2015年中考冲刺(个性化辅导资料)——圆(答案)
2015中考《圆》解答题精选
2015中考数学《圆》精选精练1．（2015•福州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，tanB=，半径为2的⊙C，分别交AC，BC于点D，E，得到．（1）求证：AB为⊙C的切线；（2）求图中阴影部分的面积．2．（2015•黄石）如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC交⊙O于D，D是BC的中点．（1）求BC的长；（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线．3．（2015•衡阳）如图，AB是⊙O的直径，点C、D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）判断四边形AOCD是否为菱形？并说明理由．4．（2015•昆明）如图，AH是⊙O的直径，AE平分∠FAH，交⊙O于E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为F，B为直径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上．（1）求证：直线FG是⊙O的切线；（2）若CD=10，EB=5，求⊙O的直径．5．（2015•锦州）如图，△ABC中，以AC为直径的⊙O与边AB交于点D，点E为⊙O上一点，连接CE并延长交AB于点F，连接ED．（1）若∠B+∠FED=90°，求证：BC是⊙O的切线；（2）若FC=6，DE=3，FD=2，求⊙O的直径．6．（2015•宁夏）如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA=∠C．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）连接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O的半径为2，求BC的长．7．（2015•潍坊）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．（1）求证：直线DF与⊙O相切；（2）若AE=7，BC=6，求AC的长．8．（2015•枣庄）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：BC2=CD•2OE；（3）若cos∠BAD=，BE=6，求OE的长．9．（2015•北海）如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠C．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）求证：ED平分∠BEP；（3）若⊙O的半径为5，CF=2EF，求PD的长．参考答案：1．（1）证明：过点C作CH⊥AB于H，如图，在Rt△ABC中，∵tanB==，∴BC=2AC=2，∴AB===5，∵CH•AB=AC•BC，∴CH==2，∵⊙C的半径为2，∴CH为⊙C的半径，而CH⊥AB，∴AB为⊙C的切线；（2）解：S阴影部分=S△ACB﹣S扇形CDE=×2×5﹣ =5﹣π．2．证明：（1）解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，又∵∠ABC=30°，AB=4，∴BD=2，∵D是BC的中点，∴BC=2BD=4；（2）证明：连接OD．∵D是BC的中点，O是AB的中点，∴DO是△ABC的中位线，∴OD∥AC，则∠EDO=∠CED又∵DE⊥AC，∴∠CED=90°，∠EDO=∠CED=90°∴DE是⊙O的切线．3．解：（1）连接AC，∵点CD是半圆O的三等分点，∴==，∴∠DAC=∠CAB，∵OA=OC，∴∠CAB=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴AE∥OC（内错角相等，两直线平行）∴∠OCE=∠E，∵CE⊥AD，∴∠OCE=90°，∴OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线；（2）四边形AOCD为菱形．理由是：∵=，∴∠DCA=∠CAB，∴CD∥OA，又∵AE∥OC，∴四边形AOCD是平行四边形，∵OA=OC，∴平行四边形AOCD是菱形．4．解：（1）如图1，连接OE，∵OA=OE，∴∠EAO=∠AEO，∵AE平分∠FAH，∴∠EAO=∠FAE，∴∠FAE=∠AEO，∴AF∥OE，∴∠AFE+∠OEF=180°，∵AF⊥GF，∴∠AFE=∠OEF=90°，∴OE⊥GF，∵点E在圆上，OE是半径，∴GF是⊙O的切线．（2）∵四边形ABCD是矩形，CD=10，∴AB=CD=10，∠ABE=90°，设OA=OE=x，则OB=10﹣x，在Rt△OBE中，∠OBE=90°，BE=5，由勾股定理得：OB2+BE2=OE2，∴（10﹣x）2+52=x2，∴，，∴⊙O的直径5．（1）证明：∵∠A+∠DEC=180°，∠FED+∠DEC=180°，∴∠FED=∠A，∵∠B+∠FED=90°，∴∠B+∠A=90°，∴∠BCA=90°，∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵∠CFA=∠DFE，∠FED=∠A，∴△FED∽△FAC，∴=，∴=，解得：AC=9，即⊙O的直径为9．6．（1）证明：连接OB，如图所示：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∴∠C+∠BAC=90°，∵OA=OB，∴∠BAC=∠OBA，∵∠PBA=∠C，∴∠PBA+∠OBA=90°，即PB⊥OB，∴PB是⊙O的切线；（2）解：∵⊙O的半径为2，∴OB=2，AC=4，∵OP∥BC，∴∠C=∠BOP，又∵∠ABC=∠PBO=90°，∴△ABC∽△PBO，∴，即，∴BC=2．7．（1）证明：如图，连接OD．∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵OD=OC，∴∠ODC=∠C，∴∠ODC=∠B，∴OD∥AB，∵DF⊥AB，∴OD⊥DF，∵点D在⊙O上，∴直线DF与⊙O相切；（2）解：∵四边形ACDE是⊙O的内接四边形，∴∠AED+∠ACD=180°，∵∠AED+∠BED=180°，∴∠BED=∠ACD，∵∠B=∠B，∴△BED∽△BCA，∴=，∵OD∥AB，AO=CO，∴BD=CD=BC=3，又∵AE=7，∴=，∴BE=2，∴AC=AB=AE+BE=7+2=9．8．解答：（1）证明：连接OD，BD，∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，∴CE=DE=BE=BC，∴∠C=∠CDE，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∵∠ABC=90°，即∠C+∠A=90°，∴∠ADO+∠CDE=90°，即∠ODE=90°，∴DE⊥OD，又OD为圆的半径，∴DE为⊙O的切线；（2）证明：∵E是BC的中点，O点是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴AC=2OE，∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，∴△ABC∽△BDC，∴=，即BC2=AC•CD．∴BC2=2CD•OE；（3）解：∵cos∠BAD=，∴sin∠BAC==，又∵BE=6，E是BC的中点，即BC=12，∴AC=15．又∵AC=2OE，∴OE=AC=．9．（1）证明：如图，连接OE．∵CD是圆O的直径，∴∠CED=90°．∵OC=OE，∴∠1=∠2．又∵∠PED=∠C，即∠PED=∠1，∴∠PED=∠2，∴∠PED+∠OED=∠2+∠OED=90°，即∠OEP=90°，∴OE⊥EP，又∵点E在圆上，∴PE是⊙O的切线；（2）证明：∵AB、CD为⊙O的直径，∴∠AEB=∠CED=90°，∴∠3=∠4（同角的余角相等）．又∵∠PED=∠1，∴∠PED=∠4，即ED平分∠BEP；（3）解：设EF=x，则CF=2x，∵⊙O的半径为5，∴OF=2x﹣5，在RT△OEF中，OE2=OF2+EF2，即52=x2+（2x﹣5）2，解得x=4，∴EF=4，∴BE=2EF=8，CF=2EF=8，∴DF=CD﹣CF=10﹣8=2，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∵AB=10，BE=8，∴AE=6，∵∠BEP=∠A，∠EFP=∠AEB=90°，∴△AEB∽△EFP，∴=，即=，∴PF=，∴PD=PF﹣DF=﹣2=．。
2015年中考数学冲刺讲义：二次函数与圆综合附答案
2 2
2 （Ⅳ）设 P( x1，，， 1 ． y1 ) Q( x2 y2 ) ，则 y1 x12 1，y2 x2
过 P，Q 分别向 x 轴引垂线，垂足分别为 P1 ( x1，，， 0) Q( x2 0) ． 所以由平行线分线段成比例定理知，
故所求直线 l 的解析式为： y 2 x 7 ，或 y 2 x 7 ．
【例2】 已知抛物线 y ax 2 bx c 与y轴的交点为C，顶点为M，直线CM的解析式
FQ2 Q ．
P2 F FP ． FQ2 FQ
2 21 2( x12 1) x2 1.
23 2 x12 4 x12 1.
x12 4， x1 3) ． 直线 l 过 P(2，，， 3) F (0 7) ，
PO PF 1 ． OQ1 FQ
则 PP1 ∥∥ FO
QQ1 ．
因此，
0 x1 1 ，即 x2 2 x1 ． x2 0 2
过 P，Q 分别向 y 轴引垂线，垂足分别为 P2 (0，，， y1 ) Q2 (0 y2 ) ， 则 PP2 ∥ QQ2 ．所以 △∽△ FP2 P
7 y1 1 ． 21 2 y1 y2 ． y2 7 2
∴ (m 2) (m 1) 1 0 ．解得： m 1 ． ∴ m 的取值范围是 m 1 ．
解法二：由题意知，当 x 1 时， y 1 (m 1) (m 2) 0 ． 解得： m 1 ． ∴ m 的取值范围是 m 1 ． 解法三：由（Ⅰ）的解法三、四知， x1 1，x2 2 m ．
PF 1 ，求直线 l 的解析式． FQ 2
2015届九年级下数学基础复习卷(8)圆(含答案)
ON的长为半径作圆，交 x 轴于点 T4 ，
则 OT4 2OP 3 ，
∴ T4 3,0 综上所述，在 x 轴上存在四个点，使△ OTN 是等腰三角形， 分别是 T1 1,0 、 T2 3,0 、 T3 3,0 、 T4 3,0 ．
向左平移，当⊙ P 与⊙ O 相切时， a 的值为（
）
A ．3
B．1
C．1， 3
D ． ±1， ±3
10．如图 7，⊙ O 的外切正六边形 ABCDEF 的边长为 2，则图中阴影部分的面积为 （
）
A．
3
π 2
B．
3
2π 3
C． 2 3
π 2
D． 2
3
2π 3
二、填空题： （每小题 3 分，共 18 分）
B
A
O
l
C
D
（图 14）
四、解答题： （每小题 10 分，共 20 分）
21． 如图 15，扇形 OAB 的圆心角为 120 °，半径为 6 cm .
（ 1）请用尺规作出扇形的对称轴 (不写做法，保留作图痕迹 )； （ 2）若将此扇形围成一个圆锥的侧面 (不计接缝 ) ，求圆锥的底面积 .
A
B
O
（图 15）
）
A ．AC=AD
B． CE=DE A
C ． OE=BE
D ．BD=BC
C
C
A
B
O
（图 1）
·O
CE
D
B
（图 2）
（图 3）
O E
A
D
（图 4 ）
5．如图 3，一正方形同时外切和内接于两个同心圆，当小圆的半径为
【中考冲刺数学专项复习】：圆综合复习（文档有答案）
【最新中考冲刺数学专项复习】：圆综合复习【考纲要求】1.圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明定会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；2.今后的中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念1. 圆的定义如图所示，有两种定义方式：①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，以O为圆心的圆记作⊙O，线段OA叫做半径；②圆是到定点的距离等于定长的点的集合．要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．2.与圆有关的概念①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如上图所示线段AB，BC，AC都是弦．②直径：经过圆心的弦叫做直径，如AC是⊙O的直径，直径是圆中最长的弦．③弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线BC、BAC都是⊙O中的弧，分别记作BC，?BAC．④半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，如AC是半圆．⑤劣弧：像BC这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧．⑥优弧：像BAC这样大于半圆周的圆弧叫做优弧．⑦同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆．⑧弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．⑨等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．⑩等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如上图中∠AOB，∠BOC是圆心角．圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角，如上图中∠BAC、∠ACB都是圆周角．要点诠释：圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.圆外角度数等于它所夹弧的度数的差的一半. 圆内角度数等于它所夹弧的度数的和的一半.考点二、圆的有关性质1.圆的对称性圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条．圆是中心对称图形，圆心是对称中心，又是旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合．2.垂径定理①垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧．②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．如图所示．AD BD．若上述5个条件要点诠释：在图中(1)直径CD，(2)CD⊥AB，(3)AM＝MB，(4)?A B，(5)?C C有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三．注意：(1)(3)作条件时，应限制AB不能为直径．3.弧、弦、圆心角之间的关系①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；②在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．4.圆周角定理及推论①圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．②圆周角定理的推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中．考点三、与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系如图所示．d表示点到圆心的距离，r为圆的半径．点和圆的位置关系如下表：点与圆的位置关系d与r的大小关系点在圆内d＜r点在圆上d＝r点在圆外d＞r要点诠释：(1)圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点A、B的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．(2)三角形的外接圆经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线交点．它到三角形各顶点的距离相等，都等于三角形外接圆的半径．如图所示．2.直线与圆的位置关系①设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表．②圆的切线．切线的定义：和圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线．这个公共点叫切点．切线的判定定理：经过半径的外端．且垂直于这条半径的直线是圆的切线．友情提示：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．切线长定义：我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．③三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三个内角平分线的交点．要点诠释：找三角形内心时，只需要画出两内角平分线的交点．