全国重点高中黄冈中学2015年自主招生理科实验班预录考试数学模拟试题五
黄高预录数学试题
绝密★启用前湖北省黄冈中学理科实验班预录考试数学试卷一．选择题（共11小题）1.记号[x]表示不超过x的最大整数，设n是自然数，且．则（）A．I＞0 B．I＜0 C．I=0 D．当n取不同的值时，以上三种情况都可能出现2.对于数x，符号[x]表示不大于x的最大整数．若[]=3有正整数解，则正数a的取值范围是（）A．0＜a＜2或2＜a≤3B．0＜a＜5或6＜a≤7C．1＜a≤2或3≤a＜5D．0＜a＜2或3≤a＜5个相同的球，放入四个不同的盒子里，每个盒子都不空的放法有（）A．4种B．6种C．10种D．12种4.有甲、乙、丙三位同学每人拿一只桶同时到一个公用的水龙头去灌水，灌水所需的时间分别为分钟、分钟和1分钟，若只能逐个地灌水，未轮到的同学需等待，灌完的同学立即离开，那么这三位同学花费的时间（包括等待时间）的总和最少是（）A．3分钟B．5分钟C．分钟D．7分钟5.已知实数x满足x2++x﹣=4，则x﹣的值是（）A．﹣2B．1C．﹣1或2D．﹣2或16．如图，在等边△ABC中，D为AC边上的一点，连接BD，M为BD上一点，且∠AMD=60°，AM 交BC于E．当M为BD中点时，的值为（）A．B．C．D．7．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45°，翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点E、F．若AD=2，BC=6，则△ADB的面积等于（）A．2B．4C．6 D．88．如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，EF⊥AE，交BC于点F，则∠1与∠2的大小关系为（）A．∠1＞∠2B．∠1＜∠2C．∠1=∠2D．无法确定9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3πC．D．6π10．方程x2+2x+1=的正数根的个数为（）A．0B．1C．2D．311．如图，已知∠AOM=60°，在射线OM上有点B，使得AB与OB的长度都是整数，由此称B是“完美点”，若OA=8，则图中完美点B的个数为（）A．1B．2C．3D．4二．填空题（共4小题）12．已知x为实数，且，则x2+x的值为．13．满足方程|x+2|+|x﹣3|=5的x的取值范围是．14．多项式6x3﹣11x2+x+4可分解为．15．设整数a使得关于x的一元二次方程5x2﹣5ax+26a﹣143=0的两个根都是整数，则a的值是．三．解答题16．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．设点P的运动时间为x（秒）．（1）设△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）x为何值时，△PBQ的面积最大？并求出最大值；（3）当点Q在BC上运动时，线段PQ上是否存在一个点T，使得在某个时刻△ACT、△ABT、△BCT 的面积均相等（无需计算，说明理由即可）．17．阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）．请你回答：AP的最大值是．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是．（结果可以不化简）18．某水库大坝的横截面是如图所示的四边形BACD，期中AB∥CD．了望台PC正前方水面上有两艘渔船M、N，观察员在了望台顶端P处观测渔船M的俯角α=31°，观测渔船N在俯角β=45°，已知NM所在直线与PC所在直线垂直，垂足为点E，PE长为30米．（1）求两渔船M，N之间的距离（结果精确到1米）；（2）已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i=1：．为提高大坝防洪能力，某施工队在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝定加宽3米，背水坡FH的坡度为i=1：，施工12天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？（参考数据：tan31°≈，sin31°≈）19．已知关于x的方程，（1）若两根x1，x2满足x1＜0＜x2，求m的范围；（2）若，求m的值．20.当m，n是正实数，且满足m+n=mn时，就称点P（m，）为“完美点”，已知点A（0，5）与点M都在直线y=﹣x+b上，点B，C是“完美点”，且点B在线段AM上，若MC=，AM=4，求△MBC的面积．21.设p，q都是实数，且p＜q．我们规定：满足不等式p≤x≤q的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[p，q]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当p≤x≤q时，有p≤y ≤q，我们就称此函数是闭区间[p，q]上的“闭函数”．（1）反比例函数y=是闭区间[1，2014]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；（2）若一次函数y=kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式；（3）若实数c，d满足c＜d，且d＞2，当二次函数y=x2﹣2x是闭区间[c，d]上的“闭函数”时，求c，d的值．22.我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用了价格调控等手段来达到节约用水的目的，某市用水收费的方法是：水费=基本费+超额费+定额损耗费．若每月用水量不超过最低限量a立方米时，只付基本费8元和每月的定额损耗费c元；若用水量超过a立方米时，除了付同上的基本费和定额损耗费外，超过部分每立方米付b元的超额费．已知每户每月的定额费不超过5元．（1）当月用水量为x立方米时，支付费用为y元，写出y关于x的函数关系式；（2）该市一家庭今年一季度的用水量和支付费用见下表，根据表中数据求a、b、c．月份用水量（m3）水费（元）199 21519 3223323.某市将建一个制药厂，但该厂投产后预计每天要排放大约80吨工业废气，这将造成极大的环境污染．为了保护环境，市政府决定支持该厂贷款引进废气处理设备来减少废气的排放：该设备可以将废气转化为某种化工产品和符合排放要求的气体．经测算，制药厂每天利用设备处理废气的综合成本y（元）与废气处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为：y=，且每处理1吨工业废气可得价值为80元的某种化工产品并将之利润全部用来补贴废气处理．（1）若该制药厂每天废气处理量计划定为20吨时，那么工厂需要每天投入的废气处理资金为多少元？（2）若该制药厂每天废气处理量计划定为x吨，且工厂不用投入废气处理资金就能完成计划的处理量，求x的取值范围；（3）若该制药厂每天废气处理量计划定为x（40≤x≤80）吨，且市政府决定为处理每吨废气至少补贴制药厂a元以确保该厂完成计划的处理量总是不用投入废气处理资金，求a的值．24.如图，菱形ABCD的边长为6且∠DAB=60°，以点A为原点、边AB所在的直线为x轴且顶点D 在第一象限建立平面直角坐标系．动点P从点D出发沿折线DCB向终点B以2单位/每秒的速度运动，同时动点Q从点A出发沿x轴负半轴以1单位/秒的速度运动，当点P到达终点时停止运动，运动时间为t，直线PQ交边AD于点E．（1）求出经过A、D、C三点的抛物线解析式；（2）是否存在时刻t使得PQ⊥DB，若存在请求出t值，若不存在，请说明理由；（3）设AE长为y，试求y与t之间的函数关系式；（4）若F、G为DC边上两点，且点DF=FG=1，试在对角线DB上找一点M、抛物线ADC对称轴上找一点N，使得四边形FMNG周长最小并求出周长最小值．参考答案与试题解析一．选择题1.∴等式成立，∴I=（n+1）2+n﹣（n+1）2=n＞0，故选A．2.解：∵[]=3有正整数解，∴3≤＜4，即6≤3x+a＜8，6﹣a≤3x＜8﹣a，∴≤x＜，∵x是正整数，a为正数，∴x＜，即x可取1、2；①当x取1时，∵6≤3x+a＜8，6﹣3x≤a＜8﹣3x，∴3≤a＜5；②当x取2时，∵6≤3x+a＜8，6﹣3x≤a＜8﹣3x，∴0＜a＜2；综上可得a的范围是：0＜a＜2或3≤a＜5．故选D．3.解：∵6个相同的球，放入四个不同的盒子里，∴若有三个盒子里放了1个，一个盒子里放了3个，这种情况下的方法有4种；若有两个盒子里放了2个，两个盒子里放了1个，这种情况下：设四个盒子编号为①②③④，可能放了两个小球的盒子的情况为：①②，①③，①④，②③，②④，③④，所以有6种情况；∴6个相同的球，放入四个不同的盒子里，每个盒子都不空的放法有：4+6=10．故选C．4. 这道题可以采用逆推法，我们可以先分析最后一位会用多长时间，很显然不管是谁最后灌水都得用3分钟，所以只需考虑前两个接水的，怎样能够更加节省时间，显然乙第一个灌水会最省时，因为只需分钟．接着是丙，丙灌水的时间加上等乙的时间，也就是分钟，最后是甲．所以只有按乙，丙，甲安排灌水才最省时．【解答】解：按乙，丙，甲安排灌水最省时，这三位同学花费的时间（包括等待时间）的总和最少是+（+1）+（+1+）=5分钟．故选B．【点评】考查了应用类问题，运用了逆推法，按照灌水所需的时间由少到多的顺序安排灌水花费的时间的总和最少．5．已知实数x满足x2++x﹣=4，则x﹣的值是（）A．﹣2B．1C．﹣1或2D．﹣2或1【分析】利用完全平方公式可把原式变为（x﹣）2+x﹣﹣2=0，用十字相乘法可得x﹣的值．【解答】解：x2+﹣2+x﹣﹣2=0∴（x﹣）2+（x﹣）﹣2=0解得x﹣=﹣2或1．故选D【点评】本题的关键是把x﹣看成一个整体来计算，即换元法思想．6．如图，在等边△ABC中，D为AC边上的一点，连接BD，M为BD上一点，且∠AMD=60°，AM 交BC于E．当M为BD中点时，的值为（）A．B．C．D．【分析】作DK∥BC，交AE于K．首先证明BE=DK=CD，CE=AD，设BE=CD=DK=a，AD=EC=b，由DK ∥EC，可得=，推出=，即a2+ab﹣b2=0，可得（）2+（）﹣1=0，求出即可解决问题．【解答】解：作DK∥BC，交AE于K．∵△ABC是等边三角形，∴AB=CB=AC，∠ABC=∠C=60°，∵∠AMD=60°=∠ABM+∠BAM，∵∠ABM+∠CBD=60°，∴∠BAE=∠CBD，在△ABE和△BCD中，，∴△ABE≌△BCD，∴BE=CD，CE=AD，∵BM=DM，∠DMK=∠BME，∠KDM=∠EBM，∴△MBE≌△MDK，∴BE=DK=CD，设BE=CD=DK=a，AD=EC=b，∵DK∥EC，∴=，∴=，∴a2+ab﹣b2=0，∴（）2+（）﹣1=0，∴=或（舍弃），∴==，故选B．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、平行线分线段成比例定理、一元二次方程等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用方程的思想思考问题，本题体现了数形结合的思想，属于中考选择题中的压轴题．7．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45°，翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点E、F．若AD=2，BC=6，则△ADB的面积等于（）A．2B．4C．6D．8【分析】作AH⊥BC，根据折叠的性质得到BE=DE，∠BDE=∠DBE=45°，则∠DEB=90°，再根据等腰梯形的性质得到BH=CE，可计算出CE=2，DE=BE=4，然后根据三角形面积公式进行计算．【解答】解：作AH⊥BC，如图，∵翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点E、F，∴BE=DE，∠BDE=∠DBE=45°，∴∠DEB=90°，∴DE⊥BC，∵梯形ABCD为等腰梯形，∴BH=CE，而AD=HE，AD=2，BC=6，∴CE=（6﹣2）=2，∴DE=BE=4，∴△ADB的面积=×2×4=4．故选B．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图象全等，即对应线段相等，对应角相等．也考查了等腰梯形的性质．8．如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，EF⊥AE，交BC于点F，则∠1与∠2的大小关系为（）A．∠1＞∠2B．∠1＜∠2C．∠1=∠2D．无法确定【分析】易证△ADE∽△ECF，求得CF的长，可得根据勾股定理即可求得AE、EF的长，即可判定△ADE∽△AEF，即可解题．【解答】解：∵∠AED+∠CEF=90°，∠DAE+∠ADE=90°，∴∠DAE=∠CEF，∵∠ADE=∠ECF=90°，∴△ADE∽△ECF，且相似比为2，∴AE=2EF，AD=2DE，又∵∠ADE=∠AEF，∴△ADE∽△AEF，∴∠1=∠2．【点评】本题考查了相似三角形的判定，相似三角形对应边比值相等的性质，相似三角形对应角相等的性质，本题中求证△ADE∽△AEF是解题的关键．9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3πC．D．6π【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图所求几何体的体积为：×π×12×6=3π．故选B．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，正确判断几何体的特征是解题的关键，考查计算能力．10．方程x2+2x+1=的正数根的个数为（）A．0B．1C．2D．3【分析】求方程x2+2x+1=的解，可以理解为：二次函数y=x2+2x+1与反比例函数y=的图象交点的横坐标．【解答】解：二次函数y=x2+2x+1=（x+1）2的图象过点（0，1），且在第一、二象限内，反比例函数y=的图象在第一、三象限，∴这两个函数只在第一象限有一个交点．即方程x2+2x+1=的正数根的个数为1．故选B．【点评】本题利用了二次函数的图象与反比例函数图象来确定方程的交点的个数．11．如图，已知∠AOM=60°，在射线OM上有点B，使得AB与OB的长度都是整数，由此称B是“完美点”，若OA=8，则图中完美点B的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】首先过点B作BC⊥OA，交OA于点C，连接AB，可能有两种情况，垂足在OA上或者垂足在OA延长线上，然后设OB=y，AB=x，由勾股定理即可求得：y2﹣（y）2=x2﹣（8﹣y）2或x2﹣（y﹣8）2=y2﹣（y）2，整理可得x2﹣（y﹣4）2=48，然后将原方程转为X2﹣Y2=48，先求（X+Y）（X﹣Y）=48的正整数解，继而可求得答案．【解答】解，过点B作BC⊥OA，交OA于点C，连接AB，可能有两种情况，垂足在OA上或者垂足在OA延长线上．设OB=y，AB=x，∵∠AOM=60°，∴OC=OB?cos60°=y，∴AC=OA﹣OC=8﹣y或AC=OC﹣OA=y﹣8，∵BC2=OB2﹣OC2，BC2=AB2﹣AC2，∴y2﹣（y）2=x2﹣（8﹣y）2或x2﹣（y﹣8）2=y2﹣（y）2，∴x2﹣（y﹣4）2=48，∵x与y是正整数，且y必为正整数，x﹣4为大于等于﹣4的整数，将原方程转为X2﹣Y2=48，先求（X+Y）（X﹣Y）=48的正整数解，∵（X+Y）和（X﹣Y）同奇同偶，∴（X+Y）和（X﹣Y）同为偶数；∴X2﹣Y2=48可能有几组正整数解：，，，解得：，，，∴x的可能值有3个：x=7，x=8或x=13，当x=7时，y﹣4=±1，y=3或y=5；当x=8时，y﹣4=±4，y=8或y=0（舍去）；当x=13时，y﹣4=±11，y=15或y=﹣7（舍去）；∴共有4组解：或或或．故选D．【点评】此题考查了勾股定理的应用以及整数的综合应用问题．此题难度较大，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．二．填空题（共4小题）12．已知x为实数，且，则x2+x的值为1．【分析】本题用换元法解分式方程，由于x2+x是一个整体，可设x2+x=y，可将方程转化为简单的分式方程求y，将y代换，再判断结果能使x为实数．【解答】解：设x2+x=y，则原方程变为﹣y=2，方程两边都乘y得：3﹣y2=2y，整理得：y2+2y﹣3=0，（y﹣1）（y+3）=0，∴y=1或y=﹣3．当x2+x=1时，即x2+x﹣1=0，△=12+4×1=5＞0，x存在．当x2+x=﹣3时，即x2+x+3=0，△=12﹣4×3=﹣11＜0，x不存在．∴x2+x=1．【点评】当分式方程比较复杂时，通常采用换元法使分式方程简化．需注意换元后得到的根也必须验根．13．满足方程|x+2|+|x﹣3|=5的x的取值范围是﹣2≤x≤3．【分析】分别讨论①x≥3，②﹣2＜x＜3，③x≤﹣2，根据x的范围去掉绝对值，解出x，综合三种情况可得出x的最终范围．【解答】解：从三种情况考虑：第一种：当x≥3时，原方程就可化简为：x+2+x﹣3=5，解得：x=3；第二种：当﹣2＜x＜3时，原方程就可化简为：x+2﹣x+3=5，恒成立；第三种：当x≤﹣2时，原方程就可化简为：﹣x﹣2+3﹣x=5，解得：x=﹣2；所以x的取值范围是：﹣2≤x≤3．【点评】解一元一次方程，注意最后的解可以联合起来，难度很大．14．多项式6x3﹣11x2+x+4可分解为（x﹣1）（3x﹣4）（2x+1）．【分析】将﹣11x2分为﹣6x2和﹣5x2两部分，原式可化为6x3﹣6x2﹣5x2+x+4，6x3﹣6x2可提公因式，分为一组，﹣5x2+x+4可用十字相乘法分解，分为一组．【解答】解：6x3﹣11x2+x+4，=6x3﹣6x2﹣5x2+x+4，=6x2（x﹣1）﹣（5x2﹣x﹣4），=6x2（x﹣1）﹣（x﹣1）（5x+4），=（x﹣1）（6x2﹣5x﹣4），=（x﹣1）（3x﹣4）（2x+1）．【点评】本题考查了用分组分解法进行因式分解，要考虑分组后还能进行下一步分解，把﹣11x2分成﹣6x2和﹣5x2两部分是解题的关键，也是难点．15．设整数a使得关于x的一元二次方程5x2﹣5ax+26a﹣143=0的两个根都是整数，则a的值是18．