高中数学必修2课件：3.1.1倾斜角与斜率
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高一数学人教A版必修2课件：3.1.1 倾斜角与斜率 教学课件
已知坐标平面内三点 A(－1,1)、B(1,1)、C(2， 3＋1). 导学号 09024637 (1)求直线 AB、BC、AC 的斜率和倾斜角； (2)若 D 为△ABC 的边 AB 上一动点，求直线 CD 斜率 k 的变化范围．
[ 思路分析]
y2－y1 (1)利用 k＝ 及 k＝tanα 求解； x2－x1
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第三章 直线与方程
〔跟踪练习 2〕求经过下列两点直线的斜率，并根据斜率指出其倾斜角． 导学号 09024638 (1)(－3,0)、(－2， 3)； (2)(1，－2)、(5，－2)； (3)(3,4)、(－2,9)； (4)(3,0)、(3， 3)．
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第三章 直线与方程
[ 解析]
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第三章 直线与方程
已知直线 l 过点 P(－1,2)，且与以 A(－2，－3)，B(3,0)为端点的线 段相交，求直线 l 的斜率的取值范围. 导学号 09024641
[ 解析]
如图所示，直线 l 绕着 P 点，从 PA 旋转到 PB
2－－3 时，与线段 AB 相交，又因为 PA 的斜率 kPA＝ ＝5， －1＋2 2－0 1 PB 的斜率 kPB＝ ＝－2，所以直线 l 的斜率的取值范围 －1－3 1 是(－∞，－2]∪[5，＋∞)．
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第三章 直线与方程
[ 解析]
(1)∵α＝45° ，∴直线 l 的斜率 k＝tan45° ＝1，
又 P1，P2，P3 都在此直线上， 1－y1 1－5 故 kP1P2＝kP2P3＝k，即 ＝ ＝1，解得 3－2 3－x2 x2＝7，y1＝0. ∴x2＋y1＝7. y (2)x表示直线 OP 的斜率，当点 P 与点 A 重合
3－0 (1)直线的斜率 k＝ ＝ 3＝tan60° ， －2＋3
[ 思路分析]
y2－y1 (1)利用 k＝ 及 k＝tanα 求解； x2－x1
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第三章 直线与方程
〔跟踪练习 2〕求经过下列两点直线的斜率，并根据斜率指出其倾斜角． 导学号 09024638 (1)(－3,0)、(－2， 3)； (2)(1，－2)、(5，－2)； (3)(3,4)、(－2,9)； (4)(3,0)、(3， 3)．
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第三章 直线与方程
[ 解析]
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第三章 直线与方程
已知直线 l 过点 P(－1,2)，且与以 A(－2，－3)，B(3,0)为端点的线 段相交，求直线 l 的斜率的取值范围. 导学号 09024641
[ 解析]
如图所示，直线 l 绕着 P 点，从 PA 旋转到 PB
2－－3 时，与线段 AB 相交，又因为 PA 的斜率 kPA＝ ＝5， －1＋2 2－0 1 PB 的斜率 kPB＝ ＝－2，所以直线 l 的斜率的取值范围 －1－3 1 是(－∞，－2]∪[5，＋∞)．
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第三章 直线与方程
[ 解析]
(1)∵α＝45° ，∴直线 l 的斜率 k＝tan45° ＝1，
又 P1，P2，P3 都在此直线上， 1－y1 1－5 故 kP1P2＝kP2P3＝k，即 ＝ ＝1，解得 3－2 3－x2 x2＝7，y1＝0. ∴x2＋y1＝7. y (2)x表示直线 OP 的斜率，当点 P 与点 A 重合
3－0 (1)直线的斜率 k＝ ＝ 3＝tan60° ， －2＋3
高一数学必修二课件3.1.1倾斜角与斜率
y
l
x
o
我们知道，两点确定一条直线．一点能确定一 条直线的位置吗？已知直线l 经过点P，直线l 的位 置能够确定吗？
y
l
过一点有无数条直线，故一点不能确定直线。
x
o
过一点P可以作无数条直线l 1，l 2 ，l 3 ，„它 们都经过点P（组成一个直线束），这些直线区别 在哪里呢？
y
l
l
P
容易看出，它们的倾斜程度不同.如何表示倾 斜程度呢？
a 25 a sinα 1 , 25 5
2 2
sinα 25 a k tanα 。 cosα a
2
所以，当a=0时所求直线的斜率不存在； 2 当a≠0时所求直线的斜率为 25 a 。 a
5.关于直线的倾斜角和斜率，下列那些说法是正确 的（ D,E ） A. 任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 B. 直线的倾斜角越大，他的斜率越大 C. 平行于轴的直线的倾斜角是0或π D. 两条直线的倾斜角相等，他们的斜率也相等 E. 直线斜率的范围是（-∞，+∞）
x
o
直线的倾斜角
当直线 l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准， x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做直 线 l 的倾斜角（angle of inclination） 。
y
l
注意： (1)直线向上方向； (2)轴的正方向。
x
o
a
下列四图中，表示直线的倾斜角的是(
y y
A
)
A
y
a
C D
习题答案
3 1.解（1）k=tan 30°= ; 3
（2）k=tan 45°=1; （3）k=tan 120°=-tan 60°=- 3 ; （4）k=tan 135°=-tan 45°=-1.
