06-07高数A1答案甲卷

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06-07高等数学试题(A)解答

广州大学2006-2007学年第一学期考试卷高等数学（A 卷）（90学时）参考解答与评分标准一．填空题（每小题3分，本大题满分15分）1．=∞→xxx sin lim0 2．设函数(ln )y f x =, 其中()f x 可微, 则d y =(ln )d f x x x'3．曲线sin y x =上点(0,0)处的切线斜率为=k 1 4．设()x f x xe =, 则(2006)()f x =2006xxxe e + 5．质点以速度)sin(2t t 米/秒作直线运动, 则从时刻21π=t 秒到π=2t 秒内质点所经过的路程等于 0.5 米.二．选择题 (每小题3分, 本大题满分15分)1. 当1x →时，无穷小量(1)x -是2(1的( C ). A. 高阶无穷小; B. 低阶无穷小; C. 等价无穷小; D. 同阶但不等价无穷小.2. 0x =是函数1arctany x=的( B )间断点. A. 可去; B. 跳跃; C. 无穷; D. 振荡.3. 下列函数在指定区间上满足罗尔定理条件的是( A ).A. ];3,2[,65)(2∈+-=x x x x f B . ];2,0[,)1(1)(32∈-=x x x fC. ];1,0[,)(∈=x e x f xD. ].1,1[,)(-∈=x x x f4. 设函数()y y x =的导函数为cos x ，且(0)1y =，则()y x =( D ). A. cos x ; B. sin x ; C. cos 1x +; D. sin 1x +.5. 若22001()d ()d 2axf x x f x x =⎰⎰，则a =( A ). A. 4; B. 2; C.12; D. 1. 三．解答下列各题（每小题6分，本大题满分12分）1．21sin ()xe y x -=，求y '. 解：112sin (sin )x x e e y x x --''=⋅。

北京科技大学2006-2007学年度第1学期高等数学A试题及答案

装订线内不得答题自觉遵守考试规则，诚信考试，绝不作弊（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）217．在空间直角坐标系下，z 轴的对称式方程为【】．（A ）1001z y x ==-；（B ） 2300--==z y x ；（C ）001z y x ==；（D ） 010zy x == ．8．函数)(x f 在点a 可导，则ax a f x f a x --→)()(lim 22下列结论正确的是【】 ( A ) )('a f ( B ) )('2a f ( C ) )()('2a f a f ( D ) 09. 已知函数)(x f 具有任意阶导数，且2)]([)('x f x f =，则当n 为大于2的整数时，)(x f的n 阶导数)()(x f n 是【】（A ） 1)]([!+n x f n （B ）1)]([+n x f n （C ）n x f 2)]([ （D ）n x f n 2)]([!。

10. 设)(x f 的导数是x sin ，则)(x f 的一个原函数为【】（A ）1+x sin （B ）1-x sin （C ）1+x cos （D ）1-x cos三、（8分）计算x ->+∞四、（8分）设⎪⎩⎪⎨⎧+-=++=22)1(21)1ln(t arctgt y t x 求.,22dx y d dx dy五、（8分）求不定积分⎰-dx xx1arcsin六、（8分）利用定积分定义计算极限 121lim +∞→+++p pp p n n n Λ(0)p >)装订线内不得答题自觉遵守考试规则，诚信考试，绝不作弊七、（8分）求极限 xx x x cos 11sin lim -→⎪⎭⎫⎝⎛八、（8分）求定积分312x dx --⎰九、（8分）求极限 )1ln(d lim21cos 02x te xt x +⎰-→十、（5分）已知汽车行驶每小时的耗油费用为y （元），它与行驶速度x （公里 / 小时）的关系为325001x y =．若汽车行驶时除耗油费用外的其它费用为每小时100元，问汽车最经济的行驶速度为多少？装订线内不得答题自觉遵守考试规则，诚信考试，绝不作弊十一、（5分）如图：已知半径为R 的半球形水池充满了水，求当抽出水所做的功为将水全部抽出所做的功的一半时，水面下降的高度。

高数题目及答案

2006~2007-2高等数学A 2试题A 卷一、填空题（每小题3分，共15分）1．函数),(y x f 在点),(y x 可微分是),(y x f 在该点连续的条件.2．半径为a 的均匀半圆薄片（面密度为ρ）对其直径边的转动惯量为 . 3．L 为圆周222a y x =+，则()⎰+Lnds y x22= .4．函数 0,,)(⎩⎨⎧<≤<≤--=ππx x x x x f 的傅里叶级数展开式为()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++-= x n n x x x x f 12cos 1215cos 513cos 31cos 42)(222ππ)(ππ≤≤-x ，则级数()++++++22212151311n 的和等于 . 5．方程0ln =-'y y y x 的通解是 . 二、选择题（每小题3分，共15分）6．函数()22,y xy x y x f +-=在点)1,1(P 处沿方向⎭⎬⎫⎩⎨⎧=41,41l 的方向导数（）。

(A) 最大; (B) 最小; (C) 1; (D) 0.7．设区域D 是由0,42=-=y x y 围成，则=+=⎰⎰Ddxdy y ax I )(（）。

(A) 0>I ;(B) 0=I ;(C) 0<I ;(D) I 的符号与a 有关.8．下列各式中正确的是（） (A)022=+-⎰L y x ydx xdy ，其中1:22=+y x L ，沿逆时针方向； (B)⎰⎰⎰⎰∑∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++dS R Q P dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P 5325253),,(),,(),,(；其中∑是平面63223=++z y x 在第一卦限的部分的上侧。

(C)⎰⎰⎰Γ∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=++dz y P x Q dy x R z P dx z Q y R Rdxdy Qdzdx Pdydz 其中Γ是∑的边界曲线，且Γ的方向与∑侧符合右手法则；(D) 向量场k z y x R j z y x Q i z y x P z y x A),,(),,(),,(),,(++=的散度k y P x Q j x R z P i z Q y R A div ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=.9．级数∑∞=+-12)1(n nnnb 为（）。

06年高等数学(上)试题及答案

华东交通大学2006—2007学年第一学期考试卷承诺：我将严格遵守考场纪律，知道考试违纪、作弊的严重性，还知道请他人代考或代他人考者将被开除学籍和因作弊受到记过及以上处分将不授予学士学位，愿承担由此引起的一切后果。

专业班级学号学生签名：试卷编号：（A ）卷《高等数学(A)Ⅰ》课程 (工科本科06级) 课程类别：必闭卷（√）考试日期：2007.1.15 题号一二三四五总分 12 3 4 5 6 7 1 2分值 10 15 7777777998阅卷人 (全名)考生注意事项：1、本试卷共 6 页，总分 100 分，考试时间 120 分钟。

2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。

一、填空题(每题2分，共10分)______)1(34)( 122=-+-=x x x x x x f 第一类间断点为设函数、___________ 11 2 02=+=⎰dy dt t y x则，设、_______)1 1(1 3==K xy 处的曲率，在点等边双曲线、_________141=+⎰dx x x、__________ } 3 2{}2 1 1{ 5==-=λλ则垂直，，，与，，已知向量、b a二、选择题(每题 3分，共15分)∞=--+∞→ D. 2 C. 1 B. 0 . A )B ()sin 11( 122limx x x x x 、22222221 D. )1(2 C. 12 B. 2 A.) C ( )()1ln(arctan 2t t t dxy d x y y t y t x -++==⎩⎨⎧+==则，确定设、得分评阅人得分评阅人1dx x211+222ln 1-21xx ex e x x x e x xxsin D. C. )ln(1 B. 1 A.)D (0 3><>++<>时成立的是当下列各式中，、1cos D. 1cos C. 1sin B. 1sinA.) A ()1(1sin )( 42C x C x C x C x dx xf xx x f ++-++-='=⎰则，设、⎩⎨⎧==-+⎩⎨⎧==-+⎩⎨⎧==-+=-+⎩⎨⎧=+=++822 D. 0 822 C.0 822 B. 822 A.)D ( 19522222222222z y y x y y y x x y y x y y x xoy z y z y x 为平面上的投影曲线方程在曲线、三、计算题(每题 7分，共49分)x x x ex x 222sin 112lim--→、21 42 21422 1 2222limlimlimlim23042==-=-=--=→→→→xxe xe x xxe x x ex x xx x x xx 原式解：)22(2lim n n n n n --+∞→、 2 21214 224 limlim=-++=-++=∞→∞→nn nn n n nn n 原式解：得分评阅人得分评阅人y e e y xx '++=求，设、 )1ln( 32 xx x x xxxx x x x e ee e e e e e e ee y 222122221 ]2)1(21[11 )1(11+=⋅++++='++++='-解：dxx x ⎰-2214、Cx x xCt t dtt tdttdttttdt dx t x +---=+--=-=====⎰⎰⎰arcsin 1 cot )1(csccot cos sincos cos sin 2222原式则，令解：dxx x ⎰1arctan 5、)1(arctan 121+=⎰x d x 原式解：得分评阅人得分评阅人得分评阅人分扣缺1C。

