的一条准线．（Ⅰ）求椭圆D 的方程；（Ⅱ）设以原点为顶点，A 为焦点的抛物线为C ，若过点1F 的直线与C 相交于不同M 、N 的两点，求线段MN 的中点Q 的轨迹方程．略解：（Ⅰ）椭圆的方程22143y x +=； （Ⅱ）由218y kx x y =+⎧⎨=⎩得2880x kx --=，（这里∆≥0恒成立），由韦达定理，得128x x k +=，21212()282y y k x x k +=++=+，所以中点坐标为2(4,41)k k +， 设中点Q 为(,)x y ，令2441x k y k =⎧⎨=+⎩，消去参数k ，得到24(1)x y =-为所求轨迹方程． 19．设有穷数列012m ,,,,a a a a 的各项均为整数，若对每一个{1,2,3,,}k m ∈，均有21k k a a k --=，则称数列{}n a 为“m 阶优数列”。
北京市朝阳区高三数学查漏补缺题：数列补缺题doc高中数学
北京市朝阳区高三数学查漏补缺题：数列补缺题doc 高中数学一、选择题：1.如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，假设它停在奇数点上，那么下一次沿顺时针方向跳两个点；假设停在偶数点上，那么下一次沿逆时针方向跳一个点，假设青蛙从5这点开始跳，那么经2018次跳后它停在的点所对应的数为〔 〕A ．1B ．2C ．3D ．5解析：5—2—1—3—5，周期为4，2018=4×502+1，通过2018次跳后它停在的点所对应的数为2．答案:B ．2．等比数列()n a 中21a =，那么其前3项的和3S 的取值范畴是〔 〕 A ．(],1-∞- Ｂ．()(),01,-∞+∞ Ｃ．[)3,+∞ Ｄ．(][),13,-∞-+∞ 解析：设公比为q ，311S q q =++，由12q q +≥或12q q +≤-，因此取值范畴为(][),13,-∞-+∞． 3.〔丰台·理·题7〕设0,0,24a b a b ab >>++=，那么〔 〕A ．a b +有最大值8B ．a b +有最小值8C ．ab 有最大值8D ．ab 有最小值8【解析】 B ；∵24241a a b ab b a-++=⇒=+ ∴()2242425128111a a a b a a a a a-++=+==++-+++≥； 而()24252611611a ab a a a a -⎡⎤=⋅=-++⎢⎥++⎣⎦≤． 4.数列}{n a 满足：11=a ，且对任意的*,N n m ∈都有：mn a a a n m n m ++=+，那么=++++20083211...111a a a a ( ) A.20082007 B.10042007 C.20092008 D.20094016 答案：D解析：因为∵a n ＋m ＝a n ＋a m ＋m n ，那么可得a l ＝l ，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，…，那么可猜得数列的通项2)1(+=n n a n ，·∴)1(21+=n n a n ＝)111(2+-n n ， ∴20083211111a a a a ++++ ＝)20091200813121211(2-++-+-＝20094016)200911(2=-， 应选择D ．此题考查了求解数列的通项的方法和数列求和的方法．求解数列的通项除了依据数列的递推关系，恰当应用方法求解通项外，还能够通过有限项归纳出数列的项的共同特点，而猜出通项．二、填空题：1.〔宣武·文·题13〕设,x y ∈R ，且满足20x y -+=的最小值为 ；假设,x y 又满足4y x >-，那么y x的取值范畴是 ．(1,3)；1x y =-=-时取等号；画出204x y y x -+=⎧⎨>-⎩的可行域，为射线SP 〔如图〕，要求的确实是SP 上的点与原点连线的斜率，易算出(1,3)S ，斜率的范畴为(1,3)．2.〔宣武·理·题13〕假设,,A B C 为ABC △的三个内角，那么41A B C ++的最小值为 ． 解析：9π； πA B C ++=，且41()5459B C A A B C A B C A B C +⎛⎫+++=+⋅++= ⎪++⎝⎭≥， 因此419πA B C ++≥，当且仅当4B C A A B C+⋅=+，即2()A B C =+时等号成立． 3.数列}{n a 的前n 项和为n S ，对任意n ∈N *,都有3132-=n n a S ，且91<<k S (k ∈N *)，那么1a 的值为__________，k 的值为__________.答案：－１ 14解析：当n ＝1时，313211-=a a ，可知(a 1＝－l ，当n ≥ 2时， 3132313211+--=-=--n n n n n a a S S a ，可知21-=-n n a a ，即{a n }是等比数列，得 a n ＝－1(－2)n －1，得a 1＝－1，a 2＝2，a 3＝－4，a 4＝8，a 5＝－16，因为S 3＜0，S 4＝5，S 5＝－8，S 6＝20，因此当k ＝4时符合题意．此题要紧考查数列的通项公式的求解咨询题，明白a n 与S n 的关系式求数列的通项公式咨询题是一类热点咨询题，经常考查，在复习时要加强这类题的学习与总结．答案：D ．4.假设f (n )表示n 2+1(n ∈N *)的各位数字之和,如:62=36,36+1=37,3+7=10,那么f (6)=10,记f 1(n )=f (n ),f 2(n )=f (f 1(n )),…f k +1 (n )=f (f k (n ))(k ∈N *),那么f 2018 (8)=_________.答案：5解析：此题考查归纳猜想的能力及数列的周期性.82=64,64+1=65,6+5=11,∴f 1(8)=f (8)=11;112=121,121+1=122,1+2+2=5,∴f 2(8)=5;52=25,25+1=26,2+6=8,∴f 3(8)=8;82=64,64+1=65,6+5=11,∴f 4(8)=11.由此猜想f k (8)是一个周期为3的数列，因此f 2018 (8)=f 3×669+2 (8)=f 2(8)=5.5.设函数399)(+=x x x f ,运算和=+++)20092008()20092()20091(f f f __________. 答案：1004解析：由于1)39(393999399399399399)1()(11=+++=⋅+++=+++=-+--x x x x x x x x x x x f x f . 设)20092008()20092()20091(f f f S +++= , 又)20091()20092007()20092008(f f f S +++= , ∴12008)]20091()20092008([)]20092008()20091([2⨯=++++=f f f f S . ∴S =1004.6.点P (x ,y )的坐标满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+≤+-,01,2553,034x y x y x 设A (2,0),那么AOP ∠cos ||(O 为坐标原点)的最大值为___________.答案：5 解析：||||||||cos ||OA OP OA OP OA OP OA OP AOP OP ==∠⋅ ∵)0,2(=OA ,),(y x OP =, ∴x x AOP ==∠⋅22cos ||. 画出可行域，易知点A 的横坐标即为所求.三、解答题：1.〔2007年浙江文19) .数列{n a }中的相邻两项21k a -、2k a 是关于x 的方程2(32)320k k x k x k -++⋅= 的两个根，且21k a -≤2k a (k ＝1，2，3，…)．(I)求1357,,,a a a a 及2n a (n ≥4)(不必证明)；(Ⅱ)求数列{n a }的前2n 项和S 2n ．解析： (I)方程2(32)320k kx k x k -++⋅=的两个根为123, 2k x k x ==． 当k ＝1时，123,2x x ==，因此12a =；当k ＝2时，126,4x x ==，因此34a =；当k ＝3时，129,8x x ==，因此58a =；当k ＝4时，1212,16x x ==，因此712a =；因为n ≥4时，23n n >，因此22 (4)n n a n =≥〔Ⅱ〕22122(363)(222)n n n S a a a n =+++=+++++++ ＝2133222n n n +++-． 2. (本小题总分值12分)数列}{n a 满足：411=a ，432=a ，*)N ,2(211∈≥-=-+n n a a a n n n ，数列}{n b 满足01<b ，n b b n n =--13(n ≥2,n ∈N *)，数列}{n b 的前n 项和为n S .(Ⅰ)求证：数列}{n n a b -为等比数列；(Ⅱ)求证：数列}{n b 是单调递增数列；(Ⅲ)假设当且仅当3=n 时，n S 取得最小值，求1b 的取值范畴.解：(Ⅰ)2a n ＝ a n ＋1＋ a n －1(n ≥ 2，n ∈N *)∴{ a n }是等差数列． 又∵411=a ，432=a ∴41221)1(41-=⋅-+=n n a n (2分)∵3311n b b n n +=-(n ≥ 2，n ∈N *)， ∴121231412313111--=+-++=-++n b n n b a b n n n n )(31)412(31n n n a b n b -=--=．(5分) 又∵041111≠-=-b a b ∴{ b n －a n }是以411-b 为首项，以31为公比的等比数列．(6分) (Ⅱ)∵11)31()41(-⋅-=-n n n b a b ，412-=n a n ∴412)31()41(11-+⋅-=-n b b n n ． 当n ≥2时，211)31)(41(3221----=-n n n b b b 又b 1＜0，∴b n －b n －1＞0 ∴{ b n }是单调递增数列．(9分)(Ⅲ)∵当且仅当n ＝3时，S n 取最小值． ∴⎩⎨⎧0043＞＜b b 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-+0)31)(41(470)31)(41(453121＞＜b b ，∴b 1∈(－47，－11)(12分)3.(此题总分值共12分)各项均为正数的数列{}n a 满足12212+++=n n n n a a a a ,且42342+=+a a a ,其中*∈N n . (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设数列{}n b 的前n 项和为n T ,令2n n a b =,其中*∈N n ,试比较n n T T 4121++与1log 22log 2212-++n n b b 的大小,并加以证明.解:(Ⅰ)因为12212+++=n n n n a a a a ,即0)2)((11=-+++n n n n a a a a又0>n a ,因此有021=-+n n a a ,因此12+=n n a a因此数列{}n a 是公比为2的等比数列…………2分由42342+=+a a a 得4882111+=+a a a ,解得21=a故数列{}n a 的通项公式为n n a 2=)N (*∈n …………4分(Ⅱ) 因n n n n a b 4222===，因此4,411==+nn b b b 即数列{}n b 是首项为4,公比是4的等比数列 因此)14(34-=n n T …………6分 那么1431)14(48441211-+=-+=+++n n n n n T T 又147114641log 22log 2212-+=-+=-++n n n b b n n )14)(14()4713(41471431log 22log 241212121--⋅-+=---=-+-+-++n n n b b T T n n n n n n n 猜想：13471+>⋅-n n …………8分①当1=n 时，41137470=+⨯>=⋅,上面不等式明显成立；②假设当k n =时，不等式13471+>⋅-k k 成立…………9分当1+=k n 时， 1)1(343412)13(4474471++=+>+=+>⨯⨯=⨯-k k k k k k综上①②对任意的*∈N n 均有13471+>⋅-n n …………11分又410,410n n ->-> 01log 22log 24122121<-+-+∴++n n n n b b T T 因此对任意的*∈N n 均有1log 22log 24122121-+<+++n n n n b b T T …………12分 4.(本小题总分值14分)数列}{n a 的相邻两项n a ，1+n a 是关于x 的方程022=+-n n b x x (n ∈N *)的根，且11=a .(Ⅰ)求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；(Ⅱ)设n S 是数列}{n a 的前n 项和，咨询是否存在常数λ，使得0>-n n S b λ对任意n ∈N *都成立，假设存在，求出λ的取值范畴；假设不存在，请讲理理由.解：本小题要紧考查数列的通项公式、数列前n 项和、不等式等基础知识．考查化归与转化、分类与整合、专门与一样的数学思想方法．以及推理论证能力、运算求解能力和抽象概括能力．(Ⅰ)∵a n ，a n ＋l 是关于x 的方程x 2－2n x ＋b n ＝0(n ∈N *)的两根，∴⎩⎨⎧==+++112n n n nn n a a b a a ，(2分)求数列{ a n }的通项公式．给出如下四种解法：解法1：由a n ＋a n ＋l ＝2n ．得)231(23111n n n n a a ⨯--=⨯-++， 故数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯-n n a 231是首项为31321=-a ，公比为－1的等比数列． ∴1)1(31231--⨯=⨯-n n n a ，即])1(2[31n n n a --=．(4分) 解法2：由a n ＋a n ＋l ＝2n ，两边同除以(－1)n +1， 得n n n n n a a )2()1()1(11--=---++． 令n n n a c )1(-=，那么c n ＋1－c n ＝－(－2)n ． 故c n ＝ c 1＋(c 2－ c 1)＋(c 3－c 2)＋…＋(c n －c n －1)＝－1－(－2)－(－2)2－(－2)3－…－(－2)n －1)2(1])2(1[)2(11----⋅---=-n ]1)2[(31--=n (n ≥ 2)． 且1111-=-=a c 也适合上式． ∴]1)2[(31--=n n c (n ∈N *)． ∴]1)2[(31)1(--=-n n n a ，即])1(2[31n n n a --=．(4分) 解法3：由a n ＋a n +l ＝2n ，得a n +1＋a n +2＝2n +1，两式相减得a n +2－a n ＝2n +1－2n ＝2n ．当n 为正奇敬时．a n ＝a 1＋(a 3－a 1)＋(a 5－a 3)＋…＋(a n －a n －2)＝1＋2＋23＋25＋…＋2n －241)41(2122--+=-n312+=n (n ≥ 3)． 且a 1＝1也适合上式．当n 为正偶数时，a n ＝a 2＋(a 4－ a 2)＋(a 6－ a 4)＋…＋(a n － a n －2) ＝1＋22＋24＋26＋…＋2n －241)41(4122--+=-n312-=n (n ≥ 4)． 且a 2＝21－a 1＝1也适合上式．∴当n ∈N *时，])1(2[31n n n a --=(4分) 解法4：由a n ＋a n +l ＝2n ，a 1＝1． 得)12(31)2(1)2(112222-=---+-=-=a ， )12(31)2(1)2(11222332223+=----=+-=-=a a ． 猜想])1(2[31n n n a --=， 下面用数学归纳法证明猜想正确．①当n ＝1时，易知猜想成立；②假设当n ＝k (k ＝N *)时，猜想成立， 即])1(2[31k k k a --=．由a k ＋a k ＋l ＝2k ． 得])1(2[31])1(2[3122111+++--=---=-=k k k k k k k k a a ， 故当n ＝k ＋1时，猜想也成立．由①②得，对任意n ∈N *，])1(2[31n n n a --=．(4分) ∴])1(2[])1(2[91111+++--⨯--==n n n n n n n a a b]1)2(2[9112---=+n n ．(6分) (Ⅱ)S n ＝a 1＋ a 2＋ a 3＋…＋a n{}])1()1()1[()2222(31232n n -++-+--++++= ]21)1(22[311----=+n n ．(8分)要使b n －λ S n ＞0对任意n ∈N *都成立， 即0]21)1(22[3]1)2(2[91112＞--------++n n n n λ(*)对任意n ∈N *都成立． ①当n 为正奇数时，由(*)式得0)12(3]122[91112＞---+++n n n λ， 即0)12(3)12)(12(91112＞--+-++n n n λ，∵2n ＋1－1＞0， ∴)12(31+n＜λ对任意正奇数n 都成立．当且仅当n ＝1时，)12(31+n有最小值1．∴λ＜1．(10分)②当n 为正偶数时，由(*)式得()0)22(312291112＞----++n n n λ， 即0)12(32)12)(12(9112＞---++n n n λ，∵2n －1＞0， ∴)12(611++n ＜λ对任意正偶数n 都成立．当且仅当n ＝2时，)12(611++n 有最小值23． ∴23＜λ．(12分)综上所述，存在常数λ，使得b n －λ S n ＞0对任意n ∈N *都成立，λ的取值范畴是(－∞，1)．(14分) 5. (本小题总分值14分)数列}{n a 满足：121221,21,1++++===n n n n a a a a a a 且(n ∈N *)(Ⅰ)求证：数列}{1+n na a 为等差数列；(Ⅱ)求数列}{n a 的能项公式；(Ⅲ)求下表中前n 行所有数的和n S .211a a a321a a a 312a a a……11+n n a a a 112+-n n a a a (1)1+n n a a a ……解：(Ⅰ)由条件a 1＝1，212=a ，1212++++=n n n n a a a a ， 得1112+++++=n n n n n a a a a a ⇒1121=-+++n n n n a a a a (2分) ∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+1n n a a 为等差数列．(3分) (Ⅱ)由(Ⅰ)得11)1(211+=⋅-+=+n n a a a a n n (4分) ∴nn n a a a a a a a a 132211-⋅⋅⋅= ＝2×3×…×n ＝n ！(7分) ∴!1n a n =(8分) (Ⅲ)∵kn n k n k k n k n a a a 111C )!1(!)!1(+++-=+-+=(k ＝1，2，…，n )(10分) ∴第n 行各数之和22C C C 1121111111211-=+++=+++++++++-+n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a (n ＝1，2，…)(12分) ∴表中前n 行所有数的和S n ＝(22－2)＋(23－2)＋…＋(2n ＋1－2)＝(22＋23＋…＋2n ＋1)－2nn n 212)12(22---= ＝2n ＋2－2n －4．(14分)6.(本小题总分值15分)数列{a n }满足 a 1=1,a 2=2,)3,2,1(|2sin ||)2sin|2(2 =+-=+n n a n a n n ππ. (1)求a 3,a 4,a 5,a 6;(2)设n n n a a b 212-=,S n =b 1+b 2+…+b n ,求S n ;(3)在(2)的条件下,证明当n ≥6时,n S n 1|2|<-. (1)解：因为a 1=1,a 2=2,因此21|2sin ||)2sin |2(113=+=++-=a a a ππ,a 4=(2－|sin π|)a 2+|sin π|=2a 2=4,同理a 5=3,a 6=8.(4分)(2)解:因为1|2)12(sin ||]2)12(sin |2[121212+=-+--=--+n n n a n a n a ππ, 即a 2n +1－a 2n -1=1.因此数列{a 2n -1}是首项为1,公差为1的等差数列,因此a 2n -1=n . 又因为n a n n n a n a 22222|2)2(sin ||]2)2(sin |2[=+-=+ππ, 因此数列{a 2n }是首项为2,公比为2的等比数列,因此a 2n =2n .因此,n n n n n a a b 2212==-.(7分) n n n S 223222132++++= ,① 1432222222121+++++=n n n S .② 由①-②,得1113222112211])21(1[2122121212121+++--=---=-++++=n n n n n n n n n n S . 因此n n n n n n S 22222121+-=--=-.(10分) (3)证明:要证明当n ≥6时,n S n 1|2|<-成立,只需证明当n ≥6时,12)2(<+nn n 成立.(11分) 证法一:①当n =6时,14364482)26(66<==+⨯成立. ②假设当n =k (k ≥6)时不等式成立,即12)2(<+k k k . 那么当n =k +1时, 12)2()3)(1()2(2)3)(1(2)2(2)3)(1(1<⋅+++<+++⨯+=+++k k k k k k k k k k k k k k . 由①②所述,当n ≥6时,12)2(<+n n n ,即当n ≥6时,nS n 1|2|<-.(15分) 证法二:令n n n n c 2)2(+=(n ≥6),那么0232)2(2)2)(1(1211<-=+-++=-+++n n n n n n n n n n c c . 因此当n ≥6时,c n +1＜c n .因此当n ≥6时,14364866<=⨯=≤c c n .因此当n ≥6时,12)2(<+nn n . 综上所述,当n ≥6时,n S n 1|2|<-.。
2024学年济宁市重点中学高三数学试题查缺补漏试题
2024学年济宁市重点中学高三数学试题查缺补漏试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在ABC ∆中，,2,BD DC AP PD BP AB AC λμ===+，则λμ+= （ ）A ．13- B ．13 C ．12- D ．122．复数()(1)2z i i =++的共轭复数为（ ）A ．33i -B ．33i +C ．13i +D ．13i - 3．若a R ∈，则“3a =”是“()51x ax +的展开式中3x 项的系数为90”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．已知函数()cos sin 2f x x x =，下列结论不正确的是（ ）A ．()y f x =的图像关于点(),0π中心对称B ．()y f x =既是奇函数，又是周期函数C ．()y f x =的图像关于直线2x π=对称 D ．()y f x =5．设过抛物线()220y px p =>上任意一点P (异于原点O )的直线与抛物线()280y px p =>交于,A B 两点，直线OP 与抛物线()280y px p =>的另一个交点为Q ，则ABQ ABO SS =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l 丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为（ ）A ．10000立方尺B ．11000立方尺C ．12000立方尺D ．13000立方尺7．已知三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，，,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为( ) A 317 B ．210C ．132 D ．3108．已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f =，()2log 5b f =，(2)c f m =+则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<9．设i 是虚数单位，若复数1z i =+，则22||z z z+=（ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i -- D ．1i -+10．已知集合{}A m =，{}1,B m =，若A B A ⋃=，则m =（ ）A ．03B ．0或3C ．13D ．1或3 11．已知命题2:21,:560p x m q x x -<++<，且p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为（ ）A ．12m >B ．12m ≥ C ．1m D ．m 1≥ 12．已知函数()2121f x ax x ax =+++-（a R ∈）的最小值为0，则a =（ ）A ．12B ．1-C ．±1D ．12± 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三数学查漏补缺题及参考答案
高三数学查漏补缺题2018.5【集合与简易逻辑】1．已知集合{}lg(1)0M x x =∈-Z ≤，{}2N x x =∈<Z ，则MN =( )A ．∅B ．(1,2)C ．(2,2]-D ．{}1,0,1,2-2. 给出下列命题：①若命题p ：x R ∃∈，使得210,x x +-<则:,p x R ⌝∀∈均有210;x x +-≥②命题“若2320x x -+=，则2x =”的否命题为“若2320,2x x x -+=≠则”； ③若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，则命题,p q 一真一假， 其中正确命题的序号是（ ）A. ①②B.②③C.①③D. ①②③3. 下列条件中是“22530x x --<”的必要不充分条件的是（ ）A. 132x -<< B. 142x -<< C. 132x -<<D. 102x -<< 1. 答案：D 2.答案：C 3.答案：B 【复数】1. 如果复数 222(32)z a a a a i =+-+-+为纯虚数，那么实数 的值为A.B.C.D. 或2．在复平面内，复数132+对应的点为Z ，将点Z 绕原点逆时针旋转90︒后得到点Z '，则Z '对应的复数是A ．132-B ．132C ．31i 2+D 31i 2-3. 设a b ∈R ，，11712ia bi i-+=-（i 为虚数单位），则a b +的值为_______．1. 答案：C2.答案： C3.答案：8 【极坐标系与参数方程（理科）】1．已知直线(t 为参数)与曲线交于P,Q 两点，则=( ) A ．1B ．C ．2D ．2. 在以O 为极点的极坐标系中，圆4sin 和直线sin a 相交于,A B 两点.若AOB 是等边三角形，则a 的值为___________.1.答案：C2.答案：3【不等式与线性规划】1. 已知(0,1)m ∈，令log 2m a =，2b m =，2m c =，那么,,a b c 之间的大小关系为（ ）A ．b c a <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．c a b <<2. 设R m ∈且0m ≠，“不等式4+4m m>”成立的一个必要不充分条件是（ ） A ．2m ≠ B ．0m >且2m ≠ C ．2m >D ．2m ≥3. 若441xy+=，则x y +的取值范围是________.4. 设D 为不等式组0,0,+33x y x y x y ≥-≤≤+⎧⎪⎨⎪⎩表示的平面区域，对于区域D 内除原点外的任一点(,)A x y ，则：(1)z=2x －y 的最小值为_______；22x y+的取值范围是 ．1.答案：C2.答案：A3.答案：(,1]-∞-4.答案：(1)92-；(2)[2,0].【数列】1. 设{}n a 是等差数列，下列结论中正确的是（ ）.A.若120a a +>，则230a a +>B.若130a a +<，则120a a +<C.若120a a <<，则213a a a >D.若10a <，则()()21230a a a a -->2. 若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时，{}n a 的前n 项和最大.3. 已知数列{}n a 的前n 项和13n n S a =+，则数列的通项公式为_______.4. 已知数列{}n a ,22a =,*13,n n a a n n N ++=∈,则135a a a ++=_______.5. 已知数列{}n a 满足：点(),n n a 在直线210x y -+=上，若使1a 、4a 、m a 构成等比数列，则m =_______.1.答案：C2.答案：83.答案：132n n n a -=- 4.答案：12 5.答案：13【平面向量】1．设向量a,b 不平行，向量+λa b 与+2a b 平行，则实数λ= ． 2. 设π02θ<<，向量()()sin 2,cos ,cos ,1θθθ==a b ，若//a b ，则=θtan _______. 3. 设向量()3,3=a ，()1,1=-b ，若()()λλ+⊥-a b a b ，则实数λ=________.4. 如下图所示，已知平面四边形ABCD ，AB BC ⊥，2AB BC AD ===，3CD =，AC 与BD 交于点O ，记1·I OAOB =，2·I OB OC =，3·I OC OD =，则（ ） A ．123I I I <<B ．132I I I <<C ．312I I I <<D ．213I I I <<15414Oyx1.答案：12； 2.答案：123.答案：±34.答案：C【程序框图】1. 如图所示的程序框图是为了求出满足3n −2n >1000的最小偶数n ，那么在和白框中，可以分别填入（ ） A ．A > 1 000和n =n +1 B ．A > 1 000和n =n +2 C ．A ≤1 000和n =n +1 D ．A ≤1 000和n =n +2 答案：D 【三角函数】1．已知角α的终边经过点(),3P m -，且4cos 5α=-，则m 等于__________． 2. 函数()()cos f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）.A ．13,44k k ⎛⎫π-π+ ⎪⎝⎭，k ∈ZB ．132,244k k ⎛⎫π-π+ ⎪⎝⎭，k ∈ZC ．13,44k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z D ．132,244k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z1.答案：4-2.答案：D3. 已知函数.()cos22sin 2sin 4xf x x x π=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及其单调增区间;（Ⅱ）当2,23x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,对任意,t ∈R 不等式()22mt mt f x -+≥恒成立,求实数m 的取值范围.解答：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{|,}4x x k k ππ≠-+∈Z ，因为()22sin c cos2cos sin 2sin 2sin o 4s x x xf x x x x x x π-=+=+⎛⎫+ ⎪⎝+⎭sin cos 4x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭所以，最小正周期222,1T πππω=== 因为sin y x =的单调递增区间为2[2,2]()2k k k ππππ-++∈Z ，令22242k x k πππππ-+≤+≤+，得32244k x k ππππ-+≤≤+． 又因为()f x 的定义域为{|,}4x x k k ππ≠-+∈Z ，所以()f x 的递增区间为()32,2,2,2.4444k k k k k ππππππππ⎡⎫⎛⎤-+-+-++∈⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦Z（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在区间2,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以，当2x π=时，max ()()12f x f π==，所以，221mt mt -+≥恒成立，即210mt mt -+≥恒成立． ①当m =0时，上式变为1≥0，恒成立； ②当0m ≠时，若上式对于t ∈R 恒成立，只需m ＞0且240m m ∆=-≤成立，解得04m <≤．综上, m 的取值范围是0 4.m ≤≤【解三角形】1. 在ABC △中,内角,,A B C 所对的边长分别是,,a b c ，已知2=c ，3π=C ．（Ⅰ）若ABC △的面积3=S ,则a =_______,b =_______；（Ⅱ）若ABC △有且仅有一解，则a 的取值范围是_______．答案：（Ⅰ）2，2；（Ⅱ）43(0,2]{}32. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD = m.答案：63. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin cos cos a B b C c B -=．（Ⅰ）判断△ABC 的形状； （Ⅱ）若121()cos 2cos 232f x x x =-+，求()f A 的取值范围． 解答：（Ⅰ）法一：因为 sin cos cos a B b C c B -=，由正弦定理可得 sin sin sin cos sin cos A B B C C B -=． 即sin sin sin cos cos sin A B C B C B =+，所以sin()sin sin C B A B +=．因为在△ABC 中，A B C ++=π，所以sin sin sin A A B = 又sin 0A ≠， 所以sin 1B =，2B π=． 所以 △ABC 为2B π=的直角三角形． 