北师大版必修22021学年高中数学综合质量检测2
高中数学本册综合检测题素养作业提技能含解析第二册
本册综合检测题考试时间120分钟，满分150分。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知i是虚数单位,复数z1在复平面内对应的向量错误!＝（－2,1），则复数z＝错误!的虚部为（D）A．－错误!B．－错误!C．错误!D．错误![解析］由题意可知z1＝－2＋i，所以z＝错误!＝错误!＝错误!＝－错误!＋错误!i，因此，复数z的虚部为错误!。
2．某台机床加工的1 000只产品中次品数的频率分布如下表：则次品数的众数、平均数依次为（A)A．0,1.1B．0，1C．4，1D．0。
5，2[解析]由表可知,次品数的众数为0，平均数为0×0.5＋1×0.2＋2×0.05＋3×0。
2＋4×0.05＝1.1．3．已知l，m表示两条不同的直线，α表示平面,则下列说法正确的是（A)A．若l⊥α，m⊂α,则l⊥mB．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αC．若l∥m，m⊂α,则l∥αD．若l∥α,m⊂α，则l∥m[解析]对于A,若l⊥α，m⊂α，则根据直线与平面垂直的性质，知l⊥m，故A正确；对于B，若l⊥m，m⊂α，则l可能在α内,故B不正确；对于C,若l∥m，m⊂α，则l∥α或l⊂α，故C不正确;对于D，若l∥α，m⊂α，则l与m可能平行，也可能异面，故D不正确.故选A．4．在△ABC中，角A，B,C所对的边分别是a,b,c,若a＝a cos B ＋b cos A，则△ABC是(A）A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形[解析]因为a＝a cos B＋b cos A，所以由余弦定理可得a＝a×错误!＋b×错误!，整理得a＝c,所以△ABC为等腰三角形。
5．已知平面向量a与b的夹角为错误!，且｜a|＝1，｜b|＝2，则｜a＋b｜＝(B)A．3B．错误!C．7D．错误
第二章 解析几何初步(时刻90分钟，总分值120分)一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．(2021·惠州高一检测)过两点A (－2，m )，B (m,4)的直线倾斜角是45°，那么m 的值是( )A ．－1B ．3C ．1D ．－3【解析】 k AB ＝m －4－2－m＝tan 45°＝1，∴m ＝1. 【答案】 C2．假设两直线ax ＋2y ＝0和x ＋(a －1)y ＋(a 2－1)＝0平行，那么a 的值是( )A ．－1或2B ．－1C ．2D ．23 【解析】 由a (a －1)－1×2＝0得a ＝－1或2，经查验a ＝－1时，两直线重合．【答案】 C3．(2021·合肥高一检测)若是圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在两个点到原点的距离为2，那么实数a 的取值范围是( )A ．(－3，－1)∪(1,3)B ．(－3,3)C ．[－1,1]D ．(－3，－1]∪[1,3) 【解析】 数形结合∵(0,0)、(a 、a )所在直线是存在两点的垂直平分线，∴1＜a ＜3或－3＜a ＜－1.【答案】 A4．在空间直角坐标系O—xyz中，点M的坐标是(1,3,5)，那么其关于x轴的对称点的坐标是( ) A．(－1，－3，－5) B．(－1，－3,5)C．(1，－3，－5) D．(1,3，－5)【解析】M(1,3,5)关于x轴对称的点，在x轴上的坐标不变，其他是其相反数，即为(1，－3，－5)．【答案】C5．圆(x－3)2＋(y＋4)2＝2关于直线y＝0对称的圆的方程是( )A．(x＋3)2＋(y－4)2＝2 B．(x－4)2＋(y＋3)2＝2C．(x＋4)2＋(y－3)2＝2 D．(x－3)2＋(y－4)2＝2【解析】圆心(3，－4)关于y＝0对称的点为(3,4)，∴圆的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝2.【答案】D6．(2021·南宁高一检测)过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为( )A. 3 B．2C. 6 D．23【解析】由题意得直线方程为y＝3x，圆的方程为x2＋(y－2)2＝4，圆心到直线的距离d＝23＋1＝1，弦长|AB|＝24－1＝2 3.【答案】D7．(2021·潍坊高一检测)假设直线l1：ax＋(1－a)y－3＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y－2＝0相互垂直，那么a的值是( )A．－3 B．1 C．－1 D．1或－3【解析】∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝1或－3.【答案】D8．假设点P(a，b，c)关于原点的对称点是P′，那么|PP′|＝( )A.a 2＋b 2＋c 2 B ．2a 2＋b 2＋c 2C ．|a ＋3＋c |D ．2|a ＋b ＋c |【解析】 P ′(－a ，－b ，－c )．由两点间距离公式得|PP ′|＝－a －a 2＋－b －b 2＋－c －c 2 ＝2a 2＋b 2＋c 2.【答案】 B9．不论a 为何数，直线(a －3)x ＋2ay ＋6＝0恒过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 由(a －3)x ＋2ay ＋6＝0，得(x ＋2y )a ＋(6－3x )＝0. 令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝0，6－3x ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－1，∴直线(a －3)x ＋2ay ＋6＝0恒过定点(2，－1)．从而该直线恒过第四象限．【答案】 D10．使得方程16－x 2－x －m ＝0有实数解，那么实数m 的取值范围是( ) A ．－4≤m ≤42 B ．－42≤m ≤42 C ．－4≤m ≤4D ．4≤m ≤42 【解析】 设f (x )＝16－x 2，g (x )＝x ＋m ，在同一坐标系中画出函数f (x )和g (x )的图形，如下图．那么m是直线y ＝x ＋m 在y 轴上的截距．由图可知－4≤m ≤42. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)11．在空间直角坐标系中，已知点A (1,0,2)，B (1，－3,1)，点M 在y 轴上，且M 到A 与B 的距离相等，那么M 的坐标是________．【解析】 ∵M 在y 轴上，设其坐标为(0，y,0)，由空间两点间的距离公式得 1＋y 2＋4＝1＋y ＋32＋1，得y ＝－1，∴M 的坐标为(0，－1,0)．【答案】 (0，－1,0)12．已知点P 在直线3x ＋y －5＝0上，且P 点到直线x －y －1＝0的距离为2，那么P 点坐标为________．【解析】 点P 在直线3x ＋y －5＝0上，设P (x 0，y 0)，即P (x 0,5－3x 0)．由点到直线的距离公式，得|x 0－5－3x 0－1|12＋－12＝2，解得x 0＝2或x 0＝1，因此点P 的坐标为(2，－1) 或(1,2)． 【答案】 (2，－1) 或(1,2)13．两平行直线l 1：3x ＋4y －2＝0，l 2：6x ＋ay －5＝0的距离等于__________．【解析】 由3a －24＝0，得a ＝8，∴l 2：3x ＋4y －52＝0. ∴d ＝|－52－－2|32＋42＝110. 【答案】 110 14．(2021·九江高一检测)已知方程x 2＋y 2＋2mx －2my －2＝0表示的曲线恒过第三象限的一个定点A ，假设点A 又在直线l ：mx ＋ny ＋1＝0上，那么m ＋n ＝________.【解析】 已知方程即x 2＋y 2－2＋2m (x －y )＝0，该曲线系恒通过圆x 2＋y 2－2＝0与直线x －y ＝0的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2＝0x －y ＝0得所过定点为(－1，－1)，(1,1)，∵点A 为第三象限的点，∴A 点的坐标为(－1，－1)，将其代入直线l 的方程得(－1)·m ＋(－1)·n ＋1＝0，即m ＋n ＝1.【答案】 1三、解答题(本大题共4小题，共50分．解许诺写出文字说明，证明进程或演算步骤)15．(本小题12分)菱形ABCD 中，A (－4,7)、C (6，－5)、BC 边所在直线过点P (8，－1)，求：(1)AD 边所在直线的方程；(2)对角线BD 所在直线的方程．【解】 (1)k BC ＝2，∵AD ∥BC ，∴k AD ＝2.∴直线AD 方程为y －7＝2(x ＋4)，即2x －y ＋15＝0.(2)k AC ＝－65，∵菱形对角线相互垂直， ∴BD ⊥AC ，∴k BD ＝56， 而AC 中点(1,1)，也是BD 的中点，∴直线BD 的方程为y －1＝56(x －1)，即5x －6y ＋1＝0. 图116．(本小题12分)如图1所示，⊙O 的方程为x 2＋y 2＝9，点P 的坐标为(4,0)，求：(1)以点P 为圆心且与⊙O 外切的圆的标准方程；(2)以点P 为圆心且与⊙O 内切的圆的标准方程．【解】 (1)知足条件的圆P 是以(4,0)为圆心，1为半径的圆．因此圆P 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1.(2)知足条件的圆P 是以(4,0)为圆心，7为半径的圆，因此圆P 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝49.17．(本小题12分)已知方程x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0.(1)假设此方程表示圆，求m 的取值范围；(2)假设(1)中的圆与直线x ＋2y －4＝0相交于M ，N 两点，且OM ⊥ON (O 为坐标原点)，求m 的值．【解】 (1)x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，D ＝－2，E ＝－4，F ＝m ，D 2＋E 2－4F ＝20－4m ＞0，m ＜5.(2)将x ＝4－2y 代入x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0得5y 2－16y ＋8＋m ＝0，y 1＋y 2＝165，y 1y 2＝8＋m 5，∵OM ⊥ON ，得出：x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴5y 1y 2－8(y 1＋y 2)＋16＝0，∴m ＝85. 18．(本小题14分)已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A 、B 是切点．(1)求四边形PACB 面积的最小值；(2)直线l 上是不是存在点P ，使∠BPA ＝60°？假设存在，求出点P 的坐标；假设不存在，说明理由．【解】 (1)如下图，△PAC ≌△PBC ，那么有S PACB ＝2S △PAC .圆心C (1,1)，半径r ＝1.由切线性质得AC ⊥PA ，那么|PA |＝|PC |2－|AC |2，又|AC |＝1，∴S △PAC ＝12|AC |·|PA |＝12|PC |2－1. 又P 在直线l 上，那么|PC |的最小值是C 到直线l 的距离d ＝|3＋4＋8|9＋16＝3. ∴S △PAC 的最小值为1232－1＝ 2.∴四边形PACB 面积的最小值是22. (2)假设直线l 上存在点P 知足题意．∵∠APB ＝60°，∴|AP |＝3|AC |＝3，|PC |＝2.设P (x ，y )，那么有⎩⎪⎨⎪⎧ x －12＋y －12＝4，3x ＋4y ＋8＝0，整理可得25x 2＋40x ＋96＝0.∵Δ＝402－4×25×96<0，∴如此的点P是不存在的．。
2021高中同步创新课堂数学优化方案北师大版必修2习题：第二章模块综合检测(A) Word版含答案
模块综合检测(A)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．有一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的表面积及体积为( )A ．24π cm 2，12π cm 3B ．15π cm 2，12π cm 3C ．24π cm 2，36π cm 3D ．以上都不正确解析：选A.由三视图可知，该几何体是圆锥，其中底面半径为3，母线长为5，所以高为h ＝ 52－32＝4，所以S 表＝πr 2＋πrl ＝π(32＋3×5)＝24π，V ＝13πr 2h ＝13π×32×4＝12π，故选A.2．已知点A (1，2，－1)，点C 与点A 关于平面xOy 对称，点B 与点A 关于x 轴对称，则线段BC 的长为( )A ．2 2B ．4C ．2 5D ．27解析：选B ．点A 关于平面xOy 对称的点C (1，2，1)，点A 关于x 轴对称的点B (1，－2，1)，则|BC |＝（1－1）2＋（2＋2）2＋（1－1）2＝4.3．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是( ) A ．1或3 B ．1或5 C ．3或5 D ．1或2解析：选C.由于直线l 1∥l 2，所以－2(k －3)－2(k －3)(4－k )＝0，即(k －3)(k －5)＝0，解得k ＝3或k ＝5.经检验，符合条件．4．在正四棱柱ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AB ＝1，A ′A ＝2，则AC ′与BC 所成角的余弦值为( ) A.55 B ．56 C.66D ．306解析：选C.由题意知，∠AC ′B ′即为AC ′与BC 所成的角，连接AB ′，在Rt △AC ′B ′中，AC ′＝6，B ′C ′＝1， 故cos ∠AC ′B ′＝66. 5．到直线3x －4y －1＝0的距离为2的直线的方程是( ) A ．3x －4y －11＝0B ．3x －4y －11＝0或3x －4y ＋9＝0C ．3x －4y ＋9＝0D ．3x －4y ＋11＝0或3x －4y －9＝0解析：选B ．设所求直线方程为3x －4y ＋c ＝0，由题意可得|c －（－1）|32＋42＝2，即|c ＋1|＝10，解得c ＝9或c ＝－11.即所求直线方程为3x －4y ＋9＝0或3x －4y －11＝0.6．三条直线两两相交，可以确定平面的个数是( ) A ．1 B ．1或2 C ．3 D ．1或3解析：选D ．当三条两两相交的直线共面时，只有一个，当三条直线两两相交且不共面时，可以确定三个平面．7．过点(2，1)的直线中，被圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0截得的最长弦所在直线的方程是( ) A ．3x －y －5＝0 B ．3x ＋y －7＝0 C ．x ＋3y －5＝0 D ．x －3y ＋1＝0解析：选A.由题意知所求直线应过圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0的圆心，即过点(1，－2)，由直线方程的两点式可得，所求直线方程为3x －y －5＝0.8．已知不同的直线m ，n 和不同的平面α，β给出下列命题： ①⎭⎬⎫α∥βmα⇒m ∥β；②⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ∥β⇒n ∥β；③⎭⎬⎫mαnβ⇒m ，n 异面；④⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βm ∥α⇒m ⊥β.其中假命题有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选D ．命题①正确，面面平行的性质；命题②不正确，也可能n β；命题③不正确，假如m ，n中有一条是α，β的交线，则m ，n 共面；命题④不正确，m 与β的关系不确定．9．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，半径为5的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0解析：选C.令a ＝0，a ＝1，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＋1＝0，－y ＋2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，所以C (－1，2)，则圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5， 即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.10．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截后剩余的凸多面体的体积为( )A.23 B ．76C.45D ．56解析：选D ．共截去8个小三棱锥，且这8个小三棱锥完全一样，每个小三棱锥都有三条长度为12且相互垂直的棱，故每个小三棱锥的体积为V ＝13×⎝⎛⎭⎫12×12×12×12＝148，故剩余的多面体体积为1－8×148＝56. 11．若点A (2，1)，B (－1，5)到直线l 的距离均为52，则这样的直线l 有( )A ．2条B ．3条C ．4条D ．很多条解析：选B ．全部到点A 距离为52的直线都是以A 为圆心，半径为52的圆的切线；同理，全部到B 的距离为52的直线都是以B 为圆心，半径为52的圆的切线，因此所求直线l 是圆A 和圆B 的公切线． 又由于|AB |＝5＝52＋52，故两圆外切，公切线有3条．12．如图①，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a L 水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P .假如将容器倒置，水面也恰好过点P (如图②)．有下列四个命题：①正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半；②将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P ；③任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P ； ④若往容器内再注入a L 水，则容器恰好能装满． 其中真命题是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④解析：选D ．易知所盛水的体积为容器容积的一半，故④正确，于是①错误；水平放置时由容器外形的对称性知水面经过点P ，故②正确；③的错误可这样推出：将图①中容器的位置向右边倾斜一些，可推知点P 将露出水面．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．经过点P (2，－3)作圆x 2＋y 2＝20的弦AB ，且使|AB |＝8，则弦AB 所在的直线方程为________． 解析：如图，由于|AB |＝8，所以|OC |＝20－16＝2.设AB 所在直线方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0，圆心O 到AB 的距离为|－2k －3|k 2＋（－1）2＝2，解得k ＝－512.此时，AB 所在的直线方程为5x ＋12y ＋26＝0.当AB 所在的直线方程为x ＝2时，也符合题意．所以，所求弦AB 所在直线的方程是5x ＋12y ＋26＝0或x ＝2. 答案：5x ＋12y ＋26＝0或x ＝214．若三点A (2，2)，B (a ，0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b 的值等于________．解析：三点共线，则k AB ＝k AC ， 即22－a＝2－b 2.整理知2a ＋2b ＝ab .同除以ab ， 有2a ＋2b＝1， 所以1a ＋1b ＝12.答案：1215．三棱锥P -ABC 的两侧面P AB 、PBC 都是边长为2的正三角形，AC ＝3，则二面角A -PB -C 的大小为________．解析：如图所示，取PB 的中点M ，连接MA 、MC ，由于P AB 、PBC 都是边长为2的正三角形，所以PB ⊥MA ，PB ⊥MC ，且MA ＝MC ＝3，所以∠AMC 即为二面角A -PB -C 的平面角．又AC ＝3，所以△MAC 为正三角形，∠AMC ＝60°.答案：60°16．已知直线l ：(2a ＋1)x ＋(a ＋2)y ＋2a ＋2＝0(a ∈R )，有下列三个结论： ①若a ＝－2，则直线l 与x 轴平行；②当a ＝1时，l 与两坐标轴围成三角形的面积为89；③l 经过定点⎝⎛⎭⎫－23，－23. 其中正确的结论是________(填上你认为正确的全部序号)．解析：对于①，若a ＝－2，则直线l 的方程为x ＝－23，与x 轴垂直，故①不正确；对于②，当a ＝1时，则直线l 的方程为3x ＋3y ＋4＝0，与两坐标轴的交点分别为⎝⎛⎭⎫－43，0，⎝⎛⎭⎫0，－43，所以三角形面积为12×43×43＝89，故②正确；对于③，直线方程可化为a (2x ＋y ＋2)＋x ＋2y ＋2＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋2＝0，x ＋2y ＋2＝0，得⎩⎨⎧x ＝－23，y ＝－23故直线l 经过定点⎝⎛⎭⎫－23，－23，③正确． 答案：②③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)求圆心为C (2，－1)，截直线y ＝x －1的弦长为22的圆的方程．解：设圆的半径为r ，由条件可知圆心C 到直线y ＝x －1的距离为d ＝|2＋1－1|2＝ 2.又直线y ＝x －1被圆截得的弦长为22，所以半弦长为 2.所以r 2＝2＋2＝4，r ＝2.故所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝4. 18．(本小题满分12分)球面上三点A ，B ，C 组成这个球的一个截面的内接三角形，其中AB ＝18，BC ＝24，AC ＝30，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积．解：由于AB ＝18，BC ＝24，AC ＝30， 所以AB 2＋BC 2＝AC 2，所以△ABC 是以AC 为斜边的直角三角形． 所以△ABC 的外接圆的半径为15， 即截面圆的半径r ＝15.又球心到截面的距离d ＝12R ，所以R 2－⎝⎛⎭⎫12R 2＝152，解得R ＝10 3.所以球的表面积为S ＝4πR 2＝4π×(103)2＝1 200π.19. (本小题满分12分)如图，四周体ABCD 中，AD ⊥平面BCD ，E ，F 分别为AD ，AC 的中点，BC ⊥CD ．求证：(1)EF ∥平面BCD ；(2)平面BDC ⊥平面ACD ． 证明：(1)⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫AE ＝ED AF ＝FC ⇒EF ∥DCE F 平面BCD DC平面BCD⇒EF ∥平面BCD ． (2)⎭⎪⎬⎪⎫AD ⊥平面BCD BC 平面BCD ⇒⎭⎬⎫BC ⊥ADBC ⊥CD AD ∩CD ＝D ⇒BC ⊥平面ACD ，又BC平面BDC ，所以平面BDC ⊥平面ACD ．20．(本小题满分12分)已知圆C 的方程为x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，其中m <5. (1)若圆C 与直线l ：x ＋2y －4＝0相交于M ，N 两点，且|MN |＝455，求m 的值； (2)在(1)条件下，是否存在直线l ：x －2y ＋c ＝0，使得圆上有四点到直线l 的距离为55，若存在，求出c 的范围，若不存在，说明理由．解：(1)圆的方程化为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，圆心C (1，2)，半径r ＝5－m ，则圆心C (1，2)到直线l ：x ＋2y －4＝0的距离为d ＝|1＋2×2－4|12＋22＝15.由于|MN |＝45，则12|MN |＝25，有r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫12|MN |2， 所以5－m ＝⎝⎛⎭⎫152＋⎝⎛⎭⎫252， 得m ＝4.(2)假设存在直线l ：x －2y ＋c ＝0，使得圆上有四点到直线l 的距离为55，由于圆心C (1，2)，半径r ＝1，则圆心C (1，2)到直线l ：x －2y ＋c ＝0的距离为d ＝|1－2×2＋c |12＋22＝|c －3|5<⎪⎪⎪⎪1－15，解得4－5<c <2＋ 5.21．(本小题满分12分)如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，CD ∥AB ，AB ＝4，AD ＝CD ＝2，将△ADC 沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D -ABC ，如图2所示．(1)求证：BC ⊥平面ACD ； (2)求几何体D -ABC 的体积．解：(1)证明：在题图1中，可得AC ＝BC ＝22， 从而AC 2＋BC 2＝AB 2， 故AC ⊥BC ，取AC 的中点O ，连接DO ， 则DO ⊥AC ，又平面ADC ⊥平面ABC ，平面ADC ∩平面ABC ＝AC ， DO平面ADC ，从而DO ⊥平面ABC ， 所以DO ⊥BC ，又AC ⊥BC ，AC ∩DO ＝O ， 所以BC ⊥平面ACD ．(2)由(1)可知，BC 为三棱锥B -ACD 的高，BC ＝22，S △ACD ＝2. 所以V D ABC ＝V B ACD ＝13S △ACD ·BC＝13×2×22＝423. 22．(本小题满分12分)已知以点P 为圆心的圆过点A (－1，0)和B (3，4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C ，D ，且|CD |＝410. (1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程；(3)设点Q 在圆P 上，摸索究使△QAB 的面积为8的点Q 共有几个？并证明你的结论．解：(1)由于A (－1，0)和B (3，4)，所以k AB ＝1.由题意知AB 与CD 垂直，故k CD ·k AB ＝－1，所以k CD ＝－1.又由题意知，直线CD 经过线段AB 的中点(1，2)，所以直线CD 的方程为x ＋y －3＝0.(2)由题意知，线段CD 的长为圆P 的直径，设圆P 的半径为R ，则2R ＝410，所以R ＝210.设圆P 的圆心坐标为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －3＝0，（a ＋1）2＋b 2＝40.解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40，或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.(3)由于|AB |＝42，S △QAB ＝8，所以点Q 到直线AB 的距离为2 2.设圆心P 到直线AB 的距离为d ，则d 2＝R 2－⎝⎛⎭⎫|AB |22＝(210)2－(22)2＝32，所以圆心P 到直线AB 的距离为d ＝4 2.又圆P 的半径R ＝210，而210－42<22， 所以，圆P 上共有2个点Q 使△QAB 的面积为8.。
