哈尔滨工程大学 哈工大 1996年运筹学 考研真题及答案解析
考研哈工大试题及答案
考研哈工大试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个选项是哈尔滨工业大学的简称？A. 哈工大B. 哈师大C. 哈理工D. 哈工程答案：A2. 哈尔滨工业大学位于哪个省份？A. 黑龙江省B. 吉林省C. 辽宁省D. 内蒙古自治区答案：A3. 考研初试中，数学科目满分为多少分？A. 100分B. 150分C. 200分D. 300分答案：B4. 下列哪一项不是考研复试的内容？A. 笔试B. 面试C. 体检D. 体育测试答案：D5. 考研复试通常在初试成绩公布后的多长时间内进行？A. 1个月B. 2个月C. 3个月D. 4个月答案：B二、填空题（每题2分，共10分）1. 考研初试成绩一般由________和________两部分组成。
答案：公共课、专业课2. 考研复试时，考生需要携带的材料包括________、________和准考证等。
答案：身份证、学生证3. 考研复试中，面试环节主要考察考生的________能力和________能力。
答案：专业、沟通4. 考研初试中，英语科目的考试时间为________分钟。
答案：1805. 考研初试成绩公布后，考生可以通过________和________查询成绩。
答案：研招网、学校官网三、简答题（每题10分，共20分）1. 简述考研复试的重要性。
答案：考研复试是选拔研究生的重要环节，它不仅考察考生的专业知识和技能，还考察考生的综合素质和学术潜力。
复试成绩在最终录取中占有重要比重，因此考生需要认真准备，充分展示自己的实力。
2. 描述考研初试和复试的区别。
答案：考研初试主要考察考生的公共课和专业课知识，通常以笔试形式进行。
复试则更注重考生的综合素质和专业能力，包括面试、笔试和体检等环节。
初试成绩是进入复试的门槛，而复试成绩则直接影响最终的录取结果。
四、论述题（每题20分，共40分）1. 论述如何有效准备考研复试。
答案：有效准备考研复试的方法包括：一是提前了解复试流程和要求，二是复习专业知识和技能，三是加强沟通和表达能力训练，四是进行模拟面试练习，五是保持良好的心态和身体状况。
96-05数学一真题
(5)设两个相互பைடு நூலகம்立的随机变量 和 的方差分别为4和2,则随机变量 的方差是
(A)8(B)16 (C)28(D)44
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
(1)计算 其中 为平面曲线 绕 轴旋转一周所成的曲面与平面 所围成的区域.
(2)计算曲线积分 其中 是曲线 从 轴正向往 轴负向看 的方向是顺时针的.
(C)当 时,必有行列式 (D)当 时,必有行列式
(5)设两个相互独立的随机变量 和 分别服从正态分布 和 ,则
(A) (B)
(C) (D)
三、(本题满分6分)
设 是由方程 和 所确定的函数,其中 和 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求
四、(本题满分5分)
求 其中 为正的常数, 为从点 沿曲线 到点 的弧.
(5)设两两相互独立的三事件 和 满足条件:
且已知 则 =_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设 是连续函数 是 的原函数,则
(A)当 是奇函数时 必是偶函数(B)当 是偶函数时 必是奇函数
0.950
0.975
0.990
十五、（本题满分4分）
设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生地成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分.问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?并给出检验过程.
附: 分布表
0.95
0.975
35
1.6896
2.0301
(A)连续,偏导数存在(B)连续,偏导数不存在
1996考研数学一真题及答案解析
1996年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.) (1) 设2lim()8xx x a x a→∞+=-,则a =___________. (2) 设一平面经过原点及点(6,-3,2),且与平面428x y z -+=垂直,则此平面方程为___________.(3) 微分方程22xy y y e '''-+=的通解为___________.(4) 函数ln(u x =+在(1,0,1)A 点处沿A 点指向(3,2,2)B -点方向的方向导数为___________.(5) 设A 是43⨯矩阵,且A 的秩()2r A =,而102020103B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,则()r AB =___________.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 已知2()()x ay dx ydyx y +++为某函数的全微分,则a 等于 ( ) (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 (2) 设()f x 有二阶连续导数,且(0)0f '=,0()lim 1||x f x x →''==,则 ( ) (A) (0)f 是()f x 的极大值 (B) (0)f 是()f x 的极小值(C) (0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点(D) (0)f 不是()f x 的极值,(0,(0))f 也不是曲线()y f x =的拐点(3) 设0(1,2,)n a n >=,且1n n a ∞=∑收敛,常数(0,)2πλ∈,则级数21(1)(tan )n n n n a n λ∞=-∑( )(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 收敛性与λ有关 (4) 设()f x 有连续的导数,(0)0f =,(0)0f '≠,220()()()xF x x t f t dt =-⎰,且当0x →时,()F x '与kx 是同阶无穷小,则k 等于 ( )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(5) 四阶行列式112233440000000a b a b b a b a 的值等于 ( ) (A) 12341234a a a a b b b b - (B) 12341234a a a a b b b b +(C) 12123434()()a a b b a a b b -- (D) 23231414()()a a b b a a b b -- 三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.)(1) 求心形线(1cos )r a θ=+的全长,其中0a >是常数. (2) 设110x =,11,2,)n x n +==,试证数列{}n x 极限存在,并求此极限.四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分.) (1) 计算曲面积分(2)Sx z dydz zdxdy ++⎰⎰,其中S 为有向曲面22(01)z xy z =+≤≤,其法向量与z 轴正向的夹角为锐角.(2) 设变换2,u x y u x ay=-⎧⎨=+⎩可把方程2222260z z z x x y y ∂∂∂+-=∂∂∂∂化简为20zu v ∂=∂∂,求常数a ,其中(,)z z x y =有二阶连续的偏导数. 五、(本题满分7分)求级数221(1)2nn n ∞=-∑的和. 六、(本题满分7分)设对任意0x >,曲线()y f x =上点(,())x f x 处的切线在y 轴上的截距等于01()xf t dt x⎰,求()f x 的一般表达式. 七、(本题满分8分)设()f x 在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件|()|f x a ≤,|()|f x b ''≤,其中,a b 都是非负常数,c 是(0,1)内任一点,证明|()|22b fc a '≤+. 八、(本题满分6分)设TA E ξξ=-,其中E 是n 阶单位矩阵,ξ是n 维非零列向量,Tξ是ξ的转置,证明：(1) 2A A =的充要条件是1Tξξ=；(2) 当1Tξξ=时,A 是不可逆矩阵.九、(本题满分8分)已知二次型222123123121323(,,)55266f x x x x x cx x x x x x x =++-+-的秩为2.(1) 求参数c 及此二次型对应矩阵的特征值； (2) 指出方程123(,,)1f x x x =表示何种二次曲面. 十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.)(1) 设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为1%和 2%,现从由A 和B 的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属A 生产的概率是__________. (2) 设ξ、η是两个相互独立且均服从正态分布2)N 的随机变量,则随机变量 ξη-的数学期望()E ξη-=__________.十一、(本题满分6分.)设ξ、η是相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知ξ的分布律为{}13P i ξ==, i =1,2,3,又设max(,)X ξη=,min(,)Y ξη=.(1) 写出二维随机变量(,)X Y 的分布律：(2) 求随机变量X 的数学期望()E X .1996年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.) (1)【答案】ln 2【解析】这是1∞型未定式求极限.方法一： 3323lim()lim(1)x a axx a xax x x a a x a x a-⋅-→∞→∞+=+-- ,令3at x a=-,则当x →∞时,0t →,则 1303lim(1)lim(1)x aa t x t a t e x a -→∞→+=+=-, 即 33lim lim 312lim()x x ax ax a x a x x a e e e x a→∞→∞-→∞+===-. 由题设有38ae=,得1ln8ln 23a ==.