04_选修数学乙(上)课本_1-3 独立事件[10页]
数学选修课件第章事件的独立性
03
多个事件相互独立情况分 析
两个事件相互独立情况
定义
若事件A的发生与否对事件B的发 生概率没有影响，则称事件A与事
件B相互独立。
性质
若事件A与事件B相互独立，则 P(AB) = P(A)P(B)。
举例
抛掷两枚质地均匀的硬币，出现正 面的事件记为A，出现反面的事件记 为B，则事件A与事件B相互独立。
三个及以上事件相互独立情况
01
02
03
定义
若n个事件中任意两个事 件都相互独立，则称这n 个事件相互独立。
性质
若n个事件相互独立，则 它们同时发生的概率等于 各自发生概率的乘积。
举例
抛掷三枚质地均匀的硬币 ，出现正面的事件分别记 为A、B、C，则事件A、B 、C相互独立。
复杂系统中事件独立性判断
常见误区与辨析
误区一
认为两个事件不相关就一定相互 独立。实际上，不相关只是指两 个事件的线性关系为0，并不能
保证它们相互独立。
误区二
认为相互独立的事件一定没有交 集。实际上，相互独立的事件完 全可能有交集，只是它们的交事 件发生的概是否相互独立时 ，需要仔细分析题目条件，正确 运用定义和判定方法，避免陷入
数学选修课件第章 事件的独立性
汇报人：XX 2024-01-13
目录
• 事件独立性基本概念 • 条件概率与事件独立性 • 多个事件相互独立情况分析 • 概率论中重要公式和定理介绍 • 生活中事件独立性现象解读 • 总结回顾与拓展延伸
01
事件独立性基本概念
定义与性质
定义
两个事件A和B，如果其中一个事 件的发生不影响另一个事件的发 生概率，则称这两个事件是相互 独立的。
天气预报
《3.3 几何概型》(同步训练)高中数学必修3_人教A版_2024-2025学年
《3.3 几何概型》同步训练(答案在后面)一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、在掷一枚公平的六面骰子的实验中，事件A为“掷出的点数为偶数”，事件B 为“掷出的点数大于3”。
那么事件A与事件B的关系是：A、互斥事件B、对立事件C、相互独立事件D、互不相交事件2、在掷一枚均匀的骰子两次的实验中，事件A：“至少掷出一个6点”与事件B：“两次掷出的点数相同”的概率分别为P(A)和P(B)，则下列结论正确的是（）A、P(A) > P(B)B、P(A) < P(B)C、P(A) = P(B)D、无法确定P(A)与P(B)的大小关系3、在区间[0,4]上随机取一个实数，则该数大于1的概率是（）)A.(14)B.(34)C.(12)D.(134、从装有5个红球、4个蓝球和3个黄球的袋子里，随机取出2个球，取出的两个球颜色相同的概率是：A. 5/21B. 8/21C. 12/21D. 15/215、在一个圆盘上随机投针，圆盘的半径为10cm，针的长度为6cm，恰好针完全落在圆盘内的概率是多少？A. 0.3B. 0.4C. 0.5D. 0.66、在下列四个事件中，属于古典概型的是（）A、抛掷一枚硬币，它落地时是正面的概率B、从一副52张的扑克牌中，随机抽取一张，抽取到红桃的概率C、从0,1,2,3,4中任取两个不同的自然数，所取得的两个数的和为偶数的概率D、从10000个零件中随机抽取一个，它是合格品的概率7、在等边三角形ABC中，D为BC边上的中点，E为AD上的中点，F为CE的延长线与AB的交点，若AB=6，则AF与BF的比值是：A. 1:1B. 2:1C. 3:1D. 4:18、在一个正方形中，随机取一点，该点距离正方形中心的距离与正方形边长的比值是：A. 0.5B. 0.1C. 0.4D. 0.6二、多选题（本大题有3小题，每小题6分，共18分）1、在下列事件中，属于几何概型的是（）A. 抛掷一枚均匀的硬币，出现正面的概率B. 从一副52张的扑克牌中随机抽取一张，抽到红桃的概率C. 从0到1之间随机取一个数，这个数小于0.5的概率D. 从5个不同的球中随机抽取3个，抽到3个特定颜色的概率2、设在长为2的线段上随机取两个点，将线段分为三段，若这三段可以构成三角形的概率为P，则P的值为：A、1/4B、1/2C、1/3D、1/63、在一个等边三角形ABC中，内角A的对边长度为8cm，现从顶点A向BC边引一高AD，并假设在BC边上有一点P使得AP与AD垂直。
广西壮族自治区柳州市柳州高级中学2025届高三(最后冲刺)数学试卷含解析
广西壮族自治区柳州市柳州高级中学2025届高三（最后冲刺）数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．2-31ii =+（ ） A ．15-22i B ．15--22iC ．15+22i D ．15-+22i 2．若复数2(2)(32)m m m m i -+-+是纯虚数，则实数m 的值为( ) A ．0或2B ．2C ．0D ．1或23．已知,,,m n l αβαβαβ⊥⊂⊂=，则“m ⊥n”是“m ⊥l ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．3本不同的语文书，2本不同的数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率是（ ） A ．12B ．