切线围成的三角形面积为定值

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【高中数学】新人教A版高二5.2.2 导数的四则运算法则(练习题)

新人教A版高二5.2.2 导数的四则运算法则(1212) 1.下列运算正确的是（）A.(3x)′=3x lnxB.(sinxx )′=xcosx+sinxx2C.(x−1x )′=1−1x2D.(log2x)′=1xln22.已知函数f(x)=x·lnx的导函数为f′(x)，若f′(x0)=1，则x0的值为（）A.1B.2C.eD.03.函数f(x)=e x cos⁡x的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为（）A.0B.π4C.1 D.π24.设f（x）=xln⁡x，若f′（x0）=2，则x0等于（）A.e2B.eC.ln⁡22D.ln⁡25.已知函数f(x)=x2+2x−2的图象在点M处的切线与x轴平行，则点M的坐标是（）A.(−1,3)B.(−1,−3)C.(−2,−3)D.(−2,3)6.已知函数f(x)的导数为f′(x)，若f(x)=x2+2f′(0)x+sinx，则f′(0)=（）A.−2B.−1C.1D.27.已知f(x)=xlnx+2017x，若f′(x0)=2019，则x0=（）A.e2B.eC.1D.ln28.已知函数f(x)=alnx+2，若f′(e)=2，则a的值为（）A.−1B.1C.2eD.e29.曲线y=3ln x＋x＋2在点P0处的切线方程为4x−y−1=0，则点P0的坐标是.10.已知函数f(x)=e x cos x−x，则f′(x)=.11.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)=3xf′(2)+lnx，则f(1)的值为.12.已知f(x)为偶函数，且当x>0时，f(x)=lnx−3x，则f′(−1)=.13.求下列函数的导数：(1)f(x)=(1+sin x)(1−4x)；(2)f(x)=xx+1−2x.14.设函数f(x)=ax−bx，曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x−4y−12=0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值.x−9都相切，则15.若存在过点(1，0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+154a=.16.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，定义：设f″(x)是函数f(x)的导函数f′(x)的导数，若f″(x)=0有实数解x0，则称点(x0,f(x0))为函数f(x)的“拐点”.现已知f(x)=x3−3x2+2x−2，请解答下列问题：(1)求函数f(x)的“拐点”A的坐标；(2)证明：f(x)的图像关于“拐点”A对称参考答案1.【答案】:D【解析】:(3x)′=3x ln3，(sinxx )′=xcosx−sinxx2，(x−1x)′=1+1x2，(log2x)′=1xln2.故选 D.2.【答案】:A【解析】:f′(x)=ln x+1，∴f′(x0)=ln x0+1=1，∴ln x0=0，得x0=1.故选A.3.【答案】:B【解析】:对函数求导得f′(x)=e x(cos x−sin x)，∴f′(0)=1，∴函数f(x)=e x cos x的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为π4.4.【答案】:B【解析】:【分析】本题主要考查导数的计算，属于基础题．求函数的导数，解导数方程即可．【解答】解：∵f（x）=xlnx，∴f′（x）=lnx+1，由f′（x0）=2，得lnx0+1=2，即lnx0=1，则x0=e，故选：B．5.【答案】:B【解析】:设M(x0，f(x0))，∵f′(x0)=2x0+2=0，∴x0=−1,∴f(−1)=(−1)2+2×(−1)−2=−3，∴M(−1,−3).6.【答案】:B【解析】:根据题意得f′(x)=2x+2f′(0)+cosx，令x=0，可得f′(0)=2f′(0)+1，解得f′(0)=−1，故选B.7.【答案】:B【解析】:∵f′(x)=lnx+1+2017，∴f′(x0)=ln x0+2018=2019，∴ln x0=1，解得x0=e.故选B.8.【答案】:C【解析】:函数f(x)=alnx+2，则f′(x)=ax ，若f′(e)=ae=2，则a=2e，故选C.9.【答案】:(1,3)【解析】:由题意知y′=3x＋1=4，解得x=1，此时4×1−y−1=0，解得y=3，所以点P0的坐标是(1,3).10.【答案】:e x(cos x−sin x)−1【解析】:f′(x)=e x cosx+e x(−sinx)−1=e x(cosx−sinx)−1.11.【答案】:−34【解析】:因为f(x)=3xf′(2)+ln⁡x,所以f′(x)=3f′(2)+1x，令x=2，可得f′(2)=3f′(2)+1 2，解得f′(2)=−14，故f(x)=−34x+lnx，则f(1)=−34.12.【答案】:2【解析】:根据题意，设x<0，则−x>0，则f(−x)=ln⁡(−x)−3×(−x)=ln(−x)+3x，又f(x)为偶函数，所以f(x)=f(−x)=ln(−x)+3x，则f′(x)=1x +3，所以f′(−1)=1−1+3=2.13(1)【答案】f′(x)=(1+sin x)′(1−4x)+(1+sin x)(1−4x)′=cos x(1−4x)−4(1+sin x)= cos x−4xcos x−4−4sin x.(2)【答案】f(x)=xx+1−2x=1−1x+1−2x，则f′(x)=1(x+1)2−2x ln2.14(1)【答案】由7x−4y−12=0，得y=74x−3.当x=2时，y=12，∴f(2)=12.①又f ′(x)=a +b x 2，∴f ′(2)=74.②由①②得{2a −b2=12，a +b 4=74，解得{a =1，b =3，故f(x)=x −3x .(2)【答案】证明：设P(x 0，y 0)为曲线上任一点，由f ′(x)=1+3x 2知，曲线y =f(x)在点P(x 0，y 0)处的切线方程为y −y 0=(1+3x 02)(x −x 0)，即y −(x 0−3x 0)=(1+3x 02)(x −x 0). 令x =0，得y =−6x 0，从而得切线与直线x =0的交点坐标为(0，−6x 0). 令y =x ，得y =x =2x 0，从而得切线与直线y =x 的交点坐标为(2x 0，2x 0). 故曲线y =f(x)在点P(x 0，y 0)处的切线与直线x =0，y =x 所围成的三角形面积为12×|−6x 0|×|2x 0|=6，故曲线y =f(x)上任一点处的切线与直线x =0，y =x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.15.【答案】:−1或−2564【解析】:设过点(1，0)的直线与曲线y =x 3相切于点(x 0,x 03)，则切线方程为y −x 03=3x 02(x −x 0)，即y =3x 02x −2x ，30又点(1，0)在切线上，所以x 0=0或x 0=32.当x 0=0时，由直线y =0与曲线y =ax 2+154x −9相切，可得a =−2564；当x 0=32时，由直线y =274x −274与曲线y =ax 2+154x −9相切，可得a =−1. 综上可知，a =−1或−2564.16(1)【答案】由题易得f ′(x)=3x 2−6x +2，f″(x)=6x −6. 令f ″(x)=6x −6=0，得x =1，因为f(1)=1−3+2−2=−2，所以“拐点”A 的坐标为(1,−2).(2)【答案】设P(x 0,y 0)是f(x)图像上任意一点，则y 0=x 03−3x 02+2x 0−2， P(x 0,y 0)关于“拐点”A(1,−2)的对称点为 P ′(2−x 0,−4−y 0). 因为−4−y 0=−x 03+3x 02−2x 0−2， (2−x 0)3−3(2−x 0)2+2(2−x 0)−2 =−x 03+3x 02−2x 0−2，所以点P ′(2−x 0,−4−y 0)在f(x)的图像上，所以f(x)的图像关于“拐点”A 对称.。

2023届全国高考数学复习：专题(曲线的切线方程)重点讲解与练习(附答案)

2023届全国高考数学复习：专题（曲线的切线方程）重点讲解与练习考点一求切线的方程【方法总结】求曲线切线方程的步骤(1)求曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程的步骤第一步，求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数值f ′(x 0)，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率；第二步，由点斜式方程求得切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)ꞏ(x －x 0)．(2)求曲线过点P (x 0，y 0)的切线方程的步骤第一步，设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；第二步，写出过P ′(x 1，f (x 1))的切线方程为y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)；第三步，将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程，求出x 1；第四步，将x 1的值代入方程y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)可得过点P (x 0，y 0)的切线方程．注意：在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P 处的切线方程和求曲线过点P 的切线方程，在点P 处的切线，一定是以点P 为切点，过点P 的切线，不论点P 在不在曲线上，点P 不一定是切点．【例题选讲】[例1](1) (2021ꞏ全国甲)曲线y ＝2x －1x ＋2在点(－1，－3)处的切线方程为________． (2) (2020ꞏ全国Ⅰ)函数f (x )＝x 4－2x 3的图象在点(1，f (1))处的切线方程为( )A ．y ＝－2x －1B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝2x －3D ．y ＝2x ＋1(3) (2018ꞏ全国Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ．若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x(4) (2020ꞏ全国Ⅰ)曲线y ＝ln x ＋x ＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________．(5)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为．(6) (2021ꞏ新高考Ⅰ)若过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x 的两条切线，则( )A ．e b <aB ．e a <bC ．0<a <e bD ．0<b <e a(7)已知曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线与直线x ＋2y －1＝0垂直，则P 点的坐标为( )A ．(1，3)B ．(－1，3)C ．(1，3)或(－1，3)D ．(1，－3)(8) (2019ꞏ江苏)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是________．(9)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)ꞏx 2＋ax ，若f (x )为奇函数，且函数y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋y ＝0垂直，则切点P (x 0，f (x 0))的坐标为．(10)函数y ＝x －1x ＋1在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为( ) A ．18 B ．14 C ．12 D ．1(11)曲线y ＝x 2－ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离是．【对点训练】1．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，则曲线在点P 处切线的倾斜角α的取值范围为( )A ．⎣⎡⎦⎤0，π2∪⎣⎡⎭⎫5π6，πB ．⎣⎡⎭⎫2π3，πC ．⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，πD ．⎝⎛⎦⎤π2，5π6 2．函数f (x )＝e x ＋1x 在x ＝1处的切线方程为．3．(2019ꞏ全国Ⅰ)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0，0)处的切线方程为________．4．曲线f (x )＝1－2ln x x在点P (1，f (1))处的切线l 的方程为( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．3x ＋y ＋2＝0 D ．3x ＋y －4＝05．(2019ꞏ全国Ⅱ)曲线y ＝2sin x ＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为( )A ．x －y －π－1＝0B ．2x －y －2π－1＝0C ．2x ＋y －2π＋1＝0D ．x ＋y －π＋1＝06．(2019ꞏ天津)曲线y ＝cos x －x 2(0，1)处的切线方程为________．7．已知f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫e x ＋a e x 为奇函数(其中e 是自然对数的底数)，则曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为． 8．已知曲线y ＝13x 3上一点P ⎝⎛⎭⎫2，83，则过点P 的切线方程为________． 9．已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为．10．设函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫12x 2－2x ＋f (1)ln x ，曲线f (x )在(1，f (1))处的切线方程是( )A ．5x －y －4＝0B ．3x －y －2＝0C ．x －y ＝0D ．x ＝111．我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n 边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f (x )＝ln(1＋x )，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为________，用此结论计算ln2 022－ln2 021≈________． 12．曲线f (x )＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为( )A ．2B ．32C ．12D ．1413．已知曲线y ＝133＋43．(1)求曲线在点P (2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2，4)的切线方程．14．设函数f (x )＝ax －b x ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0．(1)求f (x )的解析式；(2)证明曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．15．(2021ꞏ全国乙)已知函数f (x )＝x 3－x 2＋ax ＋1．(1)讨论f (x )的单调性；(2)求曲线y ＝f (x )过坐标原点的切线与曲线y ＝f (x )的公共点的坐标．考点二求参数的值(范围)【方法总结】处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．注意：曲线上横坐标的取值范围；谨记切点既在切线上又在曲线上．【例题选讲】[例1](1)已知曲线f (x )＝ax 3＋ln x 在(1，f (1))处的切线的斜率为2，则实数a 的值是________．(2)若函数f (x )＝ln x ＋2x 2－ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是．(3)设函数f (x )＝a ln x ＋bx 3的图象在点(1，－1)处的切线经过点(0，1)，则a ＋b 的值为．(4)(2019ꞏ全国Ⅲ)已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( )A ．a ＝e ，b ＝－1B ．a ＝e ，b ＝1C ．a ＝e －1，b ＝1D ．a ＝e －1，b ＝－1 (5)设曲线y ＝x ＋1x －2在点(1，－2)处的切线与直线ax ＋by ＋c ＝0垂直，则a b ＝( ) A ．13 B ．－13 C ．3 D ．－3(6)已知直线y ＝kx －2与曲线y ＝x ln x 相切，则实数k 的值为________．(7)已知函数f (x )＝x ＋a 2x ，若曲线y ＝f (x )存在两条过(1，0)点的切线，则a 的取值范围是． (8)关于x 的方程2|x ＋a |＝e x 有3个不同的实数解，则实数a 的取值范围为________．【对点训练】1．若曲线y ＝x ln x 在x ＝1与x ＝t 处的切线互相垂直，则正数t 的值为________．2．设曲线y ＝e ax －ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．33．若曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( )A ．(1，3)B ．(－1，3)C ．(1，3)或(－1，3)D ．(1，－3)4．函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是．5．已知函数f (x )＝x cos x ＋a sin x 在x ＝0处的切线与直线3x －y ＋1＝0平行，则实数a 的值为．6．已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋b 的图象在点(1，f (1))处的切线方程为2x －y －5＝0，则a ＝________；b ＝________．7．若函数f (x )＝ax －3x 的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2，4)，则a ＝________．8．若曲线y ＝e x 在x ＝0处的切线也是曲线y ＝ln x ＋b 的切线，则b ＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．e9．曲线y ＝(ax ＋1)e x 在点(0，1)处的切线与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫－12，0，则a ＝； 10．过点M (－1，0)引曲线C ：y ＝2x 3＋ax ＋a 的两条切线，这两条切线与y 轴分别交于A 、B 两点，若|MA |＝|MB |，则a ＝．11．已知曲线C ：f (x )＝x 3－3x ，直线l ：y ＝ax －3a ，则a ＝6是直线l 与曲线C 相切的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l 的倾斜角α的取值范围．13．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值；(2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围．14．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C ．(1)求在曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．参考答案【例题选讲】[例1](1) (2021ꞏ全国甲)曲线y ＝2x －1x ＋2在点(－1，－3)处的切线方程为________．答案 5x －y ＋2＝0 解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x ＋2′＝2(x ＋2)－(2x －1)(x ＋2)2＝5(x ＋2)2，所以y ′|x ＝－1＝5(－1＋2)2＝5，所以切线方程为y ＋3＝5(x ＋1)，即5x －y ＋2＝0．(2) (2020ꞏ全国Ⅰ)函数f (x )＝x 4－2x 3的图象在点(1，f (1))处的切线方程为( )A ．y ＝－2x －1B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝2x －3D ．y ＝2x ＋1答案 B 解析 f (1)＝1－2＝－1，切点坐标为(1，－1)，f ′(x )＝4x 3－6x 2，所以切线的斜率为k ＝f ′(1)＝4×13－6×12＝－2，切线方程为y ＋1＝－2(x －1)，即y ＝－2x ＋1．(3) (2018ꞏ全国Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ．若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x答案 D 解析法一因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以(－x )3＋(a －1)(－x )2＋a (－x )＝－[x 3＋(a －1)x 2＋ax ]，所以2(a －1)x 2＝0．因为x ∈R ，所以a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x ．故选D ．法二因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以f (－1)＋f (1)＝0，所以－1＋a －1－a ＋(1＋a －1＋a )＝0，解得a ＝1，此时f (x )＝x 3＋x (经检验，f (x )为奇函数)，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x ．故选D ．法三易知f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ＝x [x 2＋(a －1)x ＋a ]，因为f (x )为奇函数，所以函数g (x )＝x 2＋(a －1)x ＋a 为偶函数，所以a －1＝0，解得a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x ．故选D ．(4) (2020ꞏ全国Ⅰ)曲线y ＝ln x ＋x ＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________．答案 2x －y ＝0 解析设切点坐标为(x 0，y 0)，因为y ＝ln x ＋x ＋1，所以y ′＝1x ＋1，所以切线的斜率为1x 0＋1＝2，解得x 0＝1．所以y 0＝ln 1＋1＋1＝2，即切点坐标为(1，2)，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0．(5)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为．答案 x －y －1＝0 解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上，∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋lnx ，∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x ．∴由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0．∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0．(6) (2021ꞏ新高考Ⅰ)若过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x 的两条切线，则( )A ．e b <aB ．e a <bC ．0<a <e bD ．0<b <e a答案 D 解析根据y ＝e x 图象特征，y ＝e x 是下凸函数，又过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x 的两条切线，则点(a ，b )在曲线y ＝e x 的下方且在x 轴的上方，得0<b <e a ．故选D ．(7)已知曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线与直线x ＋2y －1＝0垂直，则P 点的坐标为( )A ．(1，3)B ．(－1，3)C ．(1，3)或(－1，3)D ．