【分析】首先将方程组5x2﹣5ax+26a﹣143=0左右乘5得25x2﹣25ax+（130a﹣262）﹣39=0，再分解因式．根据39为两个整数的乘积，令两个因式分别等于39分解的整因数．讨论求值验证即可得到结果．【解答】解：∵5x2﹣5ax+26a﹣143=0?25x2﹣25ax+（130a﹣262）﹣39=0，即（5x﹣26）（5x﹣5a+26）=39，∵x，a都是整数，故（5x﹣26）、（5x﹣5a+26）都分别为整数，而只存在39=1×39或39×1或3×13或13×3或四种情况，①当5x﹣26=1、5x﹣5a+26=39联立解得a=不符合，②当5x﹣26=39、5x﹣5a+26=1联立解得a=18，③当5x﹣26=3、5x﹣5a+26=13联立解得a=不符合，④当5x﹣26=13、5x﹣5a+26=3联立解得a=不符合，∴当a=18时，方程为5x2﹣90x+325=0两根为13、﹣5．故答案为：18．【点评】本题考查因式分解的应用、一元二次方程的整数根与有理根．解决本题的关键是巧妙利用39仅能分解为整数只存在39=1*39或39*1或3*13*13*3或四种情况，因而讨论量，并不大．三．解答题（共4小题）16．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．设点P的运动时间为x（秒）．（1）设△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）x为何值时，△PBQ的面积最大？并求出最大值；（3）当点Q在BC上运动时，线段PQ上是否存在一个点T，使得在某个时刻△ACT、△ABT、△BCT 的面积均相等（无需计算，说明理由即可）．【分析】（1）由在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，设AC=4y，BC=3y，由勾股定理即可求得AC、BC的长；分别从当点Q在边BC上运动与当点Q在边CA上运动去分析，首先过点Q 作AB的垂线，利用相似三角形的性质即可求得△PBQ的底与高，则可求得y与x的函数关系式；（2）由二次函数最值的求法得到两种情况下的△PBQ的面积最大值，进行比较即可得到答案；（3）根据三角形的面积公式得到符合条件的点应该是：到三边的距离之比为12：15：20．【解答】解：（1）设AC=4x，BC=3x，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即：（4x）2+（3x）2=102，解得：x=2，∴AC=8cm，BC=6cm；分两种情况：①如图1，当点Q在边BC上运动时，过点Q作QH⊥AB于H．∵AP=x，∴BP=10﹣x，BQ=2x，∵△QHB∽△ACB，∴=，∴QH=x，y=BP?QH=（10﹣x）?x=﹣x2+8x（0＜x≤3），②如图2，当点Q在边CA上运动时，过点Q作QH′⊥AB于H′，∵AP=x，∴BP=10﹣x，AQ=14﹣2x，∵△AQH′∽△ABC，∴=，即：=，解得：QH′=（14﹣2x），∴y=PB?QH′=（10﹣x）?（14﹣2x）=x2﹣x+42（3＜x＜7）；（2）①当0＜x≤3时，y=﹣（x﹣5）2+20．∵该抛物线的开口方向向下，对称轴是x=5，∴当x=3时，y取最大值，y最大=．当3＜x＜7时，y=x2﹣x+42=（x﹣）2+（3＜x＜7）；∵该抛物线的开口方向向上，对称轴是x=，∴当x=3时，y取最大值，但是x=3不符合题意．综上所述，△PBQ的面积的最大值是．（3）存在．理由如下：设点T到AB、AC、BC的距离分别是a、b、c．∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，∴AB?a=AC?c=BC?c，即5a=4b=3c，故a：b：c=12：15：20．∴当满足条件的点T到AB、AC、BC的距离之比为12：15：20时，△ACT、△ABT、△BCT的面积均相等．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，以及最短距离问题．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．17．阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）．请你回答：AP的最大值是6．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是（或不化简为）．（结果可以不化简）【分析】（1）根据旋转的性质知A′A=AB=BA′=2，AP=A′C，所以在△AA′C中，利用三角形三边关系来求A′C即AP的长度；（2）以B为中心，将△APB逆时针旋转60°得到△A'P'B．根据旋转的性质推知PA+PB+PC=P'A′+P'B+PC．当A'、P'、P、C四点共线时，（P'A′+P'B+PC）最短，即线段A'C最短．然后通过作辅助线构造直角三角形A′DC，在该直角三角形内利用勾股定理来求线段A′C的长度．【解答】解：（1）如图2，∵△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，∴∠A′BA=60°，A′B=AB，AP=A′C∴△A′BA是等边三角形，∴A′A=AB=BA′=2，在△AA′C中，A′C＜AA′+AC，即AP＜6，则当点A′A、C三点共线时，A′C=AA′+AC，即AP=6，即AP的最大值是：6；故答案是：6．（2）如图3，∵Rt△ABC是等腰三角形，∴AB=BC．以B为中心，将△APB逆时针旋转60°得到△A'P'B．则A'B=AB=BC=4，PA=P′A′，PB=P′B，∴PA+PB+PC=P′A′+P'B+PC．∵当A'、P'、P、C四点共线时，（P'A+P'B+PC）最短，即线段A'C最短，∴A'C=PA+PB+PC，∴A'C长度即为所求．过A'作A'D⊥CB延长线于D．∵∠A'BA=60°（由旋转可知），∴∠1=30°．∵A'B=4，∴A'D=2，BD=2，∴CD=4+2．在Rt△A'DC中A'C====2+2；∴AP+BP+CP的最小值是：2+2（或不化简为）．故答案是：2+2（或不化简为）．【点评】本题综合考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理以及等边三角形的判定与性质．注意：旋转前、后的图形全等．18．某水库大坝的横截面是如图所示的四边形BACD，期中AB∥CD．了望台PC正前方水面上有两艘渔船M、N，观察员在了望台顶端P处观测渔船M的俯角α=31°，观测渔船N在俯角β=45°，已知NM所在直线与PC所在直线垂直，垂足为点E，PE长为30米．（1）求两渔船M，N之间的距离（结果精确到1米）；（2）已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i=1：．为提高大坝防洪能力，某施工队在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝定加宽3米，背水坡FH的坡度为i=1：，施工12天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？（参考数据：tan31°≈，sin31°≈）【分析】（1）根据已知求出EN，根据正切的概念求出EM，求差得到答案；（2）根据坡度和锐角三角函数的概念求出截面积和土石方数，根据题意列出分式方程，解方程得到答案．【解答】解：（1）在Rt△PEN中，∵∠PNE=45°，∴EN=PE=30米，在Rt△PEM中，∠PME=31°，tan∠PME=，∴ME=≈50（米），∴MN=EM﹣EN=20米，答：两渔船M，N之间的距离约为20米；（2）过点F作FK∥AD交AH于点K，过点F作FL⊥AH交直线AH于点L，则四边形DFKA为平行四边形，∴∠FKA=∠DAB，DF=AK=3，由题意得，tan∠FKA=tan∠DAB=4，tan∠H=，在Rt△FLH中，LH==36，在Rt△FLK中，KL==6，∴HK=30，AH=33，梯形DAHF的面积为：×DL×（DF+AH）=432，所以需填土石方为432×100=43200，设原计划平均每天填x立方米，由题意得，12x+（﹣12﹣20）×=43200，解得，x=600，经检验x=600是方程的解．答：原计划平均每天填筑土石方600立方米．【点评】本题考查的是解直角三角形和分式方程的应用，掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的一般步骤、根据题意正确列出分式方程是解题的关键，注意分式方程解出未知数后要验根．19．已知关于x的方程，（1）若两根x1，x2满足x1＜0＜x2，求m的范围；（2）若，求m的值．【分析】（1）由关于x的方程4x2+mx+m﹣4=0 有两根，可知此一元二次方程的判别式△＞0，即可得不等式，又由x1＜0＜x2，可得x1?x2＜0，根据根与系数的关系，可得不等式=m﹣1＜0，解此不等式组即可求得答案；（2）由一元二次方程根与系数的关系即可得4x12+mx1+m﹣4=0，x1+x2=﹣，x1?x2==m ﹣1，然后将6x12+mx1+m+2x22﹣8=0变形，可得4x12+mx1+m﹣4+2[（x1+x2）2﹣2x1?x2]=4，则可得方程（﹣）2﹣2[m﹣1]=2，解此方程即可求得答案．【解答】解：（1）∵关于x的方程4x2+mx+m﹣4=0 有两根，∴△=m2﹣4×4×（m﹣4）=m2﹣8m+64=（m﹣4）2+48＞0，∵两根x1，x2满足x1＜0＜x2，∴x1?x2==m﹣1＜0，∴m＜8，（2）∵x1、x2是方程的根，∴4x12+mx1+m﹣4=0，x1+x2=﹣，x1?x2==m﹣1，∵6x12+mx1+m+2x22﹣8=0，∴4x12+mx1+m﹣4+2（x12+x22）﹣4=0∴4x12+mx1+m﹣4+2[（x1+x2）2﹣2x1?x2]=4，∴（x1+x2）2﹣2x1?x2=2，即（﹣）2﹣2[m﹣1]=2，化简得：m2﹣4m=0，解得：m=0 或m=4，∴m的值为0或4．【点评】此题考查了一元二次方程判别式、根与系数的关系等知识．此题难度较大，解题的关键是注意利用根与系数的关系将原方程变形求解，注意方程思想的应用．20.【解答】解：∵m+n=mn且m，n是正实数，∴+1=m，即=m﹣1，∴P（m，m﹣1），即“完美点”B在直线y=x﹣1上，∵点A（0，5）在直线y=﹣x+b上，∴b=5，∴直线AM：y=﹣x+5，∵“完美点”B在直线AM上，∴由解得，∴B（3，2），∵一、三象限的角平分线y=x垂直于二、四象限的角平分线y=﹣x，而直线y=x﹣1与直线y=x平行，直线y=﹣x+5与直线y=﹣x平行，∴直线AM与直线y=x﹣1垂直，∵点B是直线y=x﹣1与直线AM的交点，∴垂足是点B，∵点C是“完美点”，∴点C在直线y=x﹣1上，∴△MBC是直角三角形，∵B（3，2），A（0，5），∴AB=3，∵AM=4，∴BM=，又∵CM=，∴BC=1，∴S△MBC=BM?BC=．【点评】本题考查了一次函数的性质，直角三角形的判定，勾股定理的应用以及三角形面积的计算等，判断直线垂直，借助正比例函数是本题的关键．21.解：（1）反比例函数y=是闭区间[1，2014]上的“闭函数”，理由如下：反比例函数y=在第一象限，y随x的增大而减小，当x=1时，y=2014；当x=2014时，y=1，所以，当1≤x≤2014时，有1≤y≤2014，符合闭函数的定义，故反比例函数y=是闭区间[1，2014]上的“闭函数”；（2）分两种情况：k＞0或k＜0．①当k＞0时，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是y随x的增大而增大，故根据“闭函数”的定义知，，解得．∴此函数的解析式是y=x；②当k＜0时，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是y随x的增大而减小，故根据“闭函数”的定义知，，解得．∴此函数的解析式是y=﹣x+m+n；（3）∵y=x2﹣2x=（x2﹣4x+4）﹣2=（x﹣2）2﹣2，∴该二次函数的图象开口方向向上，最小值是﹣2，且当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大．①当c＜2＜d时，此时二次函数y=x2﹣2x的最小值是﹣2=c，根据“闭函数”的定义知，d=c2﹣2c或d=d2﹣2d；★）当d=c2﹣2c时，由于d=×（﹣2）2﹣2×（﹣2）=6＞2，符合题意；★）当d=d2﹣2d时，解得d=0或6，由于d＞2，所以d=6；②当c≥2时，此二次函数y随x的增大而增大，则根据“闭函数”的定义知，，解得，，∵c＜d，∴不合题意，舍去．综上所述，c，d的值分别为﹣2，6．【点评】本题综合考查了二次函数图象的对称性和增减性，一次函数图象的性质以及反比例函数图象的性质．解题的关键是弄清楚“闭函数”的定义．解题时，也要注意“分类讨论”数学思想的应用．22.【解答】解：月用水量为x立方米，支付费用为y元，则有：y=；（2）由表知第二、第三月份的水费均大于13元，故用水量15m3，22m3均大于最低限量am3，于是就有，解得b=2，从而2a=c+19，再考虑一月份的用水量是否超过最低限量am3，不妨设9＞a，将x=9代入x＞a的关系式，得9=8+2（9﹣a）+c，即2a=c+17，这与2a=c+19矛盾．∴9≤a．从而可知一月份的付款方式应选0≤x≤a的关系式，因此就有8+c=9，解得c=1．故a=10，b=2，c=1．23.【解答】解：（1）由题意可知，当废弃处理量x满足0＜x＜40时，每天利用设备处理废气的综合成本y=40x+1200，∴当该制药厂每天废气处理量计划为20吨，即x=20时，每天利用设备处理废气的综合成本为y=40×20+1200=2000元，又∵转化的某种化工产品可得利润为80×20=1600元，∴工厂每天需要投入废气处理资金为400元；（2）由题意可知，y=，①当0＜x＜40时，令80x﹣（40x+1200）≥0，解得30≤x＜40，②当40≤x≤80时，令80x﹣（2x2﹣100x+5000）≥0，即2x2﹣180x+5000≤0，∵△=1802﹣4×2×5000＜0，∴x无解．综合①②，x的取值范围为30≤x＜40，故当该制药厂每天废气处理量计划为[30，40）吨时，工厂可以不用投入废气处理资金就能完成计划的处理量；（3）∵当40≤x≤80时，投入资金为80x﹣（2x2﹣100x+5000），又∵市政府为处理每吨废气补贴a元就能确保该厂每天的废气处理不需要投入资金，∴当40≤x≤80时，不等式80x+ax﹣（2x2﹣100x+5000）≥0恒成立，即2x2﹣（180+a）x+5000≤0对任意x∈[40，80]恒成立，令g（x）=2x2﹣（180+a）x+5000，则有，即，即解得，答：市政府只要为处理每吨废气补贴元就能确保该厂每天的废气处理不需要投入资金．【点评】本题主要考查函数模型的选择与应用．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．属于中档题．24.【解答】解：（1）△DAB中，∠DAB=60°，DA=AB=6则：D到y轴的距离=AB=3、D到x轴的距离=DA?sin∠DAB=3；∴D（3，3）；由于DC∥x轴，且DC=AB=6，那么将点D右移6个单位后可得点C，即C（9，3）；设抛物线的解析式为：y=ax2+bx，有：，解得∴抛物线解析式为：y=﹣x2+x．（2）如图1，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，若PQ⊥DB，则PQ∥AC，∵点P在BC上时，PQ与AC始终相交，和PQ∥AC矛盾，∴点P在BC上时不存在符合要求的t值，当P在DC上时，由于PC∥AQ且PQ∥AC，所以四边形PCAQ是平行四边形，则PC=AQ，有6﹣2t=t，得t=2．（3）①如图1，当点P在DC上，即0＜t≤3时，有△EDP∽△EAQ，则===，那么AE=AD=2，即y=2；②如图2，当点P在CB上，即3＜t≤6时，有△QEA∽△QPB，则=，即=，。
2015年湖北省黄冈中学提前录取数学模拟试卷
