浙江省宁波四中高一上学期期中考试(数学).doc
宁波数学高一上期中经典测试题(培优)
一、选择题1．(0分)[ID ：11807]如图，点O 为坐标原点，点(1,1)A ，若函数xy a =及log b y x =的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则a ，b 满足．A ．1a b <<B ．1b a <<C ．1b a >>D ．1a b >>2．(0分)[ID ：11798]在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的（ ）. A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件3．(0分)[ID ：11797]关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③4．(0分)[ID ：11778]对于实数x ，规定[]x 表示不大于x 的最大整数，那么不等式[][]2436450x x -+<成立的x 的取值范围是（ ）A ．315,22⎛⎫⎪⎝⎭ B ．[]28, C ．[)2,8D ．[]2,75．(0分)[ID ：11774]若函数()(1)(0xxf x k a a a -=-->且1a ≠）在R 上既是奇函数,又是减函数,则()log ()a g x x k =+的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6．(0分)[ID ：11757]设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则A B =A ．{}123,4，，B ．{}123，，C ．{}234，，D ．{}134，， 7．(0分)[ID ：11753]已知函数224()(log )log (4)1f x x x =++，则函数()f x 的最小值是A ．2B ．3116C ．158D ．18．(0分)[ID ：11752]已知函数)245f x x x =+，则()f x 的解析式为( )A ．()21f x x =+B ．()()212f x x x =+≥C ．()2f x x =D ．()()22f x xx =≥9．(0分)[ID ：11749]设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则 A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z10．(0分)[ID ：11739]函数()2log ,0,2,0,xx x f x x ⎧>=⎨≤⎩则函数()()()2384g x fx f x =-+的零点个数是（ ） A ．5B ．4C ．3D ．611．(0分)[ID ：11736]函数()245f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为5，最小值为1，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[)2,+∞B ．[]2,4C ．[]0,4D ．(]2,412．(0分)[ID ：11731]已知函数21,0,()|log ,0,x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩若函数()y f x a =-有四个零点1x ，2x ，3x ，4x ，且12x x <3x <4x <，则312342()x x x x x ++的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．(1,0)-C ．(0,1]D ．[1,0)-13．(0分)[ID ：11729]已知函数f(x)={(2a −1)x +7a −2，（x <1）a x ，（x ≥1）在（-∞,+∞）上单调递减，则实数 a 的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．(0,12)C ．[38,12)D ．[38,1)14．(0分)[ID ：11803]设0.13592,ln ,log 210a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>15．(0分)[ID ：11768]已知函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，且()()f x f x -=，若12log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1.22b f -=，12c f⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．a c b >> B ．b c a >> C ．b a c >> D ．a b c >>二、填空题16．(0分)[ID ：11896]函数()f x 的定义域是__________．17．(0分)[ID ：11885]设f(x)={1−√x,x ≥0x 2,x <0，则f(f(−2))=________18．(0分)[ID ：11874]已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.19．(0分)[ID ：11867]已知函数1)4f x +=-，则()f x 的解析式为_________. 20．(0分)[ID ：11862]若幂函数()a f x x 的图象经过点1(3)9，，则2a -=__________.21．(0分)[ID ：11859]已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，2()2f x x x =-． 若关于x 的方程()0f x m -=有四个不同的实数解，则实数m 的取值范围是_____．22．(0分)[ID ：11846]已知312ab +=a b =__________. 23．(0分)[ID ：11844]有15人进家电超市，其中有9人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有3人，则这两 种都没买的有 人.24．(0分)[ID ：11835]甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程()(1,2,3,4)i f x i =关于时间(0)x x ≥的函数关系式分别为1()21x f x =-，22()f x x =，3()f x x =，42()log (1)f x x =+，有以下结论：①当1x >时，甲走在最前面； ②当1x >时，乙走在最前面；③当01x <<时,丁走在最前面，当1x >时，丁走在最后面； ④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面； ⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．其中，正确结论的序号为 （把正确结论的序号都填上,多填或少填均不得分）． 25．(0分)[ID ：11832]若关于x 的方程|x 2−2x −2|−m =0有三个不相等的实数根，则实数m 的值为_______.三、解答题26．(0分)[ID ：12018]设()4f x x x=- （1）讨论()f x 的奇偶性;（2）判断函数()f x 在()0,∞+上的单调性并用定义证明. 27．(0分)[ID ：11995]已知函数()2x f x =，1()22xg x =+．（1）求函数()g x 的值域；（2）求满足方程()()0f x g x -=的x 的值．28．(0分)[ID ：11974]已知幂函数2242()(22)m m f x m m x -+=--在(0,)+∞上单调递减.（1）求m 的值并写出()f x 的解析式；（2）试判断是否存在0a >，使得函数()(21)1()ag x a x f x =--+在[1,2]-上的值域为 [4,11]-？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.29．(0分)[ID ：11971]设集合A ＝{x ∈R|x 2＋4x ＝0}，B ＝{x ∈R|x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R }，若B ⊆A ，求实数a 的值．30．(0分)[ID ：11931]已知函数()f x A ，函数()0(11)2xg x x ⎫-⎛=⎪⎭≤ ≤⎝的值域为集合B .（1）求AB ；（2）若集合{}21C x a x a =≤≤-，且CB B =，求实数a 的取值范围.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．A 2．B 3．C4．C5．A6．A7．B8．B9．D10．A11．B12．C13．C14．A15．B二、填空题16．【解析】由得所以所以原函数定义域为故答案为17．-1【解析】【分析】由分段函数的解析式先求出f(-2)的值并判定符号从而可得f(f(-2))的值【详解】∵fx=1-xx≥0x2x<0-2<0∴f-2=-22=4>0所以f(f(-2))=f4=1-18．6【解析】【分析】先求函数周期再根据周期以及偶函数性质化简再代入求值【详解】由f(x+4)=f(x-2)可知是周期函数且所以【点睛】本题考查函数周期及其应用考查基本求解能力19．【解析】【分析】利用换元法求解析式即可【详解】令则故故答案为【点睛】本题考查函数解析式的求法换元法是常见方法注意新元的范围是易错点20．【解析】由题意有：则：21．【解析】【分析】若方程有四个不同的实数解则函数与直线有4个交点作出函数的图象由数形结合法分析即可得答案【详解】因为函数是定义在R上的偶函数且当时所以函数图象关于轴对称作出函数的图象：若方程有四个不同22．3【解析】【分析】首先化简所给的指数式然后结合题意求解其值即可【详解】由题意可得：【点睛】本题主要考查指数幂的运算法则整体数学思想等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力23．【解析】【分析】【详解】试题分析：两种都买的有人所以两种家电至少买一种有人所以两种都没买的有人或根据条件画出韦恩图：(人)考点：元素与集合的关系24．③④⑤【解析】试题分析：分别取特值验证命题①②；对数型函数的变化是先快后慢当x=1时甲乙丙丁四个物体又重合从而判断命题③正确；指数函数变化是先慢后快当运动的时间足够长最前面的动物一定是按照指数型函数 25．3【解析】令fx=x2-2x-2则由题意可得函数y=fx 与函数y=m 的图象有三个公共点画出函数fx=x2-2x-2的图象如图所示结合图象可得要使两函数的图象有三个公共点则m=3答案：3三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】由,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，求得,M N 的坐标，分别代入指数函数和对数函数的解析式，求得,a b 的值，即可求解. 【详解】由题意知(1,1)A ，且,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，所以11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 把11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数xy a =，即1313a =，解得127a =，把22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数log b y x =，即22log 33b =，即得3223b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以1a b <<. 故选A. 【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答熟练应用指数函数和对数函数的解析式求得,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2．B解析：B 【解析】 【分析】化简cos cos a A b B =得到A B =或2A B π+=，再判断充分必要性.【详解】cos cos a A b B =，根据正弦定理得到：sin cos sin cos sin 2sin 2A A B B A B =∴=故22A B A B =∴=或222A B A B ππ=-∴+=，ABC ∆为等腰或者直角三角形.所以“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的必要非充分条件 故选B 【点睛】本题考查了必要非充分条件，化简得到A B =或2A B π+=是解题的关键，漏解是容易发生的错误.3．C解析：C 【解析】 【分析】化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案． 【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．【点睛】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．4．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】分析：先解一元二次不等式得315[]22x <<，再根据[]x 定义求结果. 详解：因为[][]2436450x x -+<，所以315[]22x << 因为[][]2436450x x -+<，所以28x ≤<, 选C.点睛：本题考查一元二次不等式解法以及取整定义的理解，考查基本求解能力.5．A解析：A 【解析】 【分析】由题意首先确定函数g (x )的解析式，然后结合函数的解析式即可确定函数的图像. 【详解】∵函数()(1)xxf x k a a -=--(a >0,a ≠1)在R 上是奇函数，∴f (0)=0，∴k =2， 经检验k =2满足题意， 又函数为减函数， 所以01a <<， 所以g (x )=log a (x +2)定义域为x >−2，且单调递减，故选A . 【点睛】本题主要考查对数函数的图像，指数函数的性质，函数的单调性和奇偶性的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．A解析：A 【解析】 由题意{1,2,3,4}AB =，故选A.点睛:集合的基本运算的关注点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．7．B解析：B 【解析】 【分析】利用对数的运算法则将函数()()()224log log 41f x x x =++化为()2221log 1log 12x x +++，利用配方法可得结果.【详解】化简()()()224log log 41f x x x =++()2221log 1log 12x x =+++22211131log log 224161616x x ⎛⎫=++-≥-= ⎪⎝⎭，即()f x 的最小值为3116，故选B.【点睛】本题主要考查对数的运算法则以及二次函数配方法求最值，属于中档题. 求函数最值常见方法有，①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法；③不等式法；④单调性法；⑤图象法.8．B解析：B 【解析】 【分析】利用换元法求函数解析式，注意换元后自变量范围变化. 【详解】 令2x t +=,则2t ≥，所以()()()()2224t 251,2,f t t t t =-+-+=+≥即()21f x x =+ ()2x ≥.【点睛】本题考查函数解析式，考查基本求解能力.注意换元后自变量范围变化.9．D解析：D 【解析】令235(1)x y zk k ===>，则2log x k =，3log =y k ，5log =z k∴22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <，故选D. 点睛:对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.10．A解析：A 【解析】 【分析】通过对()g x 式子的分析，把求零点个数转化成求方程的根，结合图象，数形结合得到根的个数，即可得到零点个数． 【详解】 函数()()()2384g x f x f x =-+=()()322f x f x --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的零点即方程()23f x =和()2f x =的根， 函数()2log ,0,2,0xx x f x x ⎧>=⎨≤⎩的图象如图所示：由图可得方程()23f x =和()2f x =共有5个根， 即函数()()()2384g x f x f x =-+有5个零点,故选：A . 【点睛】本题考查函数的零点与方程的根的个数的关系，注意结合图象，利用数形结合求得结果时作图很关键，要标准．11．B解析：B 【解析】 【分析】由函数的解析式可得函数f （x ）＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1的对称轴为x ＝2，此时，函数取得最小值为1，当x ＝0或x ＝4时，函数值等于5，结合题意求得m 的范围． 【详解】∵函数f （x ）＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1的对称轴为x ＝2，此时，函数取得最小值为1， 当x ＝0或x ＝4时，函数值等于5．且f （x ）＝x 2﹣4x +5在区间[0，m ]上的最大值为5，最小值为1， ∴实数m 的取值范围是[2，4]， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质应用，利用函数图像解题是关键，属于中档题．12．C解析：C 【解析】作出函数函数()21,0,|log ,0,x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩的图象如图所示，由图象可知，123442,1,12x x x x x +=-=<≤， ∴ ()312334422222x x x x x x x ++=-+=-+， ∵422y x =-+在412x <≤上单调递增，∴41021x <-+≤，即所求范围为(]0,1。
浙江省宁波市高一上学期数学期中试试卷
浙江省宁波市高一上学期数学期中试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 设 x，y 满足约束条件 的最小值为（ ）.，若目标函数 z=ax+by（a>0，b>0）的最大值是 12，则A.B.C. D.4 2. （2 分） 已知全集 U=R，集合 M=，集合，则集合等于（ ）A.B.C. D.3. （2 分） (2019 高一上·东台期中) 已知，A . 16 B.4 C . 15 D.8第 1 页 共 12 页，则集合的真子集的个数是（ ）4. （2 分） (2019 高一上·东台期中) 已知一个偶函数的定义域为 A. B. C. D.,则的值为（ ）5. （2 分） (2019 高一上·东台期中) 若集合 值范围为（ ），，且，则 的取A.B.C.D.6. （2 分） (2019 高一上·东台期中) 下列函数中，既是奇函数又在区间是增函数的是（ ）A. B.C. D . y=|x﹣1|7. （2 分） (2019 高一上·东台期中) 函数的图象的大致形状是（ ）A.第 2 页 共 12 页B.C.D. 8. （2 分） (2019 高一上·东台期中) 下列各组函数中表示同一函数的是（ ）A.与B.与C.与D.与9. （2 分） (2019 高一上·东台期中) 若函数 域是（ ）A.B.C. D.的定义域是,则函数第 3 页 共 12 页的定义10.（2 分）(2019 高一上·东台期中) 设 A. B. C. D.,,,则下列选项中正确的是（ ）11. （2 分） (2019 高一上·东台期中) 已知函数 调递减，则 的取值范围是（ ）A.，若在上单B.C.D.12. （2 分） (2019 高一上·东台期中) 已知集合 的元素个数为分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合，即个且元素为正整数，将集合，，，，其中，，，若集合中的元素满足，，,则称集合 为“完美集合”例如:“完美集合”,此时．若集合，为“完美集合”,则 的所有可能取值之和为（ ）A.B.C.D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)第 4 页 共 12 页13. （1 分） (2017 高二下·洛阳期末) 若函数 h（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）图象的对称中心为 M（x0 ， h （x0）），记函数 h（x）的导函数为 g（x），则有 g′（x0）=0，设函数 f（x）=x3﹣3x2+2，则 f（ ） +f （ ） +…+f（ ） +f（ ） =________．14. （1 分） 已知 a＞b＞1，且 2logab+4logba=9，则函数 f（x）=|b2x﹣a|的单调递增区间为________．15. （1 分） (2020 高一下·易县期中) 函数的定义域为________．16. （1 分） (2017 高一上·西城期中) 已知函数，则函数的零点是________．三、 解答题 (共 6 题；共 65 分)17. （10 分） 已知函数 f（x）=﹣x2+2|x|．（Ⅰ）判断并证明函数的奇偶性；（Ⅱ）写出函数 f（x）的单调区间（不需证明）；（Ⅲ）求 f（x）在[﹣3，2]上的最大值和最小值．18. （10 分） (2020·如东模拟) 某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示.圆 O 的圆心与矩形 对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（E 为上切点），与左右两边相交（F，G 为其中两个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域.已知圆的半径为 1 积为 S.，且，设，透光区域的面（1） S 关于 的函数关系式，并求出定义域； （2） 根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好.当该比值最大时，求边 AB 的长度.19. （10 分） (2019 高二上·宾县月考) 已知命题 对数第 5 页 共 12 页且有意义；命题 实数 满足不等式，若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围.20.（10 分）(2019 高一上·东台期中) 已知函数（1） 求函数的定义域；，（且）．（2） 求使函数的值为负数的 的取值范围．21. （10 分） (2019 高一上·东台期中) 已知函数是偶函数,且时,．（1） 求函数的解析式；（2） 若函数在区间上的最小值是 ,求实数 的值．22. （15 分） (2019 高一上·东台期中) 已知函数过点．（1） 求的值；(其中 为常量,且)的图像经（2） 当时,函数的图像恒在函数图像的上方,求实数 的取值范围；（3） 是否存在实数,使得函数的值；若不存在,则说明理由.的定义域为,值域为?若存在,求出第 6 页 共 12 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 7 页 共 12 页16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 65 分)17-1、18-1、第 8 页 共 12 页18-2、 19-1、 20-1、第 9 页 共 12 页20-2、 21-1、21-2、第 10 页 共 12 页22-1、22-2、22-3、。
浙江省宁波2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷含答案
