第10章 公式和函数
高等数学(同济大学)课件下第10_3格林公式
= −∫ 0⋅ dx + x∫0
1
x
y
dy x2 + y2
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或
y (1, y) (x, y)
dy =∫ 0 1+ y2
y
o
(1,0)
( x,0)
x
x = − arctan 2 y
π
机动
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例7. 设质点在力场
作用下沿曲线 L : 求力场所作的功W
π 移动到 由 A( 0, )
π
π
π
L
= k 2 思考: 思考 积分路径是否可以取 AOUOB ? 为什么？
无关 !
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π
o
Bx
注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径
内容小结
∂Q ∂P 1. 格林公式 ∫ Pd x + Qd y = ∫∫D ∂x − ∂y d xd y L 2. 等价条件 设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有
k =1 n
n
Dk
(
∂Q ∂P − ) dxdy ∂x ∂y
Dn
o
x
= ∑∫
k =1
∂Dk
Pdx + Qdy
(∂Dk 表 Dk的 向 界) 示 正 边
证毕
= ∫ Pdx + Qdy
L
定理1
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结束
∂Q ∂P − dxdy = ∫ Pdx + Qdy 格林公式 ∫∫ ∂x ∂y D L
d u(x, y) = P dx + Qdy ∂P ∂Q = . (4) 在 D 内每一点都有 ∂y ∂x
信号与系统概念公式总结
信号与系统概念，公式集：第一章：概论1.信号：信号是消息的表现形式。
（消息是信号的具体内容）2.系统：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。
第二章：信号的复数表示：1.复数的两种表示方法：设C 为复数，a 、b 为实数。
常数形式的复数C=a+jb a 为实部，b 为虚部；或C=|C|e j φ，其中，22||b a C +=为复数的模，tan φ=b/a ，φ为复数的辐角。
（复平面）2.欧拉公式：wt j wt e jwtsin cos +=（前加-，后变减） 第三章：正交函数集及信号在其上的分解1.正交函数集的定义：设函数集合)}(),(),({21t f t f t f Fn =如果满足：ni K dt t f j i dt t f t f iT T i T T j i 2,1)(0)()(21212==≠=⎰⎰则称集合F 为正交函数集 如果n i K i,2,11==，则称F 为标准正交函数集。
如果F 中的函数为复数函数条件变为：ni K dt t f t f ji dt t f t f iT T i i T T j i 2,1)()(0)()(2121**==⋅≠=⋅⎰⎰其中)(*t f i 为)(t f i 的复共轭。
2.正交函数集的物理意义：一个正交函数集可以类比成一个坐标系统；正交函数集中的每个函数均类比成该坐标系统中的一个轴； 在该坐标系统中，一个函数可以类比成一个点；点向这个坐标系统的投影（体现为该函数与构成坐标系的函数间的点积）就是该函数在这个坐标系统中的坐标。
3.正交函数集完备的概念和物理意义： 如果值空间中的任一元素均可以由某正交集中的元素准确的线性表出，我们就称该正交集是完备的，否则称该正交集是不完备的。
如果在正交函数集()()()()t g n ,t g ,t g ,t g 321之外，不存在函数x （t ）()∞<<⎰2120t t dt t x ，满足等式：()()⎰=210t t i dt t g t x ，则此函数集称为完备正交函数集。
高数公式大全
高等数学公式汇总第一章一元函数的极限与连续1、一些初等函数公式：sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan cot cot 1cot()cot cot ()()sh sh ch ch sh ch ch ch sh sh αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαββααβαβαβαβαβαβ±=±±=±±=⋅⋅±=±±=±±=± 和差角公式：sin sin 2sincos 22sin sin 2cos sin22cos cos 2cos cos22cos cos 2sin 22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=+--=+-+=+--=和差化积公式：1sin cos [sin()sin()]21cos sin [sin()sin()]21cos cos )cos()]21sin sin )cos()]2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=++-=+--=++-=+--积化和差公式：2222222222sin 22sin cos cos 22cos 112sin cos sin 2tan tan 21tan cot 1cot 22cot 22212 21sh sh ch ch sh ch ch sh αααααααααααααααααααααα==-=-=-=--===+==-=+倍角公式：22222222sin cos 1;tan 1sec ;cot 1csc ;1sin2cos 21cos sin tan 2sin 1cos 1cos sin cot2sin 1cos x x x x ch x sh x αααααααααααααα+=+=+=-===-===++===-半角公式：::ln(2::ln(211::ln21x x x xx x x x e e shx arshx x e e chx archx x shx e e xthx arthx chx e e x -----==++==±+-+===+-双曲正弦双曲余弦；反双曲余弦双曲正切3322()()()a b a b a ab b ±=±+ ，222(1)(21)126n n n n +++++= 22333(1)124n n n ++++=2、极限常用极限：1,lim 0n n q q →∞<=;1,lim 1n a >=;lim 1n →∞=ln(1())limln(1())~()()lim[()()]1/()()0,(),lim[1()]f x f x f x g x f x g x g x f x g x f x ee ++±→→∞±=−−−−−−→若则 两个重要极限100sin sin 1lim 1,lim 0;lim(1)lim(1)x x x x x x x x e x x x x→→∞→∞→==+==+:常用等价无穷小2111cos ~; ~sin ~arcsin ~arctan ;1~;2 1~ln ; ~1;(1)~1; ln(1)~x x a x x x x x x na x a e x x ax x x--++++3、连续：定义：00lim 0;lim ()()x x x y f x f x ∆→→∆==00lim ()lim ()()()x x x x f x f x f x f x -+-+→→⇔==极限存在或第二章导数与微分1、基本导数公式：00000000()()()()()limlim lim tan x x x x f x x f x f x f x yf x x x x x α∆→∆→→+∆--∆'====∆∆-_0+0()()f x f x -+''⇔=导数存在1220; (); (sin )cos ; (cos )sin ; (tan )sec ; (co t )csc ;(sec )sec tan ; (csc )csc ; ()ln ;();11(log ); (ln ) (arcsin ) (arccos )ln a a x x x x a C x ax x x x x x x x x x x x x x ctgx a a a e e x x x x x a x -''''''======-''''=⋅=-⋅==''''====-222211(arctan ); (cot ); ();();1111(); () ())1x arc x shx hx chx shx x x thx arshx archx arthx ch x x ''''==-==++''''====-2、高阶导数：()()()()!()()!; ()ln ()()!n k n k n n x n x n x n xn x x x n a a a e e n k -=⇒==⇒=-()()()1111(1)!1(1)!1!(); (); ()()()n n n n n n n n n n n x x x a x a a x a x +++--===++-- ()()(sin )sin(); (cos )cos();22n n n n kx k kx n kx k kx n ππ=⋅+⋅=⋅+⋅()1()(1)1(1)!1(1)[ln()]()(1)()n n n n n n nn n a x x a x x x -----+=-⇒==-+ 牛顿-莱布尼兹公式：()()()0()(1)(2)()()()()(1)(1)(1)2!!nn k n k k n k n n n n k k n uv C u v n n n n n k u v nu v u v u v uv k -=---=---+'''=++++++∑ 3、微分：0()()(); =()();y f x x f x dy o x dy f x x f x dx ''∆=+∆-=+∆∆=⇒⇔⇒连续极限存在收敛有界;=⇔⇔⇒可微可导左导右导连续；⇒不连续不可导第三章微分中值定理与微分的应用1、基本定理()()()(),(,)()()(),(,)()()()F()f b f a f b a a b f b f a f a b F b F a F x x ξξξξξ'-=-∈'-=∈'-=拉格朗日中值定理：柯西中值定理：当时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
第10章二叉树法期权定价及其Python应用
第10章二叉树法期权定价及其Python应用本章精粹蒙特卡罗模拟法便于处理报酬函数复杂、标的变量多等问题，但是在处理提前行权问题时却表现出明显的不足。
本章将要介绍的二叉树法可以弥补蒙特卡罗模拟法的这种不足。
二叉树的基本原理是：假设变量运动只有向上和向下两个方向，且假设在整个考察期内，标的变量每次向上或向下的概率和幅度不变。
将考察期分为若干阶段，根据标的变量的历史波动率模拟标的变量在整个考察期内所有可能的发展路径，并由后向前以倒推的形式走过所有结点，同时用贴现法得到在0时刻的价格。
如果存在提前行权的问题，必须在二叉树的每个结点处检查在这一点行权是否比下一个结点上更有利，然后重复上述过程。
10.1 二叉树法的单期欧式看涨期权定价假设：(1) 市场为无摩擦的完美市场，即市场投资没有交易成本。
这意味着不支付税负，没有买卖价差(Bid-Ask Spread)、没有经纪商佣金(Brokerage Commission)、信息对称等。
(2) 投资者是价格的接受者，投资者的交易行为不能显著地影响价格。
(3) 允许以无风险利率借入和贷出资金。
(4) 允许完全使用卖空所得款项。
(5) 未来股票的价格将是两种可能值中的一种。
为了建立好二叉树期权定价模型，我们先假定存在一个时期，在此期间股票价格能够从现行价格上升或下降。
下面用实例来说明二叉树期权定价模型的定价方法。
1. 单一时期内的买权定价假设股票今天(t =0)的价格是100美元，一年后(t =1)将分别以120美元或90美元出售，就是1年后股价上升20%或下降10%。
期权的执行价格为110美元。
年无风险利率为8%，投资者可以这个利率放款(购买这些利率8%的债券)或借款(卖空这些债券)。
如图10-1所示。
今天 1年后t =0 t =1u S 0=120 上升20% 1000=Sd S 0=90 下降10%u 0max(u ,0)max(120110,0)10C S X =-=-=?0=Cd 0max(d ,0)max(90110,0)0C S X =-=-=图10-1 买权价格图10-1表示股票买权的二叉树期权定价模型。
经济学原理 第10章
I I (r )
式中，I表示利率r为零时的投资量，称为自主投 资，d是系数，表示利率每上升或下降一个百分点， 投资会减少或增加的数量，可称为利率对投资需求的 影响系数或投资需求的利率敏感系数。
如果用横坐标表示投资，纵标表示利率，投 资函数可以用投资曲线表示出来，如下图所示：
上图表明，当利率较高为r1时，投资量较小为 I1，当利率降低到r2时，投资量增大为I1。
下图为非线性的储蓄曲线。随着收入的增加， 非线性储蓄曲线的斜率越来越大，即非线性储蓄曲 线上各点的切线越来越陡峭，各点的切线的斜率越 来越大，非线性消费曲线越来越以递增的速率向右 上方倾斜，这表现出边际储蓄倾向递增的状况。