(1，－3)答案 C 解析设切点P (x 0，y 0)，f ′(x )＝3x 2－1，又直线x ＋2y －1＝0的斜率为－12，∴f ′(x 0)＝3x 20－1＝2，∴x 20＝1，∴x 0＝±1，又切点P (x 0，y 0)在y ＝f (x )上，∴y 0＝x 30－x 0＋3，∴当x 0＝1时，y 0＝3；当x 0＝－1时，y 0＝3．∴切点P 为(1，3)或(－1，3)．(8) (2019ꞏ江苏)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是________．答案 (e ，1) 解析设A (m ，n )，则曲线y ＝ln x 在点A 处的切线方程为y －n ＝1m (x －m )．又切线过点(－e ，－1)，所以有n ＋1＝1m (m ＋e)．再由n ＝ln m ，解得m ＝e ，n ＝1．故点A 的坐标为(e ，1)．(9)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)ꞏx 2＋ax ，若f (x )为奇函数，且函数y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋y ＝0垂直，则切点P (x 0，f (x 0))的坐标为．答案 (0，0) 解析 ∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ，∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a ．又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )恒成立，即－x 3＋(a －1)x 2－ax ＝－x 3－(a －1)x 2－ax 恒成立，∴a ＝1，f ′(x )＝3x 2＋1，3x 20＋1＝1，x 0＝0，f (x 0)＝0，∴切点P (x 0，f (x 0))的坐标为(0，0)．(10)函数y ＝x －1x ＋1在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为( )A ．18B ．14C ．12D ．1答案 B 解析 ∵y ＝x －1x ＋1，∴y ′＝(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)2＝2　x ＋1　2，∴k ＝y ′|x ＝0＝2，∴切线方程为y ＋1＝2(x －0)，即y ＝2x －1，令x ＝0，得y ＝－1；令y ＝0，得x ＝12，故所求的面积为12×1×12＝14．(11)曲线y ＝x 2－ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离是．答案 2 解析设曲线在点P (x 0，y 0)(x 0>0)处的切线与直线x －y －2＝0平行，则0|x x y '＝＝12x x x x 0=⎛⎫- ⎪⎝⎭＝2x 0－1x 0＝1．∴x 0＝1，y 0＝1，则P (1，1)，则曲线y ＝x 2－ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离d ＝|1－1－2|12＋(－1)2＝2．【对点训练】1．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，则曲线在点P 处切线的倾斜角α的取值范围为( )A ．⎣⎡⎦⎤0，π2∪⎣⎡⎭⎫5π6，πB ．⎣⎡⎭⎫2π3，πC ．⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，πD ．⎝⎛⎦⎤π2，5π6 1．答案 C 解析 y ′＝3x 2－3，∴y ′≥－3，∴tan α≥－3，又α∈[0，π)，故α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π，故选C ．2．函数f (x )＝e x ＋1x 在x ＝1处的切线方程为．2．答案 y ＝(e －1)x ＋2 解析 f ′(x )＝e x －1x 2，∴f ′(1)＝e －1，又f (1)＝e ＋1，∴切点为(1，e ＋1)，切线斜率k ＝f ′(1)＝e －1，即切线方程为y －(e ＋1)＝(e －1)(x －1)，即y ＝(e －1)x ＋2．3．(2019ꞏ全国Ⅰ)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0，0)处的切线方程为________．3．答案 y ＝3x 解析 y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝3e x (x 2＋3x ＋1)，所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率k ＝e 0×3＝3，所以所求切线方程为y ＝3x ．4．曲线f (x )＝1－2ln x x在点P (1，f (1))处的切线l 的方程为( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．3x ＋y ＋2＝0 D ．3x ＋y －4＝04．答案 D 解析因为f (x )＝1－2ln x x f ′(x )＝－3＋2ln x x 2．又f (1)＝1，且f ′(1)＝－3，故所求切线方程为y －1＝－3(x －1)，即3x ＋y －4＝0．5．(2019ꞏ全国Ⅱ)曲线y ＝2sin x ＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为( )A ．x －y －π－1＝0B ．2x －y －2π－1＝0C ．2x ＋y －2π＋1＝0D ．x ＋y －π＋1＝05．答案 C 解析设y ＝f (x )＝2sin x ＋cos x ，则f ′(x )＝2cos x －sin x ，∴f ′(π)＝－2，∴曲线在点(π，－1)处的切线方程为y －(－1)＝－2(x －π)，即2x ＋y －2π＋1＝0．故选C ．6．(2019ꞏ天津)曲线y ＝cos x －x 2(0，1)处的切线方程为________．6．答案 y ＝－12x ＋1 解析 y ′＝－sin x －12，将x ＝0代入，可得切线斜率为－12．所以切线方程为y －1＝－12x ，即y ＝－12x ＋1．7．已知f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫e x ＋a e x 为奇函数(其中e 是自然对数的底数)，则曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为． 7．答案 2x －y ＝0 解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＋f (1)＝0，即e ＋a e －1e －a e ＝0，解得a ＝1，f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫e x ＋1e x ，∴f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫e x ＋1e x ＋x ⎝⎛⎭⎫e x －1e x ，∴曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的斜率为2，又f (0)＝0，∴曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的方程为2x －y ＝0．8．已知曲线y ＝13x 3上一点P ⎝⎛⎭⎫2，83，则过点P 的切线方程为________．8．答案 3x －3y ＋2＝0或12x －3y －16＝0 解析设切点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30，由y ′＝⎝⎛⎭⎫13x 3′＝x 2，得y ′|x ＝x 0 ＝x 20，即过点P 的切线的斜率为x 20，又切线过点P ⎝⎛⎭⎫2，83，若x 0≠2，则x 20＝13x 30－83x 0－2，解得x 0＝－1，此时切线的斜率为1；若x 0＝2，则切线的斜率为4．故所求的切线方程是y －83＝x －2或y －83＝4(x －2)，即3x －3y ＋2＝0或12x －3y －16＝0．9．已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为． 9．答案 x －y －1＝0 解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上，∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x ．∴由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0．∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0．10．设函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫12x 2－2x ＋f (1)ln x ，曲线f (x )在(1，f (1))处的切线方程是( )A ．5x －y －4＝0B ．3x －y －2＝0C ．x －y ＝0D ．x ＝110．答案 A 解析因为f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫12x 2－2x ＋f (1)ln x ，所以f ′(x )＝2f ′⎝⎛⎭⎫12x －2＋f （1）x ．令x ＝12得f ′⎝⎛⎭⎫12＝2f ′⎝⎛⎭⎫12 ×12－2＋2f (1)，即f (1)＝1．又f (1)＝f ′⎝⎛⎭⎫12－2，所以f ′⎝⎛⎭⎫12＝3，所以f ′(1)＝2f ′⎝⎛⎭⎫12－2＋f (1)＝6－2＋1＝5．所以曲线在点(1，f (1))处的切线方程为y －1＝5(x －1)，即5x －y －4＝0．11．我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n 边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f (x )＝ln(1＋x )，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为________，用此结论计算ln2 022－ln2 021≈________．11．答案 y ＝x 12 021 解析函数f (x )＝ln(1＋x )，则f ′(x )＝11＋x，f ′(0)＝1，f (0)＝0，∴切线方程为y ＝x ．∴ ln2 022－ln2 021＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋12 021＝f ⎝⎛⎭⎫12 021，根据以直代曲，x ＝12 021也非常接近切点x ＝0．∴可以将x ＝12 021代入切线近似代替f ⎝⎛⎭⎫12 021，即f ⎝⎛⎭⎫12 021≈12 021． 12．曲线f (x )＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为( )A ．2B ．32C ．12D ．1412．答案 D 解析 f ′(x )＝1＋1x ，则f ′(1)＝2，故曲线f (x )＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为y －1＝2(x－1)，即y ＝2x －1，此切线与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－1)，⎝⎛⎭⎫12，0，则切线与坐标轴围成的三角形的面积为12×1×12＝14，故选D ．13．已知曲线y ＝133＋43．(1)求曲线在点P (2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2，4)的切线方程．13．解析 (1)∵P (2，4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，∴在点P (2，4)处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝4．∴曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0．(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝x 20． ∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20ꞏx －23x 30＋43． ∵点P (2，4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0．14．设函数f (x )＝ax －b x ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0．(1)求f (x )的解析式；(2)证明曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．14．解析 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12．又f ′(x )＝a ＋b x 2，于是⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x (2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0．令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0，2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6．故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6． 15．(2021ꞏ全国乙)已知函数f (x )＝x 3－x 2＋ax ＋1．(1)讨论f (x )的单调性；(2)求曲线y ＝f (x )过坐标原点的切线与曲线y ＝f (x )的公共点的坐标．15．解析 (1)由题意知f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝3x 2－2x ＋a ，对于f ′(x )＝0，Δ＝(－2)2－4×3a ＝4(1－3a )．①当a ≥13时，Δ≤0，f ′(x )≥0在R 上恒成立，所以f (x )在R 上单调递增；②当a <13时，令f ′(x )＝0，即3x 2－2x ＋a ＝0，解得x 1＝1－1－3a 3，x 2＝1＋1－3a 3，令f ′(x )>0，则x <x 1或x >x 2；令f ′(x )<0，则x 1<x <x 2．所以f (x )在(－∞，x 1)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增．综上，当a ≥13时，f (x )在R 上单调递增；当a <13时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－1－3a 3上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－3a 3，1＋1－3a 3上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－3a 3，＋∞上单调递增． (2)记曲线y ＝f (x )过坐标原点的切线为l ，切点为P (x 0，x 30－x 20＋ax 0＋1)．因为f ′(x 0)＝3x 20－2x 0＋a ，所以切线l 的方程为y －(x 30－x 20＋ax 0＋1)＝(3x 20－2x 0＋a )(x －x 0)．由l 过坐标原点，得2x 30－x 20－1＝0，解得x 0＝1，所以切线l 的方程为y ＝(1＋a )x ．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝(1＋a )x ，y ＝x 3－x 2＋ax ＋1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1＋a 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1－a . 所以曲线y ＝f (x )过坐标原点的切线与曲线y ＝f (x )的公共点的坐标为(1，1＋a )和(－1，－1－a )．考点二求参数的值(范围)【方法总结】处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．注意：曲线上横坐标的取值范围；谨记切点既在切线上又在曲线上．【例题选讲】[例1](1)已知曲线f (x )＝ax 3＋ln x 在(1，f (1))处的切线的斜率为2，则实数a 的值是________．答案 13 解析 f ′(x )＝3ax 2＋1x ，则f ′(1)＝3a ＋1＝2，解得a ＝13．(2)若函数f (x )＝ln x ＋2x 2－ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是．答案 [2，＋∞) 解析直线2x －y ＝0的斜率k ＝2，又曲线f (x )上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，∴f ′(x )＝1x ＋4x －a ＝2在(0，＋∞)内有解，则a ＝4x ＋1x －2，x >0．又4x ＋1x ≥24x ꞏ1x ＝4，当且仅当x ＝12时取“＝”．∴a ≥4－2＝2．∴a 的取值范围是[2，＋∞)． (3)设函数f (x )＝a ln x ＋bx 3的图象在点(1，－1)处的切线经过点(0，1)，则a ＋b 的值为．答案 0 解析依题意得f ′(x )＝a x ＋3bx 2，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝－1，f ′(1)＝1＋10－1，即⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－1，a ＋3b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，2．设曲线y ＝e ax －ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．32．答案 D 解析 ∵y ＝e ax －ln(x ＋1)，∴y ′＝a e ax －1x ＋1，∴当x ＝0时，y ′＝a －1．∵曲线y ＝e ax －ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，∴a －1＝2，即a ＝3．故选D ．3．若曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( )A ．(1，3)B ．(－1，3)C ．(1，3)或(－1，3)D ．(1，－3)3．答案 C 解析 f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，∴P (1，3)或(－1，3)，经检验点(1，3)，(－1，3)均不在直线y ＝2x －1上，故选C ．4．函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是．4．答案 (－∞，2) 解析由题意知f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解．所以f ′(x )＝1x a ＝2在(0，＋∞)上有解，则a ＝2－1x ．因为x ＞0，所以2－1x 2，所以a 的取值范围是(－∞，2)．5．已知函数f (x )＝x cos x ＋a sin x 在x ＝0处的切线与直线3x －y ＋1＝0平行，则实数a 的值为． 5．答案 2 解析 f ′(x )＝cos x ＋x ꞏ(－sin x )＋a cos x ＝(1＋a )cos x －x sin x ，∴f ′(0)＝1＋a ＝3，∴a ＝2． 6．已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋b 的图象在点(1，f (1))处的切线方程为2x －y －5＝0，则a ＝________；b ＝________． 6．答案－1 －3 解析由题意得f ′(x )＝3x 2＋a ，则由切线方程得⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝1＋a ＋b ＝2×1－5，f ′(1)＝3＋a ＝2，解得a ＝－1，b ＝－3．7．若函数f (x )＝ax －3x 的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2，4)，则a ＝________．7．答案 2 解析 f ′(x )＝a ＋3x 2，f ′(1)＝a ＋3，f (1)＝a －3，故f (x )的图象在点(1，a －3)处的切线方程为y－(a －3)＝(a ＋3)(x －1)，又切线过点(2，4)，所以4－(a －3)＝a ＋3，解得a ＝2．8．若曲线y ＝e x 在x ＝0处的切线也是曲线y ＝ln x ＋b 的切线，则b ＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．e8．答案 C 解析 y ＝e x 的导数为y ′＝e x ，则曲线y ＝e x 在x ＝0处的切线斜率k ＝1，则曲线y ＝e x 在x＝0处的切线方程为y －1＝x ，即y ＝x ＋1．设y ＝x ＋1与y ＝ln x ＋b 相切的切点为(m ，m ＋1)．又y ′＝1x ，则1m ＝1，解得m ＝1．所以切点坐标为(1，2)，则2＝b ＋ln 1，得b ＝2．9．曲线y ＝(ax ＋1)e x 在点(0，1)处的切线与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫－12，0，则a ＝； 9．答案 1 解析 y ′＝e x (ax ＋1＋a )，所以y ′|x ＝0＝1＋a ，则曲线y ＝(ax ＋1)e x 在(0，1)处的切线方程为y＝(1＋a )x ＋1，又切线与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫－12，0，所以0＝(1＋a )×⎝⎛⎭⎫－12＋1，解得a ＝1． 10．过点M (－1，0)引曲线C ：y ＝2x 3＋ax ＋a 的两条切线，这两条切线与y 轴分别交于A 、B 两点，若|MA |＝|MB |，则a ＝．10．答案－274 解析设切点坐标为(t ，2t 3＋at ＋a )，∵y ′＝6x 2＋a ，∴6t 2＋a ＝2t 3＋at ＋a t ＋1，即4t 3＋6t 2＝0，解得t ＝0或t ＝－32，∵|MA |＝|MB |，∴两切线的斜率互为相反数，即2a ＋6×⎝⎛⎭⎫－322＝0，解得a ＝－274．11．已知曲线C ：f (x )＝x 3－3x ，直线l ：y ＝ax －3a ，则a ＝6是直线l 与曲线C 相切的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 11．答案 A 解析因为曲线C ：f (x )＝x 3－3x ，所以f ′(x )＝3x 2－3．设直线l 与曲线C 相切，且切点的横坐标为x 0，则切线方程为y ＝(3x 20－3)x －2x 30，所以⎩⎨⎧ 3x 20－3＝a ，2x 30＝3a ，解得⎩⎨⎧ x 0＝3，a ＝6或⎩⎨⎧ x 0＝－32，a ＝－34，所以a ＝6是直线l 与曲线C 相切的充分不必要条件，故选A ．12．已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l 的倾斜角α的取值范围．12．解析 (1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1，∴当x ＝2时，y ′min ＝－1，y ＝53，∴斜率最小的切线过点⎝⎛⎭⎫2，53，斜率k ＝－1，∴切线方程为y －53＝－1×(x －2)，即3x ＋3y －11＝0．(2)由(1)得k ≥－1，∴tan α≥－1，又∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π．故α的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π． 13．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值；(2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围．13．解析 f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1． (2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0，即4a 2＋4a ＋1>0，所以a ≠－12．所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞．14．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C ．(1)求在曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围． 14．解析 (1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即曲线C 上任意一点处的切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k (k ≠0)，则由题意并结合(1)中结论可知⎩⎪⎨⎪⎧ k ≥－1，－1k ≥－1，解得－1≤k <0或k ≥1，则－1≤x 2－4x ＋3<0或x 2－4x ＋3≥1，解得x ∈(－∞，2－2]∪(1，3)∪[2＋2，＋∞)．。