法二： 因为 sin cos cos a B b C c B -=，由余弦定理可得 222222sin 22a b c a c b a B b c ab ac+-+-=⋅+⋅，即sin a B a =．因为0a ≠， 所以sin 1B =．所以在△ABC 中，2B π=． 所以 △ABC 为2B π=的直角三角形． （Ⅱ）因为121()cos 2cos 232f x x x =-+22cos cos 3x x =- =211(cos )39x --． 所以 211()(cos )39f A A =--． 因为△ABC 是2B π=的直角三角形，所以 02A π<<，且0cos 1A <<， 所以 当1cos 3A =时，()f A 有最小值是19-． 所以()f A 的取值范围是11[,)93-．【排列组合与二项式定理】1. 将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是_______.（用数字作答）*2. 某学校高三年级有两个文科班，四个理科班，现每个班指定1人，对各班的卫生进行检查．若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是（ ） A ．48B ．72C ．84D ．1683. 已知5(1)ax +的展开式中3x 的系数是10，则实数a 的值是_______.4.若1)n x的二项展开式中各项的二项式系数之和是64，则n =_______，展开式中的常数项为_______．（用数字作答）1.答案：962.答案：D3.答案：14.答案：6，15 【概率统计】1. 某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为______的学生．答案：37（注：仅以此例补漏抽样方法，分层抽样不再补例．）2. 了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为1s ，2s ，3s ，则它们的大小关系为 . （用“>”连接）答案：1s ＞2s ＞3s3．某公司为了解用户对其产品的满意度，从,A B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82元乙元丙甲元93 48 65 81 74 56 54 76 65 79（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率.解答：（Ⅰ）由题意知，两地区用户满意度评分的茎叶图如下.通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散.（Ⅱ）记1A C 为事件：“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意”，记2A C 为事件：“A 地区用户的满意度等级为非常满意”，记1B C 为事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意”. 记2B C 为事件：“B 地区用户的满意度等级为满意”.则1A C 与1B C 相互独立，2A C 与2B C 相互独立，1B C 与2B C 互斥，于是：1122B A B A C C C C C =．所以1122()()B A B A P C P C C C C ==1122()()B A B A PC C P C C +1122()()()()B A B A P C P C P C P C =+．由题知，1A C ，2A C ，1B C ，2B C 发生的频率分别为1620，420，1020，820． 故1()A P C 16=20，2()=A P C 420，1()=B P C 1020，2()B P C 8=20， 故101684()=+0.4820202020P C ⨯⨯=．即C 的概率为0.48. A 地区 B 地区45 6 7 8 96 8 1 3 6 4 32 4 5 5 6 4 23 34 6 9 6 8 8 6 4 3 3 2 1 9 2 8 65 11 37 5 5 2【立体几何】1. 已知a ，b 是两条不同直线，α，β 是两个不同平面，则A. a ∥α，a ⊥b ，则b ⊥αB. a ⊥α，a ⊥b ，则b ∥αC. a ⊂α，b ⊂α，a ∥β，b ∥β，则α∥βD. a∩b=A ，a ∥α，b ∥α，a ∥β，b ∥β，则α∥β 答案：D2. 如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中E 为棱1BB 的中点，用过点1,,A E C 的平面截该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为（ ）答案：A3. 如图，在Rt △ABC 中，AB =BC =3，点E 、F 分别在线段AB 、AC 上，且EF //BC ，将△AEF 沿EF 折起到△PEF 的位置，使得二面角P -EF -B 的大小为60°.（Ⅰ）设平面PEB ∩平面PFC =直线m ，判断直线m 是否与直线CF 平行，并说明理由． （Ⅱ）若点E 为线段AB 的靠近B 点的三等分点，（ⅰ）求证：PB ⊥CF ；（ⅱ）求PC 与平面PEF 所成角θ的正弦值.解答：（Ⅰ）不平行．若不然，由m //CF ，m ⊂平面PEB ，CF ⊄平面PEB ，可知：CF //平面PEB . 又CF ⊂平面CFEB ，平面CFEB ∩平面PEB =BE ，所以，CF //BE . 与题设CF ∩BE =A 矛盾．（Ⅱ）（ⅰ）证明：在Rt △ABC 中， 3==BC AB ，AB BC ⊥∴．//EF BC ，AB EF ⊥∴．翻折后垂直关系没变，仍有EF PE ⊥,BE EF ⊥． 又PEBE E =，PBE EF 平面⊥∴．∵EF ⊂平面BCFE ，∴平面BCFE ⊥平面PBE ．AE EF ⊥,BE EF ⊥PEB ∠∴二面角P EF B --的平面角， 60=∠∴PEB ，又1,2==BE PE ,由余弦定理得3=PB , 222PE EB PB =+∴,EB PB ⊥∴．又∵平面BCFE ⊥平面PBE ，平面BCFE ∩平面PBE =BE ， ∴PB ⊥平面BCFE ．∵CF ⊂平面BCFE ，∴PB ⊥CF ． （ⅱ）由（ⅰ）知，PB ，BC ，BE 两两垂直．以点B 为原点，分别以BC 、BE 、BP 所在的直线为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系B -xyz ，如图．则),3,0,0(P ),0,0,3(C (0,1,0),E ),0,1,2(F(0,1,3),(2,1,3)PE PF =-=-.设平面PEF 的法向量(,,),x y z =n由0PE PF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 可得(0,3,1),=n ),3,0,3(-=PC设PC 与平面PEF 所成的角为θ，则sin cos ,PC PC PCθ⋅===⋅n n n 41，即PC 与平面PEF 所成的角的正弦值为41．【函数与导数】1. 设函数⎩⎨⎧>-≤=-1,log 11,2)(21x x x x f x ，则满足2)(≤x f 的x 的取值范围是A ．1[-，2]B ．[0，2]C ．[1，+∞）D ．[0，+∞）答案：D2. 已知函数2()24f x ax ax =++()03a <<，若12x x <，且121x x a +=-，试比较1()f x 与2()f x 的大小关系. 答案：1()f x <2()f x3. 已知函数()f x =Acos(x ωϕ+)的图象如图所示，2()23f π=-，则()6f π=（ ） A. 23- B. 23 C. －12 D. 12答案：B*4. 已知函数()37sin f x x x x =--+，若()()220f af a +->，则实数a 的取值范围是（ ） A. (),1-∞ B. (),3-∞ C. ()1,2- D. ()2,1- 答案：D*5. 已知函数()2ln xf x e x x =++与函数()22xg x ex ax -=+-的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围为（ ）A. (],e -∞-B. 1,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. (],1-∞-D. 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦答案：C*6. 给出下列四个函数：①sin y x x =⋅；②cos y x x =⋅；③cos y x x =⋅；④2xy x =⋅. 这四个函数的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照从左到右的顺序将图象对应的函数序号安排正确的一组是( )A. ①④②③B. ①④③②C. ④①②③D. ③④②①答案：A*7．设函数(),a f x x x=-①若()f x 在区间[)1,+∞上不单调,实数a 的取值范围是______；②若1,a =且()()0f mx mf x +<对任意[)1,x ∈+∞恒成立，则实数m 的取值范围_______.答案：(,1)-∞-；(,1)-∞-8. 已知函数()(1)xf x x a e =--：（Ⅰ）若函数的最小值为-1，求实数a 的值；（Ⅱ）若12x x >，且有12+2x x a =，求证：12()()f x f x >.解答：（Ⅰ）定义域为 R ，因为'()()xf x x a e =-，令()0='x f ，得a x =当x 变化时，()x f '，()x f 变化如下表：所以a x =是函数()x f 极小值点，也是最小值点， 所以()1-=-=ae af ，解得0=a ；（Ⅱ）由题可知a x >1，并且有122x a x -=，1121211()()(1)(1)x a x f x f x x a e a x e --=-----，记2()(1)(1)x a xg x x a e a x e -=-----a x >， 2'()()()x a xg x x a e e -=--，当a x >时，2xa xe e->，即()0>'x g ，所以()x g 在区间()∞+，a 上单调递增，()()0=>a g x g 所以有()()21x f x f >，结论成立.9. 已知函数()e ()xf x x x -=∈R ．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）已知函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，证明当1x >时，()()f x g x >；（Ⅲ）如果12x x ≠，且12()()f x f x =，证明122x x +>．解答：（Ⅰ）f '()(1)xx x e -=- 令()0f x '=，解得1x =当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以()f x 在（1-∞，）内是增函数，在（1+∞，）内是减函数．函数()f x 在1x =处取得极大值(1)f ，且(1)f =1e． （Ⅱ）由题意可知()(2)g x f x =-，得2()(2)ex g x x -=-．令()F x =()f x ()g x -，即2()e(2)e xx F x x x --=+-．于是22'()(1)(e 1)e x x F x x --=--．当1x >时，220x ->，从而22e 10x -->，又e 0x ->，所以()0F x '>，从而函数()F x 在[1，+∞）上是增函数．又(1)F =11e e 0---=，所以1x >时，有()f x >(1)F =0，即()f x >()g x ．（Ⅲ）（1）若12(1)(1)0x x --=，由（Ⅰ）及12()()f x f x =，得121x x ==，与12x x ≠矛盾．（2）若12(1)(1)0x x -->，由（Ⅰ）及1212()()f x f x x x ==得，，与12x x ≠矛盾．根据（1）（2）得1212(1)(1)01 1.x x x x --<<>不妨设，，由（Ⅱ）可知，2()f x >2()g x ，2()g x =2(2)f x -，所以2()f x >2(2)f x -，从而1()f x >2(2)f x -．因为21x >，所以221x -<， 又由（Ⅰ）可知函数()f x 在区间（1-∞，）内是增函数，所以1x >22x -，即12x x +>2．10. 已知函数2()()e x f x x a =-，a ∈R ． （Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若在区间1,2上存在不相等的实数,m n ,使()()f m f n 成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，求证：212()()4e f x f x -<.解答：（Ⅰ）当0a =时，2()e x f x x =，2()e (2)x f x x x '=+． 由2e (2)0xx x +=，解得0x =，2x =-. 当(,2)x ∈-∞-时，f '(x )＞0，f (x )单调递增； 当(2,0)x ∈-时，f '(x )＜0，f (x )单调递减；当(0,)x ∈+∞时，f '(x )＞0，f (x )单调递增．所以函数()f x 的单调增区间为(,2)-∞-，(0,)+∞，单调减区间为(2,0)-．（Ⅱ）依题意即求使函数2()e ()x f x x a =-在1,2上不为单调函数的a 的取值范围.2()e (2)x f x x x a '=+-.设2()2g x x x a =+-，则(1)3g a ，(2)8g a .因为函数()g x 在1,2上为增函数，当(1)30(2)80g a g a，即当38a 时，函数()g x 在1,2上有且只有一个零点，设为0x . 当0(1,)x x 时，()0g x <，即()0f x ，()f x 为减函数；当0(,2)xx 时，()0g x >，即()0f x ，()f x 为增函数，满足在1,2上不为单调函数. 当3a时，(1)0g ，(2)0g ，所以在1,2上()g x 0成立（因()g x 在1,2上为增函数），所以在1,2上()0f x '>成立，即()f x 在1,2上为增函数，不合题意. 同理8a 时，可判断()f x 在1,2上为减函数，不合题意.综上38a .(Ⅲ) 2()e (2)x f x x x a '=+-．因为函数()f x 有两个不同的极值点，即()f x 有两个不同的零点，即方程220x x a的判别式440a ∆=+>，解得1a >-.由220x x a +-=，解得1211x x =-=-．此时122x x +=-，12x x a =-.随着x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：所以1是函数的极大值点，2是函数的极小值点.所以1()f x 为极大值，2()f x 为极小值．所以12221212()()e ()e ()xxf x f x x a x a =-⨯-12222221212=e[()]x x x x a x x a +-++{}1222222222121212=e [()2]=e [(42]=4e .x x x x a x x x x a a a a a a +---+-+-++-）因为1a >-，所以224e 4e a ---<．所以212()()4e f x f x -<．【解析几何】1. 直线023cos =++y x α的倾斜角的取值范围是 .答案:50,,66πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭2. 已知直线062=++y a x 与直线023)2(=++-a ay x a 平行，则a 的值为（ ） A.0或3或1- B.0或3 C.3或1-D.0或1-答案：D3. 已知直线420mx y +-=与250x y n -+=互相垂直，垂足为()1,P p ，则m n p -+的值是（ ）A ．24B ．20C ．0D ．－4答案：B4.已知点()0,2A ,()2,0B . 若点C 在函数2y x =的图象上，则使得ABC △的面积为2的点C 的个数为 答案；45. 在平面直角坐标系xOy 中，点()03A ,，直线24l y x =-：.设圆C 的半径为1，圆心在l 上.若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.答案；12[0,]56. 已知抛物线C : 24 y x =焦点为F ，点P 在C 上的动点，(1,0)A -，则minPF PA ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭ 答案：2*7. 若圆2244100x yx y +---=上至少有三个不同点到直线l :0ax by +=的距离为则直线l 的倾斜角的取值范围是 ( )A .[,124ππ] B .[5,1212ππ] C .[,]63ππD .[0,]2π答案：B*8. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心、1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是_______. 答案：439. 已知椭圆W ：22221x y a b+=(0)a b >>的上下顶点分别为,A B ，且点B (0,1)-．12,F F 分别为椭圆W 的左、右焦点，且12120F BF ∠=．（Ⅰ）求椭圆W 的标准方程；（Ⅱ）点M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，过点M 作MN y ⊥轴于N ，E 为线段MN 的中点．直线AE 与直线1y =-交于点C ，G 为线段BC 的中点，O 为坐标原点．求 OEG ∠的大小．解答：(Ⅰ)依题意，得1b =．又12120F BF ∠=︒，在1Rt BFO ∆中，160F BO ∠=︒，所以2a =． 所以椭圆W 的标准方程为2214x y +=． (Ⅱ)设M 00(,)x y ，00x ≠，则N 0(0,)y ，E 00(,)2x y ． 因为点M 在椭圆W 上，所以220014x y +=．即220044x y =-． 又A (0,1)，所以直线AE 的方程为002(1)1y y x x --=． 令1y =-，得C 0(,1)1x y --．又B (0,1)-，G 为线段BC 的中点， 所以G 00(,1)2(1)x y --．所以00(,)2xOE y =，0000(,1)22(1)x x GE y y =-+-．因为000000()(1)222(1)x x x OE GE y y y ⋅=-++- 2220000044(1)x x y y y =-++-20004414(1)y y y -=-+-0011y y =--+0=所以OE GE ⊥．90OEG ∠=︒．10. 在平面直角坐标系O x y 中，点000(,)(0)P x y y ≠在椭圆:C 2212x y +=上，过点P 的直线l 的方程为0012x xy y +=． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）若直线l 与x 轴、y 轴分别相交于,A B 两点，试求OAB ∆面积的最小值；（Ⅲ）设椭圆C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，点Q 与点1F 关于直线l 对称，求证：点2,,Q P F 三点共线．解答：（Ⅰ）依题意可知a =1c ==， 所以椭圆C离心率为2e ==． （Ⅱ）因为直线l 与x 轴，y 轴分别相交于,A B 两点，所以000,0x y ≠≠．令0y =，由0012x xy y +=得02x x =，则02(,0)A x ．令0x =，由0012x xy y +=得01y y =，则01(0,)B y ． 所以OAB ∆的面积0000112122OAB S OA OB x y x y ∆===． 因为点00(,)P x y 在椭圆:C 2212x y +=上，所以220012x y +=．所以220012x y =+≥．即002x y ≤，则001x y ≥所以00112OAB S OA OB x y ∆==≥ 当且仅当22002x y =，即001,2x y =±=±时，OAB ∆．（Ⅲ）①当00x =时，(0,1)P ±．当直线:1l y =时，易得(1,2)Q -，此时21F P k =-，21F Q k =-．因为22F Q F P k k =，所以三点2,,Q P F 共线． 同理，当直线:1l y =-时，三点2,,Q P F 共线．②当00x ≠时，设点(,)Q m n ，因为点Q 与点1F 关于直线l 对称，所以000011,22202() 1.1212x m n y n x m y -⎧⋅+⋅=⎪⎪⎪⎨-⎪⋅-=--⎪+⎪⎩整理得000000240,220.x m y n x y m x n y +--=⎧⎨-+=⎩解得220002200000220044,448.4x x y m y x x y y n y x ⎧+-=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩所以点22000000222200004448(,)44x x y x y y Q y x y x +-+++． 又因为200(1,)F P x y =-，220000002222200004448(1,)44x x y x y y F Q y x y x +-+=-++， 且 22200000000000002222220000004448(48)(48)(1)(1)(1)444x x y x y y x y x x y x y y x y x y x +-+--+--⋅-⋅-=⋅+++2200000220048(448)4x y x x y y x --+-=⋅+2200022008484y x y y x --+=⋅+ 220000222200004(2)8428044y x y y y x y x -++-⨯+=⋅=⋅=++． 所以2//F P 2F Q ．所以点2,,Q P F 三点共线． 综上所述，点2,,Q P F 三点共线．11. 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为)0,1(F ，M 为椭圆的上顶点，O 为坐标原点，且△OMF 是等腰直角三角形． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点， 且使点F 为△PQM 的垂心(即三角形三条高线的交点)？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解答：（Ⅰ）由△OMF 是等腰直角三角形，得1=b ，22==b a ，故椭圆方程为1222=+y x ． （Ⅱ）假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 为△PQM 的垂心，设),(11y x P ，),,(22y x Q 因为)1,0(M ，)0,1(F ，故1=PQ k ．于是设直线l 的方程为m x y +=，由⎩⎨⎧=++=,22,22y x m x y 得0224322=-++m mx x ． 由0>∆，得32<m ， 且3421mx x -=+,322221-=m x x ．由题意应有0=⋅FQ MP ，又1122(,1),(1,)MP x y FQ x y =-=-，故0)1()1(1221=-+-y y x x ，得0)1)(()1(1221=-+++-m x m x x x ．即0)1)((222121=-+-++m m m x x x x ．整理得0)1(34322222=-+---⨯m m m m m ． 解得34-=m 或1=m ． 经检验，当1=m 时，△PQM 不存在，故舍去1=m ．当34-=m 时，所求直线l 存在，且直线l 的方程为34-=x y ．12. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20l x y --=，抛物线()2:20C y px p =>．（Ⅰ）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若抛物线C 上存在相异两点P 和Q 关于直线l 对称，求p 的取值范围． 解答：（Ⅰ）因为直线:20l x y --=与x 轴的交点坐标为()2,0，所以抛物线的焦点为()2,0，所以22p=，故28y x =． （Ⅱ）法一：设点()11,P x y ，()22,Q x y ，则由21122222y px y px ⎧=⎨=⎩，得21122222y x p y x p⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故12221212222PQ y y p k y y y y p p -==+-， 又因为,P Q 关于直线l 对称，所以1PQ k =-，即122y y p +=-， 所以1212442x x y y p +=++=-，又2212122y y x x p++=，所以2221284y y p p +=-，故21244y y p p =-．所以，1y 、2y 是关于y 的方程222440y py p p ++-=的两相异实根， 因此()()2224440p p p ∆=-->，解得40,3p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．法二：设点()11,P x y ，()22,Q x y ，线段PQ 的中点()00,M x y ， 因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ ， 于是直线PQ 的斜率为1-，则可设其方程为yx b =-+．由22y px y x b⎧=⎨=-+⎩消去x 得2220y py pb +-=，（*） 因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点，所以12y y ≠， 从而()()2224440p p p ∆=-->，化简得20p b +>．方程（*）的两根为21,22y p p pb =-±+，从而1202y y y p +==-． 因为()00,M x y 在直线l 上，所以02x p =-． 又因为()2,M p p --在直线y x b =-+上， 所以()2p p b -=--+，即22b p =-． 于是有()2220p p +->，所以43p <， 因此p 的取值范围为40,3⎛⎫⎪⎝⎭．13. 已知：,A B 在22y px =上，直线,OA OB 倾斜角为,αβ，且4παβ+=.证明直线AB 过定点. 分析：（1）条件4παβ+=如何代数化？tan()1αβ+=，tan tan 1tan tan αβαβ+=-，12121k k k k +=-（2）直线AB 的代数化22y kx by px=+⎧⎨=⎩ ， 1122(,),(,)A x y B x y 2220ky py bp -+=122p y y k +=，122bpy y k=(3)研究直线AB 的方程，也就是找,k b 之间的关系.关键条件：12121k k k k +=-121212121y y y y x x x x +=-，221212,22y y x x p p==，得2(1)b p k =+ 直线AB ：2(1)y kx p k =++(2)2y k x p p ∴=++，直线AB 过(2,2)p p -.。
2023-2024学年北京市朝阳区高三数学查漏补缺模拟试题(一模)(含答案)
2023-2024学年北京市朝阳区高三数学查漏补缺模拟试题（一模）一、填空题1．若复数21iz =+，则||z =________.根据||||z z =以及复数商的模等于复数的模的商，计算可得答案.【详解】因为21i z =+，所以2||||||1z z i ==+2|1|i ==+.本题考查了复数模的性质，考查了复数的模长公式，属于基础题.二、单选题2．复数12i 2i z -=+的模z =（）AB ．2C D ．1【正确答案】D【分析】首先根据体题意得到i z =-，再求模长即可.【详解】()()()()12i 2i 12i 2i 4i 2i 2i 2i 2i 5z ------====-++-，所以1z =.故选：D3．若复数z 满足i 34i z ⋅=-，则z =（）A ．1B ．5C ．7D ．25【正确答案】B【分析】利用复数四则运算，先求出z ，再计算复数的模．【详解】由题意有()()()34i i 34i 43i i i i z ---===--⋅-，故|5|z ==．故选：B ．4．已知复数213i z z -=-，其中i 是虚数单位，z 是z 的共轭复数，则z =（）A ．1i+B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【正确答案】B【分析】设()i ,R z a b a b =+∈，()i ,R z a b a b =-∈，根据213i z z -=-，解出,a b 即可.【详解】设()i ,R z a b a b =+∈，()i ,R z a b a b =-∈，()()22i i 3i 13i z z a b a b a b -=+--=+=-，解得1,a =1b =-，所以1i z =-，故选：B三、填空题5．若复数i ()1ia a +∈+R 是纯虚数，则=a ________．【正确答案】1-【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的概念得到方程（不等式），解得即可.【详解】()()()()2i 1i i i i i 11i 1i 1i 1i 222a a a a a a +-+-+-+-===+++-，因为i ()1i a a +∈+R 是纯虚数，所以102102a a +⎧=⎪⎪⎨-⎪≠⎪⎩，解得1a =-.故1-6．函数()13log ,13,1x x x f x x ≥⎧⎪=⎨⎪<⎩的值域为________．【正确答案】(),3-∞【分析】利用对数函数和指数函数的图象和性质分别求1x ≥和1x <的值域，再取并集即可.【详解】因为当1x ≥时，13log 0x ≤，当1x <时，33x <，所以函数()13log ,13,1x x x f x x ≥⎧⎪=⎨⎪<⎩的值域为(),3-∞，故(),3-∞四、单选题7．已知函数2()log x f x =，则不等式()2f x <的解集为()A ．(4,0)(0,4)-⋃B ．(0,4)C ．1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【正确答案】C【分析】根据绝对值的定义和对数函数的单调性即可求解．【详解】2222()log 22l 222og f x x x x x -<⇒<<⇒∈=<⇒-<1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选：C ﹒五、填空题8．若函数()21x f x a =--的值域为[1,)-+∞，则实数a 的一个取值可以为___________.【正确答案】1【分析】考察函数()21x f x a =--的图像，就是先把2x 向上或向下平移a 个单位（取决于a 的符号），如果图像存在小于零的部分，则再把小于零的部分以x 轴为对称轴翻折上去，最后再把整个图像向下平移一个单位.【详解】如果0a ≤，()2121x x f x a a =--=--，其值域为()1,a --+∞，11a --≥-，不符合题意；如果0a >，当2log x a =时，20x a -=，2x a -就是把函数2log x a <的部分以x 轴为对称轴翻折上去，∴此时2x a -的最小值为0，()21x f x a =--的最小值为-1，值域为[)1,-+∞，所以()0,a ∈+∞，不妨取1a =；故1.六、双空题9．函数22,0()log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩则1()4f =__________；方程()12f x -=的解是________.【正确答案】2-或1【分析】根据解析式直接将自变量代入求1()4f ，讨论0x -≤、0x ->结合分段函数解析式分别求出()12f x -=的解即可.【详解】由解析式知：211()log 244f ==-，因为1()2f x -=，所以当0x -≤，即0x ≥时，12,12x x -==，符合，当0x ->，即0x <时，21log ()2x x -==符合，所以1()2f x -=的解是或1.故2-，或110．设函数()e ,00x x f x x -⎧<⎪=≥，()f x 的值域是________，设()()(1)g x f x a x =--，若()g x 恰有两个零点，则a 的取值范围为________．【正确答案】[0,)+∞(,1)-∞-【分析】求0x <时的值域及0x ≥的值域，最后求并集即可（或者利用图象法观察）值域；数形结合即可求出参数a 的范围【详解】当0x <时，()()e 1,x f x ∞-=∈+，当0x ≥时，()0f x =≥，所以函数()f x 的值域为[0,)+∞；作出函数图象从图象上可以看出函数()f x 的值域为[0,)+∞，因为()()(1)g x f x a x =--恰有两个零点，则方程()(1)f x a x =-恰有两个解，从而函数()e ,00x x f x x -⎧<⎪=≥与(1)y a x =-有两个交点，易知(1)y a x =-图象是恒过点（1,0）的直线，如图当0a ≥时，函数()e ,00x x f x x x -⎧<⎪=⎨≥⎪⎩与(1)y a x =-有一个交点，当01a <<-时，函数()e ,00x x f x x x -⎧<⎪=≥与(1)y a x =-有一个交点，又当0x <时，()e x f x -=，则()e x f x -'=-，所以(0)1f '=-，故在点(0,1)处的切线为11(0)y x -=--，即1(1)y x =--，故当1a =-时，函数()e ,00x x f x x x -⎧<⎪=≥与(1)y a x =-有一个交点，所以要使函数()e ,00x x f x x x -⎧<⎪=≥与(1)y a x =-有两个交点，则1a <-，即()g x 恰有两个零点时，a 的取值范围为(,1)-∞-.故[0,)+∞；(,1)-∞-.七、填空题11．已知函数22,1,()log ,1,x x f x x x ⎧<=⎨-⎩则(0)f =________；()f x 的值域为_______．【正确答案】1(),2∞-【分析】第一空直接代入即可；第二空需分情况讨论（1）求当1x <时的值域，（2）求当1x ≤时的值域，最后取两值域的并集即可．