方法二：2223()2221lim 112lim lim lim 11lim 1x xa xaxa x a x x a x x x a a x a a a x a e x x x e a x a e a a x x x ⋅→∞-→∞→∞→∞-⋅-→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪+⎛⎫⎝⎭⎝⎭===== ⎪ ⎪-⎝⎭⎛⎫ ⎪-⎛⎫- ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭, 由题设有38ae=,得1ln8ln 23a ==.(2)【答案】2230x y z +-=【解析】方法一：所求平面过原点O 与0(6,3,2)M -,其法向量{}06,3,2n OM ⊥=-；平面垂直于已知平面428x y z -+=,它们的法向量也互相垂直：{}04,1,2n n ⊥=-；由此, 00//632446412ij kn OM n i j k ⨯=-=--+-.取223n i j k =+-,则所求的平面方程为2230x y z +-=.方法二：所求平面即为过原点,与两个不共线的向量(一个是从原点到点0(6,3,2)M -的向量{}06,3,2OM =-,另一是平面428x y z -+=的法向量{}04,1,2n =-)平行的平面,即 6320412xy z-=-,即 2230x y z +-=.(3)【答案】12(cos sin 1)xe c x c x ++【解析】微分方程22xy y y e '''-+=所对应的齐次微分方程的特征方程为2220r r -+=,解之得1,21r i =±.故对应齐次微分方程的解为12(cos sin )x y e C x C x =+.由于非齐次项,1xe αα=不是特征根,设所给非齐次方程的特解为*()xy x ae =,代入22x y y y e '''-+=得1a =(也不难直接看出*()x y x e =),故所求通解为1212(cos sin )(cos sin 1)x x x y e C x C x e e C x C x =++=++.【相关知识点】① 二阶线性非齐次方程解的结构：设*()y x 是二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解.()Y x 是与之对应的齐次方程 ()()0y P x y Q x y '''++=的通解,则*()()y Y x y x =+是非齐次方程的通解.② 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解()Y x ,可用特征方程法求解：即()()0y P x y Q x y '''++=中的()P x 、()Q x 均是常数,方程变为0y py qy '''++=.其特征方程写为20r pr q ++=,在复数域内解出两个特征根12,r r ； 分三种情况：(1) 两个不相等的实数根12,r r ,则通解为1212;rx r x y C eC e =+(2) 两个相等的实数根12r r =,则通解为()112;rxy C C x e =+(3) 一对共轭复根1,2r i αβ=±,则通解为()12cos sin .xy e C x C x αββ=+其中12,C C 为常数.③ 对于求解二阶线性非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解*()y x ,可用待定系数法,有结论如下：如果()(),x m f x P x e λ=则二阶常系数线性非齐次方程具有形如*()()k xm y x x Q x e λ=的特解,其中()m Q x 是与()m P x 相同次数的多项式,而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.如果()[()cos ()sin ]xl n f x e P x x P x x λωω=+,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=的特解可设为*(1)(2)[()cos ()sin ]k x m m y x e R x x R x x λωω=+,其中(1)()m R x 与(2)()m R x 是m 次多项式,{}max ,m l n =,而k 按i λω+(或i λω-)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1. (4)【答案】12【分析】先求方向l 的方向余弦和,,u u ux y z∂∂∂∂∂∂,然后按方向导数的计算公式cos cos cos u u u u l x y zαβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂求出方向导数. 【解析】因为l 与AB 同向,为求l 的方向余弦,将{}{}31,20,212,2,1AB =----=-单位化，即得 {}{}12,2,1cos,cos ,cos 3||AB l AB αβγ==-=. 将函数ln(u x =+分别对,,x y z 求偏导数得12Au x ∂==∂,0Au y∂==∂,12Au z∂==∂, 所以cos cos cos AA A A u u u ulx y z αβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂ 1221110()233232=⨯+⨯-+⨯=. (5)【答案】2【解析】因为10220100103B ==≠-,所以矩阵B 可逆,故()()2r AB r A ==.【相关知识点】()min((),())r AB r A r B ≤.若A 可逆,则1()()()[()]()r AB r B r EB r A AB r AB -≤==≤.从而()()r AB r B =,即可逆矩阵与矩阵相乘不改变矩阵的秩.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)【答案】(D)【解析】由于存在函数(,)u x y ,使得 22()()()x ay dx ydydu x y x y +=+++, 由可微与可偏导的关系,知2()u x ay x x y ∂+=∂+,2()u y y x y ∂=∂+, 分别对,y x 求偏导数,得2243()()2()(2)()()u a x y x ay x y a x ayx y x y x y ∂+-+⋅+--==∂∂++, 232()u yy x x y ∂-=∂∂+. 由于2u y x ∂∂∂与2u x y ∂∂∂连续,所以22u uy x x y∂∂=∂∂∂∂,即33(2)2()()a x ay yx y x y ---=++2a ⇒=, 故应选(D).(2)【答案】(B)【解析】因为()f x 有二阶连续导数,且0()lim10,||x f x x →''=>所以由函数极限的局部保号性可知,在0x =的空心领域内有()0||f x x ''>,即()0f x ''>,所以()f x '为单调递增. 又由(0)0f '=,()f x '在0x =由负变正,由极值的第一充分条件,0x =是()f x 的极小值点,即(0)f 是()f x 的极小值.应选(B).【相关知识点】极限的局部保号性：设0lim ().x x f x A →=若0A >(或0A <)⇒0,δ∃>当00x x δ<-<时,()0f x >(或()0f x <).(3)【答案】(A) 【解析】若正项级数1nn a∞=∑收敛,则21nn a∞=∑也收敛,且当n →+∞时,有tanlim (tan )limn n n n n nλλλλλ→+∞→+∞=⋅=. 用比较判别法的极限形式,有22tanlim0nn nn a na λλ→+∞=>.因为21n n a ∞=∑收敛,所以2lim tann x n a nλ→+∞也收敛,所以原级数绝对收敛,应选(A).【相关知识点】正项级数比较判别法的极限形式：设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都是正项级数,且lim,nn nv A u →∞=则(1) 当0A <<+∞时,1nn u∞=∑和1nn v∞=∑同时收敛或同时发散；(2) 当0A =时,若1nn u∞=∑收敛,则1nn v∞=∑收敛；若1nn v∞=∑发散,则1nn u∞=∑发散；(3) 当A =+∞时,若1nn v∞=∑收敛,则1nn u∞=∑收敛；若1nn u∞=∑发散,则1nn v∞=∑发散.(4)【答案】(C)【解析】用洛必达法则.由题可知 220()()()xxF x xf t dt t f t dt =-⎰⎰,对该积分上限函数求导数,得220()2()()()2()x xF x x f t dt x f x x f x x f t dt '=+-=⎰⎰,所以 01002()2()()limlim limxxk kk x x x x f t dtf t dtF x xxx-→→→'==⎰⎰23002()2()limlim (1)(1)(2)k k x x f x f x k x k k x --→→'---洛洛.因为()F x '与kx 是同阶无穷小,且(0)0f '≠,所以302()lim(1)(2)k x f x k k x -→'--为常数,即3k =时有 300()2()limlim (0)0(1)(2)k k x x F x f x f x k k x-→→'''==≠--, 故应选(C).【相关知识点】设在同一个极限过程中,(),()x x αβ为无穷小且存在极限 ()lim()x l x αβ=,(1) 若0,l ≠称(),()x x αβ在该极限过程中为同阶无穷小； (2) 若1,l =称(),()x x αβ在该极限过程中为等价无穷小,记为()()x x αβ；(3) 若0,l =称在该极限过程中()x α是()x β的高阶无穷小,记为()()()x o x αβ=. 若()lim()x x αβ不存在(不为∞),称(),()x x αβ不可比较. (5)【答案】(D)【解析】可直接展开计算,22221414232314143333()()a b a b a a b b a a b b a a b b b a b a =-=--,所以选(D).三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.) (1)【解析】由极坐标系下的弧微分公式得2cos2a a d θθθ==.由于()(1cos )r r a θθ==+以2π为周期,因而θ的范围是[0,2]θπ∈. 又由于()()r r θθ=-,心形线关于极轴对称.由对称性,24cos 8sin 822s ds a d a a πππθθθ⎡⎤====⎢⎥⎣⎦⎰⎰.(2)【解析】用单调有界准则.由题设显然有0n x >,数列{}n x 有下界.证明n x 单调减：用归纳法.214x x ==<；设1n n x x -<,则1n n x x +<=.由此,n x 单调减.由单调有界准则,lim n n x →+∞存在.设lim ,(0)n n x a a →+∞=≥,在恒等式1n x +=两边取极限,即1lim lim n n n x a +→+∞=⇒=解之得3a =(2a =-舍去).【相关知识点】1.