2008年全国统一考试数学卷(全国新课标.文)

2008年全国统一考试数学卷（全国新课标.文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．参考公式：样本数据12,,,n x x x 的标准差s =其中x 为样本平均数柱体体积公式V Sh = 其中S 为底面面积，h 为高锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面面积，h 为高球的表面积，体积公式24R S π=，334R V π=其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}|(2)(1)0M x x x =+-<，{}|10N x x =+<，则M N ＝A ．(1,1)-B ．(2,1)-C ．(2,1)--D ．(1,2)2．双曲线221102xy-=的焦距为A．B． C．D ．3．已知复数1z i =-，则21zz -＝A ．2B ．2-C ．2iD ．4．设()ln f x x x =，若0()2f x '=，则0x ＝A ．2eB ．eC ．ln 22D ．5．已知平面向量(1,3)a =- ，(4,2)b =-，a b λ+ 与a 垂直，则λ＝A ．1-B ．1C ．2-D ．26．右面的程序框图，如果输入三个实数a 、b 、c ，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的A ．c x >B ．x c >C ．c b >D ．b c >7．已知1230a a a >>>，则使得2(1)1(1,2,3)i a x i -<=都成立的x 取值范围是A ．11(0,)a B ．12(0,)a C ．31(0,)a D ．32(0,)a8．设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则42S a ＝A ．2B ．4C ．152D ．1729．平面向量,a b共线的充要条件是A ．,a b方向相同 B ．,a b两向量中至少有一个为零向量C ．R λ∃∈，b a λ=D ．存在不全为零的实数12,λλ，120a b λλ+=10．点(,)P x y 在直线430x y +=上，且x ，y 满足147x y ≤-≤，则点P 到坐标原点距离的取值范围A ．[]0,5B ．[]0,10C ．[]5,10D ．[]5,1511．函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为A ．1-，1B ．2-，2C ．3-，32D ．2-，3212．已知平面α⊥平面β，l αβ= ，点A α∈，A l ∉，直线A B ∥l ，直线A C ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定．．．成立的是 A ．A B ∥mB ．AC ⊥mC ．A B ∥βD ．A C ⊥β第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．已知{}n a 为等差数列，1322a a +=，67a =，则5a ＝．14．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，3，那么这个球的体积为．15．过椭圆22154xy+=的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△O A B 的面积为．16．从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm ），结果如下：甲品种271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307 308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352 乙品种284292295304306307312313315315 316 318 318 320322322324327329331333336337343356由以上数据设计了如下茎叶图：根据以上茎叶图，对甲乙两品种棉花的纤维长度比较，写出两个统计结论：① ． ② ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）如图，△A C D 是等边三角形，△ABC 是等腰三角形，90ACB ∠=B D 交AC 于E ，2A B =．（1）求cos C A E ∠的值；（2）求A E ．18．（本小题满分12分）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图．它的正视图和俯视图在下面画出（单位：cm ）（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结1BC ，证明1BC ∥面EFG ．27 28 29 30 31 32 33 34 351 37 5 5 05 4 2 8 7 3 39 4 0 8 5 5 37 4 124 2 35 56 8 8 4 6 72 5 0 2 2 4 7 9 13 6 7 3 6甲乙A BCC 1DB 1D 1EGF19．（本小题满分12分）为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查．6人得分情况如下：5，6，7，8，9，10．把这6名学生的得分看成一个总体．（1）求该总体的平均数；（2）用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本．求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率． 20．（本小题满分12分）已知m R ∈，直线2:(1)4l m x m y m -+=和圆:C 2284160x y x y +-++=．（1）求直线l 斜率的取值范围；（2）直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？21．（本小题满分12分）设函数()b f x ax x=-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --=．（1）求()f x 的解析式；（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】如图，过圆O 外一点M 作它的一条切线，切点为A ，过A 作直线A P 垂直直线O M ，垂足为P ．（1）证明：2OM OP OA ⋅=；（2）N 为线段A P 上一点，直线N B 垂直直线O N ，且交圆O 于B 点．过B 点的切线交直线O N 于K ．证明：90OKM ∠=23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】已知曲线1cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），曲线22:2x C y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．（1）指出1C ，2C 各是什么曲线，并说明1C 与2C 公共点的个数；（2）若把1C ，2C 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线1C '，2C '．写出1C '，2C '的参数方程．1C '与2C '公共点的个数和1C 与2C 公共点的个数是否相同？说明你的理由． 24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】已知函数()|8||4|f x x x =---．（1）作出函数()y f x =的图像；（2）解不等式|8||4|2x x --->．2008年全国统一考试数学卷（全国新课标.文）参考答案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力二、填空题．本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧13．14．15．16．三、解答题 17．一、选择题： 1．C 2．D 3．A 4．B 5．A 6．A 7．B8．C9．D10．B11．C12．D二、填空题： 13．1514．43π15．5316．（1）乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）．（2）甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散．（或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）．甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大）．（3）甲品种棉花的纤维长度的中位数为307mm ，乙品种棉花的纤维长度的中位数为318mm ．（4）乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）．甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（352）外，也大致对称，其分布较均匀．注：上面给出了四个结论．如果考生写出其他正确答案，同样给分．三、解答题 17．解：（Ⅰ）因为9060150BCD =+= ∠，C B A C C D ==，所以15CBE = ∠．所以cos cos(4530)4C BE =-= ∠． ··························································· 6分（Ⅱ）在A B E △中，2A B =，由正弦定理2sin (4515)sin(9015)AE =-+．故2sin 30cos15AE =124⨯==． ·······························································12分18．解：（Ⅰ）如图···················································································· 3分（Ⅱ）所求多面体体积V V V =-长方体正三棱锥1144622232⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭（俯视图）（正视图）（侧视图）2284(cm )3=． ·································································· 7分（Ⅲ）证明：在长方体A B C D A B C D ''''-中，连结A D '，则A D B C ''∥．因为E G ，分别为A A '，A D ''中点，所以A D E G '∥，从而E G B C '∥．又B C '⊄平面EFG ，所以B C '∥面EFG ． ·································································································12分 19．解：（Ⅰ）总体平均数为1(5678910)7.56+++++=． ·················································································· 4分（Ⅱ）设A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”．从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：(56)，，(57)，，(58)，，(59)，，(510)，，(67)，，(68)，，(69)，，(610)，，(78)，，(79)，，(710)，，(89)，，(810)，，(910)，．共15个基本结果．事件A 包括的基本结果有：(59)，，(510)，，(68)，，(69)，，(610)，，(78)，，(79)，．共有7个基本结果．所以所求的概率为7()15P A =． ··············································································································12分20．解：（Ⅰ）直线l 的方程可化为22411m m y x m m =-++，直线l 的斜率21m k m =+， ···························································································· 2分因为21(1)2m m +≤，所以2112m k m =+≤，当且仅当1m =时等号成立．所以，斜率k 的取值范围是1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．········································································· 5分（Ⅱ）不能．················································································································ 6分由（Ⅰ）知l 的方程为(4)y k x =-，其中12k ≤．圆C 的圆心为(42)C -，，半径2r =．ACDE FGA 'B 'C 'D '圆心C 到直线l 的距离d =············································································································· 9分由12k ≤，得1d >≥，即2r d >．从而，若l 与圆C 相交，则圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于23π．所以l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段弧． ···················································12分21．解：（Ⅰ）方程74120x y --=可化为734y x =-．当2x =时，12y =． ··································································································· 2分又2()b f x a x'=+，于是1222744b a b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，解得13.a b =⎧⎨=⎩，故3()f x x x=-． ········································································································ 6分（Ⅱ）设00()P x y ，为曲线上任一点，由231y x'=+知曲线在点00()P x y ，处的切线方程为002031()y y x x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，即00200331()y x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．令0x =得06y x =-，从而得切线与直线0x =的交点坐标为060x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．令y x =得02y x x ==，从而得切线与直线y x =的交点坐标为00(22)x x ，．···············10分所以点00()P x y ，处的切线与直线0x =，y x =所围成的三角形面积为016262x x-=．故曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =，y x =所围成的三角形的面积为定值，此定值为6． ·························································································································12分 22．解：（Ⅰ）证明：因为M A 是圆O 的切线，所以O A A M ⊥．又因为A P O M ⊥，在R t O A M △中，由射影定理知，2OA OM OP = ． ········································································································ 5分（Ⅱ）证明：因为B K 是圆O 的切线，B N O K ⊥．同（Ⅰ），有2OB ON OK = ，又O B O A =，所以O P O M O N O K = ，即O N O M O PO K=．又N O P M O K =∠∠，所以O N P O M K △∽△，故90OKM OPN == ∠∠． ············································10分 23．解：（Ⅰ）1C 是圆，2C 是直线． ························································································ 2分1C 的普通方程为221x y +=，圆心1(00)C ，，半径1r =． 2C的普通方程为0x y -+=．因为圆心1C到直线0x y -+=的距离为1，所以2C 与1C 只有一个公共点． ···················································································· 4分（Ⅱ）压缩后的参数方程分别为1C '：cos 1sin 2x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，（θ为参数） 2C '：24x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）························· 8分化为普通方程为：1C '：2241x y +=，2C '：122y x =+，联立消元得2210x ++=，其判别式24210∆=-⨯⨯=，所以压缩后的直线2C '与椭圆1C '仍然只有一个公共点，和1C 与2C 公共点个数相同． ················································································································10分008年普通高等学校统一考试（海南、宁夏卷）数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、已知集合M ={ x|(x + 2)(x －1) < 0 }，N ={ x| x + 1 < 0 }，则M ∩N =（）A. (－1，1)B. (－2，1)C. (－2，－1)D. (1，2)【标准答案】Ｃ【试题解析】易求得{}{}|21,|1=-<<=<-M x x N x x ∴{}|21=-<<- M N x x 【高考考点】一元二次不等式的解法及集合的交集及补集运算【易错提醒】混淆集合运算的含义或运算不仔细出错【全品备考提示】一元二次不等式的解法及集合间的交、并、补运算布高考中的常考内容，要认真掌握，并确保得分．2、双曲线221102xy-=的焦距为（）【标准答案】Ｄ【试题解析】由双曲线方程得22210,212==∴=a b c ，于是2==c c 【高考考点】双曲线的标准方程及几何性质【易错提醒】将双曲线中三个量,,a b c 的关系与椭圆混淆，而错选Ｂ【全品备考提示】在新课标中双曲线的要求已经降低，考查也是一些基础知识，不要盲目拔高 3、已知复数1z i =-，则21zz =-（）A. 2B. －2C. 2iD. －2i 【标准答案】Ａ【试题解析】将1=-z i 代入得()22122111--===----i zi z i i，选Ａ【高考考点】复数的加减、乘除及乘方运算【易错提醒】运算出错【全品备考提示】简单的复数运算仍然是需要掌握的内容，但要求不高，属于必须得分的内容. 4、设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（）A. 2eB. eC.ln 22D. ln 2【标准答案】B【试题解析】∵()ln =f x x x ∴()'1ln ln 1=+⋅=+fx x x x x∴由()'02=fx 得00ln 12 +=∴=x x e ，选Ｂ【高考考点】两个函数积的导数及简单应用【易错提醒】不能熟练掌握导数的运算法则而出错【全品备考提示】导数及应用是高考中的常考内容，要认真掌握，并确保得分．5、已知平面向量a =（1，－3），b=（4，－2），a b λ+ 与a垂直，则λ是（） A. －1 B. 1 C. －2 D. 2 【标准答案】Ａ【试题解析】由于()()4,32,1,3,a b a a b λ+=λ+-λ-=-λ+ ∴()()43320λ+--λ-=，即101001λ+=∴λ=-，选Ａ【高考考点】简单的向量运算及向量垂直【易错点】：运算出错【全品备考提示】：6、右面的程序框图，如果输入三个实数a 、b 、c ，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（）权 A. c > x B. x > c C. c > bD. b > c【标准答案】：A【试题解析】：有流程图可知第一个选择框作用是比较x 与b 故第二个选择框的作用应该是比较x 与c 【高考考点】算法中的判断语句等知识．【易错点】：不能准确理解流程图的含义而导致错误．【全品网备考提示】：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．7、已知1230a a a >>>，则使得2(1)1i a x -<(1,2,3)i =都成立的x 取值范围是（）A.（0，11a ） B. （0，12a ） C. （0，31a ） D. （0，32a ）【标准答案】：Ｂ【试题解析】：由()211i a x -<，得：22121i i a x a x -+<，即()220i i x a x a -<，解之得()200i ix a a <<>，由于1230a a a >>>，故120x a <<；选Ｂ.【高考考点】二次不等式的解法及恒成立知识【易错点】：不能准确理解恒成立的含义而导致错误．【全品备考提示】：不等式恒成立问题是历年高考的一个重点，要予以高度重视 8、设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则42S a =（）A. 2B. 4C.152D.172【标准答案】：Ｃ【试题解析】：由于()4141122,1512a q S a -=∴==- ∴4121151522S a a a ==；选Ｃ；【高考考点】等比数列的通项公式及求和公式的综合应用【易错点】：不能准确掌握公式而导致错误．【全品备考提示】：等差数列及等比数列问题一直是高中数学的重点也是高考的一个热点，要予以高度重视9、平面向量a ，b共线的充要条件是（）A. a ，b 方向相同B. a ，b 两向量中至少有一个为零向量C. R λ∃∈， b a λ=D. 存在不全为零的实数1λ，2λ，120a b λλ+=【标准答案】：Ｄ【试题解析】：若,a b均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数12,,λλ使得120a b λ+λ=；若0a ≠ ，则由两向量共线知，存在0λ≠，使得b a =λ ，即0a b λ-=，符合题意，故选Ｄ【高考考点】向量共线及充要条件等知识．【易错点】：考虑一般情况而忽视了特殊情况【全品备考提示】：在解决很多问题时考虑问题必须要全面，除了考虑一般性外，还要注意特殊情况是否成立． 10、点P （x ，y ）在直线4x + 3y = 0上，且满足－14≤x －y ≤7，则点P 到坐标原点距离的取值范围是（） A. [0，5] B. [0，10]C. [5，10]D. [5，15]【标准答案】：Ｂ【试题解析】：根据题意可知点Ｐ在线段()43063x y x +=-≤≤上，有线段过原点，故点Ｐ到原点最短距离为零，最远距离为点()6,8P -到原点距离且距离为１０，故选Ｂ；【高考考点】直线方程及其几何意义【易错点】：忽视了点的范围或搞错了点的范围而至错．【全品备考提示】：随着三大圆锥曲线的降低要求，直线与圆的地位凸现，要予以重视． 11、函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（）A. －3，1B. －2，2C. －3，32D. －2，32【标准答案】：Ｃ【试题解析】：∵()221312sin 2sin 2sin 22f x x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭∴当1sin 2x =时，()m ax 32f x =，当sin 1x =-时，()min 3f x =-；故选Ｃ；【高考考点】三角函数值域及二次函数值域【易错点】：忽视正弦函数的范围而出错．【全品备考提示】：高考对三角函数的考查一直以中档题为主，只要认真运算即可．12、已知平面α⊥平面β，α∩β= l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定．．．成立的是（） A. AB ∥m B. AC ⊥m C. AB ∥βD. AC ⊥β【标准答案】：Ｄ【试题解析】：容易判断Ａ、Ｂ、Ｃ三个答案都是正确的，对于Ｄ，虽然A C l ⊥，但ＡＣ不一定在平面α内，故它可以与平面β相交、平行，故不一定垂直；【高考考点】线面平行、线面垂直的有关知识及应用【易错点】：对有关定理理解不到位而出错．【全品备考提示】：线面平行、线面垂直的判断及应用仍然是立体几何的一个重点，要重点掌握．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13、已知{a n }为等差数列，a 3 + a 8 = 22，a 6 = 7，则a 5 = ____________ 【标准答案】：１５【试题解析】：由于{}n a 为等差数列，故3856a a a a +=+∴538622715a a a a =+-=-= 【高考考点】等差数列有关性质及应用【易错点】：对有关性质掌握不到位而出错．【全品备考提示】：等差数列及等比数列“足数和定理”是数列中的重点内容，要予以重点掌握并灵活应用．14、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，3，那么这个球的体积为 _________【标准答案】：43V =π【试题解析】∵正六边形周长为３，得边长为12，故其主对角线为１，从而球的直径22R == ∴1R = ∴球的体积43V =π【高考考点】正六棱柱及球的相关知识【易错点】：空间想象能力不强，不能画出直观图而出错．【全品备考提示】：空间想象能力是立体几何中的一个重要能力之一，平时要加强培养． 15、过椭圆22154xy+=的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为______________ 【标准答案】：53【试题解析】：将椭圆与直线方程联立：()224520021x y y x ⎧+-=⎪⎨=-⎪⎩，得交点()540,2,,33A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭；故121145122233O AB S O F y y =⋅⋅-=⨯⨯+=；【高考考点】直线与椭圆的位置关系【易错点】：不会灵活地将三角形面积分解而导致运算较繁．【全品备考提示】：对于圆锥曲线目前主要以定义及方程为主，对于直线与圆锥曲线的位置关系只要掌握直线与椭圆的相关知识即可．16、从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm ），结果如下：甲品种：271 273 280 285 287 292 294 295 301 303 303 307 308 310 314 319 323 325 328 331 334 337 352乙品种：284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356 由以上数据设计了如下茎叶图根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：① ； ② . 【试题解析】：参考答案（１）乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度；（２）甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散（或乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中）．（３）甲品种棉花的纤维长度的中位数为３０７mm ，乙品种棉花的纤维长度的中位数为３１８mm ；（４）乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近），甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（３５２）外，也大致对称，其分布较均匀；【高考考点】统计的有关知识【易错点】：不会对数据作出统计分析．【全品备考提示】：对数据的处理是新高考的一个新要求，此类问题今后仍然会出现.三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤． 17、（本小题12分）如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD 交AC 于E ，AB=2．（1）求cos ∠CBE 的值；（2）求AE ．【试题解析】：.(1)因为BA0009060150,BC D C B AC C D ∠=+===所以015CBE ∠=，()00cos cos 45304C BE ∴∠=-=(2)在ABE ∆中，2A B =，故由正弦定理得()()2sin 4515sin 9015AE =-+,故0122sin 30cos154AE ⨯===【高考考点】正弦定理及平面几何知识的应用【易错点】：对有关公式掌握不到位而出错．【全品备考提示】：解三角形一直是高考的重点内容之一，不能轻视．18、（本小题满分12分）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm ）．（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结'BC ，证明：'BC ∥面EFG ．18. 【试题解析】(1)如图正视图E（２）所求多面体的体积()311284446222323V V V cm ⎛⎫=-=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭正长方体三棱锥（３）证明：如图，在长方体''''ABCD A B C D -中，连接'AD ，则'AD ∥'BC因为Ｅ，Ｇ分别为''',AA A D 中点，所以'AD ∥E G ，从而E G ∥'BC ，又'BC EFG ⊄平面, 所以'BC ∥平面ＥＦＧ；【高考考点】长方体的有关知识、体积计算及三视图的相关知识【易错点】：对三视图的相关知识掌握不到位，求不出有关数据．【全品备考提示】：三视图是新教材中的新内容，故应该是新高考的热点之一，要予以足够的重视．19、（本小题满分12分）为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：5，6，7，8，9，10．把这6名学生的得分看成一个总体．（1）求该总体的平均数；（2）用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本．求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．19. 【试题解析】（１）总体平均数为()156789107.56+++++=（２）设Ａ表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”从总体中抽取２个个体全部可能的基本结果有：(5,6), (5,7), (5,8), (5,9), (5,10), (6,7), (6,8), (6,9), (6,10), (7,8), (7,9), (7,10), (8,9), (8,10), (9,10),共１５个基本结果．事件Ａ包含的基本结果有：(5,9), (5,10), (6,8), (6,9), (6,10), (7,8), (7,9),共有７个基本结果；所以所求的概率为()715P A =【高考考点】统计及古典概率的求法【易错点】：对基本事件分析不全面．【全品备考提示】：古典概率的求法是一个重点，但通常不难，要认真掌握．20、（本小题满分12分）已知m ∈R ，直线l ：2(1)4m x m y m -+=和圆C ：2284160x y x y +-++=．（1）求直线l 斜率的取值范围；（2）直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？２０【试题解析】（１）直线l 的方程可化为22411m m y x m m =-++，此时斜率21m k m =+因为()2112m m ≤+，所以2112m k m =≤+，当且仅当1m =时等号成立所以，斜率k 的取值范围是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（２）不能.由（１知l 的方程为()4y k x =-，其中12k ≤；圆Ｃ的圆心为()4,2C -，半径2r =；圆心Ｃ到直线l 的距离d =由12k ≤，得1d ≥>，即2r d >，从而，若l 与圆Ｃ相交，则圆Ｃ截直线l 所得的弦所对的圆心角小于23π，所以l 不能将圆Ｃ分割成弧长的比值为12的两端弧；【高考考点】直线与圆及不等式知识的综合应用【易错点】：对有关公式掌握不到位而出错．【全品备考提示】：本题不是很难，但需要大家有扎实的功底，对相关知识都要受熟练掌握；21、（本小题满分12分）设函数()b f x ax x=-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --=．（1）求()y f x =的解析式；（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值．２１. 【试题解析】１）方程74120x y --=可化为734y x =-，当2x =时，12y =；又()'2b f x a x =+，于是1222744b a b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得13a b =⎧⎨=⎩，故()3fx x x=-（２）设()00,P x y 为曲线上任一点，由'231y x=+知曲线在点()00,P x y 处的切线方程为()002031y y x x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，即()00200331y x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令0x =，得06y x =-，从而得切线与直线0x =的交点坐标为060,x ⎛⎫- ⎪⎝⎭；令y x =，得02y x x ==，从而得切线与直线y x =的交点坐标为()002,2x x ；所以点()00,P x y 处的切线与直线0,x y x ==所围成的三角形面积为0016262x x -=；故曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0,x y x ==所围成的三角形面积为定值，此定值为６；【高考考点】导数及直线方程的相关知识【易错点】：运算不仔细而出错．【全品备考提示】：运算能力一直是高考考查的能力之一，近年来，对运算能力的要求降低了，但对准确率的要求提高了．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22、（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，过圆O 外一点M 作它的一条切线，切点为A ，过A 作直线AP 垂直直线OM ，垂足为P ．（1）证明：O M ·OP = OA 2；（2）N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点．过B点的切线交直线ON于K．证明：∠OKM = 90°．22．【试题解析】（１）证明：因为ＭＡ是圆Ｏ的切线，所以O A A M⊥，又因为A P O M⊥，在R t O A M∆中，由射影定理知2OA OM OP=⋅；（２）证明：因为ＢＫ是圆Ｏ的切线，B N O K⊥，同()1有：2OB ON OK=⋅，又O B O A=，所以O M O P⋅=O N O K⋅，即O N O MO P O K=，又N O P M O K∠=∠，所以O N P O M K∆∆，故090OKM OPN∠=∠=；【高考考点】圆的有关知识及应用【易错点】：对有关知识掌握不到位而出错【全品备考提示】：高考对平面几何的考查一直要求不高，故要重点掌握，它是我们的得分点之一．23、（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C1：cos()sinxyθθθ=⎧⎨=⎩为参数，曲线C2：2()2xty⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数．（1）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；157417843.doc －第 21 页 (共 21 页) （2）若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线1'C ，2'C ．写出1'C ，2'C 的参数方程．1'C 与2'C 公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同？说明你的理由．２３. 【试题解析】（１）Ｃ１时圆，Ｃ２是直线Ｃ１的普通方程为221x y +=，圆心Ｃ１（0,0），半径1r =;Ｃ2的普通方程为0x y -+=,因为圆心Ｃ１到直线0x y -+=的距离为１，所以Ｃ１与Ｃ２只有一个公共点；（２）压缩后的参数方程分别为()()''12cos 2::1sin 24x x C C t y y t ⎧=θ=-⎧⎪⎪⎪θ⎨⎨=θ⎪⎪⎩=⎪⎩为参数，为参数化为普通方程为'2'121::22C x C y x =+2+4y =1，联立消元得：2210x ++=，其判别式(24210∆=-⨯⨯=；所以压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点，和原来相同；【高考考点】参数方程与普通方程的互化及应用【易错点】：对有关公式掌握不到位而出错．【全品备考提示】：高考对参数方程的考查要求也不高，故要重点掌握，它也是我们的得分点之一．。

【高考数学】定积分的概念、基本定理经典习题集22

【高考数学】定积分的概念、基本定理经典习题集22未命名一、解答题1．求由曲线2y x =与直线1y x =-及1x =所围成的图形的面积。

【答案】12ln 22-【解析】【分析】先由题意作出简图，求出直线1y x =-与曲线2y x=交点的横坐标，再由微积分基本定理求解，即可得出结果. 【详解】由题意，作出曲线2y x=与直线1y x =-及1x =所围成的图形如下（阴影部分）：由21y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩解得2x =，或1x =-（舍）所以阴影部分面积为2212211(1)(2ln )2ln 2122S x dx x x x x=-+=-+=-⎰.【点睛】本题主要考查定积分的应用，熟记微积分基本定理即可，属于常考题型.2．在区间[0，1]上给定曲线y ＝x 2，试在此区间内确定点t 的值，使图中阴影部分的面积：（1）S 1＝S 2；（2）S ＝S 1+S 2最小．【答案】（1）t 3=（2）t 12=.【解析】【分析】（1）利用定积分求出面积，根据S 1＝S 2，建立方程，即可确定点t 的值；（2）S ＝S 1+S 243=t 3﹣t 213+（0≤t ≤1），求导数，确定函数的单调性，即可求出最小值．【详解】（1）∵S 1＝t •t 2﹣2tx ⎰dx 23=t 3， S 2＝12tx ⎰dx ﹣（1﹣t ）•t 223=t 3﹣t 213+，∵S 1＝S 2， ∴23t 323=t 3﹣t 213+， ∴t =（2）∵S ＝S 1+S 243=t 3﹣t 213+（0≤t ≤1），S ′＝4t 2﹣2t ＝4t （t 12-），令S ′＝0，得t ＝0，t 12=．∵函数在（0，12）上S ′＜0，在（12，1）上S ′＞0，∴t 12=是极小值点，又S （12）14=，S （0）13=，S （1）23=，故t 12=时，S ＝S 1+S 2最小为14．【点睛】本题考查利用定积分求面积，解题的关键是确定被积区间及被积函数． 3．计算下列定积分．（1）342x dx -+⎰（2）46cos2xdx ππ⎰（3）1211e dx x +-⎰【答案】291 (1) (2)(3) 1224-【解析】【分析】（1）根据定积分性质，去掉绝对值即可求出；（2）（3）直接依据微积分基本定理计算即可求出．【详解】（1）233232242442112(2)(2)(2)(2)22x dx x dx x dx x x x x -------+=--++=--++⎰⎰⎰212920(2)22=-+--=（2）446611cos 2(sin 2)224xdx x ππππ==-⎰ （3）11221ln(1)ln ln111e e dx x e x ++=-=-=-⎰【点睛】本题主要考查利用定积分的性质以及微积分基本定理计算定积分，关键是求出被积函数的一个原函数．4．计算下列定积分.（1）43x dx -⎰；（2）1211e dx x +-⎰. 【答案】（1）252；（2）1. 【解析】【分析】（1）化简30344||()x dx x dx xdx --=-+⎰⎰⎰，然后利用微积分基本定理求解即可；（2）直接利用微积分基本定理求解即可. 【详解】（1）3344||()x dx x dx xdx --=-+⎰⎰⎰0322401125222x x -=-+=；（2）11221ln(1)1e e dx x x ++=--⎰ln(11)ln(21)1e =+---=.【点睛】本题主要考查微积分基本定理的应用，属于中档题. 5．求由曲线y ＝x 2与y ＝2﹣x 2围成的平面图形的面积. 【答案】83【解析】【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为﹣1，积分上限为1，从而利用定积分表示出阴影部分的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．【详解】解：先根据题意画出图形，由222y x y x⎧=⎨=-⎩得A （﹣1，1），B （1，1）．得到积分上限为1，积分下限为﹣1，曲线y ＝x 2与y ＝2﹣x 2围成的平面图形的面积为S ＝∫01（x ﹣x 2）dx 而∫﹣11（2﹣x 2﹣x 2）dx ＝（ 2x 323x -）|﹣11＝223-+22833-=【点睛】本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，解题的关键就是求原函数．6．在区间[0,1]上给定曲线2y x =，试在此区间内确定点t的值，使图中所给阴影部分的面积1S 与2S 之和最小．【答案】41. 【解析】试题分析：先由定积分的几何意义分别求出303222013231()(t x x t dx x t S t t =-=-⎰=，3132)(232212+-=-⎰=t t dx t x S t ，从而3134)(2321--==+t t t f S S )10(≤≤t ，然后通过导数确定函数()f t 的极值，并求出端点值，比较极值与端点值的大小，最小的就是最小值，问题就解决了. 试题解析：设10≤≤t 当t x =时，2t y = ∴303222013231()(t x x t dx x t S t t =-=-⎰= 3132)(232212+-=-⎰=t t dx t x S t ∴阴影部分的面积为3134)(2321--==+t t t f S S )10(≤≤t t t t f 24)(2-='，令0)(='t f 可得01=t 或212=t由31)0(=f ， 32)1(=f 41)21(=f 可知当21=t 时，12S S +有最小值41.考点：1.定积分的几何意义；2.函数的最值与导数.7．由曲线22y x =+与3y x =， 0x =， 2x =所围成的平面图形的面积为【答案】23【解析】试题分析：()()12220132123201::233213312|2|32231S x x dx x x dxx x x x x x =+-+--⎛⎫⎛⎫=+-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎰⎰解由题意知阴影部分的面积是考点：本题主要考查定积分的几何意义。