14C ．15D ．1105．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：422=+，633=+，835=+，那么在不超过18的素数中随机选取两个不同的数，其和等于16的概率为（ ） A ．121B ．221C ．115D ．2156．将函数()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，再将图像向左平移3π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =图象的一个对称中心为（ ）A ．,012π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,04π⎛⎫⎪⎝⎭C ．(),0πD ．4,03π⎛⎫⎪⎝⎭7．设复数z 满足12z zz +=+，z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y 则（ ） A ．221x y =+ B ．221y x =+ C ．221x y =-D ．221y x =-8．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是（ ）A ．12个月的PMI 值不低于50%的频率为13B ．12个月的PMI 值的平均值低于50%C ．12个月的PMI 值的众数为49.4%D ．12个月的PMI 值的中位数为50.3% 9．已知函数()2cos sin 6f x x x m π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭（m ∈R ）的部分图象如图所示.则0x =（ ）A ．32π B ．56π C ．76π D ．43π-10．设双曲线221x y a b+=的一条渐近线为2y x =-，且一个焦点与抛物线24x y =的焦点相同，则此双曲线的方程为（ ） A ．225514x y -= B ．225514y x -= C ．225514y x -= D ．225514x y -= 11．甲在微信群中发了一个6元“拼手气”红包,被乙､丙､丁三人抢完,若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则乙获得“最佳手气”(即乙领到的钱数多于其他任何人)的概率是（ ） A ．13B ．310C ．25D ．3412．821x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中12x y -的系数是（ ）A ．160B ．240C ．280D ．320二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高二数学(选修2-3人教B版)-事件的独立性
P4 (2 p p2 ) (2 p p2 ) p2(2 p)2
所以 P3 P4.
例题 解析
甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率
是 P1，乙解决这个问题的概率是 P2，那么其中至少有1人
解决这个问题的概率是多少？
设A:“甲解决这个问题”，B:“乙解决这个问题”，
解析 设A:“第一次取到红球”，B:“第二次取到白球”，
P(A B) = 3 2 = 6 5 5 25
P(B) = 2 5
P( A B) = P( A) P(B)
P( A) = 3 5
例题 甲坛子里有大小相同的3个白球，2个黑球；乙坛子里有 大小相同的3个白球，1个黑球. 从两个坛子里各摸出一 个球，求下列事件发生的概率： （1）摸出的两个球都是白球；
P(A B) + P(A B) + P(A B) P1(1 P2 ) (1 P1)P2 P1P2 P1 P2 P1P2
1 P( A B) 1 (1 P1)(1 P2) P1 P2 P1P2
推广 对于n个事件 A1, A2 , , An ，如果其中任一个事件发生的 概率不受其他事件是否发生的影响，则称n个事件 A1, A2 , , An
设所用每个元件的可靠性都为 p (0 p 1) ，且各元件能否
正常工作是互相独立的. 试求下面系统的可靠性:
（2）
解析 这个系统能正常工作只需要 有一个元件能正常工作即可.
正面：P2 2 p(1 p) p2 2 p p2 反面：P2 1 (1 p) (1 p) 2 p p2
（1）
B:“从乙坛子里摸出一个球为白球”.
问题 在5个小球中，有3个红球，2个白球，
课时作业 40乘法公式与事件的独立性 -2024-2025学年高二数学(北师版)选择性必修第一册
第8页
高中数学3 选择性必修第一册·（北师版）·练
3
5. 某种电子元件用满 3 000 小时不坏的概率为 ，用满 8 000 小时不坏的概率
4
1
为 . 现有一只此种电子元件，已经用满 3 000 小时不坏，还能用满 8 000 小时
2
的概率是 ( B )
3
A.4
2
1
B.3
1
C.2
D.3
解析：记事件A：“用满3 000小时不坏”，则P(A)＝ ；记事件B：“用
解析：四道工序中只要有一道工序加工出次品，则加工出来的零件就是次品.
