课后练习之一次函数及其图象

课后强化训练10 一次函数及其图象一、选择题1．在平面直角坐标系中，一次函数y ＝x －1的图象是(B )【解析】 一次函数y ＝x －1中，k ＝1，∴图象经过第一、三象限．∵b ＝－1，∴与y 轴相交于负半轴，故图象经过一、三、四象限，故选B.2．在同一平面直角坐标系中，若一次函数y ＝－x ＋3与y ＝3x －5的图象相交于点M ，则点M 的坐标为(D )A ．(－1，4)B ．(－1，2)C ．(2，－1)D ．(2，1)【解析】 一次函数y ＝－x ＋3与y ＝3x －5的图象的交点M 的坐标即为方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋3，y ＝3x －5的解， 解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，∴点M 的坐标为(2，1)．(第3题)3．如图，在矩形AOBC 中，点A(－2，0)，B(0，1)．若正比例函数y ＝kx 的图象经过点C ，则k 的值为(A )A ．－12 B.12C ．－2D ．2【解析】 ∵点A (－2，0)，B (0，1)，∴OA ＝2，OB ＝1. ∵四边形AOBC 是矩形， ∴AC ＝OB ＝1，BC ＝OA ＝2， ∴点C 的坐标为(－2，1)．将点C (－2，1)的坐标代入y ＝kx ，得1＝－2k ， 解得k ＝－12.4．若一次函数y ＝－2x ＋m 的图象经过点P (－2，3)，且与x 轴，y 轴分别相交于点A ，B ，则△AOB 的面积是(B )A.12B.14C ．4D ．8 【解析】 ∵一次函数y ＝－2x ＋m 的图象经过点P (－2，3)， ∴3＝4＋m ，解得m ＝－1， ∴y ＝－2x －1.∵当x ＝0时，y ＝－1，∴与y 轴相交于点B (0，－1)． ∵当y ＝0时，x ＝－12，∴与x 轴相交于点A ⎝⎛⎭⎫－12，0. ∴△AOB 的面积为12×1×12＝14.5．已知等腰三角形的周长是10，底边长y 是腰长x 的函数，则能正确反映y 与x 之间函数关系的图象是(D )【解析】 由题意，得2x ＋y ＝10，∴y ＝－2x ＋10.由三角形的三边关系，得⎩⎪⎨⎪⎧2x >－2x ＋10，－2x ＋10>0，解得2.5＜x ＜5，∴能正确反映y 与x 之间函数关系的图象是D.6．把直线y ＝2x －1向左平移1个单位，平移后直线的函数表达式为(B )A ．y ＝2x －2B ．y ＝2x ＋1C ．y ＝2xD ．y ＝2x ＋2【解析】 y ＝2x －1向左平移1个单位后，表达式应为y＝2(x＋1)－1，即y＝2x＋1.7．函数y1＝ax＋b与y2＝bx＋a在同一平面直角坐标系中的图象可能是(A)【解析】当a＞0，b＞0时，函数y1与y2都经过第一、二、三象限，四个选项均不符合；当a＞0，b＜0时，函数y1经过第一、三、四象限，函数y2经过第一、二、四象限，只有A选项符合；当a＜0，b＞0时，函数y1经过第一、二、四象限，函数y2经过第一、三、四象限，只有A选项符合；当a＜0，b＜0时，函数y1与y2都经过第二、三、四象限，四个选项均不符合．故选A.(第8题)8．已知一次函数y1＝kx＋b与y2＝x＋a的图象如图所示，有下列结论：①k＜0；②a ＞0；③关于x的方程kx＋b＝x＋a的解为x＝3；④x＞3时，y1＜y2.其中正确的个数是(C) A．1B．2C．3D．4【解析】由图可知：k＜0，a＜0，关于x的方程kx＋b＝x＋a的解是x＝3，当x＞3时，y1＜y2，故①③④正确，即正确的个数是3.(第9题)9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(9，6)，AB ⊥y 轴，垂足为B ，点P 从原点O 出发向x 轴正方向运动，同时，点Q 从点A 出发向点B 运动，当点Q 到达点B 时，点P ，Q 同时停止运动．若点P 与点Q 的速度之比为1∶2，则下列说法正确的是(B )A ．线段PQ 始终经过点(2，3)B ．线段PQ 始终经过点(3，2)C ．线段PQ 始终经过点(2，2)D ．线段PQ 不可能始终经过某一定点【解析】 当OP ＝t 时，点P 的坐标为(t ，0)，点Q 的坐标为(9－2t ，6)．设直线PQ 的函数表达式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将点P (t ，0)，Q (9－2t ，6)的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧kt ＋b ＝0，（9－2t ）k ＋b ＝6，解得k ＝23－t ，b ＝2t t －3.