2019年人教版高中数学必修二课件：3.1直线的倾斜角与斜率1
m 1 3 1
=2，解得m=3.
答案:3
类型一
直线的倾斜角
【典例1】(1)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α ， 如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线 l1，那么l1的倾斜角为 ( )
A.α +45°
B.α -135°
C.135°-α D.当0°≤α <135°时，倾斜角为α +45°;
【解析】选C.因为y轴与x轴互相垂直，所以y轴与x轴 所成角为90°.
因为当直线与x轴相交时，直线的倾斜角是直线向上
方向与x轴正向所成的角.
所以y轴对应直线的倾斜角为90°.
主题2
直线的斜率
观察下图:
1.图中三条直线的倾斜程度如何？能否用一个实数表
示？
提示:直线l3的倾斜程度最大，l1的倾斜程度最小.可 以用一个实数即直线的斜率表示.
x 2 x1
率，然后再由倾斜角与斜率的关系k=tan α 确定α 是 锐角还是钝角或直角.
【解析】因为A，B两点的横坐标相同， 所以直线AB垂直于x轴，
倾斜角为90°，
即倾斜角为直角，斜率不存在; 因为A，C两点纵坐标相同，
所以直线AC平行于x轴，
即垂直于y轴，斜率为0，倾斜角为0°，
既不是钝角也不是锐角和直角; B，C两点横坐标不相同，纵坐标也不相同，
的直线l，并求出其倾斜角与斜率.
提示:直线l如图所示:
过点P1作P1Q平行于x轴，过点P2作P2Q垂直于x轴交P1Q
于Q点，则Q点坐标为(2，2)，所以|P1Q|=1，|P2Q|=1，
所以∠P2P1Q=45°，即直线l的倾斜角为45°，所以直 线l的斜率k=tan 45°=1.
结论:直线的斜率公式
=2，解得m=3.
答案:3
类型一
直线的倾斜角
【典例1】(1)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α ， 如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线 l1，那么l1的倾斜角为 ( )
A.α +45°
B.α -135°
C.135°-α D.当0°≤α <135°时，倾斜角为α +45°;
【解析】选C.因为y轴与x轴互相垂直，所以y轴与x轴 所成角为90°.
因为当直线与x轴相交时，直线的倾斜角是直线向上
方向与x轴正向所成的角.
所以y轴对应直线的倾斜角为90°.
主题2
直线的斜率
观察下图:
1.图中三条直线的倾斜程度如何？能否用一个实数表
示？
提示:直线l3的倾斜程度最大，l1的倾斜程度最小.可 以用一个实数即直线的斜率表示.
x 2 x1
率，然后再由倾斜角与斜率的关系k=tan α 确定α 是 锐角还是钝角或直角.
【解析】因为A，B两点的横坐标相同， 所以直线AB垂直于x轴，
倾斜角为90°，
即倾斜角为直角，斜率不存在; 因为A，C两点纵坐标相同，
所以直线AC平行于x轴，
即垂直于y轴，斜率为0，倾斜角为0°，
既不是钝角也不是锐角和直角; B，C两点横坐标不相同，纵坐标也不相同，
的直线l，并求出其倾斜角与斜率.
提示:直线l如图所示:
过点P1作P1Q平行于x轴，过点P2作P2Q垂直于x轴交P1Q
于Q点，则Q点坐标为(2，2)，所以|P1Q|=1，|P2Q|=1，
所以∠P2P1Q=45°，即直线l的倾斜角为45°，所以直 线l的斜率k=tan 45°=1.
结论:直线的斜率公式
人教版高中数学必修二课件：3.1.1倾斜角与斜率 (共33张PPT)
4.指出下列直线的倾斜角和斜率： (1) y 3x； (2) y x tan60； (3) y x tan( 30). 5.结合图形，观察倾斜角变化时，斜率的变化情况．
y o x y o x y o x y o x
如果给定直线的倾斜角，我们当然可以根据斜率 的定义 k ＝tanα求出直线的斜率； 如果给定直线上两点坐标，直线是确定的，倾斜 角也是确定的，斜率就是确定的，那么又怎么求出直 线的斜率呢？
平面直角坐标系内，任何一条直线都有倾斜角， 倾斜角表示平面坐标系内一条直线的倾斜程度.