2021-2022学年新教材高中数学 模块综合测评(含解析)北师大版必修第二册
模块综合测评(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量a ＝(cos 75°，sin 75°)，b ＝(cos 15°，sin 15°)，则|a －b |的值为( )A ．12B ．1C ．2D ．3B [如图，将向量a ，b 的起点都移到原点，即a ＝OA →，b ＝OB →，则|a －b |＝|BA →|且∠xOA ＝75°，∠xOB ＝15°，于是∠AOB ＝60°，又因为|a |＝|b |＝1，则△AOB 为正三角形，从而|BA →|＝|a －b |＝1.]2．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－3x ＋3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－3x 的最小正周期为( )A ．2π3B ．π3C ．8D ．4A [y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－3x ＋3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－3x＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－3x ，所以T ＝2π|－3|＝2π3.]3．已知cos (α＋β)＝13，cos (α－β)＝15，则tan αtan β等于( )A ．14B ．－14C ．16D ．－16B[因为cos (α＋β)＝13，cos (α－β)＝15，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos αcos β－sin αsin β＝13，cos αcos β＋sin αsin β＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧cos αcos β＝415，sin αsin β＝－115，所以tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝－14.]4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝π2，a ＝6，sin 2B ＝2sin A sin C ，则△ABC 的面积S ＝( )A ．32B ．3C ． 6D ．6B [由sin 2B ＝2sin A sinC 及正弦定理，得b 2＝2ac ，① 又B ＝π2，所以a 2＋c 2＝b 2.②联立①②解得a ＝c ＝6，所以S ＝12×6×6＝3.]5．已知|p |＝22，|q |＝3，p ，q 的夹角为π4，如图，若AB →＝5p ＋2q ，AC →＝p －3q ，D 为BC 的中点，则|AD →|为( )A ．152B ．152C ．7D ．18A [∵AD →＝12(AC →＋AB →)＝12(6p －q )，∴|AD →|＝|AD →|2＝12（6p －q ）2＝1236p 2－12p ·q ＋q 2 ＝1236×（22）2－12×22×3×cos π4＋32＝152.]6．若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A ．l 与l 1，l 2都不相交B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交D [法一：由于l 与直线l 1，l 2分别共面，故直线l 与l 1，l 2要么都不相交，要么至少与l 1，l 2中的一条相交．若l ∥l 1，l ∥l 2，则l 1∥l 2，这与l 1，l 2是异面直线矛盾．故l 至少与l 1，l 2中的一条相交．法二：如图1，l 1与l 2是异面直线，l 1与l 平行，l 2与l 相交，故A ，B 不正确；如图2，l 1与l 2是异面直线，l 1，l 2都与l 相交，故C 不正确．]图1 图27．如图，在圆O 中，若弦AB ＝3，弦AC ＝5，则AO →·BC →的值是( )A ．－8B ．－1C ．1D ．8D [取BC 的中点D ，连接AD ，OD (图略)，则有OD ⊥BC .∵AD →＝12(AB →＋AC →)，AO →＝AD →＋DO →，BC →＝AC →－AB →，∴AO →·BC →＝(AD →＋DO →)·BC →＝AD →·BC →＋DO →·BC →＝AD →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(AC →2－AB →2)＝12(52－32)＝8，故选D.]8．函数y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4[cos (x ＋π4)－sin (x ＋π4)]在一个周期内的图象是( )A BC DB [y ＝(22cos x －22sin x ＋22sin x ＋22cos x )·(22cos x －22sin x －22sinx －22cos x )＝2cos x ·(－2sin x )＝－2sin x cos x ＝－sin 2x ，故选B.]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．9．已知复数z ＝i1－2i ，则以下说法正确的是( )A ．复数z 的虚部为i5B ．z 的共轭复数z －＝25－i5C ．|z |＝55D ．在复平面内与z 对应的点在第二象限CD [∵z ＝i 1－2i ＝i （1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝－25＋15i ，∴复数z 的虚部为15，z 的共轭复数z －＝－25－i 5，|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－252＋⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝55，复平面内与z 对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，15，在第二象限．故选CD.]10．已知A ，B ，C 表示不同的点，l 表示直线，α，β表示不同的平面，则下列推理正确的是( )A ．A ∈l ，A ∈α，B ∈l ，B ∈α⇒l ⊂αB ．A ∈α，A ∈β，B ∈α，B ∈β⇒α∩β＝ABC ．l ⊄α，A ∈l ⇒A ∉αD ．A ∈α，A ∈l ，l ⊄α⇒l ∩α＝AABD [对于选项A ：由基本事实2知，l ⊂α，故选项A 正确；对于选项B ：因为α，β表示不同的平面，由基本事实3知，平面α，β相交，且α∩β＝AB ，故选项B 正确；对于选项C ：l ⊄α分两种情况：l 与α相交或l ∥α.当l 与α相交时，若交点为A ，则A ∈α，故选项C 错误；对于选项D ：由基本事实2逆推可得结论成立，故选项D 成立；故选ABD.] 11．已知函数f ()x ＝2cos 22x －2，下列命题中的真命题有( ) A ．∃β∈R ，f ()x ＋β为奇函数B ．∃α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4，f ()x ＝f ()x ＋2α对x ∈R 恒成立C ．∀x 1，x 2∈R ，若||f ()x 1－f ()x 2＝2，则||x 1－x 2的最小值为π4D ．∀x 1，x 2∈R ，若f ()x 1＝f ()x 2＝0，则x 1－x 2＝k π()k ∈Z BC [由题意f ()x ＝2cos 22x －2＝cos4x －1； ∵f ()x ＝cos 4x －1的图象如图所示；函数f ()x ＋β的图象是f ()x 的图象向左或向右平移||β个单位， 它不会是奇函数的，故A 错误；若 f ()x ＝f ()x ＋2α，∴cos 4x －1＝cos ()4x ＋8α－1，∴8α＝2k π，∴α＝k π4，k ∈Z ；又∃α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4，∴取α＝π4或π2时，f ()x ＝f ()x ＋2α对x ∈R 恒成立，故B 正确；||f ()x 1－f ()x 2＝||cos 4x 1－cos 4x 2＝2时，||x 1－x 2的最小值为T2＝2π2×4＝π4，故C 正确；当f ()x 1＝f ()x 2＝0时， x 1－x 2＝kT ＝k ·2π4＝k π2()k ∈Z ，故D 错误；故选BC.]12．如图，在四棱锥P ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，F 是AB 的中点，E 是PB 上的一点，则下列说法正确的是( )A ．若PB ＝2PE ，则EF ∥平面PACB ．若PB ＝2PE ，则四棱锥P ABCD 的体积是三棱锥E ACB 体积的6倍C ．三棱锥P ADC 中有且只有三个面是直角三角形D ．平面BCP ⊥平面ACEAD [对于选项A ，因为PB ＝2PE ，所以E 是PB 的中点， 因为F 是AB 的中点，所以EF ∥PA ，因为PA ⊂平面PAC ，EF ⊄平面PAC ，所以EF ∥平面PAC ，故A 正确； 对于选项B ，因为PB ＝2PE ，所以V P ABCD ＝2V E ABCD ， 因为AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，所以梯形ABCD 的面积为12()CD ＋AB ·AD ＝12×()1＋2×1＝32，S △ABC ＝12AB ·AD ＝12×2×1＝1，所以V E ABCD ＝32V E ABC ，所以V P ABCD ＝3V E ABC ，故B 错误；对于选项C ，因为PC ⊥底面ABCD ，所以PC ⊥AC ，PC ⊥CD ，所以△PAC ，△PCD 为直角三角形，又AB ∥CD ，AB ⊥AD ，所以AD ⊥CD ，则△ACD 为直角三角形， 所以PA 2＝PC 2＋AC 2＝PC 2＋AD 2＋CD 2，PD 2＝CD 2＋PC 2，则PA2＝PD2＋AD2，所以△PAD是直角三角形，故三棱锥PADC的四个面都是直角三角形，故C错误；对于选项D，因为PC⊥底面ABCD，所以PC⊥AC，在Rt△ACD中，AC＝AD2＋CD2＝2，在直角梯形ABCD中，BC＝AD2＋()AB－CD2＝2，所以AC2＋BC2＝AB2，则AC⊥BC，因为BC∩PC＝C，所以AC⊥平面BCP，因为AC⊂平面ACE，所以平面BCP⊥平面ACE，故D正确，故选AD.]三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．已知复数z满足(1＋2i)z＝－3＋4i，则|z|＝________．5 [∵(1＋2i)z＝－3＋4i，∴|1＋2i|·|z|＝|－3＋4i|，则|z|＝（－3）2＋4212＋22＝ 5.]14．设向量a＝(3，3)，b＝(1，－1).若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________．±3 [因为a＋λb＝(3＋λ，3－λ)，a－λb＝(3－λ，3＋λ)，又(a＋λb)⊥(a －λb)，所以(a＋λb)·(a－λb)＝(3＋λ)·(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.]15．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于________．60°[如图，取A 1B1的中点M，连接GM，HM.由题意易知EF∥GM，且△GMH为正三角形．∴异面直线EF与GH所成的角即为GM与GH的夹角∠HGM.而在正三角形GMH中∠HGM＝60°.]16．关于函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，有下列说法：①y ＝f (x )的最大值为2；②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数；③y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π24，13π24上是减少的； ④将函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π24个单位长度后，将与已知函数的图象重合．其中正确说法的序号是________．①②③ [f (x )＝cos (2x －π3)＋cos (2x ＋π6)＝cos (2x －π3)＋cos [π2＋(2x －π3)] ＝cos (2x －π3)－sin (2x －π3)＝2cos (2x －π3＋π4)＝2cos (2x －π12)，所以①②③正确，④错误．]四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)设向量e 1，e 2的夹角为60°且|e 1|＝|e 2|＝1，如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2).(1)证明：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k 的值，使k 的取值满足向量2e 1＋e 2与向量e 1＋k e 2垂直． [解] (1)证明：因为AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝5e 1＋5e 2，所以BD →＝5AB →，即AB →，BD →共线，又AB →，BD →有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线． (2)因为(2e 1＋e 2)⊥(e 1＋k e 2)，所以(2e 1＋e 2)·(e 1＋k e 2)＝0，2e 21＋2k e 1·e 2＋e 1·e 2＋k e 22＝0，即2＋k ＋12＋k ＝0，解得k ＝－54.18．(本小题满分12分)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin (α－β)＝－35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos β的值．[解] (1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12.又π2<α<π，所以cos α＝－32.(2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2.又sin (α－β)＝－35，所以cos (α－β)＝45.cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β) ＝－32×45＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－43＋310.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝4tan x sin (π2－x )cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．[解] (1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z .f (x )＝4tan x cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－3＝4sin x cos (x －π3)－3＝4sin x ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12cos x ＋32sin x －3＝2sin x cos x ＋23sin 2x －3＝sin2x ＋3(1－cos 2x )－3＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的递增区间是[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z ).由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π(k ∈Z ).设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝{x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z }，易知A ∩B ＝[－π12，π4].所以当x ∈[－π4，π4]时，f (x )在区间[－π12，π4]上是递增的，在区间[－π4，－π12]上是递减的．20．(本小题满分12分)如图，在三棱锥S ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB .过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：(1)平面EFG ∥平面ABC ； (2)BC ⊥SA .[证明] (1)因为AS ＝AB ，AF ⊥SB ，垂足为F ，所以F 是SB 的中点． 又因为E 是SA 的中点，所以EF ∥AB .因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC . 同理EG ∥平面ABC .又EF ∩EG ＝E ，所以平面EFG ∥平面ABC .(2)因为平面SAB ⊥平面SBC ，且交线为SB ，又AF ⊂平面SAB ，AF ⊥SB ，所以AF ⊥平面SBC .因为BC ⊂平面SBC ，所以AF ⊥BC .又因为AB ⊥BC ，AF ∩AB ＝A ，AF ⊂平面SAB ，AB ⊂平面SAB ，所以BC ⊥平面SAB . 因为SA ⊂平面SAB ，所以BC ⊥SA .21．(本小题满分12分)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5.(1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC .[解] (1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin A ＝ABsin ∠ADB ，由题设知，5sin 45°＝2sin ∠ADB ，所以sin ∠ADB ＝25.由题设知，∠ADB <90°，所以cos ∠ADB ＝1－225＝235.(2)由题设及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝25.在△BCD 中，由余弦定理得BC 2＝BD 2＋DC 2－2BD ·DC ·cos ∠BDC ＝25＋8－2×5×22×25＝25，所以BC ＝5.22．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AC ＝BC ，AB ＝2A 1A ＝4，以AB ，BC 为邻边作平行四边形ABCD ，连接A 1D ，DC 1.(1)求证：DC 1∥平面A 1ABB 1； (2)若二面角A 1－DC －A 为45°； ①求证：平面A 1C 1D ⊥平面A 1AD ；②求直线AB 1与平面A 1AD 所成角的正切值．[解] (1)证明：连接AB 1，∵AD ∥BC ∥B 1C 1且AD ＝BC ＝B 1C 1， ∴四边形ADC 1B 1为平行四边形，∴AB 1∥DC 1，又∵AB 1⊂平面A 1ABB 1，DC 1⊄平面A 1ABB 1，∴DC 1∥平面A 1ABB 1. (2)①证明：取DC 的中点M ，连接A 1M ，AM .易知Rt △A 1AD ≌Rt △A 1AC ，∴A 1D ＝A 1C ，∴A 1M ⊥DC ，又AM ⊥DC ，∴∠A 1MA 为二面角A 1DC A 的平面角，∴∠A 1MA ＝45°. ∴在Rt △A 1AM 中，AA 1＝AM ＝2，∴AD ＝AC ＝22， ∴AC 2＋AD 2＝DC 2，∴AC ⊥AD ，又∵AC ⊥AA 1，AD ∩AA 1＝A ， ∴AC ⊥平面A 1AD ，又∵AC ∥A 1C 1，∴A 1C 1⊥平面A 1AD . ∵A 1C 1⊂平面A 1C 1D ，∴平面A 1C 1D ⊥平面A 1AD . ②∵AB 1∥C 1D ，∴C 1D 与平面A 1AD 所成角与AB 1与平面A 1AD 所成角相等． 由①知C 1A 1⊥平面A 1AD ，∴A 1D 为C 1D 在平面A 1AD 内的射影， 故∠A 1DC 1为直线DC 1与平面A 1AD 所成角，在Rt △A 1DC 1中，tan ∠A 1DC 1＝A 1C 1A 1D ＝63，∴直线AB 1与平面A 1AD 所成角的正切值为63.。
2021_2022学年新教材高中数学模块综合测评含解析北师大版选择性必修第二册
