高考数学难点突破_难点26__垂直与平行
高中数学重难点归纳：立体几何中的平行与垂直
高中数学重难点归纳：立体几何中的平行与垂直
题型一：线线、线面位置关系的证明
（1）证明立体几何问题的主要方法是定理法，解题时必须按照定理成立的条件进行推理。
（2）证明立体几何问题，要精密结合图形，有时要利用平面几何的相关知识，因此需要多画出一些图形辅助使用。
题型二：两平面之间位置关系的证明
（1）证明面面平行依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证明面面平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行。
（2）证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直。
题型三：空间线面位置关系的综合问题
与平行、垂直有关的存在性问题注意解题的步骤。
高考数学平行垂直知识点
高考数学平行垂直知识点高考数学中的平行垂直知识点高考是每个学生都无法绕过的一道坎。
而在这道坎上，数学一直被视为是考试重点科目之一。
其中，平行和垂直是数学中非常重要的概念和知识点。
在高考中，我们经常会遇到与平行垂直相关的问题。
本文将深入探讨高考数学中的平行垂直知识点。
一、平行线及其判定平行线是指在同一个平面上，永远不相交的两条直线。
在高中数学中，我们通常通过两个条件来判断两条直线是否平行：同一平面内，有且只有一对内角相等；同一平面内，有且只有一对对应角相等。
这两个条件可以帮助我们判定平面内任意两条直线的平行关系。
除了判定平行关系外，我们还经常会遇到一些与平行线相关的问题。
例如，两条平行线所夹的角等于180°减去这两条平行线与另一直线的两个内角，这个公式被广泛应用于解决许多与平行线夹角有关的题目。
二、垂直线及其判定垂直线是指在同一个平面上，相交沿特定角度交相垂直的两条直线。
在高中数学中，我们通常通过两个条件来判断两条直线是否垂直：两条直线的斜率乘积为-1；同一平面上，一条直线与另一直线的两个内角相加等于二直角的度数（90°）。
在实际应用中，我们还经常会用到垂直线的性质。
例如，在求解垂直线段的问题中，我们可以利用勾股定理来计算两条垂直线段之间的关系。
此外，我们还会遇到一些根据垂直线的性质来推论的问题，需要我们根据给定条件进行推断。
三、平行线与垂直线的性质平行线和垂直线在几何中有许多重要的性质。
其中，平行线的性质主要包括：平行线之间的夹角相等；两个平行线被一条横穿线切割，所形成的对应角、内错角以及同旁内角是相等的。
这些性质在解题过程中经常会被用到，它们帮助我们更好地理解平行线的特性。
垂直线的性质则包括：垂直直线之间的夹角为直角（90°）；两条直线互相垂直，其中一条直线上的一条直线与另一条直线上的互相垂直。
这些性质在解决垂直问题时也起着重要的作用，它们可以帮助我们确定直角关系并简化问题。
高中平行和垂直知识点总结
高中平行和垂直知识点总结
高中数学中，平行和垂直是重要概念之一，以下是有关平行和垂直的一些知识点总结:
1. 平行线：同一平面内，不相交且彼此相等的两条线段称为平行线。
2. 垂直线：相交于一点且互相平分的两条线段称为垂直线。
3. 平行线和垂直线的性质:
a. 平行线间的垂线是不存在的。
b. 任何一条平行线与另一条直线的交点，都是这两个直线的中点。
c. 垂直线是两条平行线分别与另一条直线的交点。
d. 两条平行线间的垂线相等且互相平分。
e. 平行线和垂直线都是相交于一点的两条线段。
4. 垂直线和平行线的关系:
a. 垂直线是平行线的一种特殊形态，两条垂直线相交于一点。
b. 任何一条平行线上的任意一点到另一条平行线的距离相等。
c. 两条平行线永远不会相交，但可能会与垂直线相交。
5. 平行线和垂直线的图形表示:
a. 平行线用粗实线表示，垂直线用细实线表示。
b. 在平面直角坐标系中，平行线和垂直线的方程分别为:x 轴和y 轴的方程。
c. 垂直线的表示在矢量图中比较常见，垂直线用黑实线表示，箭头表示方向。
以上是高中数学中有关平行和垂直的一些知识点总结，希望有所帮助。
高中数学如何求解垂直线和平行线问题
高中数学如何求解垂直线和平行线问题在高中数学中，垂直线和平行线是常见的几何概念。
解决与垂直线和平行线相关的问题，需要掌握一些基本的几何知识和技巧。
本文将从垂直线和平行线的定义入手，通过具体的题目举例，分析解题思路和考点，并给出一些解题技巧，以帮助高中学生或他们的父母更好地理解和应用这些概念。
一、垂直线的定义和求解垂直线是指两条直线相交时，交角为90度的线。
求解垂直线问题，通常需要利用垂直线的性质和相关定理。
例题一：已知直线l1的斜率为k，求与l1垂直的直线l2的斜率。
解析：首先，我们知道垂直线的斜率乘积为-1。
设直线l2的斜率为m，则有k * m = -1。
解得m = -1/k，即l2的斜率为-1/k。
例题二：已知直线l1过点A(2, 3)，且与直线l2垂直，直线l2过点B(4, 5)，求直线l2的方程。
解析：由于l1与l2垂直，根据斜率的性质，我们可以得到l2的斜率为-1/k，其中k为l1的斜率。
根据点斜式，l2的方程为y - y1 = m(x - x1)，代入点B的坐标和斜率-1/k，得到l2的方程为y - 5 = (-1/k)(x - 4)。
二、平行线的定义和求解平行线是指在同一个平面内，永远不会相交的直线。
求解平行线问题，需要利用平行线的性质和相关定理。
例题三：已知直线l1过点A(2, 3)，且与直线l2平行，直线l2过点B(4, 5)，求直线l2的方程。
解析：由于l1与l2平行，它们的斜率相等。
首先，我们可以通过点A和点B计算出l1的斜率k1和l2的斜率k2。
然后，根据点斜式，l2的方程为y - y1 = k2(x - x1)，代入点B的坐标和斜率k2，即可得到l2的方程。
例题四：已知直线l1的方程为2x + 3y = 6，求与l1平行且过点(4, 5)的直线l2的方程。
解析：由于l1的斜率为-2/3，与l1平行的直线l2的斜率也为-2/3。
根据点斜式，l2的方程为y - y1 = k(x - x1)，代入点(4, 5)的坐标和斜率-2/3，即可得到l2的方程。
平行与垂直知识点总结
平行与垂直知识点总结平行与垂直是几何学中的重要概念，涉及到直线在空间中的位置关系。
在几何学中，我们经常需要理解和利用平行与垂直的概念，这些概念对于解决几何问题、建筑设计、地图绘制等方面都具有重要的作用。
因此，了解平行与垂直的知识点对于我们的数学学习和日常生活都具有重要的意义。
本文将从平行和垂直的定义、性质、判定以及相关定理等方面对平行与垂直进行总结，希望能够对读者有所帮助。
一、平行线的定义在平面几何中，两条直线称为平行线，如果它们在同一平面上，且不相交。
这意味着，平行线在同一平面上不会相交，其间的距离始终保持相等。
1.1 平行线的符号表示：在数学中，我们通常用符号“ ||”来表示两条线段是平行的。
1.2 平行线的特征：1）平行线永远不会相交。
2）平行线的斜率相同。
3）平行线之间的夹角相等。
二、垂直线的定义与平行线相对应的概念是垂直线。
两条直线称为垂直线，如果它们在同一平面上，并且它们的交角为 90 度。
2.1 垂直线的符号表示：在数学中，我们通常用符号“⊥”来表示两条线段是垂直的。
2.2 垂直线的特征：1）垂直线可以相交，但相交的角度为 90 度。
2）垂直线的斜率相乘等于 -1。
3）垂直线之间的夹角为 90 度。
三、平行和垂直线的判定在几何学中，我们常常需要判定两条直线是否平行或垂直，下面来总结一些判定准则。
3.1 判定两条直线是否平行的几种方法：a）斜率判定法：当两条直线的斜率相等时，它们是平行线。
b）观察判定法：在图形上观察两条线段的倾斜情况，如果它们很明显地呈现出平行的形态，则可以判断它们是平行线。
c）角度判定法：两条平行线之间的夹角相等，可以通过观察夹角的大小来判断两条直线是否平行。
3.2 判定两条直线是否垂直的方法：a）斜率判定法：当两条直线的斜率相乘等于 -1 时，它们是垂直线。
b）观察判定法：在图形上观察两条直线的交角，如果它们的交角为 90 度，则可以判断它们是垂直线。
c）角度判定法：两条垂直线之间的夹角为 90 度，可以通过观察夹角的大小来判断两条直线是否垂直。
版高考数学一轮总复习解析几何中的平行与垂直问题解析
版高考数学一轮总复习解析几何中的平行与垂直问题解析在版高考数学一轮总复习解析几何中，平行与垂直问题是考试中常见的题型之一。
在解析几何中，平行与垂直是两种特殊的关系，对于学生来说，掌握这些关系的判定方法和性质是非常重要的。
本文将重点介绍解析几何中的平行与垂直问题的解析方法和应用。
一、平行的判定方法在解析几何中，平行是指两条直线或两个平面永不相交。
我们可以通过判定斜率和方向向量来确定两条直线是否平行。
具体而言，如果两条直线的斜率相等且方向向量不相等，则可以判定这两条直线是平行的。
以直线的方程为例，设直线L1的方程为y = k1x + b1，直线L2的方程为y = k2x + b2，其中k1和k2分别为两条直线的斜率，b1和b2分别为两条直线的截距。
如果k1 = k2且(k1 ≠ 0或k2 ≠ 0)，则可以判定直线L1与直线L2是平行的。
同样的方法也适用于判断平面是否平行。
假设平面P1的方程为Ax + By + Cz + D1 = 0，平面P2的方程为Ax + By + Cz + D2 = 0，如果A1/A2 = B1/B2 = C1/C2且(A1/A2 ≠ 0或B1/B2 ≠ 0或C1/C2 ≠ 0)，则可以判定平面P1与平面P2是平行的。
除此之外，有时候我们还可以利用向量的性质来判断平行关系。
对于直线而言，如果两条直线的方向向量共线，则可以判断这两条直线是平行的。
对于平面而言，如果两个平面的法向量平行，则可以判断这两个平面是平行的。
二、垂直的判定方法在解析几何中，垂直是指两条直线或两个平面相互成直角的关系。
垂直关系的判定方法与平行关系类似，同样可以通过斜率和方向向量来确定。
对于直线而言，如果两条直线的斜率之积为-1，则可以判断这两条直线是垂直的。
设直线L1的斜率为k1，直线L2的斜率为k2，如果k1 * k2 = -1，则可以判断直线L1与直线L2是垂直的。
同样的方法也适用于判断平面是否垂直。
假设平面P1的法向量为(n1, m1, p1)，平面P2的法向量为(n2, m2, p2)，如果n1*n2 + m1*m2 + p1*p2 = 0，则可以判断平面P1与平面P2是垂直的。
高中数学难点突破_难点26__垂直与平行
难点 26对于垂直与平行垂直与平行是高考的要点内容之一，考察内容灵巧多样. 本节主要帮助考生深刻理解线面平行与垂直、面面平行与垂直的判断与性质，并能利用它们解决一些问题.●难点磁场( ★★★★ ) 已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，A1C1=B1C1=2，D、D1分别是AB、A1B1的中点，平面 A1ABB1⊥平面 A1B1C1，异面直线 AB1和 C1B相互垂直.(1) 求证：AB1⊥C1D1；(2) 求证：AB1⊥面A1CD；(3) 若AB1=3，求直线AC与平面 A1CD所成的角.●事例研究［例 1］两个全等的正方形ABCD和 ABEF所在平面订交于AB，M∈ AC，N∈ FB，且 AM=FN，求证： MN∥平面 BCE.命题企图：此题主要考察线面平行的判断，面面平行的判断与性质，以及一些平面几何的知识，属★★★★级题目.知识依靠：解决此题的要点在于找出头内的一条直线和该平面外的一条直线平行，即线( 内)∥线 (外)线(外)∥面.或转变为证两个平面平行.错解剖析：证法二中要证线面平行，经过转变证两个平面平行，正确的找出MN所在平面是一个要点 .技巧与方法：证法一利用线面平行的判断来证明. 证法二采纳转变思想，经过证面面平行来证线面平行.证法一：作MP⊥ BC， NQ⊥BE， P、Q为垂足，则MP∥AB， NQ∥AB.∴MP∥NQ，又 AM=NF， AC=BF，∴MC=NB，∠ MCP=∠ NBQ=45°∴Rt △MCP≌ Rt△NBQ∴MP=NQ,故四边形 MPQN为平行四边形∴MN∥PQ∵PQ 平面BCE，MN在平面BCE外，∴ MN∥平面 BCE.证法二：如图过M作 MH⊥AB于 H，则 MH∥BC，∴AM AHAC AB连接 NH ，由 BF =AC ， FN =AM ，得FNAH BFAB∴ MN ∥平面 BCE .［例 2］在斜三棱柱 A 1B 1C 1— ABC 中，底面是等腰三角形，AB =AC ，侧面 BB 1C 1C ⊥底面 ABC .