设“四道工序加工出来的零件是正品”分别为事件A，B，C，D，则P()＝
2%，P(B)＝3%，P(C)＝5%，P(D)＝3%. 由于加工出来的零件是正品的概率
为P(ABCD)＝P(A)P(B)P(C)P(D)＝(1－2%)·(1－3%)(1－5%)(1－
经通过第一关的前提下通过第二关的概率为 0. 5，则该同学两关均通过的概
率为 0. 4.
第17页
高中数学3 选择性必修第一册·（北师版）·练
解析：设该学生通过第一关为事件A，通过第二关为事件B，在通过第一关
的前提下通过第二关的概率为P(B｜A)，因为P(B｜A)＝
()
()
，所以
P(AB)＝P(B｜A)P(A)＝0. 5×0. 8＝0. 4.
误；
第14页
高中数学3 选择性必修第一册·（北师版）·练
选项D，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”记为事件A，“从剩
下的7个球中任意取出1个，取出的是白球”记为事件B，则P(A)＝ ，
P(B)＝
05_选修数学乙(上)课本_1-4 二项分布[15页]
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1-4二項分布隨機試驗通常會有許多種結果。
如果我們只對其中某幾種結果有興趣，就把這些結果統稱為「成功」，而將其餘結果稱為「失敗」；像這樣把結果只分為兩類的試驗，稱為白努利試驗。
如果我們可以重複執行一項白努利試驗，並且每次試驗的結果均互相獨立，這樣的獨立重複試驗是可以用二項分布來清楚描述的。
本節將要介紹二項分布，並計算其期望值與標準差，作為爾後抽樣統計之基礎。
1重複試驗如果一個隨機試驗的結果僅有兩種情形，就稱為一個白努利試驗，習慣上將這兩種情形分別稱為「成功」或「失敗」。
生活中有許多試驗都是白努利試驗。
例如：投擲一枚均勻硬幣，若我們將出現正面稱為成功，則出現反面便稱為失敗；投擲一顆骰子，若出現 1 點稱為成功，則出現非 1 點便稱為失敗；至廟裡拜拜擲筊，若我們將出現一個陽面一個陰面（聖筊）的情形稱為成功，則出現兩個陽面（哭筊）或是兩個陰面（笑筊），便稱為失敗，如圖9；購買一張樂透彩，可將中獎情形稱為成功，沒中獎便稱為失敗。
圖9我們把「在相同條件下重複執行一個試驗」稱為重複試驗，而當每次結果互不影響時，稱為獨立重複試驗。
更嚴格來說，假設一試驗的樣本空間為 {x 1，x 2，…，x n }，且樣本 x i 發生的機率為 p i 。
重複此試驗兩次，如果對所有 i ，j ，「第一次試驗的結果為 x i 」及「第二次試驗的結果為 x j 」皆為獨立事件，即稱這整個試驗為兩次的「獨立重複試驗」，而第一次試驗結果為 x 1 且第二次試驗結果為 x j 的機率為 p i p j ，更多次的獨立重複事件亦可類似定義。
我們先來看一個重複執行白努利試驗的情形。
假設有一棒球選手，依據其平常比賽的表現得知其打擊率⎛⎫⎪⎝⎭安打數打數為 0.3，假設每次打擊都是獨立事件，則在有四個打數的一場比賽中，恰擊出一支安打的機率為多少？我們將四個打數中恰擊出一支安打的情形製成下表：四次打擊情形 機率1234○ ╳ ╳ ╳ （0.3）（0.7）（0.7）（0.7） ╳ ○ ╳ ╳ （0.7）（0.3）（0.7）（0.7） ╳ ╳ ○ ╳ （0.7）（0.7）（0.3）（0.7） ╳ ╳ ╳ ○ （0.7）（0.7）（0.7）（0.3）四個打數中恰擊出一支安打的方法數共 41C 種，而每一種情形對應的機率都是 （0.3）1（0.7）3，所以四個打數中恰擊出一支安打的機率為()()13410.30.7C 。
2.2.3独立重复试验与二项分布课件-高二下学期数学人教A版选修2-3第二章
解法1（直接法） P( X 1) P( X 1) P( X 2) P( X 3)
C31 (0.6)(1 0.6) 2 C32 (0.6) 2 (1 0.6) C33 (0.6) 3
0.936
解法2（间接法）P( X 1) 1 P( X 0) 1 (1 0.6)3 0.936
243
243
课堂小结
独
立
重
复
核心
实
分类讨论•特殊到一般 验
数学建模
二
项
散
布
相同条件
相互独立
等概率
产生或者不产生
X ~ B(n, p)
n, p, k 含义
p( X k ) Cnk p k (1 p) nk
思考：二项散布与两点散布有什么联系？
完成导学案习题
思
考
1、每次实验进行的条件是否相同？
相同
2、每次实验产生的结果是否受上次影响？
各次实验中的事件是相互独立的；
3、每次实验有几种结果？
两种结果
4、每次实验,针尖向上的概率是否相同？
相同
知识点一
独立重复实验定义：
一般地，在相同条件下重复做的n次实验称为n次独立重复实验
在n次独立重复实验中，“在相同条件下”等价于各次实验的结果不会
《独立重复实验与二项散布》
回顾旧知
事件的相互独立性
(1)对于事件、, 若的产生与的产生互不影响, 则称、是
相互独立事件.