∴直线PQ 的函数表达式为y ＝23－t x ＋2tt －3.∴当x ＝3时，y ＝2，∴直线PQ 始终经过点(3，2)．二、填空题10．已知一次函数y ＝(2－m )x ＋m －3，当m >2时，y 随x 的增大而减小． 【解析】 ∵y 随x 的增大而减小， ∴2－m <0，∴m >2.11．已知关于x 的方程mx ＋3＝4的解为x ＝1，则直线y ＝(m －2)x ＋3一定不经过第__三__象限．【解析】 把x ＝1代入方程mx ＋3＝4，得m ＝1， ∴直线y ＝(m －2)x －3即为y ＝－x ＋3， ∴图象不经过第三象限．12．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的一个顶点在原点O 处，且∠AOC ＝60°，点A 的坐标是(0，4)，则直线AC 的函数表达式是y ＝－33x ＋4．(第12题)(第12题解)【解析】 如解图，过点C 作CD ⊥x 轴于点D.由菱形OABC 的一个顶点在原点O 处，点A 的坐标是(0，4)，得OC ＝OA ＝4. ∵∠1＝60°，∴∠2＝30°，∴sin ∠2＝CD OC ＝12，∴CD ＝2，∴OD ＝23，∴点C(23，2)．设AC 的函数表达式为y ＝kx ＋b ，将点A ，C 的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，23k ＋b ＝2，解得k ＝－33，b ＝4. ∴直线AC 的函数表达式是y ＝－33x ＋4.(第13题)13．如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝x 和y ＝－12x 的图象分别为直线l 1，l 2，过点A 1(1，－12)作x 轴的垂线，交l 1于点A 2，过点A 2作y 轴的垂线，交l 2于点A 3，过点A 3作x 轴的垂线，交l 1于点A 4，过点A 4作y 轴的垂线，交l 2于点A 5……依次进行下去，则点A 2019的横坐标为__－21009__．【解析】 由题意得，点A 1⎝⎛⎭⎫1，－12，A 2(1，1)，A 3(－2，1)，A 4(－2，－2)，A 5(4，－2)，….∵2019÷4＝504……3，2019÷2＝1009……1， ∴点A 2019的横坐标为－21009.(第14题)14．如图，将直线y ＝－x 沿y 轴向下平移后的直线恰好经过点A(2，－4)，且与y 轴交于点B.在x 轴上存在一点P ，使得PA ＋PB 的值最小，则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫23，0．导学号：37547014(第14题解)【解析】 如解图所示，作点B 关于x 轴对称的点B′，连结AB′，交x 轴于点P ，则点P 即为所求．设直线y ＝－x 沿y 轴向下平移后的直线的函数表达式为y ＝－x ＋a ， 把点A(2，－4)的坐标代入，得a ＝－2， ∴平移后的直线为y ＝－x －2.令x ＝0，则y ＝－2，即点B(0，－2)， ∴点B′(0，2)．设直线AB′的函数表达式为y ＝kx ＋b ，把点A(2，－4)，B ′(0，2)的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧－4＝2k ＋b ，2＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3，b ＝2.∴直线AB′的函数表达式为y ＝－3x ＋2. 令y ＝0，则x ＝23，∴点P ⎝⎛⎭⎫23，0.三、解答题15．已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点(－1，－5)，且与正比例函数y ＝12x 的图象相交于点(2，a)．求：(1)a 的值． (2)k ，b 的值．(3)这两个函数图象与x 轴所围成的三角形的面积．【解析】 (1)∵y ＝12x 经过点(2，a)，∴把点(2，a)的坐标代入y ＝12x ，得a ＝1.(2)把点(－1，－5)和点(2，1)的坐标代入函数表达式，得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝－5，2k ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－3.