【详解】解：0(0)2=1=f ；当1x <时，()()20,2=∈x f x ，当1x ≤时，()2log 0=-≤f x x ，所以()f x 的值域为(),2∞-故1；(),2∞-．12．经过抛物线24x y =的焦点的直线与抛物线相交于A ，B 两点，若AB 4=，则OAB （O 为坐标原点）的面积为______．【正确答案】2【分析】求出焦点坐标，设直线AB 方程，联立抛物线方程，韦达定理，利用弦长求出直线方程，可求得O 点到直线AB 距离，进一步求出三角形面积.【详解】由题意知，抛物线24x y =的焦点()0,1F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB ：1y kx =+，联立方程214y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去x 可得22(24)10y k y -++=，2242Δ(24)416160k k k =+-=+≥，韦达定理得2121224,1y y k y y +=+=，因为21222424AB AF FB y y k =+=++=++=，所以20k =，即0k =，所以直线AB ：1y =，所以点O 到直线AB 的距离为1OF =，所以1114222OAB S OF AB =⋅=⨯⨯= .故2八、双空题13．设M 是抛物线24y x =上的一点，F 是抛物线的焦点，O 是坐标原点，若120OFM ︒∠=，则||FM =______，M 的坐标为______.【正确答案】4；(3,±.【分析】画出抛物线的图象，设M的坐标，再利用抛物线的定义加数形结合得2001||4tan ||||y MN NFM NF y -∠==.【详解】过M 作准线的垂线，交于点M '，过F 作MM '的垂线交于N ，设200(,)4y M y ，由抛物线的方程24y x =可得焦点(1,0)F ，因为120OFM ︒∠=，则可得30NFM ︒∠=，由抛物线的性质可得||||MF MM ='，20||14y MN =-，所以2001||34tan ||||3y MN NFM NF y -∠==，整理可得：200343|120y y --=，解得0||23y =M 的横坐标为2043344y ⨯==，由抛物线的性质可得||314MF =+=，可得(3,23)M ±.故4；(3,23).±14．已知抛物线2:2C y px =过点()2,4P ，则p =________；若点()14,Q y ，()2,R t y 在C 上，F 为C 的焦点，且PF ，QF ，RF 成等比数列，则t =________.【正确答案】47【分析】根据点()2,4P 在抛物线2:2C y px =上，代入可得4p =，再由抛物线定义可得242p PF =+=，6QF =，2RF t =+，又PF ，QF ，RF 成等比数列，代入2QF P R F F =⋅即可得解.【详解】由抛物线2:2C y px =过点()2,4P ，可得244p =，所以4p =，根据抛物线定义可得22242p PF =+=+=，462p QF =+=，22p t t RF =+=+，由PF ，QF ，RF 成等比数列，所以2QF P R F F =⋅，可得264(2)48t t =⨯+=+，所以7t =.故4，7.九、填空题15．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，P 为C 上一点，PQ x ⊥轴，垂足为Q ，F 为C 的焦点，O 为原点．若45POQ ∠=︒，则cos PFQ ∠=__________．【正确答案】35/0.6【分析】由题可设直线:OP y x =，进而可得()()2,2,2,0P p p Q p ，即得.【详解】不妨设P 在x 轴上方，由45POQ ∠=︒，可设直线:OP y x =，由22y x y px =⎧⎨=⎩，可得2x y p ==，∴()()2,2,2,0P p p Q p ，又,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴3cos 5FQPFQ PF ∠==.故答案为.3516．已知抛物线C 经过第二象限，且其焦点到准线的距离大于2，请写出一个满足条件的C 的标准方程__________．【正确答案】28x y =（或2(4)x my m =>或2(4)y nx n =<-任写一个即可）.【分析】设抛物线的标准方程为22x py =，由题意得2p >，即可得出抛物线方程.【详解】设抛物线的标准方程为22x py =()0p >，由题意知，焦点到准线的距离2p >，所以24p >，可取28p =，则抛物线的标准方程为28x y =.故28x y =（或2(4)x my m =>或2(4)y nx n =<-任写一个即可）.17．已知抛物线22(0)y px p =>的顶点为O ，且过点,A B．若OAB 是边长为则p =____．【正确答案】1【分析】根据抛物线的对称性以及等边三角形的边角关系即可代入(6,A 求解.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则OA OB =,即2222221122112222x y x y x px x px +=+⇒+=+，所以()()121220x x x x p -++=，由于12120,0,0,x x x x >>∴+>又20p >，所以1220x x p ++≠，因此120x x -=，故,A B 关于x 轴对称，由30OA AOx =Ð= 得(6,A ,将(6,A 代入抛物线中得12=12p,所以1p =，故1十、双空题18．在ABC中，a =b m =，sin cos 0A A -=．（1）若8m =，则c =________；（2）当m =________（写出一个可能的值）时，满足条件的ABC 有两个．【正确答案】6（答案不唯一）【分析】（1）求出A ，再由余弦定理求解即可；（2）根据已知两边及一边的对角求三角形解得情况，建立不等式求出m 的范围即可得解.【详解】（1）sin cos 0A A -= ，tan 1A ∴=，0πA << ，π4A =，由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-，即23264162c =+-⨯，解得c =.（2）因为π4A =,a =所以当sin 4b a b π<<时，方程有两解，即8m <<，取6m =即可满足条件（答案不唯一）故 6.十一、单选题19．在ABC 中，60,3,90C AC B ==> ，则b a 的可能取值为（）A ．23B ．43C ．53D ．73【正确答案】D【分析】通过正弦定理将所求表达式表示为关于A 的三角函数，求出范围即可得结果.【详解】因为60,3,90C AC B ==> ，所以030A <<，0tan 3A <<，即得1tan A >，由正弦定理可得()1sin cos sin sin 11222sin sin sin 22tan A A A C b B a A A A A++====+>，则b a 的可能取值为73，故选：D.20．在下列关于ABC 的四个条件中选择一个，能够使角A 被唯一确定的是：（）①1sin 2A =②1cos 3A =-；③1cos ,34B b a =-=；④45,2,C b c ∠== .A ．①②B ．②③C ．②④D ．②③④【正确答案】B【分析】利用诱导公式、三角函数的图像与性质以及正弦定理，结合三角形图像进行处理.【详解】对于①1sin 2A =，因为(0,π)A ∈，所以π6A =或5π6，故①错误；对于②1cos 3A =-，因为cos y x =在(0,π)上单调，所以角A 被唯一确定，故②正确；对于③1cos ,34B b a =-=，因为1cos 04B =-<，(0,π)B ∈，所以π(,π)2B ∈，所以π(0,2A ∈，所以sin B =3b a =，由正弦定理有sin 3sin B A =，所以sin sin =3B A ，所以角A 被唯一确定，故③正确；对于④45,2,C b c ∠=== ，因为πsin 2sin 4b C =⨯=所以sin b C c b <<，所以如图，ABC 不唯一，故④错误.故A ，C ，D 错误.故选：B.十二、填空题21．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知60B =︒，4b =，下列判断：①若c =C 有两个解；②若12BC BA ⋅=，则AC边上的高为③a c +不可能是9.其中判断正确的序号是______.【正确答案】③利用余弦定理逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于①，若c =2116322a a =+-⨯⨯，故2130a -=，此方程有唯一解a ，故角C 有唯一解，所以①错.对于②，因为12BC BA ⋅= ，故1122ac =，即24ac =，又由余弦定理可得2211622a c a c =+-⨯⨯⨯，故2240a c +=，所以()288a c +=即a c +=24a c ac ⎧+=⎪⎨=⎪⎩消元后可得2240a -+=，因889680∆=-=-<，故方程无解，即满足12BC BA ⋅=的三角形不存在，故②错误.对于③，由余弦定理可得()()()2222231634a c ac a c ac a c a c =+-=+-≥+-+，整理得到()2164a c +≥即8a c +≤，故a c +不可能是9，故③正确.故③.本题考查余弦定理在解三角形中的应用，还考查了基本不等式的应用，注意根据三角形中已知的量选择合适的定理来构建关于未知量的方程，再对所得的方程进行代数变形（如放缩、消元等），本题属于中档题.22．某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力（战斗单位数）随时间的变化遵循兰彻斯特模型：()))()))0000cosh sinhcosh sinh x t X y t Y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，其中正实数0X ，0Y 分别为红、蓝两方初始兵力，t 为战斗时间；()x t ，()y t 分别为红、蓝两方t 时刻的兵力;正实数a ，b 分别为红方对蓝方、蓝方对红方的战斗效果系数；e e cosh 2x x x -+=和e e sinh 2x xx --=分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数．规定当红、蓝两方任何一方兵力为0时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为T ．给出下列四个结论：①若00X Y >且a b =，则()()()0x t y t t T >≤≤；②若00X Y >且a b =，则1T a =③若00X bY a>，则红方获得战斗演习胜利；④若00X Y >其中所有正确结论的序号是________．【正确答案】①②④【分析】对于①根据已知条件利用作差法比较大小即可得出()()()000eatx t y t X Y --=>，所以①正确；对于②，利用①中结论可得蓝方兵力先为0，即000e e e e 22at at at atY X --+-=-解得1T a =为0时所用时间1t 、2t ，比较大小即可知③错误，④正确.【详解】对于①，若00X Y >且a b =，则()()()()()()0000cosh sinh cosh sinh x t X at Y at y t Y at X at ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，即()()0000e e e e 22e e e e 22at at at atat at at atx t X Y y t Y X ----⎧+-=-⎪⎪⎨+-⎪=-⎪⎩，所以()()()00e atx t y t X Y -=-，由00X Y >可得()()()000e atx t y t X Y --=>，即①正确；对于②，当a b =时根据①中的结论可知()()x t y t >，所以蓝方兵力先为0，即()00e e e e 220at at at at y Y X t --+-==-，化简可得()()0000e e at atX Y X Y --=+，即20000e atX Y X Y +=-，两边同时取对数可得0000ln 2X Y at X Y ⎛⎫+= ⎪-⎝⎭，即00001l 1ln 2X Y t X a Y a⎛⎫+== ⎪⎝-⎭，所以战斗持续时长为1T a =所以②正确；对于③，若红方获得战斗演习胜利，则红方可战斗时间大于蓝方即可，设红方兵力为0时所用时间为1t，蓝方兵力为0时所用时间为2t，即())) 100cosh sinh0x t X==，可得e0=同理可得e0=，解得022X bY a>又因为0,,,Y a bX都为正实数，所以可得0XY>所以可得③错误，④正确.故①②④.十三、多选题23．“悬链线”进入公众视野，源于达·芬奇的画作《抱银貂的女人》.这幅画作中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠链与主人相互映衬，显现出不一样的美与光泽.而达·芬奇却心生好奇：“固定项链的两端，使其在重力作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？”随着后人研究的深入，悬链线的庐山真面目被揭开.法国著名昆虫学家、文学家法布尔，在《昆虫记》里有这样的记载：“每当地心引力和扰性同时发生作用时，悬链线就在现实中出现了.当一条悬链弯曲成两点不在同一垂直．．线．（注：垂直于地面的直线）上的曲线时，人们便把这曲线称为悬链线.这就是一条软绳子两端抓住而垂下来的形状，这就是一张被风鼓起来的船帆外形的那条线条．”建立适当的平面直角坐标系，可以写出悬链线的函数解析式：()2ax axe ef xa-+=，其中a为悬链线系数．当a1=时，()2x xe ef x-+=称为双曲余弦函数，记为ch2x xe ex-+=．类似的双曲正弦函数sh2x xe ex--=．直线x t=与ch x和sh x 的图像分别交于点A、B．下列结论正确的是（）A ．sh()sh ch ch sh x y x y x y +=⋅+⋅B ．ch()ch ch sh sh x y x y x y+=⋅-⋅C ．AB 随t 的增大而减小D ．ch x 与sh x 的图像有完全相同的渐近线【正确答案】AC【分析】由函数的定义，代入化简可得A 正确，B 不正确；由0--=>x chx shx e 可得C 正确；由函数的图象变化可得D 不正确.【详解】()2+---+=x y x y e e sh x y 22222----+---++--+=+=g g g g x x y y x x y y x y x ye e e e e e e e e e shx chy chx shy ，所以A 正确；()2+--++=x y x y e e ch x y 22222------+++----=-=g g g g x x y y x x y y x y x ye e e e e e e e e e chx chy shx shy ，所以B 不正确；0--=>x chx shx e ，且随着x 变大，x e -越来越小，所以C 正确；shx ，当+x →∞时，是2xe y =的等价无穷大，无渐近线，chx ，当+x →∞时，是2xe y =的等价无穷大，无渐近线，所以D 不正确.故选：AC24．游人游玩的湖边常设有如图所示的护栏柱与柱之间是一条均匀悬链．数学中把这种两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀、柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线．如果建立适当的平面直角坐标系，那么悬链线可以表示为函数()e e 2x xaaa f x -=+⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中0a >，则下列关于悬链线函数()f x 的性质判断中，正确的有（）.A ．()f x 为偶函数B ．()f x 为奇函数C ．()f x 的最小值为aD ．()f x 的单调递增区间为()0,∞+【正确答案】ACD【分析】根据函数奇偶性的定义，结合导数的性质、基本不等式进行求解即可.【详解】函数()f x 的定义域为R ，且()()e e 2x xaaa f x f x -⎛⎫ ⎪⎝⎭-=+=，()f x 为偶函数，故A 正确，B 错误；∵e 0xa>，e0x a->，∴()2e e 2x xa aa f x a -≥⨯⋅=，当且仅当e e xxa a -=时取等号，即0x =时取等号，故C 正确；()21111e 1e e e e 222e xx x x x a aaaaxa a f x a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪'=⋅-⋅=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，当0x >时，∵0a >，∴2e 10xa ->，∴()0f x ¢>，∴()f x 在()0,∞+上单调递增，由偶函数的性质可知，()f x 在(),0∞-上单调递减，故D 正确．故选：ACD ．25．双曲函数在实际生活中有着非常重要的应用，比如悬链桥．在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数，最基础的是双曲正弦函数e e sinh 2x xx --=和双曲余弦函数e e cosh 2x x x -+=．下列结论正确的是（）A ．cosh sinh 1x x x +≥+B ．()sinh sinh cosh cosh sinh x y x y x y+=+C ．若y m =与双曲余弦函数1C 和双曲正弦函数2C 共有三个交点，分别为123,,x x x ，则1231x x x ++≥D ．cosh y x =是一个偶函数，且存在最小值【正确答案】ABD【分析】利用指数的运算、指数函数图像以及双曲正弦、余弦函数的定义可判断各选项的正误.【详解】对于A 选项，cosh si e nh x x x +=，设()e 1xg x x =--，()e 1x g x '=-，当0x <时，()0g x ¢<，函数()g x 单调递减；当0x >时，()0g x ¢>，函数()g x 单调递增；所以()()00g x g ≥=，所以cosh sinh e 1x x x x +=≥+，A 选项正确；对于B 选项，()()()()sinh cosh cosh sin ee e e h e e e e 4xx y y x x y y x y x y -----+++-=+()()()e e e e e e e e e e 42sinh x yx y y x x y x y x y y x x y x y x y x y +----+----+--+--+-+--==+=，B 选项正确；对于D 选项，cosh y x =是一个偶函数且在(],0-∞为减函数，[)0,+∞为增函数，所以0x =时取最小值1，D 选项正确.对于C 选项，函数e e sinh 2x xx --=单调递增，且值域为R ，若y m =与双曲余弦函数1C 和双曲正弦函数2C 共有三个交点，则1m >,由双曲余弦函数1C 为偶函数得120x x +=，由e e12x x -->得3ln(1x >，所以123ln(1x x x ++>，C 选项错误.故选：ABD.十四、解答题26．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，D ，E 分别为AC ，11AC 的中点，AB BC ==，12AC AA ==．(1)求证：AC ⊥平面BDE ；(2)求直线DE 与平面ABE 所成角的正弦值；(3)求点D 到平面ABE 的距离．【正确答案】(1)证明见解析；6663【分析】（1）根据线面垂直的性质得到DE AC ⊥，根据等腰三角形三线合一的性质得到AC BD ⊥，然后利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）利用空间向量的方法求线面角即可；（3）利用空间向量的方法求点到面的距离即可.【详解】（1）在三棱柱中，D ，E 为AC ，11A C 的中点，∴1DE AA ∥，∵1AA ⊥平面ABC ，∴DE ⊥平面ABC ，∵AC ⊂平面ABC ，∴DE AC ⊥，在三角形ABC 中，AB BC =，D 为AC 中点，∴AC BD ⊥，∵DE BD D ⋂=，,DE BD Ì平面BDE ，∴AC ⊥平面BDE .（2）如图，以D 为原点，分别以,,DA DB DE 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，在直角三角形ABD中，AB =112AD AC ==，∴2BD =，()0,0,0D ，()0,0,2E ，()1,0,0A ，()0,2,0B ，()0,0,2DE = ，()1,2,0AB =-，()1,0,2AE =- ，设平面ABE 的法向量为(),,m x y z =，2020AB m x y AE m x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令2x =，则1y =，1z =，所以()2,1,1m = ，设直线DE 与平面ABE 所成角为θ，所以sin cos ,6DE m DE m DE m θ⋅==⋅ .（3）设点D 到平面ABE 的距离为d，所以3DE m d m⋅== .27．如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，四边形A 1ACC 1是边长为4的正方形，3AB =，点D 为BB 1中点．再从条件①､条件②､条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并作答．(1)求证：AB ⊥平面A 1ACC 1；(2)求直线BB 1与平面A 1CD 所成角的正弦值；(3)求点B 到平面A 1CD 的距离．条件①：1AB AA ⊥；条件②：5BC =；条件③：平面ABC ⊥平面A 1ACC 1．【正确答案】(1)证明见解析(3)11【分析】（1）考虑选择条件①②和选择条件②③，根据勾股定理得到AB AC ⊥，再根据线线垂直或面面垂直得到证明.（2）以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -，计算给点坐标，平面1ACD 的一个法向量为()2,3,3n =，再根据向量夹角公式得到答案.（3）直接利用点到平面的距离公式计算得到答案.【详解】（1）若选择条件①②：4,3,5AC AB BC ===，故222BC AC AB =+，故AB AC ⊥.又1AB AA ⊥，1AC AA A =∩，1,AC AA ⊂平面11AAC C ，故AB ⊥平面11AAC C .若选择条件②③：4,3,5AC AB BC ===，故222BC AC AB =+，故AB AC ⊥.平面ABC ⊥平面A 1ACC 1，平面ABC ⋂平面11A ACC AC =，AB ⊂平面ABC ，故AB ⊥平面11AAC C .若选择条件①③：不能确定,AB AC 的角度，故BC 的长度不能确定，不能得到后面的结论，求不出夹角和距离，故不能选择（2）如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(3,0,0)B ，(0,4,0)C ，1(0,0,4)A ，()13,0,4B ，1(0,4,4)C ，()3,0,2D ，设平面1ACD 的一个法向量为(,,)n x y z = ，则11440320n A C y z n A D x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令2x =，则3,3y z ==，所以()2,3,3n =，()10,0,4BB = ，设直线1BB 与平面1ACD 所成角为θ，则111||sin |cos ,|22||||BB n BB n BB n θ⋅===.所以直线BC 与平面11A BC（3）()0,0,2BD =，点B 到平面A 1CD的距离为11BD n d n⋅== 28．如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD，2PD DC AD ===，M 为BC 的中点.(1)求证：AM ⊥平面PBD ；(2)求平面ABCD 与平面APM 所成角的余弦值；(3)求D 到平面APM 的距离.【正确答案】(1)证明过程见解析【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合相似三角形的判定定理和性质、线面垂直的判定定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；（3）利用空间点到直线距离公式进行求解即可.【详解】（1）因为2DC AD ==，M 为BC 的中点，所以AD ABAB AM==因为四棱锥P ABCD -的底面是矩形，所以π2DAB MBA ∠=∠=，所以Rt Rt DAB ABM ∽，所以DBA AMB ∠=∠，而π2MBD DBA ∠+∠=，即π2MBD ANB AM DB ∠+∠=⇒⊥，因为PD ⊥底面ABCD ，AM ⊂底面ABCD ，所以PD AM ⊥，而,,DB PD D DB PD ⋂=⊂平面PBD ，所以AM ⊥平面PBD ；（2）因为PD ⊥平面ABCD ，,AD DC ⊂平面ABCD ，所以,PD AD PD DC ⊥⊥，因为因为四棱锥P ABCD -的底面是矩形，所以AD DC ⊥，建立如下图所示的空间直角坐标系，()()())0,0,0,0,0,2,,2,0D P A M，因为PD ⊥平面ABCD ，所以平面ABCD 的法向量为()0,0,2DP =，设平面APM 的法向量为(),,n x y z =，()2PA =-，)2,0MA =-，于是有)20220n PA z n n MA y ⎧⎧⊥-=⎪⎪⇒⇒=⎨⊥-=⎪⎩，平面ABCD 与平面APM 所成角的余弦值为DP n DP n⋅=⋅（3）由（2）可知平面APM 的法向量为)n =，cos ,DP n 〈〉=所以D 到平面APM 的距离为cos ,2DP DP n ⋅〈〉== 29．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC 为等边三角形，四边形11BCC B 是边长为2的正方形，D 为AB 中点，且1A D =.(1)求证：CD ⊥平面11ABB A ；(2)若点P 在线段1B C 上，且直线AP 与平面1ACD ，求点P 到平面1ACD 的距离.【正确答案】(1)证明见解析【分析】（1）由勾股定理证明1⊥A A AD ，再由1A A BC ⊥，可证1A A ⊥平面ABC ，即得1CD AA ⊥，由CD AB ⊥，可证CD ⊥平面11ABB A ；（2）由题意证明得,,OA OB OQ 两两垂直，建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标与向量的坐标，求解平面1ACD 的法向量，设()[]12,2,0,0,1CP CB λλλλ==∈ ，再由向量夹角的公式代入计算得()1,1,0CP =，根据点到平面的距离公式代入计算，可得答案.【详解】（1）证明：由题知112,1,AA AD A D ===，222115AD A A A D ∴+==1A A AD ⇒⊥，又111,B B BC B B A A ⊥∥，所以1A A BC ⊥，又AD BC B = ，,AD BC ⊂平面ABC ，所以1A A ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ，所以1CD AA ⊥，在正ABC 中，D 为AB 中点，于是CD AB ⊥，又1AB AA A ⋂=，1,AB AA ⊂平面11ABB A ，所以CD ⊥平面11ABB A （2）取BC 中点为11,O B C 中点为Q ，则,OA BC OQ BC ⊥⊥，由（1）知，1A A ⊥平面ABC ，且OA ⊂平面ABC ，所以1OA AA ⊥，又11B B A A ∥，所以11,OA BB BB BC B ⊥⋂=，1,BB BC ⊂平面11BCC B 所以OA ⊥平面11BCC B ，于是,,OA OB OQ 两两垂直.如图，以O 为坐标原点，,,OB OQ OA的方向为x 轴､y 轴､z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则()((()10,0,0,,,1,0,0O A A C -，()11,0,,1,2,022D B ⎛ ⎝⎭，所以(13,1,22CD CA ⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭，()(12,2,0,1,0,CB AC ==-.设平面1ACD 的法向量为(),,n x y z = ，则100n CD n CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即30220x z x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，令1x =，则1z y ==，于是(1,1,n =.设()[]12,2,0,0,1CP CB λλλλ==∈，则(121,2,AP AC CP AC CB λλλ=+=+=- .由于直线AP 与平面1ACD，cos ,AP n ∴即21λ+=24830λλ-+=，由于[]0,1λ∈，所以1,2λ=于是()11,1,0CP CB λ== .设点P 到平面1ACD 的距离为d，则5CP n d n⋅==，所以点P 到平面1ACD.方法点睛：对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.30．设函数()()2sin cos cos 0,0f A x x A x x ωωωω=+>>，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得()f x 存在．(1)求函数()f x 的解析式；(2)求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．条件①：()()=f x f x -；条件②：()f x 的最大值为32；条件③：()f x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分．【正确答案】(1)选择条件②③，()1sin 262πf x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭(2)最大值为32，最小值为0.【分析】（1）由正弦函数和余弦函数的奇偶性可排除条件①，先利用辅助角公式化简()f x ，再根据正弦函数的图象和性质即可求解；（2）利用整体代入法，结合正弦函数的图象和性质即可求解.【详解】（1）若选择条件①，因为()2sin 2cos 2Af x x x ωω=+，所以()()()22sin 2cos sin 2cos 22A A f x x x x x ωωωω-=-+-=-+，由()()=f x f x -可得sin 20A x ω=对x ∈R 恒成立，与0,0A ω>>矛盾，所以选择条件②③，由题意可得()()()()22sin cos cos sin 2cos f x A x x x A x x ωωωωω-=--+-=-+，设ππ22ϕ-<<，由题意可得()()111sin 2cos 2sin 222222A f x x x x ωωωϕ=++=++，其中cos ϕ=sin ϕ=因为()f x 的最大值为32，所以13222+=，解得A =所以1sin 2ϕ=，π6ϕ=，由()f x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2可得π22T =，所以2ππ2T ω==解得1ω=，所以()1sin 262πf x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（2）由正弦函数的图象可得当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎣⎦上的最大值为32，最小值为0.31．已知函数2()cos cos (0,)ωωωω=+>∈R f x x x x m m ．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数()f x 的解析式的两个作为已知．(1)求()f x 的解析式及最小值；(2)若函数()f x 在区间[]0,(0)t t >上有且仅有1个零点，求t 的取值范围．条件①：函数()f x 的最小正周期为π；条件②：函数()f x 的图象经过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭；条件③：函数()f x 的最大值为32．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．【正确答案】(1)选择①②：π()sin(2)6f x x =+，()f x 的最小值为1-；选择①③：π1()sin(2)62f x x =++，()f x 的最小值为12-；(2)选择①②：t 的取值范围是5π11π,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭；选择①③：t 的取值范围是π5π,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【分析】（1）首先利用三角恒等变换公式以及辅助角公式化简()f x ，然后根据条件①②或①③求其解析式即可，若选择②③，m 的取值有两个，舍去；（2）根据零点即是函数图像与x 轴的交点横坐标，令()0f x =求出横坐标，即可判断t 的取值范围.【详解】（1）由题可知，2()cos cos ωωω=+f x x x x m 112cos222ωω+++x x m π1sin(2)62ω=+++x m ．选择①②：因为2ππ2T ω==，所以1ω=．又因为1(0)12f m =+=，所以12m =-．所以π()sin(2)6f x x =+．当ππ22π62x k +=-，Z k ∈，即ππ3x k =-，Z k ∈时，()1f x =-.所以函数()f x 的最小值为1-．选择①③：因为2ππ2T ω==，所以1ω=．又因为函数()f x 的最大值为3322m +=，所以0m =．所以π1()sin(262f x x =++．当ππ22π62x k +=-，Z k ∈，即ππ3x k =-，Z k ∈时，πsin(216x +=-，所以函数()f x 的最小值为11122-+=-．