广东省深圳市宝安中学(集团)2019-2020学年高三下学期2月月考数学(理)试题(带答案解析)
2019-2020学年广东省深圳市宝安中学高一(下)晚测数学试卷(一)
2019-2020学年广东省深圳市宝安中学高一（下）晚测数学试卷（一）一、选择题（共14小题，每小题3分，满分42分）1. 为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ） A.简单的随机抽样 B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样 【答案】 C【考点】 分层抽样方法 【解析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样． 【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理， 故选C ．2. 在△ABC 中，若AB =√13，BC =3，∠C =120∘，则AC =（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】 A【考点】余弦定理的应用 【解析】本题考查解三角形． 【解答】解：在△ABC 中，由余弦定理可得AB 2=AC 2+BC 2−2AC ⋅BC cos 120∘， 则13=AC 2+9+3AC ，解得AC =1（舍负）． 故选A ．3. 设向量a →=(1, cos θ)与b →=(−1, 2cos θ)垂直，则cos 2θ等于（ ） A.√22B.12C.0D.−1【答案】 C【考点】二倍角的三角函数数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】由两向量的坐标，以及两向量垂直，根据平面向量的数量积运算法则得到其数量积为0，得出2cos2θ−1的值，然后将所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简后，将2cos2θ−1的值代入即可求出值．【解答】∵a→=(1, cosθ)，b→=(−1, 2cosθ)，且两向量垂直，∴a→⋅b→=0，即−1+2cos2θ＝0，则cos2θ＝2cos2θ−1＝0．4. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B=π6，C=π4，则△ABC的面积为（）A.2√3+2B.√3+1C.2√3−2D.√3−1【答案】B【考点】正弦定理三角形的面积公式【解析】由sin B，sin C及b的值，利用正弦定理求出c的值，再求出A的度数，由b，c及sin A的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】∵b＝2，B=π6，C=π4，∴由正弦定理bsin B =csin C得：c=b sin Csin B=2×√2212=2√2，A=7π12，∴sin A＝sin(π2+π12)＝cosπ12=√2+√64，则S△ABC=12bc sin A=12×2×2√2×√2+√64=√3+1．5. 某工厂对一批产品进行了抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96, 106]，样本数据分组为[96, 98),[98, 100),[100, 102),[102, 104), (104, 106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是（）A.90B.75C.60D.45【答案】A【考点】频率分布直方图先求出样本中产品净重小于100克的频率，由此利用样本中产品净重小于100克的个数是36，求出样本总数，由此能求出样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品个数．【解答】样本中产品净重小于100克的频率为(0.050+0.100)×2＝0.3，∵样本中产品净重小于100克的个数是36，∴样本总数n=36=120．0.3∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品个数为120×0.75＝90．6. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C+c cos B=a sin A，则△ABC的形状为( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定【答案】B【考点】两角和与差的正弦公式正弦定理三角形的形状判断【解析】由条件利用正弦定理可得sin B cos C+sin C cos B=sin A sin A，再由两角和的正弦公式、，由此可得△ABC的形状．诱导公式求得sin A=1，可得A=π2【解答】解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∵b cos C+c cos B=a sin A，则由正弦定理可得：sin B cos C+sin C cos B=sin A sin A，即sin(B+C)=sin A sin A，，可得sin A=1，故A=π2故三角形为直角三角形，故选B.7. 演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（）A.中位数B.平均数C.方差D.极差【答案】A【考点】众数、中位数、平均数【解析】根据题意，由数据的数字特征的定义，分析可得答案．根据题意，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变，8. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin B+sin A⋅(sin C−cos C)= 0，a=2，c=√2，则C=（）A.π12B.π6C.π4D.π3【答案】B【考点】正弦定理【解析】本题主要考查三角形内角和定理、两角和的正弦公式、正弦定理等知识. 【解答】解：因为sin B+sin A(sin C−cos C)=0，所以sin(A+C)+sin A⋅sin C−sin A⋅cos C=0，所以sin A cos C+cos A sin C+sin A sin C−sin A cos C=0，整理得sin C(sin A+cos A)=0，因为sin C≠0，所以sin A+cos A=0，所以tan A=−1，因为A∈(π2,π)，所以A=3π4，由正弦定理得sin C=c⋅sin Aa =√2×√222=12，又0<C<π4，所以C=π6.故选B.9. 设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若y i＝x i+a(a为非零常数，i＝1，2，…，10)，则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（）A.1+a，4B.1+a，4+aC.1，4D.1，4+a【答案】A【考点】众数、中位数、平均数极差、方差与标准差【解析】方法1：根据变量之间均值和方差的关系直接代入即可得到结论．方法2：根据均值和方差的公式计算即可得到结论．【解答】方法1：∵y i＝x i+a，∴ E(y i )＝E(x i )+E(a)＝1+a ， 方差D(y i )＝D(x i )+E(a)＝4． 方法2：由题意知y i ＝x i +a ， 则y ¯=110(x 1+x 2+...+x 10+10×a)=110(x 1+x 2+...+x 10)=x ¯+a ＝1+a ，方差s 2=110[(x 1+a −(x ¯+a)2+(x 2+a −(x ¯+a)2+...+(x 10+a −(x ¯+a)2]=110[(x 1−x ¯)2+(x 2−x ¯)2+...+(x 10−x ¯)2]＝s 2＝4．10. 已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m →=(sin A,cos A)，n →=(√3,1)．若m →∥n →，且a cos B +b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为（ ） A.π6,π3B.2π3,π6C.π3,π6D.π3,π3【答案】 C【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示 【解析】由已知求得A ，再由a cos B +b cos A ＝c sin C 结合正弦定理求得C ，则答案可求． 【解答】∵ a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边， m →=(sin A,cos A)，n →=(√3,1)．且m →∥n →； ∴ sin A −√3cos A ＝0，则tan A =√3，则A =π3．由a cos B +b cos A ＝c sin C ，得sin A cos B +sin B cos A ＝sin 2C ， 即sin (A +B)＝sin C ＝sin 2C ， 则sin C ＝1，即C =π2， ∴ B =π2−π3=π6．11. 在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B +sin 2C −sin B sin C ，则A 的取值范围是（ ） A.(0, π6]B.[π6, π)C.(0, π3]D.[π3, π)【答案】 C【考点】 余弦定理 正弦定理 【解析】先利用正弦定理把不等式中正弦的值转化成边，进而代入到余弦定理公式中求得cos A 的范围，进而求得A 的范围． 【解答】由正弦定理可知a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，∵sin2A≤sin2B+sin2C−sin B sin C，∴a2≤b2+c2−bc，∴bc≤b2+c2−a2∴cos A=b2+c2−a22bc ≥12∴A≤π3∵A>0∴A的取值范围是(0, π3]12. 已知函数f(x)=2cos2x−√3sin2x，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，内角A满足f(A)＝−1，若a=√6，则△ABC的面积的最大值为（）A.3√3B.3√32C.√34D.2√3【答案】B【考点】余弦定理【解析】由二倍角公式和两角和的余弦公式，以及基本不等式和余弦定理、三角形的面积公式可得所求最大值．【解答】f(x)=2cos2x−√3sin2x=cos2x−√3sin2x+1=2cos(2x+π3)+1，f(A)=2cos(2A+π3)+1=−1⇒cos(2A+π3)=−1，A为三角形内角，则A=π3，a=√6，可得a2＝b2+c2−2bc cos A＝b2+c2−bc≥2bc−bc＝bc，当且仅当b＝c时取等号，S△ABC=12bc sin A≤12×6×√32=3√32．△ABC的面积的最大值为3√32．13. 如图是国家统计局发布的2018年3月到2019年3月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图（注：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比），根据该折线图，下列结论正确的是（）A.2018年3月至2019年3月全国居民消费价格同比均上涨B.2018年3月至2019年3月全国居民消费价格环比有涨有跌C.2019年3月全国居民消费价格同比涨幅最大D.2019年3月全国居民消费价格环比变化最快【答案】A,B,D【考点】进行简单的合情推理【解析】结合图象，分别分析图形中同比及环比数据的特点，结合各选项进行分析即可判断．【解答】A：从同比来看，同比均为正数，即同比都上涨，故A正确；B：从环比来看，2018年3越至2019年3月全国居民消费价格环比图象有升有降，即环比有涨有跌，故B正确；C：从同比来看，2018年9月，10月全居民消费价格同比涨幅最大，故C错误；D：从环比来看，2019年3月全国居民消费价格环比绝对值最大，即价格环比变化最快，故D正确．14. 某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以[160, 180),[180, 200),[200, 220),[220, 240),[240, 260),[260, 280),[280, 300]分组的频率分布直方图如图．则下列说法正确的是（）A.直方图中x＝0.0075B.上图中所有矩形面积之和为1C.月平均用电量的众数和中位数分别为230，224D.在月平均用电量为[220, 240),[240, 260),[260, 280),[280, 300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，月平均用电量在[220, 240)的用户中应抽取5户．【答案】A,B,C,D【考点】频率分布直方图【解析】在A中，由频率分布直方图解得x＝0.0075；在B中，由频率分布直方图的性质得所有矩形面积之和为1；在C中，由频率分布直方图求出月平均用电量的众数为：和中位数分别为230，224；在D中，用分层抽样的方法抽取11户居民，月平均用电量在[220, 240)的用户中应抽取5户．【解答】由频率分布直方图得：在A中，(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)×20＝1，解得x＝0.0075．故A正确；在B中，由频率分布直方图的性质得所有矩形面积之和为1，故B正确；在C中，月平均用电量的众数为：和中位数分别为220+2402=230，[160, 220)的频率为：(0.002+0.0095+0.011)×20＝0.45，[220, 240)的频率为0.0125×20＝0.25，∴中位数为：220+0.5−0.450.25×20=224，故C正确；在D中，在月平均用电量为[220, 240),[240, 260),[260, 280),[280, 300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，月平均用电量在[220, 240)的用户中应抽取：11×0.01250.0125+0.0075+0.005+0.0025=5户．故D正确．二.填空题函数f(x)＝sin22x的最小正周期是________．【答案】π2【考点】三角函数的周期性及其求法【解析】用二倍角公式可得f(x)=−12cos(4x)+12，然后用周期公式求出周期即可．【解答】∵f(x)＝sin2(2x)，∴f(x)=−12cos(4x)+12，∴f(x)的周期T=π2，若满足条件C＝60∘，AB=√3，BC＝a的△ABC有两个，那么a的取值范围是________√3<a<2．【答案】C【考点】解三角形【解析】由已知条件C的度数，AB及BC的值，根据正弦定理用a表示出sin A，由C的度数及正弦函数的图象可知满足题意△ABC有两个A的范围，然后根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出sin A的范围，进而求出a的取值范围．【解答】由正弦定理得：ABsin C =BCsin A，即√3√32=asin A，变形得：sin A=a2，由题意得：当A∈(60∘, 120∘)时，满足条件的△ABC有两个，所以√32<a2<1，解得：√3<a<2，则a的取值范围是(√3, 2)．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若tan(π4+A)=2，则sin2Asin2A+cos2A的值为________．【答案】25【考点】两角和与差的三角函数【解析】利用两角和的正切公式，求出tan A的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】在△ABC中，若tan(π4+A)=2=1+tan A1−tan A，∴tan A=13，则sin2Asin2A+cos2A =2sin A cos A2sin A cos A+cos2A=2tan A2tan A+1=2323+1=25，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若b=6,a=2c,B=2π3，则△ABC的面积为________【答案】18√37【考点】正弦定理【解析】由余弦定理可得关于c的方程，解出c得到a，由面积公式S△ABC=12ac sin B求出面积．【解答】由余弦定理，有b2＝a2+c2−2ac cos B，∵b=6,a=2c,B=2π3，∴36=4c2+c2−4c2(−12)，∴c2=367，∴c=√7，∴a=√7∴S△ABC=12ac sin B=18√37．已知x、y的取值如表所示：从散点图分析，y 与x 线性相关，且y =0.95x +a ，则a ＝________．【答案】 2.6【考点】求解线性回归方程 【解析】根据表中的数据可以分别求出变量x ，y 的算术平均值，而根据回归方程知道直线的斜率为0.95，然后带入求截距的公式即可求出a ． 【解答】根据表中数据得：x ¯=2,y ¯=14×(2.2+4.3+4.8+6.7)=92； 又由回归方程知回归方程的斜率为0.95； ∴ a =92−0.95×2=2.6．在△ABC 中，B =120∘，AB =√2，A 的角平分线AD =√3，则AC =________． 【答案】√6【考点】余弦定理的应用 正弦定理 【解析】利用已知条件求出A ，C ，然后利用正弦定理求出AC 即可． 【解答】解：由题意以及正弦定理可知：AB sin ∠ADB=AD sin B，即√2sin ∠ADB=√3√32，∠ADB =45∘，12A =180∘−120∘−45∘，可得A =30∘，则C =30∘， 三角形ABC 是等腰三角形， AC =2√2sin 60∘=√6． 故答案为：√6．设当x ＝θ时，函数f(x)＝sin x −2cos x 取得最大值，则cos θ＝________． 【答案】−2√55【考点】正弦函数的定义域和值域 两角和与差的三角函数 【解析】 f(x)解析式提取√5，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x ＝θ时，函数f(x)取得最大值，得到sin θ−2cos θ=√5，与sin 2θ+cos 2θ＝1联立即可求出cosθ的值．【解答】方法一：f(x)＝sin x−2cos x=√5(√55sin x−2√55cos x)=√5sin(x−α)（其中cosα=√55，sinα=2√55），∵x＝θ时，函数f(x)取得最大值，∴sin(θ−α)＝1，即sinθ−2cosθ=√5，又sin2θ+cos2θ＝1，联立得(2cosθ+√5)2+cos2θ＝1，解得cosθ=−2√55．方法二：f(x)＝sin x−2cos x=√5sin(x+φ)（其中tanφ＝−2，φ∈(−π2,π2 )），因为当x＝θ时，f(x)取得最大值，所以θ+φ=π2+2kπ(k∈Z)，所以θ=π2+2kπ−φ(k∈Z)，所以cosθ＝cos(π2+2kπ−φ)＝sinφ=−2√55．已知函数f(x)=cos x⋅sin(x+π3)−√3cos2x+√34，x∈R．f(x)在[−π4,π4]上的最大值为________．【答案】14【考点】两角和与差的三角函数【解析】由题意利用三角恒等变换花简函数f(x)的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求出f(x)在[−π4,π4]上的最大值．【解答】∵函数f(x)=cos x⋅sin(x+π3)−√3cos2x+√34=cos x⋅(12sin x+√32cos x)−√3cos2x+√3 4=14sin2x−√32cos2x+√34=14sin2x−√34cos2x=12sin(2x−π3)，x∈R．