【走向高考】(2013春季发行)高三数学第一轮总复习 3-1导数的概念及运算新人教A版

3-1导数的概念及运算基础巩固强化1.(文)(2011·青岛质检)设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( ) A ．e 2B ．e C.ln22 D ．ln2[答案] B[解析] f ′(x )＝1＋ln x ，∴f ′(x 0)＝1＋ln x 0＝2， ∴ln x 0＝1，∴x 0＝e ，故选B.(理)已知函数y ＝f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程是x －2y ＋1＝0，则f (1)＋2f ′(1)的值是( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 [答案] D[解析] 由条件知，y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率f ′(1)＝12，又点(1，f (1))在切线x －2y ＋1＝0上，∴f (1)＝1，∴f (1)＋2f ′(1)＝1＋2×12＝2.2．(文)(2011·广东省东莞市模拟)已知曲线y ＝18x 2的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．4B ．3C ．2 D.12[答案] C[解析] 由条件知，k ＝y ′＝14x ＝12，∴x ＝2.(理)(2012·乌鲁木齐地区二诊)直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，则b 的值为( )A ．－2B ．－1C ．－12D ．1[答案] B[解析] 设切点(a ，－12a ＋ln a )，y ′＝－12＋1x，∴－12＋1a ＝12，a ＝1，故切点(1，－12)在直线y ＝12x ＋b 上，有－12＝12＋b ，∴b ＝－1.3．(文)(2011·皖南八校联考)直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝x 3＋ax ＋1相切于点(2,3)，则b 的值为( )A ．－3B ．9C ．－15D ．－7[答案] C[解析] 将点(2,3)分别代入曲线y ＝x 3＋ax ＋1和直线y ＝kx ＋b ，得a ＝－3,2k ＋b ＝3.又k ＝y ′|x ＝2＝(3x 2－3)|x ＝2＝9， ∴b ＝3－2k ＝3－18＝－15.(理)(2011·广东华南师大附中测试)曲线y ＝2x 2在点P (1，2)处的切线方程是( ) A ．4x －y －2＝0 B ．4x ＋y －2＝0 C ．4x ＋y ＋2＝0 D ．4x －y ＋2＝0[答案] A[解析] ∵k ＝y ′|x ＝1＝4x |x ＝1＝4，∴切线方程为y －2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0.4．已知y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，当y ′＝2时，x 等于( )A.π3 B.23π C.π4D.π6[答案] C[解析] y ′＝(tan x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝1cos 2x ＝2，∴cos 2x ＝12，∴cos x ＝±22， ∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴x ＝π4.5．(文)(2011·山东淄博一中期末)曲线y ＝13x 3＋x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )A ．1 B.19 C.13 D.23[答案] B[解析] ∵y ′＝x 2＋1，∴k ＝2，切线方程y －43＝2(x －1)，即6x －3y －2＝0，令x ＝0得y ＝－23，令y ＝0得x ＝13，∴S ＝12×13×23＝19.(理)(2012·烟台调研)设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( )A ．2B ．－2C ．－12D.12[答案] B[解析] ∵f ′(x )＝x －1－x ＋1x －12＝－2x －12，∴f ′(3)＝－12，由条件知，－12×(－a )＝－1，∴a ＝－2.6．(文)等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215[答案] C[解析] f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]＋[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′·x＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)＋[(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)]′·0＝a 1a 2…a 8. 因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212. (理)(2013·辽宁大连二十四中上学期期中考试)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－1(ω>0)的导函数f ′(x )的最大值为3，则f (x )图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝π9B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝π2[答案] A[解析] f ′(x )＝ωcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的最大值为3，即ω＝3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6－1.由3x ＋π6＝π2＋k π得，x ＝π9＋k π3 (k ∈Z )．故A 正确．7．设θ为曲线y ＝x 3＋3x 2＋ax ＋2的切线的倾斜角，且所有θ组成的集合为[π4，π2)，则实数a 的值为________．[答案] 4[解析] 设切线的斜率为k ，则k ＝y ′＝3x 2＋6x ＋a ，又∵k ＝tan θ，θ∈[π4，π2)，∴k ∈[1，＋∞)．又k ＝3(x ＋1)2＋a －3，∴当x ＝－1时，k 取最小值为a －3＝1. ∴a ＝4.8．(文)(2011·北京模拟)已知函数f (x )＝3x 3＋2x 2－1在区间(m,0)上总有f ′(x )≤0成立，则m 的取值范围为________．[答案] [－49，0)[解析] ∵f ′(x )＝9x 2＋4x ≤0在(m,0)上恒成立，且f ′(x )＝0的两根为x 1＝0，x 2＝－49，∴－49≤m <0.(理)设a ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数是f ′(x )，若f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为________．[答案] y ＝－3x[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a －3)，又∵f ′(x )为偶函数，∴f ′(－x )＝f ′(x )，即3x 2－2ax ＋(a －3)＝3x 2＋2ax ＋(a －3) 对任意x ∈R 都成立，∴a ＝0， ∴f ′(x )＝3x 2－3，f ′(0)＝－3，∴曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为y ＝－3x . 9．(2011·济南模拟)设曲线y ＝xn ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．[答案] －2[解析] 点(1,1)在曲线y ＝xn ＋1(n ∈N *)上，点(1,1)为切点，y ′＝(n ＋1)x n，故切线的斜率为k ＝n ＋1，曲线在点(1,1)处的切线方程y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0得切点的横坐标为x n ＝nn ＋1，故a 1＋a 2＋…＋a 99＝lg(x 1x 2…x 99)＝lg(12×23×…×99100)＝lg 1100＝－2. 10．(文)设函数y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象与y 轴交点为P ，且曲线在P 点处的切线方程为12x －y －4＝0. 若函数在x ＝2处取得极值0，试确定函数的解析式.[解析] ∵y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象与y 轴的交点为P (0，d )，又曲线在点P 处的切线方程为y ＝12x －4，P 点坐标适合方程，从而d ＝－4；又切线斜率k ＝12，故在x ＝0处的导数y ′|x ＝0＝12而y ′|x ＝0＝c ，从而c ＝12；又函数在x ＝2处取得极值0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ′|x ＝2＝0，f 2＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋4b ＋12＝0，8a ＋4b ＋20＝0.解得a ＝2，b ＝－9，所以所求函数解析式为y ＝2x 3－9x 2＋12x －4. (理)已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x 在x ＝1处有极值12.(1)求a 、b 的值；(2)判断函数y ＝f (x )的单调性并求出单调区间． [解析] (1)因为函数f (x )＝ax 2＋b ln x ，所以f ′(x )＝2ax ＋b x. 又函数f (x )在x ＝1处有极值12，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝0，f 1＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0，a ＝12，可得a ＝12，b ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝12x 2－ln x ，其定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝x －1x＝x ＋1x －1x.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以函数y能力拓展提升11.(2013·辽宁省沈阳四校期中联考)若函数y ＝x 33－x 2＋1(0<x <2)的图象上任意点处切线的倾斜角为α，则α的最小值是( )A.π4B.π6C.5π6D.3π4[答案] D[解析] y ′＝x 2－2x ＝(x －1)2－1， ∵0<x <2，∴－1≤y ′<0，由题意知－1≤tan α<0，∴3π4≤α<π，故选D. 12．(2011·广东省汕头市四校联考)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )<12，则f (x )<x 2＋12的解集为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |x <－1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x >1}[答案] D[解析] 令φ(x )＝f (x )－x 2－12，则φ′(x )＝f ′(x )－12<0，∴φ(x )在R 上是减函数，∵φ(1)＝f (1)－12－12＝1－1＝0，∴φ(x )＝f (x )－x 2－12<0的解集为{x |x >1}，选D.13．(文)二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且它的导函数y ＝f ′(x )的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y ＝f (x )的图象的顶点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] C[解析] 由题意可设f (x )＝ax 2＋bx ，f ′(x )＝2ax ＋b ，由于f ′(x )图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a >0，b >0，则f (x )＝a (x ＋b 2a )2－b 24a ，顶点(－b 2a ，－b 24a)在第三象限，故选C.(理)函数f (x )＝x cos x 的导函数f ′(x )在区间[－π，π]上的图象大致为( )[答案] A[解析] ∵f (x )＝x cos x ，∴f ′(x )＝cos x －x sin x ， ∴f ′(－x )＝f ′(x )，∴f ′(x )为偶函数，排除C ； ∵f ′(0)＝1，排除D ；由f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2<0，f ′(2π)＝1>0，排除B ，故选A. 14．(2011·朝阳区统考)若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－∞，0)[解析] 由题意，可知f ′(x )＝3ax 2＋1x，又因为存在垂直于y 轴的切线，所以3ax2＋1x ＝0⇒a ＝－13x3(x >0)⇒a ∈(－∞，0)． 15．(文)已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程． [解析] y ＝13x 3＋43，则y ′＝x 2.(1)由题意可知点P (2,4)为切点，y ′|x ＝2＝22＝4，所以曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0. (2)由题意可知点P (2,4)不一定为切点，故设切点为(x 0，13x 30＋43)，y ′|x ＝x 0＝x 20，曲线过点P (2,4)的切线方程为y －(13x 30＋43)＝x 20(x －x 0)，所以4－(13x 30＋43)＝x 20(2－x 0)，x 30－3x 20＋4＝0⇔(x 30＋1)－3(x 20－1)＝0⇔(x 0＋1)(x 20－4x 0＋4)＝0.解得x 0＝－1或x 0＝2，即切点为(－1,1)或(2,4)．所以曲线过点P (2,4)的切线方程为x －y ＋2＝0和4x －y －4＝0.(理)设函数f (x )＝ax ＋b x的图象在点M (3，f (3))处的切线方程为2x －3y ＋23＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的单调递减区间；(3)证明曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．[解析] (1)因为切点在切线上，所以将点M 坐标代入切线方程解得f (3)＝433.∵f (x )＝ax ＋b x ，∴f ′(x )＝a －b x2，根据题意，得关于a ，b 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧a －b 3＝23，3a ＋b3＝433，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.所以f (x )的解析式为f (x )＝x ＋1x.(2)由f ′(x )＝1－1x2(x ≠0)，令f ′(x )<0，解得－1<x <0或0<x <1. 所以f (x )的单调递减区间为(－1,0)，(0,1)． (3)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1－1x2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(1－1x 20)(x －x 0)，即y －(x 0＋1x 0)＝(1－1x 20)(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝2x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为(0，2x 0)．令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0|2x 0|＝2.16．(文)已知函数f (x )＝x 3－(a ＋b )x 2＋abx ，(0<a <b )．(1)若函数f (x )在点(1,0)处的切线的倾斜角为3π4，求a 、b 的值；(2)在(1)的条件下，求f (x )在区间[0,3]上的最值； (3)设f (x )在x ＝s 与x ＝t 处取得极值，其中s <t ，求证：0<s <a <t <b .[解析] (1)f ′(x )＝3x 2－2(a ＋b )x ＋ab ，tan 3π4＝－1.由条件得⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝0f ′1＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＋b ＋ab ＝03－2a ＋b ＋ab ＝－1，解得a ＝1，b ＝2或a ＝2，b ＝1，因为a <b ，所以a ＝1，b ＝2.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2＋2x ，f ′(x )＝3x 2－6x ＋2，令f ′(x )＝3x 2－6x ＋2＝0，解得x 1＝1－33，x 2＝1＋33. 在区间[0,3]上，x ，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：(3)证明：f ′(x )＝3x 2－2(a ＋b )x ＋ab ，依据题意知s ，t 为二次方程f ′(x )＝0的两根． ∵f ′(0)＝ab >0，f ′(a )＝a 2－ab ＝a (a －b )<0，f ′(b )＝b 2－ab ＝b (b －a )>0，∴f ′(x )＝0在区间(0，a )与(a ，b )内分别有一个根． ∵s <t ，∴0<s <a <t <b .(理)已知定义在正实数集上的函数f (x )＝12x 2＋2ax ，g (x )＝3a 2ln x ＋b ，其中a >0.设两曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )有公共点，且在该点处的切线相同．(1)用a 表示b ，并求b 的最大值； (2)求证：f (x )≥g (x ) (x >0)．[解析] (1)设y ＝f (x )与y ＝g (x )(x >0)的公共点为(x 0，y 0)，∴x 0>0. ∵f ′(x )＝x ＋2a ，g ′(x )＝3a2x，由题意f (x 0)＝g (x 0)，且f ′(x 0)＝g ′(x 0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧12x 2＋2ax 0＝3a 2ln x 0＋b ，x 0＋2a ＝3a2x0，由x 0＋2a ＝3a2x 0得x 0＝a 或x 0＝－3a (舍去)．则有b ＝12a 2＋2a 2－3a 2ln a ＝52a 2－3a 2ln a .令h (a )＝52a 2－3a 2ln a (a >0)，则h ′(a )＝2a (1－3ln a )．由h ′(a )>0得，0<a <e 13，由h ′(a )<0得，a >e 13.故h (a )在(0，e 13)为增函数，在(e 13，＋∞)上为减函数， ∴h (a )在a ＝e 13 时取最大值h (e 13 )＝32e 23.即b 的最大值为32e 23.(2)设F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2＋2ax －3a 2ln x －b (x >0)，则F ′(x )＝x ＋2a －3a 2x＝x －a x ＋3a x(x >0)．故F (x )在(0，a )为减函数，在(a ，＋∞)为增函数，于是函数F (x )在(0，＋∞)上的最小值是F (a )＝F (x 0)＝f (x 0)－g (x 0)＝0. 故当x >0时，有f (x )－g (x )≥0，即当x >0时，f (x )≥g (x )．1．(2011·安徽省“江南十校”高三联考)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(1)＝( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2[答案] B[解析] f ′(x )＝2f ′(1)＋2x ，令x ＝1得f ′(1)＝2f ′(1)＋2，∴f ′(1)＝－2，故选B.2．(2011·茂名一模)设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－12[答案] A[解析] ∵f (x )＝g (x )＋x 2，∴f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，∴f ′(1)＝g ′(1)＋2，由条件知，g ′(1)＝2，∴f ′(1)＝4，故选A. 3．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2[答案] A [解析] ∵y ′＝x ′x ＋2－x x ＋2′x ＋22＝2x ＋22，∴k ＝y ′|x ＝－1＝2－1＋22＝2，∴切线方程为：y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.4．(2011·湖南湘西联考)下列图象中有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图象，则f (－1)＝( )A.13 B ．－13C.53 D ．－53[答案] B[解析] f ′(x )＝x 2＋2ax ＋(a 2－1)，∵a ≠0， ∴其图象为最右侧的一个．由f ′(0)＝a 2－1＝0，得a ＝±1. 由导函数f ′(x )的图象可知，a <0，故a ＝－1，f (－1)＝－13－1＋1＝－13.5．(2011·广东省佛山市测试)设f (x )、g (x )是R 上的可导函数，f ′(x )、g ′(x )分别为f (x )、g (x )的导函数，且满足f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时，有( )A ．f (x )g (b )>f (b )g (x )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (x )>f (b )g (b )D ．f (x )g (x )>f (a )g (a )[答案] C[解析] 因为f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )＝[f (x )g (x )]′，所以[f (x )g (x )]′<0，所以函数y ＝f (x )g (x )在给定区间上是减函数，故选C.6．定义方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫做函数f (x )的“新驻点”，若函数g (x )＝x ，h (x )＝ln(x ＋1)，φ(x )＝x 3－1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为( )A ．α>β>γB ．β>α>γC ．γ>α>βD ．β>γ>α[答案] C[解析] 由g (x )＝g ′(x )得，x ＝1，∴α＝1，由h (x )＝h ′(x )得，ln(x ＋1)＝1x ＋1，故知1<x ＋1<2，∴0<x <1，即0<β<1，由φ(x )＝φ′(x )得，x 3－1＝3x 2，∴x 2(x －3)＝1， ∴x >3，故γ>3，∴γ>α>β. [点评] 对于ln(x ＋1)＝1x ＋1，假如0<x ＋1<1，则ln(x ＋1)<0，1x ＋1>1矛盾；假如x ＋1≥2，则1x ＋1≤12，即ln(x ＋1)≤12，∴x ＋1≤e ，∴x ≤e －1与x ≥1矛盾． 7．(2012·衡水质量检测)已知函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(b －1)x ＋c (a >0)，曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝x ＋1.(1)求b 、c 的值；(2)若过点(0,3)可作曲线g (x )＝f (x )－x 的三条不同切线，求实数a 的取值范围． [解析] (1)∵f ′(x )＝x 2－ax ＋(b －1)，又f (0)＝1，f ′(0)＝1.∴b ＝2，c ＝1.(2)设过(0,3)与曲线g (x )＝f (x )－x 相切的直线为l ，切点的坐标为(t ，g (t ))，又g (x )＝13x 3－12ax 2＋1，g ′(x )＝x 2－ax ，则切线l 的方程为y －(13t 3－12at 2＋1)＝(t 2－at )(x －t )．又直线l 过点(0,3)，∴3－13t 3＋12at 2－1＝－t 3＋at 2，即23t 3－a 2t 2＋2＝0，又过点(0,3)可作曲线g (x )＝f (x )－x 的三条不同切线．等价于方程23t 3－a 2t 2＋2＝0有三个相异实根．令h (t )＝23t 3－a 2t 2＋2，h ′(t )＝2t 2－at ＝t ·(2t －a )．∵a >0，∴t ，h ′(t )，h (t )的变化情况如下表：当且仅当2－a 324<0，即a >236.∴a 的取值范围是(236，＋∞)．。

高二数学(人教B版)选修1-1阶段性测试题4

阶段性测试题四(第三章基本知能检测)时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．根据导数的定义，f′(x1)等于()A.lim x→x0f(x1)－f(x0)x1－xB.limΔx→0f(x1)－f(x0)ΔxC.limΔx→0f(x1＋Δx)－f(x1)ΔxD.limx1→0f(x1＋Δx)－f(x1)Δx[答案] C[解析]由导数定义知，f′(x1)＝limΔx→0f(x1＋Δx)－f(x1)Δx，故选C.2．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)、g(x)满足f′(x)＝g′(x)，则f(x)与g(x)满足()A．f(x)＝g(x)B．f(x)－g(x)为常数函数C．f(x)＝g(x)＝0D．f(x)＋g(x)为常数函数[答案] B[解析]令F(x)＝f(x)－g(x)，F′(x)＝f′(x)－g′(x)＝0，∴函数F(x)为常数函数，故f(x)－g(x)为常数函数．3．一物体的运动方程为s＝2t sin t＋t，则它的速度方程为()A．v＝2sin t＋2t cos t＋1 B．v＝2sin t＋2t cos tC．v＝2sin t D．v＝2sin t＋2cos t＋1[答案] A[解析]因为变速运动在t0的瞬时速度就是路程函数y＝s(t)在t0的导数，s′＝2sin t＋2t cos t＋1，故选A.4．函数y＝1＋3x－x3有()A．极小值－1，极大值1B．极小值－2，极大值3C．极小值－2，极大值2D．极小值－1，极大值3[答案] D[解析]∵y′＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)，令y′＝0得x＝1或x＝－1，当x<－1时，y′<0，当－1<x<1时，y′>0，当x>1时，y′<0，∴当x＝－1时，函数取极小值－1，当x＝1时，函数取极大值3，故选D.5．曲线y＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率是()A．4 B．5C．6 D．7[答案] D[解析]由导数的几何意义知，曲线y＝x2＋3x在点A(2，10)处的切线的斜率就是函数y＝x2＋3x在x＝2时的导数，y′|x＝2＝7，故选D.6．函数y＝x2－1x的导数是()A.x2－1xB.x2＋1x2C.x2－1x2D.－x2＋1x[答案] B[解析]y′＝(x2－1)′x－(x2－1)x′x2＝x2＋1x2，故选B.7．过点(0，－4)与曲线y＝x3＋x－2相切的直线方程是() A．y＝－2x－4 B．y＝4x－4C．y＝2x－4 D．y＝－4x－4[答案] B[解析]∵点(0，－4)不在曲线y＝x3＋x－2上，设切点坐标为(x0，y0)，切线斜率k＝3x20＋1，切线方程为y－y0＝(3x20＋1)(x－x0)，又点(0，－4)在切线上，∴－4－y0＝(3x20＋1)(－x0)，又y0＝x30＋x0－2，∴－4－x30－x0＋2＝－3x30－x0，解得x0＝1.∴切点坐标为(1,0)，切线方程为y＝4x－4，故选B.8．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax＋1，在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∪(0,1]C．(0,1) D．(0,1][答案] D[解析]f(x)＝－x2＋2ax，对称轴为x＝a，当a≤1时，f(x)在[1,2]上为减函数，由g′(x)＝－a(x＋1)2<0，得a>0.故0<a≤1.9．已知函数f(x)＝x ln x，若f(x)在x0处的函数值与导数值之和等于1，则x0的值等于() A．1 B．－1C．±1 D．不存在[答案] A[解析]因为f(x)＝x ln x，所以f′(x)＝ln x＋1，于是有x0ln x0＋ln x0＋1＝1，解得x0＝1或x0＝－1(舍去)，故选A.10．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值依次是()A．12，－15 B．5，－15C．5，－4 D．－4，－15[答案] B[解析]y′＝6x2－6x－12＝6(x2－x－2)＝6(x－2)(x＋1)，令y′＝0，得x＝－1或x＝2，∵x∈[0,3]，∴x＝－1舍去．列表如下：11．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x－1有极大值和极小值，则a的取值范围是() A．－1<a<2 B．－3<a<6C．a<－3或a>6 D．a<－1或a>2[答案] C[解析]f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，令f′(x)＝0，即3x2＋2ax＋a＋6＝0，由题意，得Δ＝4a2－12(a＋6)＝4(a2－3a－18)＝4(a－6)(a＋3)>0，∴a >6或a <－3，故选C.12．函数y ＝x sin x ＋cos x 在下面哪个区间内是增函数 ( ) A.⎝⎛⎭⎫π2，3π2 B ．(π，2π) C.⎝⎛⎭⎫3π2，5π2D ．(2π，3π)[答案] C[解析] 对函数求导得y ′＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ， ∴函数y ＝x sin x ＋cos x 在所求区间内是增函数，即y ′>0，∴x cos x >0.当x >0时，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋π2(k ≥1且k ∈Z )．当x <0时，x ∈⎝⎛⎭⎫2k π＋π2，2k π＋32π(k ≤－1且k ∈Z )．选项中只有C 符合要求．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上) 13．设一个物体的运动方程为S ＝1－t ＋t 2，其中S 的单位为m ，t 的单位为秒，那么该物体在3秒末的瞬时速度是________．[答案] 5米/秒[解析] 物体在3秒末的瞬时速度就是路程函数 S ＝1－t ＋t 2在t ＝3时的导数，S ′|t ＝3＝5.14．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.[答案] 3[解析] 导函数在某点处的函数值表示曲线上该点的切线的斜率． ∵k ＝f ′(1)＝12，f (1)＝52，∴f (1)＋f ′(1)＝3.15．函数y ＝x ＋2cos x 在区间[0，12]上的最大值是________．[答案] 12＋2cos 12[解析] y ′＝1－2sin x ，∵x ∈[0，12]，∴0≤sin x <12，∴y ′>0恒成立，即该函数在[0，12]上是增函数．∴当x ＝12时，y max ＝12＋2cos 1216．使y ＝sin x ＋ax 为R 上的增函数的a 的取值范围为______________． [答案] a ≥1[解析] ∵y ′＝cos x ＋a ≥0在R 上恒成立， ∴a ≥－cos x 在R 上恒成立，又cos x ∈[－1,1]，∴－cos x ∈[－1,1]，∴a ≥1.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)求函数y ＝x 4－2x 2＋2在[－3,3]上的最大值和最小值． [解析] y ′＝4x 3－4x ＝4x (x ＋1)(x －1)，令y ′＝0得x ＝－1，x ＝0，x ＝1， y ′及y 随x 的变化如下表18．(本题满分12分)设函数f (x )＝－133＋2ax 2－3a 2x ＋13a (0<a <1)．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若当x ∈[a,2]时，恒有f (x )≤0，试确定a 的取值范围． [解析] (1)f ′(x )＝－x 2＋4ax －3a 2＝－(x －a )·(x －3a )． ∵0<a <1，∴f ′(x )>0⇔a <x <3a ；f ′(x )<0⇔x <a 或x >3a . ∴递增区间是(a,3a )，递减区间是(－∞，a )和(3a ，＋∞)．(2)①2≤3a 即23≤a <1时，f (x )在区间[a,2]上是增函数，∴f (x )max ＝f (2)＝－83＋253a －6a 2.∴⎩⎨⎧23≤a <1－83＋253a －6a 2≤0⇔89≤a <1. ②2>3a 即0<a <23时，f (x )在(a,3a )上单调递增，在(3a,2)上单调递减，∴f (x )max ＝f (3a )＝13a .∴⎩⎨⎧0<a <2313a ≤0无解．综上所述，a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫89，1.[说明] 在对参数进行分类讨论时，必须确定分类的标准，且保证不重不漏． 19．(本题满分12分)已知函数f (x )＝ax 3＋cx ＋d (a ≠0)是R 上的奇函数，当x ＝1时，f (x )取得极值－2.求f (x )的单调区间和极大值．[解析] 由奇函数的定义，应有f (－x )＝－f (x )，x ∈R ，即－ax 3－cx ＋d ＝－ax 3－cx －d ，∴d ＝0，∴f (x )＝ax 3＋cx ，f ′(x )＝3ax 2＋c ，由条件f (1)＝－2为f (x )的极值，则有f ′(1)＝0，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝－23a ＋c ＝0，解得a ＝1，c ＝－3，因此，f (x )＝x 3－3x ，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，令f ′(x )<0，得－1<x <1， ∴函数f (x )在(－1,1)上是减函数．所以f (x )在x ＝－1处取得极大值，极大值为f (－1)＝2.20．(本题满分12分)(1)求曲线y ＝2xx 2＋1在点(1,1)处的切线方程；(2)运动曲线方程为S ＝t －1t 2＋2t 2，求t ＝3时的速度．[解析] (1)y ′＝2(x 2＋1)－2x ·2x (x 2＋1)2＝2－2x 2(x 2＋1)2，y ′|x ＝1＝2－24＝0，即曲线在点(1,1)处的切线斜率k ＝0. 因此，曲线y ＝2xx 2＋1在(1,1)处的切线方程为y ＝1. (2)S ′＝⎝⎛⎭⎫t －1t 2′＋(2t 2)′＝t 2－2t (t －1)t 4＋4t ＝－1t 2＋2t3＋4t ，S ′|t ＝3＝－19＋227＋12＝112627.21．(本题满分12分)(2009·重庆)已知函数f (x )＝ax 4ln x ＋bx 4－c (x >0)在x ＝1处取得极值－3－c ，其中a ，b ，c 为常数．(1)试确定a ，b 的值； (2)讨论函数f (x )的单调区间；(3)若对任意x >0，不等式f (x )≥－2c 2恒成立，求c 的取值范围． [解析] (1)由题意知f (1)＝－3－c ，因此b －c ＝－3－c ，从而b ＝－3.又对f (x )求导得f ′(x )＝4ax 3ln x ＋ax 4·1x4bx 3＝x 3(4a ln x ＋a ＋4b )．由题意f ′(1)＝0，因此a ＋4b ＝0，解得a ＝12.(2)由(1)知f ′(x )＝48x 3ln x (x >0)，令f ′(x )＝0，解得x ＝1. 当0<x <1时，f ′(x )<0，此时f (x )为减函数；当x >1时，f ′(x )>0，此时f (x )为增函数．因此f (x )的单调递减区间为(0,1)，而f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)．(3)由(2)知，f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3－c ，此极小值也是最小值，要使f (x )≥－2c 2(x >0)恒成立，只需－3－c ≥－2c 2，即2c 2－c －3≥0，从而(2c －3)(c ＋1)≥0，解得c ≥32或c ≤－1，所以c 的取值范围为(－∞，－1]∪[32，＋∞)．22．(本题满分14分)设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x－4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．[解析] (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的两交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0.令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。