选择②③：因为1(0)12f m =+=，所以12m =-，因为函数()f x 的最大值为3322m +=，所以0m =m的取值不可能有两个，∴无法求出解析式，舍去.（2）选择①②：令πsin(2)06x +=，则π2π6x k +=，Z k ∈，所以ππ212k x =-，Z k ∈．当1,2k =时，函数()f x 的零点为5π11π,1212，由于函数()f x 在区间[0,]t 上有且仅有1个零点，所以5π11π1212t ≤<．所以t 的取值范围是5π11π,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭．选择①③：令π1sin(2)062++=x ，则π722π+π66+=x k ，Z k ∈，或π1122π+π66+=x k ，Z k ∈，所以ππ+2=x k ，Z k ∈，或5π+π6=x k ，Z k ∈．当0k =时，函数()f x 的零点分别为π5π,26，由于函数()f x 在区间[0,]t 上有且仅有1个零点，所以π5π26t ≤<．所以t 的取值范围是π5π,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭．32．已知函数()sin ()(0||)2f x x ωϕωϕπ=+><,，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使()f x 的解析式唯一确定．(1)求()f x 的解析式；(2)设函数()()()6g x f x f x π=++，求()g x 在区间4[0]π,上的最大值．条件①：()f x 的最小正周期为π；条件②：()f x 为奇函数；条件③：()f x 图象的一条对称轴为4x π=．注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．【正确答案】(1)()sin 2f x x =【分析】（1）可以选择条件①②或条件①③，先由周期计算ω，再计算ϕ即可；（2）先求出26x π+整体的范围，再结合单调性求最大值即可.【详解】（1）选择条件①②：由条件①及已知得2T ππω==，所以2=ω．由条件②得()()f x f x -=-，所以(0)0f =，即sin 0ϕ=．解得π()k k ϕ=∈Z ．因为||2ϕπ<，所以0ϕ=，所以()f x sin2x =．经检验0ϕ=符合题意．选择条件①③：由条件①及已知得2T ππω==，所以2=ω．由条件③得()ππ2π42k k ϕ⨯+=+∈Z ，解得π()k k ϕ=∈Z ．因为||2ϕπ<，所以0ϕ=．所以()f x sin2x =．（2）由题意得()sin2sin 23g x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，化简得3()sin 22)26g x x x x =+=+π．因为04x π≤≤，所以22663x πππ≤+≤，所以当262x ππ+=，即6x π=时，()g x 33．已知函数()sin cos (0,0)f x a x x a ωωω>>=．从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数()f x 存在且唯一确定．(1)求()f x 的解析式；(2)设2()()2co s 1g x f x x ω=-+，求函数()g x 在()0,π上的单调递增区间．条件①：14f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；条件②：()f x 为偶函数；条件③：()f x 的最大值为1；条件④：()f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π．【正确答案】(1)()sin 2f x x =；(2)370,,,88πππ⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【分析】（1）先由降幂公式得()sin 2(0,0)2a f x x a ωω>=>，故()f x 为奇函数，排除条件②，若选①③，()f x 不唯一，不合题意；若选①④由14f π⎛⎫= ⎪⎝⎭及周期解出()f x 即可；若选③④由最大值及周期解出()f x 即可；（2）先由倍角公式及辅助角公式求出())4g x x π=-，再令222,242k x k k πππππ-+≤-≤+∈Z 解出单调区间，最后写出在()0,π上的单调递增区间即可.【详解】（1）()sin cos sin 2(0,0)2af x a x x x a ωωωω>=>=，易知()f x 为奇函数，故条件②不成立，舍去.若选①③，则()sin1422a f ππω==且12a =，故2a =，2,22k k πωππ=+∈Z ，解得14,k k ω=+∈Z ，故()f x 不唯一，不合题意；若选①④，()sin 1422a f ππω==且22T π=，故22T ππω==，解得1ω=，2a =，存在且唯一，故()2sin cos sin 2f x x x x ==；若选③④，则12a=且22T π=，故22T ππω==，解得2a =，1ω=，故()2sin cos sin 2f x x x x ==，存在且唯一，故()sin 2f x x =；（2）22()()2cos 1sin 22cos 1sin 2cos 2sin(2)4g x f x x x x x x x πω=-+=-+=--，令222,242k x k k πππππ-+≤-≤+∈Z ，解得3,88k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ，当0k =时，388x ππ-≤≤，当1k =时，71188x ππ≤≤，故函数()g x 在()0,π上的单调递增区间为370,,,88πππ⎛⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.34．设函数()2sin cos cos 2()f x x x A x A =+∈R .已知存在A 使得()f x 同时满足下列三个条件中的两个：条件①：(0)0f =；条件②：()f x ；条件③：π8x =是()f x 图象的一条对称轴.(1)请写出()f x 满足的两个条件，并说明理由；(2)若()f x 在区间(0,)m 上有且只有一个零点，求m 的取值范围.【正确答案】(1)②③，理由见解析(2)37,88ππ⎛⎤ ⎝⎦【分析】（1）首先分析①②可得0,1,1A =-，逐个验证条件③即可得结果；（2）由（1）得函数的解析式，通过x 的范围求出24x π+的范围，结合正弦函数的性质列出关于m 的不等式即可得解.【详解】（1）函数()()2sin cos cos 2sin 2cos 22f x x x A x x A x x ϕ=+=+=+，其中tan ,,22A ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对于条件①：若(0)0f =，则0A =，对于条件②：()f x1A =±，①②不能同时成立，当0A =时，182f π⎛⎫=≠± ⎪⎝⎭，即不满足条件③；当1A =时，()24f x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，8f π⎛⎫= ⎪⎝⎭当1A =-时，()24f x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭，08f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即不满足条件③；综上可得，存在1A =满足条件②③.（2）由（1）得()24f x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当0x m <<时，22444x m πππ<+<+，由于()f x 在区间(0,)m 上有且只有一个零点，则224m πππ<+≤，解得3788m ππ<≤，即m 的取值范围是37,88ππ⎛⎤⎥⎝⎦.35．某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竟答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖若干，为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了500名参加活动的高一学生，获奖情况统计结果如下：性别人数获奖人数一等奖二等奖三等奖男生200101515女生300252540假设所有学生的获奖情况相互独立．(1)分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等奖的概率；(2)用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1名，从该地区高一女生中随机抽取1名，以X 表示这2名学生中获奖的人数，求X 的分布列和数学期望EX ；(3)用频率估计概率，从该地区高一学生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为0p ；从该地区高一男生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为1p ；从该地区高一女生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为2p ，试比较0p 与122p p +的大小．（结论不要求证明）【正确答案】(1)1240(2)分布列见解析，期望12EX =0【分析】（1）直接计算概率11102511200300C C ()C C P A =；（2）X 的所有可能取值为0,1,2，求出高一男生获奖概率和高一女生获奖概率，再计算概率得到分布列，最后计算期望即可；（3）计算出01350p =，12124p p +=，比较大小即可.【详解】（1）设事件A 为“分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名,抽到的2名学生都获一等奖”，则11102511200300C C 1()C C 240P A ==，（2）随机变量X 的所有可能取值为0,1,2.记事件B 为“从该地区高一男生中随机抽取1名,该学生获奖”,事件C 为“从该地区高一女生中随机抽取1名,该学生获奖”.由题设知,事件B ,C 相互独立,且()P B 估计为1015151,()2005P C ++=估计为252540330010++=.所以1328(0)()()()1151050P X P BC P B P C ⎛⎫⎛⎫====-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,131319(1)()()()()()1151051050P X P BC BC P B P C P B P C ⎛⎫⎛⎫==⋃=+=⨯-+-⨯= ⎪⎝⎭⎝⎭,133(2)()()()51050P X P BC P B P C ====⨯.所以X 的分布列为X012P28501950350故X 的数学期望()2819310125050502E X =⨯+⨯+⨯=（3）1202p p p +>，理由：根据频率估计概率得04090135250050200p +===，由（2）知115p =，2310p =，故1213150510224200p p ++===，。
北京市海淀区高三下学期查缺补漏试题数学
2023届高三数学查漏补缺题一、选择题部分1． 已知向量是两个单位向量，则“”是“为锐角”的（ ）,a b ||-<a b <>,a bA ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2． 数列的前n 项和为，且，则“”是“”的（ ）{}n a n S 2n S n n a =-+0a =3242a a a =+A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3． 已知数列满足，，若，则（ ）{}n a 12a =m n m n a a a +=+1210310k k k a a a ++++++= k =A ．10B ．15C ．20D ．254.已知是首项为正数，公比不为的等比数列，是等差数列，且，那么（ ） {}n a 1±{}n b 1155,a b a b ==A. B.33a b >33a b =C.D. 的大小关系不能确定33a b <33,a b5. 已知直线，曲线，则“l 与C 相切”是“”的（ ）:0l x y t ++=:C y =t =-A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6.已知点,．若点在函数的图象上，记的面积为，则使得(0,2)A (1,0)B -00(,)C x y 2y x =ABC △0()S x 的点的个数为（ ）0()(1)S x S =C A ．4 B ．3C ．2D ．17.过抛物线的焦点F 的直线交抛物线于A , B 两点,若F 是线段AB 的中点,则|AB |= （ ）24y x =A. 1B.2C.3D.48.已知点M (2,0),点P 在曲线上运动,点F 为抛物线的焦点,则的最小值为（ ）24y x =2||||1PM PF -A.B.2(-1)C.4D.4 3559. 设，则“是第一象限角”是“”的（ ）α∈R αsin cos 1αα+>A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10. 若角,是锐角三角形的两个内角，则 “”是“”的 （ ）αβcos sin αβ<sin cos αβ>A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 11. 函数，则（ ）()cos()sin()f x x a x b =+++A. 若，则为奇函数 B. 若，则为偶函数0a b +=()f x 2a b π+=()f x C.若，则为偶函数 D.若，则为奇函数2b a π-=()f x a b π-=()f x 12. 函数，则“对任意的实数，”是“”的（ ）()cos cos 2f x a x x =+x ()3f x ≤2a ≤A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件13. 已知,故“存在使得”是“”的（ ）,αβ∈R k ∈Z (1)k k αβ=π+-sin sin αβ=A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件14. 已知则“”是“”的（ ）,αβ∈R sin()sin 2αβα+=()k k βα=+π∈ZA ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件15. 在中，, ，则“”是“（ ）ABC △3A π∠=2BC =2AB =ABC △A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题部分16. 与双曲线渐近线相同，且一个焦点坐标是的双曲线的标准方程是 .221169x y -=(0,5)17. 已知分别是双曲线的左右焦点，P 是C 上的一点，且, 11,F F 222:1(0)9x y C a a -=≠12||2||16PF PF ==则的周长是__________.12PF F △18. 已知平面向量满足，则向量与夹角的最大值是 .,a b |||1==a b +a b -a b 19. 如图，是半径为3的圆O 的两条直径，,BC DE ，则__________.2BF FO =FD FE ⋅=20. 函数在的图象如图所示. 则()f x =cos (x ω+6π)[,]ππ-①的最小正周期为 ；()f x ②距离轴最近的对称轴方程__________.y21. 将函数且的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，再将所得图()sin cos (,f x a x b x a b =+∈R 0)b ≠12象向左平移个单位长度后，得到一个偶函数图象，则__________.6πa b=22. 设函数 2,1,()(2)1, 1.x a x f x a x x -+≤⎧=⎨--+>⎩① 若，则的单调递增区间是_________； 2a =()f x ② 若的值域为R ，则的取值范围是_________.()f x a 23. 已知函数有2个零点，且过点，则常数的一个取值为_______. 22,,()(0)ln ,.x x x t f x t x x t ⎧+≤=>⎨>⎩(e,1)t 24. 已知数列的前n 项和为，，则_______.{}n a n S ()1121nn n a a n ++-=-8S =25. 设等差数列的前n 项和为，若，，，则公差；____.{}n a n S 13m S -=-2m S =-10m S +=d =m =26. 设函数()cos 1cos 202()cos cos 2.2a x x x f x a x x x π⎧-+≤≤⎪⎪=⎨π⎪-+<≤π⎪⎩,,,①当时，的值域为____________；1a =()f x ②若恰有2个解，则的取值范围为____________.()f x a =a 27. 已知平面直角坐标系中的点集，给出下列四个结论：222{(,)|()()4||,}S x y x k y k k k =-+-=∈Z ①当直线l 为时，l 与S 没有公共点； 2y x =-②存在直线l 与S 有且只有一个公共点； ③存在直线l 经过S 中的无穷个点；④存在直线l 与S 没有公共点，且S 中存在两点在l 的两侧. 其中所有正确结论的序号是________. 三、三角函数解答题部分28．已知函数的部分图象如图所示.()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭（Ⅰ）直接写出的值；ω（Ⅱ）再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求函数在区间()f x 上的最小值.,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦条件①：直线为函数的图象的一条对称轴； 712x π=()y f x =条件②：为函数的图象的一个对称中心,03π⎛⎫⎪⎝⎭()y f x =29．在△ABC ． ππcos 66B B ⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（Ⅰ）求B 的值； （Ⅱ）给出以下三个条件：①；②；③22230a b c c -++=a =1b =ABC S =△若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题： （ⅰ）求的值；sin A （ⅱ）∠ABC 的平分线交AC 于点D ，求线段BD 的长．30. 设函数（是常数，）. 若在区间上具有单()sin()f x A x ωϕ=+,,A ωϕ0,0,||2A πωϕ>><()f x [,]62ππ调性，且，(0)(()62f f f ππ==-=（Ⅰ）直接写出的解析式； ()f x （Ⅱ）求的单调递减区间； ()f x （Ⅲ）已知，求函数在上的值域.()=2sin +(+)12g x x f x π()g x [0,]2π四、立体几何解答题部分31. 如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是正方形，平面A 1ADD 1⊥平面ABCD ，AD ＝2， AA 1＝A 1D.（Ⅰ）求证：A 1D ⊥AB ； （Ⅱ）若.12AA =（ⅰ）求直线与直线所成角的余弦值； 1AB 11A D （ⅱ）求点到平面的距离；A 11A C D （ⅲ）设点为线段上任意一点（不包含端点），证明：直线与平面相交。
2020-2021学年高考总复习数学查缺补漏试题及答案解析
最新高考数学查漏补缺试卷一.解答题1．已知函数f （x）=sinxcosx﹣2cos2x+1．（Ⅰ）求f （）；（Ⅱ）求函数f （x）图象的对称轴方程．2．已知函数f（x）=cosx•cos（x﹣）．（1）求f（）的值．（2）求使f（x）＜成立的x的取值集合．3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设A=，sinB=3sinC．（1）若a=，求b的值；（2）求tanC的值．4．已知函数f（x）=（Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）设α是第四象限的角，且tanα=，求f（α）的值．5．在等比数列{a n}中，a1+a2=6，a2+a3=12．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设{b n}是等差数列，且b2=a2，b4=a4．求数列{b n}的公差，并计算b1﹣b2+b3﹣b4+…﹣b100的值．6．数列{a n}对任意n∈N*，满足a n+1=a n+1，a3=2．（1）求数列{a n}通项公式；（2）若，求{b n}的通项公式及前n项和．7．某中学的高二（1）班男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组．（Ⅰ）求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；（Ⅱ）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；（Ⅲ）试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为68，70，71，72，74，第二次做试验的同学得到的试验数据为69，70，70，72，74，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由．8．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．9．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，AB=2，∠BAD=60°，M是PD的中点．（Ⅰ）求证：OM∥平面PAD；（Ⅱ）平面PBD⊥平面PAC；（Ⅲ）当三棱锥C﹣PBD的体积等于时，求PA的长．10．已知在△ABC中，∠B=90°，D，E分别为边BC，AC的中点，将△CDE沿DE翻折后，使之成为四棱锥C′﹣ABDE（如图）．（Ⅰ）求证：DE⊥平面BC′D；（Ⅱ）设平面C′DE∩平面ABC′=l，求证：AB∥l；（Ⅲ）若C′D⊥BD，AB=2，BD=3，F为棱BC′上一点，设，当λ为何值时，三棱锥C′﹣ADF的体积是1？11．如图，三角形ABC和梯形ACEF所在的平面互相垂直，AB⊥BC，AF⊥AC，AF2CE，G是线段BF上一点，AB=AF=BC=2．（Ⅰ）当GB=GF时，求证：EG∥平面ABC；（Ⅱ）求二面角E﹣BF﹣A的余弦值；（Ⅲ）是否存在点G满足BF⊥平面AEG？并说明理由．12．正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A﹣DC﹣B（Ⅰ）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）求二面角E﹣DF﹣C的余弦值；（Ⅲ）在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？证明你的结论．13．已知曲线C：f（x）=2xe ax﹣ax2﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）在（0，f（0））处的切线；（Ⅱ）当a=﹣1时，求曲线C与直线y=2x﹣1的交点个数；（Ⅲ）若a＞0，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．14．设函数f（x）=lnx+，a∈R．（Ⅰ）当a=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；（Ⅲ）若对任意m＞n＞0，＜1恒成立，求a的取值范围．15．已知函数f（x）=e x，g（x）=ln（x+m）．直线l：y=kx+b经过点P（﹣1，0）且与曲线y=f（x）相切．（1）求切线l的方程．（2）若关于x的不等式kx+b≥g（x）恒成立，求实数m的最大值．（3）设F（x）=f（x）﹣g（x），若函数F（x）有唯一的零点x0，求证﹣1＜x0＜﹣．16．已知函数，其中a是实数．设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为该函数图象上的两点，且x1＜x2．（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，证明：x2﹣x1≥1；（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．17．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，且过点P（，）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设Q（x0，y0）（x0y0≠0）为椭圆C上一点，过点Q作x轴的垂线，垂足为E．取点A（0，2），连接AE，过点A作AE的垂线交x轴于点D．点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG，问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由．18．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线x2=8y的准线上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）点P（2，），Q（2，﹣）在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．当A，B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．19．已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．20．已知椭圆C：+（a＞b＞0）的离心率为，以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过椭圆C的右顶点B作两条互相垂直的直线l1，l2，且分别交椭圆C于M，N两点，探究直线MN是否过定点？若过定点求出定点坐标，否则说明理由．21．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C 于点P，Q．①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当最小时，求点T的坐标．参考答案与试题解析一.解答题1．已知函数f （x）=sinxcosx﹣2cos2x+1．（Ⅰ）求f （）；（Ⅱ）求函数f （x）图象的对称轴方程．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的对称性．【分析】（Ⅰ）化简函数f （x）=sinxcosx﹣2cos2x+1．为一个角的一个三角函数的形式，然后求f （）的值；（Ⅱ）利用（Ⅰ）化简的函数的表达式，结合三角函数的对称轴方程，求函数f （x）图象的对称轴方程．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），所以f（）=2sin=．（Ⅱ）令2x﹣=kπ+（k∈Z），得x=，所以函数f（x）图象的对称轴方程是x=（k∈Z）．2．已知函数f（x）=cosx•cos（x﹣）．（1）求f（）的值．（2）求使f（x）＜成立的x的取值集合．【考点】两角和与差的余弦函数；余弦函数的单调性．【分析】（1）将x=代入f（x）解析式，利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简即可得到结果；（2）f（x）解析式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的余弦函数，变形后，利用余弦函数的图象与性质即可得到满足题意x的集合．【解答】解：（1）f（）=cos cos（﹣）=cos cos=﹣cos2=﹣；（2）f（x）=cosxcos（x﹣）=cosx（cosx+sinx）=cos2x+sinxcosx=（1+cos2x）+sin2x=cos（2x﹣）+，∴f（x）＜，化为cos（2x﹣）+＜，即cos（2x﹣）＜0，∴2kπ+＜2x﹣＜2kπ+（k∈Z），解得：kπ+＜x＜kπ+（k∈Z），则使f（x）＜成立的x取值集合为{x|kπ+，kπ+（k∈Z）}．3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设A=，sinB=3sinC．（1）若a=，求b的值；（2）求tanC的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由正弦定理化简已知可得：b=3c，利用余弦定理可得7=b2+c2﹣bc，即可解得b的值．（2）由三角形内角和定理可得B=﹣C，从而可得sin（﹣C）=3sinC，利用两角差的正弦函数公式，特殊角的三角函数值，同角三角函数基本关系式即可计算得解tanC的值．【解答】（本题满分为13分）解：（1）∵sinB=3sinC，∴由正弦定理可得：b=3c，∴由余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA及A=，a=，可得：7=b2+c2﹣bc，∴b2+（）2﹣=7，解得：b=3…7分（2）∵A=，∴B=﹣C，∴sin（﹣C）=3sinC，即：cosC+sinC=3sinC，∴cosC=sinC，∴tanC=…13分4．已知函数f（x）=（Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）设α是第四象限的角，且tanα=，求f（α）的值．【考点】二倍角的正弦；函数的定义域及其求法；同角三角函数基本关系的运用．【分析】（Ⅰ）由cosx≠0即可求出定义域；（Ⅱ）先由tanα=求sinα、cosα，再利用正弦的二倍角公式即可求之．【解答】解：（Ⅰ）由cosx≠0得x≠kπ+（k∈Z），故f（x）的定义域为{|x|x≠kπ+，k∈Z}．（Ⅱ）因为tanα=，且α是第四象限的角，所以sinα=，cosα=，故f（α）====．5．在等比数列{a n}中，a1+a2=6，a2+a3=12．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设{b n}是等差数列，且b2=a2，b4=a4．求数列{b n}的公差，并计算b1﹣b2+b3﹣b4+…﹣b100的值．【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．【分析】（Ⅰ）由等比数列的通项公式可得，a1（1+q）=6，a1q（1+q）=12，解方程可求a1，进而可求通项（Ⅱ）结合等差数列的通项公式可得，b1+d=4，b1+3d=16，解方程求出b1，d，然后利用分组求和即可【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，由已知，a1（1+q）=6，a1q（1+q）=12 …两式相除，得q=2．…所以a1=2，…所以数列{a n}的通项公．…（Ⅱ）设等差数列{b n}的公差为d，则b1+d=4，b1+3d=16…解得b1=﹣2，d=6…b1﹣b2+b3﹣b4+…﹣b100的=（b1﹣b2）+（b3﹣b4）+…（b99﹣b100）=﹣50d=﹣300…6．数列{a n}对任意n∈N*，满足a n+1=a n+1，a3=2．（1）求数列{a n}通项公式；（2）若，求{b n}的通项公式及前n项和．【考点】等比数列的前n项和；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．【分析】（1）由已知得a n+1﹣a n=1数列{a n}是等差数列，且公差d=1，再由a3=2，求出首项，从而得到{a n}通项公式．（2）由（1）得，，拆项后分别利用等比数列的前n项和公式以及等差数列的前n项和公式，运算求得结果．【解答】解：（1）由已知得a n+1﹣a n=1数列{a n}是等差数列，且公差d=1．…又a3=2，得a1=0，所以a n=n﹣1．…（2）由（1）得，，所以=，…故．…7．某中学的高二（1）班男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组．（Ⅰ）求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；（Ⅱ）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；（Ⅲ）试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为68，70，71，72，74，第二次做试验的同学得到的试验数据为69，70，70，72，74，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由．【考点】等可能事件的概率；分层抽样方法；极差、方差与标准差．【分析】（I）按照分层抽样的按比例抽取的方法，男女生抽取的比例是45：15，4人中的男女抽取比例也是45：15，从而解决；（II）先算出选出的两名同学的基本事件数，有（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b），（a2，b），（a3，b），共6种；再算出恰有一名女同学事件数，两者比值即为所求概率；（III）欲问哪位同学的试验更稳定，只要算出他们各自的方差比较大小即可，方差小些的比较稳定．【解答】解：（I）∴每个同学被抽到的概率为课外兴趣小组中男、女同学的人数分别为3，1（II）把3名男同学和1名女同学记为a1，a2，a3，b，则选取两名同学的基本事件有（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b），（a2，b），（a3，b），共6种，其中有一名女同学的有3种∴选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为（III），∴，∴第二次做实验的更稳定8．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）设每盘游戏获得的分数为X，求出对应的概率，即可求X的分布列；（2）求出有一盘出现音乐的概率，独立重复试验的概率公式即可得到结论．