模块综合测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设等差数列{a n }的公差为2,前n 项和为S n ,则下列结论正确的是()A.S n =na n -2n (n-1)B.S n =na n +2n (n-1)C.S n =na n -n (n-1)D.S n =na n +n (n-1)等差数列{a n }的公差为2,前n 项和为S n ,∴S n =na 1+n (n -1)2×2=na n -n (n-1).2.如图,直线l 是曲线y=f (x )在x=2处的切线,则f'(2)=()A.1B.2C.3D.4l 与曲线y=f (x )相切的切点为(2,3),直线l 经过点(0,1), 可得直线l 的斜率为k=3-12-0=1,由导数的几何意义可得f'(2)=k=1.3.已知函数f (x )=2x 3-6x 2-18x+1在区间(m ,m 2-2m )内单调递减,则实数m 的取值X 围是 ()A.(-3,0)B.[-1,0)C.(3,5)D.(5,7)f (x )=2x 3-6x 2-18x+1,∴f'(x )=6x 2-12x-18=6(x-3)(x+1),令f'(x )<0,则-1<x<3,即函数f (x )的单调递减区间为(-1,3).∵f (x )在区间(m ,m 2-2m )上单调递减,∴{m 2-2m >m ,m ≥-1,m 2-2m ≤3,解得-1≤m<0.∴实数m 的取值X 围是[-1,0).4.已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=-2 019,S 20192019−S20042004=15,则S 2 020=()A.2 020B.2 019C.0D.-2 020{a n}的公差为d,∵S20192019−S20042004=a1+20182d-a1+20032d=152d=15,∴d=2,∴S2020=2020×(-2019)+2020×20192×2=0.5.若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,a,b,-2这三个数适当排序后可成等比数列,点(a,2b)在直线2x+y-10=0上,则p+q的值等于()A.6B.7C.8D.9a+b=p,ab=q,∵p>0,q>0,可得a>0,b>0,又a,b,-2这三个数适当排序后可成等比数列,∴ab=4.∵点(a,2b)在直线2x+y-10=0上,∴2a+2b-10=0,即a+b=5,∴p=5,q=4,∴p+q=9.6.已知函数f(x)的定义域为R,且f(2)=1,对任意x∈R,f(x)+xf'(x)<0,则不等式xf(x+1)>2-f(2)·f(x+1)的解集是()A.(-∞,1)B.(-∞,2)C.(1,+∞)D.(2,+∞)g(x)=xf(x),则g(2)=2f(2)=2,因为任意x∈R,f(x)+xf'(x)<0,所以g'(x)=f(x)+xf'(x)<0恒成立,即g(x)在R上单调递减,由xf(x+1)>2-f(2)·f(x+1)可得(x+1)f(x+1)>g(2),即g(x+1)>g(2),所以x+1<2,即x<1.7.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时,发现有这样的一列数:1,1,2,3,5,8,….该数列的特点是:前两个数均为1,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数所组成的数列{a n}称为“斐波那契数列”,则(a1a3-a22)+(a2a4-a32)+(a3a5-a42)+…+(a2 013a2 015-a20142)=()A.1B.0C.1 007D.-1 006a1a3-a22=1×2-1=1,a 2a 4-a 32=1×3-22=-1, a 3a 5-a 42=2×5-32=1.所以(a 1a 3-a 22)+(a 2a 4-a 32)+(a 3a 5-a 42)+…+(a 2013a 2015-a 20142)=1+(-1)+1+(-1)+…+1=1.8.已知在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若函数f (x )=13x 3+12bx 2+14(a 2+c 2-ac )x 存在极值,则角B 的取值X 围是() A.0,π3 B.π6,π3C.π3,π D.π6,πf (x )=13x 3+12bx 2+14(a 2+c 2-ac )x ,∴f'(x )=x 2+bx+14(a 2+c 2-ac ),∵f (x )存在极值,∴f'(x )=0有两个不相等的实数根, ∴Δ=b 2-4×14(a 2+c 2-ac )>0,即a 2+c 2-b 2<ac ,由余弦定理知,cos B=a 2+c 2-b 22ac<ac 2ac=12,∵B ∈(0,π),∴B ∈π3,π.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知等比数列{a n }的公比为q ,前4项的和为a 1+14,且a 2,a 3+1,a 4成等差数列,则q 的值可能为 ()A.1B.1C.2D.3a 2,a 3+1,a 4成等差数列,所以a 2+a 4=2(a 3+1),因此,a 1+a 2+a 3+a 4=a 1+3a 3+2=a 1+14, 故a 3=4.又{a n }是公比为q 的等比数列, 所以由a 2+a 4=2(a 3+1), 得a 3q+1q=2(a 3+1),即q+1q=52,解得q=2或12.10.已知定义在0,π2上的函数f (x ),f'(x )是f (x )的导函数,且恒有cos xf'(x )+sin xf (x )<0成立,则() A.fπ6>√2fπ4 B.√3f π6>fπ3C.fπ6>√3fπ3D.√2fπ6>√3fπ4解析根据题意,令g(x)=f(x)cosx ,x∈0,π2,则其导数g'(x)=f'(x)·cosx+sinx·f(x)cos2x,又由x∈0,π2,且恒有cos x·f'(x)+sin x·f(x)<0, 则有g'(x)<0,即函数g(x)为减函数,又由π6<π3,则有gπ6>gπ3,即f(π6)cosπ6>f(π3)cosπ3,分析可得fπ6>√3fπ3;又由π6<π4,则有gπ6>gπ4,即f(π6)cosπ6>f(π4)cosπ4,分析可得√2fπ6>√3fπ4.11.设正项等差数列{a n}满足(a1+a10)2=2a2a9+20,则()A.a2a9的最大值为10B.a2+a9的最大值为2√10C.1a22+1a92的最大值为15D.a24+a94的最小值为200正项等差数列{a n}满足(a1+a10)2=2a2a9+20=(a2+a9)2,∴a22+a92=20.①a2a9≤12(a22+a92)=10,当且仅当a2=a9=√10时,等号成立,故A选项正确.②∵a2+a922≤12(a22+a92)=10,∴a2+a92≤√10,a2+a9≤2√10,当且仅当a2=a9=√10时,等号成立,故B选项正确.③1a22+1a92=a22+a92a22a92=20a22a92≥20(a22+a922)2=20102=15,当且仅当a2=a9=√10时,等号成立,∴1a22+1a92的最小值为15,故C选项错误.④结合①的结论,有a24+a94=(a22+a92)2-2a22a92≥400-2×102=200,当且仅当a2=a9=√10时,等号成立,故D选项正确.12.关于函数f(x)=1x+ln x,下列说法正确的是()A.f(1)是f(x)的极小值B.函数y=f(x)-x有且只有1个零点C.f(x)在(-∞,1)内单调递减D.设g(x)=xf(x),则g1e<g(√e)函数f(x)的定义域为{x|x>0},故C错误.f'(x)=-1x2+1x=-1+xx2在(0,1)上f'(x)<0,f(x)单调递减, 在(1,+∞)上,f'(x)>0,f(x)单调递增, 所以f(x)极小值=f(1)=1,故A正确.②y=f(x)-x=1x+ln x-x,y'=-1x2+1x-1=-x2+x-1x2=-(x-12)2-34x2<0,所以函数y=f(x)-x=1x+ln x-x,在(0,+∞)上单调递减,x=1时y=0,所以y=f(x)-x有且只有一个零点,故B正确.③g(x)=xf(x)=1+x ln x,g'(x)=x·1x+ln x=1+ln x,所以在(e-1,+∞)上,g'(x)>0,g(x)单调递增,在(0,e-1)上,g'(x)<0,g(x)单调递减,所以g(x)最小值=g(e-1)=g1e,所以g1e<g(√e),故D正确.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知f(x)=x3+x2f'(1)+2x,则f'(1)的值为.5,f(x)=x3+x2f'(1)+2x,其导数f'(x)=3x2+2f'(1)x+2,令x=1,得f'(1)=3+2f'(1)+2,所以f'(1)=-5.14.设S n是等比数列{a n}的前n项和,S n+S n+4=2S n+2(n∈N+),且S1=2,则a2 020+a2 021=.或4{a n}的公比为q,由S n+S n+4=2S n+2可得S n+4-S n+2=S n+2-S n,即a n+4+a n+3=a n+1+a n+2,∴q2(a n+2+a n+1)=a n+2+a n+1,若a n+2+a n+1=0,则q=-1,此时a n=2·(-1)n-1,若a n+2+a n+1≠0,则q=1,此时a n=2,故a2020+a2021=0或a2020+a2021=4.15.将自然数1,2,3,4,…排成数阵(如图所示),在2处转第一个弯,在3处转第二个弯,在5处转第三个弯,……,则转第100个弯处的数是.1起每一个转弯时递增的数字,可发现为“1,1,2,2,3,3,4,4,…”,即第一、二个转弯时递增的数字都是1,第三、四个转弯时递增的数字都是2,第五、六个转弯时递增的数字都是3,第七、八个转弯时递增的数字都是4,……故在第100个转弯处的数为:1+2(1+2+3+ (50)=1+2×50(1+50)2=2551.16.已知f(x)=x3-4x,若过点A(-2,0)的动直线l与f(x)有三个不同交点,这三个交点自左向右分别为A,B,C,设线段BC的中点是E(m,t),则m=;t的取值X围为.-3,24),作出如下的函数图象,设B (x 1,y 1),C (x 2,y 2),l :y=k (x+2), 由x 3-4x=k (x+2),得(x+2)(x 2-2x-k )=0,所以x 1,x 2是方程x 2-2x-k=0的两个根,所以m=x 1+x 22=22=1.因为f (x )=x 3-4x ,所以f'(x )=3x 2-4,过点A 作f (x )的切线,设切点为P (x 0,y 0)(x 0≠-2), 则f'(x 0)=y 0-0x 0+2=x 03-4x 0x 0+2,即x 02+x 0-2=0,解得x 0=1或-2(舍负),此时切线的斜率为f'(1)=-1,切线方程l 1为y-0=-(x+2),即y=-x-2,因为f'(-2)=8,所以函数f (x )在点A 处的切线方程l 2为y-0=8(x+2),即y=8x+16, 因为两条切线l 1和l 2与x=m=1的交点纵坐标分别为-3和24, 所以t 的取值X 围为(-3,24).四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)已知函数f (x )=ax 3+12x 2-2x ,其导函数为f'(x ),且f'(-1)=0.(1)求曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程; (2)求函数f (x )在[-1,1]上的最大值和最小值.函数f (x )=ax 3+12x 2-2x ,可得f'(x )=3ax 2+x-2,∵f'(-1)=0,∴3a-1-2=0,解得a=1, ∴f (x )=x 3+12x 2-2x ,f'(x )=3x 2+x-2, ∴f (1)=-12,f'(1)=2.∴曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为4x-2y-5=0.(2)由(1),当f'(x )=0时,解得x=-1或x=23,当x 变化时,f (x ),f'(x )的变化情况如下表:-1,2323,1) -0+∴f (x )的极小值为f23=-2227,又f (-1)=32,f (1)=-12,∴f (x )max =f (-1)=32,f (x )min =f23=-2227.18.(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n =-n 2+2kn (其中k ∈N +),且S n 的最大值为16. (1)求常数k 的值;(2)求数列{a n }的通项公式; (3)记数列9-a n 2n的前n 项和为T n ,证明:T n <4.S n =-n 2+2kn=-(n-k )2+k 2,∵k ∈N +,∴当n=k 时,S n 取得最大值k 2,∴k 2=16, ∴k=4.(2)由(1)得,S n =-n 2+8n ,∴当n=1时,a 1=S 1=7;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=9-2n ,∵a 1=7符合上式,故{a n }的通项公式为a n =9-2n (n ∈N +). (3)由(2)得9-a n 2n =n 2n -1.∴T n =120+221+322+…+n 2n -1,∴12T n =121+222+323+…+n -12n -1+n2n ,两式相减得,12T n =120+121+122+…+12n -1−n2n =1×(1-12n )1-12−n 2n =2-12n -1−n2n ,∴T n =4-n+22n -1<4.故命题得证.19.(12分)已知函数f (x )=ln(ax )-x (a>0)在(0,+∞)上有极值2. (1)某某数a 的值;(2)若f (x )≤tx+3恒成立,某某数t 的取值X 围.f'(x )=1x -1=1-x x,当0<x<1时,f'(x )>0,函数单调递增,当x>1时,f'(x )<0,函数单调递减, 故当x=1时,函数取得极大值f (1)=ln a-1=2, 故a=e 3.(2)由f (x )≤tx+3恒成立可得,ln x ≤(t+1)x ,即t+1≥lnx x,令g (x )=lnx x,则g'(x )=1-lnx x 2,由g'(x )>0可得0<x<e,故g (x )在(0,e)内单调递增,在(e,+∞)内单调递减, 所以g (x )max =g (e)=1e , 故t+1≥1e ,所以t ≥1e -1.20.(12分)等差数列{a n }(n ∈N +)中,a 1,a 2,a 3分别是如表第一、二、三行中的某一个数,且其中的任何两个数不在如表的同一列.行数 列数第一列 第二列 第三列(1)请选择一个可能的{a1,a2,a3}组合,并求数列{a n}的通项公式.(2)记(1)中您选择的数列{a n}的前n项和为S n,判断是否存在正整数k,使得a1,a k,S k+2成等比数列.若有,请求出k的值;若没有,请说明理由.由题意可知,有两种组合满足条件:①a1=8,a2=12,a3=16,此时等差数列{a n},a1=8,d=4,所以其通项公式为a n=8+4(n-1)=4n+4.②a1=2,a2=4,a3=6,此时等差数列{a n},a1=2,d=2,所以其通项公式为a n=2n.=2n2+6n.(2)若选择①,S n=n(8+4n+4)2则S k+2=2(k+2)2+6(k+2)=2k2+14k+20.若a1,a k,S k+2成等比数列,则a k2=a1·S k+2,即(4k+4)2=8(2k2+14k+20),整理,得5k=-9,此方程无正整数解,故不存在正整数k,使a1,a k,S k+2成等比数列.=n2+n,若选择②,S n=n(2+2n)2则S k+2=(k+2)2+(k+2)=k2+5k+6,若a1,a k,S k+2成等比数列,则a k2=a1·S k+2,即(2k)2=2(k2+5k+6),整理得k2-5k-6=0,因为k为正整数,所以k=6.故存在正整数k=6,使a1,a k,S k+2成等比数列.21.(12分)函数f(x)满足:对任意α,β∈R,都有f(αβ)=αf(β)+βf(α),且f(2)=2,数列{a n}满足a n=f(2n)(n∈N+).为等差数列,并求数列{a n}的通项公式;(1)证明数列a n2n,是否存在正整数m,使得(m+1)(S m-4)+19b m<0成立?若存在,(2)记数列{b n}前n项和为S n,且b n=n(n+1)a n求m的最小值;若不存在,请说明理由.∵数列{a n}满足a n=f(2n)(n∈N+),∴a1=f(2)=2.又∵对任意α,β∈R,都有f(αβ)=αf(β)+βf(α),∴a n+1=f (2n+1)=2f (2n )+2n f (2)=2a n +2n+1,两边同时除以2n+1得,a n+12n+1−a n 2n=1,∴数列a n 2n为等差数列,首项为a12=1,公差为1,∴an 2n =n ,即a n =n ·2n .(2)由(1)可知b n =n (n+1)a n=n+12n,得S n =2×12+3×122+4×123+…+n×12n -1+(n+1)×12n ,12S n =2×122+3×123+…+n×12n +(n+1)×12n+1, 两式相减得12S n =121+122+…+12n -(n+1)×12n+1+12=32−n+32n+1,∴S n =3-n+32n .假设存在正整数m ,使得(m+1)(S m -4)+19b m <0成立,即2m +m-16>0, 由指数函数与一次函数单调性知,F (m )=2m +m-16,m ∈N +为增函数. 又∵F (3)=23+3-16=-5<0,F (4)=24+4-16=4>0,∴当m ≥4时恒有F (m )=2m +m-16>0成立.故存在正整数m ,使得(m+1)(S m -4)+19b m <0成立,m 的最小值为4. 22.(12分)已知函数f (x )=e x -ln(x+m ).(1)设x=0是f (x )的极值点,求m 的值,并讨论f (x )的单调性; (2)证明:e x -ln(x+2)>0.(x )=e x -1x+m,由题意可得,f'(0)=1-1m=0,解得m=1, f'(x )=e x-1x+1=e x (x+1)-1x+1,令g (x )=e x (x+1)-1,则g'(x )=(x+2)e x >0, 故g (x )在(-1,+∞)上单调递增且g (0)=0, 当x>0时,g (x )>0,即f'(x )>0,函数f (x )单调递增, 当-1<x<0时,g (x )<0,即f'(x )<0,函数f (x )单调递减.h (x )=e x -ln(x+2),则h'(x )=e x -1x+2在(-2,+∞)内单调递增,因为h'(-1)<0,h'(0)>0,所以h'(x )=0在(-2,+∞)存在唯一实数根x 0,且x 0∈(-1,0), 当x ∈(-2,x 0)时,h'(x )<0,当x ∈(x 0,+∞)时,h'(x )>0, 当x=x 0时,函数h (x )取得最小值, 因为e x 0=12+x 0,即x 0=-ln(2+x 0),故h (x )≥h (x 0)=e x 0-ln(2+x 0)=12+x 0+x 0=(1+x 0)22+x 0>0,所以e x -ln(x+2)>0.。
新教材高中数学课时检测2集合的表示(含解析)北师大版
集合的表示[A 级 基础巩固]1．下列说法正确的是( )A ．0∈∅B ．{∅}与∅表示的意义一样C ．{x |ax ＋1＝0}不含任何元素，则a ＝0D ．方程2x ＋1＋|y －2|＝0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，2 解析：选C 空集∅是不含任何元素的集合，故A 错；{∅}表示以空集为元素的集合，故意义不一样，故B 错；当a ＝0时，ax ＋1＝0无解，反过来成立，故C 对；方程2x ＋1＋|y－2|＝0可化为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝0，y －2＝0，其解是一个有序实数对，可表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）⎪⎪⎪x ＝－12，y ＝2，故D 错．2．下列说法中正确的是( )A ．集合{x |x 2＝1，x ∈R}中有两个元素B ．集合{0}中没有元素 C.13∈{x |x <23}D ．{1，2}与{2，1}是不同的集合解析：选A {x |x 2＝1，x ∈R}＝{1，－1}；集合{0}是单元素集，有一个元素，这个元素是0；{x |x <23}＝{x |x <12}，13>12，所以13∉{x |x <23}；根据集合中元素的无序性可知{1，2}与{2，1}是同一个集合．3．集合M ＝{(x ，y )|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R}是( )A ．第一象限内的点集B ．第三象限内的点集C ．第四象限内的点集D ．第二、四象限内的点集 解析：选D 根据描述法表示集合的特点，可知集合表示横、纵坐标异号的点的集合，这些点在第二、四象限内．故选D.4．不等式x －2≥0的所有解组成的集合表示成区间是( )A ．(2，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(－∞，2]解析：选B 不等式x －2≥0的所有解组成的集合为{x |x ≥2}，表示成区间为[2，＋∞)．5．定义集合A ，B 的一种运算：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，其中x 1∈A ，x 2∈B }．若A ＝{1，2，3}，B ＝{1，2}，则A *B 中的所有元素之和为( )A ．9B ．14C ．18D ．21解析：选B 因为A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，其中x 1∈A ，x 2∈B }，A ＝{1，2，3}，B ＝{1，2}，所以x 1＝1或x 1＝2或x 1＝3，x 2＝1或x 2＝2，所以A *B ＝{2，3，4，5}，所以A *B 中的所有元素之和为2＋3＋4＋5＝14，故选B.6．如图，用适当的方法表示阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M ＝________．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）⎪⎪⎪xy ≥0，－2≤x ≤52，－1≤y ≤32 7．集合A ＝{x |x 2＋ax －2≥0，a ∈Z}，若－4∈A ，2∈A ，则满足条件的a 组成的集合为________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧16－4a －2≥0，4＋2a －2≥0，解得－1≤a ≤72. ∵a ∈Z ，∴满足条件的a 组成的集合为{－1，0，1，2，3}．答案：{－1，0，1，2，3}8．设－5∈{x |x 2－ax －5＝0}，则集合{x |x 2＋ax ＋3＝0}＝________．解析：由题意知，－5是方程x 2－ax －5＝0的一个根，所以(－5)2＋5a －5＝0，得a ＝－4，则方程x 2＋ax ＋3＝0，即x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3，所以{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1，3}．答案：{1，3}9．用适当的方法表示下列集合：(1)大于2且小于5的有理数组成的集合；(2)24的所有正因数组成的集合；(3)平面直角坐标系内与坐标轴的距离相等的点组成的集合．解：(1)用描述法表示为{x |2＜x ＜5，x ∈Q}．(2)用列举法表示为{1，2，3，4，6，8，12，24}．(3)在平面直角坐标系内，点(x ，y )到x 轴的距离为|y |，到y 轴的距离为|x |，所以该集合用描述法表示为{(x ，y )||y |＝|x |}．10．已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋1，n ∈Z}，B ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈Z}，M ＝{x |x ＝6n ＋3，n ∈Z}．(1)若m ∈M ，则是否存在a ∈A ，b ∈B ，使m ＝a ＋b 成立？(2)对于任意a ∈A ，b ∈B ，是否一定存在m ∈M ，使a ＋b ＝m ？证明你的结论．解：(1)设m ＝6k ＋3＝3k ＋1＋3k ＋2(k ∈Z)，令a ＝3k ＋1(k ∈Z)，b ＝3k ＋2(k ∈Z)，则m ＝a ＋b .故若m ∈M ，则存在a ∈A ，b ∈B ，使m ＝a ＋b 成立．(2)不一定存在．证明如下：设a ＝3k ＋1，b ＝3l ＋2，k ，l ∈Z ，则a ＋b ＝3(k ＋l )＋3，k ，l ∈Z.当k ＋l ＝2p (p ∈Z)时，a ＋b ＝6p ＋3∈M ，此时存在m ∈M ，使a ＋b ＝m 成立；当k ＋l ＝2p ＋1(p ∈Z)时，a ＋b ＝6p ＋6∉M ，此时不存在m ∈M ，使a ＋b ＝m 成立． 故对于任意a ∈A ，b ∈B ，不一定存在m ∈M ，使a ＋b ＝m .[B 级 综合运用]11．(2021·江苏高一课时练习)设直线y ＝2x ＋3上的点集为P ，则P ＝________．点(2，7)与P 的关系为(2，7)________P .解析：点用(x ，y )表示，{}（x ，y ）|y ＝2x ＋3指在直线y ＝2x ＋3上的所有的点的集合，即P ＝{}（x ，y ）|y ＝2x ＋3，而点(2，7)适合方程y ＝2x ＋3，所以点(2，7)在直线上，从而点属于集合P .答案：{}（x ，y ）|y ＝2x ＋3 ∈12．已知a ，b ∈N ＋，现规定：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b （a 与b 同为奇数或同为偶数），a ×b （a 与b 一个为奇数，一个为偶数）.集合M ＝{(a ，b )|a *b ＝36，a ，b ∈N ＋}． (1)用列举法表示a 与b 一个为奇数，一个为偶数时的集合M ；(2)当a 与b 同为奇数或同为偶数时，集合M 中共有多少个元素？解：(1)当a 与b 一个为奇数，一个为偶数时，集合M 中的元素(a ，b )满足a ×b ＝36，a ，b ∈N ＋.∵1×36＝36，3×12＝36，4×9＝36，9×4＝36，12×3＝36，36×1＝36.∴当a 与b 一个为奇数，一个为偶数时，M ＝{(1，36)，(3，12)，(4，9)，(9，4)，(12，3)，(36，1)}．(2)当a 与b 同为奇数或同为偶数时，集合M 中的元素(a ，b )满足a ＋b ＝36，a ，b ∈N ＋. ∵1＋35＝36，2＋34＝36，3＋33＝36，…，34＋2＝36，35＋1＝36.∴当a 与b 同为奇数或同为偶数时，集合M 中共有35个元素．。
高中数学综合水平测试北师大版必修2
