八年级上册等腰三角形复习
人教版八年级上册数学等腰三角形知识点及对应练习(附参考解析)
等腰三角形一、知识梳理：专题一：等腰三角形概念及性质；等腰三角形的判定.二、考点分类考点一：等腰三角形的概念有两边相等的三角形是等腰三角形。
【类型一】利用等腰三角形的概念求边长或周长【例1】如果等腰三角形两边长是6cm和3cm，那么它的周长是()A．9cm B．12cm C．15cm或12cm D．15cm解析：当腰为3cm时，3＋3＝6，不能构成三角形，因此这种情况不成立．当腰为6cm 时，6－3＜6＜6＋3，能构成三角形；此时等腰三角形的周长为6＋6＋3＝15(cm)．故选D.方法总结：在解决等腰三角形边长的问题时，如果不明确底和腰时，要进行分类讨论，同时要养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．考点二：等腰三角形的性质1、等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．（2）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．2、解题方法：设辅助未知数法与拼凑法．3、重要的数学思想方法：方程思想、整体思想和转化思想．【类型一】利用“等边对等角”求角度【例2】等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是()A ．65°或50° B．80°或40° C ．65°或80° D．50°或80°解析：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65°.故选A.方法总结：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论．【类型二】 利用方程思想求等腰三角形角的度数【例3】 如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，且BD ＝BC ＝AD ，求△ABC 各角的度数．解析：设∠A ＝x ，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数．解：设∠A ＝x .∵AD ＝BD ，∴∠ABD ＝∠A ＝x .∵BD ＝BC ，∴∠BCD ＝∠BDC ＝∠ABD ＋∠A＝2x .∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠BCD ＝2x .在△ABC 中，∠A ＋∠ABC ＋∠ACB ＝180°，∴x ＋2x＋2x ＝180°，∴x ＝36°，∴∠A ＝36°，∠ABC ＝∠ACB ＝72°.方法总结：利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得到角与角之间的关系，当这种等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为x .① ②【类型三】 利用“等边对等角”的性质进行证明【例4】 如图②，已知△ABC 为等腰三角形，BD 、CE 为底角的平分线，且∠DBC ＝∠F ，求证：EC ∥DF .解析：先由等腰三角形的性质得出∠ABC ＝∠ACB ，根据角平分线定义得到∠DBC ＝12∠ABC ，∠ECB ＝12∠ACB ，那么∠DBC ＝∠ECB ，再由∠DBC ＝∠F ，等量代换得到∠ECB ＝∠F ，于是根据平行线的判定得出EC ∥DF .证明：∵△ABC 为等腰三角形，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB .又∵BD 、CE 为底角的平分线，∴∠DBC ＝12∠ABC ，∠ECB ＝12∠ACB ，∴∠DBC ＝∠ECB .∵∠DBC ＝∠F ，∴∠ECB ＝∠F ，∴EC ∥DF .方法总结：证明线段的平行关系，主要是通过证明角相等或互补．【类型四】 利用等腰三角形“三线合一”的性质进行证明【例5】 如图①，点D 、E 在△ABC 的边BC 上，AB ＝AC .(1)若AD ＝AE ，求证：BD ＝CE ；(2)若BD ＝CE ，F 为DE 的中点，如图②，求证：AF ⊥BC .解析：(1)过A 作AG ⊥BC 于G ，根据等腰三角形的性质得出BG ＝CG ，DG ＝EG 即可证明；(2)先证BF ＝CF ，再根据等腰三角形的性质证明．证明：(1)如图①，过A 作AG ⊥BC 于G .∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴BG ＝CG ，DG ＝EG ，∴BG－DG ＝CG －EG ，∴BD ＝CE ；(2)∵BD ＝CE ，F 为DE 的中点，∴BD ＋DF ＝CE ＋EF ，∴BF ＝CF .∵AB ＝AC ，∴AF ⊥BC .方法总结：在等腰三角形有关计算或证明中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．【类型五】 与等腰三角形的性质有关的探究性问题【例6】 如图①，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，BE 是∠ABC 的平分线，DE⊥BC ，垂足为D .(1)请你写出图中所有的等腰三角形；(2)请你判断AD 与BE 垂直吗？并说明理由．(3)如果BC ＝10，求AB ＋AE 的长．解析：(1)由△ABC 是等腰直角三角形，BE 为角平分线，可证得△ABE ≌△DBE ，即AB ＝BD ，AE ＝DE ，所以△ABD 和△ADE 均为等腰三角形；由∠C ＝45°，ED ⊥DC ，可知△EDC 也符合题意；(2)BE 是∠ABC 的平分线，DE ⊥BC ，根据角平分线定理可知△ABE 关于BE 与△DBE对称，可得出BE ⊥AD ；(3)根据(2)，可知△ABE 关于BE 与△DBE 对称，且△DEC 为等腰直角三角形，可推出AB ＋AE ＝BD ＋DC ＝BC ＝10.解：(1)△ABC ，△ABD ，△ADE ，△EDC .(2)AD 与BE 垂直．证明：由BE 为∠ABC 的平分线，知∠ABE ＝∠DBE ，∠BAE ＝∠BDE ＝90°，BE ＝BE ，∴△ABE ≌△DBE ，∴△ABE 沿BE 折叠，一定与△DBE 重合，∴A 、D 是对称点，∴AD ⊥BE .(3)∵BE 是∠ABC 的平分线，DE ⊥BC ，EA ⊥AB ，∴AE ＝DE .在Rt △ABE 和Rt △DBE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝DE ，BE ＝BE ，∴Rt △ABE ≌Rt △DBE (HL)，∴AB ＝BD .又∵△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，∴∠C ＝45°.又∵ED ⊥BC ，∴△DCE 为等腰直角三角形，∴DE ＝DC ，∴AB ＋AE ＝BD ＋DC ＝BC＝10.① ②考点三：等腰三角形的判定方法(1)根据定义判定；(2)两个角相等的三角形是等腰三角形．【类型一】 确定等腰三角形的个数 【例7】 如图②，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 、CE 分别是∠ABC 、∠BCD 的角平分线，则图中的等腰三角形有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个解析：共有5个．(1)∵AB ＝AC ，∴△ABC 是等腰三角形；(2)∵BD 、CE 分别是∠ABC 、∠BCD的角平分线，∴∠EBC ＝12∠ABC ，∠ECB ＝12∠BCD .∵△ABC 是等腰三角形，∴∠EBC ＝∠ECB ，∴△BCE 是等腰三角形；(3)∵∠A ＝36°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝12(180°－36°)＝72°.又∵BD 是∠ABC 的角平分线，∴∠ABD ＝12∠ABC ＝36°＝∠A ，∴△ABD 是等腰三角形；同理可证△CDE 和△BCD 也是等腰三角形．故选A.方法总结：确定等腰三角形的个数要先找出相等的边和相等的角，然后确定等腰三角形，再按顺序不重不漏地数出等腰三角形的个数．【类型二】 在坐标系中确定三角形的个数【例8】 已知平面直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，3)，在y 轴上确定点P ，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6解析：因为△AOP 为等腰三角形，所以可分三类讨论：(1)AO ＝AP (有一个)．此时只要以A 为圆心AO 长为半径画圆，可知圆与y 轴交于O 点和另一个点，另一个点就是点P ；(2)AO＝OP (有两个)．此时只要以O 为圆心AO 长为半径画圆，可知圆与y 轴交于两个点，这两个点就是P 的两种选择；(3)AP ＝OP (一个)．作AO 的中垂线与y 轴有一个交点，该交点就是点P 的最后一种选择．综上所述，共有4个．故选B. 方法总结：解决此类问题的方法主要是线段垂直平分线与辅助圆的灵活运用以及分类讨论时做到不重不漏．【类型三】 判定一个三角形是等腰三角形【例9】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的角平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．解析：根据直角三角形两锐角互余求得∠ABE＝∠ACD，然后根据三角形外角的性质求得∠CEF＝∠CFE，根据等角对等边求得CE＝CF，从而求得△CEF是等腰三角形．证明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACD.∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE＝∠EAC，∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．方法总结：“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．【类型四】等腰三角形性质和判定的综合运用【例10】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE.(1)求证：△DEF是等腰三角形；(2)当∠A＝50°时，求∠DEF的度数．解析：(1)根据等边对等角可得∠B＝∠C，利用“边角边”证明△BDE和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE＝EF，再根据等腰三角形的定义证明即可；(2)根据全等三角形对应角相等可得∠BDE＝∠CEF，然后求出∠BED＋∠CEF＝∠BED＋∠BDE，再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出∠B＝∠DEF.(1)证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .在△BDE 和△CEF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝CE ，∠B ＝∠C ，BE ＝CF ，∴△BDE ≌△CEF (SAS)，∴DE ＝EF ，∴△DEF 是等腰三角形；(2)解：∵△BDE ≌△CEF ，∴∠BDE ＝∠CEF ，∴∠BED ＋∠CEF ＝∠BED ＋∠BDE .∵∠B ＋∠BDE ＝∠DEF ＋∠CEF ，∴∠B ＝∠DEF .∵∠A ＝50°，AB ＝AC ，∴∠B ＝12×(180°－50°)＝65°，∴∠DEF ＝65°.方法总结：等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．经典例题考点一：等腰三角形的概念【例1】等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个三角形的周长为考点二：等腰三角形的性质【例3】已知等腰△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 边上一点，连接AD ，若△ACD 和△ABD 都是等腰三角形，求∠C 的度数。
2022八年级数学上册 第十三章 轴对称13.3 等腰三角形 1等腰三角形第2课时 等腰三角形的判定
13.3 等腰三角形
13.3.1 等腰三角形 第2课时 等腰三角形的判定
知识点一 等角对等边
1.如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝5，则AC的长为( D )
A.2
B.3
C.4
D.5
2.如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝8 cm，则CD等于( A )
A.8 cm B.4 cm
C.15 cm
D.20 cm
3.(课本P79练习T1改编)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平 分∠ABC交AC于点D，则图中等腰三角形有___△__A_B_C_，__△__A_B_D_，__△__B_D_C___.
4.如图，在△ABC中，BD⊥AC，∠A＝50°，∠CBD＝25°，若AC＝3 cm，则AB＝___3_c_m___.
C.8个
D.9个
考查角度一 等腰三角形的判定 11.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O， 给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC. (1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰 三角形？(用序号写出所有成立的情形) (2)请选择(1)中的一种情形，写出证明过程.
9.在如图所示的三角形中，若AB＝AC，则能被一条直线分成①②③
B.①②④
C.②③④
D.①③④
10.在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知点A，B是两
格点，如果点C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，那么这样
的点C有( C )
A.6个
B.7个
5.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上一点，过点D作DE⊥BC于点E， 并与CA的延长线交于点F，试判断△ADF的形状，并说明理由. 解：△ADF是等腰三角形．理由如下：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C.∵DE⊥BC，∴∠DEB＝∠DEC＝90°， ∴∠BDE＋∠B＝90°，∠F＋∠C＝90°， ∴∠BDE＝∠F.∵∠BDE＝∠ADF， ∴∠ADF＝∠F，∴AF＝AD， ∴△ADF是等腰三角形．
部编数学八年级上册专题10易错易混淆集训：等腰三角形中易漏解或多解的问题(解析版)含答案
专题10易错易混淆集训：等腰三角形中易漏解或多解的问题易错点一求长度时忽略三边关系易错点二当腰和底不明求角度时没有分类讨论易错点三三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论易错点一求长度时忽略三边关系例题：（2022·河北·石家庄石门实验学校八年级期末）已知等腰三角形的两边长分别为4和8，则它的周长等于____________．【答案】20【分析】根据等腰三角形的性质，本题要分情况讨论．当腰长为4或是腰长为8两种情况．【详解】解：等腰三角形的两边长分别为4和8，当腰长是4时，则三角形的三边是4，4，8，4+4=8不满足三角形的三边关系；当腰长是8时，三角形的三边是8，8，4，三角形的周长是20．故答案为∶20．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．【变式训练】1．（2022·新疆·和硕县第二中学八年级期末）等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长是多少（）A．13B．17C．13或17D．13或10【答案】B【分析】分①腰长为3和②腰长为7两种情况，再结合三角形的三边关系，利用三角形的周长公式即可得．【详解】解：由题意，分以下两种情况：①当腰长为3时，则这个等腰三角形的三边长分别为3,3,7，此时337+<，不满足三角形的三边关系，舍去；②当腰长为7时，则这个等腰三角形的三边长分别为3,7,7，此时377+>，满足三角形的三边关系，所以它的周长为37717++=；综上，这个等腰三角形的周长为17，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的三边关系、等腰三角形的定义，正确分两种情况讨论是解题关键．2．（2022·山东菏泽·八年级期末）已知等腰三角形底边和腰的长分别为6和5，则这个等腰三角形的周长为（ ）A ．15B ．16C ．17D ．18【答案】B【分析】根据等腰三角形的定义可知三边长为6，5，5，即可．【详解】根据题意可知等腰三角形的三边长为6，5，5，所以这个三角形的周长为6+5+5=16．故选：B ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键．3．已知实数x ，y 满足2|5|(10)0-+-=x y ，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A ．20B ．25C ．20或25D ．以上答案均不对【答案】B【解析】【分析】先根据非负数的性质列式求出x 、y 的值，再分5是腰长与底边两种情况讨论求解即可．【详解】解：2|5|(10)0x y -+-=Q ，|5|0x -³，2(100)y -³\x −5=0，y −10=0，解得x =5，y =10，当5是腰长时，三角形的三边分别为5、5、10，∵5+5=10，∴不能组成三角形；当5是底边时，三角形的三边分别为5、10、10，能组成三角形，周长=5+10+10=25，所以，三角形的周长为25，故选：B．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的性质，绝对值非负数，平方非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0，求出x、y的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．当腰长是5cm 时，则三角形的三边是5cm ，5cm ，2cm ，5cm +2cm ＞5cm ，满足三角形的三边关系，三角形的周长是5+5+2=12(cm )；当腰长是2cm 时，三角形的三边是2cm ，2cm ，5cm ，2cm +2cm ＜5cm ，不满足三角形的三边关系．故答案为：12cm ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．6．（1）等腰三角形一腰上的中线把周长分为15和12两部分，求该三角形各边的长．（2）已知一个等腰三角形的三边长分别为21,1,32x x x -+-，求这个等腰三角形的周长．【答案】（1）8,8,11或者10,10,7；（2）周长为7或者10【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质，列出方程求解，注意分类讨论．