关于几类图的关联色数
漂亮色彩层级关系ppt图表
在考试复习资料中，可以使用色彩层级关系图表来总结和梳理知识点。通过不同颜色的使 用，可以区分各个知识点的重要性和关联性，帮助学生更好地复习和记忆知识点。
学生作业
在学生作业中，可以使用色彩层级关系图表来表示不同的观点、思路或解决方案。通过不 同颜色的使用，可以清晰地展示学生的思考过程和逻辑推理能力。
色彩的引导
利用色彩引导观众的视线， 突出重点信息
03
漂亮色彩层级关系PPT图 表设计
图表类型选择
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ饼图
用于展示整体与部分的关系， 但不适合层级关系。
散点图
用于展示两个变量之间的关系， 不适合层级关系。
柱状图
用于展示不同类别之间的比较， 特别适合展示层级关系。
折线图
用于展示趋势，不适合层级关 系。
气泡图
销售数据和制定销售策略。
03
市场分析报告
在市场分析报告中，可以使用色彩层级关系图表来展示不同市场的竞争
情况。通过不同颜色的使用，可以区分各个市场的竞争地位和市场份额，
从而更好地制定市场策略。
教育培训中的图表应用
课程大纲
在课程大纲中，可以使用色彩层级关系图表来展示课程的层次结构和知识点。通过不同颜 色的使用，可以区分各个知识点的重要性和层次关系，帮助学生更好地理解和掌握课程内 容。
03
可以探索更多的数据可视化技术，如虚拟现实、增强现实等，以提供 更加沉浸式的图表体验。
04
可以尝试将图表设计与人工智能技术相结合，以提高图表的数据分析 和预测能力。
感谢您的观看
THANKS
用于展示三个维度的数据，不 适合层级关系。
图表布局和排版
布局
选择合适的布局，如垂直、水平或堆 叠，以适应层级关系。
最大度为4的图的关联着色数
Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2018, 7(4), 334-337Published Online April 2018 in Hans. /journal/aam https:///10.12677/aam.2018.74041Incidence Coloring of Graphs G with()G 4∗∆≤Zhenzhen Li 1, Xiaoping Liu 21College of Mathematics and System Sciences, Xinjiang University, Urumqi Xinjiang2College of Mathematics and System Sciences, Xinjiang Institute of Engineering, Urumqi XinjiangReceived: Apr. 7th, 2018; accepted: Apr. 19th, 2018; published: Apr. 26th, 2018AbstractAn incidence in a graph G is a pair (v ,e ), where v is a vertex of G and e is an edge of G incidence to v . Two incidence (v ,e ) and (u ,f ) are a djacent if at least one of the following holds: u = v , or e = f or {}uv e f ,∈. An incidence coloring of G is a coloring of its incidence assigning distinct colors toadjacent incidences. The incidence chromatic number of G , denoted by ()i G χ, is the smallestnumber of colors used in a incidence coloring of G . Recently, Gregor, luzar, and Sotak showed that ()i G 7≤χ for a graph G with maximum