三角形外心、内心有关知识比较3.圆与圆的位置关系在同一平面内两圆作相对运动，可以得到下面5种位置关系，其中R、r为两圆半径(R≥r)．d为圆心距．要点诠释：①相切包括内切和外切，相离包括外离和内舍．其中相切和相交是重点．②同心圆是内含的特殊情况．③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解．④“r1－r2”时，要特别注意，r1＞r2．考点四、正多边形和圆1.正多边形的有关概念正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫正多边形的中心．外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，这个角叫正多边形的中心角，正多边形的每一个中心角都等于360n°．要点诠释：通过中心角的度数将圆等分，进而画出内接正多边形，正六边形边长等于半径．2.正多边形的性质任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两圆是同心圆．正多边形都是轴对称图形，偶数条边的正多边形也是中心对称图形，同边数的两个正多边形相似，其周长之比等于它们的边长(半径或边心距)之比．3.正多边形的有关计算定理：正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形．正n 边形的边长a 、边心距r 、周长P 和面积S 的计算归结为直角三角形的计算．360na n°，1802sinna R ng °，180cosnr R ng °，2222n na Rr，n n P n a g ，1122nn n n n S a r nP r g g g ．考点五、圆中的计算问题1.弧长公式：180n R l，其中l 为n °的圆心角所对弧的长，R 为圆的半径．2.扇形面积公式：2360n RS扇，其中12S lR扇．圆心角所对的扇形的面积，另外12S lR扇．3.圆锥的侧面积和全面积：圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长．圆锥的全面积是它的侧面积与它的底面积的和．要点诠释：（1）在计算圆锥的侧面积时要注意各元素之间的对应关系，千万不要错把圆锥底面圆半径当成扇形半径．（2）求阴影面积的几种常用方法(1)公式法；(2)割补法；(3)拼凑法；(4)等积变形法；(5)构造方程法．考点六、四点共圆1.四点共圆的定义四点共圆的定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”.2.证明四点共圆一些基本方法：1.从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．或利用圆的定义，证各点均与某一定点等距.2.如果各点都在某两点所在直线同侧，且各点对这两点的张角相等，则这些点共圆．（若能证明其两张角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径.）3.把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．4.把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．即利用相交弦、切割线、割线定理的逆定理证四点共圆.考点七、与圆有关的比例线段（补充知识）1.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.2.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.3.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.圆幂定理（相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统一归纳为圆幂定理）定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于P.PA·PB＝PC·PD. 连结AC、BD，证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB. 用相交弦定理.切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB 连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB 、PD 为⊙O 的两条割线，交⊙O 于A 、C PA ·PB ＝PC ·PD 过P 作PT 切⊙O 于T ，用两次切割线定理【典型例题】类型一、圆的有关概念及性质1． BC 为的弦，∠BOC=130°，△ABC 为的内接三角形，求∠A 的度数.【思路点拨】依题意知为△ABC 的外心，由外心O 的位置可知应分两种情况进行解答.【答案与解析】应分两种情况，当O 在△ABC 内部时，当O 在△ABC 外部时，由∠BOC=130°，得劣弧BC 的度数为130，则的度数为360－130＝230,故∠A=115°.O e O e O 1113065;22A BOC BAC综合以上得∠A=65°或∠A=115°.【总结升华】转化思想就是化未知为已知，化繁为简，化难为易，从而将无法求解的问题转化成可以求解的问题，使问题得以解决.举一反三：【变式】如图，∠AOB ＝100°，点C 在⊙O 上，且点C 不与A 、B 重合，则∠ACB 的度数为（）A ．B ．或C ．D ．或【答案】解：当点C 在优弧上时，∠ACB ＝∠AOB ＝×100°＝50°，当点C 在劣弧上时，∠ACB ＝（360°－∠AOB ）＝×（360°－100°）＝130°．故选D ．类型二、与圆有关的位置关系2．如图，已知正方形的边长是4cm ，求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积．（答案保留π）50o 80o 50o 130o 50o 130o21212121ABO【思路点拨】设正方形外接圆，内切圆的半径分别为R，r，根据圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积即可．【答案与解析】解：设正方形外接圆，内切圆的半径分别为R，r，如图，连接OE、OA，则OA2-OE2=AE2，即R2-r2=（）2=（）2=4，S圆环=S大圆-S小圆=πR2-πr2，（2分）=π（R2-r2），（3分）∵R2-r2=（）2=4，∴S=4π（cm2）．【总结升华】此题比较简单，解答此题的关键是作出辅助线，找出两圆半径之间的关系，根据圆的面积公式列出关系式即可．OP，射线PN与⊙O相切于点Q．A,B 3．如图，已知⊙O的半径为6cm，射线PM经过点O，10cm两点同时从点P出发，点A以5cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动．设运动时间为t s．（1）求PQ的长；（2）当t 为何值时，直线AB 与⊙O 相切？【思路点拨】(1)连OQ,则OQ ⊥PN,由勾股定理可以求得PQ 的长；(2)由直线AB 与⊙O 相切,先找出结论成立的条件,当BQ 等于⊙O 的半径时,直线AB 与⊙O 相切,再根据直线AB 与⊙O 相切时的不同位置,分类求出t 的值.【答案与解析】解（1）连接OQ ．∵PN 与⊙O 相切于点Q ，∴OQ ⊥PN, 即90OQP o ．10OP Q ，6OQ ，∴)(861022cm PQ （2）过点O 作OC AB ，垂足为C ．Q 点A 的运动速度为5cm/s ，点B 的运动速度为4cm/s ，运动时间为t s ，∴t PA 5，4PB t ．10PO Q ，8PQ ，∴PQPBPO PA P P Q ，∴△PAB ∽△POQ, ∴∠PBA=∠PQO=90090BQO CBQ OCB o Q ，∴四边形OCBQ 为矩形．∴BQ=OC∵⊙O 的半径为6，∴BQ=OC=6时，直线AB 与⊙O 相切．①当AB 运动到如图1所示的位置时．84BQPQ PB t ．由6BQ ，得846t ．解得0.5(s)t ．②当AB 运动到如图2所示的位置时．48BQPB PQ t ．由6BQ ，得486t ．解得 3.5(s)t ．所以，当t 为0.5s 或3.5s 时,直线AB 与⊙O 相切．【总结升华】本例是一道双动点几何动态题.是近年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大，对学生获取信息和处理信息的能力要求较高；解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题，挖掘运动、变化的全过程，并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系，动中取静，静中求动. 举一反三：【高清课堂：圆的综合复习例4】【变式】已知：如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，OD ⊥BC 于点D ，过点C 作⊙O 的切线，交OD 的延长线于点E ，连接BE ．（1）求证：BE 与⊙O 相切；（2）连接AD 并延长交BE 于点F ，若OB=9，，求BF 的长．【答案】（1）证明：连结OC .EC Q 与⊙O 相切，C 为切点.90....ECOOBOC OCB OBC ODDC DB DC o Q Q ，直线OE 是线段BC 的垂直平分线....90.EB EC ECB EBC ECO EBO EBOo AB Q 是⊙O 的直径.BE 与⊙O 相切.（2）解：过点D 作DMAB 于点M ，则DM ∥FB . 在Rt ODB 中，2909sin 3sin6.ODBOB ABC OD OB ABC o Q ，，，由勾股定理得223 5.BD OB OD 2sin 3ABC在Rt DMB 中，同理得22sin 2 5.5.DM BD ABC BM BD DM O Q 是AB 的中点，18.13.AB AM AB BM DM Q ∥FB ，∴△AMD ∽△ABF.36513MD AMBF AB MD AB BF AM .365.13MD AMBF AB MD AB BF AM 类型三、与圆有关的计算4．如图，有一个圆O 和两个正六边形T 1，T 2． T 1的6个顶点都在圆周上，T 2的6条边都和圆O相切（我们称T1，T2分别为圆O 的内接正六边形和外切正六边形）．（1）设T1，T2的边长分别为a ，b ，圆O 的半径为r ，求r ：a 及r ：b 的值；（2）求正六边形T 1，T 2的面积比S 1：S 2的值．【思路点拨】（1）根据圆内接正六边形的半径等于它的边长，则r：a=1：1；在由圆的半径和正六边形的半边以及正六边形的半径组成的直角三角形中，根据锐角三角函数即可求得其比值；（2）根据相似多边形的面积比是相似比的平方．由（1）可以求得其相似比，再进一步求得其面积比．【答案与解析】解：（1）连接圆心O和T1的6个顶点可得6个全等的正三角形．所以r：a=1：1；连接圆心O和T2相邻的两个顶点，得以圆O半径为高的正三角形，所以r：b=AO：BO=sin60°=：2；（2）T1：T2的边长比是：2，所以S1：S2=（a：b）2=3：4．【总结升华】计算正多边形中的有关量的时候，可以构造到由正多边形的半径、边心距、半边组成的直角三角形中，根据锐角三角函数进行计算．注意：相似多边形的面积比即是其相似比的平方．举一反三：【变式】有一个亭子，它的地基是半径为8m的正六边形，求地基的周长和面积．（结果保留根号）【答案】解：连接OB、OC；∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC==60°，∴△OBC是等边三角形，∴BC=OB=8m，∴正六边形ABCDEF的周长=6×8=48m．过O作OG⊥BC于G，∵△OBC是等边三角形，OB=8m，∴∠OBC=60°，∴OG=OB?sin∠OBC=8×=4m，∴S△OBC=BC?OG=×8×4=16，∴S六边形ABCDEF=6S△OBC=6×16=96m2．类型四、与圆有关的综合应用5． (1)如图①，的弦垂直于直径，垂足为点，点在上，作直线、，与直线分别交于点、，连结，求证：.(2)把(1)中的“点在上”改为“点在上”，其余条件不变(如图②)，试问：(1)中的结论是否成立？并说明理由.【思路点拨】以上两题需要在运动变化的过程中，寻找临界点，找到不变量，进而运用相关性质求出结果，确定范围.【答案与解析】解：(1)证明：如图①，连结，.于，.，.，.又，，，，又，，，.(2)成立.如图②，连结，.于，，，，，.，，，，，.，.【总结升华】这样的题目均较好地实现了“注重基础、考查能力”的目的.举一反三：【高清课堂：圆的综合复习例3】【变式】如图，已知直径与等边△ABC的高相等的圆O分别与边AB、BC相切于点D、E，边AC过圆心O与圆O相交于点F、G.（1）求证：DE ∥AC ；（2）若的边长为a ，求△ECG 的面积.【答案】(1)∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝60°，∠A ＝60°．∵AB 、BC 是圆O 的切线，D 、E 是切点，∴BD ＝BE ．∴∠BDE ＝60°，∠A ＝60°，有DE ∥AC ．(2)分别连结OD 、OE ，作EH ⊥AC 于点H ．∵AB 、BC 是圆O 的切线，D 、E 是切点，O 是圆心，∴∠ADO ＝∠OEC ＝90°，OD ＝OE ，AD ＝EC ．∴△ADO ≌△CEO ，有∵圆O 的直径等于△ABC 的高，得半径ABC .21a OC AO ,43a OG∵EH ⊥OC ，∠C ＝60°，6．（1）已知：如图1，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，点P 为弧BC 上一动点，求证：PA=PB+PC ；（2）如图2，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，点P 为弧BC 上一动点，求证：；（3）如图3，六边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，点P 为弧BC 上一动点，请探究PA 、PB 、PC 三者之间有何数量关系，并给予证明．【思路点拨】（1）延长BP 至E ，使PE=PC ，连接CE ，证明△PCE 是等边三角形．利用CE=PC ，∠E=∠3=60°，.4321a a OG OC CG .83,30a EH COE ,83)2143(2121a a a EH CG S ECG .64323323643222a a a S ECG∠EBC=∠PAC，得到△BEC≌△APC，所以PA=BE=PB+PC；（2）过点B作BE⊥PB交PA于E，证明△ABE≌△CBP，所以PC=AE，可得PA=PC+PB．（3）在AP上截取AQ=PC，连接BQ可证△ABQ≌△CBP，所以BQ=BP．又因为∠APB=30°．所以PQ=PB，PA=PQ+AQ=PB+PC．【答案与解析】证明：（1）延长BP至E，使PE=PC，连接CE．∵∠BAC=∠CPE=60°，PE=PC，∴△PCE是等边三角形，∴CE=PC，∠E=60°；又∵∠BCE=60°+∠BCP，∠ACP=60°+∠BCP，∴∠BCE=∠ACP，∵△ABC、△ECP为等边三角形，∴CE=PC，AC=BC，∴△BEC≌△APC（SAS），∴PA=BE=PB+PC．（2）过点B作BE⊥PB交PA于E．∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°∴∠1=∠3，又∵∠APB=45°，∴BP=BE，∴；又∵AB=BC，∴△ABE≌△CBP，∴PC=AE．∴．（3）答：；证明：过点B，作BM⊥AP，在AP上截取AQ=PC，连接BQ，∵∠BAP=∠BCP，AB=BC，∴△ABQ≌△CBP，∴BQ=BP．∴MP=QM，又∵∠APB=30°，∴cos30°=，∴PM=PB，∴∴【总结升华】本题考查三角形全等的性质和判定方法以及正多边形和圆的有关知识．要熟悉这些基本性质才能灵活运用解决综合性的习题．举一反三：【变式】（1）如图①，M、N分别是⊙O的内接正△ABC的边AB、BC上的点且BM=CN，连接OM、ON，求∠MON的度数；（2）图②、③、…④中，M、N分别是⊙O的内接正方形ABCD、正五边ABCDE、…正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON，则图②中∠MON的度数是，图③中∠MON的度数是；…由此可猜测在n边形图中∠MON的度数是；（3）若3≤n≤8，各自有一个正多边形，则从中任取2个图形，恰好都是中心对称图形的概率是 .【答案】解：（1）连接OB、OC；∵△ABC是⊙O的内接正三角形，∴OB=OC∠BOC=120°，∠OBC=∠OCB=∠OBA=30°；又∵BM=CN，∴△OBM≌△OCN，∴∠MOB=∠NOC，∴∠MON=∠BOC=120°；（2）90°；72°；360n．（3）1 5 .中考总复习：圆综合复习—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1．已知两圆的半径分别是4和6，圆心距为7，则这两圆的位置关系是( ) A．相交 B．外切 C．外离 D．内含2．如图，等腰梯形ABCD内接于半圆D，且AB＝1，BC＝2，则OA＝( )A．132B．2 C．323D．1523．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4 cm，以点C为圆心，以 2 cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是( )A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交第2题第3题第5题4．