高中数学综合水平测试北师大版必修2 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．空间有四个点，如果其中任意三点都不在同一直线上，那么经过其中三个点的平面( )A．可能有3个，也可能有2个B．可能有3个，也可能有1个C．可能有4个，也可能有3个D．可能有4个，也可能有1个答案 D解析四点可能共面，四点中可能任意三点确定一平面，此时平面个数为四个．2．过原点且与圆(x－2)2＋y2＝3相切的直线方程是( )A．y＝－2x或y＝2xB．y＝－3x或y＝3xC．y＝－2x＋2或y＝2x－2D．y＝－3x＋2或y＝3x答案 B解析设直线方程为y＝kx，则|2k|1＋k2＝3，解得k＝± 3.3．如图，点M，N分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则异面直线AD和MN所成的角为( )A．30° B．45° C．60° D．90°答案 B解析由异面直线的定义可知AD与MN所成角即为∠NMC＝45°，故选B.4．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，5为半径的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝5 B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝5 C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝5 D ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝5 答案 C解析 直线方程即为a (x ＋1)－x －y ＋1＝0，恒过直线x ＋1＝0与直线－x －y ＋1＝0的交点，即C (－1,2)．故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，故选C.5．设直线m 与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是( ) A ．在平面α内有且只有一条直线与直线m 垂直 B ．过直线m 有且只有一个平面与平面α垂直 C ．与直线m 垂直的直线不可能与平面α平行 D ．与直线m 平行的平面不可能与平面α垂直 答案 B解析 经过直线m 有且只有一个平面与平面α垂直．6．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( )A.13 cm 3B.23 cm 3C.43 cm 3D.83 cm 3 答案 C解析 由三视图可知，此几何体为三棱锥，三棱锥体积V ＝13×12×23＝43(cm 3)．7．直线(a ＋2)x ＋(1－a )y －3＝0与(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．±1 D．－32答案 C解析 本题考查两条直线垂直的条件．由题意可知(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，解得a ＝±1.8．过直线y ＝x 上的一点P 作圆(x －5)2＋(y －1)2＝2的两条切线l 1，l 2，A ，B 为切点，当直线l 1，l 2关于直线y ＝x 对称时，则∠APB ＝( )A ．30° B．45° C．60° D．90° 答案 C解析 圆(x －5)2＋(y －1)2＝2的圆心(5,1)，过(5,1)与y ＝x 垂直的直线方程x ＋y －6＝0，它与y ＝x 的交点N (3,3)，N 到(5,1)的距离是22，∴∠APB ＝60°.9．侧棱长为a 的正三棱锥P －ABC 的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A.2πa 2B ．2πa 2C.3πa 2D ．3πa 2答案 D解析 将三棱锥补形为一正方体，正方体的体对角线即为球的直径，即R ＝32a ，故表面积为3πa 2.10．m ，n 是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题： ①若α∥β，α∥γ，则β∥γ； ②若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β； ③若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β； ④若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥α. 其中真命题的序号是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 答案 A解析 根据相关线面关系，可得①③.11．若动点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 中点到原点的距离的最小值为( )A ．3 2B ．2 3C ．3 3D ．4 2 答案 A解析 解法一：所求最小值即为与l 1，l 2平行且到l 1，l 2距离相等的直线x ＋y －6＝0到原点的距离，即|－6|2＝3 2.解法二：所求最小值即为l 1，l 2到原点距离的平均数．12．直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0C ．[－3，3] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，0 答案 A解析 由题意知圆的圆心为(2,3)，半径为r ＝2，所以圆心到直线的距离d 满足，d 2＝r 2－⎝⎛⎭⎪⎫|MN |22，又|MN |≥23，于是有⎝ ⎛⎭⎪⎫|2k －3＋3|k 2＋12≤22－⎝ ⎛⎭⎪⎫2322，解得－33≤k ≤33，选A.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．已知α，β是两个不同的平面，给出下列四个条件：①存在一条直线a ，a ⊥α，a ⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线a ，b ，a ∥α，b ∥β，a ∥β，b ∥α；④存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α.其中可以推出α∥β的是________．(填序号)答案 ①④解析 本题考查线面基本关系的应用．对于②③，平面α与β还可以相交，不一定能推出α∥β，所以②③不可以推出α∥β；易知①④可推出α∥β.14．从点P (m,3)向圆(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1引切线，则切线长的最小值为________． 答案 2 6解析 本题主要考查圆的切线长度的计算．由题意得圆心坐标为(－2，－2)，半径为1.设切线长为l ，则l ＝m ＋22＋3＋22－1＝m ＋22＋24≥24＝26，所以当m ＝－2时，切线长最小，最小值为2 6.15．在空间直角坐标系中，已知M (2,0,0)，N (0,2,10)，若在z 轴上有一点D ，满足|MD |＝|ND |，则点D 的坐标为________．答案 (0,0,5)解析 本题主要考查空间直角坐标系及空间中两点间的距离公式．由点D 在z 轴上，可设D (0,0，t )，再由空间两点间的距离公式得 |MD |＝2－02＋0－02＋0－t2，|ND |＝0－02＋2－02＋10－t 2，因为|MD |＝|ND |，所以t ＝5，故D (0,0,5)．16．过点M (1,2)的直线l 与圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝25交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程是________．答案 x ＋y －3＝0解析 本题主要考查直线与圆的位置关系．点M 在圆C 内，当∠ACB 最小时，弦AB 的长最小，所以AB ⊥CM ，k CM ＝4－23－1＝1，所以k l ＝－1，从而直线l 的方程是y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知在△ABC 中，A (3,2)，B (－1,5)，C 点在直线3x －y ＋3＝0上，若△ABC 的面积为10，求点C 的坐标．解 |AB |＝3＋12＋2－52＝5.∵S △ABC ＝10，∴AB 边上的高为4，即点C 到直线AB 的距离为4. 设C (a ，b )．∵直线AB 的方程为3x ＋4y －17＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －b ＋3＝0，|3a ＋4b －17|5＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝53，b ＝8.∴点C 的坐标为(－1,0)或⎝ ⎛⎭⎪⎫53，8.18．(本小题满分12分)已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点． (1)若点A (5,0)到直线l 的距离为3，求直线l 的方程； (2)求点A (5,0)到直线l 的距离的最大值．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.所以交点坐标为(2,1)．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －1＝k (x －2)，即kx －y ＋1－2k ＝0， 则点A 到直线l 的距离|5k ＋1－2k |k 2＋1＝3，解得k ＝43，所以l 的方程为4x －3y －5＝0；当l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝2 ，符合题意． 故直线l 的方程为4x －3y －5＝0或x ＝2.(2)设直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点为P ，由(1)可知P (2,1)，过点P 任意作直线l (如图所示)，设d 为点A 到直线l 的距离，则d ≤|PA |(当l ⊥PA 时，等号成立)，由两点间的距离公式可知|PA |＝10. 即所求的距离的最大值为10.19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ，BP ＝BC ＝2，E ，F 分别是PB ，PC 的中点．(1)求证：EF ∥平面PAD ； (2)求三棱锥E －ABC 的体积V .解 (1)证明：在△PBC 中，E ，F 分别是PB ，PC 的中点，∴EF ∥BC . 又BC ∥AD ，∴EF ∥AD .又AD 平面PAD ，EF ⊆/ 平面PAD ， ∴EF ∥平面PAD .(2)过点E 作EG ∥PA ，交AB 于点G ，如图所示，则EG ⊥平面ABCD ，且EG ＝12PA .在△PAB 中，AP ＝AB ，∠PAB ＝90°，BP ＝2， ∴AP ＝AB ＝2，∴EG ＝22. 又S △ABC ＝12AB ·BC ＝12×2×2＝2，∴三棱锥E －ABC 的体积V ＝13S △ABC ·EG ＝13×2×22＝13. 20．(本小题满分12分)已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0.(1)求证：不论m 取何值，直线l 与圆C 恒交于两点； (2)求直线l 被圆C 截得的弦长最小时直线l 的方程．解 (1)证明：直线l 的方程可化为(x ＋y －4)＋m (2x ＋y －7)＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，即l 恒过定点A (3,1)．∵圆心C (1,2)，∴|AC |＝5<5，∴点A 在圆C 内，∴直线l 与圆C 恒交于两点． (2)当直线l 被圆C 截得的弦长最小时，l ⊥AC ， ∵k AC ＝－12，∴k l ＝2，∴所求的直线l 的方程为y －1＝2(x －3)，即2x －y －5＝0.21．(本小题满分12分)如图，多面体EF －ABCD 中，已知ABCD 是边长为4的正方形，EF ＝2，EF ∥AB ，平面FBC ⊥平面ABCD .(1)若M ，N 分别是AB ，CD 的中点，求证：平面MNE ∥平面BCF ； (2)若在△BCF 中，BC 边上的高FH ＝3，求多面体EF －ABCD 的体积V . 解 (1)证明：∵M ，N 分别是AB ，CD 的中点， ∴MN ∥BC ，∴MN ∥平面BCF .又EF ∥AB ，EF ＝2＝12AB ，∴EF 綊MB ，∴四边形BMEF 是平行四边形，∴ME ∥BF ， ∴ME ∥平面BCF .又∵MN ⊆/ 平面BCF ，ME ⊆/ 平面BCF ， 且MN ∩ME ＝E ，∴平面MNE ∥平面BCF . (2)∵平面FBC ⊥平面ABCD ，FH ⊥BC ，AB ⊥BC ， ∴FH ⊥平面ABCD ，AB ⊥平面BCF ，∴FH 是四棱锥E －AMND 的高，MB 是三棱柱BCF －MNE 的高． ∴多面体EF －ABCD 的体积V ＝V E －AMND ＋V BCF －MNE＝13S AMND ·FH ＋S △BCF ·MB ＝13×4×2×3＋12×4×3×2＝20. 22．(本小题满分12分)设圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，点M (1,0)． (1)求圆C 关于点M 对称的圆E 的方程；(2)若直线l 过点N (2,4)且与圆E 相切，求l 的方程．。
高中数学 模块综合质量评估 北师大版选修2-2(2021年整理)
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模块综合质量评估（考试时间：120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．i是虚数单位，若集合S＝｛－1,0,1},则( ）A．i∈S B．i2∈SC．i3∈S D.错误!∈S解析：∵i2＝－1,而集合S＝{－1，0，1｝，∴i2∈S.答案：B2．下列求导运算正确的是（）A.错误!′＝1＋错误!B．(log2x）′＝错误!C．（3x)′＝3x log3e D．（x2cos x）′＝2x sin x解析：∵错误!′＝1－错误!，∴A错．(log2x）′＝错误!·错误!＝错误!，∴B正确．故选B。
答案: B3．观察按下列顺序排列的等式:9×0＋1＝1,9×1＋2＝11，9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…,猜想第n(n∈N＋）个等式应为( ）A．9(n＋1)＋n＝10n＋9B．9（n－1)＋n＝10n－9C．9n＋（n－1）＝10n－9D．9(n－1）＋(n－1）＝10n－10解析：分别观察乘数规律、加数规律和运算结果的规律,得出猜想结果．答案：B4．由曲线y＝错误!与x轴及x＝2所围成的图形绕x轴旋转一周后形成的几何体的体积为( )A．πB．2πC．3π D.错误!解析: V＝错误!πx d x＝π错误!x d x＝错误!x2|错误!＝2π（如图所示)．答案：B5．在用数学归纳法证明“已知f(n)＝1＋错误!＋错误!＋…＋错误!，求证：f(2n)＜n＋1”的过程中，由k推导k＋1时，原式增加的项数是( )A．1 B．k＋1C．2k－1 D．2k解析：f(2k)＝1＋错误!＋错误!＋…＋错误!,f（2k＋1）＝1＋错误!＋错误!＋…＋错误!＋…＋错误!，∴f(2k＋1）－f(2k)＝2k.答案: D6．设曲线y＝错误!在点（3,2）处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于( ）A．2 B。
2021高中同步创新课堂数学优化方案北师大版必修2习题：第二章模块综合检测(B) Word版含答案
模块综合检测(B)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列几何体中棱柱有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个解析：选D ．由棱柱定义知，①③为棱柱．2．方程x 2＋y 2＋x ＋y －m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是( ) A ．m >－12B ．m <－12C ．m ≤－12D ．m ≥－12解析：选A.若x 2＋y 2＋x ＋y －m ＝0表示圆的方程， 则1＋1＋4m >0，所以m >－12.3．经过点M (1，1)且在两轴上截距相等的直线方程是( ) A ．x ＋y ＝2 B ．x ＋y ＝1 C ．x ＝1或y ＝1 D ．x ＋y ＝2或x ＝y解析：选D ．当直线过原点时，所求直线方程为y ＝x ；当直线不过原点时，设所求直线方程为x ＋y ＝a ，把(1，1)代入得a ＝2.所以x ＋y ＝2为所求．4．关于直线m ，n 与平面α，β，有下列四个命题： ①若m ∥α，n ∥β且α∥β，则m ∥n ； ②若m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m ⊥n ； ③若m ⊥α，n ∥β且α∥β，则m ⊥n ； ④若m ∥α，n ⊥β且α⊥β，则m ∥n ； 其中正确命题的序号是( ) A ．①② B ．③④ C ．①④ D ．②③解析：选D ．①中与两平行平面都平行的直线可平行，可相交，还可异面，④中两直线可能垂直或异面．5．过坐标原点且与圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋52＝0相切的直线的方程是( )A ．y ＝－3x 或y ＝13xB ．y ＝3x 或y ＝－13xC ．y ＝－3x 或y ＝－13xD ．y ＝3x 或y ＝13x解析：选A.由题知圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋52＝0的圆心为(2，－1)，半径为52. 设切线为y ＝kx ，则|2k ＋1|k 2＋1＝52， 解得k ＝－3或13.6．圆(x －3)2＋(y －4)2＝1关于直线x ＋y ＝0对称的圆的方程是( ) A ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝1 B ．(x ＋4)2＋(y ＋3)2＝1 C ．(x ＋4)2＋(y －3)2＝1 D ．(x －3)2＋(y －4)2＝1解析：选B ．由圆(x －3)2＋(y －4)2＝1的圆心坐标为A (3，4)，而A (3，4)关于直线y ＝－x 的对称点为A ′(－4，－3)，所以以A ′(－4，－3)为圆心，以1为半径的圆的方程为(x ＋4)2＋(y ＋3)2＝1.7．全部棱长都相等的正四棱锥的侧面积与底面积之比为( ) A ．2∶1 B ．3∶1 C.2∶1D ．3∶ 2解析：选B ．如图，设其棱长为a ，OP 为四棱锥的高，则P A ＝22a ，OP ＝OA 2－P A 2＝22a .由PB ＝12a ，得斜高OB ＝OP 2＋PB 2＝32a . 所以侧面积为4×12a ×32a ＝3a 2，底面积为a 2.故侧面积与底面积之比为3∶1，选B ．8．空间直角坐标系中，点A (－3，4，0)与点B (x ，－1，6)的距离为86，则x 等于( )A ．2B ．－8C ．2或－8D ．8或2 解析：选C.依据空间中两点间的距离公式，得|AB |＝（x ＋3）2＋（－1－4）2＋（6－0）2＝86.解得x＝－8或x ＝2.9．过点P (－2，4)作圆(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线l 1：ax ＋3y ＋2a ＝0与l 平行，则l 1与l 之间的距离是( )A.285 B ．125C.85D ．25解析：选B ．直线l 1的斜率k ＝－a 3，又l 1∥l ，且l 过点P (－2，4)，所以l 的方程为y －4＝－a3(x ＋2)，即ax ＋3y ＋2a －12＝0. 又直线l 与圆相切，所以|4a －9|a 2＋9＝5，解得a ＝－4. 所以l 1与l 之间的距离d ＝|2a －12－2a |a 2＋9＝125.10．正方体的外接球与内切球的表面积分别为S 1和S 2，则( ) A ．S 1＝2S 2 B ．S 1＝3S 2 C ．S 1＝4S 2D ．S 1＝23S 2解析：选B ．不妨设正方体的棱长为1，则外接球直径为正方体的对角线，长为3，而内切球直径为1，所以S 1S 2＝⎝⎛⎭⎫312＝3，所以S 1＝3S 2.11．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34解析：选D ．由已知，得点(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线肯定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切，则有d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，解得k ＝－43或k ＝－34，故选D ．12．如图，已知六棱锥P -ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝2AB ，则下列结论正确的是( )①PB ⊥AD ；②平面P AB ⊥平面PBC ；③直线BC ∥平面P AE ；④∠PDA ＝45°. A ．①② B ．③④ C ．②③ D ．④解析：选D ．若PB ⊥AD ，则AD ⊥AB ，但AD 与AB 成60 °角，①错误； 过A 作AG ⊥PB ，若平面P AB ⊥平面PBC ， 所以AG ⊥BC ， 又由于P A ⊥BC ，所以BC ⊥平面P AB ，所以BC ⊥AB ，冲突，②错误；BC 与AE 是相交直线，所以直线BC 肯定不与平面P AE 平行，③错误；在Rt △P AD 中，由于AD ＝2AB ＝P A ， 所以∠PDA ＝45°，④正确．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．直线l 1的斜率为1，直线l 2在x 轴的截距为3，且l 1∥l 2，则直线l 2的方程是________．解析：由于l 1∥l 2，直线l 1的斜率为1，所以直线l 2的斜率为1.又直线l 2在x 轴的截距为3，由点斜式可知直线l 2的方程是y ＝x －3，即x －y －3＝0.答案：x －y －3＝014. 如图所示，Rt △A ′B ′C ′为水平放置的△ABC 的直观图，其中A ′C ′⊥B ′C ′，B ′O ′＝O ′C ′＝1，则△ABC 的面积为________．解析：由直观图画法规章将△A ′B ′C ′还原为△ABC ，如图所示，则有BO ＝OC ＝1，AO ＝2 2.所以S △ABC ＝12BC ·AO ＝12×2×22＝2 2.答案：2 215．正方体不在同一表面上的两个顶点的坐标分别为A (1，3，1)，B (5，7，5)，则正方体的棱长为________．解析：由题意可知，|AB |为正方体的体对角线长．设正方体的棱长为x ，则|AB |＝3x . 由于|AB |＝（5－1）2＋（7－3）2＋（5－1）2＝43，所以43＝3x ，即x ＝4.答案：416．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＝0.若直线y ＝k (x ＋1)上存在一点P ，使过点P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的取值范围是________．解析：圆C 的方程可化为(x －2)2＋y 2＝4.先将“圆的两条切线相互垂直”转化为“点P 到圆心的距离为22”．再将“直线上存在点P 到圆心的距离为22”转化为“圆心到直线的距离小于等于22”． 即|3k |k 2＋1≤22，解得－22≤k ≤2 2. 答案：[－22，22]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知直线l ：x ＋y －1＝0.(1)若直线l 1过点(3，2)，且l 1∥l ，求直线l 1的方程；(2)若直线l 2过l 与直线2x －y ＋7＝0的交点，且l 2⊥l ，求直线l 2的方程． 解：(1)由于l 1∥l ，可设l 1的方程为x ＋y ＋C ＝0，又l 1过点(3，2)， 所以3＋2＋C ＝0，故C ＝－5.因此l 1的方程是x ＋y －5＝0.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，2x －y ＋7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，即l 2过点(－2，3)．又l 2⊥l ，可设l 2方程为x －y ＋d ＝0， 所以－2－3＋d ＝0，d ＝5， 故l 2方程为x －y ＋5＝0.18. (本小题满分12分)一个长、宽、高分别是80 cm ，60 cm ，55 cm 的水槽中有水200 000 cm 3，现放入一个直径为50 cm 的木球，且木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中流出？解：水槽的容积为V 水槽＝80×60×55＝264 000(cm 3)． 由于木球的三分之二在水中，所以木球在水中部分的体积为 V 1＝23×43πR 3＝89π×⎝⎛⎭⎫5023＝125 0009π(cm 3)，所以水槽中水的体积与木球在水中部分的体积之和为 V ＝200 000＋125 0009π<200 000＋125 0009×4<264 000(cm 3)，所以V <V 水槽，故水不会从水槽中流出．19．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y ＝4相切．(1)求圆O 的方程；(2)圆O 与x 轴相交于A ，B 两点， 圆内的动点P (x 0，y 0)满足|PO |2＝|P A |·|PB |，求x 20＋y 20的取值范围． 解：(1)由题意知，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离， 即r ＝41＋3＝2，所以圆的方程为x 2＋y 2＝4.(2)不妨设A (x 1，0)，B (x 2，0)，x 1<x 2，由x 2＝4，得A (－2，0)，B (2，0)， 由|PO |2＝|P A |·|PB |， 得（x 0＋2）2＋y 20·（x 0－2）2＋y 20＝x 20＋y 20，整理得x 20－y 20＝2，所以令t ＝x 20＋y 20＝2y 20＋2＝2(y 20＋1)．由于点P (x 0，y 0)在圆O 内，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20<4，x 20－y 20＝2，由此得0≤y 20<1，所以2≤2(y 20＋1)<4，所以t∈[2，4)，所以(x20＋y20)∈[2，4)．20. (本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE.(1)证明：BD⊥平面P AC；(2)若P A＝1，AD＝2，求二面角B-PC-A的正切值．解：(1)证明：由于P A⊥平面ABCD，BD平面ABCD, 所以P A⊥B D．同理由PC⊥平面BDE可证得PC⊥BD．又P A∩PC＝P，所以BD⊥平面P AC.(2)如图，设BD与AC交于点O，连接OE.由于PC⊥平面BDE，BE、OE平面BDE.所以PC⊥BE，PC⊥OE.所以∠BEO即为二面角B-PC-A的平面角．由(1)知BD⊥平面P AC.又OE、AC平面P AC，所以BD⊥OE，BD⊥AC，故矩形ABCD为正方形，所以BD＝AC ＝22，BO＝12BD＝ 2.由P A⊥平面ABCD，BC平面ABCD得P A⊥BC.又BC⊥AB，P A∩AB＝A，所以BC⊥平面P AB．而PB平面P AB，所以BC⊥PB．在Rt△P AB中，PB＝P A2＋AB2＝5，在Rt△P AC中，PC＝P A2＋AC2＝3.在Rt△PBC中，由PB·BC＝PC·BE，得BE＝253.在Rt△BOE中，OE＝BE2－BO2＝23.所以tan∠BEO＝BOOE＝3，即二面角B-PC-A的正切值为3.21．(本小题满分12分)已知直线l：y＝k(x＋22)与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S.(1)试将S表示成k的函数S(k)，并求出它的定义域；(2)求S的最大值，并求取得最大值时k的值．解：(1)如图，直线l的方程为kx－y＋22k＝0(k≠0)，原点O到l的距离为|OC|＝22|k|1＋k2，弦长|AB|＝2|OA|2－|OC|2＝24－8k21＋k2，△ABO的面积S＝12|AB|·|OC|＝4 2 k2（1－k2）1＋k2.由于|AB|>0，所以－1<k<1(k≠0)，所以S(k)＝4 2 k2（1－k2）1＋k2，定义域为{k|－1<k<1且k≠0}．(2)令11＋k 2＝t ，由于－1<k <1且k ≠0， 所以12<t <1，所以S (k )＝4 2k 2（1－k 2）1＋k 2＝4 2－2t 2＋3t －1＝4 2 －2⎝⎛⎭⎫t －342＋18.所以当t ＝34，即11＋k 2＝34，k 2＝13，k ＝±33时，S max ＝2.22．(本小题满分12分)如图，三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，P A ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°.(1)求三棱锥P -ABC 的体积； (2)证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，并求PMMC 的值．解：(1)由题设AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°， 可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝32.由P A ⊥平面ABC ，可知P A 是三棱锥P ABC 的高． 又P A ＝1，所以三棱锥P -ABC 的体积 V ＝13·S △ABC ·P A ＝36.(2)在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N .在平面P AC 内，过点N 作MN ∥P A 交PC 于点M ，连接BM .由P A ⊥平面ABC 知P A ⊥AC ，所以MN ⊥AC .由于BN ∩MN ＝N ，故AC ⊥平面MBN .又BM平面MBN ，所以AC ⊥BM .在直角△BAN 中，AN ＝AB ·cos ∠BAC ＝12，从而NC ＝AC －AN ＝32.由MN ∥P A ，得PM MC ＝AN NC ＝13.。