单调有界准则：单调有界数列必有极限.2. 收敛数列的保号性推论：如果数列{}n x 从某项起有0n x ≥(或0n x ≤),且lim n n x a →∞=,那么0a ≥(或0a ≤).四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分.)(1)【分析一】见下图所示,S 在xOy 平面与yOz 平面上的投影均易求出,分别为22:1xy D x y +≤；2:11,1yz D y y z -≤≤≤≤,或01,z y ≤≤≤≤ 求S⎰⎰被积函,z =. 这里,213P Q Rx y z∂∂∂++=+=∂∂∂,若用高斯公式求曲面积分I ,则较简单.因S 不是封闭曲面,故要添加辅助曲面.【解析】方法一：均投影到平面xOy 上,则22(2)[(2)()()]xySD zI x z dydz zdxdy x z x y dxdy x∂=++=+-++∂⎰⎰⎰⎰, 其中22z x y =+,22:1xy D x y +≤.把2zx x∂=∂代入,得 2222242()()xyxyxyD D D I x dxdy x x y dxdy x y dxdy =--+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰,由对称性得222()0xyD x x y dxdy +=⎰⎰,22242()xyxyD D x dxdy x y dxdy =+⎰⎰⎰⎰, 所以 22()xyD I x y dxdy =-+⎰⎰. 利用极坐标变换有121340001242I d r dr r ππθπ⎡⎤=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰.方法二：分别投影到yOz 平面与xOy 平面.投影到yOz 平面时S要分为前半部分1:S x =2:S x =(见图1),则12(2)(2)S S SI x z dydz x z dydz zdxdy =++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰.由题设,对1S 法向量与x 轴成钝角,而对2S 法向量与x 轴成锐角.将I 化成二重积分得 或21101.24yzD dz dz ππ===⎰⎰⎰⎰(这里的圆面积的一半.)22()2xyD x y dxdy π+=⎰⎰(同方法一).因此, 4.422I πππ=-⋅+=-方法三：添加辅助面221:1(1)S z x y =+≤,法方向朝下,则11(2)1S S Dx z dydz zdxdy dxdy dxdy π++==-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰,其中D 是1S 在平面xy 的投影区域：221x y +≤.S 与1S 即22z x y =+与1z =围成区域Ω,S 与1S 的法向量指向Ω内部,所以在Ω上满足高斯公式的条件,所以11()3332D z dz dxdy zdz ππ=-=-=-⎰⎰⎰⎰, 其中,()D z 是圆域：22x y z +≤,面积为z π. 因此,133(2)()222S I x z dydz zdxdy ππππ=--++=---=-⎰⎰. (2)【解析】由多元复合函数求导法则,得z z u z v z zx u x v x u v∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂, 2z z u z v z z a y u y v y u v∂∂∂∂∂∂∂=+=-+∂∂∂∂∂∂∂,所以 22222222()()z z z z u z v z v z ux x u x v u x u v x v x v u x ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅+⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 222222z z zu u v v ∂∂∂=++∂∂∂∂, 222222(2)z z z a a u u v v∂∂∂=-+-+∂∂∂∂,代入2222260z z zx x y y∂∂∂+-=∂∂∂∂,并整理得 2222222226(105)(6)0z z z z z a a a x x y y u v v∂∂∂∂∂+-=+++-=∂∂∂∂∂∂∂. 于是,令260a a +-=得3a =或2a =-.2a =-时,1050a +=,故舍去,3a =时,1050a +≠,因此仅当3a =时化简为20zu v∂=∂∂. 【相关知识点】多元复合函数求导法则：若(,)u u x y =和(,)v v x y =在点(,)x y 处偏导数存在,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数[(,),(,)]z f u x y v x y =在点(,)x y 处的偏导数存在,且,z f u f v z f u f v x u x v x y u y v y∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂. 五、(本题满分7分) 【解析】先将级数分解, 令 1221311,22n nn n A A nn ∞∞+====⋅⋅∑∑, 则 12A A A =-.由熟知ln(1)x +幂级数展开式,即11(1)ln(1)(11)n nn x x x n -∞=-+=-<≤∑,得 1121111(1)1111()ln(1)ln 2242424n n n n n A n n -∞∞+==-==--=--=⋅∑∑,因此, 1253ln 284A A A =-=-.六、(本题满分7分)【解析】曲线()y f x =上点(,())x f x 处的切线方程为()()()Y f x f x X x '-=-.令0X =得y 轴上的截距()()Y f x f x x '=-.由题意,01()()()xf t dt f x f x x x' =-⎰. 为消去积分,两边乘以x ,得 20()()()xf t dt xf x f x x ' =-⎰, (*)将恒等式两边对x 求导,得2()()()2()()f x f x xf x xf x x f x ''''=+--,即 ()()0xf x f x '''+=.在(*)式中令0x =得00=自然成立.故不必再加附加条件.就是说()f x 是微分方程0xy y '''+=的通解.下面求解微分方程0xy y '''+=.方法一：()100xy y xy xy C ''''''+=⇒=⇒=, 因为0x >,所以1C y x'=, 两边积分得 12()ln y f x C x C ==+.方法二：令()y P x '=,则y P '''=,解0xP P '+=得1C y P x'==. 再积分得12()ln y f x C x C ==+. 七、(本题满分8分)【解析】由于问题涉及到,f f '与f ''的关系,自然应当利用泰勒公式,而且应在点c 展开：2()()()()()()2!f f x f c f x x c x c ξ'''=+-+-,ξ在c 与x 之间. 分别取0,1x =得20()(0)()()(0)(0)2!f f f c f c c c ξ'''=+-+-,0ξ在c 与0之间, 21()(1)()()(1)(1)2!f f f c f c c c ξ'''=+-+-,1ξ在c 与1之间, 两式相减得 22101(1)(0)()[()(1)()]2!f f f c f c f c ξξ'''''-=+--,于是 22101()(1)(0)[()(1)()]2!f c f f f c f c ξξ'''''=----. 由此 221011()(1)(0)()(1)()2!2!f c f f f c f c ξξ'''''≤++-+2212[(1)]222b a bc c a ≤+-+<+.八、(本题满分6分)【解析】(1)因为TA E ξξ=-,Tξξ为数,Tξξ为n 阶矩阵,所以2()()2()(2)T T T T T T T A E E E E ξξξξξξξξξξξξξξ=--=-+=--,因此, 2(2)(1)0TTTTTA A E E ξξξξξξξξξξ=⇔--=-⇔-= 因为ξ是非零列向量,所以0Tξξ≠,故210,TA A ξξ=⇔-=即1Tξξ=.(2)反证法.当1Tξξ=时,由(1)知2A A =,若A 可逆,则121A A A A A E --===.与已知TA E E ξξ=-≠矛盾,故A 是不可逆矩阵. 九、(本题满分8分)【解析】(1)此二次型对应的矩阵为51315333A c -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭.因为二次型秩 ()()2r f r A ==,由 可得3c =.再由A 的特征多项式 求得二次型矩阵的特征值为0,4,9.(2)因为二次型经正交变换可化为222349y y +,故123(,,)1f x x x =,即2223491y y +=.表示椭圆柱面.【相关知识点】主轴定理：对于任一个n 元二次型12(,,,)T n f x x x x Ax =,存在正交变换x Qy =(Q 为n 阶正交矩阵),使得2221122()T T T n n x Ax y Q AQ y y y y λλλ==+++,其中12,,,n λλλ是实对称矩阵A 的n 个特征值,Q 的n 个列向量12,,,n ααα是A 对应于特征值12,,,n λλλ的标准正交特征向量.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.) (1)【答案】37【解析】设事件C =“抽取的产品是次品”,事件D =“抽取的产品是工厂A 生产的”,则事件D 表示“抽取的产品是工厂B 生产的”,依题意有()0.60,()0.40,(|)0.01,(|)0.02P D P D P C D P C D ====.应用贝叶斯公式可以求得条件概率(|)P D C ：()(|)0.60.013(|)0.60.010.40.027()(|)()(|)P D P C D P D C P D P C D P D P C D ⨯===⨯+⨯+.【相关知识点】贝叶斯公式：设试验E 的样本空间为S .A 为E 的事件,12,,,n B B B 为S 的一个划分,且()0,()0(1,2,,)i P A P B i n >>=,则1()(|)(|),1,2,,.()(|)i i i njjj P B P A B P B A i n P B P A B ===∑ (*)(*)式称为贝叶斯公式. (2)【解析】由于ξ与η相互独立且均服从正态分布2)N ,因此它们的线性函数U ξη=-服从正态分布,且()11122DU D D D ξηξη=-=+=+=, 所以有 (0,1)UN .代入正态分布的概率密度公式,有22()u f u du +∞--∞=⎰.应用随机变量函数的期望公式有 由凑微分法,有222(||)2()2u uE dξη+∞--=--⎰22u+∞-==【相关知识点】对于随机变量X与Y均服从正态分布,则X与Y的线性组合亦服从正态分布.若X与Y相互独立,由数学期望和方差的性质,有()()()E aX bY c aE X bE Y c++=++,22()()()D aX bY c a D X b D Y++=+,其中,,a b c为常数.十一、(本题满分6分.)【解析】易见(,)X Y的可能取值为(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3).依题意{}X Y<=∅,故{}0P X Y<=,即{}{}{}1,21,32,30P X Y P X Y P X Y=========,{}{}{}11,1119P P Pξηξη=======.类似地可以计算出所有ijp的值列于下表中,得到随机变量(,)X Y的联合分布律：(2)将表中各行元素相加求出的边缘分布123135999X⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦,由离散型随机变量数学期望计算公式可得135221239999EX=⋅+⋅+⋅=.【相关知识点】1.离散型随机变量的边缘分布计算公式：二维离散型随机变量(,)X Y 关于X 与Y 的边缘概率分布或边缘分布律分别定义为： 它们分别为联合分布律表格中第i 行与第j 列诸元素之和. 2. 离散型随机变量数学期望计算公式：{}1()nkk k E X xP X x ==⋅=∑.。