（2）分三种情况，进行讨论，结合三角形三边关系得出答案．【详解】()1设腰长为2x ,底为y ，根据题意得：①21512x x x y +=ìí+=î解得：5,7x y ==\ 三边为10,10,7②21215x x x y +=ìí+=î解得：4,11x y ==\ 三边为8,8,11故本题答案为：8,8,11或者10,10,7()2①当211x x -=+时，解2x =，此时3,3,4，能构成三角形．此时周长为10②当2132x x -=-时，解1x =，此时1,2,1不能构成三角形．③当132x x +=-，解得32x =，此时552,,22，能构成三角形，周长为＝7综上，三角形的周长为7或者10．【点睛】本题考查等腰三角形性质，以及三角形三边关系，属于基础提高题．易错点二当腰和底不明求角度时没有分类讨论例题：（2022·山东烟台·七年级期末）若等腰三角形中有一个角等于35°，则这个等腰三角形的顶角的度数为________．【答案】35°或110°【分析】根据等腰三角形两底角相等，分别讨论当35°为顶角，和当35°为底角两种情况即可得出答案．【详解】解：当35°为顶角时，这个等腰三角形顶角的度数为35°；当35°为底角时，顶角度数为：180352110°-°´=°；故答案为：35°或110°．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形两底角相等是本题解题关键．【变式训练】1．已知等腰三角形的一个内角是72°，那么这个等腰三角形的顶角是______度．【答案】72或36【解析】【分析】本题应分底角为72°、顶角为72°这两种情况，分别计算每种情况下等腰三角形是否存在．【详解】解∶①当72°角是顶角时，顶角为72°，②当72°角是底角时，顶角＝180°－72°×2＝36°，综上顶角为72°或36°．故答案为：72或36．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，，树立分类讨论思想，培养学生全面思考问题的数学素养，在计算等腰三角形有关边、角的问题时，要注意利用分类讨论的思想进行全面讨论是解题的关键．2．（2022·山东烟台·七年级期末）若等腰三角形中有一个角等于35°，则这个等腰三角形的顶角的度数为________．【答案】35°或110°【分析】根据等腰三角形两底角相等，分别讨论当35°为顶角，和当35°为底角两种情况即可得出答案．【详解】解：当35°为顶角时，这个等腰三角形顶角的度数为35°；当35°为底角时，顶角度数为：180352110°-°´=°；故答案为：35°或110°．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形两底角相等是本题解题关键．3．有一张三角形纸片ABC，∠A＝80°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两张纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是__________．【答案】25°或40°或10°【解析】【详解】【分析】分AB=AD或AB=BD或AD=BD三种情况根据等腰三角形的性质求出∠ADB，再求出∠BDC，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．【详解】由题意知△ABD与△DBC均为等腰三角形，对于△ABD可能有①AB=BD，此时∠ADB=∠A=80°，∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-80°=100°，∠C=12（180°-100°）=40°，②AB=AD，此时∠ADB=12（180°-∠A）=12（180°-80°）=50°，∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-50°=130°，∠C=12（180°-130°）=25°，③AD=BD，此时，∠ADB=180°-2×80°=20°，∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-20°=160°，∠C=12（180°-160°）=10°，综上所述，∠C度数可以为25°或40°或10°故答案为25°或40°或10°【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的存在性，解决问题的关键是熟练掌握等边对等角的性质，三角形的三个角都有可能是顶角，分类讨论．易错点三 三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论例题：若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则这个等腰三角形的底角的度数为（ ）A ．20°B ．50°或70°C ．70°D ．20°或70°【答案】D【解析】【分析】首先想到等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，当为等腰直角三角形时不可能出现题中所说情况，所以舍去不计，我们可以通过画图来讨论剩余两种情况．【详解】（1）当这个三角形是锐角三角形时，如图所示：∵高与另一腰的夹角为50°，即50ABD Ð=°，∴顶角905040A Ð=°-°=°，∵A ABC CB =Ð∠，()118040702ABC ACB \Ð=Ð=°-°=°；（2）当这个三角形是钝角三角形时，如图所示：∵∠ABD =50°，BD ⊥CD ，∴∠BAD =90°-50°=40°，∵ABC C Ð=Ð，40ABC C Ð+Ð=°，∴140202ABC C Ð=Ð=´°=°；综上所述，这个等腰三角形的底角的度数为70°或20°．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的高线，可能在三角形的内部，边上、外部几种不同情况，因此遇到与等腰三角形的高有关的计算时应分类讨论．【变式训练】∵∠ADE =50°，∠AED ∴∠A =40°，∴(11802B C =Ð=Ð∵∠ADE =50°，∠AED =90°，∴∠BAC =∠ADE +∠AED =140°，∴()1180140202B C =Ð=-°=а°4．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为56°，则这个等腰三角形底角度数是_______．【答案】73°或17°【解析】【分析】在等腰ABC D 中，AB AC =，BD 为腰AC 上的高，56ABD Ð=°，讨论：当BD 在ABC D 内部时，如图1，先计算出34BAD Ð=°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出ACB Ð；当BD 在ABC D 外部时，如图2，先计算出34BAD Ð=°，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出ACB Ð．【详解】解：在等腰ABC D 中，AB AC =，BD 为腰AC 上的高，56ABD Ð=°，当BD 在ABC D 内部时，如图1，BD Q 为高，90ADB \Ð=°，905634BAD \Ð=°-°=°，AB AC =Q ，1(18034)732ABC ACB \Ð=Ð=°-°=°；当BD 在ABC D 外部时，如图2，BD Q 为高，90ADB \Ð=°，905634BAD \Ð=°-°=°，AB AC =Q ，ABC ACB \Ð=Ð，而BAD ABC ACB Ð=Ð+Ð，1172ACB BAD \Ð=Ð=°，综上所述，这个等腰三角形底角的度数为73°或17°．故答案为：73°或17°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟悉相关性质是解题的关键．5．（2022·陕西·交大附中分校七年级期末）已知ABC V 中，20B Ð=°，在AB 边上有一点D ，若CD 将ABC V分为两个等腰三角形，则AÐ=________．【答案】100°，70°，40°或者10°【分析】分BD=CD、BC=CD、BD=BC三种情况讨论即可求解．【详解】第一种请况：BD=CD时，如图，∵BD=CD，∠B=20°，∴∠B=∠DCB=20°，∴∠ADC=∠B+∠DCB=40°，（1）当DA=DC时，∠A=∠ACD，∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∠ADC=40°，∴∠A=∠ACD=70°；（2）当DA=AC时，即有∠ADC=∠ACD=40°，∴∠A=180°-∠ADC-∠ACD=100°；（3）当CD=CA时，∠A=∠ADC=40°；第二种请况：BC=CD时，如图，∵∠B=20°，BC=CD，∴∠B=∠BDC=20°，∴∠ADC=180°-∠BDC=160°，∵△ADC是等腰三角形，∴有∠A=∠ACD，∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∴∠A=10°；第三种情况：BC=BD时，如图，∵BC=BD，∴∠BDC=∠BCD，∵∠B=20°，∠B+∠BCD+∠BDC=180°，∴∠BCD=∠BDC=80°，∴∠ADC=180°-∠BDC=100°，∵△ADC是等腰三角形，∴有∠A=∠ACD，∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∴∠A=40°；综上所述：∠A的度数为：70°，100°，40°，10°，故答案为：70°，100°，40°，10°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，掌握三角形的性质是解答本题的关键．6．（2021·江西育华学校八年级期末）已知△ABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线．如图1，Rt△ABC中，显然直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．在图2的△ABC中，∠ABC＝110°，若直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，则∠CDB的度数是_____．【答案】40°或90°或140°【分析】分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解．【详解】解：①如图，当∠DBC=90°，AD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，∵∠ABC=110°，∠DBC=90°，∴∠ABD=20°，∵AD=BD，∴∠A=∠ABD=20°，∴∠CDB=∠A+∠ABD=40°；②如图，当∠BDC=90°，AD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，或当∠BDC=90°，CD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，；③如图，当∠ABD=90°，CD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，∵∠ABC=110°，∠ABD=90°，∴∠DBC=20°，∵CD=BD，∴∠C=∠DBC=20°，∴∠BDC=140°．综上所述：当∠BDC的度数是40°或90°或140°时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，理解二分割线是本题的关键．。
人教版初中数学八年级上册《等腰三角形》复习试题(配套练习附答案)
【答案】44°
【解析】
【分析】
根据等腰三角形两底角相等求出∠BAC，再根据两直线平行，内错角相等解答．
详解】∵AB=AC，∠ABC=68°，
∴∠BAC=180°﹣2×68°=44°，
∵AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC=44°．
(1)写出y与x之间的函数表达式；
(2)画出此函数的图像．
22.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-- x＋8与x轴，y轴分别交于点A，点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．
(1)求AB的长和点C的坐标；
(2)求直线CD的表达式．
23.如图是平面直角坐标系及其中的一条直线,该直线还经过点C（3,﹣10）．
13.已知y+1与2﹣x成正比，且当x=﹣1时，y=5，则y与x的函数关系是____________．
14.已知直线y=kx+b经过点（2，3），则4k+2b﹣7=_____．
15.已知点M（1，a）和点N（﹣2，b）是一次函数y=﹣3x+1图象上的两点，则a与b的大小关系是_____．
16.已知一次函数y=kx+b，当0≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围是﹣2≤y≤4，则kb的值为______．
故选C
考点：等腰三角形三线合一
2.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°ห้องสมุดไป่ตู้则∠C的度数为（ ）
A.35°B.40°C.45°D.50°
【答案】A
【解析】
∵AB=AD, ∴∠ADB=∠B=70°.
∵AD=DC，
【期末复习】浙教版八年级上册提分专题：等腰三角形中的分类讨论(解析版)
【期末复习】浙教版八年级上册提分专题：等腰三角形中的分类讨论【知识点睛】❖ 在等腰三角形中，没有明确指明边是腰还是底时，要进行分类讨论，且求出未知边的长后，一定要看这三边能否组成三角形；❖ 没有明确指明角是顶角或底角时，也要进行分类讨论设等腰三角形中有一个角为α时对应结论 当α为顶角时底角=α2190-︒当α为直角或钝角时 不需要分类讨论，该角必为顶角 当α为锐角时α可以为顶角；也可以为底角当等腰三角形的一个外角为α时对应结论 若α为锐角、直角 α必为顶角的外角若α为钝角α可以是顶角的外角，也可以是底角的外角❖ 动态环境下的等腰三角形存在性问题【类题训练】1．△ABC 中，AB ＝AC ，一腰上的中线BD 把三角形的周长分为9cm 和12cm 两部分，则此三角形的腰长是 8cm 或6cm ．【分析】等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为12厘米和18厘米两部分，但已知没有明确等腰三角形被中线分成的两部分的长，哪个是9cm ，哪个是12cm ，因此，有两种情况，需要分类讨论． 【解答】解：根据题意画出图形，如图， 设等腰三角形的腰长AB ＝AC ＝2x ，BC ＝y ， ∵BD 是腰上的中线， ∴AD ＝DC ＝x ，若AB +AD 的长为12，则2x +x ＝12，解得x ＝4cm ， 则x +y ＝9，即4+y ＝9，解得y ＝5cm ；若AB +AD 的长为9，则2x +x ＝9，解得x ＝3cm ，则x+y＝12，即3+y＝12，解得y＝9cm；所以等腰三角形的腰长为8cm或6cm．故答案为：8cm或6cm．2．（1）等腰三角形中有一个角是70°，则它的顶角是70°或40°．（2）等腰三角形中有一个角是100°，则它的另两个角是40°，40°．（3）等腰三角形的一个内角为70°，它一腰上的高与底边所夹的度数为35°或20°．【分析】（1）等腰三角形一内角为70°，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况．（2）由于等腰三角形的两底角相等，所以100°的角只能是顶角，再利用三角形的内角和定理可求得另两底角．（3）题中没有指明已知角是底角还是顶角，故应该分情况进行分析从而求解．【解答】解：（1）①当70°角为顶角，顶角度数即为70°；②当70°为底角时，顶角＝180°﹣2×70°＝40°．（2）∵等腰三角形的两底角相等∴两底角的和为180°﹣100°＝80°∴两个底角分别为40°，40°．（3）①当∠A＝70°时，则∠ABC＝∠C＝55°，因为BD⊥AC，所以∠DBC＝90°﹣55°＝35°；②当∠C＝70°时，因为BD⊥AC，所以∠DBC＝90°﹣70°＝20°故答案为：70°或40°；40°，40°；35°或20°．3．如果等腰三角形的周长是35cm，一腰上中线把三角形分成两个三角形，其周长之差是4cm，则这个等腰三角形的底边长是9cm或cm．【分析】根据题意画出图形，设等腰三角形的腰长为xcm，则底边长为（19﹣2x）cm，再根据两个三角形的周长差是4cm求出x的值即可．【解答】解：如图所示，等腰△ABC中，AB＝AC，点D为AC的中点，设AB＝AC＝xcm，∵点D为AC的中点，∴AD＝CD＝，BC＝25﹣（AB+AC）＝35﹣2x，当△ABD的周长大于△BCD的周长时，AB+AD+BD﹣（BC+CD+BD）＝4，即x+﹣（35﹣2x）﹣＝4，解得x＝13，底边长为35﹣13×2＝9（cm）；当△BCD的周长大于△ABD的周长时，则BC+CD+BD﹣（AB+AD+BD）＝4，即35﹣2x+﹣（x+）＝4，解得x＝，底边长为35﹣×2＝（cm）．综上所述，这个等腰三角形的底边长为9cm或cm．故答案为：9cm或cm．4．已知△ABC中，CA＝CB，AD⊥BC于D，∠CAD＝50°，则∠B＝70°或20°．【分析】利用直角三角形两锐角互余可求得∠C，再利用三角形内角和定理和等腰三角形的性质可求得∠B．【解答】解：若△ACB是锐角三角形，如图1．∵AD⊥BC，∠CAD＝50°，∴∠C＝90°﹣∠CAD＝90°﹣50°＝40°，∵CA＝CB，∴∠B＝∠CAB，且2∠B+∠C＝180°，∴∠B＝70°，若△ACB是钝角三角形，如图2．∵AD⊥BC，∠CAD＝50°，∴∠DCA＝90°﹣∠CAD＝90°﹣50°＝40°，∵CA＝CB，∴∠B＝∠CAB，且∠DCA＝∠B+∠CAB∴∠B＝20°故答案为：70°或20°．5．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△P AB是等腰三角形，则符合条件的P点有（）A．5个B．6个C．7个D．8个【分析】根据等腰三角形的判定定理，结合图形即可得到结论．【解答】解：如图，第1个点在CA延长线上，取一点P，使BA＝AP；第2个点在CB延长线上，取一点P，使AB＝PB；第3个点在AC延长线上，取一点P，使AB＝PB；第4个点在BC延长线上，取一点P，使AB＝P A；第5个点在AC延长线上，取一点P，使AB＝AP；第6个点在AC上，取一点P，使∠PBA＝∠P AB；∴符合条件的点P有6个点．故选：B．6．用一根长为21厘米的铁丝围成一个三条边长均为整数厘米的等腰三角形，则方案的种数为（）A．5B．6C．7D．8【分析】设等腰三角形的腰为x，底边为y，根据三角形的周长求出y＝21﹣2x，根据三角形三边关系定理得出x+x＞y，求出x+y＞21﹣2x，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：设等腰三角形的腰为x，底边为y，则x＞0，y＞0，x+x＞y，则x+x+y＝21，即①y＝21﹣2x＞0，所以②x+x＞21﹣2x，解①②得：5＜x＜10.5，所以整数x可以为6，7，8，9，10，共5种，故选：A．7．如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为120°或75°或30°．