2021年高中数学 模块综合测评(一)北师大版必修2
年高中数学 模块综合测评(一)北师大版必修2一、选择题：本大题共10小题，共50分．1．过点(－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程是( ) A ．x －2y ＋7＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．x －2y －5＝0D ．2x ＋y －5＝0解析：设所求直线方程为－2x －y ＋m ＝0，则－2×(－1)－3＋m ＝0，所以m ＝1，即－2x －y ＋1＝0，故直线方程为2x ＋y －1＝0.答案：B2．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.8π3 B ．3π C.10π3D ．6π解析：显然由三视图我们易知原几何体为一个圆柱体的一部分，并且由正视图知是一个34的圆柱体，底面圆的半径为1，圆柱体的高为4，则V ＝34×π×12×4＝3π.答案：B3．长方体一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5，若它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是( )A ．202πB ．252πC ．50πD ．200π解析：设长方体的体对角线长为l ，球半径为R ，则⎩⎪⎨⎪⎧l ＝2R ，l 2＝32＋42＋52，所以R ＝522，所以S 球＝4πR 2＝50π.答案：C4．在空间直角坐标系中，O 为坐标原点，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，13，则( ) A ．OA ⊥AB B ．AB ⊥AC C ．AC ⊥BCD ．OB ⊥OC解析：|AB |＝12，|AC |＝36，|BC |＝66，因为|AC |2＋|BC |2＝|AB |2，所以AC ⊥BC .答案：C5．已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是( ) A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β C ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β D ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n解析：A 中还可能m ，n 相交或异面，所以A 不正确；B 、C 中还可能α，β相交，所以B 、C 不正确．很明显D 正确．答案：D6．若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为( ) A ．x －y －3＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝0解析：设圆心为C (1,0)，则AB ⊥CP ，∵k CP ＝－1，∴k AB ＝1，∴y ＋1＝x －2，即x －y －3＝0. 答案：A7．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：过A 作AE ⊥BC 于点E ，则易知AE ⊥面BB 1C 1C ，则∠ADE 即为所求，又tan ∠ADE ＝AE DE＝3，故∠ADE ＝60°.答案：C8．过点M (－2,4)作圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，且直线l 1：ax ＋3y ＋2a ＝0与l 平行，则l 1与l 间的距离是( )A.85B.25C.285D.125解析：因为点M (－2,4)在圆C 上，所以切线l 的方程为(－2－2)(x －2)＋(4－1)(y －1)＝25，即4x －3y ＋20＝0.因为直线l 与直线l 1平行，所以－a 3＝43，即a ＝－4，所以直线l 1的方程是－4x ＋3y －8＝0，即4x －3y ＋8＝0.所以直线l 1与直线l 间的距离为|20－8|42＋－32＝125. 答案：D9．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，半径为5的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0 B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0 D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0解析：令a ＝0，a ＝1，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＋1＝0，－y ＋2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，所以C (－1,2)．则圆C的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.答案：C10．设P (x ，y )是圆x 2＋(y ＋4)2＝4上任意一点，则x －12＋y －12的最小值为( )A.26＋2B.26－2 C ．5D ．6解析：如图，设A (1,1)，x －12＋y －12＝|PA |，则|PA |的最小值为|AC |－r ＝26－2.答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．如图所示，Rt △A ′B ′C ′为水平放置的△ABC 的直观图，其中A ′C ′⊥B ′C ′，B ′O ′＝O ′C ′＝1，则△ABC 的面积为__________．解析：由直观图画法规则将△A ′B ′C ′还原为△ABC ，如图所示，则有BO ＝OC ＝1，AO ＝2 2.∴S △ABC ＝12BC ·AO＝12×2×2 2 ＝2 2.答案：2 212．经过点P (1,2)的直线，且使A (2,3)，B (0，－5)到它的距离相等的直线方程为__________． 解析：x ＝1显然符合条件；当A (2,3)，B (0，－5)在所求直线同侧时，所求直线与AB 平行， ∵k AB ＝4，∴y －2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0. 答案：4x －y －2＝0或x ＝113．与x 轴相切并和圆x 2＋y 2＝1外切的圆的圆心的轨迹方程是__________．解析：设M (x ，y )为所求轨迹上任一点，则由题意知1＋|y |＝x 2＋y 2，化简得x 2＝2|y |＋1. 答案：x 2＝2|y |＋114．圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0关于直线l 1：x －y ＋4＝0与直线l 2：x ＋3y ＝0都对称，则D ＝__________，E ＝__________.解析：由题设知直线l 1，l 2的交点为已知圆的圆心．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋4＝0，x ＋3y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝1，所以－D 2＝－3，D ＝6，－E2＝1，E ＝－2.答案：6；－2三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)直线l 经过点P (2，－5)，且到点A (3，－2)和B (－1,6)的距离之比为1∶2，求直线l 的方程．解：∵直线l 过P (2，－5)，∴可设直线l 的方程为y ＋5＝k ·(x －2)， 即kx －y －2k －5＝0.(2分) ∴A (3，－2)到直线l 的距离为d 1＝|k ·3－－2－2k －5|k 2＋1＝|k －3|k 2＋1.B (－1,6)到直线l 的距离为 d 2＝|k ·－1－6－2k －5|k 2＋1＝|3k ＋11|k 2＋1.(6分)∵d 1∶d 2＝1∶2，∴|k －3||3k ＋11|＝12.化简得k 2＋18k ＋17＝0.(10分) 解得k 1＝－1，k 2＝－17.∴所求直线方程为x ＋y ＋3＝0或17x ＋y －29＝0.(12分)16．(12分)如图所示，已知四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的菱形，且∠ABC＝120°，PC⊥平面ABCD，PC＝a，E为PA的中点．(1)求证：平面EBD⊥平面ABCD；(2)求点E到平面PBC的距离．(1)证明：如图所示，连接AC，设AC∩BD＝O，连接OE，在△PAC中，E为PA的中点，O为AC 的中点，∴OE∥PC.(2分)又PC⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD.又OE⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD.(4分)(2)解：∵OE∥PC，PC⊂面PBC，而OE⊄面PBC，∴OE∥面PBC，∴E到平面PBC的距离等于O到平面PBC的距离．过O在底面ABCD内作OG⊥BC于G，又平面PBC⊥面ABCD，且面PBC∩面ABCD＝BC，∴OG⊥面PBC，即线段OG的长度为点O到平面PBC的距离．(8分)在菱形ABCD中，∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝60°，∴△BCD为正三角形，且BC＝a，由余弦定理可得AC＝3a，∴OB ＝a 2，OC ＝32a .(10分)在Rt △BOC 中，OG ·BC ＝OB ·OC ，即OG ·a ＝a 2·32a ，∴OG ＝34a . 即E 到平面PBC 的距离为34a .(12分) 17．(12分)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9内有一点P (2,2)，过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点． (1)当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程； (2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程； (3)当直线l 的倾斜角为45°时，求弦AB 的长．解：(1)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9的圆心为C (1,0)，因直线l 过点P 、C ，所以直线l 的斜率为2.故直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.(4分)(2)当弦AB 被点P 平分时，l ⊥PC ，直线l 的方程为y －2＝－12(x －2)，即x ＋2y －6＝0.(8分)(3)当直线l 的倾斜角为45°时，其斜率为1，直线l 的方程为y －2＝x －2，即x －y ＝0，圆心C 到直线l 的距离为12，圆的半径为3，弦AB 的长为232－⎝⎛⎭⎪⎫122＝34.(12分) 18．(14分)如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点O 、E 分别是A 1C 1、AA 1的中点，AO ⊥平面A 1B 1C 1.已知∠BCA ＝90°，AA 1＝AC ＝BC ＝2.(1)证明：OE ∥平面AB 1C 1；(2)求异面直线AB 1与A 1C 所成的角； (3)求A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值． (1)证明：∵点O 、E 分别是A 1C 1、AA 1的中点， ∴OE ∥AC 1，又∵EO ⊄平面AB 1C 1，AC 1⊂平面AB 1C 1， ∴OE ∥平面AB 1C 1.(4分)(2)解：∵AO ⊥平面A 1B 1C 1，∴AO ⊥B 1C 1， 又∵A 1C 1⊥B 1C 1，且A 1C 1∩AO ＝O ， ∴B 1C 1⊥平面A 1C 1CA ， ∴A 1C ⊥B 1C 1. 又∵AA 1＝AC ，∴四边形A 1C 1CA 为菱形， ∴A 1C ⊥AC 1，且B 1C 1∩AC 1＝C 1， ∴A 1C ⊥平面AB 1C 1，∴AB 1⊥A 1C ，即异面直线AB 1与A 1C 所成的角为90°.(9分) (3)解：设点C 1到平面AA 1B 1的距离为d ， ∵VA －A 1B 1C 1＝VC 1－AA 1B 1，即13·12·A 1C 1·B 1C 1·AO ＝13·S △AA 1B 1·d . 又∵在△AA 1B 1中，A 1B 1＝AB 1＝22， ∴S △AA 1B 1＝7. ∴d ＝2217，∴A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值为217. (14分)。
北师大高中数学必修二综合质量检测2 含解析
综合质量检测(二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．以A (1,3)和B (－5,1)为端点，线段AB 的中垂线方程是( ) A ．3x －y ＋8＝0 B ．3x ＋y ＋4＝0 C ．2x －y －6＝0D ．3x ＋y ＋8＝0[解析] AB 的中点为(－2,2)，k AB ＝3－11＋5＝13.中垂线的斜率k ＝－3.AB 的中垂线方程为y －2＝－3(x ＋2)， 即3x ＋y ＋4＝0. [答案] B2．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A ．正三棱锥B ．直三棱柱C ．正三棱台D ．正三棱柱[解析] 根据三视图原理可以推知此几何体是一个正三棱柱．故选D.[答案] D3．若以点C (－1,2)为圆心的圆与直线x －2y ＋3＝0没有公共点，则圆的半径r 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，255 B.⎝⎛⎭⎪⎫0，355 C ．(0，5) D ．(0,25)[解析] 设圆心到直线的距离为d ，则d ＝|－1－4＋3|12＋(－2)2＝255.若直线与圆没有公共点，则0<r <255，故选A.[答案] A4．点P (－3,4)关于直线x ＋y －2＝0的对称点Q 的坐标是( ) A ．(－2,1) B ．(－2,5) C ．(2，－5)D ．(4，－3)[解析] 设对称点坐标为(a ，b )， 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －32＋b ＋42－2＝0，b －4a ＋3＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝5，即Q (－2,5)．[答案] B5．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，面对角线A 1C 1与体对角线B 1D 所成角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[解析] ∵ABCD —A 1B 1C 1D 1为正方体，∴B 1D 1⊥A 1C 1，且DD 1⊥A 1C 1.又B 1D 1∩DD 1＝D 1，∴A 1C 1⊥面B 1D 1D . ∴A 1C 1⊥B 1D . [答案] D6．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有以下四个命题①⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∥γ⇒β∥γ； ②⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βm ∥α⇒m ⊥β； ③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αm ∥β⇒α⊥β； ④⎭⎬⎫m ∥n n α⇒m ∥α.其中正确的命题是( ) A ．①④ B ．②③ C ．①③D ．②④[解析] ①正确，平面平行具有传递性；②错，m 可能在β内或m ∥β或m 与β相交；③正确；④错，m 可能在α内．[答案] C7．圆(x －3)2＋(y ＋4)2＝2关于直线y ＝0对称的圆的方程是( ) A ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝2 B ．(x －4)2＋(y ＋3)2＝2 C ．(x ＋4)2＋(y －3)2＝2D ．(x －3)2＋(y －4)2＝2[解析] ∵(3，－4)关于y ＝0对称的点为(3,4)， ∴所求圆的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝2.[答案] D8．如图1所示，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是边G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体(如图2所示)，使G1、G2、G3三点重合于点G，这样，下面结论成立的是()A．SG⊥平面EFG B．SD⊥平面EFGC．GF⊥平面SEF D．DG⊥平面SEF[解析]∵SG⊥GE，SG⊥GF，GE∩GF＝G，∴SG⊥平面EFG.[答案] A9．直线l：ax－y＋b＝0，圆M：x2＋y2－2ax＋2by＝0，则l与M 在同一坐标系中的图形可能是()[解析]由题意，得圆M：(x－a)2＋(y＋b)2＝a2＋b2.因为圆M 过原点(0,0)， 所以排除A ，C 选项．选项B ，D 中，圆心M (a ，－b )在第一象限， 所以a >0，b <0，所以直线ax －y ＋b ＝0经过第一、三、四象限，故B 选项符合． [答案] B10.如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P ，Q 分别为AA 1，CC 1上的点，而且满足AP ＝C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积是( )A.12VB.13VC.14VD.15V[解析] 设侧面ACC 1A 1的面积为S ，点B 到侧面ACC 1A 1的距离为h ，则V B —APQC ＝13×12Sh ＝13V .故选B.[答案] B11．点P (－2，－1)到直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ的距离为d ，则d 的取值范围是( )A ．0≤d ＜13B ．d ≥0C ．d ＞13D ．d ≥13[解析] 直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ可化为 (x ＋y －2)＋λ(3x ＋2y －5)＝0，∴⎩⎨⎧x ＋y －2＝0，3x ＋2y －5＝0，∴⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1.∴直线l 恒过定点A (1,1)(不包括直线3x ＋2y －5＝0)， ∴|P A |＝(－2－1)2＋(－1－1)2＝13.∵P A 与直线3x ＋2y －5＝0垂直，点P (－2，－1)到直线的距离为13，∴点P (－2，－1)到直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ的距离为0≤d ＜13，故选A.[答案] A12．如图，四棱锥S —ABCD 的底面为正方形，SD ⊥面ABCD ，则下列结论中不正确的是( )A ．AC ⊥SB B ．AB ∥面SCDC ．AB 与SC 所成角等于BC 与SA 所成的角D ．平面SAB ⊥平面SBC [解析] ∵ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD ，又SD ⊥平面ABCD ， ∴SD ⊥AC ，BD ∩SD ＝D ， ∴AC ⊥平面SBD ，∴AC ⊥SB ，故A 正确；又AB ∥CD ，AB 平面SCD ，CD 平面SCD ，∴AB ∥平面SCD ，故B 正确；C 显然正确．[答案] D第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．在z 轴上与点A (－4,1,7)和点B (3,5，－2)等距离的点C 的坐标为________．[解析] 设C 点的坐标为(0,0，z )， 由|AC |＝|BC |，得|AC |2＝|BC |2.于是有16＋1＋(7－z )2＝9＋25＋(－2－z )2， 解得z ＝149.故点C 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，0，149.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，149 14．已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，A 1A ⊥AC ，A 1A ⊥AB ，AA 1＝12，则球O的表面积为________．[解析]依题意，可将题中的三棱柱补形成一个长方体，该长方体的长、宽、高依次是3,4,12，因此题中的球就是这个长方体的外接球，设球的半径为R，则(2R)2＝32＋42＋122＝169.所以球O的表面积为4πR2＝169π.[答案]169π15.如图，ABCD—A1B1C1D1为正方体，下列结论命题正确的序号是________．①BD∥平面CB1D1②AC1⊥BD③AC1⊥平面CB1D1④△CB1D1不是等边三角形[解析]∵BD∥B1D1，∴BD∥面CB1D1，故①正确；对于②，∵ABCD—A1B1C1D1为正方体，∴BD⊥AC，BD⊥CC1又CC1∩AC＝C，∴BD⊥面ACC1，∴BD⊥AC1，故②正确；由②知BD⊥AC1，又BD∥B1D1，∴B1D1⊥AC1，同理可证AC1⊥B1C，又B1C∩B1D1＝B1，∴AC1⊥面CB1D1，故③正确；又B1D1＝B1C＝D1C，∴△CB 1D 1为等边三角形，故④不正确． [答案] ①②③16．已知点A (－2,0)，B (0,2)，若点C 是圆x 2－4x ＋y 2＝0上的动点，则△ABC 面积的最小值为________．