高中数学新课标人教A版选修2-1 2-1-1 曲线与方程 课件(共20张PPT)
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高中数学人教A版选修2-1第二章2.3.1-1 双曲线及其标准方程课件(共16张PPT)
(第一课时)
一、知识回顾
椭圆的定义： 平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于
常数2a(2a>|F1F2|>0)的点的轨迹.
即|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|>0 ).
M
F1
F2
平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数的点的轨迹是什么呢？
二、新知探究
①如图(A)，
|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
M
F1
F2
三、双曲线的定义
如果定义中去掉“绝对值” 三个字会有什么影响？
表示双曲线的一支
如果把定义中的“差的绝对值”和 “常数”变为下列情况，轨迹是什么？
①2a = 2c：两条射线 ②2a > 2c: 不表示任何轨迹
F1 F2
③2a = 0: 线段F1F2的垂直平分线
F1 F2
四、双曲线的标准方程
∵焦点为 F1(5, 0), F2(5, 0)
∴可设所求方程为:
x2 a2
y2 b2
1
(a>0,b>0).
∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b2=52－32=16.
所以点 P 的轨迹方程为 x2 y2 1 . 9 16
五、精典例题
变式1 已知点 F1(-5,0)、F2(5,0), 点P满足|MF1| - |MF2|= 6, 求动点P的轨迹方程.
四、双曲线的标准方程
焦点在x轴上
y
M
F1 O
F2 x
焦点在y轴上
y M
F2 x
O
F1
四、双曲线的标准方程
双曲线的标准方程的特点：
y
M
F1 O F2 x
一、知识回顾
椭圆的定义： 平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于
常数2a(2a>|F1F2|>0)的点的轨迹.
即|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|>0 ).
M
F1
F2
平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数的点的轨迹是什么呢？
二、新知探究
①如图(A)，
|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
M
F1
F2
三、双曲线的定义
如果定义中去掉“绝对值” 三个字会有什么影响？
表示双曲线的一支
如果把定义中的“差的绝对值”和 “常数”变为下列情况，轨迹是什么？
①2a = 2c：两条射线 ②2a > 2c: 不表示任何轨迹
F1 F2
③2a = 0: 线段F1F2的垂直平分线
F1 F2
四、双曲线的标准方程
∵焦点为 F1(5, 0), F2(5, 0)
∴可设所求方程为:
x2 a2
y2 b2
1
(a>0,b>0).
∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b2=52－32=16.
所以点 P 的轨迹方程为 x2 y2 1 . 9 16
五、精典例题
变式1 已知点 F1(-5,0)、F2(5,0), 点P满足|MF1| - |MF2|= 6, 求动点P的轨迹方程.
四、双曲线的标准方程
焦点在x轴上
y
M
F1 O
F2 x
焦点在y轴上
y M
F2 x
O
F1
四、双曲线的标准方程
双曲线的标准方程的特点：
y
M
F1 O F2 x
人教版数学选修2-1：曲线方程课件求曲线方程的四种常用方法(共19张PPT)
二、参数法求曲线方程
例5 过点 P( 2 ,4) 作两条相互垂直的直线 l1, l2 ，若 l1 交 x 轴于点A，l2
交y 轴于点B，求线段AB的中点M的轨迹方程。
解析：设点M (x, y) 。
① 当直线 l1 的斜率垂直且不为0时，可设其方程为：y 4 k(x 2)
因为
l1 l2
建立适当的坐标系，求这条曲线的方程。
解析：如图：取直线 l 为轴，过点F且垂直于 直线 l 的直线为y轴，建立坐标系 xOy. 设点 M (x, y) 是曲线上任意一点，作MB x 轴
垂足为B，则M属于集合
P M || MF | | MB| 2 x2 (y 2)2 y 2 x2 (y 2)2 (y 2)2
③（四川卷）已知两定点 A(2,0), B(1,0) ,若动点P满足|PA|=2|PB|， 则点P的轨迹所围成的图形的面积等于（ ）
A B 4 C 8 D 9
二、直接法求曲线方程
例3 已知一条直线 l 和它上方的一个点F，点F到的距离是2.一条曲线 也 l 在的上方，它上面的每一点到F的距离减去到 l 的距离的差都是2，
二、相关点法求曲线方程
例4 在圆 x2 y2 4 上任取一点P，过点P作 x 轴的垂线段PD，D为垂
足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程。
解析：设 M (x, y), P(x0, y0 ),则x
x0 , y
y0 2
.
因为点P在圆上，所以 x02 y02 4 。
把 x0 x, y0 2x 带入上式得：x2 4 y2 4.