已知圆O1、圆O2的半径不相等，圆O1的半径长为3，若圆O2上的点A满足AO1＝3，则圆O1与圆O2的位置关系是( )A．相交或相切 B．相切或相离 C．相交或内含 D．相切或内含5．如图所示，在圆O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝2，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为( )A．19 B．16 C．18 D．206．如图，MN是半径为0.5的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为( )A．22B．2 C．1 D．2二、填空题7．如图，分别以A，B为圆心，线段AB的长为半径的两个圆相交于C，D两点，则∠CAD的度数为_______．8．如图，现有圆心角为90°的一个扇形纸片，该扇形的半径是50cm．小红同学为了在圣诞节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm的圆锥形纸帽(接缝处不重叠)，那么被剪去的扇形纸片的圆心角应该是________度．第7题第8题第9题9．如图，AB⊥BC，AB＝BC＝2 cm，OA与?OC关于点O中心对称，则AB、BC、?CO、?OA所围成的面积是________cm2．10．如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，C为切点，若两圆的半径分别为 3 cm 和5 cm，则AB的长为________cm．11．将半径为 4 cm的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱(如图所示)，当圆柱的侧面的面积最大时，圆柱的底面半径是________cm．第10题第11题第12题12．如图，已知A、B两点的坐标分别为(23,0)、(0，2)，P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP＝45°，则点P的坐标为________．三、解答题13．已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，∠DOC＝2∠ACD＝90°．(1)求证：直线AC是圆O的切线；(2)如果D ACB＝75°，圆O的半径为2，求BD的长．14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，斜边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接BE．(1)若BE是△DEC外接圆的切线，求∠C的大小；(2)当AB＝1，BC＝2时，求△DEC外接圆的半径．15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连接AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连接BF．(1)证明：AF平分∠BAC；(2)证明：BF＝FD；(3)若EF＝4，DE＝3，求AD的长．16. 如图，已知：AC是⊙O的直径，PA⊥AC，连接OP，弦CB∥OP，直线PB交直线AC于D，BD＝2PA．(1)证明：直线PB是⊙O的切线；(2)探究线段PO与线段BC之间的数量关系，并加以证明；(3)求sin∠OPA的值．【答案与解析】一、选择题1.【答案】 A ；【解析】因为6-4＜7＜6+4，所以两圆相交．2.【答案】 A ；【解析】作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别是E，F，连接BD，则AE＝DF，∠ABD＝90°，EF＝BC＝2，设AE＝x，则AD＝2+2x．由△ABE∽△ADB可得AE AB AB AD，即1122xx，解得132x．∴ AD＝2+2x＝1+3，则132 OA．3.【答案】 B ；【解析】如图，过C作CD⊥AB于D，在Rt△CBD中，BC＝4cm，∠B＝30°，∴ CD＝12BC＝1422(cm)．又⊙C的半径为2cm，∴ d＝r．∴直线AB与⊙C相似．4.【答案】 A ；【解析】因为AO1＝3，所以点A在圆O1上，又因为点A在圆O2上，所以圆O1与圆O2的位置关系是相交或相切．5.【答案】 D ；【解析】延长AO交BC于D点，过O作OE⊥BD于E．∵∠A＝∠B＝60°，∴∠ADB＝60°．∴△DAB是等边三角形，BD＝AB＝12．在Rt△ODE中，OD＝12-8＝4，∠ODE＝60°，∴ DE＝OD·cos 60°＝1422，∴ BE＝10，故BC＝2BE＝2×10＝20．6.【答案】A；【解析】过B作BB′⊥MN交⊙O于B′，连接AB′交MN于P，此时PA+PB＝AB′最小．连AO并延长交⊙O于C，连接CB′，在Rt△ACB′中，AC＝1，∠C＝190452°°，∴22sin45122 AB AC°．二、填空题7．【答案】120°；【解析】连接BC ，BD ，则△ABC 与△ABD 都是等边三角形，故∠CAB ＝∠DAB ＝60°，所以∠CAD ＝60°+60°＝120°．8．【答案】18 ；【解析】设被剪去的扇形纸片的圆心角为θ度，则由题意(90)50210180．∴θ＝18．9．【答案】 2 ；【解析】连接AC ，因为OA与?OC 关于点O 中心对称，所以A ，O ，C 三点共线，AO CO S S 弧形弧形，所以所求圆形的面积＝△ABC 的面积1122222AB BC g (cm 2)．10．【答案】8 ；【解析】连接OC ，OA ，则OC 垂直平分AB ，由勾股定理知2222534AC OA OC ，所以AB ＝2AC ＝8．11．【答案】 1 ；【解析】如图是几何体的轴截面，由题意得OD ＝OA ＝4，2πCD ＝4π，∴ CD ＝2．则22224223OC OD CD ．设EF ＝x ，EC ＝y ，由△OEF ∽△OCD 得23223x x，∴233y x ．∴2222(233)23(2)23(1)23S xy r x x x x 圆柱侧面积．∴当x ＝1时，S 有最大值23．12．【答案】(31,31)；【解析】在Rt △OAB 中，23tan 32OA ABO OB ．∴∠ABO ＝60°．连接AP ，如图．则∠APO ＝∠ABO ＝60°．过A 作AC ⊥OP ，如图．在Rt △AOC 中，由23OA ，∠AOC＝45°，可求出OC＝AC＝6，在Rt△ACP中求出PC＝2．OP．∴62PE OE，过P作PE⊥OA，在Rt△OPE中求出31P．∴(31,31)三、解答题13.【答案与解析】(1)证明：∵ OD＝OC，∠DOC＝90°，∴∠ODC＝∠OCD＝45°．∵∠DOC＝2∠ACD＝90°，∴∠ACD＝45°．∴∠ACD+∠OCD＝∠OCA＝90°．∵点C在⊙O上，∴直线AC是⊙O的切线．(2)解：∵ OD＝OC＝2，∠DOC＝90°，CD．∴22∵∠ACB＝75°，∠ACD＝45°，∴∠BCD＝30°．作DE⊥BC于点E，如图．∴∠DEC＝90°，DE DC g°．∴sin302∵∠B＝∠ACO＝45°，∴ DB＝2DE＝2．14.【答案与解析】(1)∵ DE垂直平分AC，∴∠DEC＝90°．∴ DC为△DEC外接圆的直径．∴ DC的中点O即为圆心．连接OE，又知BE是⊙O的切线，∴∠EBO+∠BOE＝90°．在Rt△ABC中，E是斜边AC的中点，∴ BE＝EC．∴∠EBC＝∠C．又∵∠BOE＝2∠C，∴∠C+2∠C＝90°．∴∠C＝30°．(2)在Rt△ABC中，225AC AB BC，∴1522 EC AC．∵∠ABC＝∠DEC＝90°，∴△ABC∽△DEC．∴AC BCDC EC．∴54DC．∴△DEC外接圆的半径为58．15.【答案与解析】(1)证明：连接OF ．∵ FH是⊙O的切线，∴ OF⊥FH．∵ FH∥BC，∴ OF垂直平分BC．∴?BF FC．∴ AF平分∠BAC．(2)证明：由(1)及题设条件可知∠1＝∠2，∠4＝∠3，∠5＝∠2，∴∠1+∠4＝∠2+∠3．∴∠1+∠4＝∠5+∠3，即∠FDB＝FBD．∴ BF＝FD．(3)解：在△BFE和△AFB中，∵∠5＝∠2＝∠1，∠F＝∠F，∴△BFE∽△AFB．∴BF AF FE BF，∴274944 FA，∴4921744 AD．16.【答案与解析】(1)证明：连接OB．∵ BC∥OP，∴∠BCO＝∠POA，∠CBO＝∠POB．又∵ OC＝OB，∴∠BCO＝∠CBO．∴∠POB＝∠POA．又∵ PO＝PO，OB＝OA，∴△POB≌△POA．∴∠PBO＝∠PAO＝90°．∴ PB是⊙O的切线．(2)解：2PO ＝3BC ．(写PO ＝32BC 亦可)证明：∵△POB ≌△POA ，∴ PB ＝PA ．∵ BD ＝2PA ，∴ BD ＝2PB ．∵ BC ∥PO ，∴△DBC ∽△DPO ．∴23BCBD PO PD ，∴ 2PO ＝3BC ．(3)解：∵△DBC ∽△DPO ，∴23DCBD DO PD ，即23DC OD ，∴ DC ＝2OC ．设OA ＝x ，PA ＝y ，则OD ＝3x ，OB ＝x ，BD ＝2y ．在Rt △OBD 中，由勾股定理，得(3x)2＝x 2+(2y)2，即2x 2＝y 2．∵ x ＞0，y ＞0，∴2y x ，223OP x y x ．∴13sin 333OAx OPA OP x ．。
2015年中考数学专题复习试卷：圆
2015年中考数学专题复习试卷：圆一、选择题2.（2013重庆）如图，P 是⊙O 外一点，PA 是⊙O 的 切线，PO=26 cm ，PA=24 cm ，则⊙O 的周长为( ) A.18πcm B.16πcm C.20πcm D.24πcm3.（2013浙江舟山）如图，⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，连接AO 并延长交⊙O 于点E ，连接EC ． 若AB=8，CD=2，则EC 的长为( )A.C.4.（2013福建厦门）如图所示，在⊙O 中，AB AC =，∠A=30°，则∠B=( )A.150°B.75°C.60°D.15°5.（2013贵州遵义）如图，将边长为1 cm 的等边三角形ABC 沿直线l 向右翻动（不滑动），点B 从开始到结束，所经过路径的长度为( )33A.cm B.(2) cm 224C.cmD.3 cm 3π +ππ6.（2013浙江义乌）已知圆锥的底面半径为6 cm ，高为8 cm ，则这个圆锥的母线长为( ) A.12 cm B.10 cm C.8 cm D.6 cm7.（2013四川内江）如图，半圆O 的直径AB=10 cm ， 弦AC=6 cm ，AD 平分∠BAC ，则AD 的长为( )D.4 cm三、解答题22.如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点D在边AB的延长线上，BD=3，过点D作DE⊥AB，与边AC的延长线相交于点E，以DE为直径作⊙O交AE于点F．（1）求⊙O的半径及圆心O到弦EF的距离；（2）连接CD，交⊙O于点G（如图2）．求证：点G是CD的中点．23.(本小题满分10分)（2013广东梅州）如图，在矩形ABCD中，AB=2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA=2．（1）求线段EC的长；（2）求图中阴影部分的面积．24.(本小题满分10分)(2012浙江温州)如图,△ABC中，∠ACB=90°,D是边AB上一点，且∠A=2∠DCB.E是BC边上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D.(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)若CD的弦心距为1，BE=EO，求BD的长.25.（本小题满分12分）（2013广东）如图所示，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E.（1）求证：∠BCA=∠BAD；（2）求DE的长；（3）求证：BE是⊙O的切线.26.（本小题满分15分）(2012浙江杭州)如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知∠EAT=30°,AE==(1)求∠COB的度数；(2)求⊙O的半径R；(3)点F在⊙O上(FME是劣弧)，且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合.在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC 的周长之比.参考答案1.D2.C3.D4.B5.C6.B7.A8.C9.B 10.A 11.C 12.B 13.D 14.D 15.D16.4 17.48 18.0.2 19.52 20.10-π 21.8 22.解：（1）∵∠ACB=90°，AB=5，BC=3， 由勾股定理得：AC=4， ∵AB=5，BD=3，∴AD=8， ∵∠ACB=90°，DE ⊥AD ， ∴∠ACB=∠ADE ，∵∠A=∠A ，∴△ACB ∽△ADE ，BC AC AB,DE AD AE345,DE 8AE ∴==∴==∴DE=6，AE=10， 即⊙O 的半径为3； 过O 作OQ ⊥EF 于Q ， 则∠EQO=∠ADE=90°， ∵∠QEO=∠AED ， ∴△EQO ∽△EDA ，EO OQ,AE AD3OQ ,108∴=∴=∴OQ=2.4，即圆心O 到弦EF 的距离是2.4； (2)连接EG ， ∵AE=10，AC=4， ∴CE=6， ∴CE=DE=6， ∵DE 为直径， ∴∠EGD=90°， ∴EG ⊥CD ，∴点G 为CD 的中点．23.解：（1）∵在矩形ABCD 中，AB=2DA ，DA=2， ∴AB=AE=4，DE ∴= ∴EC=CD-DE=4- （2）∵AD 1sin DEAAE 2∠==， ∴∠DEA=30°， ∴∠EAB=30°，∴图中阴影部分的面积为：FAB DAEEAB22S SS 90413048 236023603--π⨯π⨯π=-⨯⨯-=-扇形扇形 24.(1)证明:连接OD.∵∠DOB=2∠DCB,∠A=2∠DCB, ∴∠A=∠DOB.又∵∠A+∠B=90°, ∴∠DOB+∠B=90°, ∴∠BDO=90°,∴OD ⊥AB,∴AB 是⊙O 的切线. (2)解：过点O 作OM ⊥CD 于点M, ∵OD=OE=BE=12BO, ∠BDO=90°,∴∠DBO=30°,∠DOB=60°.∵∠DCO=12∠DOB,∴∠DCO=30°, 又∵OM ⊥CD,OM=1， ∴OC=2OM=2, ∴OB=4,OD=2,∴BD=OB ·cos ∠DBO42=⨯=∴BD 的长为25.（1）证明：在⊙O 中，∵弦BD=BA ，且圆周角∠BCA 和∠BAD 分别对BA 和BD ， ∴∠BCA=∠BAD.（2）解：∵BE ⊥DC ，∴∠E=90°. 又∵∠BAC=∠EDB,∠ABC=90°, ∴△ABC ∽△DEB,AB AC.DE BD∴= 在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=12，BC=5， ∴由勾股定理得:AC=13，1213144DE .DE 1213∴=∴=， （3）证明：如图，连接OB ，∵OA=OB ，∴∠OAB=∠OBA. ∵BA=BD ，∴∠OBD=∠OBA. 又∠BDC=∠OAB=∠OBA ， ∴∠OBD=∠BDC. ∴OB ∥DE ，∴∠OBE=∠DBE+∠OBD=90°.即BE ⊥OB 于B ，所以BE 是⊙O 的切线. 26.解：(1)∵AE 切⊙O 于点E, ∴AE ⊥CE, 又OB ⊥AT,∴∠AEC=∠CBO=90°, 又∠BCO=∠ACE, ∴△AEC ∽△OBC, 又∠A=30°,∴∠COB=∠A=30°.(2)∵AE=∠A=30°,∴在Rt △AEC 中,ECtan A tan 30,AE=︒=即EC=AE ·tan 30°=3. ∵OB ⊥MN,∴B 为MN 的中点,又MN= ∴MB=1MN 2=连接OM,在△MOB 中,OB COB ,BOC 30,OB cos BOC cos 30OC 2BO OC,2OC 3OC EC OM R,3R,∴==∠=︒∠=︒==∴=∴==+==+=在中又整理得:R 2+18R-115=0, 即(R+23)(R-5)=0,解得:R=-23(舍去)或R=5, ∴⊙O 的半径R 为5.(3)在EF 同一侧,△COB 经过平移、旋转和相似变换后,这样的三角形有6个,如图,每小图2个,顶点在圆上的三角形,如图所示:延长EO 交圆O 于点D,连接DF,如图所示, ∵EF=5,直径ED=10,可得出∠FDE=30°, ∴FD=则C △EFD=51015++=+()((COBEFDCOB2C 3CC15351.=+∴=++=由可得∶∶。
2015全国中考试题汇编--圆