高等数学A1_试_题(A)附答案

2006-2007学年第一学期高等数学（A1）试题(A 卷)一、填空(本题共5小题,每小题3分,满分15分) 1.已知=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+)(,31122x f xx x x f 则 ____________. 2.设)(0x f '存在,则()()=--+→hh x f h x f h 000lim ____________.3.设)(x f 的原函数为xx ln ,则()='⎰dx x f ____________.4.向量{}4,3,4-=a在向量{}1,2,2=b上的投影是____________. 5. )1(1)(+=x xx f 按的幂展开到n 阶的泰勒公式是_________ .二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分) 1.设()x f 可导且()210='x f ，当0→∆x 时，()x f 在0x 处的微分dy与x ∆比较是（）无穷小.(A ) 等价 (B ) 同阶 (C ) 低阶 (D ) 高阶2．已知c bx ax x y +++=3323,在1-=x 处取得极大值,点(0,3)是拐点, 则（）.3,0,1)(3,1,0)(==-==-==c b a B c b a A 均错以上)( 0,1,3)(D c b a C =-==3．设)(x f 在[-5，5]上连续，则下列积分正确的是（）.[][]0)()()(0)()()(5555=--=-+⎰⎰--dx x f x f B dx x f x f A[][]0)()()(0)()()(550=--=-+⎰⎰dx x f x f D dx x f x f C4. 设直线L 为12241z y x =-+=-,平面0224:=-+-z y x π 则( ).上；在；平行于ππL L A )B ()(.(D);)(斜交与垂直于ππL L C5. 若0532<-b a ,则方程043235=++-c bx ax x ( ) (A ) 无实根; (B ) 有五个不同的实根. (C ) 有三个不同的实根; (D ) 有惟一实根;三、计算下列各题(本题共4小题,每小题7分,共28分) 1. .,1ln2sec 22dxdy ee y xxx求+-=2．设)(x y y =是由方程)ln()(2y x y x x y --=-确定的隐函数，求d y .3．求32)21ln(limxdtt x x ⎰+→.4. 求由参数方程()⎩⎨⎧=+=ty t x arctan 1ln 2所确定的函数的二阶导数.22dx yd四、求下列积分(本题共3小题,每小题7分,满分21分) 1.dx xx ⎰-21ln .2.⎰-dxxx42.3.().ln 11 12dx x x e ⎰-五、(7分)设,ln 1)(,1x xx f b a +=<<求证：)(41)()(0a b a f b f -≤-<.六、(7分)已知直线L 在平面01:=-++z y x π上,并且与直线⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=t z t y t x L 11:1垂直相交,求L 的方程.七、(7分)过坐标原点作曲线x y ln =的切线,该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D .(1) 求D 的面积A .(2) 求D 绕直线x=e 旋转一周所成的旋转体的体积V .2006-2007学年第一学期高等数学（A1）试题(A 卷)答案一、填空(本题共5小题,每小题3分,满分15分) 1．1)(2+=x x f ； 2. )(20x f '; 3.C xx +-2ln 1; 4. 2;5.[]之间与介于1,)1()1()1()1()1(111212-+-++++++++-=+++x x x x x xn n n nξξ二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分) 1. B 2. A 3. B 4. C 5. D三、计算下列各题(本题共4小题,每小题7分,共28分) 1. 解：()'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-'='1ln 2sec 22x xxe e y 2分⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=122212tan 2sec 2ln 222x xxxx e e6分112tan 2sec 2ln 22+-=xxx x e7分2. 解：[]1)ln()(2+--=-y x dy dx dx dy 5分 ()()dxy x y x dy -+-+=ln 3ln 2 7分3. 解：220323)21l n (l i m )21l n (l i mxx xdtt x x x +=+→→⎰4分 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+==→→xx x x x x x 6214l i m32l i m 2022032= 7分4. 解：ttt t dxdy21121122=++= 4分3222224112121tt tt tdxy d +-=+⋅-= 7分四、求下列积分(本题共3小题,每小题7分,满分21分) 1. 解：⎪⎭⎫⎝⎛--=-⎰⎰x d x dx x x 1112)ln (ln 2分⎰+--=dxxxx 211ln 4分C xx C xxx +-=+---=ln 11ln 7分2. 解：⎰⎰=∈=-tdtdxxx tx t 2220224tansec ),(π3分C t t dt t +-=-=⎰2tan 2)1(sec 22 6分Cxx+--=2242arccos7分3. 解：()()x d x dx x x e e ln ln 11lim ln 11 1212⎰⎰-→-=-+εε 4分()[]2ln arcsin lim 1πεε==-→+e x 7分五、(7分)设,ln 1)(,1x xx f b a +=<<求证：)(41)()(0a b a f b f -≤-<.证明：由拉格朗日中值定理()01)()(2>--=-a b a f b f ξξ 3分记)1(1)(2>-=x xx x g 4分⎪⎩⎪⎨⎧><==<<>-='20,2 ,021 ,02)(3x x x x x x g 5分因此2=x 是)(x g 在),1(+∞内的最大值点，且41)2()(=≤g x g ，于是)(41)()(0a b a f b f -≤-< 7分六、(7分)已知直线L 在平面01:=-++z y x π上,并且与直线⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=t z t y t x L 11:1垂直相交,求L 的方程.解：直线L 的方向向量为k i kj is22111111-=-= 3分将L 1代入平面方程得：1-=t ，π与1L 的交点坐标为（0，2，-1） 5分直线L 的方程为：11021-+=-=z y x 或⎩⎨⎧==++201y z x 7分七、(7分)过坐标原点作曲线x y ln =的切线,该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D .(1) 求D 的面积A .(2) 求D 绕直线x=e 旋转一周所成的旋转体的体积V .解：设切点坐标为：()00x x ln ,切线方程为：)(ln 0001x x x x y -=- 1分由于切线过原点，得切点坐标为：()1,e 2分切线方程为：ex y =3分（1）()12ln 2ln 21 1-=--=-=⎰e x x x e xdx e D ee 5分（2）()22 65 312122πππππ+-=--=⎰e e dy e e e V y7分。