高二必修5+选修1-1综合训练四

期末综合训练四一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.学科网1．“1x >”是“2x x >”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2．在ABC ∆中，已知222a b c +=+，则C ∠=( )A ．030B ．045C ．0150D ．01353．等差数列｛a n ｝中，已知前15项的和90S 15=，则8a 等于（）．A ．245B ．12C ．445 D ．6 4.在ABC ∆中,80,100,45a b A ︒===,则此三角形解的情况是( )A ．一解B ．两解C ．一解或两解D ．无解5.对于任意实数a 、b 、c 、d ，命题①bc ac c b a >≠>则若,0,；②22,bc ac b a >>则若 ③b a bc ac >>则若,22；④ba b a 11,<>则若；⑤bd ac d c b a >>>>则若,,0．其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4函数y=2x 2＋3x 在x=1时的导数为（）A ．5B ．6C ．7D ．86. 抛物线28y x =-的焦点坐标是（）A ．（2，0）B ．（- 2，0）C ．（4，0）D ．（- 4，0）7. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1(1)n a n n =+，则5S 等于（） A ．1 B ．56 C ．16 D ．1308. 双曲线24x -212y =1的焦点到渐近线的距离为（）A.9.若,,a b c 成等比数列，则关于x 的方程02=++c bx ax ( )A ．必有两个不等实根B ．必有两个相等实根C ．必无实根D ．以上三种情况均有可能10. 已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的公比和项数分别为（）A ．8，2B ．2，4C ．4，10D ．2，811.设定点()3,2M 与抛物线22y x =上的点P 的距离为1d ，P 到抛物线焦点F 的距离为2d ，则12d d +取最小值时，P 点的坐标为（）．A ．()0,0B ．(C ．()2,2D ． 11,82⎛⎫- ⎪⎝⎭ 12．若椭圆)0(122>>=+n m n y m x 和双曲线221(00)x y a b a b-=>>，有相同的左、右焦点21,F F ，P 是两条曲线的一个交点，则||||21PF PF ⋅的值是（）．A ．a m -B ．)(21a m - C ．22a m - D ．a m -. 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把正确答案填写在题中横线上.13．不等式201x x -+≤的解集是_________________. 14.若实数,x y 满足20,4,5,x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩则s x y =+的最大值为 .15.数列{}n a 的前n 项和2321,n S n n =-+则它的通项公式是__________. 16．若椭圆2214x y m +=m =____________. 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在△ABC 中，已知a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 所对应的边长,且222.b c a bc +-= （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若222sin sin sin A B C +=，试判断△ABC 的形状并求角B 的大小.解：（Ⅰ）在△ABC 中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-222cos 2b c a A bc+-∴=，………………………………………………………2分又∵222.b c a bc +-= 1cos ,2A ∴=………………………………………………………5分 ∵0A π<< ∴3A π= …………6分（Ⅱ）∵222sin sin sin ABC +=，由正弦定理得222222444a b c R R R+=…………8分即: 222a b c += 故△ABC 是以角C 为直角的直角三角形……………10分又,36A B ππ=∴=…………………………………………………………12分 18.解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0．解析：当a ＝0时，不等式的解为x ＞1；当a ≠0时，分解因式a (x －a1)(x －1)＜0 当a ＜0时，原不等式等价于(x －a 1)(x －1)＞0，不等式的解为x ＞1或x ＜a1；当0＜a ＜1时，1＜a 1，不等式的解为1＜x ＜a1；当a ＞1时，a 1＜1，不等式的解为a1＜x ＜1；当a ＝1时，不等式的解为 φ。

2008年高考数学海南、宁夏卷(文)全解全析

2008年普通高等学校统一考试数学（文科）（海南、宁夏卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合M ={ x|(x + 2)(x －1) < 0 }，N ={ x| x + 1 < 0 }，则M ∩N =（）A. (－1，1)B. (－2，1)C. (－2，－1)D. (1，2)【标准答案】Ｃ【试题解析】易求得{}{}|21,|1=-<<=<-M x x N x x ∴{}|21=-<<- M N x x 【高考考点】一元二次不等式的解法及集合的交集及补集运算【易错提醒】混淆集合运算的含义或运算不仔细出错【全品备考提示】一元二次不等式的解法及集合间的交、并、补运算布高考中的常考内容，要认真掌握，并确保得分。

2、双曲线221102xy-=的焦距为（）A. 3【标准答案】Ｄ【试题解析】由双曲线方程得22210,212==∴=a b c ，于是2==c c ，选Ｄ【高考考点】双曲线的标准方程及几何性质 3、已知复数1z i =-，则21zz =-（）A. 2B. －2C. 2iD. －2i【标准答案】Ａ【试题解析】将1=-z i 代入得()22122111--===----i zi z i i，选Ａ【高考考点】复数的加减、乘除及乘方运算4、设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（）A. 2eB. eC.ln 22D. ln 2【标准答案】B 【试题解析】∵()ln =f x x x ∴()'1ln ln 1=+⋅=+fx x x x x∴由()'02=fx 得00ln 12 +=∴=x x e ，选Ｂ【高考考点】两个函数积的导数及简单应用5、已知平面向量a =（1，－3），b=（4，－2），a b λ+ 与a垂直，则λ是（）A. －1B. 1C. －2D. 2 【标准答案】Ａ【试题解析】由于()()4,32,1,3,a b a a b a λ+=λ+-λ-=-λ+⊥∴()()43320λ+--λ-=，即101001λ+=∴λ=-，选Ａ【高考考点】简单的向量运算及向量垂直6、右面的程序框图，如果输入三个实数a 、b 、c ，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（）权A. c > xB. x > cC. c > bD. b > c 【标准答案】：A 【试题解析】：有流程图可知第一个选择框作用是比较x 与b 的大小，故第二个选择框的作用应该是比较x 与c 的大小，故应选Ａ；【高考考点】算法中的判断语句等知识。

人教版高中数学常用函数的导数公式教案

基础巩固强化一、选择题1．设y＝e3，则y′等于( )A．3e2 B．e2C．0 D．以上都不是[答案]　C[解析]　∵y＝e3是一个常数，∴y′＝0.2．(2012～2013学年度陕西宝鸡中学高二期末测试)函数y＝sin x的导数是( )A．y＝sin x B．y＝－cos xC．y＝cos x D．y＝－sin x[答案]　C[解析]　∵(sin x)′＝cos x，∴选C.3．已知函数f(x)＝x3的切线的斜率等于3，则切线有( )A．1条 B．2条C．3条 D．不确定[答案]　B[解析]　∵f′(x)＝3x2＝3，解得x＝±1.切点有两个，即可得切线有两条．4．若y＝cos，则y′＝( )A．－ B．－C．0 D.[答案]　C[解析]　常数函数的导数为0.5．若y＝ln x，则其图象在x＝2处的切线斜率是( )A．1 B．0C．2 D.[答案]　D[解析]　∵y′＝，∴y′|x＝2＝，故图象在x＝2处的切线斜率为.6．y＝xα在x＝1处切线方程为y＝－4x，则α的值为( )A．4 B．－4C．1 D．－1[答案]　B[解析]　y′＝(xα)′＝αxα－1，由条件知，y′|x＝1＝α＝－4.二、填空题7．曲线y＝ln x与x轴交点处的切线方程是__________．[答案]　y＝x－1[解析]　∵曲线y＝ln x与x轴的交点为(1,0)y′|x＝1＝1，∴切线的斜率为1，∴所求切线方程为：y＝x－1.8．质点沿直线运动的路程与时间的关系是s＝，则质点在t＝32时的速度等于____________．[答案]　[解析]　∵s′＝()′＝(t)′＝t，∴质点在t＝32时的速度为×32＝×(25)＝.9．在曲线y＝上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P点坐标为________．[答案]　(2,1)[解析]　设P(x0，y0)，∵y′＝′＝(4x－2)′＝－8x－3，tan135°＝－1，∴－8x＝－1.∴x0＝2，y0＝1.三、解答题10．求证双曲线y＝上任意一点P处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为定值．[解析]　设双曲线上任意一点P(x0，y0)，∵y′＝－，∴点P处的切线方程y－y0＝－(x－x0)．令x＝0，得y＝y0＋＝；令y＝0，得x＝x0＋xy0＝2x0.∴S△＝|x|·|y|＝2.∴三角形面积为定值2.能力拓展提升一、选择题11．已知函数f(x)＝x，则[f()]′＝( )A．0 B.C．1 D．－[答案]　A[解析]　∵f()是常数，∴[f()]′＝0.12．给出下列结论：①若y＝，则y′＝－；②y＝，则y′＝；③y＝log2x，则y′＝；④y＝cos x，则y′＝sin x.其中正确的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4[答案]　A[解析]　y＝＝x－3，y′＝－3x－4＝－，故①正确；y＝＝x，y′＝x ＝，故②不正确；y＝log2x，y′＝；故③不正确；y＝cos x，y′＝－sin x，故④不正确．13．已知直线y＝kx是y＝ln x的切线，则k的值为( )A. B．－C. D．－[答案]　C[解析]　y′＝＝k，∴x＝，切点坐标为，又切点在曲线y＝ln x上，∴ln＝1，∴＝e，k＝.14．正弦曲线y＝sin x上切线的斜率等于的点为( )A．(，)B．(－，－)或(，)C．(2kπ＋，)D．(2kπ＋，)或(2kπ－，－)[答案]　D[解析]　设斜率等于的切线与曲线的切点为P(x0，y0)，∵y′|x＝x0＝cos x0＝，∴x0＝2kπ＋或2kπ－，∴y0＝或－.二、填空题15．y＝10x在(1,10)处切线的斜率为________．[答案]　10ln10[解析]　y′＝10x ln10，∴y′|x＝1＝10ln10.16．抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为________．[答案]　[解析]　∵y＝x2，∴y′＝2x，而抛物线y＝x2与直线x－y－2＝0平行的切线只有一条，即2x＝1，这个切点坐标为(，)，该点到直线的距离为d＝＝＝.三、解答题17．已知曲线C：y＝x3.(1)求曲线C上点(1,1)处的切线方程；(2)在(1)中的切线与曲线C是否还有其他公共点？[解析]　(1)∵y′＝3x2，∴切线斜率k＝3，∴切线方程y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.(2)由消去y得，3x－x3－2＝0，∴(x－1)2(x＋2)＝0，∴x1＝1，x2＝－2.∴公共点为(1,1)及(－2，－8)．18．已知函数y＝a sin x＋b的图象过点A(0,0)，B(，－1)，试求函数在原点处的切线方程．[解析]　∵y＝a sin x＋b的图象过点A(0,0)，B(，－1)，∴，解得.∴y＝sin x.又∵y′＝cos x，∴y′|x＝0＝1.∴切线方程为y＝x.1．若y＝sin x，则y′|＝( )A. B．－C. D．－[答案]　A[解析]　y′＝cos x，y′|＝cos＝.2．两曲线y＝与y＝在交点处的两切线的斜率之积为________．[答案]　－[解析]　两曲线y＝与y＝的交点坐标为(1,1)，∴k1＝()′|x＝1＝－|x＝1＝－1，k2＝()′|x＝1＝|x＝1＝.∴k1·k2＝－.3．曲线y＝x3在点(a，a3)(a≠0)处的切线与x轴，直线x＝a所围成的三角形的面积为，则a＝________.[答案]　±1[解析]　因为y ′＝3x2，所以曲线在(a，a3)处切线斜率为3a2，切线方程为：y－a3＝3a2(x－a)所围成三角形如右图所示的阴影部分．切线与x轴交于点A；x＝a与x轴交于点B(a,0)；切线与直线x＝a交于点M(a，a3)，∵S△ABM＝·a3＝，，∴a＝±1.4．求过曲线y＝sin x上的点P且与在这点处的切线垂直的直线方程．[解析]　∵y＝sin x，∴y′＝(sin x)′＝cos x.∴y′|x＝＝cos＝.∴经过这点的切线的斜率为，从而可知适合题意的直线的斜率为－.∴由点斜式得适合题意的直线方程为y－＝－(x－)，即x＋y－－π＝0.。

一组与双曲线的切线及渐近线相关的问题

Ｉ
，
Ｉ
＼ｊ／／
——— ７－
观察图１，如果把直线ＡＢ平移至与双曲线
相切，此时点Ｃ、Ｄ相互重合于切点（如图２），由ＩＡＣＩ：ｌＢＤＩ，可以猜想ＩＭｌ＝ｌＢＭＩ．
∥ ｌ＼
‘
Ｉ
‘
图１
拓展一双曲线的任一条切线交渐近线于两点，则切点是此两点所连线段的中点．
６—２
数学教学
２０１０年第６期
一组与双曲线的切线及渐近线相关的问题
４４８２７２湖北省荆门市五里高中赵军
我们知道这样一个结论：任意一直线交双曲
线与渐近线成相等的线段．即：如果直线ｆ与双曲
线筹一＝１（ｎ＞０，６＞０）及其两条渐近线分别
相交于、Ｄ、Ａ．Ｂ，那么ＩＡＣｉ＝ＩＢＤｌ（证略）．
③ 存在实数ｋ，使得方程恰有５个不同的实棋：
④ 存在实数，使得方程恰有８个不同的实根；其中假命题的个数是… … … … … …… … ·（）
（Ａ）０；（Ｂ）１；（Ｃ）２；（Ｄ）３．解：令Ｉ一１Ｉ＝ｔ，则原方程化为ｔ一ｔ＋＝０．画出函数ｔ＝Ｉ一１Ｉ的图像（如图６所示），由图像易知当０＜ｔ＜１时，１个ｔ对应４个；当ｔ＝０或ｔ＞１时，１个ｔ对应２个；当ｔ＝１时，１个ｔ对应３个．因此，原方程的根的个数可能为０个、２个、３个、４４＂、５个、６个、７个、８个，于是选（Ａ）．
ＡＡＯＢ的形状发生改变，但是它的面积也会发生变化吗？
拓展二双曲线上任一点的切线与两条渐近线所围成的三角形面积为定值．

人教版数学高二作业基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)(2)