【分析】求出∠AOC，根据等腰得出三种情况，OE＝CE，OC＝OE，OC＝CE，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可．【解答】解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝30°，①当E在E1时，OE＝CE，∵∠AOC＝∠OCE＝30°，∴∠OEC＝180°﹣30°﹣30°＝120°；②当E在E2点时，OC＝OE，则∠OEC＝∠OCE＝（180°﹣30°）＝75°；③当E在E3时，OC＝CE，则∠OEC＝∠AOC＝30°；故答案为：120°或75°或30°．8．如图，∠AOB＝60°，C是BO延长线上一点，OC＝12cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝4或12s时，△POQ是等腰三角形．【分析】根据等腰三角形的判定，分两种情况：（1）当点P在线段OC上时；（2）当点P在CO的延长线上时．分别列式计算即可求．【解答】解：分两种情况：（1）当点P在线段OC上时，设t时后△POQ是等腰三角形，有OP＝OC﹣CP＝OQ，即12﹣2t＝t，解得，t＝4s；（2）当点P在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用6s，当△POQ是等腰三角形时，∵∠POQ＝60°，∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，即2（t﹣6）＝t，解得，t＝12s故答案为4s或12s．9．如图，是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开（只允许剪一次），不能够得到两个等腰三角形纸片的是（）A．B．C．D．【分析】如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，据此进行判断即可．【解答】解：A、如图所示，△ACD和△BCD都是等腰三角形；B、如图所示，△ABC不能够分成两个等腰三角形；C、如图所示，△ACD和△BCD都是等腰三角形；D、如图所示，△ACD和△BCD都是等腰三角形；故选：B．10．已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．5条B．6条C．7条D．8条【分析】根据等腰三角形的性质分别利用AB，AC为底以及为腰得出符合题意的图形即可．【解答】解：如图所示：当BC1＝AC1，AC＝CC2，AB＝BC3，AC4＝CC4，AB＝AC5，AB＝AC6，BC7＝CC7时都能得到符合题意的等腰三角形．故选：C．11．如图，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ADC的度数为75°或120°或15°．【分析】分三种情形分别求解即可．【解答】解：∵△ABC中，∠B＝60°，∠C＝90°，∴∠BAC＝180°﹣60°﹣90°＝30°，如图，有三种情形：①当AC＝AD时，∠ADC＝＝75°．②当CD′＝AD′时，∠AD′C＝180°﹣30°﹣30°＝120°．③当AC＝AD″时，∠AD″C＝＝15°，故答案为：75°或120°或15°．12．如图，等边△ABC的边长为6，点P沿△ABC的边从A→B→C运动，以AP为边作等边△APQ，且点Q在直线AB下方，当点P、Q运动到使△BPQ是等腰三角形时，点Q运动路线的长为3或9．【分析】如图，连接CP，BQ，由“SAS”可证△ACP≌△ABQ，可得BQ＝CP，可得点Q运动轨迹是A→H→B，分两种情况讨论，即可求解．【解答】解：如图，连接CP，BQ，∵△ABC，△APQ是等边三角形，∴AP＝AQ＝PQ，AC＝AB，∠CAP＝∠BAQ＝60°，∴△ACP≌△ABQ（SAS）∴BQ＝CP，∴当点P运动到点B时，点Q运动到点H，且BH＝BC＝6，∴当点P在AB上运动时，点Q在AH上运动，∵△BPQ是等腰三角形，∴PQ＝PB，∴AP＝PB＝3＝AQ，∴点Q运动路线的长为3，当点P在BC上运动时，点Q在BH上运动，∵△BPQ是等腰三角形，∴BQ＝PB，∴BP＝BQ＝3，∴点Q运动路线的长为3+6＝9，故答案为：3或9．13．如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠A，过点C的直线能将△ABC分成两个等腰三角形，则∠A的度数为45°或36°或或．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵过点C的直线能将△ABC分成两个等腰三角形，①如图1，∵∠ACB＝2∠A，∴AD＝DC＝BD，∴∠ACB＝90°，∴∠A＝45°；②如图2，AD＝DC＝BC，∴∠A＝∠ACD，∠BDC＝∠B，∴∠BDC＝2∠A，∴∠A＝36°，③AD＝DC，BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD，∠A＝∠ACD，∴∠BCD＝∠BDC＝2∠A，∴∠BCD＝2∠A，∵∠ACB＝2∠A，故这种情况不存在．④如图3，AD＝AC，BD＝CD，∴∠ADC＝∠ACD，∠B＝∠BCD，设∠B＝∠BCD＝α，∴∠ADC＝∠ACD＝2α，∴∠ACB＝3α，∴∠A＝α，∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∴α+α+3α＝180°，∴α＝，∴∠A＝，⑤如图4，AC＝CD＝DB，∴∠A＝∠CDA，∠B＝∠DCB，∵∠CDB＝180°﹣∠CDA＝180°﹣∠A，∴∠B＝∠DCB＝＝，∴∠ACB＝∠A＝180°﹣，∵∠ACB＝2∠A，∴180°﹣＝2∠A，∴综上所述，∠A的度数为45°或36°或或．故答案为：45°或36°或或．14．已知等边△ABC的边长为3，点E在直线AB上，点D在直线CB上，且ED＝EC，若AE＝6，则CD的长为3或9．【分析】①E在线段AB的延长线上时，过E点作EF⊥CD于F，②当E在线段AB的延长线时，过E点作EF ⊥CD于F，根据等边三角形的性质求出BE长和∠ABC＝60°，解直角三角形求出BF，求出CF，即可求出答案．【解答】解：点E在直线AB上，AE＝6，点E位置有两种情况：①E在线段AB的延长线上时，过E点作EF⊥CD于F，∵△ABC是等边三角形，△ABC的边长为3，AE＝6，∴BE＝6﹣3＝3，∠ABC＝60°，∴∠EBF＝60°，∴∠BEF＝30°，∴BF＝BE＝，∴CF＝+3＝，∵ED＝EC，∴CF＝DF，∴CD＝×2＝9；②如图2，当E在线段AB的延长线时，过E点作EF⊥CD于F，∵△ABC是等边三角形，△ABC的边长为3，AE＝6，∴BE＝6+3＝9，∠ABC＝60°，∴∠EBF＝60°，∴∠BEF＝30°，∴BF＝AE＝，∴CF＝﹣3＝，∵ED＝EC，∴CF＝DF，∴CD＝×2＝3；即C＝9或3，故答案为：3或9．15．△ABC的高AD、BE所在的直线交于点M，若BM＝AC，求∠ABC的度数．【分析】分两种情况考虑：当∠ABC为锐角时，如图1所示，由AD垂直于BC，BE垂直于AC，利用垂直的定义得到一对直角相等，再由一对对顶角相等，得到∠CAD＝∠MBD，根据一对直角相等，再由BM＝AC，利用AAS得出三角形BMD与三角形ACD全等，由全等三角形对应边相等得到AD＝BD，得到三角形ABD为等腰直角三角形，可得出∠ABC＝45°；当∠ABC为钝角时，如图2所示，同理利用AAS得出三角形ADC与三角形DBM全等，由全等三角形对应边相等得到AD＝BD，得出三角形ABD为等腰直角三角形，求出∠ABD＝45°，利用邻补角定义即可求出∠ABC＝135°．【解答】解：分两种情况考虑：当∠ABC为锐角时，如图1所示，∵AD⊥DB，BE⊥AC，∴∠MDB＝∠AEM＝90°，∵∠AME＝∠BMD，∴∠CAD＝∠MBD，在△BMD和△ACD中，，∴△BMD≌△ACD（AAS），∴AD＝BD，即△ABD为等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°；当∠ABC为钝角时，如图2所示，∵BD⊥AM，BE⊥AC，∴∠BDM＝∠BEC＝90°，∵∠DBM＝∠EBC，∴∠M＝∠C，在△BMD和△ACD中，，∴△BMD≌△ACD（AAS），∴AD＝BD，即△ABD为等腰直角三角形，∴∠ABD＝45゜，则∠ABC＝135゜．16．已知点P为线段CB上方一点，CA⊥CB，P A⊥PB，且P A＝PB，PM⊥BC于M，若CA＝1，PM＝4．求CB的长．【分析】根据全等三角形的判定得出△PMB≌△PNA，进而分类讨论得出答案即可．【解答】解：此题分以下两种情况：①如图1，过P作PN⊥CA于N，∵P A⊥PB，∴∠APB＝90°，∵∠NPM＝90°，∴∠NP A＝∠BPM，在△PMB和△PNA中，，∴△PMB≌△PNA，∴PM＝PN＝4＝CM，BM＝AN＝3，∴BC＝7；②如图2，过P作PN⊥CA于N，∵P A⊥PB，∴∠APB＝90°，∵∠NPM＝90°，∴∠NP A＝∠BPM，在△PMB和△PNA中，，∴△PMB≌△PNA，∴PM＝PN＝4＝CM，BM＝AN＝5，可得BC＝9．综合上述CB＝7或9．17．如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且AD＝AE，连接DE．（1）如图①，若∠B＝∠C＝35°，∠BAD＝80°，求∠CDE的度数；（2）如图②，若∠ABC＝∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，求∠BAD的度数；（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝110°，根据三角形的外角的性质即可得到结论；（2）根据三角形的外角的性质得到∠E＝75°﹣18°＝57°，于是得到结论；（3）设∠ABC＝∠ACB＝y°，∠ADE＝∠AED＝x°，∠CDE＝α，∠BAD＝β，①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC＝x°﹣α，②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC＝x°+α，③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC＝x°﹣α，根据题意列方程组即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠B＝∠C＝35°，∴∠BAC＝110°，∵∠BAD＝80°，∴∠DAE＝30°，∴∠ADE＝∠AED＝75°，∴∠CDE＝180°﹣35°﹣30°﹣75°＝40°；（2）∵∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，∴∠E＝75°﹣18°＝57°，∴∠ADE＝∠AED＝57°，∴∠ADC＝39°，∵∠ABC＝∠ADB+∠DAB＝75°，∴∠BAD＝36°；（3）设∠ABC＝∠ACB＝y°，∠ADE＝∠AED＝x°，∠CDE＝α，∠BAD＝β①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC＝x°﹣α，∴，（1）﹣（2）得2α﹣β＝0，∴2α＝β；②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC＝x°+α，∴，（2）﹣（1）得α＝β﹣α，∴2α＝β；③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC＝x°﹣α，∴，（2）﹣（1）得2α﹣β＝0，∴2α＝β．综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE＝∠BAD．18.定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．（1）图①是顶角为36°的等腰三角形，这个三角形的三分线已经画出，请你在图②中用不同于图①的方法画出顶角为36°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数．（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）（2）图③是顶角为45°的等腰三角形，请你在图③中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数．（3）△ABC中，∠B＝30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝BD，DE＝CE，设∠C＝x°，则x所有可能的值为．【分析】（1）在图②中用不同于图①的方法画出顶角为36°的等腰三角形的三分线即可；（2）在图③中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线即可；（3）分两种情况：AD为等腰三角形的腰或底作图即可得结论．【解答】解：（1）在图②中用不同于图①的方法画出顶角为36°的等腰三角形的三分线；（2）在图③中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线．每个等腰三角形顶角的度数为：90°、135°、45°．故答案为：90°、135°、45°．（3）如下图作△ABC，①如图1：当AD＝AE时，∵2x+x＝30+30，∴x＝20．②如图2：当AD＝DE时，∵2x+x+30+30＝180．∴x＝40．所以x的所有可能的值为20°或40°．故答案为20°或40°．19．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AE交BC于点P，交DC的延长线于点E，点P为AE的中点．（1）求证：点P也是BC的中点；（2）若CB⊥AB，且DP＝，CD＝，AB＝4，求AP的长；（3）在（2）的条件下，若线段AE上有一点Q，使得△ABQ是等腰三角形，求AQ的长．【分析】（1）由平行线的性质得出∠CEP＝∠BAP，∠ECP＝∠ABP，由点P为AE的中点，得出PE＝P A，由AAS证得△CEP≌△BAP，即可得出结论；（2）由CB⊥AB，AB∥CD，得出∠DCP＝∠ABP＝90°，在Rt△DCP中，CP＝＝3，由（1）得CP＝PB＝3，在Rt△ABP中，AP＝＝5；（3）①当AQ＝AB时，AQ＝AB＝4；②当BA＝BQ时，过点B作BN⊥AQ于N，则AN＝NQ，由S△ABP＝AB•BP＝AP•BN，求出BN＝，在Rt△ABN中，AN＝＝，则AQ＝2AN＝；③当AQ＝QB时，证明QB＝AQ＝QP，则AQ＝AP＝．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠CEP＝∠BAP，∠ECP＝∠ABP，∵点P为AE的中点，∴PE＝P A，在△CEP和△BAP中，，∴△CEP≌△BAP（AAS），∴PC＝PB，∴点P也是BC的中点；（2）解：∵CB⊥AB，AB∥CD，∴∠DCP＝∠ABP＝90°，在Rt△DCP中，CP＝＝＝3，由（1）得：CP＝PB＝3，在Rt△ABP中，AP＝＝＝5；（3）解：①当AQ＝AB时，AQ＝AB＝4；②当BA＝BQ时，过点B作BN⊥AQ于N，如图1所示：则AN＝NQ，S△ABP＝AB•BP＝AP•BN，即4×3＝5BN，∴BN＝，在Rt△ABN中，AN＝＝＝，∴AQ＝2AN＝；③当AQ＝QB时，如图2所示：∵AQ＝QB，∴∠QAB＝∠QBA，∵∠QAB+∠QPB＝90°，∠QBA+∠QBP＝90°，∴∠QPB＝∠QBP，∴QB＝QP，∴QB＝AQ＝QP，∴AQ＝AP＝；综上所述，△ABQ是等腰三角形，AQ的长为4或或．。
部编数学八年级上册专题09等腰等边三角形问题(解析版)含答案
2023--2024学年度人教版数学八年级上册期末复习核心考点三种题型精炼专题09 等腰等边三角形问题选择题一、选择题1. （2023贵州省）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120°，腰长为12m ，则底边上的高是（ ）A. 4mB. 6mC. 10mD. 12m【答案】B 【解析】作AD BC ^于点D ，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得()1180302B C BAC Ð=Ð=°-Ð=°，再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案．如图，作AD BC ^于点D ，Q ABC V 中,120BAC Ð=°，AB AC =，\()1180302B C BAC Ð=Ð=°-Ð=°，Q AD BC ^，\11126m 22AD AB ==´=，故选B ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质等，解题的关键是掌握30度角所对的直角边等于斜边的一半．2.如图，点F 在正五边形ABCDE 的内部，ABF V 为等边三角形，则AFC Ð等于（ ）A. 108°B. 120°C. 126°D. 132°【答案】C【解析】根据多边形内角和公式可求出∠ABC的度数，根据正五边形的性质可得AB=BC，根据等边三角形的性质可得∠ABF=∠AFB=60°，AB=BF，可得BF=BC，根据角的和差关系可得出∠FBC的度数，根据等腰三角形的性质可求出∠BFC的度数，根据角的和差关系即可得答案．∵ABCDE是正五边形，∴∠ABC=(52)1805-´°=108°，AB=BC，∵ABFV为等边三角形，∴∠ABF=∠AFB=60°，AB=BF，∴BF=BC，∠FBC=∠ABC-∠ABF=48°，∴∠BFC=1(180)2FBC°-Ð=66°，∴AFCÐ=∠AFB+∠BFC=126°，【点睛】本题考查多边形内角和、等腰三角形的性质、等边三角形的性质，熟练掌握多边形内角和公式是解题关键．3. 如图所示，点D是△ABC的边AC上一点（不含端点），AD=BD，则下列结论正确的是（ ）A．AC＞BC B．AC=BC C．∠A＞∠ABC D．∠A=∠ABC【答案】A【解析】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．根据等腰三角形的两个底角相等，由AD=BD 得到∠A=∠ABD ，所以∠ABC ＞∠A ，则对各C 、D 选项进行判断；根据大边对大角可对A 、B 进行判断．∵AD=BD ，∴∠A=∠ABD ，∴∠ABC ＞∠A ，所以C 选项和D 选项错误；∴AC ＞BC ，所以A 选项正确；B 选项错误．4. 如图所示，直线a ∥b ，点A 在直线a 上，点B 在直线b 上，AC =BC ，∠C =120°，∠1=43°，则∠2的度数为（ ）A. 57°B. 63°C. 67°D. 73°【答案】D 【解析】根据等腰三角形的性质可求出30ABC Ð=°，可得出+173ABC ÐÐ=°，再根据平行线的性质可得结论．∵AC =BC ，∴ABC D 是等腰三角形，∵=120C а ∴11(180)(180120)3022ABC C Ð=°-Ð=°-°=° ∴1304373ABC Ð+Ð=°+°=°∵a ∥b ，∴2173ABC Ð=Ð+Ð=°故选：D【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质，求出173ABC Ð+Ð=°是解答本题的关键．二、填空题1. 如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB AC =，立柱AD BC ^，且顶角120BAC Ð=°，则C Ð大小为 ．【答案】30°##30度【解析】先由等边对等角得到B C Ð=Ð，再根据三角形的内角和进行求解即可．