哈尔滨工业大学运筹学教案研究型教学题目
1、线性规划 广告组合问题 某铁路线路上的客运产品产品组合问题 线路扩能改造的资金预算问题 城市交通空气污染控制问题 固体废弃物回收问题 投资组合问题 秋季流行服饰与衣料准备 果味酸奶的下料问题 … …
2、运输问题： 同城快递公司的配送问题 某企业在某城市多配送中心的配送问题（必胜客、 肯德基等） 某网上销售企业的全国配送问题 铁路车流径路问题 指定工厂生产产品 选择顾客问题 划分学生入学区域
3、整数规划 航空公司机场代表排班问题； 铁路乘务排班问题； 铁路机车（动车组）交路问题 在个地点分派设备（消防队选址问题） 项目选择问题
4、图论 最大流问题（神华集团的煤炭外运能力） 最短路问题（消防队救援路径预案） 最小支撑树（校园网布设、自来水布设、供暖） 最小费用流（配送中心运输方案） 网络计划技术（毕业求职安排、入学报到安排）
5、排队论 地铁排队问题 银行排队问题 铁路售票窗口排队问题 饭店租用停车位问题 超市收银问题 铁路到发线运用 机场跑道运用
哈工大考研真题答案解析
哈工大考研真题答案解析近年来，考研热持续高涨，越来越多的学生选择报考哈尔滨工业大学。
哈尔滨工业大学（以下称哈工大）是一所享有盛誉的高校，其考研真题备受瞩目。
本文将对哈工大考研真题进行解析，并给出相关答案和解析，希望能够对考研学子提供一些帮助。
第一部分：数学1. 分析题（30分）该题要求考生证明某个数列为收敛数列。
根据数学分析的基本定理和数列的性质，考生可以使用数列的定义和边界定理等相关知识，进行证明。
在解答该题时，可以先列出数列的递推公式，然后通过数列的性质，如有界性、单调性等，推导出数列的极限，并证明数列的收敛性。
2. 方程求解题（25分）该题要求考生求解一个复杂方程组。
解决这类问题时，可以采用代入法、消元法、高斯消元法等多种方法。
首先将方程组转化为矩阵形式，然后通过合适的运算，得到方程组的解。
在解题过程中，考生需要谨慎操作，避免出现计算错误，并能够将结果进行验证。
此外，对于无法用代数方法解决的问题，考生还可以使用数值法或图形法进行求解。
第二部分：英语1. 阅读理解（30分）该部分要求考生阅读一段英文短文，并回答相关问题。
在解答时，考生需要仔细阅读题目和短文，理解短文的主旨和细节，并将其运用到具体问题的解答中。
为了更好地解答问题，可以采用标记和划线等技巧，以帮助理清思路和找到相关信息。
此外，考生还需要熟练掌握英语词汇和语法知识，以确保正确解答问题。
2. 完形填空（25分）该部分要求考生根据给出的上下文，选择最佳的词语或词组填入空白处，使得短文语境通顺和完整。
解答这一部分时，考生需要通过上下文理解短文的内容和意图，并根据选项的意义和语法知识来进行选择。
为了更好地解答问题，可以先通读全文，了解整体语境，然后根据选项的词义和语法，进行逐一选择。
第三部分：专业课1. 计算机网络（30分）该部分要求考生回答与计算机网络相关的问题。
计算机网络作为一门重要的专业课程，对于考研学生来说是必修内容。
在回答问题时，考生需要熟悉计算机网络的基本概念和原理，并能够将理论知识应用于实际问题的解决中。
《运筹学》习题与答案
《运筹学》习题与答案（解答仅供参考）一、名词解释1. 线性规划：线性规划是运筹学的一个重要分支，它主要研究在一系列线性约束条件下，如何使某个线性目标函数达到最大值或最小值的问题。
2. 动态规划：动态规划是一种解决多阶段决策问题的优化方法，通过把原问题分解为相互联系的子问题来求解，对每一个子问题只解一次，并将其结果保存起来以备后续使用，避免了重复计算。
3. 整数规划：整数规划是在线性规划的基础上，要求决策变量取值为整数的一种优化模型，用于解决实际问题中决策变量只能取整数值的情形。
4. 马尔可夫决策过程：马尔可夫决策过程是一种随机环境下的决策模型，其中系统的状态转移具有无后效性（即下一状态的概率分布仅与当前状态有关），通过对每个状态采取不同的策略（行动）以最大化期望收益。
5. 最小费用流问题：最小费用流问题是指在网络流模型中，每条边都有一个容量限制和单位流量的成本，寻找满足所有节点流量平衡的同时使得总成本最小的流方案。
二、填空题1. 运筹学的主要研究对象是系统最优化问题，其核心在于寻求在各种（约束条件）下实现（目标函数）最优的方法。
2. 在运输问题中，供需平衡指的是每个（供应地）的供应量之和等于每个（需求地）的需求量之和。
3. 博弈论中的纳什均衡是指在一个博弈过程中，对于各个参与者来说，当其他所有人都不改变策略时，没有人有动机改变自己的策略，此时的策略组合构成了一个（纳什均衡）。
4. 在网络计划技术中，关键路径是指从开始节点到结束节点的所有路径中，具有最长（总工期）的路径。
5. 对于一个非负矩阵A，如果存在一个非负矩阵B，使得AB=BA=A，则称A为（幂等矩阵）。
三、单项选择题1. 下列哪项不是线性规划的标准形式所具备的特点？（D）A. 目标函数是线性的B. 约束条件是线性的C. 决策变量非负D. 变量系数可以为复数2. 当线性规划问题的一个基解满足所有非基变量的检验数都非正时，那么该基解（C）。
A. 不是可行解B. 是唯一最优解C. 是局部最优解D. 不一定是可行解3. 下列哪种情况适合用动态规划法求解？（B）A. 问题无重叠子问题B. 问题具有最优子结构C. 问题不能分解为多个独立子问题D. 子问题之间不存在关联性4. 在运输问题中，如果某条路线的运输量已经达到了其最大运输能力，我们称这条路线处于（A）状态。
哈尔滨工程大学 哈工大 数据结构与算法基础 笔记 考研真题及答案解析
布丁考研网，在读学长提供高参考价值的复习资料
布丁考研网，在读学长提供高参考价值的复习资料
布丁考研网，在读学长提供高参考价值的复习资料
布丁考研网，在读学长提供高参考价值的复习资料
布丁考研网，在读学长提供高参考价值的复习资料
布丁考研网，在读学长提供高参考价值的复习资料
布丁考研网，在读学长提供高参考价值的复习资料
布丁考研网，在读学长提供高参考价值的复习资料
布丁考研网，在读学长提供高参考价值的复习资料
布丁考研网，在读学长提供高参考价值的复习资料
布丁考研网，在读学长提供高参考价值的复习资料
布丁考研网，在读学长提供高参考价值的复习资料
布丁考研网，在读学长提供高参考价值的复习资料
布丁考研网，在读学长提供高参考价值的复习资料
布丁考研网，在读学长提供高参考价值的复习资料
布丁考研网，在读学长提供高参考价值的复习资料
布丁考研网，在读学长提供高参考价值的复习资料
布丁考研网，在读学长提供高参考价值的复习资料
布丁考研网，在读学长提供高参考价值的复习资料
布丁考研网，在读学长提供高参考价值的复习资料
布丁考研网，在读学长提供高参考价值的复习资料
布丁考研网，在读学长提供高参考价值的复习资料
布丁考研网，在读学长提供高参考价值的复习资料
布丁考研网，在读学长提供高参考价值的复习资料
布丁考研网，在读学长提供高参考价值的复习资料
布丁考研网，在读学长提供高参考价值的复习资料
布丁考研网，在读学长提供高参考价值的复习资料
1996考研数学二真题及答案解析
(4)
lim
x→∞
x
sin
ln(1 +
3) x
−
sin
ln(1 +
1 x
)
= ＿＿＿＿＿＿.
(5) 由曲线 y =x + 1 , x =2 及 y = 2 所围图形的面积 S = ＿＿＿＿＿＿. x
二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符 合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
成立.
(4)【答案】(C)
1
1
【解析】令 f (x) =| x |4 + | x |2 − cos x ,则 f (−x) =f (x) ,故 f (x) 是偶函数,考察 f (x)
在 (0, +∞) 内的实数个数：
1
1
f (x) = x4 + x2 − cos x ( x > 0 ).
首先注意到 f (0) =−1 < 0 , f (= π )
(4)【答案】 2
【解析】因为
x
→
∞ 时, sin ln 1+
k x
ln 1+
k x
k x
(k
为常数),所以,
原式 =
lim
x→∞
x sin ln 1+
3 x
−
lim
x→∞
x sin ln 1+
1 x
=
lim
x→∞
x⋅
3 x
−
lim
x→∞
x
⋅
1 x
=
3 −1 =
2
.
(5)【答案】 ln 2 − 1 2
1996-数二真题、标准答案及解析
Q7 ( ) 又 lim 2x = 0, lim ex − 2ax − b =1− b
Q x→0
x→0
必有 b = 1, 从而
享 原式＝ lim ex − 2ax − b = lim ex − 2a = 1− 2a = 0,
x→0
2x
x→0 2
所以 a = 1 . 2
共
（2）设函数 f ( x) 在区间 (−δ ,δ ) 内有定义，若当 x ∈ (−δ ,δ ) 时，恒有 f ( x) ≤ x2 ，则 x = 0
5 原式＝
6 1+ 3
77 lim
2x sin
ln 1+
x 1
x
cos
ln ⎜⎝⎛1+
1 x
⎞ ⎟⎠
⎜⎝⎛1
+
3 x
⎞ ⎟⎠
Q x→∞
2
2
Q =
lim
2x
sin
ln
⎛ ⎜⎝
+
2⎞ x +1 ⎟⎠
=
lim
2x
⋅ sin
1
享 x→∞
2
x→∞
x +1
=2
（5）由曲线 y = x + 1 , x = 2 及 y = 2 所围图形的面积 S =
料 必是 f (x)
资 （A）间断点.
（B）连续而不可导的点
习(C)可导的点，且 f ' (0) = 0 学【答】应选（C）.