1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)1．设y ＝－2e x sin x ，则y ′等于( )A ．－2e x cos xB ．－2e x sin xC ．2e x sin xD ．－2e x (sin x ＋cos x )答案 D解析 y ′＝－2(e x sin x ＋e x cos x )＝－2e x (sin x ＋cos x )．2．函数y ＝cos x1－x 的导数是( )． A.－sin x ＋x sin x(1－x )2 B.x sin x －sin x －cos x(1－x )2C.cos x －sin x ＋x sin x(1－x )2 D.cos x －sin x ＋x sin x1－x答案 C解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 1－x ′＝(－sin x )(1－x )－cos x ·(－1)(1－x )2＝cos x －sin x ＋x sin x(1－x )2.3．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是() A.193B.163C.133D.103答案 D解析 ∵f ′(x )＝3ax 2＋6x ，∴f ′(－1)＝3a －6＝4，∴a ＝103.4．已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝________.答案 1解析 f ′(x )＝x 2＋3f ′(0)，令x ＝0，则f ′(0)＝0，∴f′(1)＝12＋3f′(0)＝1.5．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a、b、c 的值．解因为y＝ax2＋bx＋c过点(1,1)，所以a＋b＋c＝1.因为y′＝2ax＋b，所以曲线在点(2，－1)处的切线的斜率为4a＋b＝1.又曲线过点(2，－1)，所以4a＋2b＋c＝－1.由⎩⎪⎨⎪⎧a＋b＋c＝1，4a＋b＝1，4a＋2b＋c＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝3，b＝－11，c＝9.所以a、b、c的值分别为3、－11、9.求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.一、基础过关1．下列结论不正确的是()A．若y＝3，则y′＝0B．若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝3C．若y＝－x＋x，则y′＝－12x＋1D．若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x＋sin x答案 D解析利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．D 项，∵y ＝sin x ＋cos x ，∴y ′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x .2．已知直线y ＝x ＋b 是曲线y ＝f (x )＝ln x 的切线，则b 的值等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．e答案 A解析设切点的坐标为(x 0，y 0)，y ＝f (x )＝ln x 在x ＝x 0处的导数为f ′(x 0)＝1x 0，所以1x 0＝1，所以x 0＝1，y 0＝0. 又因为(x 0，y 0)在直线y ＝x ＋b 上，故0＝1＋b ，所以b ＝－1.3．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( ) A ．2B.12C ．－12D ．－2 答案 D解析 ∵y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1， ∴y ′＝－2(x －1)2.∴y ′|x ＝3＝－12. ∴－a ＝2，即a ＝－2.4．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为( )A ．(－2，－8)B ．(－1，－1)或(1,1)C ．(2,8)D ．(－12，－18) 答案 B解析 y ′＝3x 2，∵k ＝3，∴3x 2＝3，∴x ＝±1，则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)．5．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－12答案 A解析依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4.6．若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________.答案 1解析 ∵f (x )＝4x 2＋4ax ＋a 2，∴f ′(x )＝8x ＋4a ，f ′(2)＝16＋4a ＝20，∴a ＝1.7．若某物体做s ＝(1－t )2的直线运动，则其在t ＝1.2s 时的瞬时速度为________．答案 0.4m/s解析 ∵s ＝t 2－2t ＋1，∴s ′＝2t －2，∴v ＝s ′(1.2)＝2×1.2－2＝0.4(m/s)．二、能力提升8．当函数y ＝x 2＋a 2x(a >0)在x ＝x 0处的导数为0时，那么x 0＝( ) A ．aB ．±aC ．－aD ．a 2答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2，由x 20－a 2＝0得x 0＝±a . 9．若函数f (x )＝13x 3－f ′(－1)·x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝____. 答案 6解析 ∵f (x )＝13x 3－f ′(－1)·x 2＋x ＋5， ∴f ′(x )＝x 2－2f ′(－1)·x ＋1，将x ＝－1代入上式得f ′(－1)＝1＋2f ′(－1)＋1， ∴f ′(－1)＝－2，再令x ＝1，得f ′(1)＝6.10．求曲线y ＝cos x 在点A ⎝⎛⎭⎫π6，32处的切线方程为____．答案 x ＋2y －3－π6＝0解析 ∵y ′＝(cos x )′＝－sin x ，∴y ′|x ＝π6＝－sin π6＝－12， ∴在点A 处的切线方程为y －32＝－12⎝⎛⎭⎫x －π6，即x ＋2y －3－π6＝0. 11．求过点(2,0)且与曲线y ＝x 3相切的直线方程．解点(2,0)不在曲线y ＝x 3上，可令切点坐标为(x 0，x 30)．由题意，所求直线方程的斜率k ＝x 30－0x 0－2＝y ′|x ＝x 0＝3x 20，即x 30x 0－2＝3x 20，解得x 0＝0或x 0＝3. 当x 0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k ＝0，则所求直线方程是y ＝0；当x 0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k ＝27，则所求直线方程是y －27＝27(x －3)，即27x －y －54＝0.综上，所求的直线方程为y ＝0或27x －y －54＝0.12．已知曲线f (x )＝x 3－3x ，过点A (0,16)作曲线f (x )的切线，求曲线的切线方程．解设切点为(x 0，y 0)，则由导数定义得切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3， ∴切线方程为y ＝(3x 20－3)x ＋16，又切点(x 0，y 0)在切线上，∴y 0＝3(x 20－1)x 0＋16，即x 30－3x 0＝3(x 20－1)x 0＋16，解得x 0＝－2，∴切线方程为9x －y ＋16＝0.三、探究与拓展13．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．(1)解由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12，① 又f ′(x )＝a ＋b x 2，∴f ′(2)＝74，② 由①，②得⎩⎨⎧ 2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74.解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝3. 故f (x )＝x －3x . (2)证明设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知，曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为 y －y 0＝(1＋3x 20)(x －x 0)，即y －(x 0－3x 0)＝(1＋3x 20)(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为(0，－6x 0)．令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12|－6x 0||2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。

苏教版高中数学选修2-2 利用导数求函数的切线方程教案

利用导数求函数的切线方程课程目标知识提要利用导数求函数的切线方程利用导数求函数的切线方程步骤一：求出函数在点处的导数；步骤二：根据直线方程的点斜式，得到切线方程为．精选例题利用导数求函数的切线方程1. 是抛物线上一点，若过点的切线与直线，垂直，则过点的切线方程为．【答案】【分析】设，则，故，所以，所以切线方程为，即．2. 直线是函数的图象上的点处的切线，则的值是．【答案】3. 过点与曲线相切的直线方程是．【答案】4. 若曲线在点处的切线经过坐标原点，则．【答案】【分析】由题意，在点处的切线的斜率为，又切线过坐标原点，所以．5. 曲线在处的切线方程为．【答案】【分析】，故曲线在处的切线斜率，所以切线方程为，即．6. 已知正实数，满足，则的最小值等于．【答案】【分析】由，解得：，，，，，令，解得：，令，解得：，函数在递减，在递增，．最小值7. 曲线在点处的切线的斜率是，切线的方程为．【答案】；8. 函数的图象在点处的切线方程是．【答案】【分析】因为，所以，，所以，所以的图象在点处的切线方程为，即．9. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为．【答案】10. 若直线是曲线的切线，则的值为．【答案】或【分析】设切点为，因为，所以切线的斜率为，又，，解得，或，．11. 曲线上的点到直线的距离的最小值是．【答案】【分析】对求导得，令，得，，即与直线平行的曲线的切线的切点坐标是，曲线上任意一点到直线的距离的最小值是点到直线的距离，即．12. 若抛物线与直线相切，则．【答案】【分析】设切点为．易知．由得所以．又在直线上，所以，解得．13. 在曲线上求一点，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为，则点坐标为．【答案】【分析】设．因为，．所以．所以，．14. 曲线在点处的切线方程为．【答案】15. 若函数存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是．【答案】16. 两曲线与在交点处的两切线的斜率之积为．【答案】【分析】两曲线与的交点坐标为，所以，．所以．17. 已知函数的图象在点处的切线斜率为，则．【答案】【分析】由得，则，即，即．所以，解得．故．18. 已知曲线在处的切线与曲线在处的切线互相平行，则的值为．【答案】或【分析】的导数为，的导数为，由题可知，所以或．19. 曲线在点处的切线方程为．【答案】20. 已知函数对应的曲线在点处的切线与轴的交点为，若，则．【答案】【分析】曲线在点处的切线方程为，则，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，即，所以，所以．21. 过原点作曲线的切线，则切点的坐标为，切线的斜率为．【答案】22. 过点作曲线的切线，切点为，设在轴上的投影是点，过点再作曲线的切线，切点为，设在轴上的投影是点，依次下去，得到第个切点，则点的坐标为．【答案】【分析】设，则，因为过点的切线方程的斜率为，所以，整理得，又，所以点的横坐标是以为首项，以为公差的等差数列，所以，所以点．23. 若曲线在点处的切线与直线垂直，则．【答案】24. 已知直线：，直线：分别与曲线与相切，则．【答案】【分析】设直线与曲线的切点为，直线和曲线的切点为，根据函数在切点处的导数值就是切线的斜率可得，，解得，，所以，，．25. 直线经过点，且与曲线相切，若直线的倾斜角为，则．【答案】26. 若直线与曲线相切，则．【答案】27. 曲线在点处的切线方程为．【答案】【分析】对函数求导为，即曲线在点处的切线斜率，故曲线在点处的切线方程为，即．28. 曲线在点处的切线的斜率为．【答案】【分析】因为，故．29. 已知曲线在点处的切线与直线平行，则．【答案】【分析】，．30. 已知函数，则在点处的线方程为【答案】31. 求曲线的平行于直线的切线方程．【解】设切点为．因为，所以曲线在切点处的切线斜率为．令，得，所以切点的坐标为，于是切线方程是．32. 求垂直于直线并且与曲线相切的直线方程．【解】设切点为．函数的导数为，故切线的斜率，所以，故，所以，故所求的直线方程为，即．33. 已知函数的图象经过点，曲线在点处的切线恰好与直线垂直．(1)求实数，的值．【解】因为的图象经过点，所以．①由，得．由条件，得，②由①②解得，．(2)若函数在区间上单调递增，求的取值范围．【解】由（）知，，令，得或，因为函数在区间上单调递增，所以，或，则有或，所以或．34. 已知函数的图象为曲线．(1)求曲线上任意一点处的切线斜率的取值范围；【解】由题意得，则，即曲线上任意一点处的切线斜率的取值范围是．(2)若曲线存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线的切点的横坐标的取值范围．【解】设一条切线的斜率为，则由（2）中条件并结合（1）中结论可知，解得或，令或，解得，所以所求的切点横坐标的取值范围是．35. 已知函数及的图象上一点，过点作直线．(1)求使直线和的图象相切，且以为切点的直线方程；【解】由，得，过点且以为切点的直线的斜率为，所以所求直线方程为．(2)求使直线和的图象相切，且切点异于点的直线方程．【解】设过点的直线与切于另一点，则．又直线过点，故其斜率可表示为．又，即，解得（舍去）或，所以所求直线的斜率．故直线的方程为，即．36. 已知抛物线，过原点作的切线，使切点在第一象限，求切线方程·【解】设点的坐标为，则，①，②将①代人②得．因为为切点，所以，所以或．当时，，．当时，，．因为在第一象限，所以切线的斜率，故所求切线方程为．37. 1．已知曲线．(1)求曲线在点处的切线方程；【解】，则．由题意可知点为切点，，所以曲线在点处的切线方程为，即．(2)求曲线过点的切线方程．【解】，则．由题意可知点不一定为切点，故设切点为，，曲线过点的切线方程为，所以，．解得或，即切点为或．所以曲线过点的切线方程为或．38. 已知点是曲线上任意一点，曲线在处的切线为，求：(1)斜率最小的切线方程；【解】，所以当时，，，所以斜率最小的切线过，又斜率的最小值，所以切线方程为．(2)切线的倾斜角的取值范围．【解】由得，所以．又因为，所以．故的取值范围为．39. 已知曲线：．求曲线在点处的切线方程．【解】因为，所以切线斜率，所以切线方程为，即．40. 设函数，当曲线斜率最小的切线与直线平行时，求的值．【解】，即当时，函数取得最小值，因斜率最小的切线与平行，即该切线的斜率为，所以，即，即．41. 用定义求的导数，并求在处的切线方程．【解】在处的导数即为该点处切线的斜率，．所以在处的切线方程为，即．42. 已知函数．(1)求函数在点处的切线方程；【解】因为，所以在点处的切线的斜率，所以函数在点处的切线方程为，即．(2)求过点的函数的切线方程．【解】设函数与过点的切线相切于点，则切线的斜率，所以切线方程为，即因为点在切线上，所以，即，所以，解得或，所以所求的切线方程为或．43. 已知抛物线通过点，且在点处与直线相切，求实数，，的值．【解】曲线过，，，．，，．联立解①、②、③得，，．44. 求过点作曲线的切线的方程．【解】设切点为，则切线的斜率为，切线方程为，即．因为切线过点，所以，所以．因此，所求的切线方程为．45. 已知函数．(1)求这个函数的导函数；【解】．(2)求这个函数在点处的切线方程．【解】．所以切点，因为，所以函数在处的切线斜率为．所以该函数在点处的切线方程为．46. 已知函数与的图象都过点且在点处有相同的切线，求实数，，的值．【解】求导可得，，．由题意得方程组解得47. 过函数（，）的图象上任意一点的切线与轴交于点，求证：．【解】，所以，过点的切线为，令，得，因为，所以，所以，即，又．所以．48. 求证双曲线上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为定值．【解】设双曲线上任意一点．因为，所以点处的切线方程为．令，得．令，得．所以．所以三角形的面积为定值．49. 求函数过点的切线方程．【解】．若切点为，，切线方程为．若不是切点，设切点坐标，则所以切线方程为．50. 求曲线在点的切线方程．【解】点在曲线上，，切线的斜率是，所以切线方程是，即．51. 已知曲线上一点，求过点的切线方程．【分析】要注意此题中的点不一定是切点．【解】设切点为．因为，所以切线斜率为，由直线斜率公式，得，所以，整理得，即，解得或，所以切线斜率或，又切线过点，所以所求切线方程为或．52. 设函数的图象与轴交点为，且曲线在点处的切线方程为，若函数在处取得极值，试确定函数的解析式．【解】的图象与轴的交点为，的坐标为．又曲线在点处的切线方程为，点坐标适合方程，从而．又切线斜率，故在处的导数．而，从而．又函数在处取得极值，，，即，．解得所求函数解析式为．53. 已知函数．(1)若函数在处的切线平行于轴，求实数的值．【解】函数的定义域为，因为，所以，依题意有，即，解得．(2)求函数的单调区间．【解】．当时，因为，所以，所以函数在上是增函数．当时，令，则．因为，所以方程的两根分别为，，因为，所以，又因为，所以．所以当时，，当时，，所以函数在上是增函数，在上是减函数．综上可知，当时，函数的单调递增区间是，无递减区间；当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是．54. 已知函数与的图象都过点，且在点处有公共切线，求，的表达式．【解】两个函数的图象都过点，所以，，即，．又，，由已知，所以．结合前面的方程，解得，．所以，．55. 设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的解析式；【答案】【解】方程可化为当时，又，于是解得故(2)证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值．【答案】【解】设为曲线上任一点，由知曲线在点处的切线方程为即令得，从而得切线与直线的交点坐标为．令得，从而得切线与直线的交点坐标为．所以点处的切线与直线，所围成的三角形面积为故曲线上任一点处的切线与直线所围成的三角形的面积为定值．56. 设直线与曲线相切于点，直线过且垂直于，若交轴于点，又作垂直于轴于，求的长．【解】设，则．由已知，所以，点处的切线的斜率．因为直线垂直于，所以，又直线过点，所以，，令，将代入，可得，易知，所以，．57. 知函数，其图象记为曲线．证明：若对于任意非零实数，曲线与其在点处的切线交于另一点，曲线与其在点处的切线交于另一点，线段，与曲线所围成封闭图形的面积分别记为，，则为定值．【解】曲线在点处的切线方程为：，即．由得，即，解得或，故．进而有，用代替，重复上述计算过程，可得和．又，所以，因此有．58. 设定义在上的函数．(1)求的最小值；【解】当且仅当即时，的最小值为．(2)若曲线在点处的切线方程为，求的值．【解】由题意得：由①②得：59. 已知函数，，直线．又．(1)求的值；【解】．由，得，解得．(2)求函数的单调区间；【解】由（1），得，则．当变化时，和的变化如下：所以的增区间为，减区间为．(3)是否存在的值，使得直线既是曲线的切线，又是的切线？如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由．【解】因为直线恒过点．设直线切曲线于点．因为，所以切线方程是，将代入上式，解得．当时，切线方程为；当时，切线方程为．令，得，解得或．当时，曲线的切线方程是；当时，曲线的切线方程是，所以是曲线与的公切线．令，得，解得或．当时，曲线的切线方程是；当时，曲线的切线方程是，所以不是公切线．综上，当时，是曲线与的公切线．60. 已知曲线．(1)求曲线上横坐标为的点处的切线的方程；【解】将代入曲线的方程，得，即切点．因为，所以．所以过点的切线方程为，即．(2)第(1)小题中的切线与曲线是否还有其他的公共点？【解】由可得，解得或．从而求得公共点为和．因此，切线与曲线的公共点除了切点外，还有另外的点．课后练习1. 曲线在点处的切线方程为．2. 曲线的一条切线的倾斜角为，则切点坐标为．3. 已知函数及其导函数的图象如图所示，则曲线在点处的切线方程是．4. 已知函数，则函数的单调递增区间为．5. 若曲线在处的切线斜率为，则实数的值为．6. 曲线在点处的切线方程为．7. 曲线在点处的切线的斜率．8. 若轴是曲线的一条切线，则．9. 曲线与在交点处切线的夹角是．（用弧度数作答）10. 对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列的前项和的公式是．11. 已知函数，则；函数图象在点处的切线方程为．12. 若曲线的某一切线与直线平行，则切点坐标为，切线方程为．13. 已知偶函数的图象经过点，且在处的切线方程是，则的解析式为．14. 如图，函数的图象在点处的切线方程是，则．15. 曲线上的点到直线的最短距离为．16. 若函数，则此函数图象在点处的切线的倾斜角为（填锐角、直角或钝角）．17. 点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为．18. 若曲线的一条切线与直线垂直，则该切线方程为．19. 设为曲线上一点，曲线在点处的切线的斜率的范围是，则点纵坐标的取值范围是．20. 函数在点处的切线方程为．21. 曲线在点处的切线方程为．22. 已知函数的图象在点处的切线为，则函数的图象在点处的切线方程为．23. 曲线的所有切线中，斜率最小的切线方程为．24. 已知直线是曲线的切线，则的值为．25. 函数的图象在点处的切线与轴交点的横坐标为，，若，则，数列的通项公式为．26. 函数图象上点处的切线与直线，，围成的梯形面积等于，则的最大值等于，此时点的坐标是．27. 函数的图象在点处的切线方程为．28. 若曲线与曲线在处的切线互相垂直，则．29. 设曲线在点处的切线与直线垂直，则．30. 函数在处的切线的斜率是．31. 已知，，直线与函数，的图象都相切于点．(1)求直线的方程；(2)求函数的解析式．32. 已知的图象经过点，且在处的切线方程是．(1)求的解析式；(2)求的单调递增区间．33. 如图，从点作轴的垂线交曲线于点，曲线在点处的切线与轴交于点，再从作轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：，；，；；，，记点的坐标为．(1)试求与的关系；(2)求．34. 如图，已知函数及其导数的图象，求的图象在点处的切线方程．35. 已知函数的导数函数为．若，直线都不是曲线的切线，求的取值范围．36. 已知函数在处取得极值．(1)求实数，的值；(2)过点作曲线的切线，求此切线方程．37. 若直线是曲线上一点处的切线，求实数．38. 已知函致．(1)当时，求证：曲线与其在点处的切线只有一个公共点；(2)若曲线在点处的切线为，且它们只有一个公共点，求函数的所有极值之和．39. 在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，求的范围．40. 已知直线与曲线相切，分别求的方程，使之满足：(1)与曲线相切于点；(2)经过点；(3)平行于直线．41. 已知曲线上一点．试求：(1)在点处的切线的斜率；(2)点处的切线方程．42. 设是的最小值点，求曲线在处的切线方程．43. 求函数的导数，并求出及函数在处切线的方程．44. 设函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求的解析式；(2)证明：曲线的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；(3)证明：曲线上任一点的切线与直线和直线所围三角形的面积为定值，并求出此定值．45. 设函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求的解析式；(2)证明曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形的面积为定值．46. 已知曲线，求经过点且与曲线相切的直线的方程．47. 设抛物线（为不等于的常数）上的两点，的切线互相垂直．证明：(1)过，的直线必过定点；(2)两切线的交点在某定直线上48. 已知抛物线与圆有一个公共点，且在处两曲线的切线为同一直线．(1)求；(2)设，是异于且与及都相切的两条直线，，的交点为，求到的距离．49. 已知函数(1)求的单调区间；(2)曲线在点处的切线恒过轴上一个定点，求此定点坐标；(3)若，，曲线在点处的切线与轴的交点为，试比较与的大小，并加以证明．50. 已知曲线和它们交于点，过点的两条切线与轴分别交于两点．求的面积．51. 求函数在点处的切线方程．52. 已知函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求，的值；(2)求＝在上的最大值．53. 已知函数．若曲线与曲线在处的切线斜率相同，求的值，并判断两条切线是否为同一条直线．54. 已知函数．若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求，的值．55. 求曲线在点处的切线方程．56. 请解答下列问题：(1)求函数在处的切线的方程；(2)过原点作曲线的切线，求切线的方程．57. 已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)若存在两条直线，都是曲线的切线，求实数的取值范围；(3)若，求实数的取值范围．58. 已知函数有极大值，为常数，且．(1)求的值；(2)若斜率为的直线是曲线的切线，求此直线方程．59. 已知抛物线，过上一点，且与处的切线垂直的直线称为在点的法线．(1)若在点的法线的斜率为，求点的坐标；(2)设为对称轴上的一点，在上是否存在点，使得在该点的法线通过点？若有，求出这些点，以及在这些点的法线方程；若没有，请说明理由．60. 已知点在曲线上移动，设点处切线倾斜角为，求倾斜角的取值范围．利用导数求函数的切线方程-出门考姓名成绩1. 已知，则曲线在点处的切线方程为．2. 曲线在点处的切线方程为．3. 已知曲线与的交点为，两曲线在点处的切线分别为，，则切线，及轴所围成的三角形的面积为．4. 曲线在点处的切线倾斜角为．5. 设为奇函数（为常数）图象上一点，曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为．6. 曲线通过点，在点处的切线垂直于轴，则的最小值为．7. 过点作曲线的切线，则切线方程为．8. 经过原点且与曲线相切的直线方程是．9. 设函数．若曲线在点处与直线相切，则的值为．10. 函数的图象在点处的切线方程是，则等于．11. 曲线在处的切线方程为．12. 曲线在处的切线的方程为．13. 函数在点，处的切线方程为．14. 已知函数，其中是的导函数，为自然对数的底数，则在点处的切线方程为．15. 函数的图象在点处切线的斜率是．16. 若曲线与在它们的公共点处具有公切线，则．17. 曲线在点处的切线的倾斜角的大小为．18. 曲线在处的切线方程是．19. 如图，函数的图象在点处的切线方程是，则．20. 曲线在处的切线方程为．21. 函数在处的切线方程．22. 已知为实数，函数的导函数是偶函数，则曲线在原点处的切线方程是23. 已知曲线：及点，则过点可向引切线的条数为．24. 曲线在点处的切线方程为．25. 点是曲线上任意一点，则到直线的距离的最小值是．26. 已知直线与曲线相切，则实数．27. 在曲线的所有切线中，斜率最小的切线的方程为．28. 在平面直角坐标系中，若曲线在（为自然对数的底数）处的切线与直线垂直，则实数的值为．29. 曲线上一点处切线斜率，则点纵坐标取值范围是．30. 已知曲线：，直线：，在曲线上有一个动点，过点分别作直线和轴的垂线，垂足分别为．再过点作曲线的切线，分别与直线和轴相交于点，是坐标原点．若的面积为，则的面积为．31. 已知，是曲线上的两点，求与直线平行的曲线的切线方程．32. 已知直线为曲线在点处的切线，为该曲线的另一条切线，且．(1)求直线的方程；(2)求由直线、和轴所围成的三角形的面积．33. 求曲线在点处的切线方程，与过点的切线的方程．34. 已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，求曲线过点处的切线方程．35. 求曲线的斜率等于的切线方程．36. 若直线是函数的图象上点处的切线，求及点坐标．37. 已知曲线，求曲线上的一点处的切线的方程．38. 已知函数的图象过点，且在点处的切线方程为．求函数的解析式．39. 已知函数，，．(1)若曲线与曲线相交，且在交点处有共同的切线，求的值和该切线方程；(2)设函数，当存在最小值时，求其最小值的解析式；(3)对（2）中的和任意的，证明：．40. 已知曲线，点是曲线上的点．(1)试写出曲线在点处的切线的方程，并求出与轴的交点的坐标；(2)若原点到的距离与线段的长度之比取得最大值，试求点的坐标；(3)设与为两个给定的不同的正整数，与是满足(2)中条件的点的坐标，证明：．41. 已知函数．(1)求曲线在点处的切线的方程；(2)直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标；(3)如果曲线的某一切线与直线垂直，求切点坐标与切线的方程．42. 曲线有两条平行于直线的切线，求此二切线之间的距离．43. 设函数，曲线过，且在点处的切线斜率为．(1)求，的值；(2)当时，求的最值；(3)证明：．44. 已知曲线与，直线与都相切，求直线的方程．45. 若曲线的一条切线与直线垂直，求切线的方程．46. 已知曲线上一点．(1)求曲线在点处切线的斜率；(2)求曲线在点处切线的方程．47. 已知函数其中．(1)若曲线（）在处的切线与直线平行，求的值；(2)求函数在区间上的最小值．48. 设直线，曲线．若直线与曲线同时满足下列两个条件：①直线与曲线相切且至少有两个切点；②对任意都有．则称直线为曲线的“上夹线”．(1)已知函数，求证：直线为曲线的“上夹线”；(2)观察下图：根据上图，试推测曲线的“上夹线”的方程，并给出证明．49. 已知函数的图象过点，且在点处的切线恰好与直线垂直．(1)求函数的解析式；(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．50. 已知函数．(1)若曲线在点处的切线的斜率为，求实数；(2)若，求的极值；(3)当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值．51. 已知函数，在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线与直线垂直．(1)求的值和切线的方程；(2)设曲线上任一点处的切线的倾斜角为，求的取值范围．52. 设函数的图象与直线相切于点，且点的横坐标为．(1)求的值；(2)求函数的单调区间，并指出在每个区间上的增减性．53. 已知函数的图象是曲线，直线与曲线相切于点．(1)求函数的解析式；(2)求函数在区间上的最大值和最小值．54. 已知为抛物线：上的点，直线过点且与抛物线相切，直线：（）交抛物线于点，交直线于点．(1)求直线方程；(2)设面积为，求；(3)抛物线与直线，围成的平面图形的面积为，求证：的值与的取值无关．55. 已知函数．(1)求函数在上的最大值和最小值；(2)过点作曲线的切线，求此切线的方程．56. 已知函数．(1)求曲线过点的切线方程；(2)若过轴上的点可以作曲线的三条切线，求的取值范围．57. 已知函数．(1)讨论的单调性；(2)设点在曲线上，若该曲线在点处的切线通过坐标原点，求的方程．58. 已知函数，（为常数），直线与函数，的图象都相切，且与函数图象的切点的横坐标为，求直线的方程及的值．59. 已知函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于．(1)求的值；(2)求函数的单调区间和极值．60. 已知函数，其导函数的图象过原点．(1)当时，求函数的图象在处的切线方程；(2)若存在，使得，求的最大值；。