(2)若与相互独立, 则()＝()() ．
ഥ,
ഥ 与,
ഥ 与
ഥ 也都相互独立．
小学数学一年级应用题大全(上册)及答案(真题汇编)
小学数学一年级应用题大全（上册）一.解答题(共100题，共498分)1.一本10页的画册，小丽读了4页，还有几页没读？2.列式计算。
每人要写16个字。
（1）□○□=□（个）（2）□○□=□（个）3.用1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这十个数字，你能写出多少道加法算式和多少道减法算式呢？请你试着写一写，并计算出结果。
4.10只小青蛙，跳到两片荷叶上，一片荷叶上有4只小青蛙，另一片荷叶上有几只？5.有10只，有3只，再来几只就和一样多？6.看图回答。
盒子里有几块糖果？□○□=□（）7.妈妈要买其中的两篮鸡蛋。
最多能买多少个鸡蛋？最少能买多少个鸡蛋？最多能买：= （个）最少能买：= （个）8.一只钢笔笔9元钱，一个文具盒比它贵了6元。
买一个文具盒多少钱？9.一年级男同学做了8个，女同学做了9个。
（1）他们一共做了多少一个?□○□=□（个）（2）把这些送给幼儿园小朋友5个后，还剩多少个?□○□=□（个）10.姐姐有5张邮票，我比姐姐少2张，我们两个一共有邮票多少张？11.有一些小鸟落在2棵树上，先飞走7只，又飞走6只，两次一共飞走多少只？12.兔子一家去森林里采蘑菇。
（1）兔妈妈和兔爸爸一共采了多少朵蘑菇?（2）它们一家三口一共采了多少朵蘑菇?（3）小兔子再采多少朵蘑菇就和兔妈妈采的同样多?13.小丽和小红分别看一本漫画书，这三天谁看的多？14.（1）一共有几张卡片?（2）从左数卡片8排第几?从右数卡片6排第几?（3）数字“8”的卡片在几和几的卡片之间?15.学校倡导给灾区小朋友捐款，姐姐捐了10元，我捐了5元，妹妹捐了3元。
我们3个一共捐了多少元？16.十一路车到站后，上来了8个人，现在车上有12个人，原来车上有几个人？17.荷叶上一共有7只，跳走了3只，还剩几只?18.小军吃了5个苹果，还剩下3个，小军原来有多少个苹果?19.小明要写15个大字，上午写了5个，下午又写了4个，他还要写几个大字？20.大树的前面有4只兔子，后面有6只兔子，一共有多少只兔子？21.车场共有10辆车，开走了8辆汽车，之后又开进来5辆，请问：车场现在有多少汽车？22.列算式并计算。
04_选修数学乙(上)习作_1-3 独立事件[4页]
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1-3獨立事件重點一獨立事件例題1設A，B表兩獨立事件，若P（A）＝P（B）且P（A'∩B'）＝49，則P（B）＝。
（10分）解：∵A，B獨立∴A'與B'亦獨立⇨P（A'∩B'）＝P（A'）P（B'）＝（1－P（A））（1－P（B））∵P（A）＝P（B）∴令P（A）＝P（B）＝x⇨49＝（1－x）（1－x）⇨x2－2x＋1＝49⇨x2－2x＋59＝0⇨ 9x2－18x＋5＝0 ⇨（3x－1）（3x－5）＝0⇨x＝13或x＝53（不合）故P（B）＝1 3例題2投擲一顆公正的骰子兩次，A表示第一次擲得偶數點之事件，A i表示兩次之點數和為i之事件，則下列各選項中，哪些為獨立事件？（10分）(A)A與A2(B)A與A3(C)A與A4(D)A與A5(E)A與A6。
解：(A)×：P（A）＝12，P（A2）＝136，P（A∩A2）＝0⇨P（A∩A2）≠P（A）P（A2）(B)○：P（A）＝12，P（A3）＝236，P（A∩A3）＝136⇨P（A∩A3）＝P（A）P（A3）(C)×：P（A）＝12，P（A4）＝336，P（A∩A4）＝136⇨P（A∩A4）≠P（A）P（A4）(D)○：P（A）＝12，P（A5）＝436，P（A∩A5）＝236⇨P（A∩A5）＝P（A）P（A5）(E)×：P（A）＝12，P（A6）＝536，P（A∩A6）＝236⇨P（A∩A6）≠P（A）P（A6）故選(B)(D)投擲兩顆相同的公正骰子，以A表示點數和為5的事件，以B表示點數積是6的事件，A與B是否為獨立事件？（10分）解：A＝｛（1﹐4）﹐（2﹐3）﹐（3﹐2）﹐（4﹐1）｝⇨P（A）＝4 36B＝｛（1﹐6）﹐（2﹐3）﹐（3﹐2）﹐（6﹐1）｝⇨P（B）＝4 36A∩B＝｛（2﹐3）﹐（3﹐2）｝⇨P（A∩B）＝2 36∵P（A）P（B）＝181≠P（A∩B），故A，B不為獨立事件例題4有一數學問題，甲能解出的機率為14，乙能解出的機率為13，今兩人同解此題，則：(1)甲乙均解出的機率為。
人教B版高中数学选修事件的独立性教案
2．2．2事件的相互独立性教学目标：知识与技能：理解两个事件相互独立的概念。
过程与方法：能进行一些与事件独立有关的概率的计算。
情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。