所以点M的轨迹方程是 x2 4y2 4. 。
相关点法—知识总结与练习
高中数学人教版选修2-1：2.1.1 曲线与方程(共16张PPT)
证明:(1)如图，设M(x0,y0 )是轨迹上的任意一点， 因为点M与x轴的距离为 y0 ,与y轴的距离为 x0 , 所以 x0·y0 = k,即(x0,y0 )是方程xy = ±k的解.
三、精典例题
(2)设点M1的坐标(x1,y1)是方程xy = ±k的解， 即x1y1 = ±k,即 x1·y1 = k. 而 x1 ,y1 正是点M1到纵轴、横轴的距离， 因此点M1到两条直线的距离的积是常数k, 点M1是曲线上的点.
2.证明已知曲线的方程的方法和步骤：
第一步：设 M (x0,y0)是曲线C上任一点，证明 (x0,y0)是f(x,y)=0的解.
第二步：设(x0,y0)是 f(x,y)=0的解，证明点 M (x0,y0)在曲线C上.
五、巩固提升
课堂练习 第37页练习第1、2题 课堂作业 第37页习题2.1A组第1、2题
由(1)、(2)可知，xy = ±k是与两条坐标轴的距离 的积为常数k(k > 0)的点的轨迹方程.
四、课堂小结
1.曲线与方程的概念：
如果满足下列两个条件： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么，这个方程叫做曲线的方程；
这条曲线叫做方程的曲线.
一、新知探究
1.在直角坐标系中,平分第一、三象限的直线
m的方程是__x_-y_=__0_.
2.①点M(1,1)在x-y=0的解吗？
y x-y=0 m
②(1,1)是方程x-y=0的解，则点M(1,1)在 直线m上吗？
M(1,1)3.①若点M(x0,y0)在直线m上，则点M的坐标
二、曲线的方程和方程的曲线的含义
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的 集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程 f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:
高中数学选修2-1人教A版：.1抛物线及其标准方程ppt课件
2 ． ———————————— y M
．
OF
x
四、点与抛物线的位置关系
y
F
.
o
x
五、抛物线定义的应用
1，求抛物线标准方程 2，涉及抛物线的最值问题
五、抛物线的通径、焦半径、焦点弦
1、通径：
y
通过焦点且垂直对称轴的直线，
P (x0, y0 )
与抛物线相交于两点，连接这 OF
x
两点的线段叫做抛物线的通径。
F
O
x
B (x2, y2)
焦点弦公式： ABx1x2p
焦点弦的性质
y 1、抛物线的焦点弦AB的长是否存
A
在最小值？若存在，其最小值为
多少？
O Fx B
垂直于对称轴的焦点弦最短，叫做抛 物线的通径，其长度为2p．
2、A、B两点的坐标是否存在相关关
系？若存在，其坐标之间的关系如
何？
yA
O Fx B
2
p 1
1 k2
p tan
d 2
1 tan 2
1 1 tan 2
S 2p 2
tan 2
p tan
2
p2
1 tan 2 2 sin
斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2 4x 的焦点 F , 且与抛物线相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.
解这题,你有什么方法呢?
法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大); 法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);
法三:活用定义,运用韦达定理,计算弦长.
法四:纯几何计算,这也是一种较好的思维.
解法1 F1(1 , 0), l的 方 程 为 ： yx1 yy2x4x1x26x10
．
OF
x
四、点与抛物线的位置关系
y
F
.
o
x
五、抛物线定义的应用
1，求抛物线标准方程 2，涉及抛物线的最值问题
五、抛物线的通径、焦半径、焦点弦
1、通径：
y
通过焦点且垂直对称轴的直线，
P (x0, y0 )
与抛物线相交于两点，连接这 OF
x
两点的线段叫做抛物线的通径。
F
O
x
B (x2, y2)
焦点弦公式： ABx1x2p
焦点弦的性质
y 1、抛物线的焦点弦AB的长是否存
A
在最小值？若存在，其最小值为
多少？
O Fx B
垂直于对称轴的焦点弦最短，叫做抛 物线的通径，其长度为2p．
2、A、B两点的坐标是否存在相关关
系？若存在，其坐标之间的关系如
何？
yA
O Fx B
2
p 1
1 k2
p tan
d 2
1 tan 2
1 1 tan 2
S 2p 2
tan 2
p tan
2
p2
1 tan 2 2 sin
斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2 4x 的焦点 F , 且与抛物线相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.
解这题,你有什么方法呢?
法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大); 法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);
法三:活用定义,运用韦达定理,计算弦长.
法四:纯几何计算,这也是一种较好的思维.
解法1 F1(1 , 0), l的 方 程 为 ： yx1 yy2x4x1x26x10
高中数学新课标人教A版选修2-1：2.1《求曲线的方程》(第二课时)课件
离的差都是2,建立适当的坐标系，求这条曲线的方程.
