广东省惠州市博罗县杨侨中学高中数学 3-3 几何概型课件 新人教A版必修3
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人教A版高中数学必修三 3-3-1《几何概型》课件
题型三 与体积、角度有关的几何概型
【例3】已知正方体ABCD －A1B1C1D1的棱长为a，在正方体内 随机取一点M. (1)求点M落在三棱锥B1－A1BC1内的概率； (2)求点 M 与平面 ABCD 及平面 A1B1C1D1 的距离都大于a3的 概率；
(3)求使四棱锥 M －ABCD 的体积小于16a3 的概率． 审题指导 解决几何概型问题的关键是要寻找几何量之间 的度量关系，再利用相关公式求出其概率．
几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关吗？ 提示 几何概型的概率只与它的长度(面积或体积)有关， 而与构成事件的区域形状无关．
名师点睛
1．几何概型概率的适用情况和计算步骤 (1)适用情况： 几何概型用来计算事件发生的概率适用于有无限多个试验 结果的情况，每种结果的出现也要求必须是等可能的．而 且事件发生在一个有明确范围的区域中，其概率与构成该 事件区域的长度(面积或体积)成比例． (2)计算步骤： ①判断是否是几何概型，尤其是判断等可能性，比古典概 型更难于判断． ②计算基本事件空间与事件A所含的基本事件对应的区域 的几何度量(长度、面积或体积)．这是计算的难点． ③利用概率公式计算．
即海豚嘴尖离岸边不超过 2 m 的概率约为 0.31.
规律方法 此类几何概型题，关键是要构造出随机事件对 应的几何图形，利用图形的几何特征找出两个“面积”，套 用几何概型公式，从而求得随机事件的概率．
【变式2】已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为(x，y)，求当x，y∈R 时，P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率． 解 如图，点P所在的区域为正方形 ABCD的内部(含边界)，满足(x－2)2＋(y －2)2≤4的点的区域为以(2,2)为圆心，2为 半径的圆面(含边界)． ∴所求的概率 P1＝144π××422＝1π6.
高中数学 3.3几何概型(2)课件 新人教A版必修3
在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:
构 成 事 件 A 的 几 何 度 量 ( 长 度 、 面 积 或 体 积 ) P (A ) 实 验 的 全 部 结 果 构 成 的 几 何 度 量 （ 长 度 、 面 积 或 体 积 ）
古典概型与几何概型的区别和联系：
古典概型
几何概型
基本事件 的个数
有限个
请总结归纳上述几个试验的共同特点： 1.实验可能出现的结果有无穷多个； 2.每个结果出现的可能性相等。
高中数学必修三第三章3.3.1
几何概型的定义：
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积） 成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.
几何概型的特点:
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.
0
50
60
解：设A={等待的时间不多于10分钟}，事件A恰好是打开收 音机的时刻位于[50，60]时间段内，因此由几何概型的求 概率公式得
P（A）=（60-50）/60=1/6
“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1/6
应用举例：
例3.一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m， 宽20 m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超 过2 m的概率.
创设情境 试验一
取一根长度为30cm的绳子，拉直后在任意位置 剪断，那么剪得两段的长度都不小于10cm的概 率有多大？
思考：
请注意观察本试验共有多少种可能的结果？符合题意的结 果有多少种呢？是古典概型吗？
实验结果有无限多个，因为30cm长的绳子可以看成有无数 个点组成的线段，剪刀落在每一个点都是可能的。所以， 总的结果有无限多个。但只有剪刀落在中间10cm时，剪得 的两段的长都不小于10cm，此时，结果也有无限多个，因 此，不是古典概型。
构 成 事 件 A 的 几 何 度 量 ( 长 度 、 面 积 或 体 积 ) P (A ) 实 验 的 全 部 结 果 构 成 的 几 何 度 量 （ 长 度 、 面 积 或 体 积 ）
古典概型与几何概型的区别和联系：
古典概型
几何概型
基本事件 的个数
有限个
请总结归纳上述几个试验的共同特点： 1.实验可能出现的结果有无穷多个； 2.每个结果出现的可能性相等。
高中数学必修三第三章3.3.1
几何概型的定义：
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积） 成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.
几何概型的特点:
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.
0
50
60
解：设A={等待的时间不多于10分钟}，事件A恰好是打开收 音机的时刻位于[50，60]时间段内，因此由几何概型的求 概率公式得
P（A）=（60-50）/60=1/6
“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1/6
应用举例：
例3.一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m， 宽20 m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超 过2 m的概率.