2006-2007(1)高等数学试题(A卷)(54)解答

2006-2007(1)高等数学试题(A 卷)(54)解答第 2 页共 6页学院领导审批并签名A 卷广州大学2006-2007学年第一学期考试卷高等数学（54学时）参考解答与评分标准题次一二三四五六七八总分分数 15 15 18 12 24 10 6 100 得分评卷人一．填空题 (每小题3分, 本大题满分15分)1. 10lim(1)xx x →-= 1-e2．=++∞→x x x x cos 122lim 20 3. 曲线2x y =在点)4,2(处的切线方程为440y x -+=学院专业班级姓名学号第 3 页共 6页4. 函数2x e y -=的渐近线为 0=y5. 曲线233x x y -=的拐点坐标为 (1,-2)二．选择题 (每小题3分, 本大题满分15分)1．下列函数为偶函数的是（ C ）.(A) x x cos ; (B) 1+x ; (C) 12+x; (D)xx cos +.2. 当0→x 时,11-+x 是2x 的( B )无穷小.(A) 高阶; (B) 低阶; (C) 同阶但不等价; (D) 等价.3．函数)(x f 在点0x 处有定义,是函数)(x f 在点0x处连续的( A ).(A) 必要条件; (B) 充分条件; (C) 充要条件; (D) 无关条件.4. 函数||y x =在点0=x 处（ B ）.(A) 不连续; (B) 连续但不可导; (C) 可导; (D) 可微.5. 设⎰+-=C x dx x f sin )(, 则=')(x f ( D ).(A) cos x -; (B) x sin -; (C) x cos ; (D) sin x .第 4 页共 6页第 5 页共 6页求0|=x dxdy . 解:方程 2=+-x ye xy e(*)两端同时对x 求导,得0=+'--'x y e y x y y e (**) 3分在(*)式中令0=x ,得 0)0(=y 在(**)式中令0=x ,得 1)0(-='y 6分即 0|=x dxdy =-1第 6 页共 6页四．计算下列极限(每小题6分，本大题满分12分)1. 0sin lim (1cos )x x xx x →--. 解:原式=3021sin limx xx x -→2分=2023cos 1limx x x -→4分=xxx 3sin lim 0→ =316分 2．xx xln 12)1(lim ++∞→. 解:原式=x x x eln )1ln(lim2++∞→2分 =2212limxx x e ++∞→4分 =2e装订线内不要答题第 7 页共 6页6分五．计算下列积分(每小题6分，本大题满分24分)1. dx x x )3(-⎰.解: 原式=dxx dx x ⎰⎰-2/12/333分=C x x +-2/32/52526分 2. ⎰dxx x )1(sin 2+.解:原式=⎰⎰+xdxdx xx 2sin2分 =22221)(sin 21x x d x +⎰4分 =C x x +--)(cos 21226分第 8 页共 6页3. 22ln(1)x dxx +⎰. 解:原式=)1()1ln(2⎰-+xd x2分=)1ln(1)1ln(122+++-⎰x d xxx=dx xx x ⎰+++-2212)1ln(14分 =C x x x+++-arctan 2)1ln(126分 4. dxxx ⎰+31.解: 令6u x =,则du u dx 56= ∴dxxx ⎰+31=duu u u ⎰+2356=du uu ⎰+1633分=duuu ⎰+-+11)1(63第 9 页共 6页=du udu u u ⎰⎰+-+-11)1([62]=Cu u u u ++-+-)1ln(663223=Cx x x x ++-+-)1ln(6626636分第 10 页共 6页六．(本题满分10分)某厂生产x件产品的成本为 21()2500020040C x x x =++(元). 问(1) 若使平均成本最小, 应生产多少件产品?(2) 若产品以每件500元售出, 要使利润最大, 应生产多少件产品?解: (1)依题意, 平均成本为x x x x C x C 40120025000)()(++== 2分所以 40125000)(2+-='xx C 令0)(='x C ,得1000=x5分故要使平均成本最小, 应生产1000件产品; (2) 依题意, 利润)40120025000(500)(2x x x x L ++-==240125000300x x --7分装订线内不要答题第 11 页共 6页则 x x L 201300)(-='令0)(='x L ,得6000=x10分故若产品以每件500元售出, 要使利润最大, 应生产6000件产品.七．(本题满分6分)证明: 当0x >时,221)1ln(1x x x x +>+++. 证明: 令221)1ln(1)(x x x x x f +-+++= 2分则有 22221111)1ln()(x xx x x x x x x x f +-+++++++=' =)1ln(2x x ++>0(当0>x 时)第 12 页共 6页 4分故函数)(x f 在(0,+∞)内是单调增加函数,所以当0x >时,)0()(f x f >=0, 即 221)1ln(1x x x x +>+++. 6分。

06-07高等数学A1_试_题(A)

(A) 32211y y C y C ++； (B) ()3212211y C C y C y C +-+； (C) ()32122111y C C y C y C ---+； (D) ()32122111y C C y C y C --++.5. 若0532<-b a ,则方程043235=++-c bx ax x ( ) (A ) 无实根; (B ) 有五个不同的实根. (C ) 有三个不同的实根; (D ) 有惟一实根;三、计算下列各题(本题共4小题,每小题7分,共28分)1. .,1ln 2sec 22dx dy e e y x xx求+-=2．设)(x y y =是由方程)ln()(2y x y x x y --=-确定的隐函数，求d y .3．求320)21ln(limx dtt xx ⎰+→.4. 求由参数方程()⎩⎨⎧=+=ty t x arctan 1ln 2所确定的函数的二阶导数.22dx yd四、求下列积分(本题共3小题,每小题7分,满分21分) 1.dx xx ⎰-21ln . 2.⎰-dx xx 42 . 3.().ln 11 12dx x x e⎰-五、(7分)设,ln 1)(,1x xx f b a +=<<求证：)(41)()(0a b a f b f -≤-<.六、（7分）求微分方程0)1(2='-''-y x y x 满足初始条件1)0(,0)0(='=y y 的特解。

06年高考数学试题全国卷1

06年高考数学试题全国卷1∙2006年06月09日10:27∙来源:河南报业网-河南商报∙∙[发表评论]移动用户发送HNZB到7000，订阅河南手机报。

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大河网讯本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷注意事项：本卷共１２小题，每小题５分，共６０分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果事件Ａ、Ｂ互斥，那么Ｐ（Ａ＋Ｂ）=Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）如果事件Ａ、Ｂ相互独立，那么Ｐ（Ａ·Ｂ）=Ｐ（Ａ）·Ｐ（Ｂ）如果事件Ａ在一次试验中发生的概率是Ｐ，那么ｎ次独立重复试验中恰好发生ｋ次的概率Ｐｎ（ｋ）=ＣｋｎＰｋ（１－Ｐ）ｎ－ｋ球的表面积公式Ｓ=４πＲ２其中Ｒ表示球的半径球的体积公式Ｖ=４３πＲ３其中Ｒ表示球的半径一、选择题（１）已知向量ａ、ｂ满足ａ=１，ｂ=４，且ａ·ｂ=２，则ａ与ｂ的夹角为（Ａ）π６（Ｂ）π４（Ｃ）π３（Ｄ）π２（２）设集合Ｍ=Ｂ，Ｎ=Ｂ，则（Ａ）Ｍ∩Ｎ=覫（Ｂ）Ｍ∩Ｎ=Ｍ（Ｃ）Ｍ∪Ｎ=Ｍ（Ｄ）Ｍ∪Ｎ=Ｒ（３）已知函数ｙ=ｅｘ的图像与函数ｙ=ｆ（ｘ）的图像关于直线ｙ=ｘ对称，则（Ａ）ｆ（２ｘ）=ｅ２ｘ（ｘ∈Ｒ）（Ｂ）ｆ（２ｘ）=Ｉｎ２·ｌｎｘ（ｘ〉０）（Ｃ）ｆ（２ｘ）=２ｅｘ（ｘ∈Ｒ）（Ｄ）ｆ（２ｘ）=Ｉｎｘ＋Ｉｎ２（ｘ〉０）（４）双曲线ｍｘ２＋ｙ２=１的虚轴长是实轴长的２倍，则ｍ=（Ａ）－１４（Ｂ）－４（Ｃ）４（Ｄ）１４（５）设Ｓｎ是等差数列Ｂ的前ｎ项和，若Ｓ７＝３５，则ａ４=（Ａ）８（Ｂ）７（Ｃ）６（Ｄ）５（６）函数ｆ（ｘ）=ｔａｎｘ＋π４的单调增区间为（Ａ）ｋπ－π２，ｋπ＋π２，ｋ∈Ｚ（Ｂ）（ｋπ，（ｋ＋１）π），ｋ∈Ｚ（Ｃ）ｋπ－３π４，ｋπ＋π４，ｋ∈Ｚ（Ｄ）ｋπ－π４，ｋπ＋３π４，ｋ∈Ｚ（７）从圆ｘ２－２ｘ＋ｙ２－２ｙ＋１=０外一点Ｐ（３，２）向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（Ａ）１２（Ｂ）３５（Ｃ）３√２（Ｄ）０（８）△ＡＢＣ的内角Ａ、Ｂ、Ｃ的对边分别为ａ、ｂ、ｃ．若ａ、ｂ、ｃ成等比数列，且ｃ=２ａ，则ｃｏｓＢ＝（Ａ）１４（Ｂ）３４（Ｃ）２√４（Ｄ）２√３（９）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为４，体积为１６，则这个球的表面积是（Ａ）１６π（Ｂ）２０π（Ｃ）２４π（Ｄ）３２π（１０）在ｘ－１２ｘ１０的展开式中，ｘ４的系数为（Ａ）－１２０（Ｂ）１２０（Ｃ）－１５（Ｄ）１５70页.jpg71页.jpg（１１）抛物线ｙ=－ｘ２上的点到直线４ｘ＋３ｙ－８=０距离的最小值是（Ａ）４３（Ｂ）７５（Ｃ）８５（Ｄ）３（１２）用长度分别为２、３、４、５、６（单位：ｃｍ）的５根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（Ａ）８５√ｃｍ２（Ｂ）６１０√ｃｍ２（Ｃ）３５５√ｃｍ２（Ｄ）２０ｃｍ２第Ⅱ卷二、填空题：本大题共４小题，每小题４分，共１６分，把答案填在题中横线上。