三、消费函数和储蓄函数的关系 从前面关于消费函数与储蓄函数的分析出发， 可以得到两者之间的三个重要关系： （1）消费函数和储蓄函数互为补数，二者之 和等于总收入。 （2）APC和MPC都随着收入增加而递减，但 APC>MPC。APS和MPS都随收入增加而递增，但 APS<MPS。 （3）MPC和MPS互为补数， APC和APS也互为 补数，即MPC+MPS=1、APC+APS=1。
一、两部门国民收入的决定 （一）消费函数与均衡国民收入的决定 在两部门经济社会中，总需求由消费与投资构 成，即Y=C+I，其中消费C=a+bY。 为了使分析简化，在国民收入决定的简单模型 中，把投资看作一个外生变量，是一个不随着利率 和国民收入水平变化而变化的常量。
根据这个假定，可设I=I0（I0为一个常量）， 此时，均衡国民收入决定模型如下：
其中，S代表储蓄；Y代表收入；-a为自发储蓄； 1-b 的经济含义指增加的每单位收入中用于储蓄部 分的比率，(1-b)Y 是随着收入变化而变化的储蓄 量，也被称为引致储蓄。
高三数学一轮复习第10讲任意角的三角函数及诱导公式教案
任意角的三角函数及诱导公式教学目标 1．任意角、弧度．任意角、弧度了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化；了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化；2．三角函数．三角函数（1）借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；）借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；（2）借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（π/2±α, π±α的正弦、余弦、正切）。
命题走向从近几年的新课程高考考卷来看，试题内容主要考察三角函数的图形与性质，但解决这类问题的基础是任意角的三角函数及诱导公式，在处理一些复杂的三角问题时，同角的三角函数的基本关系式是解决问题的关键。
角的三角函数的基本关系式是解决问题的关键。
预测2017年高考对本讲的考察是：年高考对本讲的考察是：1．题型是1道选择题和解答题中小过程；道选择题和解答题中小过程；2．热点内容是三角函数知识的综合应用和实际应用，这也是新课标教材的热点内容。
教学准备 多媒体课件多媒体课件1教学过程一．知识梳理：一．知识梳理：1．任意角的概念．任意角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角a。
旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫a的顶点。
为了区别起见，我们规定为了区别起见，我们规定::按逆时针方向旋转所形成的角叫正角按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。
如果一条射线没有做任何旋转所形成的角叫负角。
如果一条射线没有做任何旋转,,我们称它形成了一个零角。
我们称它形成了一个零角。
2．终边相同的角、区间角与象限角．终边相同的角、区间角与象限角角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。
那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
经济学基础(第10章 产品市场与货币市场的一般均衡)
六、IS曲线的移动
• 影响IS曲线移动的原因为自发总支出的变动。 •
•
增加自发总支出会引起IS曲线向右平行移动， 减少自发总支出会引起IS曲线向左平行移动。 具体地说，分以下四种情况： 1.投资需求曲线平移，IS曲线会同方向且成倍 移动；Δy=kiΔi 2.储蓄函数变动，IS曲线同向移动且移动量成 倍数；Δy=ksΔs 3.增加政府购买性支出，IS曲线向右平移；
二、储蓄函数
• 储蓄函数是指储蓄与收入之间的依存关系,
储蓄函数的表达公式是： • s = f（y）
三、IS曲线的推导
• (一)通过函数式推导 • 按照消费与投资分析法的均衡条件，我
们可以得到： • Y=C(Y)+I(r)= a +βY+e-dr • 按照储蓄与投资分析法的均衡条件，我 们也可以得到： • S(Y) =I(r)- a+（1-β）Y= e-dr
第1节 投资函数
• （一） 投资 • 1．经济学中所讲的投资，是指资本的形
成，即社会实际资本的增加，包扩厂房、 设备和存货的增加，新住宅的建筑等， 其中主要是厂房、设备的增加。
投资是一个多元函数，决定投资的因素有
很多，主要的因素有实际利率水平、预期
收益率和投资风险等，预期通货膨胀率和
折旧等也在一定程度上影响投资。
一是交易动机一是交易动机二是谨慎动机或预防性动机二是谨慎动机或预防性动机三是投机动机三是投机动机一货币的交易需求函数一货币的交易需求函数二货币的投机需求函数二货币的投机需求函数三货币的需求函数三货币的需求函数四货币需求曲线四货币需求曲线五货币供求均衡和均衡利率的决定五货币供求均衡和均衡利率的决定由于货币供给量是一个国家或中央银行来由于货币供给量是一个国家或中央银行来调节的因而是一个外生变量其多少与利率调节的因而是一个外生变量其多少与利率无关因此货币供给曲线是一条垂直于横轴无关因此货币供给曲线是一条垂直于横轴的直线
高等数学(第五版)10-6高斯公式
DxyD xyFra bibliotekD xy
若 不是 XY型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个 XY–型区域, 在辅助面 正反两侧面积分正负抵消, 故上式仍成立 . 同理
P P ( x, y, z )dydz x dv, Q Q( x, y, z )dzdx y dv ,
A ndS Pdydz Qdzdx Rdxdy
称为向量场 A( x , y , z ) 穿过曲面Σ 向着指定侧的通量.
P Q R 而 叫做向量场A 的散度，记作 A. div x y z
高斯公式现在可写成： A ndS divAdv .
2 2 2
( x
解: 根据两类曲面积分的联系，
( x 2 cos y 2 cos z 2 cos )dS
x 2dydz y 2dzdx z 2dxdy
曲面不是封闭曲面, 为利用高斯公式 z
z h ( x 2 y 2 h2 ) 补充 1 :
1 : z z1 ( x , y )
{ R[ x , y , z2 ( x , y )] R[ x , y, z1 ( x , y )]}dxdy.