x∈[−π4,π4]，2x−π3∈[−5π6, π6]，故当2x−π3=π6时，函数f(x)取得最大值为14，如图所示，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC=√7，若cos∠BAD=−√714，sin∠CBA=√216，则BC＝________．【答案】 3【考点】 解三角形 【解析】由题意在△ADC 中应用余弦定理易得cos ∠CAD ，进而由同角三角函数基本关系可得sin ∠CAD 和sin ∠BAD ，再由和差角公式可得sin ∠CAB ，在△ABC 中由正弦定理可得BC ． 【解答】由题意在△ADC 中，AD ＝1，CD ＝2，AC =√7， ∴ 由余弦定理可得cos ∠CAD =2×1×√7=2√77， ∴ sin ∠CAD =√217， 同理由cos ∠BAD =−√714，可得sin ∠BAD =3√2114， ∴ sin ∠CAB ＝sin (∠BAD −∠CAD) ＝sin ∠BAD cos ∠CAD −cos ∠BAD sin ∠CAD =√32在△ABC 中由正弦定理可得BC =√7×√32√216=3已知△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c 且a ＝6，4sin B ＝5sin C ，有以下三个命题：①满足条件的△ABC 不可能是直角三角形； ②当A ＝2C 时，△ABC 的周长为15；③当A ＝2C 时，若O 为△ABC 的内心，则△AOB 的面积为√7． 其中正确命题有________（填写出所有正确命题的序号）． 【答案】 ②③【考点】命题的真假判断与应用 【解析】①假设是三角形，求出各个边长，最后证明假设是否正确，②通过正弦定理可求出关系，再由余弦定理和已知条件，求出各个边，可求出周长， ③由②各个边，通过面积相等求出内接球半径，再求面积． 【解答】①假设△ABC 是直角三角形，由题意知b =54c ，则b 2=(54c)2=c 2+a 2=c 2+36， 解得a ＝6，b ＝10，c ＝8是直角三角形，①错；②由A ＝2C ，由正弦定asin A =bsin B =csin C ，可得c cos C ＝3，结合b =54c ，由余弦定理c 2＝a2+b2−2ab cos C，解之得c＝4，b＝5，∴△ABC的周长为15，②对；③当A＝2C时，由②知c＝4，b＝5，若O为△ABC的内心，则设△ABC的内接圆半径为r，由c cos C＝3，可得cos C=34，sin C=√74，故12absicC=12(a+b+c)r，∴r=√72，∴S△AOB=12cr=√7，③对．三、解答题（共3小题，满分0分）某校高一（1）班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，其可见部分如图1和图2所示，据此解答如下问题：（1）计算频率分布直方图中[80, 90)间的小长方形的高；（2）根据频率分布直方图估计这次测试的平均分．【答案】分数在[50, 60)的频率为0.008×10＝0.08，由茎叶图知，分数在[50, 60)之间的频数为2，所以全班人数为20.08=25，所以分数在[80, 90)之间的人数为25−21＝4，则对应的频率为425=0.16．所以[80, 90)间的小长方形的高为0.16÷10＝0.016．全班共25人，根据各分数段人数得各分数段的频率为：所以估计这次测试的平均分为55×0.08+65×0.28+75×0.4+85×0.16+95×0.08＝73.8．【考点】众数、中位数、平均数茎叶图【解析】（1）由直方图在得到分数在[50, 60)的频率，求出全班人数；由茎叶图求出分数在[80, 90)之间的人数，进一步求出概率；（2）分别算出各段的概率，计算平均分．【解答】分数在[50, 60)的频率为0.008×10＝0.08，由茎叶图知， 分数在[50, 60)之间的频数为2，所以全班人数为20.08=25，所以分数在[80, 90)之间的人数为25−21＝4， 则对应的频率为425=0.16．所以[80, 90)间的小长方形的高为0.16÷10＝0.016． 全班共25人，根据各分数段人数得各分数段的频率为：所以估计这次测试的平均分为55×0.08+65×0.28+75×0.4+85×0.16+95×0.08＝73.8．已知向量m →=(√3sin x4, 1)，n →=(cos x4, cos 2x4)，记f(x)=m →⋅n →．(Ⅰ)若f(x)＝1，求cos (x +π3)的值；(Ⅱ)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a −c)cos B ＝b cos C ，求f(2A)的取值范围． 【答案】（1）向量m →=(√3sin x4, 1)，n →=(cos x4, cos 2x4)，记f(x)=m →⋅n →=√3sin x4cos x4+cos 2x4=√32sin x 2+12cos x 2+12=sin (x 2+π6)+12，因为f(x)＝1，所以sin (x2+π6)=12， 所以cos (x +π3)＝1−2sin 2(x2+π6)=12，（2）因为(2a −c)cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A −sin C)cos B ＝sin B cos C所以2sin A cos B −sin C cos B ＝sin B cos C所以2sin A cos B ＝sin (B +C)＝sin A ，sin A ≠0， 所以cos B =12，又0<B <π2，所以B =π3，则A +C =2π3，即A =2π3−C ，又0<C <π2，则π6<A <π2，得π3<A +π6<2π3，所以√32<sin (A +π6)≤1，又f(2A)＝sin (A +π6)+12，所以f(2A)的取值范围(√3+12,32]． 【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】(Ⅰ)利用向量的数量积公式求出f(x)的解析式，然后求值；(Ⅱ)由正弦定理将边角的混合等式化为角的等式，利用三角函数公式化简求出角A 的范围，然后求三角函数值的范围． 【解答】（1）向量m →=(√3sin x4, 1)，n →=(cos x4, cos 2x4)，记f(x)=m →⋅n →=√3sin x4cos x4+cos 2x4=√32sin x 2+12cos x 2+12=sin (x 2+π6)+12，因为f(x)＝1，所以sin (x2+π6)=12， 所以cos (x +π3)＝1−2sin 2(x2+π6)=12，（2）因为(2a −c)cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A −sin C)cos B ＝sin B cos C所以2sin A cos B −sin C cos B ＝sin B cos C所以2sin A cos B ＝sin (B +C)＝sin A ，sin A ≠0， 所以cos B =12，又0<B <π2，所以B =π3， 则A +C =2π3，即A =2π3−C ，又0<C <π2，则π6<A <π2，得π3<A +π6<2π3，所以√32<sin (A +π6)≤1，又f(2A)＝sin (A +π6)+12，所以f(2A)的取值范围(√3+12,32]．如图，旅客从某旅游区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50米/分钟，在甲出发2分钟后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1分钟后，再从B 匀速步行到C ．假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC 长1260米，经测量，cos A =1213，cos C =35．（1）求索道AB 的长；（2）问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ 【答案】在△ABC 中，因为cos A =1213，cos C =35，所以sin A =513，sin C =45，从而sin B ＝sin [π−(A +C)]＝sin (A +C)＝sin A cos C +cos A sin C =513×35+1213×45=6365， 由正弦定理ABsin C =ACsin B ，得AB =AC⋅sin C sin B=1260×456365=1040m ．所以索道AB 的长为1040m ．假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100+50t)m ，乙距离A 处130tm ，所以由余弦定理得：d 2＝(100+50t)2+(130t)2−2×130t ×(100+50t)×1213=200(37t 2−70t +50)＝200[37(t −3537)2+62537]，因0≤t ≤1040130，即0≤t ≤8，故当t =3537min 时，甲、乙两游客距离最短．【考点】 正弦定理 余弦定理 【解析】（1）根据正弦定理即可确定出AB 的长；（2）设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100+50t)m ，乙距离A 处130tm ，由余弦定理即可得解． 【解答】在△ABC 中，因为cos A =1213，cos C =35，所以sin A =513，sin C =45，从而sin B ＝sin [π−(A +C)]＝sin (A +C)＝sin A cos C +cos A sin C =513×35+1213×45=6365， 由正弦定理ABsin C =ACsin B ，得AB =AC⋅sin C sin B=1260×456365=1040m ．所以索道AB 的长为1040m ．假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100+50t)m ，乙距离A 处130tm ，所以由余弦定理得：d 2＝(100+50t)2+(130t)2−2×130t ×(100+50t)×1213=200(37t 2−70t +50)＝200[37(t −3537)2+62537]，因0≤t ≤1040130，即0≤t ≤8，故当t =3537min 时，甲、乙两游客距离最短．。
【附加15套高考模拟试卷】广东省深圳市宝安中学2020届高三下学期期末考试数学(理)试题含答案
广东省深圳市宝安中学2020届高三下学期期末考试数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．将函数()cos24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移8π个单位后得到函数()g x的图象，则()g x（）A．为奇函数，在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B．为偶函数，在3,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增C．周期为π，图象关于点3,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D．最大值为1，图象关于直线2xπ=对称2．已知三棱锥P ABC-的体积为433，4APCπ∠=，3BPCπ∠=，PA AC⊥，PB BC⊥，且平面PAC⊥平面PBC，那么三棱锥P ABC-外接球的体积为（）A．43πB．823πC．1233πD．323π3．函数f（x）=a x+log a（x+1）（a＞0，且a≠1）在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为（）A．14B．12C．2 D．44．一个长方体被一平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．24 B．48 C．72 D．965．定义在R上的奇函数()y f x=满足(4)0f=，且当0x>时，不等式3()'()f x xf x>-恒成立，则函数3()()lg1g x x f x x=++的零点的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．56．异面直线a，b所成的角为6π，直线a c⊥，则异面直线b与c所成角的范围为（）A．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．一个各面均为直角三角形的四面体容器，有三条棱长为2，若四面体容器内完全放进一个球，则该球的半径最大值为（）A．21-B．22-C．1 D．28．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．83B．163C．203D．89．执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．2log101-B．22log31-C．92D．610．若不等式1ln x m m ex+-≤+对1[,1]xe∈成立，则实数m的取值范围是（）A．1 [,)2-+∞B．1(,]2-∞-C．1[,1]2-D．[1,)+∞11．将函数()f x的图像上的所有点向右平移4π个单位长度，得到函数()g x的图像，若函数()()sin0,0,2g x A x Aπωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则函数()f x的解析式为A．()5sin12f x xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭B．()sin26f x xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭C．()5sin26f x xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭D．()7sin212f x xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭12．已知点F1，F2是椭圆2222x ya b+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上的动点，动点Q在射线F1P 的延长线上，且|PQu u u r|=|2PFu u u r|，若|PQu u u r|的最小值为1，最大值为9，则椭圆的离心率为（）A．35B．13C．45D．19二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年广东省深圳市宝安中学(集团)高考数学模拟试卷(文科)(2月份)
2020年广东省深圳市宝安中学（集团）高考数学模拟试卷（文科）（2月份）一、选择题（本大题共12小题.每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上）1. 若集合A ＝{x||x|>x}，B ＝{y|y ＝x 2−1, x ∈R}，则A ∩B ＝（ ） A.{x|x ≥0} B.{x|−≤x ≤1} C.{x|−1≤x ≤0} D.{x|−1≤x <0}2. 在复平面内与复数z =2i 1+i所对应的点关于实轴对称的点为A ，则A 对应的复数为( )A.1−iB.1+iC.−1+iD.−1−i3. 设x ∈R ，则“1<x <2”是“|x −2|<1”的( ) A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件4. 设x ，y 满足约束条件{x −y +1≥0x +y −1≥0x ≤3, ，则z ＝2x +y 的最小值（ ）A.1B.4C.2D.105. 已知等比数列{a n }中有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且a 7＝b 7，则b 5+b 9＝（ ） A.4 B.2C.8D.166. 如果执行如图的程序框图，那么输出的S 值（ ）A.2B.−1C.12D.20167. 若直线l 1:x +ay +6=0与l 2：(a −2)x +3y +2a =0平行，则l 1与l 2间的距离为（ ） A.8√23B.√2C.8√33D.√38. 已知向量a →=(cos α, −2)，b →=(sin α, 1)，且a → // b →，则tan (α−π4)等于( ) A.−3 B.3 C.−13D.139. 设F 1，F 2分别是椭圆x 225+y 216=1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM|＝2，则P 点到椭圆左焦点的距离为（ ） A.4 B.3 C.6 D.510. 函数f(x)＝A sin (ωx +φ)（其中A >0，ω>0，|φ|<π2）的图象如图所示，为了得到y ＝cos 2x 的图象，则只要将f(x)的图象（ ）A.向右平移π6个单位长度B.向左平移π6个单位长度C.向右平移π12个单位长度 D.向左平移π12个单位长度11. 设函数f (f )，若对于在定义域内存在实数f 满足f (−f )＝-f (f )，则称函数f (f )为“局部奇函数”．若函数f (f )＝4x −f ∗2x +f 2−3是定义在f 上的“局部奇函数”，则实数f 的取值范围是（ ） A.[−2√2, 1−√3] B.[1−√3, 1+√3] C.[−1, 2] D.[−2√2, 2√2]12. 已知函数f(x)是定义在(−∞, 0)∪(0, +∞)上的偶函数，当x >0时f(x)={2|x−1|,0<x ≤212f(x −2),x >2 ，则函数g(x)＝2f(x)−1的零点个数为（ ）个． A.2B.6C.8D.4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．已知函数f(x)＝(bx−1)e x+a(a, b∈R)．若曲线y＝f(x)在点（0, f (0)）处的切线方程为y＝x，则a+b ＝________．在△ABC中，∠A=2π3，a=√3c，则bc=________．已知直线l为双曲线：x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的一条渐近线，直线l与圆(x−c)2+y2＝a2（其中c2＝a2+b2，c>0）相交于A，B两点，若|AB|=√2a，则双曲线C的离心率为________√62．三、解答题：共70分已知{a n}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{b n}满足b1＝4，b4＝20，且{b n−a n}为等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和．2012年“双节”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速(km/t)分成六段：(60, 65)，[65, 70)，[70, 75)，[80, 85)，[85, 90)后得到如图的频率分布直方图．（1）某调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？（2）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值．