资料：06-07-3高数(A)期末参考答案及评分标准

模板资料资源共享06-07-3高数A 期末试卷参考答案（A ）一。

填空题(本题共10小题，每小题3分，满分30分)1．已知曲面z xy =上一点0000(,,)M x y z 处的法线垂直于平面390x y z +++=，则0x =，0y =，0z =；2．交换积分次序221111d (,)d x x x f x y y ---=⎰⎰；3．设{}222,,,x y z r x y z ==++r 3divrr =； 4．设正向闭曲线C ：1x y +=，则曲线积分22d d Cx y x xy y +=⎰；5.设幂级数nn n a x∞=∑的收敛半径为3，则幂级数11(1)n nn na x ∞+=-∑的收敛区间为；6．设2()e x f x =，则(2)(0)n f =；7. 设0,0()1,0x f x x x ππ-<≤⎧=⎨+<≤⎩，其以2π为周期的Fourier 级数的和函数记为()S x ，则(3)S π=；8.设正向圆周:1C z =，则cos d Czz z=⎰；9．函数1()cosf z z z=的孤立奇点0z =的类型是-------（如为极点，应指明是几级极点），[]Res (),0f z =；10．使二重积分()2244d Dxy σ--⎰⎰的值达到最大的平面闭区域D 为.学号姓名密封线模板资料资源共享二．(本题共2小题，每小题8分，满分16分)11．判断级数1342nn nn ∞=-∑的敛散性. .12．求幂级数1121n n n n x n ∞+=+∑的收敛域与和函数.三．(本题共2小题，每小题9分，满分18分)13．将函数()f x x x =+ 在(1,1]-上展开为以2为周期的Fourier 级数.模板资料资源共享14．将函数21()43f z z z =-+ 在圆环域13z <<内展开为Laurent 级数.四．（15）(本题满分9分) 验证表达式 22(cos 21)d (3)d x xy x x y y +++-+ 为某一函数的全微分，并求其原函数.五．（16）(本题满分9分)利用留数计算反常积分41d 1x x +∞+⎰.模板资料资源共享六．（17）(本题满分10分)已知流体的流速函数 {}33333(,,),,2x y z y z z x z =--v ，求该流体流过由上半球面2211z x y =-- 22z x y =+ 所围立体表面的外侧的流量.七．（18）(本题满分8分) 设函数([0,1])f C ∈，且0()1f x ≤<，利用二重积分证明不等式：11100()d ()d 1()1()d f x x f x x f x f x x ≥--⎰⎰⎰。

高等数学A1第1章课后习题答案

P21 练习1-1P30 练习1-2P38 练习1-3P42练习1-4解函数cosy x x=在(,)-∞+∞内无界.因为001,2[](,),|()|2[]M x M y x M Mππ∀>∃=∈-∞+∞=>。

当x→+∞时，cosy x x=不是无穷大。

因为取2,nx nπ=当n→∞时，nx→+∞，lim()nny x→∞=+∞；取'22nx nππ=+，当n→∞时，'nx→+∞，lim(')0nny x→∞=。

解函数11sinyx x=在(0,1]内无界.因为0010,(0,1],|()|2[]22[]2M x y x M MMππππ∀>∃=∈=+>+。

当x→+∞时，11sinyx x=不是无穷大。

因为取1,22nxnππ=+当n→∞时，0nx+→，lim()nny x→∞=+∞；取1'2nxnπ=，当n→∞时，'0nx+→，lim(')0nny x→∞=。

8.求函数24()2f xx=-的图形的渐近线。

解因为24lim02x x→∞=-，所以0y=为曲线的水平渐近线；因为224lim2x x→±=∞-，所以2x=±为曲线的铅直渐近线；P49 练习1-56 若lim (),lim ()f x A g x B ==，证明：lim[()()]f x g x AB =证明：因为lim (),lim ()f x A g x B ==，所以(),lim 0,f x A αα=+=(),lim 0g x B ββ=+=，则()()()()()f x g x A B AB A B αββααβ=++=+++，且lim()0A B βααβ++=。

由函数极限与无穷小的关系，得lim[()()]f x g x AB =。

P56 练习1-6P59 练习1-7P65 练习1-8P69 练习1-9P74 练习1-101. 假设函数()f x 在闭区间[0,1]上连续，并且对[0,1]上任一点x 有0()1f x ≤≤。

06年《高等数学》试题及答案

2006年河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试《高等数学》试卷题号一二三四五六总分核分人分数一、单项选择题（每小题2分，共计60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内。