【详解】 由定义
（D）可导的点， f ' (0) ≠ 0
【】
f (x)− f (0) f (x) f (x)
lim
x→0
x
= lim x→0
哈尔滨工程大学运筹学(同等学力加试)考试大纲
考试科目名称: 运筹学(同等学力加试)
考查要点:
一、线性规划问题及单纯形法
1．要求考生熟练掌握线性规划问题的标准形式
2．要求考生熟练掌握单纯形法（包括涉及人工变量的）
3．要求考生熟练掌握通过单纯形法判断解的类型
4.要求考生掌握线性规划问题建模
二、线性规划的对偶问题
1. 要求考生熟练掌握原问题与对偶问题的关系
2.要求考生掌握对偶问题的基本性质
3.要求考生掌握影子价格的含义
4.要求考生掌握灵敏度分析
三、运输问题
1．要求考生熟练掌握表上作业法
2．要求考生熟练掌握运输表格模型（产销平衡表+单位运价表）的建立3．要求考生掌握产销不平衡问题的处理方法
四、整数规划问题
1. 要求考生理解整数规划问题建模
2.要求考生熟练掌握分配问题与匈牙利法
五、图与网络分析
1. 要求考生掌握利用图的基本知识解决问题
2. 要求考生熟练掌握直最小部分树、最短路及最大流问题及相应解法
考试总分：75分考试时间：1.5小时考试方式：笔试
考试题型：计算题（75分）
参考书目（包括书名、作者、、出版社、出版时间）：
主要参考书：
运筹学基础及应用胡运权，哈尔滨工业大学出版社，1998。
1996真题及解析
1996年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)⑴ 设方程x = y y确定y是x的函数,则dy = _____________ .1⑵ 设『xf (x)dx = arcsinx+C,则］------ dx = ___________ ..f(x)⑶ 设x o,y o是抛物线y = ax2 bx c上的一点，若在该点的切线过原点，则系数应满足的关系是 . ⑷设-1 1 1 1 H 1f xj 1a1 a2 a3 1 H a n X2 1A = 2a1+2a2■a；I■H a2q,X = X3++,B = 1+n A.a1An A.a24a异Iq\\ an：+1 其中a i Ha j(i式j;i, j =12111, n).则线性方程组A J X = B的解是 ____________ . (5)设由来自正态总体X~N(^0.92)容量为9的简单随机样本，得样本均值X -5,则未知参数卩的置信度为0.95的置信区间为___________________________ .二、选择题(本题共5小题，每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)cos •二(1)累次积分.02小，［f(rco^,rsinRrdr可以写成()1 j y-y2(A) 0dy 0 f(x,y)dx1 1(C) 0dx0f(x,y)dy(2)下述各选项正确的是O0 QO QO(A)若7 u：和7 v2都收敛，则7 (u n v n)2收敛nF nF n T1 j1T(B) pdy。
f (x, y)dx1 x」2(D) dx f (x, y)dyL0 %()(C)oO若正项级数v u nn d1发散,则u n丄-n(B) Z u n v n收敛，则瓦u；与瓦v；都收敛n m n T n TOQQ Q(D)若级数7 u n 收敛，且U n _Vn ( n =12|)l),则级数v V n 也收敛nJ nJ⑶ 设n 阶矩阵A 非奇异(n_ 2), A”是矩阵A 的伴随矩阵,则()n 1n(A) (A)二 A A (B) (A )二 A A (C) (A)二 A n，A(D)(A ) =A 「2A⑷ 设有任意两个n 维向量组：elllCm 和若存在两组不全为零的数’l」l(,'m和 k i ,||( ,k m ，使(「kjr(m • k m)> m(1 — kJ 「( m - KJ F = 0 ,则()(A)〉1」l(,〉m 和：1」l(, ：m 都线性相关(B)〉1」l(,〉m 和-1^1, ：m 都线性无关(C)M ' -iJH ,■ ：m/^ - -iJH/^ - ：m 线性无关(D)M ■ -lJH, ：^ ■ -m/^ - -iJH/^ - -m 线性相关⑸ 已知0 ::： P(B) ::： 1且P[ A • A B]二P(A B) • P(A B),则下列选项成立的是()(A) P[ A A 2 ：B] =P(A B) P(A 2 B) (B) P(AB+"B )=P(AB) +卩(砂) (C) P (A +A2)=P (A|B )+ P (4|B ) (D) p B 二 P A P(B A) P(A 2)P(B A 2)x 式0其中g(x)有二阶连续导数，且g(0) =1,g(0) --1 . x = 0,(1)求 f (x)；(2)讨论f (x)在(」：，=)上的连续性(本题满分6分)[g(x)-e*设 f(x)二 x0,四、(本题满分6分)x设函数z 二f(u),方程U 二「(u) • p(t)dt 确定u 是x,y 的函数,其中f(u)」(u)可Jy微；p(t),「(U)连续,且：(U)".求 p(y)三 p(x)三. ex dy五、(本题满分6分)丄 -x 严 xe(1 e")2六、(本题满分5分)1设f (x)在区间［0,1］上可微，且满足条件f(1) = 2 jxf (x)dx .试证：存在-(0,1)使f( ) f ( )=0.七、(本题满分6分)设某种商品的单价为 p 时，售出的商品数量 Q 可以表示成Q=—^-c ,其中a b 、p + bc 均为正数，且a bc .(1) 求p 在何范围变化时，使相应销售额增加或减少•(2) 要使销售额最大，商品单价p 应取何值？最大销售额是多少？ 八、(本题满分6分)九、(本题满分8分)(1)已知A 的一个特征值为3,试求y ；⑵ 求矩阵P,使(AP )T(AP )为对角矩阵 十、(本题满分8分)设向量〉1」2」l(「t 是齐次线性方程组 AX =0的一个基础解系，向量［不是方程组AX =0的解，即A lt^O.试证明：向量组 打」心1」■■:上“线性无关• 十一、（本题满分7分）假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作，若一周5计算 dx .求微分方程 也」j 的通解.dxx-0 1 0设矩阵A = 1 0 0 0 0 y0 0 1011 2个工作日里无故障，可获利润10万元；发生一次故障仍可获得利润5万元；发生两次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元.求一周内期望利润是多少？十二、（本题满分6分）考虑一元二次方程x2 Bx 0 ,其中B、C分别是将一枚色子（骰子）接连掷两次先后出现的点数•求该方程有实根的概率p和有重根的概率q.十三、（本题满分6分）假设X i,X2,|l（,X n是来自总体X的简单随机样本；已知EX k二a k（k =123,4）•1n2证明：当n充分大时，随机变量Z n=丄^ X：近似服从正态分布，并指出其分布参数.n y1996年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)dx = e yln y d y ln y = y y 1 In y dy = x 1 In y dy ,【解析】对y 二ax 2bx c 两边求导得y = 2ax b,y ' x 0二2ax 0 b,所以过x °,y 。
哈工大考研管理运筹学第六章(一)图论的概念
证明： 设V1和V2分别是图G中奇点和偶点的集合
则V1 V2 V且V1 V2
d(vi ) d(vi ) d(vi ) 2m （定理5.1）
iV
iV1
iV2
V2是偶点的集合, d (vi )(i V2 )均为偶数
所以d(vi )为偶数 iV2
d (vi )为偶数
iV1
而V1是奇点的集合, d (vi )(i V1 )均为奇数
简单链
初等 链
不是链
{v5,e4 ,v4 ,e9 ,v2 ,e2 ,v3,e3,v4 ,e8,v1},
连接v5与v1的一条链
链闭开链链
: :
链中的起点与终点重合 链中的起点与终点不同
圈或回路 路
简单圈 在圈中，所含的边均不相同
初等圈 在圈中，除起点和终点重合外，
次为1的点称为悬挂点，与悬挂点相联的边称为悬挂边。 7、孤立点：次为0的点称为孤立点
8、奇点与偶点： 次为奇数的点称为奇点，次为偶数的点称为偶点
•v1
e2
• v 2
e3
•v6 e5 •v3
•v5
e1
•v 4
e4
e6
d(v1) 3, d(v2 ) 1, d (v3 ) 4
d (v4 ) 3, d (v5 ) 0, d (v6 ) 1, v2、v6为悬挂点，e2、e5为悬挂边， v5为孤立点， v1、v2、v4、v6为奇点，v5、v3为偶点
无向图
——边e=（vi, vj）无方向 此时（vi, vj）= （vj, vi）
有
e1
向 图
• e2
v1 e6
v2•
• e3 e4
v4
e1
• e2
v1 e6
哈工大考研管理运筹学第四章(五)指派问题及应用
z = cijx ij (c kj s)x kj
i 1 j1 ik n j1
n
n
n
cijx ij c kjx kj (s) x kj
i 1 j1 ik n n j1 n j1
n
n
n
cijx ij c kjx kj (s)
第一步：每行减去最小元素，每列减掉最小元素; 第二步：对零元素画圈打×; 第三步: 划线覆盖零元素;
12 7 9 7 9 -7 5 0 2 0 2 3 0 0 8 9 6 6 6 -6 C 7 17 12 14 12 -7 0 10 5 7 15 14 6 6 10 -6 9 8 0 0 4 10 7 10 6 0 6 3 6 -4
小结
• 会用分枝定界法 • 会用割平面法 • 会用0-1规划建模 • 会解指派问题
指派问题的解应对应于成本矩阵的不同 行与不同列，且总成本最小
例
B1 B2 B3 B4 B5 A1 A2 A3 A4 A5 4 7 6 6 6 8 9 9 7 9 7 15 12 17 14 10 12 8 7 14 6 10 12 10 6
cij
指派问题的性质
定理：对于指派问题，成本矩阵的任一
行(或列)减去(或加上)一个相同的数得到 的新指派问题与原问题同解
第四章
指派问题与匈牙利法
经典指派问题