图52015年全国中考数学试题汇编------圆一、选择题1．（2015•广东广州,第3题3分）已知⊙O 的半径为5，直线l 是⊙O 的切线，则点O 到直线l 的距离是（ ） A 2.5B 3C 5D 102．（2015•广东梅州,第6题，3分）如图1，AB 是⊙O 的弦，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，BC 经过圆心.若∠B =20°，则∠C 的大小等于（ ）A ．20°B ．25°C ． 40°D ．50°3. （2015•浙江嘉兴，第7题4分）如图2，△ABC 中，AB =5，BC =3，AC =4，以点C 为圆心的圆与AB 相切，则⊙C 的半径为（ ） （A ）2.3（B ）2.4 （C ）2.5（D ）2.64. （2015•四川省内江市，第10题，3分）如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB 是直径，∠BCD =120°，过D 点的切线PD 与直线AB 交于点P ，则∠ADP 的度数为（ ） A ．40° B ． 35°C ． 30°D ． 45°5．（2015•广东广州,第9题3分）已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（ ）A ． 3B ． 9C ． 18D ． 366.（2015•山东莱芜,第8题3分）已知圆锥的底面半径长为5，侧面展开后得到一个半圆，则该圆锥的母线长为( )A ．2.5B ．5C ．10D ．157. （2015•浙江宁波，第9题4分）如图4，用一个半径为30cm ，面积为π300cm 2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径r 为（ ）A . 5cmB . 10cmC . 20cmD . π5cm8. （2015•浙江衢州,第10题3分）如图5，已知等腰，以为直径的圆交于点，过点的⊙O 的切线交于点，若，则⊙O 的半径是（ ）A .B .C .D .9.(2015•江苏南京,第6题3分)如图6，在矩形ABCD 中，AB =4，AD =5，AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，过点D 作⊙O 的切线BC 于点M ，切点为N ，则DM 的长为（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题1. （2015•浙江宁波，第17题4分）如图7，在矩形ABCD 中，AB =8，AD =12，过点A ，D 两点的⊙O 与BC 边相切于点E ，则⊙O 的半径为2. （2015•淄博第17题,4分）如图8，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A 、B 、C 、D 分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y =x 2﹣2x ﹣3，AB 为半圆的直径，则这个“果圆”被y 轴截得的弦CD 的长为 ．ACBO图1 图2B图3 图4图6 图8图7三、解答题1. （2015•浙江省台州市，第22题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC。
华师大版2015届中考总复习精练精析22圆(2)含答案解析(23页)
图形的性质——圆2一．选择题（共9小题）1．如图，在⊙O中，AB是直径，BC是弦，点P是上任意一点．若AB=5，BC=3，则AP的长不可能为（）A．3 B．4 C．D．52．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（）A．160°B．150°C．140°D．120°3．如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，则∠B的度数为（）A．40° B．45° C．50° D．55°4．从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（）A．B．C．D．5．如图所示，点A，B，C在圆O上，∠A=64°，则∠BOC的度数是（）A．26° B．116°C．128°D．154°6．如图，在⊙O中，OD⊥BC，∠BOD=60°，则∠CAD的度数等于（）A．15° B．20° C．25° D．30°7．如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A=35°，则∠B的度数是（）A．35° B．45° C．55° D．65°8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OB，∠OBA=50°，则∠C的度数为（）A．30° B．40° C．50° D．80°9．如图，点A，B，C，D都在⊙O上，AC，BD相交于点E，则∠ABD=（）A．∠ACD B．∠ADB C．∠AED D．∠ACB二．填空题（共8小题）10．如图，△ABC内接于⊙O，∠OAB=20°，则∠C的度数为_________ ．11．如图，已知A、B、C三点都在⊙O上，∠AOB=60°，∠ACB=_________ ．12．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，∠ADC=54°，则∠BAC的度数等于_________ ．13．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，如果∠AOC=100°，那么∠B=_________ 度．14如图，AB为⊙O直径，CD为⊙O的弦，∠ACD=25°，∠BAD的度数为_________ ．15．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠BOD=130°，AC∥OD交⊙O于点C，连接BC，则∠B=_________ 度．16．如图，AB是⊙O的直径，AB=15，AC=9，则tan∠ADC=_________ ．17．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD切⊙O于点D，连接AD．若∠A=25°，则∠C=_________ 度．三．解答题（共8小题）18．已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，以CD为直径作⊙O，⊙O与边BC相交于点F，⊙O的切线DE与边AB 相交于点E，且AE=3EB．（1）求证：△ADE∽△CDF；（2）当CF：FB=1：2时，求⊙O与▱ABCD的面积之比．19．已知：AB是⊙O的直径，直线CP切⊙O于点C，过点B作BD⊥CP于D．（1）求证：△ACB∽△CDB；（2）若⊙O的半径为1，∠BCP=30°，求图中阴影部分的面积．20．如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，连接AD．（1）求证：△CDE∽△CAD；（2）若AB=2，AC=2，求AE的长．21．已知：如图，P是⊙O外一点，过点P引圆的切线PC（C为切点）和割线PAB，分别交⊙O于A、B，连接AC，BC．（1）求证：∠PCA=∠PBC；（2）利用（1）的结论，已知PA=3，PB=5，求PC的长．22．如图，在⊙O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD．（1）求证：△ABD≌△CDB；（2）若∠DBE=37°，求∠ADC的度数．23．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）求证：△PCF是等腰三角形；（3）若tan∠AB C=，BE=7，求线段PC的长．24．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD与⊙O相切，BD∥AC．（1）图中∠OCD=_________ °，理由是_________ ；（2）⊙O的半径为3，AC=4，求CD的长．25．如图，已知⊙O中直径AB与弦AC的夹角为30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，OD=30cm．求：直径AB的长．图形的性质——圆2参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．如图，在⊙O中，AB是直径，BC是弦，点P是上任意一点．若AB=5，BC=3，则AP的长不可能为（）A． 3 B．4 C．D．5考点：圆周角定理；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系．专题：几何图形问题．分析：首先连接AC，由圆周角定理可得，可得∠C=90°，继而求得AC的长，然后可求得AP的长的取值范围，继而求得答案．解答：解：连接AC，∵在⊙O中，AB是直径，∴∠C=90°，∵AB=5，BC=3，∴AC==4，∵点P是上任意一点．∴4≤AP≤5．故选：A．点评：此题考查了圆周角定理以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．2．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（）A．160°B．150°C．140°D．120°考点：圆周角定理；垂径定理．专题：压轴题．分析：利用垂径定理得出=，进而求出∠BOD=40°，再利用邻补角的性质得出答案．解答：解：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∴=，∵∠CAB=20°，∴∠BOD=40°，∴∠AOD=140°．故选：C．点评：此题主要考查了圆周角定理以及垂径定理等知识，得出∠BOD的度数是解题关键．3．如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，则∠B的度数为（）A．40°B．45°C．50°D．55°考点：圆周角定理；平行线的性质．分析：连接OC，由AO∥DC，得出∠ODC=∠AOD=70°，再由OD=OC，得出∠ODC=∠OCD=70°，求得∠COD=40°，进一步得出∠AOC，进一步利用圆周角定理得出∠B的度数即可．解答：解：如图，连接OC，∵AO∥DC，∴∠ODC=∠AOD=70°，∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD=70°，∴∠COD=40°，∴∠AOC=110°，∴∠B=∠AOC=55°．故选：D．点评：此题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，圆周角定理，正确作出辅助线是解决问题的关键．4．从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（）A．B．C．D．考点：圆周角定理．分析：根据圆周角定理（直径所对的圆周角是直角）求解，即可求得答案．解答：解：∵直径所对的圆周角等于直角，∴从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是B．故选：B．点评：此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．5．如图所示，点A，B，C在圆O上，∠A=64°，则∠BOC的度数是（）A．26°B．116°C．128°D．154°考点：圆周角定理．分析：根据圆周角定理直接解答即可．解答：解：∵∠A=64°，∴∠BOC=2∠A=2×64°=128°．故选：C．点评：本题考查了圆周角定理，知道同弧所对的圆周是圆心角的一半是解题的关键．6．如图，在⊙O中，OD⊥BC，∠BOD=60°，则∠CAD的度数等于（）A．15°B．20°C．25°D．30°考点：圆周角定理；垂径定理．专题：计算题．分析：由在⊙O中，OD⊥BC，根据垂径定理的即可求得：=，然后利用圆周角定理求解即可求得答案．解答：解：∵在⊙O中，OD⊥BC，∴=，∴∠CAD=∠BOD=×60°=30°．故选：D．点评：此题考查了圆周角定理以及垂径定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．7．如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A=35°，则∠B的度数是（）A．35°B．45°C．55°D．65°考点：圆周角定理．专题：几何图形问题．分析：由AB是△ABC外接圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB=90°，又由∠A=35°，即可求得∠B的度数．解答：解：∵AB是△ABC外接圆的直径，∴∠C=90°，∵∠A=35°，∴∠B=90°﹣∠A=55°．故选：C．点评：此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OB，∠OBA=50°，则∠C的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．80°考点：圆周角定理．专题：几何图形问题．分析：根据三角形的内角和定理求得∠AOB的度数，再进一步根据圆周角定理求解．解答：解：∵OA=OB，∠OBA=50°，∴∠OAB=∠OBA=50°，∴∠AOB=180°﹣50°×2=80°，∴∠C=∠AOB=40°．故选：B．点评：此题综合运用了三角形的内角和定理以及圆周角定理．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．9．如图，点A，B，C，D都在⊙O上，AC，BD相交于点E，则∠ABD=（）A．∠ACD B．∠ADB C．∠AED D．∠ACB考点：圆周角定理．专题：几何图形问题．分析：根据圆周角定理即可判断A、B、D，根据三角形外角性质即可判断C．解答：解：A、∵∠ABD对的弧是弧AD，∠ACD对的弧也是AD，∴∠ABD=∠ACD，故A选项正确；B、∵∠ABD对的弧是弧AD，∠ADB对的弧也是AB，而已知没有说=，∴∠ABD和∠ACD不相等，故B选项错误；C、∠AED＞∠ABD，故C选项错误；D、∵∠ABD对的弧是弧AD，∠ACB对的弧也是AB，而已知没有说=，∴∠ABD和∠ACB不相等，故D选项错误；故选：A．点评：本题考查了圆周角定理和三角形外角性质的应用，注意：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．二．填空题（共8小题）10．如图，△ABC内接于⊙O，∠OAB=20°，则∠C的度数为70°．考点：圆周角定理．分析：由△ABC内接于⊙O，∠OAB=20°，根据等腰三角形的性质，即可求得∠OBA的度数，∠AOB的度数，又由圆周角定理，求得∠ACB的度数．解答：解：∵∠OAB=20°，OA=OB，∴∠OBA=∠OAB=20°，∴∠AOB=180°﹣∠OAB﹣∠OBA=140°，∴∠ACB=∠AOB=70°．故答案为70°．点评：本题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．11．如图，已知A、B、C三点都在⊙O上，∠AOB=60°，∠ACB=30°．考点：圆周角定理．分析：由∠ACB是⊙O的圆周角，∠AOB是圆心角，且∠AOB=60°，根据圆周角定理，即可求得圆周角∠ACB 的度数．解答：解：如图，∵∠AOB=60°，∴∠ACB=∠AOB=30°．故答案是：30°．点评：此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．12．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，∠ADC=54°，则∠BAC的度数等于36°．考点：圆周角定理．专题：几何图形问题．分析：由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠B的度数，又由直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ACB=90°，继而求得答案．解答：解：∵∠ABC与∠ADC是所对的圆周角，∴∠ABC=∠ADC=54°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC=90°﹣∠ABC=90°﹣54°=36°．故答案为：36°．点评：此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等与直径所对的圆周角是直角定理的应用．13．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，如果∠AOC=100°，那么∠B=50 度．考点：圆周角定理．专题：计算题．分析：直接根据圆周角定理求解．解答：解：∠B=∠AOC=×100°=50°．故答案为：50．点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．14．如图，AB为⊙O直径，CD为⊙O的弦，∠ACD=25°，∠BAD的度数为65°．考点：圆周角定理．专题：计算题．分析：根据直径所对的圆周角是直角，构造直角三角形ABD，再根据同弧所对的圆周角相等，求得∠B的度数，即可求得∠BAD的度数．解答：解：∵AB为⊙O直径∴∠ADB=90°∵相同的弧所对应的圆周角相等，且∠B=25°∴∠ACD=25°∴∠BAD=90°﹣∠B=65°．故答案为：65°．点评：考查了圆周角定理的推论．构造直径所对的圆周角是圆中常见的辅助线之一．15．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠BOD=130°，AC∥OD交⊙O于点C，连接BC，则∠B=40 度．考点：圆周角定理；平行线的性质．分析：先求出∠AOD，利用平行线的性质得出∠A，再由圆周角定理求出∠B的度数即可．解答：解：∵∠BOD=130°，∴∠AOD=50°，又∵AC∥OD，∴∠A=∠AOD=50°，∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°，∴∠B=90°﹣50°=40°．故答案为：40．