AB AC =Q ，B C \Ð=Ð，120BAC Ð=°Q ，180BAC B C Ð+Ð+Ð=°，180120302C °-°\Ð==°，故答案为：30°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．2. 如图，在ABC V 中，40ABC Ð=°，80BAC Ð=°，以点A 为圆心，AC 长为半径作弧，交射线BA 于点D ，连接CD ，则BCD Ð的度数是 ．【答案】10°或100°【解析】分两种情况画图，由作图可知得AC AD =，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可．如图，点D 即为所求；的在ABC D 中，40ABC Ð=°，80BAC Ð=°，180408060ACB \Ð=°-°-°=°，由作图可知：AC AD =，1(18080)502ACD ADC \Ð=Ð=°-°=°，605010BCD ACB ACD \Ð=Ð-Ð=°-°=°；由作图可知：AC AD =¢，ACD AD C \Т=Т，80ACD AD C BAC Т+Т=Ð=°Q ，40AD C \Т=°，1801804040100BCD ABC AD C \Т=°-Ð-Т=°-°-°=°．综上所述：BCD Ð度数是10°或100°．故答案为：10°或100°．【点睛】本题考查了作图-复杂作图，三角形内角和定理，等腰三角形判定与性质，解题的关键是掌握基本作图方法．3.如图，在△ABC 中，AB=AC=2a ，∠ABC=∠ACB=15°，CD 是腰AB 上的高．则CD 的长为 ．【答案】a【解析】观察图形可以发现，在Rt △ADC 中，AC=2a ，而∠DAC 是△ABC 的一个外角， 则∠DAC=15°×2=30°，根据在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半， 可求出CD ．∵∠ABC=∠ACB=15°，∴∠DAC=∠ABC+∠BAC=30°．的的∴CD=AC=a（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）．4.在等腰ABC D 中，AD BC ^交直线BC 于点D ，若12AD BC =，则ABC D 的顶角的度数为 ．【答案】30°或150°或90°．.【解析】①BC 为腰，∵AD ⊥BC 于点D ，AD=12BC ，∴∠ACD=30°，如图1，AD 在△ABC 内部时，顶角∠C=30°，如图2，AD 在△ABC 外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°，②BC 为底，如图3，∵AD ⊥BC 于点D ，AD=12BC ，∴AD=BD=CD ，∴∠B=∠BAD ，∠C=∠CAD ，∴∠BAD+∠CAD=12×180°=90°，∴顶角∠BAC=90°，综上所述，等腰三角形ABC 的顶角度数为30°或150°或90°．5.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边的 _．【答案】一半。
八年级数学上册 2.5《等腰三角形的轴对称性》等腰三角形要点全析素材 (新版)苏科版
要点全析：等腰三角形1．等腰三角形（isosceles triangle）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．如图14-3-1，△ABC中，AB＝AC，则△ABC是等腰三角形．相等的两条边叫腰，另一条边BC叫底边，两腰所夹的角叫顶角，如∠BAC，底边和腰的夹角∠ABC和∠ACB叫底角．如图14-3-2中，∠C＝90°，AC＝BC，那么，AC、BC为腰，AB边为底，∠A、∠B为底角，∠C为顶角．【说明】要理解等腰三角形的定义，需注意以下几点：（1）等腰三角形的底不一定在下方，而顶角不一定在上方，如图14-3-2中，AB为底，∠C为顶角．它是根据两腰的位置来确定的．（2）等腰三角形的三边仍要满足条件：任意两边之和大于第三边（或任意两边之差小于第三边）．若图14-3-1中，AB＝AC＝m，BC＝a，则2m＞a，即m>a/2时，才能构成三角形，否则不成立．如边长分别为2，2.5的三条线段不能构成三角形，因为2＋2＜5．例如：（1）下列各组数据为边长时，能否组成三角形？①a＝2，b＝3，c＝5；②a＝4，b＝3，c＝2；③a＝1，b＝2，c＝2；④a＝2 005，b＝2 004，c＝2 008．（2）已知等腰三角形的两边为6 cm，7 cm，求其周长．（3）已知等腰三角形的两边长为2 cm，7 cm，求其周长．解：（1）①由于2＋3＝5，即a＋b＝c，而不满足a＋b＞c，∴不能组成三角形．②由于2＋3＝5＞4，即b＋c＞a，所以a、b、c可以组成三角形．③由于1＋2＞2，即a＋b＞c，所以a、b、c可以组成三角形．④由于a＋b＞c，因此a、b、c可以组成三角形．（2）因等腰三角形的两边长分别为6 cm、7 cm当腰长为6 cm时，周长为6＋6＋7＝19（cm）当腰长为7 cm时，周长为6＋7＋7＝20（cm）．∴等腰三角形的周长为19 cm或20 cm．（3）因等腰三角形的两边长分别为2 cm，7 cm，所以腰长为7 cm，而不能是2 cm．若为2 cm，则2＋2＝4＜7，不能组成三角形．因此周长为7＋7＋2＝16（cm），∴等腰三角形的周长为16 cm．2．等腰三角形的性质1等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）如图14-3-3，△ABC中，AB＝AC，则∠B＝∠C证法一：（利用轴对称）过点A作△ABC的对称轴AD．∵AB＝AC，∴点A在BC的垂直平分线上．又∵AD为△ABC的对称轴，∴△ABD≌△ACD（轴对称性质）．∴∠B＝∠C证法二：（作顶角平分线）过点A作AD平分∠BAC交BC于D，如图14-3-3，在△ABD和△ACD中⎪⎩⎪⎨⎧∠∠ADADCADBADACAB＝＝＝∴△ABD≌△ACD（SAS）．∴∠B＝∠C【说明】还可以作底边BC的中线和高来证明．3．等腰三角形的性质2（简称“三线合一”）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线相互重合．如图14-3-6，在△ABC中，AB＝AC，AD为顶角的平分线，那么AD既是中线，又是高线，这三条线重合．在使用时，在这三条线段中，只要作出其中一条，另外两条也就可以认为作出来了．即△ABC中，AB＝AC，若AD平分∠BAC，则AD⊥BC，BD＝CD；若BD＝CD，则AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD；若AD⊥BC，则BD＝DC，∠BAD＝∠CAD．因此，等腰三角形中的这条线非常重要，一旦作出，边、角的等量关系就都有了．【说明】（1）“三线合一”仅限于等腰三角形中才有，其他三角形中没有．（2）在一般三角形中，这三条线是不会重合的．如图14-3-7，在△ABC中，AD为高，AE为中线，AF平分∠BAC，因此，这三条线不重合．只有等腰时，三条线才会重合；反过来，若某一三角形中三线重合，则该三角形为等腰三角形．（3）在今后的证明题中，经常会使用“三线合一”进行证明．例如：△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC交AC于D，如图14-3-8．求证：∠BAC＝2∠DBC证法一：在△BCD中，∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°．∴∠DBC＝90°－∠C．在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∴∠BAC＝180°－（∠ABC＋∠ACB）＝180°－2∠ACB＝2（90°－∠C）．∴∠BAC＝2∠DBC证法二：借助于三线合一的性质，过A作AM⊥BC于M，则AM平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAM＝2∠CAM.又∵BD⊥AC交AC于D，AM⊥BC交BC于M，∴∠DBC＝90°－∠C又∵AM⊥BC，∴∠CAM＝90°－∠C，∴∠DBC＝∠CAM4．等腰三角形的性质3（轴对称性）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在的直线就是它的对称轴．如图14-3-9，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，则△ABC的对称轴为AD所在的直线，△ABD≌△ACD．过D作DE⊥AB，交AB于E，作DF⊥AC，交AC于F．由△ABD≌△ACD可知DE＝DF．同理，过D分别作AB、AC边上的中线和角平分线，它们都相等．因此，得到等腰三角形的一个重要结论．重要结论：过等腰三角形底边的中点向两腰所作的高线、中线以及角平分线，其与两腰所截得的线段都分别对应相等．5．等腰三角形的性质4（两腰上的对应线段相等）等腰三角形两腰上的中线、高线和两底角平分线对应相等．例如：如图14-3-10，△ABC中，AB＝AC，若BD、CE分别为AC、AB边上的高线，则BD ＝CE．证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角）．又∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BDC＝∠CEB＝90°．在△BCD和△CBE中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠∠，＝，＝，＝CBBCCEBBDCCBEBCD∴△BCD≌△CBE（AAS）．∴BD＝CE．或S△ABC＝0.5×AB·CE＝0.5×AC·BD．∵ AB＝AC，∴BD＝CE．此法较为简便．同样道理，可分别作出两腰上的中线，两底角的平分线，也分别对应相等．6．等腰三角形的判定定理（等角对等边）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．例如：如图14-3-11，△ABC中，若∠B＝∠C，则AB＝AC证明：过点A作AD平分∠BAC，交BC于点D，则∠BAD＝∠CAD．在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（AAS）．∴AB＝AC因此，这一结论可直接利用．【说明】（1）在使用“等边对等角”或“等角对等边”时，一定要注意是在同一个三角形中才有这一对应关系，不在同一三角形中的边、角没有这一对应关系．（2）有了这一结论，为今后证明线段相等又添了一种重要的解题途径．例如：如图14-3-12，△ABC中，AB＝AC，BD、CE相交于O点．且BE＝CD求证：OB＝OC．证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角）．在△BCE和△CBD中⎪⎩⎪⎨⎧∠∠，＝，＝，＝CBBCDCBEBCCDBE∴△BCE≌△CBD（SAS）．∴∠BCE＝∠CBD，即∠OBC＝∠BCO∴OB＝OC（等角对等边）．【说明】证两条线段相等，若这两条线段在同一个三角形中，可利用等腰三角形的判定定理来证明．7．已知底边和底边上的高，求作等腰三角形已知线段a、b，求作等腰三角形ABC，使底边BC＝a，高为b．作法：（1）作线段BC＝a；（2）作线段BC的垂直平分线MN与BC交于点D；（3）在MN上截取AD＝b；（4）连接AB、AC，△ABC就是所求的等腰三角形．【说明】（1）由作法知MN为BC的垂直平分线，∴AB＝AC∴△ABC为等腰三角形，如图14-3-13．（2）以前所作的三角形分别为：已知三边，两边夹角，两角夹边和已知斜边、直角边求作三角形，今天又学习了已知底边和底边上的高求作等腰三角形，共有五种情况，今后还将学习一些更为复杂的作法，都是以这五种为基础进行作图的．8．等边三角形（equilateral triangle）（1）定义：三条边都相等的三角形，叫等边三角形．如图14-3-14，△ABC中，AB＝BC ＝CA，则△ABC为等边三角形．（2）性质：①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．如图14-3-14中，若△ABC 为等边三角形，则∠A＝∠B＝∠C＝60°．②除此之外，还具有等腰三角形的一切性质，如三线合一，轴对称等．（3）判定：①三个角都相等的三角形是等边三角形．②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．下面证明以上两条判定．判定①：如图14-3-15，已知△ABC中，∠A＝∠B＝∠C求证：△ABC是等边三角形．证明：∵∠B＝∠C，∴AB＝AC又∵∠A＝∠B∴AC＝BC∴AB＝AC＝BC，∴△ABC是等边三角形．判定②：如图14-3-15，已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°．求证：△ABC是等边三角形．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．又∵∠B＝60°，∴∠B＝∠C＝60°．又∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝180°－（∠B＋∠C）＝60°．∴∠A＝∠B＝∠C，∴AB＝BC＝AC．∴△ABC为等边三角形．（4）应用：例如：如图14-3-16，△ABC为等边三角形，D、E为直线BC上的两点，且BD＝BC＝CE，求∠DAE的度数．分析：要求∠DAE的度数，需分开求，先求∠BAC，再求∠DAB和∠CAE，由△ABC为等边三角形知∠BAC＝60°，又∵BD＝BC，而BC＝BA，则BD＝BA，∴△ABD为等腰三角形，∴∠D＝∠DAB＝0.5×∠ABC＝30°．同理可知，∠CAE＝30°．解：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°．又∵BD＝BC，∴BD＝BC＝AB．∴∠DAB＝∠D，又∵∠ABC＝∠D＋∠DAB，∴∠ABC＝2∠DAB＝60°，∴∠DAB＝30°．同理，∠CAE＝30°．∴∠DAE＝∠DAB＋∠BAC＋∠CAE＝30°＋60°＋30°＝120°．【说明】本题中用到了等边三角形的性质．再如：如图14-3-17，已知△ABC为等边三角形，D、E、F分别为△ABC三边上的点，且BD＝CE＝AF，直线AD、BE、CF两两相交于点R、Q、P．求证：△PQR是等边三角形．分析：本题既用到了等边三角形的性质，又用到了其判定．要证△PQR为等边三角形，证三边相等难度较大，可考虑证其三角相等．也可先证∠PQR＝60°，而∠PQR＝∠ACQ＋∠QAC，又因为∠ACQ＋∠BCF ＝60°，只需证∠BCF＝∠DAC，由此可联想证△BCF与△CAD全等．证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝CA．又∵BD＝CE＝AF，∴BF＝DC＝AE在△ABE和△BCF和△CAD中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠，＝＝，＝＝，＝＝CDBFAEDCAFBCBAECABCAB∴△ABE≌△BCF≌△CAD（SAS）．∴∠ABE＝∠BCF＝∠CAD．∵∠ACQ＋∠BCF＝60°，∴∠ACQ＋∠CAQ＝60°．∴∠AQF＝∠ACQ＋∠CAQ＝60°，即∠PQR＝60°．同理，∠RPQ＝∠PRQ＝60°．∴△PQR为等边三角形．【说明】（1）此题证明思路比较清晰，只是步骤书写较繁，书写应认真；（2）在证明过程中用到了三个三角形全等的连等形式，可仿照两个三角形全等的方式使用．9．含30°角的直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．如图14-3-18，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，则BC＝0.5×AB，这一性质反过来也成立．即在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝0.5×AB，则∠A＝30°．因此Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30° BC＝AB/2这一性质在解题中经常用到．例如：如图14-3-19，在Rt△ABC中，∠BAC为直角，高AD交BC于D，∠B＝30°，BC ＝12米，求CD，BD的长．解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，∴∠C＝60°，BC＝2AC∴AC＝BC/2＝6（米）．在Rt△ACD中，∵AD⊥BC，∠C＝60°，∴∠CAD＝30°．∴DC＝AC/2＝0.5××6＝3（米）．∴BD＝BC－DC＝9－6＝12－3＝9（米）．【说明】在本题中两次用到直角三角形的这一性质，并且用的方式都一样．。
2022八年级数学上册 第十三章 轴对称13.3 等腰三角形 1等腰三角形第1课时 等腰三角形的性质
考查角度二 运用等腰三角形的性质判断线段间的数量关系与位置关系
13.如图，在等腰三角形ADC中，AD＝CD，且AB∥DC，CB⊥AB于点B， CE⊥AD交AD的延长线于点E. (1)求证：CE＝CB； (2)连接BE，请写出BE与AC的位置关系，并证明.
B.AD平分∠BAC
C.AB＝2BD
D.∠B＝∠C
7.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，若△ABC的周长为36， △ABD的周长为30，求AD的长.
解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴BD＝CD. ∵△ABC的周长为36，∴AB＋BC＋AC＝36， ∴AB＋BD＝18. ∵△ABD的周长为30， ∴AB＋BD＋AD＝30， ∴AD＝30－18＝12.
∠OPP′的度数为( B )
A.40° B.50°
C.70°
D.80°
3.某城市几条道路的位置关系如图所示，已知AB∥CD，AE与AB的夹角为 48°，若CF与EF的长度相等，则∠C的度数为___2_4_°___.
4.(课本P77练习T3改编)如图，在△ABC中，AD＝BD＝BC，若∠DBC＝ 28°，求∠ABC和∠C的度数. 解：设∠A＝x°.∵AD＝BD， ∴∠ABD＝∠A＝x°，∴∠BDC＝2x°. ∵BD＝BC，∴∠C＝∠BDC＝2x°. ∵∠DBC＝28°，∠BDC＋∠C＋∠DBC＝180°， ∴2x＋2x＋28＝180，∴x＝38， ∴∠C＝76°，∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝38°＋28°＝66°.
8.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的中线，BE⊥AC于点E.求 证：∠CBE＝∠BAD.
八年级数学人教版(上册)小专题(九)构造等腰三角形的常用方法
方 法 2 ： 延 长 AB 至 点 E ， 使 BE ＝ BD ， 连 接 DE ， 证 △AED≌△ACD 即可.
方法 3：延长 CB 至点 E，使 BE＝AB，连接 AE，则∠E＝∠C ＝∠EAB，易证∠EAD＝∠EDA，∴AC＝EA＝ED＝EB＋BD＝AB ＋BD．
AB＝EB， ∠ABD＝∠EBD， BD＝BD， ∴△ABD≌△EBD(SAS).
∴∠BAC＝∠BED＝108°.
∴∠DEC＝72°.
∵AB＝AC，∠BAC＝108°，∴∠C＝∠ABC＝36°.
∴∠CDE＝72°.