分析：在建立坐标系时，一般应当充分利用已知条件中的 定点、定直线等，这样可以使问题中的几何特征得到更好 的表示，从而使曲线方程的形式简单一些.
解：如图，取直线l为x轴, 过点F且垂直于直线l的直线为y轴, 建立坐标系xOy.
设点M(x,y)是曲线上任意一点，作
y
MB⊥x轴，垂足为B，那么点M属于集
P=｛合M|｜MF｜－｜MB｜=2｝. F
由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为
O
M
B
x
x2 ( y 2)2 y 2,
①
将①式移项后两边平方，得
x 2 (y
2)2
(y
2)2,化简得 y Nhomakorabea1 x2.
8
因为曲线在x轴的上方，所以y>0.虽然原点O的坐标（0,0）是这个方程
例题2强调求曲线方程的一般方法和步骤，能根据所给条件， 选择适当坐标系.求得方程后需要检验，防止产生增解或漏解。
在美丽的南沙群岛中，甲岛与乙岛相距8海里，一艘军舰
在海上巡逻，巡逻过程中，从军舰上看甲乙两岛，保持视角为
直角，你认为军舰巡逻的路线应是怎样的曲线，你能为它写出
一个方程吗？
南沙群岛风光视频
解析几何与坐标法 我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做 坐标法. 在数学中，用坐标法研究几何图形的知识 形成的学科叫做解析几何.因此，解析几何是用代数 方法研究几何问题的一门数学学科.
平面解析几何研究的两个基本问题.
（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； （2）通过曲线的方程，研究平面曲线的性质.
1.如何把实际问题转化为数学问题？ 2.你觉得应如何建立直角坐标系？ 3.从军舰看甲乙两岛，保持视角为直角可转化为哪些几何条件？ 4.所求方程与军舰巡逻路线是否对应？
分析：在建立坐标系时，一般应当充分利用已知条件中的 定点、定直线等，这样可以使问题中的几何特征得到更好 的表示，从而使曲线方程的形式简单一些.
解：如图，取直线l为x轴, 过点F且垂直于直线l的直线为y轴, 建立坐标系xOy.
设点M(x,y)是曲线上任意一点，作
y
MB⊥x轴，垂足为B，那么点M属于集
P=｛合M|｜MF｜－｜MB｜=2｝. F
由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为
O
M
B
x
x2 ( y 2)2 y 2,
①
将①式移项后两边平方，得
x 2 (y
2)2
(y
2)2,化简得 y Nhomakorabea1 x2.
8
因为曲线在x轴的上方，所以y>0.虽然原点O的坐标（0,0）是这个方程
例题2强调求曲线方程的一般方法和步骤，能根据所给条件， 选择适当坐标系.求得方程后需要检验，防止产生增解或漏解。
在美丽的南沙群岛中，甲岛与乙岛相距8海里，一艘军舰
在海上巡逻，巡逻过程中，从军舰上看甲乙两岛，保持视角为
直角，你认为军舰巡逻的路线应是怎样的曲线，你能为它写出
一个方程吗？
南沙群岛风光视频
解析几何与坐标法 我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做 坐标法. 在数学中，用坐标法研究几何图形的知识 形成的学科叫做解析几何.因此，解析几何是用代数 方法研究几何问题的一门数学学科.
平面解析几何研究的两个基本问题.
（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； （2）通过曲线的方程，研究平面曲线的性质.
1.如何把实际问题转化为数学问题？ 2.你觉得应如何建立直角坐标系？ 3.从军舰看甲乙两岛，保持视角为直角可转化为哪些几何条件？ 4.所求方程与军舰巡逻路线是否对应？
人教A版高中数学选修2-1课件：2-1 第1课时 曲线与方程
【解析】若点 P 在曲线 C 上,则 f(x0,y0)=0;若 f(x0,y0)=0,则 点 P 在曲线 C 上,所以点 P(x0,y0)在曲线 C 上的充要条件是 f(x0,y0)=0.
预学 4:求曲线方程的一般步骤 (1)建系:建立适当的坐标系,用有序数对(x,y)表示曲线上 任意一点 M 的坐标; (2)写集合:写出适合条件 p 的点 M 的集合 P={M|p(M)}; (3)列方程:用坐标表示条件 p(M),列出方程 f(x,y)=0; (4)化简:化方程 f(x,y)=0 为最简形式; (5)说明:说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上. 一般地,化简前后方程的解集是相同的,步骤(5)可以省略不 写,如有特殊情况,可以适当说明.另外,也可以根据情况省略步 骤(2),直接列出曲线方程.