创设情境 试验一
取一根长度为30cm的绳子，拉直后在任意位置 剪断，那么剪得两段的长度都不小于10cm的概 率有多大？
思考：
请注意观察本试验共有多少种可能的结果？符合题意的结 果有多少种呢？是古典概型吗？
实验结果有无限多个，因为30cm长的绳子可以看成有无数 个点组成的线段，剪刀落在每一个点都是可能的。所以， 总的结果有无限多个。但只有剪刀落在中间10cm时，剪得 的两段的长都不小于10cm，此时，结果也有无限多个，因 此，不是古典概型。
人教版高中数学必修3(A版) 几何概型 PPT课件
2 5
1 6
第二种三块区域圆心 角之比为1:2:3;
1 4
第三种圆盘两圆的半 径之比为1:2
[情境二] 问题1:在区间[0，9]上任取一个整数,恰 好取在区间[0，3]上的概率为多少? 2
5
问题2:在区间[0，9]上任取一个实数,恰 好取在区间[0，3]上的概率为多少? 1
3
探究:
请问飞镖射中靶心A（看成一个点）的 概率是多少?
中国刑法第三百零三条规定:以营利为目的,聚众 赌博或者以赌博为业的,处三年以下有期徒刑、拘役 或者管制,并处罚金;“开设赌场的,处三年以下有期徒 刑、拘役或者管制,并处罚金;情节严重的,处三年以 上十年以下有期徒刑,并处罚金.
复习提问：
1、古典概型的两个特点: (1)试验中所有可能出现的基本事件只有 有限个. (2)每个基本事件出现的可能性相等. 2、计算古典概型的公式:
几何概型的概率计算公式：
构成事件A的测度（长度、弧度、 角度、面积、体积） P( A) 全部结果的测度（长度 构成事件A的测度（长度、弧度、 角度、面积、体积） P( A) 全部结果的测度（长度 、弧度、角度、面积、 体积）
例1：取一根长度为60cm的绳子，拉直后在任意
A包含基本事件的个数 公式：P( A) 基本事件的总数
创设情境：
情境一:摸球游戏：袋子中有分别写有1 号、2号、3号、4号、5号的5个球, 问题:随机抽取一个抽到1号的概率是多 1 少? 5 上述情景改为如图所示，问 1 5 题:圆盘中指针指到到1号的 4 2 概率是多少? 3
注:五个扇形区域面 积相同;
解:设A={等待的时间不多于10分钟}. 所求的事件A恰好是打开收音机时的 时刻位于[50,60]时间段内。 因此由几何概型的概率公式得
高中数学人教A版必修3《几何概型》PPT (3)
①硬币覆盖的范围是一个面,
求概率时,应选择面积比.
②用硬币圆心的位置来描述
试验及事件A.
③对于试验,硬币圆心覆盖的 范围是以点O为圆心, 半径
O
4 56
为6的圆. 对于事件A, 硬币
圆心覆盖的范围是以O为圆
心,半径为4的圆.
说明 记“硬币完全落入圆内”为事件A.
探究1 有一个半径为5的圆, 现在将一枚半径为1的硬币 向圆投去,如果硬币不会完全落在圆外, 试求硬币完全落入圆内的概率.
EFGH内随机投掷一枚半径为1的硬币,则硬币能覆盖正
方形ABCD顶点的概率为
.
析：向正方形EFGH内随机投 E
掷一枚半径为1的硬币,硬币
圆心覆盖的区域为虚线正方 形,该正方形的边长为4.记
A
“硬币能覆盖正方形ABCD顶
点”为事件A,事件A发生时,
B
硬币圆心覆盖的区域为半径
为1的⊙A、⊙B、⊙C、⊙D,
4.引进变量可以是长度、角度等---正确引入变量.
3. 如图,一个边长为2的正方体鱼缸内放入一个 倒置的无底圆锥形容器,圆锥的上底圆周与鱼缸的底 面正方形相切,圆锥的顶点恰好在鱼缸的缸底上，现 在随机的向鱼缸内投入一粒鱼食,则“鱼食能被鱼缸 内圆锥外面的鱼吃到”的概率是______________.
面积模型
几何概型在高中教学中的地位
几何概型是高中概率中的一种重要模型，在 高考中，几何概型的问题往往新颖别致，构思巧 妙，具有较高的思维挑战性.
本节课我们就来研究一下这类构思巧妙的题型.