n个员工分配作n项工作，一致 的i个员工作的j项工作的成本为
cij，i=1,…,n; j=1,…,n。求最佳
分配方案。
指派问题的数学模型
1 第i员工分配做第j项工作 xij 0 否则
Min z = cij xij
1994年、1995年、1996年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题合集
1994年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)= _____________. (2)曲面在点处的切平面方程为_____________.(3)设则在点处的值为_____________.(4)设区域为则=_____________.(5)已知设其中是的转置,则=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设则有 (A)(B) (C) (D)(2)二元函数在点处两个偏导数、存在是在该点连续的(A)充分条件而非必要条件 (B)必要条件而非充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分条件又非必要条件(3)设常数且级数收敛,则级数(A)发散 (B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与有关(4)其中则必有(A) (B) (C) (D)(5)已知向量组线性无关,则向量组011limcot ()sin x x x π→-e 23x z xy -+=(1,2,0)e sin ,xx u y -=2u x y ∂∂∂1(2,)πD 222,x y R +≤2222()Dx y dxdy a b +⎰⎰11[1,2,3],[1,,],23==αβ,'=A αβ'ααn A 4342342222222sin cos ,(sin cos ),(sin cos ),1x M xdx N x x dx P x x x dx x ππππππ---==+=-+⎰⎰⎰N P M <<M P N <<N M P <<P M N <<(,)f x y 00(,)x y 00(,)x f x y '00(,)y f x y '(,)f x y 0,λ>21nn a ∞=∑1(1)nn ∞=-∑λ2tan (1cos )lim2,ln(12)(1)x x a x b x c x d e -→+-=-+-220,a c +≠4b d =4b d =-4a c =4a c =-1234,,,αααα(A)线性无关 (B)线性无关 (C)线性无关(D)线性无关三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)设 ,求、在. (2)将函数展开成的幂级数.(3)求12233441,,,++++αααααααα12233441,,,----αααααααα12233441,,,+++-αααααααα12233441,,,++--αααααααα2221cos()cos()t x t y t t udu==-⎰dy dx 22d y dx t =111()ln arctan 412x f x x x x +=+--x .sin(2)2sin dxx x +⎰四、(本题满分6分)计算曲面积分其中是由曲面及两平面所围成立体表面的外侧.五、(本题满分9分)设具有二阶连续函数且为一全微分方程,求及此全微分方程的通解.2222,Sxdydz z dxdy x y z +++⎰⎰S 222x y R +=,(0)z R z R R ==->()f x ,(0)0,(0)1,f f '==2[()()][()]0xy x y f x y dx f x x y dy '+-++=()f x设在点的某一邻域内具有二阶连续导数,且证明级数绝对收敛.七、（本题满分6分）已知点与的直角坐标分别为与线段绕轴旋转一周所成的旋转曲面为求由及两平面所围成的立体体积.()f x 0x =0()lim 0,x f x x →=11()n f n ∞=∑A B (1,0,0)(0,1,1).AB x .S S 0,1z z ==设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为,又已知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为(1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解析. (2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.九、（本题满分6分）设为阶非零方阵是的伴随矩阵是的转置矩阵,当时,证明122400x x x x +=-=12(0,1,1,0)(1,2,2,1).k k +-A n *,A A ,'A A *'=A A 0.≠A十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知、两个事件满足条件且则=____________. (2)设相互独立的两个随机变量具有同一分布率,且的分布率为则随机变量的分布率为____________.十一、（本题满分6分）设随机变量和分别服从正态分布和且与的相关系数设(1)求的数学期望和方差.(2)求与的相关系数 (3)问与是否相互独立?为什么?A B ()(),P AB P AB =(),P A p =()P B ,X Y X max{,}Z X Y =X Y 2(1,3)N 2(0,4),N X Y 1,2xy ρ=-,32X Y Z =+Z EZ DZ X Z .xz ρX Y1995年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)=_____________.(2)= _____________.(3)设则=_____________. (4)幂级数的收敛半径=_____________. (5)设三阶方阵满足关系式且则=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设有直线,及平面则直线(A)平行于 (B)在上 (C)垂直于(D)与斜交(2)设在上则或的大小顺序是 (A) (B) (C)(D)(3)设可导则是在处可导的 (A)充分必要条件 (B)充分条件但非必要条件(C)必要条件但非充分条件(D)既非充分条件又非必要条件(4)设则级数 2sin 0lim(13)xx x →+202cos x d x t dt dx⎰()2,⨯=a b c g [()()]()+⨯++a b b c c a g 2112(3)n n nn n x ∞-=+-∑R ,A B 16,-=+A BA A BA 100310,41007⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A B :L 321021030x y z x y z +++=--+=:4220,x y z π-+-=L ππππ[0,1]()0,f x ''>(0),(1),(1)(0)f f f f ''-(0)(1)f f -(1)(0)(1)(0)f f f f ''>>-(1)(1)(0)(0)f f f f ''>->(1)(0)(1)(0)f f f f ''->>(1)(0)(1)(0)f f f f ''>->()f x ,()()(1sin ),F x f x x =+(0)0f =()F x 0x =(1)ln(1n n u =-+(A)与都收敛(B)与都发散(C)收敛,而发散(D)收敛,而发散(5)设则必有 (A) (B) (C)(D)三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)(1)设其中都具有一阶连续偏导数,且求(2)设函数在区间上连续,并设求1n n u ∞=∑21n n u ∞=∑1n n u ∞=∑21n n u ∞=∑1n n u ∞=∑21n n u ∞=∑1n n u ∞=∑21n n u ∞=∑11121311121321222321222312313233313233010100,,100,010,001101a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A B P P 12AP P =B 21AP P =B 12P P A =B 21P P A =B 2(,,),(,e ,)0,sin ,y u f x y z x z y x ϕ===,f ϕ0.zϕ∂≠∂.du dx ()f x [0,1]1(),f x dx A =⎰110()().xdx f x f y dy ⎰⎰四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分) (1)计算曲面积分其中为锥面在柱体内的部分. (2)将函数展开成周期为4的余弦函数.五、(本题满分7分)设曲线位于平面的第一象限内上任一点处的切线与轴总相交,交点记为已知且过点求的方程.,zdS ∑⎰⎰∑z 222x y x +≤()1(02)f x x x =-≤≤L xOy ,L M y .A ,MA OA =L 33(,),22L六、(本题满分8分)设函数在平面上具有一阶连续偏导数,曲线积分与路径无关,并且对任意恒有求七、（本题满分8分）假设函数和在上存在二阶导数,并且试证: (1)在开区间内(2)在开区间内至少存在一点使(,)Q x y xOy 2(,)L xydx Q x y dy +⎰t (,1)(1,)(0,0)(0,0)2(,)2(,),t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy +=+⎰⎰(,).Q x y ()f x ()g x [,]a b ()0,()()()()0,g x f a f b g a g b ''≠====(,)a b ()0.g x ≠(,)a b ,ξ()().()()f f g g ξξξξ''=''八、（本题满分7分）设三阶实对称矩阵的特征值为对应于的特征向量为求九、（本题满分6分）设为阶矩阵,满足是阶单位矩阵是的转置矩阵求A 1231,1,λλλ=-==1λ101,1⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ξ.A A n ('=AA I I n ,'A A ),0,<A .