不选、错选或多选者，该题无分.1.已知函数)12(-x f 的定义域为]1,0[ ，则)(x f 的定义域为（） A. ]1,21[B. ]1,1[-C. ]1,0[D. ]2,1[-解：B x x ⇒≤-≤-⇒≤≤112110.2.函数)1ln(2x x y -+=)(+∞<<-∞x 是（） A ．奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数解：01ln )1ln()1ln()()(22==+++-+=-+x xx xx f x f A ⇒.3. 当0→x 时，x x sin 2-是x 的（） A. 高阶无穷小 B. 低阶无穷小 C. 同阶非等价无穷小 D. 等价无穷小解： 1sin lim2-=-→xx xx C ⇒.4.极限=+∞→nnn n sin 32lim（）A. ∞B. 2C. 3D. 5 解：B nn nnn n n ⇒=+=+∞→∞→2]sin 32[lim sin 32lim.5.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠-=0,10,1)(2x a x xe xf ax，在0=x 处连续，则常数=a （） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解：B a a a aexex f axx axx x ⇒=⇒+===-=→→→1122lim 1lim)(lim 2020.6. 设函数)(x f 在点1=x 处可导，则=--+→xx f x f x )1()21(lim（）A. )1(f 'B. )1(2f 'C. )1(3f 'D. -)1(f ' 解：xx f f f x f xx f x f x x )1()1()1()21(lim)1()21(lim--+-+=--+→→C f xf x f xf x f x x ⇒'=---+-+=→→)1(3)1()1(lim2)1()21(lim207. 若曲线12+=x y 上点M 处的切线与直线14+=x y 平行，则点M 的坐标（） A. （2，5） B. （-2，5） C. （1，2） D.（-1，2）得分评卷人解： A y x x x y ⇒==⇒=⇒='5,2422000.8.设⎪⎩⎪⎨⎧==⎰202cos sin ty du u x t，则=dx dy （） A. 2t B. t 2 C.-2t D. t 2- 解： D t tt t dxdy ⇒-=-=2sin sin 222.9.设2(ln )2(>=-n x x yn ，为正整数),则=)(n y （）A.x n x ln )(+B. x1 C.1)!2()1(---n nxn D. 0解：B xy x y x x yn n n ⇒=⇒+=⇒=--1ln 1ln )()1()2(.10.曲线233222++--=x xx x y （）A. 有一条水平渐近线，一条垂直渐近线B. 有一条水平渐近线，两条垂直渐近线C. 有两条水平渐近线，一条垂直渐近线，D. 有两条水平渐近线，两条垂直渐近线解：A y y y x x x x x xx x y x x x ⇒∞=-==⇒++-+=++--=-→-→±∞→2122lim,4lim ,1lim)2)(1()3)(1(2332.11.下列函数在给定的区间上满足罗尔定理的条件是（） A.]2,0[|,1|-=x y B. ]2,0[,)1(132-=x yC.]2,1[,232+-=x x y D ． ]1,0[,arcsin x x y = 解：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等C ⇒.12. 函数xe y -=在区间),(+∞-∞内（）A. 单调递增且图像是凹的曲线B. 单调递增且图像是凸的曲线C. 单调递减且图像是凹的曲线D. 单调递减且图像是凸的曲线解： C ey ey xx ⇒>=''<-='--0,0.13.若⎰+=C x F dx x f )()(，则⎰=--dx e f e x x )( （） A.C eF exx++--)( B. C eF x+-)( C. C eF exx+---)( D. C eF x+--)(解：D C eF ed ef dx e f e xxxx x ⇒+-=-=⎰⎰-----)()()()(.14. 设)(x f 为可导函数，且xe xf =-')12( ，则 =)(x f （）A.C ex +-1221 B. C ex ++)1(212C.C ex ++1221 D. C ex +-)1(212解：B C ex f e x f e x f x x x⇒+=⇒='⇒=-'++)1(21)1(212)()()12(.15. 导数=⎰batdt dxd arcsin （）A.x arcsinB. 0C. a b arcsin arcsin -D.211x-解：⎰baxdx arcsin 是常数，所以B xdx dxd ba⇒=⎰0arcsin .16.下列广义积分收敛的是（） A. ⎰+∞1dx e xB. ⎰+∞11dx xC. ⎰+∞+1241dx xD. ⎰+∞1cos xdx解：C x dx x⇒-==++∞∞+⎰)21arctan 4(412arctan4141112π. 17.设区域D 由)(),(,),(,x g y x f y a b b x a x ==>==所围成，则区域D 的面积为（）A. ⎰-ba dx x g x f )]()([ B.⎰-badx x g x f )]()([C. ⎰-b adx x f x g )]()([ D. ⎰-badx x g x f |)()(|解：由定积分的几何意义可得D 的面积为 ⎰-badx x g x f |)()(|D ⇒.18. 若直线32311-=+=-z ny x 与平面01343=++-z y x 平行，则常数=n（）A. 2B. 3C. 4D. 5解： B n n n ⇒=⇒=+-⇒-⊥30943}3,43{}3,,1{. 19.设yx y x y x f arcsin)1(),(-+=，则偏导数)1,(x f x '为（）A.2B.1C.-1D.-2 解： B x f x x f x ⇒='⇒=1)1,()1,(. 20. 设方程02=-xyz e z确定了函数),(y x f z = ，则xz ∂∂ = （）A. )12(-z x z B.)12(+z x z C.)12(-z x y D. )12(+z x y解：令xy e F yz F xyz e z y x F zz x z -='-='⇒-=222,),,(A z x z xyxyz yz xyeyz xz z⇒-=-=-=∂∂⇒)12(222.21.设函数xy y x z +=2，则===11y x dz （）A. dy dx 2+B. dy dx 2-C. dy dx +2D. dy dx -2 解：222xydxxdy dy x xydx dz -++=A dy dx dx dy dy dx dzy x ⇒+=-++=⇒==2211.22.函数2033222+--=y x xy z 在定义域上内（） A.有极大值，无极小值 B. 无极大值，有极小值 C.有极大值，有极小值 D. 无极大值，无极小值解：,6)0,0(),(062,06222-=∂∂⇒=⇒=-=∂∂=-=∂∂xz y x y x yz x y xz⇒=∂∂∂-=∂∂2,6222yx z yz 是极大值A ⇒.23设D 为圆周由012222=+--+y x y x 围成的闭区域，则=⎰⎰Ddxdy （）A. πB. 2πC.4πD. 16π 解：有二重积分的几何意义知：=⎰⎰Ddxdy 区域D 的面积为π.24.交换二次积分⎰⎰>a xa dy y x f dx0(),(，常数）的积分次序后可化为（）A. ⎰⎰a ydx y x f dy0),( B.⎰⎰aay dx y x f dy),( C. ⎰⎰aa dx y x f dy00),( D. ⎰⎰ayadx y x f dy),(解：积分区域},0|),{(}0,0|),{(a x y a y y x x y a x y x D ≤≤≤≤=≤≤≤≤=B ⇒.25.若二重积分⎰⎰⎰⎰=20sin 20)sin ,cos (),(πθθθθrdr r r f d dxdy y x f D，则积分区域D 为（）A. x yx 222≤+ B. 222≤+yxC. y yx 222≤+ D. 220yy x -≤≤解：在极坐标下积分区域可表示为：}sin 20,20|),{(θπθθ≤≤≤≤=r r D ，在直角坐标系下边界方程为y yx 222=+，积分区域为右半圆域D ⇒26.设L 为直线1=+y x 上从点)0,1(A 到)1,0(B 的直线段,则=-+⎰Ldy dx y x )(（）A. 2B.1C. -1D. -2 解：L ：,1⎩⎨⎧-==xy x x x 从1变到0，⎰⎰⇒-=+=-+012)(D dx dx dy dx y x L.27.下列级数中，绝对收敛的是（）A ．∑∞=1sinn nπB ．∑∞=-1sin)1(n nnπC ．∑∞=-12sin)1(n nnπD ．∑∞=1cos n n π解： ⇒<22sinnnππ∑∞=π12sinn n收敛C ⇒.28. 设幂级数n n nn a x a (0∑∞=为常数 ,2,1,0=n ），在点2-=x 处收敛，则∑∞=-0)1(n n na（） A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C. 发散 D. 敛散性不确定解：∑∞=0n nn x a 在2-=x 收敛，则在1-=x 绝对收敛，即级数∑∞=-0)1(n n na 绝对收敛A ⇒.29. 微分方程0sin cos cos sin =+ydx x ydy x 的通解为（） A. C y x =cos sin B. C y x =sin cos得分C. C y x =sin sinD. C y x =cos cos 解：dx xx dy yy ydx x ydy x sin cos sin cos 0sin cos cos sin -=⇒=+C C y x C x y xx d yy d ⇒=⇒=+⇒-=⇒sin sin ln sin ln sin ln sin sin sin sin .30.微分方程xxe y y y -=-'+''2的特解用特定系数法可设为（）A. x e b ax x y -+=*)(B. xeb ax x y -+=*)(2C. xeb ax y -+=*)( D. xaxe y -=*解：-1不是微分方程的特征根，x 为一次多项式，可设xe b ax y -+=*)( C ⇒.二、填空题（每小题2分，共30分）31.设函数,1||,01||,1)(⎩⎨⎧>≤=x x x f 则=)(sin x f _________.解：1)(sin 1|sin |=⇒≤x f x .32.=--+→xxx x 231lim22=_____________.解：=++=++--=--+→→→)31(1lim)31)(2()2(lim231lim2222x x x x x x xxx x x x123341==.33.设函数x y 2arctan =，则=dy __________.解：dx xdy 2412+=.34.设函数bx axx x f ++=23)(在1-=x 处取得极小值-2，则常数b a 和分别为___________.解：b a b a b ax x x f -+-=-=+-⇒++='12,02323)(25,4==⇒b a .35.曲线12323-+-=x x x y 的拐点为 __________.解：)1,1(),(0662632-=⇒=-=''⇒+-='y x x y x x y .36.设函数)(),(x g x f 均可微，且同为某函数的原函数，有1)1(,3)1(==g f 则=-)()(x g x f _________.解：2)1()1()()(=-=⇒=-g f C C x g x f 2)()(=-⇒x g x f . 37.⎰-=+ππdx x x )sin(32 _________.解：3202sin)sin(323232π=+=+=+⎰⎰⎰⎰πππ-ππ-ππ-dx x xdx dx x dx x x .38.设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥=0,0,)(2x x x e x f x，则 ⎰=-20)1(dx x f __________.解：⎰⎰⎰⎰--=--=+=====-211112132)()1(e dx e dx x dt t f dx x f xtx .39. 向量}1,1,2{}2,1,1{-==b a与向量的夹角为__________.解：3,21663||||,cos π>=⇒<==⋅>=<b a b a b a b a. 40.曲线⎩⎨⎧==022z xy L ：绕x 轴旋转一周所形成的旋转曲面方程为 _________. 解：把x y22=中的2y 换成22y z+，即得所求曲面方程x yz222=+.41.设函数y x xy z sin 2+= ，则 =∂∂∂yx z 2_________.解：⇒+=∂∂y x y xz sin 2y x yx z cos 212+=∂∂∂.42.设区域}11,10|),{(≤≤-≤≤=y x y x D ，则________)(2⎰⎰=-Ddxdy x y .解：⎰⎰⎰⎰⎰-=-=-=--Ddx x dy x y dxdxdy x y 12101122322)()( .43. 函数2)(xex f -=在00=x 处展开的幂级数是________________.解： ∑∞=⇒=0!n n xn xe ∑∑∞=∞=-+∞-∞∈-=-==022),(,!1)1(!)()(2n n nnn xx xn n x ex f .44.幂级数∑∞=+++-0112)1()1(n n n nn x的和函数为 _________.解：∑∑∑∞=∞=-+∞=+++=-=+-=+-011111)21ln()2()1(1)2()1(2)1()1(n n nn n nn n n nx nx n x n x,)22(≤<-x .45.通解为xxeC eC y 321+=-（21C C 、为任意常数）的二阶线性常系数齐次微分方程为_________.解：xxe C eC y 321+=-0323,1221=--⇒=-=⇒λλλλ032=-'-''⇒y y y .三、计算题（每小题5分，共40分）46．计算 xx exxx 2sin1lim322-→--.解：23042320161lim3222lim81lim2sin 1lim2222xexxex xexxx ex xx xx xx xx -=+-=--=---→-→-→-→161lim 161322lim220-=-=-=-→-→xx xx exxe.47.求函数xx x y 2sin 2)3(+=的导数dxdy .解：取对数得：)3ln(2sin ln 2x x x y +=，得分评卷人两边对x 求导得：x xxx x xx y y2sin 332)3ln(2cos 2122++++='所以]2sin 332)3ln(2cos 2[)3(222sin 2x xxx x x x x x y x+++++='x x x x x xx x xx x 2sin )32()3()3ln(2cos )3(212sin 222sin 2+++++=-.48.求不定积分 ⎰-dx xx224.解：⎰⎰⎰====⎰-==-=π<<π-dt t tdt tdt t tdxxxtx t )2cos 1(2sin4cos 2cos 2sin4422sin 22222C x x x C t t x C t t +--=+-=+-=242arcsin2cos sin 22arcsin 22sin 22.49.计算定积分⎰--+12)2()1ln(dx x x .解：⎰⎰⎰+---+=-+=-+11112)1)(2(12)1ln(21)1ln()2()1ln(dx x x xx xdx dx x x⎰=-=+-+=++--=112ln 312ln 322ln 12ln312ln )1121(312ln xx dx xx.50.设),()2(xy x g y x f z ++= ，其中),(),(v u g t f 皆可微，求 yz xz ∂∂∂∂,.解：xv v g xu u g xy x y x f x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂+∂+'=∂∂)2()2(),(),()2(2xy x g y xy x g y x f v u'+'++'= =∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂+∂+'=∂∂yv v g yu u g yy x y x f yz )2()2(),()2(xy x g x y x f v'++'. 51．计算二重积分⎰⎰=Dydxdy x I 2，其中D 由12,===x x y x y 及所围成.解：积分区域如图06-1所示，可表示为：x y x x 2,10≤≤≤≤. 所以 ⎰⎰⎰⎰==10222xxDydy x dxydxdyx I10310323)2(105142122====⎰⎰xdx x ydx x xx.52．求幂级数nn nx n ∑∞=--+0)1()3(1的收敛区间（不考虑区间端点的情况）.解：令t x =-1，级数化为 nn nt n ∑∞=-+0)3(1，这是不缺项的标准的幂级数.xy x y =o12x y 2=图06-1因为 313)3(11)3(1lim1)3(1)3(1limlim11=--+-=+⋅-+-+==∞→+∞→+∞→nnn n nn nn n nn a a ρ，故级数nn nt n ∑∞=-+0)3(1的收敛半径31==ρR ，即级数收敛区间为（-3，3）.对级数nn nx n ∑∞=--+0)1()3(1有313<-<-x ，即42<<-x .故所求级数的收敛区间为），（42-. 53．求微分方程 0)12(2=+-+dy x xy dy x 通解. 解：微分方程0)12(2=+-+dx x xy dy x 可化为 212xx y xy -=+'，这是一阶线性微分方程，它对应的齐次线性微分方程02=+'y xy 通解为2xC y =.设非齐次线性微分方程的通解为2)(xx C y =，则3)(2)(xx C x C x y -'='，代入方程得C xx x C x x C +-=⇒-='2)(1)(2.故所求方程的通解为2211xC xy +-=.四、应用题（每小题7分，共计14分）54. 某公司的甲、乙两厂生产同一种产品，月产量分别为y x ,千件；甲厂月生产成本是5221+-=x xC （千元），乙厂月生产成本是3222++=y yC （千元）.若要求该产品每月总产量为8千件，并使总成本最小，求甲、乙两厂最优产量和相应最小成本.解：由题意可知：总成本8222221++-+=+=y x y x C C C ，约束条件为8=+y x .问题转化为在8=+y x 条件下求总成本C 的最小值 .把8=+y x 代入目标函数得 0(882022>+-=x x x C 的整数）.则204-='x C ，令0='C 得唯一驻点为5=x ，此时有04>=''C . 故 5=x 是唯一极值点且为极小值，即最小值点.此时有38,3==C y . 所以甲、乙两厂最优产量分别为5千件和3千件，最低成本为38千元.55.由曲线)2)(1(--=x x y 和x 轴所围成一平面图形,求此平面图形绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积.解：平面图形如图06-2所示,此立体可看作X 型区域绕y 轴旋转一周而得到。