在平面直角坐标系中，已知直线上一点不能 3x 的图象是直线，在坐标 一次函数 y x, y 确定一条直线的位置 . 同样已知直线的倾斜角， 系中画出这两条直线，并求这两条直线的倾斜角分 也不能确定一条直线的位置. 别是多少？ y y 已知直线上一点和其倾斜角可以惟一确定一 y y=x A y 3x 条直线. C A 问：不同的直线其倾斜角一定不相同吗？ y=x+1
o B x
o C o
D B x x
取点A（1，1） B（1，0） 取点 取点 A(1 C（ ，1 2) ， B(1 ，0) D（ C(-1 1，0 ， ） 0) 3 ）
AOB=450
00 ACB=45 COD=60
思考：日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量呢？ 下列各图中标出的角α是直线的倾斜角吗？
1.当倾斜角α=0 ，30 ，45 ，60 时，这条直线
o
o
o
o
的斜率分别等于多少？ 2.当倾斜角α=120 ，135 ，150 时，这条直线的
斜率分别等于多少？ 3.当直线的倾斜角在什么范围时，其斜率k>0?
o o o
高一数学人教版A版必修二课件：3.1.1 倾斜角与斜率
第三章 § 3.1 直线的倾斜角与斜率
3.1.1 倾斜角与斜率
学习目标
1.理解直线的斜率和倾斜角的概念； 2.理解直线倾斜角的惟一性及直线斜率的存在性； 3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
新知探究 点点落实
知识点一 直线的倾斜角
思考1 在平面直角坐标系中，只知道直线上的一点，能不能确定一条 直1线呢？ 答案 不能. 思考2 在平面直角坐标系中，过定点P的四条直线 如图所示，每条直线与x轴的相对倾斜程度是否相同？ 答案 不同.
后摄抑制：可以理解为因为接受了新的内容，而把前 面看过的忘记了
超级记忆法-记忆规律
TIP1：我们可以选择记忆的黄金时段——睡前和醒后！ TIP2：可以在每天睡觉之前复习今天或之前学过的知识，由于不受后摄抑制的 影响，更容易储存记忆信息，由短时记忆转变为长时记忆。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆规律
1.直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值 叫做这条直线的斜率，斜率常用小写 字母k表示，即k＝ tan α . 2.斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角(范围) 斜率(范围)
α＝0° k＝0
0°<α<90° k>0
α＝90° 不存在
90°<α<180° k<0
答案
知识点三 过两点的直线的斜率公式
TIP3：另外，还有研究表明，记忆在我们的睡眠过程中也并未停止，我们的大 脑会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是 非常宝贵的，不要全部用来玩手机哦~ TIP4：早晨起床后，由于不受前摄抑制的影响，我们可以记忆一些新的内容或 者复习一下昨晚的内容，那么会让你记忆犹新。
3.1.1 倾斜角与斜率
学习目标
1.理解直线的斜率和倾斜角的概念； 2.理解直线倾斜角的惟一性及直线斜率的存在性； 3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
新知探究 点点落实
知识点一 直线的倾斜角
思考1 在平面直角坐标系中，只知道直线上的一点，能不能确定一条 直1线呢？ 答案 不能. 思考2 在平面直角坐标系中，过定点P的四条直线 如图所示，每条直线与x轴的相对倾斜程度是否相同？ 答案 不同.
后摄抑制：可以理解为因为接受了新的内容，而把前 面看过的忘记了
超级记忆法-记忆规律
TIP1：我们可以选择记忆的黄金时段——睡前和醒后！ TIP2：可以在每天睡觉之前复习今天或之前学过的知识，由于不受后摄抑制的 影响，更容易储存记忆信息，由短时记忆转变为长时记忆。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆规律
1.直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值 叫做这条直线的斜率，斜率常用小写 字母k表示，即k＝ tan α . 2.斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角(范围) 斜率(范围)
α＝0° k＝0
0°<α<90° k>0
α＝90° 不存在
90°<α<180° k<0
答案
知识点三 过两点的直线的斜率公式
TIP3：另外，还有研究表明，记忆在我们的睡眠过程中也并未停止，我们的大 脑会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是 非常宝贵的，不要全部用来玩手机哦~ TIP4：早晨起床后，由于不受前摄抑制的影响，我们可以记忆一些新的内容或 者复习一下昨晚的内容，那么会让你记忆犹新。
高中数学人教A版必修2课件：3.1.1 倾斜角与斜率
-11-
3.1.1 倾斜角与斜率
1 2 3
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重难聚焦
典例透析
2.斜率公式 剖析:(1)直线的斜率公式表明直线相对于x轴正方向的倾斜程度, 可以通过直线上任意两点的坐标表示,这比使用几何的方法先求倾 斜角,再求斜率的方法简便. (2)直线的斜率与直线上两点的顺序无关,即两点的纵坐标和横坐 标在公式中的次序可以同时调换,这就是说,如果分子是y2-y1,分母 必须是x2-x1;反过来,如果分子是y1-y2,分母必须是x1-x2,即斜率
-8-
3.1.1 倾斜角与斜率
1 2
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典例透析
【做一做 2-1】 已知直线 l 的倾斜角 α=30°,则其斜率 k 的值 为( ) B. 3 C. 1D. 3 3 解析:k=tan α=tan 30°= 3 . A.0 答案:B
3
-9-
3.1.1 倾斜角与斜率
1 2
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5������ -������ 4
= ������.