（3）若从车速在[60, 70)的车辆中任抽取2辆，求车速在[65, 70)的车辆至少有一辆的概率．如图，在四棱锥P−ABCD中，侧面PAB为正三角形，侧面PAB⊥底面ABCD，E为PD的中点，AB⊥AD，BC // AD，且AB＝BC=12AD＝2．（1）求证：CE // 平面PAB；（2）求三棱锥P−ACE的体积．已知动点M(x, y)到定点F(14,0)的距离比到y轴的距离大14（1）求动点M的轨迹方程；（2）若A(4, 2)为所求轨迹上一点，B、C为所求轨迹上位于y轴右侧的两动点，若直线AB、AC的斜率分别为k1、k2且互为相反数，求证：直线BC的斜率是定值．已知函数f(x)＝e x−ax−2．（1）求f(x)的单调区间；（2）若a＝1，k为整数，且当x>0时，(k−x−1)f′(x)<x+1恒成立，其中f′(x)为f(x)的导函数，求整数k的最大值．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同，直线l的极坐标方程为：ρ=5sin(θ−π3)，点P(2cosα, 2sinα+2)，参数α∈R．(Ⅰ)求点P轨迹的直角坐标方程；(Ⅱ)求点P到直线l距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]设函数f(x)＝|x−1|+|x−a|(a∈R)（1）当a＝2时，求不等式f(x)≥3的解集；（2）若f(x)≥3对x∈R恒成立，求a的取值范围．参考答案与试题解析2020年广东省深圳市宝安中学（集团）高考数学模拟试卷（文科）（2月份）一、选择题（本大题共12小题.每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上）1.【答案】此题暂无答案【考点】交集根助运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】复验热数术式工乘除运算复数射代开表波法及酸几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】绝对来不等阅必要条水表综分条近与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】简单因性规斯【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】等比使香的性质等差因列的校质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】程正然图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】两条平行射线间面距离直线的水根式方务式直线的平行关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】三角根隐色树恒等变换应用两角和与表型正切公式平面水因共线（平行）的坐似表阻【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】椭圆水明心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】由y=于si械（ωx+美）的部分角象六定其解断式函数y射Asi过（ω复非φ）的图象变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】函数与方都的综合运着【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】函数根助点与驶还根的关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．【答案】此题暂无答案【考点】利用三数定究曲纵上迹点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】正因归理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】双曲根气离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题：共70分【答案】此题暂无答案【考点】等差明列政快比数坏的综合【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】等明能约件用样本表数擦特征估老朝体的数字特征频率都着直方图等可能表件型概率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】棱使、求族非棱台的体积直线体平硫平行【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线常椭圆至合业侧值问题轨表方擦【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利验热数技究女数的最值利用验我研究务能的单调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答[选修4-4：坐标系与参数方程选讲] 【答案】此题暂无答案【考点】圆的较坐标停程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答[选修4-5：不等式选讲]【答案】此题暂无答案【考点】不等式三成立的最题绝对常不等至的保法与目明【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
广东省深圳市2019-2020学年高二下学期第二次月考数学(理)试题Word版含答案
广东省深圳市2019-2020学年高二下学期第二次月考数学（理）试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的4个选项中只有一个是正确的，请将答案填写在答题卷相应的位置上)1、已知集合2{|230},{1,0,1,2,3}A x x x B =--<=-，则A B =I （ B ）.A {0,1}.B {0,1,2} .C {1,0,1}-.D {1,3}-2、若复数i iiz ,32+-=是虚数单位，则z 在复平面内对应的点在（ A ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3、命题“2000,10x R x x ∃∈-->”的否定是（ A ）A ．2,10x R x x ∀∈--≤B ．2,10x R x x ∀∈-->C ．2000,10x R x x ∃∈--≤D ． 2000,10x R x x ∃∈--≥4、函数22ln x x y x--+=的定义域为（ C ）A ．(-2,1)B ．C ．(0,1)D ．(0,1]5、设1232,2()log (1),2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩,则((2))f f 的值为（ C ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．36、设,a b 均为实数，则“||a b >”是“33a b >”的（ A ） A ．充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ．充要条件 D ． 既不充分也不必要条件7、将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ A ） A ．12种 B ．10种 C ．9种 D ．8种8 、某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中几录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据如表所示： x 3 4 5 6 y2.534a若根据表中数据得出y 关于x 的线性回归方程为=0.7x+0.35，则表中a 的值为（ D ）A ．3B ．3.15C ．3.5D ．4.59 、若函数()xxf x a k a-=-⋅（0a >且1a ≠）在(,)-∞+∞上既是奇函数又是增函数，则函数()log ()a g x x k =+的大致图象是（ B ）10、从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是偶数的概率是（ D ） A ． B ． C ． D ．11、()()2412x x +-的展开式中含3x 项的系数为（ B ） A ．16 B ．8 C ．－40 D ．4012、设函数()3269f x x x x =-+，()()321111323a g x x x ax a +=-+->，若对任意的[]10,4x ∈，总存在[]20,4x ∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围为（ D ）A ．91,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．[)9,+∞C ．[)39,9,24⎡⎤⋃+∞⎢⎥⎣⎦D ．[)91,9,4⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把下列各题的正确答案填写在答题卷相应的位置上)13、42()x x-展开式中的常数项为 24 ．14 、设随机变量X 服从正态分布N （1，σ2），且P （X ≥a 2﹣1）=P （X <a ﹣3），则a=-3或2 ．15、已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，f （x ）满足f （x+2）=﹣f （x ），当0≤x ≤1时， f （x ）= x ，则f （7. 5）等于 ﹣0.516、若()42340123412x a a x a x a x a x -=++++，则0123a a a a +++= -15 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17、（本题满分12分） 已知函数有极大值5,其导函数的图象经过点,如图所示．(1)求原函数取得极大值时x 的值（要求列表说明）; (2)求的值．【答案】(1)由随变化的情况可知当时取到极大值5 ………4分(2)………6分由已知条件为方程,的两根,因此………9分解得.………12分18、（本题满分12分）为调查了解某省属师范大学师范类毕业生参加工作后，从事的工作与教育是否有关的情况，该校随机调查了该校80位性别不同的2016年师范类毕业大学生，得到具体数据如表：与教育有关与教育无关合计男30 10 40女35 5 40合计65 15 80（1）能否在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“师范类毕业生从事与教育有关的工作与性别有关”？参考公式：（n=a+b+c+d）．附表：P（K2≥k0）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k00.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.023 6.635（2）求这80位师范类毕业生从事与教育有关工作的频率；（3）以（2）中的频率作为概率．该校近几年毕业的20000名师范类大学生中随机选取4名，记这4名毕业生从事与教育有关的人数为X，求X的数学期望E（X）．解：（1）由题意得k2==＜3.841．………3分故不能在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“师范类毕业生从事与教育有关的工作与性别有关”………5分（2）由图表知这80位师范类毕业生从事与教育有关工作的频率．………8分（3）由题意知X服从………10分，则．………12分19、（本题满分12分）在如图所示的多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，底面ABFE为直角梯形，∠ABF为直角，，平面ABCD⊥平面ABFE．（1）求证：DB⊥EC；（2）若AE=AB，求二面角C﹣EF﹣B的余弦值．【解答】证明：（1）∵底面ABFE为直角梯形，AE∥BF，∠EAB=90°，∴AE⊥AB，BF⊥AB，∵平面ABCD⊥平面ABFE，平面ABCD∩平面ABFE=AB，∴AE⊥平面ABCD．BF⊥平面ABCD，∴BF⊥BC，………2分设AE=t，以BA，BF，BC所在的直线分别为x，y，z轴建立如图坐标系，………3分则B（0，0，0），C（0，0，1），D（1，0，1），E（1，t，0）………5分∵=0，∴DB⊥EC．…………7分解：（2）由（1）知是平面BEF的一个法向量，………8分设=（x，y，z）是平面CEF的一个法向量，AE=AB=1，E （1，1，0），F （0，2，0）， ∴=（1，1，﹣1），=（0，2，﹣1），则，取z=2， =（1，1，2），………10分∴cos ＜＞==，………11分即二面角C ﹣EF ﹣B 的余弦值为．………12分20、（本题满分12分）随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已经成为人们越来越关心的话题，为了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学习小组在某社区随机抽取了50人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表： 年龄 [)20,25[)25,30[)30,35[)35,40[)40,45人数 45853年龄 [)45,50[)50,55[)55,60[)60,65[)65,70人数67354经调查年龄在[)25,30，[)55,60的被调查者中赞成“延迟退休”的人数分别是3人和2人，现从这两组的被调查者中各随机选取2人，进行跟踪调查．（Ⅰ）求年龄在[)25,30的被调查者中选取的2人都赞成“延迟退休”的概率；（Ⅱ）若选中的4人中，不赞成“延迟退休”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．解：（Ⅰ）设“年龄在[)25,30的被调查者中选取的2人都是赞成”为事件A ，所以()2325310C P A C ==………4分（Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2,3………5分所以()223222531010C C P X C C ===，()1122112323212253215C C C C C C P X C C +=== ()221111223221225313230C C C C C C P X C C +==，()21122122531315C C C P X C C ===………9分………10分 所以()12131220123105301515E X =⨯+⨯+⨯+⨯=………12分21、（本题满分12分）已知函数()ln ,f x x x e =为自然对数的底数． （1）求曲线()y f x =在2x e -=处的切线方程；（2）关于x 的不等式()()1f x x λ≥-在()0,+∞上恒成立，求实数λ的值； （3）关于x 的方程()f x a =有两个实根12,x x ，求证：21221x x a e --<++．解（1）对函数()f x 求导得()1ln ln 1f x x x x x'=+=+g ，………1分 ∴()22ln 11f e e --'=+=-，………2分 又()2222ln 2f e e e e ----==-，………3分∴曲线()y f x =在2x e -=处的切线方程为()()222y e x e ----=--，即2y x e -=--；………4分（2）记()()()()1ln 1g x f x x x x x λλ=--=--，其中0x >，由题意知()0g x ≥在()0,+∞上恒成立，下求函数()g x 的最小值，对()g x 求导得()ln 1g x x λ'=+-，令()0g x '=，得1x eλ-=，∴()())()()1111min 11g x g x g e e e e λλλλλλλ----===---=-极小，∴1e λλ--≥，记()1G eλλλ-=-，则()11G e λλ-'=-，令()0G λ'=，得1λ=．当λ变化时，()(),G G λλ'变化情况列表如下：∴)()max 10G G G λλ===极大，故10e λλ--≤当且仅当1λ=时取等号，又10eλλ--≥，从而得到1λ=； ……8分（3）先证()2f x x e -≥--， 记()()()22ln h x f x x ex x x e--=---=++，则()ln 2h x x '=+，令()0h x '=，得2x e -=，∴()()()22222min ln 0h x h x h e e e e e -----===++=极小，()0h x ≥恒成立，即()2f x x e -≥--，记直线2,1y x e y x -=--=-分别与y a =交于()()12,,,x a x a ''，不妨设12x x <，则()22111a x e f x x e --'=--=≥--，从而11x x '<，当且仅当22a e -=-时取等号，由（2）知，()1f x x ≥-，则()22211a x f x x '=-=≥-， 从而22x x '≤，当且仅当0a =时取等号， 故()()22122121121x x x x x x a a ea e--''-=-≤-=+---=++，因等号成立的条件不能同时满足，故21221x x a e --<++．………12分22、（本题满分10分）在平面直角坐标系中，直线l 过点P 且倾斜角为α，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos()3πρθ=-，直线l 与曲线C 相交于,A B 两点；（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若||AB =l 的倾斜角α的值． 解：（1）∵4cos(),4(cos cossin sin )2(cos )333πππρθρθθθθ=-∴=+=…………3分∴2222(cos sin ),2x y x ρρθθ=∴+=+，∴曲线C 的直角坐标方程为22(1)(4x y -+-=。
2019-2020学年高三数学第二次月考试卷 理.doc