2
2
【解析】 把点 M(4,-1)代入圆 C 和直线 l 的方程,均使方程成 立,故点 M 既在圆 C 上,也在直线 l 上. 【答案】C
2.方程 x+|y-1|=0 表示的曲线是(
).
【解析】方程 x+|y-1|=0 可化为|y-1|=-x≥0,则 x≤0,因此 选 B. 【答案】B
3.若曲线 ax2+by2=4 过点 A(0,-2),B( , 3),则 a= ,b= .
【解析】设动点 P(x,y),依题意|PA|=2|PB|, 所以 (x + 2) + y2 =2 (x-1) + y2 ,化简得(x-2) +y =4,
2 2
2
2
故点 P 的轨迹方程表示半径为 2 的圆,因此所求图形的面积 S=π·2 1】已知坐标满足方程 f(x,y)=0 的点都在曲线 C 上,那 么( ). A.曲线 C 上的点的坐标都满足方程 f(x,y)=0 B.凡坐标不满足 f(x,y)=0 的点都不在曲线 C 上 C.不在曲线 C 上的点的坐标必不满足 f(x,y)=0 D.不在曲线 C 上的点的坐标有些满足 f(x,y)=0,有些不满足 f(x,y)=0
最新高中数学人教a版选修(2-1)2-1-2《求曲线的方程》ppt课件
4．到A(2，－3)和B(4，－1)的距离相等的点的轨 迹方程是________．
解析：动点的轨迹是线段AB的垂直平分线． 答案：x＋y－1＝0
5．动点P在曲线y＝2x2＋1上运动，求点P与定点 (0，－1)连线的中点M的轨迹方程．
解：设 M(x，y)，P(a，b)，则xy＝＝a2b，－2 1.
[点评] (1)解本题的关键是建立适当的直角坐标系， 充分利用三角形外心的性质．易错处是用|BM|＝|CM| 列方程，而化简后会发现得到的是一个恒等式．原因 是在求|BM|的长时已利用了|BM|＝|CM|这个等量关 系．(2)对于本题，在建立直角坐标系时，也可以把BC 边所在的定直线作为y轴，过A点与定直线垂直的直线 作为x轴，此时方程将有所变化．
答案：B
2．已知在直角坐标系中一点A(－3,1)，一条直线l： x＝1，平面内一动点P，点P到点A的距离与到直线l的 距离相等，则点P的轨迹方程是( )
A．(y＋1)2＝8(x－1) B．(y－1)2＝8(x＋1) C．(y＋1)2＝－8(x－1) D．(y－1)2＝－8(x＋1)
解析：设点P的坐标为(x，y)，则(x＋3)2＋(y－1)2 ＝(x－1)2，化简整理，得(y－1)2＝－8(x＋1)，故应选 D.
类型二 定义法求曲线方程 [例2] 已知圆C：x2＋(y－3)2＝9，过原点作圆C 的弦OP，求OP中点Q的轨迹方程． [分析] 关键是寻找Q点满足的几何条件．可以考 虑圆的几何性质，如CQ⊥OP，还可考虑Q是OP的中 点．
[解] 法一：(直接法) 如图 2，因为 Q 是 OP 的中点，所以∠OQC＝90°. 设 Q(x，y)，由题意，得|OQ|2＋|QC|2＝|OC|2， 即 x2＋y2＋[x2＋(y－3)2]＝9， 所以 x2＋(y－32)2＝94(去掉原点)．
高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-1《2.1.2曲线与方程》课件
∴(2x－3)2＋4y2＝1
10分
∴P点的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.