degree at most 4. The aim of the present paper is topresent a short proof of this result.KeywordsIncidence Coloring, Incidence Chromatic Number最大度为4的图的关联着色数李珍珍1，刘晓平21新疆大学数学与系统科学学院，新疆 乌鲁木齐 2新疆工程学院，新疆 乌鲁木齐收稿日期：2018年4月7日；录用日期：2018年4月19日；发布日期：2018年4月26日摘 要图中的关联是由图G 中的顶点v 和图G 中与v 关联的边e 所构成的有序对(v ,e )，两个关联对(v ,e )和(u ,f )相邻李珍珍，刘晓平当且仅当u = v 或e = f 或{}uv e f ,∈成立。
图论及其应用(25)
u
N (u ) k 1
u
N (u)
12
设п 是G的k着色方案，因为 u N (u ) k 1 ，所以， 在п 下，至少有一种颜色u及其邻域均没有用到，设该色 为m,改变u的颜色为m,其余点的着色不变，这样得到G的k 着色方案п 1.显然，п 与п 1导出的G的顶点划分不同，这 与G是唯一可着色图矛盾。 (2) 若不然，则存在G的k着色方案п 和G的两个色组C1 与C2,使得H=G[C1∪C2]不连通。设H1与H2是H的两个分支。 因为G是唯一可着色图，所以，对任意点u和其邻域 N(u), 它们在п 下，必然用完了k种颜色，否则，由(1)的 证明，得到G是非唯一可着色图。 这样，H1与H2中同时含有C1和C2中的顶点。
由于 H 也是某偶图的补，所以只需要证明 (G) cl (G)
25
证明：在 G 的正常着色方案下，每个色组对应G的一 (G ) 应该是G的最小点覆盖中包含 个顶点或者K2。这样， 的点数和边数。由补充定理：它等于G中最大独立集包含 的顶点数，即等于 G 的团数。所以有：
10
(2) 对于G2来说，G2的任意3正常着色方案导出的顶点 划分均是｛｛v1｝, ｛v2，v4｝｛v3,v5｝｝，所以，G2是 唯一3可着色图；例如：
v1 v2 v3 G2 v5 v2 v3 G2 v1 v5 v2 v3 v1 v5
v4
v4
v4
G2
(3) 对于G3来说，G3不是唯一3可着色图；因为：
设Hi=G[Vi∪｛v｝], (1≦i≦r)。则Hi是k-1可正常点着色 的，现对每个Hi进行k-1正常点着色，且v都分配同一种颜色， 那么，将着色后的Hi合在一起，得到G的k-1正常点着色方 案，这与G是k色图矛盾。所以临界图没有割点。
关于几类图的邻点可区别关联色数
Ｖｏ ． ２ Ｎｏ ５ １２ ．
Ｓｅ ｐ． ２０ ８ ０
文 章编 号 ： ６ ２ ６ ９ （ Ｏ ８ ０ — １ ５ ０ １７ ～ １７ ２Ｏ ）５ ０ ０ — ３
关 于几 类 图的邻点可 区别关联 色数
王 文 丽 ，刘 西 奎 ，周 薇
（ 山东 科技 大 学 信息科 学 与工程 学 院 ， 山东 青 岛 ， ６ ５ ０ ２ ６１ ）
ａ ｅ ｄｆｅ ｅ ｔ ｅ ｍｏ ｔｙ ｓ ｕ ｙ ｔ ｅ ａ ｊ ｃｎ ｅ ｔ ｘ ｄｓｉ ｇ ｓ ｉ ｇ ｉ ｃｄ ｎ ｅ ｃ ｌｒｎ ｕ ｅ ｆ ｒ ｉ ｒ ｎ ．Ｗ ｓｌ ｔ ｄ ｈ ｄ ｅ ｔ ｖ ｒｅ － ｉｔ ｕ ｈ ｎ ｎ ｉ ｅ ｃ ｏ ｏ ｉ ｇ ｎ ｍｂ ｒ ｏ ｆ ａ ｎ
一
｛ ，）Ｉ （ Ｐ 口∈ Ｖ， ｅ∈ Ｅ， 与 ｅ相关联 ｝ Ｇ的关 是
１ 基 础 知 识
图 的染 色 问题是 图论 研 究 的经 典 领 域． 网络 在 问题 ． 组合 分析 和实 际 生活 中有 着广 泛 的应用 ， 图 是 论 的主要研 究 内容 之 一 ． 文研 究 了 图 的邻 点 可 区 别 关 联着 色 ， 一步刻 画 了风 车 图 、 进 齿轮 图 的邻点 可 区 别 关联 着色 ， 此基 础上 研究 扩 充 的 图 Ｄ… 的邻 点 在 可 区别 关联 色 数。 文 中 ， 本 我们 用 （ ， Ｇ）分 别 Ｇ） Ｅ（ 表 示 图 Ｇ 的 点 集 和 边 集 ， Ｇ）表 示 Ｇ 的最 大 度 ， △（
中图分 类 号 ：Ｏ１ ７ ５ ５ ． 文 献标 识码 ：Ａ