浙江省宁波2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（答案在最后）1.已知集合{||11},{14}A x x B x x =-<=≤≤∣∣，则A B = （）A.{12}x x <<∣B.{12}xx ≤<∣C .{04}xx <<∣ D.{04}xx <≤∣【答案】B 【解析】【分析】先求集合A ，再根据交集运算求解即可.【详解】由题意，因为集合{|02},{|14}A x x B x x =<<=≤≤所以{|12}A B x x =≤< .故选：B.2.已知命题2000:1,0p x x x ∃≥-<，则命题p 的否定为（）A.200010x ,x x ∃≥-≥ B.200010x ,x x ∃<-≥C.210x ,x x ∀<-≥ D.210x ,x x ∀≥-≥【答案】D 【解析】【分析】根据存在量词命题的否定方法对命题p 否定即可.【详解】由命题否定的定义可知，命题2000:1,0p x x x ∃≥-<的否定是：210x ,x x ∀≥-≥．故选：D.3.对于实数a ，b ，c ，下列结论中正确的是（）A.若a b >，则22>ac bcB.若>>0a b ，则11>a bC.若<<0a b ，则<a b b aD.若a b >，11>a b，则<0ab 【答案】D 【解析】【分析】由不等式的性质逐一判断．【详解】解：对于A ：0c =时，不成立，A 错误；对于B ：若>>0a b ，则11<a b，B 错误；对于C ：令2,a =-1b =-，代入不成立，C 错误；对于D ：若a b >，11>a b，则0a >，0b <，则<0ab ，D 正确；故选：D ．4.已知0x 是函数1()33xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的一个零点，则0x ∈（）A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由条件可得函数单调递减，再由零点存在定理即可得到结果.【详解】根据题意知函数1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间1,+∞上单调递减，函数()3f x x =-+在区间()1,∞+单调递减，故函数1()33xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间1,+∞上单调递减，又因1>2>3>0,4<0，又因()133xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在()1,∞+上是连续不中断的，所以根据零点存在定理即可得知存在()03,4x ∈使得()00f x =.故选：C5.“2a ≤”是“函数()2()ln 1f x x ax =-+在区间[)2,+∞上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据复合函数的单调性求函数()2()ln 1f x x ax =-+在区间[)2,+∞上单调递增的等价条件，在结合充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】二次函数21y x ax =-+图象的对称轴为2a x =，若函数()2()ln 1f x x ax =-+在区间[)2,+∞上单调递增，根据复合函数的单调性可得2≤24−2+1>0，即52a <，若2a ≤，则52a <，但是52a <，2a ≤不一定成立，故“2a ≤”是“函数()2()ln 1f x x ax =-+在区间[)2,+∞上单调递增”的充分不必要条件．故选：A 6.函数22()1xf x x =+的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，即可判断A 、B ，再根据0x >时函数值的特征排除C.【详解】函数22()1x f x x =+的定义域为R ，且()()2222()11x x f x f x x x --==-=-+-+，所以22()1xf x x =+为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A 、B ；又当0x >时()0f x >，故排除C.故选：D7.已知42log 3x =，9log 16y =，5log 4z =，则x ，y ，z 的大小关系为（）A.y x z >>B.z x y >>C.x y z >>D.y z x>>【答案】C 【解析】【分析】利用对数运算法则以及对数函数单调性可限定出x ，y ，z 的取自范围，即可得出结论.【详解】根据题意可得2222log 3log 3x ==，2233log 4log 4y ==，5log 4z =利用对数函数单调性可知32223log 3log log log 22x ===，即32x >；又323333331log 3log 4log log log 32y ====<，可得312y <<；而55log 4log 51z ==<，即1z <；综上可得x y z >>.故选：C8.已知函数323log ,03()1024,3x x f x x x x ⎧<≤=⎨-+>⎩，若方程()f x m =有四个不同的实根()12341234,,,x x x x x x x x <<<，则()()3412344x x x x x --的取值范围是（）A.(0,1)B.(1,0)- C.(4,2)- D.(2,0]-【答案】B 【解析】【分析】根据图象分析可得121x x =，()()343410,3,4,6,7x x x x +=∈∈，整理得3431233(4)(4)2410x x x x x x x ⎛⎫--=-++ ⎪⎝⎭，结合对勾函数运算求解.【详解】因为op =3log 3,0<≤32−10+24,>3，当3x >时()22()102451f x x x x =-+=--，可知其对称轴为5x =，令210240x x -+=，解得4x =或6x =；令210243x x -+=，解得3x =或7x =；当03x <≤时3()3log f x x =，令33log 3x =，解得13x =或3x=，作出函数=的图象，如图所示，若方程()f x m =有四个不同的实根12341234,,,()x x x x x x x x <<<，即()y f x =与y m =有四个不同的交点，交点横坐标依次为12341234,,,()x x x x x x x x <<<，则12341134673x x x x <<<<<<<<<，对于12,x x ，则3132log log x x =，可得3132312log log log 0x x x x +==，所以121x x =；对于34,x x ，则()()343410,3,4,6,7x x x x +=∈∈，可得4310x x =-；所以()()3434333431233334161024(4)(4)2410x x x x x x x x x x x x x x x -++--⎛⎫--===-++ ⎪⎝⎭，由对勾函数可知332410y x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在()3,4上单调递增，得()3324101,0x x ⎛⎫-++∈- ⎪⎝⎭，所以34123(4)(4)x x x x x --的取值范围是()1,0-.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是画出函数图象，结合函数图象分析出121x x =，()()343410,3,4,6,7x x x x +=∈∈，从而转化为关于3x 的函数；二、多选题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.函数1()21x f x -=+恒过定点(1,1)B.函数3x y =与3log y x =的图象关于直线y x =对称C.0x ∃∈R ，当0x x >时，恒有32x x >D.若幂函数()f x x α=在(0,)+∞单调递减，则0α<【答案】BCD 【解析】【分析】由指数函数的性质可判断A ；由反函数的性质可判断B ；由指数函数的增长速度远远快于幂函数，可判断C ；由幂函数的性质可判断D .【详解】对于A ，函数1()21x f x -=+恒过定点(1,2)，故A 错误；对于B ，函数3x y =与3log y x =的图象关于直线y x =对称，故B 正确；对于C ，因为指数函数的增长速度远远快于幂函数，所以0x x >时，恒有32x x >，故C 正确；对于D ，当0α<时，幂函数()f x x α=在(0,)+∞单调递减，故D 正确；故选：BCD .10.已知函数e 1()e 1x x f x +=-，则下列结论正确的是（）A.函数()f x 的定义域为RB.函数()f x 的值域为(,1)(1,)-∞-+∞C.()()0f x f x +-=D.函数()f x 为减函数【答案】BC 【解析】【分析】根据分母不为0求出函数的定义域，即可判断A ；再将函数解析式变形为2()1e 1xf x =+-，即可求出函数的值域，从而判断B ；根据指数幂的运算判断C ，根据函数值的特征判断D.【详解】对于函数e 1()e 1x x f x +=-，则e 10x -≠，解得0x ≠，所以函数的定义域为{}|0x x ≠，故A 错误；因为e 1e 122()1e 1e 1e 1x x x x xf x +-+===+---，又e 0x >，当e 10x ->时20e 1x >-，则()1f x >，当1e 10x -<-<时22e 1x<--，则()1f x <-，所以函数()f x 的值域为(,1)(1,)-∞-+∞ ，故B 正确；又11e 1e 1e 1e 1e 1e ()()01e 1e 1e 11e e 11e xxxx x x x x x xx xf x f x --++++++-+=+=+=+------，故C 正确；当0x >时()0f x >，当0x <时()0f x <，所以()f x 不是减函数，故D 错误.11.已知0,0a b >>，且1a b +=，则（）A.22log log 2a b +≥- B.22a b +≥C.149a b +≥ D.33114a b ≤+<【答案】BCD 【解析】【分析】利用基本不等式求出ab 的范围，即可判断A ；利用基本不等式及指数的运算法则判断B ；利用乘“1”法及基本不等式判断C ；利用立方和公式及ab 的范围判断D.【详解】因为0,0a b >>，且1a b +=，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时取等号，所以()22221log log log log 24a b ab +=≤=-，当且仅当12a b ==时取等号，故A 错误；22a b +≥=22a b =，即12a b ==时取等号，故B 正确；()14144559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当4b a a b =，即13a =，23b =时取等号，故C 正确；()()()2332222313a b a b a ab b a ab b a b ab ab +=+-+=-+=+-=-，因为104ab <≤，所以3034ab <≤，所以11314ab ≤-<，即33114a b ≤+<，故D 正确.故选：BCD12.对于定义在[]0,1上的函数()f x 如果同时满足以下三个条件：①()11f =；②对任意[]()0,1,0x f x ∈≥成立；③当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有()()()1212f x f x f x x +≤+成立，则称()f x 为“天一函数”.若()f x 为“天一函数”，则下列选项正确的是（）A.()00f =B.()0.50.5f ≤C.()f x 为增函数 D.对任意[0,1]x ∈，都有()2f x x ≤成立【答案】ABD【分析】对于A ，令120x x ==，结合题中条件即可求解；对于B ，令120.5x x ==，结合题中条件即可求解；对于C ，令2121101X x x x X +>≥=≥=，结合性质②③可得()()21f X f X ≥，因此有()f x 在[]0,1x ∈上有递增趋势的函数(不一定严格递增)，即可判断；对于D ，应用反证法：若存在[]00,1x ∈，使0>20成立，讨论1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，10,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，结合递归思想判断0x 的存在性.【详解】对于A ，令120x x ==，则()()()000f f f +≤，即()00f ≤，又对任意[]()0,1,0x f x ∈≥成立，因此可得()00f =，故A 正确；对于B ，令120.5x x ==，则()()()0.50.51f f f +≤，又()11f =，则()0.50.5f ≤，故B 正确；对于C ，令2121101X x x x X +>≥=≥=，则221(0,1]x X X -∈=，所以()()()()()()12122121f X f X X f X f X f X f X X +-≤⇒-≥-，又对任意[]()0,1,0x f x ∈≥成立，则()221()0f x f X X =-≥，即()()210f X f X -≥，所以()()21f X f X ≥，即对任意1201x x ≤<≤，都有()()12f x f x ≤，所以()f x 在[]0,1x ∈上非递减，有递增趋势的函数(不一定严格递增)，故C 错误；对于D ，由对任意1201x x ≤<≤，都有()()12f x f x ≤，又()00f =，()11f =，故()[]0,1f x ∈，反证法：若存在[]00,1x ∈，使0>20成立，对于1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()1f x ≤，而21x ≥，此时不存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使0>20成立；对于10,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，若存在010,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭使0>20成立，则()()()002f f x f x ≥，而[)020,1x ∈，则()()()()000022f x f x f x f x ≥+=，即0≥20>40，由()[)00,1f x ∈，依次类推，必有[)0,1∈t ，0()2nf t x >且*n ∈N 趋向于无穷大，此时()[0,1)f t ∈，而02nx 必然会出现大于1的情况，与>20矛盾，所以在10,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上也不存在010,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭使0>20成立，综上，对任意[]0,1x ∈，都有()2f x x ≤成立，故D 正确；故选：ABD.【点睛】关键点点睛：对于D ，应用反证及递归思想推出1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，10,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭情况下与假设矛盾的结论.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若23(1)()log (1)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则(0)(8)f f +=______.【答案】4【解析】【分析】根据分段函数解析式计算可得.【详解】因为23(1)()log (1)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，所以()0031f ==，()32228log 8log 23log 23f ====，所以(0)(8)4f f +=.故答案为：414.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()22xf x x =-，则()()10f f -+＝__________．【答案】1-【解析】【分析】根据()f x 是定义在R 上的奇函数，可得(1)(1)f f -=-，(0)0f =，只需将1x =代入表达式，即可求出(1)f 的值，进而求出(1)(0)f f -+的值．【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，可得(1)(1)f f -=-，(0)0f =，又当0x >时，()22xf x x =-，所以12(1)211f =-=，所以(1)(0)101f f -+=-+=-．故答案为：1-【点睛】本题主要考查利用奇函数的性质转化求函数值，关键是定义的灵活运用，属于基础题．15.定义在R 上的偶函数()f x 满足：在[)0,+∞上单调递减，则满足()()211f x f ->的解集________.【答案】()0,1【解析】【分析】利用偶函数，单调性解抽象不等式【详解】因为()f x 为定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递减，所以()()()()211211f x f fx f ->⇔->，所以2111211x x -<⇔-<-<，即01x <<，故答案为：()0,116.设函数31()221x f x =-+，正实数,a b 满足()(1)2f a f b +-=，则2212b aa b +++的最小值为______.【答案】14##0.25【解析】【分析】首先推导出()()2f x f x +-=，再说明()f x 的单调性，即可得到1a b +=，再由乘“1”法及基本不等式计算可得.【详解】因为31()221x f x =-+，所以3132()221221xx xf x --=-=-++，所以331()()22221221x x x f x f x +-=-+-=++，又21x y =+在定义域R 上单调递增，且值域为()1,+∞，1y x =-在()1,+∞上单调递增，所以31()221x f x =-+在定义域R 上单调递增，因为正实数,a b 满足()(1)2f a f b +-=，所以10a b +-=，即1a b +=，所以()()222211212412b a b a a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()()2222211412b b a a b a a b ⎡⎤++=+++⎢⎥++⎣⎦()()22222111124444b a b a ab a b ⎡⎢≥++=++=+=⎢⎣，当且仅当()()222112b b a a a b ++=++，即35a =，25b =时取等号，所以2212b a a b +++的最小值为14.故答案为：14四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.计算下列各式的值.（1）20.5233727228)9643-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）2log 3223(lg5)lg2lg50log 3log 22+⨯+⋅+【答案】（1）229（2）5【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算可得；（2）根据对数的运算性质及换底公式计算可得.【小问1详解】20.5233727229643-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2223333212139245-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦2323332521334⎛⎫⨯- ⎪⨯⎝⎭⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭5162221399=+-+=.【小问2详解】2log 3223(lg5)lg2lg50log 3log 22+⨯+⋅+()210lg 3lg 2(lg 5)lg lg 10535lg 2lg 3⎛⎫=+⨯⨯+⋅+ ⎪⎝⎭()()2(lg5)1lg51lg513=+-⨯+++()()22lg 51lg 5135=+-++=.18.设全集为R ，已知集合{}2|280A x R x x =∈--≤，(){}2|550B x R x m x m =∈-++≤.（1）若3m =，求A B ，R A ð；（2）若R B A ⊆ð，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}25A B x R x ⋃=∈-≤≤；{2R A x x =<-ð或}4x >；（2）4m >.【解析】【分析】（1）先解不等式求出集合A ，B ，根据补集的概念，以及并集的概念，即可得出结果；（2）由（1）得出R A ð，再对m 分类讨论，即可得出结果.【详解】（1）因为{}{}228024A x R x x x R x =∈--≤=∈-≤≤，则{2R A x x =<-ð或}4x >；若3m =，则{}{}2815035B x R x x x R x =∈-+≤=∈≤≤，所以{}25A B x R x ⋃=∈-≤≤.（2）由（1）{2R A x x =<-ð或}4x >，()(){}|50B x R x x m =∈--≤，当5m =时，则{5}B =，满足R B A ⊆ð；当5m >时，则[5,]B m =，满足R B A ⊆ð；当5m <时，则[,5]B m =，为使R B A ⊆ð，只需4m >，所以45m <<.综上，4m >.19.为了节能减排，某农场决定安装一个可使用10年旳太阳能供电设备．使用这种供电设备后，该农场每年消耗的电费C （单位：万元）与太阳能电池面积x （单位：平方米）之间的函数关系为4,0105(),10m xx C x m x x-⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，（m 为常数），已知太阳能电池面积为5平方米时，每年消耗的电费为12万元．安装这种供电设备的工本费为0.5x （单位：1万元），记()F x 为该农场安装这种太阳能供电设备的工本费与该农场10年消耗的电费之和（1）写出()F x 的解析式；（2）当x 为多少平方米时，()F x 取得最小值？最小值是多少万元？【答案】（1）1607.5,010()8000.5,10x x F x x x x-≤≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩；（2）40平方米，最小值40万元.【解析】【分析】（1）根据给定的条件，求出m 值及()C x 的解析式，进而求出()F x 的解析式作答.（2）结合均值不等式，分段求出()F x 的最小值，再比较大小作答.【小问1详解】依题意，当5x =时，()12C x =，即有45125m -⨯=，解得80m =，则804,0105()80,10xx C x x x -⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，于是得1607.5,010()10()0.58000.5,10x x F x C x x x x x -≤≤⎧⎪=+=⎨+>⎪⎩，所以()F x 的解析式是1607.5,010()8000.5,10x x F x x x x-≤≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩.【小问2详解】由（1）知，当010x ≤≤时，()1607.5F x x =-在[0,10]上递减，min ()(10)85F x F ==，当10x >时，800()402x F x x =+≥=，当且仅当8002x x =，即40x =时取等号，显然4085<，所以当x 为40平方米时，()F x 取得最小值40万元.【点睛】方法点睛：在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．20.已知函数1()2(R)2xx m f x m -=-∈是定义在R 上的奇函数.（1）求m 的值；（2）根据函数单调性的定义证明()f x 在R 上单调递增；（3）设关于x 的函数()()()9143xxg x f m f =++-⋅有零点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）2m =（2）证明见解析（3）(],3-∞【解析】【分析】（1）由奇函数性质(0)0f =求得参数值，再验证符合题意即可；（2）根据单调性的定义证明；（3）令()0g x =，结合()f x 的单调性得到9431x x m +=⋅-，参变分离可得1943x x m =-+-⨯，依题意可得关于x 的方程1943x x m =-+-⨯有解，令()1943xxh x =-⨯+-，则y m =与()y h x =有交点，利用换元法求出()h x 的值域，即可得解.【小问1详解】因为1()2(R)2xxm f x m -=-∈是定义在R 上的奇函数，所以(0)1(1)0f m =--=，解得2m =，当2m =时，1()2222xx xx f x -=-=-，满足()()f x f x -=-，()f x 是奇函数，所以2m =；【小问2详解】由（1）可得1()22x x f x =-，设任意两个实数12,R x x ∈满足12x x <，则1212121212111()()22(22)(1)2222xx x x x x x x f x f x -=--+=-+⋅，∵12x x <，∴12022x x <<，1211022x x +>⋅，∴12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <，所以()f x 在R 上为单调递增；【小问3详解】令()0g x =，则()()9143xxf m f +=--⋅，又()f x 是定义在R 上的奇函数且单调递增，所以()()1943xxf m f +=⋅-，则9431x x m +=⋅-，则1943x x m =-+-⨯，因为关于x 的函数()()()9143xxg x f m f =++-⋅有零点，所以关于x 的方程1943x x m =-+-⨯有解，令()1943xxh x =-⨯+-，则y m =与()y h x =有交点，令3x t =，则()0,t ∈+∞，令()214H t t t +--=，()0,t ∈+∞，则()()222314H t t t t +-==---+，所以()H t 在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减，所以()(],3H t ∈-∞，所以()(],3h x ∈-∞，则(],3m ∈-∞，即实数m 的取值范围为(],3-∞.21.设R a ∈，已知函数()y f x =的表达式为21()log f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）当3a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）设0a >，若存在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得函数()y f x =在区间[],2t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(,1)(0,)-∞-⋃+∞（2）1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）根据函数的单调性转化为自变量的不等式，解得即可；（2）根据函数的单调性求出最值，根据不等式有解分离参数求取值范围.