点评：本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理的内容是解题关键．16．如图，AB是⊙O的直径，AB=15，AC=9，则tan∠ADC=．考点：圆周角定理；勾股定理；锐角三角函数的定义．分析：根据勾股定理求出BC的长，再将tan∠ADC转化为tanB进行计算．解答：解：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°，∴BC==12，∴tan∠ADC=tanB===，故答案为．点评：本题考查了圆周角定理和三角函数的定义，要充分利用转化思想．17．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD切⊙O于点D，连接AD．若∠A=25°，则∠C=40 度．考点：切线的性质；圆周角定理．专题：计算题．分析：连接OD，由CD为圆O的切线，利用切线的性质得到OD垂直于CD，根据OA=OD，利用等边对等角得到∠A=∠ODA，求出∠ODA的度数，再由∠COD为△AOD外角，求出∠COD度数，即可确定出∠C的度数．解答：解：连接OD，∵CD与圆O相切，∴OD⊥DC，∵OA=OD，∴∠A=∠ODA=25°，∵∠COD为△AOD的外角，∴∠COD=50°，∴∠C=90°﹣50°=40°．故答案为：40点评：此题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，以及外角性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．三．解答题（共8小题）18．已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，以CD为直径作⊙O，⊙O与边BC相交于点F，⊙O的切线DE与边AB 相交于点E，且AE=3EB．（1）求证：△ADE∽△CDF；（2）当CF：FB=1：2时，求⊙O与▱ABCD的面积之比．考点：切线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．专题：几何综合题．分析：（1）根据平行四边形的性质得出∠A=∠C，AD∥BC，求出∠ADE=∠CDF，根据相似三角形的判定推出即可；（2）设CF=x，FB=2x，则BC=3x，设EB=y，则AE=3y，AB=4y，根据相似得出=，求出x=2y，由勾股定理得求出DF=2y，分别求出⊙O的面积和四边形ABCD的面积，即可求出答案．解答：（1）证明：∵CD是⊙O的直径，∴∠DFC=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AD∥BC，AB∥CD，∴∠ADF=∠DFC=90°，∵DE为⊙O的切线，∴DE⊥DC，∴DE⊥AB，∴∠DEA=∠DFC=90°，∵∠A=∠C，∴△ADE∽△CDF；（2）解：∵CF：FB=1：2，∴设CF=x，FB=2x，则BC=3x，∵AE=3EB，∴设EB=y，则AE=3y，AB=4y，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=3x，AB=DC=4y，∵△ADE∽△CDF，∴=，∴=，∵x、y均为正数，∴x=2y，∴BC=6y，CF=2y，在Rt△DFC中，∠DFC=90°，由勾股定理得：DF===2y，∴⊙O的面积为π•（DC）2=π•DC2=π（4y）2=4πy2，四边形ABCD的面积为BC•DF=6y•2y=12y2，∴⊙O与四边形ABCD的面积之比为4πy2：12y2=π：3．点评：本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．19．已知：AB是⊙O的直径，直线CP切⊙O于点C，过点B作BD⊥CP于D．（1）求证：△ACB∽△CDB；（2）若⊙O的半径为1，∠BCP=30°，求图中阴影部分的面积．考点：切线的性质；扇形面积的计算；相似三角形的判定与性质．专题：几何综合题．分析：（1）由CP是⊙O的切线，得出∠BCD=∠BAC，AB是直径，得出∠ACB=90°，所以∠ACB=∠CDB=90°，得出结论△ACB∽△CDB；（2）求出△OCB是正三角形，阴影部分的面积=S扇形OCB﹣S△OCB=π﹣．解答：（1）证明：如图，连接OC，∵直线CP是⊙O的切线，∴∠BCD+∠OCB=90°，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACO+∠OCB=90°∴∠BCD=∠ACO，又∵∠BAC=∠ACO，∴∠BCD=∠BAC，又∵BD⊥CP∴∠CDB=90°，∴∠ACB=∠CDB=90°∴△ACB∽△CDB；（2）解：如图，连接OC，∵直线CP是⊙O的切线，∠BCP=30°，∴∠COB=2∠BCP=60°，∴△OCB是正三角形，∵⊙O的半径为1，∴S△OCB=，S扇形OCB==π，故阴影部分的面积=S扇形OCB﹣S△OCB=π﹣．点评：本题主要考查了切线的性质及扇形面积，三角形的面积，解题的关键是利用弦切角找角的关系．20．如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，连接AD．（1）求证：△CDE∽△CAD；（2）若AB=2，AC=2，求AE的长．考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）根据圆周角定理由AB是⊙O的直径得到∠ADB=90°，则∠B+∠BAD=90°，再根据切线的性质，由AC为⊙O的切线得∠BAD+∠CAD=90°，则∠B=∠CAD，由于∠B=∠ODB，∠ODB=∠CDE，所以∠B=∠CDE，则∠CAD=∠CDE，加上∠ECD=∠DCA，根据三角形相似的判定方法即可得到△CDE∽△CAD；（2）在Rt△AOC中，OA=1，AC=2，根据勾股定理可计算出OC=3，则CD=OC﹣OD=2，然后利用△CDE∽△CAD，根据相似比可计算出CE，再由AE=AC﹣CE可得AE的值．解答：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠B+∠BAD=90°，∵AC为⊙O的切线，∴BA⊥AC，∴∠BAC=90°，即∠BAD+∠CAD=90°，∴∠B=∠CAD，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，而∠ODB=∠CDE，∴∠B=∠CDE，∴∠CAD=∠CDE，而∠ECD=∠DCA，∴△CDE∽△CAD；（2）解：∵AB=2，∴OA=1，在Rt△AOC中，AC=2，∴OC==3，∴CD=OC﹣OD=3﹣1=2，∵△CDE∽△CAD，∴=，即=，∴CE=．∴AE=AC﹣CE=2﹣=．点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．21．已知：如图，P是⊙O外一点，过点P引圆的切线PC（C为切点）和割线PAB，分别交⊙O于A、B，连接AC，BC．（1）求证：∠PCA=∠PBC；（2）利用（1）的结论，已知PA=3，PB=5，求PC的长．考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质．专题：几何综合题．分析：（1）连结OC，OA，先根据等腰三角形的性质得出∠ACO=∠CAO，再由PC是⊙O的切线，C为切点得出∠PCO=90°，∠PCA+∠ACO=90°，在△AOC中根据三角形内角和定理可知∠ACO+∠CAO+∠AOC=180°，由圆周角定理可知∠AOC=2∠PBC，故可得出∠ACO+∠PBC=90°，再根据∠PCA+∠ACO=90°即可得出结论；（2）先根据相似三角形的判定定理得出△PAC∽△PCB，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．解答：（1）证明：连结OC，OA，∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，∵PC是⊙O的切线，C为切点，∴PC⊥OC，∴∠PCO=90°，∠PCA+∠ACO=90°，在△AOC中，∠ACO+∠CAO+∠AOC=180°，∵∠AOC=2∠PBC，∴2∠ACO+2∠PBC=180°，∴∠ACO+∠PBC=90°，∵∠PCA+∠ACO=90°，∴∠PCA=∠PBC；（2）解：∵∠PCA=∠PBC，∠CPA=∠BPC，∴△PAC∽△PCB，∴=，∴PC2=PA•PB，∵PA=3，PB=5，∴PC==．点评：本题考查的是切线的性质，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解答此题的关键．22．如图，在⊙O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD．（1）求证：△ABD≌△CDB；（2）若∠DBE=37°，求∠ADC的度数．考点：切线的性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）根据AB，CD是直径，可得出∠ADB=∠CBD=90°，再根据HL定理得出Rt△ABD≌Rt△CDB；（2）由BE是切线，得AB⊥BE，根据∠DBE=37°，得∠BAD，由OA=OD，得出∠ADC的度数．解答：（1）证明：∵AB，CD是直径，∴∠ADB=∠CBD=90°，在Rt△ABD和Rt△CDB中，，∴Rt△ABD和Rt△CDB（HL）；（2）解：∵BE是切线，∴AB⊥BE，∴∠ABE=90°，∵∠DBE=37°，∴∠ABD=53°，∵OA=OD，∴∠BAD=∠ODA=90°﹣53°=37°，∴∠ADC的度数为37°．点评：本题考查了切线的性质以及全等三角形的判定和性质，是基础题，难度不大．23．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）求证：△PCF是等腰三角形；（3）若tan∠ABC=，BE=7，求线段PC的长．考点：切线的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）由PD切⊙O于点C，AD与过点C的切线垂直，易证得OC∥AD，继而证得AC平分∠DAB；（2）由AD⊥PD，AB为⊙O的直径，易证得CE平分∠ACB，继而可得∴∠PFC=∠PCF，即可证得PC=PF，即△PCF是等腰三角形；（3）首先连接AE，易得AE=BE，即可求得AB的长，继而可证得△PAC∽△PCB，又由tan∠ABC=，BE=7，即可求得答案．解答：解：（1）∵PD切⊙O于点C，∴OC⊥PD．又∵AD⊥PD，∴OC∥AD．∴∠ACO=∠DAC．又∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，∴∠DAC=∠CAO，即AC平分∠DAB．（2）∵AD⊥PD，∴∠DAC+∠ACD=90°．又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∴∠PCB+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠PCB．又∵∠DAC=∠CAO，∴∠CAO=∠PCB．∵CE平分∠ACB，∴∠ACF=∠BCF，∴∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF，∴∠PFC=∠PCF，∴PC=PF，∴△PCF是等腰三角形．（3）连接AE．∵CE平分∠ACB，∴=，∴．∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°．在Rt△ABE中，．∵∠PAC=∠PCB，∠P=∠P，∴△PAC∽△PCB，∴．又∵tan∠ABC=，∴，∴．设PC=4k，PB=3k，则在Rt△POC中，PO=3k+7，OC=7，∵PC2+OC2=OP2，∴（4k）2+72=（3k+7）2，∴k=6 （k=0不合题意，舍去）．∴PC=4k=4×6=24．点评：此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理、勾股定理以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．24．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD与⊙O相切，BD∥AC．（1）图中∠OCD=90 °，理由是圆的切线垂直于经过切点的半径；（2）⊙O的半径为3，AC=4，求CD的长．考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质．专题：几何综合题．分析：（1）根据切线的性质定理，即可解答；（2）首先证明△ABC∽△CDB，利用相似三角形的对应边的比相等即可求解．解答：解：（1）∵CD与⊙O相切，∴OC⊥CD，（圆的切线垂直于经过切点的半径）∴∠OCD=90°；故答案是：90，圆的切线垂直于经过切点的半径；（2）连接BC．∵BD∥AC，∴∠CBD=∠OCD=90°，∴在直角△ABC中，BC===2，∠A+∠ABC=90°，∵OC=OB，∴∠BCO=∠ABC，∴∠A+∠BCO=90°，又∵∠OCD=90°，即∠BCO+∠BCD=90°，∴∠BCD=∠A，又∵∠CBD=∠ACB，∴△ABC∽△CDB，∴=，∴=，解得：CD=3．点评：本题考查了切线的性质定理以及相似三角形的判定与性质，证明两个三角形相似是本题的关键．25．如图，已知⊙O中直径AB与弦AC的夹角为30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，OD=30cm．求：直径AB的长．考点：切线的性质；含30度角的直角三角形．专题：计算题．分析：先求出∠COD，根据切线的性质知∠OCD=90°，从而求出∠D，根据含30度角的直角三角形性质求出OC，即可求出答案．解答：解：∵∠A=30°，OC=OA，∴∠ACO=∠A=30°，∴∠COD=60°，∵DC切⊙O于C，∴∠OCD=90°，∴∠D=30°，∵OD=30cm，∴OC=OD=15cm，∴AB=2OC=30cm．点评：本题考查了切线的性质，含30度角的直角三角形性质，等腰三角形性质，三角形外角性质的应用，主要考查学生的推理和计算能力，题目比较好，难度适中．。
2015年中考总复习图形与几何模块《圆》复习测试题及答案
2015年中考总复习图形与几何模块《圆》复习测试题时间:90分钟总分:120分 2015、3、17一、选择题(每小题4分,共40分)1.如图,量角器外缘边上有A,P,Q三点,它们所表示的读数分别是180°,70°,30°,则∠PAQ的大小为( )A.10°B.20°C.30°D.40°1题图 2题图 3题图2.绍兴是著名的桥乡,如图,石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m,桥拱半径OC为5m,则水面宽AB为( )A.4mB.5mC.6mD.8m3.如图,☉O的半径为5,弦AB=8,M是弦AB上的动点,则OM不可能为( )A.2B.3C.4D.54.如图,已知圆柱体底面圆的半径为2,高为2,AB,CD分别是两底面的直径,AD,BC是母π线.若一只小虫从A点出发,从侧面爬行到C点,则小虫爬行的最短路线的长度是( )A.22B.2C.3D.254题图 5题图 6题图 7题图5.如图,PA,PB是☉O的切线,AC是☉O的直径,∠P=40°,则∠BAC的度数是( )A.10°B.20°C.30°D.40°6.如图,水平地面上有一面积为30πcm2的扇形AOB,半径OA=6cm,且OA与地面垂直.在没有滑动的情况下,将扇形向右滚动至OB与地面垂直为止,则点O移动的距离为( )A.πcmB.2πcmC.5πcmD.10πcm7.如图,AB是☉O的直径,AD是☉O的切线,点C在☉O上,BC∥OD,AB=2,OD=3,则BC的长为( )A.23B.32C.32D.228.如图,已知☉O的半径为1,锐角△ABC内接于☉O,BD⊥AC于点D,OM⊥AB于点M,则sin∠CBD的值等于( )A.OM的长B.2OM的长C.CD的长D.2CD的长8题图 9题图10题图9.如图,AB是☉O的直径,弦BC=2cm,F是弦BC的中点,∠ABC=60°.若动点E以2 cm/s的速度从点A出发沿着A→B→A的方向运动,设运动时间为t(单位:s)(0≤t<3),连接EF,当△BEF是直角三角形时,t的值为( )A.74B.1 C.74或1 D.74或1或9410.如图所示,已知直线l的解析式是y=43x-4,并且与x轴、y轴分别交于A,B两点.一个半径为1.5的☉C,圆心C从点(0,1.5)开始以每秒移动0.5个单位长度的速度沿着y 轴向下运动,当☉C与直线l相切时,则该圆运动的时间为( )A.3秒或6秒B.6秒或10秒C.3秒或16秒D.6秒或16秒二、填空题(每小题4分,共24分)11.如图,正方形ABCD是☉O的内接正方形,点P是劣弧CD上不同于点C的任意一点,则∠BPC的度数是.11题图 12题图 13题图 14题图12.如图,宽为2cm的刻度尺在圆上移动,当刻度尺的一边与圆相切时,另一边与圆的两个交点处的读数恰好为“2”和“8”(单位:cm),则该圆的半径为cm.13.如图,△ABC内接于☉O,∠BAC=120°,AB=AC=4,BD为☉O的直径,则BD等于.14.如图,A,B是☉O上的两点,AC是过A点的一条直线,若∠AOB=120°,则当∠CAB的度数等于时,AC才能成为☉O的切线.15.某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥,它的高AO=8m,母线AB与底面半径OB的夹角为α,tanα=4,则圆锥的底面积是m2.(结果保留π)315题图 16题图16.