Ｔ ｅａｊ ｃｎ ｅｔｘｄｓｉｇ ｉ ｉｇｉｃｄｎ ｅ ｈ ｄ ｅ ｔ ｒｅ’ｉｔ ｕｓ ｎ ｉｅ ｃ ａ ｖ ｎ ｈ ｎ
ｃ ｌ ｒ ｎｇ ｎｕ ｂ ｒ ｏ ｌ ｓ ｅ ｒ ｐ ｓ ｏ ｏ ｉ ｍ ｅ ｆｃａ ｓ ｓｇ ａ ｈ
几类图的关联图的边色数
几类图的关联 图的边色数
程 辉
（ 北 师 范 大 学 数 学 与 信 息 科 学 学 院 ，甘 肃 兰州 ７０ ７ ） 西 ３ ０ ０
摘 要 给 出 了 图 Ｗ Ｆ 及 、
） 关 联 图 Ｊ Ｗ 、 （ ） Ｊ 的 （ ） Ｊ 、 （
） 的 边 色数 ． ）
关键 词 ： 图 ；关联 图 ； 完 美对 集 ；边 色数
献 ） ０ ０年 ，张忠 辅 等人 提 出 了 关 联 图 的概 念 ， ．２ ０ 讨论 了图 的关联 图 的性质 ，并 对简 单 图的关 联 图的
正 常边 染 色 提 出 猜 想 ：对 每 个 简 单 图 Ｇ（ ， ， Ｅ）
ｙ （ （ ）一 △（ （ ） ｊ Ｉ Ｇ） ＩＧ ） ． ．
若 Ｇ是 忌 正 则 偶 图 （ ＞ Ｏ ，则 Ｇ 一 忌 ）
Ｅ（ （ ） ｛ｕ ，ｆ ｌ 税 ，ｖ ｆ； ８ ＩＧ） 一 （ ｅ ｖ ） 或 一 ｅｅ 或 一ｆ，≠ ；
或 当 ≠ ，ｖ ｆ 时 ， 一８或 一 －； ， （ ； ， ｅａ 厂 ∈ Ｇ） ８
厂 Ｅ（ ｝ ∈ Ｇ） ．
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西
２ ６
北 师 范
大
学 学
报 （ 自然 科 学 版 ）
第 ４ ４卷 ２ ０ 年 第 ２期 ０８
Ｖ ｏＬ４４ ２０ Ｎ ｏ ０８ ．２
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＮｏ ｔ ｗｅ ｔＮｏ ｍａ ｉｅ ｓｔ （ ｔ ｒ ｌＳ ｉｎ ｅ ｏ ｒ ａ ｒｈ ｓ ｒ ｌＵｎ ｖ ｒ ｉｙ Ｎａ ｕ ａ ｃ ｅ ｃ ） ｏ
证 明 假 设 Ｖ （ ）一 ｛ ， ， ， ， ） Ｗ 。 ２ … ，
所谓 图 Ｆ ， 指 由 ｍ 个 完 全 图 Ｋ 恰 有 一 个 是 公共 点 所构 成 的图． 本文 讨论 了图 、 Ｆ ， Ｆ 及 的关 联 图 的边 染
几类笛卡尔积图的关联色数研究
ＤＯＮＧ ｉｘａ ｇ ＹＯＵ ｉｙ ｎ ＸＵ ａ ｇ ｚ ｅ Ｇｕ — ｉ ｎ ， Ｈａ — ａ ， Ｇｕ ｎ ． ｈ ｎ
（ ． ｃ ｏ ｌ ｆ ｃ ｎ ｅ Ｓ ａ ｄ ｎ ｉ ｚ ｕＵ ｉｅ ｉ ， ｉａ ５ １ １ Ｃ ｉａ ２ Ｓ ｉｎ ｅＯ ｃ ， ａ ｇ ａＭｉｄｅ ｃ ｏｌ ｆ １ Ｓ ｈ ｏ ｏ ｉ ｃ ， ｈ ｎ ｏｇＪ ｎ ｈ ｎｖｒ ｔ Ｊ ｎ ０ ０ ， ｈｎ ； ． ｃ ｃ ｆ ｅ Ｄ ｎｆ ｄ ｌ Ｓ ｈ ｏ ｏ Ｓ ｅ ａ ｓｙ ｎ ２ ｅ ｉ ｉ Ｊ ａ ｉ ， ｉａ ５ １ ６ ｈｎ ） ｉ ｎ Ｃｔ Ｊ ｎ２ ０ ，Ｃ ｉａ ｎ ｙ ｎ １
是正确的。
关 键 词 ： 卡 尔 积 ； 联 着 色 ； 联 色数 笛 关 关
中 图 分 类 号 ： １７ ５ ０ ５ ． 文 献 标 识 码 ： Ａ
Ｒｅ ｅ ｒ ｈ ｏ ｈ ｎ ｉ ｎ ｅ ｃ ｏ ａ ｉ ｕｍ ｂｅ ｓ ｏ ｏ ｅ ｓ ａ ｃ ｎ ｔ ｅ ｉ ｃ ｄｅ ｃ ｈｒ ｍ ｔｃ ｎ ｒ ｆｓ ｍ ｃ ａ ｓ ｓ ｏ ｒ ｅ ｉ ｎ ｐｒ ｄ ｃ ｒ ｐ ｌ ｓ ｅ ｆ Ｃａ ｔ ｓａ ｏ ｕ ｔ ｇ ａ ｈｓ
Ａｂｓ ｒ ｃ Ｔｈ ｎ ｉ ｅ ｃ ｏ ｏ ｎｇ ｏ ｒ ｐ ｓ ａ ｍｐ ｒａ ｔｐ ｒ ｆｔ ｅ ｇ ａ ｈ ｃ ｌｒｎｇ ｔｅ ｒ ｎ ｔｅ ｔ ａ ｔ： ｅ ｉｃ ｄ ｎ ｅ ｃ ｌｒ ｆｇ ａ ｈ ｉ ｎ ｉ ｏｔ ｎ ａ ｔ ｏ ｈ ｒ ｐ ｏ ｏ ｉ ｈ ｏ ｙ ａ ｄ ｈ ｉ
ｏ ｈ ｎ ｉｅ ｃ ｏｏ ｉ ｇ ｉ ｈ ｓ ｒｅ ｉｎ ｐ ｏ ｕ ｔｇ ａ ｈ ． ｆｔ ｅ ｉ ｃｄ ｎ ｅ ｃ ｌｒｎ ｎ ｔｅ ｅ Ｃａ ｓａ ｒ ｄ ｃ ｒ ｐ ｓ ｔ
Ｋｅ ｙ ｗｏｒ ｄｓ：Ｃａ ｔｓａ ｒ ｄ ｔ ｉ ｃ ｄ ｎ ｅ ｃ ｌｒｎ ｉ ｃｄ ｎ ｅ ｃ ｒ ｍ ａｉ ｕ ｂ ｒ ｒｅ ｉｎ ｐ ｏ ｕｃ ；ｎ ｉ ｅ ｃ ｏｏ ｉ ｇ；ｎ ｉ ｅ ｃ ｈ ｏ ｔｃ ｎ ｍ ｅ