教学重点：独立事件同时发生的概率教学难点：有关独立事件发生的概率计算授课类型：新授课课时安排：2课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；必然事件：在一定条件下必然发生的事件；不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率m n 总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作()P A ．3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率；4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1P A ≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形5基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A ）称为一个基本事件6．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n，这种事件叫等可能性事件 7．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()m P A n = 8．等可能性事件的概率公式及一般求解方法9.事件的和的意义:对于事件A 和事件B 是可以进行加法运算的10 互斥事件:不可能同时发生的两个事件．()()()P A B P A P B +=+一般地：如果事件12,,,n A A A L 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A L 彼此互斥11．对立事件:必然有一个发生的互斥事件．()1()1()P A A P A P A +=⇒=-12．互斥事件的概率的求法:如果事件12,,,n A A A L 彼此互斥，那么12()n P A A A +++L ＝12()()()n P A P A P A +++L探究:(1)甲、乙两人各掷一枚硬币，都是正面朝上的概率是多少？事件A ：甲掷一枚硬币，正面朝上；事件B ：乙掷一枚硬币，正面朝上(2)甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是多少？事件A ：从甲坛子里摸出1个球，得到白球；事件B ：从乙坛子里摸出1个球，得到白球问题(1)、(2)中事件A 、B 是否互斥？（不互斥）可以同时发生吗？（可以）问题(1)、(2)中事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率有无影响？（无影响）思考:三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学有放回地抽取,事件A 为“第一名同学没有抽到中奖奖券”, 事件B 为“最后一名同学抽到中奖奖券”. 事件A 的发生会影响事件B 发生的概率吗?显然，有放回地抽取奖券时，最后一名同学也是从原来的三张奖券中任抽一张，因此第一名同学抽的结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响，即事件A 的发生不会影响事件B 发生的概率．于是P （B| A ）=P(B ）,P （AB ）=P( A ) P ( B |A ）=P （A ）P(B).二、讲解新课：1．相互独立事件的定义：设A, B 为两个事件，如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 则称事件A 与事件B 相互独立（mutually independent ) .事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立2．相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ⋅=⋅问题2中，“从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球”是一个事件，它的发生，就是事件A ，B 同时发生，记作A B ⋅．（简称积事件）从甲坛子里摸出1个球，有5种等可能的结果；从乙坛子里摸出1个球，有4种等可能的结果于是从这两个坛子里分别摸出1个球，共有54⨯种等可能的结果同时摸出白球的结果有32⨯种所以从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率323()5410P A B ⨯⋅==⨯． 另一方面，从甲坛子里摸出1个球，得到白球的概率3()5P A =，从乙坛子里摸出1个球，得到白球的概率2()4P B =．显然()()()P A B P A P B ⋅=⋅． 这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积一般地，如果事件12,,,n A A A L 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即 1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅L L ．3．对于事件A 与B 及它们的和事件与积事件有下面的关系：)()()()(B A P B P A P B A P ⋅-+=+三、讲解范例：例 1.某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是 0 . 05 ，求两次抽奖中以下事件的概率：(1)都抽到某一指定号码；(2)恰有一次抽到某一指定号码；(3)至少有一次抽到某一指定号码．解： (1)记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A, “第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B ，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB ．由于两次抽奖结果互不影响，因此A 与B 相互独立．于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) = 0. 