R （把R( x , y , z )看作z的函数 [ dz ]dxdy z1 ( x , y ) z 用牛顿 莱布尼兹公式） D xy R dxdydz . z
高斯(1777 – 1855)
德国数学家、天文学家和物理学家,
是与阿基米德、牛顿并列的伟大数学家, 他的数学成就遍及各个领域 , 在数论、
代数、非欧几何、 微分几何、 超几何 级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创 性的贡献, 他还十分重视数学的应用, 在对天文学、大 地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、 曲面论和位势论等. 他在学术上十分谨慎, 恪守这样的
逻辑函数及其简化
A + BC= A + B） A + C） （ （ ⋅
证明： 证明：右式 = A +AC +AB +BC = A（1+C+B）+BC （ ） = A+BC = 左式
A⋅ B + A⋅ B = A
证明： 证明： 左式 = A（B+B） （ ） = A = 右式
A + A⋅ B = A + B
右式=(A+B)(A+A) 右式 = A+AB+AA+AB =A+AB = 左式
A + A⋅B = A
A（1+B） 左式 = A（1+B）=A = 右式
A⋅B+A⋅C+B⋅C= A⋅B+A⋅C
左式= 左式 AB+AC+BC(A+A) = AB+AC+ABC+ABC = AB+AC = 右式
A⋅ B+ A⋅ C = A⋅ B+ A⋅ C
左式= 左式 AB AC =(A+B)(A+C) = AB+ A C + B C(A+A) = AB+ A C =右式 右式
+B
§10-1 逻辑函数的公式化简法 一、基本逻辑关系 3 非 逻辑运算 R us A F 与 或 非
条件 结果
日常事物中往往会有这种情况， 日常事物中往往会有这种情况，条件和
结果是一种相反的关系，这种条件 和 结果 的关系就是 非 逻辑关系 合上为“ 断开为“ 开关 A 合上为“1” 断开为“0” 逻辑变量 亮为“ 不亮为 不亮为“ 灯 F 亮为“1”不亮为“0” 逻辑函数 逻辑关系表达式： 逻辑关系表达式：F=
高等数学各章重要公式及知识点归总
第一章 函数类1. y=x 1，x ≠0 →y=□1，□≠0 （-∞，0）∪（0，+∞）类2.y=2n x ，x ≥0 →y=2n □，□≥0 [0,+∞）2. 若f （x ）过（a ，b ），f -1（x ）过（b ，a ）3. f （x ）和f -1（x ）的图像关于y=x 对称4.Sinx sin[arcsinx]=x →arcsinx arcsin[sinx]=xEg.f[f-1(3)]=3基本初等函数幂函数：y=x u，u取任意的实数共同点（1，1）偶函数：图像关于y轴对称y=x2指数函数（变化最快）：y=a x，a＞0且a≠12共同点（0，1）共同点（1，0）y=e x反函数是y=log e x=lnxsinx ：ππ单调增区间：z k k π2πk π2π-∈++），（cotx:→1.奇函数：sinx，tanx，cotx原点对称偶函数：cosx y=x对称2.有界函数：sinx，cosx 有界是根据值域定的3.周期函数：sinx，cosx→T=2πtanx，cotx→T=πtanx·cotx=1 sin0=0Sin2x=2sinxcosxCos2x=cos2x-sin2x=2cos2x-1=1-2sin2x2.特殊角度→函数值反三角函数：arcsinx，arccosx，arctanx，arccotx arcsinx:arccox:arctanx：arccotx:arctanx，arccotx 2234πarctan3=3π定义域： -1≤x≤1复合函数：y=f（u),u=g（x）， y=f[g(x)] Z⊂D 复合1.y=u2，u=sinx→y=sin2x2.y=u3，u=cosv，v=2x+3→y=cos3（2x+3）条件：3.y=arccosu，u=x2+3→y=arccos（x2+3）×初等函数：由基本的初等函数经过有限次的四则运算及复合得到的函数 复合函数的分解：1.由内到外，分解的每一步必须为基本初等型 2.遇到四则运算或基本初等型则停止 x 的最大整数称为x 的整数部分，记作：[x] [e]=2 [π]=3x-1＜[x]≤x x=t 2+2→y 与xy=3t引入参数，导致y 与x 有联系幂指函数：y=u （x ）v （x ）→1.lny=lnu （x ）v （x ）=v （x ）lnu （x ）2.）（）（）（）（x lnu x v x lnu e ey x v ==，恒等变形函数的性质：必须在所给的定义域内单调性，有界性，周期性，奇偶性1.常见的有界函数：sinx，cosx，arcsinx，arccosx，arctanx，arccotx2.有界函数的运算：有界+有界=有界有界-有界=有界有界×有界=有界无穷大量±有界一定＞0+∞+有界=+∞－∞+有界=-∞周期函数：sinx→T=2πcosx→T=2πtanx→T=πcotx→T=π奇偶性：1.偶函数：图像关于y轴对称，f（x0）=f（-x0）2.奇函数：图像关于原点对称，f（x0）=-f（-x0）常见的奇函数：sinx，tanx，cotx，arcsinx，arctanx，x n（n为奇数）常见的偶函数：cosx，x n（n为偶数），|x|常熟C C,C≠0→偶函数0，可奇可偶奇偶运算规则：偶偶：+ - ×÷是偶函数→x2，1-x2，x2（1-x）2，1+x2，，cosx1=secx奇奇：+ - 是奇函数x+x3×÷是偶函数x×x=x2x·sinx sin4x=sinx·sinx·sinx·sinx 1+x21+x2 1-x2奇偶：×÷是奇函数x×x2=x3+ - 可奇，可偶，非奇非偶极限等差数列： 1，2，3，4，……，n ，…… 公差d=1，通项x n =n=1+（n-1）×1通项x n =x 1+（n-1）d →等差数列：首项x 1，公差d前n 项和，（求和公式）：2nxn +x1）（等比数列：2，22，23，24，……，2n 公比q=2，x n =2n =2·2n-1 1k =4.1k z =∞k 3=13+23+33+……+n 3=]2n 1n [）（+ 2 5.1n 1-n 131-2121-111n n 12?11?11k k 1z n 1k ++⋯⋯++=++⋯⋯++=+=）（）（=1n 1-1+ =1n n + 数列极限的定义：若不存在常数a ，则极限不存在，或x n 发散几何含义：当n>N 时，所有的点x n 都落在(a-ε，a+ε)内，只有有限个（至多只有N 个）在其外数列的性质：极限存在的充要条件：左极限=右极限1.