如图,将边长为2cm的正方形ABCD沿直线l向右翻动(不滑动),当正方形连续翻动6次后,正方形ABCD的中心O经过的路线长是cm.三、解答题(56分)17.(6分)如图,AB是半圆的直径,图①中,点C在半圆外;图②中,点C在半圆内,请仅用无刻度．．．的直尺按要求画图.(1)在图①中,画出△ABC的三条高的交点;(2)在图②中,画出△ABC中AB边上的高.18.(8分)如图,AC是☉O的直径,弦BD交AC于点E.(1)求证:△ADE∽△BCE;(2)如果AD2=AE·AC,求证:CD=CB.19.(10分)在同一平面直角坐标系中有5个点:A(1,1),B(-3,-1),C(-3,1),D(-2,-2),E(0,-3).(1)画出△ABC的外接圆☉P,并指出点D与☉P的位置关系;(2)若直线l经过点D(-2,-2),E(0,-3),判断直线l与☉P的位置关系.20.(10分)如图,已知△ABC内接于☉O,AC是☉O的直径,D是AB的中点,过点D作直线BC的垂线,分别交CB,CA的延长线于E,F.(1)求证:EF是☉O的切线;(2)若EF=8,EC=6,求☉O的半径.21.(10分)如图,圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起,连接AC,BD. (1)求证:AC=BD;cm2,OA=2cm,求OC的长.(2)若图中阴影部分的面积是3π22. (12分)在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,以BC为直径作☉O交AB于点D.(1)求线段AD的长度;(2)点E是线段AC上的一点,试问当点E在什么位置时,直线ED与☉O相切?请说明理由.一、选择题(每小题4分,共40分)1.B 如图,由圆周角与圆心角的关系,可得∠BAP=35°,∠BAQ=15°,∴∠PAQ=20°.故选B.2.D 连接OA,∵桥拱半径OC为5m,∴OA=OC=5m.∵CD=8m,∴OD=8-5=3(m),∴AD=OA2-O D2=52-32=4(m),∴AB=2AD=2×4=8(m).故选D.3.A 因为圆心到弦AB的最小距离为3,所以选A.4.A5.B ∵PA,PB是☉O的切线,∴PA=PB,OA⊥PA.∴∠PAB=∠PBA=12(180°-∠P)=70°,∠PAC=90°.∴∠BAC=∠PAC-∠PAB=20°.6.D ∵30π=nπ×62360,∴n=300.∴点O移动的距离为300π×6180=10π(cm).7.A ∵AD是☉O的切线,∴BA⊥AD.∴∠OAD=90°.∵AB是☉O的直径,AB=2,∴∠BCA=90°,OA=1.∴∠OAD=∠BCA.∵BC∥OD,∴∠B=∠DOA.∴△OAD∽△BCA.∴ODAB =OABC.∴BC=23.8.A 如图,连接OA,OB,∵∠C=12∠AOB,∠AOM=12∠AOB,∴∠C=∠AOM.∵∠C+∠CBD=∠AOM+∠OAM=90°,∴∠CBD=∠OAM.∴sin∠CBD=sin∠OAM=OMOA=OM.9.D 分情况讨论:(1)因为AB是直径,所以∠C=90°.又因为∠ABC=60°,BC=2cm,得AB=4cm.当EF∥AC时,∠EFB=∠C=90°,点F是BC的中点,此时可得BEBA =BFBC=12,得BE=2cm,所以点E的运动路程AE=4-2=2(cm),所以得运动的时间为t=22=1(s);(2)过点F作FE⊥AB,垂足为点E,因为∠B=60°,BF=1cm,所以此时BE=12BF=12cm,所以A点的运动路程AE=4-12=72(cm),所以得运动的时间为t=72÷2=74(s);(3)当点A从点A出发到点B又重新回到(2)情况的这一点,此时点A的运动路程为4+12=92(s),则此时的运动时间为t=94s,当再次回到(1)情况的那一点,路程为4+2=6(cm),运动的时间为t=3s,不在t 的取值范围之内,不合题意,所以选D.10.D 设运动的时间为t,☉C与直线l相切于点D,连接DC(如图).当☉C在直线l的左上方时,由△BDC∽△BOA,得BCBA =CDOA,即5.5-0.5t5=1.53,解得t=6;当☉C在直线l的右下方时,同样的方法解得t=16.故选D.二、填空题(每小题4分,共24分)11.45°如图,连接OB,OC,∵四边形ABCD是正方形,∴∠BOC=90°.∴∠BPC=12∠BOC=45°.12.134如图,EF=8-2=6(cm),DC=2cm,设OF=R cm,则OD=(R-2)cm.在Rt△ODF中,OD2+DF2=OF2,∴(R-2)2+622=R2,∴R=134.13.8 ∵BD为直径,∴∠BAD=90°.∵∠BAC=120°,AB=AC,∴∠BCA=30°.∴∠BDA=∠BCA=30°,∴BD=2BA=8.14.60°∵OA=OB,∠AOB=120°,∴∠OAB=∠OBA=30°.若AC为☉O的切线,则∠OAC=90°.∴∠CAB=∠OAC-∠OAB=90°-30°=60°.15.36π由题意可知△AOB为直角三角形,tanα=AOOB ,即43=8OB,解得OB=6m,所以圆锥底面☉O的面积为πR2=π·62=36π.16.3π正方形的边长为2cm,所以它的对角线长AC为2cm,即OC=1cm.正方形第一次翻动,就是以C为圆心,OC长为半径旋转90°,即正方形中心O每次经过的路线长为90×π×R180=π2(cm),正方形每次翻动点O经过的路线长都相等,所以当正方形连续翻动6次后,正方形ABCD的中心O经过的路线长是π2×6=3π(cm).三、解答题(56分)17.解:(1)如图1,点P就是所求作的点;(2)如图2,CD为AB边上的高.18.解：证明：(1)∵AB=AB,∴∠ADE=∠BCE.又∵∠AED=∠BEC,∴△ADE∽△BCE.(2)∵AD2=AE·AC,∴ADAE =ACAD.∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ACD.∴∠ADB=∠ACD.∵AB=AB,∴∠ADB=∠BCA.∴∠ACD=∠BCA,∴AB=AD.∵AC是☉O的直径,∴ADC=ABC, ∴CD=CB,∴CD=CB.19.解:(1)☉P如图所示.由图知,☉P的半径为5.连接PD.∵PD=12+22=5,∴点D在☉P上.(2)直线l与☉P相切.理由:连接PE.∵直线l过点D(-2,-2),E(0,-3),∴PE2=12+32=10,PD2=5,DE2=5.∴PE2=PD2+DE2.∴△PDE是直角三角形且∠PDE=90°.∴PD⊥l.∴直线l与☉P相切.20.解：(1)证明：如图,连接OD交AB于点G.∵D是AB的中点,OD为半径,∴AG=BG.∵AO=OC,∴OG是△ABC的中位线.∴OG∥BC,即OD∥CE.又CE⊥EF,∴OD⊥EF.∴EF是☉O的切线. (2)在Rt△CEF中,CE=6,EF=8,∴CF=10.设半径OC=OD=r,则OF=10-r,∵OD∥CE,∴△FOD∽△FCE.∴FOFC =ODCE.∴10-r10=r6.∴r=154,即☉O的半径为154.21.解：(1)证明：∵∠AOB=∠COD=90°,∴∠AOC=∠BOD.又OA=OB,OC=OD,∴△AOC≌△BOD(SAS).∴AC=BD.(2)由(1)知△AOC≌△BOD,∴将△AOC绕点O逆时针旋转90°与△BOD重合.∴阴影部分的面积等于扇形OAB的面积减去以90°为圆心角小扇形的面积.∴3π4=90π×22360−90π·OC2360.∴OC=1.故OC的长为1cm.22.解:(1)在Rt△ACB中,∵AC=3cm,BC=4cm,∠ACB=90°, ∴AB=5cm.连接CD,∵BC为直径,∴∠ADC=∠BDC=90°.∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB, ∴Rt△ADC∽Rt△ACB.∴ACAB =ADAC.∴AD=AC 2AB =95(cm).(2)当点E是AC的中点时,直线ED与☉O相切.连接OD,∵DE是Rt△ADC的中线,∴ED=EC.∴∠EDC=∠ECD.∵OC=OD,∴∠ODC=∠OCD.∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°.∴直线ED与☉O相切.11。
初三圆经典真题及答案详解
初三圆经典真题及答案详解圆经典重难点真题一、选择题（共10小题）1.（2015•安顺）如右图，$\odot O$的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，$\angle A=22.5^\circ$，OC=4，CD的长为（）A.2B.4C.4D.82.（2015•酒泉）$\triangle ABC$为$\odot O$的内接三角形，若$\angle AOC=160^\circ$，则$\angle ABC$的度数是（）A.80°B.160°C.100°D.80°或100°3.（2015•兰州）如右图，已知经过原点的$\odot P$与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则$\angle ACB=$A.80°B.90°C.100°D.无法确定4.（2015•包头）如右图，在$\triangle ABC$中，AB=5，AC=3，BC=4，将$\triangle ABC$绕点A逆时针旋转30°后得到$\triangle ADE$，点B经过的路径为$\pi$，则图中阴影部分的面积为（）5.（2015•XXX自主招生）如右图，直径为10的$\odotA$经过点C（，5）和点O（，0），B是y轴右侧$\odot A$优弧上一点，则$\angle OBC$的正弦值为（）A。
$\frac{1}{2}$ B。
$\frac{\sqrt{3}}{2}$ C。
$\frac{\sqrt{2}}{2}$ D。
$\frac{1}{\sqrt{2}}$6.（2015•XXX自主招生）将AB于点D折叠，若AD=4，DB=5，则BC的长是（）A.3B.8C.5D.27.（2015•齐齐哈尔）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（）A.8≤AB≤10B.8＜AB≤10C.4≤AB≤5D.4＜AB≤58.（2015•衢州）如右图，已知$\triangle ABC$，AB=BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的$\odot O$的切线交BC于点E．若CD=5，CE=4，则$\odot O$的半径是（）A.3B.4C.5D.69.（2014•舟山）如图，$\odot O$的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（）A.2B.4C.6D.810.（2015•海南）如右图，将$\odot O$沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则$\angle APB$的度数为（）A.45°B.30°C.75°D.60°二、填空题（共5小题）11.（2015•黔西南州）如右图，AB是$\odot O$的直径，CD为$\odot O$的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD=4，AE=1，则$\odot O$的半径为______。
成都2015-2018中考-圆题选(压轴题)-含答案和解析
成都2015-2018年中考真题（精选）—圆（压轴题）（成都2015年中考真题20题10分）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AC 的垂直平分线分别与AC ，BC 及AB 的延长线相交于点D ，E ，F ，且BF=BC.圆O 是△BEF 的外接圆，∠EBF 的平分线交EF 于点G ，交圆O 于点H ，连接BD,FH.（1）求证：△ABC ≌△EBF ；（2）试判断BD 与圆O 的位置关系，并说明理由； （3）若AB=1，求HG ·HB 的值.（成都2016年中考真题20题12分）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，以BC 为半径作圆C ，交AC 于点D ，交AC 的延长线于点E ，连接BD ，BE 。
（1）求证：△ABD ∽△AEB ； （2）当ABBC =43 时，求tanE ；（3）在（2）的条件下，作∠BAC 的平分线，与BE 交于点F,若AF=2,求圆C 的半径。
GHOEDAFC B（成都2017年中考真题20题12分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作圆O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE 交线段OA于点F．（1）求证：DH是圆O的切线；（2）若A为EH的中点，求的值；（3）若EA=EF=1，求圆O的半径．（成都2018年中考真题20题10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC 交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）设AB=x，AF=y，试用含x，y的代数式表示线段AD的长；（3）若BE=8，sinB=，求DG的长，成都2015-2018年中考真题（精选）—圆（压轴题）答案及解析（成都2015年中考真题20题10分）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AC 的垂直平分线分别与AC ，BC 及AB 的延长线相交于点D ，E ，F ，且BF=BC.圆O 是△BEF 的外接圆，∠EBF 的平分线交EF 于点G ，交圆O 于点H ，连接BD,FH. （1）求证：△ABC ≌△EBF ；（2）试判断BD 与圆O 的位置关系，并说明理由； （3）若AB=1，求HG ·HB 的值.答案：（1）见解析（2）见解析（3）2+（1）由已知条件易得，DCE EFB ∠=∠，ABF∠=∠ 又BC BF =，∴ABC EBF ∆≅∆（ASA ） （2）BD 与O 相切。
2015年北京中考数学专题--圆(白真)
2015年中考复习专题------圆1、（2014北京西城数学一模）21．如图，在ABC△中，AB AC=，以AB为直径作圆O，交BC于点D，连结OD，过点D作圆O的切线，交AB延长线于点E，交AC于点F．（1）求证：OD AC∥；（2）当10AB=，5cos5ABC∠=时，求AF及BE的长．2、（2014朝阳一模）21．如图，CA、CB为⊙O的切线，切点分别为A、B．直径延长AD与CB的延长线交于点E．AB、CO交于点M，连接OB．（1）求证：∠ABO=12∠ACB；（2）若sin∠EAB =1010，CB=12，求⊙O 的半径及BEAE的值．MDBO ECA3、（2014东城一模）21. 如图，AB是⊙O的直径，点E是BD上一点，∠DAC=∠AED．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点E是BD的中点，连结AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求DF的值．4、（2014房山一模）21．如图， AE是⊙O直径，D是⊙O上一点，连结AD并延长使AD=DC，连结CE交⊙O于点B，连结AB.过点E的直线与AC 的延长线交于点F，且∠F=∠CED.（1）求证:EF是⊙O切线；（2）若CD=CF=2，求BE的长.FBCA O ED为直径的⊙O 与边AC 相切于点E ，连结DE 并延长交BC 的延长线于点F ． （1）求证：∠B DF =∠F ；（2）如果CF ＝1，sinA ＝35，求⊙O 的半径．7、（2014门头沟一模）20.如图8，⊙O 的直径AB =4，点P 是AB 延长线上的一点，过P 点作⊙O 的切线，切点为C ，连结AC . （1）若∠CP A =30°，求PC 的长；（2）若点P 在AB 的延长线上运动，∠CP A 的平分线交AC 于点M . 你认为∠CMP 的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠CMP 的大小.OFEDC BA MPO CBAACBOD 为直径的⊙O 与边AC 相切于点E ，连接DE 并延长DE 交BC 的延长线于点F ． （1）求证：BD=BF ；（2）若CF=1，cosB=，求⊙O 的半径．9、（2014平谷一模）20. 如图，点A 、B 在⊙O 上，直线AC 是⊙O 的切线，OC ⊥OB ，连接AB 交OC 于点D ． （1）求证：AC =CD ．（2）若AC =2，AO =5，求OD 的长．10、（2014石景山一模）21．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC AB =，连结CO 并延长交⊙O 的切线AP 于点P ． （1）求证：BCP APC ∠=∠； （2）若53sin =∠APC ，4=BC ，求AP 的长．11、（2014海淀一模）如图，在△ABC 中，AB AC =，以AB 为直径的⊙O 与边BC 、AC 分别交于D 、E 两点，DF ⊥AC 于F ．（1）求证：DF 为⊙O 的切线；（2）若3cos 5C =，9CF =，求AE 的长．BPCO AOF EABC DEB COF DAOPDBCEA 12、（2014通州一模）21．如图，CD 为⊙O 的直径，点B 在⊙O 上，连接BC 、BD ，过点B 的切线AE 与CD 的延长线交于点A ，OE ∥BD ，交BC 于点F ，交AE 于点E . （1）求证：∠E =∠C ； （2）当⊙O 的半径为3，cos A ＝45时，求EF 的长.13、（2014延庆一模）21. 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 是边BC 的中点．以 CD 为直径作⊙O ，交边AC 于点P ，连接BP ，交AD 于点E ． （1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）如果PB 是⊙O 的切线，BC =4，求PE 的长．14、（2014燕山一模）21. 如图，点C 是以AB 为直径的圆O 上一点，直线AC 与过B 点的切线相交于点D ，点E 是BD 的中点，直线CE 交直线AB 于点F . （1）求证：CF 是⊙O 的切线； （2）若23=ED ，43tan =F ， 求⊙O 的半径.15、（2014昌平一模）21. 如图，已知A 、B 、C 分别是⊙O 上的点，∠B =60°，P 是直径CD 的延长线上的一点，且AP =AC . （1）求证：AP 与⊙O 相切； （2）如果AC =3，求PD 的长.EFD O CB ADPO CAB。