2015年湖北省黄冈中学提前录取数学模拟试卷（1）一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）若a为实数，则化简的结果是（）A．﹣a B．a C．±a D．|a|2．（3分）如果x2﹣（m+1）x+1是完全平方式，则m的值为（）A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．1或﹣33．（3分）如图，点A、B、C顺次在直线l上，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点．若想求出MN的长度，那么只需条件（）A．AB=12 B．BC=4 C．AM=5 D．CN=24．（3分）如图，正方形ABCD的边AB=1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（）A．B．1﹣C．﹣1 D．1﹣5．（3分）已知关于x的方程（2a+b）x﹣1=0无解，那么ab的值是（）A．负数B．正数C．非负数D．非正数6．（3分）有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购铅笔4支，练习本8本，圆珠笔2支共需4.2元，那么，购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需（）A．1.2元B．1.05元C．0.95元D．0.9元7．（3分）如图，在线段AE同侧作两个等边三角形△ABC和△CDE（∠ACE＜120°），点P与点M分别是线段BE和AD的中点，则△CPM是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．非等腰三角形8．（3分）如果关于x的方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一个正根，则实数a的取值范围是（）A．﹣2＜a＜2 B．C．D．9．（3分）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（）A．3：2：1 B．5：3：1 C．25：12：5 D．51：24：1010．（3分）已知锐角三角形的边长是2，3，x，那么第三边x的取值范围是（）A．1＜x＜B．C．D．二、填空题（每小题5分，共40分）11．（5分）如果不等式组无解，则a的取值范围是．12．（5分）若抛物线y=2x2﹣px+4p+1中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为．13．（5分）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足，若cosB=，EC=2，P 是AB边上的一个动点，则线段PE的长度的最小值是．14．（5分）已知：实常数a、b、c、d同时满足下列两个等式：①asinθ+bcosθ﹣c=0；②acosθ﹣bsinθ+d=0（其中θ为任意锐角），则a、b、c、d之间的关系式是：．15．（5分）函数y=|x﹣1|+2|x﹣2|+3|x﹣3|+4|x﹣4|的最小值是．16．（5分）如图，在△ABC中，AB=AC=，BC=2，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC两边于点D、E，则△CDE的面积为．17．（5分）已知关于x的方程x2+2px+1=0的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数p的取值范围是．18．（5分）若直线y=b（b为实数）与函数y=|x2﹣4x+3|的图象至少有三个公共点，则实数b的取值范围是．三、解答题（共4小题，共50分）19．（12分）设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1、x2，（1）若x12+x22=6，求m值；（2）求的最大值．20．（12分）如图，已知⊙O和⊙O′相交于A、B两点，过点A作⊙O′的切线交⊙O于点C，过点B作两圆的割线分别交⊙O、⊙O′于E、F，EF与AC相交于点P．（1）求证：PA•PE=PC•PF；（2）求证：；（3）当⊙O与⊙O′为等圆时，且PC：CE：EP=3：4：5时，求△PEC与△FAP的面积的比值．21．（12分）观察下列各个等式：12=1，12+22=5，12+22+32=14，12+22+32+42=30，…．（1）你能从中推导出计算12+22+32+42+…+n2的公式吗？请写出你的推导过程；（2）请你用（1）中推导出的公式来解决下列问题：已知：如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x、y轴的正半轴分别交于点A、B，将线段OAn等分，分点从左到右依次为A1、A2、A3、A4、A5、A6、…、A n﹣1，分别过这n ﹣1个点作x轴的垂线依次交抛物线于点B1、B2、B3、B4、B5、B6、…、B n，设﹣1△OBA1、△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…、△A n﹣1B n﹣1A的面积依次为S1、S2、S3、S4、…、Sn．①当n=2013时，求s1+s2+s3+s4+…+s2013的值；②试探究：当n取到无穷无尽时，题中所有三角形的面积和将是什么值？为什么？22．（14分）已知：直角三角形AOB中，∠AOB=90°，OA=3厘米，OB=4厘米．以O为坐标原点如图建立平面直角坐标系．设P、Q分别为AB边，OB边上的动点，它们同时分别从点A、O向B点匀速运动，移动的速度都为1厘米每秒．设P、Q运动的时间为t秒（0≤t≤4）．（1）求△OPQ的面积S与（厘米2）与t的函数关系式；并指出当t为何值时S 的最大值是多少？（2）当t为何值时，△BPQ和△AOB相似；（3）当t为何值时，△OPQ为直角三角形；（4）①试证明无论t为何值，△OPQ不可能为正三角形；②若点P的移动速度不变，试改变点Q的运动速度，使△OPQ为正三角形，求出点Q的运动速度和此时的t值．2015年湖北省黄冈中学提前录取数学模拟试卷（1）参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）若a为实数，则化简的结果是（）A．﹣a B．a C．±a D．|a|【解答】解：∵当a＜0时，=|a|=﹣a．当a＞0时，=|a|=a．故选D．2．（3分）如果x2﹣（m+1）x+1是完全平方式，则m的值为（）A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．1或﹣3【解答】解：∵x2﹣（m+1）x+1是完全平方式，∴﹣（m+1）x=±2×1•x，解得：m=1或m=﹣3．故选D．3．（3分）如图，点A、B、C顺次在直线l上，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点．若想求出MN的长度，那么只需条件（）A．AB=12 B．BC=4 C．AM=5 D．CN=2【解答】解：根据点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，可知：，∴只要已知AB即可．故选A．4．（3分）如图，正方形ABCD的边AB=1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（）A．B．1﹣C．﹣1 D．1﹣【解答】解：如图：正方形的面积=S1+S2+S3+S4；①两个扇形的面积=2S3+S1+S2；②②﹣①，得：S3﹣S4=S扇形﹣S正方形=﹣1=．故选：A．5．（3分）已知关于x的方程（2a+b）x﹣1=0无解，那么ab的值是（）A．负数B．正数C．非负数D．非正数【解答】解：关于x的方程（2a+b）x﹣1=0无解，则2a+b=0．∴有a=b=0或者a、b异号．∴ab的值为非正数．故选D．6．（3分）有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购铅笔4支，练习本8本，圆珠笔2支共需4.2元，那么，购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需（）A．1.2元B．1.05元C．0.95元D．0.9元【解答】解：设购一支铅笔，一本练习本，一支圆珠笔分别需要x，y，z元，根据题意得，②﹣①得x+y+z=1.05（元）．故选：B．7．（3分）如图，在线段AE同侧作两个等边三角形△ABC和△CDE（∠ACE＜120°），点P与点M分别是线段BE和AD的中点，则△CPM是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．非等腰三角形【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°．∴∠BCE=∠ACD．∴△BCE≌△ACD．∴∠CBE=∠CAD，BE=AD．又点P与点M分别是线段BE和AD的中点，∴BP=AM．∴△BCP≌△ACM．∴PC=MC，∠BCP=∠ACM．∴∠PCM=∠ACB=60°．∴△CPM是等边三角形．故选：C．8．（3分）如果关于x的方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一个正根，则实数a的取值范围是（）A．﹣2＜a＜2 B．C．D．【解答】解：∵△=a2﹣4（a2﹣3）=12﹣3a2（1）当方程有两个相等的正根时，△=0，此时a=±2，若a=2，此时方程x2﹣2x+1=0的根x=1符合条件，若a=﹣2，此时方程x2+2x+1=0的根x=﹣1不符舍去，（2）当方程有两个根时，△＞0可得﹣2＜a＜2，①若方程的两个根中只有一个正根，一个负根或零根，则有a2﹣3≤0，解可得﹣≤a≤，而a=﹣时不合题意，舍去．所以﹣＜a≤符合条件，②若方程有两个正根，则，解可得a＞，综上可得，﹣＜a≤2．故选C．9．（3分）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（）A．3：2：1 B．5：3：1 C．25：12：5 D．51：24：10【解答】解：连接EM，CE：CD=CM：CA=1：3∴EM平行于AD∴△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA∴HD：ME=BD：BE=3：5，ME：AD=CM：AC=1：3∴AH=（3﹣）ME，∴AH：ME=12：5∴HG：GM=AH：EM=12：5设GM=5k，GH=12k，∵BH：HM=3：2=BH：17k∴BH=K，∴BH：HG：GM=k：12k：5k=51：24：10故选D．10．（3分）已知锐角三角形的边长是2，3，x，那么第三边x的取值范围是（）A．1＜x＜B．C．D．【解答】解：首先要能组成三角形，易得1＜x＜5下面求该三角形为直角三角形的边长情况（此为临界情况），显然长度为2的边对应的角必为锐角（2＜3，短边对小角）则只要考虑3或者x为斜边的情况．3为斜边时，由勾股定理，22+x2=32，得x=√5 作出图形，固定2边，旋转3边易知当1＜x＜√5 时，该三角形是以3为最大边的钝角三角形；x 为斜边时，由勾股定理，22+32=x2，得x=√13，同样作图可得当√13＜x＜5时，该三角形是以x为最大边的钝角三角形．综上可知，当√5＜x＜√13 时，原三角形为锐角三角形．故选B．二、填空题（每小题5分，共40分）11．（5分）如果不等式组无解，则a的取值范围是a≤1．【解答】解：解不等式x﹣1＞0，得x＞1，解不等式x﹣a＜0，x＜a．∵不等式组无解，∴a≤1．故答案为：a≤1．12．（5分）若抛物线y=2x2﹣px+4p+1中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为（4，33）．【解答】解：y=2x2﹣px+4p+1可化为y=2x2﹣p（x﹣4）+1，分析可得：当x=4时，y=33；且与p的取值无关；故不管p取何值时都通过定点（4，33）．13．（5分）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足，若cosB=，EC=2，P 是AB边上的一个动点，则线段PE的长度的最小值是 4.8．【解答】解：设菱形ABCD的边长为x，则AB=BC=x，又EC=2，所以BE=x﹣2，因为AE⊥BC于E，所以在Rt△ABE中，cosB=，又cosB=，于是，解得x=10，即AB=10．所以易求BE=8，AE=6，当EP⊥AB时，PE取得最小值．故由三角形面积公式有：AB•PE=BE•AE，求得PE的最小值为4.8．故答案为4.8．14．（5分）已知：实常数a、b、c、d同时满足下列两个等式：①asinθ+bcosθ﹣c=0；②acosθ﹣bsinθ+d=0（其中θ为任意锐角），则a、b、c、d之间的关系式是：a2+b2=c2+d2．【解答】解：由①得asinθ+bcosθ=c，两边平方，a2sin2θ+b2cos2θ+2absinθcosθ=c2③由②得acosθ﹣bsinθ=﹣d，两边平方，a2cos2θ+b2sin2θ﹣2absinθcosθ=d2④③+④得a2（sin2θ+cos2θ）+b2（sin2θ+cos2θ）=c2+d2∴a2+b2=c2+d2．15．（5分）函数y=|x﹣1|+2|x﹣2|+3|x﹣3|+4|x﹣4|的最小值是8．【解答】解：①x≤1时，y=1﹣x+2（2﹣x）+3（3﹣x）+4（4﹣x）=30﹣10x，当x=1时，y最小值=30﹣10=20；②1＜x≤2时，y=x﹣1+2（2﹣x）+3（3﹣x）+4（4﹣x）=﹣8x+28，当x=2时，y=28﹣16=12；最小值③2＜x≤3时，y=x﹣1+2（x﹣2）+3（3﹣x）+4（4﹣x）=﹣4x+20，当x=3时，y=20﹣12=8；最小值④3＜x≤4时，y=x﹣1+2（x﹣2）+3（x﹣3）+4（4﹣x）=2x+2，无最小值；⑤x＞4时，y=x﹣1+2（x﹣2）+3（x﹣3）+4（x﹣4）=10x﹣30，无最小值．综上所述，原式的最小值为8．16．（5分）如图，在△ABC中，AB=AC=，BC=2，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC两边于点D、E，则△CDE的面积为．【解答】解：连接DE．在⊙O中，∠B+∠ADE=180°，又∠ADE+∠EDC=180°，则∠B=∠EDC，∠ACB=∠ECD，△EDC∽△ABC，由于AB为直径，AB=AC，则AE⊥BC，E为BC中点，EC=1，AE=2则==5．=×2×2=2，∵S△ABC∴S=．△EDC17．（5分）已知关于x的方程x2+2px+1=0的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数p的取值范围是p＜﹣1．【解答】解：设f（x）=x2+2px+1，∵关于x的方程x2+2px+1=0有两个实数根，∴△=4p2﹣4＞0，解得：P＞1或P＜﹣1，∵关于x的方程x2+2px+1=0开口向上，∴两个实数根一个大于1，另一个小于1（如草图），∴f（1）=1+2p+1=2p+2＜0，∴P＜﹣1，∴P的范围是：P＜﹣1．18．（5分）若直线y=b（b为实数）与函数y=|x2﹣4x+3|的图象至少有三个公共点，则实数b的取值范围是0＜b≤1．【解答】解：∵当x2﹣4x+3=0时，x=1或x=3，∴当x＜1或x＞3时，x2﹣4x+3＞0，即：y=|x2﹣4x+3|，函数值大于0，当1＜x＜3时，﹣1≤x2﹣4x+3＜0，即：y=|﹣x2+4x﹣3|，函数最大值为1，故符合条件的实数b的取值范围是0＜b≤1．三、解答题（共4小题，共50分）19．（12分）设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1、x2，（1）若x12+x22=6，求m值；（2）求的最大值．【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）=﹣4m+4＞0，∴m＜1，结合题意知：﹣1≤m＜1．（1）∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=4（m﹣2）2﹣2（m2﹣3m+3）=2m2﹣10m+10=6∴，∵﹣1≤m＜1，∴；（2）==（﹣1≤m＜1）．∴当m=﹣1时，式子取最大值为10．20．（12分）如图，已知⊙O和⊙O′相交于A、B两点，过点A作⊙O′的切线交⊙O于点C，过点B作两圆的割线分别交⊙O、⊙O′于E、F，EF与AC相交于点P．（1）求证：PA•PE=PC•PF；（2）求证：；（3）当⊙O与⊙O′为等圆时，且PC：CE：EP=3：4：5时，求△PEC与△FAP的面积的比值．【解答】（1）证明：连接AB，∵CA切⊙O'于A，∴∠CAB=∠F．∵∠CAB=∠E，∴∠E=∠F．∴AF∥CE．∴．∴PA•PE=PC•PF．（2）证明：∵，∴=．∴．再根据切割线定理，得PA2=PB•PF，∴．（3）解：连接AE，由（1）知△PEC∽△PFA，而PC：CE：EP=3：4：5，∴PA：FA：PF=3：4：5．设PC=3x，CE=4x，EP=5x，PA=3y，FA=4y，PF=5y，∴EP2=PC2+CE2，PF2=PA2+FA2．∴∠C=∠CAF=90°．∴AE为⊙O的直径，AF为⊙O'的直径．∵⊙O与⊙O'等圆，∴AE=AF=4y．∵AC2+CE2=AE2∴（3x+3y）2+（4x）2=（4y）2即25x2+18xy﹣7y2=0，∴（25x﹣7y）（x+y）=0，∴．∴．21．（12分）观察下列各个等式：12=1，12+22=5，12+22+32=14，12+22+32+42=30，…．（1）你能从中推导出计算12+22+32+42+…+n2的公式吗？请写出你的推导过程；（2）请你用（1）中推导出的公式来解决下列问题：已知：如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x、y轴的正半轴分别交于点A、B，将线段OAn等分，分点从左到右依次为A1、A2、A3、A4、A5、A6、…、A n﹣1，分别过这n﹣1个点作x轴的垂线依次交抛物线于点B1、B2、B3、B4、B5、B6、…、B n，设﹣1△OBA1、△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…、△A n﹣1B n﹣1A的面积依次为S1、S2、S3、S4、…、Sn．①当n=2013时，求s1+s2+s3+s4+…+s2013的值；②试探究：当n取到无穷无尽时，题中所有三角形的面积和将是什么值？为什么？【解答】解：（1）∵n3﹣（n﹣1）3=3n2﹣3n+1，∴当式中的n从1、2、3、…依次取到n时，就可得下列n个等式：13﹣03=3×12﹣3×1+1，23﹣13=3×22﹣3×2+1，33﹣23=3×32﹣3×3+1…n3﹣（n ﹣1）3=3n2﹣3n+1，将这n个等式的左右两边分别相加得：n3=3（12+22+32+…n2）﹣3（1+2+3+…+n）+n，即12+22+32+…n2==．（2）先求得A、B两点的坐标分别为（3，0），（0，3），∴点A1（，0）A2（，0）A3（，0）A4（，0）…A n﹣1（，0），（，点B1（，﹣（）2+2（）+3），B2（，﹣（）2+2（）+3）…B n﹣1﹣[]2+2+3），∴S1=，S2=，S3=…S n=∴S1+S2+S3+…+S n===．∴①当n=2013时，S1+S2+S3+S4+…S2013=；②∵S1+S2+S3+…S n==+﹣，∴当n取到无穷无尽时，上式的值等于，即所有三角形的面积和等于．22．（14分）已知：直角三角形AOB中，∠AOB=90°，OA=3厘米，OB=4厘米．以O为坐标原点如图建立平面直角坐标系．设P、Q分别为AB边，OB边上的动点，它们同时分别从点A、O向B点匀速运动，移动的速度都为1厘米每秒．设P、Q运动的时间为t秒（0≤t≤4）．（1）求△OPQ的面积S与（厘米2）与t的函数关系式；并指出当t为何值时S 的最大值是多少？（2）当t为何值时，△BPQ和△AOB相似；（3）当t为何值时，△OPQ为直角三角形；（4）①试证明无论t为何值，△OPQ不可能为正三角形；②若点P的移动速度不变，试改变点Q的运动速度，使△OPQ为正三角形，求出点Q的运动速度和此时的t值．【解答】解：（1）S=﹣0.3t2+当t=时，S最大=．（2）①∠BQP=∠BOA，在直角三角形BQP中，BP=BQ，即5﹣t=（4﹣t），解得t=0．②∠BPQ=∠BOA，在直角三角形BPQ中，BQ=BP，即4﹣t=（5﹣t），解得t=9；因为0≤t≤4，∴t=9不合题意，舍去．因此当t=0时，△BPQ和△AOB相似．（3）作PN⊥OB于N，PM⊥OA于M，若△OPQ为直角三角形，则OQ⊥PQ或OP⊥QP，设QP⊥OQ，则PQ===．PO===．OQ===≠t（t无解）．∴QP不与OQ垂直设OP⊥QP，则△OPQ∽△PNQ∴，∴PQ2=t2，PQ2=OQ2﹣OP2=t2﹣t2+t﹣9=t﹣9t2=t﹣9，解得t=3，t=15（不合题意舍去）∴当t=3是△OPQ是直角三角形．（4）①PO=，OQ=t，PQ=令PO=OQ=PQ，解t无解∴△OPQ不能成为正三角形．②设Q的速度为x，则OQ=xt．OP2=t2﹣t+9，OQ2=x2t2，PQ2=t2﹣t+12令OP2=OQ2=PQ2解得x=，t=舍去负值，则t=因此Q点的速度为，t=．。