[解析] ∵A (－2,0)，B (0,2)， ∴|AB |＝(0＋2)2＋(2－0)2＝22， 且直线AB ：x －2＋y2＝1，即x －y ＋2＝0， ∴C 到AB 的最小距离d ＝|2－0＋2|2－2＝22－2，∴S △ABC min ＝12×22×(22－2)＝4－2 2. [答案] 4－2 2三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)当a 为何实数时，(1)直线x ＋2ay －1＝0与直线(3a －1)x －ay －1＝0平行； (2)直线2x ＋ay ＝2与直线ax ＋2y ＝1垂直． [解] (1)当a ≠0时，由3a －11＝－a 2a ≠－1－1，得两条直线平行，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3a －1≠1，3a －1＝－12，∴a ＝16.当a ＝0时，两直线方程分别为x －1＝0和x ＋1＝0，显然平行． 故当a ＝0或16时，两直线平行．(2)解法一：当a ≠0时，由－2a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－1知，两直线垂直，但此方程无解，因此两直线不可能垂直；当a ＝0时，两直线分别为x ＝1和y ＝12，显然两条直线垂直，故当a ＝0时，两直线垂直．解法二：利用两直线垂直的充要条件A 1A 2＋B 1B 2＝0，此种解法可避免漏解．即2·a ＋a ·2＝0，即4a ＝0，∴a ＝0.18．(本小题满分12分)已知某几何体的侧视图与其正视图相同，相关的尺寸如图所示，求这个几何体的体积．[解] 由三视图可知，该几何体是大圆柱内挖掉了小圆柱，两个圆柱高均为1，底面是半径为2和32的同心圆，故该几何体的体积为4π×1－π⎝ ⎛⎭⎪⎫322×1＝7π4. 19．(本小题满分12分)已知平面内两点A (8，－6)，B (2,2)． (1)求AB 的中垂线方程；(2)求过点P (2，－3)且与直线AB 平行的直线l 的方程； (3)一束光线从B 点射向(2)中的直线l ，若反射光线过点A ，求反射光线所在直线的方程．[解] (1)因为8＋22＝5，－6＋22＝－2，所以AB 的中点坐标为(5，－2)，因为k AB ＝－6－28－2＝－43， 所以AB 的中垂线的斜率为34，故AB 的中垂线的方程为y ＋2＝34(x －5)即3x －4y －23＝0.(2)由(1)知k AB ＝－43，所以直线l 的方程为y ＋3＝－43(x －2)，即4x ＋3y ＋1＝0.(3)设B (2,2)关于直线l 的对称点B ′(m ，n )，由⎩⎪⎨⎪⎧ n －2m －2＝34，4×m ＋22＋3×n ＋22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－145，n ＝－85，所以B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－145，－85，k B ′A ＝－6＋858＋145＝－1127， 所以反射光线所在直线方程为y ＋6＝－1127(x －8)．即11x ＋27y ＋74＝0.20．(本小题满分12分)过点P (－2，－3)作圆C ：(x －4)2＋(y －2)2＝9的两条切线，切点分别为A ，B .求：(1)经过圆心C，切点A，B这三点的圆的方程；(2)直线AB的方程．[解](1)如图所示，连接CA，CB.由平面几何知识知，CA⊥P A，CB⊥PB.则点P，A，C，B共圆，且CP为直径．∵P(－2，－3)，圆心坐标为C(4,2)，∴所求圆的方程为(x＋2)(x－4)＋(y＋3)(y－2)＝0，即x2＋y2－2x＋y－14＝0.(2)直线AB即为这两圆的公共弦所在直线．由x2＋y2－2x＋y－14＝0与(x－4)2＋(y－2)2＝9相减，得6x＋5y －25＝0.21．(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC—A1B1C1，A1A⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，A1A＝AB＝6，D为AC的中点．(1)求三棱锥C1—BCD的体积；(2)求证：平面BC1D⊥平面ACC1A1；(3)求证：直线AB1∥平面BC1D.[解](1)∵△ABC为正三角形，D为AC的中点，∴BD⊥AC.由AB＝6可知，CD＝3，BD＝33，∴S△BCD＝12·CD·BD＝93 2.又∵A1A⊥底面ABC，且A1A＝AB＝6，∴C1C⊥底面ABC，且C1C ＝6，∴VC1－BCD＝13·B△BCD·C1C＝9 3.(2)证明：∵A1A⊥底面ABC，∴A1A⊥BD.又BD⊥AC，A1A∩AC＝A，∴BD⊥平面ACC1A1.又BD平面BC1D，∴平面BC1D⊥平面ACC1A1.(3)证明：连接B1C交BC1于O，连接OD，在△B1AC中，D为AC中点，O为B1C中点，所以OD∥AB1，又OD平面BC1D，AB1平面BC1D，∴直线AB1∥平面BC1D.22．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P—ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°.P A⊥平面ABCD，E为PD的中点，P A＝2AB＝2.(1)求四棱锥P—ABCD的体积V；(2)若F为PC的中点，求证：PC⊥平面AEF；(3)求证：EC∥平面P AB.[解](1)在Rt△ABC中，AB＝1，∠BAC＝60°，∴BC ＝3，AC ＝2. 在Rt △ACD 中，AC ＝2，∠CAD ＝60°，∴CD ＝23，AD ＝4.∴S 四边形ABCD ＝12AB ·BC ＋12AC ·CD＝12×1×3＋12×2×23＝532，则V ＝13×532×2＝533.(2)证明：∵PC ＝CA ，F 为PC 的中点， ∴AF ⊥PC .∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥CD .∵AC ⊥CD ，P A ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面P AC ，∴CD ⊥PC .∵E 为PD 的中点，F 为PC 的中点，∴EF ∥CD ，∴EF ⊥PC .∵AF ∩EF ＝F ，∴PC ⊥平面AEF .(3)证明：如图，取AD 的中点M ，连接EM ，CM ，则EM ∥P A .∵EM 平面P AB ，P A平面P AB ，∴EM ∥平面P AB .在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，∴∠ACM＝60°.∵∠BAC＝60°，∴MC∥AB.∵MC平面P AB，AB平面P AB，∴MC∥平面P AB. ∵EM∩MC＝M，∴平面EMC∥平面P AB.∵EC平面EMC，∴EC∥平面P AB.。
2021高中同步创新课堂数学优化方案北师大版必修2习题：第二章章末综合检测(二) Word版含答案
章末综合检测(二)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线ax ＋2y －1＝0与x ＋(a －1)y ＋2＝0平行，则a 等于( )A.32 B ．2 C ．－1D ． 2或－1解析：选D ．由a ·(a －1)－2×1＝0得a 2－a －2＝0，所以a ＝2或－1，经检验均适合题意．2．△ABC 的顶点坐标是A (3，1，1)、B (－5，2，1)、C ⎝⎛⎭⎫－83，2，3，则它在yOz 平面上的射影图形的面积是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选D ．△ABC 的三个顶点A 、B 、C 在yOz 平面上的射影点的坐标分别是(0，1，1)、(0，2，1)、(0，2，3)，它在yOz 平面上是一个直角三角形，简洁求出它的面积为1.故选D ．3．直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．直线过圆心 D ．相离解析：选B ．圆心(0，0)到直线y ＝x ＋1的距离d ＝12＝22<1，所以直线与圆相交，圆心不在y ＝x ＋1上．4．不论m 为何实数，直线(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0恒过定点( ) A ．(－2，3) B ．(2，－3) C ．(1，0) D ．(0，－2) 解析：选A.直线(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0可化为m (x ＋2)－(x ＋y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，x ＋y －1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，所以直线过定点(－2，3)． 5．两圆x 2＋y 2＝1与x 2＋y 2－2x ＝0的公共弦所在直线的方程是( ) A ．x ＝1 B ．x ＝12C ．y ＝xD ．x ＝32解析：选B ．将两圆方程相减可直接求得公共弦所在直线的方程为x ＝12.6．圆x 2＋y 2－2x －1＝0关于直线2x －y ＋3＝0对称的圆的方程是( )A ．(x ＋3)2＋(y －2)2＝12B ．(x －3)2＋(y ＋2)2＝12C ．(x ＋3)2＋(y －2)2＝2D ．(x －3)2＋(y ＋2)2＝2解析：选C.圆x 2＋y 2－2x －1＝0可化为(x －1)2＋y 2＝2. 设圆心(1，0)关于2x －y ＋3＝0的对称点为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧ba －1×2＝－1，2×a ＋12－b 2＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝2，所以所求圆的方程为(x ＋3)2＋(y －2)2＝2.7．设实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝3，那么yx 的最大值是( )A.12 B ．33C.32D ． 3解析：选D ．如图所示，设过原点的直线方程为y ＝kx ，则与圆有交点的直线中，k max ＝3，所以yx 的最大值为 3.故选D ．8．过点P (4，2)作圆x 2＋y 2＝4的两条切线，切点分别为A ，B ，O 为坐标原点，则△OAB 的外接圆方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝5B ．(x －4)2＋(y －2)2＝20C ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5D ．(x ＋4)2＋(y ＋2)2＝20解析：选A.由条件O ，A ，B ，P 四点共圆，从而OP 的中点(2，1)为所求圆的圆心，半径r ＝12|OP |＝5，故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.9．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0，1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 2解析：选B ．由(x －1)2＋(y －3)2＝10，可知圆心为O (1，3)，半径为10，过E (0，1)的最长弦为圆的直径210，最短弦为以E 为中点的弦，其长为210－OE 2＝2 5.因两条弦相互垂直，故四边形ABCD 的面积为12×210×25＝10 2. 10．已知点A (－1，0)，B (0，2)，点P 是圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，则△P AB 面积的最大值是( ) A ．2 B ．4＋52C.52D ．2＋52解析：选B ．AB 所在直线方程为－x ＋y2＝1，即2x －y ＋2＝0.|AB |＝（－1－0）2＋（0－2）2＝5，圆心(1，0)到直线AB 的距离d ＝45，点P 到直线AB 的最大距离为d ′＝d ＋1＝45＋1. 所以△P AB 面积的最大值是12×5×⎝⎛⎭⎫45＋1＝4＋52.11．已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0.若直线l 2与l 1关于直线l 对称，则直线l 2的方程是( )A ．x －2y ＋1＝0B ．x －2y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋2y －1＝0 解析：选B ．由于l 1与l 2关于l 对称，所以l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1的交点(1，0)在l 2上．又易知(0，－2)为l 1上一点，设它关于l 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋02－y －22－1＝0，y ＋2x×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，即(1，0)，(－1，－1)为l 2上两点，可得l 2的方程为x －2y －1＝0，故选B ．12．已知P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k ＞0)上一点，P A 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的一条切线，A 是切点，若P A 的最小长度为2，则k 的值为( )A ．3B ．212C ．2 2D ．2解析：选D ．圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的圆心是(0，1)，半径是r ＝1，由于P A 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的一条切线，A 是切点，P A 的最小长度为2，所以圆心到直线kx ＋y ＋4＝0的距离为5，由点到直线的距离公式可得|1＋4|k 2＋1＝5， 由于k ＞0， 所以k ＝2，故选D ．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．l 1，l 2是分别经过A (1，1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是________．解析：当两条平行直线与A ，B 两点连线垂直时两条平行直线的距离最大．由于A (1，1)，B (0，－1)， k AB ＝－1－10－1＝2，所以两平行线的斜率为k ＝－12，直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.答案：x ＋2y －3＝014．若垂直于直线2x ＋y ＝0，且与圆x 2＋y 2＝5相切的切线方程为ax ＋2y ＋c ＝0，则ac 的值为________． 解析：已知直线斜率k 1＝－2，直线ax ＋2y ＋c ＝0的斜率为－a 2.由于两直线垂直，所以(－2)·⎝⎛⎭⎫－a 2＝－1，得a ＝－1.圆心到切线的距离为5，即|c |5＝5，所以c ＝±5，故ac ＝±5. 答案：±515．已知两条直线y ＝ax －2与y ＝(2＋a )x ＋1相互垂直，则垂足的坐标为________．解析：由已知得a ·(2＋a )＝－1，解得a ＝－1，则两条直线的方程分别为y ＝－x －2与y ＝x ＋1， 解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －2，y ＝x ＋1得⎩⎨⎧x ＝－32，y ＝－12，故垂足的坐标为⎝⎛⎭⎫－32，－12. 答案：⎝⎛⎭⎫－32，－12 16．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．解析：圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1， 圆心为(4，0)．由题意知(4，0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2，即|4k －2|k 2＋1≤2.整理，得3k 2－4k ≤0，解得0≤k ≤43.故k 的最大值是43.答案：43三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)三角形的三个顶点是A (4，0)，B (6，7)，C (0，3)． (1)求BC 边上的高所在直线的方程； (2)求BC 边上的中线所在直线的方程； (3)求BC 边的垂直平分线的方程．解：(1)BC 边所在的直线的斜率k ＝7－36－0＝23，由于BC 边上的高与BC 垂直，所以BC 边上的高所在直线的斜率为－32.又BC 边上的高经过点A (4，0)，所以BC 边上的高所在的直线方程为y －0＝－32(x －4)，即3x ＋2y －12＝0.(2)由已知得，BC 边中点E 的坐标是(3，5)．又A (4，0)，所以直线AE 的方程为y －05－0＝x －43－4，即5x ＋y －20＝0.(3)由(1)得，BC 边所在的直线的斜率k ＝23，所以BC 边的垂直平分线的斜率为－32，由(2)得，BC 边中点E 的坐标是(3，5)，所以BC 边的垂直平分线的方程是y －5＝ －32(x －3)，即3x ＋2y －19＝0. 18．(本小题满分12分)当m 为何值时，直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1. (1)倾斜角为45°； (2)在x 轴上的截距为1.解：(1)倾斜角为45°，则斜率为1. 所以－2m 2＋m －3m 2－m ＝1，解得m ＝－1，m ＝1(舍去)，直线方程为2x －2y －5＝0符合题意， 所以m ＝－1.(2)当y ＝0时，x ＝4m －12m 2＋m －3＝1，解得m ＝－12，或m ＝2，当m ＝－12，m ＝2时都符合题意，所以m ＝－12或m ＝2.19．(本小题满分12分)在三棱柱ABO -A ′B ′O ′中，∠AOB ＝90°，侧棱OO ′⊥平面OAB ，OA ＝OB ＝OO ′＝2.若C 为线段O ′A 的中点，在线段BB ′上求一点E ，使|EC |最小．解：如图所示，以三棱柱的O 点为坐标原点，以OA 、OB 、OO ′所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O -xyz .由OA ＝OB ＝OO ′＝2，得A (2，0，0)、B (0，2，0)、O (0，0，0)，A ′(2，0，2)、B ′(0，2，2)、O ′(0，0，2)．由C 为线段O ′A 的中点得C 点坐标为(1，0，1)，设E 点坐标为(0，2，z )，依据空间两点间距离公式得 |EC |＝（0－1）2＋（2－0）2＋（z －1）2＝（z －1）2＋5，故当z ＝1时，|EC |取得最小值，为5， 此时E (0，2，1)为线段BB ′的中点．20．(本小题满分12分)圆x 2＋y 2＝8内有一点P (－1，2)，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦． (1)当α＝135 °时，求|AB |；(2)当弦AB 被点P 平分时，求出直线AB 的方程；(3)设过P 点的弦的中点为M ，求点M 的坐标所满足的关系式． 解：(1)过点O 作OG ⊥AB 于G ，连接OA ，当α＝135 °时，直线AB 的斜率为－1，故直线AB 的方程为x ＋y －1＝0，所以|OG |＝d ＝|0＋0－1|2＝22.又由于r ＝22，所以|AG |＝8－12＝152＝302， 所以|AB |＝2|AG |＝30.(2)当弦AB 被P 平分时，OP ⊥AB ，此时k OP ＝－2， 所以AB 的点斜式方程为y －2＝12(x ＋1)，即x －2y ＋5＝0.(3)设AB 的中点为M (x ，y )，AB 的斜率为k ，OM ⊥AB ，则⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k （x ＋1），y ＝－1k x ，消去k ，得：x 2＋y 2－2y ＋x ＝0，当AB 的斜率k 不存在时也成立，故过点P 的弦的中点的轨迹方程为x 2＋y 2－2y ＋x ＝0.21．(本小题满分12分)已知曲线C 的方程为：ax 2＋ay 2－2a 2x －4y ＝0(a ≠0，a 为常数)． (1)推断曲线C 的外形；(2)设曲线C 分别与x 轴，y 轴交于点A ，B (A ，B 不同于原点O )，试推断△AOB 的面积S 是否为定值？并证明你的推断；(3)设直线l ：y ＝－2x ＋4与曲线C 交于不同的两点M ，N ，且|OM |＝|ON |，求曲线C 的方程．解：(1)将曲线C 的方程化为x 2＋y 2－2ax －4a y ＝0⇒(x －a )2＋⎝⎛⎭⎫y －2a 2＝a 2＋4a2，可知曲线C 是以点⎝⎛⎭⎫a ，2a 为圆心，以 a 2＋4a2为半径的圆．(2)△AOB 的面积S 为定值．证明如下：在曲线C 的方程中令y ＝0，得ax (x －2a )＝0，得点A (2a ，0)， 在曲线C 方程中令x ＝0，得y (ay －4)＝0，得点B ⎝⎛⎭⎫0，4a ， 所以S ＝12|OA |·|OB |＝12·|2a |·⎪⎪⎪⎪4a ＝4.(定值) (3)由于圆C 过坐标原点， 且|OM |＝|ON |，所以OC ⊥MN ，所以2a 2＝12，所以a ＝±2，当a ＝－2时，圆心坐标为(－2，－1)，圆的半径为5，圆心到直线l ：y ＝－2x ＋4的距离d ＝|－4－1－4|5＝95＞5，直线l 与圆C 相离，不合题意舍去，a ＝2时符合题意．这时曲线C 的方程为x 2＋y 2－4x －2y ＝0.22．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)． (1)求圆C 的方程；(2)点M (0，1)与点N 关于直线x －y ＝0对称．是否存在过点N 的直线l ，l 与圆C 相交于E ，F 两点，且使S △OEF ＝22(O 为坐标原点)？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，用计算过程说明理由．解：(1)过切点P (3，－2)且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，即y ＝x －5.将y ＝x －5与直线y ＝－4x 联立可得圆心坐标为(1，－4)． 所以半径r ＝（3－1）2＋（－2＋4）2＝2 2.故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.(2)设N (a ，b )，由于M (0，1)与N 关于x －y ＝0对称， 所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＋12＝a2，b －1a ＝－1，解得a ＝1，b ＝0，即N (1，0)．①当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝1，原点到直线的距离d ＝1.将x ＝1代入圆的方程得y ＝－4±22，所以|EF |＝42，于是S △OEF ＝12×1×42＝22，满足题意，此时直线l 的方程为x ＝1.②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0. 圆心C (1，－4)到直线l 的距离d ＝|k ＋4－k |k 2＋1＝4k 2＋1，设EF 的中点为D ，连接CD ，则必有CD ⊥EF ， 在Rt △CDE 中，|DE |＝8－d 2＝8－16k 2＋1＝2 2 k 2－1k 2＋1，所以|EF |＝42k 2－1k 2＋1.由于原点到直线的距离d 1＝|k |k 2＋1，所以S △OEF ＝12·4 2k 2－1k 2＋1·|k |k 2＋1＝22|k |k 2－1k 2＋1＝22，整理得3k 2＋1＝0，不存在这样的实数k . 综上所述，所求的直线方程为x ＝1.。
北师大版必修22021学年高中数学综合质量检测2