05×0.05 = 0.0025.(2 ) “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用（A B ）U （A B ）表示．由于事件A B 与A B 互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为P (A B ）十P （A B ）=P （A ）P （B ）+ P （A ）P （B )= 0. 05×(1-0.05 ) + (1-0.05 ) ×0.05 = 0. 095.( 3 ) “两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用（AB ) U ( A B ）U （A B ）表示．由于事件 AB , A B 和A B 两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为 P ( AB ) + P （A B ）+ P （A B ) = 0.0025 +0. 095 = 0. 097 5.例2.甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：（1）2人都射中目标的概率；（2）2人中恰有1人射中目标的概率；（3）2人至少有1人射中目标的概率；（4）2人至多有1人射中目标的概率？解：记“甲射击1次，击中目标”为事件A ，“乙射击1次，击中目标”为事件B ，则A 与B ，A 与B ，A 与B ，A 与B 为相互独立事件，（1）2人都射中的概率为：()()()0.80.90.72P A B P A P B ⋅=⋅=⨯=，∴2人都射中目标的概率是0.72．（2）“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中（事件A B ⋅发生），另一种是甲未击中、乙击中（事件A B ⋅发生）根据题意，事件A B ⋅与A B ⋅互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为：()()()()()()P A B P A B P A P B P A P B ⋅+⋅=⋅+⋅0.8(10.9)(10.8)0.90.080.180.26=⨯-+-⨯=+=∴2人中恰有1人射中目标的概率是0.26．（3）（法1）：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况，其概率为()[()()]0.720.260.98P P A B P A B P A B =⋅+⋅+⋅=+=．（法2）：“2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事件，2个都未击中目标的概率是()()()(10.8)(10.9)0.02P A B P A P B ⋅=⋅=--=， ∴“两人至少有1人击中目标”的概率为1()10.020.98P P A B =-⋅=-=．（4）（法1）：“至多有1人击中目标”包括“有1人击中”和“2人都未击中”， 故所求概率为：()()()P P A B P A B P A B =⋅+⋅+⋅()()()()()()P A P B P A P B P A P B =⋅+⋅+⋅0.020.080.180.28=++=．（法2）：“至多有1人击中目标”的对立事件是“2人都击中目标”，故所求概率为1()1()()10.720.28P P A B P A P B =-⋅=-⋅=-=例 3.在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率 解：分别记这段时间内开关A J ，B J ，C J 能够闭合为事件A ，B ，C ．由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是()()()()P A B C P A P B P C ⋅⋅=⋅⋅ [][][]1()1()1()P A P B P C =--- (10.7)(10.7)(10.7)0.027=---=∴这段时间内至少有1个开关能够闭合，，从而使线路能正常工作的概率是1()10.0270.973P A B C -⋅⋅=-=．答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973．变式题1：如图添加第四个开关D J 与其它三个开关串联，在某段时间内此开关能够闭合的概率也是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率 （1()()0.9730.70.6811P A B C P D ⎡⎤-⋅⋅⋅=⨯=⎣⎦） 变式题2：如图两个开关串联再与第三个开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率方法一：()()()()()P A B C P A B C P A B C P A B C P A B C ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅()()()()()()()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅0.847=方法二：分析要使这段时间内线路正常工作只要排除CJ 开且A J 与B J 至少有1个开的情况 []21()1()10.3(10.7)0.847P C P A B --⋅=-⨯-=例 4.