江苏省苏州市2019届高三5月高考信息卷数学试题 含解析

苏州市2019届高考信息卷数学Ⅰ（试题）一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1.已知集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，则A B =____.【答案】{}|12x x << 【解析】 【分析】利用交集定义直接求解． 【详解】集合A {x |0x 2}=<<，{}B x x 1=，A B {x |1x 2}∴⋂=<<．故答案为：{x |1x 2}<<．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.设i 是虚数单位，复数i2ia z -=的模为1，则正数a 的值为_______．【解析】 【分析】先化简复数，再解方程21144a +=即得解.【详解】由题得i 1i 2i 22a az -==--， 因为复数z 的模为1，所以21144a +=，解之得正数a【点睛】本题主要考查复数的除法和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.为了解某团战士的体重情况，采用随机抽样的方法．将样本体重数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右前三个小组频率之比为1：2：3，第二小组频数为12，则全团共抽取人数为_______．【答案】48【解析】【分析】先求出频率分布直方图左边三组的频率和，再求全团共抽取的人数.【详解】由题得频率分布直方图左边三组的频率和为15(0.03750.0125)0.75-⨯+=所以全团抽取的人数为：212(0.75)6÷⨯＝48.故答案为：48【点睛】本题主要考查频率分布直方图频率和频数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.执行如图所示的程序框图，输出的k的值为_______．【答案】4 【解析】试题分析：程序执行中的数据变化如下：133130,3,,,1,,,22244k a q a k a =====<= 313313312,,,3,,,4,,4488416164k a k a k =<==<==<成立，输出4k =考点：程序框图5.设x ∈[﹣1，1]，y ∈[﹣2，2]，记“以(x ，y)为坐标的点落在不等式221x y +≥所表示的平面区域内”为事件A ，则事件A 发生的概率为_______． 【答案】1﹣8π 【解析】 【分析】利用几何概型的概率公式求事件A 发生的概率.【详解】由题得x ∈[﹣1，1]，y ∈[﹣2，2]，对应的区域是长方形， 其面积为24=8⨯.设事件A 发生的概率为P ，故P ＝88π-＝1﹣8π．故答案为：1﹣8π【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.已知ABC ∆的边a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C ，若a b >且sin cos A Ca b=，则角A 的大小为_____. 【答案】2π【解析】 【分析】根据正弦定理化简边角关系可得cos sin C B =，从而可知0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，根据大边对大角的关系可知0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而可求得2B C π+=；根据三角形内角和可求得结果.【详解】由正弦定理得：sin cos 1sin sin A C A B ==，即cos sin C B = cos 0C ∴> 0,2C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭又a b > A B ∴> 0,2B π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭由cos sin C B =得：sin sin 2C B π⎛⎫-=⎪⎝⎭2C B π∴-=，即2B C π+=()2A B C ππ∴=-+=本题正确结果：2π 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、根据三角函数值的符号确定角的范围、三角形内角和、三角形大边对大角的应用等.7.已知等比数列{}n a 满足112a =，且2434(1)a a a =-，则5a ＝_______． 【答案】8 【解析】 【分析】先求出3a 的值，再求5a 的值. 【详解】∵2434(1)a a a =- ∴2334(1)a a =-，则3a ＝2∴223512812a a a ===． 故答案为：8【点睛】本题主要考查等比中项的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.已知函数221()log (1)1x a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，，，若[(0)]2f f =，则实数a 的值是_______．【解析】 【分析】解方程[(0)]2f f =即得a 的值. 【详解】∵0(0)223f =+= ∴[(0)](3)log 2a f f f == ∵[(0)]2f f = ∴log 22a =， 因为0,a > 所以解得a故答案【点睛】本题主要考查分段函数求值，考查指数对数运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.圆柱形容器内部盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是 cm 。