(1) 若 D 是 BC 的中点，求证： AD ⊥ CC 1；(2) 过侧面 BB 1C 1C 的对角线 BC 1 的平面交侧棱于 M ，若 AM =MA 1，求证：截面 MBC 1⊥侧面 BB 1C 1C ；(3) AM =MA 1是截面 MBC 1⊥平面 BB 1C 1C 的充要条件吗？请你表达判 断原因 .命题企图：此题主要考察线面垂直、面面垂直的判断与性质，属★★★★★级题目 .知识依靠：线面垂直、面面垂直的判断与性质.错解剖析： (3) 的结论在证必需性时，协助线要从头作出.技巧与方法： 此题属于知识组合题类， 要点在于对题目中条件的思虑与剖析， 掌握做此类题目的一般技巧与方法，以及怎样奇妙作协助线.(1) 证明：∵ AB =AC ， D 是 BC 的中点，∴ AD ⊥BC ∵底面 ABC ⊥平面 BB 1C 1C ，∴ AD ⊥侧面 BB 1C 1C ∴ AD ⊥CC 1.(2) 证明：延伸 B 1A 1 与 BM 交于 N ，连接 C 1N∵ AM =MA 1，∴ NA 1=A 1B 1∵ A 1B 1=A 1C 1，∴ A 1C 1=A 1N =A 1B 1 ∴ C 1N ⊥ C 1B 1∵底面 NB 1C 1⊥侧面 BB 1C 1C ，∴ C 1N ⊥侧面 BB 1C 1C ∴截面 C 1NB ⊥侧面 BB 1C 1C ∴截面 MBC 1⊥侧面 BB 1C 1C.(3) 解：结论是必定的，充足性已由 (2) 证明，下边证必需性 . 过 M 作 ME ⊥ BC 1于 E ，∵截面 MBC 1⊥侧面 BB 1C 1C∴ ME ⊥侧面 BB 1C 1C ，又∵ AD ⊥侧面 BB 1C 1C.∴ ME ∥AD ，∴ M 、 E 、 D 、A 共面∵ AM ∥侧面 BB 1C 1C ，∴ AM ∥ DE ∵ CC 1⊥ AM ，∴ DE ∥CC 1∵ D 是 BC 的中点，∴ E 是 BC 1 的中点 ∴ AM =DE =11 11 CC 1AA ，∴ AM MA= .22●神机妙算垂直和平行波及题目的解决方法须娴熟掌握两类相互转变关系：1. 平行转变2. 垂直转变每一垂直或平行的判断就是从某一垂直或平行开始转向另一垂直或平行最后达到目的.比如： 有两个平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转变为线面垂直，而后进一步转变为线线垂直.●剿灭难点训练一、选择题1.( ★★★★ ) 在长方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1 中，底面是边长为 2 的正方形，高为 4，则点 A 1到截面 AB 1D 1 的距离是 ()A.8B.3C.4D.33 8 342.( ★★★★ ) 在直二面角 α— l — β中，直线 a α , 直线 bβ, a 、b 与 l 斜交，则 ( )不睦 b 垂直，但可能 a ∥b可能和 b 垂直，也可能 a ∥ b不睦 b 垂直， a 也不睦 b 平行不睦 b 平行，但可能 a ⊥ b二、填空题3.( ★★★★★ ) 设、 、 是空间不一样的直线或平面，对下边四种情况，使“⊥ 且YX Y ZX Z⊥ Z X ∥Y ”为真命题的是 _________( 填序号 ).①X 、Y 、Z 是直线 ② X 、Y 是直线， Z 是平面③ Z 是直线， X 、 Y 是平面 ④ X 、Y 、Z是平面4.( ★★★★ ) 设 a , b 是异面直线，以下命题正确的选项是①过不在 a 、 b 上的一点 P 必定能够作一条直线和②过不在 a 、 b 上的一点 P 必定能够作一个平面和 _________.a 、b 都订交a 、b 都垂直③过 a 必定能够作一个平面与 b 垂直 ④过 a 必定能够作一个平面与 b 平行三、解答题5.( ★★★★ ) 如图，在四棱锥P — ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， 侧棱 PA 垂直于底面， E 、F 分别是 AB 、 PC 的中点 .(1) 求证： CD ⊥ PD ; (2) 求证： EF ∥平面 PAD ;(3) 当平面 PCD 与平面 ABCD 成多大角时，直线 EF ⊥平面 PCD ？6.( ★★★★ ) 如图，在正三棱锥 A — BCD 中，∠ BAC =30°， AB =a , 平行于 AD 、 BC 的截面EFGH 分别交 AB 、 BD 、 DC 、 CA 于点 E 、F 、 G 、 H .(1) 判断四边形 EFGH 的形状，并说明原因 .(2) 设 P 是棱 AD 上的点，当 AP 为什么值时，平面 PBC ⊥平面 EFGH ，请给出证明 .7.( ★★★★ ) 如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都相等，D、E分别是CC1和AB1的中点，点 F 在 BC上且知足 BF∶FC=1∶3.(1)若 M为 AB中点，求证： BB1∥平面 EFM；(2)求证： EF⊥ BC；(3)求二面角 A1— B1D— C1的大小.8.( ★★★★★ ) 如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形且∠C1CB=∠C1CD=∠ BCD=60°,(1)证明： C1C⊥ BD；(2)假设 CD=2，CC1=3，记面 C1BD为α,面 CBD为β,求二面角α— BD—β的平面角的余2弦值；(3)当CD的值为多少时，可使 A1C⊥面 C1 BD？CC1参照答案难点磁场1.(1) 证明：∵A1C1 =B1C1，D1是A1B1的中点，∴C1D1⊥A1B1于D1，又∵平面 A1ABB1⊥平面 A1B1C1，∴ C1D1⊥平面 A1B1BA，而 AB1平面 A1ABB1，∴ AB1⊥ C1D1.(2)证明：连接 D1D，∵ D是 AB中点，∴DD1CC1，∴ C1D1∥ CD，由(1)得 CD⊥AB1，又∵C1D1⊥平面 A1ABB1，C1B⊥ AB1，由三垂线定理得 BD1⊥ AB1，1.又∵ 1∥1，∴1⊥ 1而∩1=，∴1⊥平面AD DBAB AD CD ADDAB A CD(3)解：由 (2) AB⊥平面A CD于O，连接CO得∠ACO为直线AC与平面A CD所成的角，1111∵AB 1=3， AC =A 1C 1=2，∴ AO =1，∴ sin OCA =AO1 ，AC2∴∠= .OCA6剿灭难点训练11∩11=一、 1. 分析：如图，设1，∵ 11⊥11， 11⊥1，∴ 1 1⊥平面1 1，故AC BDOBD AO BD AABDAAO平面 AAO ⊥ ABD ，交线为 AO ，在面 AAO 内过 A 作 A H ⊥ AO 于 H ，则易知 A H 长即是点 A1 11 1 1 1 11111 1到平面11的距离，在 Rt △11中，11=，1=3，由1 1·1 =·1,可得1=4.ABDAOAAO2AO2A O A A h AOAH3答案： C2. 分析：如图，在 l 上任取一点 P ，过 P 分别在 α、β 内作 a ′∥ a , b ′∥ b , 在 a ′上任取一点 A ，过 A 作 AC ⊥l ，垂足为 C ，则 AC ⊥β, 过 C 作 CB ⊥ b ′交 b ′于 B ，连 AB ，由三垂线定理知 AB ⊥ b ′，∴△ APB 为直角三角形 , 故∠ APB 为锐角 . 答案： C二、 3. 分析：①是假命题，直线X 、Y 、Z 位于正方体的三条共点棱时为反例，②③是真命题，④是假命题，平面X 、Y 、 Z 位于正方体的三个共点侧面时为反例.答案：②③ 4. ④三、 5. 证明： (1) ∵ PA ⊥底面 ABCD ，∴ AD 是 PD 在平面 ABCD 内的射影，∵ CD 平面 ABCD 且 CD ⊥ AD ，∴ CD ⊥ PD . (2) 取 CD 中点 G ，连 EG 、FG ，∵ E 、F 分别是 AB 、 PC 的中点，∴ EG ∥ AD ， FG ∥ PD ∴平面 EFG ∥平面 PAD ，故 EF ∥平面 PAD(3 ）解：当平面 PCD 与平面 ABCD 成 45°角时，直线 EF ⊥面 PCD证明： G 为 CD 中点，则 EG ⊥ CD , 由 (1) 知 FG ⊥ CD ，故∠ EGF 为平面 PCD 与平面ABCD 所成二面角的平面角 . 即∠ EGF =45°，进而得∠ ADP =45°， AD =AP由 Rt △ PAE ≌ Rt △ CBE , 得 PE =CE又 F 是 PC 的中点，∴ EF ⊥PC ，由 CD ⊥ EG ， CD ⊥ FG ，得 CD ⊥平面 EFG ， CD ⊥ EF 即 EF ⊥CD ，故 EF ⊥平面 PCD .6.(1) 证明：同理 EF ∥ FG ，∴ EFGH 是平行四边形∵ A — BCD 是正三棱锥，∴ A 在底面上的射影 O 是△ BCD 的中心， ∴ DO ⊥BC ，∴ AD ⊥ BC ， ∴ HG ⊥EH ，四边形 EFGH 是矩形 .(2) 作 CP ⊥ AD 于 P 点，连接 BP ，∵ AD ⊥ BC ，∴ AD ⊥面 BCP∵ HG ∥AD ，∴ HG ⊥面 BCP ， HG 面 EFGH .面 BCP ⊥面 EFGH ，3在 Rt △ APC 中，∠ CAP =30°， AC =a , ∴ AP = a .7.(1) 证明：连接 EM 、 MF ，∵ M 、 E 分别是正三棱柱的棱AB 和 AB 1 的中点，∴ BB 1∥ ME ，又 BB 1 平面 EFM ，∴ BB 1∥平面 EFM .(2) 证明：取 BC 的中点 N ，连接 AN 由正三棱柱得： AN ⊥ BC ， 又 BF ∶ FC =1∶ 3，∴ F 是 BN 的中点，故 MF ∥AN ， ∴ MF ⊥BC ，而 BC ⊥ BB 1， BB 1∥ ME .∴ ME ⊥BC ，因为 MF ∩ ME =M ，∴ BC ⊥平面EFM ，又 EF 平面 EFM ，∴ BC ⊥EF .(3) 解：取 B 1C 1 的中点 O ，连接 A 1O 知， A 1O ⊥面 BCC 1B 1，由点 O 作 B 1D 的垂线 OQ ，垂足为 Q ，连接 A 1 Q ，由三垂线定理， A 1Q ⊥ B 1D ，故∠ A 1QD 为二面角 A 1 —B 1D — C 的平面角，易得∠ A 1QO =arctan 15 .8.(1) 证明：连接 A 1C 1、 AC ， AC 和 BD 交于点 O ，连接 C 1O ， ∵四边形 ABCD 是菱形，∴ AC ⊥ BD ， BC =CD 又∵∠ BCC 1=∠ DCC 1，C 1C 是公共边，∴△C 1BC ≌△ C 1DC ，∴ C 1B =C 1D∵ DO =OB ，∴ C 1O ⊥BD ，但 AC ⊥ BD ， AC ∩ C 1O =O∴ BD ⊥平面 AC 1，又 C 1C 平面 AC 1，∴ C 1C ⊥ BD .(2) 解：由 (1) 知 AC ⊥ BD ， C 1O ⊥ BD ，∴∠ C 1OC 是二面角 α— BD — β的平面角 .在△ C 1BC 中， BC =2，C 1C = 3 ，∠ BCC 1=60°，∴ C 1B =2 +(3 ) －2×2× 3×cos60 ° =13.2222224∵∠=30° , ∴= 1,=1,1= 3,即 1=1.OCBOBBCCOCO CC2 2作 C 1H ⊥ OC ，垂足为 H ，则 H 是 OC 中点且 OH =3，∴ cos C 1OC =323(3) 解：由 (1) 知 BD ⊥平面 AC 1，∵ A 1O 平面 AC 1，∴ BD ⊥ A 1C ，当CD=1 时，平行六面 CC 1体的六个面是全等的菱形，同理可证 BC 1⊥ A 1C ，又∵ BD ∩ BC 1=B ，∴ A 1C ⊥平面 C 1BD .。
黄冈中学高考数学典型例题26---垂直与平行
