09学年浙江省第一次五校联考数学(理

2009学年浙江省第一次五校联考数学（理科）试题卷一、选择题： （1▲ ）（A ）12i - （B ）12i （C ）12-（D ）12（2）定义集合{}*A B x x A x B =∈∉且，若{}{}1,3,5,7,2,3,5A B ==，则*A B 的子集个数为（ ▲ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（3）已知2,0,()(1),0.x x f x f x x >⎧=⎨+≤⎩则44()()33f f +-的值等于 （ ▲ ）（A ）2- （B ）4 （C ）2 （D ）4- （4）函数tan()42y x ππ=-的部分图象如图所示，则()OA OB AB +⋅＝（ ▲ ）（A ）6 （B ）4 （C ）4- （D ） 6- （5）设随机变量~(2,),~(4,)B p B p ξη若5(1)9P ξ≥=，则(2)P η≥的值为（ ▲ ） （A ）3281（B ）1127（C ）6581（D ）1681（6）设,a b R ∈，则()sin f x x x a b =++是奇函数的充要条件是（ ▲ ） （A ）220a b += （B ）0ab = （C ）0b a= （D ）220a b -=（7）在ABC ∆中，已知tansin 2A B C +=，给出以下四个论断：①tan 1tan A B=；②1sin sin A B <+≤22sin cos 1A B +=；④222cos cos sin A B C +=.其中正确的是（ ▲ ） （A ）①③（B ）②③（C ）①④ （D ）②④（8）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x =+，若2(2)()f a f a ->，则实数a 的取值范围是（ ▲ ）（A ）(,1)(2,)-∞-+∞ （B ）(1,2)- （C ）(2,1)- （D ）(,2)(1,)-∞-+∞（9）设{}n a 是等差数列，从{}1220,,,a a a 中任取3个不同的数，使这3个数仍成等差数列，则这样不同的等差数列的个数最多有（ ▲ ）（A ）90 （B ）120 （C ）180 （D ）200第（4）题图（10）在平面直角坐标系xOy 中，点(5,0)A .对于某个正实数k ，存在函数2()f x ax =（0a >），使得()O A O QO P O A O Qλ=⋅+（λ为常数），这里点,P Q 的坐标分别为(1,(1)),(,())P f Q k f k ，则k 的取值范围 为（ ▲ ）（A ）(2,)+∞ （B ）(3,)+∞ （C ）[4,)+∞ （D ）[8,)+∞ 二、填空题：（11）23()()a b b c ++的展开式中3ab c 的系数为 ▲ . （12）如果执行右面的程序框图，那么输出的S = ▲ .（13）已知1sin()63πα+=，则2cos(2)3πα-的值等于 ▲ .（14）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为 ▲ ．（15）已知函数()f x 的导函数()29f x x '=-，且(0)f 的值为整数，当*[,1]()x n n n N ∈+∈时，()f x 所有可能取的整数值有且只有1个，则n = ▲ .（16）数列{}n a 中，2n a n k n k =-+-，若对任意的正整数n ，34n a a a ≥=都成立，则k 的取值范围为 ▲ .（17）给出下列四个结论：①命题2,0x R x x ∃∈->“”的否定是“2,0x R x x ∀∈-≤”； ②“若22,am bm <则a b <”的逆命题为真；③函数()sin f x x x =-（x R ∈）有3个零点；④对于任意实数x ，有()(),()(),f x f x g x g x -=--=且x >0时,()0,()0,f x g x ''>>则x <0时()().f x g x ''>其中正确结论的序号是 ▲ .（填上所有正确结论的序号）结束第（12）题图三、解答题：（18）（本题14分）某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示：（Ⅰ）从这50名教师中随机选出2名，求2人所使用版本相同的概率；（Ⅱ）若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A 版的教师人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望.（19）（本题14分）已知O 为坐标原点，2(2sin ,1),(1,cos 1)OA x OB x x ==-+，()f x O A O B m =⋅+.（Ⅰ）求)(x f y =的单调递增区间；（Ⅱ）若)(x f 的定义域为[,]2ππ，值域为[2,5]，求m 的值.（20）（本题14分）已知数列{n a }、{n b }满足：111,1,4(1)(1)nn n n n n b a a b b a a +=+==-+．（Ⅰ）求1234,,,b b b b ； （Ⅱ）设11n n c b =-，求数列{}n c 的通项公式；（Ⅲ）设1223341...n n n S a a a a a a a a +=++++，不等式4n n aS b <恒成立时，求实数a 的取值范围.（21）（本题15分）设,x y为正实数，a =b =c x y =+.（Ⅰ）如果1p =，则是否存在以,,a b c 为三边长的三角形？请说明理由；（Ⅱ）对任意的正实数,x y ，试探索当存在以,,a b c 为三边长的三角形时p 的取值范围.（22）（本题15分）已知函数2()(33)x f x x x e =-+⋅，其定义域为[]2,t -（2t >-）,设(2),()f m f t n -==.（Ⅰ）试确定t 的取值范围,使得函数()f x 在[]2,t -上为单调函数； （Ⅱ）试判断,m n 的大小并说明理由；（Ⅲ）求证：对于任意的2t >-,总存在0(2,)x t ∈-，满足0'20()2(1)3x f x t e=-,并确定这样的0x 的个数.数学（理科）答案一．选择题：共10小题，每小题5分，共计50分.二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分， （11）6 （12）46 （13）79-（14）13（15）4 （16）[]2,3 （17）①④三．