2015年黄冈中学提前录取数学模拟试题(3)
2015年黄冈中学提前录取数学模拟试题(3)2015.3.20 一、选择题（每小题4分，共24分）1. 如图1、图2, 是由10把相同的折扇组成的 “蝶恋花”(图1)和“梅花”(图2)(图中的折扇无重叠), 则“梅花”图案中的五角星的五个锐角均为 （ ）图1 图2 A. 36° B. 42° C. 45° D. 48°2. 如图是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图, 那么搭成的这个几何体所用的小立方块的个数是 （ ）A. 9个B. 8个C. 7个D. 6个3. 关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+<+->+a x x x x 235352只有5个整数解, 则（ ）A. －6＜a ＜－211B. －6≤a ＜－211C. －6＜a ≤－211 D. －6≤a ≤－2114. 如果一条直线l 经过不同的三点A(a, b), B(b, a), C(a －b, b －a), 那么直线l 经过的象限有 （ ） A. 二、四 B. 一、三 C. 二、三、四 D. 一、三、四 5. 方程|2x －x 2|=x2的正根个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 36. 在等边△ABC 所在平面上的直线m 满足的条件是: 等边△ABC 的3个顶点到直线m 的距离只取2个值, 其中一个值是另一个值的2倍, 这样的直线m 的条数是 （ ） A. 16 B. 18 C. 24 D. 27二、填空题（每小题3分，共18分）7. 要使代数式x 2+y 2－14x+2y+50的值为0, 则x ＋y 的取值应为.8. 若20082-k 是整数, 则整数k 的最小值为. 9. 四边形ABCD 中, ∠A=∠C=90°, ∠ADC=60°, AB=11, BC=2, 则BD= .10. 已知b －a=81, 2a 2+a=41, 那么ab －a 的值为 .11. 一个半径为1cm 的圆在边长为6cm 的正六边形内 任意移动(圆可与正六边形的边相切), 则圆在正六边形 内不能达到部分的面积为 .12. 如右图的数表, 它有这样的规律: 表中第1行为1, 第n (n ≥2)行两端的数均为n, 其余每一个数都等于它肩上两个数的和,设第n (n ≥2)行的第2个数为a n , 如a 2=2, a 3=4, 则a n+1－a n = (n ≥2), a n = .三、解答题（共36分）13. 已知: 如图, △ABC 中AC=21AB, AD 平分∠BAC, 且AD=BD. 求证: CD ⊥AC.14. 已知抛物线y=ax2+(a+2)x+2a+1与直线y=2－3x至少有一个交点是整点(直角坐标系中, 横、纵坐标均为整数的点), 试确定整数a的值, 并求出相应的交点(整点)的坐标.15. 怎样的整数a, b满足不等式a2+3b2+6＜2ab－8b? 四、选做题（共4小题，满分70分）16．如图，点H为△ABC的垂心，以AB为直径的⊙O1和△BCH的外接圆⊙O2相交于点D，延长AD 交CH于点P，求证：点P为CH的中点．17．如图，正方形ABCD的边长为1，对角线AC与BD相交于点O，点P是AB边上的一个动点（点P不与点A、B重合），CP与BD相交于点Q．（1）若CP平分∠ACB，求证：AP=2QO．（2）先按下列要求画出相应图形，然后求解问题．①把线段PC绕点P旋转90°，使点C落在点E处，并连接AE．设线段BP的长度为x，△APE的面积为S．试求S与x的函数关系式；②求出S的最大值，判断此时点P所在的位置．18．设a为整数，使得关于x的方程ax2﹣（a+5）x+a+7=0至少有一个有理根，试求方程所有可能的有理根．19．设k为正整数，证明：（1）如果k是两个连续正整数的乘积，那么25k+6也是两个连续正整数的乘积；（2）如果25k+6是两个连续正整数的乘积，那么k也是两个连续正整数的乘积．16.直线上按顺序有四个点A、B、C、D, 且AB:BC:CD=2:1:3, 分别以AC、BD为直径作⊙O1、⊙O2, 两圆交于E、F(如图). 求ED:EA的值.参考答案一、选择题1. D2. B3. A4. A5. B6. C二、填空题7.6 8. －503 9. 14 10. 23 11. (2π-3)cm 2 12. n, 222+-n n三、解答题13. 过D 作DE ⊥AB 于E∵AD=BD DE ⊥AB∴AE=21AB ∠DEA=90°∵AC=21AB ∴AE=AC∵AD 平分∠BAC ∴∠BAD=∠CAD在△DEA 和△DCA 中 AE=AC, ∠BAD=∠CAD AD=AD∴△DEA ≌△DCA ∴∠ACD=∠AED ∴∠ACD=90° ∴AC ⊥DC14. 联系⎩⎨⎧-=++++=xy a x )a (ax y 321222得ax 2+(a+5)x+2a －1=0(*)设(*)的两根为x 1, x 2, 则x 1²x 2=aa 12-=2－a1为整数∴a=±1当a=1时, (*)为x 2+6x+1=0无整数解当a=－1时, (*)为x 2－4x+3=0, x 1=1, x 2=3 对应地y 1=－1, y 2=－7∴a=－1, 交点坐标为(1, －1)和(3, －7).15. 由已知不等式得a 2－2ab+b 2+2b 2+8b+6＜0, 即(a －b)2+2(b+2)2－2＜0.(1) 当(a －b)2=0且(b+2)2=0, 即a=b=－2时, 不等式成立.(2) 当(a －b)2=1且(b+2)2=0, 即a=－1, b=－2时, 不等式成立.(3) 当(b+2)2≠0, 即b ≠－2时, 2(b+2)2≥2, (a －b)2≥0不等式不成立.(4) 当(b+2)2=0, 即b=－2时, 若a ≠－2, 又a ≠－1, 则(a －b)2＞2, 不等式不成立.综上知, 满足不等式a 2+3b 2+6＜2ab －8b 的整数a, b 只有⎩⎨⎧-=-=,b ,a 22⎩⎨⎧-=-=21b ,a 两组.16. 连结EB 、EC, 过C 作CG, 垂直于EB 交AE 、BE 于G 、H.∵DE ⊥BE ∴DE ∥CG 由给定条件AC:CD=3:3=AG:GE ∴AG=GE∵CH:DE=BC:BD=1:4, 而CG:DE=AC:AD=1:2 ∴H 为GC 的中点, 故EB 为CG 的垂直平分线 又∠AEC=90°∴△GEC 为等腰直角三角形, 则∠ECG=45°故ED:EA=2CG:2EG=2。
2015年湖北省黄冈中学提前录取数学模拟试卷7
2015年湖北省黄冈中学提前录取数学模拟试卷（7）一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．每小题恰有一个正确的答案，请将正确答案的代号填入题中相应的括号内1．（4分）计算1+2+22+23+…+22010的结果是（）A．22011﹣1 B．22011+1 C．D．2．（4分）如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6．则⊙O的半径为（）A．6 B．13 C． D．3．（4分）如图，表示阴影区域的不等式组为（）A．B．C．D．4．（4分）已知点P的坐标是（，），这里a、b是有理数，PA、PB分别是点P到x轴和y轴的垂线段，且矩形OAPB的面积为，则P点可能出现的象限有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（4分）已知AC⊥BC于C，BC=a，CA=b，AB=c，下列选项中⊙O的半径为的是（）A．B．C．D．6．（4分）如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（）A．+1 B．C．D．7．（4分）点C是半径为1的半圆弧AB的一个三等分点，分别以弦AC、BC为直径向外侧作2个半圆，点D、E也分别是2半圆弧的三等分点，再分别以弦AD、DC、CE、BE为直径向外侧作4个半圆．则图中阴影部分（4个新月牙形）的面积和是（）A．B．C．D．8．（4分）平面直角坐标系中，如果把横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，那么函数的图象上整点的个数是（）A．2个 B．4个 C．6个 D．8个二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请将正确答案填在各小题后的横线上）9．（4分）若x，则=．10．（4分）若关于x的方程的解为正数，则a的取值范围是．11．（4分）有一组数满足a1=1，a2=2，a3﹣a1=0，a4﹣a2=2，a5﹣a3=0，a6﹣a4=2，…，按此规律进行下去，则a1+a2+a3+…+a100=．12．（4分）二次函数y=x2+2ax+a在﹣1≤x≤2上有最小值﹣4，则a的值为．13．（4分）已知实数a，b，c满足a+b+c=10，且，则的值是．14．（4分）已知抛物线经过点A（4，0）．设点C（1，﹣3），请在抛物线的对称轴上确定一点D，使得|AD﹣CD|的值最大，则D点的坐标为．三、解答题（本大题共6小题，共64分．请写出解答过程）15．（12分）已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m是正整数）．△ABC 的三边a、b、c满足，m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0．求：（1）m的值；（2）△ABC的面积．16．（10分）如图，已知圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点N，点M在对角线BD上，且满足∠BAM=∠DAN，∠BCM=∠DCN．求证：（1）M为BD的中点；（2）．17．（10分）阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC 为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP 逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）．请你回答：AP的最大值是．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是．（结果可以不化简）18．（10分）随着经济的发展，尹进所在的公司每年都在元月一次性的提高员工当年的月工资．尹进2008年的月工资为2000元，在2010年时他的月工资增加到2420元，他2011年的月工资按2008到2010年的月工资的平均增长率继续增长．（1）尹进2011年的月工资为多少？（2）尹进看了甲、乙两种工具书的单价，认为用自己2011年6月份的月工资刚好购买若干本甲种工具书和一些乙种工具书，当他拿着选定的这些工具书去付书款时，发现自己计算书款时把这两种工具书的单价弄对换了，故实际付款比2011年6月份的月工资少了242元，于是他用这242元又购买了甲、乙两种工具书各一本，并把购买的这两种工具书全部捐献给西部山区的学校．请问，尹进总共捐献了多少本工具书？19．（12分）已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200千克，配料的价格为1.8元/千克，每次购买配料除需支付运输费236元外，还需支付保管费用，其标准如下：7天以内（含7天），无论重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付．（1）当9天购买一次配料时，求该厂的配料保管费用P是多少元？（2）当x天购买一次配料时，求该厂在这x天中用于配料的总支出y（元）关于x的函数关系式；（3）求多少天购买一次配料时，才能使该厂平均每天的总支出最少？（总支出=购买配料费+运输费+保管费）20．（10分）如图，点A为y轴正半轴上一点，A，B两点关于x轴对称，过点A任作直线交抛物线于P，Q两点．（1）求证：∠ABP=∠ABQ；（2）若点A的坐标为（0，1），且∠PBQ=60°，试求所有满足条件的直线PQ的函数解析式．2015年湖北省黄冈中学提前录取数学模拟试卷（7）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．每小题恰有一个正确的答案，请将正确答案的代号填入题中相应的括号内1．（4分）（2015•黄冈中学自主招生）计算1+2+22+23+…+22010的结果是（）A．22011﹣1 B．22011+1 C．D．【分析】可设其和为S，则2S=2+22+23+24+…+22010+22011，两式相减可得答案．【解答】解：设S=1+2+22+23+ (22010)则2S=2+22+23+…+22010+22011②②﹣①得S=22011﹣1．故选A．【点评】本题考查了整式的混合运算，解答本题的关键是设出和为S，并求出2S进行做差求解．2．（4分）（2011•兰州）如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6．则⊙O的半径为（）A．6 B．13 C． D．【分析】延长AO交BC于D，接OB，根据AB=AC，O是等腰Rt△ABC的内心，推出AD⊥BC，BD=DC=3，AO平分∠BAC，求出∠BAD=∠ABD=45°，AD=BD=3，由勾股定理求出OB即可．【解答】解：过点A作等腰直角三角形BC边上的高AD，垂足为D，所以点D也为BC的中点．根据垂径定理可知OD垂直于BC．所以点A、O、D共线．∵⊙O过B、C，∴O在BC的垂直平分线上，∵AB=AC，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∴AD⊥BC，BD=DC=3，AO平分∠BAC，∵∠BAC=90°，∴∠ADB=90°，∠BAD=45°，∴∠BAD=∠ABD=45°，∴AD=BD=3，∴OD=3﹣1=2，由勾股定理得：OB==．故选C．【点评】本题主要考查对等腰三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，勾股定理，垂线，垂径定理等知识点的理解和掌握，求出OD、BD的长是解此题的关键．3．（4分）（2015•黄冈中学自主招生）如图，表示阴影区域的不等式组为（）A．B．C．D．【分析】根据图形即可判断阴影部分是由x=0，y=﹣2x+5，y=﹣x+三条直线围起来的区域，再根据一次函数与一元一次不等式的关系即可得出答案．【解答】解：∵x≥0表示直线x=0右侧的部分，2x+y≤5表示直线y=﹣2x+5左下方的部分，3x+4y≥9表示直线y=﹣x+右上方的部分，故根据图形可知：满足阴影部分的不等式组为：．故选D．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，属于基础题，关键是根据图形利用一次函数与一元一次不等式的关系正确解答．4．（4分）（2015•黄冈中学自主招生）已知点P的坐标是（，），这里a、b是有理数，PA、PB分别是点P到x轴和y轴的垂线段，且矩形OAPB的面积为，则P点可能出现的象限有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】可由矩形面积入手，由点P的坐标可得其乘积为或﹣，进而求解即可得出结论．【解答】解：由题意得（+a）（+b）=①或（+a）（+b）=﹣②，由①得（ab+2）+（a+b﹣1）=0，则，解得或，同理由②得或，所以，P（+2，﹣1）或（﹣1，+2）或（﹣2，+1）或（+1，﹣2），P点出现在第一、二、四象限，故选C．【点评】本题主要考查了矩形的性质以及矩形与图形相结合的问题，能够熟练运用已学知识求解一些简单的图形结合问题．5．（4分）（2011•日照）已知AC⊥BC于C，BC=a，CA=b，AB=c，下列选项中⊙O的半径为的是（）A．B．C．D．【分析】连接OE、OD，根据AC、BC分别切圆O于E、D，得到∠OEC=∠ODC=∠C=90°，证出正方形OECD，设圆O的半径是r，证△ODB∽△AEO，得出=，代入即可求出r=；设圆的半径是x，圆切AC 于E，切BC于D，且AB于F，同样得到正方形OECD，根据a﹣x+b﹣x=c，求出x即可；设圆切AB于F，圆的半径是y，连接OF，则△BCA∽△OFA得出=，代入求出y即可．【解答】解：A、设圆的半径是x，圆切AC于E，切BC于D，切AB于F，如图（1）同样得到正方形OECD，AE=AF，BD=BF，则a﹣x+b﹣x=c，求出x=，故本选项错误；B、设圆切AB于F，圆的半径是y，连接OF，如图（2），则△BCA∽△OFA，∴=，∴=，解得：y=，故本选项错误；C、连接OE、OD，∵AC、BC分别切圆O于E、D，∴∠OEC=∠ODC=∠C=90°，∵OE=OD，∴四边形OECD是正方形，∴OE=EC=CD=OD，设圆O的半径是r，∵OE∥BC，∴∠AOE=∠B，∵∠AEO=∠ODB，∴△ODB∽△AEO，∴=，=，解得：r=，故本选项正确；从上至下三个切点依次为D，E，F；并设圆的半径为x；容易知道BD=BF，所以AD=BD﹣BA=BF﹣BA=a+x﹣c；又∵b﹣x=AE=AD=a+x﹣c；所以x=，故本选项错误．故选：C．【点评】本题主要考查对正方形的性质和判定，切线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内切圆与内心，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据这些性质求出圆的半径是解此题的关键．6．（4分）（2012•济南）如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（）A．