黄冈中学高考数学典型例题26---垂直与平行-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN黄冈中学高考数学典型例题详解垂直与平行每临大事,必有静气;静则神明,疑难冰释;积极准备,坦然面对;最佳发挥,舍我其谁?敬请搜索“黄冈中学高考数学知识点”结合起来看效果更好体会绝妙解题思路建立强大数学模型感受数学思想魅力品味学习数学快乐垂直与平行是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解线面平行与垂直、面面平行与垂直的判定与性质，并能利用它们解决一些问题.●难点磁场(★★★★)已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，A1C1=B1C1=2，D、D1分别是AB、A1B1的中点，平面A1ABB1⊥平面A1B1C1，异面直线AB1和C1B互相垂直.(1)求证：AB1⊥C1D1；(2)求证：AB1⊥面A1CD；(3)若AB1=3，求直线AC与平面A1CD所成的角.●案例探究［例1］两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M ∈AC ，N ∈FB ，且AM =FN ，求证：MN ∥平面BCE .命题意图：本题主要考查线面平行的判定，面面平行的判定与性质，以及一些平面几何的知识，属★★★★级题目.知识依托：解决本题的关键在于找出面内的一条直线和该平面外的一条直线平行，即线(内)∥线(外)⇒线(外)∥面.或转化为证两个平面平行.错解分析：证法二中要证线面平行，通过转化证两个平面平行，正确的找出MN 所在平面是一个关键.技巧与方法：证法一利用线面平行的判定来证明.证法二采用转化思想，通过证面面平行来证线面平行.证法一：作MP ⊥BC ，NQ ⊥BE ，P 、Q 为垂足，则MP ∥AB ，NQ ∥AB .∴MP ∥NQ ，又AM =NF ，AC =BF ，∴MC =NB ，∠MCP =∠NBQ =45°∴Rt △MCP ≌Rt △NBQ∴MP =NQ ,故四边形MPQN 为平行四边形∴MN ∥PQ∵PQ ⊂平面BCE ，MN 在平面BCE 外，∴MN ∥平面BCE .证法二：如图过M 作MH ⊥AB 于H ，则MH ∥BC ，∴ABAH AC AM = 连结NH ，由BF =AC ，FN =AM ，得AB AH BF FN =∴MN∥平面BCE.［例2］在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC.(1)若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM=MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C；(3)AM=MA1是截面MBC1⊥平面BB1C1C的充要条件吗？请你叙述判断理由.命题意图：本题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质，属★★★★★级题目.知识依托：线面垂直、面面垂直的判定与性质.错解分析：(3)的结论在证必要性时，辅助线要重新作出.技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于对题目中条件的思考与分析，掌握做此类题目的一般技巧与方法，以及如何巧妙作辅助线.(1)证明：∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC∵底面ABC⊥平面BB1C1C，∴AD⊥侧面BB1C1C∴AD⊥CC1.(2)证明：延长B1A1与BM交于N，连结C1N∵AM=MA1，∴NA1=A1B1∵A1B1=A1C1，∴A1C1=A1N=A1B1∴C1N⊥C1B1∵底面NB1C1⊥侧面BB1C1C，∴C1N⊥侧面BB1C1C∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C.(3)解：结论是肯定的，充分性已由(2)证明，下面证必要性.过M作ME⊥BC1于E，∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C∴ME⊥侧面BB1C1C，又∵AD⊥侧面BB1C1C.∴ME ∥AD ，∴M 、E 、D 、A 共面∵AM ∥侧面BB 1C 1C ，∴AM ∥DE∵CC 1⊥AM ，∴DE ∥CC 1∵D 是BC 的中点，∴E 是BC 1的中点∴AM =DE =21211=CC AA 1，∴AM =MA 1.●锦囊妙计垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系：1.平行转化2.垂直转化每一垂直或平行的判定就是从某一垂直或平行开始转向另一垂直或平行最终达到目的. 例如：有两个平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离是( )A.38B.83C.34D.432.(★★★★)在直二面角α—l —β中，直线a ⊂α,直线b ⊂β,a 、b 与l 斜交，则( )A.a 不和b 垂直，但可能a ∥bB.a 可能和b 垂直，也可能a∥bC.a不和b垂直，a也不和b平行D.a不和b平行，但可能a⊥b二、填空题3.(★★★★★)设X、Y、Z是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X⊥Z且Y⊥Z X∥Y”为真命题的是_________(填序号).①X、Y、Z是直线②X、Y是直线，Z是平面③Z是直线，X、Y是平面④X、Y、Z 是平面4.(★★★★)设a,b是异面直线，下列命题正确的是_________.①过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交②过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直③过a一定可以作一个平面与b垂直④过a一定可以作一个平面与b平行三、解答题5.(★★★★)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱P A垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点.(1)求证：CD⊥PD;(2)求证：EF∥平面P AD;(3)当平面PCD与平面ABCD成多大角时，直线EF⊥平面PCD6.(★★★★)如图，在正三棱锥A—BCD中，∠BAC=30°，AB=a,平行于AD、BC的截面EFGH分别交AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H.(1)判定四边形EFGH 的形状，并说明理由.(2)设P 是棱AD 上的点，当AP 为何值时，平面PBC ⊥平面EFGH ，请给出证明.7.(★★★★)如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都相等，D 、E 分别是CC 1和AB 1的中点，点F 在BC 上且满足BF ∶FC =1∶3.(1)若M 为AB 中点，求证：BB 1∥平面EFM ；(2)求证：EF ⊥BC ；(3)求二面角A 1—B 1D —C 1的大小.8.(★★★★★)如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是菱形且∠C 1CB = ∠C 1CD =∠BCD =60°,(1)证明：C 1C ⊥BD ；(2)假定CD =2，CC 1=23，记面C 1BD 为α,面CBD 为β,求二面角α—BD —β的平面角的余弦值；(3)当1CC CD 的值为多少时，可使A 1C ⊥面C 1BD参考答案 难点磁场 1.(1)证明：∵A 1C 1=B 1C 1，D 1是A 1B 1的中点，∴C 1D 1⊥A 1B 1于D 1，又∵平面A 1ABB 1⊥平面A 1B 1C 1，∴C 1D 1⊥平面A 1B 1BA ，而AB 1⊂平面A 1ABB 1，∴AB 1⊥C 1D 1.(2)证明：连结D 1D ，∵D 是AB 中点，∴DD 1CC 1，∴C 1D 1∥CD ，由(1)得CD ⊥AB 1，又∵C 1D 1⊥平面A 1ABB 1，C 1B ⊥AB 1，由三垂线定理得BD 1⊥AB 1，又∵A 1D ∥D 1B ，∴AB 1⊥A 1D 而CD ∩A 1D =D ，∴AB 1⊥平面A 1CD .(3)解：由(2)AB 1⊥平面A 1CD 于O ，连结CO 1得∠ACO 为直线AC 与平面A 1CD 所成的角，∵AB 1=3，AC =A 1C 1=2，∴AO =1，∴sin OCA =21=AC AO ， ∴∠OCA =6π.歼灭难点训练一、1.解析：如图，设A 1C 1∩B 1D 1=O 1，∵B 1D 1⊥A 1O 1，B 1D 1⊥AA 1，∴B 1D 1⊥平面AA 1O 1，故平面AA 1O 1⊥AB 1D 1，交线为AO 1，在面AA 1O 1内过A 1作A 1H ⊥AO 1于H ，则易知A 1H 长即是点A 1到平面AB 1D 1的距离，在Rt △A 1O 1A 中，A 1O 1=2，AO 1=32，由A 1O 1·A 1A =h ·AO 1,可得A 1H =34.答案：C2.解析：如图，在l上任取一点P，过P分别在α、β内作a′∥a,b′∥b,在a′上任取一点A，过A作AC⊥l，垂足为C，则AC⊥β,过C作CB⊥b′交b′于B，连AB，由三垂线定理知AB⊥b′，∴△APB为直角三角形,故∠APB为锐角.答案：C二、3.解析：①是假命题，直线X、Y、Z位于正方体的三条共点棱时为反例，②③是真命题，④是假命题，平面X、Y、Z位于正方体的三个共点侧面时为反例.答案：②③4.④三、5.证明：(1)∵P A⊥底面ABCD，∴AD是PD在平面ABCD内的射影，∵CD 平面ABCD且CD⊥AD，∴CD⊥PD.(2)取CD中点G，连EG、FG，∵E、F分别是AB、PC的中点，∴EG∥AD，FG∥PD∴平面EFG∥平面P AD，故EF∥平面P AD(3）解：当平面PCD与平面ABCD成45°角时，直线EF⊥面PCD证明：G为CD中点，则EG⊥CD,由(1)知FG⊥CD，故∠EGF为平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角.即∠EGF=45°，从而得∠ADP=45°，AD=AP 由Rt△P AE≌Rt△CBE,得PE=CE又F是PC的中点，∴EF⊥PC，由CD⊥EG，CD⊥FG，得CD⊥平面EFG，CD⊥EF 即EF⊥CD，故EF⊥平面PCD.6.(1)证明：同理EF ∥FG ，∴EFGH 是平行四边形∵A —BCD 是正三棱锥，∴A 在底面上的射影O 是△BCD 的中心， ∴DO ⊥BC ，∴AD ⊥BC ，∴HG ⊥EH ，四边形EFGH 是矩形.(2)作CP ⊥AD 于P 点，连结BP ，∵AD ⊥BC ，∴AD ⊥面BCP∵HG ∥AD ，∴HG ⊥面BCP ，HG ⊂面EFGH .面BCP ⊥面EFGH ， 在Rt △APC 中，∠CAP =30°，AC =a ,∴AP =23a . 7.(1)证明：连结EM 、MF ，∵M 、E 分别是正三棱柱的棱AB 和AB 1的中点， ∴BB 1∥ME ，又BB 1⊄平面EFM ，∴BB 1∥平面EFM .(2)证明：取BC 的中点N ，连结AN 由正三棱柱得：AN ⊥BC ， 又BF ∶FC =1∶3，∴F 是BN 的中点，故MF ∥AN ，∴MF ⊥BC ，而BC ⊥BB 1，BB 1∥ME .∴ME ⊥BC ，由于MF ∩ME =M ，∴BC ⊥平面EFM ，又EF 平面EFM ，∴BC ⊥EF .(3)解：取B 1C 1的中点O ，连结A 1O 知，A 1O ⊥面BCC 1B 1，由点O 作B 1D 的垂线OQ ，垂足为Q ，连结A 1Q ，由三垂线定理，A 1Q ⊥B 1D ，故∠A 1QD 为二面角A 1—B 1D —C 的平面角，易得∠A 1QO =arctan 15.8.(1)证明：连结A 1C 1、AC ，AC 和BD 交于点O ，连结C 1O ， ∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，BC =CD又∵∠BCC 1=∠DCC 1，C 1C 是公共边，∴△C 1BC ≌△C 1DC ，∴C 1B =C 1D ∵DO =OB ，∴C 1O ⊥BD ，但AC ⊥BD ，AC ∩C 1O =O∴BD ⊥平面AC 1，又C 1C ⊂平面AC 1，∴C 1C ⊥BD .(2)解：由(1)知AC ⊥BD ，C 1O ⊥BD ，∴∠C 1OC 是二面角α—BD —β的平面角. 在△C 1BC 中，BC =2，C 1C =23，∠BCC 1=60°，∴C 1B 2=22+(23)2－2×2×23×cos60°=413.11 ∵∠OCB =30°,∴OB =21,BC =1,C 1O =23,即C 1O =C 1C . 作C 1H ⊥OC ，垂足为H ，则H 是OC 中点且OH =23，∴cos C 1OC =33 (3)解：由(1)知BD ⊥平面AC 1，∵A 1O 平面AC 1，∴BD ⊥A 1C ，当1CC CD =1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同理可证BC 1⊥A 1C ，又∵BD ∩BC 1=B ，∴A 1C ⊥平面C 1BD .。