【小问1详解】当3a =时，21()log 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，不等式()1f x >，即21log 31x ⎛⎫+>⎪⎝⎭，所以132x +>，即10x x +>，等价于()10x x +>，解得1x <-或0x >；所以不等式()1f x >的解集为(,1)(0,)-∞-⋃+∞；【小问2详解】因为0a >，1[,1]2t ∈，所以当[,2]x t t ∈+时，函数1y a x=+为减函数，所以函数()21log f x a x ⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间[],2t t +上单调递减，又函数()y f x =在区间[],2t t +上最大值和最小值的差不超过1，所以()()21f t f t -+≤，即2211log ()log ()12a a t t +-+≤+，即222111log ()1log ()log 2()22a a a t t t +≤++=+++所以112()2a a t t +≤++，即存在1[,1]2t ∈使122a t t ≥-+成立，只需min122a t t ⎛⎫≥- ⎪+⎝⎭即可，考虑函数121,[,1]22y t t t =-∈+，221,[,1]22t y t t t -=∈+，令321,2r t ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，213,1,86826r y r r r r r⎡⎤==∈⎢⎥-+⎣⎦+-，设()8g r r r =+，其中31,2r ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，任取123,1,2r r ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且12r r <，则()()()212121212121888r r g r g r r r r r r r r r ⎛⎫--=+--=- ⎪⎝⎭，因为12r r <，所以210r r ->，因为123,1,2r r ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2180r r -<，所以()()21g r g r <，所以函数()g r 在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以86y r r =+-在31,2r ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，所以856,36r r ⎡⎤+-∈⎢⎥⎣⎦，116,8356r r⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦+-，所以13a ≥，所以a 的取值范围为1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.22.已知函数43()21x x f x +=+，函数2()||1g x x a x =-+-.（1）若[0,)x ∈+∞，求函数()f x 的最小值；（2）若对1[1,1]x ∀∈-，都存在2[0,)x ∈+∞，使得()()21f x g x =，求a 的取值范围.【答案】（1）2（2）1313,,44⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】【分析】（1）首先利用指数运算，化简函数()()421221xx f x =++-+，再利用换元，结合对勾函数的单调性，即可求解函数的最值；（2）首先将函数()f x 和()g x 在定义域的值域设为,A B ，由题意可知B A ⊆，()02g ≥，确定a 的取值范围，再讨论去绝对值，求集合B ，根据子集关系，比较端点值，即可求解.【小问1详解】若[)0,x ∈+∞，()()()()221221442122121x x x x xf x +-++==++-++，因为[)0,x ∈+∞，令212x t =+≥，则()42,2y t t t=+-≥，又因为42y t t=+-在[)2,+∞上单调递增，当2t =，即0x =时，函数取得最小值2；【小问2详解】设()f x 在[)0,+∞上的值域为A ，()g x 在[]1,1-上的值域为B ，由题意可知，B A ⊆，由（1）知[)2,A =+∞，因为()012g a =-≥，解得：3a ≥或3a ≤-，当3a ≥时，且[]11,1x ∈-，则10x a -<，可得()222111111151124g x x a x x x a x a ⎛⎫=-+-=-+-=-+- ⎪⎝⎭，可得()1g x 的最大值为()11g a -=+，最小值为1524g a ⎛⎫=-⎪⎝⎭，即5,14B a a ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，可得524a -≥，解得：134a ≥，当3a ≤-时，且[]11,1x ∈-，10x a ->，可得()222111111151124g x x a x x x a x a ⎛⎫=-+-=+--=+-- ⎪⎝⎭，可知，()1g x 的最大值为()11g a =-，最小值为1524g a ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即5,14B a a ⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦，可得524a --≥，解得：134a ≤-，综上可知，a 的取值范围是1313,,44⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是求函数()g x 的值域，根据()02g ≥，缩小a 的取值范围，再讨论去绝对值.。
浙江省宁波市2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷含解析
宁波2023学年第一学期高一数学期中考试卷（答案在最后）考生须知：1．本卷满分100分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题卷．第Ⅰ卷（选择题部分，共40分）一、选择题：本题共8小题．每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.命题“x ∀∈Z ，20x >”的否定为（）A.x ∀∈Z ，20x ≤B.x ∀∉Z ，20x ≤ C.x ∃∈Z ，20x ≤ D.x ∃∉Z ，20x ≤【答案】C 【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题分析判断.【详解】由题意可得：命题“x ∀∈Z ，20x >”的否定为“x ∃∈Z ，20x ≤”.故选：C.2.“1x >-”是“2230x x -++<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】解一元二次不等式，再由充分条件、必要条件判断即可.【详解】由2230x x -++<可得2230x x -->，解得3x >或1x <-，因为1x >-成立推不出3x >或1x <-，而3x >或1x <-成立不能推出1x >-，故“1x >-”是“2230x x -++<”的既不充分也不必要条件.故选：D 3.函数()11x f x a +=-（1a >）的图象必经过点（）A.()0,1- B.()1,1-- C.()0,0 D.()1,0-【答案】D【分析】令10x +=即可求解.【详解】令10x +=，则=1x -，代入函数()11x f x a +=-，解得0y =，则函数()11x f x a +=-（1a >）的图象必经过点()1,0-.故选：D4.设1lg 202a =+4log 5b =，则2b a +的值为（）A.2+B.1+C.27D.26【答案】B 【解析】【分析】根据对数的运算法则及性质化简求值即可.【详解】因为1lg 202a =+4log 5b =，所以41log 5log 24lg10412b a =++==++，故选：B5.函数()321y x =+的图象可以看成将某个奇函数的图象（）A .向左平移1个单位得到B.向左平移12个单位得到C.向右平移1个单位得到 D.向右平移12个单位得到【答案】B 【解析】【分析】根据函数的平移变换规则判断即可.【详解】()321y x =+可以由()32y x =向左平移12个单位得到，其中()()32y g x x ==定义域为R 且()()()()3322g x x x g x -=-=-=-，即()32y x =为奇函数.故选：B6.函数()f x =）A.(]2,3 B.[][)1,23,⋃+∞ C.()[),23,-∞⋃+∞ D.[)[)1,23,+∞【解析】【分析】根据题意结合分式不等式运算求解.【详解】由题意可得：()()21302--≥-x x x ，因为()210x -≥，原不等式等价于302x x -≥-，等价于()()32020x x x ⎧--≥⎨-≠⎩，解得3x ≥或2x <，所以函数()f x 的定义域为()[),23,-∞⋃+∞.故选：C.7.若不等式240x ax ++≤对任意实数[]3,1x ∈--恒成立，则实数a 的最小值为（）A.0B.4C.133D.5【答案】D 【解析】【分析】通过分离常量，将恒成立问题转化成求最值，利用函数的单调性求解即可．【详解】当[]3,1x ∈--时，240x ax ++≤恒成立，即4a x x ⎛⎫≥-+⎪⎝⎭恒成立，令4(),[3,1]g x x x x ⎛⎫=-+∈-- ⎪⎝⎭，1212122112124()()((4)4x x g x g x x x x x x x x x ⎛⎫--=-+++=- ⎪⎝⎭当[]12,3,2x x ∈--且12x x <时，2112120,40,0x x x x x x ->->>，则12()()0g x g x ->，当[)121,2,x x --∈且12x x <时，2112120,40,0x x x x x x ->-<>，则12()()0g x g x -<，可得()g x 在[]3,2--上单调递减，在(]2,1--上单调递增，又13(3),(2)4,(1)53g g g -=-=-=，所以()g x 最大值为(1)5g -=，∴5a ≥，则实数a 的最小值为5．故选：D ．8.已知函数()f x =，()()g x f x =，则使()25204g m g m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≥成立的实数m 的取值范围为（）A.11,28⎡⎤--⎢⎣⎦B.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.11,8⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】【分析】跟函数的单调性、奇偶性化简不等式()25204g m g m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≥，由此求得m 的取值范围.【详解】依题意，()f x =，由12010x x +≥⎧⎨-≥⎩解得112x -≤≤，所以()f x 的定义域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.由112x -≤≤，解得11x -≤≤，所以()()g x f x =的定义域为[]1,1-，由于()()()()g x fx f x g x -=-==，所以()g x 是偶函数.当01x ≤≤时，()()()g x fx f x ===所以当10x -≤≤时，()g x 为减函数.由()25204g m g m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≥得()2524g m g m ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，所以225245121411m m m m ⎧+≥⎪⎪⎪-≤+≤⎨⎪-≤≤⎪⎪⎩，解得11,28m ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦.故选：A【点睛】求解含有函数符号的不等式的方法，主要是考虑奇偶性、单调性、定义域等方面，特别是定义域是很容易忽略的地方，求解函数的性质前，首先必须求得函数的定义域，要在函数的定义域的范围内来对函数进行研究.二、选择题：本题共4小题．每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列函数与,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩表示同一函数的是（）A.y x =B.y =C.2y =D.2x y x=【答案】AB 【解析】【分析】根据同一函数的概念判断即可．【详解】,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩的定义域为R ．,0,0x x y x x x ≥⎧==⎨-<⎩，与,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩定义域与对应关系均相同，故A 正确；,0,0x x y x x x ≥⎧===⎨-<⎩，与,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩定义域与对应关系均相同，故B 正确；2y =的定义域为[0,)+∞，与,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩定义域不同，故C 错误；2x y x =的定义域为{}|0x x ≠，与,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩定义域不同，故D 错误．故选：AB ．10.下列说法中正确的是（）A.若a b >，则22a b >B.若0a b >>，则11a b b a+>+C.若a b >，c d >，则ac bd > D.若0a b >>，0c <，则c ca b>【答案】ABD 【解析】【分析】根据不等式的性质，即可判断.【详解】对A ，若a b >，则22a b >，A 正确；对B ，若0a b >>，则110b a >>，则11a b b a+>+，B 正确；对C ，若a b >，c d >，设2,1,1,2a b c d ===-=-，此时ac bd =，C 错误；对D ，若0a b >>，0c <，则110b a >>，则c cb a<，D 正确.故选：ABD11.已知正实数a ，b 满足1a b +=，则下列选项中正确的是（）A.ab 的最大值为12 B.11a b+的最小值为4C.22a b +的最大值为12 D.22a b +的最小值为【答案】BD 【解析】【分析】根据基本不等式，结合已知条件判断ab 、11a b+、22a b +、22a b +的最值，注意不等式等号成立的条件，进而判断各项的正误.【详解】对A ，由a b +≥，又1a b +=，所以14ab ≤，当且仅当12a b ==时等号成立，A 错误；对B ，1111()224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时等号成立，B 正确；对C ，由22222a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭得()2222()a b a b +≥+，即2212a b +≥，当且仅当12a b ==时等号成立，C 错误；对D ，由22a b +≥=，当且仅当12a b ==时等号成立，D 正确.故选：BD12.已知函数()22f x x x =--，()2g x x =-，用{}max ,m n 表示m ，n 中的最大值，x ∀∈R ，记函数()()(){}max ,h x f x g x =，则下列选项中正确的是（）A.方程()2h x =有3个解B.方程()()f h x k =最多有4个解C.()1h x x >+的解集为⎪()1,3,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭D.方程()()h h x x =在[)0,x ∈+∞上的根为1+【答案】ABC 【解析】【分析】根据定义求得()h x 的表达式，作出()h x 的图象，利用图象可判断ABD ，结合()y h x =的图象分类讨论解不等式()1h x x >+判断C ．【详解】由222x x x -->-得0x <或2x >，即此时2()2h x x x =--，02x ≤≤时，()2h x x =-，作出()h x 的图象，如图，由图象可知，()2h x =有两个解，()2h x =-有一个解，即()2h x =有3个解，A 正确；例如0k =时，由2()20f x x x =--=得=1x -或2x =，显然()1h x =-与()2h x =都有2个解，因此(())0f h x =有4个解，又()f x m =与()h x n =都最多有2个解，因此B 正确；作出()y h x =的图象和直线1y x =+，如下图，由21x x -=+得12x =，由221x x x -->+，解得1x <-或3x >，结合()y h x =的图象与直线1y x =+知C 正确；02x ≤≤时，()2h x x =-，由(())h h x x =得2(2)(2)2x x x ----=的解是35x =35x =+舍去），2x >时，2()2h x x x =--，由222x x --=得1172x +=（1172舍去），11722x +<≤时，由(())h h x x =得2(2)2x x x ---=，无解，1172x +>时，由(())h h x x =得222(2)(2)2x x x x x ------=，化简22x x x --=或22x x x --=-，2x =±13x =±，只有13x =符合题意，其它均舍去，因此在[0,)+∞上的解是35-13+D 错．故选：ABC ．第Ⅱ卷（非选择题部分，共60分）三、填空题：本题共4小题．每小题3分，共12分．13.已知12x f x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，则()f x 的解析式为______________．【答案】22x -【解析】【分析】利用换元法求函数解析式.【详解】令12=+xt ，则22x t =-，可得()22=-f t t ，所以()22f x x =-.故答案为：22x -.14.已知集合{}2,2,1A a a a a =---，若1A -∈，则实数a 的值为______________．【答案】1-或0【解析】【分析】根据元素与集合关系列式求解，利用元素的互异性进行验证.【详解】由题意，1A -∈，若1a =-，此时223,11a a a -=---=，符合题意；若21a -=-，则1a =，此时211a a --=-，不符合题意；若211a a --=-，则1a =或0a =，1a =时，221,11a a a -=---=-，不符合题意；0a =时，222,11a a a -=---=-，符合题意，综上，1a =-或0a =.故答案为：1-或0.15.设函数()22x axf x +=在区间()0,1上单调递增，则a 的取值范围是______________．【答案】[0,)+∞【解析】【分析】根据题意，由复合函数的单调性，列出不等式，代入计算，即可得到结果.【详解】函数2x y =在R 上单调递增，而函数()22x axf x +=在区间()0,1上单调递增，故需2y x ax =+在区间()0,1上单调递增，即02a-≤，即0a ≥.则a 的取值范围是[0,)+∞.故答案为：[0,)+∞16.函数2167x y x x -=-+，0x >的值域为______________．【答案】21,,47∞∞⎛⎤+⎛⎫--⋃-+ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦【解析】【分析】由题意分析可得关于x 的方程()261710-+++=yx y x y 有正根，分0y =和0y ≠两种情况，结合二次函数分析求解.【详解】因为2167x y x x -=-+，整理得()261710-+++=yx y x y ，可知关于x 的方程()261710-+++=yx y x y 有正根，若0y =，则10x -+=，解得1x =，符合题意；若0y ≠，则211670⎛⎫-+++= ⎪⎝⎭x x y y ，可得1602170y y ⎧+⎪≤⎪⎨⎪+<⎪⎩或2160211Δ6470y y y ⎧+⎪>⎪⎪⎨⎪⎛⎫⎛⎫⎪=+-+≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得17<-y或14≥y 且10≠y ，则107-<<y 或0y >或224y +≤-；综上所述：17>-y 或224y +<-，即函数2167x y x x -=-+，0x >的值域为21,,47∞∞⎛⎤+⎛⎫--⋃-+ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦.故答案为：21,,47∞∞⎛⎤+⎛⎫--⋃-+ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦.四、解答题：本题共6小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算：（110.7531160.1258-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭；（2）已知11222a a -+=，求133a a a a --++的值．【答案】（1）298（2）1【解析】【分析】（1）指数的运算法则及性质化简求解；（2）根据式子的结构特征，利用完全平方公式及立方和公式化简即可得解.【小问1详解】10.7531160.1258-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭213334(0.75)2712182⨯⨯-⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3912142-=-++298=【小问2详解】因为11222a a -+=，所以21112224a a a a --⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭，即12a a -+=，所以()212224a a a a --+=++=，即222a a -+=，所以1133122221111(21)()1a a a a a a a a a a a a -------+-+++====++-.18.设集合{}52A x x =-<，{}121B x m x m =+≤≤-．（1）当5m =时，求A B ⋃R ð；（2）若A B B = ，求实数m 的取值范围．【答案】18.{R |7A B x x ⋃=<ð或9}x ≥19.{|4m m <且2}m ≠【解析】【分析】（1）求集合A 与R B ð，再结合并集的概念计算即可；（2）因为A B B = ，所以B A ⊆，分B =∅和B ≠∅两种情况讨论，由B A ⊆列不等式组，求解集即可.【小问1详解】由题意得{}{}|52|37A x x x x =-<=<<，当5m =时，{}|69B x x =≤≤，所以{R |6B x x =<ð或}9x >，所以{R |7A B x x ⋃=<ð或}9x >.【小问2详解】因为A B B = ，所以B A ⊆，当121m m +>-，即2m <时，B =∅，满足B A ⊆.当2m =时，{}3B =，不满足题意，当121m m +<-，即m>2时，要使B A ⊆成立，只需13,217,m m +>⎧⎨-<⎩即24m <<.综上，当B A ⊆时，m 的取值范围是{|4m m <且}2m ≠.19.已知函数()3131-=+x x f x ．（1）判断()f x 在R 上单调性并证明；（2）当1x ≥时，()()g x f x =，且x ∀∈R ，()()11g x g x +=-，求()g x 的解析式．【答案】（1）证明见解析；（2）31,131()93,193x x x xx g x x ⎧-≥⎪⎪+=⎨-⎪<⎪+⎩.【解析】【分析】（1）根据单调性的定义证明，设12,R x x ∈，且12x x <，()()120f x f x -<；（2）由()()11g x g x +=-转化为()()2g x g x =-，设1x <时，则21x ->，代入解析式，即可求解.【小问1详解】设12,R x x ∈，且12x x <，()()()()()x x x x x x x x f x f x ----=+++=+-1212121212313123331313131，12x x < ，,,x x x x ∴<>>1212333030，则()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以()f x 在R 上单调递增.【小问2详解】当1x ≥时，()3131x x g x -=+，由x ∀∈R ，()()11g x g x +=-，即()()2g x g x =-，当1x <时，则21x ->，则()22319331932x xx x g x ---=--=++，则当1x <时，()xx g x -=+9393，故函数()g x 的解析式为31,131()93,193x x x xx g x x ⎧-≥⎪⎪+=⎨-⎪<⎪+⎩.20.（1）若x ∀∈R ，210ax ax -+>，求实数a 的取值范围；（2）若[]2,1a ∃∈--，210ax ax -+>，求实数x 的取值范围．【答案】（1）[0,4)（2）11,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据全称命题为真，分类讨论不等式恒成立即可；（2）根据存在性命题为真，转化为不等式有解，求最大值后解不等式即可.【详解】（1）因为x ∀∈R ，210ax ax -+>，①当0a =时，不等式10>对x ∀∈R 成立，符合题意.②当0a ≠时，若不等式210ax ax -+>对x ∀∈R 恒成立，则20Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩，解得04a <<，综上，实数a 的取值范围[0,4).（2）[]2,1a ∃∈--，210ax ax -+>，即[]2,1a ∃∈--，21x x a-<-，所以2max1x x a ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，而1y x =-在[]2,1x ∈--上单调递增，所以21x x -<，解得1122x -+<<，故实数x的取值范围11,22⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.21.已知函数()()211,022,0a x x f x ax x a x ⎧--<⎪=⎨⎪+-≥⎩．（1）若()f x 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）求()f x 在区间[]1,2上的最大值．【答案】（1）10,2⎡⎤⎢⎣⎦（2）答案见解析【解析】【分析】（1）分0a =和0a ≠两种情况，结合分段函数单调性分析求解；（2）分类讨论()f x 在区间[]1,2上的单调性，结合单调性求最值.