唯一性2.有界性：|x n -a|＜ξ3.保号性：∀ξ＞0，∃n ＞N ，使得|x n -a|＜ξ 若a ＞0，n ＞N 时，x n ＞0 若a ＜0，n ＞N 时，x n ＜0 去心领域：只考虑点a 邻近的点，不考虑点a ，即考虑点集（a-δ，a ）∪（a ，a+δ），称这个点集为点a 的去心邻域函数的极限性质：1.函数极限的唯一性：若A =∞→→）（x f lim x x0x ，则极限必唯一2.函数极限的局部有界性3.函数极限的局部保号性：若A =→）（x f lim x0xA ＞0，0＜|x-x 0|＜δ，f （x ）＞0A ＜0，0＜|x-x 0|＜δ，f （x ）＜0无穷小（无穷小量）与无穷大常数的极限永远是本身关系：1.∞=→）（x f lim x0x →0x f 1limx0x =→）（互为倒数关系2.0x f 0x f lim x0x ≠=→）（且）（→∞=→）（x f 1limx0x01=∞ ∞=01总结：极限不存在的三种情形 1.limf （x ）=∞ 2.左极限≠右极限3.没有确定的函数值极限值区间内波动]1,1[sinx lim x -=∞→方法一：000=⨯=⨯有界）无穷小量（即无穷小量有界函数 方法二:四则运算：（极限存在，则可以拆） 1.lim[f （x ）±g （x ）]=limf （x ）±limg （x ）=A ±B 2.lim[f （x ）·g （x ）]=limf （x ）·limg （x ）=A ·B 3.）（）（）（）（）（0x lim g x lim f x g x f lim≠==B BA 4.limC ·f （x ）=C ·limf （x ）=C ·A C 是常数 5.lim[f(x)]n =limf （x ）·limf （x ）……=A n总结：x →x 0时，x 0在初等函数定义域内，可直接将值代入求极限 方法三：消0因子法（0）方法四：抓大头思想（∞∞） 方法五：利用分子有理化求极限 方法六：先求和再求极限 方法七：先求积再求极限方法八：利用夹逼准则求极限（找两边） 极限存在准则：1.夹逼准则（1）x n ≤y n ≤z n ，且a zn lim a xn lim n n ==∞→∞→，→a yn lim n =∞→→ 2.□→00·∞→∞⨯=⨯→001000 →01⨯∞=∞⨯∞→∞∞②e x 1limx1x =+→）（ ①∞1 e x11limxx =+∞→）（ ②1+形式→e □1lim 0□□1=+→时）（e n 11lim nn =+∞→）（ ③互为倒数总结：若今后遇到∞1型①若)()](1[lim x g x f + 为∞1，则原式=）（）（x g x limf e②若）（x g )]([lim x f 为∞1，则原式=）（x g ]1)([lim e ⨯-x f方法十：利用等价无穷小求极限 → 无穷小的比较→型→0，∞，c （c ≠0）注意1.因子：只有乘除关系，等价必须是因子 2.非0因子直接代入方法十一：利用左右极限求极限左极限：0-0x x x x x f lim -0＜），（→ 右极限：+→+00x x x x x f lim 0＜），（极限存在的充要条件：若A A =→→=+→→→）（）（）（x f lim x f lim x f lim 0-0x x x x x x左极限=右极限极限不存在：1.limf （x ）=∞2.左极限≠右极限3.没有确定的函数值极限值区间内波动]1,1[sinx lim x -=∞→注意：分段函数分界点要分左右极限连续与间断→极限的应用设f （x ）在x 0的邻域内又定义，如果）（）（0x x x f x f lim 0=→，则称f （x ）在x 0处连续。
Excel中公式与函数的应用教案设计参考
EXCEL中公式与函数的应用教案设计参考第一章：Excel公式与函数概述1.1 教学目标让学生了解Excel公式与函数的基本概念。
让学生掌握公式的输入和函数的调用方法。
1.2 教学内容公式的概念和作用函数的概念和作用公式的输入与编辑函数的输入与编辑1.3 教学方法讲解法：讲解公式的概念和作用，函数的概念和作用。
演示法：演示公式的输入与编辑，函数的输入与编辑。
1.4 教学步骤1. 讲解公式的概念和作用。
2. 讲解函数的概念和作用。
3. 演示公式的输入与编辑。
4. 演示函数的输入与编辑。
5. 练习：让学生在Excel中输入公式和函数，并观察结果。
第二章：常用数学函数2.1 教学目标让学生掌握Excel中常用的数学函数。
2.2 教学内容SUM函数：求和AVERAGE函数：平均值COUNT函数：计数MAX函数：最大值MIN函数：最小值2.3 教学方法讲解法：讲解各个函数的功能。
演示法：演示各个函数的使用方法。
2.4 教学步骤1. 讲解SUM函数：求和。
2. 讲解AVERAGE函数：平均值。
3. 讲解COUNT函数：计数。
4. 讲解MAX函数：最大值。
5. 讲解MIN函数：最小值。
6. 演示各个函数的使用方法。
7. 练习：让学生在Excel中使用这些函数，并观察结果。
第三章：常用日期与时间函数3.1 教学目标让学生掌握Excel中常用的日期与时间函数。
3.2 教学内容TEXT函数：文本TIME函数：时间TODAY函数：今天的日期NOW函数：当前的时间3.3 教学方法讲解法：讲解各个函数的功能。
演示法：演示各个函数的使用方法。
3.4 教学步骤1. 讲解TEXT函数：文本。
2. 讲解DATE函数：日期。
3. 讲解TIME函数：时间。
4. 讲解TODAY函数：今天的日期。
5. 讲解NOW函数：当前的时间。
6. 演示各个函数的使用方法。
7. 练习：让学生在Excel中使用这些函数，并观察结果。
第四章：常用逻辑函数4.1 教学目标让学生掌握Excel中常用的逻辑函数。
《物理化学教学》第十章 界面现象
由于 dn
2
M2 r＝
Vm r
4 r 2(dr ) / M
——Kelvin公式
由Kelvin公式可知： 1) r 越小，pr 越大;
2) p凸> p平> p凹
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23
3. 亚稳态及新相生成
(1) 过饱和蒸气