12分
【题后反思】 代入法求轨迹方程就是利用所求动点P(x，
y)与相关动点Q(x0，y0)坐标间的关系式，且Q(x0，y0)又在 某已知曲线上，则可用所求动点P的坐标(x，y)表示相关动
点Q的坐标(x0，y0)，即利用x，y表示x0，y0，然后把x0，y0 代入已知曲线方程即可求得所求动点P的轨迹方程．
题型二 定义法求曲线方程
【例2】 已知圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原点O作圆的任意弦，求所 作弦的中点的轨迹方程． [思路探索] 利用圆心与弦中点的连线垂直于弦，可知弦中点 的轨迹是圆． 解 如图，设 OQ 为过 O 点的一条弦，P(x，y)为 其中点，则 CP⊥OQ，设 M 为 OC 的中点，则 M 的坐标为12，0. ∵∠OPC＝90°， ∴动点 P 在以点 M12，0为圆心，OC 为直径的圆 上，由圆的方程得x－122＋y2＝14(0<x≤1)．
2．求曲线方程的一般步骤 (1)建立适当的坐标系，用有序实数对_(_x_，__y_)表示曲线上任 意一点M的坐标； (2)写出适合条件p的点M的集合P＝ {_M__|p_(_M__)}_； (3)用_坐__标__表示条件p(M)，列出方程__f_(x_，__y_)_＝__0 ； (4)化方程f(x，y)＝0为最简形式； (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 想一想：求曲线方程的步骤是否可以省略？ 提示 可以．如果化简前后方程的解集是相同的，可以省 略步骤“结论”，如有特殊情况，可以适当说明，也可以根 据情况省略步骤“写集合”，直接列出曲线方程．
【变式1】 设两定点A，B距离为8，求到A，B两点距离的平方 和是5点建立直角坐标 系，如图所示，则A(0，0)，B(8，0)．设曲线上的动点 P(x，y)．
高二数学(人教A)选修2-1课件：2-1-1 曲线与方程
5．直线与圆锥曲线的位置关系：①有关直线与圆锥曲线的 公共点的个数问题，应注意数形结合；②有关弦长问题，应注意 运用弦长公式及韦达定理；③有关垂直问题，要注意运用斜率关 系及韦达定理，简化运算．直线和圆锥曲线的位置关系，可转化 为直线和圆锥曲线的方程的公共解问题，体现了方程的思想．
6．定点与定值问题的处理方法：(1)从特殊入手，求出定 点或定值，再证明这个点(值)与变量无关．(2)直接推理、计算， 并在计算过程消去变量，从而得到定点(定值)．
4．掌握椭圆的几何性质，掌握标准方程中的 a、b、c、e 的几何意义，以及 a、b、c、e 之间的相互关系．
5．了解双曲线的定义，并能根据双曲线定义恰当地选择 坐标系，建立及推导双曲线的标准方程．
6．会用待定系数法求双曲线标准方程中的 a、b、c，能根 据条件确定双曲线的标准方程．
7．使学生了解双曲线的几何性质，能够运用双曲线的标 准方程讨论它的几何性质，能够确定双曲线的形状特征．
12．能够利用圆锥曲线的有关知识解决与圆锥曲线有关的 简单实际应用问题．
●学法探究 1．解析几何是数形结合的典范，通过学习本章要在必修 2 的基础上进一步体会坐标法在解决几何问题和实际问题中的 作用，体会“数形结合”思想，养成自觉运用数形结合方法解 决问题的习惯． 2．圆锥曲线的定义是解决圆锥曲线问题的出发点，要明 确基本量 a、b、c、e 的相互关系、几何意义及一些概念的联系．
对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的 意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．如①在求轨迹中， 若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定 义，写出所求的轨迹方程；②涉及椭圆、双曲线上的点与两个 焦点构成的三角形(即焦点三角形)问题时，常用定义结合解三 角形的知识来解决；③在求有关抛物线的最值问题时，常利用 定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形利用 几何意义去解决．
6．定点与定值问题的处理方法：(1)从特殊入手，求出定 点或定值，再证明这个点(值)与变量无关．(2)直接推理、计算， 并在计算过程消去变量，从而得到定点(定值)．
4．掌握椭圆的几何性质，掌握标准方程中的 a、b、c、e 的几何意义，以及 a、b、c、e 之间的相互关系．
5．了解双曲线的定义，并能根据双曲线定义恰当地选择 坐标系，建立及推导双曲线的标准方程．
6．会用待定系数法求双曲线标准方程中的 a、b、c，能根 据条件确定双曲线的标准方程．
7．使学生了解双曲线的几何性质，能够运用双曲线的标 准方程讨论它的几何性质，能够确定双曲线的形状特征．
12．能够利用圆锥曲线的有关知识解决与圆锥曲线有关的 简单实际应用问题．
●学法探究 1．解析几何是数形结合的典范，通过学习本章要在必修 2 的基础上进一步体会坐标法在解决几何问题和实际问题中的 作用，体会“数形结合”思想，养成自觉运用数形结合方法解 决问题的习惯． 2．圆锥曲线的定义是解决圆锥曲线问题的出发点，要明 确基本量 a、b、c、e 的相互关系、几何意义及一些概念的联系．
对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的 意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．如①在求轨迹中， 若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定 义，写出所求的轨迹方程；②涉及椭圆、双曲线上的点与两个 焦点构成的三角形(即焦点三角形)问题时，常用定义结合解三 角形的知识来解决；③在求有关抛物线的最值问题时，常利用 定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形利用 几何意义去解决．
选修2-1《2.1.1曲线与方程》(新课标人教A版)精选教学PPT课件
问题4：曲线的方程与方程的曲线有什么区别？ 曲线的方程与方程的曲线是两个不同的概念，
“曲线的方程”强调的是图形所满足的数量关系；而
“方程的曲线”强调的是数量关系所表示的图形.两
者通过曲线上的点的坐标建立起一一对应关系，使方
程成为曲线（几何图形）的代数表示，从而将研究曲
线的性质转化到讨论相应方程的问题上 .