【小问1详解】因为()f x 在R 上单调递增，则有：若0a =，则()1,022,0x x f x x x ⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩，因为1,22=-=y x y x 在定义域内单调递增，且102-<，所以0a =符合题意；若0a ≠，则1001012a a a a ->⎧⎪>⎪⎪⎨-≤⎪⎪-≤-⎪⎩，解得102a <≤，综上所述：实数a 的取值范围10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】因为[]1,2x ∈，则()22=+-f x ax x a ，（i ）若0a =，可知()2f x x =在[]1,2上单调递增，最大值为()24f =；（ⅱ）若0a >，则()22=+-f x ax x a 开口向上，对称轴10x a=-<，可知()f x 在[]1,2上单调递增，最大值为()234=+f a ；（ⅲ）若a<0，则()22=+-f x ax x a 开口向下，对称轴10x a =->，①当101a <-≤，即1a ≤-时，可知()f x 在[]1,2上单调递减，最大值为()12f =；②当12a -≥，即102a -≤<时，可知()f x 在[]1,2上单调递增，最大值为()234=+f a ；③当112a <-<，即112a -<<-时，可知()f x 在11,⎡⎫-⎪⎢⎣⎭a 上单调递增，在1,2a ⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递减，所以最大值为11⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭f a a a ；综上所述：若12a ≥-，()f x 在区间[]1,2上的最大值为()234=+f a ；若112a -<<-，()f x 在区间[]1,2上的最大值为11⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭f a a a ；若1a ≤-，()f x 在区间[]1,2上的最大值为()12f =.22.黎曼函数是一个特殊的函数，是德国著名数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在数学中有广泛的应用．黎曼函数定义在[]0,1上，()()1,(,N ,)0,010,1p p x p q q q q R x x +⎧=∈⎪=⎨⎪=⎩为既约真分数或或内的无理数．（1）请用描述法写出满足方程(),(0)R x x x =≠的解集；（直接写出答案即可）（2）解不等式()1155R x x >+；（3）探究是否存在非零实数,k b ，使得()y R kx b =+为偶函数？若存在，求k ，b 应满足的条件；若不存在，请说明理由．【答案】（1）{|x 1,x q=q 为大于1的正整数}（2）11,23⎧⎫⎨⎬⎩⎭（3）存在，11,2k b ==【解析】【分析】（1）根据黎曼函数的定义，分类讨论求解；（2）根据黎曼函数的定义，分类讨论求解；（3）根据黎曼函数的定义，分类讨论可证得()(1)R x R x =-，则()R x 关于12x =对称，即1122R x R x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12R x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，即可得解.【小问1详解】依题意，0x ≠，当1x =时，()0R x =，则方程()R x x =无解，当x 为()0,1内的无理数时，()0R x =，则方程()R x x =无解，当p x q =(,N ,p p q q +∈为既约真分数)时，则()1R x q=，q 为大于1的正整数，则由方程()R x x =，解得1x q=，q 为大于1的正整数，综上，方程(),(0)R x x x =≠的解集为{|x 1,x q =q 为大于1的正整数}.【小问2详解】若0x =或1x =或x 为()0,1内无理数时，()0R x =，而11055x +>，此时()1155x x R <+，若p x q =(,N ,p p q q +∈为既约真分数)，则()1R x q=，q 为大于1的正整数，由()1155R x x >+，得11155q p q >⋅+，解得5p q +<，又因为p x q =(,N ,p p q q+∈为既约真分数)，所以11,23x =，综上，不等式()1155R x x >+的解为11,23⎧⎫⎨⎬⎩⎭.【小问3详解】存在非零实数11,2k b ==，使得()y R kx b =+为偶函数，即12y R x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为偶函数，证明如下：当0x =或1x =时，有(0)(1)0R R ==成立，满足()(1)R x R x =-，当x 为(0,1)内的无理数时，1x -也为(0,1)内的无理数，所以()(1)0R x R x =-=，满足()(1)R x R x =-，当p x q =(,N ,p p q q +∈为既约真分数)，则11p q p x q q--=-=为既约真分数，所以1()(1)R x R x q =-=，满足()(1)R x R x =-，综上，对任意[0,1]x ∈，都有()(1)R x R x =-，所以()R x 关于12x =对称，即1122R x R x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12R x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，所以，存在非零实数11,2k b ==，使得()y R kx b =+为偶函数.。
浙江省宁波四中1213学年上学期高一期中考试数学(附答案)
说明：1．本卷满分150分，考试时间120分钟。
2．本卷答题时不得使用计算器，不得使用修正液、修正带．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
3．答题时将答案均填在答卷相应题号的位置，不按要求答题无效。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1、已知全集,R U =集合}3|{},5,4,3,2,1{≥∈==x R x B A ，则)(B C A U 为（ ▲ ）A ．}1{B ．}2,1{C ．}3,2,1{D ．}2,1,0{2、下列各式中成立的是（ ▲ ）A ．7177)(n m nm =B ．31243)3(-=-C ．43433)(y x y x +=+D ．3339=3、若函数)(x f y =在R 上单调，则函数)(x f y =在R 上的零点（ ▲ ）A ．至少有一个B ．至多有一个C ．有且只有一个D ．可能有无数个4、三个数6log ,7.0,67.067.0的从小到大的顺序是（ ▲ ）A ． 7.067.067.06log <<B ． 6log 67.07.07.06<<C ． 67.07.07.066log <<D ． 7.07.0666log 7.0<<5、已知函数b a x b ax x f ++-+=3)1()(2是偶函数，定义域为]2,1[a a -，则b a +＝（ ▲ ）A ．31B ．32 C ．34D ． 2 6、给定函数①2x y =，②1)21(+=x y ，③|2|2x x y -=，④xx y 1+=，其中在区间)1,0(上单调递减的函数序号是（ ▲ ）A ．①③B ．②③C ．②④D ．①④7、已知函数))(()(b x a x x f --=（其中b a >）的图象如下面右图所示，则函数b a x g x+=)(的图象是（ ▲ ）A ．B ．C ．D ．8、已知x x x f 2)1(2-=+，则=)(x f （ ▲ ）A ．342+-x xB ． x x 42-C ．122+-x xD ． x x 22-9、若)(x f 是奇函数，且2)()(++=bx x af x F 在),0(+∞上有最大值8，则在)0,(-∞上有（ ▲ ）A ．最小值8-B ．最大值8-C ．最小值4-D ．最小值6-10、设集合]1,21[),21,0[==B A ，函数⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈+=Bx x Ax x x f ),1(2,21)(，若A x ∈0，且A x f f ∈)]([0，则0x 的取值范围是（ ▲ ） A ．]83,0[B ．]41,0(C ．]21,41(D ．)21,41(第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11、已知集合}3{},6,2{},5,3,1{2=-+=--=N M a a N M ，则=N M ___ ▲_____12、已知幂函数()y f x =的图象过⎛ ⎝⎭，则()9f ＝___ ▲_____ 13、化简+----021)85(|01.0|2log 335lg 5lg 2lg )2(lg 2+++的结果为__ ▲______14、设函数()⎩⎨⎧≥<+=1,1,12x ax x x f x ，满足()()0f f 2a =，则a 的值是___ ▲______15、函数a x x x f --=|4|)(2恰有三个零点，则=a ______ ▲_____ 16、定义运算2)2(2)(,)(,222-⊕*=-=⊕-=*x xx f b a b a b a b a 则函数是 ▲ 函数（判断函数的奇偶性）．17、定义域分别是错误！未找到引用源。
2022-2023学年浙江省宁波中学高一上学期期中数学试题(解析版)
2022-2023学年浙江省宁波中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}{}|20,2,1,0,1A x x B =-≤≤=-- ，则 A B =（ ） A ．{2,1,0,1}-- B ．{1,0,1}-C ．{2,1}--D ．{2,1,0}--【答案】D【分析】根据集合交集运算规则运算即可.【详解】对于集合A ，20x -≤≤ ，集合B 中的元素10> ，{}2,1,0A B ∴=-- ； 故选：D.2．命题“21,10x x ∀≥-<”的否定是（ ） A ．21,10x x ∃≥-≥ B ．21,10x x ∃<-≥ C ．21,10x x ∃<-≥ D ．21,10x x ∀<-<【答案】A【分析】根据全称命题的否定直接求解判断即可.【详解】解：命题“21,10x x ∀≥-<”的否定是“21,10x x ∃≥-≥”. 故选：A.3．下列哪组中的两个函数是同一函数（ ）A ．2y =与y x =B ．0y x =与1y =C ．211x y x -=-与1y x =+D ．y y x =【答案】D【解析】根据同一函数的概念，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，2y =的定义域为[)0,∞+，y x =的定义域为R ，定义域不同，故A 错；B 选项，0y x =的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，1y =的定义域为R ，定义域不同，故B 错；C 选项，211x y x -=-的定义域为()(),11,-∞+∞，1y x =+的定义域为R ，定义域不同，故C 错；D 选项，y =y x =的定义域都为R ，且y x =，对应关系一致，故D 正确. 故选：D.4．设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可. 【详解】求解二次不等式2a a >可得：1a >或a<0， 据此可知：1a >是2a a >的充分不必要条件. 故选：A.【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题. 5．设121333211,,333a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系（ ） A ．a c b >> B ．a b c >> C ．c a b >> D ．b c a >>【答案】A【分析】利用函数()13f x x =与()13xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调性可比较a ，b ，c 的大小.【详解】因()13f x x =在()0+∞，上单调递增，则11332133⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得a c >. 因()13xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0+∞，上单调递减，则21331133⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得b c <.则a c b >>. 故选：A6．已知函数224,0()4,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩，若(4)()f a f a ->，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(－∞，2) B ．(2，＋∞) C ．(－∞，－2) D ．(－2，＋∞)【答案】A【分析】先判断函数单调性，然后利用其单调性解不等式.【详解】解：当0x ≥时，2()4f x x x =+，其对称轴为2x =-且函数图像开口向上，所以2()4f x x x =+在[0,)+∞上为增函数，且()(0)0f x f ≥=当0x <时，2()4f x x x =-，其对称轴为2x =且函数图像开口向下，所以2()4f x x x =-在(,0)-∞上为增函数，且()(0)0f x f <=，所以()f x 在R 上为增函数， 因为(4)()f a f a ->， 所以4a a ->，解得2a <， 故选：A【点睛】此题考查了分段函数的单调性，由函数的单调性解不等式，属于基础题. 7．已知0x >，0y > ，满足2210x xy +-=，则2x y +的最小值是（ ）AB C D 【答案】D【分析】由条件可得122xy x =-，代入11232x y x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求出最值.【详解】正实数x ，y 满足2210x xy +-=， 122xy x ∴=-，13111122323222222x x y x x x x x x x ⎛⎫∴+=+-=+=+⨯= ⎪⎝⎭x = 2x y ∴+故选D【点睛】本题考查了基本不等式的应用问题，解题的关键是31222x y x x+=+，使它能利用基本不等式，是基础题目．8．已知函数()()2,f x x ax b a b R =++∈，记集合(){}|0A x R f x =∈≤，()(){}|10B x R f f x =∈+≤，若A B =≠∅，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]4,4- B ．[]22-, C ．[]2,0- D ．[]0,4【答案】B【分析】设集合{|()0}[A x R f x m =∈=，]n ，利用{|(()1)0}B x R f f x =∈+，若A B =≠∅，求出m ，n ，即可求出实数a 的取值范围．【详解】解：设集合{|()0}[A x R f x m =∈=，]n ， 则由(()1)0f f x +，()1m f x n +，1()1m f x n ∴--，10n ∴-=，1n ∴=，()(1)(1)f x x a x ∴=++-，(1)m a ∴=-+， 1()min m f x -，2214a a a ∴-----且(1)1a -+， 22a ∴-． 故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的性质，考查函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、多选题9．若函数()f x 同时满足：①对于定义域上的任意x ，恒有()()0f x f x +-=；②对于定义域上的任意12,x x ，当12x x ≠时，恒()()12120f x f x x x -<-，则称函数()f x 为“理想函数”．下列四个函数中能被称为“理想函数”的是（ ）A ．()f x x =-B ．()f x =C ．()3f x x x =+D ．()23f x x =-【答案】AB【分析】根据①②知“理想函数”()f x 是定义域上的奇函数且在定义域内单调递减，依次判断各个选项即可得到结果.【详解】由①知：()f x 为定义域上的奇函数；由②知：()f x 在定义域内单调递减； 对于A ，()f x x =-为R 上的奇函数且在R 上单调递减，符合“理想函数”定义，A 正确； 对于B ，()13f x x ==-为R 上的奇函数且在R 上单调递减，符合“理想函数”定义，B 正确；对于C ，()3f x x x =+为R 上的奇函数且在R 上单调递增，不符合“理想函数”定义，C 错误；对于D ，()23f x x =-是R 上的非奇非偶函数，不符合“理想函数”定义，D 错误. 故选：AB.10．下列选项中正确的是（ ）A ．不等式a b +≥B ．存在实数a ，使得不等式12a a+≤成立 C ．若a ，b 为正实数，则2b aa b+≥D ．若正实数x ，y 满足21x y +=，则218x y+≥【答案】BCD【分析】根据基本不等式的条件与“1”的用法等依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解：对于A 选项，当0,0a b <<时不成立，故错误； 对于B 选项，当a<0时，()112a a a a ⎡⎤⎛⎫+=--+-≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当且仅当1a =-等号成立，故正确；对于C 选项，若a ，b 为正实数，则0,0b a a b >>，所以2b a a b +≥=，当且仅当a b =时等号成立，故正确；对于D 选项，由基本不等式“1”的用法得()212142448y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当2x y =时等号成立，故正确. 故选：BCD11．已知实数,x y 满足3311log log 33x yx y ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A ．11x y> B ．33x y < C ．21x y -< D ．ln()0y x ->【答案】ABC【解析】构造函数31()log ()3xf x x =-，判断其在()0,∞+上单调递增，可得0x y <<，再利用单调性逐一分析选项中的不等式是否成立即可.【详解】因为3311log log 33x yx y ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，所以,x y R +∈，由3311log log ()()33x y x y -<-变形得3311log ()log ()33x yx y -<-，令函数31()log ()3xf x x =-，因为31log ,()3xy x y ==-都在()0,∞+递增，所以函数31()log ()3xf x x =-在()0,∞+上单调递增，3311log ()log ()33x y x y -<-即()()f x f y <，所以0x y <<，因为函数1y x=在()0,∞+上单调递减，所以11x y>，A 正确； 因为函数3y x =在()0,∞+上单调递增，所以33x y <，B 正确；因为0x y -<，函数2x y =在(),-∞+∞上单调递增，所以0221x y -<=，C 正确； 0y x ->，ln()y x -的符号可正可负，D 错.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是构造函数31()log ()3xf x x =-，并判断其单调性，再根据单调性得到0x y <<.12．已知函数2e ,0()4,0x x f x x x x ⎧≥=⎨--<⎩，方程2()()0f x t f x -⋅=有四个实数根1234,,,x x x x ，且满足1234x x x x <<<，下列说法正确的是（ ）A ．14(6ln2,0]x x ∈-B ．1234x x x x +++的取值范围为[8,82ln 2)--+C ．t 的取值范围为[1,4)D ．23x x 的最大值为4 【答案】BC【分析】2()()0()[()]0()0f x t f x f x f x t f x -⋅=⇒-=⇒=或()=f x t ，作出函数f (x )图像，数形结合即可求解.【详解】2()()0()[()]0()0f x t f x f x f x t f x -⋅=⇒-=⇒=或()=f x t ， 作出()y f x =的图象，当()0f x =时，14x =-，有一个实根；当1t =时，有三个实数根，∴共四个实根，满足题意；当4t =时，()f x t =只有两个实数根，所以共三个实根，不满足题意，此时与e x y =的交点坐标为(2ln 2,4).要使原方程有四个实根，等价于()f x t =有三个实根，等价于y ＝f (x )与y ＝t 图像有三个交点，故[1,4)t ∈，4[0,2ln 2)x ∈，所以14(8ln 2,0]x x ∈-，故A 错误，C 正确；又因为234x x +=-，所以123448x x x x x +++=-+的取值范围为[8,82ln 2)--+），B 正确；因为23234,0x x x x +=-<<，所以()()()223232342x x x x x x -+⎡⎤=-⋅-<=⎢⎥⎣⎦，故D 错误．故选：BC.三、填空题 13．求值：2213log 42728⎛⎫-= ⎪⎝⎭_____________． 【答案】2-【分析】根据对数的运算性质以及分数指数幂的运算，化简、计算可得答案.【详解】2223133log 42711223924844⨯⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪=⎪⎝⎭⎝⎭, 故答案为：2-.14．已知函数()32bf x x ax x=+++，若()106f =，则()10f -=______．【答案】2-【分析】根据题意，求出()f x -的表达式，分析可得()()4f x f x +-=，则有(10)(10)4f f +-=，又由()10f 的值，计算可得答案．【详解】根据题意，函数()32b f x x ax x =+++，则()32b f x x ax x ⎛⎫-=-+++ ⎪⎝⎭，则()()4f x f x +-=，故(10)(10)4f f +-=， 因为()106f =，所以()102f -=-， 故答案为：2-15．若实数x ，y 满足x ＞y ＞0，且log2x ＋log2y ＝1，则22x y x y+-的最小值为__________．【答案】4【详解】由log 2x ＋log 2y ＝1，得xy ＝2，＝＝＝x －y ＋≥4，则的最小值为4.16．已知0a >，b ∈R ，当0x >时，()1102ax x b x ⎛⎫---≥ ⎪⎝⎭恒成立，则a b +的最小值是_____________． 2【解析】根据题中条件，先讨论10x a<<，根据不等式恒成立求出12a b a ≥-；再讨论1x a ≥，根据不等式恒成立，求出12a b a ≤-，结合题意，得到12ab a =-，再由基本不等式，即可求出结果.【详解】因为0a >，（1）当10x a <<时，10ax ；不等式()1102ax x b x ⎛⎫---≥ ⎪⎝⎭恒成立，可化为102x b x --≤在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，即12b x x ≥-在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，因为12y x x =-在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上显然单调递增，所以1122a x x a -<-， 因此只需12ab a ≥-；（2）当1x a ≥时，10ax -≥；不等式()1102ax x b x ⎛⎫---≥ ⎪⎝⎭恒成立，可化为102x b x --≥在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，即12b x x ≤-在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立， 因为12y x x =-在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上显然单调递增，所以1122a x x a ->-， 因此只需12a b a ≤-； 综上，只能12a b a =-，所以12a b a a b =+≥==+当且仅当12a a=，即a =..【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方四、解答题17．已知集合{}21A x m x m =-<<+，{}|05B x x =<<. (1)若1m =，求A B ⋂；(2)若A B A =，求实数m 的取值范围. 【答案】(1){}|02x x << (2)[]2,4【分析】（1）{}|12A x x =-<<，{}|05B x x =<<，计算交集得到答案.（2）A B A =，故A B ⊆，得到2015m m -≥⎧⎨+≤⎩，解得答案.【详解】（1）当1m =时，{}|12A x x =-<<，{}|05B x x =<< 所以{}{}{}|2|02|510A x x B x x x x =-<<<=<<<.（2）因为A B A =，所以A B ⊆，所以2015m m -≥⎧⎨+≤⎩，解得24m ≤≤，所以实数m 的取值范围为[]2,4.18．已知函数()2f x x ax b =-+(),a b ∈R .（1）若不等式()0f x >的解集为()(),12,-∞-+∞，求实数a ，b 的值.（2）当0b =时，解关于x 的不等式()0≤f x . 【答案】（1）1,2a b ==-；（2）详见解析 【解析】（1）由()0f x >的解集为()(),12,-∞-+∞，可知1-和2是方程20x ax b -+=的两实数根，根据韦达定理，可得到关于,a b 的方程组，求解即可；（2）当0b =时，()2f x x ax =-，进而分0a =，0a >和a<0三种情况，分别解不等式()0≤f x ，即可求出答案.【详解】（1）因为不等式()0f x >的解集为()(),12,-∞-+∞，所以1-和2是方程20x ax b -+=的两实数根，则2112a b -=⎧⎨-⨯=⎩，即1,2a b ==-.（2）当0b =时，()2f x x ax =-.若0a =，则()20f x x =≤，解得0x =；若0a >，则()()0f x x x a =-≤，解得0x a ≤≤； 若a<0，则()()0f x x x a =-≤，解得0a x ≤≤.19．2020年初，武汉爆发了新冠肺炎交情，在全国人民的一起势力下得到了有效的控制．为进一步做好预防工作，市场上大型空气净化设备的品求量急剧上升．金华某企业生产大型空气净化设备，年固定成本300万元，每生产N (*)x x ∈台设备，另需投入成本t 万元，若年产量不足100台，则21602t x x =+；若年产量不小于100台，则242001524700t x x =+-，每台设备售价150万元，通过市场分析，该企业生产的设备能全部售完．