高考数学平行和垂直知识点
高考数学平行和垂直知识点在高中生的学习生涯中，高考将是一个重要的里程碑。
而高考数学作为其中的一科，对于很多学生来说，可以说是非常关键的一门学科。
在高考数学中，平行和垂直知识点占据着重要的地位。
下面将从不同角度对高考数学中的平行和垂直知识点进行剖析。
一、平行知识点平行知识点在高考数学中占据着相当大的比重。
平行线是初中数学中的基本概念，在高中阶段进一步加深和扩展了相关的知识点。
在平面几何中，平行线的性质是最基础的，涉及到平行线的定义、判定、性质的证明等方面内容。
对于平行线的定义，高中学生需要掌握“同一平面内不在一条直线上的两条直线，有且只有一个公共点，则称这两条直线互相平行。
”而在判定两条直线是否平行时，高中生应了解到“同位角相等、任意一对对应角相等、同旁内角相等、同旁外角相等”等几种常见的判定方法。
这些知识点是高考数学中必考的内容，考察学生对平行线性质的理解和应用能力。
另外，高考数学中的平行知识点还涉及到平行线的性质证明。
通过证明平行，可以得到一些重要的结论，如垂直平分线定理、平行线截比定理等。
这些定理在高考中时常会被要求用来解决一些几何问题，需要学生在掌握了相关证明方法的基础上能够熟练运用。
二、垂直知识点垂直知识点在高考数学中同样占据着重要的地位。
垂直是与平行相对的一个重要概念。
在平面几何中，垂直线是垂直于同一直线的两条直线，在初中数学中常常涉及到垂直线的性质和判定方法。
初中的基础知识是高中数学的基石，而在高中阶段，对于垂直线性质的学习则更为深入和具体。
在高考数学中，垂直线的判定是一个需要学生掌握的重要技能。
常见的垂直判定方法包括垂直线同位角相等、同旁内角互补、同旁外角互补等。
此外，在解决几何问题时，垂直线的性质也经常被要求运用。
垂直平分线定理、垂直和角平分线定理等定理都是高考数学中常见的应用题，考察学生对垂直线相关性质的理解和运用能力。
学生需要通过灵活运用垂直线的性质，解决一些复杂的几何问题，这对于培养学生的逻辑思维和几何直观能力是非常有帮助的。
高三平行与垂直知识点
高三平行与垂直知识点在数学中，平行与垂直是两个重要的概念。
它们在几何学和代数学中都扮演着重要的角色。
本文将介绍高三学生在学习平行与垂直时需要了解的知识点，包括定义、判定条件以及相关性质。
一、平行线的定义及判定条件：平行线是指在同一平面上始终保持相同的方向，永不相交的两条直线。
以下是平行线的定义及判定条件：1. 若两条直线在同一平面上没有交点且距离始终相等，则这两条直线是平行的。
2. 若两条直线的斜率相等但不相交，则这两条直线是平行的。
3. 若两条直线的法向量相等，则这两条直线是平行的。
二、垂直线的定义及判定条件：垂直线是指两条直线在交点处互相垂直的性质。
以下是垂直线的定义及判定条件：1. 若两条直线的斜率相乘为-1，则这两条直线垂直。
2. 若两条直线的方向角相差90度，则这两条直线垂直。
3. 若两条直线的乘积斜率为-1，则这两条直线垂直。
三、平行线和垂直线的性质：1. 平行线的性质：（1）平行线与一条横切线的交点所对应的内角相等。
（2）平行线与一条横切线的交点所对应的外角互补。
（3）平行线上的任意两条相交线所对应的对顶角相等。
（4）平行线上的两个异面直角锐角对应角相等。
2. 垂直线的性质：（1）垂直线与一条横切线的交点所对应的内角为直角。
（2）垂直线与一条横切线的交点所对应的外角为直角。
（3）垂直线上的任意两条相交线所对应的对顶角互补。
（4）垂直线上的两个异面直角钝角对应角相等。
四、平行线和垂直线的应用：1. 平行线的应用：（1）在构造平行四边形或矩形时，需要用到平行线的性质。
（2）在解决几何证明问题时，平行线的性质常常被用作推理的基础。
2. 垂直线的应用：（1）在建筑工程中，垂直线用于确定建筑物的垂直性。
（2）在解决各类几何问题时，垂直线与平行线的性质被广泛应用。
综上所述，高三学生需要掌握平行线和垂直线的定义、判定条件以及相关性质。
理解并应用这些知识点，可以帮助学生更好地解决几何问题，并在数学学习中取得较好的成绩。
高三数学一轮复习关于垂直与平行的问题
2009届一轮复习关于垂直与平行的问题高考要求:垂直与平行是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解线面平行与垂直、面面平行与垂直的判定与性质，并能利用它们解决一些问题.重难点归纳:垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系:1.平行转化:线线平行线面平行面面平行.2.垂直转化:线线垂直线面垂直面面垂直.每一垂直或平行的判定就是从某一垂直或平行开始转向另一垂直或平行最终达到目的.例如:有两个平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.典型题例示范讲解:例1两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求证:MN∥平面BCE.命题意图:本题主要考查线面平行的判定，面面平行的判定与性质，以及一些平面几何的知识.知识依托:解决本题的关键在于找出面内的一条直线和该平面外的一条直线平行，即线(内)∥线(外) 线(外)∥面:或转化为证两个平面平行.错解分析:证法二中要证线面平行，通过转化P证两个平面平行，正确的找出MN 所在平面是一个关键.技巧与方法:证法一利用线面平行的判定来证明.证法二采用转化思想，通过证面面平行来证线面平行.证法一:作MP ⊥BC ，NQ ⊥BE ，P 、Q 为垂足，则MP ∥AB ，NQ ∥AB . ∴MP ∥NQ ，又AM =NF ，AC =BF ， ∴MC =NB ，∠MCP =∠NBQ =45° ∴Rt △MCP ≌Rt △NBQ∴MP =NQ ,故四边形MPQN 为平行四边形 ∴MN ∥PQ∵PQ ⊂平面BCE ，MN 在平面BCE 外， ∴MN ∥平面BCE .证法二:如图过M 作MH ⊥AB 于H ，则MH ∥BC ， ∴ABAH ACAM=连结NH ，由BF =AC ，FN =AM ，得ABAH BFFN =∴NH//AF//BE由MH//BC,.NH//BE 得:平面MNH//平面BCE∴MN ∥平面BCE .例2在斜三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，底面是等腰三角形，AB =AC ，侧面BB 1C 1C ⊥底面ABC .(1)若D 是BC 的中点，求证:AD ⊥CC 1；(2)过侧面BB 1C 1C 的对角线BC 1的平面交侧棱于M ，若AM =MA 1，求C1证:截面MBC1⊥侧面BB1C1C；(3)AM=MA1是截面MBC1⊥平面BB1C1C的充要条件吗？请你叙述判断理由.命题意图:本题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质.知识依托:线面垂直、面面垂直的判定与性质.错解分析:(3)的结论在证必要性时，辅助线要重新作出.技巧与方法:本题属于知识组合题类，关键在于对题目中条件的思考与分析，掌握做此类题目的一般技巧与方法，以及如何巧妙作辅助线.(1)证明:∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC∵底面ABC⊥平面BB1C1C，∴AD⊥侧面BB1C1C∴AD⊥CC1.(2)证明:延长B1A1与BM交于N，连结C1N∵AM=MA1，∴NA1=A1B1∵A1B1=A1C1，∴A1C1=A1N=A1B1∴C1N⊥C1B1∵底面NB1C1⊥侧面BB1C1C，∴C1N⊥侧面BB1C1C∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C.(3)解:结论是肯定的，充分性已由(2)证明，下面证必要性.过M作ME⊥BC1于E，∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C∴ME⊥侧面BB1C1C，又∵AD⊥侧面BB1C1C.∴ME ∥AD ，∴M 、E 、D 、A 共面 ∵AM ∥侧面BB 1C 1C ，∴AM ∥DE ∵CC 1⊥AM ，∴DE ∥CC 1∵D 是BC 的中点，∴E 是BC 1的中点 ∴AM =DE =21211=CC AA 1，∴AM =MA 1.例3.已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，A 1C 1=B 1C 1=2，D 、D 1分别是AB 、A 1B 1的中点，平面A 1ABB 1⊥平面A 1B 1C 1，异面直线AB 1和C 1B 互相垂直.(1)求证:AB 1⊥C 1D 1； (2)求证:AB 1⊥面A 1CD ；(3)若AB 1=3，求直线AC 与平面A 1CD 所成的角.(1)证明:∵A 1C 1=B 1C 1，D 1是A 1B 1的中点， ∴C 1D 1⊥A 1B 1于D 1，又∵平面A 1ABB 1⊥平面A 1B 1C 1， ∴C 1D 1⊥平面A 1B 1BA ，而AB 1⊂平面A 1ABB 1，∴AB 1⊥C 1D 1. (2)证明:连结D 1D ， ∵D 是AB 中点，∴DD 1CC 1，∴C 1D 1∥CD ，由(1)得CD ⊥AB 1，又∵C 1D 1⊥平面A 1ABB 1，C 1B ⊥AB 1， 由三垂线定理得BD 1⊥AB 1，又∵A 1D ∥D 1B ，∴AB 1⊥A 1D 而CD ∩A 1D =D ，∴AB 1⊥平面A 1CD . (3)解:由(2)AB 1⊥平面A 1CD 于O ，1连结CO 1得∠ACO 为直线AC 与平面A 1CD 所成的角， ∵AB 1=3，AC =A 1C 1=2，∴AO =1，∴sin OCA =21=ACAO ，∴∠OCA =6π.学生巩固练习:1.在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离是( )A 38 B 83 C 34 D 432.在直二面角α—l —β中，直线a ⊂α,直线b ⊂β,a 、b 与l 斜交，则( )A a 不和b 垂直，但可能a ∥bB a 可能和b 垂直，也可能a ∥bC a 不和b 垂直，a 也不和b 平行D a 不和b 平行，但可能a ⊥b3.设X 、Y 、Z 是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X ⊥Z 且Y ⊥Z ⇒X ∥Y ”为真命题的是_________(填序号).①X 、Y 、Z 是直线②X 、Y 是直线，Z 是平面③Z 是直线，X 、Y 是平面④X 、Y 、Z 是平面4.设a ,b 是异面直线，下列命题正确的是_________. ①过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一条直线和a 、b 都相交 ②过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一个平面和a 、b 都垂直 ③过a 一定可以作一个平面与b 垂直 ④过a 一定可以作一个平面与b 平行5.如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧棱PA 垂直于底面，E 、F 分别是AB 、PC 的中点.(1)求证:CD ⊥PD ; (2)求证:EF ∥平面PAD ;(3)当平面PCD 与平面ABCD 成多大角时，直线EF ⊥平面PCD ？ 6.如图，在正三棱锥A —BCD 中，∠BAC =30°，AB =a ,平行于AD 、BC 的截面EFGH 分别交AB 、BD 、DC 、CA 于点E 、F 、G 、H .(1)判定四边形EFGH 的形状，并说明理由. (2)设P 是棱AD 上的点，当AP 为何值时，平面PBC ⊥平面EFGH ，请给出证明.7.如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都相等，D 、E 分别是CC 1和AB 1的中点，点F 在BC 上且满足BF ∶FC =1∶3.(1)若M 为AB 中点，求证:BB 1∥平面EFM ； (2)求证:EF ⊥BC ；(3)求二面角A 1—B 1D —C 1的大小. 8.