与图的顶点染色数有关的几个问题
与图的顶点染色数有关的几个问题张祥波【摘要】设x(G)是无向简单图G(V,E)的顶点染色数,证明了:若|S|＞P/2且|S|=p-m,则图G不存在第p-q类图,其中:q≥2m+1,m≥3且m∈z+;若|S|=p-4,则x(G)≤ p-3;若|S|=p-4,则x(G)≤4θ(G)+θ2(G)-1.【期刊名称】《高师理科学刊》【年(卷),期】2016(036)003【总页数】4页(P17-20)【关键词】顶点染色数;第k类图;最大团;图的厚度【作者】张祥波【作者单位】临盘中学,山东临邑251507【正文语种】中文【中图分类】O157.51 引言及预备知识本文中有关术语和符号参见文献[1]，所指图均为有限无向简单图．用，，，分别表示图的顶点数、厚度、顶点染色数和最大团的顶点数；图含有的所有最大团的公共顶点及它们在图中的边构成的子图，记作图，简称图；是图含有的所有最大团的公共顶点集；表示从中删去的所有顶点及其与中顶点关联的一切边后得到的图．关于图的顶点染色，较多的文献研究特殊图的顶点染色[2-5]，尚未找到很好的方法研究一般图的顶点染色．文献[6]提出猜想：，文献[7]初步证明了时，猜想是成立的．文献[8]进一步证明了时猜想是成立的，文献[9]给出了时图的各种顶点染色数．本文研究一般图的顶点染色，主要解决上述文献中一些有待解决的问题，从而改进和推广文献[7-9]中已有的结果．具体表现在3个方面：（1）若且，则图不存在第类图，其中：，且；（2）若，则；（3）若，则．定义[9]11 如果图含有的所有最大团存在公共顶点，且公共顶点的个数为，则称此图为第类图．引理1[7]36 若，则图含有的所有最大团必存在公共顶点．引理2[8]67 当时，图含最大团，若不存在奇圈，则；若存在奇圈，则．引理3[7]36 若，则．引理4[8]67 当时，图含有最大团，．引理5[7]36 若，则．引理6[10]215 ，；，其中：是完全图．2 主要结果及证明2.1 关于第类图定理1 若且，则图不存在第类图，其中：且．证明使用反证法证明．假设图是第类图，由定义可知，图中所有最大团有个公共顶点．考虑其中一个最大团，则图中必有个顶点不是最大团的顶点．不妨设这个顶点分别是，，，…，；．于是这个顶点中至少有一个顶点是其它最大团的顶点．考虑2种情况：情况1 ，，，…，都是最大团的顶点，则图的顶点与图的顶点都相邻．将图的所有顶点及其边删掉，必得到一个顶点数是，含最大团的图．由于，故情况2 设，，，…，中有个顶点在除之外的最大团中，有个顶点不在任何最大团中，设这个顶点分别是，，…，．将图的所有顶点及其边删掉，得到一个顶点数是的图，而图含有顶点数是的团．在图中将顶点，，…，全部删掉，于是得到一个顶点数是，含最大团的顶点数是的图．由于，故．所以综上可知，假设不成立，定理得证．证毕．推论对于且的图，有且仅有以下若干类图：第类图，第类图，……，第类图及只有一个最大团的图．例对于且的图，有且仅有第类图，第类图，第类图，第类图及只有一个最大团的图．2.2 时猜想的证明定理2 若，则．证明易知．（1）当时，则，显然成立．（2）当时，图顶点数为6，含最大团的图．图中至少有一对顶点不相邻，设这2个顶点分别是和，将和删掉，得到一个顶点数是4的图，而图至多含最大团，故，添上顶点和，色数最多增加1，从而，结论成立．（3）当时，图顶点数是7，含最大团的图．图中至少有一对顶点不相邻，设这2个顶点分别是和，将和删掉，得到一个顶点数是5的图，而图含最大团或者含最大团．若图含最大团，由引理2可知，；若图含最大团，由引理3可知，．添上顶点和，色数最多增加1，故，结论成立．（4）当时，图顶点数是8，含最大团的图．将图中一对不相邻的顶点和删掉，得到顶点数是6，含最大团或者含最大团的图．若图含最大团，由引理4可知，；若图含最大团，由引理3可知，．添上顶点和，色数最多增加1，故，结论成立．（5）当时，则．图中至少有一对顶点不相邻，设这2个顶点是和，将和删掉，得到一个顶点数是的图，而图含最大团或者含最大团．若图含最大团，由引理3可知，；若图含最大团，由引理5可知，．添上顶点和，色数最多增加1，故．综上可知，，则．证毕．定理3 若，则．证明易知．（1）当时，由定理2的证明可知，，故．