函数的单调性与最大小值

2．2函数的单调性与最大(小)值1．函数的单调性(1)增函数与减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I：①如果对于定义域I内某个区间D上的自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是．②如果对于定义域I内某个区间D上的自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是．(2)单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的) ，区间D 叫做y＝f(x)的．2．函数的最值(1)最大值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有；②存在x0∈I，使得．那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值．(2)最小值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：①对于任意的x∈I，都有；②存在x0∈I，使得．那么我们称N是函数y＝f(x)的最小值．自查自纠1．(1)①任意两个增函数②任意两个减函数(2)单调性单调区间2．(1)①f(x)≤M②f(x0)＝M(2)①f(x)≥N②f(x0)＝N(教材习题改编)函数f(x)＝－3x＋2在区间[－1，2]上的最大值为()A．5 B．2 C．－4 D．－1解：f(x)单调递减，故f(x)max＝f(－1)＝5.故选A.(2016·北京)下列函数中，在区间(－1，1)上为减函数的是()A．y＝11－xB．y＝cos xC ．y ＝ln(x ＋1)D ．y ＝2－x解：选项A 中函数y ＝11－x ＝－1x －1在区间(－1，1)上是增函数；选项B 中函数y ＝cos x 在区间(－1，0)上是增函数，在区间(0，1)上是减函数；选项C 中函数y ＝ln(x ＋1)在区间(－1，1)上是增函数；选项D 中函数y ＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x在区间(－1，1)上是减函数．故选D .(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是()A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)解：函数有意义，则x 2－2x －8>0，解得x <－2或x >4，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为(4，＋∞)．故选D .(2016·北京)函数f (x )＝x x －1(x ≥2)的最大值为________． 解：易得f (x )＝x x －1＝1＋1x －1，当x ≥2时，x －1>0，易知f (x )在[2，＋∞)是减函数，所以f (x )max ＝f (2)＝2.故填2.已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1，2]上具有单调性，则实数a 的取值范围为________．解：函数的对称轴为直线x ＝a ，因此要使函数f (x )在区间[1，2]上具有单调性，只需a ≤1或a ≥2.故填(－∞，1]∪[2，＋∞)．类型一确定函数的单调性与单调区间(1)已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为()A ．(－∞，1]B ．[3，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)解：设t (x )＝x 2－2x －3，由t (x )≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3，所以函数f (x )的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t (x )＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t (x )在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．故选B .(2)判断函数f (x )＝x ＋a x(a >0)在(0，＋∞)上的单调性． 解法一：设0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋a x 2 ＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a )． 当0<x 1<x 2≤a 时，0<x 1x 2<a ，又x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以函数f (x )在(0，a ]上是减函数；当a ＜x 1<x 2时，x 1x 2>a ，又x 1－x 2<0，故f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，故函数f (x )在(a ，＋∞)上是增函数．综上可知，函数f (x )＝x ＋a x(a >0)在(0，a ]上是减函数，在(a ，＋∞)上是增函数．解法二：求导可得f ′(x )＝1－a x 2. 令f ′(x )＞0，则1－a x 2＞0，解得x ＞a 或x ＜－a (舍)． 令f ′(x )≤0，则1－a x2≤0，解得－a ≤x ≤a . 因为x ＞0，所以0＜x ≤a .所以f (x )在(0，a ]上是减函数；在(a ，＋∞)上是增函数．点拨(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1)．(2)函数单调性的判断方法主要有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法等．(3)函数y ＝f (g (x ))的单调性应根据外层函数y ＝f (t )和内层函数t ＝g (x )的单调性判断，遵循“同增异减”的原则．(1)函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为()A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)(2)试讨论函数f (x )＝ax x －1(a ≠0)在(－1，1)上的单调性． 解：(1)由x 2－4>0，得x >2或x <－2.