∴∠CDE＝∠CED．∴CD＝CE. ∴BC＝BE＋EC＝AB＋CD． 方法 2：(补短法)延长 BA 至点 E，使 BE＝BC，连接 DE， ∵BD 平分∠ABC， ∴∠CBD＝∠EBD． 在△EBD 和△CBD 中，
AD 于点 E.求证：BE＝12(AC－AB). 证明：延长 BE 交 AC 于点 F，
∵BF⊥AD， ∴∠AEB＝∠AEF.
∵AD 平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE. ∠AEB＝∠AEF，
在△ABE 和△AFE 中，AE＝AE， ∠BAE＝∠FAE，
∴△ABE≌△AFE(ASA). ∴∠ABF＝∠AFB，AB＝AF，BE＝EF. ∵∠C＋∠CBF＝∠AFB＝∠ABF，∠ABF＋∠CBF＝∠ABC ＝3∠C， ∴∠C＋2∠CBF＝3∠C． ∴∠CBF＝∠C．
EB＝CB， ∠EBD＝∠CBD， BD＝BD， ∴△EBD≌△CBD(SAS).
∴DE＝DC，∠E＝∠C． ∵AB＝AC，∠BAC＝108°，∴∠C＝∠ABC＝36°，∠EAD
＝72°. ∴∠E＝36°.∴∠EDA＝72°.
∴∠EDA＝∠EAD． ∴EA＝ED．∴CD＝DE＝AE. ∴BC＝BE＝AB＋AE＝AB＋CD．
八年级上册数学等腰三角形知识点和典型习题分类汇总附答案
第7讲等腰三角形❖基本知识（熟记，会画图，要提问．）（1）（等边对等角）．【证明之】（2）等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（三线合一）．【证明之】（3）等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）．【证明之】❖等腰三角形的性质【方程思想计算角度】1、【易】如图，求下列等腰三角形的所有角的度数。
（1）顶角30° （2）底角30°2、【易】计算：（1）等腰三角形的一个角是110°，求其余内角。
（2）等腰三角形的一个角是80°，求其余内角。
（3）已知一个等腰三角形的两角分别为（2x-2）°，（3x-5）°，求这个等腰三角形各角的度数。
3、【易】如图所示，在△ABC中，AB=AD=DC，△BAD=26°，求△B和△C的度数．4、【易】如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△A、△ADB和△C的度数．5、【中】如图所示，五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，则△AMB的度数为______．6、【中】如图，AB=AC，△A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，求△DBC的度数．7、【中】如图，等腰△ABC中，AB=AC，△DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则△A的度数是_______．【基础证明题】8、【易】如图，AD△BC，点E在AB的延长线上，CB＝CE，试猜想△A与△E的大小关系，并说明理由．9、【中】已知：CD平分AB，且CD=AD=BD，求证：△ABC是直角三角形．【如果一个三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
这句话倒过来也是对的，学到矩形时会证明。
】10、【中】如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE．【全等法或三线合一法】11、【中】【仿上题】如图，点D 、E 在△ABC 的边BC 上，AB=AC ．若BD=CE ，F 为DE 的中点，求证：AF△BC ．12、【中】如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 边上一点，△B=30°，△DAB=45°．（1）求△DAC 的度数；（2）求证：DC=AB ．13、【难】如图，在△ABC 中，AB=AC ，△ABC 、△ACB 的平分线BD ，CE 相交于O 点，且BD 交AC 于点D ，CE 交AB 于点E ．某同学分析图形后得出以下结论：△△BCD△△CBE ；△△BAD△△BCD ；△△BDA△△CEA ；△△BOE△△COD ；△△ACE△△BCE ；上述结论一定正确的是________．14、【中】已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，DE△AB ，DF△AC ，E ，F 分别是垂足，求证：AE=AF ．15、【中】如图，已知：AB=AC ，△CAE 是△ABC 的外角，△1=△2．求证：AD △ BC ．参考答案1、（1）底角75°；（2）底角30°，顶角120°．2、（1）35°，35°；（2）50°，50°；或80°，20°。
人教版八年级数学上册期末专题复习：以等腰三角形为桥梁的几何题例析(含解析、点评、跟踪训练)
新人教版八年数学上册期末专题复习资料以等腰三角形为桥梁的几何题例析新人教版八年级数学上册前面三个单元都是几何内容，其中以等腰三角形为桥梁的题所占比例较大，在期末统考试题中高频出现，也是中考的热点题型；等腰三角形含特殊等腰三角形等边三角形和等腰直角三角形的“等对等关系” 和“三线合一”是桥梁作用的支撑. 题目一. 平分角添加“垂直”，“平行”元素构成等腰三角形的举例.例1. 如图，⊿ABC 中，过点C 作出∠BAC 的平分线的垂线于点D ,交AB 于点E .=BC 7 ⑴.若∠=346，∠=B 39;求∠BCE 的度数； ⑵.若==AB 12,AC 10；求BE 的长. 分析：对于⑴问利用12∠=∠和∠+∠=1490，∠+∠=2390可以得到：∠=∠43 ；因为∠=∠+∠4B BCE ,结合∠=346，∠=B 39 可以求出∠=-=BCE 46397.⑵问结合⑴问∠=∠43可以得出=AE AC ,所以=-=-=-=BE AB AE AB AE 12102.例2.已知⊿ABC 中，∠=ACB 90，⊥CD AB 于点D ，AE 平分∠BAC ，交CD 于点F ，⊥EG AB 于点G .求证:=EG CF ．分析：由AE 平分∠BAC ，∠=ACB 90，⊥EG AB 可以得出： =CE GE ；根据直角三角形的锐角互余和对顶角相等可以得到∠+∠=CEA CAE 90, ∠+∠=CFE DAF 90,而AE 平分∠BAC 可以得到：∠=∠CAE DAE ,所以∠=∠CFE CEF ,所以=CE CF ；综上可证：=EG CF . 点评：例1、例2都是在平分线的基础上添加“垂直”条件，利用互余关系和平分角来得到同一个三角形的两角相等，从而得到等腰三角形为桥梁解决问题.例3.如图，在⊿ABC 中,∠=∠ABC 2C ,BD 平分∠ABC 交AC 于点D ,⊥AE BC 于点E ;求证：=AC 2BE .解析： 过点A 作AF ∥BC 交BD 的延长线于点F .∴∠=∠1F ，∠=∠2C∵BD 平分∠ABC 交AC 于点D本题有3个等腰三角形，其中通过作平行线构建出的等腰⊿ABF 是关键的一环；当然本题方法不止一种.特别注意当有平行线和角平分线结合，往往要通过其中构建出的等腰三角形为桥梁解决问题.追踪练习： 1. 如图，在△ABC ，B C ∠∠、的平分线交于点P ,过点P 作DE ∥BC ,别交AB AC 、于点D E 、两点，已知,,AB a AC b BC 10===,则△ADE 的周长为 （ ）A. 10B. 2a 2b +C.a b +D.a b 10++ 2. 如图，⊿ABC 中，过点C 作出∠BAC 的平分线的垂线于点D . 求证：∠>∠1C3.在四边形ABCD 中，AB ∥CD BD AD ⊥,BD 平分ABC ∠,,=∠=BC AD C 120,CD 2cm =；求AB 的长?M .138,则MAB ∠A5.如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠=BAC 90 ,BE 平分∠ABC ,⊥DE BC ,垂足为点D .⑴.求证：⊥AD BE ; ⑵.如果=BC 10 ,求+AB AE 的长.题目二.遇“垂直+中点”型以及“T 字”型结构连起的等腰三角形举例.例1.如图，在四边形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，点F 是边CD 的中点，且有AE BC,AF CD ⊥⊥ . ⑴.求证:AB AD =；⑵.若BCD 114∠= ,求BAD ∠的度数.解析：⑴.连结AC .∵点E 是边BC 的中点，AE BC ⊥ ∴AB AC = （垂直平分线的性质） 同理AD AC = ∴=AB AD⑵.∵AB AC,AD AC == ，且有AE BC,AF CD ⊥⊥。
人教版八年级上册13.3.1《等腰三角形》
《等腰三角形》◆教材分析本节课是在前面学习了三角形的有关概念及性质、轴对称变换、全等三角形、垂直平分线和尺规作图的基础上，研究等腰三角形的定义及其重要性质，它既是前面所学知识的延伸，也是后面直角三角形、等边三角形的知识的重要储备，我们常常利用它证明角相等、线段相等、两直线垂直，因此本节课具有承上启下的重要作用。
◆教学目标【知识与能力目标】1、理解并掌握等腰三角形的性质。
2、会运用等腰三角形的概念和性质解决有关问题。
3、观察等腰三角形的对称性、发展形象思维。
4、探索等腰三角形的判定定理【过程与方法目标】1、通过实践、观察、证明等腰三角形的性质，培养学生的推理能力。
2、通过运用等腰三角形的性质解决有关的问题，提高运用知识和技能解决问题的能力，发展应用意识。
3、探索等腰三角形的判定定理,进一步体验轴对称的特征,发展空间观念【情感态度价值观目标】1、引导学生对图形的观察、发现，激发学生的好奇心和求知欲。
2、在运用数学知识解决问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心。
3、感受图形中的动态美、和谐美、对称美，感受合作交流带来的成功感，树立自信心。
4、通过对等腰三角形的判定定理的探索,让学生体会探索学习的乐趣,并通过等腰三角形的判定定理的简单应用,加深对定理的理解.从而培养学生利用已有知识解决实际问题的能力【教学重点】1、等腰三角形的概念和性质及其应用。
2、等腰三角形的判定定理及其应用【教学难点】1、等腰三角形的性质的证明。
2、探索等腰三角形的判定定理◆教学过程一、情景导入：师：日常生活中，我们会经常看到一些美丽的图案，其中一些是平面几何图形，接下来我们观察几幅图片，说一说你们看到了什么图形？（课件向学生展示平常见到的有关等腰三角形的图片）学生观察一组图片，回答问题。
【设计意图】使学生能从实际生活中抽象出等腰三角形，初步感知等腰三角形在实际生活中的广泛应用，用美丽的画面激发学生的求知欲。
培养学生勤观察，肯思考的学习习惯。
八年级上册等腰三角形数学
八年级上册数学中的等腰三角形部分主要涉及以下知识点：
1. 等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
2. 等腰三角形的性质：
* 等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”。
* 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）。
* 等腰三角形的两个底角相等且等于45°（当等腰三角形为等边三角形时）。
3. 等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）。
4. 等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
5. 等边三角形的性质：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。
以上内容仅供参考，具体知识点可能因教材版本和教师实际授课情况而有所不同。
人教版初中数学-学年八年级上学期期末专题复习 专题5：等腰三角形 解析版
人教版初中数学2019-2020学年八年级上学期期末专题复习专题5：等腰三角形一、单选题1.△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则△ABC是（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 不等边三角形D. 不能确定2.已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部，点P1和点P关于OA对称，点P2和点P关于OB对称，则P1、O、P2三点构成的三角形是（）A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形3.如图，△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于G，DM∥BC交∠ABC的外角平分线于M，交AB，AC于F，E，以下结论：①MB⊥BD，②FD=EC，③EC=EF+DG，④CE=MD/2，其中一定正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4.如图，在△ABC 中，∠BAC＝72°，∠C＝36°，∠BAC 的平分线AD 交BC 于D，则图中有等腰三角形（）A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 3 个二、填空题5.如图，在中，，，，与的关系是________.6.如图，D是AB边上的中点，将△ABC沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若∠B=50°，则∠BDF=________度.7.如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为________cm.8.如图，等边△ABC边长为10，P在AB上，Q在BC延长线，CQ＝P A，过点P作PE⊥AC点E，过点P作PF∥BQ，交AC边于点F，连接PQ交AC于点D，则DE的长为________．三、综合题9.如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”，（1）如图△ABC中，AB=AC= ，BC=2，求证：△ABC是“美丽三角形”；（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2 ，若△ABC是“美丽三角形”，求BC的长.10.图1、图2中，点B为线段AE上一点，△ABC与△BED都是等边三角形.（1）如图1，求证：AD=CE.（2）如图2，设CE与AD交于点F，连接BF.①求证：∠CFA=60°.②求证：CF+BF=AF.11.如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．（1）求证：∠AEB=∠ADC；（2）连接DE，若∠ADC=105°，求∠BED的度数．答案解析部分一、单选题1. B解：∵△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠A=∠C，∴∠A=∠B=∠C，△ABC是等边三角形.故答案为：B.【分析】根据等边对等角得出∠B=∠C，又∠A=∠C，故∠A=∠B=∠C，根据三个角都相等的三角形是等边三角形即可得出结论：△ABC是等边三角形.2. D如图，根据轴对称的性质可知，OP1=OP2=OP，∠P1OP2=60°，∴△P1OP2是等边三角形.故答案为：D.【分析】根据轴对称的性质及有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可判断得出答案.3. Cj解：∵BD分别是∠ABC的角平分线，BM是∠ABC的外角平分线，故MB⊥BD，①成立；而AB=AC，∴∠FDB=∠DBC；∵∠FBD=∠DBC，∴∠FBD=∠FDB，∴FD=BF，FD=EC，②成立；∠C与∠BGC的大小不确定，∴DE不一定等于DG，∵EC=DF=EF+DE，∴EC不一定等于EF+DG；故错误；而CE=BF，④成立.故答案为：C.【分析】根据角平分线的定义及邻补角的定义得出∠MBD=90°，故MB⊥BD，①成立；根据平行线分线段成比例定理得出BF=EC，根据平行线的性质及角平分线的定义得出∠FBD=∠FDB，根据等角对等边得出FB=FD，所以FD=EC，②成立；由于∠C与∠BGC的大小不确定，DE不一定等于DG，EC不一定等于EF+DG，故错误；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出而CE=BF，故④成立，综上所述即可得出答案.4. D解：在△ABC中，∠BAC＝72°，∠C＝36°，∴∠B=180°-72°-36°=72°=∠BAC，∴AC=BC，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD=36°=∠C，∴AD=CD，∠ADB=72°=∠B，∴AD=BD，∴△ABC、△ABD、△ACD是等腰三角形，故等腰三角形有3个；故答案为：：D.【分析】根据三角形的内角和定理及等量代换得出∠B==72°=∠BAC，根据角平分线的定义及等量代换得出∠CAD=∠BAD=36°=∠C，根据等角对等边得出AC=BC，AD=CD，根据等边对等角及三角形的外角定理得出∠ADB=72°=∠B，从而根据等腰三角形的判定方法得出△ABC、△ABD、△ACD是等腰三角形.二、填空题5.解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵BF=CD，BD=CE，∴△BDF≌△CED（SAS），∴∠BFD=∠EDC，∵α+∠BDF+∠EDC=180°，∴α+∠BDF+∠BFD=180°，∵∠B+∠BDF+∠BFD=180°，∴∠B=α，∴∠C=∠B=α，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2α+∠A=180°，∴，故答案为：.【分析】根据等边对等角得出∠B=∠C，从而利用SAS判断出△BDF≌△CED，根据全等三角形的对应角相等得出∠BFD=∠EDC，根据平角的定义及三角形的内角和、等式的性质得出∠B=α，从而根据三角形的内角和即可得出.6. 80解：根据折叠的性质，可得：AD=DF，∵D是AB边上的中点，即AD=BD，∴BD=DF，∵∠B=50°，∴∠DFB=∠B=50°，∴∠BDF=180°﹣∠B﹣∠DFB=80°.故答案为：80.【分析】根据折叠的性质及中点的定义得出BD=DF，根据等边对等角得出∠DFB=∠B=50°，然后根据三角形的内角和定理即可得出∠BDF的度数.7. 8解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC= BC•AD= ×4×AD=12，解得AD=6cm，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴点B关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为BM+MD的最小值，∴△BDM的周长最短=（BM+MD）+BD=AD+ BC=6+ ×4=6+=8cm.【分析】连接AD，根据等腰三角形的三线合一得出AD⊥BC，从而根据三角形的面积计算方法列出方程求出AD的长，根据垂直平分线的性质得出点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，从而即可解决问题.8. 5∵PF∥BQ，∴∠Q＝∠FPD，∵△ABC是等边三角形，∴∠APF＝∠B＝60°，∠AFP＝∠ACB＝60°，∴△APF是等边三角形，∴AP＝PF，∵AP＝CQ，∴PF＝CQ，∵在△PFD和△QCD中，，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD＝CD，∵PE⊥AC于E，△APF是等边三角形，∴AE＝EF，∴AE+DC＝EF+FD，∴DE＝AC，∵AC＝10，∴DE＝AC＝5．故答案为：5．【分析】先证明△PFD和△QCD全等，推出FD=CD，再通过证明△APF是等边三角形和PE⊥AC，推出AE=EF，即可推出AE+DC=EF+FD，可得DE= AC，即可推出DE的长度．三、综合题9. （1）证明：如图，作BC的中线AD，如图，∵AB=AC= ，AD是BC的中线，∴AD⊥BC, BD=CD= ,在Rt△ABD中，由勾股定理得AD= ,∴AD=BC，∴△ABC是美丽三角形.（2）解：①如图1，作AC的中线BD，△ABC是“美丽三角形”，当BD=AC= 时，则CD= ,由勾股定理得.②如图2，作BC的中线AD，△ABC是“美丽三角形”，当BC=AD时，则CD= ,在Rt△ACD中，由勾股定理得，则，解得CD=2，∴BC=2CD=4.故BC=3或BC=4【分析】（1）作BC的中线AD，利用等腰三角形三线合一的性质，可求出BD的长，再利用勾股定理求出AD的长，从而可证得AD=BC，即可证得结论。