+A I十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)设表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4, 则的数学期望=____________.(2)设和为两个随机变量,且则____________.十一、（本题满分6分） 设随机变量的概率密度为,求随机变量的概率密度X 2X 2()E X X Y 34{0,0},{0}{0},77P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥={max(,)0}P X Y ≥=X ()X f x =e 0x -00x x ≥<e X Y =().Y f y1996年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设则=_____________.(2)设一平面经过原点及点且与平面垂直,则此平面方程为_____________.(3)微分方程的通解为_____________.(4)函数在点处沿点指向点方向的方向导数为_____________.(5)设是矩阵,且的秩而则=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)已知为某函数的全微分,则等于 (A)-1 (B)0 (C)1(D)2(2)设具有二阶连续导数,且则 (A)是的极大值 (B)是的极小值 (C)是曲线的拐点(D)不是的极值也不是曲线的拐点(3)设且收敛,常数则级数(A)绝对收敛 (B)条件收敛2lim()8,xx x a x a→∞+=-a (6,3,2),-428x y z -+=22e x y y y '''-+=ln(u x =(1,0,1)A A (3,2,2)B -A 43⨯A ()2,r =A 102020,103⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B ()r AB 2()()x ay dx ydyx y +++a ()f x 0()(0)0,lim 1,x f x f x→'''==(0)f ()f x (0)f ()f x (0,(0))f ()y f x =(0)f ()f x ,(0,(0))f ()y f x =0(1,2,),n a n >=L 1n n a ∞=∑(0,),2πλ∈21(1)(tan )n n n n a n λ∞=-∑(C)发散 (D)散敛性与有关(4)设有连续的导数且当时与是同阶无穷小,则等于(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(5)四阶行列式的值等于(A)(B) (C)(D)三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分) (1)求心形线的全长,其中是常数.(2)设试证数列极限存在,并求此极限.λ()f x 220,(0)0,(0)0,()()(),xf f F x x t f t dt '=≠=-⎰0x →,()F x 'k x k 1122334400000000a b a b a b b a 12341234a a a a b b b b -12341234a a a a b b b b +12123434()()a a b b a a b b --23231414()()a a b b a a b b --(1cos )r a θ=+0a>1110,1,2,),n x x n +===L {}n x四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分)(1)计算曲面积分其中为有向曲面其法向量与轴正向的夹角为锐角.(2)设变换 可把方程简化为求常数五、(本题满分7分) 求级数的和.(2),Sx z dydz zdxdy ++⎰⎰S 22(01),z x y x =+≤≤z 2u x y v x ay =-=+2222260z z z x x y y ∂∂∂+-=∂∂∂∂20,zu v∂=∂∂.a 211(1)2nn n ∞=-∑设对任意曲线上点处的切线在轴上的截距等于求的一般表达式.七、（本题满分8分）设在上具有二阶导数,且满足条件其中都是非负常数是内任意一点.证明0,x >()y f x =(,())x f x y 01(),xf t dt x⎰()f x ()f x [0,1](),(),f x a f x b ''≤≤,a b ,c(0,1)()2.2b f c a '≤+设其中是阶单位矩阵是维非零列向量是的转置.证明 (1)的充分条件是 (2)当时是不可逆矩阵. 九、（本题满分8分）已知二次型的秩为2, (1)求参数及此二次型对应矩阵的特征值. (2)指出方程表示何种二次曲面.,T A =-I ξξI n ,ξn ,T ξξ2=A A 1.T =ξξ1T =ξξ,A 222123123121323(,,)55266f x x x x x cx x x x x x x =++-+-c 123(,,)1f x x x =十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设工厂和工厂的产品的次品率分别为1%和2%,现从由和的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属生产的概率是____________.(2)设是两个相互独立且均服从正态分布的随机变量,则随机变量的数学期望=____________.十一、（本题满分6分）设是两个相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知的分布率为又设(1)(2)求随机变量的数学期望A B A B A ,ξη2)N ξη-()E ξη-,ξηξ1(),1,2,3.3P i i ξ===max(,),min(,).X Y ξηξη==X ().E X。
研究生运筹学考试题及其考试答案
一、 解： 121284x x x +=⎧⎨=⎩ ⇒ 1242x x =⎧⎨=⎩ *243214Z =⋅+⋅= 1212233x x x x +=⎧⎨+=⎩ ⇒ 123212x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ *33192224Z =+⋅=二、（10分）证明：若ˆX 、ˆY 分别是原问题和对偶问题的可行解。
那么ˆˆ0s s YX Y X ==,当且仅当ˆX、ˆY 为最优解。
证明：min ,0,0S S S S max z CX Yb AX X b YA Y C X X Y Y ω==+=-=≥≥设原问题和对偶问题的标准关系是原问题对偶问题将原问题目标函数中的系数向量C 用C=Y A-YS 代替后，得到 z =(YA − YS )X =YAX − YSX将对偶问题的目标函数中系数列向量b ，用b =AX +XS 代替后，得到 w =Y (AX +XS )=YAX +YXSˆˆˆˆˆˆˆˆ;,4,4ˆˆ2152160,0S SSSY X 0,YX 0Yb YAX CX X Y CX YAX YbYXY X ======--==若则由性质（），可知是最优解。
又若分别是原问题和对偶问题的最优解，根据性质（），则有由（），（）式可知，必有三、1）（5分）写出下列线性规划问题的对偶问题123123123123123Min z x x 2x 2x 3x 5x 23x x 7x 3s.t x 4x 6x 5x ,x ,x 0=++++≥⎧⎪++≤⎪⎨++≤⎪⎪≥⎩解：123123123123123Max w 2y 3y 5y 2y 3y y 13y y 4y 1s.t 5y 7y 6y 2y 0,y ,y 0=++++≥⎧⎪++≥⎪⎨++≥⎪⎪≥≤⎩ 2）（5分）试写出下述非线性规划的Kuhn-Tucker 条件并求解2()(4)15Minf x x x =-≤≤解：先将该非线性规划问题写成以下形式212min ()(4)()10()50f x x g x x g x x ⎧=-⎪=-≥⎨⎪=-≥⎩写出其目标函数和约束函数的梯度：12()2(4),()1, ()1f x xg x g x ∇=-∇=∇=-对第一个和第二个约束条件分别引入广义拉格朗日乘子，设K-T 点为X*，则可以得到该问题的K-T 条件。
运筹学考研真题与答案
运筹学考研真题与答案运筹学是一门研究如何通过数学模型和优化方法来解决实际问题的学科。
它在现代管理、工程、经济等领域中扮演着重要的角色。
对于想要深入研究运筹学的学生来说，考研是一个很好的机会。
在这篇文章中，我将介绍一些运筹学考研的真题和答案，希望能够对考生有所帮助。
首先，我们来看一道经典的线性规划问题。
题目如下：某公司有两种产品A和B，每种产品的生产时间分别为2小时和3小时。
产品A的利润为200元，产品B的利润为300元。
公司每天有16小时的生产时间可用，最多能生产产品A 4个单位，产品B 6个单位。
问如何安排生产，使得利润最大化？这是一个典型的线性规划问题，可以通过建立数学模型来解决。
我们可以设产品A的生产量为x，产品B的生产量为y。
根据题目中的限制条件，我们可以列出以下不等式：2x + 3y ≤ 16x ≤ 4y ≤ 6同时，我们还需要考虑到生产量不能为负数的限制条件：x ≥ 0y ≥ 0最终，我们的目标是最大化利润，即最大化200x + 300y。
综合以上条件，我们可以得到以下线性规划模型：Maximize 200x + 300ySubject to2x + 3y ≤ 16x ≤ 4y ≤ 6x ≥ 0y ≥ 0接下来，我们需要通过运筹学的方法来求解这个线性规划模型。
常见的方法有单纯形法、对偶理论、内点法等。
在考研中，单纯形法是最常用的方法。
通过单纯形法，我们可以得到最优解为x=4，y=4，利润最大化为200*4 + 300*4 = 2000元。
除了线性规划，运筹学考研中还会涉及到其他的优化问题，比如整数规划、非线性规划等。
这些问题的求解方法有时会更加复杂。