(1)写出年利润y （万元）关于年产量x （台）的关系式； (2)年产量为多少台时，该企业所获利润最大？【答案】(1)()()2**190300,0100,N 22420024400,100,N x x x x y x x x x ⎧-+-<<∈⎪⎪=⎨⎪--+≥∈⎪⎩ (2)年产量为110台时【分析】（1）分年产量不足100台和年产量不小于100台两种情况进行分析，结合利润=总收入-总投入，即得结果；（2）讨论分段函数最值，即得结果.【详解】（1）解：依题意，若年产量不足100台， 另外投本21602t x x =+，固定投本300万，总收入150x 万元， 故利润2211150603009030022y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭； 若年产量不小于100台， 另外投本242001524700t x x=+-，固定投本300万，总收入150x 万元， 故利润2420024200150152470030024400y x x x x x ⎛⎫=-+--=--+ ⎪⎝⎭， 故()()2**190300,0100,N 22420024400,100,N x x x x y x x x x ⎧-+-<<∈⎪⎪=⎨⎪--+≥∈⎪⎩； （2）解：当*0100,N x x <<∈时，21903002y x x =-+-， 当90x =时，max 3750y =，当*100,N x x ≥∈时，2420024400y x x =--+，242002440044003960x x --+≤-=， 当且仅当242002x x=，即110x =时，取等号， 所以此时max 3960y =，因为39603750>，所以当年产量为110台时，该企业所获利润最大.20．已知函数2()log (1)=+f x x ，2()log (1)g x x =-．(1)求函数()()()h x f x g x =-的定义域；(2)若不等式2()log (1)m h x x x >-在11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数m 取值范围． 【答案】(1)()1,1- (2)409m <<【分析】（1）利用对数的函数的性质可求得函数()()()h x f x g x =-的定义域；（2）利用对数的函数的性质去掉对数符号，转化为含参不等式恒成立问题，参变分离后求最值可得答案．【详解】（1）解：2221()log (1)log (1)log 1x h x x x x+=+--=-， 函数定义域满足1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<， ∴函数()()()h x f x g x =-的定义域为()1,1-；（2）解：21()log 1x h x x+=-，所以2()log (1)m h x x x >-，即221log log 1(1)x m x x x +>-- 因为函数2log y x =在()0,∞+上单调递增 所以11(1)x m x x x +>--在11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，又(1)0x x ->，所以20m x x <<+ 又函数221124y x x x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭在11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()2min 49x x += 则409m <<. 21．已知函数()x xa ka f x k--=（0a >，且1a ≠）是奇函数. (1)求实数k 的值；(2)若2a =，()()222x x g x a a mf x -=+-，且()g x 在[]01，上的最小值为1，求实数m 的值. 【答案】(1)1(2)1【分析】(1)利用在0x =处有意义的奇函数的性质即可求解；(2)结合已知条件，利用换元法和一元二次函数性质，并对参数m 分类讨论即可求解.【详解】（1）因为()f x 是定义域为R 得奇函数，所以()00f =，即10k k -=，解得1k =. （2）当2a =时，22()222(22)x x x x g x m --=+--()2222(22)2x x x x m --=---+令()22x x t f x -==-，因为()22x x f x -=-在[0,1]x ∈是增函数，所以3[0,]2t ∈.令2()22h t t mt =-+22()2t m m =-+-，3[0,]2t ∈，①若0m ≤，()h t 在3[0,]2上单调递增， 故()(0)21min h t h ==≠，不合题意；②若302m <<，()h t 在[0,)t 上单调递减，在3[,]2t 上单调递增， 故2()()21min h t h m m ==-=，解得1m =±， 因为302m <<，所以1m =； ③若32m ≥，()h t 在3[0,]2上单调递减， 故317()()3124min h t h m ==-=解得133122m =<，舍去. 综上所述，1m =.22．已知函数()()21f x x x x a =+--（1）若1a =，解不等式()1f x ≤；（2）若函数()f x 在[22]-，上单调递增，求实数a 的取值范围； （3）记函数()f x 在[22]-，上最大值为()g a ，求()g a 的最小值. 【答案】（1）{}|1x x ≤；（2）13a ≥或9a ≤-；（3）4. 【解析】（1）由1a =，先化简函数解析式，再讨论1x ≥和1x <两种情况，分别解所求不等式，即可得出结果；（2）先将函数解析式，写出分段函数的形式，分别讨论14a a +=，14a a +<，14a a +>三种情况，根据函数单调性，即可求出结果； （3）讨论13a ≥或9a ≤-，92a -<≤-，21a -<<-，113a -≤<四种情况，结合函数单调性，即可得出最大值()g a ，进而可求出()g a 最小值.【详解】（1）1a =时，()2221,121,1x x x f x x x ⎧-+≥=⎨-<⎩， 当1x ≥时，()1f x ≤可化为22211x x -+≤，解得1x =：当1x <时，()1f x ≤可化为211x -≤，解得1x <，综上，不等式的解集为{}|1x x ≤.（2）()()()221,1,x a x a x a f x a x a x a ⎧-++≥⎪=⎨+-<⎪⎩，因为()()221f x x a x a =-++是开口向上，对称轴为14a x +=的二次函数， 当14a a +=，即13a =时，()f x 在R 上显然单调递增，满足题意； 当14a a +<，即13a >时，()f x 在R 上为增函数，满足题意； 当14a a +>，即13a <时，为使函数()f x 在[22]-，上单调递增，需满足：124a +≤-，解得9a ≤-； 综上，13a ≥或9a ≤-； （3）由（2）知：当13a ≥或9a ≤-，则()f x 在[]2.2-上单调递增，所以()()242g a f a ==+-； 当92a -<≤-，则()()221f x x a x a =-++，对称轴104a x +=<，所以()()242g a f a ==+-； 当21a -<<-时， ()()(){}{}max 2,2max 432,4242g a f f a a a =-=-++-=+-； 当113a -≤<时，()()(){}{}2max ,2max ,42g a f a f a a ==+-， 因()()()2242632<0a a a a a a -+-=+-=+-，所以()()242g a f a ==+-.综上，()()242g a f a ==+-，当2a =时，()min 4g a =.【点睛】方法点睛：求解含参二次函数在给定区间的最值问题时，通常需要利用分类讨论的的方法进行求解，考虑对称轴在给定区间左侧、右侧或位于区间内的情况，结合函数单调性，即可求解.。
浙江省宁波市高一数学上学期期中试题(12)新人教A版
（答案请做在答题卷上，试卷上作答的一律无效）一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）1．已知命题p 为真命题，命题q 为假命题，则由它们组成的""""""""p q p q p q ∨∧⌝⌝形式的复合命题中，真命题有A.0个B.1个C.2个D.3个2．若直线l 的斜率k 满足1k -≤<，则l 的倾斜角α的取值范围为A.3(,]34ππB. 3(0,)[,)34πππC. 3[0,)[,]34πππD. 3[0,)[,)34πππ 3．已知圆的方程为22680x y x y ++-=，设该圆中过点(3,5)M -的最长弦、最短弦分别为,AC BD ，则四边形ABCD 的面积为A.4．双曲线22134y x -=的焦点到渐近线的距离等于2 C.3 D. 45．1m =是直线(21)20mx m y +++=和直线310x my -+=垂直的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6．光线沿直线21y x =+入射到直线50x y ++=后反射，则反射光线所在直线方程为 A.270x y ++= B. 240x y --= C. 10x y --= D. 280x y ++=7．已知12,F F 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点，在此椭圆上存在点P ，使1260F PF ∠=︒，且12||2||PF PF =，则此椭圆的离心率为A.2 B.3 C. 6 D. 138．直线l 过抛物线22(0)y px p =>的焦点，且与抛物线交于,A B 两点，若线段AB 的长为6，AB 的中点到y 轴的距离为2，则该抛物线的方程是A.28y x = B. 26y x = C. 24y x = D. 22y x =9．圆222650x y x y a ++++=关于直线2y x b =+成轴对称图形，则b a -的取值范围是 A.(,1)-∞ B. (,3)-∞- C. (1,)+∞ D. (3,)-+∞10．设双曲线22221(,0)x y a b a b-=>两焦点为12,F F ，点Q 为双曲线上除顶点外的任一点，过焦点2F 作12FQF ∠的平分线的垂线，垂足为P ，则P 点轨迹是A.椭圆的一部分B.双曲线的一部分C.抛物线的一部分D.圆的一部分二．填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分.）11．已知,x y 满足0,202x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的最小值为__▲__.12．过点(1,2)的直线l 与,x y 轴的正半轴分别交于,A B 两点，O 为坐标原点，当AOB ∆的面积最小时，直线l 的方程为__▲__.13．已知,A B 为抛物线22y x =上两动点，O 为坐标原点且OA OB ⊥，若直线AB 的倾斜角为135︒，则AOB S ∆=__▲__.14．已知以抛物线24y x =过焦点的弦为直径且圆心在第四象限的圆截y 轴所得弦长为4，那么该圆的方程是__▲__.15．已知,,A B P 为椭圆22221(,0)x y m n m n+=>上不同的三点，且,A B 连线经过坐标原点，若直线,PA PB 的斜率乘积32PA PB k k =-，则该椭圆的离心率为__▲__. 16．已知抛物线21:4C x y =和圆222:(1)1C x y +-=，直线l 过1C 焦点，从左到右依次交12,C C 于,,,A B C D 四点，则AB CD =__▲__.17．若直线y xb =+与曲线1y 有公共点，则b 的取值范围是__▲__. 三．解答题（本大题共5小题，共49分.） 18．（本小题满分8分)已知C 的圆心在x 轴上，直线y x =截C 所得弦长为2，且C过点. (1)求C 方程；(2)设(,)P x y 为C 上任一点，求22(1)(3)x y -++的最大值.19．（本小题满分11分）已知双曲线C 的焦点分别为12(2,0),(2,0)F F -，一条渐近线方程为3y x =，过1F 的直线l 交双曲线于,A B 两点. (1)写出C 的方程；(2)若,A B 分别在左右两支，求直线l 斜率的取值范围； (3)若直线l 斜率为1，求2ABF ∆的周长.20．（本小题满分8分）已知点(1,0)F ，动点P 到直线2x =-的距离比到F 的距离大1. (1)求动点P 所在的曲线C 的方程；(2),A B 为曲线C 上两动点，若||||4AF BF +=，求证：AB 垂直平分线过定点，并求出该定点.21．（本小题满分11分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点(1,0)F ，离心率为e .(1)若2e =，求椭圆方程； (2)设直线(0)y kx k =>与椭圆相交于,A B 两点，,M N 分别为线段,AF BF 的中点，若坐标原点O 在以MN 为直径的圆上.(i)将k 表示成e 的函数；(ii)当,22e ∈时，求k 的取值范围.22．（本小题满分11分）已知点(2,0)M ，P 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一动点，若||PM 的最小值为2. (1)求抛物线C 的方程； (2)已知222:(2)(0)M x y r r -+=>，过原点O 作M 的两条切线交抛物线于,A B 两点，若直线AB 与M 也相切. (i)求r 的值；(ii)对于点2(,)Q t t ，抛物线C 上总存在两个点,R S ，使得QRS ∆三边与M 均相切，求t 的取值范围.宁波效实中学2011学年度第二学期高二(1)(2)班数学期中答题案一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）二、填空题（本题共7小题，每小题3分，共21分）11. 3 12. 2x+y-4=0 13.14.22325()(1)24x y -++= 16. 117.[5,3]-三、解答题（本大题有5题，共49分） 18.解：(1)设圆心(,0)a ，则2221(2)5a +=-+ 解得224,(4)9a x y =∴-+=(2)设43cos 3sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，故22(1)(3)9(3))274x y πθ-++=++≤+19.解：（1）2213x y -= (2)222222(2)(31)12123033y k x k x k x k x y =+⎧⇒-+++=⎨-=⎩22212212(1)013(41)3031k k k k x x k ⎧∆=+>⎪⇒<⇒<<⎨+=<⎪-⎩(3)22||||||2||AB AF BF AB ++=+=20.(1)24y x =(2)12||||4,2AF BF x x +=∴+=，设AB 中点0(1,)M y ，则02AB k y = 所以中垂线00(1)2y y y x -=--，过(3,0) 21.(1)2212x y +=(2)(i)212121[(1)(1)]04OM ON xx y y k =+++=⇒=(ii)44k k ≥≤- 22.(1)222242212||2(1)424y PM y y y p p p ⎛⎫=-+=+-+ ⎪⎝⎭，对称轴2(2)p p - 当2p ≥，min ||2PM =，舍当02p <<，2min 7||44PMp p =-=，解得12p =或72(舍)，所以2y x =(2)(i)由题意(2(2,A rB r ++，OA k ∴=:OA y x =，2(1)(2)11r r r r =⇒-+=⇒=(ii)设22112212(,),(,)()R t t S t tt t ≠，则1111:tt QR y x t t t t =+++ 1=，从而22211(1)230t t tt t --+-=，将1t 换成2t 也成立因为12t t ≠，所以21t ≠故12,t t 为方程222(1)230t x tx t --+-=的两根212122223,11t t t t t t t t -∴+==--，故1212121:t t RS y x t t t t =+++，即221322t t y x t t--=+圆心到RS 221=，故1t≠±。
高一数学第一学期期中试卷
一第一学期数学期中试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题4分,共48分，每小题都只有一个正确答案）1、已知集合A = {}41|≤≤xx,B = {}Rkkxx∈>,,若A⊆B,则k取值的集合是····( )A) {}1|≤kk B) {}4|<kk C) {}4|≤kk D) {}1|<kk2、与函数lg(1)10xy-=的图象相同的函数是········································（）A)1y x=-B)1y x=-C)211xyx-⎛⎫= ⎪-⎝⎭D)211xyx-=+3、已知4,(6)()(2),(6)x xf xf x x-≥⎧=⎨+<⎩，则(3)f=·······························（）A)3 B)2 C)1 D)44、已知2221()(1)m mf x m m x--=++是幂函数，则m=·····························（）A)0B)1-C)01-或D)m R∈5、函数ln26y x x=+-的零点必位于如下的哪一个区间·······················（）A)(1,2)B)(2,3)C)(3,4)D)(4,5)6、已知10radα=，则α是················································（）A)第一象限角B)第二象限角C)第三象限角D)第四象限角7、设偶函数)(xf的定义域为R，当x],0[+∞∈时)(xf是增函数，则(2),(),(3)f f fπ--的大小关系是································································（）A）()(3)(2)f f fπ>->-B）()(2)(3)f f fπ>->-C）()(3)(2)f f fπ<-<-D）()(2)(3)f f fπ<-<-8、已知函数log()ay x b=+的图象如图所示，则a b、的取值范围分别是···········( )A) 01,1a b<<>B) 1,1a b>>C) 01,1a b<<<D) 1,1a b><9、已知)(xf是奇函数,当0>x时)1()(xxxf+-=,当0<x时)(xf=··········（）1A)(1)x x + B) (1)x x - C) (1)x x -+ D) (1)x x -10、若函数432--=x x y 的定义域为[0 ，m],值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--4,425，则 m 的取值范围 是·······························································( )A)[0 ，4] B)[23 ，4] C)[23 ，3] D)⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,2311、某电子公司七年来，生产VCD 机总产量C （万台）与生产时间t(年)的函数关系如图，下列四种说法（1）前3年中，产量增长速度越来越快； （2）前3年中，产量增长速度越来越慢； （3）三年后，这种产品停止生产； （4）三年后，年产量保持为100万台；其中说法正确的是····················································· （ ） A)(1)(3) B)(2)(3) C)(2)(4) D)(1)(4)12、已知log (2)a y ax =-在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是············ （ ）A)(0,1) B)(1,2) C)(0,2) D)(2,)+∞二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分） 13、已知2(21)2,f x x x +=-则(2)f = .14、已知函数53()2f x ax bx cx =-++,且(5)17f -=，则(5)f =15、已知8123==y x，则yx 11-=_________ 16、函数223y x x =+-的单调减区间为 .17、已知,,a b c 依次为方程20.520,log 2log xx x x x +===和的实根，则,,a b c 的大小关系为18、已知函数)(x f 为偶函数，当[)+∞∈,0x 时，1)(-=x x f ，则(1)0f x -<的解集是19、已知函数22log ()y x ax a =--定义域为R ，则实数a 的取值范围是___________.三、解答题（本大题共5小题，共51分，请写出详细解答过程） 20、（本小题10分）求下列各式的值。
浙江省宁波市鄞州中学2022高一数学上学期期中试题(含解析)
方程 ，在 ， 上至多有一个实根，
结合已知，可得方程 在 上的两个解 ， 中的1个在 ，
1个在 ，不妨设 ， ， ，设 ，
数形结合可分析出 ，解得 ，
， ， ， ，
令 ， ， 在 上递增，当 时， ，
因为 ，
所以 ；
【点睛】本题考查绝对值函数的解法，函数零点的求法，分段函数零点的判断与求解，属于中档题
（3）若函数 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】
【分析】
（1）当 时， ，先求 在 值域，再求 的值域即可；
（2）结合指数函数的单调性进行求解即可；
（3）对底数 进行分类讨论，确定 的增减性，再根据复合函数同增异减，结合二次函数 进一步判断 的取值范围即可
【详解】对A，若幂函数 （ 且 互质）关于原点中心对称，则一定有 ，即 ，则 都是奇数，A正确；
对B、D，对于任意的 ，都有 ，令 ，可得 ，
即函数关于直线 对称，函数 的图像与函数 的图像关于直线 对称，B、D正确；
对C，若函数 是奇函数，对函数 ，当 时， ， ，函数图像关于 中心对称，C错误；
16.已知分段函数 ，若函数 有三个零点，则实数 的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
可画出 与 的图像，再根据函数有三个零点进一步判断实数 的取值范围即可
【详解】由题，先画出 与 的图像，如图：
由图可知，要使分段函数存在三个零点，则图中三个点必须存在，则只有在 时才满足；
故答案为：
【点睛】本题考查函数图像零点个数判断问题，数形结合思想，属于中档题
【答案】D
【解析】
浙江省宁波四中高一上学期期中考试(数学).doc
t （月）y(m 2)22浙江省宁波四中高一上学期期中考试(数学)本试卷分选择题和非选择题两部分，满分为100分，考试用时1。
第一部分选择题(共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合3|),(,1|),(yxy x Qyxy x P ，则Q P为 ( )（A ）1,2（B ）)1,2(（C ）(2,1) （D ）12|),(yxy x 或2．300是第（）象限角.（A ）一（B ）二（C ）三（D ）四3．下列集合中，只有一个子集的集合是（）（A ）2|0x x （B ）3|0x x（C ）2|0x x （D ）3|0x x4.若函数)(x f y 与函数xy 2的图象关于y 轴对称，则（）（A ）)3()2(f f （B ）)3()2(f f （C ）)3()2(f f （D ）不能确定5．方程330x x的实数解落在的区间是 ( )（A ）[1,0]（B ）[0,1]（C ）[1,2]（D ）[2,3]6.已知)(x f 是奇函数，且当0x 时，)1()(x x x f 则)2(f （）（A ）2 （B ）-2 （C ） 6（D ）-67．设1a ，则a 2.0log 、a 2.0、2.0a 的大小关系是（）（A ）2.02.0log 2.0aa a （B ）2.02.02.0log aa a（C ）aaa 2.0log 2.02.0（D ）aa a2.02.0log 2.08.函数||2x x y的图象是（）yxoyxoyxoyxo（A ）（B ）（C ）（D ）9．某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积y （m 2）与时间t （月）之间的函数关系是)10(1aaayt 且，它的函数图象如图所示。
给出以下命题：①池塘中原有浮草的面积是0.5 m 2；②到第7个月浮草的面积一定能超过60 m 2；③浮草每月增加的面积都相等；④若浮草面积达到 4 m 2，16 m 2，64 m 2所经过的时间分别为t 1，t 2，t 3，则t 1+t 2<t 3。
2022-2023学年浙江省宁波四中高一(上)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年浙江省宁波四中高一（上）期中数学试卷一、选择题。
本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |x 2﹣3x ＝0}，B ＝{1，2，3}，则A ∪B ＝（ ） A ．{3}B ．{1，2，3}C ．{0，2，3}D ．{0，1，2，3}2．下列各组函数是同一函数的是（ ） A ．y =|x|x与y ＝1 B ．y =√(x −1)2与y ＝x ﹣1C ．y =x 2x与y ＝xD ．y =x 3+xx 2+1与y ＝x3．命题“对任意a ∈R ，都有a 2≥0”的否定为（ ） A ．对任意a ∈R ，都有a 2＜0 B ．对任意a ∈R ，都有a 2＜0 C ．存在a ∈R ，使得a 2＜0D ．存在a ∉R ，使得a 2＜04．杜甫在《奉赠韦左丞丈二十二韵》中有诗句：“读书破万卷，下笔如有神．”对此诗句的理解是读书只有读透书，博览群书，这样落实到笔下，运用起来才有可能得心应手，如有神助一般．由此可得，“读书破万卷”是“下笔如有神”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．已知函数f （x +2）＝x 2+6x +8，则函数f （x ）的解析式为（ ） A ．f （x ）＝x 2+2x B ．f （x ）＝x 2+6x +8 C ．f （x ）＝x 2+4xD ．f （x ）＝x 2+8x +66．已知a ＞b ＞c ，且ac ＜0，则下列不等式恒成立的有（ ） A ．b−a c＜0B ．b a＜caC ．1a＞1cD ．b 2c＞a 2c7．若正数a ，b 满足a +b ＝2，则1a+1+4b+1的最小值是（ ）A ．1B ．94C ．9D ．168．设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数．例如：[π]＝3，[﹣5.1]＝﹣6．已知函数f （x ）=2xx 2+1，则函数y ＝[f （x ）]的值域为（ ） A ．{﹣1}B ．{﹣1，0}C ．{1}D ．{﹣1，0，1}二、多项选择题。