2019-2020学年高三数学第二次月考试卷 理A.43B. 43-C.54D. 54-2.“0<x ”是“()01ln <+x ”的( )条件.A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要 3.函数()()11lg -+=x x x f 的定义域是（ ） A ． ()+∞-,1 B ．[)+∞-,1 C ．()()+∞⋃-,11,1 D ．[)()+∞⋃-,11,1 4.已知1e ，2e是夹角为32π的两个单位向量，若向量2123e e a -=，则1e a ⋅（ ） A ．2 B ．4 C ．5 D ．7 5.已知等差数列121086415,1515}{a a a a a S a n +-+-=则项和前= （ ） A ．1B ．2C ．21 D ．36．已知R b a ∈,，下列命题正确的是（ ）A ．若a b >，则||||a b >B ．若a b >，则11a b< C ．若||a b >，则22a b > D ．若||a b >，则22a b >7．已知正项等比数列{}n a 中，n S 为其前项和n ，且2431,7a a S ==则5=S （ ） A ．152 B ．314 C ．334D ．172 8．若实数,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+00520532x y x y x ，则|1|z x y =++的最小值是（ ）A ．0B ．4C ．83D ．729．已知函数若c b a 、、互不相等，且()()()f a f b f c ==，则c b a ++的取值范围是（ ）A ．（1，2014）B ．（1，2015）C ．（2，2015）D ．[2，2015] 10．已知函数()()0,0103223>>+-=n m nx mx x f ，有且仅有两个不同的零点，则2211g m g n +的最小值为（ ）A ．17 B ．19 C ．111 D ．131二、填空题（本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分）11. 设m R ∈,222(1)i m m m +-+-是纯虚数,其中i 是虚数单位,则________m =. 12．已知)1,3(-=a，则与a 方向相同的单位向量的坐标为 _． 13．已知正数,a b 满足abb a 2)9(4log log =+，则b a 4+的最小值为 ．考生注意：14、15、16为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．14．如图，PQ 为半圆O 的直径，A 为以OQ 为直径的半圆A 的圆心，圆O 的弦PN 切圆A 于点M ，PN=8，则圆A 的半径为 ． 15．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴， 建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的 参数方程是⎩⎨⎧-=+=11t y t x (t 为参数)，圆C 的极坐标方程是θρcos 4=，则直线l 被圆C 截得的弦长为_ _． 16．若不等式aa x x 431+≥-++对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （本题满分13分）先将函数()x x f 2sin =的图象上所有的点都向右平移12π个单位，再把所有的点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()x g y =的图象. （1）求函数()x g 的解析式和单调递减区间； （2）若A 为锐角三角形的内角，且()31=A g ，求⎪⎭⎫⎝⎛2A f 的值． 18．（本题满分13分）大学毕业的小张到甲、乙、丙三个不同的单位应聘，各单位是否录用 他相互独立，其被录用的概率分别为54、43、32（允许小张被多个单位同时录用） （1）小张没有被录用的概率；（2）设录用小张的单位个数为ξ，求ξ的分布列和它的数学期望．19. （本题满分13分）在△ABC 中,角A ,B ,C 对应的边分别是a ,b ,c . 已知cos 23cos()1A B C -+=. (Ⅰ)求角A 的大小;(Ⅱ)若△ABC 的面积S =,5b =,求sin sin B C 的值.20．（本题满分12分）已知函数()x a x x f ln 22+=．（Ⅰ）求函数()x f 的单调区间； （Ⅱ）若函数)(2)(x f xx g +=在[]2,1上是减函数，求实数a 的取值范围．21．（本题满分12分）已知数列{}n a 满足1113,*,13n n n a a a n N a +≤≤∈=. （1）若12100,,,a a a 成等差数列，求数列12100,,,a a a 的公差的取值范围；（2）若{}n a 是等比数列，且11000m a =，求正整数m 的最小值，以及m 取最小值时相应{}n a 的公比.22．（本题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意的正整数n ，都有51n n a S =+成立，记*4()1nn na b n N a +=∈-（1）求数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式；（2）记*221()n n n c b b n N -=-∈，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：对任意正整数n 都有32n T <.()g x ∴它的单调递减区间为).](235,232[Z k k k ∈++ππππ（2）由（1）知，31)6sin()(=-=πA A g ，A 是锐角 260ππ<-<∴A ，.322)6cos(=-∴πA被三个单位录取的概率为：,52)(=ABC P 所以分布列为： 所以：6053302201600=⋅+⋅+⋅+⋅=ξE 19.(Ⅰ)由cos 23cos()1A B C -+=,得22cos 3cos 20A A +-=,即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=,解得1cos 2A = 或cos 2A =-(舍去). 因为0πA <<,所以π3A =.(Ⅱ)由11sin 22S bc A bc ====得20bc =. 又5b =,知4c =.由余弦定理得2222cos 25162021,a b c bc A =+-=+-=故a =. 又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin 2147b c bc B C A A A a a a =⋅==⨯=（Ⅱ）由g(x)＝2x ＋x 2＋2aln x ，得g′(x)＝－22x ＋2x ＋2a x， 由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数，则g′(x)≤0在[1,2]上恒成立，即－22x ＋2x ＋2a x ≤0在[1,2]上恒成立．即a≤1x－x 2在[1,2]上恒成立． 令h(x)＝1x －x 2，在[1,2]上h′(x)＝－21x －2x ＝－(21x＋2x)＜0，所以h(x)在[1,2]上为减函数，h(x)min ＝h(2)＝－72，所以a≤－72．故实数a 的取值范围为{a|a≤－72}.21．解：（1）由题得，∵1133n n n a a a +≤≤，且数列数列12100,,a a a 成等差数列，11a =，∴1[1(1)]13[1(1)]3n d nd n d +-≤+≤+-，∴(21)2(23)2d n d n +≥-⎧⎨-≥-⎩，∴2[,2]199d ∈-（2）由题得，∵1133n n n a a a +≤≤，且数列{}n a 是等比数列，11a =，∴11133n n n q q q --≤≤，∴111()03(3)0n n q q q q --⎧-≥⎪⎨⎪-≤⎩，∴1[,3]3q ∈. 又由已知111000m m a q -==，∴13111log 1log 10001000q m =+≥+，又∵m N *∈，∴8m ≥∴数列{}n a 是首项为114=-a ，公比为14=-q 的等比数列， 4分 ∴1()4=-n n a ，*14()4()11()4+-=∈--n n n b n N 6分 （2）由54(4)1n n b =+--得 7分145145122122++-=-=--n n n n n b b c)416)(116(1625+-⨯=n n n4163)16(16252-⨯+⨯=n n n nn n 1625)16(16252=⨯< 10分 又1221343,,33b bc ==∴= 当1=n 时，341=c ，132T <， 11分 当2n ≥时，234869161516125341611])161(1[1612534)161161161(253422232<=⨯+<--⨯+=+++⨯+<-n n n T ∴对任意正整数n 都有32n T <。
2019-2020年高三第二次月考数学理试题 含答案
2019-2020年高三第二次月考数学理试题含答案一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）2答案：D是（）=sin3x的图象，则只要将f（x）的图象（）10．（5分）已知函数f（x）在R上满足f（x）=2f（2﹣x）﹣x+8x﹣8，则曲线y=f（x）11．（5分）函数f（x）=（m2﹣m﹣1）是幂函数，且在区间（0，+∞）上为减函数，则实数m的值为2．12．（5分）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+m，则f（﹣1）=﹣3．13．（5分）计算：=．14．（5分）已知α为第二象限角，，则cos2α=．15．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c（a，b，c∈R），若函数f（x）在区间[﹣1，0]上2216．（13分）命题p：函数y=c x（c＞0，c≠1）是R上的单调减函数，命题q：1﹣2c＜0．若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求常数c的取值范围．（2）已知若，求sinx的值．sinx=18．（13分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R且a≠0），f′（x）是它的导函数，且对任意的x∈R，f′（x）=f（x+1）+x2恒成立．（1）求f（x）的解析表达式；（2）设t＞0，曲线C：y=f（x）在点P（t，f（t））处的切线为l，l与坐标轴围成的三角形面积为S（t），求S（t）的最小值．19．（12分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的值域．）∵（1）求函数f（x）的定义域；21．（12分）已知函数f（x）=x+，h（x）=．（Ⅰ）设函数F（x）=18f（x）﹣x2[h（x）]2，求F（x）的单调区间与极值；（Ⅱ）设a∈R，解关于x的方程lg[f（x﹣1）﹣]=2lgh（a﹣x）﹣2lgh（4﹣x）；n。
2020年深圳市宝安中学高考数学模拟试卷(理科)(2月份)(含答案解析)
2020年深圳市宝安中学高考数学模拟试卷(理科)(2月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若a ∈R ，复数z =(a 2−2a)+(a 2−a −2)i 是纯虚数，则( )A. a ≠2且a ≠−1B. a =0C. a =2D. a =0或a =22. 设z =i+1i−1，f(x)=x 2−x +1，则f(z)=( )A. iB. −iC. −1+iD. −1−i3. 设向量a ⃗ =(2tanα,tanβ)，向量b ⃗ =(4,−3)，且a ⃗ +b ⃗ =0⃗ ，则tan(α+β)等于( ) A. 17B. −15C. 15D. −174. (cos15°−cos75°)(sin75°+sin15°)=( )A. 12B. √22 C. √32D. 15. 已知f(x)=xlnx −ax ，g(x)=x 3−x +6，若对任意的x ∈(0,+∞)，2f(x)≤g′(x)+2恒成立，则实数a 的取值范围为( )A. [−2,−13]B. [−2,+∞)C. (−∞,−13]D. (−∞,−2]6. 若实数x ，y 满足{x −2y +2≥0,3x −2y −3≤0,x +y −1≥0,则x 2+y 2的最小值为( )A. 0B. 12C. √22D. 17. 已知x +y −3=0，则√(x −2)2+(y +1)2的最小值为 ( )A. √2B. 2C. √3D. 18. 过双曲线x 2−y 23=1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则AB =( )A. 4√33B. 2√3C. 6D. 4√39. 已知函数f(x)=sin (ωx +φ)在区间[0,4π3]上单调，且f(π3)=0,f(4π3)=1，则f(0)的值为( ) A. −1B. −12C. −√32D. 010. 若数列{a n }满足1an+1=2a n +1a n ，a 1=1，则a 6=( )A. 111B. 113C. 10D. 1111. 已知函数f (x )=x 2−cosx ，x ∈[−π2,π2]，则( )A. f (32)>f (0)>f (−1) B. f (−1)>f (0)>f (32) C. f (32)>f (−1)>f (0)D. f (−1)>f (32)>f (0)12. 已知A(3,2)，若点P 是抛物线y 2=8x 上任意一点，点Q 是圆(x −2)2+y 2=1上任意一点，则|PA|+|PQ|的最小值为( )A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在(x −2)5(√2+y)4的展开式中，x 3y 2的系数为_______． 14. 已知数列{a n }中，a 1=2，a n+1=(n+1)a n n+2a n(n ∈N ∗)，则∑ka kn k=1=______．15. 已知α为锐角，向量a ⃗ =(cosα,sinα)、b⃗ =(1,−1)满足a ⃗ ⋅b ⃗ =2√23，则_________．16. 已知直线kx −y +1−k =0恒过定点A ，若点A 在直线mx +ny −2=0(m 、n >0)上，则1m +1n的最小值_____．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tanC =2√6．(1)求cos C ；(2)若ab =20，且a +b =1，求△ABC 的周长．18.如图，在四棱锥E—ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，AE=DE=2，F为线段DE中点．(1)求证：平面ADE⊥平面ABCD；(2)求平面ACF与平面ACD所成锐角大小的余弦值．19.已知圆E：(x+√2)2+y2=12，点F(√2,0)，点P为圆E上的动点，线段PF的垂直平分线交半径PE于点M.直线l：y=kx+m交M的轨迹于不同的两点A，B，原点O到直线l的距离为√3．2 (Ⅰ)求动点M的轨迹方程；(Ⅱ)求△OAB面积的最大值．20.9月22日秋分，在第三个“中国农民丰收节”到来之际，全国处处五谷丰登、瓜果飘香，广大农民共庆丰年、分享喜悦。
2019-2020 学年高三下期第二次学月考试理数答案
故全年级视力在 5.0 以下的人数约为1000 82 = 820 人
100
（2） k 2
100 (4118 − 32 9)2 =
=
300
4.110 3.841
50 50 73 27
73
因此在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下，可以认为视力与学习成绩有关系．
（3）可知 9 人中年级名次在1 ~ 50 的有 3 人， 951 ~ 1000 的有 6 人， X可取0,1,2,3 。
cos n1 ,n2
= n1 n2 n1 n2
=
1= 5 1
5 5
，可分析二面角 C
−
BB1
−
A
的平面角
为锐角，∴ cos
=
5 5.
19.解析:（1）由图可知，第一组有 3 人，第二组 7 人，第三组 27 人，因为后四组的频数成等差数列，所
以后四组频数依次为 27,24,21,18 ，所以视力在 5.0 以下的频率为1- 0.18 = 0.82 ，
2019-2020 学年高三下期第二次学月考试
理科数学答案与解析
一、选择题： CCAD；CDBB；CDBA
4．解析：原问题等价于等差数列中，已知 a1 = 4 ， a5 = 2 ，求 a2 + a3 + a4 的值．由等差数列的性质可知：
a2
+ a4
=
a1
+ a5
=
6 ， a3
=
a1
+ a5 2
=3
，则 a2
+ a3
+ a4
=9
，即中间三尺共重
9
斤．故选
D．
5．解析: 因为 c 1 a 1 b ，故选 C. 2
【附15套精选模拟试卷】广东省深圳市2020届高三第二次调研考试数学(理)试题含解析
广东省深圳市2020届高三第二次调研考试数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．将5名教师分配到甲、乙、丙三所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其它两所学校至少分配一名教师，则不同的分配方案共有几种（ ） A ．60B ．80C ．150D ．3602．一个多面体的三视图如图所示，设在其直观图中，是的中点，则三棱锥的高为（ ）A ．B ．C ．D ．3．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A ．n αβ=I ，m α⊂，//m β//m n ⇒ B ．αβ⊥，m αβ=I ，m n ⊥n β⇒⊥ C ．m n ⊥，m α⊂，n β⊂αβ⇒⊥ D ．//m α，n ⊂α，//m n ⇒4．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且0)2(=f ,当0>x 时，有2()()xf x f x x'-<恒成立，则不等式2()0x f x >的解集是（ ） A ．(2,0)-∪(2,)+∞ B ．(,2)-∞-∪(0,2) C ．(,2)-∞-∪(2,)+∞ D ．(2,0)-∪(0,2)5．若对圆()()22111x y -+-=上任意一点(),P x y ， 34349x y a x y -++--的取值与,x y 无关，则实数a 的取值范围是（ ） A ．4a ≤- B ．46a -≤≤C ．4a ≤-或6a ≥D ．6a ≥6．已知圆22:8150C x y x +-+=，直线2y kx =+上至少存在一点P ，使得以点P 为原心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是（）A．43-B．54-C．35-D．53-7．某快递公司的四个快递点,,,A B C D呈环形分布（如图所示），每个快递点均已配备快递车辆10辆．因业务发展需要，需将,,,A B C D四个快递点的快递车辆分别调整为5,7,14,14辆，要求调整只能在相邻的两个快递点间进行，且每次只能调整1辆快递车辆，则A．最少需要8次调整，相应的可行方案有1种B．最少需要8次调整，相应的可行方案有2种C．最少需要9次调整，相应的可行方案有1种D．最少需要9次调整，相应的可行方案有2种8．已知复数23(13)izi+=-，z是z的共轭复数，则•z z=A．14B．12C．1 D．29．已知数列n a｛｝是等差数列，12a=，其中公差0d≠.若5a是3a和8a的等比中项，则18S=( ) A．398 B．388 C．189 D．19910．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．836πB．16833πC．3236π+D2s gLπ11．假设有两个分类变量X和Y的22⨯列联表如下：注：2K 的观测值2()()()()()()()n ad bc a b a ck n a b c d a c b d a c b d a b c d-==--++++++++.对于同一样本，以下数据能说明X 和Y 有关系的可能性最大的一组是（ ） A ．45,15a c ==B ．40,20a c ==C ．35,25a c ==D ．30,30a c ==12．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个正数()1212,,x x x x <，都有()()1212f x f x x x >，记()2250.2a f =，()1b f =，513log 3log 5c f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则,,a b c 大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．a c b >>二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省深圳市宝安中学(集团)2019-2020学年高三下学期2月份月考物理试题.docx