探究1 有一个半径为5的圆, 现在将一枚半径为1的硬币
向圆投去,如果硬币不会完全落在圆外,
试求硬币完全落入圆内的概率.
AM
(教师参考)高中数学 3.3.1 几何概型课件1 新人教A版必修3
（3－2）2
=
=
32
1 9
解题方法小结：对于复杂的实际问题,解题的关键 是要建立模型,找出随机事件与所有基本事件相对 应的几何区域,把问题转化为几何概率问题,利用 几何概率公式求解.
练习
1.一个路口的红绿灯，红灯的 时间为30秒，黄灯的时间为5 秒，绿灯的时间为40秒。当 你到达路口不用停直接通过 的概率为 8/15
第三章 概率 3.3.1 几何概型
一、复习回顾.
我抛一枚硬币，
猜这一次是正面
问题：猜中的概率是多少？ 向上。
这是什么概型问题？
1、古典概型的两个基本特点:
(1)试验中所有可能出现的基本事件 只有有限个. (2)每个基本事件出现的可能性相等. 2、计算古典概型的公式：
公 式 ： P (A )A 包 基 含 本 基 事 本 件 事 的 件 总 的 数 个 数
那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如 何求呢?
二、问题情境1. 取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么
剪得两段的长度都不小于1m的概率有多大？
分析：从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断 位置可以是3m绳子上的任意一点，并且每一点被 剪的可能性相等。
问题情境2.
下图是卧室和书房地板的示意图，图中 每一块方砖除颜色外完全相同，小猫分 别在卧室和书房中自由地走来走去，并 随意停留在某块方砖上。在哪个房间里， 与面积成比例 小猫停留在黑砖上的概率大？
例2. 抛阶砖游戏“抛阶砖”是国外游乐场的典型游戏
之一.参与者只须将手上的“金币”（设“金币” 的半径为1）抛向离身边若干距离的阶砖平面上， 抛出的“金币”若恰好落在任何一个阶砖（边长为 3的正方形）的范围内（不与阶砖相连的线重叠）， 便可获奖，许多人纷纷参与此游戏，却很少有人得 到奖品，你能用今天所学的数学知识解释这是为什 么吗？（假设每次抛的金币都落在阶砖上）
高中数学 3.3.1几何概型课件 新人教A版必修3
第五页，共25页。
研一研·问题探究、课堂(kètáng)更高 效
3.3.1
问题 3 下图中有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指 针指向 B 区域时，甲获胜，否则乙获胜．你认为甲获胜的概 率分别是多少？
本 课 时 栏 目 开 关
答 以转盘(1)为游戏工具时，甲获胜的概率为12；以转盘(2) 为游戏工具时，甲获胜的概率为35.
机取出 1 升水，那么这 1 升水中含有病毒的概率是多少？你
是怎样计算的？
本 课
答 概率为15,由于病毒在 5 升水中的哪个位置的可能性都有,1
时 栏
升水中含有病毒的概率为 1 升水的体积除以 5 升水的体积.
目
开 问题 4 根据上述 3 个问题中求概率的方法，你能归纳出求几
关
何概型中事件 A 发生的概率的计算公式吗？
时 栏
连接，求弦长超过半径的概率．
目
开 关
解 (1)不是几何概型，因为它不具有等可能性；
(2)是几何概型，因为它具有无限性与等可能性．
第十一页，共25页。
研一研·问题探究(tànjiū)、课堂更高 效
探究点二 几何概型的概率公式
3.3.1
导引 对于具有几何意义的随机事件，或可以化归为几何问题
的随机事件，一般都有几何概型的特性，那么，对于属于几
3．有一杯 1 升的水，其中含有 1 个细菌，用一个小杯从这杯
本
水中取出 0.1 升，则小杯水中含有这个细菌的概率为__0_._1__．
课
时 栏
解析 “取出 0.1 升水中含有这个细菌”这一事件记为 A，
目
开 关
则 P(A)＝01.1＝0.1.
第二十四页，共25页。
数学必修Ⅲ人教新课标A版3-3-1几何概型课件(48张)
【精彩点拨】 当且仅当硬币中心与格线的距离都大于半径 1，硬币 落下后与格线没有公共点，在等边三角形内作与正三角形三边距离为 1 的 直线，构成小等边三角形，当硬币中心在小等边三角形内时，硬币与三边 都没有公共点，所以硬币与格线没有公共点就转化为硬币中心落在小等边 三角形内的问题．
【尝试解答】 设 A＝{硬币落下后与格线没有公共点}，如图所示，在等
【解析】 A 中奖概率为38，B 中奖概率为41，C 中奖概率为13，D 中 奖概率为13，故选 A.
