第13部分_概率

山东省各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编第13部分:概率一、选择题：9. (山东省济南市2011年2月高三教学质量调研理科)位于直角坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向向左或向右，并且向左移动的概率为31，向右移动的概率为32，则质点P 移动五次后位于点()1,0的概率是 A ．4243 B ．8243 C ．40243 D ．802439.D 【解析】32352180.33243P C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 7．(山东省济宁市2011年3月高三第一次模拟理科)右图的矩形，长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积约 （ ） A ．523B ．521C ．519D ．5167． 答案：A7．(山东省临沂市2011年3月高三第一次教学质量检测理科)一个盒子中装有4张卡片，上面分别写着如下四个定义域为R 的函数：31234(),()||,()sin ,()cos f x x f x x f x x f x x ====现从盒子中任取2张卡片，将卡片上的函数相乘得到一个新函数，所得函数为奇函数的概率是 （ C ）A ．16B ．13C ．23D ．564. （山东省淄博市2011年3月高三下学期模拟考试文科）右图的矩形，长为5，宽为2．在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗．则可以估计出阴影部分的面积约为（ B ）A ．2310 B ．235 C ．236 D ．23114. (山东省潍坊三县2011届高三阶段性教学质量检测理科)如图，矩形OABC 内的阴影部分是由曲线()()()sin 0,f x x x π=∈及直线()()0,x a a π=∈与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为14，则a 的值是( B )第4题图A .712π B.23π C .34π D.56π 5．(山东省潍坊三县2011届高三阶段性教学质量检测文科)在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于4S的概率是 ( C ) A.14B.12C.34D.23二、填空题：15．(山东省临沂市2011年3月高三第一次教学质量检测理科)若不等式组,,240y x y x x y ≤⎧⎪≥-⎨⎪--≤⎩表示的平面区域22,1M x y +≤所表示的平面的区域为N ，现随机向区域M 内抛一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率为 。

364π三、解答题：19. 【解析】（1）()0.0320.0430.050200.25,0.256015,++⨯=⨯=所以此次拦查中醉酒驾车的人数为15.（2） 易知利用分层抽样抽取8人中含有醉酒驾车者为2人；所以x 的所有可能取值为0,1,2；()0P x ==3836C C =145,()1P x ==381226C C C =2815,()2P x ==382216C C C =2834282281140)(=⨯+⨯+⨯=X E .19. (山东省青岛市2011年3月高考第一次模拟理科) (本小题满分12分)某单位实行休年根据上表信息解答以下问题：(Ⅰ)从该单位任选两名职工，用h 表示这两人休年假次数之和，记“函数2()1f x x x =--h 在区间(4，6)上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率P ；(Ⅱ)从该单位任选两名职工，用x 表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量x 的分布列及数学期望E x . 19．（本小题满分12分）解:(Ⅰ) 函数()21f x x x η=--过(0,1)-点，在区间(4,6)上有且只有一个零点，则必有(4)0(6)0f f <⎧⎨>⎩即：1641036610ηη--<⎧⎨-->⎩，解得：153546η<< 所以，4η=或5η=…………3分当4η=时，211201015125068245C C C P C +==，当5η=时，11201522501249C C P C ==…………5分 4η=与5η=为互斥事件，由互斥事件有一个发生的概率公式所以12681212824549245P P P =+=+=…………6分 (Ⅱ) 从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，则ξ的可能取值分别是0,1,2,3，…………7分于是()22225102015250207C C C C P C ξ+++===，1111115101020152025022(1)49C C C C C C P C ξ++===，1111520101525010(2)49C C C C P C ξ+===，115152503(3)49C C P C ξ===…………10分 从而ξ的分布列：ξ的数学期望：0123749494949E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． …………12分17．(山东省青岛市2011年3月高考第一次模拟文科)（本小题满分12分）设集合{1,2}A =,{1,2,3}B =,分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b .(Ⅰ)若向量(,),(1,1)m a b n ==-,求向量m 与n 的夹角为锐角的概率;(Ⅱ) 记点(,)P a b ,则点(,)P a b 落在直线x y n +=上为事件n C (25)n n ≤≤∈N ，,求使事件n C 的概率最大的n . 17．（本小题满分12分）解：(Ⅰ) 设向量m 与n的夹角为θ因为θ为锐角 ∴cos 0m nm n θ⋅=>，且向量m 与n 不共线,因为0,0a b >>,(1,1)n =- ,显然m 与n 不共线,所以,0m n a b ⋅=->,a b >………………………2分分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b 的基本事件有;(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)………………………………………5分所以向量m 与n 的夹角为锐角的概率16P =………………………………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知;当2n =时，满足条件的概率216P =………………………7分当3n =时，满足条件的概率313P =………………………………………8分当4n =时，满足条件的概率413P =………………………………………9分当5n =时，满足条件的概率516P =………………………………………10分所以使事件n C 的概率最大的n 值为3或4……………………………………12分18．