如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是菱形且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60°,(1)证明:C 1C ⊥BD ；(2)假定CD =2，CC 1=23，记面C 1BD 为α,面CBD 为β,求二面角α—BD —β的平面角的余弦值；(3)当1CC CD 的值为多少时，可使A 1C ⊥面C 1BD ？1A1C1参考答案:1.解析:如图，设A 1C 1∩B 1D 1=O 1，∵B 1D 1⊥A 1O 1，B 1D 1⊥AA 1，∴B 1D 1⊥平面AA 1O 1，故平面AA 1O 1⊥AB 1D 1，交线为AO 1，在面AA 1O 1内过A 1作A 1H ⊥AO 1于H ，则易知A 1H 长即是点A 1到平面AB 1D 1的距离，在Rt △A 1O 1A 中，A 1O 1=2，AO 1=32，由A 1O 1·A 1A =h ·AO 1,可得A 1H =34.答案:C2.解析:如图，在l 上任取一点P ，过P 分别在α、β内作a ′∥a ,b ′∥b ,在a ′上任取一点A ，过A 作AC ⊥l ，垂足为C ，则AC ⊥β,过C 作CB ⊥b ′交b ′于B ，连AB ，由三垂线定理知AB ⊥b ′，∴△APB 为直角三角形,故∠APB 为锐角. 答案:C3.解析:①是假命题，直线X 、Y 、Z 位于正方体的三条共点棱时为反例，②③是真命题，④是假命题，平面X 、Y 、Z 位于正方体的三个共点侧面时为反例. 答案:②③4.④5.证明:(1)∵PA ⊥底面ABCD ，∴AD 是PD 在平面ABCD 内的射影，∵CD ⊂平面ABCD 且CD ⊥AD ，∴CD ⊥PD . (2)取CD 中点G ，连EG 、FG ，D1∵E、F分别是AB、PC的中点，∴EG∥AD，FG∥PD∴平面EFG∥平面PAD，故EF∥平面PAD(3)解:当平面PCD与平面ABCD成45°角时，直线EF⊥面PCD证明:G为CD中点，则EG⊥CD,由(1)知FG⊥CD，故∠EGF为平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角.即∠EGF=45°，从而得∠ADP=45°，AD=AP由Rt△PAE≌Rt△CBE,得PE=CE又F是PC的中点，∴EF⊥PC，由CD⊥EG，CD⊥FG，得CD⊥平面EFG，CD⊥EF即EF⊥CD，故EF⊥平面PCD.6.(1)证明:∵AD//面EFGH,面ACD∩面EFGH＝HG，,AD⊂面ACD.∴AD//HG.同理EF∥FG，∴EFGH是平行四边形∵A—BCD是正三棱锥，∴A在底面上的射影O是△BCD的中心，∴DO⊥BC，∴AD⊥BC，∴HG⊥EH，四边形EFGH是矩形.(2)作CP⊥AD于P点，连结BP，∵AD⊥BC，∴AD⊥面BCP∵HG∥AD，∴HG⊥面BCP，HG⊂面EFGH.面BCP⊥面EFGH，3a.在Rt△APC中，∠CAP=30°，AC=a,∴AP=27. (1)证明:连结EM、MF，∵M、E分别是正三棱柱的棱AB和AB1的中点，∴BB1∥ME，又BB1⊄平面EFM，∴BB1∥平面EFM.(2)证明:取BC的中点N，连结AN由正三棱柱得:AN⊥BC，又BF ∶FC =1∶3，∴F 是BN 的中点，故MF ∥AN ， ∴MF ⊥BC ，而BC ⊥BB 1，BB 1∥ME :∴ME ⊥BC ，由于MF ∩ME =M ，∴BC ⊥平面EFM ， 又EFEFM ，∴BC ⊥EF .(3)解:取B 1C 1的中点O ，连结A 1O 知，A 1O ⊥面BCC 1B 1，由点O 作B 1D 的垂线OQ ，垂足为Q ，连结A 1Q ，由三垂线定理，A 1Q ⊥B 1D ，故∠A 1QD 为二面角A 1—B 1D —C 的平面角，易得∠A 1QO =arctan15.8. (1)证明:连结A 1C 1、AC ，AC 和BD 交于点O ，连结C 1O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，BC =CD又∵∠BCC 1=∠DCC 1，C 1C 是公共边，∴△C 1BC ≌△C 1DC ，∴C 1B =C 1D ∵DO =OB ，∴C 1O ⊥BD ，但AC ⊥BD ，AC ∩C 1O =O ∴BD ⊥平面AC 1，又C 1C ⊂平面AC 1，∴C 1C ⊥BD . (2)解:由(1)知AC ⊥BD ，C 1O ⊥BD ， ∴∠C 1OC 是二面角α—BD —β的平面角. 在△C 1BC 中，BC =2，C 1C =23，∠BCC 1=60°，∴C 1B 2=22+(23)2－2×2×23×cos60°=413.∵∠OCB =30°,∴OB =21,BC =1,C 1O =23,即C 1O =C 1C .作C 1H ⊥OC ，垂足为H ，则H 是OC 中点且OH =23，∴cos C 1OC =33(3)解:由(1)知BD ⊥平面AC 1，∵A 1O ⊂平面AC 1，∴BD ⊥A 1C ，当1CC CD =1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同理可证BC 1⊥A 1C ，又∵BD ∩BC 1=B ，∴A 1C ⊥平面C 1BD .课前后备注:。
高考平行与垂直知识点
高考平行与垂直知识点高考是中国学生们长久以来的重要考试，可以说是他们求学生涯中最重要的一环。
为了应对这一考试，学生们需要掌握大量的知识点。
在学习过程中，我们常常听到两个概念，即平行知识点和垂直知识点。
那么，什么是平行知识点和垂直知识点，它们在高考中的作用是什么呢？首先，我们来了解什么是平行知识点。
平行知识点指的是同一学科内的知识点之间相似或相关的关系，它们之间存在一定的联系，学生在学习这些知识点时可以相互比较，相互联结。
例如，在数学学科中，代数和几何的知识点就是非常典型的平行知识点。
在解题过程中，我们常常需要将代数和几何的知识进行结合，形成一个完整的解题思路。
通过平行知识点的掌握，学生可以更好地理解和运用知识，提高解题的能力。
而垂直知识点则指的是同一学科内不同知识层次之间的关系。
它们构成知识体系的纵向结构，是学生在高考中必须要掌握的基础。
在学习过程中，我们常常需要从基础知识点出发，逐渐深入，通过掌握每层次的知识点，才能建立起完整的学科知识体系。
以语文学科为例，认识词语、句子、篇章构成了垂直知识点，学生可以通过了解词语的意思，学习句子成分，进而理解篇章结构。
通过垂直知识点的掌握，学生可以对学科知识有一个清晰的理解和认识。
高考中，平行知识点和垂直知识点在学生的学习中起着重要的作用。
平行知识点的掌握可以帮助学生培养综合运用知识的能力，提高解题水平。
同时，平行知识点的学习也可以加深学生对知识的理解和记忆。
通过比较不同知识点之间的共性和差异，学生可以更好地理解知识的本质和规律。
而垂直知识点的掌握则是高考备考的基础。
只有掌握了基础知识点，学生才能够在考试中更快地解题，避免犯低级错误。
在高考中，基础知识点也经常是分值较高的题目，因此掌握垂直知识点对于提高得分至关重要。
此外，垂直知识点的学习还可以帮助学生建立知识的框架，更好地理解复杂的知识点。
只有通过持续性的学习和练习，才能够更好地掌握这些知识点，提高学科的水平。
人教版高二数学立体几何中的平行与垂直
人教版高二数学立体几何中的平行与垂直立体几何是高中数学中的一个重要分支，它研究的是空间中的点、线和面的相互关系。
在立体几何中，平行和垂直是两个基本的概念。
了解和掌握平行和垂直的性质对于解决立体几何问题非常重要。
本文将重点讨论人教版高二数学教材中关于平行和垂直的内容和例题。
1. 平行线的判定及性质在立体几何中，两条直线平行的判定方法有很多种，例如：同位角相等、内错角相等、同旁内错角互补等。
我们以同位角相等为例进行讨论。
同位角相等是判断平行线的常用方法之一。
如果两条直线被一组平行线截断，那么同位角相等。
这一性质可以通过以下定理加以证明：定理1：如果两条直线被一组平行线截断，那么同位角相等。
根据这一定理，我们可以判定两条直线是否平行，进而解决立体几何中的相关问题。
2. 平行线之间的性质在立体几何中，平行线之间也有一些重要的性质。
下面我们来介绍其中的几个。
性质1：平行线与平行线之间的交线，叫做该平行线的截线。
如果两个平行线被一条交线截断，那么所得到的内错角互补。
性质2：如果一条直线与一组平行线相交，那么所得到的同旁内错角互补。
性质3：平行线与立体图形的截线，所得到的相应角是相等的。
这些性质对于解决立体几何中的平行线问题非常有帮助，通过合理运用这些性质，可以简化解题过程，提高解题的准确性和效率。
3. 垂直线的判定及性质垂直线也是立体几何中的一个重要概念。
垂直线的判定方法有很多种，例如：相互垂直的直线斜率积为-1、垂直线上的两个向量的点积等。
我们以相互垂直的直线斜率积为-1为例进行讨论。
定理2：如果两条直线的斜率的乘积为-1，那么这两条直线相互垂直。
根据这一定理，我们可以判定两条直线是否相互垂直，进而解决立体几何中的相关问题。
4. 垂直线之间的性质在立体几何中，垂直线之间也有一些重要的性质。
下面我们来介绍其中的几个。
性质4：两条相互垂直的直线之间的角是直角。
性质5：垂直线与平行线相交所得的相应角是相等的。
这些性质同样对于解决立体几何中的垂直线问题非常有帮助。
高三数学(理科)二轮复习教案专题六第二讲空间中的平行与垂直
第二讲空间中的平行与垂直研热点（聚焦突破）类型一空间线线、线面位置关系1．线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.2．线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.3．线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α.4．线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥αa∥b.[例1](___高考山东卷)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB ＝60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB＝CD＝CF.(1)求证：BD⊥平面AED；(2)求二面角FBDC的余弦值．[解析](1)证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，所以∠ADC＝∠BCD＝120°.又CB＝CD，所以∠CDB＝30°，因此∠ADB＝90°，即AD⊥BD.又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，AE，AD⊂平面AED，所以BD⊥平面AED.(2)解法一由(1)知AD⊥BD，所以AC⊥BC.又FC⊥平面ABCD，因此CA，CB，CF两两垂直．以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图(1)所示的空间直角坐标系．不妨设CB＝1，则C(0，0，0)，B(0，1，0)，D(32，－12，0)，F(0，0，1)．(1)因此BD →＝(32，－32，0)，BF →＝(0，－1，1)． 设平面BDF 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则m ·BD →＝0，m ·BF →＝0， 所以x ＝3y ＝3z ，取z ＝1，则m ＝(3，1，1)．由于CF →＝(0，0，1)是平面BDC 的一个法向量， 则cos 〈m ，CF →〉＝m ·CF →|m ||CF →|＝15＝55，所以二面角F -BD -C 的余弦值为55.解法二 如图(2)，取BD 的中点G ，连接CG ，FG ， 由于CB ＝CD ，因此CG ⊥BD .又FC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以FC ⊥BD .由于FC ∩CG ＝C ，FC ，CG ⊂平面FCG ， 所以BD ⊥平面FCG ， 故BD ⊥FG ，所以∠FGC 为二面角F -BD -C 的平面角．(2)在等腰三角形BCD中，由于∠BCD＝120°，因此CG＝12CB.又CB＝CF，所以CF＝CG2＋CF2＝5CG，，故cos∠FGC＝55因此二面角F-BD-C的余弦值为55.