因为 A,B,C 三点共线,所以 kAB=kAC, = ������ , 解得a=1. 答案:1
-19-
3.1.1 倾斜角与斜率
题型一 题型二 题型三 题型四
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典例透析
题型三
已知一个点和斜率画直线
【例3】 在平面直角坐标系中,画出经过点P(2,1)且斜率分别为0,1 的直线l1,l2.
=
, 再根据k 的值确定倾斜角 α 的大小.
-15-
3.1.1 倾斜角与斜率
题型一 题型二 题型三 题型四
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高中数学人教A版必修2第三章3.1.1倾斜角与斜率课件
5 1
23
(4)倾斜角 900，斜率不存在.
高 中 数 学 人 教A版必 修2第 三章3. 1.1倾斜 角与斜 率课件
高 中 数 学 人 教A版必 修2第 三章3. 1.1倾斜 角与斜 率课件
题型二
斜率公式的应用
例2、经过两点A(m2+2，m2-3)，B(3-m-m2，2m)的直线l的
下列哪些说法是正确的（
）
A 、任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 F
B、直线的倾斜角越大，斜率也越大
F
C 、平行于x轴的直线的倾斜角是 00或1800 F
D 、两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等F
E 、两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等 T
F 、直线斜率的范围是R
T
高 中 数 学 人 教A版必 修2第 三章3. 1.1倾斜 角与斜 率课件
x2 )
公式的特点:
(1)与两点的顺序无关;
(2) 公式表明,直线对于x轴的倾斜度,可以通 过直线上任意两点的坐标来表示,而不需要求 出直线的倾斜角; (3)当x1=x2时,公式不适用,此时直线与x轴垂 直,α=900
高 中 数 学 人 教A版必 修2第 三章3. 1.1倾斜 角与斜 率课件
练习： 高中数学人教A版必修2第三章3.1.1倾斜角与斜率课件
y
y
y
y
α
o
x o α x oα x o α x
高 中 数 学 人 教A版必 修2第 三章3. 1.1倾斜 角与斜 率课件
不是
高 中 数 学 人 教A版必 修2第 三章3. 1.1倾斜 角与斜 率课件
下图中直线l1，l2，l3的倾斜角 大致是一个什么范围内的角？
y l3
l2 l1
人教A版高中数学必修二课件3.1.1倾斜角与斜率(共25张PPT)
3．直线 l 的倾斜角 α＝ 60° ，则其斜率 k＝ ________.
答案： 3
典题例证技法归纳
【题型探究】
题型一
例1
对直线的倾斜角、斜率的理解
已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交
点为A，直线l1和l2向上的方向之间所成的角为120°，
如图所示，求直线l2的倾斜角．
【解】
设直线l2的倾斜角为α2，结合图形及三角形外
做一做1.如图所示，直线l的倾斜角为( A．45° B．135° C．0° D．不存在 答案：B
)
2．直线的斜率 定义 倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的 正切值 叫做这条直线的斜率，记为k，即k _______ tanα ＝________
当α＝0°时，_____ k＝0； k>0； 当0°<α<90°时，______ 取值范围 当90°<α<180°时，_______ k<0 ； 当α＝90°时，斜率_________ 不存在 直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜 过两点的 y2 － y1 直线的斜 率公式 x2 － x1 x1≠x2). 率k＝ ___________(
【名师点评】
探究直线过定点旋转求直线的倾斜角或
斜率的范围时，一般按以下规律求解． 直线绕定点由与x轴平行(或重合)位置按逆时针方向旋转 到与y轴平行(或重合)时，斜率由0逐渐增大到＋∞；按 顺时针方向时，斜率由0逐渐减小到－∞.这种方法既可 定性分析倾斜角与斜率的关系，也可以定量求解斜率和 倾斜角的取值范围．
l1的倾斜角为α1＝15°，即∠ABC＝15°，因为l2的斜率为
－1，所以其倾斜角为135°，所以∠ACB＝45°，所以 ∠BAC＝120°.直线l1和l2所夹的锐角为∠BAC的补角， 故为60°.