所以f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．令t ＝x 2－4，则y ＝log 12t (t >0)．因为t ＝x 2－4在(－∞，－2)上是减函数，且y ＝log 12t 在(0，＋∞)上是减函数，所以函数f (x )在(－∞，－2)上是增函数，即f (x )单调递增区间为(－∞，－2)．故选D .(2)解法一：设－1<x 1<x 2<1，f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1， f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1＝a （x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1）， 由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上单调递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．解法二：f ′(x )＝（ax ）′（x －1）－ax （x －1）′（x －1）2＝a （x －1）－ax （x －1）2＝－a （x －1）2. 当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1，1)上单调递减；当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．类型二函数单调性的应用(1)设f (x )为定义在R 上的偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上为增函数，则f (－2)，f (－π)，f (3)的大小关系是()A ．f (－π)<f (－2)<f (3)B ．f (－π)>f (－2)>f (3)C ．f (－π)<f (3)<f (－2)D ．f (－π)>f (3)>f (－2)解：因为f (x )为定义在R 上的偶函数，所以 f (－2)＝f (2)，f (－π)＝f (π)．又因为f (x )在[0，＋∞)上为增函数，所以f (－π)>f (3)>f (－2)．故选D .(2)(2015·成都模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0，若f (2－a 2) >f (a )，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1，2)C ．(－2，1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＝（x ＋2）2－4，x ≥0，4x －x 2＝－（x －2）2＋4，x <0， 作出y ＝f (x )的图象可知f (x )在(－∞，＋∞)上是单调增函数，由f (2－a 2)>f (a )得2－a 2>a ，即a 2＋a －2<0，解得－2<a <1.故选C .点拨函数的单调性常用来求最值，求参数范围，比较大小等．要注意挖掘解析式或已知条件中的隐含信息，合理转化．(1)已知f (x )＝x 2－cos x ，则f (0.6)，f (0)，f (－0.5)的大小关系是()A ．f (0.6)＜f (0)＜f (－0.5)B ．f (0)＜f (－0.5)＜f (0.6)C ．f (0.6)＜f (－0.5)＜f (0)D ．f (－0.5)＜f (0)＜f (0.6)解：因为f (－x )＝(－x )2－cos(－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，所以f (x )是偶函数．所以f (－0.5)＝f (0.5)．又因为f ′(x )＝2x ＋sin x ，当x ∈(0，1)时，f ′(x )＞0.所以f (x )在(0，1)上是增函数，所以f (0)＜f (0.5)＜f (0.6)，即f (0)＜f (－0.5)＜f (0.6)．故选B .(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）x ＋1，x ＜1，a x ，x ≥1，满足对任意x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0成立，那么a 的取值范围是________．解：由已知条件得f (x )为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＞0，a ＞1，（2－a ）×1＋1≤a ，解得32≤a ＜2，所以a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫32，2.故填⎣⎡⎭⎫32，2.类型三抽象函数的单调性已知定义在R 上的函数f (x )对任意实数x ，y ，恒有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23. (1)求证：f (x )为奇函数；(2)求证：f (x )在R 上是减函数；(3)求f (x )在[－3，6]上的最大值与最小值．解：(1)证明：令x ＝y ＝0，可得f (0)＋f (0)＝f (0＋0)＝f (0)，从而f (0)＝0.令y ＝－x ，可得f (x )＋f (－x )＝f (x －x )＝f (0)＝0，即f (－x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数．(2)证明：对任意x 1，x 2∈R ，不妨设x 1>x 2，则x 1－x 2>0，于是f (x 1－x 2)<0，从而f (x 1)－f (x 2)＝f [(x 1－x 2)＋x 2]－f (x 2)＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)<0，所以f (x )在R 上是减函数．(3)由(2)知，所求函数在[－3，6]上的最大值为f (－3)，最小值为f (6)．因为f (－3)＝－f (3)＝－[f (2)＋f (1)]＝－[2f (1)＋f (1)]＝－3f (1)＝2，f (6)＝－f (－6)＝－[f (－3)＋f (－3)]＝－4，所以f (x )在[－3，6]上的最大值为2，最小值为－4.点拨对于抽象函数单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x 1，x 2在所给区间内比较f (x 1)－f (x 2)与0的大小，或f （x 1）f （x 2）与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形，如x 1＝x 2＋x 1－x 2或x 1＝x 2·x 1x 2等．