广东省深圳市宝安中学(集团)2019-2020学年高三下学期2月份月考物理试题一、单项选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。
1、如图所示，质量为1kg 的物块放在颅角为37。
的固定斜而上，用大小为5N 的水平推力作用在物块上， 结果物块刚好不下滑。
已知重力加速度g 取10m/s 2, sin37°=0.6, cos37°=0.8,知能使物块静止在斜面上 的最大水平推力为【答案】C【解析】【详解】由题意知，刚好不下滑时，则有：Fcos37°+n (mgcos37°+Fsin37°) = mgsin37°得：2〃=— 11刚好不上滑时，则有：F'cos37°=p (mgcos 37°+F'sin37°) + mgsin37°得:F'= IO.8N0ABD.由上计算可得F'= 10.8N , ABD 错误；C.由上计算可得F'= 10.8N , C 正确。
2、一列简谐横波沿x 轴正方向传播，O 为波源且t=0时刻开始沿y 轴负方向起振。
如图所示为t=0.2s 时 x=0至x=4m 范围内的波形图，虚线右侧的波形未画出。
已知图示时刻x=2m 处的质点第一次到达波峰， 则下列判断中正确的是( )|y/cmA.这列波的周期为0.4sB ・t=0.7s 末，x=10m 处质点的位置坐标为(10m, -10cm)C. t=0.7s 末，x=12m 处的质点正经过平衡位置向上运动D ・t=0.3s 末，x=24m 处的质点加速度最大且沿y 轴正方向【答案】BB. 9.4NC. 10.8ND. 11.6N2【解析】【详解】A.由题，波源r=o时刻开始沿y轴负方向起振，则介质中各个质点均沿y轴负方向起振，图示时刻3x = 2m处的质点第一次到达波峰，已经振动了一T,说明/ = 0.2s时波传到x = 8m质点处，则周期为4T = 0.2s, A 错误；B.由图知波长/l = 8m,波速为：人/ sr\ /v = — = — m/s = 4(Jm/s T 0.2波传到% = 10m处的时间为：X 10 c CU t = — =—s = 0.25s v 40则/ = 0.7s末，x = 10m处的质点已振动了0.45s = 2：T,此质点起振方向沿V轴负方向，则f = 0.7s末，4X = 10m处质点到达波谷，坐标为(10m,-10cm), B正确；C.波传到x = 12m处的时间为：? = —=—s = 0.3s v 40则Z = 0.7s末，x = 12m处的质点已振动了0.4s = 2T,此质点起振方向向下，则/ = 0.7s末，x = 12m处的质点正经过平衡位置向下运动，C错误；D.波传到x = 24m处的时间为: 1*0.6sv 40则Z = 0.3s末，x = 24m处质点还没有振动，加速度为零，D错误。
广东省深圳市宝安中学(集团)2020届高三年级2月份月考理科数学试题
深圳市宝安中学（集团）2月份月考数学试题一、单选题（每题5分）1.已知复数()()212z a a i =-+-（a R ∈），则“1a =”是“z 为纯虚数”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件2.设3443iz i-=+，()21f x x x =-+，则()f z =（） A.iB.i -C.1i -+D.1i +3.设向量()cos ,1a α=-r ，()2,sin b α=r ，若a b ⊥r r ，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.13-B.13C.1-D.3-4.黄金三角形有两种，其中底和腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为36︒的等腰三角形（另一种是顶角为108︒的等腰三角形）例如，正五角星由五个黄金三角形和一个正五边形组成，如图所示，在一个黄金三角形ABC 中，BC AC =，根据这些信息，可得sin 234︒=（）A.14- B.38+-C.14+-D.48+-5.设函数()21f x x =-，对任意3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，()()()2414x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+ ⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.11,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B.,,22⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭C.,,22⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭D.(][),11,-∞-⋃+∞6.已知实数x ，y 满足124242,240,330,x y x y x y x y --⎧+≥+⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若()11y k x ≥+-恒成立，那么k 的取值范围是（）A.1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.4,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C.[)3,+∞D.1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦7.已知0x <<0y <<M =，则M的最小值为（）A.B. C.2D.8.已知双曲线C ：3213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若OMN 为直角三角形，则MN=（）A.32B.3C. D.49.已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>）在区间72,123ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且14f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，304f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则ω的最大值为（） A.7B.9C.11D.1310.已知数列{}n a 满足：11a =，12n n n a a a +=+（n *∈N ）.若()1121n n b n a λ+⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭（*n ∈N ），1b λ=-，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（） A.23λ>B.32λ>C.32λ<D.23λ<11.已知偶函数()f x 的定义域为,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，其导函数为()f x '，当02x π<<时，有()()cos sin 0f x x f x x '+<成立，则关于x 的不等式()cos 4f x x π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭的解为（）A.,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭B.,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C.,00,44ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.,0,442πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12.如图，点F 是抛物线28y x =的焦点，点A 、B 分别在抛物线28y x =及圆()22216x y -+=的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则FAB ∆的周长的取值范围是（）A.()8,12B.()6,10C.[]6,8D.[]8,13二、填空题（每题5分）13.在()522x x y ++的展开式中，52x y 的系数为______.14.设数列{}n a 23n n =+L ，则12231n a a a n +++=+L ______.15.在同一个平面内，向量OA u u u r ，OB uuu r ，OC u u u r 的模分别为1，1，OA u u u r 与OC u u u r的夹角为α，且tan 7α=，OB uuu r 与OC u u u r 的夹角为45︒，若OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r（m ，n R ∈），则m n +=______.16.在内切圆圆心为M 的ABC ∆中，3AB =，4BC =，5AC =，在平面ABC 内，过点M 作动直线l ，现将ABC ∆沿动直线l 翻折，使翻折后的点C 在平面ABM 上的射影E 落在直线AB 上，点C 在直线l 上的射影为F ，则EF CF的最小值为______.三、解答题：共70分.17.（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()22222cos a c a b cabc C --+=.（1）求角B 的大小；（2）sin 1cos 02A C ++=⎭，求ba 的值. 18.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，且1AD PD ==，平面PCD ⊥平面ABCD ，120PDC ∠=︒，点E 为线段PC 的中点，点F 是线段AB 上的一个动点.（1）求证：平面DEF⊥平面PBC ；（2）设二面角C DE F --的平面角为θ，试判断在线段AB 上是否存在这样的点F ，使tan θ=存在，求出AF FB的值；若不存在，说明理由.19.（12分）已知两动圆1F ：(222x y r +=和2F ：(()2224x y r +=-（04r <<），把它们的公共点的轨迹记为曲线C ，若曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，且曲线C 上两点A ，B 满足：0MA MB ⋅=u u u r u u u r. （1）求曲线C 的轨迹方程：（2）证明直线AB 恒经过一定点，并求此定点的坐标； （3）求ABM 面积S 的最大值.20.（12分）近年来，国资委.党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示：并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示：（1）求出相关系数r 的大小，并判断管理时间J 与土地使用面积x 是否线性相关？（2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为x ，求x 的分布列及数学期望.参考公式：()()1nix x y y r --=∑，()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.临界值表：25.2≈21.（12分）已知函数()2f x x ax b =++，()()x g x e cx d =+.若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点()0,2P ，且在点P处有相同的切线42y x =+.（1）求a ，b ，c ，d 的值；（2）若2x ≥-时，()()f x kg x ≤，求k 的取值范围.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答. 22.（本小题满分10分）已知直线l 经过点1,12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，倾斜角6πα=，在极坐标系下，圆C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭. （1）写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； （2）设l 与圆C 相交于A ，B 两点，求点P 到A ，B 两点的距离之积. 23.（本小题满分10分）已知()11f x x ax =+--. （1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集； （2）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值。
广东省深圳市宝安高级中学高三数学理下学期期末试题含解析
广东省深圳市宝安高级中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合，集合，则（）A. B. C.D.参考答案：B略2. 设，，则（）．A. B.C. D.参考答案：A【分析】结合指数和对数函数的单调性分别与0和1比较，易得，，，所以.【详解】解：因为所以故选A【点睛】本题考查了指数和对数函数性质的运用，在指数和对数比较大小过程中一般先比较与0,1的大小关系.3. 已知a，b均为单位向量，它们的夹角为，那么等于A． B．4 C ．3 D．7参考答案：B4. 在数列中，已知，，（），则（）A. 1B. 5C. 4D.参考答案：C5. 三个数，，的大小顺序是A．B．C． D．参考答案：D6. 设函数与的图像的交点为，则所在的区间是（）A. B. C. D.参考答案：B试题分析：函数与的图像的交点的横坐标就是函数的零点，，，，由函数零点存在定理，得函数的零点在，，故答案为B.考点：方程的根和函数零点的关系.7. 设F1，F2分别为双曲线C：的两个焦点，M，N是双曲线C的一条渐近线上的两点，四边形MF1NF2为矩形，A为双曲线的一个顶点，若△AMN的面积为，则该双曲线的离心率为（）A．3 B．2 C．D．参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【分析】设M（x， x），由题意，|MO|=c，则x=a，∴M（a，b），利用△AMN的面积为，建立方程，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：设M（x， x），由题意，|MO|=c，则x=a，∴M（a，b），∵△AMN的面积为，∴，∴4a2（c2﹣a2）=c4，∴e4﹣4e2+4=0，∴e=．故选D．8. 1．设集合，集合，则（）（A）（B）（C）（D）参考答案：A9. 已知复数纯虚数，则．．．．参考答案：设，10. 设等边△ABC边长为6，若，，则等于( )A．﹣6B．6C．﹣18 D．18参考答案：C考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据题意得出=（），=，运用数量积求解即可．解答：解：∵等边△ABC边长为6，若，，∴=（），=，∴=（22）=（﹣36×6×）=﹣18，故答案为：C点评：本题考查了平面向量的运算，数量积的求解，属于中档题，关键是分解向量．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下面及母线均相切。
2020年广东深圳宝安区深圳市宝安中学高中部高三下学期高考模拟理科数学试卷(6月)-学生用卷
2020年广东深圳宝安区深圳市宝安中学高中部高三下学期高考模拟理科数学试卷（6月）-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年广东深圳宝安区深圳市宝安中学高中部高三下学期高考模拟理科（6月）第1题5分已知a是实数，z=a−i1+i是纯虚数，则z的虚部为（）．A. 1B. −1C. iD. −i2、【来源】 2020年广东深圳宝安区深圳市宝安中学高中部高三下学期高考模拟理科（6月）第2题5分2019~2020学年4月重庆渝中区重庆市巴蜀中学高三下学期月考理科第1题5分2020~2021学年浙江杭州滨江区浙江省杭州第二中学高三上学期期中第1题4分已知集合A={x|x2+x−2<0}，集合B={x|1x<1}，则A∩B=（）．A. ∅B. {x|x<1}C. {x|0<x<1}D. {x|−2<x<0}3、【来源】 2020年广东深圳宝安区深圳市宝安中学高中部高三下学期高考模拟理科（6月）第3题5分2019~2020学年4月重庆渝中区重庆市巴蜀中学高三下学期月考理科第7题5分“lnx>lny”是“(13)x<(12)y”的（）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4、【来源】 2020年广东深圳宝安区深圳市宝安中学高中部高三下学期高考模拟理科（6月）第4题5分斐波拉契数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，⋯，在数学上，斐波拉契数列{a n}定义如下：a1=a2=1，a n=a n−1+a n−2(n⩾3,n∈N)．随着n的增大，a na n+1越来越逼近黄金分割√5−12≈0.618，故此数列也称黄金分割数列，而以a n+1、a n为长和宽的长方形称为“最美长方形”，已知某“最美长方形”的面积约为200平方厘米，则该长方形的长大约是（）．A. 20厘米B. 19厘米C. 18厘米D. 17厘米5、【来源】 2020年广东深圳宝安区深圳市宝安中学高中部高三下学期高考模拟理科（6月）第5题5分设S n是等差数列{a n}的前n项和，若S2S4=13，则S3S6等于（）．A. 316B. 13C. 516D. 7166、【来源】 2020年广东深圳宝安区深圳市宝安中学高中部高三下学期高考模拟理科（6月）第6题5分已知函数f(x)=2ln(1+x)−ax的导数为f′(x)，且f′(1)=0，则函数g(x)=f′(e x)cosx图象的大致形状是（）．A.B.C.D.7、【来源】 2020年广东深圳宝安区深圳市宝安中学高中部高三下学期高考模拟理科（6月）第7题5分2020年天津高三一模十二重点中学毕业班联考（一）第6题5分若双曲线C：x 2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的一条渐近线被圆(x−2)2+y2=4所截得的弦长为2√3，则双曲线C的离心率为（）．A. 2B. √5C. √3D. 2√338、【来源】 2020年广东深圳宝安区深圳市宝安中学高中部高三下学期高考模拟理科（6月）第8题5分为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由9位同学组成四个宣传小组，其中可回收物宣传小组有3位同学，其余三个宣传小组各有2位同学．现从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为（）．