高考数学一轮复习课时过关检测(十四) 导数的概念及运算

课时过关检测（十四）导数的概念及运算A 级——基础达标1．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0D ．(e －1)x －y －1＝0解析：选C 由于y ′＝e －1x ，所以y ′|x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝(e －1)·(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.2．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )A ．－2B ．2C ．－94D ．94解析：选C 因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x，所以f ′(2)＝2×2＋3f ′(2)＋12，解得f ′(2)＝－94.3.(2021·益阳、湘潭调研)已知函数f (x )在R 上可导，其部分图象如图所示，设错误!＝a ，则下列不等式正确的是( )A ．f ′(1)<f ′(2)<aB ．f ′(1)<a <f ′(2)C ．f ′(2)<f ′(1)<aD ．a <f ′(1)<f ′(2)解析：选B 由图象可知，在(0，＋∞)上，函数f (x )单调递增，且曲线切线的斜率越来越大， ∵错误!＝a ，∴易知f ′(1)<a <f ′(2)．4．(2021·湖北八校第一次联考)已知曲线C ：f (x )＝x 3－3x ，直线l ：y ＝ax －3a ，则a ＝6是直线l 与曲线C 相切的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 因为曲线C ：f (x )＝x 3－3x ，所以f ′(x )＝3x 2－3.设直线l 与曲线C 相切，且切点的横坐标为x 0，则切线方程为y ＝(3x 20－3)x －2x 30，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x20－3＝a ，2x30＝3a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x0＝3，a ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧x0＝－32，a ＝－34，所以a ＝6是直线l 与曲线C 相切的充分不必要条件，故选A ．5．(多选)如图所示的是物体甲、乙在时间0到t 1范围内路程的变化情况，下列说法不正确的是( )A ．在0到t 0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度B ．在0到t 0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度C ．在t 0到t 1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度D ．在t 0到t 1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度解析：选ABD 在0到t 0范围内，甲、乙的平均速度都为v ＝s0t0，故A 、B 错误；在t 0到t 1范围内，甲的平均速度为s2－s0t1－t0，乙的平均速度为s1－s0t1－t0.因为s 2－s 0>s 1－s 0，t 1－t 0>0，所以s2－s0t1－t0>s1－s0t1－t0，故C 正确，D 错误．6．(多选)若函数f (x )的导函数f ′(x )的图象关于y 轴对称，则f (x )的解析式可能为( ) A ．f (x )＝3cos x B ．f (x )＝x 3＋x C ．f (x )＝x ＋1xD ．f (x )＝e x ＋x解析：选BC 对于A ，f (x )＝3cos x ，其导数f ′(x )＝－3sin x ，其导函数为奇函数，图象不关于y 轴对称，不符合题意；对于B ，f (x )＝x 3＋x ，其导数f ′(x )＝3x 2＋1，其导函数为偶函数，图象关于y 轴对称，符合题意；对于C ，f (x )＝x ＋1x ，其导数f ′(x )＝1－1x2，其导函数为偶函数，图象关于y 轴对称，符合题意；对于D ，f (x )＝e x ＋x ，其导数f ′(x )＝e x ＋1，其导函数不是偶函数，图象不关于y 轴对称，不符合题意．7．(2021·江西南昌一模)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝ .解析：因为f (ln x )＝x ＋ln x ，所以f (x )＝x ＋e x ，所以f ′(x )＝1＋e x ，所以f ′(1)＝1＋e 1＝1＋e. 答案：1＋e8.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，则曲线g (x )在x ＝3处的切线方程为．解析：由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g (3)＝3f (3)＝3，g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0，则曲线g (x )在x ＝3处的切线方程为y －3＝0.答案：y －3＝09．(2021·开封市模拟考试)已知函数f (x )＝mx 3＋6mx －2e x ，若曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线与直线4x ＋y －2＝0平行，则m ＝ .解析：f ′(x )＝3mx 2＋6m －2e x，则f ′(0)＝6m －2＝－4，解得m ＝－13.答案：－1310．若函数y ＝2x 3＋1与y ＝3x 2－b 的图象在一个公共点处的切线相同，则实数b ＝ . 解析：设公共切点的横坐标为x 0，函数y ＝2x 3＋1的导函数为y ′＝6x 2，y ＝3x 2－b 的导函数为y ′＝6x ，由图象在一个公共点处的切线相同，可得6x 20＝6x 0且1＋2x 30＝3x 20－b ，解得x 0＝0，b ＝－1或x 0＝1，b ＝0.故实数b ＝0或－1.答案：0或－111．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限．(1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程．解：(1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1，由已知令3x 2＋1＝4，解得x ＝±1. 当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4. 又∵点P 0在第三象限， ∴切点P 0的坐标为(－1，－4)． (2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4， ∴直线l 的斜率为－14.∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)， ∴直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.12．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2，知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎪⎫x0－3x0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－6x0.令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以在点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x0·|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.B 级——综合应用13．(2021·甘肃、青海、宁夏联考)过点M (－1,0)引曲线C ：y ＝2x 3＋ax ＋a 的两条切线，这两条切线与y 轴分别交于A 、B 两点，若|MA |＝|MB |，则a ＝ .解析：设切点坐标为(t,2t 3＋at ＋a )，∵y ′＝6x 2＋a ，∴6t 2＋a ＝2t3＋at ＋at ＋1，即4t 3＋6t 2＝0，解得t ＝0或t ＝－32，∵|MA |＝|MB |，∴两切线的斜率互为相反数，即2a ＋6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝0，解得a ＝－274. 答案：－27414．(2021·江西五校联考)已知函数f (x )＝x ＋a2x，若曲线y ＝f (x )存在两条过(1,0)点的切线，则a 的取值范围是．解析：f ′(x )＝1－a2x2，设切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x0，x0＋a 2x0，则切线方程为y －x 0－a2x0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2x20(x －x 0)，又切线过点(1,0)，所以－x 0－a2x0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2x20(1－x 0)，整理得2x 20＋2ax 0－a ＝0，又曲线y ＝f (x )存在两条过(1,0)点的切线，故方程有两个不等实根，即满足Δ＝4a 2－8(－a )＞0，解得a ＞0或a ＜－2.答案：(－∞，－2)∪(0，＋∞)15．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由已知得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ，因为f ′(－1)＝0，所以3a －6－6a ＝0，所以a ＝－2.(2)存在．由已知得，直线m 恒过定点(0,9)，若直线m 是曲线y ＝g (x )的切线，则设切点为(x 0,3x 20＋6x 0＋12)．因为g ′(x 0)＝6x 0＋6，所以切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)，将(0,9)代入切线方程，解得x 0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.。

选修2-2第一、二章测试卷

数学测试卷1.函数xex x f -⋅=)(的一个单调递增区间是A.[]0,1-B.[]8,2C.[]2,1D.[]2,0 2.曲线2+=x xy 在点)1,1(--处切线的一个方向向量为 A ．)2,1(-B ．)2,1(C ．)1,2(-D ．)1,2(3．设函数5221)(23+--=x x x x f ，若对于任意[]2,1-∈x ，m x f ＜)(恒成立，则实数m 的取值范围为A ．),7(+∞B ．),8(+∞C ．[),7+∞D ．),9(+∞4.四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1，2，3，4号位子上（如图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2012次互换座位后，小兔的座位对应的是A.1号B.2号C.3号D.4号5．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24.类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为A.a 316B.a 38C.a 34D.a 326．对于函数f (x )＝a sin x ＋bx ＋c (其中a ，b ∈R ，c ∈Z)，选取a ，b ，c 的一组值计算f (1)和f (－1)，所得出的正确结果一定不可能是A ．4和6B ．3和1C ．2和4D ．1和27.如果函数)(x f y =的图象如图（下左）所示，那么导函数)('x f y =的图象可能是8．若函数1ln 21)(2+-=x x x f 在其定义域内的一个子区间)1,1(+-k k 内不是单调函数，则实数k 的取值范围 A ．[)+∞,1B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡23,1C ．[)2,1+D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,239.如图1，抛物线221y x x =-++与直线1y =相交形成一个闭合图形（图中的阴影部分），则该闭合图形的面积是Ａ．1Ｂ．43Ｄ．210. 若函数f (x )＝x x 2＋a(a >0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a 的值为第三次第二次第一次开始A.33B.3C.3＋1D.3－1 11.已知：23150sin 90sin 30sin 222=++ ； 23125sin 65sin 5sin 222=++ 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：________________________________________12.已知函数f (x )＝ax 3－3x ＋1对x ∈(0,1]总有f (x )≥0成立，则实数a 的取值范围是__________ 13.若函数f (x )＝x ＋a sin x 在R 上递增，则实数a 的取值范围为______________14.已知函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围是______________．15.半径为r 的圆的面积S (r )＝πr 2，周长C (r )＝2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)′＝2πr .①① 式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①式的式子：_________________________________________，你所写的式子可用语言叙述为______________________________________________． 16.设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值． 17.若不等式111123124an n n +++>+++ 对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明结论． 18.已知函数f (x )＝ln(x ＋1)－x(1) 求f (x )的单调区间；(2)求证：当x >－1时，1－1x ＋1≤ln(x ＋1)≤x .19.已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a >0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值． 20.设数列a 1，a 2，…a n ，…中的每一项都不为0.证明{a n }为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ＋，都有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝na 1a n ＋1.数学测试卷答案ABACB DABBD 11.23)120(sin )60(sin sin 222=++++ ααα12.[4，＋∞)；13. [－1,1]；14. (0,1)；15. ⎝⎛⎭⎫43πR 3′＝4πR 2；球的体积函数的导数等于球的表面积函数． 16.(1)解方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx 2，于是⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由f ′(x )＝1＋3x 2知，曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得，y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，此定值为6. 17.解：当1n =时，11111123124a ++>+++，即262424a>，所以26a <．而a 是正整数，所以取25a =，下面用数学归纳法证明：11125123124n n n +++>+++ ．（1）当1n =时，已证；（2）假设当n k =时，不等式成立，即11125123124k k k +++>+++ ．则当1n k =+时，有111(1)1(1)23(1)1k k k +++++++++ 111111112313233341k k k k k k k =++++++-+++++++ 251122432343(1)k k k ⎡⎤>++-⎢⎥+++⎣⎦．因为2116(1)2323491883(1)k k k k k k ++=>+++++，所以2116(1)2323491883(1)k k k k k k ++=>+++++，所以112032343(1)k k k +->+++．所以当1n k =+时不等式也成立．由（1）（2）知，对一切正整数n ，都有11125123124n n n +++>+++ ，所以a 的最大值等于25． 18.(1) 解函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)．f ′(x )＝1x ＋1－1＝－x x ＋1f ′(x )与f (x )随x 变化情况如下：因此f (x )的递增区间为(－1,0)． (2)证明由(1) 知f (x )≤f (0)．即ln(x ＋1)≤x设h (x )＝ln (x ＋1)＋1x ＋1－1 h ′(x )＝1x ＋1－1x ＋1 2＝x x ＋1 2可判断出h (x )在(－1,0)上递减，在(0，＋∞)上递增．因此h (x )≥h (0)即ln(x ＋1)≥1－1x ＋1.所以当x >－1时1－1x ＋1≤ln(x ＋1)≤x .19.20.解 (1)f ′(x )＝1x－a (x >0)，①当a ≤0时，f ′(x )＝1x －a >0，即函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)．②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a，当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－ax x >0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x<0，故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎤0，1a ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞. (2)①当1a≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间[1,2]上是减函数，∴f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a .②当1a ≥2，即0<a ≤12时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，∴f (x )的最小值是f (1)＝－a .③当1<1a <2，即12<a <1时，函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1，1a 上是增函数，在⎣⎡⎦⎤1a ，2上是减函数．又f (2)－f (1)＝ln 2－a ， ∴当12<a <ln 2时，最小值是f (1)＝－a ；当ln 2≤a <1时，最小值为f (2)＝ln 2－2a .综上可知，当0<a <ln 2时，函数f (x )的最小值是－a ；当a ≥ln 2时，函数f (x )的最小值是ln 2－2a . 20..[证明] 先证必要性．设数列{a n }的公差为d .若d ＝0，则所述等式显然成立．若d ≠0，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 1a 1a 2＋a 3－a 2a 2a 3＋…＋a n ＋1－a n a n a n ＋1＝1d ⎝⎛⎭⎫⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 2＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1 ＝1d ⎝⎛⎭⎫1a 1－1a n ＋1＝1d a n ＋1－a 1a 1a n ＋1＝na 1a n ＋1. 再证充分性．证法1：(数学归纳法)设所述的等式对一切n ∈N ＋都成立．首先，在等式1a 1a 2＋1a 2a 3＝2a 1a 3两端同乘a 1a 2a 3，即得a 1＋a 3＝2a 2，所以a 1，a 2，a 3成等差数列，记公差为d ，则a 2＝a 1＋d . 假设a k ＝a 1＋(k －1)d ，当n ＝k ＋1时，观察如下两个等式 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k －1a k ＝k －1a 1a k，① 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k －1a k ＋1a k a k ＋1＝ka 1a k ＋1② 将①代入②，得k －1a 1a k ＋1a k a k ＋1＝k a 1a k ＋1，在该式两端同乘a 1a k a k ＋1，得(k －1)a k ＋1＋a 1＝ka k . 将a k ＝a 1＋(k －1)d 代入其中，整理后，得a k ＋1＝a 1＋kd .由数学归纳法原理知，对一切n ∈N ，都有a n ＝a 1＋(n －1)d ，所以{a n }是公差为d 的等差数列．证法2：(直接证法)依题意有1a1a2＋1a2a3＋…＋1a n a n＋1＝na1a n＋1，①1a1a2＋1a2a3＋…＋1a n a n＋1＋1a n＋1a n＋2＝n＋1a1a n＋1.②②－①得1a n＋1a n＋2＝n＋1a1a n＋2－na1a n＋1，在上式两端同乘a1a n＋1a n＋2，得a1＝(n＋1)a n＋1－na n＋2.③同理可得a1＝na n－(n－1)a n＋1(n≥2)④③－④得2na n＋1＝n(a n＋2＋a n) 即a n＋2－a n＋1＝a n＋1－a n，由证法1知a3－a2＝a2－a1，故上式对任意n∈N*均成立．所以{a n}是等差数列．。