解答题：本大题共5小题, 共72分. 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. （18）（本题14分）解：（Ⅰ）从50名教师随机选出2名的方法数为.1225250=C选出2人使用版本相同的方法数为.35021025215220=+++C C C C 故2人使用版本相同的概率为：.721225350==P ……6分（Ⅱ）∵173CC )0(235215===ξP ，112015235(1)C C P C ξ==，11938CC )2(235220===ξP .∴ξ的分布列为……12分∴781191362119381119600173==⨯+⨯+⨯=ξE .……14分（19）（本题14分）解：（Ⅰ）m x x x x f ++-=1cos sin 32sin 2)(2……2分=m x x ++--1sin 32cos 1=m x +++-2)62sin(2π……4分由πππππk x k 2236222+≤+≤+)(Z k ∈得)(x f y =的单调递增区间为]32,6[ππππ++k k )(Z k ∈……7分（Ⅱ）当ππ≤≤x 2时，6136267πππ≤+≤x ……9分∴21)62sin(1≤+≤-πx ……11分∴m x f m +≤≤+4)(1，∴15421=⇒⎩⎨⎧=+=+m m m ……14分（20）（本题14分）解: （Ⅰ） 11(1)(1)(2)2nnn n n n n n b b b a a b b b +===---＋∵1113,44a b == ∴234456,,567b b b ===……4分（Ⅱ）∵11112n nb b +-=-- ∴12111111n n n n b b b b +-==-+---……5分∴数列{n c }是以－4为首项，－1为公差的等差数列. ∴4(1)(1)3n c n n =-+-⋅-=--.……7分（Ⅲ）由于131n n c n b ==---，所以23n n b n +=+，从而113n n a b n =-=+..……8分∴12231111114556(3)(4)444(4)n n n n S a a a a a a n n n n +=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅=-=⨯⨯++++∴22(1)(36)8443(3)(4)n n an n a n a n aS b n n n n +-+---=-=++++……10分由条件可知08)63()1(2<--+-n a n a 恒成立即可满足条件，设8)63()1()(2--+-=n a n a n f当1=a 时，()380f n n =--<恒成立 当1>a 时，由二次函数的性质知不可能成立 当1<a 时，对称轴 0)111(231223<---=--⋅-=a a a n ，)(n f 在(1,)+∞为单调递减函数． 2(1)(1)(36)8(1)(36)84150f a n a n a a a =-+--=-+--=-<，∴154a <∴1<a 时4n n aS b <恒成立综上知：1≤a 时，4n n aS b <恒成立……14分 （21）（本题15分）解：（Ⅰ）存在.……2分x y ++>显然成立，且x y+-=<，由于a c<，所以我们得到a c bc a b+>⎧⎨-<⎩，即1p=时，存在以,,a b c为三边长的三角形.……6分（Ⅱ）a c<，∴若a、b、c构成三角形，只需a c bc a b+>⎧⎨-<⎩，即x yx y⎧++>⎪⎨+-<⎪⎩……8分两边除以xty=，得()()f t pg t p>⎧⎨<⎩，这里()f t=+()g t=分由于()22f t=+≥+=+所以()2g t≤-1t=时，()f t取最小值2+，()g t取最大值2-；因此p的取值范围为22p-<<+即p的取值范围为22p-<<+a、b、c为三边的三角形总存在.……15分22. （本题15分）解：（Ⅰ）因为2()(33)(23)(1)x x xf x x x e x e x x e'=-+⋅+-⋅=-⋅……1分由()010f x x x'>⇒><或；由()001f x x'<⇒<<,所以()f x在(,0),(1,)-∞+∞上递增,在(0,1)上递减……3分要使)(xf在[]t,2-上为单调函数,则20t-<≤……4分（Ⅱ）n m>.因为()f x在(,0),(1,)-∞+∞上递增,在(0,1)上递减，所以()f x在1x=处取得极小值e……6分又213(2)f ee-=<，所以()f x在[)2,-+∞上的最小值为(2)f-……8分从而当2t>-时,(2)()f f t-<，即m n<……9分（Ⅲ）证：因为'2000()x f x x x e=-，所以'20()2(1)3x f x t e=-，即为22002(1)3x x t -=-,令222()(1)3g x x x t =---,从而问题转化为证明方程222()(1)3g x x x t =---=0在(2,)t -上有解,并讨论解的个数……10分 因为222(2)6(1)(2)(4)33g t t t -=--=-+-,221()(1)(1)(2)(1)33g t t t t t t =---=+-,所以①当421t t >-<<或时,(2)()0g g t -⋅<,所以()0g x =在(2,)t -上有解,且只有一解……12分②当14t <<时,(2)0()0g g t ->>且,但由于22(0)(1)03g t =--<,所以()0g x =在(2,)t -上有解,且有两解……13分③当1t =时,2()001g x x x x x =-=⇒==或,所以()0g x =在(2,)t -上有且只有一解； 当4t =时,2()6023g x x x x x =--=⇒=-=或, 所以()0g x =在(2,4)-上也有且只有一解……14分综上所述, 对于任意的2->t ,总存在),2(0t x -∈,满足0'20()2(1)3x f x t e=-,且当421t t ≥-<≤或时,有唯一的0x 适合题意；当14t <<时,有两个0x 适合题意. ……15分（说明:第（Ⅱ）题也可以令2()x x x ϕ=-,(2,)x t ∈-,然后分情况证明22(1)3t -在其值域内,并讨论直线22(1)3y t =-与函数()x ϕ的图象的交点个数即可得到相应的0x 的个数）。