A. 27B. 37C. 821D. 10219、【来源】 2020年广东深圳宝安区深圳市宝安中学高中部高三下学期高考模拟理科（6月）第9题5分某几何体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的外接球的表面积为（）．A. 16πB. 12πC. 9πD. 8π10、【来源】 2020年广东深圳宝安区深圳市宝安中学高中部高三下学期高考模拟理科（6月）第10题5分已知函数f(x)=|sin x|(x⩾0)，方程f(x)=kx恰有三个根，记最大的根为θ，则(1+θ2)sin2θθ=（）．A. −2B. 12C. 1D. 211、【来源】 2020年广东深圳宝安区深圳市宝安中学高中部高三下学期高考模拟理科（6月）第11题5分设函数f(x)=sin(ωx−π6)(ω>0)，已知f(x)在[0,2π]有且仅有6个零点，下述四个结论：①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点；②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点；③f (x )在(0,π9)单调递增； ④ω的取值范围是[316,376)． 其中所有正确结论的编号是（ ）． A. ①③B. ②③C. ①②③D. ①③④12、【来源】 2020年广东深圳宝安区深圳市宝安中学高中部高三下学期高考模拟理科（6月）第12题5分2017~2018学年10月山东青岛黄岛区青岛西海岸新区胶南第一高级中学高三上学期月考理科第9题5分若对于任意的0<x 1<x 2<a ，都有x 2lnx 1−x 1lnx 2x 1−x 2>1，则a 的最大值为（ ）． A. 2eB. eC. 1D. 12二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年广东深圳宝安区深圳市宝安中学高中部高三下学期高考模拟理科（6月）第13题5分实数x ，y 满足不等式组{x +y ⩾2y ⩾x +1y ⩽3，则x 2+y 2的最大值是 ．14、【来源】 2020年广东深圳宝安区深圳市宝安中学高中部高三下学期高考模拟理科（6月）第14题5分 若(3√x −1x)n的展开式中各项系数之和为64，则展开式中的常数项是 ．15、【来源】 2020年广东深圳宝安区深圳市宝安中学高中部高三下学期高考模拟理科（6月）第15题5分2019年底，武汉发生“新型冠状病毒”肺炎疫情，若在排查期间，某小区有5人被确认为“确诊患者的密切接触者”，现医护人员要对这5人随机进行逐一“核糖核酸”检测，只要出现一例阳性，则将该小区确定为“感染高危小区”．假设每人被确诊的概率均为p(0<p <1)且相互独立，若当p=p0时，至少检测了4人该小区被确定为“感染高危小区”的概率取得最大值，则p0=．16、【来源】 2020年广东深圳宝安区深圳市宝安中学高中部高三下学期高考模拟理科（6月）第16题5分四面体P−ABC中，PA=√2，PB=PC=AB=AC=2，BC=2√2，动点Q在△ABC的内部（含边界），设∠PAQ=α，二面角P−BC−A的平面角的大小为β，△APQ和△BCQ的面积分别为S1和S2，且满足S1S2=√3sinα4sinβ，则S2的最大值为．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年广东深圳宝安区深圳市宝安中学高中部高三下学期高考模拟理科（6月）第17题12分已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，2ccosA=2b−a．(1) 求角C．(2) 如图，若点D在边AC上，AD=DB，DE⊥AB，E为垂足，且DE=√2，求BD的长．18、【来源】 2020年广东深圳宝安区深圳市宝安中学高中部高三下学期高考模拟理科（6月）第18题12分如图，在矩形ABCD中，将△ACD沿对角线AC折起，使点D到达点P的位置，且平面ABP⊥平面ABC．(1) 求证：AP ⊥PB ．(2) 若直线PC 与平面ABP 所成角的正弦值为34，求二面角P −AC −B 的余弦值．19、【来源】 2020年广东深圳宝安区深圳市宝安中学高中部高三下学期高考模拟理科（6月）第19题12分已知两动圆F 1:(x +√3)2+y 2=r 2和F 2:(x −√3)2+y 2=(4−r 2)(0<r <4)，把它们的公共点P 的轨迹记为曲线C ，若曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，且曲线C 上相异的两点A ，B 满足：MA →⋅MB →=0．(1) 求曲线C 的方程．(2) 证明：直线AB 恒过一定点，并求此定点的坐标，若不过定点说明理由． (3) 求△ABM 面积S 的最大值．20、【来源】 2020年广东深圳宝安区深圳市宝安中学高中部高三下学期高考模拟理科（6月）第20题12分2019~2020学年湖北高三上学期期中理科（鄂东南教改联盟）第20题12分世界军人运动会，简称“军运会”，是国际军事体育理事会主办的全球军人最高规格的大型综合性运动会，每四年举办一届，会期7至10天，比赛设27个大项，参赛规模约100多个国家8000余人，规模仅次于奥运会，是和平时期各国军队展示实力形象、增进友好交流、扩大国际影响的重要平台，被誉为“军人奥运会”．根据各方达成的共识，军运会于2019年10月18日至27日在武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项、329个小项．其中，空军五项、军事五项、海军五项、定向越野和跳伞5个项目为军事特色项目，其他项目为奥运项目．现对某国在射击比赛预赛中的得分数据进行分析，得到如下的频率分布直方图．(1) 估计某国射击比赛预赛成绩得分的平均值x（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）．(2) 根据大量的射击成绩测试数据，可以认为射击成绩X近似地服从正态分布N(μ,σ2)，经计算第（1）问中样本标准差s的近似值为50，用样本平均数x作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，求射击成绩得分X恰在350到400的概率；[参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−σ<ξ⩽μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ<ξ⩽μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ<ξ⩽μ+3σ)≈0.9973]．(3) 某汽车销售公司在军运会期间推广一款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券．已知骰子出现任意点数的概率都是16，方格图上标有第0格，第1格，第2格，⋯⋯，第50格．遥控车开始在第0格，客户每抛掷一次骰子，遥控车向前移动一次，若抛掷出正面向上的点数是1，2，3，4，5点，遥控车向前移动一格（从k到k+1），若抛掷出正面向上的点数是6点，遥控车向前移动两格（从k到k+2），直到遥控车移动到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束．设遥控车移动到第n格的概率为P n，试证明{P n−P n−1}(1⩽n⩽49)是等比数列，并求P50，以及根据P50的值解释这种游戏方案对意向客户是否具有吸引力．21、【来源】 2020年广东深圳宝安区深圳市宝安中学高中部高三下学期高考模拟理科（6月）第21题12分2019~2020学年3月山西太原小店区山西大学附属中学高三下学期月考文科第21题12分2019~2020学年3月福建厦门思明区福建省厦门双十中学高三下学期月考B卷文科第21题12分2019~2020学年3月山西太原小店区山西大学附属中学高三下学期月考理科第21题12分2019~2020学年3月重庆渝中区重庆市巴蜀中学高三下学期月考文科第21题12分已知函数f(x)=lnx+12x2+ax(a∈R)，g(x)=e x+32x2−x．(1) 讨论f(x)的单调性．(2) 定义：对于函数f(x)，若存在x 0，使f(x 0)=x 0成立，则称x 0为函数f(x)的不动点．如果函数F(x)=f(x)−g(x)存在不动点，求实数a 的取值范围．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年广东深圳宝安区深圳市宝安中学高中部高三下学期高考模拟理科（6月）第22题10分在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =m +t,y =√3t,（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2=41+sin 2θ． (1) 求l 的普通方程和C 的直角坐标方程．(2) 直线l 上的点P (m,0)为曲线C 内的点，且直线l 与曲线C 交于A ，B ，且|PA |⋅|PB |=2，求m 的值．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年广东深圳宝安区深圳市宝安中学高中部高三下学期高考模拟理科（6月）第23题10分若对于实数x ，y 有|1−2x |⩽4，|3y +1|⩽3． (1) 求|x +y −16|的最大值M ．(2) 在（1）的条件下，若正实数a ，b 满足1a +2b=M ，证明(a +1)(b +2)⩾509．1 、【答案】 B;2 、【答案】 D;3 、【答案】 A;4 、【答案】 C;5 、【答案】 C;6 、【答案】 A;7 、【答案】 D;8 、【答案】 D;9 、【答案】 C;10 、【答案】 D;11 、【答案】 A;12 、【答案】 C;13 、【答案】13;14 、【答案】1215;;15 、【答案】5−√15516 、【答案】4−2√2;17 、【答案】 (1) π．3;(2) 4√5．5;18 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 9．16;+y2=1．19 、【答案】 (1) x24;)，证明见解析．(2) 过，定点为N(0,−35;(3) 64．25;20 、【答案】 (1) 300．;(2) 0.1359．;(3) 证明见解析；P50=17+17⋅(16)49；有吸引力．;21 、【答案】 (1) 当a<−2时，f(x)在(0,−a−√a2−42)上为增函数，(−a−√a2−42,−a+√a2−42)上为减函数，(−a+√a2−42,+∞)上为增函数；当a⩾−2时，f(x)在(0,+∞)上为增函数．;(2) [e+1,+∞)．;22 、【答案】 (1) l的普通方程为√3x−y−√3m=0，C的直角坐标方程为x24+y22=1．;(2) ±√22．;23 、【答案】 (1) 3．;(2) 证明见解析．;第11页，共11页。
2019-2020学年广东深圳高三下数学月考试卷带答案
2019-2020学年广东深圳高三下数学月考试卷一、选择题1. 已知集合A ，B 均为全集U ={1,2,3,4,5,6,7}的子集，集合A ={1,2,3,4}，则满足A ∩∁U B ={1,2}的集合B 可以是( ) A.{1,2,3,4}B.{1,2,7}C.{3,4,5,6}D.{1,2,3}【答案】 C【考点】交、并、补集的混合运算 子集与真子集【解析】 此题暂无解析 【解答】解：因为A ∩∁U B ={1,2}， 所以集合B 中不含有元素1,2. 故选C .2. 复数z =4+3i 3−4i（i 为虚数单位）的虚部为( )A.−1B.2C.5D.1【答案】 D【考点】复数代数形式的乘除运算 复数的基本概念【解析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出． 【解答】 解：复数z =4+3i 3−4i=(4+3i )(3+4i )3−4i 3+4i =i 的虚部是1．故选D .3. 若x ，y 满足约束条件{|x −y|≤1，|x|≤2，则z =2x +y 的最大值为( )A.−7B.3C.5D.7【答案】 D【考点】求线性目标函数的最值 【解析】 此题暂无解析解：由题意作出可行域，如图，当直线经过点A 时，y =z −2x 的截距最大，即z =2x +y 取得最大值. 联立方程{x −y =−1,x =2,解得{x =2,y =3,即点A 的坐标为(2,3)，故z max =2×2+3=7.故选D .4. 如图，△OAB 是边长为2的正三角形，记△OAB 位于直线x =t(0<t ≤2)左侧的图形的面积为f (t )，则y =f (t )的大致图象为( )A. B.C. D.【答案】 B【考点】函数的图象变换 导数的几何意义【解析】（1）根据题目所给信息以及导数的几何意义进行解题即可.解：当直线x=t从原点运动到B点时，左侧的图形的面积增幅越来越大，当从B点运动到A点时，左侧的图形的面积增幅越来越慢，由导数的几何意义可知，y=f(t)的图象从左到右切线斜率先变大后边小，且恒为正值，即函数图象先越来越陡峭，再越来越平缓，只有选项B满足.故选B.5. 将函数f(x)=cos(2x−1)的图象向左平移1个单位长度，所得函数在[0,12]的零点个数是()A.0个B.1个C.2个D.3个或以上【答案】B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换函数的零点【解析】此题暂无解析【解答】解：将函数f(x)=cos(2x−1)的图象向左平移1个单位长度，得到g(x)=cos[2(x+1)−1]=cos(2x+1)的图象，∵x∈[0,12]，∴2x+1∈[1,2]，由y=cos x的图象可得，g(x)在[0,12]的零点个数为1个.故选B.6. 某广场设置了一些石凳子供大家休息，这些石凳子是由正方体沿各棱的中点截去八个一样的正三棱锥后得到的．如果被截正方体的棱长为40cm，则石凳子的体积为()A.1920003cm3 B.1600003cm3 C.160003cm3 D.640003cm3【答案】B【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】（1）根据题目所给信息进行解题即可.【解答】解：已知原正方体的体积为403=64000cm3，其截去的8个正三棱锥的体积为8×13×12×20×20×20=320003cm3，所以石凳子的体积为64000−320003=1600003cm3.故选B.7. 在某市2020年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N(98, 100)．已知参加本次考试的全市理科学生约有9450人．如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第()附：若X∼N(μ，σ2)，则P(μ−σ<X<μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<X<μ+2σ)=0.9544.A.1500名B. 1700名C.4500名D.8000名【答案】A【考点】正态分布的密度曲线【解析】将正态总体向标准正态总体的转化，求出概率，即可得到结论．【解答】解：由题意知，考试的成绩ξ服从正态分布N(98, 100)．∵μ=98，σ=10，∴P(ξ≥108)=1−P(ξ<108)=12[1−P(88<ξ<108)]≈0.1587，即数学成绩优秀高于108分的学生占总人数的15.87%．∴9450×15.87%≈1500名.故选A．8. 已知(1+xm )n=a0+a1x+a2x2+⋯+a n x n，若a1=3,a2=4，则m=()A.1B.3C.2D.4【答案】B【考点】二项式定理的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：已知(1+xm )n=a0+a1x+a2x2+⋯+a n x n，T r+1=C n r m−r x r，当r=1时，C n1⋅m−1=nm=3，①当r=2时，C n2⋅m−2=4，②由①②得，m=3，n=9.故选B.9. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1，F2，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，且∠PAQ=5π6，则该双曲线的离心率为()A.√2B.√3C.√213D.√13【答案】D【考点】双曲线的渐近线双曲线的离心率【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，设双曲线的一条渐近线方程为y=bax，联立{y=bax,x2+y2=c2,解得x P=−a，x Q=a，∴Q(a, b)，且AP⊥x轴，∵∠PAQ=5π6，∴∠F2AQ=π3，则tanπ3=b2a=√3，则b2=c2−a2=12a2，得e2=13，即e=√13．故选D.10. 设正项数列{a n}的前n项和为S n，且满足2√S n=a n+1，则数列{a n−7}的前n项和T n的最小值为()A.−494B.−72C.72D.−12【答案】D【考点】数列与函数最值问题数列递推式等差数列的前n项和【解析】利用数列递推式求数列的通项公式，在利用等差数列的求和公式以及二次函数的特点求解.【解答】解：当n=1时，有2√a1=a1+1，解得a1=1；当n≥2时，由2√S n=a n+1，得4S n=a n2+2a n+1，4S n−1=a n−12+2a n−1+1，两式相减得4a n=a n2−a n−12+2(a n−a n−1)，所以(a n+a n−1)(a n−a n−1−2)=0.因为数列{a n}的各项为正，所以a n−a n−1−2=0.所以数列{a n}是以1为首项，2为公差的等差数列，所以数列{a n}的通项公式为a n=2n−1．所以a n−7=2n−8，T n=n(a1−7)+n(n−1)2d=n2−7n=(n−72)2−494.由于n为正整数，所以n=3或4时，T n取得最小值，最小值为−12.故选D.11. 已知三棱锥P−ABC满足PA=PB=PC=AB=2，AC⊥BC，则该三棱锥外接球的体积为()A.32 27√3πB.323π C.329√3π D.163π【答案】A【考点】球内接多面体球的表面积和体积【解析】此题暂无解析【解答】解：取AB的中点D,连接PD,CD.如图，∵AC⊥BC ,∴D为Rt△ABC外接圆的圆心，则球心O在过D与平面ABC垂直的直线上.∵ PA =PB =PC =AB =2， ∴ PD ⊥AB ，PD =√32AB =√3,CD =12AB =1 ,∴ PC 2=PD 2+CD 2， ∴ PD ⊥CD ， ∴ PD ⊥ 平面ABC , ∴ 球心O 在PD 上.∵ 球心O 在过正三角形PAB 外接圆圆心与平面ABC 垂直的直线上， ∴ 球心O 为△PAB 外接圆圆心，则 OD =13PD =√33. 连接AO ,设球的半径为R ,则 R =OA =√AD 2+OD 2=√12+(√33)2=2√33, ∴ 三棱锥 P −ABC 的外接球的体积为V =43πR 3=43π(2√33)3=3227√3π.故选A .12. 已知f (x )是定义在(−π2,π2)上的奇函数，f (1)=0，且当x ∈(0,π2)时，f (x )+f ′(x )tan x >0，则不等式f (x )<0的解集为( ) A.(−1,0)∪(1,π2) B.(−1,0)∪(0,1) C.(−π2,−1)∪(1,π2) D.