2015年中考数学试卷分类汇编圆(8)解析
2015中考数学真题分类汇编：圆(8)一•解答题(共30小题)1. ( 2015?哈尔滨)AB, CD是O O的两条弦，直线AB, CD互相垂直，垂足为点E, 连接AD，过点B作BF丄AD，垂足为点F,直线BF交直线CD于点G.(1)如图1,当点E在O O外时，连接BC,求证：BE平分/ GBC ;(2)如图2,当点E在O O内时，连接AC, AG,求证：AC=AG;(3)如图3,在(2)条件下，连接BO并延长交AD于点H ,若BH平分/ ABF, AG=4, tan Z D=」，求线段AH的长.3图1 E2 图孑2. ( 2015?恩施州)如图，AB是O O的直径，AB=6,过点O作OH丄AB交圆于点H , 点C 是弧AH上异于A、B的动点，过点C作CD丄OA, CE丄OH，垂足分别为D、E, 过点C 的直线交OA的延长线于点G,且Z GCD=Z CED .(1)求证：GC是O O的切线；(2 )求DE的长；(3)过点C作CF丄DE于点F，若Z CED=30°,求CF的长.3. ( 2015?福建)已知：AB是O O的直径，点P在线段AB的延长线上，BP=OB=2, 点Q在O O上，连接PQ.(1)如图①，线段PQ所在的直线与O O相切，求线段PQ的长；(2)如图②，线段PQ与O O还有一个公共点C,且PC=CQ,连接OQ, AC交于点D .①判断OQ与AC的位置关系，并说明理由；②求线段PQ的长.G4. ( 2015?湘潭)如图，已知AB是O O的直径，过点A作O O的切线MA, P为直线MA上一动点，以点P为圆心，PA为半径作O P,交O O于点C,连接PC、OP、BC.(1 )知识探究(如图1):①判断直线PC与O O的位置关系，请证明你的结论；②判断直线OP与BC的位置关系，请证明你的结论.(2 )知识运用(如图2):5. ( 2015?鄂州)如图，在△ABC中，AB=AC, AE是/ BAC的平分线，/ ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M , 交BC于点G,交AB于点F.(1)求证：AE为O O的切线.(2 )当BC=8, AC=12时，求O O的半径.(3)在(2)的条件下，求线段BG的长.6. ( 2015?河北)平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图1摆放，分别延长DA 和QP 交于点O,且/ DOQ=60° OQ=0D=3, OP=2, OA=AB=1 .让线段OD 及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K 一起绕着点O按逆时针方向开始旋转，设旋转角为a (0° a 60).发现：(1 )当a=0°即初始位置时，点P ______________ 直线AB上.(填在”或不在”求当圏①图②a是多少时，OQ经过点B.(2)在OQ旋转过程中，简要说明a是多少时，点P, A间的距离最小？并指出这个最小值；(3)如图2,当点P恰好落在BC边上时，求a及S阴影拓展：如图3,当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BM=x (x> 0),用含x的代数式表示BN的长，并求x的取值范围.探究：当半圆K与矩形ABCD的边相切时，求sin a勺值.7. (2015?成都)如图，在Rt^ABC中，/ ABC=90° AC的垂直平分线分别与AC, BC 及AB的延长线相较于点D，E, F，且BF=BC,O O是ABEF的外接圆，/ EBF的平分线交EF于点G,交O O于点H，连接BD, FH .(1)求证：△ABCEBF ;(2)试判断BD与O O的位置关系，并说明理由；(3)若AB=1，求HG?HB 的值.8 (2015 ?桂林)如图，四边形ABCD是O O的内接正方形，AB=4, PC、PD是O O的两条切线，C、D为切点.(1)如图1,求O O的半径；(2)如图1,若点E是BC的中点，连接PE，求PE的长度；(3)如图2,若点M是BC边上任意一点(不含B、C),以点M为直角顶点，在BC 的上方作/ AMN=90°,交直线CP于点N,求证：AM=MN.9. (2015?吉林)如图①，半径为R,圆心角为n°的扇形面积是S扇形=i，由弧长21=：:得S扇形==,?亠一？R= JR.通过观察，我们发现S扇形=JR类似于S三角形180 2 ISO 2 2=,＞底＞高.D C DC R -------- P备用图类比扇形，我们探索扇环(如图②，两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分交作扇环)的面积公式及其应用.(1 )设扇环的面积为S扇环，二，的长为11, I的长为12,线段AD的长为h (即两个同心圆半径R与r的差).类比S梯形丁X(上底+下底)＞高，用含11, 12, h的代数式表示2S扇环，并证明；(2)用一段长为40m的篱笆围成一个如图②所示的扇环形花园，线段少时，花园的面积最大，最大面积是多少？10. (2015?广西)已知O O是以AB为直径的△ABC的外接圆，OD II BC交O O于点D，交AC于点E，连接AD、BD，BD交AC于点F.(1)求证：BD平分/ ABC;(2)延长AC到点P，使PF=PB，求证：PB是O O的切线；(3)如果AB=10，cos/ ABC=，求AD.511. ( 2015?上海)已知，如图，AB是半圆O的直径，弦CD II AB，动点P，Q分别在线段OC，CD上，且DQ=OP，AP的延长线与射线OQ相交于点E，与弦CD相交于点F (点F 与点C，D 不重合)，AB=20，cos/ AOC=，设OP=x，A CPF 的面积为y.5(1)求证：AP=OQ;(2)求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；(3)当A OPE是直角三角形时，求线段OP的长.12.( 2015?宿迁)已知：O O上两个定点A, B和两个动点C, D , AC与BD交于点AD的长h为多图②£E. 副 图2 图3(1)如图 1,求证：EA?EC=EB?ED ;(2) 如图2,若”，=二厂，AD 是O O 的直径，求证： AD?AC=2BD?BC ; (3) 如图3,若AC 丄BD ，点O 到AD 的距离为2,求BC 的长. 13.(2015?北京)在平面直角坐标系 xOy 中，O C 的半径为r , P 是与圆心C 不重合的 点，点P 关于O C 的反称点的定义如下：若在射线CP 上存在一点P',满足CP+CP ' =2 则称P 为点P 关于O C 的反称点，如图为点 P 及其关于O C 的反称点P 的示意图. 特别地，当点P 与圆心C 重合时，规定CP ' =0 (1 )当0 O 的半径为1时.① 分别判断点M (2, 1) , N (:, 0), T (1,二)关于O O 的反称点是否存在？若 存在，求其坐标；② 点P 在直线y= - x+2上，若点P 关于O O 的反称点P '存在，且点P 不在x 轴上，求 点P 的横坐标的取值范围；(2)O C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线y=-辺x+2丘与x 轴、y 轴分别交于点A ,3B ,若线段AB 上存在点P ,使得点P 关于OC 的反称点P 在O C 的内部，求圆心 C 的 横坐标的取值范围.14.( 2015?深圳)如图1,水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边 AB 和量角器的直径DE 在一条直线上，AB=BC=6cm , OD=3cm ,开始的时候 BD=1cm ，现在三角 板以2cm/s 的速度向右移动.(1 )当B 与O 重合的时候，求三角板运动的时间； (2) 如图2,当AC 与半圆相切时，求 AD ;(3) 如图3,当AB 和DE 重合时，求证：CF 2=CG?CE.AB是直径，过［［的中点P作O O的直径PG交弦BC于点D，连接AG、CP、PB.(1)如图1,若D是线段0P的中点，求/ BAC的度数；(2)如图2,在DG上取一点K，使DK=DP，连接CK，求证：四边形AGKC是平行四边形；(3)如图3,取CP的中点E,连接ED并延长ED交AB于点H,连接PH，求证：PH 丄AB. 16. ( 2015?达州)在△ABC的外接圆O O中，△ABC的外角平分线CD交O O于点D,F为二上-点，且‘丨=二连接DF，并延长DF交BA的延长线于点E.(1) 判断DB与DA的数量关系，并说明理由；(2) 求证：ABCDAFD;(3) 若/ ACM=120°, O O 的半径为5, DC=6,求DE 的长.17. ( 2015?温州)如图，点A和动点P在直线I上，点P关于点A的对称点为Q,以AQ为边作Rt A ABQ，使/ BAQ=90° AQ: AB=3: 4,作A ABQ的外接圆O.点C在点P 右侧，PC=4,过点C作直线m i l，过点O作OD丄m于点D,交AB右侧的圆弧于点E.在射线CD上取点F，使DF= CD，以DE, DF为邻边作矩形DEGF •设AQ=3x.2(1)用关于x的代数式表示BQ, DF .(2)当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长.(3)在点P的整个运动过程中，15.( 2015?东莞)0 O是△ABC的外接圆,D E图3C圉1① 当AP 为何值时，矩形 DEGF 是正方形？② 作直线BG 交O O 于点N ,若BN 的弦心距为1,求AP 的长(直接写出答案)18. ( 2015?南宁)如图，AB 是O O 的直径，C 、G 是O O 上两点，且 AC=CG ,过点C 的直线CD 丄BG 于点D ，交BA 的延长线于点 E ,连接BC ,交OD 于点F . (1) 求证：CD 是O O 的切线.(2) 若•：,求/ E 的度数.FD 3(3) 连接AD ，在(2)的条件下，若 CD=乙求AD 的长.19. ( 2015?无锡)已知：平面直角坐标系中，四边形 OABC 的顶点分别为 O (0, 0)、 A (5, 0)、B (m , 2)、C (m - 5, 2).(1) 问：是否存在这样的 m ,使得在边BC 上总存在点P ,使/ OPA=90°若存在，求 出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.(2) 当/ AOC 与/ OAB 的平分线的交点 Q 在边BC 上时，求 m 的值.20. ( 2015?苏州)如图，在矩形 ABCD 中，AD =acm , AB=bcm (a >b >4),半径为 2cm 的O O 在矩形内且与 AB 、AD 均相切，现有动点 P 从A 点出发，在矩形边上沿着 A -B f C f D 的方向匀速移动，当点 P 到达D 点时停止移动.O O 在矩形内部沿 AD 向 右匀速平移，移动到与CD 相切时立即沿原路按原速返回， 当O O 回到出发时的位置(即再次与AB 相切)时停止移动，已知点 P与O O 同时开始移动，同时停止移动(即同时 到达各自的终止位置).(1) ___________________________________________________ 如图①，点P 从A -B f C f D ，全程共移动了 ________________________________________ cm (用含a 、b 的代数 式表示);(2) 如图①，已知点P 从A 点出发，移动2s 到达B 点，继续移动3s ,到达BC 的中 点，若点P 与O O 的移动速度相等，求在这 5s 时间内圆心O 移动的距离；(3) 如图②，已知a=20, b=10，是否存在如下情形：当O O 到达O 的位置时(此 时圆心O 1在矩形对角线BD 上), DP 与O O 1恰好相切？请说明理由.B P C閨① _ er® J21. (2015?宁波)如图，在平面直角坐标系中，点 M 是第一象限内一点，过 M 的直线 分别交x 轴，y 轴的正半轴于 A , B 两点，且M 是AB 的中点•以OM 为直径的O P 分 别交x 轴，y 轴于C , D 两点，交直线 AB 于点E (位于点 M 右下方)，连结DE 交OM 于点K . (1) 若点M 的坐标为(3, 4), ① 求A , B 两点的坐标； ② 求ME 的长.(2 )若''=3,求/ OBA 的度数.22. ( 2015?日照)阅读资料：如图1,在平面之间坐标系xOy 中，A , B 两点的坐标分别为 A (X 1, yj , B (X 2, y 2), 由勾股定理得AB 2=| X 2 - X [|2+|y 2 - y 1| 2,所以A , B 两点间的距离为AB=--，J我们知道，圆可以看成到圆心距离等于半径的点的集合， 如图2,在平面直角坐标系xoy 中，A (x , y )为圆上任意一点，贝【J A 到原点的距离的平方为 OA 2=|X -0|2+|y -0| 2，当 O O 的半径为r 时，O O 的方程可写为：x 2+y 2=r 2.问题拓展：如果圆心坐标为P(a, b )，半径为r ,那么O P 的方程可以写为 ________________ . 综合应用：如图3,O P 与x 轴相切于原点 O , P 点坐标为(0, 6), A 是O P 上一点，连接 OA , 使tan / POA='，作PD 丄OA ,垂足为D ，延长PD 交x 轴于点B ,连接AB .4 ①证明AB 是O P的切点；②是否存在到四点 O , P , A , B 距离都相等的点Q ?若存在，求Q 点坐标，并写出以 Q 为圆心，以OQ 为半径的O O 的方程；若不存在，说明理yi B 由.L5+lYrYil 23.（ 2015?金华）图1、图2为同一长方体房间的示意图，图 3为该长方体的表面展 开图. （1） 蜘蛛在顶点A 处.① 苍蝇在顶点B 处时，试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线. ② 苍蝇在顶点C 处时，图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板 的最近路线A 'GC 和往墙面BB'C 'C 爬行的最近路线 近. （2） 在图3中，半径为10dm 的O M 与D C 相切， 蛛P 在线段AB 上，苍蝇Q 在O M 的圆周上， 相切，试求PQ 长度的范围. 线段 ABCD 爬行 A'HC ，试通过计算判断哪条路线更 圆心M 到边CC'的距离为15dm ,蜘 PQ为蜘蛛爬行路线，若 PQ 与O M ■ 30 —丸 D A I24.与点(1) (2) (3) H A f 4030图2 ccAp330如图，在直角坐标系中，O M 经过原点O （0，0），点A （二，0） B （0，- 匚），点D 在劣弧 宀上，连接BD 交x 轴于点C ，且/ COD = Z CBO . (2015?长沙)求O M 的半径； 求证：BD 平分/ ABO ;在线段BD 的延长线上找一点 E ,使得直线AE 恰好为O M 的切线，求此时点E 的25. （2015?湖北）如图，AB是O O的直径，点C为O O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E, AE交O O于点D，直线EC交AB的延长线于点P,连接AC,BC, PB: PC=1: 2.（1）求证：AC平分/ BAD ;（2）探究线段PB, AB之间的数量关系，并说明理由;（3 ）若AD=3，求△ABC的面积.26. （2015?宜昌）如图，四边形ABCD为ABCD的面积之比.菱形，对角线AC, BD相交于点E, F是边BA延长线上一点，连接EF，以EF为直径作O 0,交DC于D , G两点，AD分别于EF , GF交于I, H两点.（1）求/ FDE的度数；（2）试判断四边形FACD的形状，并证明你的结论；（3）当G为线段DC的中点时，①求证：FD=FI ;② 设AC=2m, BD=2n,求O 0的面积与菱形------- d? C27. （2015?永州）问题探究:（一）新知学习：圆内接四边形的判断定理：如果四边形对角互补，那么这个四边形内接于圆（即如果四边形EFGH的对角互补，那么四边形EFGH的四个顶点E、F、G、H都在同个圆上）（二）问题解决: 已知O O的半径为2 , AB, CD是O O的直径.P是：'上任意一点，过点P分别作AB,CD的垂线，垂足分别为N, M .（1）若直径AB丄CD，对于「上任意一点P （不与B、C重合）（如图一），证明四边形PMON内接于圆，并求此圆直径的长；（2）若直径AB丄CD,在点P （不与B、C重合）从B运动到C的过程汇总，证明MN 的长为定值，并求其定值；（3）若直径AB与CD相交成120°角.①当点P运动到［「的中点P1时（如图二），求MN的长；②当点P （不与B 、C 重合）从B 运动到C 的过程中（如图三），证明MN 的长为定值. （4）试问当直径AB 与CD 相交成多少度角时，MN 的长取最大值，并写出其最大值.28. （2015?乐山）已知RtMBC 中，AB 是O O 的弦，斜边AC 交O O 于点D ，且AD=DC , 延长CB 交O O 于点E .（1 ）图1的A 、B 、C 、D 、E 五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段 CE 的长？请说明理由；（2）如图2,过点E 作O O 的切线，交AC 的延长线于点F . ① 若CF=CD 时，求sin Z CAB 的值；② 若CF=aCD （a > 0）时，试猜想sin Z CAB 的值.（用含a 的代数式表示，直接写出29. （ 2015?株洲）已知 AB 是圆O 的切线，切点为 B ,直线AO 交圆O 于C 、D 两点, CD=2,Z DAB=30°动点P 在直线AB 上运动，PC 交圆O 于另一点Q . （1） 当点P 运动到使Q 、C 两点重合时（如图1），求AP 的长；（2） 点P 在运动过程中，有几个位置（几种情况）使 △CQD 的面积为？（直接写出2 答案）（3） 当△CQD 的面积为 门且Q 位于以CD 为直径的上半圆，CQ >QD 时（如图2）, 求AP 的长.图1图230. ( 2015?连云港)已知如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y= 7-2二与x 轴、y 轴分别交于A , B 两点，P 是直线AB 上一动点，O P 的半径为1 . (1 )判断原点O 与O P 的位置关系，并说明理由； (2)当。