专题13.7 等腰三角形(知识讲解1)-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练
专题13.7 等腰三角形（知识讲解1）【学习目标】1. 掌握等腰三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直．2. 掌握等腰三角形的判定定理．3. 熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，则它叫等腰三角形，其中AB 、AC 为腰，BC 为底边,∠A 是顶角，∠B 、∠C 是底角．特别说明：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A ＝180°－2∠B ，∠B ＝∠C ＝ . 要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．2.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．3.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．要点三、等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 特别说明：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.【典型例题】类型一、等腰三角形定义1．如图在△ABC 中，AB ＝AC ，直线DE 垂直平分AB ，若△A=40°，则1802A ︒-∠（1）求△DBC 的度数，（2）若AB=12，BC=7,求△BCD 的周长【答案】（1）30° （2）19【分析】（1）由AB=AC ，∠A=40°，根据等腰三角形的性质，即可求得∠ABC 的度数，又由AB 的垂直平分线DE 交AC 于点D ，可得AD=BD ，即可求得∠ABD 的度数，继而求得答案；（2）由AB=AC=12，BC=7，AD=BD ，可得∠BCD 的周长等于AC+BC ．解：（1）在ABC ∆中，AB AC =，40A ∠=︒， ∠18040702ABC ︒-︒∠==︒. 又∠DE 垂直平分AB ，∠DA DB =，∠40DBA A ∠=∠=︒，∠704030DBC ABC DBA ∠=∠-∠=︒-︒=︒.（2）∠DA DB =，∠12BD DC AD DC AC AB +=+===，∠12719BDC C BD DC BC AC BC ∆=++=+=+=.答：DBC ∆的周长为19.【点拨】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质举一反三：【变式1】 已知等腰三角形的一边等于4，另一边等于9，求它的周长．【答案】22【分析】此题先要分类讨论，已知等腰三角形的一边等于4，另一边等于9，先根据三角形的三边关系判定能否组成三角形，若能则求出其周长．解：当4为腰，9为底时，∠4+4＜9，∠不能构成三角形；当腰为9时，∠9+9＞4，∠能构成三角形，∠等腰三角形的周长为：9+9+4＝22．【点拨】此题主要考查等腰三角形的性质，注意分类讨论.【变式2】 已知一个等腰三角形的周长是12cm ，其中一边长是2cm ，求另外两边的长．【答案】5cm ，5cm【分析】已知条件没有明确说明已知的边长是否是腰长，所以分两种情况讨论，计算出结果后还需判定能否组成三角形．解：（1）若该等腰三角形的腰长为2cm ，则另外两边的长为2cm ，8cm ，根据三角形三边关系∠2＋2＝4＜8，故不能构成三角形；（2）若等腰三角形的底边长为2cm ，则腰长为()()125221cm ⨯-=， 即另外两边的长为5cm ，5cm ，能构成三角形；综上所述，该等腰三角形的另外两边的长为5cm ，5cm ．故答案为：5cm ，5cm ．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目必须分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．【变式3】 如图，在ABC ∆中，AB AC =，40A ∠=︒，BD 是ABC ∠的平分线，求BDC ∠的度数.【分析】由AB=AC ，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠ABC=∠C=70°，已知BD 是∠ABC 的平分线，利用角平分线的定义求出∠DBC 的度数，在∠BDC 中根据三角形内角和定理可求出∠BDC 的度数.解：∠AB=AC, ∠A=40°， ∠∠ABC=∠C=1(180-2︒∠A)= 70°， ∠BD 是∠ABC 的平分线， ∠∠DBC=12ABC ∠=35°， 在∠BDC 中，∠BDC=180°-∠C -∠DBC=180°-35°-70°=75°.类型二、等腰三角形的性质与判定2．如图所示，在ABC ∆中，AD 为中线，90,2BAD AB AD ∠==，求DAC ∠的度数．【答案】45°【分析】延长AD 至E ，使DE AD =，连结CE ，则ADB EDC ∆∆≌，根据全等三角形的性质得EC=AB ，90E BAD ∠=∠=︒，由AB=2AD 可得EC=AE ，可得∠AEC 是等腰直角三角形，即可得∠DAC 的度数．解：延长AD 至E ，使DE AD =，连结CE ，∠BD=CD ，∠ADB=∠EDC∠ADB EDC ∆∆≌，∠EC=AB ，90E BAD ∠=∠=︒，∠AB=2AD ，DEAD =∠AB=AE=EC∠∠AEC 是等腰直角三角形，故答案为45°.【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质, 等腰直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线构建全等三角形和等腰直角三角形.举一反三：【变式1】如图，已知AB=AC，AD=AE，BD和CE相交于点O．（1）求证：△ABD△△ACE；（2）判断△BOC的形状，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）等腰三角形，理由见解析．【分析】（1）由“SAS”可证∠ABD∠∠ACE；（2）由全等三角形的性质可得∠ABD=∠ACE，由等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，可求∠OBC=∠OCB，可得BO=CO，即可得结论．解：证明：（1）∠AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，∠∠ABD∠∠ACE（SAS）；（2）∠BOC是等腰三角形，理由如下：∠∠ABD∠∠ACE，∠∠ABD=∠ACE，∠AB=AC，∠∠ABC=∠ACB，∠∠ABC﹣∠ABD=∠ACB﹣∠ACE，∠∠OBC=∠OCB，∠BO=CO，∠∠BOC是等腰三角形．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟记相关定理是解题关键．【变式2】 如图，△ABC ，△CDE 均是等腰直角三角形，△ACB=△DCE=90°，点E 在AB 上，求证：△CDA△△CEB ．【答案】证明见解析．【分析】根据等腰直角三角形的性质得出CE=CD ，BC=AC ，再利用全等三角形的判定证明即可．解：∠∠ABC 、∠CDE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∠CE=CD ，BC=AC ，∠∠ACB ﹣∠ACE=∠DCE ﹣∠ACE ，∠∠ECB=∠DCA ，在∠CDA 与∠CEB 中，{BC ACECB DAC EC DC=∠=∠=，∠∠CDA∠∠CEB ．【点拨】本题考查全等三角形的判定；等腰直角三角形．【变式3】 如图，已知△ABC 中，AB ＝BC ，D 为AC 中点，过点D 作DE△BC ，交AB 于点E ．（1）求证：AE ＝DE ；（2）若△C ＝65°，求△BDE 的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）25°．【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠C ＝∠A ，由平行线的性质可得∠C ＝∠ADE ，从而∠A＝∠ADE；（2）先由三角形内角和求出∠ABC＝50°，再由三线合一的性质可求出∠EBD＝∠DBC=12∠ABC＝25°，然后根据平行线的性质求解即可.解：证明：（1）∠DE∠BC，∠∠C＝∠ADE，∠AB＝BC，∠∠C＝∠A，∠∠A＝∠ADE，∠AE＝DE；（2）∠∠ABC中，AB＝BC，∠C＝65°，∠∠ABC＝180°﹣65°﹣65°＝50°，∠AB＝BC，D为AC中点，∠∠EBD＝∠DBC=12∠ABC＝25°，∠DE∠BC，∠∠BDE＝∠DBC＝25°.【点拨】本题考查了等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，三角形内角和定理等知识.熟练掌握等腰三角形的性质和平行线的性质是解答本题的关键.类型三、等边对等角求角3．如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC=72°．（1）用直尺和圆规作△ABC的平分线BD交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）中作出△ABC的平分线BD后，求△BDC的度数．【答案】（1）作图见解析（2）∠BDC=72°【解析】解：（1）作图如下：（2）∠在∠ABC 中，AB=AC ，∠ABC=72°，∠∠A=180°﹣2∠ABC=180°﹣144°=36°．∠AD 是∠ABC 的平分线，∠∠ABD=12∠ABC=12×72°=36°． ∠∠BDC 是∠ABD 的外角，∠∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°．（1）根据角平分线的作法利用直尺和圆规作出∠ABC 的平分线：∠以点B 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB 、BC 于点E 、F ；∠分别以点E 、F 为圆心，大于12EF 为半径画圆，两圆相较于点G ，连接BG 交AC 于点D ．（2）先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠A 的度数，再由角平分线的性质得出∠ABD 的度数，再根据三角形外角的性质得出∠BDC 的度数即可．举一反三：【变式1】 如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，△BAD=20°，求△C 的度数？【答案】∠C=40°【分析】根据三角形外角与外角性质以及等腰三角形的性质．由AB=AD=DC 可得∠DAC=∠C ，易求解．解：∠AB AD DC == ∠,B ADB CAD C ∠=∠∠=∠又ADB C DAC ∠=∠+∠∠2B C ∠=∠ ∠180BAC B C ∠+∠+∠=∠2180BAD C C C ∠+∠+∠+∠= ∠20BAD ∠= ∠解得=40C ∠【点拨】本题考查的是等腰三角形的性质，熟练掌握这一点是解题的关键.11．【变式2】 如图，在等腰△ABC 中，AB=AC ，点D 在BC 上，且AD=AE ，(1) 若△BAC=90°,△BAD=30°，求△EDC 的度数?(2) 若△BAC=a(a>30°),△BAD=30°，求△EDC 的度数?(3) 猜想△EDC 与△BAD 的数量关系?(不必证明)【答案】(1)∠EDC 的度数是15°；(2)∠EDC 的度数是15°；(3)∠EDC 与∠BAD 的数量关系是∠EDC=12∠BAD.【分析】（1）根据等腰三角形性质求出∠B 的度数，根据三角形的外角性质求出∠ADC ，求出∠DAC ，根据等腰三角形性质求出∠ADE 即可；（2）根据等腰三角形性质求出∠B 的度数，根据三角形的外角性质求出∠ADC ，求出∠DAC ，根据等腰三角形性质求出∠ADE 即可；（3）根据（1）（2）的结论猜出即可．解：(1)∠∠BAC=90°，AB=AC ， ∠∠B=∠C=12(180°−∠BAC)=45°， ∠∠ADC=∠B+∠BAD=45°+30°=75°，∠∠DAC=∠BAC−∠BAD=90°−30°=60°，∠AD=AE ， ∠∠ADE=∠AED=12(180°−∠DAC)=60° ∠∠EDC=∠ADC−∠ADE=75°−60°=15°答：∠EDC 的度数是15°.(2)与(1)类似：∠B=∠C=12(180°−∠BAC)=90°−12α，∠∠ADC=∠B+∠BAD=90°−12α+30°=120°−12α，∠∠DAC=∠BAC−∠BAD=α−30°，∠∠ADE=∠AED=12(180°−∠DAC)=105°−12α，∠∠EDC=∠ADC−∠ADE=(120°−12α)−(105°−12α)=15°答：∠EDC的度数是15°.(3)∠EDC与∠BAD的数量关系是∠EDC=12∠BAD.【点拨】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理和三角形的外角性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、三角形内角和定理和三角形的外角性质.【变式3】如图所示，已知在△ABC中，AB＝AC，D为线段BC上一点，E为线段AC上一点，且AD＝AE．(1)若△ABC＝60°，△ADE＝70°，求△BAD与△CDE的度数；(2)设△BAD＝α，△CDE＝β，试写出α、β之间的关系并加以证明．【答案】（1）20°，10°；（2）结论：α=2β，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据∠BAD=∠BAC-∠DAE，∠AED=∠CDE+∠C，进行计算即可解决问题；（2）α=2β，理由是：设∠BAC=x°，∠DAE=y°，则α=x°-y°，同理求出∠ACB=1802x︒-︒和∠AED=1802y︒-︒，利用外角定理得：β=∠AED-∠ACB，代入可得结论．解：（1）∠AB=AC，∠∠B=∠C=60°，∠∠BAC=60°，∠AD=AE，∠∠ADE=∠AED=70°，∠∠DAE=40°，∠∠BAD=∠BAC -∠DAE=20°，∠∠AED=∠CDE+∠C ，∠∠CDE=70°-60°=10°．（2）结论：α=2β，理由是：设∠BAC=x°，∠DAE=y°，则α=x°-y°，∠∠ACB=∠ABC ， ∠∠ACB=180x 2︒-︒， ∠∠ADE=∠AED ， ∠∠AED=180y 2︒-︒， ∠β=∠AED -∠ACB=180y 2︒-︒-180x 2︒-︒=x y 2︒-︒=α2， ∠α=2β；【点拨】此题考查了三角形的内角和、等腰三角形的性质、外角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题．类型四、等边对等角证明4．已知：如图所示，在ABC ∆中，AD 为中线，BF 交,AD AC 分别于,E F ，如果BE AC =，求证：AF EF = ．【答案】详见解析【分析】根据点D 是BC 的中点，延长AD 到点G ，得到BDE CDG ∆∆≌，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到∠AEF 中的两个角相等，然后用等角对等边证明AE 等于EF ．解：证明：延长ED 至G ，使DG DE =，连结GC ，∠在ABC ∆中，AD 为中线，∠BD=CD ，在∠ADC 和∠GDB 中，BD CD BDE CDG DE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠BDE CDG ∆∆≌，BE CG ∴=，BED CGD ∠=∠，BE AC =，AC GC ∴=，AGC CAG ∴∠=．又BED AEF ∠=∠，∠AEF EAF ∠=∠，∠AF EF =.【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过作辅助线构建全等三角形．举一反三：【变式1】 如图所示，AD 为ABC ∆的角平分线，,E F 分别在,BD AD 上，DC DE =，若EF AB ∥．求证：EF AC =．【答案】详见解析【分析】延长FD 至G ，使DG DF =，连结CG ，可证DEF DCG ∆∆≌，则EF=CG ，利用全等三角形和角平分线以及平行线的性质可得GAC AGC ∠=∠ ，根据等角对等边得AC=CG ，即可得出结论.解：证明：延长FD 至G ，使DG DF =，连结CG ，∠DC=DE ，∠EDF=∠CDG ，DG DF =∠DEF DCG ∆∆≌，EF CG ∴=，EFG CGD ∠=∠EF AB ∥，EFG BAD ∴∠=∠，又BAD CAD ∠=∠，GAC AGC ∴∠=∠，AC GC ∴=，EF AC ∴=.【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是证∠EDF 与∠CDG 全等．【变式2】 如图，在ABC 中，,AC BC AD =平分BAC ∠交BC 于点D ，若AC CD AB +=，求C ∠的度数．