(−π2,−1)∪(0,1)【答案】 D【考点】函数恒成立问题利用导数研究函数的单调性 奇偶性与单调性的综合 函数奇偶性的性质 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由已知得x ∈(0,π2)，f(x)+f ′(x)tan x >0，构造函数g(x)=sin xf(x)，则g ′(x)=cos xf(x)+f ′(x)sin x ， x ∈(0,π2)，cos x >0，则g ′(x)cos x =f(x)+f ′(x)tan x >0，∴ x ∈(0,π2)时，g ′(x)>0，g(x)在(0,π2)上单调递增．∵f(x)为(−π2,π2)上的奇函数，∴g(x)=sin xf(x)为(−π2,π2)上的偶函数．∵f(1)=0，则g(1)=g(−1)=0，故当f(x)<0，则g(x)sin x<0，即g(x)⋅sin x<0，则g(x)与sin x异号．x∈(−π2,0)，sin x<0，取g(x)大于0，x∈(0,π2)，sin x>0，取g(x)小于0，故解集为(−π2,−1)∪(0,1).故选D．二、填空题设函数f(x)=mx2ln x，若曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线ex+y+ 2020=0平行，则m=________.【答案】−1 3【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数的几何意义直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】此题暂无解析【解答】解：f(x)=mx2ln x，故f′(x)=mx(2ln x+1);因为曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线ex+y+2020=0平行，故该切线的斜率与直线ex+y+2020=0的斜率相同，即k=−e,即f′(e)=3me=−e故m=−13.故答案为：−13.已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1,a n+1=2a n，若数列{b n}满足b n⋅S n=1，则b1+1 b1+b2+1b2+⋯+b10+1b10=________.【答案】2046【考点】 数列的求和等比数列的前n 项和【解析】 此题暂无解析 【解答】解：∵ 数列{a n }满足a n+1=2a n ，∴ 数列{a n }是以首项为a 1=1，公比为2的等比数列， ∴ S n =2n −1. ∵ b n ⋅S n =1， ∴ S n =1b n，∴b 1+1b 1+b 2+1b 2+⋯+b 10+1b 10=1+1b 1+1+1b 2+⋯+1+1b 10=10+21−1+22−1+23−1+⋯+210−1 =21+22+⋯+210 =2(1−210)1−2=2046. 故答案为：2046.已知A (3,0),B (0,1),C (−1,2)，若点P 满足|AP →|=1，则|OB →+OC →+OP →|的最大值为________. 【答案】√13+1 【考点】平面向量的坐标运算 点与圆的位置关系 两点间的距离公式【解析】（1）根据题目所给信息进行解题即可. 【解答】解：不妨设P(x,y)，已知|AP →|=1，可得(x −3)2+y 2=1， 即点P 在以圆心为(3,0)，半径为1的圆上， 易得OB →+OC →+OP →=(x −1,y +3)，而已知|OB →+OC →+OP →|=√(x −1)2+(y +3)2， 其表示点P(x,y)到点(1,−3)的距离， 则P 所在圆的圆心到点(1,−3)的距离d =√13 , 则其最大值为d +r =d +1=√13+1.故答案为：√13+1.已知抛物线C:x 2=4y 的焦点为F ，直线l 过点F 且倾斜角为5π6．若直线l 与抛物线C 在第二象限的交点为A ，过点A 作AM 垂直于抛物线C 的准线，垂足为M ，则△AMF 外接圆上的点到直线√2x −y −3=0的距离的最小值为________. 【答案】4√23【考点】与圆有关的最值问题 抛物线的性质直线与抛物线的位置关系 圆的一般方程【解析】本题考查了抛物线的性质及直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求法及与圆有关的最值问题．由已知求得A ，M ，F 三点的坐标，得到△AMF 外接圆的方程，再结合圆的知识求解即可． 【解答】解：∵ 抛物线C ：x 2=4y ， ∴ 焦点F(0，1)，准线：y =−1． 又∵ 直线l 的倾斜角为5π6， ∴ 斜率k =−√33， ∴ l ：y −1=−√33x ． 由{y =−√33x +1，x 2=4y ，得{x =−2√3，y =3或{x =2√33，y =13，∴ A(−2√3,3)，M(−2√3,−1)，F(0，1)．设过A ，M ，F 三点的圆方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，∴ {12+9−2√3D +3E +F =0，12+1−2√3D −E +F =0，1+E +F =0，解得：D =8√33，E =−2，F =1， ∴ x 2+y 2+8√33x −2y +1=0，圆：(x +4√33)2+(y −1)2=163，圆心(−4√33,1)，r=4√33，圆心到√2x−y−3=0的距离d=|−4√63−1−3|√3=4√2+4√33，∴ 外接圆上的点到直线√2x−y−3=0距离的最小值为d−r=4√23．故答案为：4√23．三、解答题在△ABC中，内角A，B，C满足√3sin(B+C)=2sin2A2.(1)求内角A的大小；(2)若AB=5,BC=7，求BC边上的高．【答案】解：(1)在△ABC中，sin(B+C)=sin A，由√3sin(B+C)=2sin2A2，得√3sin A=1−cos A．即√3sin A+cos A=1，∴sin(A+π6)=12．∵A∈(0,π)，∴A+π6∈(π6,7π6)，∴A+π6=5π6，即A=2π3．(2)在△ABC中，A=2π3，AB=5，BC=7，由余弦定理得49=25+AC2−10AC⋅cos2π3，即AC2+5AC−24=0，解得AC=−8（舍去）或AC=3．则S△ABC=12AB⋅AC⋅sin2π3=15√34．设BC边上的高为ℎ，由S△ABC=12BC⋅ℎ=15√34，解得ℎ=15√314．【考点】三角形的面积公式余弦定理三角函数中的恒等变换应用【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)在△ABC中，sin(B+C)=sin A，由√3sin(B+C)=2sin2A2，得√3sin A=1−cos A．即√3sin A+cos A=1，∴sin(A+π6)=12．∵A∈(0,π)，∴A+π6∈(π6,7π6)，∴A+π6=5π6，即A=2π3．(2)在△ABC中，A=2π3，AB=5，BC=7，由余弦定理得49=25+AC2−10AC⋅cos2π3，即AC2+5AC−24=0，解得AC=−8（舍去）或AC=3．则S△ABC=12AB⋅AC⋅sin2π3=15√34．设BC边上的高为ℎ，由S△ABC=12BC⋅ℎ=15√34，解得ℎ=15√314．如图，已知正三棱柱ABC−A1B1C1，D是AB的中点，E是C1C的中点，且AB= 1,AA1=2.(1)证明：CD//平面A1EB;(2)求二面角B−A1E−D的余弦值．【答案】(1)证明：取A1B的中点F，连结EF，DF，如图，∵D，F分别是AB，A1B的中点，∴DF=//1A1A,2∵A1A=//C1C，E是C1C的中点，∴DF=//EC ,∴四边形CDFE是平行四边形．∴CD=//EF ,∵CD⊄平面A1EB，EF⊂平面A1EB,∴CD//平面A1EB.(2)解：∵△ABC是正三角形，D是AB的中点，∴CD⊥AB.∵在正三棱柱ABC−A1B1C1中,A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥CD.又由(1)知DF//A1A，∴CD，BD，DF两两互相垂直,∴以D为原点，分别以DB，DC，DF所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则D(0,0,0)，B (12,0，0),E (0,√32,1),A 1(−12,0,2)． ∴ BE →=(−12,√32,1),DE→=(0,√32,1),A 1E→=(12,√32,−1), 设平面A 1DE 的法向量为n →=(x,y,z )， 则{n →⋅A 1E →=12x +√32y −z =0，n →⋅DE →=√32y +z =0，令z =√3，得y =−2,x =4√3， ∴ n →=(4√3,−2,√3).设平面A 1BE 的法向量为m →=(m,n,t),则{m →⋅A 1E →=12m +√32n −t =0，m →⋅BE →=−12m +√32n +t =0，令t =1，得n =0,m =2， ∴ m →=(2,0,1).设二面角B −A 1E −D 的平面角为θ， 由已知得θ∈(0,π2),cos θ>0, ∴ cos θ=cos ⟨n →，m →⟩=n →⋅m→|n →|⋅|m →|=√3√3√(4√3)2+(−2)2+(√3)2×√22+12=9√3355， ∴ 二面角B −A 1E −D 的余弦值为9√3355.【考点】二面角的平面角及求法直线与平面平行的判定【解析】无无【解答】(1)证明：取A1B的中点F，连结EF，DF，如图，∵D，F分别是AB，A1B的中点，∴DF=//1A1A,2∵A1A=//C1C，E是C1C的中点，∴DF=//EC ,∴四边形CDFE是平行四边形．∴CD=//EF ,∵CD⊄平面A1EB，EF⊂平面A1EB,∴CD//平面A1EB.(2)解：∵△ABC是正三角形，D是AB的中点，∴CD⊥AB.∵在正三棱柱ABC−A1B1C1中,A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥CD.又由(1)知DF//A1A，∴CD，BD，DF两两互相垂直,∴以D为原点，分别以DB，DC，DF所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则D(0,0,0)，B (12,0，0),E (0,√32,1),A 1(−12,0,2)． ∴ BE →=(−12,√32,1),DE→=(0,√32,1),A 1E→=(12,√32,−1), 设平面A 1DE 的法向量为n →=(x,y,z )， 则{n →⋅A 1E →=12x +√32y −z =0，n →⋅DE →=√32y +z =0，令z =√3，得y =−2,x =4√3， ∴ n →=(4√3,−2,√3).设平面A 1BE 的法向量为m →=(m,n,t),则{m →⋅A 1E →=12m +√32n −t =0，m →⋅BE →=−12m +√32n +t =0，令t =1，得n =0,m =2， ∴ m →=(2,0,1).设二面角B −A 1E −D 的平面角为θ， 由已知得θ∈(0,π2),cos θ>0, ∴ cos θ=cos ⟨n →，m →⟩=n →⋅m→|n →|⋅|m →|=√3√3√(4√3)2+(−2)2+(√3)2×√22+12=9√3355， ∴ 二面角B −A 1E −D 的余弦值为9√3355.已知椭圆C ：x 24+y 22=1，A ，B 分别为椭圆长轴的左右端点，M 为直线x =2上异于点B 的任意一点，连接AM 交椭圆于P 点． (1)求证：OP →⋅OM →为定值；(2)是否存在x 轴上的定点Q 使得以MP 为直径的圆恒通过MQ 与 BP 的交点． 【答案】(1)证明：由已知得A (−2,0)，B (2,0)，设M (2,m )，P (x 0,y 0)，(m ≠0,x 0≠±2)， 则x 024+y 022=1，得y 02=−x 02−42．又k AP =y 0x 0+2=k AM =m−02−(−2)=m4，k BP =y 0x 0−2，∴ k AP ⋅k BP =y 02x 02−4=−12．于是m4⋅y 0x−2=−12． 整理有2x 0+my 0=4．∴ OP →⋅OM →=2x 0+my 0=4为定值．(2)解：假设存在定点Q (n,0)满足要求， 设M (2,m )，P (x 0,y 0)，(m ≠0,x 0≠±2)，则由以MP 为直径的圆通过MQ 与BP 的交点得MQ →⋅BP →=0．∴ (n −2,−m )⋅(x 0−2,y 0)=nx 0−2n −2x 0+4−my 0=0 ．① 由(1)得2x 0+my 0=4 ．②将②代入①，有n (x 0−2)=0， ∵ x 0≠2， 解得n =0．∴ 存在x 轴上的定点Q (0,0)，使得以MP 为直径的圆恒通过MQ 与BP 的交点． 【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题 圆锥曲线的综合问题 【解析】此题暂无解析 【解答】(1)证明：由已知得A (−2,0)，B (2,0)，设M (2,m )，P (x 0,y 0)，(m ≠0,x 0≠±2)， 则x 024+y 022=1，得y 02=−x 02−42．又k AP =y 0x+2=k AM =m−02−(−2)=m4，k BP =y 0x 0−2，∴ k AP ⋅k BP =y 02x 02−4=−12．于是m4⋅y 0x−2=−12． 整理有2x 0+my 0=4．∴ OP →⋅OM →=2x 0+my 0=4为定值．(2)解：假设存在定点Q (n,0)满足要求，设M (2,m )，P (x 0,y 0)，(m ≠0,x 0≠±2)，则由以MP 为直径的圆通过MQ 与BP 的交点得MQ →⋅BP →=0． ∴ (n −2,−m )⋅(x 0−2,y 0)=nx 0−2n −2x 0+4−my 0=0 ．① 由(1)得2x 0+my 0=4 ．② 将②代入①，有n (x 0−2)=0， ∵ x 0≠2， 解得n =0．∴ 存在x 轴上的定点Q (0,0)，使得以MP 为直径的圆恒通过MQ 与BP 的交点．已知函数f(x)=e x +(m −e)x −mx 2. (1)当m =0时，求函数f(x)的极值；(2)若函数f(x)在区间(0,1)内存在零点，求实数m的取值范围.【答案】解：(1)若m=0，则f(x)=e x−ex，则f′(x)=e x−e,f′(1)=0，当x<1时，f′(x)<0,f(x)单调递减；当x>1时，f′(x)>0,f(x)单调递增，所以f(x)在x=1处取得极小值，且极小值为f(1)=0，无极大值.(2)由题得f′(x)=e x−2mx+m−e，设g(x)=e x−2mx+m−e，则g′(x)=e x−2m.若m=0，则f(1)=0，故由(1)得f(x)在区间(0,1)内没有零点.若m<0，则g′(x)=e x−2m>0，故函数g(x)在区间(0,1)内单调递增.又g(0)=1+m−e<0,g(1)=−m>0，所以存在x0∈(0,1)，使g(x0)=0.故当x∈(0,x0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(x0,1)时，f′(x)>0,f(x)单调递增.因为f(0)=1，f(1)=0，所以当m<0时，f(x)在区间(0,1)内存在零点.若m>0，由(1)得当x∈(0,1)时，e x>ex.则f(x)=e x+(m−e)x−mx2>ex+(m−e)x−mx2=m(x−x2)>0，此时函数f(x)在区间(0,1)内没有零点.综上，实数m的取值范围为(−∞,0).【考点】由函数零点求参数取值范围问题利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性函数零点的判定定理【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)若m=0，则f(x)=e x−ex，则f′(x)=e x−e,f′(1)=0，当x<1时，f′(x)<0,f(x)单调递减；当x>1时，f′(x)>0,f(x)单调递增，所以f(x)在x=1处取得极小值，且极小值为f(1)=0，无极大值.(2)由题得f′(x)=e x−2mx+m−e，设g(x)=e x−2mx+m−e，则g′(x)=e x−2m.若m=0，则f(1)=0，故由(1)得f(x)在区间(0,1)内没有零点.若m<0，则g′(x)=e x−2m>0，故函数g(x)在区间(0,1)内单调递增.又g(0)=1+m−e<0,g(1)=−m>0，所以存在x0∈(0,1)，使g(x0)=0.故当x∈(0,x0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(x0,1)时，f′(x)>0,f(x)单调递增.因为f(0)=1，f(1)=0，所以当m<0时，f(x)在区间(0,1)内存在零点.若m>0，由(1)得当x∈(0,1)时，e x>ex.则f(x)=e x+(m−e)x−mx2>ex+(m−e)x−mx2=m(x−x2)>0，此时函数f(x)在区间(0,1)内没有零点.综上，实数m的取值范围为(−∞,0).一支担负勘探任务的队伍有若干个勘探小组和两类勘探人员，甲类人员应用某种新型勘探技术的精准率为0.6，乙类人员应用这种勘探技术的精准率为a(0<a<0.4）．每个勘探小组配备1名甲类人员与2名乙类人员，假设在执行任务中每位人员均有一次应用这种技术的机会且互不影响，记在执行任务中每个勘探小组能精准应用这种新型技术的人员数量为ξ．(1)证明：在ξ各个取值对应的概率中，概率P(ξ=1)的值最大．(2)在特殊的勘探任务中，每次只能派一个勘探小组出发，工作时间不超过半小时，如果半小时内无法完成任务，则重新派另一组出发．现在有三个勘探小组A i（i=1,2,3）可派出，若小组A i能完成特殊任务的概率t i=P(ξ=i)(i=1,2,3)且各个小组能否完成任务相互独立．试分析以怎样的先后顺序派出勘探小组，可使在特殊勘探时所需派出的小组个数的均值达到最小．【答案】(1)证明：由已知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3．P(ξ=0)=(1−0.6)⋅(1−a)2=0.4(1−a)2，P(ξ=1)=0.6(1−a)2+(1−0.6)⋅C21a(1−a)=0.2(1−a)(3+a)，P(ξ=2)=0.6⋅C21a(1−a)+(1−0.6)a2=0.4a(3−2a)，P(ξ=3)=0.6a2，∵0<a<0.4，∴P(ξ=1)−P(ξ=0)=0.2(1−a)(3+a)−0.4(1−a)2=0.2(1−a)(1+3a)>0，P(ξ=1)−P(ξ=2)=0.2(1−a)(3+a)−0.4a(3−2a)=0.2(3a2−8a+3)>0，P(ξ=1)−P(ξ=3)=0.2(1−a)(3+a)−0.6a2=−0.2(4a2+2a−3)>0 .∴概率P(ξ=1)的值最大．(2)解：由(1)可知，由0<a<0.4有t1=P(ξ=1)的值最大，且t2−t3=P(ξ=2)−P(ξ=3)=0.4a(3−2a)−0.6a2=0.2a(6−7a)>0，∴t1>t2>t3，∴应当以A1,A2,A3的顺序派出勘探小组，可使在特殊勘探时所需派出的小组个数的均值达到最小，即优先派出完成任务概率大的小组可减少所需派出的小组个数的均值．证明如下：假定p1,p2,p3为t1,t2,t3(t1>t2>t3)的任意一个排列，即若三个小组A i(i=1,2,3)按照某顺序派出，该顺序下三个小组能完成特殊任务的概率依次为p1,p2,p3，记在特殊勘探时所需派出的小组个数为η，则η=1，2，3，且η的分布列为：p2)=3−2p1−p2+p1p2 .1121下面证明E(η)=3−2p1−p2+p1p2≥3−2t1−t2+t1t2成立．若E(η)=3−p1−(p1+p2)+p1p2，可发现当派出的前两个小组的顺序不变时，第一个派出的小组完成的概率越大，E(η)越小；若E(η)=3−2p1−(1−p1)p2，可发现当派出的第一个小组不变，后两个小组的顺序变换时，则第二个派出的小组完成的概率越大，E(η)越小．