探究点1
曲线的方程与方程的曲线
问题 1 ：在直角坐标系中，平分第一、三象限的直 线和方程x-y=0有什么关系？
(1)在直线上任找一点 M ( x0 , y0 ),则 x 0 y0，即（ x 0 , y0） 是方程x-y=0的解； x-y=0 y
(2)如果 ( x 0 , y0 )是 x y 0的解，那么
1 其面积S＝ π· 4＝2π. 2
所以所求图形的面积为2π.
在轨迹的基础上将轨迹和条件化为曲线和方程， 当说某方程是曲线的方程或某曲线是方程的曲线时 就意味着具备上述两个条件，只有具备上述两个方 面的要求，才能将曲线的研究化为方程的研究,几何 问题化为代数问题，以数助形正是解析几何的思想， 本节课正是这一思想的基础.
0 y
( x a)2 ( y b)2 r 2
.
·
M ( x0 , y0 )
x
通过探究可知，在直角坐标系建立以后，平面内
的点与数对（x,y）建立了一一对应关系.点的运动形
成曲线C，与之对应的实数对的变化就形成了方程
f(x,y)=0.
点
按某种规律运动 曲线C 几何对象
坐标（x,y）
x,y制约关系
M ( x 0 , y 0 )的 坐 标 是 方 程 ( x a ) 2 ( y b ) 2 r 2 的解.
高中数学2.1曲线与方程(第1课时)课件新人教A版选修2-1
思考5:曲线C上的点的坐标都是方程 |x|＝|y|的解吗？
以方程|x|＝|y|的解为坐标的点都在曲线C上吗？
y
O
x
C
思考6:曲线C上的点的坐标都是方程 x y的解吗？
以方程 x y的解为坐标的点都在曲线C上吗？
圆与方程的关系
设曲线C表示直角坐标系中以点 （1，2）为圆心，3为半径的圆.
y
说明:
1.曲线的方程—反映的是图形所满足的数量关系; 方程的曲线—反映的是数量关系所表示的图形.
2.“曲线上的点的坐标都是这个方程 的解” ,阐明曲 线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的
点都符合这个条件而毫无例外.（纯粹性）
3.“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”,阐明符合
条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏.（完备性）
本节课设置了大量的讨论问题，让学生在合作讨论的过程 中逐渐体会方程与图像对应关系的严格性---纯粹性和完备性.
导入一： 11月７日８时３４分，嫦娥一号卫星顺利完成第３次近月制动， 成功进入经过月球南北两极，轨道周期１２７分钟的圆轨道。 通过 ３次制动，嫦娥一号相对月球的速度共减小约８４８米每秒，从近 月点高度２１２公里、远月点高度８６１７公里的椭圆轨道调整为 轨道高度约为２００公里的圆形轨道.
定义:
一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点 的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个 二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系: y
f(x,y)=0
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;
0
x
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
那么,这个方程叫做曲线的方程;
这条曲线ห้องสมุดไป่ตู้做方程的曲线.
高中数学人教A版选修2-1课件： 2.1.1 曲线与方程 课件
12
─ ─ 需 要 掌 握 一 般 性 的 方 法
问题 1.设 A、B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7),求线段
AB 的垂直平分线的方程.我们的目标就是要找x与y的关系式
解:设 M(x,y)是线段 AB 的垂直平分线上的任一点,
则 |MA|=|MB|
需要尝试、摸索
先找曲线上的点满足的几何条件
∴ (x 1)2 ( y 1)2 (x 3)2 ( y 7)2 坐标化
点的轨迹方程。
编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
一、听要点。
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物
理课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
2.1曲线和方程
—— 2.1.2求曲线的方程（一）
一、方程的曲线和曲线的方程: ⑴曲线上的点的坐标都是方程的解; (纯粹性) ⑵以方程的解为坐标的点都在曲线上; (完备性)
就说这条曲线是这个方程的曲线,这个方程是
这条曲线的方程.
二、坐标法 形成
解析几何
在平面上建立直角坐标系:
y
f(x,y)=0
点 一一对应 坐标(x,y)
∴ y2 x2 y2 8 y 16 ∴ x2 8 y 16 这就是所求的轨迹方程.