(第15题解)(3)如解图．令y ＝0，则2x －3＝0，得x ＝32，∴y ＝2x －3与x 轴相交于点⎝⎛⎭⎫32，0，∴这两个函数图象与x 轴所围成的三角形面积为12×32×1＝34.(第16题)16．某通讯公司推出电脑上网包月制，每月收取费用y(元)与上网时间x(h)的函数关系如图所示，其中BA 是线段，且BA ∥x 轴，AC 是射线．(1)当x ≥30时，求y 与x 之间的函数表达式．(2)若小李4月上网20 h ，则他应付上网费多少元？(3)若小李5月的上网费用为75元，则他在该月的上网时间是多少？【解析】 (1)当x ≥30时，设函数表达式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧30k ＋b ＝60，40k ＋b ＝90，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3，b ＝－30.∴y ＝3x －30.(2)若小李4月上网20 h ，则他应付上网费60元． (3)解75＝3x －30，得x ＝35，∴5月上网35 h.(第17题)17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝－x ＋m 分别交x 轴，y 轴于A ，B 两点，且已知点C(2，0)．(1)当直线AB 经过点C 时，点O 到直线AB 的距离是__2__．(2)设点P 为线段OB 的中点，连结PA ，PC ，若∠CPA ＝∠ABO ，求m 的值． 【解析】 (1)当直线AB 经过点C 时，点A 与点C 重合，当x ＝2时，y ＝－2＋m ＝0，即m ＝2，∴直线AB 的函数表达式为y ＝－x ＋2，则点B(0，2)，∴OB ＝OA ＝2，AB ＝2 2.设点O 到直线AB 的距离为d ，由S △OAB ＝12OA 2＝12AB ·d ，得2＝2d ，则d ＝ 2.(2)如解图，在y 轴负半轴上取点D ，使OD ＝OC ＝2，连结CD ，则∠PDC ＝45°. 由y ＝－x ＋m 可得点A(m ，0)，B(0，m)，(第17题解)∴OA ＝OB ＝|m|，AB ＝2|m|，∴∠OBA ＝∠OAB ＝45°.当m ＜0时，∠APC ＞∠OBA ＝45°.∴此时∠CPA ＞45°，故不合题意．∴m ＞0.∵∠CPA ＝∠ABO ＝45°，∴∠BPA ＋∠OPC ＝∠BAP ＋∠BPA ＝135°， 即∠OPC ＝∠BAP ，则△PCD ∽△APB ， ∴PD AB ＝CD PB ，即12m ＋22m＝2212m ，解得m ＝12. 18．某年5月，我国南方某省A ，B 两市遭受严重洪涝灾害，1.5万人被迫转移，邻近县市C ，D 获知A ，B 两市分别急需救灾物资200 t 和300 t 的消息后，决定调运物资支援灾区．已知C 市有救灾物资240 t ，D 市有救灾物资260 t ，现将这些救灾物资全部调往A ，B 两市．已知从C 市运往A ，B 两市的费用分别为每吨20元和25元，从D 市运往A ，B 两市的费用分别为每吨15元和30元，设从D 市运往B 市的救灾物资为x (t)．(1)请填写下表： A(t) B(t) 合计(t) C x －60 300－x 240 D 260－x x 260 总计(t)200300500(2)设C ，D 两市的总运费为w 元，求w 与x 之间的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围．(3)经过抢修，从D 市到B 市的路况得到了改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m 元(m ＞0)，其余路线运费不变．若C ，D 两市的总运费的最小值不小于10320元，求m 的取值范围．【解析】 (2)由题意，得w ＝20(x －60)＋25(300－x )＋15(260－x )＋30x ＝10x ＋10200， ∴w ＝10x ＋10200(60≤x ≤260)．(3)由题意，得w ＝10x ＋10200－mx ＝(10－m )x ＋10200，若0＜m ＜10，则当x ＝60时，w 取得最小值，此时w ＝(10－m )·60＋10200≥10320，解得0＜m ≤8.若m ＞10，则当x ＝260时，w 取得最小值，此时w ＝(10－m )·260＋10200≥10320，解得m ≤12413.∵12413＜10，∴m ＞10这种情况不符合题意，舍去． 综上所述，m 的取值范围是0＜m ≤8.。