浙江省宁波2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷含解析
宁波2024年度第一学期期中高一数学试卷（答案在最后）（满分150分，考试时间120分钟）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,2,4,7M =，{}4,6,7N =，则M N = （）A.{}1,2,4,6,7B.{}1,2,6C.{}4,7 D.{}2,4【答案】C 【解析】【分析】利用集合的交集运算即可得解.【详解】因为{}1,2,4,7M =，{}4,6,7N =，所以M N = {}4,7.故选：C.2.命题“N n ∀∈，22Z n n ++∈”的否定为（）A.N n ∀∈，22Z n n ++∉B.N n ∀∉，22Z n n ++∉C.N n ∃∈，22Z n n ++∈D.N n ∃∈，22Zn n ++∉【答案】D 【解析】【分析】利用量词命题的否定方法即可得解.【详解】因为量词命题的否定方法为：改量词，否结论，所以命题“N n ∀∈，22Z n n ++∈”的否定为N n ∃∈，22Z n n ++∉.故选：D.3.已知0.23a =，0.33b =，0.22c =，则（）A.b a c >>B.a b c >>C.b c a >>D.a c b >>【答案】A 【解析】【分析】利用指数函数的单调性与幂函数的单调性即可判断得解.【详解】因为3x y =为单调递增函数，所以0.30.233>，则b a >，因为0.2y x =为增函数，所以0.20.232>，则a c >，综上，b a c >>.故选：A.4.已知正实数a ，b 满足2a b +=，则312a b+的最小值为（）A.272B.14C.15D.27【答案】A 【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【详解】因正实数a ，b 满足2a b +=，所以31213121312127()15152222b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当312b a a b=，即24,33a b ==时取等号，所以312a b+的最小值为272.故选：A 5.函数3(e)x f xx =的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】先利用奇偶函数的定义判断得()f x 的奇偶性排除AB ，再利用指数函数的性质分析得()f x 的正负情况，从而排除C ，由此得解.【详解】对于3()ex xf x =，其定义域为R ，又33()()e ex xx xf x f x ---==-=-，则()f x 是奇函数，排除AB ，当0x >时，30x >，e e 0x x =>，所以()0f x >，排除C ，又选项D 的图象满足上述性质，故D 正确.故选：D.6.设m ∈R ，“12m <-”是“方程22(3)40m x m x -++=在区间(2,)+∞上有两个不等实根”的（）条件.A.充分必要B.充分不必要C.必要不充分D.既不充分也不必要【答案】C 【解析】【分析】举反例说明充分性，利用二次方程根的分布说明必要性，从而得解.【详解】当12m <-时，取3m =-，则方程22(3)40m x m x -++=为2940x +=，显然无解，即充分性不成立；当方程22(3)40m x m x -++=在区间(2,)+∞上有两个不等实根时，则()22222Δ344032242(3)40m m m m x m m m ⎧>⎪=+-⨯>⎪⎪⎨+=>⎪⎪⎪-++>⎩，即0315********m m m m m m ≠⎧⎪⎪-<<⎪⎪⎨-<<<<⎪⎪⎪-⎪⎩或或，则3152m -<<-，此时12m <-成立，即必要性成立；所以前者是后者的必要不充分，故C 正确.故选：C.7.中国5G 技术领先世界，其数学原理之一便是香农公式：2log 1S C W N⎛⎫=+⎪⎝⎭，它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N 叫信噪比.按照香农公式，若不改变带宽W ，将信噪比SN从2000提升至10000，则C 大约增加了(lg 20.3010)≈（）A .18%B.21% C.23% D.25%【答案】B 【解析】【分析】由已知公式，将信噪比SN看作整体，分别取2000,10000求出相应的C 值，再利用对数运算性质与换底公式变形即可得解.【详解】由题意，将信噪比SN从2000提升至10000，则最大信息传递速率C 从()12log 12000C W =+增加至()22log 110000C W =+，所以2212212210001log log 10001log 20012001log 2001log 2001C C W W C W --==3100011000010lglg lg10.3012001200020.2121%lg 2001lg 2000lg 2lg100.3013-=≈==≈=++.故选：B.8.已知函数()f x 为R 上的奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-，若函数()g x 满足(),0()(),0f x x g x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，且(())0g f x a -=有8个不同的解，则实数a 的取值范围为（）A.1a <-B.10a -<<C.01a <<D.1a >【答案】B 【解析】【分析】先利用函数的奇偶性与题设条件得到()f x 与()g x 的解析式，设()t f x =，作出函数()g t 的图象，数形结合，分类讨论函数1a <-、10a -<<与0a >三种情况，得到对应情况下(())0g f x a -=的解的个数，从而得解.【详解】因为函数()f x 为R 上的奇函数，当0x ≥时 ，令0x <，则0x ->，则()22f x x x -=+，又()()22f x f x x x=--=--所以()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩，则()222,02,0x x x g x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩，设()t f x =，作出函数()g t 的图象，对于A ，当1a <-时，函数()g t a =没有实数根，不满足题意；对于B ，当10a -<<时，函数()g t a =有四个根1234,,,t t t t ，其中1(2,1)t ∈--，2(1,0)t ∈-，3(0,1)t ∈，4(1,2)t ∈；作出()f x 与1y t =、2y t =、3y t =与4=y t 的图象，如图，显然几个函数恰有8个交点，则(())0g f x a -=有8个不同的解，故B 正确；对于CD ，当0a >时，函数()g t a =有两个根12,t t ，其中1(,2)t ∈-∞-，2(2,)t ∈+∞，与选项B 同理可知()f x 与1y t =、2y t =各有一个交点，则(())0g f x a -=只有2个不同的解，不满足题意，故CD 错误.故选：B.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知a ，b ，c 为实数，且0a b >>，则下列不等式正确的是（）A.11a b< B.11a cb c<--C.ac bc > D.22a b c c >【答案】AD 【解析】【分析】根据不等式的性质，作差逐一判断即可.【详解】因为0a b >>，选项A ：110b aa b ab --=<，所以11a b<，故A 说法正确；选项B ：()()11b aa cbc a c b c --=----，当a b c >>或c a b >>时，()()0b aa cbc -<--，即11a c b c<--；当a c b >>时，()()0b a a c b c ->--，即11a c b c>--，故B 说法错误；选项C ：当0c =时，ac bc =，故C 说法错误；选项D ：因为210c >，所以22a b c c >，故D 说法正确；故选：AD10.已知函数)()lg 1f x x =-+，则下列说法正确的是（）A.()f x 的值域为RB.(1)f x +关于原点对称C.()f x 在(1,)+∞上单调递增D.()f x 在[1,1]x m m ∈-+上的最大值、最小值分别为M 、N ，则0M N +=【答案】ABD 【解析】【分析】利用作差法，结合对数函数的性质判断A ，构造函数())lg k x x =，研究()k x 的性质判断B ，利用()k x 的单调性与奇偶性判断CD ，从而得解.【详解】对于A ，()2222110x x x -+--=>，所以()222210x x x -+>-≥1x >-，10x -+>恒成立，所以()f x 的定义域为R ，且当x 趋于无穷大时，1y x =+接近于0，当x 趋于无穷小时，1y x =+=趋于无穷大，所以()f x 的值域为R ，故A 正确；对于B ，因为))(1)lg (1)1lgf x x x +=-++=，令())lgk x x =，则()(1)f x k x +=，易知()k x 的定义域为R ，又()()))lglglg10k x k x x x -+=+==，所以()k x 为奇函数，关于原点对称，即(1)f x +关于原点对称，故B 正确；对于C ，因为())1gk x x =-=在()0,∞+上递减，而将()k x 的图象向右平移一个单位可得()f x 的图象，所以()f x 在(1,)+∞上单调递减，故C 错误；对于D ，因为()k x 在()0,∞+上递减，且())1gk x x =为奇函数，则()00k =，())k x x =-∴在(),-∞+∞上为减函数，而将()k x 的图象向右平移一个单位可得()f x 的图象，()f x ∴在(),-∞+∞上为减函数，即()f x 在[1,1]m m -+上单调递减，则()()()()110M N f m f m k m k m +=-++=-+=，故D 正确.故选：ABD.11.已知函数()f x 满足：对于,x y ∈R ，都有()()()(1)(1)f x y f x f y f x f y -=+++，且(0)(2)f f ¹，则以下选项正确的是（）A.(0)0f = B.(1)0f =C.(1)(1)0f x f x ++-= D.(4)()f x f x +=【答案】BCD 【解析】【分析】利用赋值法，结合条件分析得()()1,0f f 的值，从而判断AB ，利用赋值法，结合AB 中的结论、抽象函数的奇偶性和周期性的判定方法判断CD ，从而得解.【详解】对于B ：令0x y ==，则()()()22001,f f f ⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦令1x y ==，则()()()22012,f f f ⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦所以()()2202,f f ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦因为()()02f f ≠，所以()()02f f =-，令1,0x y ==，则()()()()()110210f f f f f =+=，故B 正确；对于A ：由选项B 可得()()200f f ⎡⎤=⎣⎦，所以()00f =或()01f =，若()00f =，则()()()220120f f f ⎡⎤⎡⎤=+=⎣⎦⎣⎦，所以()20f =，这与()()02f f ≠矛盾，舍去；若()01f =，则()()()220120f f f ⎡⎤⎡⎤=+=⎣⎦⎣⎦，解得()21f =±，因为()()02f f ≠，所以()21f =-，()01f =，故A 错误；对于C ：令0x =，则()()()()()011f y f f y f f y -=++，因为 ，()01f =，所以()()f y f y -=，所以()f x 为偶函数，令1x =，则()()()()()()11211f y f f y f f y f y -=++=-+，即()()11f x f x -=-+，所以(1)(1)0f x f x ++-=，故C 正确；对于D ：由选项C 知()()11f x f x -=-+，所以()()2f x f x -=-+，又()f x 为偶函数，所以()()()2f x f x f x =-=-+，即 t ，所以 t 䁝 t ，故D 正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：抽象函数求值问题，一般是通过赋值法，即在已知等式中让自变量取特殊值求得一些特殊的函数值，解题时注意所要求函数值的变量值与已知的量之间的关系，通过赋值还可能得出函数的奇偶性、周期性，这样对规律性求值起到决定性的作用.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数3()log (31)f x x =+的定义域为______.【答案】13x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】根据对数式的意义即可求解.【详解】要使函数有意义，则13103x x +>⇒>-，所以函数的定义域为13x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.故答案为：13x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.13.定义()f x x =⎡⎤⎢⎥（其中⎡⎤⎢⎥x 表示不小于x 的最小整数）为“向上取整函数”.例如 1.11-=-⎡⎤⎢⎥，2.13=⎡⎤⎢⎥，44=⎡⎤⎢⎥.以下描述正确的是______.（请填写序号）①若()2024f x =，则(2023,2024]x ∈，②若27120x x -+≤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥，则(2,4]x ∈，③()f x x =⎡⎤⎢⎥是R 上的奇函数，④()f x 在R 上单调递增.【答案】①②【解析】【分析】利用对“向上取整函数”定义的理解，结合定义域与二次不等式的求解可判断①②，举反例，结合函数奇偶性与单调性的定义可判断③④，从而得解.【详解】因为⎡⎤⎢⎥x 表示不小于x 的最小整数，则有x x ≥⎡⎤⎢⎥且1x x -<⎡⎤⎢⎥，即1x x x -<⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢≤⎥，对于①，()2024f x x ==⎡⎤⎢⎥，则20232024x <≤，即(2023,2024]x ∈，故①正确；对于②，令t x =⎡⎤⎢⎥，则不等式可化为27120t t -+≤，解得34t ≤≤，又t x =⎡⎤⎢⎥为整数，则3t =或4t =，当3t =时，即3x =⎡⎤⎢⎥，则23x <≤；当4t =时，即4x =⎡⎤⎢⎥，则34x <≤，所以24x <≤，则(2,4]x ∈，故②正确；对于③，因为()f x x =⎡⎤⎢⎥，则(0.5)1f =，(0.5)0(0.5)f f -=≠-，则()f x x =⎡⎤⎢⎥不是R 上的奇函数，故③错误；对于④，因为()f x x =⎡⎤⎢⎥，则(0.5)1f =，(0.6)1f =，即(0.5)(0.6)f f =，所以()f x 在R 上不单调递增，故④错误.故答案为：①②.14.已知a ，b 满足2221a ab b +-=，则232a ab -的最小值为______【答案】2【解析】【分析】变形给定等式，换元2a b m +=，用m 表示,a b ，再代入，利用基本不等式求出最小值.【详解】由2221a ab b +-=，得(2)()1a b a b +-=，令2a b m +=，则1a b m-=，解得233m a m =+，8322()33m a b a a b m-=+-=+，因此22228116132(32)()()(10)(1022333399m m a ab a a b m m m m -=-=++=++≥+=，当且仅当2216m m=，即24m =时取等号，所以232a ab -的最小值为2.故答案为：2【点睛】关键点点睛：将2221a ab b +-=变形为(2)()1a b a b +-=，令2a b m +=，再表示出,a b 是求出最小值的关键.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.求值（110232ln 2024+-（2）()()24525log 5log 0.2log 2log 0.5++【答案】（1）152（2）14【解析】【分析】（1）根据根式与指数式的互化将根式化为同底的指数式，再结合对数运算性质和指数幂性质即可计算得解.（2）根据对数性质、运算法则和换底公式即可计算求解.【小问1详解】原式()()111125253424211115221222222⨯+⨯=⨯+-=-=-=.【小问2详解】原式225511log 5log 0.2log 2log 0.522⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭225525log 5log log 2log log log ⎛=++= ⎝11lg5lg 2122lg 2lg5lg 2lg54=⨯=⨯=.16.已知集合{}121A x m x m =+≤≤-，11|288x B x -⎧⎫⎨⎬⎩⎭=≤≤.（1）求B ；（2）若A B ⊆，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}|24B x x =-≤≤（2）5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）利用指数函数的单调性解不等式，从而化简集合B ；（2）利用集合间的包含关系，分类讨论A =∅与A ≠∅两种情况，得到关于m 的不等式（组），解之即可得解.【小问1详解】由11288x -≤≤，得313222x --≤≤，所以313x -≤-≤，解得24x -≤≤，所以{}|24B x x =-≤≤.【小问2详解】因为A B ⊆，{}121A x m x m =+≤≤-，当A =∅时，121m m +>-，得2m <，满足条件；当A ≠∅时，2m ≥且21214m m -≤+⎧⎨-≤⎩，解得522m ≤≤；综上所述，m 的取值范围是5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.17.某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍惜水果树的单株产量W （单位：千克）与使用肥料x （单位：千克）满足如下关系：210(3),02()100100,251x x W x x x ⎧+≤≤⎪=⎨-<≤⎪+⎩，肥料成本投入为11x 元，其他成本投入（如培育管理、施肥等人工费）25x 元.已知这种水果的市场售价为20元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）.（1）求()f x 的函数关系式；（2）当使用肥料为多少千克时，该水果树单株利润最大，最大利润是多少？【答案】（1）220036600,02()2000200036,251x x x f x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨--<≤⎪+⎩；（2）当使用肥料为5千克时，该水果树单株利润最大，最大利润是44603元.【解析】【分析】（1）根据单株产量W 与施用肥料x 满足的关系，结合利润的算法，即可求得答案.（2）结合二次函数的最值以及对勾函数求最值，分段计算水果树的单株利润，比较大小，即可求得答案.【小问1详解】依题意，2200(3)36,02()20()251120()3610020(10036,251x x x f x W x x x W x x x x x ⎧+-≤≤⎪=--=-=⎨--<≤⎪+⎩220036600,022*********,251x x x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨--<≤⎪+⎩.【小问2详解】当02x ≤≤时，2()20036600f x x x =-+，则当2x =时，()f x 取得最大值(2)1328f =；当25x <≤时，500()203636(1)20364[9(1)]112000f x x x x x =--+=-++++令1(3,6]x t +=∈，5005009(1)91x t x t ++=++，函数5009t t y +=在(3,6]上单调递减，当6t =时，min 4123y =，此时5x =，()f x 取得最大值4460(5)3f =，而446013283<，因此当5x =时，max 4460()3f x =，所以当使用肥料为5千克时，该水果树单株利润最大，最大利润是44603元.18.已知函数()42x xa f x -=为奇函数，（1）求a 的值；（2）判断()f x 的单调性，并用单调性定义加以证明；（3）求关于x 的不等式()22(4)0f x x f x ++-<的解集.【答案】（1）1a =（2）()f x 在R 上单调递增，证明见解析（3）{}41x x -<<【解析】【分析】（1）利用奇函数的性质()00f =求得a ，再进行检验即可得解；（2）利用函数单调性的定义，结合作差法与指数函数的性质即可得解；（3）利用()f x 的奇偶性与单调性，将问题转化为224x x x +<-，从而得解.【小问1详解】因为()42x x a f x -=为奇函数，且定义域为R ，所以()00f =，则00402a -=，解得1a =，此时()411222x x x x f x -==-，则()()112222x x x x f x f x --⎛⎫-=-=--=- ⎪⎝⎭，即()f x 为奇函数，所以1a =.【小问2详解】()f x 在R 上单调递增，证明如下：任取12,R x x ∈，且12x x <，则12220x x -<，12220x x ⋅>则()()1222211112111122222222x x x x x x x x f x f x ⎛⎫-=---=-+- ⎪⎝⎭()12121212122212222102222x x x x x x x x x x -⎛⎫=-+=-+< ⎪⋅⋅⎝⎭，所以()()12f x f x <，故()f x 在R 上单调递增.【小问3详解】因为()22(4)0f x x f x ++-<，所以()()22(4)4f x x f x f x +<--=-，则224x x x +<-，即2340x x +-<，解得41x -<<，所以()22(4)0f x x f x ++-<的解集为{}41x x -<<.19.已知函数3()f x x a a x=--+，(R)a ∈，（1）若1a =，求关于x 的方程()1f x =的解；（2）若关于x 的方程2()f x a =有三个不同的正实数根1x ，2x ，3x 且123x x x <<，（i ）求a 的取值范围；（ii ）证明：1333x x x >.【答案】（1）11322x =+（2）（i）732⎛ ⎝；（ii ）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意得由31x x-=，分类讨论1x ≥与1x <两种情况去掉绝对值即可得解；（2）（i ）分段讨论()f x 的解析式，结合对勾函数的性质分析得()f x 的单调性，进而得到关于a 的不等式，解之即可得解；（ii ）利用（i ）中结论，分析得123x x =与3x 关于a 的表达式，进而得解.【小问1详解】当1a =时，3()11f x x x =--+，则由()1f x =，得31x x -=，当1x ≥时，则31x x -=，即230x x --=，解得11322x =+或11322x =-（舍去）；当1x <时，则31x x -=，即230x x -+=，无实数解，综上，11322x =+.【小问2详解】（i ）因为3()f x x a a x=--+，当x a ≤时，33()2f x x a a a x x x ⎛⎫=-+-+=-+ ⎪⎝⎭，当x a >时，33()f x x a a x x x=--+=-，由对勾函数的性质可知，32y a x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭在(上单调递增，在)+∞上单调递减，易知3y x x =-在()0,∞+上单调递增，当)0a a ≤≠时，则32y a x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在()0,a 上单调递增，3y x x =-在(),a +∞上单调递增，又当x a =时，332a x x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，故方程2()f x a =不可能存在3个不同正实根，所以a ≥32y a x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在(上单调递增，在)a 上单调递减，3y x x=-在(),a +∞上单调递增，故2322a a a a a <<-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，解得732a <<即a 的取值范围为2⎛ ⎝；（ii ）12x x ､是方程322a x x a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即22230x a x a ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭的两个根，故123x x =，3x 是方程32x x a -=的较大根，即2230x x a--=的较大根，则31x a =+且在区间732⎛+ ⎝上单调递减，所以1233333x x x x ⎛=>=.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.。
2023-2024学年浙江省宁波市高一上学期期中数学模拟试题(含解析)
将不等式 b a 3b 的两边同时乘以 1 可得： 3 a 1 ，
b
b
所以 0 a 3 ， b
故选. B
5. 设集合 S y | y 9 3x ，T x | y 9 3x ，则 S T （
A. [0, 3]
B. 0, 2
C. (, 3)
）
D. ,3
【正确答案】C
【分析】根据题意求出集合 S,T，再用并集运算即得解.