答案： 3
典题例证技法归纳
【题型探究】
题型一
例1
对直线的倾斜角、斜率的理解
已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交
点为A，直线l1和l2向上的方向之间所成的角为120°，
如图所示，求直线l2的倾斜角．
【解】
设直线l2的倾斜角为α2，结合图形及三角形外
做一做1.如图所示，直线l的倾斜角为( A．45° B．135° C．0° D．不存在 答案：B
)
2．直线的斜率 定义 倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的 正切值 叫做这条直线的斜率，记为k，即k _______ tanα ＝________
当α＝0°时，_____ k＝0； k>0； 当0°<α<90°时，______ 取值范围 当90°<α<180°时，_______ k<0 ； 当α＝90°时，斜率_________ 不存在 直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜 过两点的 y2 － y1 直线的斜 率公式 x2 － x1 x1≠x2). 率k＝ ___________(
【名师点评】
探究直线过定点旋转求直线的倾斜角或
斜率的范围时，一般按以下规律求解． 直线绕定点由与x轴平行(或重合)位置按逆时针方向旋转 到与y轴平行(或重合)时，斜率由0逐渐增大到＋∞；按 顺时针方向时，斜率由0逐渐减小到－∞.这种方法既可 定性分析倾斜角与斜率的关系，也可以定量求解斜率和 倾斜角的取值范围．
l1的倾斜角为α1＝15°，即∠ABC＝15°，因为l2的斜率为
－1，所以其倾斜角为135°，所以∠ACB＝45°，所以 ∠BAC＝120°.直线l1和l2所夹的锐角为∠BAC的补角， 故为60°.
数学必修二课件3.1.1倾斜角与斜率
4
正切值 • 2．直线的斜率 倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角 tan α 定 的________叫做这条直线的斜率， k＝0 义 记为k，即k＝________. k<0 k>0 不存在 取 当α＝0°时，________；当 0°<α<90°时，______；当 3值 ．斜率公式 α＝ 范 90°<α<180°时，________；当 y2－y1 直线经过两点 P1(x1，y1)，________. P2(x2，y2)，其斜率 k＝ (其 围 90°时，斜率 x2－x1
10
•
8
• 求直线的倾斜角的方法及两点注意 • (1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角 三角形)求角． • (2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时， 倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角 为90°；②注意直线倾斜角的取值范围是 0°≤α＜180°.
11
• 1．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y 轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾 斜角为( ) • A． α • B．180°－α • C．180°－α或90°－α • D．90°＋α或90°－α • 【答案】D
【答案】A
17
2＋ 3－2 【解析】设直线的倾斜角为 α，直线斜率 k＝ ＝ 4－1 3 3 3 ，∴tan α＝ 3 . 又 0° ≤α＜180° ，∴α＝30° .
18
• 直线斜率公式的应用
【例 3】 (1)若三点
1 A(－2,3)，B(3，－2)，C2，m共线，
则 m 的值为________． (2)已知直线 l 过点 P(－1,2)且与以 A(－2，－3)，B(3,0)为 端点的线段相交，则直线 l 的斜率的取值范围是__________．
2019-2020学年人教A版数学必修2课件：3.1.1倾斜角与斜率
【解析】斜率公式的适用范围是α≠90°，而对于倾斜角 相同的直线，斜率不一定相等，因为不是任何直线都有斜率， 只有当α≠90°时，直线才有斜率，此时倾斜角相同的直线斜 率相等．
直线的倾斜角
【例1】 (1)已知直线l的倾斜角为β－15°，则下列结论
中正确的是( )
A．0°≤β<180°
B．15°<β<180°
2．做一做．(请把正确的答案写在横线上)
(1)已知过点 P(－2，m)和 Q(m,4)的直线的斜率等于 1，则
m＝________.
(2)已知直线 l 的倾斜角 α＝30°，则其斜率 k 的值为
________．
【答案】(1)1
3 (2) 3
3．思一思：根据k＝tan α，思考此斜率公式的适用范围是 什么？对于倾斜角相同的直线，斜率一定相等吗？
2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是( )
A．(－1,0]
B．[0,1]
C．[1,2]
D．[0,2]
【答案】D
【解析】由图可知当直线位于如图阴 影部分所示的区域内时满足题意，所以直 线l的斜率满足0≤k≤2.故选D．
3．已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线 上，则实数a的值为________．
1．给出下列说法：
①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α＜180°；
②若k是直线的斜率，则k∈R；
③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；
④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．
其中说法正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】①②③正确，④错误．
2．(2019年广东珠海阶段性测试)已知直线l经过点A(1，
直线的倾斜角
【例1】 (1)已知直线l的倾斜角为β－15°，则下列结论
中正确的是( )
A．0°≤β<180°
B．15°<β<180°
2．做一做．(请把正确的答案写在横线上)
(1)已知过点 P(－2，m)和 Q(m,4)的直线的斜率等于 1，则
m＝________.