深挖已知条件，是求解此类题的关键．在客观题的求解中，解这类题目也可考虑用特殊化方法，如本题可依题目条件取f (x )＝－23x .f (x )的定义域为(0，＋∞)，且对一切x ＞0，y ＞0都有f ⎝⎛⎭⎫x y ＝f (x )－f (y )，当x ＞1时，有f (x )＞0.(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性并证明；(3)若f (6)＝1，解不等式f (x ＋5)－f ⎝⎛⎭⎫1x ＜2.解：(1)f (1)＝f ⎝⎛⎭⎫x x ＝f (x )－f (x )＝0，x ＞0.(2)f (x )在(0，＋∞)上是增函数．证明：设0＜x 1＜x 2，则由f ⎝⎛⎭⎫x y ＝f (x )－f (y )，得f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1，因为x 2x 1＞1，所以f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1＞0. 所以f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(3)因为f (6)＝f ⎝⎛⎭⎫366＝f (36)－f (6)，又f (6)＝1，所以f (36)＝2，原不等式化为：f (x 2＋5x )＜f (36)，又因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5＞0，1x ＞0，x 2＋5x ＜36， 解得0＜x ＜4.1．证明函数的单调性与求函数的单调区间，均可运用函数单调性的定义，具体方法为差式比较法或商式比较法．注意单调性定义还有如下的两种等价形式：设x 1，x 2∈(a ，b )，且x 1≠x 2，那么(1)f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0⇔f (x )在(a ，b )内是增函数； f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0⇔f (x )在(a ，b )内是减函数． 上式的几何意义：增(减)函数图象上任意两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))连线的斜率恒大于(或小于)零．(2)(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f (x )在(a ，b )内是增函数；(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0⇔f (x )在(a ，b )内是减函数．2．函数单调性的判断(1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法．(2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数；(3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性；(4)复合函数的单调性：如果y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性相同，那么y ＝f (g (x ))是增函数；如果y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性相反，那么y ＝f (g (x ))是减函数．在应用这一结论时，必须注意：函数u ＝g (x )的值域必须是y ＝f (u )的单调区间的子集．(5)在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的函数的单调性，因此掌握一次函数、二次函数、幂函数、对数函数等的单调性，将大大缩短我们的判断过程．3．函数最值的重要结论(1)设f (x )在某个集合D 上有最小值，m 为常数，则f (x )≥m 在D 上恒成立的充要条件是f (x )min ≥m ；(2)设f (x )在某个集合D 上有最大值，m 为常数，则f (x )≤m 在D 上恒成立的充要条件是f (x )max ≤m .4．自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系可正逆互推，即若f (x )是增(减)函数，则f (x 1)＜f (x 2)⇔x 1＜x 2(x 1＞x 2)．在解决“与抽象函数有关的不等式”问题时，可以利用函数单调性的“可逆性”，脱去“函数符号f ”，化为一般不等式求解，但运算必须在定义域内或给定的范围内进行．1．函数f (x )＝1x －1在区间[3，7]上的最大值是() A.17 B.16 C.13 D.12解：f (x )在[3，7]单调递减，故最大值为f (3)＝12.故选D . 2．下列函数中，在区间(－∞，0)上是减函数的是()A ．y ＝1－x 2B ．y ＝x 2＋xC ．y ＝－－xD ．y ＝x x －1解：选项D 中，y ＝x x －1＝1＋1x －1.易知其在(－∞，1)上为减函数．故选D . 3．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a 的值为()A ．－2B ．2C ．－6D ．6解：由图象易知函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是⎣⎡⎭⎫－a 2，＋∞，令－a 2＝3，所以a ＝－6.故选C . 4．若函数y ＝ax 与y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是() A ．增函数 B ．减函数C ．先增后减函数D ．先减后增函数解：由y ＝ax 在(0，＋∞)上是减函数，知a <0；由y ＝－b x在(0，＋∞)上是减函数，知b <0.所以y ＝ax 2＋bx 的对称轴方程为x ＝－b 2a<0.又因为y ＝ax 2＋bx 的图象是开口向下的抛物线，所以y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是减函数．故选B .5．(2016·天津)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是()A.⎝⎛⎭⎫－∞，12B.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫12，32 D.