跟踪训练(___济南摸底)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为正三角形，M、N、G分别是棱CC1、AB、BC的中点．且CC1＝2AC.(1)求证：CN∥平面AMB1；(2)求证：B1M⊥平面AMG.证明：(1)设线段AB1的中点为P，连接NP、MP，∵CM∥12AA1，NP∥12AA1，∴CM∥NP，∴四边形CNPM是平行四边形，∴CN∥MP，∵CN⊄平面AMB1，MP⊂平面AMB1，∴CN∥平面AMB1.(2)∵CC1⊥平面ABC，∴平面CC1B1B⊥平面ABC，∵AG⊥BC，∴AG⊥平面CC1B1B，∴B1M⊥AG. ∵CC1⊥平面ABC，平面A1B1C1∥平面ABC，∴CC1⊥AC，CC1⊥B1C1，设AC＝2a，则CC1＝22a，在Rt△MCA中，AM＝CM2＋AC2＝6a，在Rt △B 1C 1M 中，B 1M ＝ B 1C 21＋C 1M 2＝6a .∵BB 1∥CC 1，∴BB 1⊥平面ABC ，∴BB 1⊥AB ， ∴AB 1＝B 1B 2＋AB 2＝C 1C 2＋AB 2＝23a ，注意到AM 2＋B 1M 2＝AB 21，∴B 1M ⊥AM ， 类型二 空间面面位置关系1．面面垂直的判定定理：a ⊂β，a ⊥α⇒α⊥β.2．面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l α⊥β. 3．面面平行的判定定理：a ⊂β，b ⊂β，a ∩b ＝A ，a ∥α，b ∥α⇒α∥β. 4．面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ⇒α∥b . 5．面面平行的证明还有其它方法(1),,,a b a b A c d c d B a c b d αβαβ⊂=⎫⎪⊂=⇒⎬⎪⎭且且∥∥∥(2),a a ααββ⊥⊥⇒∥[例2] (___高考江苏卷)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，A 1B 1＝A 1C 1，D ，E 分别是棱BC ，CC 1上的点(点D 不同于点C )，且AD ⊥DE ，F 为B 1C 1的中点． 求证：(1)平面ADE ⊥平面BCC 1B 1； (2)直线A 1F ∥平面ADE .[证明] (1)因为ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC . 又AD ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥AD .又因为AD ⊥DE ，CC 1，DE ⊂平面BCC 1B 1，CC 1∩DE ＝E ，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以A1F∥平面ADE.跟踪训练(___大同模拟)如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD＝60°，AC∩BD＝O.将菱形ABCD 沿对角线AC折起，得到三棱锥，点M是棱BC的中点，DM＝3 2.(1)求证：平面ABC⊥平面MDO；(2)求三棱锥M-ABD的体积．解析：(1)证明：由题意得OM＝OD＝3，因为DM＝32，所以∠DOM＝90°，OD⊥OM.又因为四边形ABCD为菱形，所以OD⊥AC.因为OM∩AC＝O，所以OD⊥平面ABC，因为OD 平面MDO，所以平面ABC⊥平面MDO.(2)三棱锥M-ABD的体积等于三棱锥D-ABM的体积．由(1)知，OD⊥平面ABC，所以OD为三棱锥D-ABM的高．又△ABM的面积为12BA×BM×sin 120°＝12×6×3×32＝932，所以M-ABD的体积等于13×S△ABM ×OD＝932.类型三折叠中的位置关系将平面图形沿其中一条或几条线段折起，使其成为空间图形，这类问题称之为平面图形翻折问题．平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生了变化、有的没有发生变化，弄清它们是解决问题的关键．一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化．[例3](___高考浙江卷)已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中()A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直[解析]找出图形在翻折过程中变化的量与不变的量．对于选项A，过点A作AE⊥BD，垂足为E，过点C作CF⊥BD，垂足为F，在图(1)中，由边AB，BC不相等可知点E，F不重合．在图(2)中，连接CE，若直线AC与直线BD垂直，又∵AC∩AE＝A，∴BD⊥面ACE，∴BD⊥CE，与点E，F不重合相矛盾，故A错误．对于选项B，若AB⊥CD，又∵AB⊥AD，AD∩CD＝D，∴AB⊥面ADC，∴AB⊥AC，由AB<BC可知存在这样的等腰直角三角形，使得直线AB与直线CD垂直，故B正确．对于选项C，若AD⊥BC，又∵DC⊥BC，AD∩DC＝D，∴BC⊥面ADC，∴BC⊥AC.已知BC＝2，AB＝1，BC >AB，∴不存在这样的直角三角形．∴C错误．由上可知D错误，故选B.[答案] B跟踪训练如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，E，F分别为边AD和BC上的点，且EF∥AB，AD＝2AE＝2AB＝4FC＝4.将四边形EFCD沿EF折起成如图2的形状，使AD＝AE.(1)求证：BC∥平面DAE；(2)求四棱锥DAEFB的体积．解析：(1)证明：∵BF∥AE，CF∥DE，BF∩CF＝F，AE∩DE＝E.∴平面CBF∥平面DAE，又BC⊂平面CBF，∴BC∥平面DAE.(2)取AE的中点H，连接DH.∵EF⊥DE，EF⊥EA，∴EF⊥平面DAE.又DH⊂平面DAE，∴EF⊥DH.∵AE＝DE＝AD＝2，∴DH⊥AE，DH＝ 3.∴DH⊥平面AEFB.四棱锥D-AEFB的体积V＝13×3×2×2＝43 3.析典题（预测高考）高考真题【真题】(___高考陕西卷)(1)如图所示，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真；(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明)．【解析】(1)证明：证法一如图(1)，过直线b上任一点作平面π的垂线n，设直线a，b，c，n的方向向量分别是a，b，c，n，则b，c，n共面．根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得c＝λb＋μn，则a·c＝a·(λb＋μn)＝λ(a·b)＋μ(a·n)．因为a⊥b，所以a·b＝0.又因为aπ，n⊥π，所以a·n＝0.故a·c＝0，从而a⊥c.证法二如图(2)，记c∩b＝A，P为直线b上异于点A的任意一点，过P作PO⊥π，垂足为O，则O∈c.因为PO⊥π，aπ，所以直线PO⊥a.又a⊥b，b平面P AO，PO∩b＝P，所以a⊥平面P AO.又c平面P AO，所以a⊥c.(2)逆命题为：a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥c，则a⊥b.逆命题为真命题．【名师点睛】本题实际上考查了三垂线定理逆定理的证明，命题创意新颖，改变了多数高考命题以空间几何体为载体考查线面位置关系的证明．着重考查推理论证能力．考情展望名师押题【押题】一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，其正视图、俯视图均为矩形，侧视图为直角三角形．(1)请画出该几何体的直观图，并求出它的体积； (2)证明：A 1C ⊥平面AB 1C 1；(3)若D 是棱CC 1的中点，E 是棱AB 的中点，判断DE 是否平行于平面AB 1C 1，并证明你的结论．【解析】 (1)几何体的直观图如图所示，四边形BB 1C 1C 是矩形，BB 1＝CC 1＝3，BC ＝B 1C 1＝1，四边形AA 1C 1C 是边长为3的正方形，且平面AA 1C 1C 垂直于底面BB 1C 1C ，故该几何体是直三棱柱，其体积 V ＝S △ABC ·BB 1＝12×1×3×3＝32.(2)证明：由(1)知平面AA 1C 1C ⊥平面BB 1C 1C 且B 1C 1⊥CC 1，所以B 1C 1⊥平面ACC 1A 1，所以B 1C 1⊥A 1C .因为四边形ACC 1A 1为正方形，所以A 1C ⊥AC 1， 而B 1C 1∩AC 1＝C 1，所以A 1C ⊥平面AB 1C 1. (3)DE ∥平面AB 1C 1，证明如下：如图，取BB 1的中点F ，连接EF ，DF ，DE .因为D ，E ，F 分别为CC 1，AB ，BB 1的中点，所以EF ∥AB 1，DF ∥B 1C 1.又AB1 ⊂平面AB1C1，EF ⊂平面AB1C1，所以EF∥平面AB1C1.同理，DF∥平面AB1C1，又EF∩DF＝F，则平面DEF∥平面AB1C1.而DE⊂平面DEF，所以DE∥平面AB1C1.第四讲思想方法与规范解答(五)思想方法1．转化与化归思想利用转化与化归思想求空间几何体的体积主要包括割补法和等体积法，主要适用于以下类型：(1)不规则几何体的体积的求解；(2)较复杂几何体的体积的求解．[例1](___高考辽宁卷)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.8π3B．3π C.10π3D．6π[解析]将三视图还原为实物图求体积．由三视图可知，此几何体(如图所示)是底面半径为1，高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的14，所以V＝34×π×12×4＝3π.[答案] B跟踪训练(___高考辽宁卷)如图，直三棱柱ABC-A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA′＝1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．(1)证明：MN∥平面A′ACC′；(2)求三棱锥A′MNC的体积．(锥体体积公式V＝13Sh，其中S为底面面积，h为高)解析：(1)证明：证法一连接AB′，AC′，如图，由已知∠BAC＝90°，AB＝AC，三棱柱ABC-A′B′C′为直三棱柱，所以M为AB′的中点．又因为N为B′C′的中点，所以MN∥AC′.又MN⊄平面A′ACC′，AC′⊂平面A′ACC′，所以MN∥平面A′ACC′.证法二 取A ′B ′的中点P ，连接MP ，NP ，AB ′，如图， 因为M ，N 分别为AB ′与B ′C ′的中点， 所以MP ∥AA ′，PN ∥A ′C ′，所以MP ∥平面A ′ACC ′，PN ∥平面A ′ACC ′. 又MP ∩NP ＝P ，所以平面MPN ∥平面A ′ACC ′.而MN 平面MPN ， 所以MN ∥平面A ′ACC ′.(2)解法一 连接BN ，如图所示，由题意知A ′N ⊥B ′C ′，平面A ′B ′C ′∩平面B ′BCC ′＝B ′C ′， 所以A ′N ⊥平面NBC . 又A ′N ＝12B ′C ′＝1，故V A ′-MNC ＝V N －A ′MC ＝12V N -A ′BC ＝12V A ′-NBC ＝16. 解法二 V A ′-MNC ＝V A ′-NBC －V M -NBC ＝12V A ′-NBC ＝16. 2．函数与方程思想(1)在空间几何体的表面积和体积计算中，常根据条件分析列出方程，利用方程确定未知量． (2)在用空间向量的运算解决空间线线、线面、面面的平行、垂直问题或求空间角时运用的主要思想就是通过列方程(组)求出未知量，得到直线的方向向量和平面的法向量，然后进行计算．(3)涉及空间几何体中的最值问题常用到函数思想．[例2] (___深圳模拟)如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，CD ＝2AB ＝4，AD ＝2，E 为CD 的中点，将△BCE 沿BE 折起，使得CO ⊥DE ，其中垂足O 在线段DE 上．(1)求证：CO ⊥平面ABED ；(2)问∠CEO (记为θ)多大时，三棱锥C -AOE 的体积最大，最大值为多少．[解析] (1)在直角梯形ABCD 中， CD ＝2AB ，E 为CD 的中点，则AB ＝DE ， 又AB ∥DE ，AD ⊥AB ，可知BE ⊥CD .