(2)已知直线 l 的倾斜角 α＝30°，则其斜率 k 的值为
________．
【答案】(1)1
3 (2) 3
3．思一思：根据k＝tan α，思考此斜率公式的适用范围是 什么？对于倾斜角相同的直线，斜率一定相等吗？
2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是( )
A．(－1,0]
B．[0,1]
C．[1,2]
D．[0,2]
【答案】D
【解析】由图可知当直线位于如图阴 影部分所示的区域内时满足题意，所以直 线l的斜率满足0≤k≤2.故选D．
3．已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线 上，则实数a的值为________．
1．给出下列说法：
①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α＜180°；
②若k是直线的斜率，则k∈R；
③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；
④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．
其中说法正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】①②③正确，④错误．
2．(2019年广东珠海阶段性测试)已知直线l经过点A(1，
人教版数学必修2课件-直线的倾斜角与斜率
x2 x1
归纳： 对于斜率公式要注意下面四点：
归纳： 对于斜率公式要注意下面四点：
(1) 当斜x率1=不x2存时在，，公倾式斜右角边无=意90义o，，直直线线与的
x轴垂直；
归纳： 对于斜率公式要注意下面四点：
(1) 当斜x率1=不x2存时在，，公倾式斜右角边无=意90义o，，直直线线与的
x轴垂直； (2) k与P1、P2的顺序无关，即y1,y2和x1,x2
讲授新课
我们知道，经过两点有且只有(确定) 一条直线. 那么，经过一点P的直线l的位 置能确定吗?
y l
P
O
x
讲授新课
我们知道，经过两点有且只有(确定)
一条直线. 那么，经过一点P的直线l的位
置能确定吗?
(1)它们都经过点P.
y l
(2)它们的‘倾斜程度’不同.
P
O
x
怎样描述这种‘倾斜程度’的不同?
.
练习
3．已知等边三角形ABC，若直线AB平
行于y轴，则∠C的平分线所在的直线的 倾斜角为 0o ，斜率为 0 ，另两边AC、
BC所在的直线的倾斜角为
，
斜率为
.
练习
3．已知等边三角形ABC，若直线AB平
行于y轴，则∠C的平分线所在的直线的
倾斜角为 0o ，斜率为 0 ，另两边AC、
BC所在的直线的倾斜角为 120o、60o ，
直线斜率的概念：直线倾斜角的正切值 叫直线的斜率.常用k表示，k＝tan.
讨论： 当直线倾斜角为90o时, 它的斜率不存在吗? 倾斜角的大小与斜率为正或负有何关系? 斜率为正或负时，直线过哪些象限呢?
给定两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，x1≠x2，如 何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率?
归纳： 对于斜率公式要注意下面四点：
归纳： 对于斜率公式要注意下面四点：
(1) 当斜x率1=不x2存时在，，公倾式斜右角边无=意90义o，，直直线线与的
x轴垂直；
归纳： 对于斜率公式要注意下面四点：
(1) 当斜x率1=不x2存时在，，公倾式斜右角边无=意90义o，，直直线线与的
x轴垂直； (2) k与P1、P2的顺序无关，即y1,y2和x1,x2
讲授新课
我们知道，经过两点有且只有(确定) 一条直线. 那么，经过一点P的直线l的位 置能确定吗?
y l
P
O
x
讲授新课
我们知道，经过两点有且只有(确定)
一条直线. 那么，经过一点P的直线l的位
置能确定吗?
(1)它们都经过点P.
y l
(2)它们的‘倾斜程度’不同.
P
O
x
怎样描述这种‘倾斜程度’的不同?
.
练习
3．已知等边三角形ABC，若直线AB平
行于y轴，则∠C的平分线所在的直线的 倾斜角为 0o ，斜率为 0 ，另两边AC、
BC所在的直线的倾斜角为
，
斜率为
.
练习
3．已知等边三角形ABC，若直线AB平
行于y轴，则∠C的平分线所在的直线的
倾斜角为 0o ，斜率为 0 ，另两边AC、
BC所在的直线的倾斜角为 120o、60o ，
直线斜率的概念：直线倾斜角的正切值 叫直线的斜率.常用k表示，k＝tan.
讨论： 当直线倾斜角为90o时, 它的斜率不存在吗? 倾斜角的大小与斜率为正或负有何关系? 斜率为正或负时，直线过哪些象限呢?
给定两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，x1≠x2，如 何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率?