（3）计算出随机变量的期望，根据统计与概率的知识进行分析即可．【解答】解：（1）X可能取值有﹣200，10，20，100．则P（X=﹣200）=，P（X=10）==P（X=20）==，P（X=100）==，故分布列为：X ﹣200 10 20 100P由（1）知，每盘游戏出现音乐的概率是p=+=，则至少有一盘出现音乐的概率p=1﹣．由（1）知，每盘游戏获得的分数为X的数学期望是E（X）=（﹣200）×+10×+20××100=﹣=．这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，入最初的分数相比，分数没有增加反而会减少．9．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，AB=2，∠BAD=60°，M是PD的中点．（Ⅰ）求证：OM∥平面PAD；（Ⅱ）平面PBD⊥平面PAC；（Ⅲ）当三棱锥C﹣PBD的体积等于时，求PA的长．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（I）由中位线定理可知OM∥PB，故而OM∥平面PAB；（II）由菱形的性质得BD⊥AC，由PA⊥平面ABCD得BD⊥PA，故BD⊥平面PAC，于是平面PBD⊥平面PAC；（III）根据V C﹣PBD=V P﹣BCD，计算出S△BCD代入体积公式得出棱锥的高PA．【解答】证明：（Ⅰ）在△PBD中，因为O，M分别是BD，PD的中点，所以OM∥PB．又OM⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，所以OM∥平面PAB．（Ⅱ）因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC．因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD．又AC∩PA=A，所以BD⊥平面PAC．又BD⊂平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAC．解：（Ⅲ）因为底面ABCD是菱形，且AB=2，∠BAD=60°，所以S△BCD=．又V C﹣PBD=V P﹣BCD，三棱锥P﹣BCD的高为PA，所以，解得．10．已知在△ABC中，∠B=90°，D，E分别为边BC，AC的中点，将△CDE沿DE翻折后，使之成为四棱锥C′﹣ABDE（如图）．（Ⅰ）求证：DE⊥平面BC′D；（Ⅱ）设平面C′DE∩平面ABC′=l，求证：AB∥l；（Ⅲ）若C′D⊥BD，AB=2，BD=3，F为棱BC′上一点，设，当λ为何值时，三棱锥C′﹣ADF的体积是1？【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（I）由DE∥AB，AB⊥BC可知DE⊥BC，故翻折后DE⊥BD，DE⊥C′D，得出DE⊥平面BC′D；（II）由DE∥AB可知AB∥平面C′DE，由线面平行的性质即可得到AB∥l；（III）V C′﹣ADF=V A﹣DC′F=，当C′D⊥BD时，∠DC′F=45°，BC′=3，代入体积公式计算C′F，从而得出λ的值．【解答】证明：（Ⅰ）∵∠B=90°，D，E分别为BC，AC的中点∴DE∥AB，∴C'D⊥DE，BD⊥DE，又∵C'D∩BD=D，∴DE⊥平面BC'D，（Ⅱ）∵DE∥AB，DE⊂面C'DE，AB⊄面C'DE，∴AB∥面C'DE，又∵AB⊂面ABC'，面ABC'∩面C'DE=l，∴AB∥l．解：（III）∵DE⊥平面BC′D，DE∥AB，∴AB⊥平面BC′D，∴V C′﹣ADF=V A﹣DC′F==1，∴S△C′DF=．∵C′D⊥BD，C′D=BD=3，∴∠DC′B=45°，C′B=3．∴S△C′DF==．解得C′F=，∴BF=BC′﹣C′F=2．∴λ==2．11．如图，三角形ABC和梯形ACEF所在的平面互相垂直，AB⊥BC，AF⊥AC，AF2CE，G是线段BF上一点，AB=AF=BC=2．（Ⅰ）当GB=GF时，求证：EG∥平面ABC；（Ⅱ）求二面角E﹣BF﹣A的余弦值；（Ⅲ）是否存在点G满足BF⊥平面AEG？并说明理由．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）当GB=GF时，根据线面平行的判定定理即可证明EG∥平面ABC；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求二面角E﹣BF﹣A的余弦值；（Ⅲ）根据线面垂直的判定定理和性质定理，建立条件关系即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）取AB中点D，连接GD，CD，又GB=GF，所以．因为，所以，四边形GDCE是平行四边形，所以CD∥EG因为EG⊄平面ABC，CD⊂平面ABC所以EG∥平面ABC．（Ⅱ）因为平面ABC⊥平面ACEF，平面ABC∩平面ACEF=AC，且AF⊥AC，所以AF⊥平面ABC，所以AF⊥AB，AF⊥BC因为BC⊥AB，所以BC⊥平面ABF．如图，以A为原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz．则F（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），E（2，2，1），是平面ABF的一个法向量．设平面BEF的法向量n=（x，y，z），则，即令y=1，则z=﹣2，x=﹣2，所以n=（﹣2，1，﹣2），所以，由题知二面角E﹣BF﹣A为钝角，所以二面角E﹣BF﹣A的余弦值为．（Ⅲ）因为，所以BF与AE不垂直，所以不存在点G满足BF⊥平面AEG．12．正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A﹣DC﹣B（Ⅰ）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）求二面角E﹣DF﹣C的余弦值；（Ⅲ）在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？证明你的结论．【考点】直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【分析】法一（1）要证明线面平行，关键是在平面内找到一条可能与已知直线平行的直线，观察到平面BEF中三条已知直线中，EF可能与AB平行，故可以以此为切入点进行证明．（2）要求二面角的余弦，要先构造出二面角的平面角，然后利用解三角形的方法，求出这个平面角的余弦值，进而给出二面角的余弦值．（3）线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．法二，根据题意，构造空间直角坐标系，求出各点的坐标，进行求出相应直线的方向向量和平面的法向量，利用向量法进行求解（1）利用直线的方向向量与平面的法向量之间的关系，判断线面关系，（2）通过求两个平面法向量的夹角求二面角．【解答】解：法一：（I）如图：在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EF∥AB，又AB⊄平面DEF，EF⊂平面DEF．∴AB∥平面DEF．（II）∵AD⊥CD，BD⊥CD∴∠ADB是二面角A﹣CD﹣B的平面角∴AD⊥BD∴AD⊥平面BCD取CD的中点M，这时EM∥AD∴EM⊥平面BCD过M作MN⊥DF于点N，连接EN，则EN⊥DF∴∠MNE是二面角E﹣DF﹣C的平面角在Rt△EMN中，EM=1，MN=∴tan∠MNE=，cos∠MNE=．（Ⅲ）在线段BC上存在点P，使AP⊥DE证明如下：在线段BC上取点P．使，过P作PQ⊥CD与点Q，∴PQ⊥平面ACD∵在等边△ADE中，∠DAQ=30°∴AQ⊥DE∴AP⊥DE．法二：（Ⅱ）以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，2）B（2，0，0）C（0，平面CDF的法向量为设平面EDF的法向量为则即所以二面角E﹣DF﹣C的余弦值为（Ⅲ）在平面坐标系xDy中，直线BC的方程为设∴所以在线段BC上存在点P，使AP⊥DE另解：设又∵把代入上式得，∴所以在线段BC上存在点P使AP⊥DE13．已知曲线C：f（x）=2xe ax﹣ax2﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）在（0，f（0））处的切线；（Ⅱ）当a=﹣1时，求曲线C与直线y=2x﹣1的交点个数；（Ⅲ）若a＞0，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出导数，求出切点，和切线的斜率，写出切线方程；（Ⅱ）写出a=﹣1的函数式，曲线C与直线y=2x﹣1的交点个数与方程x（2e﹣x+x﹣2）=0的解的个数相同，构造函数g（x）=2e﹣x+x﹣2，求出导数，应用单调性求出极值、最值，应用零点存在定理即可判断；（Ⅲ）通过导数，判断a＞0时的函数f（x）的单调性，注意应用指数函数的单调性，即可证明．【解答】解：（Ⅰ）f（0）=﹣1，∵f′（x）=（2ax+2）e ax﹣2ax，∴f′（0）=2，∴函数f（x）在（0，f（0））处的切线为y=2x﹣1．（Ⅱ）当a=﹣1时，f（x）=2xe﹣x+x2﹣1，曲线C与直线y=2x﹣1的交点个数与方程x（2e﹣x+x﹣2）=0的解的个数相同，x=0显然是该方程的一个解．令g（x）=2e﹣x+x﹣2，则g′（x）=﹣2e﹣x+1，由g'（x）=0得x=ln2∵x＜ln2时，g′（x）＜0；x＞ln2时，g′（x）＞0，∴g（x）在（﹣∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增．∴g（x）最小值为g（ln2）=ln2﹣1，∵ln2＜lne=1，∴g（ln2）＜0，∵g（0）=0，g（2）=2e﹣2＞0，∴g（x）的零点一个是0，一个大于ln2，∴两曲线有两个交点．（Ⅲ）证明：f′（x）=2[（ax+1）e ax﹣ax]∵a＞0，∴当x＞0时，ax＞0，∴ax+1＞1，e ax＞1，∴f′（x）=2[（ax+1）e ax﹣ax]＞2[（ax+1）﹣ax]=2＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．14．设函数f（x）=lnx+，a∈R．（Ⅰ）当a=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；（Ⅲ）若对任意m＞n＞0，＜1恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）根据分母不为0，对数函数定义求出f（x）的定义域，进而求出a=e的f（x）解析式，求出导函数，根据导函数的正负确定出函数的单调区间，即可求出f（x）的极小值；（Ⅱ）把导函数代入g（x）=f′（x）﹣，表示出g（x），令g（x）=0，表示出a，利用导函数的性质确定出g（x）零点个数即可；（Ⅲ）对任意的m＞n＞0，＜1恒成立，等价于f（m）﹣m＜f（n）﹣n 恒成立（*），设h（x）=f（x）﹣x=lnx+﹣x（x＞0），故（*）等价于h（x）在（0，+∞）上单调递减，进而求出a的最小值，确定出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），当a=e时，f（x）=lnx+，则f′（x）=，∴当x∈（0，e）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，e）上单调递减；当x∈（e，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（e，+∞）上单调递增，∴x=e时，f（x）取得极小值f（e）=lne+=2，∴f（x）的极小值为2；（Ⅱ）由题设g（x）=f′（x）﹣=﹣﹣（x＞0），令g（x）=0，得a=﹣x3+x（x＞0），设φ（x）=﹣x3+x（x≥0），则φ′（x）=﹣x2+1=﹣（x﹣1）（x+1），当x∈（0，1）时，φ′（x）＞0，φ（x）在（0，1）上单调递增；当x∈（1，+∞）时，φ′（x）＜0，φ（x）在（1，+∞）上单调递减，∴x=1是φ（x）的唯一极值点，且是极大值点，∴x=1也是φ（x）的最大值点，∴φ（x）的最大值为φ（1）=．又φ（0）=0，结合y=φ（x）的图象（如图所示），可知①当a＞时，函数g（x）无零点；②当a=时，函数g（x）有且只有一个零点；③当0＜a＜时，函数g（x）有两个零点；④当a≤0时，函数g（x）有且只有一个零点（x＞0），综上所述，当a＞时，函数g（x）无零点；当a=或a≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；当0＜a＜时，函数g（x）有两个零点；（Ⅲ）对任意的m＞n＞0，＜1恒成立，等价于f（m）﹣m＜f（n）﹣n恒成立（*），设h（x）=f（x）﹣x=lnx+﹣x（x＞0），∴（*）等价于h（x）在（0，+∞）上单调递减，由h′（x）=﹣﹣1≤0在（0，+∞）上恒成立，得a≥﹣x2+x=﹣（x﹣）2+（x＞0）恒成立，∴a≥（对a=，h′（x）=0仅在x=时成立），∴a的取值范围是[，+∞）．15．已知函数f（x）=e x，g（x）=ln（x+m）．直线l：y=kx+b经过点P（﹣1，0）且与曲线y=f（x）相切．（1）求切线l的方程．（2）若关于x的不等式kx+b≥g（x）恒成立，求实数m的最大值．（3）设F（x）=f（x）﹣g（x），若函数F（x）有唯一的零点x0，求证﹣1＜x0＜﹣．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）设切点为（x1，y1），求出切点坐标，即可求切线l的方程．（2）设h（x）=1+x﹣ln（x+m），求导数，确定函数的单调性，求出最值，即可求实数m的最大值．（3）函数F（x）有唯一的零点x0，可知f（x）=e x，g（x）=ln（x+m）在（x0，y0）处有公共切线l，可得e x0+x0=0，设H（x）=e x+x，证明H（x）在（﹣m，+∞）上单调递增，即可得出结论．【解答】（1）解：设切点为（x1，y1），则∵f（x）=e x，∴f′（x）=e x，∴切线l：y﹣e x1=e x1（x﹣x1），P（﹣1，0）代入可得0﹣e x1=e x1（﹣1﹣x1），∴x1=0，∴切线l：y=x+1；（2）设h（x）=1+x﹣ln（x+m），则h′（x）=，∴﹣m＜x＜1﹣m时，h′（x）＜0，x＞1﹣m时，h′（x）＞0，∴h（x）在x=1﹣m时取极小值，也是最小值，∵关于x的不等式kx+b≥g（x）恒成立，∴h（1﹣m）=2﹣m≥0，∴m≤2，∴实数m的最大值为2．（3）证明：由题意，方程e x=ln（x+m）有唯一实根x0，即f（x）=e x，g（x）=ln（x+m）有唯一交点，图象如图所示，可知f（x）=e x，g（x）=ln（x+m）在（x0，y0）处有公共切线l，∴e x0=，∴e x0+x0=0，设H（x）=e x+x，则H′（x）=e x+1＞0，∴H（x）在（﹣m，+∞）上单调递增，∵H（﹣）=﹣＞0，H（﹣1）=﹣1＜0，∴﹣1＜x0＜﹣．16．已知函数，其中a是实数．设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为该函数图象上的两点，且x1＜x2．（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，证明：x2﹣x1≥1；（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（I）根据分段函数中两段解析式，结合二次函数及对数函数的性质，即可得出函数f（x）的单调区间；（II）由导数的几何意义知，点A处的切线的斜率为f′（x1），点B处的切线的斜率为f′（x2），再利用f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直时，斜率之积等于﹣1，得出（2x1+2）（2x2+2）=﹣1，最后利用基本不等式即可证得x2﹣x1≥1；（III）先根据导数的几何意义写出函数f（x）在点A、B处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件列出关系式，从而得出a=lnx2+（）2﹣1，最后利用导数研究它的单调性和最值，即可得出a的取值范围．【解答】解：（I）函数f（x）的单调减区间（﹣∞，﹣1），函数f（x）的单调增区间[﹣1，0），（0，+∞）；（II）由导数的几何意义知，点A处的切线的斜率为f′（x1），点B处的切线的斜率为f′（x2），函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直时，有f′（x1）f′（x2）=﹣1，当x＜0时，（2x1+2）（2x2+2）=﹣1，∵x1＜x2＜0，∴2x1+2＜0，2x2+2＞0，∴x2﹣x1=[﹣（2x1+2）+（2x2+2）]≥=1，∴若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，有x2﹣x1≥1；（III）当x1＜x2＜0，或0＜x1＜x2时，f′（x1）≠f′（x2），故x1＜0＜x2，当x1＜0时，函数f（x）在点A（x1，f（x1））处的切线方程为y﹣（x+2x1+a）=（2x1+2）（x﹣x1）；当x2＞0时，函数f（x）在点B（x2，f（x2））处的切线方程为y﹣lnx2=（x﹣x2）；两直线重合的充要条件是，由①及x1＜0＜x2得0＜＜2，由①②得a=lnx2+（）2﹣1=﹣ln+（）2﹣1，令t=，则0＜t＜2，且a=t2﹣t﹣lnt，设h（t）=t2﹣t﹣lnt，（0＜t＜2）则h′（t）=t﹣1﹣=，∴h（t）在（0，2）为减函数，则h（t）＞h（2）=﹣ln2﹣1，∴a＞﹣ln2﹣1，∴若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，a的取值范围（﹣ln2﹣1，+∞）．17．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，且过点P（，）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设Q（x0，y0）（x0y0≠0）为椭圆C上一点，过点Q作x轴的垂线，垂足为E．取点A（0，2），连接AE，过点A作AE的垂线交x轴于点D．点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG，问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．【分析】（I）根据椭圆的焦距为4，得到c==2，再由点P（）在椭圆C 上得到，两式联解即可得到a2=8且b2=4，从而得到椭圆C的方程；（II）由题意得E（x0，0），设D的坐标为（x D，0），可得向量、的坐标，根据AD ⊥AE得，从而算出x D=﹣，因为点G是点D关于y轴的对称点，得到G（，0）．直线QG的斜率为k QG=，结合点Q是椭圆C上的点化简得k QG=﹣，从而得到直线QG的方程为：y=﹣（x﹣），将此方程与椭圆C的方程联解可得△=0，从而得到方程组有唯一解，即点Q是直线QG与椭圆C的唯一公共点，由此即得直线QG 与椭圆C一定有唯一的公共点．【解答】解：（I）∵椭圆C：+（a＞b＞0）的焦距为4，∴c=2，可得=2…①又∵点P（）在椭圆C上∴…②联解①②，可得a2=8且b2=4，椭圆C的方程为；（II）由题意，得E点坐标为（x0，0），设D（x D，0），可得=（x0，﹣），=（x D，﹣），∵AD⊥AE，可得∴x0x D+（﹣）•（﹣）=0，即x0x D+8=0，得x D=﹣∵点G是点D关于y轴的对称点，∴点G的坐标为（，0）因此，直线QG的斜率为k QG==又∵点Q（x0，y0）在椭圆C上，可得∴k QG==﹣由此可得直线QG的方程为：y=﹣（x﹣），代入椭圆C方程，化简得（）x2﹣16x0x+64﹣16=0将代入上式，得8x2﹣16x0x+8=0，化简得x2﹣2x0x+=0，所以△=，从而可得x=x0，y=y0是方程组的唯一解，即点Q是直线QG与椭圆C的唯一公共点．综上所述，可得直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点．18．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线x2=8y的准线上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）点P（2，），Q（2，﹣）在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．当A，B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），由椭圆的一个顶点恰好在抛物线x2=8y的准线y=﹣2上，可得﹣b=﹣2，解得b．又，a2=b2+c2，联立解得即可．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由∠APQ=∠BPQ，则PA，PB的斜率互为相互数，可设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k，直线PA的方程为：=k（x﹣2），与椭圆的方程联立化为+4﹣16=0，利用根与系数的关系、斜率计算公式即可得出．【解答】解：（1）设椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线x2=8y的准线y=﹣2上，∴﹣b=﹣2，解得b=2．又，a2=b2+c2，∴a=4，，可得椭圆C的标准方程为．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵∠APQ=∠BPQ，则PA，PB的斜率互为相互数，可设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k，直线PA的方程为：=k（x﹣2），联立，化为+4﹣16=0，∴x1+2=，同理可得：x2+2==，∴x1+x2=，x1﹣x2=，k AB===．∴直线AB的斜率为定值．19．已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线的斜率．【分析】（1）联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论．（2）四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即x P=2x M，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：（1）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），将y=kx+b代入9x2+y2=m2（m＞0），得（k2+9）x2+2kbx+b2﹣m2=0，则判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，则x1+x2=，则x M==，y M=kx M+b=，于是直线OM的斜率k OM==，即k OM•k=﹣9，∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．（2）四边形OAPB能为平行四边形．∵直线l过点（，m），∴由判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，即k2m2＞9b2﹣9m2，∵b=m﹣m，∴k2m2＞9（m﹣m）2﹣9m2，即k2＞k2﹣6k，则k＞0，∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k＞0，k≠3，由（1）知OM的方程为y=x，设P的横坐标为x P，由得，即x P=，将点（，m）的坐标代入l的方程得b=，即l的方程为y=kx+，。
北京市海淀区2022届高三数学查缺补漏试题理科北师大版含答案
俯视图65左视图562022年高三数学查漏补缺题理科1.函数图象的两条相邻对称轴间的距离为A.B. C. D. 2.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A．B．C．D．3.若向量满足，且，则向量的夹角为A．30° B．45° C．60°D．90°4.已知函数，则，，的大小关系为A． B．C． D．5.某空间几何体三视图如右图所示，则该几何体的表面积为_____,体积为_____________.6.设、是不同的直线，、、是不同的平面，有以下四个命题：① 若 则 ②若，，则③ 若，则 ④若，则其中所有真命题的序号是_____7.设不等式组表示的平面区域为D，若直线上存在区域D 上的点，则的取值范围是_____.8.已知不等式组所表示的平面区域为，则的面积是_____；设点，当最小时，点坐标为_____．cos(4)3y x π=+π8π4π2πe xy =sin 2y x=3y x =-12log y x=,a b ||||2==a b 6⋅+⋅=a b b b ,a b ()sin f x x x =π()11f (1)f -π3f -（ππ((1)()311f f f ->->ππ(1)(()311f f f ->->ππ()(1)()113f f f >->-ππ()((1)311f f f ->>-m n αβγ//,//,αβαγ//βγαβ⊥//m αm β⊥,//m m αβ⊥αβ⊥//,m n n α⊂//m α202400x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩2x y b +=b 02,20,3240x x y x y ≤≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩W W (,)P x y W ∈22x y +P9. 的展开式中的常数项为 10. 计算 .11.若直线的参数方程为其中为参数，则直线的斜率为_______.12.如图，已知是圆的切线，切点为,交圆于两点，，则13.如图所示，正方体的棱长为1, 分别是棱，的中点，过直线的平面分别与棱、交于，设，，给出以下四个命题：①平面平面；②四边形周长，是单调函数；③四边形MENF 面积，是单调函数；④四棱锥的体积为常函数；以上命题中正确命题的个数（ ）A．1 B．2 C．3 D．414.直线与抛物线相切于点. 若的横坐标为整数，那么的最小值为 .15.已知数列的前项和 若是中的最大值，则实数的取值范围是_____.解答题部分：1. 已知函数（I）求的最小正周期和值域；（Ⅱ）在中，角所对的边分别是，若且，试判断的形状.523)x +e 11(2)d x x x+=⎰l 112x t y t =+⎧⎨=-⎩，，t l PA O A PO O ,BC 1PA PB ==____,____.AB ACB =∠=ABCD A B C D ''''-,E F AA 'CC ',E F BB 'DD ',M N BM x =[0,1]x ∈MENF ⊥BDD B ''MENF ()L f x =[0,1]x ∈()S g x =[0,1]x ∈C MENF '-()V h x =y ax b =+2114y x =+P P 22a b +{}n a n 221, 4,(1), 5.nn n S n a n n ⎧-≤⎪=⎨-+-≥⎪⎩5a {}n aa 22()cos cos sin f x x x x x =+-()f x ABC ∆,,A B C ,,abc (22Af =2a bc =ABC ∆ABPCO2. 如图，在直角坐标系中，点是单位圆上的动点，过点作轴的垂线与射线交于点，与轴交于点．记，且．（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）求面积的最大值.3. 已知函数,且（Ⅰ）求的值.（Ⅱ）求函数在区间 上的最大和最小值.4.数列的各项都是正数，前项和为,且对任意，都有.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求数列的通项公式.5. 已知正三角形与平行四边形所在的平面互相垂直.又，且，点分别为的中点. (I) 求证： (Ⅱ) 求二面角值.6. 袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球．（Ⅰ）采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率；xOy P Px (0)y x =≥Q x M MOP α∠=ππ(,22α∈-1sin 3α=cos POQ ∠OPQ ∆π()cos2sin()12f x x a x =+-+π(14f =+a ()f x [0,π]{}n a n n S n N +∈33332123n n a a a a S ++++= 22n n n a S a =-{}n a ACE ABCD 90ACD ∠=2CD AC ==,O F ,AC AD CF DE ⊥O DE C --M（Ⅱ）采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记为摸出两球中白球的个数，求的期望和方差.7. 已知函数在处有极值. （Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若直线与函数有交点，求实数的取值范围.8. 已知函数，其中.（Ⅰ）求的单调递减区间；（Ⅱ）若存在，，使得，求的取值范围.9. 设函数，其图象在点处的切线的斜率分别为．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若函数的递增区间为，求的取值范围．10. 已知椭圆的离心率为，且经过点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设为椭圆上的两个动点，线段的垂直平分线交轴于点，求 的取值范围.11.如图，已知，两点分别在轴和轴上运动，并且满足ξξ21()6ln(2)2f x ax x =-++2x =()f x y kx ='()f x k ()e (1)ax af x a x=⋅++1a ≥-()f x 10x >20x <12()()f x f x <a 321()()3f x ax bx cx a b c =++<<(1,(1)),(,())A f B m f m 0,a -01ba<≤()f x [,]s t ||s t -:C 22221(0)x y a b a b +=>>123(1,)2A C ,M N C MN y 0(0,)P y 0y (3,0)(0)M m m ->,N P y x，.（Ⅰ）求动点的轨迹方程；（Ⅱ）若正方形的三个顶点在点的轨迹上，求正方形面积的最小值.12. 动圆过点且在轴上截得的线段长为，记动圆圆心轨迹为曲线.（Ⅰ）求曲线的方程;（Ⅱ）已知是曲线上的两点，且，过两点分别作曲线的切线，设两条切线交于点，求△面积的最大值．13.已知椭圆的左右两个顶点分别为，点是直线上任意一点，直线，分别与椭圆交于不同于两点的点，点. （Ⅰ）求椭圆的离心率和右焦点的坐标；（Ⅱ）（i）证明三点共线；（Ⅱ）求面积的最大值。
西城区高三查缺补漏试题数学含答案
2014年北京市西城区高三数学查缺补漏试题2014.5一、选择题1.已知23loglog 1x y <<，那么( ）(A)3x y << （B ）3y x << （C ）3y x <<（D)3x y <<2.（理）在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为2,12x t y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）,设直线l 的倾斜角为θ，则tan θ=（ ） （A ）2 （B ）2- （C ）5（D ）5-3.“0,0a b >>"是“曲线221axby +=为椭圆”的（)（A)充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C)充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件4.设函数()sin f x x =的导函数为()f x '，那么要得到函数()f x 的图象，只需将()f x '的图象（ ） （A ）向左平移π4个单位（B ）向右平移π4个单位（C ）向左平移π2个单位（D ）向右平移π2个单位5.已知函数()log(2)1mf x x =-+(0m >,且1m ≠）的图象恒过点P ，且点P 在直线1(0,0)ax by a b +=>>上，那么ab 的（ ） （A ）最大值为14（B ）最小值为14(C ）最大值为12（D ）最小值为126. 在约束条件1,0,2a x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤下，设目标函数z x y =+的最大值为M ，则当46a ≤≤时，M的取值范围是（ ）（A)[3,5]（B ）[2,4]（C)[1,4] （D ）[2,5]7.某三棱锥的三视图是三个全等的等腰直角三角形，且正（主)视图如图所示，则此三棱锥的表面积为（（A ）6+ （B ） （C ）(D ），或6+8.根据市场调查，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量nS （万件）近似地满足2(215)90nnSn n (1,2,,12)n ，按此预测，在本年内,需求超过1。
2020高考数学复习查缺补漏
角为 40◦，向建筑物正前方前进 20 米到达 B 处再架
1.
已知 2 cos
π
…√»√ = 2 + 2 + 2 + 2，由此可知 2 cos
π=
√ »32 √ A. 2 + 2 + 2
√»√ B. 2 2 + 2 + 2
C.
√16 1
»
√
2+ 2+ 2
2
»√ D. 2 + 2
设测角仪，测得 M 的仰角为 50◦，已知两次两次测
C. 2
D. 8 3
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ZY 六盘水市实验一中 ou ing
2020 高考数学复习查缺补漏
贵州省六盘水市第一实验中学邹颖 2020 年 6 月 20 日
目录
2020 高考数学查缺补漏（一） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2020 高考数学查缺补漏（一）
.
9
3. 双若曲3C#线A»E=:5xaA#22P»−，yb则22 双= 曲1 的线虚E轴的为离B心C率，为右顶点为 A，右焦点为 F ，直线 AC 与 BF 交于点 P ，
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
9.