在四棱锥C -ABEO 中，BE ⊥DE ，BE ⊥CE ，CE ∩DE ＝E ， CE ，DE ⊂平面CDE ，则BE ⊥平面CDE . 因为CO ⊂平面CDE ，所以BE ⊥CO .又CO ⊥DE ，且BE ，DE 是平面ABED 内的两条相交直线． 故CO ⊥平面ABED .(2)由(1)知CO ⊥平面ABED ，所以三棱锥C -AOE 的体积V ＝13S △AOE ×OC ＝13×12×OE ×AD ×OC .在直角梯形ABCD 中，CD ＝2AB ＝4，AD ＝2， CE ＝2，得OE ＝CE cos θ＝2cos θ，OC ＝CE sin θ＝2sin θ， V ＝23 sin 2θ≤23，当且仅当sin 2θ＝1，θ∈(0，π2)，即θ＝π4时取等号(此时OE ＝2<DE ，O 落在线段DE 上)．故当θ＝π4时，三棱锥C -AOE 的体积最大，最大值为23.跟踪训练已知正三棱柱ABC A′B′C′的正(主)视图和侧(左)视图如图所示，设△ABC，△A′B′C′的中心分别是O，O′，现将此三棱柱绕直线OO′旋转，射线OA旋转所成的角为x弧度(x可以取到任意一个实数)，对应的俯视图的面积为S(x)，则函数S(x)的最大值为________；最小正周期为________．(说明：“三棱柱绕直线OO′旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，OA旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，OA旋转所成的角为负角．)解析：由题意可知，当三棱柱的一个侧面在水平面内时，该三棱柱的俯视图的面积最大，此时俯视图为一个矩形，其宽为3×tan 30°×2＝2，长为4，故S(xOO′旋转时，当A点旋转到B点，B点旋转到C点，C点旋转到A点时，所得三角形与原三角形重合，故S(x)的最小正周期为2π3.答案：82π3考情展望高考对本专题的考查，各种题型都有，在选择、填空中多考查空间几何体的三视图与面积、体积问题，在解答题中考查空间平行与垂直的证明与空间角的求法，也常考查探索存在性问题、折叠问题等，难度中档．名师押题【押题】已知正方形ABCD的边长为2，AC∩BD＝O.将正方形ABCD沿对角线BD折起，使AC＝a，得到三棱锥ABCD，如图所示．(1)当a ＝2时，求证：AO ⊥平面BCD ；(2)当二面角ABDC 的大小为120°时，求二面角ABCD 的正切值．【解析】 (1)根据题意 ，在△AOC 中，AC ＝a ＝2，AO ＝CO ＝2， 所以AC 2＝AO 2＋CO 2，所以AO ⊥CO . 因为AC 、BD 是正方形ABCD 的对角线， 所以AO ⊥BD .因为BD ∩CO ＝O ，CO ⊂平面BCD ，BD ⊂平面BCD ， 所以AO ⊥平面BCD .(2)由(1)知，CO ⊥OD ，以O 为原点，OC ，OD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz ，则O (0，0，0)，D (0，2，0)，C (2，0，0)，B (0，－2，0)． 设A (x 0，0，z 0)(x 0<0)，则OA ＝(x 0，0，z 0)，OD →＝(0，2，0)． 又设平面ABD 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)， 则00n OA n OD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0x 1＋z 0z 1＝02y 1＝0.所以y 1＝0，令x 1＝z 0，则z 1＝－x 0. 所以n ＝(z 0，0，－x 0)．因为平面BCD 的一个法向量为m ＝(0，0，1)，且二面角A -BD -C 的大小为120°， 所以|cos 〈m ，n 〉|＝|cos 120°|＝12，得z 20＝3x 20.设平面ABC 的法向量为l ＝(x 2，y 2，z 2)，因为BA ＝(－22，2，62)，BC ＝(2，2，0)，则00l BA l BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即⎩⎨⎧－22x 2＋2y 2＋62z 2＝0，2x 2＋2y 2＝0， 令x 2＝1，则y 2＝－1，z 2＝ 3. 所以l ＝(1，－1，3)．设二面角A -BC -D 的平面角为θ， 所以cos θ＝|cos 〈l ，m 〉|＝|31＋1＋（3）2|＝155.所以tan θ＝63.。
数学中的平行与垂直知识点解析及解题技巧
数学中的平行与垂直知识点解析及解题技巧数学中的平行与垂直是几何学中非常基础但又十分重要的概念。
平行和垂直是指直线之间的关系，正确理解和运用这些概念对于解题以及理解几何形状和结构十分关键。
本文将详细解析数学中的平行与垂直知识点，并介绍相应的解题技巧，帮助读者更好地掌握这一部分内容。
一、平行线的定义及性质平行是指在同一个平面内永远不相交的两条直线。
根据平行线的定义，我们可以得出以下性质：1. 平行线具有相同的斜率。
在笛卡尔坐标系中，我们可以通过计算两条直线的斜率来判断它们是否平行。
2. 平行线之间的距离始终保持不变。
可以通过计算两条平行线上的任意一点到另一条线的垂直距离来验证。
3. 平行线之间没有交点。
平行线从一点向两个相反方向延伸，永远不会相交。
了解了平行线的定义及性质，我们就可以更好地应用它们解决各种几何问题。
二、垂直线的定义及性质垂直是指两条直线或线段之间的相互正交关系。
垂直线也被称为正交线。
以下是垂直线的定义及常见性质：1. 垂直线的斜率乘积为-1。
如果一条直线的斜率为k，那么与之垂直的直线的斜率为-1/k。
2. 垂直线之间的角度为90度（直角）。
两条互相垂直的直线在交点处形成一个90度的角。
3. 垂直线的特殊情况是水平线和竖直线。
水平线与x轴平行，竖直线与y轴平行。
了解垂直线的定义及性质，对于解题和理解几何图形的垂直关系非常有帮助。
三、解题技巧与实例分析1. 利用平行线的性质解题当我们面对一道几何问题时，如果题目中涉及到平行线的关系，我们可以利用平行线的性质进行分析。
例如，已知直线上有一点C，与直线AB平行相交。
我们可以利用平行线的性质，将已知条件与问题要求结合，得出一些结论。
比如，如果已知角ACB为60度，那么我们可以得出角ABC也为60度，因为平行线之间的对应角相等。
2. 利用垂直线的性质解题同样地，当我们遇到涉及垂直线关系的题目时，可以利用垂直线的性质进行解题。
例如，如果两条直线垂直相交于一点O，并且已知角AOC的度数为30度，我们可以得出角COB的度数为90度，因为两条垂直线在交点处形成的角度为90度。
高考数学二轮复习 要点突破 专题二 第1讲 平行与垂直
第1讲平行与垂直自主学习回归教材1. (必修2 P41练习1改编)给出下列四个命题:①平行于同一条直线的两个平面平行;②垂直于同一条直线的两个平面垂直;③平行于同一平面的两个平面平行;④垂直于同一平面的两个平面垂直.其中正确的命题是.(填序号)2. (必修2 P37练习3改编)若直线a与平面α不垂直,那么在平面α内与直线a垂直的直线条数为.3. (必修2 P41-42练习第13题改编)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,M,N分别是AB,PC 的中点,求证:MN∥平面PAD.(第3题)4. (必修2 P50练习第9题改编)如图,在正方体A1B1C1D1-ABCD中,平面AB1C与平面BDD1B1有何位置关系?并对你的结论给出证明.(第4题)要点导学各个击破线面基本位置关系的真假判断例1 下列命题中正确的是.(填序号)①若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行;②若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行;③若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行;④若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行.练习对于三个平面α,β,γ,下列命题中正确的是.(填序号)①若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;②若α⊥γ,β⊥γ,则α⊥γ;③若α⊥γ,β⊥γ,且α∩β=l,则l⊥γ;④若α∥γ,β∥γ,则α∥β.平行和垂直的证明例2 (2013·江苏卷)如图,在三棱锥S ABC中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AS=AB,过点A 作AF⊥SB,垂足为F,点E,G分别是棱SA,SC的中点.求证:(1) 平面EFG∥平面ABC;(2) BC⊥SA.(例2)练习如图,在四棱锥P ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E,F分别是AP,AD的中点.求证:(1) 直线EF∥平面PCD;(2) 平面BEF⊥平面PAD.(练习)线面位置关系的简单综合例3 (2013·浙江卷改编)如图,在四棱锥P ABCD 中,PA⊥平面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=7,PA=3,∠ABC=120°,G为线段PC上的点.(1) 求证:BD⊥平面PAC;(2) 若PC⊥平面BGD,求PGGC的值.(例3)练习如图,在四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形.(1) 求证:PB⊥CD;(2) 求点A到平面PCD的距离.(练习)1. 给出下列命题:①若一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面相互垂直;②若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,则这两个平面相互平行;③若两条平行直线中的一条垂直于直线m,则另一条直线也垂直于直线m;④若两个平面垂直,则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中真命题为.(填序号)2. 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,D为棱CC1上任一点.求证:(1) 直线A1B1∥平面ABD;(2) 平面ABD⊥平面BCC1B1.(第2题)3. 如图,在三棱锥P-ABC中,BC⊥平面PAB.已知PA=AB,点D,E分别为PB,BC的中点.(1) 求证:AD⊥平面PBC;(2) 若点F在线段AC上,满足AD∥平面PEF,求AFFC的值.(第3题)专题二立体几何第1讲平行与垂直【自主学习回归教材】1. ③2. 无数条3. 证明略4. 证明略【要点导学各个击破】[分类解析]例1 ③练习③④例2 证明略练习证明略例3 (1) 证明略(2) PG GC=32练习(1) 证明略(2) 1 [课堂评价]1.①③④2. 证明略3. (1) 证明略(2) AF FC=12。