（2）当时，由定理2的证明可知，．若，则．若，由于平面图的点染色数不超过4，所以图必是非平面图，于是．从而（3）当时，因为图含最大团，所以．由引理6可知，若，则．于是，由定理2可知，，而．所以，当时，对于和10的情况，令，其中：是正整数．若，则由定理2可知，．由引理6可知，，故对于的情况，同理有．若，则由定理2可知，．由引理6可知，，故综上可知，若，则．证毕．本文主要证明了时，猜想：若，则；是正确的．这些结果为进一步研究图的顶点染色提供了一些参考．[1] 谢政，戴丽．组合图论[M]．长沙：国防科技大学出版社，2003[2] 亢莹利，王应前．平面图3色可染的一个充分条件[J]．中国科学·数学，2013，43（4）：409-421[3] 彩春丽，谢德政．平面图3-可着色的3个充分条件[J]．河南师范大学学报：自然科学版，2011，39（6）：4-6[4] 刘配配，王应前．不含4-圈与7-圈的平面图是（2，0，0）-可染的[J]．中国科学·数学，2014，44（11）：1153-1164[5] 刘广德．双外平面图的点染色[J]．枣庄学院学报，2013，30（5）：63-65[6] 张祥波．研究四色问题的意义及理论构想[J]．数学理论与应用，2012，32（3）：24-28[7] 张祥波，魏志芹．关于图的色数与厚度的一些新结果[J]．高师理科学刊，2013，33（5）：35-37[8] 张祥波．一类特殊图的顶点染色及其猜想的证明[J]．重庆工商大学学报：自然科学版，2015，32（9）：66-70[9] 张祥波．一类特殊图的顶点染色数[J]．安庆师范学院学报：自然科学版，2015，21（3）：11-13[10] 卜月华．图论及其应用[M]．南京：东南大学出版社，2002。
图论第一章课后习题解答
bi 个 (i = 1,2,…,s)，则有 列。 定理 7
bi = n。故非整数组(b ,b ,…, b )是 n 的一个划分，称为 G 的频序
1 2 s
s
i 1
一个 n 阶图 G 和它的补图 G 有相同的频序列。
§1.2 子图与图的运算
且 H 中边的重数不超过 G 中对应边的 定义 1 如果 V H V G ，E H E G ， 重数，则称 H 是 G 的子图，记为 H G 。有时又称 G 是 H 的母图。 当 H G ，但 H G 时，则记为 H G ，且称 H 为 G 的真子图。G 的生成子图是 指满足 V(H) = V(G)的子图 H。 假设 V 是 V 的一个非空子集。以 V 为顶点集，以两端点均在 V 中的边的全体为边集 所组成的子图，称为 G 的由 V 导出的子图，记为 G[ V ]；简称为 G 的导出子图，导出子图 G[V\ V ]记为 G V ； 它是 G 中删除 V 中的顶点以及与这些顶点相关联的边所得到的子图。 若 V = {v}, 则把 G-{v}简记为 G–v。 假设 E 是 E 的非空子集。以 E 为边集，以 E 中边的端点全体为顶点集所组成的子图 称为 G 的由 E 导出的子图，记为 G E ；简称为 G 的边导出子图，边集为 E \ E 的 G 的 导出子图简记为 G E 。若 E e ，则用 G–e 来代替 G-{e}。 定理 8 简单图 G 中所有不同的生成子图（包括 G 和空图）的个数是 2m 个。 定义 2 设 G1，G2 是 G 的子图。若 G1 和 G2 无公共顶点，则称它们是不相交的；若 G1 和 G2 无公共边，则称它们是边不重的。G1 和 G2 的并图 G1∪G2 是指 G 的一个子图，其顶点 集为 V(G1)∪V(G2)，其边集为 E(G1)∪E(G2)；如果 G1 和 G2 是不相交的，有时就记其并图为 G1+G2。类似地可定义 G1 和 G2 的交图 G1∩G2，但此时 G1 和 G2 至少要有一个公共顶点。
两类平面图的关联色数
｝ 其 中 ｕ ＋ ＝Ｕ ， ， ｌ ｌ
ｌ １ 通过 给出花 图 Ｆ ： ． ｒ
，
，
（ ≥ ３ ≥ １ ｒ ， ， ２ ＋１和 棱 柱 Ｑ （ ３ 的 一种 关 联 着 色 ≥ ） ≥ ）
方法 ， 了它们的关联色数 ． 确定
关 键 词 ： 联 色 数 ； 联着 色 ； 图 ； 柱 关 关 花 棱