从而 f x x ，有 f 2022 2022 .
故选：D
8. 已 知 函 数 f x 是 定 义 在 , 上 的 奇 函 数 . 并 且 当 x 0 时 ， f (x) 2x x . 若
f 8a2 b2 f a2 ab 0 对任意的 b a 0 恒成立，则 的最大值是（ ）
1 x
2 y
的最小值为 4
2
D. 若 x2 xy 2 0, x 0, y 0 ，则 3x y 的最小值为 4
【正确答案】ABD
【分析】利用或构造基本不等式逐项分析即可.
【详解】对 A，因为 x 1 ，所以 x 1 0 ，
所以 x 1 1 2 x 1 1 2 ，
x 1
x 1
当且仅当
关于直线 x 1 对称，故选项 B 错误；
对于 C ，将函数 f x 的图象向右平移一个单位得到函数 f x 1 的图象，因为函数 f x 为奇函数，
则其图象关于原点 (0, 0) 对称，则函数 f x 1 的图象关于点 (1, 0) 中心对称，故选项 C 正确；
对于 D ，因为 f (1 x) f (x 3) 2 ，即 f (1 x) 1 [ f (3 x) 1]，则函数 f x 的图象关 于点 2,1 中心对称，故选项 D 正确，
浙江省宁波市高一上学期期中数学试卷(1)
浙江省宁波市高一上学期期中数学试卷（1）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分） (2019高一上·喀什月考) 以下5个关系：，，，，正确的是（）A . 1B . 2C . 3D . 42. （2分） (2017高一上·沙坪坝期中) 设集合A={x|x2﹣4x+3≥0}，B={x|2x﹣3≤0}，则A∪B=（）A . （﹣∞，1]∪[3，+∞）B . [1，3]C .D .3. （2分）下列各图表示两个变量x、y的对应关系，则下列判断正确的是（）A . 都表示映射，都表示y是x的函数B . 仅③表示y是x的函数C . 仅④表示y是x的函数D . 都不能表示y是x的函数4. （2分） (2020高二上·黄陵期末) 设 , 是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为A .B .C .D .5. （2分）已知f（x）=，则f{f[f（）]}=（）A . -1B . 0C . 1D . 26. （2分）若集合{1，，a}={0，a+b，a2}，则a2+b3=（）A . ﹣1B . 1C . 0D . ±17. （2分） (2016高一下·定州开学考) 下列函数f（x）中，满足“对任意x1 ，x2∈（﹣∞，0），当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）”的函数是（）A . f（x）=﹣x+1B . f（x）=x2﹣1C . f（x）=2xD . f（x）=ln（﹣x）8. （2分） (2018高三上·昭通期末) 已知定义域为(-3，3)的函数f(x)=27x-x3 ，如果f(3-m)+f (3-m2)<0，则实数m的取值范围为（）A . (2， )B . (- ， )C . (- ，-2)D . (- ，-2) (2， )二、填空题 (共7题；共7分)9. （1分） (2017高二下·伊春期末) 若函数在区间（－∞，2 上是减函数，则实数的取值范围是________10. （1分）如图所示，AB为⊙O的直径，AB=2，OC是⊙O的半径，OC⊥A B，点D在上， =2 ，点P是OC上一动点，则PA+PD的最小值为________．11. （1分） (2016高一上·南通期中) 已知函数f（x）=kx2+2kx+1在[﹣3，2]上的最大值为5，则k的值为________12. （1分） (2016高一上·平阳期中) 已知f（x）是偶函数，当x＜0时，f（x）=x2+x，则f（3）=________．13. （1分） (2019高一上·锡林浩特月考) 已知f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则g(x)=________.14. （1分） (2015高一上·柳州期末) 函数的定义域是________．15. （1分） (2016高一上·东海期中) 已知R上的奇函数f（x），对任意x∈R，f（x+1）=﹣f（x），且当x∈（﹣1，1）时，f（x）=x，则f（3）+f（﹣7.5）=________．三、解答题 (共5题；共55分)16. （5分）(2017高一上·钦州港月考) 已知全集 , 集合 ,.（I）求 , ;（II）求 , .17. （15分） (2019高一上·番禺期中) 某产品生产厂家生产一种产品，每生产这种产品（百台），其总成本为万元，其中固定成本为42万元，且每生产1百台的生产成本为15万元总成本固定成本生产成本销售收入万元满足，假定该产品产销平衡即生产的产品都能卖掉，根据上述条件，完成下列问题：（1）写出总利润函数的解析式利润销售收入总成本；（2）要使工厂有盈利，求产量的范围；（3）工厂生产多少台产品时，可使盈利最大？18. （15分） (2018高一上·如东期中) 已知f(x)＝，x∈(－2，2)．（1）判断f(x)的奇偶性并说明理由；（2）求证：函数f(x)在(－2，2)上是增函数；（3）若f(2＋a)＋f(1－2a)>0，求实数a的取值范围．19. （10分） (2019高一上·海林期中) 已知函数（1）若的定义域为 ,求实数的取值范围.（2）若其中 =1,求函数f(x)的单调区间.20. （10分） (2019高一上·长春月考) 已知二次函数的最小值为1,且 . （1）求的解析式；（2）若在区间上不单调,求实数a的取值范围.参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共7题；共7分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共5题；共55分)16-1、17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、。
人教A版数学必修一浙江省宁波四中高一上学期期始考试试题.docx
桑水一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列计算正确的是（ ）A.a 3+a 2=a 5B.a 3-a 2=aC.a 3·a 2=a 6D.a 3÷a 2=a 2．化简：1a a-等于 （ ） A .a - B .a C .a -- D.a -3.073|2|=-++-y x y x 已知, 则xy y x --2)(的值为（ ） 1.-A 21.B 0.C 1.D4.已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x 2－8x ＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于 （ ）.A 3 .B 3 .C 6 .D 95. 如图一，AB 是⊙O 的切线，切点为A ，OA =1，∠AOB =60︒，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．3126π- B ．3123π-C ．136π-D ．133π-图一桑水6. 下列函数中，当x ﹤0时，函数值y 随x 的增大而增大的有① y x = ② 21y x =-+ ③ 1 y x=- ④ 23y x =A ．1个B ．2个C ．3个D ． 4个7.在密码学中，直接可以看到的内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码。
有一种密码，将英文的26个字母a,b,c ……z （不论大小写）依次对应1,2,3……26这26个自然数（见表格）。
当明码对应的序号x 为奇数时，密码对应的序号12x y +=；当明码对应的序号x 为偶数时，密码对应的序号为132xy =+。
字母 a b c d e f g h i j k l m 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 字母 n opqrstuvwxyz序号 1415 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26按上述规定，将明码“love ”译成的密码是（）A ．gawqB ．shxcC ．sdriD ．love8.如图二，一条抛物线与x 轴相交于A 、B 两点，其顶点P 在折线C －D －E 上移动，若点C 、D 、E 的坐标分别为（-1，4）、（3，4）、（3，1），点B 的横坐标的最小值为1， 则点A 的横坐标的最大值为（ ）A.4B.3C.2D.1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.9．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图三，则a ______0；b _____0；c ______0；ac b 42-_______0．（填“＞”或“＜”、“＝”）10.已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，则222a b c ++_____________. 11.方程22330x x --=的根是____________．12. 设二次函数的对称轴为x=2，与x 轴交于两点，且这两点的横坐标的平方和为 10，图象过点(0,3)，则这个二次函数的表达式为 .三、解答题：本大题共3小题, 共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 13.（本题满分8分）已知21=x ,31=y ，求yx y y x x +--的值.图二图三桑水14.（本题满分12分）分解因式： （1）3722+-x x ；(2）8)2(7)2(222-+-+x x x x ；（3）a ax x x 51522---+ .15.（本题满分10分）设函数R x x x y ∈+-+=,1222. （1）作出函数的图象;（2）求函数y 的最小值及y 取最小值时的x 值.16. （本题满分10分）把半径为10厘米的半圆形铁皮锯成一个等腰梯形，梯形下底AB 的长等于圆的直径，上底CD 的端点在圆周上.设等腰梯形ABCD 周长为y 厘米，腰长为x 厘米，求出y 与x 的函数关系式．ABCD E桑水2012学年第一学期高一期始考试数学试卷参考答案一．选择题 D C D B A B B C 二．填空题14.解：（1）)3)(12(3722--=+-x x x x ；桑水（2）)12)(82(8)2(7)2(22222++-+=-+-+x x x x x x x x =2)1)(2)(4(+-+x x x ;（3）)3)(5()5()3)(5(51522a x x x a x x a ax x x --+=+--+=---+. 15．（1）图略；（2）当x =1时，y 最小值4.。
2022-2023学年浙江省宁波市第四中学高一上学期期中数学试题(解析版)
2022-2023学年浙江省宁波市第四中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}230A x x x =-=，B ＝{1，2，3}，则A ∪B ＝（ ）A ．{3}B ．{0，1，2，3}C ．{1，2，﹣3}D ．{1，2，3}【答案】B【分析】解方程求得集合A ，由并集定义可求得结果. 【详解】{}{}2300,3A x x x =-==，B ＝{1，2，3}，{}0,1,2,3A B ∴=. 故选：B.2．下列各组函数是同一函数的是（ ）A ．x y x=与1y = B ．y 与1y x =-C ．2x y x =与y x =D ．321x x y x +=+与y x= 【答案】D【分析】根据同一函数的定义，对选项逐一判断即可得到结果. 【详解】对于A 中，函数x y x=的定义域为()(),00,∞-+∞，函数1y =的定义域为R ，两函数的定义域不同，所以不是同一函数；对于B 中，函数1y x =-和1y x =-的对应法则不同，所以不是同一函数； 对于C 中，函数2x y x=的定义域为()(),00,∞-+∞，函数y x =的定义域为R ，两函数的定义域不同，所以不是同一函数；对于D 中，函数()2322111x x x x y x x x ++===++与y x =的定义域都是R ，且对应法则相同，所以是同一函数. 故选：D.3．命题“对任意R a ∈，都有20a ≥”的否定为（ ） A ．对任意R a ∈，都有20a < B ．对任意R a ∈，都有20a < C ．存在R a ∈，使得20a < D ．存在a ∉R ，使得20a <【答案】C【分析】直接利用全称命题是否定是特称命题写出结果即可．【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“对任意R a ∈，都有20a ≥”的否定为：存在0a ∈R ，使得200a <．故选：C ．4．杜甫在《奉赠韦左丞丈二十二韵》中有诗句：“读书破万卷，下笔如有神.”对此诗句的理解是读书只有读透书，博览群书，这样落实到笔下，运用起来才有可能得心应手，如有神助一般，由此可得，“读书破万卷”是“下笔如有神”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断.【详解】杜甫的诗句表明书读得越多，文章未必就写得越好，但不可否认的是，一般写作较好的人，他的阅读量一定不会少，而且所涉猎的文章范畴也会比一般读书人广泛. 因此“读书破万卷”是“下笔如有神”的必要不充分条件. 故选：C5．已知函数()2268f x x x +=++，则函数()f x 的解析式为（ ）A ．()22f x x x =+ B ．()268f x x x =++C ．()24f x x x =+ D ．()286f x x x =++【答案】A【分析】利用配凑法（换元法）计算可得.【详解】解：方法一（配凑法）∵()()()22268222f x x x x x +=++=+++， ∴2()2f x x x =+.方法二（换元法）令2t x =+，则2x t =-，∴()()()2226282f t t t t t =-+-+=+， ∴2()2f x x x =+. 故选：A6．已知a b c >>且0ac <，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．0-<b acB ．b c a a >C ．11a c <D ．22b ac c>【答案】B【分析】利用不等式的性质可判断ABC ，利用特殊值可判断D【详解】因为a c >，且0ac <，所以0,0a c ><， 对于A ，因为a b >，0c <，所以0b ac->，故错误； 对于B ，因为b c >，0a >，所以b ca a>，故正确； 对于C ，因为0,0a c ><，所以110,0ac><，所以11a c>，故错误； 对于D ，因为1,1,2a b c ==-=-满足a b c >>且0ac <，所以2212b a c c=-=，故错误； 故选：B7．若正数a,b 满足a+b=2,则1411a b +++ 的最小值是 A ．1 B ．94C ．9D ．16【答案】B【分析】由2a b +=可得()()114a b +++=，所以可得()()()411411411111411411411a b a b a b a b a b +⎡⎤+⎛⎫+=++++=+++⎡⎤⎢⎥ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭⎣⎦，由基本不等式可得结果. 【详解】∵2a b +=，∴()()114a b +++=， 又∵0a >，0b >， ∴()()141141111411a b a b a b ⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭ ()()411119145441144a b a b +⎡⎤+=+++≥⨯+=⎢⎥++⎣⎦， 当且仅当()41111a b a b ++=++，即13a =，53b =时取等号,1411a b +++ 的最小值是94,故选B.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.8．设x R ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数．例如：[]3π=，[]5,16-=-，已知函数()221xf x x =+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为（ ） A ．{}1,1-B ．{}1,0-C ．{}1,0D ．{}1,0,1-【答案】D【分析】利用基本不等式可求得函数()f x 的值域，由此可求得函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域. 【详解】当0x >时，()2220111x f x x x x <==≤=++，当且仅当1x =时，等号成立； 当0x <时，()()()222111x f x x x x ==-≥=-+-+-，当且仅当=1x -时，等号成立，此时()10f x -≤<；又因为()00f =，所以，函数()f x 的值域为[]1,1-，当()10f x -≤<时，()1f x ⎡⎤=-⎣⎦；当()01f x ≤<时，()0f x ⎡⎤=⎣⎦； 当()1f x =时，()1f x =⎡⎤⎣⎦.综上所述，函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为{}1,0,1-. 故选：D.二、多选题9．已知集合{2M =-，2334x x +-，24}x x +-，若2M ∈，则满足条件的实数x 可能为（ ） A ．2 B ．2-C ．3-D ．1【答案】AC【解析】根据集合元素的互异性2M ∈必有22334x x =+-或224x x =+-，解出后根据元素的互异性进行验证即可．【详解】解：由题意得，22334x x =+-或224x x =+-， 若22334x x =+-，即220x x +-=，2x ∴=-或1x =，检验：当2x =-时，242x x +-=-，与元素互异性矛盾，舍去； 当1x =时，242x x +-=-，与元素互异性矛盾，舍去． 若224x x =+-，即260x x +-=，2x ∴=或3x =-，经验证2x =或3x =-为满足条件的实数x ． 故选：AC ．【点睛】本题主要考查集合中元素的互异性，属于基础题． 10．下列说法正确的是（ ）A ．若函数()f x 的定义域为[]02，，则函数()2f x 的定义域为[]04， B ．()12x f x x +=+ 图象关于点()21-，成中心对称 C ．2112x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的最大值为12D ．幂函数()()23433m f x m m x -=-+在()0+∞，上为减函数，则m 的值为1 【答案】BD【分析】对于A ，由复合函数的定义域的求法判断；对于B ，通过平移函数1y x =-的图象判断函数12x y x +=+的图象的对称中心；对于C ，根据指数函数的单调性进行判断；对于D ，通过幂函数的定义和单调性得到关于m 的关系式，进而求解m 的值.【详解】对于A ，函数()f x 的定义域为[]02，，由022x ≤≤得01x ≤≤， 则函数()2f x 的定义域为[]0,1，A 错误； 对于B ，函数1y x=-的图象的对称中心为()0,0，将函数1y x =-的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到函数11122x y x x +=-+=++的图象， 则函数12x y x +=+的图象的对称中心为()2,1-，B 正确； 对于C ，函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，且211x -+≤，则211212x y -+⎛⎫= ⎪≥⎝⎭，即当0x =时，函数2112x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭取得最小值12，无最大值，C 错误；对于D ，因为函数()()23433m f x m m x -=-+为幂函数，所以2331340m m m ⎧-+=⎨-<⎩，解得1m =，D 正确. 故选：BD.11．已知函数()f x 定义域为R ，且()()f x f x -=-，()()2=f x f x -，()11f =，则（ ）A ．()f x 的图象关于直线2x =对称B ．()60f =C ．()f x 的图象关于点()2,0-中心对称D ．()21f x -为偶函数【答案】BCD【分析】利用假设()f x 的图象关于直线2x =对称，推出矛盾的方法判断A;根据已知可推得函数为奇函数，进而得到函数的周期，可判断B,C;利用偶函数的定义可判断D. 【详解】对于A,假设()f x 的图象关于直线2x =对称，则()()22f x f x -=+， 因为()()2=f x f x -，故()()2f x f x +=，即2为函数的一个周期，则()(1)12(1)1f f f =-=-=，由()()f x f x -=-，()11f =可得(1)1f -=-，矛盾，故()f x 的图象不关于直线2x =对称，A 错误；对于B, 函数()f x 定义域为R ，且()()f x f x -=-，则(0)=0f ，由()()2=f x f x -得()()2f x f x -=--，则()()2,(4)()f x f x f x f x +=-∴+=， 故()6(24)(2)(0)0f f f f =+===，故B 正确；对于C,由B 的分析可知，()()22(2)f x f x f x --=-=--+，即()2(2)f x f x --=--+，故()f x 的图象关于点()2,0-中心对称，C 正确；对于D ，由()()f x f x -=-可得()21(21f x f x --=-+），由()()2=f x f x -得(21)(12)(21)f x f x f x +=-=-- ，故()21(21f x f x --=-），即()21f x -为偶函数，D 正确，故选;BCD.【点评】本题综合考查函数的奇偶性和周期性以及对称性，综合性较强，解答时要注意能根据抽象函数的性质进行相应的代换，推出函数的周期，解答的关键是明确如何说明函数具有对称性和周期性等.12．（多选）已知0,0x y >>，且30x y xy ++-=，则（ ） A ．xy 的取值范围是[]1,9 B ．x y +的取值范围是[2,)+∞C ．4x y +的最小值是3D ．