在t0温度下缓慢提高蒸 气的压力 (如在气缸内缓慢 压缩)至A点，蒸气对通常 液体已达到饱和状态p0， 但对微小液滴却未达到饱 和状态，所以蒸气在A点 不能凝结出微小液滴。要 继续提高蒸气的压力至B 点，达到小液滴的饱和蒸 气压p 时，才可能凝结出 微小液滴。
22
饱和蒸气压与液滴曲率半径关系的推导：
dn的微量液体转移到小液滴表面 小液滴面积A：4r2 4(r+dr)2
面积的增量：dA = 8rdr
dG = dA= 8rdr
又：dn液体由p pr：
所以有 (dn)RT ln pr p
可导出：
RT
ln
pr p
dG = (dn)RTln(pr/p)
8 rdr
合力对凸液面下液体造成额外压力。将凹
液面一侧压力以p内表示，凸液面一侧压力 用p外表示，附加压力
Δp = p内－p外
整理ppt
13
球形液滴(凸液面)，附加压力为： p p内 p外 pl pg
液体中的气泡(凹液面)，附加压力: p p内 p外 pg pl
这样定义的p总是一个正值，而力的方向指向凹面曲率半 径中心。
这种在正常相平衡条件下应该凝结而未凝结的蒸气，
称为过饱和蒸气。
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(2) 过热液体
液体内部产生气泡所需压力：
pi = p大+ p静+Δp 由此所需的温度： Ti ＞T正常 因此很容易产生暴沸。
高中数学必修 知识点归纳及公式大全
必修1数学知识点集合间的基本运算1、一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.记作：BA .2、一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.记作：BA子集：对任意x A，都有x B，则称A是B的子集。
记作A B真子集：若A是B的子集，且在B中至少存在一个元素不属于A，则A是B的真子集，记作AB 集合相等：若：,A B B A,则A B自然数集：N 正整数集：*N整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R奇偶性1、 x fxf，那么就称函数 x f为偶函数.偶函数图象关于y轴对称.2、 x fxf，那么就称函数 x f为奇函数.奇函数图象关于原点对称.第二章、基本初等函数（Ⅰ）§2.1.1、指数与指数幂的运算1、一般地，如果ax n ，那么x叫做a的n次方根。
其中Nnn,1.2、当n为奇数时，aa n n ；当n为偶数时，aa n n .⑴m nmnaa 1,,,0*mNnma；⑵ 01naann；⑴ Qsraaaa s rsr,,0；⑵ Qsraaa rssr,,0⑶ Qrbabaab r rr,0,0. §2.1.2、指数函数及其性质1、记住图象： 1,0aaay x复合函数的单调性: 同增异减三、二次函数y = ax2 +bx + c（0a ）的性质1、顶点坐标公式：abacab44,22，对称轴：abx2，最大（小）值：abac4422.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式2()(0)f x ax bx c a; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a;(3)两根式12()()()(0)f x a x x x x a.§2.2.1、对数与对数运算1、xNNaaxlog；2、aa N alog.3、01loga，1logaa.4、当0,0,1,0NMaa时：⑴ N M MN a a alog log log ；⑵N M N M a a a log log log；⑶Mn Ma na log log .换底公式：ab bc c alog log log0,1,0,1,0 b c c a a .;a b b a log 1log 1,0,1,0 b b a a .记住图象：1,0log a a x y a§2.3、幂函数1、几种幂函数的图象：1、幂的运算法则：（1）a m • a n = a m + n ，（2）nm nmaa a ，（3）( a m ) n = a m n （4）( ab ) n = a n • b n（5） n n n b a b a （6）a 0 = 1 ( a ≠0)（7）n na a 1 （8）m n m na a （9）m n m naa 1必修2数学知识点⑴圆柱侧面积；l r S 2侧面⑵圆锥侧面积：l r S 侧面⑶圆台侧面积：l R l r S 侧面⑷体积公式：h S V 柱体；h S V31锥体；h S S S S V 下下上上台体 31⑸球的表面积和体积：32344R V R S 球球，.第三章：直线与方程1、倾斜角与斜率：1212tan x x y y k2、直线方程：⑴点斜式： 00x x k y y ⑵斜截式：b kx y⑶两点式：121121x x x x y y y y⑷一般式：0 C By Ax 3、对于直线：222111:,:b x k y l b x k y l 有：⑴ 212121//b b k k l l ；⑵1l 和2l 相交12k k⑶1l 和2l 重合 2121b b k k ；⑷12121 k k l l . 4、对于直线：:,0:22221111 C y B x A l C y B x A l 有：⑴1221122121//C B C B B A B A l l ；⑵1l 和2l 相交1221B A B A ；⑶1l 和2l 重合 12211221C B C B B A B A ；⑷0212121 B B A A l l . 5、两点间距离公式：21221221y y x x P P6、点到直线距离公式：2200BA CBy Ax d第四章：圆与方程1、圆的方程：⑴标准方程： 222r b y a x⑵一般方程：022F Ey Dx y x .2、两圆位置关系：21O O d ⑴外离：r R d ；⑵外切：r R d ；⑶相交：r R d r R ； ⑷内切：r R d ； ⑸内含：r R d .3、空间中两点间距离公式：21221221221z z y y x x P P必修4数学知识点第一章、三角函数 §1.1.1、任意角1、 正角、负角、零角、象限角的概念.2、 与角 终边相同的角的集合：Z k k ,2 .