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第３ ６卷第 ３期 ２０ ０ ８年 ３月
同 济 大 学 学 报 （ 然 科 学 版） 自 Ｊ 【 Ａ ， ＦＴ Ｎ ＪＵＮⅥ、ｓＴ （ Ａ 珉Ａ ．ＣＥ Ｃ ） Ｏ 瓜Ｎ ＩＯ Ｏ Ｇ Ｉ Ｉ Ｒ ＩＹ Ｎ ｎ ＩＳ ＩＮ Ｅ
Ｖｏ ． ６ Ｎｏ． １３ ３ Ｍ ａ ．２ ｏ ｒ ｏ８
两 类 平 面 图 的 关 联 色 数
张 丽 一陈 东灵 ３ ， ，Байду номын сангаас
（ ．同济大学 数学系 ， １ 上海 ２０ ９ ；２ 上海金融学院 应用数学系．上海 ００２ ． ２６１） ６ ５０ ２ １０ ０２９ ３ ．山东科技大学 信息科学与工程学院， 山东 青 岛
摘 要： Ｗｒ １ｒ ） 轮 ＋ （ ≥３ 是一个 ｒ阶圈加上 一个新的顶点 ， 再把圈上每个顶点与新顶点连上边所得到的 图． 顶点与 新 圈上顶点之间的边称 为辐边 ， ｋ Ｎ＿ ＮＮ￣ＮＮＮＮ ． 所谓花 图 Ｆ ｒ
中图 分 类号 ： １７ ５ ｏ ５ ． 文献 标 识 码 ： Ａ 文 章 编 号 ： ２ ３ ７ Ｘ ２ ０ ）３ ３ ２ ５ ０ ５ —３４ （０ ８ ０ —０ ９ —０
Ｉｃｄ ｎ ｅ Ｃｏｌｒｎ ｍｂ ｓ ｏ ｎ ｉｅ ｃ ｏ ｉｇ Ｎｕ ｅｒ ｆＴｗｏ Ｃｌｓ ｅ ｆＰｌｎ ｒＧｒ ｐｈ ａ ｓ ｓ ｏ ａ ａ ａ ｓ
图论课件--与色数有关的几类图和完美图共34页
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功图和完美图
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
几类图的若干染色问题
几类图的若干染色问题
图论是一门新兴的学科,在很多领域都有广泛的应用性.最近几十年内图论发展得十分迅速.其中,关于图的染色理论的研究已经发展成为图论中的一个重要研究领域.这篇论文主要研究一些图类的全染色以及邻点可区别-点边全染色问题.在第一部分中,我们介绍图论的历史背景及一些基本概念.在第二部分,我们介绍三种染色的概念并给出当今关于它们的研究成果.这三个概念分别是图的全色数,邻点可区别-点边全染色以及邻点可区别全染色.我们主要列举一下人们对于一些常见图类的这三个色数的研究成果.第三部分,我们主要研究了图的全色数,邻点可区别-点边全染色这两个概念.我们给出了某些图类对应的色数.第四部分,我们总结本文所做的工作,并且指出一些还可以进一步研究的问题.。
UML类图中的关联
UML类图中的关联、聚合和组合李云Email:***********************Blog: 摘要本文介绍了UML关联的三种形式，此外，通过给出例子和相应的程序源代码帮助读者加深理解。
关键词UML 关联聚合组合缩略语UML Unifed Modeling Language 统一建模语言参考资料《OMG UML Superstructure version 2.2》类图中的关联关联1 类图中的关联（association，请参见Superstructure的7.3.3节）表示两个或多个类实例之间所存在的一种语义关系（sematic relationship）。
一个关联至少有两个用属性（property，请参见Superstructure 的7.3.44节）表达的终端（end）。
一个关联关系表明了多个所关联类实例（instance）之间的连接（link），也就是说关联是连接的集合。
一个连接是一个包含两个关联终端的值的元组，每一个关联终端的值表示一个末端类型的实例。
图1中，连接类Car和类Window的直线就表示一个关联关系，这个关联关系只有一个连接，因为只有两个类。
连接的两个末端分别是car_和windows_，car_是终端类Car 的实例（名），而windows_是终端类型Window的实例（名）。
在1.3节讨论关联的元数时，我们会进一步讨论连接与关联的关系。
一个关联可以包含多个终端（或说多个类），且关联终端可以是相同的类型（或相同的类）。
图 1关联在我们的语言中的表现形式是什么样子的呢？下面先看看用Visual Paradigm for UML生成图1中的C++代码是怎么样的，在Visual Paradigm for UML中选择相应的C++代码生成菜单，如图2所示。