已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2． （1）假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；（2）要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？ 分析:因为敌机被击中的就是至少有1门高炮击中敌机，故敌机被击中的概率即为至少有1门高炮击中敌机的概率解:（1）设敌机被第k 门高炮击中的事件为K A (k=1,2,3,4,5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为12345A A A A A ⋅⋅⋅⋅．∵事件1A ，2A ，3A ，4A ，5A 相互独立，∴敌机未被击中的概率为12345()P A A A A A ⋅⋅⋅⋅=12345()()()()()P A P A P A P A P A ⋅⋅⋅⋅5(10.2)=-=5)54( ∴敌机未被击中的概率为5)54(．（2）至少需要布置n 门高炮才能有0.9以上的概率被击中，仿（1）可得： 敌机被击中的概率为1-n)54(∴令41()0.95n -≥，∴41()510n ≤ 两边取常用对数，得110.313lg 2n ≥≈- ∵+∈N n ，∴11n =∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机点评：上面例1和例2的解法，都是解应用题的逆向思考方法采用这种方法在解决带有词语“至多”、“至少”的问题时的运用，常常能使问题的解答变得简便四、课堂练习：1．在一段时间内，甲去某地的概率是14，乙去此地的概率是15，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是( )()A 320 ()B 15 ()C 25()D 920 2．从甲口袋内摸出1个白球的概率是13，从乙口袋内摸出1个白球的概率是12，从两个口袋内各摸出1个球，那么56等于（ ） ()A 2个球都是白球的概率 ()B 2个球都不是白球的概率()C 2个球不都是白球的概率 ()D 2个球中恰好有1个是白球的概率3．电灯泡使用时间在1000小时以上概率为0.2，则3个灯泡在使用1000小时后坏了1个的概率是（ ）()A 0.128 ()B 0.096 ()C 0.104 ()D 0.3844．某道路的A 、B 、C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是 （ ）()A 35192 ()B 25192 ()C 35576 ()D 651925．（1）将一个硬币连掷5次，5次都出现正面的概率是 ；（2）甲、乙两个气象台同时作天气预报，如果它们预报准确的概率分别是0.8与0.7，那么在一次预报中两个气象台都预报准确的概率是 ．6．棉籽的发芽率为0.9，发育为壮苗的概率为0.6，（1）每穴播两粒，此穴缺苗的概率为 ；此穴无壮苗的概率为 ．（2）每穴播三粒，此穴有苗的概率为 ；此穴有壮苗的概率为 ．7．一个工人负责看管4台机床，如果在1小时内这些机床不需要人去照顾的概率第1台是0.79，第2台是0.79，第3台是0.80，第4台是0.81，且各台机床是否需要照顾相互之间没有影响，计算在这个小时内这4台机床都不需要人去照顾的概率.8．制造一种零件，甲机床的废品率是0.04，乙机床的废品率是0.05．从它们制造的产品中各任抽1件，其中恰有1件废品的概率是多少？9．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，问取得的球是同色的概率是多少？答案：1. C 2. C 3. B 4. A 5.(1)132 (2) 0.56 6.(1) 0.01 , 0.16 (2) 0.999,0.9367. P=220.790.810.404⨯≈8. P=0.040.950.960.050.086⨯+⨯≈9. 提示：86461121212122P =⋅+⋅= 五、小结 ：两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响一般地，两个事件不可能即互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,这一点与互斥事件的概率和也是不同的六、课后作业：七、板书设计（略）八、教学反思：1. 理解两个事件相互独立的概念。
人教A版高中数学选修第二章事件的独立性教案新
2.2.2事件的独立性 （第一课时）教学目标：了解两个事件相互独立的概念 教学重点：了解两个事件相互独立的概念 教学过程 一、复习引入：1. 已知事件B 发生条件下事件A 发生的概率称为事件A 关于事件B 的条件概率，记作(|)P A B .2. 对任意事件A 和B ，若()0P B ≠，则“在事件B 发生的条件下A 的条件概率”，记作P(A | B)，定义为(|)P AB P A B P B （）＝（）二、讲解新课：1、引例：盒中有5个球其中有3个绿的2个红的，每次取一个有放回的取两次，设,,,,A B ==第一次抽取取到绿球第二次抽取取到绿球则3()()5P B A P B ==2、两个事件的独立性事件B 发生与否可能对事件A 发生的概率有影响，但也有相反的情况，即有时没有(|)()P A B P A =.(1)这时，()()(|)()()P AB P B P A B P A P B ==⋅. 反过来，若()()()P AB P A P B =⋅,(2)则()()()(|)()()()P AB P A P B P A B P A P B P B ⋅===.这种情况称A 与B 独立. 当()0P B >时，(1)式与(2)式是等价的，一般情况下独立的定义来用(2)式，因为在形式上它关于A 与B 对称，且便于推广到n 个事件. (2)式也取消了()0P B >的条件. 事实上，若B =∅, 则()0P B =, 同时就有()0P AB =，此时不论A 是什么事件，都有(2)式，亦即任何事件都与∅独立. 同理任何事件也与必然事件Ω独立.注：1）实际应用中，如何判断两事件的独立性？实际应用中，对于事件的独立性，我们常常不是用定义来判断，而是由试验方式来判断试验的独立性，由试验的独立性来判断事件的独立性，或者说根据问题的实质，直观上看一事件的发生是否影响另一事件的概率来判断。