+1 B．C．D．【分析】取AB的中点E，连接OE、DE、OD，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、D、E 三点共线时，点D到点O的距离最大，再根据勾股定理列式求出DE的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长，两者相加即可得解．【解答】解：如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，∵OD≤OE+DE，∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，此时，∵AB=2，BC=1，∴OE=AE=AB=1，DE===，∴OD的最大值为：+1．故选：A．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到性质，三角形的三边关系，矩形的性质，勾股定理，根据三角形的三边关系判断出点O、E、D三点共线时，点D到点O的距离最大是解题的关键．7．（4分）（2015•黄冈中学自主招生）点C是半径为1的半圆弧AB的一个三等分点，分别以弦AC、BC 为直径向外侧作2个半圆，点D、E也分别是2半圆弧的三等分点，再分别以弦AD、DC、CE、BE为直径向外侧作4个半圆．则图中阴影部分（4个新月牙形）的面积和是（）A．B．C．D．【分析】根据所给的图形结合三角函数的知识可得出AC、BC、BE、CE的长度，然后根据四边形ABED为直角梯形，外层4个半圆无重叠得出S阴影=S△ADC+S△BCE，继而可得出答案．【解答】解：易知D、C、E三点共线，点C是半径为1的半圆弧AB的一个三等分点，∴对的圆心角为=60°，∴∠ABC=30°，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴AC=AB=1，BC=AB•COS30°=，BE=BC•COS30°=，CE=DC=，AD=，且四边形ABED为直角梯形，外层4个半圆无重叠．从而，S阴影=S梯形ABED+S△ABC﹣，=S△ADC+S△BCE，=．故选B．【点评】本题考查了面积及等积变换的知识，难度较大，关键是仔细观察图形得出要求阴影部分面积的另一种表达方式，从而进行变换求解．8．（4分）（2015•黄冈中学自主招生）平面直角坐标系中，如果把横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，那么函数的图象上整点的个数是（）A．2个 B．4个 C．6个 D．8个【分析】把所给函数解析式化为整式，进而整理为两数积的形式，根据整点的定义判断积的可能的形式，找到整点的个数即可．【解答】解：将函数表达式变形，得2xy﹣y=x+12，4xy﹣2y﹣2x=24，2y（2x﹣1）﹣（2x﹣1）=24+1，（2y﹣1）（2x﹣1）=25．∵x，y都是整数，∴（2y﹣1），（2x﹣1）也是整数．∴或或或或或．解得：或或或或或．∴解得的整点为：（13，1），（﹣12，0），（1，13），（0，﹣12），（3，3），（﹣2，﹣2）共6个．故选C．【点评】考查函数图象上整点的求法：把所给函数解析式整理为两数积的形式，判断可能的整数解．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请将正确答案填在各小题后的横线上）9．（4分）（2015•黄冈中学自主招生）若x，则=．【分析】已知等式两边平方后，整理求出x2+的值，所求式子分子分母除以x2变形后，将x2+的值代入计算即可求出值．【解答】解：已知等式平方得：（x﹣）2=x2﹣2+=16，即x2+=18，则==．故答案为：【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．10．（4分）（2015•黄冈中学自主招生）若关于x的方程的解为正数，则a的取值范围是a ＜1且a≠﹣1．【分析】先求得方程的解，再解x＞0，求出a的取值范围．【解答】解：解方程，得x=，∵关于x的方程的解为正数，∴x＞0，即＞0，当x﹣1=0时，x=1，代入得：a=﹣1．此为增根，∴a≠﹣1，解得：a＜1且a≠﹣1．故答案为：a＜1且a≠﹣1．【点评】本题主要考查了解分式方程及解不等式，难度适中．11．（4分）（2015•黄冈中学自主招生）有一组数满足a1=1，a2=2，a3﹣a1=0，a4﹣a2=2，a5﹣a3=0，a6﹣a4=2，…，按此规律进行下去，则a1+a2+a3+…+a100=2600．【分析】根据已知等式推出数a1，a2，a3，…，a100的规律，再求和．【解答】解：由已知，得a1=1，a2=2，a3=1，a4=4，a5=1，a6=6…，a100=100，则a1+a2+a3+…+a100=1+2+1+4+1+6+…+1+100=1×50+=2600．故答案为：2600．【点评】本题考查了数字变化规律．关键是由已知条件推出奇数项的数都是1，偶数项的数与数的序号相等．12．（4分）（2015•黄冈中学自主招生）二次函数y=x2+2ax+a在﹣1≤x≤2上有最小值﹣4，则a的值为5或．【分析】分三种情况考虑：对称轴在x=﹣1的左边，对称轴在﹣1到2的之间，对称轴在x=2的右边，当对称轴在x=﹣1的左边和对称轴在x=2的右边时，可根据二次函数的增减性来判断函数取最小值时x 的值，然后把此时的x的值与y=﹣4代入二次函数解析式即可求出a的值；当对称轴在﹣1到2的之间时，顶点为最低点，令顶点的纵坐标等于﹣4，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到满足题意a 的值．【解答】解：分三种情况：当﹣a＜﹣1即a＞1时，二次函数y=x2+2ax+a在﹣1≤x≤2上为增函数，所以当x=﹣1时，y有最小值为﹣4，把（﹣1，﹣4）代入y=x2+2ax+a中解得：a=5；当﹣a＞2即a＜﹣2时，二次函数y=x2+2ax+a在﹣1≤x≤2上为减函数，所以当x=2时，y有最小值为﹣4，把（2，﹣4）代入y=x2+2ax+a中解得：a=﹣＞﹣2，舍去；当﹣1≤﹣a≤2即﹣2≤a≤1时，此时抛物线的顶点为最低点，所以顶点的纵坐标为=﹣4，解得：a=或a=＞1，舍去．综上，a的值为5或．故答案为：5或【点评】此题考查二次函数的增减性和二次函数最值的求法，是一道综合题．求二次函数最值时应注意顶点能否取到．13．（4分）（2016•邯郸校级自主招生）已知实数a，b，c满足a+b+c=10，且，则的值是．【分析】根据已知条件把所求的式子进行整理，即可求出答案；【解答】解∵a+b+c=10，∴a=10﹣（b+c），b=10﹣（a+c），c=10﹣（a+b），∴=﹣+﹣+﹣=﹣1+﹣1+﹣1=++﹣3，∵，∴原式=×10﹣3=﹣3=．故填：．【点评】本题是基础题，考查了比例的基本性质，比较简单．14．（4分）（2015•黄冈中学自主招生）已知抛物线经过点A（4，0）．设点C（1，﹣3），请在抛物线的对称轴上确定一点D，使得|AD﹣CD|的值最大，则D点的坐标为（2，﹣6）．【分析】首先利用待定系数法求得抛物线的解析式，然后可求得抛物线的对称轴方程x=2，又由作点C 关于x=2的对称点C′，直线AC′与x=2的交点即为D，求得直线AC′的解析式，即可求得答案．【解答】解：∵抛物线经过点A（4，0），∴×42+4b=0，∴b=﹣2，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x=（x﹣2）2﹣2，∴抛物线的对称轴为：直线x=2，∵点C（1，﹣3），∴作点C关于x=2的对称点C′（3，﹣3），直线AC′与x=2的交点即为D，因为任意取一点D（AC与对称轴的交点除外）都可以构成一个△ADC．而在三角形中，两边之差小于第三边，即|AD﹣CD|＜AC′．所以最大值就是在D是AC′延长线上的点的时候取到|AD﹣C′D|=AC′．把A，C′两点坐标代入，得到过AC′的直线的解析式即可；设直线AC′的解析式为y=kx+b，∴，解得：，∴直线AC′的解析式为y=3x﹣12，当x=2时，y=﹣6，∴D点的坐标为（2，﹣6）．故答案为：（2，﹣6）．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称轴，以及距离差最小问题．此题综合性很强，解题的关键是数形结合思想的应用．三、解答题（本大题共6小题，共64分．请写出解答过程）15．（12分）（2015•黄冈中学自主招生）已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m是正整数）．△ABC的三边a、b、c满足，m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0．求：（1）m的值；（2）△ABC的面积．【分析】（1）本题可先求出方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0的两个根，然后根据这两个根都是正整数求出m的值．（2）由（1）得出的m的值，然后将m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0．进行化简，得出a，b的值．然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的a，b的值，进而得出三角形的面积．【解答】解：（1）∵关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m是整数）．∵a=m2﹣1，b=﹣9m+3，c=18，∴b2﹣4ac=（9m﹣3）2﹣72（m2﹣1）=9（m﹣3）2≥0，设x1，x2是此方程的两个根，∴x1•x2==，∴也是正整数，即m2﹣1=1或2或3或6或9或18，又m为正整数，∴m=2；（2）把m=2代入两等式，化简得a2﹣4a+2=0，b2﹣4b+2=0当a=b时，当a≠b时，a、b是方程x2﹣4x+2=0的两根，而△＞0，由韦达定理得a+b=4＞0，ab=2＞0，则a＞0、b ＞0．①a≠b，时，由于a2+b2=（a+b）2﹣2ab=16﹣4=12=c2=．故△ABC为直角三角形，且∠C=90°，S△ABC②a=b=2﹣，c=2时，因＜，故不能构成三角形，不合题意，舍去．③a=b=2+，c=2时，因＞，故能构成三角形．S△ABC=×（2）×=综上，△ABC的面积为1或．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及勾股定理等知识点，本题中分类对a，b的值进行讨论，并通过计算得出三角形的形状是解题的关键．16．（10分）（2015•黄冈中学自主招生）如图，已知圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点N，点M在对角线BD上，且满足∠BAM=∠DAN，∠BCM=∠DCN．求证：（1）M为BD的中点；（2）．【分析】（1）要证M为BD的中点，即证BM=DM，由∠BAM=∠DAN，∠BCM=∠DCN，及圆周角的性质易证明△BAM∽△CBM，△DAM∽△CDM得出比例的乘积形式，可证明BM=DM；（2）欲证，可以通过平行线的性质证明，需要延长AM交圆于点P，连接CP，证明PC∥BD，得出比例式，相应解决MP=CM的问题即可．【解答】证明：（1）根据同弧所对的圆周角相等，得∠DAN=∠DBC，∠DCN=∠DBA．又∵∠DAN=∠BAM，∠BCM=∠DCN，∴∠BAM=∠MBC，∠ABM=∠BCM．∴△BAM∽△CBM，∴，即BM2=AM•CM．①又∠DCM=∠DCN+∠NCM=∠BCM+∠NCM=∠ACB=∠ADB，∠DAM=∠MAC+∠DAN=∠MAC+∠BAM=∠BAC=∠CDM，∴△DAM∽△CDM，则，即DM2=AM•CM．②由式①、②得BM=DM，即M为BD的中点．（2）如图，延长AM交圆于点P，连接CP．∴∠BCP=∠PAB=∠DAC=∠DBC．∵PC∥BD，∴．③又∵∠MCB=∠DCA=∠ABD，∠DBC=∠PCB，∴∠ABC=∠MCP．而∠ABC=∠APC，则∠APC=∠MCP，有MP=CM．④由式③、④得．【点评】本题考查了相似三角形的性质，圆周角的性质，是一道较难的题目．17．（10分）（2015•黄冈中学自主招生）阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC 为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP 逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）．请你回答：AP的最大值是6．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是（或不化简为）．（结果可以不化简）【分析】（1）根据旋转的性质知A′A=AB=BA′=2，AP=A′C，所以在△AA′C中，利用三角形三边关系来求A′C 即AP的长度；（2）以B为中心，将△APB逆时针旋转60°得到△A'P'B．根据旋转的性质推知PA+PB+PC=P'A′+P'B+PC．当A'、P'、P、C四点共线时，（P'A′+P'B+PC）最短，即线段A'C最短．然后通过作辅助线构造直角三角形A′DC，在该直角三角形内利用勾股定理来求线段A′C的长度．【解答】解：（1）如图2，∵△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，∴∠A′BA=60°，A′B=AB，AP=A′C∴△A′BA是等边三角形，∴A′A=AB=BA′=2，在△AA′C中，A′C＜AA′+AC，即AP＜6，则当点A′A、C三点共线时，A′C=AA′+AC，即AP=6，即AP的最大值是：6；故答案是：6．（2）如图3，∵Rt△ABC是等腰三角形，∴AB=BC．以B为中心，将△APB逆时针旋转60°得到△A'P'B．则A'B=AB=BC=4，PA=P′A′，PB=P′B，∴PA+PB+PC=P′A′+P'B+PC．∵当A'、P'、P、C四点共线时，（P'A+P'B+PC）最短，即线段A'C最短，∴A'C=PA+PB+PC，∴A'C长度即为所求．过A'作A'D⊥CB延长线于D．∵∠A'BA=60°（由旋转可知），∴∠1=30°．∵A'B=4，∴A'D=2，BD=2，∴CD=4+2．在Rt△A'DC中A'C====2+2；∴AP+BP+CP的最小值是：2+2（或不化简为）．故答案是：2+2（或不化简为）．【点评】本题综合考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理以及等边三角形的判定与性质．注意：旋转前、后的图形全等．18．（10分）（2011•宜昌）随着经济的发展，尹进所在的公司每年都在元月一次性的提高员工当年的月工资．尹进2008年的月工资为2000元，在2010年时他的月工资增加到2420元，他2011年的月工资按2008到2010年的月工资的平均增长率继续增长．（1）尹进2011年的月工资为多少？（2）尹进看了甲、乙两种工具书的单价，认为用自己2011年6月份的月工资刚好购买若干本甲种工具书和一些乙种工具书，当他拿着选定的这些工具书去付书款时，发现自己计算书款时把这两种工具书的单价弄对换了，故实际付款比2011年6月份的月工资少了242元，于是他用这242元又购买了甲、乙两种工具书各一本，并把购买的这两种工具书全部捐献给西部山区的学校．请问，尹进总共捐献了多少本工具书？【分析】（1）设2008至2010年的年平均增长率为x，得到2000（1+x）2=2420，求出x，然后计算2420（1+x）得到尹进2011年的月工资．（2）可设甲工具书单价为m元，第一次选购y本．设乙工具书单价为n元，第一次选购z本．根据等量关系：用242元购买了甲、乙两种工具书各一本；实际付款比2011年6月份的月工资少了242元；2011年6月份的月工资刚好购买若干本甲种工具书和一些乙种工具书．列出方程组求解即可．【解答】解：（1）设2008至2010年的年平均增长率为x，依题意列方程：2000（1+x）2=2420，（1+x）2=1.21，1+x=±1.1，解得：x1=10%，x2=﹣210%．∵增产率不能是负数，∴﹣210%要舍去．尹进2011年的月工资为：2420（1+10%）=2662元．故尹进2011年的月工资为2662元；（2）设甲工具书单价为m元，第一次选购y本．设乙工具书单价为n元，第一次选购z本．则由题意，可列方程：由②+③，整理得，（m+n）（y+z）=2×2662﹣242，把①代入得，242（y+z）=2×2662﹣242，∴y+z=22﹣1=21．21+2=23本．答：尹进捐出的这两种工具书总共有23本．【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，先列方程求出2008至2010年的增长率，然后利用这个增长率进行计算求出2011年的利用收入．同时考查了解三元一次方程组，注意找准等量关系，及整体思想的应用．19．（12分）（2015•黄冈中学自主招生）已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200千克，配料的价格为1.8元/千克，每次购买配料除需支付运输费236元外，还需支付保管费用，其标准如下：7天以内（含7天），无论重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付．（1）当9天购买一次配料时，求该厂的配料保管费用P是多少元？（2）当x天购买一次配料时，求该厂在这x天中用于配料的总支出y（元）关于x的函数关系式；（3）求多少天购买一次配料时，才能使该厂平均每天的总支出最少？（总支出=购买配料费+运输费+保管费）【分析】（1）根据题意得出第8天剩余配料的重量=9天配料的重量﹣7天配料的重量，第9天剩余配料的重量=9天配料的重量﹣8天配料的重量，分别代入求出即可；7天的费用=70，8、9两天的费用=0.03×200×（1+2），相加求出即可；（2）分两种情况列出总支出y（元）关于x的函数关系；（3）由（2）可知：该厂平均每天的总支出有两种情况，设x天购买一次配料平均每天的总支出为W，则W=和W=，求出它们的最值即可．【解答】解：（1）第8天剩余配料的重量为200×9﹣200×7=400（千克），第9天剩余配料的重量为200×9﹣200×8=200（千克），当9天购买一次配料，该厂的配料保管费用P=70+0.03×（400+200）=88（元），答：当9天购买一次配料时，该厂的配料保管费用P是88元．（2）①当x≤7时，y=360x+10x+236=370x+236；②当x＞7时，y=360x+236+70+6[（x﹣7）+（x﹣6）+…+2+1]=3x2+321x+432．（3）设x天购买一次配料平均每天的总支出为W元，①当≤7时，W==270+，=270+≈404；所以，x=7时，W有最小值，W最小值②当＞7时，W==3（x+）+321，当x=时，W有最小值，解得x=12，所以，x=12时，W=321；最小值综上，12天购买一次配料时，才能使该厂平均每天的总支出最少．【点评】本题考查了二次函数的最值，二次函数等知识点的理解和掌握，根据题意列出关系式是解题的关键．20．（10分）（2015•黄冈中学自主招生）如图，点A为y轴正半轴上一点，A，B两点关于x轴对称，过点A任作直线交抛物线于P，Q两点．（1）求证：∠ABP=∠ABQ；（2）若点A的坐标为（0，1），且∠PBQ=60°，试求所有满足条件的直线PQ的函数解析式．【分析】（1）利用抛物线的图象上点的坐标特征，待定系数法球函数解析式，根与系数的关系和相似三角形的判定与性质解答即可；（2）利用（1）中已知与结论，继续由相似三角形，根与系数的关系、函数解析式求得结果．【解答】（1）证明：如图，分别过点P，Q作y轴的垂线，垂足分别为C，D．设点A的坐标为（0，t），则点B的坐标为（0，﹣t）．设直线PQ的函数解析式为y=kx+t，并设P，Q的坐标分别为（x P，y P），（x Q，y Q）．由，得，于是，即．于是=．，又因为，所以．因为∠BCP=∠BDQ=90°，所以△BCP∽△BDQ，故∠ABP=∠ABQ；（2）解：设PC=a，DQ=b，不妨设a≥b＞0，由（1）可知∠ABP=∠ABQ=30°，BC=，BD=，所以AC=，AD=．因为PC∥DQ，所以△ACP∽△ADQ．于是，即，所以．由（1）中，即，所以，于是可求得．将代入，得到点Q的坐标（，）．再将点Q的坐标代入y=kx+1，求得．所以直线PQ的函数解析式为．根据对称性知，所求直线PQ的函数解析式为或．【点评】此题主要考查相似三角形的判定与性质、根与系数的关系、待定系数法求函数解析式以及对称解决问题．2017年4月19日。