高一数学(人教A版)必修2课件：3-1-1 倾斜角与斜率
第三章
3.1
3.1.1
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记法
α
图示
范围
0° ≤α<180°
第三章
3.1
3.1.1
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(1) 作用 (2)
用倾斜角表示平面直角坐标系内一条 直线的 倾斜程度 确定平面直角坐标系中一条直线位置 的几何要素是：直线上的一个定点以 及它的 倾斜角 ，二者缺一不可
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高中数学课件
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第三章
直线与方程
成才之路·数学
人教A版 · 必 修2 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第三章
直线与方程
第三章
直线与方程
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④
×
第三章
3.1
3.1.1
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2.斜率(倾斜角为α) 定 义 α≠90° 一条直线的倾斜角α的正切值叫做这 条直线的斜率
α＝90° 斜率不存在 记法 范围 k，即k＝ tanα
R
第三章
3.1
3.1.1
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3．α为锐角时 tan(180° －α)＝－tanα . 4．几个特殊角的三角函数值： 3 tan30° ＝ 3 ；tan45° ＝ 1 ；tan60° ＝
3 ；tan120° ＝
高一数学A必修2课件3.1.1倾斜角与斜率
固 作
业
4.用斜率公式可解决三点共线问题:
规
范
课
警
前
示
新
提
知
升
初
探
基
础
自
主
课
演
堂
练
互
动
课
探
后
究
巩
固
作
业
【例3】已知某直线l的倾斜角α=45°,又P1(2,y1),P2(x2,5),
规 范
课 P3(3,1)是此直线上的三点,求x2,y1的值.
前
警 示
新
提
知 【规范解答】∵α=45°,∴直线l的斜率k=tan45°=1,
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规
范
课
警
前
示
新
提
知
升
初
探
基
础
自
主
课
演
堂
练
互
动
课
探
后
究
巩
固
作
业
学案42页
规 范
课
警
前
示
新
提
知
升
初
探
基
础
自
主
课
演
堂
练
互
动
课
探
后
究
巩
固
作
业
规
范
课
警
前
示
新
提
知
升
初
探
基
础
自
主
课
演
堂
练
互
动
课
探
后
究
巩
固
高一数学人教A版必修2课件：3.1.1 倾斜角与斜率
0,即m 1且m 1 时.有tan m
3
m2 )
m2 2m 3 2m2 m 1
1,
即3m2 m 4 0,解得,m 1或m 4 . 3
第十六页，编辑于星期日：二十二点 分。
由前面已知m≠-1,
∴m= 4 . 3
误区警示:在应用斜率公式时,要注意x1≠x2.因此,本题答案是
第三十七页，编辑于星期日：二十二点 分。
2 2 1, 1 1 1 .
ba
ab 2
第三十六页，编辑于星期日：二十二点 分。
12已知a>0,若平面内三点A(1,-a),B(2,a2),C(3,a3)共线,则
a=________.
1 2
解析 :由题意可得 a2 a a3 a ,化简得a(a2 2a 1) 0, 21 31
a 0或a 1 2. a 0,a 1 2.
又0≤k<1 ∴0≤tanα<1 又0°≤α<180°,∴0°≤α<45°.
第二十一页，编辑于星期日：二十二点 分。
易错探究
例4:如图所示,已知点A(-2,3),B(3,2),P(0,-2),过点P的直线l与线段 AB有公共点,求直线l的斜率k的变化范围.
第二十二页，编辑于星期日：二十二点 分。
错解 :由已知可得kPB
4 3
, kPA
5 知, 斜率k的取值范围是 2
(, 5] [43, ). 2
第二十三页，编辑于星期日：二十二点 分。
基础强化
1.直线l经过原点和点(-1,-1),则它的斜率是( )
A.1
B.-1
C.-1或1
D.以上都不对
答案:A
第二十四页，编辑于星期日：二十二点 分。
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二、讲授新课 观察下列直线的变化，说出直线的倾斜 角大致是一个什么范围内的角？
y
o
x
2.直线倾斜角的范围：
当直线 l与x 轴平行或重合时，我们规定
它的倾斜角为0 ,因此，直线的倾斜角的
取值范围为：0 180
按倾斜角去分类，直线可分几类？
x
y
o
零度角
x
y
a
o
锐角
x
y
o
直角
x
y
a
o
钝角
二、讲授新课 3、直线倾斜角的意义：
P2 P1
P1 P2
斜率与两点的顺序无关
二、讲授新课
思考？
1、当直线平行于x轴0， 或与x轴重合 zxxkw
时，上y 述公式还k 适用ta吗nk？0为y什2 0么y？1
P1(x1, y1) P2 (x2, y2 )
x2 x1
成立，因为分子为0，
o x1
x2
分母不为0，k=0
x
二、讲授新课
思考？
二、讲授新课
1.直线倾斜角的定义
当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基 准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角 叫做直线l的倾斜角.
yl
o
注意： (1)直线向上方向； (2)x轴的列各图中标出的角α是直线的倾斜 角吗？
y
y
y
y
α
o
x o α x oα x o α x
2时、，当上直述线公平式行还9于适0y轴用, ta，吗n或？90与为(不y什轴么存重？在合)
y
y2
k不存在
P2(x2, y2)
k y2 y1 x2 x1
y1
P1(x1, y1)
不成立，因
o
x 为分母为0。
二、讲授新课
思考:经过点A(a，b)、B(m，n)(a≠m)的直 线的斜率是什么？
k bn nb am ma
四、当堂检测
3．当且仅当m为何值时，经过两点 A(m，3)、B(－m，2m－1)的直线的 倾斜角为60o？
五、课堂小结
1. 倾斜角、斜率的概念； 2. 斜率的计算公式.