2006高数试题与答案

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2006学年第一学期考试科目：高等数学考试类型：（闭卷）考试时间： 120 分钟学号姓名年级专业题号一二三四五六七总分得分评阅人一、填空题（每空3分） 1．1.()=-+∞→n n nn 1lim_____2．设()f x 可微，则d (cos 2)f x = ．3．设⎪⎩⎪⎨⎧-=-=3232tt y t t x ，则=22dx yd _____ 4．设22(1),0(),x x x f x a x x ⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩，要使()f x 在(,)-∞+∞内连续，则a = ． 5．(2008)(cos(3))x = ．二、选择题（每题3分）1．当0x →时，tan sin x x -是nx 的同阶无穷小，则n 等于． A ．1． B ．2． C ．3． D ．4．2．设函数3()(1)f x x =-，则()f x 的图象在区间[1,3]上．Ａ．上升向上凹．Ｂ．上升向上凸．Ｃ．下降向上凹．Ｄ．下降向上凸．３．设232,0,()0,0,ln(1)3,0.x x x x f x x x e x ⎧--<⎪==⎨⎪++->⎩则0x =是()f x 的间断点．Ａ．无穷．Ｂ．可去．Ｃ．跳跃．Ｄ．振荡．４．0()0f x ''=是00(,())x f x 为曲线()y f x =的拐点的．Ａ．必要条件．Ｂ．充分条件．Ｃ．充分必要条件．Ｄ．既非充分亦非必要条件．三．求下列极限（每题５分）１．01sin 1lim cos 1x x x x →+--．２．10lim()(0,0)2x x x x a b a b →+>>．３．222111lim()12n n n n n→∞++++++ ．四、解答下列各题（每题５分）１．设函数21sin ,0()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，讨论其在0x =处的可导性．２．设函数()y y x =是由方程tan()ln3y e x x y y +=+-+所确定，求d y ．３．设函数()y y x =由参数方程3238x t y t ⎧=-⎨=+⎩（其中t 为参数）所确定，求22d d yx ．五、计算下列积分（每题６分）１．1d 1xx e +⎰．２．40d xe x ⎰．３．2d 2x x x -∞+∞++⎰．六、应用题（每题６分）１．设π为曲线2xy =与直线2y =，3x =围成的平面图形，求此平面图形的面积以及它绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积．２．求内接于椭圆22221x y a b+=（其中0,0a b >>）且四边平行于坐标轴的面积最大的矩形面积．七、证明题（每题５分）１．设函数()f x 的二阶导数存在且大于零，又(0)0f =，证明函数()()f x F x x=在区间(0,)+∞上是单调增加的．2．设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)(1)0f f ==，12()33f =，试证至少存在一点ξ(0,1)∈，使得()1f ξ'=．答案2006学年第一学期高等数学试卷(A)答案一、填空题（每空３分）（1）4π；（2）2(cos2)sin 2d f x x x '-；（3）(ln )f x x-；（４）2e -；（5）20083cos3x ．二、选择题（每空３分）(１)C ； (２)Ｄ； (３)Ｂ； (４)Ｄ．三、求下列极限（每题５分）１．01sin 1limcos 1x x x x →+--02sin lim1(1sin 12x x xx x x →=-++ （２分） 22lim1(1sin 12x x x x x →=-++（２分） =－１（1分）２．11ln()200lim()lim 2xxa b x x x xx x a b e +→→+= （1分）ln()2limx xx a b xe→+= （1分）ln 2ab e= （2分）ab = （1分）３．因为22222111121n n n nn n n nn ≤++≤+++++（2分）又2lim1n n n n →∞=+，2lim1n n n →∞+＝１（2分）则222111lim()112n n n n n→∞+++=+++ （1分）四、解答下列各题（每题５分）１．因为2211sin0sin y x x x x∆=∆-=∆∆∆ （１分）则0lim x y x ∆→∆∆2001sin1lim lim sin x x x x x x x∆→∆→∆∆==∆∆∆ （２分） 0= （１分）所以函数()f x 在0x =处可导．（１分）２．解将方程两边对x 求导得2d d d 1sec ()(1)d d d y y y ye x y x x x⋅+=++- （２分）则 22d tan ()d tan ()yy x y x e x y +=-+ （２分）所以 22tan ()d d tan ()y x y y x e x y +=-+ （１分）３．解2d y (t)22d x (t)33y t x t t'===-'- （２分） 222d()d d 3d d d y t t x t x-=⨯ （２分） 22422339t t t==-- （１分）五、计算下列积分（每题６分）１．1d 1xx e +⎰d 1xx e x e --=+⎰ （２分） 1d(1)1xx e e --=-++⎰ （２分） ln(1)xe c -=-++ （２分）２．4d xe x ⎰22d ()t te t x t ==⎰令（２分）202[]t t te e =- （３分）22(1)e =+ （１分）３．22d d 172()24x xx x x -∞-∞+∞+∞=++++⎰⎰ （2分）21d()217()24x x -∞+∞+=++⎰ （1分） 221[arctan ()]277x -∞+∞=+ （2分）22()2277πππ=--=-（1分）六、应用题（每题６分）１．解平面图形的面积312(2)d 42ln 3S x x =-=-⎰ （３分）π绕x 轴一周所成的旋转体的体积332211216[2d ()d ]3V x x x ππ=-=⎰⎰ (3分) ２．解设所求矩形在第一象限的顶点坐标为(,)x y ，则矩形的面积为224()4bx S x xy a x a==- （１分）由2222244()b bx S x a x a a a x'=---，令()0S x '=得驻点22a x = （２分）而当202x a <<时，()0S x '>；当22a x a <<时，()0S x '<，所以22ax =为()S x 的最大值点（２分）则最大矩形面积max 2S ab =．（１分）七、证明题（每题５分）１．证明因为2()()(),(0,)xf x f x F x x x '-'=∈+∞ （１分）令()()()x xf x f x ϕ'=-，显然，()x ϕ在(0,)+∞上连续且()()0x xf x ϕ'''=> （２分）x ∈(0,)+∞，故()x ϕ在(0,)+∞上是单调增加的，即()(0)0x ϕϕ>=，从而()0F x '>，故函数()()f x F x x=在区间(0,)+∞上是单调增加．（２分）２．证明设()()F x f x x =- （１分）易知()F x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，又1211(1)10,()03333F F =-<=-=>，由零点定理可知至少存在一点1(,1)3η∈，使()0F η= （２分）而(0)0F =，根据罗尔定理可知至少存在一点(0,)ξη∈，使()0F ξ'=，即()1f ξ'=，由于(0,)η(0,1)⊂，故至少存在一点ξ(0,1)∈，使得()1f ξ'=．（２分）。