P
是双曲线 C
:
x2 y2 a2 − b2
= 1(a > 0, b > 0) 右支上的点，P
2020 高考数学查缺补漏（一）
二、填空题：(共 -6 个小题，每小题 5 分，满分 -30 分)
7. 如图，为测量一座“不可到达”建筑物高度，在地面
2021-2022年高三查缺补漏数学试卷含解析
2021-2022年高三查缺补漏数学试卷含解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．设集合A={1，2，3，5}，B={2，3，6}，则A∪B=______．2．复数z满足iz=i+1，则z共轭复数为______．3．已知一组数据3，5，4，7，6，那么这组数据的标准差为______．4．如图是一个算法流程图，则输出k的值是______．5．袋中有形状、大小都相同的5只球，其中有2只红球，3只白球，若从中随机一次摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为______．6．底面边长和高都为2的正四棱锥的表面积为______．7．已知圆（x+1）2+y2=4与抛物线y2=2px（p＞0）的准线交于A、B两点，且AB=2，则p的值为______．8．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），如果存在实数x，使得对任意的实数x，都有f（x0）≤f（x）≤f（x+xxπ）成立，则ω的最小值为______．9．在正项等比数列{an }中，若3a1，成等差数列，则=______．10．若点P（cosα，sinα）在直线y=﹣2x上，则的值等于______．11．已知函数f（x）=（k∈R），若函数y=|f（x）|+k有三个零点，则实数k的取值范围是______．12．已知直角△AOB的面积为1，O为直角顶点．设向量=， =， =+2，则的最大值为______．13．已知实数x，y满足，则的最小值为______．14．已知函数f（x）=ax﹣x2﹣lnx，若函数f（x）存在极值，且所有极值之和小于5+ln2，则实数a的取值范围是______．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（tanA+tanC，），=（tanAtanC﹣1，1），且∥．（1）求角B；（2）若b=2，求△ABC的面积的最大值．16．在三棱锥P﹣ABC中，D为AB的中点．（1）与BC平行的平面PDE交AC于点E，判断点E在AC上的位置并说明理由如下：（2）若PA=PB，且△PCD为锐角三角形，又平面PCD⊥平面ABC，求证：AB⊥PC．17．如图，景点A在景点B的正北方向2千米处，景点C在景点B的正东方向千米处．（Ⅰ）游客甲沿CA从景点C出发行至与景点B相距千米的点P处，记∠PBC=α，求sinα的值；（Ⅱ）甲沿CA从景点C出发前往景点A，乙沿AB从景点A出发前往景点B，甲乙同时出发，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时．若甲乙两人之间通过对讲机联系，对讲机在该景区内的最大通话距离为3千米，问有多长时间两人不能通话？（精确到0.1小时，参考数据：）18．已知椭圆C：的上顶点M与左、右焦点F1、F2构成三角形MF1F2面积为，又椭圆C 的离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆C的下顶点为N，过点T（t，2）（t≠0）的直线TM，TN分别与椭圆C交于E，F两点．若△TMN的面积是△TEF的面积的k倍，求k的最大值．19．已知函数f（x）=x﹣1﹣a（x﹣1）2﹣lnx（a∈R）．（1）当a=0时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数g（x）=f（x）﹣x+1有一个极小值点和一个极大值点，求a的取值范围；（3）若存在k∈（1，2），使得当x∈（0，k]时，f（x）的值域是[f（k），+∞），求a的取值范围．注：自然对数的底数e=2.71828…20．数列{a n}的前n项和记为S n，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得S n=a m，则称{a n}是“G数列”．（1）若数列{a n}的通项公式a n=2n，判断{a n}是否为“G数列”；（2）等差数列{a n}，公差d≠0，a1=2d，求证：{a n}是“G数列”；（3）设S n与a n满足（1﹣q）S n+a n+1=r，其中a1=2t＞0，q≠0．若{a n}是“G数列”，求q，r满足的条件．[选修4-2：矩阵与变换]21．求曲线|x|+|y|=1在矩阵M=对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），且曲线C上的点M（2，）对应的参数φ=，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的普通方程；（2）若A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）是曲线C上的两点，求+的值．23．在一次运动会上，某单位派出了有6名主力队员和5名替补队员组成的代表队参加比赛．（1）如果随机抽派5名队员上场比赛，将主力队员参加比赛的人数记为X，求随机变量X 的数学期望；（2）若主力队员中有2名队员在练习比赛中受轻伤，不宜同时上场；替补队员中有2名队员身材相对矮小，也不宜同时上场；那么为了场上参加比赛的5名队员中至少有3名主力队员，教练员有多少种组队方案？24．已知抛物线C的方程为y2=2px（p＞0），点R（1，2）在抛物线C上．（1）求抛物线C的方程；（2）过点Q（1，1）作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B．若直线AR，BR分别交直线l：y=2x+2于M，N两点，求线段MN最小时直线AB的方程．参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．设集合A={1，2，3，5}，B={2，3，6}，则A∪B={1，2，3，5，6} ．【考点】并集及其运算．【分析】直接利用集合的并集的定义求解即可．【解答】解：集合A={1，2，3，5}，B={2，3，6}，则A∪B={1，2，3，5，6}．故答案为：{1，2，3，5，6}．2．复数z满足iz=i+1，则z共轭复数为1+i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的有关概念进行计算即可得到结论．【解答】解：由iz=i+1得z=，故=1+i，故答案为：1+i3．已知一组数据3，5，4，7，6，那么这组数据的标准差为．【考点】极差、方差与标准差．【分析】先求出这组数据的平均数，再求出这组数据的方差，由此能求出这组数据的标准差．【解答】解：∵一组数据3，5，4，7，6，∴这组数据的平均数=（3+5+4+7+6）=5，∴这组数据的方差为：S2= [（3﹣5）2+（5﹣5）2+（4﹣5）2+（7﹣5）2+（6﹣5）2]=2，∴这组数据的标准差S=．4．如图是一个算法流程图，则输出k的值是6．【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序是计算S的值，输出满足S≤0时k的值．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；k=1，S=40，S≤0？，N，S=40﹣2=38；k=2，S≤0？N，S=38﹣22=34；k=3，S≤0？，N，S=34﹣23=26；k=4，S≤0？，N，S=26﹣24=10；k=5，S≤0？，N，S=10﹣25=﹣22；k=6，S≤0？Y，输出k=6．故答案为：6．5．袋中有形状、大小都相同的5只球，其中有2只红球，3只白球，若从中随机一次摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出这2只球颜色不同包含的基本事件个数，由此能求出这2只球颜色不同的概率．【解答】解：袋中有形状、大小都相同的5只球，其中有2只红球，3只白球，从中随机一次摸出2只球，基本事件总数n==10，这2只球颜色不同包含的基本事件个数m=，∴这2只球颜色不同的概率p==．故答案为：．6．底面边长和高都为2的正四棱锥的表面积为4+4．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由已知中正四棱锥的底面边长为2，高为2，求出棱锥的侧高，进而求出棱锥的侧面积，加上底面积后，可得答案．【解答】解：如下图所示：正四棱锥S﹣ABCD中，AB=BC=CD=AD=2，S0=2，E为BC 中点，在Rt△SOE中，OE=AB=1，则侧高SE==，故棱锥的表面积S=2×2+4×（×2×）=4+4．故答案为：4+4．7．已知圆（x+1）2+y2=4与抛物线y2=2px（p＞0）的准线交于A、B两点，且AB=2，则p 的值为4．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先求出抛物线的准线方程，代入到圆（x+1）2+y2=4中，求出y的值，再根据|AB|=|y2﹣y1|即可求出答案．【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）的准线为x=﹣，设A、B两点坐标为（﹣，y1），（﹣，y2），∴（﹣+1）2+y2=4，即y2=4﹣（﹣+1）2，∴y=±，∴|AB|=|y2﹣y1|=2=2，∴4﹣（﹣+1）2=3，解得p=4，故答案为：4．8．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），如果存在实数x0，使得对任意的实数x，都有f （x0）≤f（x）≤f（x0+xxπ）成立，则ω的最小值为．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据条件f（x0）≤f（x）≤f（x1+xxπ）成立得到函数的最大值和最小值，结合三角函数的周期的性质建立不等式关系即可得到结论．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），如果存在实数x0，使得对任意的实数x，都有f（x0）≤f（x）≤f（x0+xxπ）成立，则f（x0）为函数的最小值，f（x0+xxπ）为函数的最大值，则x0+xxπ﹣x0=n•=xxπ，∵T=，∴=xxπ，即ω=×=，∵n∈N•，∴当n=1时，ω=为最小值，故答案为：．9．在正项等比数列{a n}中，若3a1，成等差数列，则=．【考点】等比数列的通项公式．【分析】设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，根据3a1，成等差数列，可得：2×=3a1+2a2，即=3a1+2a1q，解出q，再利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，∵3a1，成等差数列，∴2×=3a1+2a2，即=3a1+2a1q，∴q2﹣2q﹣3=0，q＞0，解得q=3．则==．故答案为：．10．若点P（cosα，sinα）在直线y=﹣2x上，则的值等于．【考点】三角函数的化简求值；任意角的三角函数的定义．【分析】由条件利用两角和差的余弦公式、二倍角的余弦公式、同角三角函数的基本关，求得要求式子的值．【解答】解：∵点P（cosα，sinα）在直线y=﹣2x上，∴sinα=﹣2cosα，即tanα=﹣2，∴=cos2α﹣sin2α=•﹣•=•﹣•=•﹣•=，故答案为：．11．已知函数f（x）=（k∈R），若函数y=|f（x）|+k有三个零点，则实数k的取值范围是k≤﹣2．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意可得|f（x）|=﹣k≥0，进而可得k≤0，作出图象，结合图象可得答案．【解答】解：由y=|f（x）|+k=0得|f（x）|=﹣k≥0，所以k≤0，作出函数y=|f（x）|的图象，由图象可知：要使y=﹣k与函数y=|f（x）|有三个交点，则有﹣k≥2，即k≤﹣2，故答案为：k≤﹣2．12．已知直角△AOB的面积为1，O为直角顶点．设向量=，=，=+2，则的最大值为1．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设=x，=y，用表示出，得出关于x，y的函数，利用基本不等式得出最值．【解答】解：设OA=x，OB=y，则xy=2，=x，=y，∵OA⊥OB，∴．∵=，=，∴==1．∴==（x﹣1）﹣2.==﹣+（y﹣2）．∴=[（x﹣1）﹣2]•[﹣+（y﹣2）]=（1﹣x）﹣2（y﹣2）=5﹣（x+2y）．∵x+2y≥2=4．∴5﹣（x+2y）≤1．故答案为：1．13．已知实数x，y满足，则的最小值为．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用换元法，结合分式函数的性质，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则x＞0，y＞0，则==1+=1+，设k=，（k＞0），则y=kx则1+=1+=1+，设y=2k+，由由图象知当直线y=kx和AB：y=x重合时，k取得最大值，此时k=1，当y=kx与y=x2+相切时，直线y=kx的斜率最小，由y=x2+=kx，即x2﹣4kx+1=0，则判别式△=16k2﹣4=0，得k2=，得k=或k=﹣（舍），即≤k≤1，y=2k+的导数y′=2﹣=，则由y′＞0得＜k≤1，即函数y=2k+为增函数，由y′＜0得≤k＜，即函数y=2k+为减函数，故当k=时，y取得极小值同时也是最小值y=×2+==2，当k=1时，y=2+1=3，当k=时，y=2×+2=3，即y的最大值为3，则2≤y≤3，要求1+=1+的最小值，即求y的最大值，即当y=3时，1+取得最大值1+=1+=1+=，故的最小值为，故答案为：14．已知函数f（x）=ax﹣x2﹣lnx，若函数f（x）存在极值，且所有极值之和小于5+ln2，则实数a的取值范围是（2，4）．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】由f（x）存在极值，得到其导数值在（0，+∞）上有根，设出方程的根，由根与系数的关系，得到不等式解出即可．【解答】解：f（x）=﹣，∵f（x）存在极值，∴f′（x）=0在（0，+∞）上有根，即方程2x2﹣ax+1=0在（0，+∞）上有根．设方程2x2﹣ax+1=0的两根为x1，x2，由韦达定理得：，所以方程的根必为两不等正根．f（x1）+f（x2）=a（x1+x2）﹣（x12+x22）﹣（lnx1+lnx2）=﹣+1﹣ln＜5﹣ln，∴a2＜16，﹣4＜a＜4，由△=a2﹣8＞0，解得：a＞2，故所求a的取值范围为（2，4），故答案为：（2，4）二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（tanA+tanC，），=（tanAtanC ﹣1，1），且∥．（1）求角B；（2）若b=2，求△ABC的面积的最大值．【考点】正弦定理；基本不等式．【分析】（1）通过两向量平行，求得tanA和tanC的关系，求得tanB，进而求得B．（2）利用余弦定理求得a和c的关系式，利用基本不等式的性质求得ac的最大值，进而利用三角形面积公式求得其最大值．【解答】解：（1）∵m∥n，∴，∴，即，∴，∵B∈（0，π），∴．（2）在△ABC中，由余弦定理有，，∴a2+c2=ac+4，∵a2+c2≥2ac，∴ac≤4，当且仅当a=c=2时，取等，∴△ABC的面积，故△ABC的面积的最大值为．16．在三棱锥P﹣ABC中，D为AB的中点．（1）与BC平行的平面PDE交AC于点E，判断点E在AC上的位置并说明理由如下：（2）若PA=PB，且△PCD为锐角三角形，又平面PCD⊥平面ABC，求证：AB⊥PC．【考点】平面与平面垂直的判定．【分析】（1）根据线面平行的性质进行判断即可：（2）根据面面垂直的性质定理进行证明．【解答】（1）解：E为AC中点．理由如下：平面PDE交AC于E，即平面PDE∩平面ABC=DE，而BC∥平面PDF，BC⊂平面ABC，所以BC∥DE，在△ABC中，因为D为AB的中点，所以E为AC中点；（2）证：因为PA=PB，D为AB的中点，所以AB⊥PD，因为平面PCD⊥平面ABC，平面PCD∩平面ABC=CD，在锐角△PCD所在平面内作PO⊥CD于O，则PO⊥平面ABC，因为AB⊂平面ABC，所以PO⊥AB又PO∩PD=P，PO，PD⊂平面PCD，则AB⊥平面PCD，又PC⊂平面PCD，所以AB⊥PC．17．如图，景点A在景点B的正北方向2千米处，景点C在景点B的正东方向千米处．（Ⅰ）游客甲沿CA从景点C出发行至与景点B相距千米的点P处，记∠PBC=α，求sinα的值；（Ⅱ）甲沿CA从景点C出发前往景点A，乙沿AB从景点A出发前往景点B，甲乙同时出发，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时．若甲乙两人之间通过对讲机联系，对讲机在该景区内的最大通话距离为3千米，问有多长时间两人不能通话？（精确到0.1小时，参考数据：）【考点】解三角形的实际应用．【分析】（Ⅰ）在Rt△ABC中，求出∠C=30°，在△PBC中，由余弦定理，求得PC，在△PBC中，由正弦定理求sinα的值；（Ⅱ）设甲出发后的时间为t小时，①当1≤t≤4时，乙在景点B处，甲在线段PA上，甲乙间的距离d≤BP＜3，此时不合题意；…②当0≤t＜1时，设乙在线段AB上的位置为点Q，在△AMQ中，由余弦定理可得结论．【解答】解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，，∴∠C=30°在△PBC中，由余弦定理得BC2+PC2﹣2BC•PC•cos30°=BP2，即化简，得PC2﹣6PC+5=0，解得PC=1或PC=5（舍去）…在△PBC中，由正弦定理得，即∴…（Ⅱ）Rt△ABC中，设甲出发后的时间为t小时，则由题意可知0≤t≤4，设甲在线段CA上的位置为点M，AM=4﹣t在△PBC中，由余弦定理得BC2+PC2﹣2BC•PC•cos30°=BP2，即，化简得PC2﹣6PC+5=0解得PC=1或PC=5（舍去）①当1≤t≤4时，乙在景点B处，甲在线段PA上，甲乙间的距离d≤BP＜3，此时不合题意；…②当0≤t＜1时，设乙在线段AB上的位置为点Q，则AQ=2t在△AMQ中，由余弦定理得，MQ2=（4﹣t）2+（2t）2﹣2×2t×（4﹣t）×cos60°=7t2﹣16t+16 令MQ＞3即MQ2＞9，得7t2﹣16t+7＞0，解得或∴…综上，当时，甲、乙间的距离大于3米．又，故两人不能通话的时间大约为0.6小时…18．已知椭圆C：的上顶点M与左、右焦点F1、F2构成三角形MF1F2面积为，又椭圆C 的离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆C的下顶点为N，过点T（t，2）（t≠0）的直线TM，TN分别与椭圆C交于E，F两点．若△TMN的面积是△TEF的面积的k倍，求k的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的上顶点M与左、右焦点构成三角形面积为，离心率为，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（2）S△TMN=|MN||t|=|t|，直线TM的方程为：y=，直线TN的方程为：y=，求出E、F、E到直线TN：3x﹣ty﹣t=0的距离和TF，从而得到k==，由此能求出k的最大值．【解答】解：（1）椭圆离心率e==，又，a2=b2+c2，解得a=2，b=1，∴椭圆C的方程为．（2）∵S△TMN=|MN||t|=|t|，直线TM的方程为：y=，联立，得，∴E（，），直线TN的方程为：y=，联立，得，∴F（，），∵E到直线TN：3x﹣ty﹣t=0的距离：d==，TF====，∴S△TEF===，∴S△TEF===，∴k==，令t2+12=n＞12，则k==1+≤，当且仅当n=24，即t=时，等号成立，∴k的最大值为．19．已知函数f（x）=x﹣1﹣a（x﹣1）2﹣lnx（a∈R）．（1）当a=0时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数g（x）=f（x）﹣x+1有一个极小值点和一个极大值点，求a的取值范围；（3）若存在k∈（1，2），使得当x∈（0，k]时，f（x）的值域是[f（k），+∞），求a的取值范围．注：自然对数的底数e=2.71828…【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出g（x）的导数，得到关于a的不等式组，解出验算即可；（3）求出f（x）的导数，通过讨论a的范围确定函数的单调区间，得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞）．当a=0时，．…f'（x）＜0⇔0＜x＜1；f'（x）＞0⇔x＞1．所以，函数f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）．…（2）g（x）=﹣a（x﹣1）2﹣lnx，则．…令h（x）=2ax2﹣2ax+1（x＞0），若函数g（x）有两个极值点，则方程h（x）=0必有两个不等的正根，设两根为x1，x2，于是…解得a＞2．…当a＞2时，h（x）=0有两个不相等的正实根，设为x1，x2，不妨设x1＜x2，则．当0＜x＜x1时，h（x）＞0，g'（x）＜0，g（x）g'（x）＞0在（0，x1）上为减函数；当x1＜x＜x2时，h（x）＜0，g（x）在（x1，x2）上为增函数；当x＞x2时，h（x）＞0，g'（x）＜0，函数g（x）在（x2，+∞）上为减函数．由此，x=x1是函数g（x）的极小值点，x=x2是函数g（x）的极大值点．符合题意．综上，所求实数a的取值范围是（2，+∞）．…（3）．…①当a≤0时，．当0＜x＜1时，f'（x）＜0，f（x）在（0，1）上为减函数；当x＞1时，f'（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上为增函数．所以，当x∈（0，k]（1＜k＜2）时，f（x）min=f（1）=0＜f（k），f（x）的值域是[0，+∞）．不符合题意．…②当a＞0时，．（i）当，即时，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：x 1 （1，+∞）f'（x）﹣0 +0 ﹣f（x）减函数极小值增函数极大值减函数若满足题意，只需满足，即．整理得．…令，当时，，所以F（a）在上为增函数，所以，当时，．可见，当时，恒成立．故若，当x∈（0，k]（1＜k＜2）时，函数f（x）的值域是[f（k），+∞）．所以满足题意．…（ii）当，即时，，当且仅当x=1时取等号．所以f（x）在（0，+∞）上为减函数．从而f（x）在（0，k]上为减函数．符合题意．…（iii）当，即时，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：x （0，1）1f'（x）﹣0 +0 ﹣f（x）减函数极小值0 增函数极大值减函数若满足题意，只需满足f（2）＜f（1），且（若，不符合题意），即a＞1﹣ln2，且．又，所以a＞1﹣ln2．此时，．综上，a＞1﹣ln2．所以实数a的取值范围是（1﹣ln2，+∞）．…20．数列{a n}的前n项和记为S n，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得S n=a m，则称{a n}是“G数列”．（1）若数列{a n}的通项公式a n=2n，判断{a n}是否为“G数列”；（2）等差数列{a n}，公差d≠0，a1=2d，求证：{a n}是“G数列”；（3）设S n与a n满足（1﹣q）S n+a n+1=r，其中a1=2t＞0，q≠0．若{a n}是“G数列”，求q，r满足的条件．【考点】等差数列的前n项和．【分析】（1）通过n=1，a1=S1=2，然后求解数列的S n，利用新定义判断即可．（2）求出S n，对任意n∈N*，存在m∈N*使S n=a m，利用新定义判断即可．（3）n≥2时，推出a n+1=qa n，求出，通过q=1时，推出{a n}不是“G数列”，q≠1时，求出S n，利用新定义推出q=2，r=0，t＞0的正实数【解答】解：（1）n=1，a1=S1=2，当n≥2时，S n==2n﹣1∴2n﹣1是奇数，2m是偶数，∴2n﹣1≠2m，∴{a n}不是“G数列”（2）S n=na1+n（n﹣1）d=2dn+n（n﹣1）d=n（n+3）d，a m=a1+（m﹣1）d=（m+1）d对任意n∈N*，存在m∈N*使S n=a m，即n（n+3）d=（m+1）d，∵公差d≠0，∴n（n+3）=2（m+1），∵n，n+3是一奇一偶，∴m一定是自然数，∴{a n}是“G数列”；+a n=r（1﹣q）a n+a n+1﹣a n=0，（3）n≥2时（1﹣q）S n+a n+1=r，（1﹣q）S n﹣1∴a n+1=qa n，（1﹣q）×2t+a2=ra2=r+2qt﹣2t=p，∴a n=．q=1时，a n=，S n=2t+（n﹣1）r=r不恒成立显然{a n}不是“G数列”，q≠1时，S n=2t+=2t+﹣，n=1，S1=a1，{a n}是“H数列”，所以对任意n≥2时，存在m∈N*成立，∴S n=2t+﹣=pq m﹣2可得=pq m﹣2，即q n﹣1=（q﹣1）q m﹣2，解得q=2，∴q=2，由2t+，得p=2t，由r+2qt﹣2t=p，∴r+4t﹣2t=2t，r=0，∴q=2，r=0，t＞0的正实数．[选修4-2：矩阵与变换]21．求曲线|x|+|y|=1在矩阵M=对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】将曲线|x|+|y|=1在矩阵M=对应的变换作用进行化简，作出表示的曲线所围成的图形即可得到结论．【解答】解：设曲线|x|+|y|=1上（x0，y0）在矩阵M=对应的变换作用下得到的曲线对应点为（x，y），∴ []=[]，即x0=x，y0=3y，代入|x|+|y|=1中得：|x|+|3y|=1，当x≥0，y≥0时，方程等价于x+3y=1；当x≥0，y≤0时，方程等价于x﹣3y=1；当x≤0，y≥0时，方程等价于﹣x+3y=1；当x≤0，y≤0时，方程等价于﹣x﹣3y=1，其图象为菱形ABCD，则曲线|x|+|y|=1在矩阵M=对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积为×2×=．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），且曲线C上的点M（2，）对应的参数φ=，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的普通方程；（2）若A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）是曲线C上的两点，求+的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由题意可得：，解得a，b，即可得出椭圆的标准方程．（2）A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）是曲线C上的两点，可得，，化简整理即可得出．【解答】解：（1）由题意可得：，解得a=4，b=2．∴曲线C的普通方程为=1．（2）A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）是曲线C上的两点，可得直角坐标（ρ1cosθ，ρ1sinθ），（﹣ρ2sinθ，ρ2cosθ），代入椭圆标准方程可得：，．∴+=+==．23．在一次运动会上，某单位派出了有6名主力队员和5名替补队员组成的代表队参加比赛．（1）如果随机抽派5名队员上场比赛，将主力队员参加比赛的人数记为X，求随机变量X 的数学期望；（2）若主力队员中有2名队员在练习比赛中受轻伤，不宜同时上场；替补队员中有2名队员身材相对矮小，也不宜同时上场；那么为了场上参加比赛的5名队员中至少有3名主力队员，教练员有多少种组队方案？【考点】离散型随机变量的期望与方差；排列、组合的实际应用．【分析】（1）由题意知随机变量X的取值是0、1、2、3、4、5，当X=0时，表示主力队员参加比赛的人数为0，当X=1时，表示主力队员参加比赛的人数为1，当X=2时，表示主力队员参加比赛的人数为2，以此类推，写出概率和分布列求出期望．（2）上场队员有3名主力，方案有：（C63﹣C41）（C52﹣C22）=144（种）；上场队员有4名主力，方案有：（C64﹣C42）C51=45（种）；上场队员有5名主力，方案有：（C65﹣C43）C50=C44C21=2（种）．列出三种情况，相加得到结论．【解答】解：（1）由题意知随机变量X的取值是0、1、2、3、4、5，∵当X=0时，表示主力队员参加比赛的人数为0，以此类推，∴P（X=0）=；P（X=1）=；P（X=2）=；P（X=3）=；P（X=4）=；P（X=5）=．∴随机变量X的概率分布如下表：E（X）=0×+1×+2×+3×+4×+5×=≈2.73（2）由题意知①上场队员有3名主力，方案有：（C63﹣C41）（C52﹣C22）=144（种）②上场队员有4名主力，方案有：（C64﹣C42）C51=45（种）③上场队员有5名主力，方案有：（C65﹣C43）C50=C44C21=2（种）教练员组队方案共有144+45+2=191种．24．已知抛物线C的方程为y2=2px（p＞0），点R（1，2）在抛物线C上．（1）求抛物线C的方程；（2）过点Q（1，1）作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B．若直线AR，BR分别交直线l：y=2x+2于M，N两点，求线段MN最小时直线AB的方程．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）由点R（1，2）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，求出p=2，由此能求出抛物线C的方程．（2）设A（x1，y1），B（x2y2），设直线AB的方程为x=m（y﹣1）+1，m≠0，设直线AR 的方程为y=k1（x﹣1）+2，由已知条件推导出x M=﹣，x N=﹣，由此求出|MN|=2，再用换元法能求出|MN|的最小值及此时直线AB的方程．【解答】解：（1）∵点R（1，2）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，∴4=2p，解得p=2，∴抛物线C的方程为y2=4x．（2）设A（x1，y1），B（x2y2），直线AB的方程为x=m（y﹣1）+1，m≠0，由，消去x，并整理，得：y2﹣4my+4（m﹣1）=0，∴y1+y2=4m，y1•y2=4（m﹣1），设直线AR的方程为y=k1（x﹣1）+2，由，解得点M的横坐标x M=，又k1==，∴x M==﹣，同理点N的横坐标x N=﹣，|y2﹣y1|==4，∴|MN|=|x M﹣x N|=|﹣+|=2||，=8=2，令m﹣1=t，t≠0，则m=t=1，∴|MN|=2≥，即当t=﹣2，m=﹣1时，|MN|取最小值为，此时直线AB的方程为x+y﹣2=0xx9月10日34271 85DF 藟#29806 746E 瑮22216 56C8 囈)24895 613F 愿35164 895C 襜VB23640 5C58 屘40522 9E4A 鹊精品文档21769 5509 唉O24979 6193 憓实用文档。
广西南宁市外国语学校2025届高三数学试题查缺补漏试题(文理)