(山东省济宁市2011年3月高三第一次模拟理科)（本题满分12分 ）某学生在上学路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是13,遇到红灯时停留的时间都是2min ． （1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率; （2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望．18． 解：（1）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A,因为事件A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯”,所以事件A 的概率为()11141133327P A ⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）由题意,可得ξ可能取的值为0,2,4,6,8（单位:min ）．事件“2k ξ=”等价于事件“该学生在路上遇到k 次红灯”（k =0,1,2,3,4）,∴()()441220,1,2,3,433k kk P k C k ξ-⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴即ξ的分布列是∴ξ的期望是163288180246881812781813E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．20．（山东省淄博市2011年3月高三下学期模拟考试理科）（本题满分12分）甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功．已知在6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是23． （Ⅰ）求甲、乙至少有一人闯关成功的概率；（Ⅱ）设甲答对题目的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．18．（山东省淄博市2011年3月高三下学期模拟考试文科）（本题满分12分）有关部门要了解甲型H1N1流感预防知识在学校的普及情况，命制了一份有10道题的问卷到各学校做问卷调查．某中学A B 、两个班各被随机抽取5名学生接受问卷调查，A 班5名学生得分为：5，8，9，9，9；B 班5名学生得分为：6，7，8，9，10．（Ⅰ）请你估计A B 、两个班中哪个班的问卷得分要稳定一些；（Ⅱ）如果把B 班5名学生的得分看成一个总体，并用简单随机抽样方法从中抽取样本容量为2的样本，求样本平均数与总体平均数之差的绝对值不小于1的概率．18．解：（Ⅰ）∵A 班的5名学生的平均得分为(58999)++++÷58=， (1)分 方差22222211[(58)(88)(98)(98)(98)] 2.45S =-+-+-+-+-=； …………3分 B 班的5名学生的平均得分为(678910)++++÷58=， ……………………4分方差22222221[(68)(78)(88)(98)(108)]25S =-+-+-+-+-=． ………6分 ∴ 2212S S >， ∴ B 班的预防知识的问卷得分要稳定一些． ……………………………………8分 （Ⅱ）从B 班5名同学中任选2名同学的方法共有10种， ………………………10分 其中样本6和7，6和8，8和10，9和10的平均数满足条件， 故所求概率为52104=． …………………………………………………………………12分 18. (山东省潍坊三县2011届高三阶段性教学质量检测理科)（本小题满分12分） 上海世博会深圳馆1号作品《大芬丽莎》是由大芬村507名画师集体创作的999幅 油画组合而成的世界名画《蒙娜丽莎》，因其诞生于大芬村，因此被命名为《大芬丽莎》．某部门从参加创作的507名画师中随机抽出100名画师，测得画师年龄情况如下表所示．（1）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图， 再根据频率分布直方图估计这507名画师中年龄在[)30,35岁的人数（结果取整数）；（2）在抽出的100名画师中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加上海世博会深 圳馆志愿者活动，其中选取2名画师担任解说员工作，记这2名画师中“年龄低于30岁”的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．18.解：（1）①处填20，②处填0.350；507名画师中年龄在[)35,30的人数为17750735.0≈⨯人，补全频率分布直方图如图所示………………………６分（2）用分层抽样的方法，从中选取20人,则其中“年龄低于30岁”的有5人， “年龄不低于30岁”的有15人.故ξ的可能取值为0， 1，2；7642)0(220215===C C P ξ 21.38= 7630)1(22015115===C C C P ξ 15.38= ()25220C 412.C 7619P ζ====所以ξ的分布列为所以2115110123838192E ζ=⨯+⨯+⨯=.…………………………………12分 20. (山东省潍坊三县2011届高三阶段性教学质量检测文科)（本题满分12分）某班同学利用国庆节进行社会实践，对][5525，岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数．．．．．．频率分布直方图：（Ⅰ）补全频率分布直方图并求,,n a p 的值；（Ⅱ）从年龄段在)[5040，的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在)[4540，岁的概率设[40,45)岁中的4人为a 、b 、c 、d ，[45,50)岁中的2人为m 、n ，则选取2人作为领队的有(,)a b 、(,)a c 、(,)a d 、(,)a m 、(,)a n 、(,)b c 、(,)b d 、(,)b m 、(,)b n 、(,)c d 、(,)c m 、(,)c n 、(,)d m 、(,)d n 、(,)m n ，共15种；其中恰有1人年龄在[40,45)岁的有(,)a m 、(,)a n 、(,)b m 、(,)b n 、(,)c m 、(,)c n 、(,)d m 、(,)d n ，共8种. ---10分所以选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率为815P =. ---12分。