成都大学高数06本科上期A卷(含解)

2006级高等数学本科试题一、选择题：（本大题共5个小题，每小题3分，共15分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。

）1. 设函数)(x f 的定义域为[-1,1],则复合函数)(sin x f 的定义域为( D ).(A) (-1,1); (B) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ; (C) ),0(+∞; (D)),(+∞-∞.2. 设)(x f 在点a x =处可导.那么=--+→hh a f h a f h )2()(lim( A ).(A) )(3a f '; (B))(2a f '; (C) )(a f '; (D))(31a f '.3. 下列命题中,正确的是 ( B ).(A) 若)(x f y =在0x x =处有0)(0=''x f ,则),(00y x 一定是曲线的拐点; (B) 若可导函数)(x f y =在0x x =处取得极值,则0)(0='x f ;(C) 若)(x f y =在0x x =处有0)(0='x f ,则)(x f 在0x x =处一定取得极值; (D) 极大值就是最大值.4. 设)(x F 是)(x f 的一个原函数,则下列各式正确的是( B ). (A)[])()(x F dx x f =''⎰; (B) )()(x f x F =';(C) ⎰=)()(x F x dF ; (D) [])()(x f dx x F ='⎰.5. =⎰→320sin limx dt t x x ( B ).(A)41 ; (B) 31; (C) 21; (D) 1.二、填空题:（本大题共5个小题,每小题3分,共15分,把答案填在题中横线上.）1. 设)(x f 在[a, b]上连续,在(a, b)内可导,且)()(b f a f =则在(a, b)内至少存在一点ξ, 使得0)(='ξf .2. 记号“B A ⇒”表示由“A 命题可推出B 命题”，试用⇒把下面)(x f 在点0x 的关系表示出来(填上表示命题的符号“①、②、③”顺序.①3. =⎪⎭⎫ ⎝⎛--→11ln 1lim 1x x x 21. 4.设n x n n n x y ++=(n 为自然数) 则='y n n nx x n ln 1+-. 5. 由定积分的几何意义可知dx x ⎰--1121=2π. 三、计算题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分。

高数2006-2007学年第一学期期末(工1-A_参考答案)

北京工业大学2006-2007学年第一学期“高等数学(工)-1”课程期末试卷答案本试卷共6页，16道题。

考试时间95分钟。

考试日期：2007年1月10 日一．单项选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)极限2300sin limx x x→+=⎰【 A 】（A ）23（B ）13（C ）2 （D ）16(2) 函数31()3f x x x =+在【 A 】（A ）(,)-∞+∞内单调增加（B ）(,)-∞+∞内单调减少（C ）0>x 时单调增加，0<x 时单调减少（D ）非单调函数 (3) )(x f 在点0x 可导，则000(2)(3)lim 5h f x h f x h h→+--=【 A 】（A ）)('0x f （B ）)('0x f - （C ）05'()f x （D ）0(4) 广义积分⎰+∞∞-dxx f )(收敛是指【 D 】（A ）⎰-+∞→aaa dxx f )(lim 存在（B ）⎰+∞→bcb dxx f )(lim 与⎰+∞→caa dx x f )(lim 都存在（C ）⎰--∞→aaa dxx f )(lim 存在（D ）⎰+∞→bcb dx x f )(lim 与⎰-∞→ca a dxx f )(lim 都存在(5) 若224lim2x ax x →+-有极限A ，则【 A 】（A ）1,4a A =-=- （B ）1,4a A =-= （C ）1,4a A ==- （D ）1,4a A ==二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

把答案填在题中的横线上。

(6) 若2,0(),0a x e a x f x x xb x -⎧+≤=⎨++>⎩在0=x 可导，则=a -1 ，=b 0 .(7) 121(cos1)3x x x dx -++=⎰ 8/3 .(8) 设1t >-时，有2ln(1)x ty t =⎧⎨=+⎩，则 =xy d d )1(21t +=22d d ,xy 2)1(41t +-.(9) ),'yx y =-=211x+-,='')0(y 0 .(10) 设)(x y y =是由ye xy e-=确定的隐函数，则)0('y =e1，)0(''y =21e.三．简答题：本大题共4小题，每小题8分，共32分。