【答案】4 【解析】试题分析：设球半径为r ，则由3=V V V +球水柱可得32243863r r r r πππ⨯+⨯=⨯，解得4r =．考点：1．组合几何体的面积、体积．【思路点睛】本题考查几何体的体积，考查学生空间想象能力，解答时，首先设出球的半径，然后再利用三个球的体积和水的体积之和，等于柱体的体积，求解即可．10.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，F 分别为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点、右焦点，过坐标原点O 的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，线段AP 的中点为M ，若Q ，F ，M 三点共线，则椭圆C 的离心率为______. 【答案】13【解析】 【分析】根据P ，Q 关于原点对称假设(),Q m n ，(),P m n --，利用中点坐标公式可求得,22a m n M -⎛⎫- ⎪⎝⎭，利用三点共线可得//FQ FM ，利用向量共线可构造等式，从而求得离心率. 【详解】由题意知：P ，Q 关于原点对称，可设(),Q m n ，(),P m n -- 又(),0A a ，(),0F c ，则,22a m n M -⎛⎫-⎪⎝⎭(),FQ m c n ∴=-，,22a mn FM c -⎛⎫=--⎪⎝⎭ Q Q ，F ，M 三点共线 //FQ FM ∴()22n a m m c n c -⎛⎫∴--=- ⎪⎝⎭，整理可得：13c a = 即椭圆C 的离心率：13e = 本题正确结果：13【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，关键是能够构造出关于,a c 的齐次方程，本题构造方程的关键是能够将三点共线转化为向量共线的关系，从而利用向量共线定理可求得结果.11.设函数()sin(2)3f x x π=+，若120x x <，且12()()0f x f x +=，则21x x -的取值范围是_______． 【答案】(3π，+∞) 【解析】 【分析】不妨设120x x <<，则2121x x x x -=-，再根据函数的图像分析可得解. 【详解】不妨设120x x <<，则2121x x x x -=-，由图可知210()33x x ππ->--=．故答案为：(3π，+∞) 【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.已知圆C ：22(1)(4)10x y -+-=上存在两点A ，B ，P 为直线x ＝5上的一个动点，且满足AP⊥BP，则点P 的纵坐标取值范围是_______． 【答案】[2，6] 【解析】 【分析】由题分析可得∠CPA 最大为45°，即sin∠CPA≥2，解不等式CA CP≥2即得解.【详解】要使AP⊥BP，即∠APB 的最大值要大于或等于90°， 显然当PA 切圆C 于点A ，PB 切圆C 于点B 时，∠APB 最大， 此时∠CPA 最大为45°，则sin∠CPA≥2， 即CA CP≥2， 设点P(5，0y )≥2， 解得2≤0y ≤6． 故答案为：[2，6]【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.13.如图，已知P 是半径为2，圆心角为3π的一段圆弧AB 上一点，2A B B C =，则PC PA ⋅的最小值为_______．【答案】5﹣【解析】 【分析】设圆心为O,AB 中点为D,先求出2221944PC PA PM AC PM ⋅=-=-，再求PM 的最小值得解.【详解】设圆心为O,AB 中点为D, 由题得22sin2,36AB AC π=⋅⋅=∴=.取AC 中点M ，由题得2PA PC PMPC PA AC ⎧+=⎨-=⎩,两方程平方相减得2221944PC PA PM AC PM ⋅=-=-， 要使PC PA ⋅取最小值，就是PM 最小， 当圆弧AB 的圆心与点P 、M 共线时，PM 最小.此时DM=1,2DM ∴==所以PM 有最小值为2，代入求得PC PA ⋅的最小值为5﹣故答案为：5﹣【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查平面向量的数量积及其最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.已知实数a ，b ，c 满足2121a c b c e a b e +--+++≤（e 为自然对数的底数），则22a b +的最小值是_______． 【答案】15【解析】 【分析】设()(1)xu x e x =-+，求出函数的单调区间得到1x e x ≥+，再由题求出2121a c b c e a b e +--+=++，1,2c a c b +=-=，再利用二次函数的图像和性质求22a b +的最小值. 【详解】设()(1)xu x e x =-+，则()1xu x e '=-， 所以函数u(x)的增区间为（0，+∞），减区间为(-∞,0), 所以()(0)0u x u ≥=，即1x e x ≥+；可知21121121a c b c e a c b a e c b +--++++--+=++≥，当且仅当210a c b c +=--=时取等； 因为2121a c b c e a b e +--+++≤所以2121a c b c e a b e +--+=++，210a c b c +=--=． 所以1,2c a c b +=-=， 解得22222(1)51144245c c a b c c ++=+=++≥，当且仅当15c =时，取等号．故答案为：15【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查二次函数最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、解答题：请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。