全国重点高中黄冈中学2015年自主招生理科实验班预录考试数学模拟试题七
黄冈中学2015年自主招生预录考试数学模拟试题一、选择题（3′×6=18′）1、如果22002+=+b a ，22002-=-b a ，|b 3+C 3|=b 3-C 3那么a 3b 3-C 3为（ ）A 、20022002B 、2001C 、1D 、02、△ABC 三边BC 、CA 、AB 的长分别是a 、b 、c ，这三边的高依次为ha 、hb 、hc ，若a ≤ha ，b ≤ha ，则这个三角形为（ ） A 、等边三角形 B 、等腰非直角三角形 C 、直角非等腰三角形 D 、等腰直角三角形3、如图（1），已知边长为a 的正方形ABCD ，E 为AD 的中点，P 为CE 的中点，F 为BP 的中点，则△BFD 的面积为（ ） A 、2641a B 、2321a C 、2161aD 、281a（1） （2） （3） （4）4、如图（2），在直角梯形ABCD 中，底AB=13，CD=8，AD ⊥AB ，AD=12，则A 到BC 的距离为（ ） A 、12B 、13C 、132112⨯ D 、10.55、若关于x 的方程012122=-+-mx ）x m （的所有根都是比1小的正数，则实数m 为（ ）A 、m ＞0B 、m ＞2C 、1＜m ＜2D 、m ＞2或m=16、若关于x 的方程||x-2|-1|= a 有三个整数解，则a 的值是（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3二、填空题（3′×6=18′）1、设9)4)(1(22=++++y y x x ，则=+++1422x y y x _________2、已知x 、m 、n 为正整数，m+ n= 5，x 2+ m 与| x 2-n|均为质数，则x 的可能取值为________D C A BA C DB E 2 1 A B D3、若实数x 、y 满足163433333=+++y x ，165453333=+++yx 则x+y=__________4、设x 、y 、z 为正数，且xyz （x + y + z ）= 4,则（x+y ）（y+z ）的最小值为_________5、如图（3），四边形ABCD 中，△EDC 是由△ABC 绕顶点C 旋转40°所得，顶点A 恰好转到AB 上一点E 的位置，则∠1+∠2=________度6、如图（4）：在△ABC 中，AB=5，AC=13，边BC 上的中线AD= 6，则BC 的长是______三、解答题：（1- 4题各10分，5-6题各12分）1、试将实数)71)(51(211+++改写成二个正整数的算术根之和。
2015年黄冈中学提前录取数学模拟试题(7)
2015年黄冈中学提前录取数学模拟试题(7)2015.3.20时间120分钟，满分120分一、选择题(本大题共8小题,每小题4分,共32分．每小题恰有一个正确的答案,请将正确答案的代号填入题中相应的括号内 1、计算23201012222+++++的结果是（ ）A ．201121- B ．201121+ C ．20111(21)2- D ．20111(21)2+ 2、如图，⊙O 过点B 、C ，圆心O 在等腰R t △ABC 的内部，90BAC ︒∠=，OA 1=，BC 6=.则⊙O 的半径为（ ）. A. 6 B. 13 C.D.3、如图，表示阴影区域的不等式组为（ ）.2x+.y ≥5， 2x + y ≤5， 2x +.y ≥5， 2x + y ≤5， (A ) 3x + 4y ≥9， (B ) 3x + 4y ≤9， (C ) 3x + 4y ≥9， (D ) 3x + 4y ≤9， y ≥0 y ≥0 x ≥0 x ≥04、已知点P ）,这里a 、b 都是有理数，PA 、PB 分别是点P 到x 轴和y 轴的垂线段，且矩形OAPB 那么，点P 可能出现在的象限有（ ）. (A)1个(B)2个(C)3个(D)4个5、已知AC ⊥BC 于C ，BC =a ，CA =b ，AB =c ，下列选项中⊙O 的半径为ba ab+的是（ ）. 6、如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为（ ） A 1 B C 5 D ．527、点C 是半径为1的半圆弧AB 的一个三等分点，分别以弦AC 、BC 为直径向外侧作2个半圆，点D 、E 也分别是2半圆弧的三等分点，再分别以弦AD 、DC 、CE 、BE 为直径向外侧作4个半圆。
全国重点高中黄冈中学2015年自主招生(理科实验班)预录考试数学模拟试题(5)
2015年黄冈高中预录模拟题数学试题一、选择题(每小题5分．共2 5分) 1．已知a 是正数且a-a 2=1．则224aa −等于 ( ) A ．3 B ．5 C ．-3 D ．12．已知周长小于l5的三角形的三边长都是质数，且其中一边的长为3。
这样的三角形有( ) A ．4个 B ．5个 C ．6个 D ．7个3．若ab≠1，且有5a 2+2003a+9=0及9b 2+2003b+5=0.则a/b 的是值是 ( ) A ．9/5 B ．5/9 C.-2003/5 D ．-2003/94．如图．分别延长△AB C 的三边AB 、BC 、CA 至A’，B’，C'使得AA’=3AB ，BB’=3BC ，CC’=3AC ．若S △ABC =l 。
则S △A'B'C'等于 ( ) A ．18 B ．19 C ．2 4 D ．2 75．某家电公司销售某种型号的彩电，一月份销售每部彩电的利润是售价的2 5%，二月份每部彩电的售价调低l O ％．而进价不变．销售件数比一月份增加80％，那么该公司二月份销售彩电的利润总额比一月份利润总额增长 ( )A ．2％B ．8％C ．4 O ．5％D ．6 2％ 二、填空题(每小题5分。
共2 5分)6．已知a 2+b 2+c 2-2a+4b-6c+l4=0，则(a+b+c)2= ．7．如图，△ABC 中，AB=AC ．D 在A B 上．E 在AC 的延长线上．BD=3CE ．DE 交BC 于F ．则DF ：FE= ．8．已知︵AB 为⊙O的圆周的1/6，弦AB=2,则从︵AB 的中点到弦AB 的中点的距离为 ．9．已知a,b 为整数．且x 2-ax+3-b=0有两个不相等的实数根x 2+(6-a)x+7-b=0有两个相等的实数根．x 2+(4-a)x+5-b=0没有实数根，则a+b= ．10．如图．AB ，AC 别是⊙O 的切线和割线．且∠C=45°．∠BDA=60°，CD=6 ．则切线A B 的长是 ． 三、解答题(共5 0分)11．(8分)当a 为何值时．关于x 的方程21212−+=−+−++x x ax x x x 的根为正数?12．(8分)如图。
全国重点高中黄冈中学2015年自主招生(理科实验班)预录考试理化模拟试题
2015年黄冈中学自主招生模拟考试理化综合试题（满分：130分 考试时间：120分钟）友情提示：请将答案填写在答题卷中，写在试卷上不得分。
第一部分 物理试题（共60分）一、单项选择题（每小题2分，共20分） 1.下列光学现象及其解释正确的是（ ） A ．图a 中，漫反射的光线杂乱无章，因此不遵循光的反射定律 B ．图b 中，木工师傅观察木板是否光滑平整利用了光的直线传播性质 C ．图c 表示近视眼的成像情况，应该佩戴凹透镜来校正 D ．图d 表示太阳光经过三棱镜色散后的色光的排列情况2.如图所示，甲、乙、丙三种固体质量相等，在加热过程中，相同时间内吸收的热量相等，从其 温度随时间的变化图像可以判断（ ） A ．甲、丙是非晶体，乙是晶体 B.乙是非晶体，甲的熔点比丙低C.甲、乙、丙三种固体的比热容中甲的最大 D ．甲、丙是晶体，乙是非晶体3.A 、B 两车的质量相等，它们行驶过程中的路程与时间图像如图所示，则下 列说法中正确的是（ ）A ．在行驶过程中，两车的动能始终相等B ．在行驶过程中，A 、B 两车都受到平衡力的作用C ．若它们在同一平直公路上向东行驶，以B 为参照物，则A 车向西行驶D ．若两车行驶过程中受到的阻力相等，则A 、B 两车的功率之比为4：94.下图是有关电与磁实验的装置图，其中用来研究磁场对电流作用的是（ ）5.如图所示，将同一物体分别沿光滑的斜面AB 、AC 以相同的速度从底部匀速拉到顶点A ，已知AB>AC ，施加的力分别为F 1、F 2，拉力做的功分别为W 1、W 2，拉力做功的功率分别为P 1、P2a b c d太阳光紫红则下列判断正确的是（）A．F1<F2, W1=W2, P1<P2B．F1>F2, W1>W2, P1>P2C．F1<F2, W1<W2, P1<P2D．F1<F2, W1=W2, P1>P26．在如图所示的电路中，向左移动滑动变阻器的滑片P，则电流表的示数I与电压表的示数U的变化情况是（）A．I变小，U不变B．I变大，U不变C．I变大，U变小D．I变大，U变大7．一未装满橙汁的密闭杯子，先正立放在桌面上，然后反过来倒立在桌面上，在两次放置的情况中，橙汁对杯底的压强分别为P A、P B，压力分别为F A、F B，则（）A．F A=F B P A=P B B．F A>F B P A>P BC．F A>F B P A<P B D．F A<F B P A>P B8．小张同学家的浴室新安装了一台可供冬季取暖和照明的浴霸。
全国重点高中黄冈中学2015年自主招生(理科实验班)预录考试数学模拟试题(A卷)(附答案)
黄冈中学2015年自主招生（理科实验班）预录考试数学模拟试题（A 卷）时间120分钟，满分120分一、选择题（每小题5分，共30分）1．已知0201252=--x x ，则代数式211223-+---x )(x )(x 的值是（ ）A ．2013B ．2015C ．2016D ．20172．已知20121982198119801++++=S ，则S 的的整数部分是（ ）A ．59B ．60C ．61D ．633．已知四边形ABCD ，下列条件：①AB ∥CD ；②BC ∥AD ；③AB=CD ；④BC=AD ；⑤∠A= ∠C ；⑥∠B=∠D. 任取其中两个，可以得出“四边形ABCD 是平行四边形”的概率是（ ） A ．32B ．43 C ．53 D ．157 4．如图，矩形ABCD 的长为6，宽为3，点O 1为矩形的中心，⊙O 2的半径为1，O 1O 2⊥AB 于点P ，O 1O 2=6．若⊙O 2绕点P 按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O 2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现（ ） A ．3次 B ．4次 C ．5次 D ．6次 5．如图，ABCD 是正方形场地，点E 在DC 的延长线上，AE 与BC 相交于点F ．有甲、乙、丙三名同学同时从点A 出发，甲沿着A ﹣B ﹣F ﹣C 的路径行走至C ，乙沿着A ﹣F ﹣E ﹣C ﹣D 的路径行走至D ，丙沿着A ﹣F ﹣C ﹣D 的路径行走至D ．若三名同学行走的速度都相同，则他们到达各自的目的地的先后顺序（由先至后）是（ ）A ．甲乙丙B ．甲丙乙C ．乙丙甲D ．丙甲乙 6．已知AD ∥BC ，AB ⊥AD ，点E ，点F 分别在射线AD ，射线BC 上．若点E 与点B 关于AC 对称，点E 与点F 关于BD 对 称，AC 与BD 相交于点G ，则（ ） A ． 1+tan ∠ADB = B ．2BC =5CF C ．∠AEB +22°=∠DEF D ．4cos ∠AGB =二、填空题（每小题5分，共30分）7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =2，以BC 为直径的半圆交 AB 于D ，P 是上的一个动点，连接AP ，则AP 的最小值是 .8．如图，边长为n 的正方形OABC 的边OA ，OC 在坐标轴上，点A 1， A 2…A n ﹣1为OA 的n 等分点，点B 1，B 2…B n ﹣1为CB 的n 等分点， 连结A 1B 1，A 2B 2，…A n ﹣1B n ﹣1，分别交曲线y=（x ＞0）于点C 1，C 2，…，C n ﹣1．若C 15B 15=16C 15A 15，则n 的值为 ． （n 为正整数）9．设下列三个一元二次方程：,a x )a (x ，a ax x 0110344222=++-+=+-+03222=+-+a ax x ，其中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是 .10.已知圆O 外一点P ，P 到圆心O 的距离是半径的2倍，过点P 作圆O 的切线PA 、PB ，延长AO 交PB 于E ，OP 交圆于点C ，连接AC 交 PB 于D ，圆O 的半径是3，则△PCD 的面积是 . 11.正整数a ，b ，c ，d 满足a>b>c>d ，且⎩⎨⎧=-+-=+++201020102222d c b a d c b a ，那么a 的可能值共有 个.三、解答题（共60分）12.（10分）计算：110099110099132132121121224422442244-+++++-++++-+++ .13.（10分）已知在△ABC 中，AD 、BE 、CF 相交于点P ，且2013=⋅PF CP PD AP ，求PFCPPE BP PD AP ++ 的值.14.（10分）在“全民阅读”活动中，某中学社团“精一读书社”对全校学生的人数及纸质图书阅读量（单位：本）进行了调查，2012年全校有1000名学生，2013年全校学生人数比2012年增加10%，2014年全校学生人数比2013年增加100人． （1）求2014年全校学生人数；（2）2013年全校学生人均阅读量比2012年多1本，阅读总量比2012年增加1700本（注：阅读总量=人均阅读量×人数）①求2012年全校学生人均阅读量；②2012年读书社人均阅读量是全校学生人均阅读量的2.5倍，如果2012年、2014年这两年读书社人均阅读量都比前一年增长一个相同的百分数a，2014年全校学生人均阅读量比2012年增加的百分数也是a，那么2014年读书社全部80名成员的阅读总量将达到全校学生阅读总量的25%，求a的值．15.（15分）木匠黄师傅用长AB=3，宽BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了四种方案：方案一：直接锯一个半径最大的圆；方案二：圆心O1、O2分别在CD、AB上，半径分别是O1C、O2A，锯两个外切的半圆拼成一个圆；方案三：沿对角线AC将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆；方案四：锯一块小矩形BCEF拼到矩形AFED下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆．（1）写出方案一中圆的半径；（2）通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？（3）在方案四中，设CE=x（0＜x＜1），圆的半径为y．①求y关于x的函数解析式；②当x取何值时圆的半径最大，最大半径为多少？并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大．16.（15分）如图1，矩形OABC顶点B的坐标为（8，3），定点D的坐标为（12，0），动点P 从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，动点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动，PQ两点同时运动，相遇时停止．在运动过程中，以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR．设运动时间为t秒．（1）当t=时，△PQR的边QR经过点B；（2）设△PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式；（3）如图2，过定点E（5，0）作EF⊥BC，垂足为F，当△PQR的顶点R落在矩形OABC的内部时，过点R作x轴、y轴的平行线，分别交EF、BC于点M、N，若∠MAN=45°，求t的值．参考答案：1.A 2.B 3.C 4.B 5.B 6.A 7.15- 8.17 9. 2321-≤≥a a 或 10. 833 11.50114.解：（1）由题意，得2013年全校学生人数为：1000×（1+10%）=1100人， ∴2014年全校学生人数为：1100+100=1200人；（2）①设2012人均阅读量为x 本，则2013年的人均阅读量为（x+1）本，由题意，得 1100（x+1）=1000x+1700，解得：x=6． 答：2012年全校学生人均阅读量为6本； ②由题意，得2012年读书社的人均读书量为：2.5×6=15本，2014年读书社人均读书量为15（1+a ）2本， 2014年全校学生的读书量为6（1+a ）本， 80×15（1+a ）2=1200×6（1+a ）×25%2（1+a ）2=3（1+a ），∴a 1=﹣1（舍去），a 2=0.5．（2）如图1，方案二中连接O1，O2，过O1作O1E⊥AB于E，方案三中，过点O分别作AB，BF的垂线，交于M，N，此时M，N恰为⊙O与AB，BF的切点．方案二：设半径为r，在Rt△O1O2E中，∵O1O2=2r，O1E=BC=2，O2E=AB﹣AO1﹣CO2=3﹣2r，∴（2r）2=22+（3﹣2r）2，解得r=．方案三：设半径为r，在△AOM和△OFN中，，∴△AOM∽△OFN，∴，∴，解得r=．比较知，方案三半径较大．（3）方案四：①∵EC=x，∴新拼图形水平方向跨度为3﹣x，竖直方向跨度为2+x．类似（1），所截出圆的直径最大为3﹣x或2+x较小的．1．当3﹣x＜2+x时，即当x＞时，r=（3﹣x）；2．当3﹣x=2+x时，即当x=时，r=（3﹣）=；3．当3﹣x＞2+x时，即当x＜时，r=（2+x）．②当x＞时，r=（3﹣x）＜（3﹣）=；当x=时，r=（3﹣）=；当x＜时，r=（2+x）＜（2+）=，=时，最大为．＜＜＜，设PR交BC于点G，过点PS=S矩形OABC﹣S梯形OPGC=8×（3=设PR交BC于点G，RQ交过点P作PH⊥BC于点H，则（（t2设RQ与AB交于点T，则AT=AQ=4PR=RQ=（AQT=AQ2=（（2=设EM=m，BN=n，则FM=3﹣m，FN=3PQ=QS=PQ=（﹣或﹣t=2。