高数考试题A1

考试科目：高数（本试题适用于：经济系07级全体学生）题号一二三四总分分数评卷人得分评卷人一、选择题（每小题3分，共30分）1. 抽查10件产品, 设{2}A =至少件次品, 则=A ( ). A. {2}至多件次品 B. {}至多1件次品C. {2}至多件正品D.{2}至少件正品2. 下列函数中, 可以作为随机变量X 密度函数的是（）. A.()24(1),01;0,x x x p x ⎧-≤<=⎨⎩其它 B.()22(1),01;0,x x x p x ⎧-≤<=⎨⎩其它C. ()()x p x e x -=-∞<<+∞D. ()()xp x ex -=-∞<<+∞3. 设随机变量X 的密度函数为,13;()40,1,3,xx f x x x ⎧≤≤⎪=⎨⎪>>⎩X的分布函数记作()F x , 则()=2F ( ).A. 12B. 1C. 14D. 384. 设(),X Y 是二维连续型随机向量, 其联合密度函数为(),f x y , ,X Y的边缘密度函数分别为()(),X Y f x f y , 则()=XY E ( ). A ．(,)xyf x y dxdy+∞+∞-∞-∞⎰⎰B ．(,)f x y dxdy+∞+∞-∞-∞⎰⎰C ．()Xxyf x dxdy +∞+∞-∞-∞⎰⎰D ．()()X Yxyf x f y dxdy +∞+∞-∞-∞⎰⎰5. 如果随机变量X 与Y 独立, 则以下各式成立的是（）. A. )()()(Y D X D XY D ⋅= B. ()()()D X Y D X D Y -=- C. cov(,)0X Y = D. ()0D X Y -=6. 不能表达一组数据的平均水平的是( ).A.加权平均数B.变异系数C.中位数D.众数7. 设随机变量129,,,X X X 相互独立, ()()()1,11,2,9,k k E X D X k === 则对于任意给定0ε>, 以下各式成立的是（）.A. 92119(1)9k k P X εε=-≥≤∑B. 911(9)9k k P X εε=-≥≤∑C. 92111(1)9k k P X εε=-≥≤∑D. 92111(1)99k k P X εε=-≥≤∑8. 设12,,n x x x 是正态总体()22,(,N μσμσ均未知）的一个样本, 则 ( ) 是统计量. A. 1x B.x μ+ C.212x σD. 1x μ9. 设12,x x 是取自正态总体(),1N μ的容量为2的样本, 其中μ为未知参数, 以下关于μ的估计中, 只有 ( ) 才是μ的无偏估计. A.122433x x +B.121244x x +C.123144x x -D.122355x x +10. 当事件A 与B 同时发生时，事件C 必发生，则下列结论正确的是（）. A ．)()(AB P C P =B ．)()(B A PC P =C ．1)()()(-+≥B P A P C PD ．1)()()(-+≤B P A P C P 得分评卷人二、填空题（每小题4分，共20分）1. 设随机变量X 与Y 独立, 则相关系数XY ρ=_________.2. 设随机变量X 与Y 独立, X 服从两点分布, 0.6p =, Y 服从2λ=的泊松分布. 则()D X Y +=__________.3. 若()(),P AB P A =则()P B A =__________.4. 设二事件,A B ，已知111(),(),(|),232P A P B P B A ===则()P B A +=__________.5.设随机变量X 与Y 的相关系数为0.5，0)()(==Y E X E ，2)()(22==Y E X E ，则=+2)(Y X E ＿＿＿＿＿＿＿得分评卷人三、计算题（每小题10分, 共40分）1．如果样本12,,n x x x 取自总体()1;,01f x x x θθθ-=<<，求未知参数θ的最大似然估计.2. 设二维随机向量(,)X Y 的联合分布密度为()(),0,0,0,x y ex y f x y -+⎧≥≥⎪=⎨⎪⎩其他求随机变量X 和Y的协方差和相关系数.3. 设随机变量X 的密度函数为()2,010,a bx x f x ⎧+≤≤=⎨⎩其他且()35E X =,试确定系数,a b 并求()D X .4.设)1,0(~N ξ，求||ξη=的密度函数. 得分评卷人四、应用题（10分）1.箱中有三个袋子, 一号袋1个, 二号袋2个.一号袋装有1个红球2个黄球; 二号袋均装有2个红球3个黄球. 今从箱中任取一袋再从袋中随机取出一球, 求该球是红球的概率,如果这个球是红球, 那么这个球是取自一号袋的概率有多大?。

06高数(A)一上半期试卷参考答案——试卷及重点题资料文档

参考答案:一、单项选择题:1. B ，2. C,3. C,4. C,5. D,6. A.二、填空题：7．()()11[()()];[()()]22F x f x f x G x f x f x =+-=-- 8．19．11,28a b ==, 10．220x y -+=,11．()()22221122222ln d d ln 2y x y x x yf x y y x y x y y x yx x x y xy f x y ++'+-⋅-⋅⋅='+⋅-+; 12．()()1!()n n f x n f x +=三、解答题：13．解：()sin sin exp lim 1e sin sin sin x x t x t x f x x t x →⎧⎫⎛⎫=-⋅=⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭，间断点为()π0,1,2,x k k ==±±。

因为()0lim e x f x →=，所以0x =为第一类间断点，其余间断点属于第二类，无穷间断点。

14．解：令4211x u x +=+，则()22d 42d 1u x x x x =-+，所以 ()()44222222d d d 142121ln d d d 1111y y u x x x f x x x u x x x x x ⎧⎫⎡⎤⎛⎫++⎪⎪⎢⎥'==-=-⋅⎨⎬ ⎪⎢⎥++⎝⎭++⎪⎪⎩⎭⎣⎦。

15．解：因()13e f =+，所以，()3e 1ϕ+=，()()113e 16ef ϕ'+=='+。

四、证明题：16．证明：()101sin 010x x =+->=，01x ≤<。

假设1n n x x ->和01n x ≤<，则()()11sin 1sin 10n n n n x x x x +--=--->和101n x +≤<，所以lim n n x →∞存在。

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姓名班级学号
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安徽工业大学高等数学A1期末试卷(甲卷)
参考答案与评分标准
考试日期：2007年1月 22日
一、单项选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
1.9
2. !)2(n n
- 3. e 4．96
5.
21 6. e 1 7. 4
π
8. 4- 三、计算题（共7小题，共52分） 1. 解：
dx x
x
⎰
arcsin
x d x ⎰
=arcsin 2 2分
)(arcsin 2arcsin 2x d x x x ⎰-= 4分
⎰
--=dx x
x x 11arcsin 2 6分
C x x x +-+=12arcsin 2 7分
或：令
tdt dx t x 2==，
dx x
x
⎰
arcsin dt t ⎰=arcsin 2 )(arcsin 2arcsin 2t d t t t ⎰-= C x x x +-+=12arcsin 2
2. 解：点连续在点可导，故在1)(1)(==x x f x x f 1分 )1(lim lim 21
)
1(21
++=∴-+→-→bx ax e
x x x 0=+b a 即 3分
1
)
1(lim )1()
1(21
-++-='-→++
x b a e
f x x 又
21)1(2lim 11lim 1)1(21=--=--=++→-→x x x e x x x 5分 1
)
1()1(lim )1(2
1
-++-++='-
→-x b a bx ax f x
a x ax ax x bx ax x x =--=-+=--→→1
lim 1lim 2121 7分 2,2-==∴b a 8分
3. 解：⎩⎨
⎧≥<=-0
0)(x e
x e x f x
x 2分
当⎰∞-=<x
t
dt e x F x )(,
0 x
t
e x e
=∞
-= 5分
当][)(,
00
⎰⎰-∞
-+=≥x
t t
dt e dt e x F x 7分
x e --=2 8分
4．解：对522=+-t
e ty y 两边对t 求导
022
2=+--t e dt
dy
ty y dt dy 222--=ty y e dt dy t 2分 2
2)1)((\22-+-==ty t y e dt dx dt dy dx dy t 5分 2,0,2
3
,
0====y x dx dy t 时切线方程：223
+=x y 8分
5．解：1,==y e x 时 1分
⎰⎰==
1
01
22
1dy e dy x
V y ππ
)1(21|21210
2-==e e y ππ 4分 2221e e V ππ=⋅⋅= 6分
12V V V -=)1(2
1
2+=e π 8分
6. 证明：)1()1()(2x e x x f x
+--=令 1分
则 1)21()(2--='x
e
x x f 3分
04)(2<-=''x xe x f
内单调减少在所以)1,0()(x f ' 5分单调减少从而，故又)(,0)(0)0(x f x f f <'=' 7分
即，故又,0)0()(0)0(=<=f x f f
x
x
e x -+<
112 8分 7、证明：设⎰
=x dt t f x x F 0
)()( 2分
则)(x F 在]1,0[上连续，)1,0(内可导，
且0)0(=F 0)(1)1(10
=⋅
=⎰
dt t f F 3分
由罗尔定理知，至少有一点)1,0(∈ξ，使得0)(='ξF 又)()()(0
x xf dt t f x F x +=
'⎰
4分
故0)(='ξF 即
0)()(0
=+⎰
ξξξ
f dx x f
也就是
)()(0
ξξξ
f dx x f ⎰
-= 得证！ 5分。