建立坐标系 设点的坐标
限(找几何条件) 代(把条件坐标化)
化简
思考:(P37练习第3题)
如图,已知点C的坐标是(2,2), 过点C直线CA
高中数学人教A版选修2-1课件： 2.1.1 曲线与方程 课件2
则 该 双 曲 线 的 方 程 为 ( )
A ．5 x 2 4 y 2 1 5
y2 C.
x2
1
54
B. x2 y2 1 54
D ．5 x 2 5 y 2 1 4
【 点 评 】 熟 记 圆 锥 曲 线 的 标 准 方 程 形 式 及 圆 锥 曲 线 的 定 义 ． 求 标 准 方 程 时 ， 注 意 “先 定 位 ， 后 定 量 ”的 思 维 程 序 ．
二、听思路。
思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行
解答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答， 大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
特殊情形的检验．
2动点M的运动，导致Q点的运动，两相关
动点问题的轨迹方程求法常用坐标代入法， 即将要求动点的坐标表示已知动点坐标， 然后代入已知动点满足的方程求解．
备 选 题如 图 ， 已 知 点 A3,0， B3,0， 点 C 、 D 为
圆 x2y225上 两 相 异 动 点 ， 且 满 足 C BC D .若 点 P 在 线 段 C D 上 ， 且 P A D P B C ， 求 点 P 的 轨 迹 方 程 ．
法；因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
优等生经验谈：听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程，那么后面的结论自然就出现了，学习起来才能够举 一反三，事半功倍。
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D．不是方程f(x，y)＝0的解，一定不是曲线C上的点
[思路探索] 从定义入手，考查定义中的两个条件．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
解析
∵题设命题只说明“曲线C上的点的坐标都是方程
f(x，y)＝0的解”，并未指出“以方程f(x，y)＝0的解为坐标
的点都是曲线C上的点”， ∴A、B、C都是假命题，如曲线C：平面直角坐标系一、 三象限角平分线上的点，与方程f(x，y)＝x2－y2＝0，满足 题设条件，但却不满足选项A、B、C的结论，根据逆否命
r2－x02 ，即 x02 ＋ y02 ＝ r2.两边开 平方取算术平方 根，得 x02＋y02＝r 即点(x0，y0)到原点的距离等于 r，点(x0，y0)是 这个圆上的点．因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上 r 的点．但是，以原点为圆心、半径为 r 的圆上的一点如点( ， 2 3 － r)在圆上，却不是 y＝ r2－x2的解，这就不满足曲线上 2 的点的坐标都是方程的解．所以，以原点为圆心，半径为 r 的圆的方程不是 y＝ r2－x2，而应是 y＝± r2－x2.
2
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4分
8分 10 分 12 分
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【题后反思】 (1)点在曲线上，点的坐标就是曲线方程的 解，满足方程，代入后，对参数讨论求解． (2)还要注意所给曲线方程中两个变量的范围以防所求参
数不正确．
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【变式3】 设α∈[0，2π)，点P(cos α，sin α)在曲线(x－2)2＋y2 ＝3上，则α＝________. 解析 ∵点P(cos α，sin α)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，
0
A（0，2）
解：不能，因为满足方程x+y-2=0的点（-1，3） 不在线段AB上。
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题型一
曲线与方程的概念
【例1】 若命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的 解”是正确的，则下列命题为真命题的是 ( )．
A．不是曲线C上的点的坐标，一定不满足方程f(x，y)＝0 B．坐标满足方程f(x，y)＝0的点均在曲线C上 C．曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线
系．(难点)
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自学导引
曲线的方程与方程的曲线
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或 适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y) ＝0的实数解建立了如下的关系： 解 (1)曲线上点的坐标都是这个方程的___； 点 (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的___． 那么这个方程叫做___________，这条曲线叫做_________ 曲线的方程 方程的曲 线 ___．
作曲线的代数反映，又包含了对应与转化的思想方法． 【示例】已知方程y＝a|x|和y＝x＋a(a>0)所确定的两条曲线有 两个交点，则a的取值范围是 A．a>1 B．0<a<1 C．0<a<1或a>1 D．a∈∅ ( )．
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[思路分析] 作出两方程表示的曲线，根据图形确定参数a 的取值范围． 解析 ∵a>0，∴方睛
曲线的方程与方程的曲线概念的理解 (1)定义中两个条件是轨迹性质的体现．条件“曲线上点的 坐标都是这个方程的解”，阐明曲线上没有坐标不满足方 程的点，也就是说曲线上所有的点都适合这个条件而无一
例外(纯粹性)；而条件“以这个方程的解为坐标的点都是
曲线上的点”，阐明符合方程的点都在曲线上而毫无遗漏 (完备性)．
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【变式2】 方程x2＋y2＝1(xy<0)的曲线形状是
(
)．
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解析
方程x2＋y2＝1表示以原点为圆心，半径为1的单位
圆，而约束条件xy<0则表明单位圆上点的横、纵坐标异
号，即单位圆位于第二或第四象限的部分．
答案 C
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题型三
曲线方程的应用
【例3】 (12分)若曲线y2＝xy＋2x＋k通过点(a，－a)，a∈R， 求k的取值范围．
[规范解答] ∵曲线y2＝xy＋2x＋k过点(a，－a)，
∴a2＝－a2＋2a＋k.