全国重点高中黄冈中学2015年自主招生(理科实验班)预录考试数学模拟试题(7)
12． （本题满分 10 分） 如图，△ABC 是等边三角形，△BDC 是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，M 是 AB 延长线上一点，N 是 CA 延长线上一点，且∠MDN=60°．试探究 BM、MN、CN 之间的数量关系，并给出 证明．
腰 DC 绕点
N
1 a
= 5 ，则 a −
2
1 ＝＿＿＿． a
4．关于 x 满足 （
3x − 1 7 5 + 2x ，且︱x－3︱－︱x＋2︱的最大值为 p，最小值为 q, 则 pq 的值是 − ≥ x− 2 3 3
） A．6 B．5 C．－5 D．－1 5. 如图，直角梯形 ABCD 中，AD//BC，AB ⊥ BC，AD=3，BC=5，将 D 的逆时针方向旋转 90°至 DE， 连结 AE， 则 ∆ ADE 的面积是 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二.填空题 （每小题 5 分，共 25 分) 6．已知 a −
14． （本题满分 10 分）如图，PQ=10，以 PQ 为直径的圆与一个以 20 为半径的⊙O 内切于点 P，与正方形 ABCD 切于点 Q，其中 A、B 两点在⊙O 上．若 AB= m + n ，其中 m、n 是整数，求 m + n 的值．
D P
• Q O
C
A
B
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数学试题参考答案和评分标准
9． 如图， “L”形纸片由六个边长为 1 的小正方形组成，过 A 点切一刀，刀痕是线段 EF．若阴影部分面 积是纸片面积的一半，则 EF 的长为＿＿＿． ： 10．规定任意两个实数对（a, b）和（c, d） ：当且仅当 a＝c 且 b＝d 时， （a, b）＝（c, d） ．定义运算“ ⊗ ” （a, b） ⊗ （c, d）＝（ac－bd, ad＋bc） ．若（1, 2） ⊗ （p, q）＝（5, 0） ，则 p+q＝＿＿＿ ． 三.解答题 （共 50 分) 11.（本题满分 8 分） 利用图形面积可以解释代数恒等式的正确性，也可以解释不等式的正确性． （1）根据下列所示图形写出一个代数恒等式； （2）已知正数 a、b、c 和 m、n、 l ，满足 a + m = b + n = c + l = k ．试构造边长为 k 的正方形，利用图形 面积来说明 al + bm + cn < k ．
2015年湖北省黄冈中学提前录取数学模拟试卷(7)
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分．每小题恰有一个正确的 答案，请将正确答案的代号填入题中相应的括号内 1． （4 分）计算 1+2+22+23+…+22010 的结果是（
1 A．22011﹣1 B．22011+1 C． (22011 − 1) 2
A． 2+1
5 2 7． （4 分）点 C 是半径为 1 的半圆弧 AB 的一个三等分点，分别以弦 AC、BC 为直
B． 5 C．Βιβλιοθήκη 145D．5
径向外侧作 2 个半圆，点 D、E 也分别是 2 半圆弧的三等分点，再分别以弦 AD、 DC、CE、BE 为直径向外侧作 4 个半圆．则图中阴影部分（4 个新月牙形）的面 积和是（ ）
A．6
B．13 C． 13 D．2 13
【解答】解：过点 A 作等腰直角三角形 BC 边上的高 AD，垂足为 D， 所以点 D 也为 BC 的中点． 根据垂径定理可知 OD 垂直于 BC．所以点 A、O、D 共线． ∵⊙O 过 B、C， ∴O 在 BC 的垂直平分线上， ∵AB=AC，圆心 O 在等腰 Rt△ABC 的内部， ∴AD⊥BC，BD=DC=3，AO 平分∠BAC， ∵∠BAC=90°， ∴∠ADB=90°，∠BAD=45°， ∴∠BAD=∠ABD=45°，
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1 9． （4 分）若 x− ������ = 4，则
= ． ������ 4 +������ 2 +1 ������������ +1 10． （4 分） 若关于 x 的方程 − 1 = 0的解为正数， 则 a 的取值范围是 ������−1 按此规律进行下去，则 a1+a2+a3+…+a100= ．
2015年黄冈中学提前录取数学模拟试题(2)
2015年黄冈中学提前录取数学模拟试题(2)2015.3.20（总分：120分 考试时间：120分钟）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。
四个选项中只有一项是正确的）1、由四个相同的小正方体搭建了一个积木，它的三视图如图所示，则这个积木可能是（ ）A B C D2、黄冈市地处湖北省东部，大别山南麓，长江北岸，下辖一区七县两市，总人口740万人，人口总数用科学记数法表示为（ ）A 、70.4×105人 B 、7.4×106人 C 、7.4×105人 D 、7.4×104人 3、已知一元二次方程x 2-4x+3=0两根为x 1、x 2，则x 1·x 2=（ ） A 、4B 、3C 、-4D 、-34、下列四个点中，有三个点同在反比例函数y=xk的图象上，则不在这个函数图象上的点是（ ） A 、（5，1） B 、（-3，-35）C 、（35，3）D 、（-1，5）5、如图，直径AB 为6的半圆，绕A 点逆时针旋转60°，此时点B到了点B ’，则图中阴影部分的面积是（ ） A 、3πB 、6πC 、5πD 、4π6、已知函数y=31++-x x 的最大值为M ，最小值为m ，则Mm的值为（ ） A 、41 B 、21 C 、22 D 、23 7、在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线L 是函数y=-3x 的图象，点A 的坐标为（1，0），在直线L 上找一个点N ，使△ONA 是等腰三角形，则符合条件的点N 的个数是（ ） A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个8、警方抓获一个由甲、乙、丙、丁四人组成的盗窃团伙，其中有一人是主谋，经过审讯，A 、B 、C 三名警察各自得出结论，A ：主谋只有可能是甲或乙；B ：甲不可能是主谋；C ：乙和丙都不可能是主谋。
已知三名警察中只有一人推测正确，则主谋是（ ） A 、甲B 、乙C 、丙D 、丁9、团结号列车上午7：45从甲地出发开往乙地，胜利号列车上午8：15从乙地出发开往甲地。
全国重点高中黄冈中学2015年自主招生理科实验班预录考试物理模拟试题五
黄冈中学2015年自主招生预录考试物理模拟试题（考试时间90分钟满分100分）一、选择题（3'×10＝30'）1、用一测量仪测某物理量，下表是某同学的测量记录，若用此仪器去测量一个5.00单位已知物理量时，此仪表示数是（）A、10.00B、12.5C、13.0D、16.52、如图所示，甲、乙两车都沿斜面向上运动，两车顶都有线吊一小球，当小球在图示位置相对车处于静止状态，甲细线是竖直的，乙细线与斜面垂直。
则可判断（A、两车都做匀速直线运动B、两车都做加速运动C、只乙车做匀速直线运动D、乙车做减速运动3、丽丽在商场中经过挑选买得自己感到非常满意的上衣，回家穿时，发现衣服的颜色发生了变化而对衣服感到不满意。
造成这种现象主要原因是（）A、衣服具有变色功能B、商场和家中空气湿度不同C、商场和家中光照角度不同D、商场和家中照明光源不同4、如图示，物a、b、c叠放水平桌面上，水平力F b＝10N，F c＝15N，若a、b、c一起向右匀速直线运动，ab、bc、c与桌面间摩擦力分别为f1、f2、f3，则（）A、f1＝5N,f2＝0N,f3＝5NB、f1＝5N,f2＝10N,f3＝0NC、f1＝0N,f2＝10N,f3＝5ND、f1＝0N,f2＝10N,f3＝15N5、如图所示电路，R1＝10Ω,R2是变阻器，其最大值是22Ω，L是“8V、8W”小灯泡，电源电压U ＝8V，则小灯泡功率变化范围是（）A、0~8WB、1~8WC、2~8WD、0~2W6、下列说法错误的是（）A、洒水降温是利用水的物态发生变化时要吸热的原理B、用煤气做饭时，贮气的钢瓶的温度会有所下降C、某天某同学发现家中关闭的玻璃窗的外侧玻璃上“产生”了大量的水珠，由此可判断当时室外温度低于室内温度D、冬晨发现井口冒“白气”，产生此现象是由于水发生汽化和液化7、把三个相同磁环套在竖直在水平桌面上的一个无摩擦的玻璃直棒上，静止时三磁环所处状态可能是（①②③④⑤A、①②B、②③④C、③④⑤D、①④⑤8、质量为m的物体受到拉力F的作用，在水平物面上向右做匀速直线运动，其受到拉力F的示意图可6 4 20 2 4 6 8 10 12U/VI/AFA 、甲、乙B 、乙、丙C 、甲、丙D 、甲、乙、丙 甲 乙 丙 9、如图所示电路，闭合电路后，若R1断路，则引 起电路发生变化的说法不正确的是（ ）A 、○A 变小，L 1变亮B 、L 1、L 2都变暗C 、○A 变大，L 1、L 2都变亮D 、L 1、L 2亮度不变 10、如图示，用相同细线将相同二金属球吊于天花板上， 某人对C 线施加竖直向下拉力F ，则下列说法不正确的是（ ）A 、当F 增大，将线拉断，则一定是a 先被拉断B 、当F 逐渐增大将线拉断，则一定是a 线先断C 、当F 突然增大将线拉断，则一定是c 线先断D 、当F 突然增大时，各线张力增大量是△F a ＜△F b ＜△F c二、填空（4'×5＝20'） 11、如图所示，设水平木棒在圆木32高处在圆木推力作用下水平向前运动。
2015年黄冈中学理科实验班自主招生预录数学模拟试题A卷
黄冈中学2015年自主招生模拟考试数学模拟试题A 卷时间120分钟 分数100分一、选择题（请把唯一答案的序号填在题后的括号内，每小题5分，共25分）1、已知a 、b 是实数，2022++=b a x ，)2(4a b y −=，则x 、y 的大小关系是（ ）A. x ≤yB. x ≥yC. x ＜yD. x ＞y2、在△ABC 中，∠A=30°，AB=4，BC=334，则∠B 为（ ） A. 30°B. 90°C. 30°或60°D. 30°或90°3、如图1，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC 、CD 运动至点D 停止，设点P 运动的路程为x, △ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则BD 的长是（ ）A.13B.29C.4、已知a 2+4a+1=0，且32212324=+++−ama a ma a ，则m 的值为（ ）A.219B.219−C.19D.-195、如图3，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=30°，∠C=60°， E 、F 、M 、N 分别为AB 、CD 、BC 、DA 的中点，若BC=7， MN=3，则EF 为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（每小题5分，共25分）6、若02722=+−x x ，则2424x x −=__________ 7、如图4，正方形ABCD 边长为1，动点P 从A 点出发，沿正方形的边接逆时针方向运动，当它的路程为2013时， 点P 所在的位置为_________；当点P 在D 点时，点P 运动的路程为__________（用含自然数n 的式子表示）。
8、如图5，将两张长为8，宽为2是_______形，其周长的最小值为______，最大值为_______。
9、已知51=−aa ，则aa 1−=__________ 10、如图6所示，点A 、C 都在函数)0(2>=x xy 的图象上， 点B 、D 都在x 轴上，且△OAB 、△BCD 都是等腰直角三角形， 则点D 的坐标为__________。
湖北省黄冈中学高考数学模拟测试题(理科)5
湖北省黄冈中学高考数学模拟测试题（理科）5本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，用时120分钟．第Ⅰ卷（选择题，满分50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确的代号填在指定位置上） 1．已知函数y ＝f(x) (x ∈R)满足f(x ＋3)＝f(x ＋1)，且x ∈[－1,1]时，f(x)＝|x|，则y ＝f(x)与y ＝log 5x 的图象交点的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 2．已知△ABC 中，若＝·＋·＋·，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形3．已知定义在R 上的函数f(x)的图象关于点(－34,0)对称，且满足f(x)＝－f(x ＋32)，f(－1)＝1，f(0)＝－2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2005)的值为( )A ．－2B ．－1C ．0D ．14．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 1＝1，点(n,s n )在曲线C 上，C 和直线x －y ＋1＝0交于A 、B 两点，且|AB|＝6，则此数列的通项公式为( )A ．a n ＝2n －1B ．a n ＝3n －2C ．a n ＝4n －3D ．a n ＝5n －4 5．做一个面积为1m 2，形状为直角三角形的铁架框，用下列四种长度的铁管，最合理(够用，且浪费最少)的是( )A ．4.6mB ．4.8mC ．5mD ．5.2m6．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{－1,0,1}，满足条件f(3)＝f(1)＋f(2)的映射f ：A →B 的个数是( )A ．7B ．6C ．4D ．2 7．若不等式4≤3sin 2x －cos 2x ＋4cosx ＋a 2≤20对一切x 都成立，则a 的取值范围是( ) A ．[―5,―3]∪[3,5] B ．[－4,4] C ．[－3,3] D ．[―4,―3]∪[3,4]8．正三棱锥的侧棱长为m ，底面边长为a ，则ma 的取值范围是( ) A ．[36,＋∞)B ．(36,＋∞)C ．[33,＋∞)D ．(33,＋∞)9．若复数Z ＋i 在映射f 下的象为·i ，则－1＋2i 的原象为( ) A ．2 B ．2－i C ．－2＋i D ．－1＋3i 10．一同学投篮的命中率为23，他连续投篮3次，其中恰有2次命中的概率为( ) A ．23 B ．427C ．29D ．49第Ⅱ卷（非选择题，共计100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把正确的答案填在指定位置上） 11．定义非空集合A 的真子集的真子集为A 的“孙集”，则集合{1,3,5,7,9}的“孙集”的个数有＿＿＿＿＿个．12．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n ―1)a n ―1 (n ≥2)．则其通项a n＝＿＿＿＿＿＿＿＿13．已知函数f(x)＝Log 12(x 2―ax ―a)的值域为R ，且f(x)在(1＋3,＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是＿＿＿＿＿14．有两个向量＝(1,0)，＝(0,1)，今有动点P ，从P 0(－1,2)开始沿着与向量＋相同的方向作匀速直线运动，速度为|＋|，另一动点Q ，从Q 0(―2,―1)开始沿着与向量3＋2相同的方向作匀速直线运动，速度为|3＋2|，设P 、Q 在时刻t ＝0时分别在P 0、Q 0处，则当⊥时，t ＝＿＿＿＿＿＿秒．15．已知二项式(tan θx －x)6展开式中不含x 的项为160，则tan θ值为 A ．2B ．－2C ．43D ．－43三．解答题（本大题共6个小题，共75分）．16．解关于x 的不等式：ax 2ax －1＞x (a ∈R)．17．已知等差数列{a n }的前9项和为153．(1)数列{a n }中是否存在确定的项？