§1.1.2、弧度制1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度2、 rl. 3、弧长公式：R Rn l180. 4、扇形面积公式：lR R n S 213602. §1.2.1、任意角的三角函数1、 设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 y x P ,，那么：2、 设点 00,y x A 为角 终边上任意一点，那么：（设2020y x r ）r y 0sin，r x 0cos ，00tan x y. 3、 sin ， cos ， tan 在四个象限的符号和三角函数线的画法. 4、 诱导公式一：.tan 2tan ,cos 2cos ,sin 2sin k k k （其中：Z k ）§1.2.2、同角三角函数的基本关系式 1、 平方关系：1cos sin22.2、 商数关系：cos sin tan .§1.3、三角函数的诱导公式 1、 诱导公式二：.tan tan ,cos cos ,sin sin2、诱导公式三：.tan tan ,cos cos ,sin sin3、诱导公式四：.tan tan ,cos cos ,sin sin4、诱导公式五：.sin 2cos ,cos 2sin5、诱导公式六：.sin 2cos ,cos 2sin§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1、 sin sin cos cos cos2、 sin cos cos sin sin3、 sin cos cos sin sin4、tan tan 1tan tan tan. 5、tan tan 1tan tan tan .§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、cos sin 22sin ，变形： 2sin cos sin 21 .2、22sin cos 2cos 1cos 222sin 21 ，变形1：22cos 1cos 2，变形2：22cos 1sin 2.3、2tan 1tan 22tan .必修5数学知识点函数正弦函数余弦函数正切函数图象定义域RR{x| x ≠2+k π,k ∈Z} 值域 [-1,1] [-1,1] R 周期性 2π 2π π奇偶性奇函数偶函数 奇函数单调性增区间[-2 +2k π,2+2k π] 减区间[2 +2k π,23 +2k π]增区间[-π+2k π, 2k π] 减区间[2k π,π+2k π]( k ∈Z )增区间 (-2 +k π,2+k π) ( k ∈Z )对称轴 x =2+ k π( k ∈Z ) x = k π ( k ∈Z ) 无对称中心 ( k π,0 ) ( k ∈Z )(2+ k π,0 )( k ∈Z ) ( k2,0 ) ( k ∈Z )二、平面向量1、向量的模计算公式：（1）向量法：|a | =2a a a；（2）坐标法：设a =（x ，y ），则|a | =22y x2、单位向量的计算公式：（1）与向量a =（x ，y ）同向的单位向量是2222y x y,y x x ； （2）与向量a =（x ，y ）反向的单位向量是2222y x y,y x x； 3、平行向量规定：零向量与任一向量平行。
通过Excel编写复杂的公式和函数
通过Excel编写复杂的公式和函数第一章：Excel函数的基础知识在Excel中编写复杂的公式和函数，首先需要掌握一些基础知识。
Excel是一款强大的电子表格软件，提供了许多内置函数来处理数据。
函数是一种预定义的公式，可以用于执行特定的计算或操作。
了解常用的Excel函数，对于编写复杂的公式非常重要。
1.1 常用的数学函数Excel提供了许多数学函数，可以进行基本的数学运算，例如加减乘除、取整、求幂等。
常见的数学函数包括SUM、AVERAGE、MAX、MIN、ROUND等。
1.2 逻辑函数逻辑函数在Excel中被广泛使用，可以帮助我们根据条件进行判断和计算。
常见的逻辑函数包括IF、AND、OR、NOT等。
IF函数可以根据给定的条件返回不同的值，而AND函数和OR函数则可以根据多个条件进行判断。
NOT函数可以返回条件的反值。
1.3 文本函数文本函数可以帮助我们对文本进行处理和操作。
例如，可以使用CONCATENATE函数将多个单元格的内容合并成一个字符串，使用LEFT和RIGHT函数截取部分字符串，使用LEN函数计算字符串的长度等。
1.4 日期和时间函数在处理日期和时间数据时，Excel提供了一些特殊的函数。
例如，可以使用TODAY函数获取当前日期，使用NOW函数获取当前日期和时间，使用DATE函数构造日期，使用YEAR、MONTH 和DAY函数获取日期的年、月、日等。
第二章：复杂公式的编写技巧编写复杂的公式需要一些技巧和方法，下面介绍几个常用的技巧。
2.1 使用括号使用括号可以改变公式中的运算顺序，使得公式更加清晰和易读。
例如，将需要先计算的部分用括号括起来，可以确保先计算括号中的内容。
2.2 使用命名区域在编写复杂的公式时，使用命名区域可以使公式更易读。
通过给数据范围或单元格取一个有意义的名称，可以在公式中使用该名称代替范围或单元格的引用。
2.3 使用绝对引用和相对引用在编写公式时，选择合适的引用类型很重要。
Excel 2016数据处理与分析 第10章 模拟分析与规划求解
【例10-4】某公司计划贷款1000万元，年限为 10年，采取每月等额偿还本息的方法归还贷款本 金并支付利息，目前的年利率为4％，每月的偿 还额为101245.14元。但根据宏观经济的发展情 况，国家会通过调整利率对经济发展进行宏观调 控。投资人为了更好地进行决策，需要全面了解 利率变动对偿贷能力的影响。
【例10-5】基于例10-4，除了考虑年利率的变化， 还需要同时分析不同贷款年限对偿还额的影响。
① 选择模拟运算表存放区域。本例选择A7:M13单元格区域， 其中B7:M7单元格区域列出年利率的所有取值，分别为3.25 ％、3.50％、…、6.00％；A8:A13单元格区域列出贷款年 限的所有取值，分别为5、10、…、30。在A7单元格输入计 算每月偿还额的计算公式“=PMT(B4/12,B3*12,B2)” 。
【例10-2】贷款问题的单变量求解。