【答案】90C ∠=︒【分析】在AB 上截取AE AC =，连接DE ，证明ADC ADE △≌△，再证明DE BE =，设B x ∠=，再得到∠=∠=∠=BAC B EDB x ，证明2,C x ∠= 然后利用内角和定理求解即可．解：如图，在AB 上截取AE AC =，连接DE ．∠AD 平分BAC ∠，EAD CAD ∠=∠．∠,==AE AC AD AD ，ADC ADE ∴≌，∠,,CD DE AED C =∠=∠∠AC CD AB +=，AE BE AB +=，∠CD BE =，∠DE BE =，∠B EDB ∠=∠．∠AC BC =，∠BAC B =∠∠．设∠=∠=∠=BAC B EDB x ，则2∠=∠+∠==∠AED B EDB x C ．∠在ABC 中，2180x x x ++=︒，解得45x =︒，∠90C ∠=︒．【点拨】本题考查的是角平分线的定义，三角形全等的判定与性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．【变式3】 如图，在ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足为E 、F ，求证：DE DF =．【答案】见解析【分析】根据等腰三角形的性质得到B C ∠=∠，根据D 为BC 的中点，得到BD CD =，再根据DE AB ⊥，DF AC ⊥，得到90BED CFD ∠=∠=，利用全等三角形的性质和判定即可证明DEDF =． 解：AB AC =，∴B C ∠=∠，DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴90BED CFD ∠=∠=，D 为BC 的中点，∴BD CD =，在BED 与CFD △中BED CFD B CBD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴BED ∠CFD △()AAS ，∠DE DF =．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的性质和判定，找到全等的条件是解题的关键．类型五、三线合一求解5．如图，已知在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，△BAC ＝80°，AD△BC ，AD ＝AB ，联结BD 并延长，交AC 的延长线于点E ，求△E 的度数．【答案】30°．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可求∠BAD ＝∠CAD ＝12∠BAC ＝40°，根据等腰三角形的性质可求∠BDA ，再根据三角形外角的性质即可求解．解：∠AB ＝AC ，∠BAC ＝80°，AD∠BC ，∠∠BAD ＝∠CAD ＝12∠BAC ＝40°， ∠AD ＝AB ，∠∠BDA ＝12×（180°﹣40°）＝70°， ∠∠E ＝∠BDA ﹣∠CAD ＝70°﹣40°＝30°．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质以及三线合一的运用，解决本题的关键是正确理解题意，能够根据三线合一的性质得到相等的量．举一反三：【变式1】 如图，在ABC ∆中，90A ∠=，CD 平分ACB ∠，交AB 于点D ，过点D 作DE BC ⊥于点E .（1）求证：ACD ∆△ECD ∆；（2）若BE EC =，求ADE ∠的度数.【答案】（1）见解析（2）120°.【分析】（1）由角平分线得出∠ACD ＝∠ECD ，再由∠CED ＝∠A 和公共边，根据AAS 证明ACD ∆∠ECD ∆即可；（2）由线段垂直平分线的性质得出BD ＝CD ，由等腰三角形的性质得出∠B ＝∠DCE ，因此∠ACD ＋∠DCE ＋∠B ＝90°，即可得到∠B 的度数，即可求解．解：（1）证明：∠CD 平分ACB ∠，∠∠ACD ＝∠ECD ，∠DE BC ⊥，∠∠DEC ＝90°，∠∠DEA ＝∠C ，在ACD ∆和ECD ∆中，ACD ECD A DEC CD CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∠ACD ∆∠ECD ∆（AAS ）．（2）解：∠BE EC =，DE BC ⊥，∠DE 垂直平分BC∠BD ＝CD ，∠∠B ＝∠DCE ，∠∠ACD ＝∠ECD ，∠∠ACD ＝∠ECD ＝∠B ，∠∠ACD+∠ECD ＋∠B ＝90°，∠∠B ＝30°∠∠BDE=90°-∠B=60°，∠∠ADE=180°-∠BDE=120°.【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质；本题综合性强，证明三角形全等是解决问题的关键．【变式2】 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD △BC 于点D ，CE △AB 于点E ，AE ＝CE ，AD 与CE 相交于点F ．（1）求证：△AEF △△CEB ；（2）若AF ＝6，求CD 的长．【答案】（1）见解析；（2）3【分析】（1）先证明∠EAF ＝∠ECB ，再由ASA 证明∠AEF∠∠CEB 即可；（2）由全等三角形的性质及等腰三角形的性质即可得出答案．解：（1）证明：∠AD∠BC ，∠∠B+∠BAD ＝90°，∠CE∠AB ，∠∠B+∠BCE ＝90°，∠∠EAF ＝∠ECB ，在AEF ∆和CEB ∆中，AEF BEC AE CEEAF BCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∠AEF CEB ∆∆≌（ASA ）；（2）解：∠AEF CEB ∆∆≌，∠6AF BC ==，∠AB ＝AC ，AD∠BC ，∠116322CD BD BC ===⨯=． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．【变式3】 在等腰ABC 中，AB AC =，8BC =，100BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，交BC 于D ，4=AD ，点E 是AB 的中点，连接DE ．（1）求B 的度数；（2）求三角形BDE 的面积．【答案】（1）40°；（2）4【分析】（1）根据等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和定理就可求解；（2）根据等腰三角形的三线合一的性质，得到AD 是等腰∠ABC 底边BC 上的高，根据中线的性质求得答案即可．解：（1）∠AB ＝AC ，∠BAC ＝100°，∠∠B ＝∠C ＝12（180°−∠BAC ）＝40°； （2）∠AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，∠AD∠BC ，BD=CD=12BC=4， ∠点E 是AB 的中点，∠S ∠AED ＝S ∠BED ＝12S ∠ABD ＝12×12AD•BD ＝12×12×4×4＝4． 【点拨】此题主要是运用了等腰三角形的性质和三角形的中线的性质，掌握等腰三角形“三线合一”是解题的关键．类型六、三线合一证明6．如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 是BC 边上的中点，DE 、DF 分别垂直AB 、AC 于点E 和F ．求证：DE=DF ．【分析】D是BC的中点，那么AD就是等腰三角形ABC底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的特性，可知道AD也是∠BAC的角平分线，根据角平分线的点到角两边的距离相等的性质，可得DE=DF．解：连接AD∠AB=AC，点D是BC边上的中点∠AD平分∠BAC∠DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F．∠DE=DF【点拨】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，及角平分线的性质，角平分线上的点到角两边距离相等．举一反三：【变式1】如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，过点C作CE△AB交AD 的延长线于点E．求证：CE=AB．【答案】答案见解析．试题分析：由等腰三角形三线合一性质可得∠BAE=∠CAE，由CE∠AB可得∠E=∠BAE，进而可得∠E=∠CAE，所以AC=CE，又因为AB=AC，所以CE=AB即可证明.试题解析：证明：∠AB =AC ，AD 是BC 边上的高，∠∠BAE =∠CAE ，∠CE ∠AB ，∠∠E =∠BAE ，∠∠E =∠CAE ，∠CE =AC ，∠AB =AC ，∠CE =AB ．点拨：本题主要掌握等腰三角形三线合一性质记忆平行线的性质.【变式2】 已知：如图，等腰直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，D 为BC 中点，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且满足EA CF =．连接AD ．求证：DE DF =．【分析】连接AD ，根据等腰直角三角形的性质可得AD DC =，AD 平分BAC ∠，45C ∠=︒，从而得出45EAD C ∠=∠=︒，再利用SAS 证出ADE CDF ≌，即可得出结论． 解：连接AD∠ABC 为等腰直角三角形，D 为BC 中点，∠AD DC =，AD 平分BAC ∠，45C ∠=︒，∠45EAD C ∠=∠=︒，在ADE 和CDF 中EAD C AD A CF CD E ⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩=，∠ADE CDF ≌，∠DE DF =【点拨】此题考查的是等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定及性质，掌握等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定及性质是解决此题的关键．【变式3】 已知：如图，在Rt△ABC 中，△C=90°，点D 在CB 边上，△DAB=△B ，点E 在AB 边上且满足△CAB=△BDE.求证： AE=BE.解：分析：由∠C=90°易得∠CAB+∠B=90°，结合∠CAB=∠BDE 可得∠BDE +∠B=90°，由此可得∠DEB=90°，从而可得DE∠AB ，再由∠DAB=∠B 证得AD=BD 即可由等腰三角形的性质得到AE=BE.详解：∠∠C=90°，∠∠CAB+∠B=90°，∠∠CAB=∠BDE ，∠∠BDE +∠B=90°，∠∠DEB=90°，∠DE∠AB ，∠∠DAB=∠B ，∠DA=DB ，∠AE=BE.点拨：由∠CAB=∠BDE 结合∠CAB+∠B=90°证得∠BDE +∠B=90°，从而证得DE∠AB 是解答本题的关键.类型七、根据格点画等腰三角形7．如图，在4×4方格中，按要求作出以AB为边，第三个顶点在格点上的等腰三角形ABC．（1）面积为2（2）面积为2.5（3）面积为（要求不与1、2图形全等）【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）1.5.【分析】（1）直接利用网格结合三角形面积求法得出答案；（2）直接利用网格结合三角形面积求法得出答案；（3）直接利用网格结合三角形面积求法得出答案．解：（1）如图（1）所示：∠ABC即为所求；（2）如图（2）所示：∠ABC即为所求；（3）如图（3）所示：∠ABC即为所求．故答案为：1.5．【点拨】此题主要考查网格中三角形的综合问题，熟练掌握，即可解题.举一反三：【变式1】如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．按下列要求画图：（1）在图△中，以格点为顶点，AB为一边画等腰三角形ABC （只画一个即可）；（2）在图△中，以格点为顶点，AB为一边画一个正方形.【答案】（1）如图所示见解析；（2）如图所示见解析.【分析】（1）以AB为腰，找到C点使BC=AB，连接即可；（2）将AB绕A点顺时针旋转90°，将AB绕B点逆时针旋转90°，即可找到正方形的另外两个顶点.解：（1）如图所示，（2）如图所示，【点拨】本题考查等腰三角形和正方形的性质，根据图形的性质即可完成作图.【变式2】如图，在6×6的方格纸中，A，B，C均为格点，按要求画图：△仅用无刻度直尺，且不能用直尺的直角；△保留必要的画图痕迹；△标注相关字母．（1）作CD AB ⊥，使得D 为格点．（2）在AB 上取一点E ，使得45AEC ∠=︒．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）取格点D ，连接CD 即可．（2）取格点M ，N ，连接MN 交AB 于点E ，连接EC ，点E 即为所求．解：（1）如图，线段CD 即为所求．（2）如图，点E 即为所求．【点拨】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．类型八、找等腰三角形8．如图，在四边形ABCD 中，AB△CD ，△1=△2，DB=DC ．（1）求证：AB+BE=CD ．（2）若AD=BC ，在不添加任何补助线的条件下，直接写出图中所有的等腰三角形．【答案】（1）见解析；（2）∠BCD ，∠BCE【分析】（1）由“ASA”可证∠ABD∠∠EDC ，可得AB=DE ，BD=CD ，可得结论； （2）由全等三角形的性质可得BD=CD ，AD=EC=BC ，可求解．解：（1）证明：∠AB∠CD ，∠∠ABD=∠EDC ．在∠ABD 和∠EDC 中，12ABD EDC DB DC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∠∠ABD∠∠EDC （ASA ），∠AB=DE ，∠DE+BE=BD ，∠BD=CD ，∠AB+BE=CD ；（2）∠∠ABD∠∠EDC ，∠AD=EC ，∠AD=BC ，BD=CD ，∠AD=BC=EC ，∠∠BCD 是等腰三角形，∠BCE 是等腰三角形．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．举一反三：【变式1】 如图，已知ABC ∆中，90C ∠=︒，60A ∠=︒．（1）根据要求用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹：作边AB 的垂直平分线，交BC 于点D ，交AB 于点B ，连接AD ；（2）写出图中一对全等的三角形，和一个等腰三角形．【答案】（1）答案见解析；（2）∠ACD∠∠AED或∠ACD∠∠BED或∠AED∠∠BED，∠ABD 为等腰三角形【解析】【分析】（1）由题意直接根据垂直平分线的作图方法按照题意进行作图即可；（2）根据全等三角形的性质和判定以及等腰三角形的定义进行分析即可.解：（1）作图如图所示：（2）根据全等三角形的性质可知：图中有∠ACD∠∠AED或∠ACD∠∠BED或∠AED∠∠BED，根据等腰三角形的定义可知：∠ABD为等腰三角形.【点拨】本题考查的是作图-基本作图以及全等三角形的判定以及等腰三角形的性质，熟知线段垂直平分线的作法和全等三角形的性质和判定以及等腰三角形的定义是解答此题的关键．【变式2】（1）如图1,△ABC中,△C=90°,请用直尺和圆规作一条直线,把△ABC分割成两个等腰三角形(不写作法,但须保留作图痕迹).（2）已知内角度数的两个三角形如图2,图3所示.请你判断,能否分别画一条直线把它们分割成两个等腰三角形?若能,请写出分割成的两个等腰三角形顶角的度数.【答案】（1）见解析；（2）图2能画一条直线分割成两个等腰三角形，分割成的两个等腰三角形的顶角分别是132°和84°；图3不能分割成两个等腰三角形.【分析】（1）本题中，只要找到斜边中点，然后连接直角顶点和斜边中点，那么分成的两个三角形就是等腰三角形．那么只要作AC的垂直平分线就可以了．AC的垂直平分线与AB 的交点就是AB的中点；（2）本题要先根据三角形的内角和求出另一角的度数，然后看看是否能分成等腰三角形．图2可以将∠B分成24°和48°．图3不能分成等腰三角形．解：（1）如图,直线CE即为所求；（2）图2能画一条直线分割成两个等腰三角形,分割成的两个等腰三角形的顶角分别是132°和84°.图3不能分割成两个等腰三角形.【点拨】本题主要考查了直角三角形的性质和三角形的内角和，等腰三角形的判定等知识点．注意本题作图中的理论依据是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．【变式3】在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），点B（1，0），点C为x轴上一点，且△ABC是以AB为腰的等腰三角形．（1）请在坐标系中画出所有满足条件的△ABC；（2）直接写出（1）中点C的坐标．【答案】(1)见解析;(2)见解析.【分析】要使∠ABC是以AB为腰的等腰三角形，有三种情况，分别根据题意作图解答即可.解：（1）如图所示：（2）点C的坐标分别有（﹣1，0），（1﹣，0），（1+，0）．【点拨】本题考查了坐标与图形的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握坐标与图形的性质以及等腰三角形的性质.类型九、由等边对等角证明等腰三角形9．如图，已知AD=BC，AC=BD．（1）求证：△ADB△△BCA；（2）OA与OB相等吗？若相等，请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）OA=OB，理由详见解析.【解析】试题分析：（1）根据SSS定理推出全等即可；（2）根据全等得出∠OAB=∠OBA，根据等角对等边即可得出OA=OB．试题解析：（1）证明：∠在∠ADB和∠BCA中，AD=BC,AB=BA,BD=AC，∠∠ADB∠∠BCA（SSS）；（2）解：OA=OB，理由是：∠∠ADB∠∠BCA，∠∠ABD=∠BAC，∠OA=OB．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定举一反三：【变式1】 如图，在△ABC 中，△ABC 与△ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作DE //BC 分别交AB ，AC 于点D ，E ．（1）求证：OD =DB ．（2）若DE =5，求DB +CE 的值．【答案】（1）见解析（2）5【分析】（1）根据角平分线定义和平行线性质求出∠DBO =∠OBC ，∠DOB =∠OBC ，再由等式的性质得到∠DBO =∠DOB ，由等角对等边即可得出结论；（2）根据（1）的结论，同理可得OE =EC ，即可得出结论．解：（1）∠BO 平分∠ABC ，∠∠DBO =∠OBC ．∠DE ∠BC ，∠∠DOB =∠OBC ，∠∠DOB =∠DBO ，∠OD =DB ．（2）根据（1）得：OD =DB ，同理可证：OE =EC ，∠BD +EC =DO +OE =DE =5．【点拨】本题考查了角平分线定义，平行线性质，等腰三角形的判定的应用，有效的进行等量代换是正确解答本题的关键．