若存在，求出该项，若不存在，说明理由； (2)若a 2＝8，b n ＝2a n ，求数列{b n }的前n 项积T n ；(3)若从(2)中定义的{a n }中，依次取出第二项、第四项、第八项，……，第2n 项，按原顺序组成一新数列{C n }，求{C n }的前n 项和S n ．18．已知A(－2,0)，B(2,0)，点C 、D 满足||＝2，＝12(＋)．(1)求点D 的轨迹方程；(2)过点A 作直线L 交以A 、B 为焦点的椭圆于M 、N 两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为45，且直线L 与点D 的轨迹相切，求该椭圆的方程．19．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝3，AB ＝6，E 、F 分别为AB 和A 1D 的中点．(1)求证：AF ∥平面A 1EC ；(2)求A 1C 与底面ABCD 所成角的正切值；A 1A BB 1D 1CC 1EMDFO(3)求二面角A 1―EC ―D 的正切值．20．某投资公司计划投资A 、B 两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资量成正比例，其关系如图1，B 产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图2，(注：利润与投资量单位：万元)(1)分别将A 、B 两产品的利润表示为投资量的函数关系式；(2)该公司已有10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？21．在直角坐标平面中，已知点p 1(1,2)，p 2(2,22)，p 3(3,23)，…，p n (n,2n )，其中n ∈N ＋，对平面上任一点A 0，记A 1为A 0关于点P 1的对称点，A 2为A 1关于P 2的对称点，…，A n 为A n －1关于点P n 的对称点．(1)求向量的坐标；(2)当点A 0在曲线C 上移动时，点A 2的轨迹是函数y ＝f(x)的图象，其中f(x)是以3为周期的周期函数，且当x ∈(0,3]时，f(x)＝Lgx ，求以曲线C 为图象的函数在(1,4]上的解析式；(3)对任意偶数n ，用n 表示向量的坐标．黄冈中学高考数学模拟测试题（理科）5参考答案1．B 2．C3．D 解：点(x ，y)关于(－34，0)对称点为(－32－x ，－y)，∴－y ＝f(－32－x)＝－f(－x)． 即f(－x)＝f(x)，f(x)偶，∴f(1)＝f(－1)＝1，又f(x)＝－f(x ＋32)＝f(x ＋3)，∴T ＝3，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2005)＝668·[f(1)＋f(2)＋f(3)]＋f(1)＝668·[1＋1－2]＋1＝1．4．C 解：令y ＝d 2n 2＋(1－d 2)n ＝n ＋1⇒n 2－n －2d ＝0，|AB|＝2|n 1－n 2|＝2·1＋8d＝6．∴d ＝4，故a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝4n －3． 5．C6．A 解：f(3)＝f(1)＋f(2)－1 ⎩⎨⎧－10⎩⎨⎧0－10 ⎩⎪⎨⎪⎧0－11⎩⎪⎨⎪⎧01－1共7个 1 ⎩⎨⎧01 ⎩⎨⎧17．D 解：⇒4(cosx －12)2≤a 2≤4(cos －12)2＋16⇒9≤a 2≤16．8．D 解：设侧面顶角为θ，则3θ＜360°，θ2＜60°，sin θ2＝a2m ＜32⇒m a ＞33． 9．A 解：·i ＝－1＋2i ＝i(2＋i)，∴z ＝2－i ，∴z ＋i ＝2． 10．D 解：P ＝C 23·(23)2·(1－23)＝49．11．26 解：φ，单元数集5个．2元素集C 25＝10个，3元素集＝C 35＝10个，共26个． 12．⎩⎪⎨⎪⎧1，(n ＝1) 12n ，(n ≥2) 解：a n ＋1－a n ＝na n ∴a n ＋1a n＝n ＋1(n ≥2)．又a 1＝1，a 2＝1．∴a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3…a na n －1＝1·1·3·4·5…n ＝n ！2(n ≥2)13．(―∞,―4]∪[0,2]解：令g(x)＝x 2―ax ―a ，则g(x)＝0有解⇒△≥0⇒a ≤－4或a ≥0且⎩⎪⎨⎪⎧g(1＋3)≥0 轴a 2≤1＋3 ⇒⎩⎨⎧a ≤2a ≤2＋23 ⇒a ≤2．14．2 解：＝t(＋)＝(t,t)，∴P(t －1,t ＋2)，＝t(3＋2)＝(3t,2t)，∴Q(3t ―2,2t ―1)．∴＝(―1,―3)．＝(2t ―1,t ―3)．当·＝0时，t ＝2． 15．－2;16．解：ax 2ax －1－x ＞0⇒ xax －1＞0⇒ x(ax －1)＞0a ＝0时，x ＜0a ＜0时，x(x －1a )＜0⇒1a ＜x ＜0 a ＞0时，x(x －1a )＞0⇒x ＜0或x ＞1a17．解：(1)存在。
湖北省黄冈中学2015届高三6月适应性考试理科数学试卷高考资料高考复习资料中考资料
绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试黄冈中学适应性考试数学（理工类）本试卷共6页，22题．全卷满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并上交．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数11z i，（其中i 为虚数单位），则||z （）A ．1BC ．2D ．02．某校在高三第一次模拟考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩近似服从正态分布，即2(100,)(0)X N a a ，试卷满分150分，统计结果显示数学考试成绩不及格（低于90分）的人数占总人数的110，则此次数学考试成绩在100分到110分之间的人数约为（）A ．400B ．500C ．600D ．8003．下列判断中正确的是（）A ．命题“若1a b ，则2212a b”是真命题B ．“12a b”是“114a b”的必要不充分条件C ．若非空集合,,A B C 满足A B C ，且B 不是A 的子集，则“x C ”是“x A ”的充分不必要条件D ．命题“2000,12x R x x ”的否定是“2,12x R x x ”4.已知数列 n a 的首项为11a ，且满足对任意的*n N ，都有12nn n a a 成立，则2015a （）A ．201421 B ．201521 C ．201521 D ．2016211C 2C 3C 1B 2B 3B 1P 2P 10P5.公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V ）与它的直径（D ）的立方成正比”，此即3V kD ，欧几里得未给出k 的值.17世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式3V kD 中的常数k 称为“立圆率”或“玉积率”.类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式3V kD 求体积（在等边圆柱中，D 表示底面圆的直径；在正方体中，D 表示棱长）.假设运用此体积公式求得球（直径为a ）、等边圆柱（底面圆的直径为a ）、正方体（棱长为a ）的“玉积率”分别为1k 、2k 、3k ，那么123::k k k （）A .111::46 B .::264C .2:3:2D .::1646.已知结论：“在ABC 中，各边和它所对角的正弦比相等，即sin sin sin a b cA B C”，若把该结论推广到空间，则有结论：“在三棱锥A BCD 中，侧棱AB 与平面ACD 、平面BCD 所成的角为 、 ，则有（）”A .sin sin BC ADB .sin sin AD BCC .sin sin BCD ACDS SD .sin sin ACD BCDS S7．把函数()sin ([0,2])f x x x 的图像向右平移3个单位后得到函数()g x 的图像，则()f x 与()g x 的图像所围成的面积为（）A ．1BC ．D ．28.设不等式组2210x y y表示的平面区域为M ，不等式组00x ty 表示的平面区域为N .在M 内随机取一个点，这个点在N 内的概率的最大值为（）A .2B .1C .4D .129．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边33B C 上有10个不同的点1210,,P P P ，记2(1,2,,10)i i m AB APi，则1210m m m的值为（）A .180B.C .45D .10．已知抛物线:C 24y x ，过定点(2,0)作垂直于x 轴的直线交抛物线于点M 、N ，若P 为抛物线C 上不同于M 、N 的任意一点，若直线PM 、PN 的斜率都存在并记为1k 、2k ，则1211||k k （）A .2B .1C.D.二、填空题：本大题共6个小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11—14题）11．二项式52x的展开式中的常数项为．12．如下图，如果执行程序框图，输入正整数5,3n m ，那么输出的p 等于．13．棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则yx 11 的最小值为．第12题图第13题图14．设定义域为R 的函数2|lg |,0()2,0x x f x x x x ，若关于x 的函数22[()]2()1y f x bf x 有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是．(二)选考题（请考生在第15、16两题中任选一题做答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号所在方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）21y x主视图俯视图左视图15．（选修4—1：几何证明选讲）如图,在圆O 中,直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF DB ，垂足为F ，若6AB ，1AE ，则DF DB ________．16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为sin cos 3y x ，（ 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为24)4sin(．设P 为曲线1C 上的动点，则点P 到2C 上点的距离的最小值为_________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本题满分12分）已知23sin cos 02f x x x x的最小正周期为T .（Ⅰ）求23f的值；（Ⅱ）在ABC 中，角A B C 、、所对应的边分别为a b c 、、，若有2cos cos a c B b C ，则求角B 的大小以及 f A 的取值范围.18.（本题满分12分）一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数12345A a a a a a ，其中A 的各位数字中11a ，(2,3,4,5)k a k 出现0的概率为13，(2,3,4,5)k a k 出现1的概率为23，记12345X a a a a a .当启动仪器一次时，（Ⅰ）求3X 的概率；（Ⅱ）求随机变量X 的分布列及X 的数学期望，并指出当X 为何值时，其概率最大.A19.（本题满分12分）如图，三角形ABC 和梯形ACEF 所在的平面互相垂直，AB BC ，//,2AF AC AF CE ，G 是线段BF 上一点，2AB AF BC .（Ⅰ）当GB GF 时，求证：//EG 平面ABC ；（Ⅱ）求二面角E BF A 的正弦值；（Ⅲ）是否存在点G 满足BF 平面AEG ？并说明理由.20.（本题满分12分）若数列 n x 满足：111n nd x x （d 为常数，*n N ），则称 n x 为调和数列.已知数列 n a 为调和数列，且11a ，123451111115a a a a a .（Ⅰ）求数列 n a 的通项n a ；（Ⅱ）数列2n n a的前n 项和为n S ，是否存在正整数n ，使得2015n S ？若存在，求出n 的取值集合；若不存在，请说明理由.21.（本题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b的左右焦点分别为12,F F，点B为短轴的一个端点，260OF B．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如图，过右焦点2F，且斜率为(0)k k的直线l与椭圆C相交于,D E两点，A为椭圆的右顶点，直线,AE AD分别交直线3x于点,M N，线段MN的中点为P，记直线2PF的斜率为k ．试问k k是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．22.（本题满分14分）定义：若()kf xx在[,)k 上为增函数，则称()f x为“k次比增函数”，其中k N，已知()axf x e.（其中 2.71238e ）（Ⅰ）若()f x是“1次比增函数”，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当12a 时，求函数()()f xg xx在[,1](0)m m m上的最小值；（Ⅲ）求证：72e.。
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A B C D
E
黄冈中学2015年自主招生预录考试
数学模拟试题
一、选择题（5’×5＝25’）
1、关于x 、y 的方程x 2+xy ＋y 2
－3x －3y ＋3＝0的实数解有（ ）组。
A 、0 B 、1 C 、2 D 、3
2、梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝1，BC ＝CD ＝3，分别过点A 、B 、C 作BC 、CD 、AB 的垂线，三线共点，则这个梯形的面积是（ ）
A 、5
22 B 、2
5
C 、4
5
3
D 、4
3、对于任意实数a 、b 作代数式M ＝a 2
＋ab ＋b 2
－a －b ＋2
1则M 的最小值为( )
A 、2
1 B 、3
1 C 、6
1 D 、0
4、若a 、b 为方程x 2
－6x ＋7＝0的两根，则ab
b a ++ ab +
ab
a b -- ab 的值为（ ）
A 、5
4
5
B 、7
6
7
C 、111110
D 、13
12
13
5、在凸五边形ABCDE 中，AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EA ，且∠CAD ＝∠BAC + ∠EAD ，则∠BAE 的度数为（ ）
A 、30°
B 、45°
C 、60°
D 、75°
二、填空（5’×5＝25’）
6、实数a 、b 、x 、y 满足y ＋|x －3|＝1－a 2,| x －3|
2
则2
x ＋y
＋2
a ＋b
＝_______
7、如图，△ADC 中，∠ADC ＝45°，DB ⊥AC 于B ， AB=2，BC=3，则S △ADC ＝_______
8、平面直角坐标系中，直线L ：y ＝-3
4x ＋4,分别是交x 轴、y 轴于点A 、B ，把直线L 绕点O 逆时针旋转90°,交y 轴于点A ’,交直线L 于点C ， 则△A ’BC 的面积为________
9、在矩形ABCD 中，AB ＝12，AD ＝3，E 、F 分别是 AB 、DC 上的点，则折线AFEC 长的最小值为__________
10、魔法六角星的每条直线边上的四个数字之和 都相等，图中的魔法六角星中的12个数都是质数，其
A
F
G
中所给出的5个数中包含了最大数和最小数，则图中的
A、B、C、D、E、F、G分别为_______________________
______________________
三、解答题
11、试确定一切有理数r，使得关于x的方程rx2＋(r＋2)x＋3r－2＝0有根且只有整数根(12分)
12、如图(1),已知△ABD和△ACE都是直角三角形,且∠ABD等于∠ACE等于90度,连结DE,设M是DE的中点
(1)求证:MB=MC；
(2)设∠BAD＝∠CAE,固定Rt△ABD,让Rt△ACE绕顶点A在平面内旋转到图②的位置，试问“MB=MC”是否还能成立？证明你的结论。
（12分）
13、（12分）为把产品打入国际市场，某企业决定从下面两个投资方案中选择一个进行投资生产。
方案一：生产甲产品，每件产品成本为a万美元（a为常数，且3＜a＜8），每件产品销售价为10万美元，每年最多可生产200件；
方案二：生产乙产品，每件产品成本为8万美元，每件产品销售价为18万美元，每年最多可生产120件。
另外，年销售x件乙产品时需上交0.05x2万美元的特别关税,在不考虑其它因素的情况下:
(1)分别写出该企业两个投资方案的年利润y1、y2与相应生产件数x（x为正整数）之间的函数式关系，并指出自变量的取值范围。
（2）如果你是企业决策者，为了获得最大收益，你会选择哪个投资方案？
14、如图，在直角梯形OABC中，OA∥BC，A、B两点的坐标分别为A（13，0）、B（11，12），动点P，Q分别从O、B两点同时出发，点P以每秒2个单位的速度沿OA向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC向点C运动，当点P停止运动时，点Q也同时停止运动，线段OB、PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交AB于点E，射线QE交x轴于点F。
动点P、Q运动的时间为t秒。
(1)当t为何值时，四边形PABQ是平行四边形？说明理由。
（2）当t＝3秒时，求△PQF面积
（3）当t为何值时，△PQF是等腰三角形？请写出推理过程。
（14分）。