【答案】 A
3．在区间[－1，2]上随机取一个数 x，则|x|≤1 的概率为________．
【解析】 ∵区间[－1，2]的长度为 3，由|x|≤1 得 x∈[－1，1]，而
区间[－1，1]的长度为 2，x 取每个值为随机的，∴在[－1，2]上取一个数
【精彩点拨】 乘客在上一辆车发车后的 5 min 之内到达车站，等车 时间会超过 10 min.
【尝试解答】 设上一辆车于时刻 T1 到达，而下一辆车于时刻 T2 到达， 则线段 T1T2 的长度为 15，设 T 是线段 T1T2 上的点，且 T1T＝5，T2T＝10，如图 所示．
记“等车时间超过 10 min”为事件 A，则当乘客到达车站的时刻 t 落在线 段 T1T 上(不含端点)时，事件 A 发生．
∴P(A)＝TT11TT2的的长长度度＝155＝13， 即该乘客等车时间超过 10 min 的概率是13．
在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区 域 D，这时区域 D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件 A 发生对应的区域 d，在找 d 的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界 点是否取到却不影响事件 A 的概率．
x，|x|≤1 的概率 P＝32.
广东省惠州市博罗县杨侨中学高中数学 3-3 几何概型课件 新人教A版必修3
．
解：设 AC x， 则BC 12 x , 所 以x(12 - x) 20， 解 得2 x 10, 而2 x 10的 区 间 长 度 为 8， 8 2 所 以P 12 3
考点：与面积有关的几何概型
1. 2． 如图， 正方形 ABCD 的边长为 2， △ EBC 为正三角形． 若 向正方形 ABCD 内随机投掷一个质点，则它落在△ EBC 内 的概率为 ( B )
3 A. 2 1 C. 2 3 B. 4 1 D. 4
1 解析：正方形的面积为 4， S△ EBC＝ × 2×2×sin 60° ＝ 3， 2 3 所以质点落在△ EBC 内的概率为 . 4
2．(2013· 高考陕西卷)如图，在矩形区
域ABCD的A，C两点处各有一个通信基
站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域
率模型，简称几何概型．
(2)特点：
①无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多 ______ 个 相等
2. 几何概型的概率公式 ②等可能性：每个基本事件出现的可能性 ________. 2. 构成事件 A的区域长度面积或体积 P(A)＝ . 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积
CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该 矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( A ) A． 1
4
B.
2
1
C．2
2
D.
4
3．(2014· 郑州市质量检测)在一个边长为500米的正方形区域的 每个顶点处设有一个监测站，若向此区域内随机投放一个爆炸 物，则爆炸点距离监测站200米内都可以被监测到．那么随机 投放一个爆炸物被监测到的概率为( D )
高中数学 3.3.1 几何概型课件 新人教A版必修3
2．几何概型的特点
(1)试验中所有可能出现(chūxiàn)的结果(基本事无件限)多有个
_________．
相等
(2)每个基本事件出现(chūxiàn)的可能性_____．
3．几何概型的概构率成公事式件A的区域长度（面积或体积） P(A)＝__试__验__的__全__部___结__果__所__构__成__的__区__域__长 ___度__（__面__积__或_ 体积）
长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率． 解 如图所示，区域Ω是长30 m、 宽20 m的长方形．图中阴影部分(bùfen)表 示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过 2 m”，问题可以理解为求海豚嘴尖 出现在图中阴影部分(bù fen)的概率．
第八页，共20页。
由于区域 Ω 的面积为 30×20＝600(m2)，阴影部分的面积为 30×20－26×16＝184(m2)． 所以 P(A)＝168040＝2735≈0.31. 即海豚嘴尖离岸边不超过 2 m 的概率约为 0.31. 规律方法 解此类几何概型问题的关键是： (1)根据题意确认是否是与面积有关(yǒuguān)的几何概型问题 ． (2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何 特征计算相关面积，套用公式从而求得随机事件的概率．
A 的距离小于13的概率．
解
到
A
点的距离小于1的点，在以 3
A
为球心，半径为1的球内 3
部，而点又必须在已知正方体内，则满足题意的 A 点的区域体
积为43π×133×18.∴P＝43π×3133 3×18＝2×π37.