坡度（比）= 升高量
升
前进量
高 量
α
前进量
“坡度”实际就是“倾斜角a的正切”
二、讲授新课 我们把一条直线的倾斜角α的正切值 叫做这条直线的斜率.常用小写字母k表示， 即k=tanαzxxkw ，那么任何一条直线都有斜率 吗？
特别：倾斜角是90°的直线（垂直于x 轴的直线）没有斜率.
二、讲授新课 【例】当倾斜角α=0°，30°，45°，60°时，
思考:对于三个不同的点A，B，C，
若 kAB kAC ，则这三点的位置关系
如何？
三、例题精讲
【例1】已知点A(3,2),B(-4,1),C(0,-1)， 求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线 的倾斜角是锐角还是钝角．
三、例题精讲
【例2】在平面直角坐标系中，画出经过
原点且斜率分别为1，-1，2及-3的直线l1， l2，l3及l4.
二、讲授新课
在直角坐标系中，经过两点A（2，4）、B （－1，3）的直线有几条？直线AB的斜率是多 少？
yA
Bα
C
α
o
x
3、探究：由两点确定的直线的斜率
锐角
k tan
y
直能角不如三能图角构，形造当去一求α个为？锐角时，
y2
y1
P2 (x2, y2 )
Q(x2, y1) P1(x1, y1)
P2P1Q,
o
x
(3)
y P1(x1, y1)
Q( x2 ,
y1)
P2 (x2,
y2 )
o
x
(4)
请同学们课后推导！
4、直线的斜率公式：
综上所述，我们得到经过两点 P1(x1, y1), P2 (x2, y2 ) (x1 x2 )的直线的斜率公式：
k y2 y1 (或k y1 y2 )
x2 x1
x1 x2
第三章 直线的倾斜角与斜率
3.1.1 倾斜角与斜率
一、新课导入
我们知道，两点确定一条直线。一点能 确定一条直线的位置吗？已知直线l经过点P， 直线l的位置能确定吗?
过一点可以确定无数
条直线l1,l2,l3......它们都经
过点P（组成一个直线
P
束），这些直线区别在哪
里？ 倾斜程度不同
思考：怎样描述直线的倾斜程度呢？
且x1 x2, y1 y2
o x1
x2 x
在RtP2P1Q中
0 k
tan
tan P2P1Q
QP2 P1Q
y2 x2
y1 x1
钝角
y
y2
P2 (x2, y2 )
如图，当α为钝角是，
180 ,
且x1 x2, y1 y2
tan tan(180 )
y1
P1(x1, y1)
Q(x2, y1)
这条直线的斜率分别等于多少？
【例】当α是锐角时，有tan（180°-α） =-tanα. 那么当倾斜角α=120°，135°， 150°时，这条直线的斜率分别等于多少？
二、讲授新课
倾斜角为锐角、钝角的直线的斜率的取值 范围分别是什么？一般地，直线的斜率的取值 范围是什么？
倾斜角为锐角时,k＞0; 倾斜角为钝角时,k＜0; 倾斜角为0°时,k=0.
o x2 x1 x
tan
在RtP2QP1中
tan P2Q y2 y1 P1Q x1 x2
0 k tan y2 y1 y2 y1 x1 x2 x2 x1
思考？
1、当 P1P2 的位置对调时， k 值又如何呢？
y
P1(x1, y1)
Q(x2 , y1)
P2 (x2, y2 )
l4 y
l2
l3
l1
o
x
三、例题精讲 【例3】已知三点A(a，２)，Ｂ(５，１)， Ｃ(-４，２a)在同一直线上，求a的值
【变式】证明A（2，-3），B（4，3）， C（5，6）三点共线
四、当堂检测
1．教材P.86练习第1、2、3、4题. 2．若直线l向上的方向与y轴正方向成 30o角，则l的倾斜角为 60o或120o ， l的斜率为 3 或 3 .
反映直线对x轴正方向的倾斜程度。
倾斜程度 倾斜角
☺倾斜角相同能确 定一条直线吗？
y l2 l1
ox
☺相同倾斜角可作无
l3
数互相平行的直线
二、讲授新课
4、如何才能确定直线位置？
l
y
o
x
过一点且倾斜角为
能不能确定一条直线？
能
一点+倾斜角 确定一条直线
（两者缺一不可）
二、讲授新课 初中学过的“坡度（比）”是什么含 义？它能否表示直线的倾斜程度？它与这 条直线的倾斜角之间有什么关系？