面积为定值的阿基米德三角形的轨迹问题

2021545面积为定值的阿基米德三角形的轨迹问题四川成都七中(610041)康盛摘要若抛物线的一条弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形(阿基米德三角形)面积为定值,则两切线的交点的轨迹为一抛物线.关键词阿基米德三角形;面积为定值;轨迹;抛物线2019年高考课标全国Ⅲ卷理科以阿基米德三角形(圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形,如图1)为背景,考察了定值定点问题.在笔者对此题进行变式研究的过程中,偶得一些性质,与同行交流.一、问题提出我们先来看这道高考题:题目(2019年高考全国Ⅲ卷)已知抛物线C :x 2=2y ,D 为直线y =−12上的动点,过D 作C 的两条切线,切点分别为A,B .(1)证明:直线AB 过定点;(2)略.在第(1)问中,出题者利用“若阿基米德三角形中的切点弦AB 恒过焦点,则动点D 的轨迹为抛物线的准线”这一结论.这促使我思考这样一个问题:若阿基米德三角形ABD 的面积为定值,则动点D 的轨迹是什么呢?二、问题探索见图1,在几何画板中,我利用文[1]中所介绍的方法,作出抛物线C :x 2=2y 的阿基米德三角形ABD ,设三角形ABD 的面积为40cm 2,在几个不同的位置得到了点D 的坐标,如下表:面积(cm2)40.0740.0139.939.9639.839.9639.8840.24点D 横坐标−1.2−0.99−0.53−0.26−0.010.210.540.75点D 纵坐标0.00.651.161.371.541.681.841.98图1图2根据表中数据,借助Excel 画出图形(图2).因抛物线具有对称性,故猜想它也应该是一条抛物线.下面,通过对一般情况的研究,得到两个结论,并予以证明.三、问题解决性质1过抛物线C 外一动点作抛物线的切线,若两切点与这点构成的三角形(阿基米德三角形)面积是定值,则这点的轨迹为一抛物线,且与C 有相同的对称轴和焦准距(焦点到准线的距离).证明如图3,设抛物线C :y 2=2px ,抛物线外一点D (x 0,y 0),两切点分别为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)三角形ABD 的面积为S .1.求切点弦AB 的方程.显然y ′=p y ,所以y ′|x =x 1y =y 1=py 1,由导数的几何意义得,过点A 的切线的斜率k =py 1,所以过点A 的切线方程为:y −y 1=py 1(x −x 1),整理得yy 1−y 12=px −px 1,即为:yy 1=p (x +x 1).同理过点B 的切线方程为:yy 2=p (x +x 2).因点D 在DA 上,故有y 0y 1=图3p (x 0+x 1),同理,点D 在DB 上,故有y 0y 2=p (x 0+x 2),所以切点弦AB 的方程为:yy 0=p (x +x 0).2.求三角形ABD 的面积.点D 到AB 上的距离d =|y 20−2px 0|√p 2+y 20,联立切点弦AB 与抛物线y 2=2px ,得:y 2−2y 0y +2px 0=0,所以:|y 1−y 2|=√∆1=2√y 20−2px 0,故|AB |=√1+y 20p 2|y 1−y 2|=2√p 2+y 20p√y 20−2px 0,所以S =12|AB |d =12·2√p 2+y 20p √y 20−2px 0|y 20−2px 0|√p 2+y 20=(y 20−2px 0)32p故y 2−2px 0=(pS )23,所以点D 的轨迹方程是y 2=2px +(pS )23.得证.这个命题的逆命题是否成立呢?性质2具有相同对称轴和焦准距的两抛物线,在其中一抛物线上任取一点,向另一抛物线作切线,则两切点与这点构成的三角形面积是定值.证明如图3,设抛物线C ′:y 2=2px +K 上(K 为常数)4620215素养导向指引下例谈圆锥曲线焦点三角形问题的解题策略*福建省南平市高级中学(353000)江智如李寿滨黄丽群圆锥曲线焦点三角形问题是高考与各类模拟考试的热点题型,涵盖几何、向量、三角、函数等多领域的知识与方法,综合性强,思维强度高,是圆锥曲线知识的重点与难点,考查考生数学阅读能力、数形结合思想、化归与转化思想、推理论证能力与运算求解能力.这类问题一般考查角度、周长、面积、中位线、角平分线、离心率等问题[1],包含丰富的圆锥曲线性质知识,解题策略多样,方法巧妙,需要从不同的角度针对问题条件进行策略选择,全方位反映焦点三角形问题的几何特征,引导学生掌握运用代数语言把几何问题转化为代数问题的思想与方法,提升直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象素养[2],有助于学生将高中数学基本知识结构化、系统化,形成学科知识网络[3].本文从高中学生的认知水平出发,把焦点三角形问题归纳为六种类型,在学科素养的指引下,探究问题解决的有效思路与方法.1概念界定如图1与图2,椭圆或双曲线上的一点P,与两焦点所构成的∆F1P F2称为椭圆或双曲线的焦点三角形.本文研究的圆锥曲线焦点三角形问题界定为:结合椭圆或双曲线的几何性质,解决与焦点三角形相关的问题,主要包括周长、离心率、角度、面积、中位线、角平分线等问题.图1图22方法探究圆锥曲线焦点三角形问题主要围绕圆锥曲线的几何性质展开,利用正余弦定理、平面向量、平面几何等相关知识与结论,借助数形结合思想,转化为圆锥曲线的性质或解三角形题型,运用函数与方程思想、建模思想,通过扎实的运算求解能力,解决问题,常采用四种解题方法:(1)定义法;(2)解析法;(3)三角法;(4)向量法.3方法应用3.1周长问题周长问题常考虑定义法,解题思路为:从圆锥曲线的第一定义出发,利用三角形的三边长关系与对称性质转化为共线问题,确定特殊点位置,结合正余弦定理和平面向量方法求解.要求考生具有扎实的几何功底,体现数学学习的能力与潜能[4].题目1(2015年高考全国I卷文科第16题)已知F是双曲线C:x2−y28=1的右焦点,P是C左支上一点,A(0,6√6),当∆AP F周长最小时,该三角形的面积为.分析本试题是以周长问题为背景寻找点P的位置,求解三角形面积问题.由已知条件可设左焦点为F′(−3,0),因为点P在C的左支上,所以由双曲线第一定义可得∆AP F的周长|AP|+|AF|+|P F|=|AP|+|AF|+|P F′|+2a|AF|+|AF′|+2a,当且仅当A,P,F′三点共线且P在A,F′中间时取等号,此时直线AF′的方程为x−3+y6√6=1,联立双曲线方程得P(−2,2√6),再由面积割补法求得,∆AP F的面积为12×6×6√6−12×6×2√6=12√6.考查数形结合思想、推理论证能力和运算求解能力.一点D(x0,y0),向抛物线C:y2=2px两切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2)三角形ABD的面积为S.由性质1的证明过程可知S=12|AB|d=|y20−2px0|p√y2−2px0=(y20−2px0)32p,又因为C:y02=2px0+K,即y02−2px0=K,代入上式可得S=K32P,即面积为定值,得证.参考文献[1]杨力,康盛.过抛物线外任意上一点作切线的方法[J].中学数学研究(华南师范大学版)(上半月),2020(10):23.*本文为福建省教育科学“十三五”规划2020年度立项课题《核心素养导向下的高中数学主题教学校本研究》(立项批准号:FJJKXB20-1067)阶段性成果.。

人教版高中数学常用函数的导数公式教案

基础巩固强化一、选择题1．设y ＝e 3，则y ′等于( ) A ．3e 2 B ．e 2C ．0D ．以上都不是[答案] C[解析] ∵y ＝e 3是一个常数，∴y ′＝0.2．(2012～2013学年度陕西宝鸡中学高二期末测试)函数y ＝sin x 的导数是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝－cos xC ．y ＝cos xD ．y ＝－sin x [答案] C[解析] ∵(sin x )′＝cos x ， ∴选C.3．已知函数f (x )＝x 3的切线的斜率等于3，则切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．不确定 [答案] B[解析] ∵f ′(x )＝3x 2＝3，解得x ＝±1.切点有两个，即可得切线有两条．4．若y ＝cos 2π3，则y ′＝( ) A ．－32 B ．－12 C ．0 D.12 [答案] C[解析] 常数函数的导数为0.5．若y ＝ln x ，则其图象在x ＝2处的切线斜率是( ) A ．1 B ．0 C ．2 D.12[答案] D[解析] ∵y ′＝1x ，∴y ′|x ＝2＝12，故图象在x ＝2处的切线斜率为12.6．y ＝x α在x ＝1处切线方程为y ＝－4x ，则α的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．1 D ．－1 [答案] B[解析] y ′＝(x α)′＝αx α－1，由条件知，y ′|x ＝1＝α＝－4. 二、填空题7．曲线y ＝ln x 与x 轴交点处的切线方程是__________． [答案] y ＝x －1[解析] ∵曲线y ＝ln x 与x 轴的交点为(1,0) y ′|x ＝1＝1，∴切线的斜率为1， ∴所求切线方程为：y ＝x －1.8．质点沿直线运动的路程与时间的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝32时的速度等于____________．[答案] 180[解析] ∵s ′＝(5t )′＝(t15)′＝15t －45，∴质点在t ＝32时的速度为15×32－45＝15×(25)－ 45＝180.9．在曲线y ＝4x 2上求一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P 点坐标为________．[答案] (2,1)[解析] 设P (x 0，y 0)，∵y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 2′＝(4x －2)′＝－8x －3，tan135°＝－1，∴－8x －30＝－1.∴x 0＝2，y 0＝1. 三、解答题10．求证双曲线y ＝1x 上任意一点P 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为定值．[解析] 设双曲线上任意一点P (x 0，y 0)， ∵y ′＝－1x 2，∴点P 处的切线方程y －y 0＝－1x 20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝y 0＋1x 0＝2x 0；令y ＝0，得x ＝x 0＋x 20y 0＝2x 0. ∴S △＝12|x |·|y |＝2.∴三角形面积为定值2.能力拓展提升一、选择题11．已知函数f (x )＝x 12，则[f (12)]′＝( ) A ．0 B.22 C ．1 D ．－22[答案] A[解析] ∵f (12)是常数，∴[f (12)]′＝0. 12．给出下列结论： ①若y ＝1x 3，则y ′＝－3x 4； ②y ＝3x ，则y ′＝133x ； ③y ＝log 2x ，则y ′＝1x ； ④y ＝cos x ，则y ′＝sin x . 其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] A[解析] y ＝1x 3＝x －3，y ′＝－3x －4＝－3x 4，故①正确；y ＝3x ＝x 13，y ′＝13x－23＝133x 2，故②不正确；y ＝log 2x ，y ′＝1x ln2；故③不正确；y＝cos x ，y ′＝－sin x ，故④不正确．13．已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的切线，则k 的值为( ) A.12 B ．－12 C.1e D ．－1e[答案] C[解析] y ′＝1x ＝k ，∴x ＝1k ，切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ，1，又切点在曲线y ＝ln x 上，∴ln 1k ＝1，∴1k ＝e ，k ＝1e . 14．正弦曲线y ＝sin x 上切线的斜率等于12的点为( ) A ．(π3，32)B ．(－π3，－32)或(π3，32)C ．(2k π＋π3，32)D ．(2k π＋π3，32)或(2k π－π3，－32) [答案] D[解析] 设斜率等于12的切线与曲线的切点为P (x 0，y 0)，∵y ′|x ＝x 0＝cos x 0＝12，∴x 0＝2k π＋π3或2k π－π3，∴y 0＝32或－32. 二、填空题15．y ＝10x 在(1,10)处切线的斜率为________．[答案] 10ln10 [解析] y ′＝10x ln10， ∴y ′|x ＝1＝10ln10.16．抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为________．[答案] 728[解析] ∵y ＝x 2，∴y ′＝2x ，而抛物线y ＝x 2与直线x －y －2＝0平行的切线只有一条，即2x ＝1，这个切点坐标为(12，14)，该点到直线的距离为d ＝|12－14－2|2＝742＝728.三、解答题17．已知曲线C ：y ＝x 3.(1)求曲线C 上点(1,1)处的切线方程；(2)在(1)中的切线与曲线C 是否还有其他公共点？ [解析] (1)∵y ′＝3x 2， ∴切线斜率k ＝3，∴切线方程y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2＝0y ＝x 3消去y 得，3x －x 3－2＝0， ∴(x －1)2(x ＋2)＝0， ∴x 1＝1，x 2＝－2.∴公共点为(1,1)及(－2，－8)．18．已知函数y ＝a sin x ＋b 的图象过点A (0,0)，B (3π2，－1)，试求函数在原点处的切线方程．[解析] ∵y ＝a sin x ＋b 的图象过点A (0,0)，B (3π2，－1)，∴⎩⎨⎧0＝a sin0＋b －1＝a sin 3π2＋b，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝0.∴y ＝sin x .又∵y ′＝cos x ，∴y ′|x ＝0＝1. ∴切线方程为y ＝x .1．若y ＝sin x ，则y ′| x ＝π3＝( ) A.12 B ．－12C.32 D ．－32[答案] A[解析] y ′＝cos x ，y ′|x ＝π3 ＝cos π3＝12. 2．两曲线y ＝1x 与y ＝x 在交点处的两切线的斜率之积为________．[答案] －12[解析] 两曲线y ＝1x 与y ＝x 的交点坐标为(1,1)， ∴k 1＝(1x )′|x ＝1＝－1x 2|x ＝1＝－1，k 2＝(x )′|x ＝1＝12x |x ＝1＝12.∴k 1·k 2＝－12.3．曲线y ＝x 3在点(a ，a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴，直线x ＝a 所围成的三角形的面积为16，则a ＝________.[答案] ±1 [解析]因为y ′＝3x 2，所以曲线在(a ，a 3)处切线斜率为3a 2，切线方程为：y －a 3＝3a 2(x －a )所围成三角形如右图所示的阴影部分．切线与x 轴交于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，0；x ＝a 与x 轴交于点B (a,0)；切线与直线x ＝a 交于点M (a ，a 3)，∵S △ABM ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －2a 3·a 3＝16，， ∴a ＝±1.4．求过曲线y ＝sin x 上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，22且与在这点处的切线垂直的直线方程．[解析] ∵y ＝sin x ，∴y′＝(sin x)′＝cos x.∴y′|x＝π4＝cosπ4＝22.∴经过这点的切线的斜率为22，从而可知适合题意的直线的斜率为－ 2.∴由点斜式得适合题意的直线方程为y－22＝－2(x－π4)，即2x＋y－22－24π＝0.。

40分钟课时作业导数公式及导数的运算法则(二)答案

40分钟课时作业导数公式及导数的运算法则(二)一、选择题1.下列求导运算正确的是()A.(x ＋3x )′＝1＋3x2 B.(log 2x )′＝1x ln 2 C.(3x )′＝3x log 3e D.(x 2cos x )′＝－2x sin x 答案B 解析选项A ，(x ＋3x )′＝1－3x 2，故错误；选项B ，(log 2x )′＝1x ln 2，故正确；选项C ，(3x )′＝3x ln 3，故错误；选项D ，(x 2cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，故错误.故选B.2.函数y ＝x 2＋a 2x (a >0)在x ＝x 0处的导数为0，那么x 0等于()A.a B.±a C.－a D.a 2答案B 解析∵y ′＝1－a 2x 2，y ′|x ＝x 0＝1－a 2x 20＝0，∴x 0＝±a .3.若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a 等于()A.－2B.－1C.1D.2答案D 解析∵f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，由题意知f ′(π2)·(－a 2)＝－1，∴a ＝2.4.若函数f (x )＝e x x在x ＝x 0处的导数值与函数值互为相反数，则x 0的值等于()A.0B.1C.12D.不存在答案C 解析∵f ′(x )＝x e x －e x x 2，由题意知f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，即x 0e x 0－e x 0x 20＋e x 0x 0＝0，解得x 0＝12.5.若函数f (x )在R 上可导，且f (x )＝x 2＋2f ′(2)x ＋m ，则()A.f (0)<f (5)B.f (0)＝f (5)C.f (0)>f (5)D.f (0)≥f (5)答案C 解析∵f (x )＝x 2＋2f ′(2)x ＋m ，∴f ′(x )＝2x ＋2f ′(2)，∴f ′(2)＝2×2＋2f ′(2)，∴f ′(2)＝－4.∴f (x )＝x 2－8x ＋m ，∴f (0)＝m ，f (5)＝25－40＋m ＝－15＋m .∴f (0)>f (5).6.在下面的四个图象中，其中一个图象是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ≠0)的导函数y ＝f ′(x )的图象，则f (－1)等于()A.13 B.－13 C.73 D.－13或53答案B 解析∵f ′(x )＝x 2＋2ax ＋(a 2－1)，∴导函数f ′(x )的图象开口向上.又∵a ≠0，∴f (x )不是偶函数，其图象不关于y 轴对称，故其图象必为第三个图.由图象特征知f ′(0)＝0，且对称轴－a >0，∴a ＝－1，则f (－1)＝－13－1＋1＝－13，故选B.二、填空题7.设f (5)＝5，f ′(5)＝3，g (5)＝4，g ′(5)＝1，若h (x )＝f (x )＋2g (x )，则h ′(5)＝________.答案516解析∵f (5)＝5，f ′(5)＝3，g (5)＝4，g ′(5)＝1，又h ′(x )＝f ′(x )g (x )－[f (x )＋2]g ′(x )[g (x )]2，∴h ′(5)＝f ′(5)g (5)－[f (5)＋2]g ′(5)[g (5)]2＝3×4－(5＋2)×142＝516.8.等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝__.答案4096(或84)解析∵f ′(x )＝x ′(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋x (x －a 1)′(x －a 2)…(x －a 8)＋…＋x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)′＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋x (x －a 2)…(x －a 8)＋…＋x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 7)，∴f ′(0)＝a 1·a 2·…·a 8＝(a 1a 8)4＝84＝4096.9.已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝________.答案1解析∵f ′(x )＝x 2＋3f ′(0)，令x ＝0，则f ′(0)＝0，∴f ′(1)＝12＋3f ′(0)＝1.10.若曲线y ＝x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是___答案[22，＋∞)解析∵y ＝x 2－ax ＋ln x ，∴y ′＝2x －a ＋1x ，由题意可知存在实数x >0使得2x －a ＋1x＝0，即a ＝2x ＋1x 成立，∴a ＝2x ＋1x ≥22(当且仅当2x ＝1x ，即x ＝22时等号成立).11.设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为____答案－2解析∵y ′|x ＝1＝n ＋1，∴y ＝x n ＋1在点(1,1)处的切线方程为y ＝(n ＋1)(x －1)＋1.令y ＝0，得x n ＝n n ＋1，∴a n ＝lg n －lg(n ＋1)，∴a 1＋a 2＋…＋a 99＝lg 1－lg 100＝－2.三、解答题12.已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 过点(1,5)，其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，求f (x )的解析式.解∵f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，又f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，f (1)＝5，a ＋2b ＋c ＝0，a ＋4b ＋c ＝0，＋b ＋c ＝5，解得a ＝2，b ＝－9，c ＝12.故f (x )的解析式是f (x )＝2x 3－9x 2＋12x .13.设函数f (x )＝ax －b x ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.(1)解由7x －4y －12＝0，得y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12，所以f (2)＝12，①又f ′(x )＝a ＋b x 2，所以f ′(2)＝74，②由①②a －b 2＝12，＋b 4＝74，＝1，＝3.故f (x )＝x －3x.(2)证明设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由f ′(x )＝1＋3x2知，曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(1＋3x 20)(x －x 0)，即y －(x 0－3x 0)＝(1＋3x 20)(x －x 0).令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为(0，－6x 0).令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0).所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12|－6x 0||2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。

函数的切线方程新课标历届高考题专题训练(及答案)

函数的切线方程新课标历届高考题专题训练1、（20XX 年文10）曲线xy e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）Ａ．294eＢ．22eＣ．2eＤ．22e2、（20XX 年理10）曲线12e x y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）Ａ．29e 2Ｂ．24eＣ．22eＤ．2e3、（20XX 年文21）设函数()b f x ax x=-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --=。

（1）求()y f x =的解析式；（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值。

4、（20XX 年文13）曲线21xy xe x =++在点（0,1）处的切线方程为。

5、（2010文4）曲线2y 21x x =-+在点（1,0）处的切线方程为（A ）1y x =- （B ）1y x =-+ （C ）22y x =- （D ）22y x =-+6、(2010理3)曲线2xy x =+在点（-1，-1）处的切线方程为（A ）y=2x+1 (B)y=2x-1 C y=-2x-3 D.y=-2x-27、（2011文21）已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=．求a ，b 的值；8、（2012文13）曲线y =x (3ln x +1)在点（1,1）处的切线方程为_______9、(2012理12)设点P 在曲线12xy e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 最小值为（）()A 1ln2- ()B ln 2)- ()C 1ln2+ ()D ln 2)+10、（2013新课标Ⅱ文21）已知函数2()xf x x e -=。

（Ⅰ）求()f x 的极小值和极大值；（Ⅰ）当曲线()y f x =的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围。

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21．（本小题满分12分）设函数1()()f x ax a b x b
=+∈+Z ，，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为y =3．
（Ⅰ）求()f x 的解析式：
（Ⅱ）证明：函数()y f x =的图像是一个中心对称图形，
并求其对称中心；
（Ⅲ）证明：曲线()y f x =上任一点的切线与直线x =1
和直线y =x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值．
21．解：（Ⅰ）21()()
f x a x b '=-+，于是2121210(2)
a b a b ⎧+=⎪+⎪⎨⎪-=+⎪⎩，，解得11a b =⎧⎨=-⎩，，或948.3a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，因a b ∈Z ，，故1()1f x x x =+
-．
（Ⅱ）证明：已知函数1y x =，21y x =
都是奇函数．所以函数1()g x x x
=+也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形．而1()111
f x x x =-++-．可知，函数()
g x 的图像按向量(11)
=，a 平移，即得到函数()f x 的图像，故函数()f x 的图像是
以点(11)，为中心的中心对称图形．（Ⅲ）证明：在曲线上任取一点00011x x x ⎛
⎫+ ⎪-⎝⎭
，．由0201()1(1)
f x x '=--知，过此点的切线方程为 2000200111()1(1)x x y x x x x ⎡⎤-+-=--⎢⎥--⎣⎦
．令1x =得0011x y x +=-，切线与直线1x =交点为00111x x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭
，．令y x =得021y x =-，切线与直线y x =交点为00(2121)x x --，
．直线1x =与直线y x =的交点为(11)，．从而所围三角形的面积为00000111212112222121
x x x x x +---=-=--．所以，所围三角形的面积为定值2．
18、函数()(,0)1
b f x ax a a a x =+
-∈≠-R 在3x =处的切线方程与直线(21)230a x y --+=平行；（1）若()g x =(1)f x +，求证：曲线()g x 上的任意一点处的切线与直线0x =和直线y ax =围成的三角形面积为定值；
（2）是否存在实数,m k ，使得()()f x f m x k +-=对于定义域内的任意x 都成立；
（3）若(3)3f =，方程2()(23)f x t x x x =-+有三个解，求实数t 的取值范围．
【解析】：（Ⅰ）因为 ,)
1()(2'--=x b a x f 所以 '21(3)42a b f a -=-=，2b = (2)
分
又 2
()(1).g x f x ax x =+=+
设)(x g 图像上任意一点),,(00y x P 因为 '22()g x a x =-,
所以切线方程为0020022()()().y ax a x x x x -+=--………………………………… 4分令,0=x 得0
4x y =；再令,y ax =得 02x x =, 故三角形面积00
14242S x x =⋅⋅=, 即三角形面积为定值.……………………… 6分（Ⅱ）由(3)3f =得1a =，2()11f x x x =+
--，假设存在k m ,满足题意,则有,121121k x m x m x x =--+--+-+
- 化简,得 m k x m x m -+=----2)
1)(1()2(2对定义域内任意x 都成立,……………… 8分故只有⎩⎨⎧=-+=-.02,02m k m 解得⎩⎨⎧==.
0,2k m
所以存在实数,0,2==k m 使得k x m f x f =-+)()(对定义域内的任意x 都成立.
……………………………………………………………………………………………11分
（Ⅲ）由(3)3f =得1a =，2()11f x x x =+
--，由题意知,,)32(1212x x x t x x +-=-+
-因为,0≠x 且,1≠x 化
简,得 ,)
1(1-=x x t ……………………………………………13分即⎪⎩⎪⎨⎧<+-≠>-=-=.
0,,1,0,)1(122x x x x x x x x x t 且……………………15分
如图可知,.0141<<-t
所以,4-<t 即为t 的取值范围.…………………………………………………… 16分。

切线围成的三角形面积为定值

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