图 2此时，将出现如图3所示的对话框，选择所需生成代码的元素和被生成代码的存放路径后，点击“Generate”按钮。
之后，在相应的目录中将生成四个文件，分别是Car.h、Car.cpp、Window.h 和Window.cpp。
UML类图关系大全(经典)
UML类图关系大全1、关联双向关联：C1-C2：指双方都知道对方的存在，都可以调用对方的公共属性和方法。
在GOF的设计模式书上是这样描述的：虽然在分析阶段这种关系是适用的，但我们觉得它对于描述设计模式内的类关系来说显得太抽象了，因为在设计阶段关联关系必须被映射为对象引用或指针。
对象引用本身就是有向的，更适合表达我们所讨论的那种关系。
所以这种关系在设计的时候比较少用到，关联一般都是有向的。
使用ROSE 生成的代码是这样的：class C1...{public:C2* theC2;};class C2...{public:C1* theC1;};双向关联在代码的表现为双方都拥有对方的一个指针，当然也可以是引用或者是值。
单向关联:C3->C4：表示相识关系，指C3知道C4，C3可以调用C4的公共属性和方法。
没有生命期的依赖。
一般是表示为一种引用。
生成代码如下：class C3...{public:C4* theC4;};class C4...{};单向关联的代码就表现为C3有C4的指针，而C4对C3一无所知。
自身关联（反身关联）：自己引用自己，带着一个自己的引用。
代码如下：class C14...{public:C14* theC14;};就是在自己的内部有着一个自身的引用。
2、聚合/组合当类之间有整体-部分关系的时候，我们就可以使用组合或者聚合。
聚合：表示C9聚合C10，但是C10可以离开C9而独立存在（独立存在的意思是在某个应用的问题域中这个类的存在有意义。
这句话怎么解，请看下面组合里的解释）。
代码如下：class C9...{public:C10 theC10;};class C10...{};组合（也有人称为包容）：一般是实心菱形加实线箭头表示，如上图所示，表示的是C8被C7包容，而且C8不能离开C7而独立存在。
但这是视问题域而定的，例如在关心汽车的领域里，轮胎是一定要组合在汽车类中的，因为它离开了汽车就没有意义了。
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福
建 电
脑
８ ９
关 于几 类 图 的关 联 色数
薛 文 娟
（福 建农 林 大 学 计 算机 与 信 息 学院 福 建 福 州 ３ ０ ０ ５０ ２）
【 摘
要】 ：本文介绍图的关联着色的定义以及综述图的关联着色的已有结果， 主要对几类特殊图的关联
， 确定 了这几 类特殊 图的关联 色数 的值 ．
色数进行研 究 ， 包括风 车 图 ， 齿轮 图以及 在 此基 础上 扩充 的 图
关键 词 】 图； ： 关联 着 色； 关联 色数
０、 Ｉ 言 弓
圈恰 有一 个 公共 点构 成 的 图嘲 记 为Ｄ 我 们 主要 讨 论 ， ．
图 的关 联 着 色 概 念 是 由 Ｂ ｕｌｉ Ｍａｓｙ ［】 ｒａｄ 和 ｓｅ ２ ２于 风 车 图 、 轮 图和Ｄ 齿 的关 联色 数． １９ ９ ３年提 出的． 文 考 虑 的 图均 为有 限 、简 单 、无 向 ２、 文 主 要 结 果 及 其 证 明 本 本 图 ， 中所用 符 号请 参 阅【】设 Ｇ （ （） （ ） 文 １． ＝Ｖ Ｇ ， Ｇ） Ｅ 定理 １ 对风 车 图Ｋ 而言 ， Ｘ（ ２＋ ． ． 有 ｉ ） ｔ１ Ｋ＝ 是一个 ｎ 阶简单 图 ． 文 中ＮＡ Ｇ 表示 Ｇ 本 （） 的最 大度 ． 证 明 ： Ｋ 的公共 点 为ｘ， 个 完全 图 Ｋ 中 其余 两 ｉ ｇ 。 第ｉ 定义１ 设Ｇ＝Ｖ（ ） （ ） 一个 图 ， 集合 Ｉ ｛ ， （ Ｇ， Ｇ） Ｅ 是 称 ＝（ ｖ 个 顶点 分别 为ｘＹ０ １ ， ｔ 如 下图所 表示 ． ．ｉ ＝ ， …，， ， ２ ） ｅ：∈Ｖ ｅ ， 关 联 ｌ １ ｖ ， ∈Ｅｖ 与ｅ 为Ｃ的关联 集 ．