【变式2】 如图，点A ，F ，D ，C 在同一直线上，BC ，EF 交于点M ，90B E ∠=∠=︒，AF CD =，AB DE =.（1）证明：Rt Rt ABC DEF △≌△；（2）证明：MF MC =.【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据AF=CD ，可以得到AC=DF ，然后再根据题目中的条件，即可证明Rt∠ABC∠Rt∠DEF ；（2）根据（1）中的结论和全等三角形的性质、等腰三角形的性质，可以得到结论成立． 解：（1）证明：∠AF=CD ，∠AF+FC=CD+FC ，∠AC=DF ，∠∠B=∠E=90°，∠∠ABC 和∠DEF 都是直角三角形，在Rt∠ABC 和Rt∠DEF 中，AC DF AB DE =⎧⎨=⎩∠Rt∠ABC∠Rt∠DEF （HL ）；（2）证明：由（1）知，Rt∠ABC∠Rt∠DEF ，∠∠BCA=∠EFD ，∠∠MCF=∠MFC ，∠MF=MC ．【点拨】本题考查直角三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式3】 如图，AD△BC ，BD 平分△ABC ．求证：AB=AD ．【分析】根据AD∠BC ，可求证∠ADB=∠DBC ，利用BD 平分∠ABC 和等量代换可求证∠ABD=∠ADB ，然后即可得出结论．解：证明：∠AD∠BC ，∠∠ADB=∠DBC ．∠BD 平分∠ABC ，∠∠ABD=∠DBC ．∠∠ABD=∠ADB ．∠AB=AD ．类型十、等角对等边证明线段相等10．如图，△AEF ＝△AFE ，AC ＝AD ，CE ＝DF ，求证：△C ＝△D ．【答案】见解析.【分析】先利用等角对等边得出AE ＝AF ，再根据SSS 证明∠AEC ∠∠AFD ，然后利用全等三角形的性质即可得出结论.解：证明：∠∠AEF ＝∠AFE ，∠AE ＝AF ，在∠AEC 与∠AFD 中AE AF AC AD CE DF =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∠∠AEC ∠∠AFD （SSS ），∠∠C ＝∠D ．【点拨】本题考查了等腰三角形的判定和全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.举一反三：【变式1】 已知ABC ∆ 中，90ACB ∠=，CD AC ⊥于点D ，AE 平分BAC ∠，交CD 于点F ，EG AB ⊥于点G ，说明EG CF =．【分析】根据角平分线的性质定理的得出CE=EG ，再根据等角对等边得出CF=CE ，即可得到结论．解：∠∠ACB=90°，AE 平分∠BAC ，EG∠AB ，∠CE=EG ，∠CAE=∠GAE ，∠AEC=90°-∠CAE ，∠CD∠AB ，∠∠ADF=90°，∠∠AFD=90°-∠FAD，∠∠AFD=∠AEC，∠∠CFE=∠AFD，∠∠CFE=∠CEF，∠CF=CE，∠CF=EG．【点拨】本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和，等腰三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．【变式2】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD△BC于点D．（1）若△CAD＝45°，求△BAD的度数；（2）若点M在边AC上，MN//AB交AD的延长线于点N．求证：AM＝MN．【答案】（1）∠BAD＝45°；（2）见解析∠=∠，从而可得出答案；【分析】（1）根据等腰三角形三线合一得出BAD CAD∠=∠，然后通过等量代换得出（2）首先根据平行线的性质得出BAD ANM∠=∠，最后利用等角对等边即可证明．CAD ANM解：（1）∠AB＝AC，AD∠BC，BAD CAD∴∠=∠．∠∠CAD＝45°，∴∠=︒；BAD45（2）∠MN//AB，∴∠=∠．BAD ANM∠=∠，BAD CADCAD ANM∴∠=∠，∠AM＝MN．。
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八年级上册第三单元复习1．如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合．已知AC=5cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长为（）A．7cm B．10cm C．12cm D．22cm2．下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合．已知AC=5cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长为（）A．7cm B．10cm C．12cm D．22cm4．如图，把Rt△ABC（∠C=90°）折叠，使A、B两点重合，得到折痕ED，再沿BE折叠，C点恰好与D点重合，则∠A等于（）A．15º B．20º C．30º D．45º5．如果一个等腰三角形的一个角为30º，则这个三角形的顶角为（）A．120º B．30º C．120º或30º D．90º6．如下图，已知∠AOB=α，在射线OA、OB上分别取点OA1=OB1，连结A1B1，在B1A1、B1B 上分别取点A2、B2，使B1B2= B1A2，连结A2 B2……按此规律下去，记∠A2B1 B2=θ1，∠A3B2B3=θ2，…，∠A n+1B n B n+1=θn，则θ2016－θ2015的值为（）A7．已知点A（x，－4）与点B（3，y）关于x轴对称，那么x＋y的值为________．8．在镜子中看到时钟显示的时间是，则实际时间是．9．如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，BC＝3，D为AB上一点，连接CD，如果△BCD沿直线CD翻折后，点B恰好与边AC的中点E重合，那么点D到直线AC的距离为．10．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是 __°．11．如图，等边△ABC的两条中线BD、CE交于点O，则∠BOC= °．12．一个等腰三角形的两边长分别为3和7，那么这个三角形的周长是．13．白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．诗中隐含着一个有趣的数学问题：诗中将军在观望烽火之后从山脚上的A点出发，奔向小河旁边的P点饮马，饮马后再到B点宿营，若A、B到水平．．直线L（L表示小河）的距离分别是2，1，AB两点之间水平距离．．．．是4，则AP+PB最小值= ．14．如图，∠AOB ＝30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM ＝1，ON ＝3，点P 、Q 分别在边OB 、OA 上，则MP ＋PQ ＋QN的最小值是．15．如图，钝角三角形ABC 的面积为18，最长边AB=12，BD 平分∠ABC ，点M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，则CM+MN 的最小值为 ．16．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，在直线BC 或AC 上取一点P ，使得△PAB 为等腰三角形，这样的点P 共有 个．17．等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为40°，该等腰三角形的顶角等于 ．18．如图，长方形纸片ABCD ，AD ∥BC ，将长方形纸片折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C'处，折痕为EF ，（1）求证：BE ＝BF ．（2）若∠ABE ＝18°，求∠BFE 的度数．ABC（3）若AB ＝6，AD ＝8，求AE 的长．19．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC 的顶点均在格点上，A （－1，5），B （－1，0），C （－4，3）．（1）画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1；（其中A 1、B 1、C 1是A 、B 、C 的对应点，不写画法）（2）写出A 1、B 1、C 1的坐标；（3）求出△A 1B 1C 1的面积．20．如图，A 、C 两乡镇到水渠边l 的距离分别为AB=2km ，CD=4km ，且BD=8km 。
（1）在水渠边l 上要建一个水电站P ，使得PA+PC 最小，请在图中画出P 的位置（保留作图痕迹），不必说明理由。
（2）求出PA+PC 最小值。
21．如图，已知△ABC 中，∠B=90°，AB=8cm ，BC=6cm 。
（1）若P 、Q 是△ABC 边上的两个动点，其中点P 从A 沿A →B 方向运动，速度为每秒1cm ，点Q 从B 沿B →C 方向运动，速度为每秒2cm ，两点同时出发，设出发时间为t 秒．①当t=1秒时，求PQ 的长；②从出发几秒钟后，△PQB 是等腰三角形？（2）若M 在△ABC 边上沿B →A →C 方向以每秒3cm 的速度运动，则当点M 在边CA 上运动时，求△BCM 成为等腰三角形时M 运动的时间．22．已知：如图，∠ABC=50°，∠ACB=80°，点D 、B 、C 、E 四点共线，DB=AB ，CE=CA ，求∠D 、∠E 、∠DAE 的度数．23．如图，点D是等边△ABC中BC边上一点，过点D分别作DE∥AB，DF∥AC，交AC，AB于E，F，连接BE，CF，分别交DF，DE于点N，M，连接MN．试判断△DMN的形状，并说明理由．参考答案1．C【解析】试题分析：根据△ADC的周长以及AC的长度可得：AD+CD=17－5=12cm，根据折叠图形的性质可得：AD=BD，则BC=BD+CD=AD+CD=12cm．考点：折叠图形的性质2．D【解析】试题分析：将图形沿着某条直线对称，如果直线两边的图形能够完全重叠，则图象就是轴对称图形．根据定义可得D是轴对称图形．考点：轴对称图形3．C【解析】试题分析：根据△ADC的周长以及AC的长度可得：AD+CD=17－5=12cm，根据折叠图形的性质可得：AD=BD，则BC=BD+CD=AD+CD=12cm．考点：折叠图形的性质4．C．【解析】试题分析：如图，由题意得：∠EAD=∠EBD，∠EBD=∠EBC，∴∠ABC=2∠A；而∠C=90°，∴∠ABC+∠A=3∠A=90°，∴∠A=30．故选C．考点：翻折变换（折叠问题）．5．C．【解析】试题分析：当30°角是顶角时，顶角=30°；当30°角是底角时，顶角=180°﹣30°﹣30°=120°；故选C．考点：1．等腰三角形的性质；2．分类讨论．6．D【解析】………故选D考点：等腰三角形，三角形的外角，平角的定义7．7．【解析】试题分析：点A（x，﹣4）与点B（3，y）关于x轴对称，所以有y=4，x=3，即x+y=7；故答案为：7．考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．8．16：25：08．【解析】试题分析：∵实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称，∴ |16：25：08，故答案为：16：25：08．考点：镜面对称．9．2．【解析】试题分析：过点D作DN⊥AC于N，过点D作DM⊥AB，由折叠的性质可得：∠BCD=∠ACD，CE=CB=3，∴DM=DN，∵E是AC的中点，∴AC=2AE=6，∵S△BAC=S△BCD+S△ACD，·解得：DN=2，∴点D到AC的距离是2．故答案为：2．222考点：翻折变换（折叠问题）．10．50°【解析】试题分析：设∠A=x°，根据MN为中垂线可得：∠ABD=∠A=x°，则∠ABC=（x+15）°，根据AB=AC可得：∠C=∠ABC=（x+15）°，则根据△ABC的内角和定理可得：x+x+15+x+15=180°，解得：x=50°．考点：等腰三角形的性质、中垂线的性质11．120．【解析】试题分析：∵△ABC为等边三角形，点D、E分别是边AC、AB的中点；∴∠ADC=∠BEA=90°，∵在四边形ADOE中，∠A=60°，∠ADC=∠BEA=90°，∴∠DOE=360°﹣60°﹣90°﹣90°=120°∵对顶角相等，∴∠BOC=120°．故答案为：120°．考点：等边三角形的性质．12．17．【解析】试题分析：（1）若3为腰长，7为底边长，由于3+3＜7，则三角形不存在；（2）若7为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．所以这个三角形的周长为7+7+3=17．故答案为：17．考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形三边关系．13．5．【解析】试题分析：作A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，此时AP+PB最小；则PA=PA′，∴AP+PB=PA′+PA=A′B，过点B作BC⊥AA′于点C，则OA′=OA=2，OC=1，BC=4，，∴AP+PB最小值=5．故答案为：5．考点：1．轴对称-最短路线问题；2．应用题．14【解析】试题分析：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN 的最小值．根据轴对称的定义可知：∠N′OQ=∠M′OB=30°，∠ONN′=60°，∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，∴∠N′OM′=90°，∴在Rt△M′ON′中，M′N′=考点：轴对称-最短路线问题．15．3．【解析】试题分析：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，则CE即为CM+MN的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为CM+MN 的最小值．解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，∵BD 平分∠ABC ，ME ⊥AB 于点E ，MN ⊥BC 于N∴MN=ME ，∴CE=CM+ME=CM+MN 的最小值． ∵三角形ABC 的面积为18，AB=12，∴×12•CE=18，∴CE=3． 即CM+MN 的最小值为3．故答案为：3．考点：轴对称-最短路线问题．16．6【解析】试题分析：如图：①作AB 的垂直平分线交直线AC 和BC 于一点12,P P ，则AP=BP ，此时三角形是等腰三角形，即2个；②因为∠ACB=90°，∠BAC=30°，所以△2P AB 为等边三角形，所以以A 为圆心，以AB 为半径画弧交直线AC 于点34,P P ，交直线BC 于点B,2P ,此时AB=AP ，所以三角形是等腰三角形，即2个；③以B 为圆心，以AB 为半径画弧交直线BC 于点25,P P ，交直线AC 于点A 和6P ，此时AB=PB ，所以三角形是等腰三角形，即2个；所以共有2+2+2=6个．考点：直角三角形的性质、等腰三角形的判定．17． 13050或【解析】 试题分析：如图, △ABC 中,AB=AC,BD 为AC 上的高．当∠BAC 为锐角时,∠ABD=40°,则顶角∠A=90°-∠ABD=50°．当∠BAC 为钝角时,∠ABD=40°,则顶角∠BAC=∠ABD+∠D=130°．所以顶角的度数为130°或50°．考点：等腰三角形的性质．18．（1）见解析；（2）54°；（3【解析】试题分析：根据折叠图形得出∠DEF=∠BEF ，根据AD ∥BC 得出∠DEF=∠EFB ，从而得到答案；根据等腰三角形的性质进行求解；根据Rt △ABE 的勾股定理求出答案．试题解析：证明：（1）∵折叠 ∴∠DEF=∠BEF 又∵AD ∥BC ∴∠DEF=∠EFB ∴∠BEF=∠EFB∴BE=BF（2）∵∠ABC=90° ∴∠EBF=90°-18°=72° ∴∠EBF=272180- =54° （3）设AE=x ，则ED=BE=8-x ∴在Rt △ABE 中 x 2+62=（8-x 7考点：折叠图形的性质、勾股定理19．（1）见解析；（2）()115A ，，()110B ，，()143C ，；（3）7．5 【解析】试题分析：根据轴对称图形的性质画出图形，得出点的坐标；根据三角形的面积求法得出三角形的面积．试题解析：（1）如图（2）()115A ，，()110B ，，()143C ，．（3考点：轴对称图形20．（1）见解析；（2）10km【解析】试题分析：（1）作点A 关于直线L 的对称点A′，连结C A′与直线L 的交点即为所求点P ；（2）过A′作A′E⊥CD,交CD 的延长线于E ，在Rt △A′CE 利用勾股定理可求出PA+PC 最小值．试题解析：解：（1）如图；……3分（2）由作图可得最短路程为A′C 的距离，过A′作A′E⊥CD,交CD 的延长线于E ，则DE=A′B=AB=2km，A′E=BD=8km，CE=2+4=6km ，根据勾股定理可得，A′C=10km．即PA+PC 最小值为10km考点：轴对称的性质、勾股定理．21．（1）（2）t=2、t=4 【解析】试题分析：对于动点，首先将动点所产生的线段用含t 的代数式来表示，然后根据勾股定理以及等腰三角形的性质求出t 的值．试题解析：（1）∵当t=1时，AP=1，BP=7，BQ=2 ∴（2）∵△PQB 是等腰三角形，∠B=90° ∴BP=BQ BP=8-t ， BQ=2t∴8-t=2t 解得（3）当BC=BM时，t=2 当MC=MB时，当CB=CM时，t=4考点：动点问题22．∠D=25°，∠E=40°，∠DAE=115°．【解析】试题分析：由∠ABC=50°，DB=BA，据三角形外角性质可得∠D=∠可得∠E=40°；由三角形内角和定理可得∠BAC=50°，即可得∠DAE的度数．试题解析：解：∵∠ABC=50°，DB=BA，∴∠D=∠同理可得∠E=∠∵在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，∴∠BAC=50°，∴∠DAE=∠DAB+∠BAC+∠CAE=115°．考点：1．三角形内角和定理；2．三角形的外角性质．23．△DMN为等边三角形，理由见解析.【解析】试题分析：由已知可得△BDF、△EDC是等边三角形，从而可证△BDE≌△FDC，继而可证△NDE≌△MDC，从而问题得以解决．试题解析：△DMN为等边三角形，理由如下：∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，∵DE//AB，DF∥AC，∴∠EDC=∠ABC=60°，∠FDB=∠ACB=60°，∴∠FDE=60°，△BDF、△EDC是等边三角形，∴BD=FD，ED=CD，∵∠BDE=∠FDC=120°，∴△BDE≌△FDC，∴∠BED=∠FCD，又∵∠NDE=∠MDC=60°，∴△NDE≌△MDC，∴DN=DM，∴△DMN是等边三角形.考点：1.等边三角形的判定与性质；2.全等三角形的判定与性质.。