广西南宁市外国语学校2025届高三数学试题查缺补漏试题（文理）注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若点(2,1)P -在角α的终边上，则sin 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．45-B ．45C ．35D ．35 2．若关于x 的不等式1127kx x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭有正整数解，则实数k 的最小值为（ ） A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 3．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当()1,0x ∈-时，()433x f x =+，则33log 2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．2- B ．3 C ．3- D ．24．已知集合1|2A x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭，{|10}B x x =-<<则A B =（ ）A ．{|0}x x <B ．1|2x xC ．1|12x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭D ．{|1}x x >- 5．已知复数，则的共轭复数在复平面对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限6．在四边形ABCD 中，//AD BC ，2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，点M 在边CD 所在直线上，则AM ME ⋅的最大值为（ ）A ．714-B ．24-C ．514-D ．30-7．已知向量11,,a b m ⎛⎫== ⎪，若()()a b a b +⊥-，则实数m 的值为（ ）A ．12B ．32C ．12±D ．32± 8．若函数()ln f x x x h =-++，在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任取三个实数a ，b ，c 均存在以()f a ，f b ，()f c 为边长的三角形，则实数h 的取值范围是（ ）A ．11,1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B ．11,3e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．11,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ D ．()3,e -+∞9．函数22cos x xy x x--=-的图像大致为（ ）. A ． B ．C ．D ．10．将函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则ω的取值范围是（ ） A ．228(0,][,]939 B ．2(0,]9C ．28(0,][,1]99D ．(0,1] 11．“”αβ≠是”cos cos αβ≠的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件12．已知向量a ，b 满足4a =，b 在a 上投影为2-，则3a b -的最小值为( )A ．12B ．10C ．10D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024北京陈经纶中学高三查缺补漏数学
2024北京陈经纶中学高三查缺补漏数 学一、选择题1. 已知集合2{|1}A y y x ==−，集合{|lg 0}B x x =>，则AB = （A ）{|1}x x > （B ）{|0}x x > （C ）{|10}x x > （D ）{|1}x x >−2. 设0a b <<，则下列不等式中正确的是A ．2a b a b +<<< B ．2a b a b +<<< C ．2a b a b +<<< D 2a b a b +<<< 3. 已知平面向量a ，b 满足2==a b ，(2)()=2+⋅−−a b a b ，则a 与b 的夹角为（A ）65π （B ）32π （C ）3π （D ）6π 4. 已知向量(1,1),(,2)m m =−=a b ，则“2m =”是“//a b ”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件5. 为了得到函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只要把函数sin 2y x =图象上所有的点 （A ）向左平移π6个单位（B ）向左平移π3个单位 （C ）向右平移π6个单位（D ）向右平移π3个单位 6. 大数据显示，北京市朝阳区是游客落脚和光顾的首选地，特别是年轻人的必选地，市民和游客在此可以享受文化艺术之旅，也可以感受时尚消费之旅．某游客想从蓝色港湾—亮马河国际风情水岸、798—751艺术街区、国贸中心—CBD 、工体—三里屯、鸟巢—奥林匹克森林公园这5个特色消费地标和朝阳大悦城、龙湖北京长楹天街、酷车小镇、中骏世界城、北投奥园1314、世贸天阶、新辰里购物中心、财富中心、北京欢乐谷这9个融合消费打卡地中选择4处进行游览或消费，则不同的选法种数为（A ）5 （B ）14 （C ）126 （D ）10017. 设抛物线的顶点为原点，焦点F 在y 轴上．过F 的直线交抛物线于点A ，则以AF 为直径的圆 （A ）必过原点 （B ）必与x 轴相切 （C ）必与y 轴相切 （D ）必与该抛物线的准线相切 8. 毡帐是蒙古族牧民居住的一种房子，内部木架结构，外部毛毡围拢，建造和搬迁都很方便，适合牧业和游牧生活．如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与一个圆柱的组合体，下半部分圆柱的高为 2.5米；上半部分圆锥的母线长为毡帐（不含底面）需要毛毡的面积为（单位：平方米）．A ．15)πB ．6)πC ．15)πD ．6)π9. 下图所示的三角形图案是谢尔宾斯基三角形．已知第n 个图案中黑色与白色三角形的个数之和为n a ，数列{}n a 满足111,31(1)n n a a a n +==+≥，则数列{}n a 的通项公式为（A ）1(31)2n − （B ）32n − （C ）1(341)n + （D ）131n −+10. 已知函数22,(),x ax x a f x x a x a ⎧−+≥⎪=⎨+<⎪⎩，若对任意正数k ，关于x 的方程()f x k =恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a 有A.0个B.1个C.2个D.无数个二、填空题11. 已知tan 24πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则tan α=________． 12. 双曲线2221(0)y x b b −=>的一个焦点到其渐近线的距离是2，则b = ________；此双曲线的离心率为________．13. 能说明“若函数()f x 在区间[π,π]−上存在零点，则(π)(π)0f f −<”为假命题的一个函数是_______．14.已知函数cos(),(0,0)2πωϕωϕ=+><<y x 的图像如图所示，则=ϕ___________.15. 若2π=x 为函数()sin()sin ϕ=+⋅f x x x 的一个对称轴，则常数ϕ的一个取值为_____.16. 如图是满城汉墓出土的铜茕，它是一个球形十八面体骰子，有十六面刻着一至十六数字，另两面刻“骄”和“酒来”.假设依次投掷铜茕五次观察向上的点数（若“骄”向上，则记得到点数为十七，若“酒来”向上，则记得到点数零），若得到的五个点数12345,,,,a a a a a 构成一个公比不为1的等比数列，则此125a a a +++=____．17. 已知不等式ln (1)x a x ≥−的解集为(0,)+∞，则实数a 的取值范围是____________.18. 我们经常听到这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离.但实际上，因为纸张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次对折，当我们的厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了，一张长边为w ，厚度为x 的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折，长边变为12w ，厚度变为4x .在理想情况下，对折次数n 有下列关系：22log 3w n x≤（注：lg 20.3≈），根据以上信息，一张长为21cm ，厚度为0.05mm 的纸最多能对折___次.三、解答题19. 已知函数π()=2sin cos()3f x x x ++ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若()0f x m +≤对π[0,]2x ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 20.在ABC ∆中，b =（Ⅰ）若2a =，求ABC ∆的面积;（Ⅱ）求a c +的取值范围．cos sin B b C =；条件 ②22cos a c b C −=．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.21. 在△ABC 中，10a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）b 的值；（Ⅱ）AC 边上的高.条件①：5c =,120A ∠=︒； 条件②：1cos 8A =,3cos 4B =. 22.如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是边长为2的菱形，ÐABC =60°，PA =PC ，M 为PA 中点，PC =3NC ．（Ⅰ）设平面PAB ⋂平面PCD =l ，求证：AB //l ；（Ⅱ）从条件①，条件②，条件③中选择两个作为己知，使四棱锥P ABCD −存在且唯一确定. （ⅰ）求平面MND 与平面ABCD 所成角的余弦值；（ⅱ）平面MND 交直线PB 于点Q ，求线段PQ 的长度.条件①：平面PAC ^平面ABCD ；条件②：PB =PD ；条件③：四棱锥P ABCD − 23. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，右焦点为F ，点(),0A a ，且1AF =． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线l （不与x 轴重合）交椭圆C 于点M 、N ，直线MA 、NA 分别与直线4x =交于点P 、Q ，求PFQ ∠的大小．（Ⅱ）设AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，求12k k 的值；（Ⅲ）求△AMN 面积的最大值．。
2021高考数学查缺补漏集中营 等差、等比数列的大体问题(1)
2021高考数学查缺补漏集中营： 等差、等比数列的大体问题一、选择题(每题5分，共25分)1．假设{an}为等差数列，Sn 是前n 项和，a1＝1，S3＝9，那么该数列的公差d 为( )．A ．1B ． 2C ．3D ．42．等比数列{an}中，a4a5＝1，a8a9＝16，那么a6a7等于( )．A ．16B ．±4C ．－4D ．43．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，那么log2a10＝ ( )．A ．4B ．5C ．6D ．74．数列{an}的前n 项和为Sn ，假设a1＝1，an ＋1＝3Sn(n≥1)，那么a6＝ ( )．A ．3×44＋1B ．3×44 C．44 D ．44＋15．在数列{an}中，已知对任意n ∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an ＝3n －1，那么a21＋a22＋a23＋…＋a2n 等于( )．A ．(3n －1)2 (9n －1)C ．9n －1 (3n －1)二、填空题(每题5分，共15分)6．等比数列{an}中，已知a1＋a2＝12，a3＋a4＝1，那么a7＋a8的值为________． 7．在等比数列{an}中，an ＞0(n ∈N*)，且a6－a4＝24，a3a5＝64，那么{an}的前6项和是________．8．将全部正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15… … … … … …依照以上排列规律，数阵中第n(n≥3)行从左至右的第3个数是________．三、解答题(此题共3小题，共35分)9．(11分)已知数列{an}知足，a1＝1，a2＝2，an ＋2＝an ＋an ＋12，n ∈N*. (1)令bn ＝an ＋1－an ，证明：{bn}是等比数列；(2)求{an}的通项公式．10．(12分)已知等比数列{an}中，a1＝13，公比q ＝13. (1)Sn 为{an}的前n 项和，证明：Sn ＝1－an 2； (2)设bn ＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an ，求数列{bn}的通项公式．11．(12分)设{an}是公比不为1的等比数列，其前n 项和为Sn ，且a5，a3，a4成等差数列．(1)求数列{an}的公比；(2)证明：对任意k ∈N ＋，Sk ＋2，Sk ，Sk ＋1成等差数列．参考答案1．B [∵S3＝a1＋a2＋a3＝3a2＝9，∴a2＝3，∴d ＝a2－a1＝3－1＝2.]2．D [设等比数列{an}的公比为q.则a8a9a4a5＝a4q4·a5q4a4·a5＝q8＝16. ∴a6a7a4a5＝a4q2·a5q2a4·a5＝q4＝4.∴a6a7＝4.] 3．B [由题意可知a3a11＝a27＝16，因为{an}为正项等比数列，因此a7＝4，因此log2a10＝log2(a7·23)＝log225＝5.]4．B [由an ＋1＝3Sn ，知an ＝3Sn －1(n≥2)∴an ＋1－an ＝3(Sn －Sn －1)＝3an ，∴an ＋1＝4an(n≥2)．∴an ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，3·4n－2，n≥2，∴a6＝3×44.]5．B [由a1＋a2＋…＋an ＝3n －1①得：a1＋a2＋…＋an －1＝3n －1－1(n≥2)．②①－②得：an ＝3n －3n －1＝2·3n－1(n≥2)．又当n ＝1时，a1＝2也适合上式，∴an ＝2·3n－1，∴a2n ＝4·9n－1，∴a21＋a22＋…＋a2n ＝4(90＋91＋…＋9n －1)＝4·1－9n 1－9＝12(9n －1)．] 6．解析 设等比数列{an}的公比为q ，那么a3＋a4＝a1q2＋a2q2＝(a1＋a2)q2＝12q2＝1. ∴q2＝2，∴a7＋a8＝a3·q4＋a4q4＝q4(a3＋a4)＝4.答案 47．解析 由已知a3a5＝a24＝64，又an ＞0，∴a4＝8.∴a6＝32，∴q2＝a6a4＝328＝4，∴q ＝2，q ＝－2(舍)． ∴a1＝1，∴S6＝1－q61－q ＝1－261－2＝63. 答案 638．解析 该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，…，第n 行有n 个数，那么第n －1(n≥3)行的最后一个数为n －11＋n －12＝n22－n 2，那么第n 行从左至右的第3个数为n22－n 2＋3.答案 n22－n 2＋3 9．(1)证明 b1＝a2－a1＝1，当n≥2时，bn ＝an ＋1－an ＝an －1＋an 2－an ＝－12(an －an －1)＝－12bn －1. 因此{bn}是以1为首项，－12为公比的等比数列． (2)解 由(1)知bn ＝an ＋1－an ＝，当n≥2时，an ＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an －an －1)＝1＋1＋－12＋…＋－12n －2＝1＋1－－12n －11－－12＝1＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝53－23－12n －1， 当n ＝1时，53－23－121－1＝1＝a1.因此an ＝53－23(－12)n －1(n ∈N*)． 10．(1)证明 因为an ＝13×13n －1＝13n ，Sn ＝＝1－13n 2， 因此Sn ＝1－an2.(2)解 因为bn ＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n) ＝－n n ＋12. 因此{bn}的通项公式为bn ＝－n n ＋12. 11．(1)解 设数列{an}的公比为q(q≠0，q≠1)，由a5，a3，a4成等差数列，得2a3＝a5＋a4，即2a1q2＝a1q4＋a1q3， 由a1≠0，q≠0得q2＋q －2＝0，解得q1＝－2，q2＝1(舍去)， 因此q ＝－2.(2)证明 法一 对任意k ∈N ＋，Sk ＋2＋Sk ＋1－2Sk ＝(Sk ＋2－Sk)＋(Sk ＋1－Sk)＝ak ＋1＋ak ＋2＋ak ＋1＝2ak ＋1＋ak ＋1·(－2)＝0，因此，对任意k ∈N ＋，Sk ＋2，Sk ，Sk ＋1成等差数列．法二 对任意k ∈N ＋，2Sk ＝2a11－qk 1－q， Sk ＋2＋Sk ＋1＝a11－qk ＋21－q ＋a11－qk ＋11－q＝a12－qk ＋2－qk ＋11－q ，2Sk －(Sk ＋2＋Sk ＋1)＝2a11－qk 1－q －a12－qk ＋2－qk ＋11－q＝a11－q [2(1－qk)－(2－qk ＋2－qk ＋1)]＝a1qk1－q(q2＋q－2)＝0.因此，对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．。
2021年高三下学期查漏补缺数学试题 含答案
2021年高三下学期查漏补缺数学试题 含答案说明：查漏补缺题是在海淀的四次统练基础上的补充，题目以中档题为主，部分题目是弥补知识的漏洞，部分是弥补方法的漏洞，还有一些是新的变式题，请老师们根据学生的情况有选择地使用或改编使用.最后阶段的复习，在做好保温工作的前提下，夯实基础，重视细节，指导学生加强反思，梳理典型问题的方法，站在学科高度建立知识之间的联系，融会贯通，以进一步提升学生的分析、解决问题的能力为重点.特别关注：基本题的落实，将分拿到手。
文科要关注应用题的理解，会从背景材料中提取有用信息，建立恰当的数学模型（用恰当的数学知识刻画），或根据逻辑分析、解决问题。
鼓励学生，建立必胜的信心. 预祝老师们硕果累累！1、已知原命题：“若a +b ≥2，则a ,b 中至少有一个不小于1”，则原命题与其否命题的真假情况是 （ ）A ．原命题为真，否命题为假B ．原命题为假，否命题为真C ．原命题与否命题均为真命题D ．原命题与否命题均为假命题 2、如右图所示，在四边形中，，，令，则曲线可能是（ ）A3、若直线(为参数)与圆（为参数）相切，则（）A B C D4、若，则的值为（）A. B. C. D．5、设则（）A．B．C．D．6、设集合，或. 若，则正实数的取值范围是A. B. C. D.7、已知为异面直线，平面,平面,直线满足，则（）A．，且B．，且C．与相交，且交线垂直于D．与相交，且交线平行于8、若的展开式中含的项，则的值不可能为（）A. B. C. D.9、将函数的图象沿轴向左平移个单位后得到的图象关于原点对称，则的值为（）A．B．C．D．10、函数的图象的对称轴是，对称中心是.11、设曲线的极坐标方程为，则其直角坐标方程为.12、以原点为顶点，以轴正半轴为始边的角的终边与直线垂直，则，_____________.13、设抛物线:的焦点为，已知点在抛物线上，以为圆心，为半径的圆交此抛物线的准线于两点，且、、三点在同一条直线上，则直线的方程为____________.14、在区间上随机的取两个数，，使得方程有两个实根的概率为_______.15、已知，那么的最大值是.16、已知（为虚数单位），则.17、已知向量，满足：，则与的夹角为 ； ．18、某单位员工按年龄分为老、中、青三组，其人数之比为1:5:3，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为18的样本，已知老年职工组中的甲、乙二人均被抽到的概率是，则该单位员工总人数为 .19、已知正方体的棱长为1，且点E 为棱AB 上任意一个动点． 当点到平面的距离为时，点E 所有可能的位置有几个___________．20、如图，弹簧挂着的小球上下振动，时间与小球相对于平衡位置（即静止时的位置）的高度之间的函数关系式是，则小球开始振动时的值为_________，小球振动时最大的高度差为__________.21、已知点为曲线与的公共点，且两条曲线在点处的切线重合，则= .22、双曲线的一条渐近线是，则实数的值为 ． 23、已知函数的部分图象如图所示，则24、李强用流程图把早上上班前需要做的事情做了如下几种方案，则所用时间最少的方案是_______ .方案一： 方案二： 方案三：25、李师傅早上8点出发，在快餐店买了一份早点，快速吃完后，驾车进入限速为80km/h 的收费道路，当他到达收费亭时却拿到一张因超速的罚款单，这时，正好是上午10点钟，他看看自己车上的里程表，表上显示在这段时间内共走了165km. 根据以上信息，收费人员O yx-aa2π3出示这张罚款单的主要理由是 .26、如图，是⊙的一段劣弧，弦平分交于点，切于点，延长弦交 于点，（1）若，则，（2）若⊙的半径长为，，则 . 27、已知函数（其中）.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）求在上的最大值与最小值. 28、已知函数的定义域是R ，且有极值点． （Ⅰ）求实数b 的取值范围； （Ⅱ）求证：方程恰有一个实根．29、如图所示，已知正六边形ABCDEF 的边长为2，O 为它的中心，将它沿对角线FC 折叠，使平面ABCF ⊥平面FCDE ，点G 是边AB 的中点. （Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求二面角O －EG －F 的余弦值；（Ⅲ）设平面EOG 平面BDC=l ，试判断直线l 与直线DC 的位置关系.（文科）如图所示，已知正六边形ABCDEF 的边长为2，O 为它的中心，将它沿对角线FC 折GABFE DBA F E D OC CO叠，使平面ABCF ⊥平面FCDE ，点G 是边AB 的中点. （Ⅰ）证明：DC//平面EGO ； （Ⅱ）证明：平面平面； （Ⅲ）求多面体EFGBCD 的体积.30、申请某种许可证，根据规定需要通过统一考试才能获得，且考试最多允许考四次. 设表示一位申请者经过考试的次数，据统计数据分析知的概率分布如下：（Ⅰ）求一位申请者所经过的平均考试次数；（Ⅱ）已知每名申请者参加次考试需缴纳费用 （单位：元）,求两位申请者所需费用的和小于500元的概率；（Ⅲ）4位申请者中获得许可证的考试费用低于300元的人数记为，求的分布列.31、在中，角，，所对的边长分别是，，. 满足. （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）求的最大值.32、设数列的前项和为，且满足.（Ⅰ）求证：数列为等比数列；（Ⅱ）求通项公式；（Ⅲ）若数列是首项为1，公差为2的等差数列,求数列的通项公式.33、已知抛物线，为坐标原点.（Ⅰ）过点作两相互垂直的弦,设的横坐标为，用表示△的面积，并求△面积的最小值；（Ⅱ）过抛物线上一点引圆的两条切线,分别交抛物线于点, 连接，求直线的斜率.34、已知焦点在轴上，中心在原点，离心率为的椭圆经过点,动点(不与定点重合)均在椭圆上,且直线与的斜率之和为1，为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求证直线经过定点;(Ⅲ) 求△的面积的最大值35、设是由有限个正整数组成的集合，若存在两个集合满足：①；②；③的元素之和等于的元素之和.则称集合“可均分”，否则称“不可均分”.（Ⅰ）判断集合是否“可均分”，并说明理由；（Ⅱ）求证：集合“可均分”；（Ⅲ）求出所有的正整整，使得“可均分”.参考答案：1.A2.C3.A4.D5.C6.B7.D8.D9.B10. ， 11. 12. ，或 13. 或 14. 15. 1 16. 17.，18. 解：按分层抽样应该从老年职工组中抽取人，所以不妨设老年职工组共有人，则甲乙二人均被抽到的概率为：，解得：，所以该单位共有员工人. 19. 2 20. 21. 22. 23.2， 24.方案三25. 李师傅在这段道路上驾车行驶的平均速度大于82.5km/h ，所以必存在某一时刻速度大于80km/h ，因此他超速行驶. 26.110°,27.（Ⅰ）解：)4'()e sin e cos ex x xx f x x x π--+=-+=. 令，解得：.因为当时，； 当时，，所以的单调递增区间是，单调递减区间是.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减. ,所以在上的最大值为，最小值为.28.解：(1) 由的定义域是R ，知得．()()()()()222222222222x x e x x b x e x b f x xx b xx b ++--+-'==++++，由得，故．当b=2时，，函数在R 上单调递增，无极值点． ∴所求范围为1<b <2．(2) 由(1)知函数的两个极值点为，，极小值()()222222n n ne e ef n n n b b n b n ===++-+++．（下面证明）记，∴在上是单调递增函数 ∴当时，，即 由知，．这说明在上无解． 又，，且在上单调递增， ∴在上恰有一解综上所述，在R 上恰有一解．29. （Ⅰ）证明：因为 是正六边形的中心，G 是边AB 的中点， 所以 ，.因为 平面平面，平面平面，平面，所以平面. 因为 平面，所以 . 因为 平面，平面，， 所以 平面. 因为 平面， 所以 平面平面.（Ⅱ）解：取的中点H ，则.分别以边所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由得，，，，则，，.由（Ⅰ）知：平面.所以 平面的一个法向量为. 设平面的法向量为，则即 令，则，.所以 . 所以 二面角的余弦值为 .（Ⅲ）证明：在正六边形ABCDEF 中，，， 所以 四边形是平行四边形. 所以 . 因为 平面，平面， 所以 平面.因为 平面EOG 平面BDC=l ，平面， 所以 . （文科）（Ⅰ）证明：在正六边形ABCDEF 中，，， 所以 四边形是平行四边形. 所以 . 因为 平面，平面， 所以 平面.（Ⅱ）证明：因为 是正六边形的中心，G 是边AB 的中点， 所以 ，.因为 平面平面，平面平面，平面，所以平面. 因为 平面，所以 . 因为 平面，平面，， 所以 平面. 因为 平面， 所以 平面平面.（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知平面. 所以11172362EFGBCD B CDEF B FEG B CDEF G FEO CDEF FEO V V V V V S GO S GO ----∆∆=+=+=⋅+⋅=.C30.解：（Ⅰ）由的概率分布可得..E X=⨯+⨯+⨯+⨯()0.110.520.330.14.所以一位申请者所经过的平均考试次数为2.4次.（Ⅱ）设两位申请者均经过一次考试为事件，有一位申请者经历两次考试一位申请者经历一次考试为事件，两位申请者经历两次考试为事件，有一位申请者经历三次考试一位申请者经历一次考试为事件.因为考试需交费用,两位申请者所需费用的和小于500元的事件为.P A B C D=⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯()0.10.120.50.10.50.520.10.3=0.42所以两位申请者所需费用的和小于500元的概率为0.42.（Ⅲ）一位申请者获得许可证的考试费用低于300元的概率为，的可能取值为0,1,2,3,4. , ,,.的分布列为31. 解：（Ⅰ）由正弦定理及得，.在中，，，即.sincossin)2=sin(cos+=+.+sin=+CACBABCAAsinsincosA sinCCcos.又，，...（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，即.22215sin cos sin cos sin sin sin 1(sin )24A B B B B B B B ，， 当，即时，取得最大值.32. 证明：（Ⅰ）因为 ,所以 .又,所以 是首项为，公比为的等比数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得.当时，.当时，.故.（Ⅲ）因为 数列是首项为1，公差为2的等差数列，所以 .所以 .33. 解：（Ⅰ）设.由得.因为 所以.所以 .所以 2211112221222OMN S OM ON m m .所以 当时，△面积取得最小值1.（Ⅱ）设，直线AB 的方程为，AC 的方程为.因为 直线与圆相切， 所以 .所以 221122421240,421240k k k k .所以 是方程的两根.所以 .由方程组得.所以 ，同理可得：.所以 直线的斜率为.34.解: （Ⅰ）设椭圆的离心率为,可知,又因为,所以.由定点在椭圆上可得,故,.所以椭圆的方程为.（Ⅱ）当直线与轴垂直时，设，则.由题意得：，即.所以 直线的方程为.当直线不与轴垂直时，可设直线为，，将代入得.所以 ，.由直线与的斜率之和为1可得①，将和代入①， 并整理得12121(21)()()202k x x m k x x m -+-++-=②，将，代入②并整理得，分解因式可得，因为直线：不经过点，所以，故.所以直线的方程为，经过定点.综上所述，直线经过定点.(Ⅲ) 由（Ⅱ）可得： ，. 14142214)(11222212212212+-⋅⋅+=-+⋅+=-+=k k k x x x x k x x k AB . 因为 坐标原点到直线的距离为，所以 △的面积（）.令，则，且，当且仅当，即时，△的面积取得最大值.35.解：（Ⅰ）因为 11(13)11393(31)3132n n n n -⨯-++++==-<-， 所以 集合“不可均分”.（Ⅱ）设，1{201548,201549,,201593}C =+++，考虑到 [(201548)(201549)(201593)][(20151)(20152)(201547)]++++++-++++++. 所以 将中的与中的交换，得到集合，则得到的满足条件(1) (２) (３)，故集合“可均分”. （Ⅲ）一方面，假设“可均分”，则存在满足条件(1) (２) (３).所以 (1)(20151)(20152)(2015)20162k k k k -++++++=+为偶数， 所以 或.设，不妨设中的元素个数大于等于，中的元素个数小于等于，于是的元素之和(20151)(20152)[2015(21)]B S a ≥+++++++，的元素之和[2015(22)][2015(23)][2015(41)]C S a a a ≤+++++++++. 所以 (20151)(20152)[2015(21)]a +++++++[2015(22)][2015(23)][2015(41)]a a a ≤+++++++++. 得，即.所以或.另一方面，当时，中的连续四个必可分成两两一组，其和相等；所以“可均分”；当时，由（Ⅱ）问可知的前个数组成的集合“可均分”，由前面的讨论知可将剩下的个元素分成和相等的两个不相交的子集，即此时“可均分”.综上，或.21113 5279 剹y24854 6116 愖D40759 9F37 鼷36741 8F85 辅A38889 97E9 韩 21198 52CE 勎27895 6CF7 泷31021 792D 礭/39866 9BBA 鮺。
北京市海淀区2021届高三查漏补缺数学试题 Word版含答案
北京市海淀区2021届高三查漏补缺数学试题说明： 个别题目有难度 ，个别题目方向有偏差，请谨慎选用！1、 提供的题目并非一组试卷，小题（选、填）主要针对以前没有考到的知识点，或者在试题的呈现形式上没有用过的试题。
2、 教师要根据自己学校的学生情况，有针对性地选择使用，也可以不用。
3、 后期教师要根据自己学校情况, 注意做好保温练习，合理安排学生时间。
4、 因为是按照中心组教师的建议和一些教师的建议匆匆赶制而成，难免出错，希望老师们及时指出问题，以便及时改正。
简易逻辑部分 ：1.已知实数a ，直线1:10l ax y ++=，2:2(1)30l x a y +++=，则“1a =”是“1l //2l ”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案：B2.已知曲线C 的方程为221x y a b+=，则“a b >”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案：C3.设集合*{},,241n A n n ∈⋯≥=N ，，，若,X A ⊆且2()2Card X n ≤≤-，（Card （X ）表示集合X 中的元素个数）令X a 表示X 中最大数与最小数之和，则（1）当n=5时，集合X 的个数为 20（2）所有X a 的平均值为 n+1解答（2）,对所有的X 进行配对，当()2Card X =时，令12{,}X x x =，/{1|}i i X n x x X =+-∈，必有/X A ⊆不妨设12x x <，则12X a x x =+，/12121122()X a n x n x n x x =+-++-=+-+.如果/X X ≠则有/22X X a a n +=+，如果/X X =则1X a n =+。