我 们说 Ｇ的两个 关 联 （，１，１ｅ 是相 邻 的仅 当下 ｖ ）（ ，１ ｅ （ ） ）
列 三种关 系之一 成立 ：
（ ｖ ｏ； ２ｅ＝ ２ （） （ ｅ或Ｖ）ｅ １ ＝ （）１ｅ ； ３ Ｖ０ １ （ ２ ） ＝ １ ＝
定 义 ２￣ ｔ Ｇ的 一 个 正 常 关 联 着 色 是 对 Ｇ中 关 联 的 着 ｓ ４
引理２ 设Ｔ 非平 凡 树． 为Ｔ 翻 是 △ 的最 大 度， 则 ｉｃ ）△ １ ｎ（ ＝ 十 ． Ｔ 引理 ３ 设Ｉ是 一条ｎ 阁 ） ｎ 阶路 ，ｌｎ（ ＝ ． ． ｉｃ ￣ Ｊ Ｐ）３ 引理４ 对 圈长 为ｎ ｒ ｅ 的圈Ｃ ， 有
ｎｉＯｍｏ ３ （ ｄ）
０ ｅ ¨ｉ ｅ ｒ， ｓ
１ 关 联 着 色 已有 的 结 果 、
个 关 联着 色仃Ｉ ｃ如下 ： ：Ｋ） （
引理 １ 对 每个 图Ｇ Ａ Ｉ ｎ （） △ 其 中△为 图 闼 有 ＋ ≤ｉｃ ≤２ ， Ｇ
Ｇ的最 大度 ．
盯ｘ， Ｘ： （ ｌ…， （ Ｘ ｉ ｉｉ ， ｔ ０ ｏ） ＝ ）
ｏ ｘ， Ｙ＝＋ （ ｌ…， ＇ｏ ｏ）ｉｔｉ ， ｔ （ Ｘｉ ＝ ） （， 仃 ｙ ＝ ｔ１ ｘｘ ｉ ＝ （， ２＋ ｉ
我 们 在风 车 图 和齿 轮 图基 础 上 ，研 究 Ｔ ： Ｚ Ｃ ￣ｍ． ｉ ， －
由于△Ｄ ４ ｄ ＝ ｍ， 引理 １ 得ｘ（ ） ｍ １ （ ） ㈥ ２ 有 ： 可 ４ Ｄ ≥２ ＋ ．
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建
电
脑
２ １ 第 １ 期 ０ ０年 ２
不失 一般 性 ， 颜 色集合 为Ｃ ｛，， ２ ＋ ）我们 构 造 １不失 一 般 性 ， 颜 色 集合 Ｃ ｆ，， ２ ｌ． 们 定 义 令 ＝１ …．ｍ １， ２ ． 令 ＝ １ …． ２ ｍ＋ ｝ 我 Ｄ 的一个关联 着色叮Ｉ 州） Ｃ 下 ： ：Ｄ 一 如 （ Ｄ 的一个 关联 着色 ：Ｄ 一 Ｃ如 下 ： Ｉ ） （
定理２ ．对 轮 图 Ｄ ． 言 ， ｉ ＝ ｍ １ 而 ４ 有ｘ（ Ｄ ２＋．
定 义 １】 个 完 全 图Ｋ， 有一 个 公 共 点 构 成 的 图 ［ ７ 由ｔ 恰
称 为风车 图 ， 记为Ｋ
证 明 ：记Ｄ 公 共 点 为ｘ，第 ｉ Ｎｃ 的其 余 三 个顶 。 ＋ 定义 ２】 ［ ７ 由ｍ个４ 回路 恰 有一 个 公共 点构 成 的 图称为 点 为ｘｙｚｉ １ ， － ） 下 图所 表示 ． ｉ，（ ， －， ， － ｉ＝ －ｍ 如 齿轮 图 ，ｇ ＇ ＝． ｉ ５Ｄ ￣ Ｊ
ｋ 用 ｉｃ Ｇ） 示 ． ： ． ｎ（ 表 即
ｉ （）ｍ ｎｆ 『（） 是Ｇ ｎ Ｇ＝ ｉ ｆ ：Ｇ叶ｃ 的正常关联着色１ ｃ （Ｃ Ｉ Ｉ 叮 ．
Ｂ ｕ Ｉｉ Ｍ 。 『］ 定 了树 ， ｒａｄＯ 。ｖ２确 完全 图和完 全 二部 图 的关 联色 数 ； 陈东 灵 ， 西 奎等［ 定 了完全 ３ 部 图 ， 刘 ８ １ 确 一 高
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盯ｘｘ ＝＋ （ ｌ－ ， （ ， ｉｔｉ ， － ｊｊ ＝ －０
（，ｊ ｉｉｌ ｔ ｙＹ ＝ （ ， ） ｉｉ ＝ …，．
显 然 是 Ｋ 的一个 关 联 着 色 ，一 共 用 了２＋ 种颜 ｔ１
色， 因此ｘ Ｋ） ｔ １ ｉ ￣２＋ ． （ｓ 则可 得ｘ ）２＋ ． 理得 证． ｉ ＝ ｔ１ 定 （
色 ． 中相邻 的关 联 着 不 同的颜 色 ． 即 ： 其 亦 图Ｇ的一 个 ｋ 关联 着 色是从 关 联 集Ｉ ） ＝｛ ， …．ｋ的 一个 映射 ， （ ＮＣ １２ ，】 Ｇ 使得 Ｉ １ ｆ 中任 何 两个 相邻 的元 素 有不 同 的象 ． Ｇ 定 义 ３Ｉ ［ ｌ 关 联 色 数 是 使 Ｇ有 ｋ 联 着 色 的 最 小 的 ３Ｇ的 ａ 关
一
图 １
的顶 点 标 记
因为△（ ｄｘ）２， Ｋ） （０ ｔ ＝ ＝ 由引理 １ 得ｘ（３￣２＋ ． 失 可 ‘ －ｔ１不 Ｋ）
般性 ， 颜 色集 为ｃ ｛，， ． ＋ １ 我们 定 义 Ｋ 的一 令 ＝ １ … ２ １． ２ ｔ
度 图 ， 。 ， ， 和加 边 轮等 特殊 图类 的关 联色数 ． 路 圈 扇 轮