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难点26 垂直与平行垂直与平行是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解线面平行与垂直、面面平行与垂直的判定与性质，并能利用它们解决一些问题.●难点磁场(★★★★)已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，A 1C 1=B 1C 1=2，D 、D 1分别是AB 、A 1B 1的中点，平面A 1ABB 1⊥平面A 1B 1C 1，异面直线AB 1和C 1B 互相垂直.(1)求证：AB 1⊥C 1D 1；(2)求证：AB 1⊥面A 1CD ；(3)若AB 1=3，求直线AC 与平面A 1CD 所成的角.●案例探究［例1］两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M ∈AC ，N ∈FB ，且AM =FN ，求证：MN ∥平面BCE .命题意图：本题主要考查线面平行的判定，面面平行的判定与性质，以及一些平面几何的知识，属★★★★级题目.知识依托：解决本题的关键在于找出面内的一条直线和该平面外的一条直线平行，即线(内)∥线(外)⇒线(外)∥面.或转化为证两个平面平行.错解分析：证法二中要证线面平行，通过转化证两个平面平行，正确的找出MN 所在平面是一个关键.技巧与方法：证法一利用线面平行的判定来证明.证法二采用转化思想，通过证面面平行来证线面平行.证法一：作MP ⊥BC ，NQ ⊥BE ，P 、Q 为垂足，则MP ∥AB ，NQ ∥AB .∴MP ∥NQ ，又AM =NF ，AC =BF ，∴MC =NB ，∠MCP =∠NBQ =45°∴Rt △MCP ≌Rt △NBQ∴MP =NQ ,故四边形MPQN 为平行四边形∴MN ∥PQ∵PQ ⊂平面BCE ，MN 在平面BCE 外，∴MN ∥平面BCE .证法二：如图过M 作MH ⊥AB 于H ，则MH ∥BC ， ∴ABAH AC AM =连结NH ，由BF =AC ，FN =AM ，得ABAH BF FN =∴MN ∥平面BCE .［例2］在斜三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，底面是等腰三角形，AB =AC ，侧面BB 1C 1C ⊥底面ABC .(1)若D 是BC 的中点，求证：AD ⊥CC 1；(2)过侧面BB 1C 1C 的对角线BC 1的平面交侧棱于M ，若AM =MA 1，求证：截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ；(3)AM =MA 1是截面MBC 1⊥平面BB 1C 1C 的充要条件吗？请你叙述判断理由.命题意图：本题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质，属★★★★★级题目. 知识依托：线面垂直、面面垂直的判定与性质.错解分析：(3)的结论在证必要性时，辅助线要重新作出.技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于对题目中条件的思考与分析，掌握做此类题目的一般技巧与方法，以及如何巧妙作辅助线.(1)证明：∵AB =AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC∵底面ABC ⊥平面BB 1C 1C ，∴AD ⊥侧面BB 1C 1C∴AD ⊥CC 1.(2)证明：延长B 1A 1与BM 交于N ，连结C 1N∵AM =MA 1，∴NA 1=A 1B 1∵A 1B 1=A 1C 1，∴A 1C 1=A 1N =A 1B 1∴C 1N ⊥C 1B 1∵底面NB 1C 1⊥侧面BB 1C 1C ，∴C 1N ⊥侧面BB 1C 1C∴截面C 1NB ⊥侧面BB 1C 1C∴截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C.(3)解：结论是肯定的，充分性已由(2)证明，下面证必要性.过M 作ME ⊥BC 1于E ，∵截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C∴ME ⊥侧面BB 1C 1C ，又∵AD ⊥侧面BB 1C 1C.∴ME ∥AD ，∴M 、E 、D 、A 共面∵AM ∥侧面BB 1C 1C ，∴AM ∥DE∵CC 1⊥AM ，∴DE ∥CC 1∵D 是BC 的中点，∴E 是BC 1的中点∴AM =DE =21211=CC AA 1，∴AM =MA 1. ●锦囊妙计垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系：1.平行转化2.垂直转化每一垂直或平行的判定就是从某一垂直或平行开始转向另一垂直或平行最终达到目的. 例如：有两个平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离是( ) A.38 B.83 C.34 D.43 2.(★★★★)在直二面角α—l —β中，直线a ⊂α,直线b ⊂β,a 、b 与l 斜交，则( )A.a 不和b 垂直，但可能a ∥bB.a 可能和b 垂直，也可能a ∥bC.a 不和b 垂直，a 也不和b 平行D.a 不和b 平行，但可能a ⊥b二、填空题3.(★★★★★)设X 、Y 、Z 是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X ⊥Z 且Y ⊥Z ⇒X ∥Y ”为真命题的是_________(填序号).①X 、Y 、Z 是直线 ②X 、Y 是直线，Z 是平面 ③Z 是直线，X 、Y 是平面 ④X 、Y 、Z 是平面4.(★★★★)设a ,b 是异面直线，下列命题正确的是_________.①过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一条直线和a 、b 都相交②过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一个平面和a 、b 都垂直③过a 一定可以作一个平面与b 垂直④过a 一定可以作一个平面与b 平行三、解答题5.(★★★★)如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧棱P A 垂直于底面，E 、F 分别是AB 、PC 的中点.(1)求证：CD ⊥PD ;(2)求证：EF ∥平面P AD ;(3)当平面PCD 与平面ABCD 成多大角时，直线EF ⊥平面PCD ？6.(★★★★)如图，在正三棱锥A —BCD 中，∠BAC =30°，AB =a ,平行于AD 、BC 的截面EFGH 分别交AB 、BD 、DC 、CA 于点E 、F 、G 、H .(1)判定四边形EFGH 的形状，并说明理由.(2)设P 是棱AD 上的点，当AP 为何值时，平面PBC ⊥平面EFGH ，请给出证明.7.(★★★★)如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都相等，D 、E 分别是CC 1和AB 1的中点，点F 在BC 上且满足BF ∶FC =1∶3.(1)若M 为AB 中点，求证：BB 1∥平面EFM ；(2)求证：EF ⊥BC ；(3)求二面角A 1—B 1D —C 1的大小.8.(★★★★★)如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是菱形且∠C 1CB = ∠C 1CD =∠BCD =60°,(1)证明：C 1C ⊥BD ；(2)假定CD =2，CC 1=23，记面C 1BD 为α,面CBD 为β,求二面角α—BD —β的平面角的余弦值；(3)当1CC CD 的值为多少时，可使A 1C ⊥面C 1BD ？参考答案难点磁场1.(1)证明：∵A 1C 1=B 1C 1，D 1是A 1B 1的中点，∴C 1D 1⊥A 1B 1于D 1，又∵平面A 1ABB 1⊥平面A 1B 1C 1，∴C 1D 1⊥平面A 1B 1BA ，而AB 1 平面A 1ABB 1，∴AB 1⊥C 1D 1.(2)证明：连结D 1D ，∵D 是AB 中点，∴DD 1CC 1，∴C 1D 1∥CD ，由(1)得CD ⊥AB 1，又∵C 1D 1⊥平面A 1ABB 1，C 1B ⊥AB 1，由三垂线定理得BD 1⊥AB 1，又∵A 1D ∥D 1B ，∴AB 1⊥A 1D 而CD ∩A 1D =D ，∴AB 1⊥平面A 1CD .(3)解：由(2)AB 1⊥平面A 1CD 于O ，连结CO 1得∠ACO 为直线AC 与平面A 1CD 所成的角，∵AB 1=3，AC =A 1C 1=2，∴AO =1，∴sin OCA =21=AC AO ， ∴∠OCA =6π. 歼灭难点训练一、1.解析：如图，设A 1C 1∩B 1D 1=O 1，∵B 1D 1⊥A 1O 1，B 1D 1⊥AA 1，∴B 1D 1⊥平面AA 1O 1，故平面AA 1O 1⊥AB 1D 1，交线为AO 1，在面AA 1O 1内过A 1作A 1H ⊥AO 1于H ，则易知A 1H 长即是点A 1到平面AB 1D 1的距离，在Rt △A 1O 1A 中，A 1O 1=2，AO 1=32，由A 1O 1·A 1A =h ·AO 1,可得A 1H =34.答案：C2.解析：如图，在l 上任取一点P ，过P 分别在α、β内作a ′∥a ,b ′∥b ,在a ′上任取一点A ，过A 作AC ⊥l ，垂足为C ，则AC ⊥β,过C 作CB ⊥b ′交b ′于B ，连AB ，由三垂线定理知AB ⊥b ′，∴△APB 为直角三角形,故∠APB 为锐角.答案：C二、3.解析：①是假命题，直线X 、Y 、Z 位于正方体的三条共点棱时为反例，②③是真命题，④是假命题，平面X 、Y 、Z 位于正方体的三个共点侧面时为反例.答案：②③4.④三、5.证明：(1)∵P A ⊥底面ABCD ，∴AD 是PD 在平面ABCD 内的射影，∵CD ⊂平面ABCD 且CD ⊥AD ，∴CD ⊥PD .(2)取CD 中点G ，连EG 、FG ，∵E 、F 分别是AB 、PC 的中点，∴EG ∥AD ，FG ∥PD∴平面EFG ∥平面P AD ，故EF ∥平面P AD(3）解：当平面PCD 与平面ABCD 成45°角时，直线EF ⊥面PCD证明：G 为CD 中点，则EG ⊥CD ,由(1)知FG ⊥CD ，故∠EGF 为平面PCD 与平面ABCD 所成二面角的平面角.即∠EGF =45°，从而得∠ADP =45°，AD =AP由Rt △P AE ≌Rt △CBE ,得PE =CE又F 是PC 的中点，∴EF ⊥PC ，由CD ⊥EG ，CD ⊥FG ，得CD ⊥平面EFG ，CD ⊥EF 即EF ⊥CD ，故EF ⊥平面PCD .6.(1)证明：同理EF ∥FG ，∴EFGH 是平行四边形∵A —BCD 是正三棱锥，∴A 在底面上的射影O 是△BCD 的中心，∴DO ⊥BC ，∴AD ⊥BC ，∴HG ⊥EH ，四边形EFGH 是矩形.(2)作CP ⊥AD 于P 点，连结BP ，∵AD ⊥BC ，∴AD ⊥面BCP∵HG ∥AD ，∴HG ⊥面BCP ，HG ⊂面EFGH .面BCP ⊥面EFGH ，在Rt △APC 中，∠CAP =30°，AC =a ,∴AP =23a . 7.(1)证明：连结EM 、MF ，∵M 、E 分别是正三棱柱的棱AB 和AB 1的中点， ∴BB 1∥ME ，又BB 1⊄平面EFM ，∴BB 1∥平面EFM .(2)证明：取BC 的中点N ，连结AN 由正三棱柱得：AN ⊥BC ，又BF ∶FC =1∶3，∴F 是BN 的中点，故MF ∥AN ，∴MF ⊥BC ，而BC ⊥BB 1，BB 1∥ME .∴ME ⊥BC ，由于MF ∩ME =M ，∴BC ⊥平面EFM ，又EF EFM ，∴BC ⊥EF .(3)解：取B 1C 1的中点O ，连结A 1O 知，A 1O ⊥面BCC 1B 1，由点O 作B 1D 的垂线OQ ，垂足为Q ，连结A 1Q ，由三垂线定理，A 1Q ⊥B 1D ，故∠A 1QD 为二面角A 1—B 1D —C 的平面角，易得∠A 1QO =arctan 15.8.(1)证明：连结A 1C 1、AC ，AC 和BD 交于点O ，连结C 1O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，BC =CD又∵∠BCC 1=∠DCC 1，C 1C 是公共边，∴△C 1BC ≌△C 1DC ，∴C 1B =C 1D∵DO =OB ，∴C 1O ⊥BD ，但AC ⊥BD ，AC ∩C 1O =O∴BD ⊥平面AC 1，又C 1C ⊂平面AC 1，∴C 1C ⊥BD .(2)解：由(1)知AC ⊥BD ，C 1O ⊥BD ，∴∠C 1OC 是二面角α—BD —β的平面角. 在△C 1BC 中，BC =2，C 1C =23，∠BCC 1=60°，∴C 1B 2=22+(23)2－2×2×23×cos60°=413. ∵∠OCB =30°,∴OB =21,BC =1,C 1O =23,即C 1O =C 1C . 作C 1H ⊥OC ，垂足为H ，则H 是OC 中点且OH =23，∴cos C 1OC =33 (3)解：由(1)知BD ⊥平面AC 1，∵A 1O ⊂平面AC 1，∴BD ⊥A 1C ，当1CC CD =1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同理可证BC 1⊥A 1C ，又∵BD ∩BC 1=B ，∴A 1C ⊥平面C 1BD .。