⎝⎛⎭⎫32，＋∞解：由f (x )是定义在R 上的偶函数且在区间(－∞，0)上单调递增，可知f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减，所以由f (2|a －1|)>f (－2)及f (－2)＝f (2)，可得2|a －1|<2，即|a －1|<12，解得12<a <32.故选C . 6．(2016·莱州质检)对于每一个实数x ，f (x )是y ＝2－x 2和y ＝x 这两个函数中的较小者，则f (x )的最大值是()A ．2B ．1C ．0D ．－2解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x 2，x ＜－2或x ＞1，x ，－2≤x ≤1. 当x <－2时，函数f (x )的值域为(－∞，－2)；当－2≤x ≤1时，函数f (x )的值域为[－2，1]；当x >1时，函数f (x )的值域为(－∞，1)．故函数f (x )的值域为(－∞，1]，所以f (x )max ＝1.另解：作图．故选B .7．(2016·福建厦门质检)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2(x ＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________．解：由于y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上单调递增，所以f (x )在[－1，1]上单调递减，故f (x )在[－1，1]上的最大值为f (－1)＝3.故填3.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax －1，x ≤2，log a（x －1）＋3，x >2是定义域上的单调函数，则a 的取值范围是________． 解：由题意知a >0，所以f (x )只可能是定义域上的单调增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a >1，2a －1≤log a （2－1）＋3， 解得1<a ≤2.故填(1，2]．9．f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，求x 的取值范围．解：2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)，因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x －8＞0，x （x －8）≤9，解得8<x ≤9. 故x 的取值范围是(8，9]．10．(2015·江淮十校模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≥0，ax 2＋bx ，x <0 为奇函数． (1)求a －b 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，m －2]上单调递增，求实数m 的取值范围．解：(1)令x <0，－x >0，f (x )＝－f (－x )，即ax 2＋bx ＝－(－x 2－2x )．所以a ＝1，b ＝2，所以a －b ＝－1.(2)由(1)知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≥0，x 2＋2x ，x <0， 易知f (x )的单调递增区间为[－1，1]，所以[－1，m －2]⊆[－1，1]，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2>－1，m －2≤1， 解得1<m ≤3. 故实数m 的取值范围为(1，3]．11．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．解：(1)证明：任取x 1＜x 2＜－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2）. 因为(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0，所以f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增．(2)f (x )＝x x －a ＝x －a ＋a x －a ＝1＋a x －a， 当a ＞0时，f (x )在(－∞，a )，(a ，＋∞)上是减函数，又f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以0＜a ≤1，故实数a 的取值范围为(0，1]．已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋a x －2，其中a 是大于0的常数． (1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1，4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值；(3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．解：(1)由x ＋a x －2＞0，得x 2－2x ＋a x＞0， 当a ＞1时，x 2－2x ＋a ＞0恒成立，定义域为(0，＋∞)，当a ＝1时，定义域为{x |x ＞0且x ≠1}，当0＜a ＜1时，定义域为{x |0＜x ＜1－1－a 或x ＞1＋1－a }．(2)设g (x )＝x ＋a x－2，当a ∈(1，4)，x ∈[2，＋∞)时， g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－a x2>0.因此g (x )在[2，＋∞)上是增函数， 所以f (x )在[2，＋∞)上是增函数．则f (x )min ＝f (2)＝lg a 2. (3)对任意x ∈[2，＋∞)，恒有f (x )>0.即x ＋a x－2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立．所以a >3x －x 2. 令h (x )＝3x －x 2，x ∈[2，＋∞)．由于h (x )＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋94在[2，＋∞)上是减函数，所以h (x )max ＝h (2)＝2. 故a >2时，恒有f (x )>0.因此实数a 的取值范围为(2，＋∞)．。