2x y +的最小值是3【答案】BD【分析】A 选项，利用基本不等式得到x y +≥3xy -≥01xy <≤，A正确；B 选项，利用基本不等式得到2()2x y xy +≤，从而得到23()()2x y x y +-+≤，解一元二次不等式，求出答案，B 正确； C 选项，先得到411x y =-++，代入得到444(1)51x y y y +=++-+，从而得到基本不等式求出最值； D 选项，得到411x y =-++，代入得到422(1)31x y y y +=++-+，利用基本不等式求出最值.【详解】因为0,0x y >>， 所以x y +≥3xy -≥解得:01<≤，即01xy <≤，则A 错误； 因为0,0x y >>.所以2()2x y xy +≤ ，所以23()()2x y x y +-+≤， 即()()24120x y x y +++-≥，又0,0x y >>，解得：2x y +≥，则B 正确； 因为30x y xy ++-=，所以34111y x y y -+==-+++， 则444144(1)5245311x y y y y y +=-++=++-≥⨯-=++， 当且仅当()4411y y =++，即0y =时，等号成立. 因为0y >，所以43x y +>，则C 错误； 442122(1)3311x y y y y y +=-++=++-≥++，当且仅当()4211y y =++，即1y =时，等号成立，则D 正确. 故选：BD三、填空题 13．不等式12x x+≥的解集为___________． 【答案】(0,1]【分析】根据分式的运算性质，结合一元二次不等式的解法进行求解即可. 【详解】由12x x +≥得1120x x x x+--=≥，即(1)0x x -≤，且0x ≠ 解得01x <≤， 故答案为：(0,1]．14．若102a b -<<<<，则221a b --的取值范围是___________. 【答案】()7,1--【分析】由不等式的基本性质计算可得. 【详解】解：因为102a b -<<<<，所以1002a b -<<⎧⎨<<⎩，则220a -<<，024b <<，420b -<-<，所以6220a b -<-<，所以72211a b -<--<-，即()2217,1a b --∈--. 故答案为：()7,1--15．已知函数()()112,03,0x a x a x f x x -⎧-+<=⎨≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围为___________.【答案】116a ≤<【分析】由题意可得10123a a ->⎧⎪⎨≥⎪⎩，计算不等式组即可求得结果.【详解】∵函数()()112,03,0x a x a x f x x -⎧-+<=⎨≥⎩的值域为R ，又当0x ≥时，1133x -≥，∴10123a a ->⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得116a ≤<.故答案为：116a ≤<.16．已知()22,0,0,0,,0,x x f x x x x ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩若对任意的[,2],()2()x t t f x t f x ∈++≥恒成立，则实数t 的取值范围是_____________．【答案】)+∞【分析】由当0x <时，2()f x x =-，0x ≥时，2()f x x =，从而()f x 在R上是单调递增函数，且满足2())f x f =，再根据不等式()2())f x t f x f +≥=在[t ，2]t +恒成立，可得x t +≥在[t ，2]t +恒成立，计算即可得出答案．【详解】当0x <时，2()f x x =-递增，当0x ≥时，2()f x x =递增，所以()f x 在R 上是单调递增函数，且满足2())f x f =，()2())f x t f x f +≥=．又∵函数在定义域R 上是增函数，故问题等价于当[,2]x t t ∈+时，x t +恒成立1)0x t ⇔-≤恒成立，令max ()1),()(2)0g x x t g x g t =-=+≤，解得t ≥∴t的取值范围为)+∞．故答案为：)+∞四、解答题17．计算：122314829-⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】(1)2(2)172【分析】（1）分母有理化即可得到答案.（2）根据指数幂运算法则与性质计算即可.【详解】（1111222=+==（2）原式122233231721241322⎛⎫⨯-⎪⨯⎝⎭⎛⎫=++=+++=⎪⎝⎭.18．集合{}{}12,231A x xB x p x p=-<≤=-≤≤+(1)若U=R，求U A；(2)若命题“x B∃∈，x A∈”为假命题，求实数p的取值范围.【答案】(1){}12UA x x x=≤->或(2)()2,4,3⎛⎤-∞-⋃+∞⎥⎝⎦【分析】（1）直接根据补集运算，即可得到结果.（2）根据题意可得命题“x B∀∈，x A∉”为真命题，分B=∅，B≠∅讨论，列出不等式，即可求得p的范围.【详解】（1）因为{}12A x x=-<≤，则{}12UA x x x=≤->或（2）由命题“x B ∃∈，x A ∈”为假命题可知： 命题“x B ∀∈，x A ∉”为真命题 所以A B ⋂=∅，①当B =∅时，231p p ->+，解得：32p <-②当B ≠∅时，则231311p p p -≤+⎧⎨+≤-⎩或23122p p p -≤+⎧⎨->⎩，解得：3223p -≤≤-或4p >综上所述：p 的取值范围是：()2,4,3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦19．已知函数(1)x y a =-是指数函数.(1)该指数函数的图象经过点(2,4)，求函数的表达式；(2)解关于x 的不等式：|34|311x a a -⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【答案】(1)2x y = (2)71|33⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭x x【分析】（1）把(2,4)代入见解析，结合指数函数的定义可得答案； （2）利用指数函数的单调性解不等式可得答案.【详解】（1）因为指数函数的图象经过点(2,4)，所以()24101⎧=-⎪⎪>⎨⎪≠⎪⎩a a a ，解得3a =，所以2x y =；（2）因为12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭是单调递减函数，由3431133x -⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭得334>-x ， 解得1373<<x ，所以不等式的解集为71|33⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭x x .20．随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.宁波医疗公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为80台.每生产x 台，需另投入成本()G x 万元，且()2280,04036002012100,4080x x x G x x x x ⎧+<≤⎪=⎨+-<≤⎪⎩，由市场调研知，该产品的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.(1)写出年利润()W x 万元关于年产量x 台的函数解析式（利润=销售收入-成本）；(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润时多少？【答案】(1)()22120300,04036001800,4080x x x W x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+<≤⎪⎩； (2)年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润为1680万元.【分析】（1）根据()G X 的解析式，结合已知条件，根据利润的计算公式，直接求解即可；（2）根据（1）中所求的函数解析式，结合函数单调性和基本不等式，即可直接求得结果.【详解】（1）由该产品的年固定成本为300万元，投入成本()G x 万元，且()2280,04036002012100,4080x x x G x x x x ⎧+<≤⎪=⎨+-<≤⎪⎩， 当040x <≤时，()()22003002120300W x x G x x x =--=-+-，当4080x <≤时，()()36002003001800W x x G x x x=--=--+ 所以利润()W x 万元关于年产量x 台的函数解析式()22120300,04036001800,4080x x x W x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+<≤⎪⎩. （2）当040x <≤时，30x =最大，最大值为1500；当4080x <≤时，()3600180018001680W x x x ⎛⎫=-++≤- ⎪⎝⎭， 当且仅当3600x x=时，即60x =时等号成立， 综上可得，年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润为1680万元.21．已知函数2(1)()()x x a f x x ++=为偶函数. （1）求实数a 的值；（2）判断()f x 的单调性，并证明你的判断；（3）是否存在实数λ，使得当11,(0,0)x m n m n ⎡⎤∈>>⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的值域为[2,2]m n λλ--.若存在，求出λ的取值范围；若不存在说明理由.【答案】（1）1a =-；（2）()f x 在(0,)+∞上为增函数，在(,0)-∞上为减函数，证明见解析；（3）存在，2λ>.【解析】（1）由偶函数的定义即可求得a 的值；（2）用函数单调性的定义即可判断并证明；（3）假设存在，根据题意列出方程，解出即可.【详解】（1）函数222(1)()(1)()x x a x a x a f x x x +++++==为偶函数， 2222(1)(1)()x a x a x a x a f x x x-+++++∴-==， 即(1)1a a -+=+，1a ∴=-；（2）当1a =-时，22211()1x f x x x-==-， 则函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，在(,0)-∞上为减函数，证明：设120x x <<，则()()()()1212122222211211x x x x f x f x x x x x -+-=-=， 120x x <<，120x x ∴+>，120x x -<， ()()120f x f x ∴-<，即()()12f x f x <，故()f x 在(0,)+∞上为增函数；同理可证()f x 在(,0)-∞上为减函数；（3）函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，∴若存在实数λ，使得当11,(0,0)x m n m n ⎡⎤∈>>⎢⎥⎣⎦时， 函数()f x 的值域为[2,2]m n λλ--， 则满足22112112f m m m f n n n λλ⎧⎛⎫=-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=-=- ⎪⎪⎝⎭⎩，即221010m m n n λλ⎧-+=⎨-+=⎩，即m ，n 是方程210x x λ-+=的两个不等的正根，则满足240010m n mn λλ⎧∆=->⎪+=>⎨⎪=>⎩，解得2λ>，故存在2λ>，使得结论成立.【点睛】易错点点睛：m n ≠ ，所以m ，n 是方程210x x λ-+=的两个不等的正根，注意0∆>. 22．已知二次函数2y ax bx c =++．(1)若0y >的解集为{}|34x x -<<，解关于x 的不等式()2230bx ax c b +-+<；(2)若对任意x ∈R ，=2b ，a c >且不等式0y ≥恒成立，并且存在0x R ∈，使得20020ax x c ++=成立，求22a c a c+-的最小值． (3)若对任意x ∈R ，若a b <且不等式0y ≥恒成立，求24a b c b a++-的最小值． 【答案】(1)(3,5)-(2)(3)8【分析】（1）由韦达定理可得a 、b 、c 的关系，以及a 的符号，代入目标不等式化简直接求解可得；（2）依题意可得判别式等于0，整理得a 、c 关系，将目标式平方化简后换元，然后利用基本不等式可得；（3）利用判别式消元，放缩目标式，然后分子分母同时除以a ，再换元，由基本不等式可解.【详解】（1）因为20ax bx c ++>的解集为{}|34x x -<<，所以3-和4是方程20ax bx c ++=的两根，且a<0 由韦达定理可得3434b a c a⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⨯⎪⎩，即,12b a c a =-=-，代入()2230bx ax c b +-+< 得22150ax ax a -++<，因为a<0，所以不等式2221502150ax ax a x x -++<⇔--<，解得35x -<<，即所求不等式解集为(3,5)-（2）因为对任意x ∈R ，=2b ，a c >且不等式0y ≥恒成立，所以0Δ440a ac >⎧⎨=-≤⎩， 又存在0x ∈R ，使得20020ax x c ++=成立，所以440ac -=，即1ac =因为a c >，所以2222a c ac +>=，令2220t a c =+->所以222222222()(2)4()4482a c a c t t a c a c t t+++===++≥=-+- 当且仅当4t t=，即2t =时等号成立，即a c ==22a c a c +-有最小值（3）因为对任意x ∈R ，不等式0y ≥恒成立，所以2040b a b ac >>⎧⎨-≤⎩，所以24b c a ≥ 所以22221()241b b b a b a b c a a a b b a b a a++++++≥=---（当判别式等于0时等号成立） 令1b t a -=，则1b t a=+，因为0b a >>，所以10b t a -=>所以22221()12(1)(1)4444481b b t t t t a a t b t t t a++++++++===++≥=- 当且仅当4t t =，即2t =时等号成立， 所以，当240b ac -=且2t =时，24a b c b a++-有最小值8.。
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浙江省宁波四中高一上学期期中考试
(数学)
本试卷分选择题和非选择题两部分，满分为 100 分，考试用时 1。
第一部分 选择题 (共 40 分) 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的 .
1. 设集合 P (x, y) | x y 1 , Q ( x, y) | x y 3 ，则 P Q 为 ( )
（A ） 2, 1 （B ） (2,1) （ C ）(2,1) （D ） (x, y) | x 2或
y
1 2． 300 是第（ ）象限角 .
（A ）一
（B ）二
（C ）三 （D ）四
3．下列集合中，只有一个子集的集合是
（
）
（A ） x | x 2
0 （B ） x | x 3 0 （ ） x | x 2 0 （ ） x | x 3 0 C
D
4. 若函数 y f ( x) 与函数 y 2 x 的图象关于 y 轴对称，则
（
）
（A ） f
(2)
f
(3) （ B ） f (2)
f (3) （ C ） f (2) f
(3)
（D ）不能确定
5．方程 x 3
x 3 0 的实数解落在的区间是
( ) （A ） [ 1,0] （B ） [0,1] （C ） [1,2] （D ） [2,3]
6. 已知 f (x) 是奇函数，且当 x 0 时， f ( x) x(1 x) 则 f
(
2) （ ）
（A ）2 （B ）-2
（C ） 6 （D ）-6
7．设 a 1 ，则 log 0.2 a 、 0.2a
、 a
0.2
的大小关系是
（ ）
（A ） 0.2a
log 0.
2 a a 0. 2 （ ） log 0
.2 a 0.2a
a 0. 2
B （
C ）
log 0 .2 a a 0.2 0.2 a （ ）
0.2
a a 0.2 log 0.2a
D
8. 函数 y x 2|x| 的图象是
（
） y
y
y
y
o
x
o
x
o
x
o
x
y(m 2
)
（A ）
（B ）
（ C ）
（D ） 9．某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积 2 y （m ）与时
2
间 t （月）之间的函数关系是 y a
t 1
( a 0且 a 1) ，它
的函数图象如图所示。
给出以下命题：①池塘中原有浮
2
t （月）
2
草的面积是 0.5 m；②到第 7 个月浮草的面积一定能超
过 60 m2；③浮草每月增加的面积都相等；④若浮草面积达到 4 m2，16 m2，64 m2所经过的时间分别为 t 1， t
2 ，t3，则 t 1+t 2<t 3。
其中所有正确命题的序号是（）
（A）①②（B）①④（C）②③（D）②④
10. 已知 f
( x) (3a 1) x
4a (x 1) 是 , 上的减函数，则 a 的取值范围是（ ） log a x (x 1)
（A ） 0,1 （ B ）
0, 1
（ ） 1 1 （D ） 1
3 C
7 , ,1 3
7
第二部分
非选择题 (共 60 分)
二、填空题：本大题共
6 小题，每小题 4 分，共 24 分 . 11. 扇形的弧长为 πcm,半径为 3cm,则扇形的圆心角的绝对值为 ______度 .
12．函数 f ( x) x 2,3 的值域为 _________.
(x
x 1
13. 函数 f(x)=a x
(a>0 且 a ≠1)在区间［ 1， 2］上的最大值比最小值大 a
2
，则 a 的值为
14. 已知函 数 f (x)
x 2
2x 8 的定 义域 为 M ， g (x)
1 的定义域为 P ，若
1 | x a |
M
P
，则实数 a 的取值范围是 _________.
15．函数 f ( x) 2x
, g( x) x 1. h(x) f
( x) f ( x) g(x)
g( x) f ( x) .则 h( x) 的值域为 _______. g( x)
16. 已 知 l o a g2 l o b g2 ,则①0 a b 1, ②0 b a 1, ③ 1 a b, ④ 1 b a .
⑤ 0 a 1 b ，⑥ 0 b 1 a 。
正确的序号是 _________.
三、解答题：本大题共 5 小题，共 36 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .
17.( 本小题 4 分 )
求值： log 3 27 log 9 3 1.40
0.0016
0 .75
e ln 1000
18. ( 本小题 5分)
若集合 A 4,2a 1,a 2
， B a 5,1 a,9 , 且 A B
9 ，求 a 的值 .
19. ( 本小题 9 分)
已知二次函数 f (x) x 2
bx c ，且 f (1) 0 ，若函数 f ( x) 是偶函数，求 f (x) 的解析式；
（1） 要使函数 f (x) 在区间
1，3 上是增函数，求 b 的取值范围；
（ 2） 在（ 1）的条件下，求函数
f (lo
g 2 ) 在区间 1 ，
x 2 8 上的最大值和最小值。
（3）在（ 1）的条件下，在区间 1，3 上 ,y= f （ x ）的图象恒在 y=2x+m 的图象上方 ,试确定实
数 m 的范围。
（本小题 9 分）
为了预防甲型 H1N1流感，我校对每班教室进行消毒。
已知药物释放过程中，室内每立方米空
气中的含药量 y （毫克）与时间 t （分钟）的关系满足下列一组实验数据：
t 0 1.01 2 3.02
v 0.01 2 8.02 18.01 药物释放共需 4 分钟。
药物释放完毕后的 4 分钟内， y 与 t 的函数关系式为 y 1 t 34 ， 4
2 分钟后 y 与 t 成反比。
（1）建立一个适当的药物释放过程中的函数模型.
（2）求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间 t （分钟）的函数关系
式。
并在方格纸上画出函数的图象.
（3）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到8 毫克以下时，学生才能进入教室。
则从药物释放开始，至少需要经过多少分钟学生才能进入教室学习？
x
21. （本小题 9 分）已知定义在R 上的函数 f ( x) 2 b 是奇函数 .
2 x 1 a
（1）求 a,b 的值 .
（2）判断 f ( x) 的单调性，并用定义加以证明.
（3）求 f (x) 1 的零点。
4
参考答案
第一部分选择题(共 40 分)
一、选择题：本大题共10 小题，每小题
一项是符合题目要求的.
4 分，共40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有题号 1 2 3 4
5
6
7
8
9 10 答案 B A C A C D B A A C
第二部分非选择题 (共 60 分)
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24分.
11._______60_______;
（
3
] 2,;
，
12.
4
13.______0.5或 1.5____; 14.____ 1,3 _____;
15.___,1 ______; 16.____1， 3， 6________.
三、解答题：本大题共 5 小题，共36 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .
17.( 本小题 4 分 )
解答(略) -5.5
18. ( 本小题 5 分)
解： a=-3
19. ( 本小题 9 分)
解：（1） f ( x) x 2 1
（2） b 2
（3）最大值 8，最小值 -1.
(4) m 2
（本小题 9 分）
(1) y 2t 2
2t 20 t 4
(2) y 0.5x 34 4 t 8
240
t 8
t
(3)30 分钟后
21.（本小题 9 分）
（1）a=2,b=1
(2)单调递减
（3） log 2 3。