第十四页，共20页。
1．下列关于几何(jǐ hé)概型的说法错误的是 ()
A．几何(jǐ hé)概型也是古典概型中的一种 B．几何(jǐ hé)概型中事件发生的概率与位置、形状无关 C．几何(jǐ hé)概型中每一个结果的发生具有等可能性 D．几何(jǐ hé)概型在一次试验中能出现的结果有无限个 答案 A 解析 几何(jǐ hé)概型与古典概型是两种不同的概型．
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A. 25
2 B. 25
3 C. 25
4 D. 25
0≤x≤2 高考北京卷 )设不等式组 ，表示的平面区域 4. (2012· 0≤ y≤ 2
为 D.在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是 ( D ) π－ 2 π A. B. 4 2 4－ π π C. D. 6 4
第3课时 几何概型
2015高考导航
考纲展示 1. 了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．
2．了解几何概型的意义.
备考指南 1.重点考查对几何概型的理解，在复习时要注意与线性规划、
不等式的解集、方程的根所在的区间等的结合问题．
2．以选择题、填空题的形式呈现，属中、低档题.
知识梳理
1．几何概型
(1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 长度(面积或体积) 成比例，则称这样的概率模型为几何概 ___________________
概率．
思考探究
古典概型与几何概型的区别是什么？ 提示：古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相 等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基 本事件有无限个.
考点：与长度有关的几何概型
3． (2013· 高考福建卷)利用计算机产生 0～1 之间的均匀随机 1.
2 3 数 a，则事件“3a－1>0”发生的概率为________ ．
解：设 AC x， 则25 x 2 49， 解 得 5 x 7, 2 1 而5 x 7的 区 间 长 度 为 2， 所 以 P 10 5
4．在长为12 cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻 边长分别等于线段AC，CB的长，求该矩形面积大于20 cm2
的概率为
3 A. 2 1 C. 2 3 B. 4 1 D. 4
1 解析：正方形的面积为 4， S△ EBC＝ × 2×2×sin 60° ＝ 3， 2 3 所以质点落在△ EBC 内的概率为 . 4
2．(2013· 高考陕西卷)如图，在矩形区
域ABCD的A，C两点处各有一个通信基
站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域
CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该 矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( A ) A． 1
4
B.
2
1
C．2
3．(2014· 郑州市质量检测)在一个边长为500米的正方形区域的 每个顶点处设有一个监测站，若向此区域内随机投放一个爆炸 物，则爆炸点距离监测站200米内都可以被监测到．那么随机 投放一个爆炸物被监测到的概率为( D )
1 解析：由题意知 0≤ a≤ 1.事件“3a－ 1>0”发生时， a> 且 3 a≤1，取区间长度为测度，由几何概型的概率公式得其概率 1 1－ 3 2 P＝ ＝ . 1 3
2. 4 ．已知直线 y＝x＋b，b∈[－2,3]，则直线在 y 轴上的截距 2 5 大于 1 的概率是________ ．
．
解：设 AC x， 则BC 12 x , 所 以x(12 - x) 20， 解 得2 x 10, 而2 x 10的 区 间 长 度 为 8， 8 2 所 以P 12 3
考点：与面积有关的几何概型
1. 2． 如图， 正方形 ABCD 的边长为 2， △ EBC 为正三角形． 若 向正方形 ABCD 内随机投掷一个质点，则它落在△ EBC 内 的概率为 ( B )
解析：区域 D 为区间[－2,3]，d 为区间(1,3]，而两个区间的 2 长度分别为 5,2，故所求概率 P＝ . 5
3. 5．(2014· 丹东四校一诊) 在长为 10 cm 的线段 AB 上任取一
点 C，并以线段 AC 为边作正方形，这个正方形的面积介于 1 25 cm2 与 49 cm2 之间的概率为________ ． 5
[解析 ]
如图所示， 正方形 OABC 及其内部为不等式组表示
的区域 D， 且区域 D 的面积为 4， 而阴影部分表示的是区域 D 内到原点距离大于 2 的区域， 易知该阴影部分的面积为 4 4－ π － π，因此满足条件的概率是 4
本题利用了转化思想，点到坐标原点的距离大于2就是圆x2＋ y2＝4外的点，从而把问题转化为平面问题，利用面积比求其
率模型，简称几何概型．
(2)特点：
①无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多 ______ 个 相等
2. 几何概型的概率公式 ②等可能性：每个基本事件出现的可能性 ________. 2. 构成事件 A的区域长度面积或体积 P(A)＝ . 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积