例如，在放回摸球（袋中有白球和红球）试验中， 表示“第一次摸得白球”，表示“第二次摸得白球”。
08_选修数学乙(上)课本_第1章 内容摘要[4页]
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第1章 內容摘要1. 隨機變數的期望值若隨機變數的機率分布表如下：則稱隨機變數 X 的期望值為E （X ）＝11221nk k n n k x p x p x p x p ==+++∑L ‧‧‧。
2. 一組數據的變異數與標準差若一組數據 x 1，x 2，…，x n 的平均數為 μ，則這組數據的 (1) 變異數為σ2＝1n （（x 1－μ）2＋（x 2－μ）2＋…＋（x n －μ）2）＝1n()21nkk xμ=-∑。
(2) 標準差為 σ3. 隨機變數的變異數與標準差若隨機變數 X 的機率分布表如下：則隨機變數 X 的(1) 變異數為 Var （X ）＝()()()()()2221nk k k x E X p E X E X =-=-∑‧。
(2) 標準差為4. 伸縮平移後，期望值、變異數與標準差的關係設 X 為一隨機變數﹐a ﹐b 為兩常數﹐a ≠0﹐則： (1) ()()E aE X b aX b ++＝。
(2) ()()2V Var ar aX b a X +＝。
(3) a＝5. 三事件為獨立事件當三事件 A ，B ，C 同時滿足下列四項條件： (1) P （A ∩B ）＝P （A ）P （B ），(2) P （B ∩C ）＝P （B ）P （C ）， (3) P （A ∩C ）＝P （A ）P （C ），(4) P （A ∩B ∩C ）＝P （A ）P （B ）P （C ）。
稱 A ，B ，C 三事件為獨立事件。
6. 獨立重複白努利試驗的機率設一白努利試驗成功的機率為 p ，則獨立重複白努利試驗 n 次中，恰出現 k 次成功的機率為 ()1n kn k k C p p --。
7. 二項分布設白努利試驗成功的機率為 p ，失敗的機率為 q ＝1－p ，其中 p ≥ 0，q ≥ 0。
令隨機變數 X 的取值表示此試驗獨立重複試驗 n 次中成功的次數，則隨機變數 X 的機率質量函數為P （X ＝k ）＝n k n k k C p q -，k ＝0，1，…，n 。
15_选修数学乙(上)课本_附 录[6页]
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附 錄1 變異數公式隨機變數 X 的變異數 Var （X ）的定義是Var （X ）＝21(())nk k k x E X p =-⋅∑，其中 E （X ）是 X 的期望值。
此變異數也可以表成 E （X 2）－（E （X ））2，其中的隨機變數 X 2 代表將 X 的取值 x k 平方成為 x k 2，並取相同的機率 P （X 2＝x k 2）＝p k 。
上面的公式推導如下：Var （X ）＝21(())nk k k x E X p =-⋅∑＝221(2()(()))=-⋅+⋅∑nk k k k x x E X E X p ＝221112()(())===⋅-⋅⋅⋅+⋅∑∑∑n n nk k k k k k k k x p E X x p E X p＝E （X 2）－2‧E （X ）‧E （X ）＋（E （X ））2‧1 ＝E （X 2）－（E （X ））2，得證。
2 隨機變數伸縮平移後的期望值、變異數與標準差設兩隨機變數 X 與 Y 之間的關係是 Y =aX ＋b ，其中 a ，b 為兩常數，a ≠0。
以下我們推導 X ，Y 的期望值、變異數與標準差之間的關係。
隨機變數 X 的期望值 E （X ）的定義是：E （X ）＝1nk k k x p =∑‧對每一個 k ﹐隨機變數 Y 的取值為 y k =ax k ＋b 。
故隨機變數 Y 的期望值可計算如下：E （Y ）＝1nk k k y p =∑＝()1nk kk ax b p =+∑＝11nnk k kk k a x p b p ==+∑∑＝aE （X ）＋b ‧1 ＝aE （X ）＋b故得 E （Y ）＝aE （X ）＋b 。
接下來我們計算變異數。
隨機變數 X 的變異數 Var （X ）的公式是Var （X ）＝()()21nk k k x p E X =∑－‧利用 E （Y ）＝aE （X ）＋b ﹐隨機變數 Y 的變異數 Var （Y ）可計算為：Var （Y ）＝()()21nk k k y p E Y =∑－＝()()()()21n k k k aE X a b x b p =++∑－＝()()21nk k k ax p aE X =∑－ ＝()()221nk k k ax p E X =∑－＝a 2Var （X ），故得 Var （Y ）＝a 2Var （X ）。