某人买房计划贷款100万元，年限为10年，采取每月等额偿 还本息的方法归还贷款本金并支付利息，按目前银行初步提 出的年利率5.5%的方案，利用财务函数PMT可以计算出每 月需支付￥-10852.63。但目前每月可用于还贷的资金只有 8000元。因此要确定在年利率和贷款年限不变的条件下，可 以申请贷款的最大额度。
10.2.2 双变量模拟运算表
单变量模拟运算表只能解决一个变量值变化对公式 计算结果的影响，如果想查看两个变量值变化对公 式计算结果的影响就需要用到双变量模拟运算表。
【例10-5】基于例10-4，除了考虑年利率的变 化，还需要同时分析不同贷款年限对偿还额的影 响。
分析：这里涉及到两个变量，需要使用双变量模拟运算表 进行计算。
【例10-1】简单函数Y=2X+10的单变量求解。
初中信息技术大连理工版八年级上册第10课爱心图书义卖—公式与函数教学设计
初中信息技术大连理工版八年级上册第10课爱心图书义卖
—公式与函数教学设计
【名师授课教案】
1教学目标
1、知识与技能:
(1)了解在WPS表格中进行数据计算的两种方法:公式与函数;
(2)知道计算机中数学运算符的表示方式及优先级;
(3)学会用两种方法插入函数,利用工具栏和菜单插入函数;
(4)掌握几种基本函数的用法;
(5)能根据实际情况选用公式或函数进行数据计算。
2、过程与方法:
(1)通过对“爱心图书义卖价格表”进行公式和函数的计算,掌握利用WPS表格进行数据计算的方法。
(2)通过对“成绩表”、“计算机成绩表”、“今天我当家”的数据计算,进一步内化知识,掌握利用电子表格进行数据计算在实际生活中应用的方法。
3、情感态度与价值观:
(1)培养学生自主学习,解决问题的能力。
(2)培养学生与他人合作的意识与习惯。
(3)培养学生利用WPS表格解决日常生活问题的能力。
2学情分析
在本单元前三课的学习中,学生已经掌握WPS表格的编辑、数据录入等操作。
本课中数据计算的功能非常强大和高效,并结合生活实例,让学生感受到信息技术在实际生活中的应用。
八年级学生个性普遍突出,思维方式比较活跃,已经具备了一定的自主学习能力和合作探究能力,使本课运用自主学习和合作探究学习方法成为可能。
3重点难点
教学重点:。
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•
•
定位数组公式
1-9
创建计算多个结果的数组公式
• 使用数组公式能够同时计算出多个结果，这些结果可以分 别放置在不同的单元格中。使用这种计算多个结果的数组 公式，能够方便计算，提高公式输入效率。
查找和替换数据 查找和替换格式
• •
1-10
函数应用实例
• 为了实现工作表中复杂的数字和文本处理，Excel提供了 200多个内置函数供用户选择使用。这些函数分为财务函 数、统计函数、文本函数、信息函数以及数学和三角函数 等类 。
1-12
第10章 公式和函数
杨章伟
课程内容安排
•
• • • •
使用公式
审核公式 使用函数 使用数组公式 函数应用实例
•
1-2
小结
使用公式
• 电子表格除了需要能够进行表格的创建和编辑之外，还需要具 有数据的计算能力。Excel 2013允许用户使用公式对数据进行 处理。所谓的公式就是在工作表中对数据进行分析和计算的等 式，使用公式能够对数据进行加减和乘除运算。 输入公式 ：要在工作表中使用公式，首先需要在单元格中输入 公式。公式的输入类似于数据的输入，在单元格中输入公式时 以等号（＝）作为开始，然后输入公式表达式。 复制公式 ：在工作表中可以将公式复制到其他的单元格中。在 工作表中复制单元格的方法一般有两种，在近距离复制公式时 可以使用鼠标直接拖动。如果需要远距离复制公式，可以使用 功能区中的命令按钮来实现操作。
获取某一名次的数值
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提取身份证号中的个人信息
计算资产折旧值
Hale Waihona Puke 1-11小结本章介绍了Excel 2013的公式和函数的使用方法，使用户能 够熟练地应用公式和函数进行数据处理和运算。 使用Excel 2013离不开数据处理，Excel 2013具有强大的 数据计算功能，可以通过公式和函数来实现对数据的计 算和分析。
•
•
1-3
使用公式
• 命名公式 ：在Excel工作表中，可以对经常使用的或比较特殊 的公式进行命名，这样在以后需要使用该公式的场合，可以直 接使用其名称来引用该公式。
1-4
审核公式
• 对于大型的表格来说，往往会应用大量的公式和函数进行 数据的处理，Excel 2013提供了多种工具来帮助用户快速 查找和修改公式，同时实现对公式错误的修订。 使用监视窗口 检查公式错误 使用公式求值：对于复杂的公式，有时需要了解其每一步 的计算结果，以便于对创建的公式进行分析和排错。Excel 2013提供了“公式求值”对话框，可以查看公式的计算顺 序和每一步的计算结果。
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追踪单元格
• 在Excel 2013工作表中，用户能够使用蓝色的箭头图形化显 示单元格间的从属关系，也可对公式中单元格的引用进行追 踪。这样，能够直观地查看工作表中公式的引用情况。
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使用函数
• 函数实际上是一种比较复杂的公式，是公式的概括，用 来对单元格进行计算。Excel包含了各式各样的函数，这 些函数可以在工作表中直接使用以实现某种功能。直接 使用函数可以避免用户为了完成某种功能而花费大量的 时间来编写并调试相关的公式，从而能够提高工作效率 。因此，函数实际是内置的公式，其使用具有一定的语 法。 手动插入 使用函数向导插入函数 使用函数栏输入 使用公式记忆输入功能
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自动计算
• 在对数据进行处理时，比较常见的操作是对数据进行求和 、求平均值以及求最大最小值的计算。Excel 2013提供了 自动计算功能来完成这些计算操作，用户在进行这些计算 时无需输入参数即可获得需要的结果。
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使用数组公式
• 在使用函数进行数据计算时，有时计算的对象是某个计算 结果，此时则必须使用数组公式来进行处理。数组公式是 一种具有多重数值的公式，与单值公式的不同之处在于其 可以产生一个以上的计算结果。