12 1 ∴k＝2a －2a＝2(a－ ) － ， 2 2 1 ∴k≥－ . 2 1 ∴k 的取值范围是[－ ，＋∞). 2
题是原命题的等价命题知，D是正确的．
答案 D
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规律方法
(1)判断方程是否是曲线的方程，要从两个方
面着手，一是检验点的坐标是否适合方程，二是检验以方 程的解为坐标的点是否在曲线上．从而建立方程的解与曲
线上点的坐标的一一对应关系．
(2)定义中的两个条件是判定一个方程是否为指定曲线的 方程，一条曲线是否为所给定方程的曲线的准则，缺一不
可．因此，在证明f(x，y)＝0为曲线C的方程时，必须证明
两个条件同时成立．
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【变式1】 判断下列命题是否正确．
(1)以坐标原点为圆心， 半径为 r 的圆的方程是 y＝ r2－x2； (2)过点 A(2，0)平行于 y 轴的直线 l 的方程为|x|＝2. 解 (1)不正确．设(x0，y0)是方程 y＝ r2－x2的解，则 y0＝
2.1
曲线与方程
2.1.1 曲线与方程
【课标要求】 1． 结合已知的曲线及其方程实例，了解曲线与方程的对应关 系． 了解数与形结合的基本思想． 2．
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【核心扫描】 理解曲线的方程和方程的曲线的概念．(重点) 1．
2． 曲线和方程通过曲线上的点的坐标建立起一一对应关
a(a>0)的图象大致如图，要使方程y＝a|x| 和y＝x＋a(a>0)所确定的两条曲线有两个
交点，则要求y＝a|x|在y轴右侧的斜率大
于y＝x＋a的斜率，∴a>1. 答案 A 一个问题既要分析其代数意义又要揭示其几何
方法点评
意义，应该将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思
路，使问题得到解决．
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(2)不正确．直线l上的点的坐标都是方程|x|＝2的解．然 而，坐标满足|x|＝2的点不一定在直线l上，因此|x|＝2不是
l的方程，直线l的方程为x＝2.
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题型二
由方程判断曲线
【例2】 求方程(x＋y－1) x－1＝0 所表示的曲线．
0的解集{(x，y)|f(x，y)＝0}之间的一一对应关系．由曲线
和方程的这一对应关系，既可以通过方程研究曲线的性 质，又可以求曲线的方程．
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练习2、
设点A（2，0）、B（0，2），请画出 线段AB和方程x+y-2=0的图形，能否说线段AB的 方程是x+y- 2=0？为什么？ y x+y- 2=0 B（2，0） x
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[思路探索] 将方程进行同解变形，转化为已知曲线的方
程的形式，从而判断出原方程表示的曲线．
解
x＋y－1＝0 依题意可得 或 x－1≥0
x－1＝0，
即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1. 综上可知，原方程所表示的曲线是射线x＋y－1＝0(x≥1)
和直线x＝1.
规律方法 判断方程表示什么曲线，需对方程进行同解变 形，常用的方法有：配方法、因式分解法或化为我们所熟 悉的形式，然后根据方程的特征进行判断．
概括： 纯粹性：点不比解多； 完备性：解不比点多；
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(2)定义中的两个条件是判定一个方程是否为指定曲线的 方程，一条曲线是否为所给定方程的曲线的依据，缺一不 可．从逻辑知识来看：第一个条件表示f(x，y)＝0是曲线C 的方程的必要条件，第二个条件表示f(x，y)＝0是曲线C的 方程的充分条件．因此，在判断或证明f(x，y)＝0为曲线C 的方程时，必须注意两个条件同时成立． (3)定义的实质是平面曲线的点集{M|p(M)}和方程f(x，y)＝
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想一想：如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，能否认为f(x0，
y0)＝0是点P0(x0，y0)在曲线上的充要条件？ 提示 能．由曲线方程的定义可知，如果曲线C的方程是
f(x，y)＝0，那么点P0(x0，y0)在曲线C上的充分必要条件
是f(x0，y0)＝0.
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∴(cos α－2)2＋(sin α)2＝3，
1 ∴cos α＝ ， 2 又∵α∈[0，2π)， π 5π ∴α＝ 或 . 3 3 π 5π 答案 或 3 3
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方法技巧
数形结合思想的应用
本节把曲线看成是动点的轨迹，蕴涵了用运动的观点
看问题的思想方法；把曲线看成方程的几何表示，方程看