综合质量检测(二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．以A (1,3)和B (－5,1)为端点，线段AB 的中垂线方程是( ) A ．3x －y ＋8＝0 B ．3x ＋y ＋4＝0 C ．2x －y －6＝0D ．3x ＋y ＋8＝0[解析] AB 的中点为(－2,2)，k AB ＝3－11＋5＝13.中垂线的斜率k ＝－3.AB 的中垂线方程为y －2＝－3(x ＋2)，即3x ＋y ＋4＝0. [答案] B2．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A ．正三棱锥B ．直三棱柱C ．正三棱台D ．正三棱柱[解析] 根据三视图原理可以推知此几何体是一个正三棱柱．故选D. [答案] D3．若以点C (－1,2)为圆心的圆与直线x －2y ＋3＝0没有公共点，则圆的半径r 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，255B.⎝⎛⎭⎪⎫0，355C ．(0，5)D ．(0,25)[解析] 设圆心到直线的距离为d ，则d ＝|－1－4＋3|12＋(－2)2＝255.若直线与圆没有公共点，则0<r <255，故选A.[答案] A4．点P (－3,4)关于直线x ＋y －2＝0的对称点Q 的坐标是( ) A ．(－2,1) B ．(－2,5) C ．(2，－5)D ．(4，－3)[解析] 设对称点坐标为(a ，b )，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －32＋b ＋42－2＝0，b －4a ＋3＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝5，即Q (－2,5)．[答案] B5．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，面对角线A 1C 1与体对角线B 1D 所成角等于( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°[解析] ∵ABCD —A 1B 1C 1D 1为正方体，∴B 1D 1⊥A 1C 1，且DD 1⊥A 1C 1.又B 1D 1∩DD 1＝D 1，∴A 1C 1⊥面B 1D 1D . ∴A 1C 1⊥B 1D . [答案] D6．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有以下四个命题 ①⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∥γ⇒β∥γ； ②⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βm ∥α⇒m ⊥β；③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αm ∥β⇒α⊥β； ④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n n α⇒m ∥α.其中正确的命题是( ) A ．①④ B ．②③ C ．①③D ．②④[解析] ①正确，平面平行具有传递性；②错，m 可能在β内或m ∥β或m 与β相交；③正确；④错，m 可能在α内．[答案] C7．圆(x －3)2＋(y ＋4)2＝2关于直线y ＝0对称的圆的方程是( ) A ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝2 B ．(x －4)2＋(y ＋3)2＝2 C ．(x ＋4)2＋(y －3)2＝2D ．(x －3)2＋(y －4)2＝2[解析] ∵(3，－4)关于y ＝0对称的点为(3,4)， ∴所求圆的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝2. [答案] D8．如图1所示，在正方形SG 1G 2G 3中，E 、F 分别是边G 1G 2、G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，现沿SE 、SF 及EF 把这个正方形折成一个几何体(如图2所示)，使G 1、G 2、G 3三点重合于点G ，这样，下面结论成立的是( )A ．SG ⊥平面EFGB ．SD ⊥平面EFGC ．GF ⊥平面SEFD ．DG ⊥平面SEF[解析] ∵SG ⊥GE ，SG ⊥GF ，GE ∩GF ＝G ，∴SG ⊥平面EFG . [答案] A9．直线l ：ax －y ＋b ＝0，圆M ：x 2＋y 2－2ax ＋2by ＝0，则l 与M 在同一坐标系中的图形可能是( )[解析] 由题意，得圆M ：(x －a )2＋(y ＋b )2＝a 2＋b 2. 因为圆M 过原点(0,0)， 所以排除A ，C 选项．选项B ，D 中，圆心M (a ，－b )在第一象限， 所以a >0，b <0，所以直线ax －y ＋b ＝0经过第一、三、四象限，故B 选项符合． [答案] B10.如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P ，Q 分别为AA 1，CC 1上的点，而且满足AP ＝C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积是( )A.12VB.13VC.14V D.15V [解析] 设侧面ACC 1A 1的面积为S ，点B 到侧面ACC 1A 1的距离为h ，则V B —APQC ＝13×12Sh＝13V .故选B. [答案] B11．点P (－2，－1)到直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ的距离为d ，则d 的取值范围是( )A ．0≤d ＜13B ．d ≥0C ．d ＞13D ．d ≥13[解析] 直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ可化为 (x ＋y －2)＋λ(3x ＋2y －5)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，3x ＋2y －5＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴直线l 恒过定点A (1,1)(不包括直线3x ＋2y －5＝0)， ∴|PA |＝(－2－1)2＋(－1－1)2＝13.∵PA 与直线3x ＋2y －5＝0垂直，点P (－2，－1)到直线的距离为13，∴点P (－2，－1)到直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ的距离为0≤d ＜13，故选A.[答案] A12．如图，四棱锥S —ABCD 的底面为正方形，SD ⊥面ABCD ，则下列结论中不正确的是( )A ．AC ⊥SB B ．AB ∥面SCDC ．AB 与SC 所成角等于BC 与SA 所成的角D ．平面SAB ⊥平面SBC [解析] ∵ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD ， 又SD ⊥平面ABCD ， ∴SD ⊥AC ，BD ∩SD ＝D ， ∴AC ⊥平面SBD ，∴AC ⊥SB ，故A 正确；又AB ∥CD ，AB 平面SCD ，CD 平面SCD ，∴AB ∥平面SCD ，故B 正确；C 显然正确．[答案] D第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．在z 轴上与点A (－4,1,7)和点B (3,5，－2)等距离的点C 的坐标为________． [解析] 设C 点的坐标为(0,0，z )， 由|AC |＝|BC |，得|AC |2＝|BC |2.于是有16＋1＋(7－z )2＝9＋25＋(－2－z )2， 解得z ＝149.故点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，149. [答案] ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，14914．已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，A 1A ⊥AC ，A 1A ⊥AB ，AA 1＝12，则球O 的表面积为________．[解析] 依题意，可将题中的三棱柱补形成一个长方体，该长方体的长、宽、高依次是3,4,12，因此题中的球就是这个长方体的外接球，设球的半径为R ，则(2R )2＝32＋42＋122＝169.所以球O 的表面积为4πR 2＝169π. [答案] 169π15.如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1为正方体，下列结论命题正确的序号是________．①BD ∥平面CB 1D 1 ②AC 1⊥BD ③AC 1⊥平面CB 1D 1 ④△CB 1D 1不是等边三角形 [解析] ∵BD ∥B 1D 1，∴BD ∥面CB 1D 1，故①正确；对于②， ∵ABCD —A 1B 1C 1D 1为正方体， ∴BD ⊥AC ，BD ⊥CC 1又CC 1∩AC ＝C ， ∴BD ⊥面ACC 1，∴BD ⊥AC 1，故②正确； 由②知BD ⊥AC 1，又BD ∥B 1D 1，∴B 1D 1⊥AC 1，同理可证AC 1⊥B 1C ， 又B 1C ∩B 1D 1＝B 1，∴AC 1⊥面CB 1D 1，故③正确；又B 1D 1＝B 1C ＝D 1C ， ∴△CB 1D 1为等边三角形，故④不正确． [答案] ①②③16．已知点A (－2,0)，B (0,2)，若点C 是圆x 2－4x ＋y 2＝0上的动点，则△ABC 面积的最小值为________．[解析] ∵A (－2,0)，B (0,2)， ∴|AB |＝(0＋2)2＋(2－0)2＝22， 且直线AB ：x －2＋y2＝1，即x －y ＋2＝0，∴C 到AB 的最小距离d ＝|2－0＋2|2－2＝22－2，∴S △ABC min ＝12×22×(22－2)＝4－2 2.[答案] 4－2 2三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)当a 为何实数时，(1)直线x ＋2ay －1＝0与直线(3a －1)x －ay －1＝0平行； (2)直线2x ＋ay ＝2与直线ax ＋2y ＝1垂直．[解] (1)当a ≠0时， 由3a －11＝－a 2a ≠－1－1，得两条直线平行， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3a －1≠1，3a －1＝－12，∴a ＝16.当a ＝0时，两直线方程分别为x －1＝0和x ＋1＝0，显然平行． 故当a ＝0或16时，两直线平行．(2)解法一：当a ≠0时，由－2a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－1知，两直线垂直，但此方程无解，因此两直线不可能垂直；当a ＝0时，两直线分别为x ＝1和y ＝12，显然两条直线垂直，故当a ＝0时，两直线垂直．解法二：利用两直线垂直的充要条件A 1A 2＋B 1B 2＝0，此种解法可避免漏解．即2·a ＋a ·2＝0，即4a ＝0，∴a ＝0.18．(本小题满分12分)已知某几何体的侧视图与其正视图相同，相关的尺寸如图所示，求这个几何体的体积．[解] 由三视图可知，该几何体是大圆柱内挖掉了小圆柱，两个圆柱高均为1，底面是半径为2和32的同心圆，故该几何体的体积为4π×1－π⎝ ⎛⎭⎪⎫322×1＝7π4.19．(本小题满分12分)已知平面内两点A (8，－6)，B (2,2)． (1)求AB 的中垂线方程；(2)求过点P (2，－3)且与直线AB 平行的直线l 的方程；(3)一束光线从B 点射向(2)中的直线l ，若反射光线过点A ，求反射光线所在直线的方程．[解] (1)因为8＋22＝5，－6＋22＝－2，所以AB 的中点坐标为(5，－2)， 因为k AB ＝－6－28－2＝－43，所以AB 的中垂线的斜率为34，故AB 的中垂线的方程为y ＋2＝34(x －5)即3x －4y －23＝0. (2)由(1)知k AB ＝－43，所以直线l 的方程为y ＋3＝－43(x －2)，即4x ＋3y ＋1＝0.(3)设B (2,2)关于直线l 的对称点B ′(m ，n )，由⎩⎪⎨⎪⎧n －2m －2＝34，4×m ＋22＋3×n ＋22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－145，n ＝－85，所以B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－145，－85，k B ′A ＝－6＋858＋145＝－1127， 所以反射光线所在直线方程为y ＋6＝－1127(x －8)．即11x ＋27y ＋74＝0.20．(本小题满分12分)过点P (－2，－3)作圆C ：(x －4)2＋(y －2)2＝9的两条切线，切点分别为A ，B .求：(1)经过圆心C ，切点A ，B 这三点的圆的方程； (2)直线AB 的方程． [解] (1)如图所示，连接CA，CB.由平面几何知识知，CA⊥PA，CB⊥PB.则点P，A，C，B共圆，且CP为直径．∵P(－2，－3)，圆心坐标为C(4,2)，∴所求圆的方程为(x＋2)(x－4)＋(y＋3)(y－2)＝0，即x2＋y2－2x＋y－14＝0.(2)直线AB即为这两圆的公共弦所在直线．由x2＋y2－2x＋y－14＝0与(x－4)2＋(y－2)2＝9相减，得6x＋5y－25＝0.21．(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC—A1B1C1，A1A⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，A1A＝AB＝6，D为AC的中点．(1)求三棱锥C1—BCD的体积；(2)求证：平面BC1D⊥平面ACC1A1；(3)求证：直线AB 1∥平面BC 1D .[解] (1)∵△ABC 为正三角形，D 为AC 的中点，∴BD ⊥AC .由AB ＝6可知，CD ＝3，BD ＝33，∴S △BCD ＝12·CD ·BD ＝932. 又∵A 1A ⊥底面ABC ，且A 1A ＝AB ＝6，∴C 1C ⊥底面ABC ，且C 1C ＝6，∴VC 1－BCD ＝13·B △BCD ·C 1C ＝9 3. (2)证明：∵A 1A ⊥底面ABC ，∴A 1A ⊥BD .又BD ⊥AC ，A 1A ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面ACC 1A 1.又BD 平面BC 1D ，∴平面BC 1D ⊥平面ACC 1A 1.(3)证明：连接B 1C 交BC 1于O ，连接OD ，在△B 1AC 中，D 为AC 中点，O 为B 1C 中点，所以OD ∥AB 1，又OD 平面BC 1D ，AB 1平面BC 1D ，∴直线AB 1∥平面BC 1D .22．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P —ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°.PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，PA ＝2AB ＝2.(1)求四棱锥P —ABCD 的体积V ；(2)若F 为PC 的中点，求证：PC ⊥平面AEF ；(3)求证：EC ∥平面PAB .[解] (1)在Rt △ABC 中，AB ＝1，∠BAC ＝60°， ∴BC ＝3，AC ＝2.在Rt △ACD 中，AC ＝2，∠CAD ＝60°， ∴CD ＝23，AD ＝4.∴S 四边形ABCD ＝12AB ·BC ＋12AC ·CD ＝12×1×3＋12×2×23＝532， 则V ＝13×532×2＝533. (2)证明：∵PC ＝CA ，F 为PC 的中点，∴AF ⊥PC .∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CD .∵AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面PAC ，∴CD ⊥PC .∵E 为PD 的中点，F 为PC 的中点，∴EF ∥CD ，∴EF ⊥PC .∵AF ∩EF ＝F ，∴PC ⊥平面AEF .(3)证明：如图，取AD 的中点M ，连接EM ，CM ，则EM∥PA.∵EM平面PAB，PA平面PAB，∴EM∥平面PAB.在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，∴∠ACM＝60°.∵∠BAC＝60°，∴MC∥AB.∵MC平面PAB，AB平面PAB，∴MC∥平面PAB. ∵EM∩MC＝M，∴平面EMC∥平面PAB.∵EC平面EMC，∴EC∥平面PAB.。
北师大高中数学必修二综合质量检测1 含解析
综合质量检测(一)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6[解析] 由直线方程可知，直线的斜率k ＝－33，由tan α＝－33，且0≤α<π可得α＝5π6.[答案] D2．直线l 1∥l 2，在l 1上取3个点，在l 2上取2个点，由这5个点能确定平面的个数为( )A ．5B ．4C ．9D ．1[解析] 由经过两条平行直线有且只有一个平面可知分别在两平行直线上的5个点只能确定一个平面．[答案] D3．直线l 1：y ＝kx ＋b 和直线l 2：x k ＋yb ＝1(k ≠0，b ≠0)在同一坐标系中，两直线的图形应为( )[解析] 在D 中，k >0，b >0，且两直线都过点(0，b )，适合l 1，l 2的方程．[答案] D4．已知一个底面是菱形、侧面是矩形的四棱柱，侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )A ．3034B ．6034C ．3034＋135D ．135[解析] 由菱形的对角线长分别是9和15，得菱形的边长为⎝ ⎛⎭⎪⎫922＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1522＝3234，则这个棱柱的侧面积为4×3234×5＝3034.[答案] A5．已知α、β是两个平面，直线l ⊄α，l ⊄β，若以①l ⊥α；②l ∥β；③α⊥β中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有 ( )A ．①③⇒②；①②⇒③B ．①③⇒②；②③⇒①C ．①②⇒③；②③⇒①D ．①③⇒②；①②⇒③；②③⇒①[解析] 因为α⊥β，所以在β内找到一条直线m ，使m ⊥α， 又因为l ⊥α，所以l ∥m .又因为l β，所以l ∥β，即①③⇒②； 因为l ∥β，所以过l 可作一平面γ∩β＝n ，所以l ∥n ， 又因为l ⊥α，所以n ⊥α又因为n β，所以α⊥β，即①②⇒③. [答案] A6．已知直线x －2y －3＝0与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9交于E ，F 两点，则△EOF (O 是原点)的面积为( )A.32B.34 C ．2 5D.655[解析] 该圆的圆心为A (2，－3)，半径长r ＝3，圆心到直线的距离d ＝|2＋6－3|1＋4＝5，弦长为2r 2－d 2＝29－5＝4.因为原点到直线的距离为|0－0－3|1＋4＝35，所以S ＝12×4×35＝655.[答案] D7．已知点A (1，－2)、B (m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是 ( )A ．－2B ．－7C ．3D ．1[解析] 由已知条件可知线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋m 2，0在直线x ＋2y －2＝0上，把中点坐标代入直线方程，解得m ＝3.[答案] C8．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为( ) A.324πR 3B.38πR 3C.525πR 3D.58πR 3[解析] 依题意，得圆锥的底面周长为πR ，母线长为R ，则底面半径为R 2，高为32R ，所以圆锥的体积为13×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫R 22×32R ＝324πR 3.[答案] A9．经过直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点，并且经过原点的直线方程是 ( )A ．19x －9y ＝0B ．9x ＋19y ＝0C ．3x ＋19y ＝0D ．19x －3y ＝0 [解析]解⎩⎨⎧x －3y ＋4＝0，2x ＋y ＋5＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－197，y ＝37即直线l 1、l 2的交点是⎝ ⎛⎭⎪⎫－197，37，由两点式可得所求直线的方程是3x ＋19y ＝0.[答案] C10．若x ，y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，则x 2＋y 2的最小值是( )A.5－5 B ．5－ 5 C ．30－10 5D ．无法确定[解析] 设P (x ，y )是圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0上一点．配方，得(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，圆心坐标为C (1，－2)，半径r ＝5.所以x2＋y2＝(x－0)2＋(y－0)2，所以要使x2＋y2最小，则线段PO最短．如图，当点P，O，C 在同一直线上时，|PO|min＝|PC|－|OC|＝5－12＋(－2)2＝5－5，即(x2＋y2)min＝30－10 5.[答案] C11．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为()A.13＋23πB.13＋23πC.13＋26πD ．1＋26π[解析] 根据三视图可知，四棱锥的底面是边长为1的正方形、高是1，半球的半径为22，所以该几何体的体积为13×1×1×1＋12×43π⎝ ⎛⎭⎪⎫223＝13＋26π. [答案] C12．若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞ [解析] 因为y (y －mx －m )＝0，所以y ＝0或y －mx －m ＝0.当y ＝0时，显然C 2与圆x 2＋y 2－2x ＝0有两个不同的交点，要使两曲线有四个不同的交点，只需y －mx －m ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＝0有两个不同的交点，且m ≠0.由方程组⎩⎨⎧y －mx －m ＝0，x 2＋y 2－2x ＝0消去y ，得关于x 的一元二次方程，再令Δ>0，解得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，33.[答案] B第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知在△ABC 中，∠BAC ＝90°，P 为平面ABC 外一点，且P A ＝PB ＝PC ，则平面PBC 与平面ABC 的位置关系是________．[解析] ∵P A ＝PB ＝PC ，∴P 在△ABC 所在平面上的射影必落在△ABC 的外心上．又外心在BC 上，设为O ，则PO ⊥平面ABC .又PO平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面ABC .[答案] 垂直14．由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如下，则该几何体的体积为________．[解析] 该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱体构成∴V ＝2×1×1＋2×14×π×12×1＝2＋π2. [答案] 2＋π215．过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2,1)，则圆C 的方程为________．[解析] 设圆C 的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧(4－a )2＋(1－b )2＝r 2，b －1a －2＝－1，|a －b －1|2＝r解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝0，r ＝2所以圆C 的方程为(x －3)2＋y 2＝2.[答案] (x －3)2＋y 2＝216．在平面直角坐标系内，到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．[解析] 设平面上任一点M ，因为|MA |＋|MC |≥|AC |，当且仅当A ，M ，C 共线时取等号，同理|MB |＋|MD |≥|BD |，当且仅当B ，M ，D 共线时取等号，连接AC ，BD 交于一点M ，若|MA |＋|MC |＋|MB |＋|MD |最小，则点M 即为所求．又k AC ＝6－23－1＝2，∴直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.①又k BD ＝5－(－1)1－7＝－1，∴直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)，即x ＋y －6＝0.②联系①②得⎩⎨⎧2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，∴⎩⎨⎧x ＝2，y ＝4，∴M (2,4)． [答案] (2,4)三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)一个直角梯形的上底、下底、高的比为1∶2∶3，求由它旋转而成的圆台的上底面面积、下底面面积和侧面面积的比．[解] 如图，设上底面半径、下底面半径、高分别为x 、2x 、3x (x >0)，则母线长l ＝(2x －x )2＋(3x )2＝2x ，∴S 上底面＝πx 2，S 下底面＝π(2x )2＝4πx 2，S 侧＝π(x ＋2x )·2x ＝6πx 2， ∴圆台的上底面面积、下底面面积和侧面面积的比为1∶4∶6. 18．(本小题满分12分)已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求分别满足下列条件的a ，b 的值．(1)直线l 1过点(－3，－1)，且l 1与l 2互相垂直； (2)直线l 1与l 2平行，且坐标原点到l 1、l 2的距离相等． [解] (1)∵l 1⊥l 2， ∴a (a －1)＋(－b )·1＝0，① 即a 2－a －b ＝0. 又点(－3，－1)在l 1上， ∴－3a ＋b ＋4＝0.② 由①②解得a ＝2，b ＝2. (2)∵l 1∥l 2，且l 2的斜率为1－a ， ∴l 1的斜率也存在，即a b ＝1－a ，b ＝a 1－a.∴l 1和l 2的方程可分别表示为(a －1)x ＋y ＋4(a －1)a ＝0和(a －1)x ＋y ＋a1－a＝0.∵坐标原点到l 1和l 2的距离相等， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4(a －1)a ≠a 1－a ，4⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －1a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1－a ，∴a ＝2或a ＝23.