可见，按照完成任务概率从大到小的A1,A2,A3的小组顺序派出勘探小组，可使在特殊勘探时所需派出的小组个数的均值达到最小．【考点】n次独立重复试验的结果相互独立事件的概率乘法公式离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列【解析】此题暂无解析【解答】(1)证明：由已知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3．P(ξ=0)=(1−0.6)⋅(1−a)2=0.4(1−a)2，P(ξ=1)=0.6(1−a)2+(1−0.6)⋅C21a(1−a)=0.2(1−a)(3+a)，P(ξ=2)=0.6⋅C21a(1−a)+(1−0.6)a2=0.4a(3−2a)，P(ξ=3)=0.6a2，∵0<a<0.4，∴P(ξ=1)−P(ξ=0)=0.2(1−a)(3+a)−0.4(1−a)2=0.2(1−a)(1+3a)>0，P(ξ=1)−P(ξ=2)=0.2(1−a)(3+a)−0.4a(3−2a)=0.2(3a2−8a+3)>0，P(ξ=1)−P(ξ=3)=0.2(1−a)(3+a)−0.6a2=−0.2(4a2+2a−3)>0 .∴概率P(ξ=1)的值最大．(2)解：由(1)可知，由0<a<0.4有t1=P(ξ=1)的值最大，且t2−t3=P(ξ=2)−P(ξ=3)=0.4a(3−2a)−0.6a2=0.2a(6−7a)>0，∴t1>t2>t3，∴应当以A1,A2,A3的顺序派出勘探小组，可使在特殊勘探时所需派出的小组个数的均值达到最小，即优先派出完成任务概率大的小组可减少所需派出的小组个数的均值．证明如下：假定p1,p2,p3为t1,t2,t3(t1>t2>t3)的任意一个排列，即若三个小组A i(i=1,2,3)按照某顺序派出，该顺序下三个小组能完成特殊任务的概率依次为p1,p2,p3，记在特殊勘探时所需派出的小组个数为η，则η=1，2，3，且η的分布列为：p2)=3−2p1−p2+p1p2 .1121下面证明E(η)=3−2p1−p2+p1p2≥3−2t1−t2+t1t2成立．若E(η)=3−p1−(p1+p2)+p1p2，可发现当派出的前两个小组的顺序不变时，第一个派出的小组完成的概率越大，E(η)越小；若E(η)=3−2p1−(1−p1)p2，可发现当派出的第一个小组不变，后两个小组的顺序变换时，则第二个派出的小组完成的概率越大，E(η)越小．可见，按照完成任务概率从大到小的A1,A2,A3的小组顺序派出勘探小组，可使在特殊勘探时所需派出的小组个数的均值达到最小．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ−2ρsinθ=1．若P为曲线C1上的动点，Q是射线OP上的一动点，且满足|OP|⋅|OQ|=2，记动点Q的轨迹为C2.(1)求C2的直角坐标方程；(2)若曲线C1与曲线C2交于M，N两点，求△OMN的面积．【答案】解：(1)设P(ρ1,θ),Q(ρ,θ)，则ρ1cosθ−2ρ1sinθ=1，即ρ1=1，cosθ−2sinθ由|OP|⋅|OQ|=2得ρ1⋅ρ=2.∴1⋅ρ=2，cosθ−2sinθ∴ρ=2cosθ−4sinθ，∴ρ2=2ρcosθ−4ρsinθ.∵ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ，∴x2+y2=2x−4y，即(x−1)2+(y+2)2=5．∵|OP|⋅|OQ|=2，∴点Q的轨迹C2不经过(0,0)点，∴C2的直角坐标方程为(x−1)2+(y+2)2=5（不包括(0,0)点）．(2)由ρcosθ−2ρsinθ=1及得C1的直角坐标方程为x−2y=1，即x−2y−1=0 .∵曲线C2的圆心为(1,−2)，半径为√5，∴点(1,−2)到C1的距离d1=2()2=√5．∴|MN|=2√(√5)2−d12=√5．∵点O到C1的距离d2=22=√5．∴△OMN的面积为12|MN|⋅d2=1255=35．【考点】圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化点到直线的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)设P(ρ1,θ),Q(ρ,θ)，则ρ1cosθ−2ρ1sinθ=1，即ρ1=1cosθ−2sinθ，由|OP|⋅|OQ|=2得ρ1⋅ρ=2.∴1cosθ−2sinθ⋅ρ=2，∴ρ=2cosθ−4sinθ，∴ρ2=2ρcosθ−4ρsinθ.∵ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ，∴x2+y2=2x−4y，即(x−1)2+(y+2)2=5．∵|OP|⋅|OQ|=2，∴点Q的轨迹C2不经过(0,0)点，∴C2的直角坐标方程为(x−1)2+(y+2)2=5（不包括(0,0)点）．(2)由ρcosθ−2ρsinθ=1及x=ρcosθ,y=ρsinθ得C1的直角坐标方程为x−2y=1，即x−2y−1=0 .∵曲线C2的圆心为(1,−2)，半径为√5，∴点(1,−2)到C1的距离d1=2()2=√5．∴|MN|=2√(√5)2−d12=√5．∵点O到C1的距离d2=2()2=√5．∴△OMN的面积为12|MN|⋅d2=12√5√5=35．。
广东省深圳市中学2019-2020学年高三数学理期末试卷含解析
广东省深圳市中学2019-2020学年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，已知球是棱长为1 的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为A． B． C．D．参考答案：D略2. 若在区间中随机地取两个数，则这两个数中较小的数大于的概率是A. B. C.D.参考答案：C3. 设向量=（2，1），=（0，﹣2）．则与+2垂直的向量可以是（）A．（3，2）B．（3，﹣2）C．（4，6）D．（4，﹣6）A【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】求出+2=（2，﹣3），由此利用向量垂直的性质能求出与+2垂直的向量的可能结果．【解答】解：∵向量=（2，1），=（0，﹣2）．∴+2=（2，﹣3），∵（2，﹣3）?（3，2）=6﹣6=0，∴与+2垂直的向量可以是（3，2）．故选：A．4. 把已知正整数表示为若干个正整数（至少3个，且可以相等）之和的形式，若这几个正整数可以按一定顺序构成等差数列，则称这些数为的一个等差分拆．将这些正整数的不同排列视为相同的分拆．如：（1，4，7）与（7，4，1）为12的相同等差分拆．问正整数36的不同等差分拆的个数是（）．（A）20 （B）18 （C）19 （D）21参考答案：A5.准线方程为x=3的抛物线的标准方程为（）A．y2=－6x B．y2=6x C．y2=－12x D．y2=12x参考答案：6. 从4男2女共6名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，不同选法共有（）A. 156种B. 168种C. 180种D. 240种参考答案：B【分析】先求出从4男2女共6名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队有多少种选法，然后再求出服务队中没有女生有多少种选法，两数相减即可.【详解】从4男2女共6名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队有种选法，服务队中没有女生的选法有种，所以要求服务队中至少有1名女生，不同选法共有种选法，故本题选B.【点睛】本题考查了组合问题、分步计算原理.本题采用的是间接法来求解，当问题的正面的好多种情况时，可以看它的反面情况，这样求解起来简单.7. 已知圆，定点，A是圆F1上的一动点，线段F2A的垂直平分线交半径F1A于P点，则P点的轨迹C的方程是A. B. C. D.参考答案：B连结F2P，则F2P =PA，∵F2P+ F1P=PA+ F1P = F1A=6＞F1F2=4，由椭圆的定义可得点P的轨迹为以点F1、F2为焦点，长轴为6的椭圆∴2a=6，即a=3，又∵焦点为（2，0），即c=2，∴b2=a2﹣c2=9﹣4=5，故点P的轨迹C的方程为：故选：B8. 上右程序运行后输出的结果为 ( )A.17B.19C.21D.23参考答案：C略9. 函数的最小值和最大值分别为（▲）A.3，1B.2，2C.3，D.2，参考答案：C略10. 一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（）参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若P是抛物线y2=8x上的动点，点Q在以点C（2，0）为圆心，半径长等于1的圆上运动．则|PQ|+|PC|的最小值为．参考答案：3【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据抛物线的定义可知P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而问题转化为求点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象可知当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小，为圆心到焦点F的距离减去圆的半径．【解答】解：由于点C为抛物线的焦点，则|PC|等于点P到抛物线准线x=﹣2的距离d．又圆心C到抛物线准线的距离为4，则|PQ|+|PC|=|PQ|+d≥3．当点P为原点，Q为（1，0）时取等号．故|PQ|+|PC|得最小值为3．故答案为：3．12. 等比数列{a n}的前n项和为S n，公比不为1。
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【解析】
【分析】
利用正弦定理求出 ，再由诱导公式可得结果.
【详解】
由正弦定理得 ，
即 ，
得 ，
则 ，
故选C．
【点睛】
本题主要考查正弦定理以及诱导公式的应用，属于中档题.
11．A
【解析】
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，代入函数解析式求解．
【详解】
解：
故选：
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求 的值.
18．已知直线l经过点 ，倾斜角 ，圆C的极坐标方程为 .
(Ⅰ)写出直线l的参数方程，并把圆 的方程化为直角坐标方程；
(Ⅱ)设l与圆 相交于 两点，求点 到 两点的距离之积．
19．已知两动圆 和 （ ），把它们的公共点的轨迹记为曲线 ，若曲线 与 轴的正半轴的交点为 ，且曲线 上的相异两点 满足： .
（1）求曲线 的轨迹方程；
（2）证明直线 恒经过一定点，并求此定点的坐标；
（3）求 面积 的最大值.
三、填空题
20．若数列 是正项数列，且 ，则 __________.
21．在同一个平面内，向量 的模分别为 与 的夹角为 ，且 与 的夹角为 ，若 ，则 _________．
22．在内切圆圆心为 的 中， ， ， ，在平面 内，过点 作动直线 ，现将 沿动直线 翻折，使翻折后的点 在平面 上的射影 落在直线 上，点 在直线 上的射影为 ，则 的最小值为______
3．A
【解析】
【分析】
根据抛物线定义可得 ， 的周长 ，得到答案.
【详解】
抛物线的准线 ： ，焦点 ，根据抛物线定义可得 ，
圆 的圆心为 ，半径为4，
∴ 的周长 ，
由抛物线 及圆 可得交点的横坐标为2，
∴ ，∴
故选：A.
【点睛】
本题考查了三角形周长的取值范围，确定 的周长 是解题的关键.
4．B
【解析】
A． B． C． D．
4．已知函数 在区间 上单调，且 ， ，则 的最大值为（）
A．7B．9C．11D．13
5．已知偶函数 的定义域为 ，其导函数为 ，当 时，有 成立，则关于x的不等式 的解集为（）
A． B．
C． D．
6．设向量 ，若 ,则 ( )
A． B． C．-1D．-3
7．已知复数 ，则“ ”是“ 为纯虚数”的（）
∴M的最小值为|AC|+|BD|＝4 .
故选：D.
【点睛】
本题考查两点间距离公式以及利用数形结合求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.
9．B
【解析】
【分析】
【详解】
分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到 ，根据直角三角形的条件，可以确定直线 的倾斜角为 或 ，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为 ，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得 ，利用两点间距离公式求得 的值.
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．已知0＜x＜2 ，0＜y＜2 ，且M＝ + 则M的最小值为（ ）
A． B． C．2D．
9．已知双曲线C： ，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若 OMN为直角三角形，则|MN|=
A． B．3C． D．4
1
2
3
4
5
管理时间 （单位：月）
8
10
13
25
24
并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示:
愿意参与管理
不愿意参与管理
男性村民
150
50
女性村民
50
（1）求出相关系数 的大小，并判断管理时间 与土地使用面积 是否线性相关？
（2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？
故选：A.
【点睛】
此题考查充分条件与必要条件的辨析，关键在于准确求出复数 为纯虚数a的取值范围.
8．D
【解析】
【分析】
先根据两点间距离公式化为动点到四个定点的距离和，再根据图象确定最小值取法，即得结果.
【详解】
解：根据题意，可知
表示点（x，y）与点A（ ，0）的距离；
表示点（x，y）与点B（0， ）的距离；
因为 ， ，∴ .
∵ 平面 ，则 ， ，
又 为 的中点， ，
假设在线段 上存在这样的点 ，使得 ,设 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则
∴ ，令 ，则 ，则
平面 ， 平面 的一个法向量 , ,则
∴ .
，解得 ，∴
【点睛】
本题主要考查面面垂直的判定定理，以由二面角的大小求其它的量，熟记面面垂直的判定定理即可证明结论成立；对于空间角的处理，常用空间向量的方法，属于常考题型.
6．D
【解析】
分析：利用 ，即可求出 ，再利用两角和的正切公式即可得出．
详解：∵ ， ，即 ．
故选B．
点睛：利用 ，以及合理运用两角和的正切公式是解题的关键．
7．A
【解析】
【分析】
解出复数 为纯虚数a的取值范围，即可得解.
【详解】
复数 为纯虚数，则 ，且 ，解得 ，所以“ ”
是“ 为纯虚数”的充分不必要条件.
详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为 ，且右焦点为 ，
从而得到 ，所以直线 的倾斜角为 或 ，
根据双曲线的对称性，设其倾斜角为 ，
可以得出直线 的方程为 ，
分别与两条渐近线 和 联立，
求得 ，
所以 ，故选B.
点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线 的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果.
表示点（x，y）与点C（ ，2 ）的距离；
表示点（x，y）与点D（2 ， ）的距离.
M表示点（x，y）到A、B、C、D四个点的距离和的最小值.
则可画图如下：
∵
的最小值是点（x，y）在线段AC上，
同理，
的最小值是点（x，y）在线段BD上，
∴点（x，y）既在线段AC上，又在线段BD上，
∴点（x，y）即为图中点P.
12．D
【解析】
试题分析：因为 ，所以 ，因为数列 是单调递增数列，所以当 时 ；当 时， ，因此 ，选D.
考点：等比数列定义，数列单调性
【方法点睛】解决数列的单调性问题可用以下三种方法
①用作差比较法，根据 的符号判断数列 是递增数列、递减数列或是常数列.
②用作商比较法，根据 与1的大小关系及 符号进行判断.
【详解】
解：（Ⅰ） 四边形 是正方形，∴ .
∵平面 平面 平面 平面 ，∴ 平面 .
∵ 平面 ，∴ .
∵ ，点 为线段 的中点，∴ .
又∵ ，∴ 平面 .
又∵ 平面 ，∴平面 平面 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 平面 ，∵ ，∴ 平面 .
在平面 内过 作 交 于点 ，
∴ ，故 ， ， 两两垂直，以 为原点，
以 ， ， 所在直线分别为 轴，建立如图所示空间直角坐标系 .
③结合相应函数的图像直观判断，注意自变量取值为正整数这一特殊条件
13．（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据面面垂直的判定定理即可证明结论成立；
（Ⅱ）先证明 ， ， 两两垂直，再以 为原点，以 ， ， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，设 ，用 表示出平面 的法向量，进而表示出 ，由 ，即可得出结果.
（Ⅰ）求证：平面 平面PBC；
（Ⅱ）设二面角 的平面角为 ，试判断在线段AB上是否存在这样的点F，使得 ，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
14．已知函数 .若曲线 和曲线 都过点 ,且在点 处有相同的切线 .
（Ⅰ）求 的值;
（Ⅱ）若 时, ,求 的取值范围.
15．已知 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
23．在 的展开式中， 的系数为__________．
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
将个函数自变量代入 ,参变分离得 ,再利用导数求右边的最小值后再解不等式即可.
【详解】
依据题意得 在 上恒成立,
即 在 上恒成立。
令 , ,
∵ ,
∴ , 递增,
∴当 时,函数 取得最小值 ,
所以 ,即 ,
解得 或 ,
12．已知数列 满足： ， .若 ， ，且数列 是单调递增数列，则实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题)
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二、解答题
13．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，且 ，平面PCD⊥平面ABCD， ，点E为线段PC的中点，点F是线段AB上的一个动点．
10．黄金三角形有两种，其中底和腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为 的等腰三角形(另一种是顶角为 的等腰三角形)例如，正五角星由五个黄金三角形和一个正五边形组成，如图所示，在一个黄金三角形 中， ，根据这些信息，可得 =（）
A． B． C． D．
11．设 ， ，则 （）
A． B． C． D．
（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为 ,求 的分布列及数学期望．
参考公式：