同理，当()(22)Card X k k n =<≤-时令12{,,...}k X x x x =，/{1|}i i X n x x X =+-∈必有/X A ⊆,不妨设12...k x x x <<<，则1X k a x x =+，/122()k X a n x x =+-+。
2023年北京通州区高三查漏补缺数学试题及答案
通州区2023年高三年级查漏补缺试题数 学 试 卷 2023年5月本试卷共4页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，请将答题卡交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若集合(){}lg 1A x y x ==-，{}||3B x Z x =∈<，则A B =（A ）(1,3) （B ）[1,3)（C ）{2} （D ）{1，2}（2）已知复数：2(12)z i =-，则z 在复平面内对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限（3）设ln 0.2a =，e 0.2b =，0.2e c =，则（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c b a << （D ）b c a << （4）若6234560123456(1)x a a x a x a x a x a x a x -=++++++，则246++=a a a（A ）64 （B ）33 （C ）32（D ）31（5）数列{n a }中，21=a ，42=a ，n n n a a a =+-11（2≥n ），则=2023a（A ）14（B ）12 （C ）2（D ）4（6）等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，前n 项和为n S ，则“10a >” 是“{}n S 是递增数列”的（A ）充分而非必要条件 （B ）必要而非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（7）已知1F ，2F 分别为双曲线：()222210,0y xa b a b-=>>的上，下焦点，点P 为双曲线渐近线上一点，若12PF PF ⊥，121tan 3PF F ∠=，则双曲线的离心率为 （A ）53（B ）54 （C ）45（D ）35（8）等腰三角形的屋顶，是我国古代建筑中经常采用的结构形式．一般说来等腰三角形底边是一定值，假设雨水与屋顶面间摩擦阻力不计，要使雨水从屋顶上流下所需的时间最短，等腰三角形的底角应设计为（A ）︒30 （B ）︒45 （C ）︒60 （D ）︒72（9）过直线y ＝x 上的一点P 作圆(x －5)2＋(y －1)2＝2的两条切线l 1，l 2，切点分别为A ，B ，当直线l 1，l 2关于y ＝x 对称时，线段P A 的长为（A ）4 （B ） （C （D ）2 （10）函数f (x )的定义域为D ，若存在闭区间[a ,b ]⊆D ，，使得函数f (x )同时满足：f (x )在[a ,b ]上是单调函数且f (x )在[a ,b ]上的值域为[ka ,kb ](k >0)，则称区间[a ,b ]为f (x )的“k 倍值区间”．现有如下四个函数: ①1()x f x e =,②22()f x x =,③3()ln 1f x x+=（）, ④4()sin (,)22f x x x ππ=∈-.那么上述四个函数中存在“2倍值区间”的有（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
北京市西城区2021届高三数学查缺补漏试题(1)
2021年北京市西城区高三数学查缺补漏试题一、选择题 1. 已知23log log 1x y <<，那么（ ） （A ）3x y << （B ）3y x << （C ）3y x <<（D ）3x y <<2. （理）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2,12x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），设直线l 的倾斜角为θ，则tan θ=（ ） （A ）2 （B ）2- （C ）5（D ）5-3. “0,0a b >>”是“曲线221ax by +=为椭圆”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件4. 设函数()sin f x x =的导函数为()f x '，那么要得到函数()f x 的图象，只需将()f x '的图象（ ）（A ）向左平移π4个单位 （B ）向右平移π4个单位 （C ）向左平移π2个单位（D ）向右平移π2个单位5. 已知函数()log (2)1m f x x =-+（0m >，且1m ≠）的图象恒过点P ，且点P 在直线1(0,0)ax by a b +=>>上，那么ab 的（ ）（A ）最大值为14 （B ）最小值为14 （C ）最大值为12（D ）最小值为126. 在约束条件1,0,2a x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤下，设目标函数z x y =+的最大值为M ，则当46a ≤≤时，M的取值范围是（ ）（A ）[3,5] （B ） [2,4] （C ）[1,4] （D ） [2,5]7. 某三棱锥的三视图是三个全等的等腰直角三角形，且正（主）视图如下图，那么此三棱锥的表面积为（ ）（A）6+ （B） （C）（D），或6+8. 依照市场调查，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内积存的需求量n S （万件）近似地知足2(215)90nnS n n (1,2,,12)n ，按此预测，在今年内，需求超过1.5万件的月份是（ ）（A ）4月，5月 （B ） 5月，6月 （C ）6月，7月 （D ）7月，8月 二、填空题9. 函数1, 0,()3e , 0x x x f x xx ⎧+>⎪=⎨⎪+⎩≤的最小值为______；函数()f x 与直线4y =的交点个数是______个． 10. （理）在直角坐标系xOy 中，点M 为曲线C ：3cos ,sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）上一点. O 为坐标原点，那么|OM |的最小值为________.11. 函数1π()sin()(0)26f x x ωω=+>, x ∈R 的部份图象如右图所示. 设M ，N 是图象上的最高点，P 是图象上的最低点，假设PMN ∆为等腰直角三角形，那么ω=____. 12.ABC 的极点A ，B ，C 在正方形网格中的位置如下图.则cos()B C +=_______.13. （理）如图，在△PAC 中，2PA =，90PAC ∠=，30PCA ∠=.以AC 为直径的圆交PC 于点D ，PB 为圆的切线，B 为切点，那么PD =______；BCBD=______．AC正(主)视图14. （理）湖中有四个小岛，它们的位置恰好近似组成四边形的四个极点，假设要搭3座桥将它们连接起来，那么不同的建桥方案有_________种. 15. 数列{}n a 中，112a =，111n n n a a a ++=-（其中*n ∈N ），那么6a =____；使得12372n a a a a ++++≥成立的n 的最小值是 .16. 粗细都是1cm 一组圆环依次相扣，悬挂在某处，最上面的圆环外直径是20cm ，每一个圆环的外直径皆比它上面的圆环的外直径少1cm.那么从上向下数第3个环底部与第1个环顶部距离是 ； 记从上向下数第n 个环底部与第一个环顶部距离是n a ，那么n a = 三、解答题17. 已知函数2()(2cos sin 2)tan 1f x x x x =+-.（1）求函数()f x 的概念域和最小正周期； （2）当3π[,0]8x ∈-时，求函数()f x 的最大值和最小值. 18. 已知向量(cos ,sin )x x =-a ，(cos ,cos )x x =b ，设()1,f x x =⋅∈R a b +.（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 的单调减区间.19. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，锐角α和钝角β的终边别离与单位圆交于A ，B 两点．且点A ，B 的纵坐标别离为35，1213． （1）假设将点B 沿单位圆逆时针旋转π2抵达C 点, 求点C 的坐标； （2）求tan()αβ+的值.20. （理）甲、乙两人参加A ，B ，C 三个科目的学业水平考试，他们考试成绩合格的概率如下表. 设每人每一个科目考试彼此独立.科目A 科目B 科目CABDC（1）求甲、乙两人中恰好有1人科目B 考试不合格的概率；（2）求甲、乙两人中至少有1人三个科目考试成绩都合格的概率；（3）设甲参加学业水平考试成绩合格的科目数为X ，求随机变量X 的散布列和数学期望.21. 高三年级某班的所有考生全数参加了“语文”和“数学”两个科目的学业水平考试. 其中“语文”和“数学”的两科考试成绩的数据统计如以下图（按[)0,10，[)10,20，,[80,90),[90,100]分组）所示，其中“数学”科目的成绩在[)70,80分数段的考生有16人.（1[90,100（2（3[)50,60和)22. n n ，12n a +=（1） 求1a 的值；（2） 设等差数列{}n b 的公差0d <，前n 项和n T 知足315T =，且11a b +，2233,a b a b ++成等比数列，求n T .23. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且27126a a a ++=-，20110S =-.（1） 求数列{}n a 的通项n a ；（2） 假设等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，14b =，公比12q =-，且对任意的*,m n ∈N ， 都有n m S T t <+，求实数t 的取值范围.24. 如图，在矩形ABCD 中，AB =6, BC =32, 沿对角线BD 将三角形ABD 向上折起，使点A 移至点P ，且点P 在平面BCD 上的射影O 在DC 上.（1） 求证：BC PD ⊥；图20.0050.0100.0200.0250.040图1 分数 0.0250.030a（2） 判定PDC ∆是不是为直角三角形，并证明； （3） （文）求三棱锥M BCD -的体积.（理）假设M 为PC 的中点，求二面角B DM C --的大小.25. （文）如图，四棱锥PABCD 的底面ABCD 是圆内接四边形（记此圆为W ），且PA平面ABCD ，.（1）当AC 是圆W 的直径时，求证：平面PBC 平面PAB ；（2）当BD 是圆W 的直径时，2PABD ，3AD CD ，求四棱锥P ABCD 的体积；（3）在（2）的条件下，证明：直线AB 不可能与平面PCD 平行.26. （理）如图，四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是圆内接四边形（记此圆为W ），PA 平面ABCD ，2PA BD ，3AD CD.（1）当AC 是圆W 的直径时，求证：平面PBC平面PAB ；（2）当BD 是圆W 的直径时，求二面角A PD C 的余弦值；（3）在（2）的条件下，判定棱PA 上是不是存在一点Q ，使得//BQ 平面PCD ？假设存在，求出AQ 的长，假设不存在，说明理由.27. 已知函数f (x )=x -sin x -13ax 3，其中a ∈R .（1）当a =1时，求函数g (x )=f (x )+sin x 的极值；（2）当0a <时，证明：函数f (x )在R 是单调函数.28. 设椭圆22143x y +=, 点,B C 别离是其上下极点, 点A 在椭圆上且位于第一象限. 直线AB 交x 轴于点M , 直线AC 交x 轴于点N .（1）假设0AB AM +=, 求A 点坐标;PADCBBDOA BD CPM PADCB（2）假设AMN ∆的面积大于OCN ∆的面积， 求直线AB 的斜率的取值范围.29. （理）设12,F F 别离为椭圆22: 162x y W +=的左、右核心，斜率为(0)k k >直线l 通过右核心2F ，且与椭圆W 相交于,A B 两点.（1）若是线段2F B 的中点在y 轴上，求直线l 的方程； （2）若是1ABF ∆为直角三角形，求直线l 的斜率k .30. 椭圆22220:1()x y W a ba b +=>>的焦距为4，短轴长为2，O 为坐标原点.（1） 求椭圆W 的方程；（2） 设,,A B C 是椭圆W 上的三个点，判定四边形OABC 可否为矩形？并说明理由. 高三数学查缺补漏试题 参考答案2021.5 一、选择题1. A2. B3. B4.D5. A6. A7. D8. D 二、填空题9. 2，3 10. 211. π 12. 13. 1，2 14. 1615. 3，238 16. 53 23742n n n a -++=（118n ≤≤）三、解答题17. （1）概念域{|,x x ∈R 且ππ+,}2x k k ≠∈Z . 周期π.（2）最小值π()8f -=3π()08f -=.18. （1）周期π.（2）3π7π[π,π]()88k k k ++∈Z . 19. （1）125(,)1313C --. （2）3356-.20. （1）12. （2）1340. （3）23()12E X =.21. （1）5人. （2）76.5. （3）35.22. （1）11a =. （2）2205n T n n =-.23. （1）5n a n =-+. （2）8t >.24. （1）略. （2）是，90DPC ∠=. （3）（文）.（理）60.25. （1）略. （2）3. （3）略. 26. （1）略. （2）25. （3）存在，23AQ. 27. （1）极大值g (1)=23，极小值g (-1)=-23. （2）略.28. （1）A . （2）11(,0)(0,)22k ∈-. 29. （1）证明：椭圆W 的左核心1(2,0)F -，右核心为2(2,0)F ，因为线段2F B 的中点在y 轴上，因此点B 的横坐标为2-， 因为点B 在椭圆W 上，将2x =-代入椭圆W 的方程，得点B 的坐标为(2,3-±.因此直线AB （即l ）的方程为20x +-=或20x --=. （2）解：因为1ABF ∆为直角三角形，因此o 190BF A ∠=，o 190BAF ∠=，或o190ABF ∠=.当o190BF A ∠=时 ，设直线AB 的方程为(2)y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，由 221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得 2222(13)121260k x k x k +-+-=， 因此 2222(12)4(13)(126)0k k k ∆=-+->，12221213k x x k +=+，212212613k x x k -=+.由o190BF A ∠=，得110F A F B ⋅=， 因为111(2,)F A x y =+，122(2,)F B x y =+， 因此111212122()4F A F B x x x x y y ⋅=++++222222212612(1)(22)4401313k k k k k k k-=+⨯+-⨯++=++，解得k =±（舍负）. 当o 190BAF ∠=（与o190ABF ∠=相同）时，那么点A 在以线段12F F 为直径的圆224x y +=上，也在椭圆W 上，由 22221,624,x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩解得A，或(A，或1)A -，或(1)A -， 因为直线l 的斜率为0k >，因此由两点间斜率公式，得2k =2k =- 综上，直线l的斜率k =，或2k =2k =1ABF ∆为直角三角形. 30. （1）由题意，椭圆W 的方程为2215x y +=. （2）设:AC y kx m =+, 1122(,),,(),C x A x y y AC 中点00(,)M x y , 33(,)B x y ，2222255(15)10550x y k x kmx m y kx m⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩， 222(10)4(15)(55)0km k m ∆=-+->，1221015kmx x k +=-+, 21225515m x x k -=+. (1) 由条件OA OC ⊥，得12120x x y y +=， 即1212()()0x x kx m kx m +++=，整理得221212(1)()0k x x km x x m ++++=，将(1)式代入得 2222(1)(55)(10)(15)0k m km km m k +-+-++=即 22655m k =+ (2) 又20125215x x km x k +==-+, 00215my kx m k =+=+ 且M 同时也是OB 的中点, 因此30302,2x x y y ==因为B 在椭圆上, 因此223355x y +=，即 02024205x y +=，222254()20()51515km m k k-+=++， 因此 22451m k =+ (3)由(2)(3) 解得2272,5k m ==， 验证知222(10)4(15)(55)1200km k m ∆=-+-=>， 因此四边形OABC 能够为矩形. 说明：1、 提供的题目并非一套试卷，小题（选、填）要紧针对较难题，大体相当于选择的5，6,7,8和填空的12，13,14题的位置，也有部份题目针对温习的一些“盲点”设计。
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高三数学查缺补漏试题2014.5 一、选择题1. 已知23log log 1x y <<，那么（ ） （A ）3x y << （B ）3y x << （C ）3y x << （D ）3x y <<2. （理）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2,12x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），设直线l 的倾斜角为θ，则tan θ=（ ） （A ）2 （B ）2- （C ）5 （D ）5-3. “0,0a b >>”是“曲线221ax by +=为椭圆”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件4. 设函数()sin f x x =的导函数为()f x '，那么要得到函数()f x 的图象，只需将()f x '的图象（ ）（A ）向左平移π4个单位 （B ）向右平移π4个单位 （C ）向左平移π2个单位（D ）向右平移π2个单位5. 已知函数()log (2)1m f x x =-+（0m >，且1m ≠）的图象恒过点P ，且点P 在直线1(0,0)ax by a b +=>>上，那么ab 的（ ） （A ）最大值为14 （B ）最小值为14 （C ）最大值为12（D ）最小值为126. 在约束条件1,0,2a x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤下，设目标函数z x y =+的最大值为M ，则当46a ≤≤时，M的取值范围是（ ） （A ）[3,5]（B ） [2,4]（C ）[1,4]（D ） [2,5]7. 某三棱锥的三视图是三个全等的等腰直角三角形，且正（主）视图如图所示，则此三棱锥的表面积为（ ） （A）6+ （B）（C）（D），或6+8. 根据市场调查，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量n S （万件）近似地满足2(215)90n nS n n =--(1,2,,12)n =L ，按此预测，在本年内，需求超过1.5万件的月份是（ ）（A ）4月，5月 （B ） 5月，6月 （C ）6月，7月 （D ）7月，8月二、填空题9. 函数1, 0,()3e , 0x x x f x xx ⎧+>⎪=⎨⎪+⎩≤的最小值为______；函数()f x 与直线4y =的交点个数是______个．10. （理）在直角坐标系xOy 中，点M 为曲线C ：3cos ,sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）上一点. O为坐标原点，则|OM |的最小值为________.正(主)视图11. 函数1π()sin()(0)26f x x ωω=+>, x ∈R 的部分图象如右图所示. 设M ，N 是图象上的最高点，P 是图象上的最低点，若PMN ∆为等腰直角三角形，则ω=____.12. ABC D 的顶点A ，B ，C 在正方形网格中的位置如图所示.则cos()B C +=_______.13. （理）如图，在△PAC 中，2PA =，90PAC ∠=，30PCA ∠=.以AC 为直径的圆交PC 于点D ，PB 为圆的切线，B 为切点，则PD =______；BCBD=______．14. （理）湖中有四个小岛，它们的位置恰好近似构成四边形的四个顶点，若要搭3座桥将它们连接起来，则不同的建桥方案有_________种.15. 数列{}n a 中，112a =，111n n na a a ++=-（其中*n ∈N ），则6a =____；使得12372n a a a a ++++≥成立的n 的最小值是 .16. 粗细都是1cm 一组圆环依次相扣，悬挂在某处，最上面的圆ABC环外直径是20cm ，每个圆环的外直径皆比它上面的圆环的外直径少1cm.那么从上向下数第3个环底部与第1个环顶部距离是 ； 记从上向下数第n 个环底部与第一个环顶部距离是n a ，则n a = 三、解答题17. 已知函数2()(2cos sin 2)tan 1f x x x x =+-.（1）求函数()f x 的定义域和最小正周期； （2）当3π[,0]8x ∈-时，求函数()f x 的最大值和最小值.18. 已知向量(cos ,sin )x x =-a ，(cos ,cos )x x =b ，设()1,f x x =⋅∈R a b+.（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 的单调减区间.19. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．且点A ，B 的纵坐标分别为35，1213． （1）若将点B 沿单位圆逆时针旋转π2到达C 点, 求点C 的坐标；（2）求tan()αβ+的值.20. （理）甲、乙两人参加A ，B ，C 三个科目的学业水平考试，他们考试成绩合格的概率如下表. 设每人每个科目考试相互独立.（1）求甲、乙两人中恰好有1人科目B 考试不合格的概率； （2）求甲、乙两人中至少有1人三个科目考试成绩都合格的概率；（3）设甲参加学业水平考试成绩合格的科目数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.21. 高三年级某班的所有考生全部参加了“语文”和“数学”两个科目的学业水平考试.其中“语文”和“数学”的两科考试成绩的数据统计如下图（按[)0,10，[)10,20，,[80,90),[90,100]分组）所示，其中“数学”科目的成绩在[)70,80分数段的考生有16人.（1）求该班考生“语文”科目成绩在[)90,100分数段的人数；（2）根据数据合理估计该班考生“数学”科目成绩的平均分，并说明理由；（3）若要从“数学”科目分数在[)50,60和[)90,100之间的试卷中任取两份分析学生的答题情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[)50,60之间的概率； 22. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，*121()n n a S n +=+∈N .（1） 求1a 的值；（2） 设等差数列{}n b 的公差0d <，前n 项和n T 满足315T =，且11a b +，2233,a b a b ++成等比数列，求n T .23. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且271216a a a ++=-，20110S =-.（1） 求数列{}n a 的通项n a ；图2频率图1频率a（2） 若等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，14b =，公比12q =-，且对任意的*,m n ∈N ， 都有n m S T t <+，求实数t 的取值范围.24. 如图，在矩形ABCD 中，AB =6, BC =32, 沿对角线BD 将三角形ABD 向上折起，使点A 移至点P ，且点P 在平面BCD 上的射影O 在DC 上. （1） 求证：BC PD ⊥；（2） 判断PDC ∆是否为直角三角形，并证明； （3） （文）求三棱锥M BCD -的体积.（理）若M 为PC 的中点，求二面角B DM C --的大小.25. （文）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是圆内接四边形（记此圆为W ）， 且PA ^平面ABCD ，.（1）当AC 是圆W 的直径时，求证：平面PBC ^平面PAB ； （2）当BD 是圆W 的直径时，2PA BD ==，AD CD ==P ABCD -的体积；（3）在（2）的条件下，证明：直线AB 不可能与平面PCD26. （理）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是圆内接四边形（记此圆为W ），PA ^平面ABCD ，2PA BD ==，AD CD ==CB（1）当AC 是圆W 的直径时，求证：平面PBC ^平面PAB ； （2）当BD 是圆W 的直径时，求二面角A PD C --的余弦值；（3）在（2）的条件下，判断棱P A 上是否存在一点Q ，使得//BQ 平面PCD ？若存在，求出AQ 的长，若不存在，说明理由.27. 已知函数f (x )=x -sin x -13ax 3，其中a ∈R .（1）当a =1时，求函数g (x )=f (x )+sin x 的极值；（2）当0a <时，证明：函数f (x )在R 是单调函数.28. 设椭圆22143x y +=, 点,B C 分别是其上下顶点, 点A 在椭圆上且位于第一象限. 直线AB 交x 轴于点M , 直线AC 交x 轴于点N . （1）若0AB AM +=, 求A 点坐标;（2）若AMN ∆的面积大于OCN ∆的面积， 求直线AB 的斜率的取值范围.29. （理）设12,F F 分别为椭圆22: 162x y W +=的左、右焦点，斜率为(0)k k >直线l 经过右焦点2F ，且与椭圆W 相交于,A B 两点.（1）如果线段2F B 的中点在y 轴上，求直线l 的方程； （2）如果1ABF ∆为直角三角形，求直线l 的斜率k .30. 椭圆22220:1()x y W a ba b +=>>的焦距为4，短轴长为2，O 为坐标原点.（1） 求椭圆W 的方程；（2） 设,,A B C 是椭圆W 上的三个点，判断四边形OABC 能否为矩形？并说明理由.CB高三数学查缺补漏试题参考答案2014.5 一、选择题1. A2. B3. B4.D5. A6. A7. D8. D 二、填空题9. 2，3 10. 211. π 12. 13. 1，2 14. 1615. 3，238 16. 53 23742n n n a -++=（118n ≤≤）三、解答题17. （1）定义域{|,x x ∈R 且ππ+,}2x k k ≠∈Z . 周期π.（2）最小值π()8f -=π()02f -=.18. （1）周期π.（2）π3ππ7π[,]()2828k k k ++∈Z . 19. （1）125(,)1313C --. （2）6316-.20. （1）12. （2）1340. （3）23()12E X =.21. （1）5人. （2）76.5. （3）35.22. （1）11a =. （2）2205n T n n =-. 23. （1）5n a n =-+. （2）8t >.24. （1）略. （2）是，90DPC ∠=. （3）（文）（理）60.25. （1）略. （2 （3）略.26. （1）略. （2）25. （3）存在，23AQ =.27. （1）极大值g (1)=23，极小值g (-1)=-23. （2）略. 28. （1）2A . （2）11(,0)(0,)22k ∈-.29. （1）证明：椭圆W 的左焦点1(2,0)F -，右焦点为2(2,0)F ，因为线段2F B 的中点在y 轴上，所以点B 的横坐标为2-， 因为点B 在椭圆W 上，将2x =-代入椭圆W 的方程，得点B 的坐标为(2,3-±.所以直线AB （即l ）的方程为20x +-=或20x --=. （2）解：因为1ABF ∆为直角三角形，所以o 190BF A ∠=，o 190BAF ∠=，或o190ABF ∠=. 当o 190BF A ∠=时 ， 设直线AB 的方程为(2)y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，由 221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得 2222(13)121260k x k x k +-+-=， 所以 2222(12)4(13)(126)0k k k ∆=-+->，12221213k x x k +=+，212212613k x x k-=+. 由o190BF A ∠=，得110F A F B ⋅=， 因为111(2,)F A x y =+，122(2,)F B x y =+， 所以111212122()4F A F B x x x x y y ⋅=++++21212122()4(2)(2)x x x x k x x =++++-- 2221212(1)(22)()44k x x k x x k =++-+++222222212612(1)(22)4401313k k k k k k k-=+⨯+-⨯++=++，解得23k =±（舍负）. 当o 190BAF ∠=（与o190ABF ∠=相同）时，则点A 在以线段12F F 为直径的圆224x y +=上，也在椭圆W 上，由 22221,624,x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩解得A，或(A，或1)A -，或(1)A -， 因为直线l 的斜率为0k >，所以由两点间斜率公式，得2k =2k =综上，直线l的斜率k =，或2k =2k =1ABF ∆为直角三角形. 30. （1）由题意，椭圆W 的方程为2215x y +=. （2）设:AC y kx m =+, 1122(,),,(),C x A x y y AC 中点00(,)M x y , 33(,)B x y ，2222255(15)10550x y k x kmx m y kx m⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩， 222(10)4(15)(55)0km k m ∆=-+->，1221015km x x k +=-+, 21225515m x x k-=+. (1) 由条件OA OC ⊥，得12120x x y y +=， 即1212()()0x x kx m kx m +++=，整理得221212(1)()0k x x km x x m ++++=，将(1)式代入得 2222(1)(55)(10)(15)0k m km km m k +-+-++=第 11 页 共 11 页 即 22655m k =+ (2) 又20125215x x km x k+==-+, 00215m y kx m k =+=+ 且M 同时也是OB 的中点, 所以30302,2x x y y ==因为B 在椭圆上, 所以223355x y +=，即 02024205x y +=，222254()20()51515kmm k k -+=++，所以 22451m k =+(3) 由(2)(3) 解得2272,5k m ==，验证知222(10)4(15)(55)1200km k m ∆=-+-=>，所以四边形OABC 可以为矩形.。