因此⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.19．(本小题满分12分)如下图所示，△ABC 是边长为2的正三角形，AE ⊥平面ABC ，且AE ＝1，又平面BCD ⊥平面ABC ，且BD ＝CD ，BD ⊥CD .(1)求证：AE ∥平面BCD ； (2)求证：平面BDE ⊥平面CDE .[证明] (1)取BC 的中点M ，连接DM 、AM ，因为BD ＝CD ，且BD ⊥CD ，BC ＝2.所以DM ＝1，DM ⊥BC ，AM ⊥BC ，又因为平面BCD ⊥平面ABC ，所以DM ⊥平面ABC ，所以AE ∥DM ，又因为AE 平面BCD ，DM平面BCD ，所以AE ∥平面BCD .(2)由(1)已证AE ∥DM ，又AE ＝1，DM ＝1，所以四边形DMAE 是平行四边形，所以DE ∥AM .由(1)已证AM ⊥BC ，又因为平面BCD ⊥平面ABC ，所以AM ⊥平面BCD ，所以DE ⊥平面BCD .又CD平面BCD ，所以DE ⊥CD .因为BD ⊥CD ，BD ∩DE ＝D ，所以CD ⊥平面BDE . 因为CD 平面CDE ，所以平面BDE ⊥平面CDE .20．(本小题满分12分)已知圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)与直线x －y ＋22＝0相切．(1)求圆O 的方程；(2)过点⎝⎛⎭⎪⎫1，33的直线l 截圆所得弦长为23，求直线l 的方程．[解] (1)由题意知，圆心到直线x －y ＋22＝0的距离 d ＝2212＋(－1)2＝2＝r ，所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)若直线l 的斜率不存在，直线l 为x ＝1，此时直线l截圆所得弦长为23，符合题意；若直线l的斜率存在，设直线为y－33＝k(x－1)，即3kx－3y＋3－3k＝0，由题意知，圆心到直线l的距离为d＝|3－3k|9k2＋9＝1，所以k＝－33，则直线l为x＋3y－2＝0.所以所求的直线l的方程为x＝1或x＋3y－2＝0.21．(本小题满分12分)如图，在底面是正方形的四棱锥P—ABCD 中，P A⊥平面ABCD，BD交AC于点E，F是PC的中点，G为AC 上一动点．(1)求证：BD⊥FG；(2)确定点G在线段AC上的位置，使FG∥平面PBD，并说明理由．[解](1)证明：∵P A⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，其对角线BD、AC交于点E，∴P A ⊥BD ， 又∵AC ⊥BD ， P A ∩AC ＝A ， ∴BD ⊥平面P AC ， ∵FG平面P AC ，∴BD ⊥FG .(2)当G 为EC 的中点，即AG ＝34AC 时，FG ∥平面PBD ，理由如下：连接PE ，由F 为PC 中点，G 为EC 中点，知FG ∥PE 而FG平面PBD ，PE平面PBD ，故FG ∥平面PBD .22．(本小题满分12分)已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．[解] (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4，设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )． 由题设知CM →·MP →＝0， 故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0， 即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆． 由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13， 故l 的方程为y ＝－13x ＋83.又|OM |＝|OP |＝22，O 到直线l 的距离为4105， |PM |＝4105，所以△POM 的面积为165.。
高中数学模块综合检测北师大版必修2(2021学年)
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模块综合检测(时间:9０分钟满分:120分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．（２0１6·临沂高一检测)过点A（3,－４),B(-2，m)的直线ｌ的斜率为－２，则m的值为( )Ａ.6 B.1 C．2 D.4２.（２016·温州高一检测)直线y-2=mx＋m经过一定点，则该点的坐标为( ）A.(-1,2）B.(2，-1)Ｃ．（１，2）D．(2,1)３．在空间直角坐标系中，点B是A(１，2,３)在ｙOz坐标平面内的射影,Ｏ为坐标原点,则｜OB|等于( ）Ａ．错误!Ｂ。
错误! C.2错误!Ｄ。
错误!4.过点(1,２)且与原点距离最大的直线方程是（)A．ｘ＋2y-５=0 B.2x+ｙ-4=0C．x+3y－7＝0 D．ｘ－2ｙ+3＝05．(2015·广东高考)若直线ｌ１和ｌ2是异面直线,l１在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A．l与l1,ｌ2都不相交B.l与l１，ｌ2都相交C．ｌ至多与ｌ１，l２中的一条相交D．l至少与l1,ｌ2中的一条相交6.动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点Ｐ的轨迹方程为( )A.x２＋ｙ2＝32B.x2+y2＝16C．(x－1)2+ｙ2＝１6 Ｄ．ｘ2+(ｙ－1）2=167．某几何体的三视图如图所示,它的体积为（）A．7２π B．48π C.３0π D．２4π８.（2０15·浙江高考)设α，β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线，且l⊂α,ｍ⊂β．( ）A．若ｌ⊥β,则α⊥β B．若α⊥β，则l⊥mＣ．若l∥β，则α∥β D.若α∥β，则l∥m9．设长方体的长,宽，高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )Ａ.3πa2B．6πａ2C．12πa２Ｄ.24πａ2l:ax＋3y＋2a＝0与l平行,则l1与l间的距离是( ）１A。
高中数学 模块质量评估 北师大版必修2(2021年整理)
模块质量评估一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线错误!－错误!＝1的倾斜角的大小为( ）A．30°B．60°C．120° D．150°解析：由错误!－错误!＝1，得该直线的斜率k＝错误!，故倾斜角为30°。
答案：A2．已知圆C：x2＋y2－4x＝0和点P(1，错误!)，则圆C在点P处的切线方程为（) A．x－3y＋2＝0 B．x－错误!y＋4＝0C．x＋3y－4＝0 D．x＋3y－2＝0解析：圆C的方程为（x－2)2＋y2＝4,圆心为C(2，0)，点P在圆上，k PC＝错误!＝－错误!，所以切线的斜率为－错误!＝错误!，故在点P（1，错误!）处的切线方程为y－错误!＝错误!（x－1），即x－错误!y＋2＝0，故选A。
答案：A3．已知M，N分别是正方体AC1的棱A1B1，A1D1的中点,如图是过M，N，A和D,N，C1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为（）解析：由主视图的性质知，几何体的正投影为一正方形，正面有可见的一棱和背面有不可见的一棱，故选B。
答案：B4．直线x－y＋1＝0与圆（x＋1）2＋y2＝1的位置关系是（）A．相切B．直线过圆心C．直线不过圆心但与圆相交D．相离解析：（x＋1)2＋y2＝1的圆心为（－1,0),圆心到直线的距离：d＝错误!＝0.∴直线x－y＋1＝0过圆心．答案：B5．已知m是平面α的一条斜线,点A∉α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形中可能出现的是( ）A．l∥m，l⊥αB．l⊥m，l⊥αC．l⊥m，l∥αD．l∥m，l∥α解析：如图，l可以垂直m，且l平行α。
答案：C6．若M（2，－1)为圆（x－1）2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是（）A．x－y－3＝0 B．2x＋y－3＝0C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝0解析: 设圆心为C，其坐标为（1，0），则AB⊥CM，k CM＝－1，∴k AB＝1，∴直线AB的方程为y－(－1)＝1·(x－2)，即x－y－3＝0，故选A。
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综合质量检测(二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．以A (1,3)和B (－5,1)为端点，线段AB 的中垂线方程是( ) A ．3x －y ＋8＝0 B ．3x ＋y ＋4＝0 C ．2x －y －6＝0D ．3x ＋y ＋8＝0[解析] AB 的中点为(－2,2)，k AB ＝3－11＋5＝13.中垂线的斜率k ＝－3.AB 的中垂线方程为y －2＝－3(x ＋2)，即3x ＋y ＋4＝0. [答案] B2．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A ．正三棱锥B ．直三棱柱C ．正三棱台D ．正三棱柱[解析] 根据三视图原理可以推知此几何体是一个正三棱柱．故选D. [答案] D3．若以点C (－1,2)为圆心的圆与直线x －2y ＋3＝0没有公共点，则圆的半径r 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，255B.⎝⎛⎭⎪⎫0，355C ．(0，5)D ．(0,25)[解析] 设圆心到直线的距离为d ，则d ＝|－1－4＋3|12＋(－2)2＝255.若直线与圆没有公共点，则0<r <255，故选A.[答案] A4．点P (－3,4)关于直线x ＋y －2＝0的对称点Q 的坐标是( ) A ．(－2,1) B ．(－2,5) C ．(2，－5)D ．(4，－3)[解析] 设对称点坐标为(a ，b )，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －32＋b ＋42－2＝0，b －4a ＋3＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝5，即Q (－2,5)．[答案] B5．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，面对角线A 1C 1与体对角线B 1D 所成角等于( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°[解析] ∵ABCD —A 1B 1C 1D 1为正方体，∴B 1D 1⊥A 1C 1，且DD 1⊥A 1C 1.又B 1D 1∩DD 1＝D 1，∴A 1C 1⊥面B 1D 1D . ∴A 1C 1⊥B 1D . [答案] D6．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有以下四个命题 ①⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∥γ⇒β∥γ； ②⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βm ∥α⇒m ⊥β；③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αm ∥β⇒α⊥β； ④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n n α⇒m ∥α.其中正确的命题是( ) A ．①④ B ．②③ C ．①③D ．②④[解析] ①正确，平面平行具有传递性；②错，m 可能在β内或m ∥β或m 与β相交；③正确；④错，m 可能在α内．[答案] C7．圆(x －3)2＋(y ＋4)2＝2关于直线y ＝0对称的圆的方程是( ) A ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝2 B ．(x －4)2＋(y ＋3)2＝2 C ．(x ＋4)2＋(y －3)2＝2D ．(x －3)2＋(y －4)2＝2[解析] ∵(3，－4)关于y ＝0对称的点为(3,4)， ∴所求圆的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝2. [答案] D8．如图1所示，在正方形SG 1G 2G 3中，E 、F 分别是边G 1G 2、G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，现沿SE 、SF 及EF 把这个正方形折成一个几何体(如图2所示)，使G 1、G 2、G 3三点重合于点G ，这样，下面结论成立的是( )A ．SG ⊥平面EFGB ．SD ⊥平面EFGC ．GF ⊥平面SEFD ．DG ⊥平面SEF[解析] ∵SG ⊥GE ，SG ⊥GF ，GE ∩GF ＝G ，∴SG ⊥平面EFG . [答案] A9．直线l ：ax －y ＋b ＝0，圆M ：x 2＋y 2－2ax ＋2by ＝0，则l 与M 在同一坐标系中的图形可能是( )[解析] 由题意，得圆M ：(x －a )2＋(y ＋b )2＝a 2＋b 2. 因为圆M 过原点(0,0)， 所以排除A ，C 选项．选项B ，D 中，圆心M (a ，－b )在第一象限， 所以a >0，b <0，所以直线ax －y ＋b ＝0经过第一、三、四象限，故B 选项符合． [答案] B10.如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P ，Q 分别为AA 1，CC 1上的点，而且满足AP ＝C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积是( )A.12VB.13VC.14V D.15V [解析] 设侧面ACC 1A 1的面积为S ，点B 到侧面ACC 1A 1的距离为h ，则V B —APQC ＝13×12Sh＝13V .故选B. [答案] B11．点P (－2，－1)到直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ的距离为d ，则d 的取值范围是( )A ．0≤d ＜13B ．d ≥0C ．d ＞13D ．d ≥13[解析] 直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ可化为 (x ＋y －2)＋λ(3x ＋2y －5)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，3x ＋2y －5＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴直线l 恒过定点A (1,1)(不包括直线3x ＋2y －5＝0)， ∴|PA |＝(－2－1)2＋(－1－1)2＝13.∵PA 与直线3x ＋2y －5＝0垂直，点P (－2，－1)到直线的距离为13，∴点P (－2，－1)到直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ的距离为0≤d ＜13，故选A.[答案] A12．如图，四棱锥S —ABCD 的底面为正方形，SD ⊥面ABCD ，则下列结论中不正确的是( )A ．AC ⊥SB B ．AB ∥面SCDC ．AB 与SC 所成角等于BC 与SA 所成的角D ．平面SAB ⊥平面SBC [解析] ∵ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD ， 又SD ⊥平面ABCD ， ∴SD ⊥AC ，BD ∩SD ＝D ， ∴AC ⊥平面SBD ，∴AC ⊥SB ，故A 正确；又AB ∥CD ，AB 平面SCD ，CD 平面SCD ，∴AB ∥平面SCD ，故B 正确；C 显然正确．[答案] D第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．在z 轴上与点A (－4,1,7)和点B (3,5，－2)等距离的点C 的坐标为________． [解析] 设C 点的坐标为(0,0，z )， 由|AC |＝|BC |，得|AC |2＝|BC |2.于是有16＋1＋(7－z )2＝9＋25＋(－2－z )2， 解得z ＝149.故点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，149. [答案] ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，14914．已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，A 1A ⊥AC ，A 1A ⊥AB ，AA 1＝12，则球O 的表面积为________．[解析] 依题意，可将题中的三棱柱补形成一个长方体，该长方体的长、宽、高依次是3,4,12，因此题中的球就是这个长方体的外接球，设球的半径为R ，则(2R )2＝32＋42＋122＝169.所以球O 的表面积为4πR 2＝169π. [答案] 169π15.如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1为正方体，下列结论命题正确的序号是________．①BD ∥平面CB 1D 1 ②AC 1⊥BD ③AC 1⊥平面CB 1D 1 ④△CB 1D 1不是等边三角形 [解析] ∵BD ∥B 1D 1，∴BD ∥面CB 1D 1，故①正确；对于②， ∵ABCD —A 1B 1C 1D 1为正方体， ∴BD ⊥AC ，BD ⊥CC 1又CC 1∩AC ＝C ， ∴BD ⊥面ACC 1，∴BD ⊥AC 1，故②正确； 由②知BD ⊥AC 1，又BD ∥B 1D 1，∴B 1D 1⊥AC 1，同理可证AC 1⊥B 1C ， 又B 1C ∩B 1D 1＝B 1，∴AC 1⊥面CB 1D 1，故③正确；又B 1D 1＝B 1C ＝D 1C ， ∴△CB 1D 1为等边三角形，故④不正确． [答案] ①②③16．已知点A (－2,0)，B (0,2)，若点C 是圆x 2－4x ＋y 2＝0上的动点，则△ABC 面积的最小值为________．[解析] ∵A (－2,0)，B (0,2)， ∴|AB |＝(0＋2)2＋(2－0)2＝22， 且直线AB ：x －2＋y2＝1，即x －y ＋2＝0，∴C 到AB 的最小距离d ＝|2－0＋2|2－2＝22－2，∴S △ABC min ＝12×22×(22－2)＝4－2 2.[答案] 4－2 2三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)当a 为何实数时，(1)直线x ＋2ay －1＝0与直线(3a －1)x －ay －1＝0平行； (2)直线2x ＋ay ＝2与直线ax ＋2y ＝1垂直．[解] (1)当a ≠0时， 由3a －11＝－a 2a ≠－1－1，得两条直线平行， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3a －1≠1，3a －1＝－12，∴a ＝16.当a ＝0时，两直线方程分别为x －1＝0和x ＋1＝0，显然平行． 故当a ＝0或16时，两直线平行．(2)解法一：当a ≠0时，由－2a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－1知，两直线垂直，但此方程无解，因此两直线不可能垂直；当a ＝0时，两直线分别为x ＝1和y ＝12，显然两条直线垂直，故当a ＝0时，两直线垂直．解法二：利用两直线垂直的充要条件A 1A 2＋B 1B 2＝0，此种解法可避免漏解．即2·a ＋a ·2＝0，即4a ＝0，∴a ＝0.18．(本小题满分12分)已知某几何体的侧视图与其正视图相同，相关的尺寸如图所示，求这个几何体的体积．[解] 由三视图可知，该几何体是大圆柱内挖掉了小圆柱，两个圆柱高均为1，底面是半径为2和32的同心圆，故该几何体的体积为4π×1－π⎝ ⎛⎭⎪⎫322×1＝7π4.19．(本小题满分12分)已知平面内两点A (8，－6)，B (2,2)． (1)求AB 的中垂线方程；(2)求过点P (2，－3)且与直线AB 平行的直线l 的方程；(3)一束光线从B 点射向(2)中的直线l ，若反射光线过点A ，求反射光线所在直线的方程．[解] (1)因为8＋22＝5，－6＋22＝－2，所以AB 的中点坐标为(5，－2)， 因为k AB ＝－6－28－2＝－43，所以AB 的中垂线的斜率为34，故AB 的中垂线的方程为y ＋2＝34(x －5)即3x －4y －23＝0. (2)由(1)知k AB ＝－43，所以直线l 的方程为y ＋3＝－43(x －2)，即4x ＋3y ＋1＝0.(3)设B (2,2)关于直线l 的对称点B ′(m ，n )，由⎩⎪⎨⎪⎧n －2m －2＝34，4×m ＋22＋3×n ＋22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－145，n ＝－85，所以B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－145，－85，k B ′A ＝－6＋858＋145＝－1127， 所以反射光线所在直线方程为y ＋6＝－1127(x －8)．即11x ＋27y ＋74＝0.20．(本小题满分12分)过点P (－2，－3)作圆C ：(x －4)2＋(y －2)2＝9的两条切线，切点分别为A ，B .求：(1)经过圆心C ，切点A ，B 这三点的圆的方程； (2)直线AB 的方程． [解] (1)如图所示，连接CA，CB.由平面几何知识知，CA⊥PA，CB⊥PB.则点P，A，C，B共圆，且CP为直径．∵P(－2，－3)，圆心坐标为C(4,2)，∴所求圆的方程为(x＋2)(x－4)＋(y＋3)(y－2)＝0，即x2＋y2－2x＋y－14＝0.(2)直线AB即为这两圆的公共弦所在直线．由x2＋y2－2x＋y－14＝0与(x－4)2＋(y－2)2＝9相减，得6x＋5y－25＝0.21．(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC—A1B1C1，A1A⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，A1A＝AB＝6，D为AC的中点．(1)求三棱锥C1—BCD的体积；(2)求证：平面BC1D⊥平面ACC1A1；(3)求证：直线AB 1∥平面BC 1D .[解] (1)∵△ABC 为正三角形，D 为AC 的中点，∴BD ⊥AC .由AB ＝6可知，CD ＝3，BD ＝33，∴S △BCD ＝12·CD ·BD ＝932. 又∵A 1A ⊥底面ABC ，且A 1A ＝AB ＝6，∴C 1C ⊥底面ABC ，且C 1C ＝6，∴VC 1－BCD ＝13·B △BCD ·C 1C ＝9 3. (2)证明：∵A 1A ⊥底面ABC ，∴A 1A ⊥BD .又BD ⊥AC ，A 1A ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面ACC 1A 1.又BD 平面BC 1D ，∴平面BC 1D ⊥平面ACC 1A 1.(3)证明：连接B 1C 交BC 1于O ，连接OD ，在△B 1AC 中，D 为AC 中点，O 为B 1C 中点，所以OD ∥AB 1，又OD 平面BC 1D ，AB 1平面BC 1D ，∴直线AB 1∥平面BC 1D .22．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P —ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°.PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，PA ＝2AB ＝2.(1)求四棱锥P —ABCD 的体积V ；(2)若F 为PC 的中点，求证：PC ⊥平面AEF ；(3)求证：EC ∥平面PAB .[解] (1)在Rt △ABC 中，AB ＝1，∠BAC ＝60°， ∴BC ＝3，AC ＝2.在Rt △ACD 中，AC ＝2，∠CAD ＝60°，∴CD ＝23，AD ＝4.∴S 四边形ABCD ＝12AB ·BC ＋12AC ·CD ＝12×1×3＋12×2×23＝532， 则V ＝13×532×2＝533. (2)证明：∵PC ＝CA ，F 为PC 的中点，∴AF ⊥PC .∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CD .∵AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面PAC ，∴CD ⊥PC .∵E 为PD 的中点，F 为PC 的中点，∴EF ∥CD ，∴EF ⊥PC .∵AF ∩EF ＝F ，∴PC ⊥平面AEF .(3)证明：如图，取AD 的中点M ，连接EM ，CM ，则EM∥PA.∵EM平面PAB，PA平面PAB，∴EM∥平面PAB.在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，∴∠ACM＝60°.∵∠BAC＝60°，∴MC∥AB.∵MC平面PAB，AB平面PAB，∴MC∥平面PAB. ∵EM∩MC＝M，∴平面EMC∥平面PAB.∵EC平面EMC，∴EC∥平面PAB.。