欧拉—拉格朗日方程

欧拉－拉格朗日方程

欧拉-拉格朗日方程 (Euler-Lagrange equation) 为变分法中的一条重要方程。它提供了求泛函的平稳值的一个方法。

第一方程

设，以及在中连续，并设泛函

。

若使得泛函 J(y) 取得局部平稳值，则对于所有的，

。

推广到多维的情况，记

，

，

。

若使得泛函取得局部平稳值，则在区间内对于所有的，皆有

。

第二方程

设，及在中连续，若使得泛函取得局部平稳值，则存在一常数 C ，使得

。

例子

设及为直角坐标上的两个固定点，欲求连接两点之间的最短曲线。设

，并且

；

这里，为连接两点之间的曲线。则曲线的弧长为

。

现设

，

，

取偏微分，则

，

，

fx = fy = 0 。

若 y 使得 L(y) 取得局部平稳值，则 y 符合第一方程：

，

。

因此，

，

。

随 t 积分，

，

；

这里，为常数。重新编排，

，

。

再积分，

x(t) = rt + r' ，

y(t) = st + s' 。

代入初始条件

，

；

即可解得，是连接两点的一条线段。

另经过其他的分析，可知此解为唯一解，并且该解使得 L(y) 取得极小值，所以在平面上连结两点间弧长最小的曲线为一直线。