但是，通过建立适当的数学模型和运用适当的方法，我们仍然可以得到满意的解。
总结一下，运筹学考研真题与答案是帮助考生更好地了解运筹学的方法和应用的重要资源。
通过学习和掌握这些真题和答案，考生可以更好地应对考试，并在实际问题中灵活运用所学知识。
哈工大研究生决策理论与方法习题讲解
哈⼯⼤研究⽣决策理论与⽅法习题讲解<决策理论和⽅法>习题第⼀章概论⼀、什么是决策? 什么是决策分析? 决策问题的特点是什么? 决策问题有哪些要素?⼆、⽤决策树表⽰下列问题:1. ⽕灾保险2. 易腐品进货问题3. 油井钻探问题: 某公司拥有⼀块可能有油的⼟地, 该公司可以⾃⼰钻井,也可以出租给其它公司开采; 若出租⼟地,租约有两种形式,①⽆条件出租,租⾦45万元②有条件出租,租⾦依产量⽽定: 产量在20万桶或以上时,每桶提成5元;产量不⾜20万桶时不收租⾦.设钻井费⽤为75万元,有油时需另加采油设备费25万元,油价为15元/桶.(为了简化,可以将油井产量离散化,分为4种状态: ⽆油,产油5万桶, 产油20万桶, 产油50万桶)三、* 设油井钻探问题如下: 每次钻井费⽤10万元,有油时售油收⼊100万元,有油的概率为0.2, ⽆油的概率为0.8.问⽆油时该继续钻井否? 若该, 钻⼏次仍⽆油时停⽌钻井?第⼆章主观概率和先验分布(Subjective Probability & Prior Distribution)⼀、为什么要引⼊主观概率? 试⽐较主、客观概率的异同.如何设定先验分布?⼆、1. 阅读<决策分析> §6.3.42. 两⼈⼀组,⼀⼈充当决策⼈, ⼀⼈充当决策分析⼈, 就来年国民经济增长率的先验分布进⾏对话,并画出对话所得的图形曲线. 互换⾓⾊, 就就来年通涨率的先验分布进⾏对话.三、设某个决策⼈认为产品售出400件的可能性是售出800件的可能性的1/3, 是售出1200件的可能性的1/2, 与售出1600件的可能性相同, 售出800件的可能性售出1200件的可能性的两倍, 是售出1600件的可能性的3倍; 售出1200件的可能性⽐售出1600件的可能性的⼤2倍. 求该决策⼈关于产品销售量的主观概率分布.第三章效⽤函数⼀、什么是效⽤? 基数效⽤与序数效⽤有何区别? 采⽤效⽤进⾏决策分析有何利弊?⼆、某⼈请3个朋友吃饭, 他不知道究竟能来⼏⼈. 设各种状态的主观概率如下表所⽰. 设此⼈的效⽤函数u=x-2y-z2.其中x是为朋友预订的客饭有⼈吃的份数, y是来了吃不到饭的客⼈数, z是预订了客饭没有⼈吃的份数, 求他该为朋友订⼏份客饭? (设每⼈吃⼀份, 不得分⽽⾷之)三、某⼈有资产1000⽤于购买股票,A种股票有70%的机会增值⼀倍30%的可能连本丢掉; B种股票有60%的机会增值⼀倍40%的可能连本丢掉. 设此⼈的效⽤U 与收益X的函数关系是U(x)=ln(x+3000).决策⼈⽤m购A种股票,1000- m购B种股票.求m.四、某⼚考虑两种⽣产⽅案产品A可以0.3的概率获利5万元, 以0.2的概率获利8万元, 以0.5的概率获利9万元; 产品B肯定可以获利8万元. 决策⼈甲的效⽤函数为线性,即U1(x)= x; 决策⼈⼄的效⽤函数U2(x)= x2/5 当0≤x≤54x-10- x2/5 当5≤x≤101.画出两个决策⼈的效⽤曲线.2.甲⼄两个决策⼈分别作何选择?3.若⽣产AB两种产品均需另加5万元的固定成本, 甲⼄两个决策⼈⼜该作何选择?五、画出你的关于货币的效⽤曲线并作简要说明.六、把⼀副扑克牌的四张A取出,牌⾯向下洗匀后排在桌⾯上.你可以从下列两种玩法中任选⼀种:⑴先任意翻开⼀张再决定: a)付出35元,叫停; 或者b)继续翻第⼆张,若第⼆张为红你可收⼊100元, 第⼆张为⿊则付出100元;⑵任意翻开⼀张, 若此牌为红你可收⼊100元,为⿊则付出100元;1. 画出此问题的决策树2. 设某决策⼈的效⽤函数u=ln()1200+x ,他该选何种玩法?七、(Petersburg Paradox)⼀个⼈付出C 元即可参加如下的赌博:抛⼀枚硬币,若第N 次开始出现正⾯, 则由庄家付给2N 元. 在这种赌博中, 参加者的期望收益为21N N N p =∞∑ = 2121N N ∞∑ = ∞但是, 很少有⼈愿意出较⼤的C. 试⽤效⽤理论对此加以证明.第四章贝叶斯分析 (Bayesian Analysis )⼀、 1. 风险型和不确定型决策问题的区别何在? 各有哪些求解⽅法?2. 什么是贝叶斯分析? 贝叶斯分析的正规型与扩展型有何区别?⼆、⽤Molnor 的六项条件逐⼀衡量下列原则: ①Minmax ②Minmin ③Hurwitz ④Savage-Hiehans ⑤Laplace三、不确定型决策问题的损失矩阵如下表. ⽤上题所列五种原则分别求解.(在⽤四、某决策问题的收益矩阵如下表. 试⽤①最⼤可能值原则②Bayes 原则③E-V 原则2五、油井钻探问题(续第⼆章⼆之3)1. ,决策⼈该选择什么⾏动?2. 若可以通过地震勘探(试验费12万元)获得该地区的地质构造类型x j(j=1,2,3,4)的信息.设已知P(x |θ)如下表③进⾏贝叶斯分析,求贝叶斯规则;④讨论正规型贝叶斯分析的求解步骤;⑤求完全信息期望值EVPI和采样信息期望值EVSI.六、1. 医⽣根据某病⼈的症状初步诊断病⼈可能患A、B、C三种病之⼀, 得这三种病的概率分别是0.4、0.3、0.3. 为了取得进⼀步的信息,要求病⼈验⾎,结果⾎相偏⾼. 得A、B、C三种病⾎相偏⾼的可能性分别是0.8、0.6、0.2.验⾎后医⽣判断患者得A、B、C三种病的概率各是多少2.(续1)若得A、B、C三种病的⽩⾎球计数的先验分布分别是在[8000, 1000] 、[7000, 9000] 、[6000, 8500]区间上的均匀分布,化验结果是8350-8450.求此时病⼈患三种病的可能性各是多少?,公司经理的估计是为了对销路的估计更有把握, 公司先在某个地区试销改变了包装的产品.根据以往的经验,:1.2. 确定与各种试销结果相应的贝叶斯⾏动;3. 分析试销费⽤与是否试销的关系.第五章随机优势(Stochastic Dominance)⼀、⽤随机优势原则求解决策问题有何利弊?⼆、决策⼈⾯临两种选择:①在[-1, 1]上均匀分布;②在[-A, B]上均匀分布其中⑴A=B=2; ⑵A=0.5, B=1.5; ⑶A=2, B=3. 试⽤FSD和SSD判别在上述三种情况下①与②何者占优势.(设决策⼈的效⽤函数u∈U2)三、已知收益如下表, ⽤优势原则筛选⽅案. (设决策⼈的效⽤函数u∈U2)四、决策⼈的效⽤函数u∈U.试分析他对下表所⽰的决策问题应作何选择.第⼆篇多准则决策分析(MCDM)第⼋章多属性效⽤函数（Multi-attribution utility function）⼀、某企业拟在若⼲种产品中选⼀种投产，每种产品的⽣产周期均为两年. 现仅考虑两种属性: 第⼀年的现⾦收益X和第⼆年的现⾦收益Y. 设现⾦收益可以精确预计; 企业的偏好是①X、Y是互相偏好独⽴的;②x x x’?x≥x’;③y y y’?y ≥y’④(100,400)~(200,300), (0,600) ~(100,200). 设有下列产品对:(1). (0,100) (100,100) (2).(0,400) (200,200)(3). (100,500) (200,300) (4). (0,500) (150,200)每对产品只能⽣产其中之⼀. 企业应该作何选择,为什么?⼆、表⼀、表⼆分别给出了两个不同的⼆属性序数价值函数. 分别判断X是否偏好独⽴于Y, Y是否偏好独⽴于X.三、某⼈拟从甲地到⼄地.他考虑两个因素,⼀是费⽤C,⼀是旅途花费的时间t, 设①他对c、t这两个属性是互相效⽤独⽴的,②费⽤及时间的边际效⽤都是线性的, 且边际效⽤随费⽤和时间的增加⽽减少,③他认为(20,4) ~(10,5), (20,5) ~(10,618);1.求此⼈的效⽤函数2.若此⼈⾯临3种选择:a,乘⽕车,3⼩时到达,30元钱; b,⾃⼰开车,有3/4的机会4⼩时到达化汽油费10元,1/4的机会6⼩时到达化汽油费12元; c, 先化2元乘公共汽车到某地搭便车,1/4的机会5⼩时到达,1/2的机会6⼩时到达,1/4的机会8⼩时到达. 求他应作何种选择.第⼗章多属性决策问题(Multi-attribution Decision-making Problem ) 即:有限⽅案的多⽬标决策问题(MCDP with finite alternatives )⼀、现拟在6所学校中扩建⼀所. 通过调研和分析, 得到两个⽬标的属性值表如下: (1. .2. 设w 1=2w 2, ⽤TOPSIS 法求解.⼆、(续上题)若在⽬标中增加⼀项,教学质量⾼的学校应优先考虑. 但是各学校教学质量的⾼低难以定量给出, 只能给出各校教学质量的优先关系矩阵如下表. 设w1=w2=w3,三、某⼈拟在六种牌号的洗⾐机中选购⼀种. 各种洗⾐机的性能指标如下表所(表中.四、六⽅案四⽬标决策问题的决策矩阵如下表. 各⽬标的属性值越⼤越好. W=(0.3, 0.2, 0.4, 0.1)T , α=0.7 , d 1=15 , d3=2.0×106. ⽤ELECTRE5 5 0.9 4.0×10676 40 0 1.0×106 1第⼗⼀章多⽬标决策问题(Multi-objective Decision-making Problem)θiπ(θi) a1a2a3a4θ11/3 (40,4,250) (30,5,500) (20,8,300) (45,6,300) θ22/3 (20,5,400) (40,7,600) (45,1,500) (30,8,600)设决策⼈认为属性x最重要, 属性y次之, 试⽤字典序法求解并讨论解的合理性.⼆、<决策分析>P219之例11.1, 若决策⼈的⽬的改为MinP y P y P y y1123322--+-+++()试求解并作图.三、试画出逐步进⾏法(STEM)的计算机求解的程序框图.四、举⼀随机性多⽬标决策问题的实例.五、多⽬标规划问题max f1= 2x1+ x2f1=-4x1+ x2-2x1+ x2≤1- x1+2x2≤8x1+ x2≤102x1- x2≤84x1+3x2≥8x1, x2≥01. 画出可⾏域X和X在⽬标空间的映象Y的图形.2. 求出所有⾮劣解;3. 在⽬标空间标出理想点;4. 设ω1=ω2求xω1, xω2, xω∞及最佳调和解.六、MADP和MODP各有什么特点? 哪些⽅法可以同时适⽤于求解这两类问题?。