2015中考数学复习——专题 圆 含答案 整理
专题圆一.解答题1．（2012年，肇庆）（本小题满分10分）如图7，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，连结BE、AD交于点P. 求证：（1）D是BC的中点；（（2.（（1A、BⅡ（2°，BC=23．（2012年，苏州）如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x（2＜x＜4）．（1）当x=时，求弦PA、PB的长度；（2）当x为何值时，PD•CD的值最大？最大值是多少？4.（2012年，佛山）如图，直尺、三角尺都和圆O相切，AB=8cm ．求圆O的直径．C5．（2012武汉）在锐角三角形ABC中，BC=4，sinA=，（1）如图1，求三角形ABC外接圆的直径；（2）如图2，点I为三角形ABC的内心，BA=BC，求AI的长．6．（2012张家界）如图，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作⊙O的切线DC，P点为优弧上一动点（不与A．C重合）．（1）求∠APC与∠ACD的度数；（2）当点P移动到CB弧的中点时，求证：四边形OBPC是菱形．（3）P点移动到什么位置时，△APC与△ABC全等，请说明理由．7．（2012南昌）已知，纸片⊙O的半径为2，如图1，沿弦AB折叠操作．（1）①折叠后的所在圆的圆心为O′时，求O′A的长度；②如图2，当折叠后的经过圆心为O时，求的长度；③如图3，当弦AB=2时，求圆心O到弦AB的距离；（2）在图1中，再将纸片⊙O沿弦CD折叠操作．①如图4，当AB∥CD，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点O到弦AB．CD的距离之和为d，求d的值；②如图5，当AB与CD不平行，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点M为AB的中点，点N为CD的中点，试探究四边形OMPN的形状，并证明你的结论．8．（2012•济宁）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC、BC．（1）猜想：线段OD与BC有何数量和位置关系，并证明你的结论．（2）求证：PC是⊙O的切线．.9．（2012•德阳）如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G．（1）求证：AE•FD=AF•EC；（2）求证：FC=FB；（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径r的长．10．（2012宜宾）如图，⊙O1、⊙O2相交于P、Q两点，其中⊙O1的半径r1=2，⊙O2的半径r2=．过点Q作CD⊥PQ，分别交⊙O1和⊙O2于点C．D，连接CP、DP，过点Q任作一直线AB交⊙O1和⊙O2于点A．B，连接AP、BP、AC．DB，且AC与DB的延长线交于点E．（1）求证：；（2）若PQ=2，试求∠E度数．11．（2012•资阳）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连接EP、CP、OP．（1）BD=DC吗？说明理由；（2）求∠BOP的度数；（3）求证：CP是⊙O的切线；如果你解答这个问题有困难，可以参考如下信息：为了解答这个问题，小明和小强做了认真的探究，然后分别用不同的思路完成了这个题目．在进行小组交流的时候，小明说：“设OP交AC于点G，证△AOG∽△CPG”；小强说：“过点C作CH⊥AB于点H，证四边形CHOP是矩形”．12．并13.14．（、O2．答案1.（本小题满分10分）证明：（1）∵AB是直径∴∠ADB=90°即AD⊥BC（1分）又∵AB=AC∴D是BC的中点（3分）（2）在△BEC与△ADC中，∵∠C=∠C∠CAD=∠CBE（5分）∴△BEC ∽△ADC （6分） （3）∵△BEC ∽△ADC ∴CEBCCD AC = 又∵D 是BC 的中点 ∴2BD=2CD=BC ∴CEBD BD AC 2= 则 CE AC BD ⋅=22 ① （7分） 在△BPD 与 △ABD 中， 有 ∠BDP=∠BDA=，即∵PC=∴PA=，PA=，=4.解析：连接OA 、OB ，∠CAB=1800-600=1200∵AB 、AC 与圆O 相切， ∴OA 平分∠CAB 即∠OAB=21∠CAB=600 BO ┴AB∵AB=8cm ∠OBA= 900∴OA=16cm8cm∴根据勾股定理OB=3考查知识：切线长定理、勾股定理。
中考试题【全国通用】一轮复习专题测试卷(六)圆(含答案).docx
2015年中考数学一轮复习专题卷（六）圆（满分：150分 时间：120分钟）题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1.下列说法：①平分弦的直径垂直于弦；②相等的圆心角所对的弦相等；③在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等；④等弧所对的圆心角相等.其中正确的有 （ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.已知⊙O 的直径AB =10，弦CD ⊥AB 于E 点，CD =6，则BC = （ ） A.10 B.310 C.10310或 D.535或3.如图，AB 是半圆O 的直径，点C 是弧AC 的中点，∠ABC=65°，则∠C = （ ） A.110° B.115° C.130° D.135°4.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =3，BC =4，以点C 为圆心，AC 为半径的圆交AB 于点D ，则BD = （ ） A.185 B.95 C.75 D.35第3题O DC BA第4题DC BA 第5题OD CB A第7题OD C BA5.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线，切点为D ，CD 与AB 的延长线交于点C ，∠A =30°，则AB 与BC 的关系是 （ ） A.AB =BC B.AB =2BC C.AB =2.5BC D.AB =3BC6.在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =3，BC =4，则△ABC 的内切圆半径为 （ ） A.1 B.2 C.3 D.47.如图，⊙O 与等边三角形ABC 相切于点C ，等边三角形ABC 的边长为3，且等边三角形ABC 与⊙O 等高，⊙O 与AC 相交于点D ，则AD 的长为 （ ） A.0.5 B.0.75 C.0.8 D.18.如图，⊙O 与矩形ABCD 的边AB 相切于点E ，与CD 相交于点F 、G ，且BC =FG ，若⊙O 的半径为2.5，则AD 的长为 ( ) A.2.5 B.3 C.3.5 D.4GF E第8题O D C B A第10题CBA 第11题O C B A第12题ODC B A9.一个圆锥的底面半径为2，侧面积为8π，则圆锥的高为 （ ）A.3B.23C.4D.510.如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，分别以AB 、AC 为直径作半圆，则阴影部分的面积为 ( ) A.23π B.3 C.233π+ D.233π- 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.如图，△ABC 内接于⊙O ，∠OAB =25°，弦AB 所对的圆周角度数是_____________.12.如图，△ABC 内接于半径为3的⊙O ，D 为直径AB 的延长线上一点，DO =5，DC 切⊙O 于点C ，则BC 的长为__________.13.P 为⊙O 内一点，OP =5，过点P 的最长弦长26，则过点P 的最短弦长为_________.14.一个圆柱体的底面半径为2㎝，高为3㎝，则与圆柱体的侧面积相等的半径为6㎝的扇形的圆心角度数是______.三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15. 已知：如图，AB 为⊙O 的直径，C 为AB 延长线上一点，D 、E 为⊙O 上两点，CD =CE =AD .求证：四边形AECD 是菱形.EODCBA16.如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，点O 在四边形内部，∠OAD +∠OCD =60°.求证：∠B =∠AOC .DOACB四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.如图，△ABC为⊙O的内接三角形，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，试问：DE与BC有怎样的关系？请证明你的结论.AEDOCB18.如图，在⊙O内有一条折线OABC,OA=4，BC=6，∠A=∠B=60°，求BC的长.COAB五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19. 已知：AB为⊙O的直径，C为AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线CD，D 为切点，∠ACD=40°，E为⊙O上不与点B、C重合的任意一点.求∠BED的度数.20.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O,⊙O，的半径为4，求图中阴影部分的面积.F EADOCB六、（本题满分12分）21.如图，AB 切⊙O 于点A ,OB 交⊙O 于点C ，CE ⊥OA 于点E ,交⊙O 于点D ，AB =4，BC =2，求弦CD 的长.E O DCBA七、（本题满分12分）22.已知：如图，AB 是⊙O 的直径，BC 切⊙O 于点B ，D 为⊙O 上一点，CD =CB ,延长CD 交BA 的延长线于点E .（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）连接OC ，交BD 于点F ，若OF =2，∠E =30°，求图中阴影部分的面积（结果保留 ）.F E O DCBA八、（本题满分14分）23. 如图，AB 是⊙O 的直径，AB =4㎝,P 为AB 延长线上一点，过点P 作⊙O 的切线PC 、PD ,切点分别为C 、D .（1）连接AC ，若∠APC =30°，请证明△APC 是等腰三角形； （2）当BP 等于多少时，四边形CODB 是菱形？ （3）当BP 等于多少时，四边形CODP 是正方形？PODC BA参考答案1.B2.C3.C4.C5.B6.A7.B8.D9.B 10.D11.65°或115° 12.65513.24 120° 15. 连接OD 、OE ，则△ODC ≌△OEC ，∴∠DCA =∠ECA ， ∵DA =DC ，∴∠DCA =∠DAC ，∴∠ECA =∠DAC ，∴AD ∥EC ，∵AD =EC ，∴四边形AECD 是平行四边形，∵DA =DC ，∴四边形AECD 是菱形 16.∵∠AOC =∠D +∠DAO +∠DCO ，∠DAO +DCO =60°，∴∠AOC =∠D +60°， ∵∠AOC =2∠D ，∴∠D =60°，∠AOC =120°，∴∠B =120°，∴∠B =∠AOC 17.DE =12BC ，DE ∥BC ；证明：∵OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，∴D 、E 为AB 、AC 的中点，∴DE =12BC ，DE ∥BC 18.延长AO 交BC 于点D ，则△DAB 是等边三角形，∴OD =2，BD =6， 过点O 作OE ⊥BC 于点E ，则BE =CE ，DE =12OD =1, ∵BE =BD －DE =6－1=5，∴BC =2BE =1019.连接OD ，则∠DOB =50°，点E 在优弧BD 上时，∠BED =25°，点E 在劣弧BD 上时，∠BED =155° 20.阴影部分的面积=13×⊙O 的面积=2116433ππ⨯⨯= 21. 设⊙O 的半径为r ，由题意，得2224(2)r r +=+，解得r =3，又由△OEC ∽△OAB ,得EC OC AB OB =,∴EC =125，∴DC =2EC =6522.（1）连接OD ，则△OBC ≌△ODC （SSS ），∴∠ODC =∠OBC =90°，∴CD 是⊙O 的切线（2）阴影部分的面积为21116424343323ππ⨯⨯-⨯⨯=- 23. (1)证明：连接OC ，则∠COP =60°，∴∠A =12∠COP =30°，∴∠A =∠CP A ，∴CA =CP ，∴△APC 是等腰三角形； （2）BP =2(3)BP =222-.初中数学试卷鼎尚图文**整理制作。
中考数学冲刺专题训练圆含解析
圆一、选择题（本大题共8个小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的）1．如图,BC 是O 的直径,A ,D 是O 上的两点,连接AB ,AD ,BD ,若70ADB ︒∠=,则ABC ∠的度数是（ ）A ．20︒B ．70︒C ．30︒D ．90︒ 【答案】A【解析】连接AC ,如图,∵BC 是O 的直径,∴90BAC ︒∠=,∵70ACB ADB ︒∠=∠=,∴907020ABC ︒︒︒∠=-=．故答案为20︒．故选:A ．2．如图,AB ,AC 分别是⊙O 的直径和弦,OD AC ⊥于点D ,连接BD ,BC ,且10AB =,8AC =,则BD 的长为（ ）A ．25B ．4C ．13D ．4.8【解析】∵AB 为直径,∴90ACB ︒∠=, ∴22221086BC AB AC =-=-=,∵OD AC ⊥,∴142CD AD AC ===, 在Rt CBD ∆中,2246213BD =+=．故选C ． 3．如图,半径为3的⊙A 经过原点O 和点C （0,2）,B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点,则tan ∠OBC 为（ ）A ．13B ．22C ．2D ．22 【答案】C【解析】连结CD,可得CD 为直径,在Rt △OCD 中,CD=6,OC=2,根据勾股定理求得OD=4所以tan ∠CDO=,由圆周角定理得,∠OBC=∠CDO,则tan ∠OBC=,故答案选C ．4．已知圆锥的底面半径为5cm ,母线长为13cm ,则这个圆锥的侧面积是（ ）A ．260cm πB ．265cm πC ．2120cm πD ．2130cm π【解析】 圆锥的侧面积211325652cm ππ=⨯⨯⨯⨯=. 故选:B5．如图,等腰ABC ∆的内切圆⊙O 与AB ,BC ,CA 分别相切于点D ,E ,F ,且5AB AC ==, 6BC =,则DE 的长是( )A 310B ．3105C 35D 65 【答案】D【解析】连接OA 、OE 、OB ,OB 交DE 于H ,如图,等腰ABC ∆的内切圆⊙O 与AB ,BC ,CA 分别相切于点D ,E ,FOA ∴平分BAC ∠, OE BC ⊥, ⊥OD AB ,BE BD =,AB AC =,AO BC ∴⊥,∴点A 、O 、E 共线,即AE BC ⊥,3BE CE ∴==,在Rt ABE ∆中, 22534AE =-=,3BD BE ==,2AD ∴=,设⊙O 的半径为r ,则OD OE r ==, 4AO r =-,在Rt AOD ∆中,2222(4)r r +=-,解得32r =,在Rt BOE ∆中,223353(=2OB =+）, BE BD =,OE OD ,OB ∴垂直平分DE ,DH EH ∴=,OB DE⊥,1122HE OB OE BE ⋅=⋅, 33352535OE BE HE OB ⨯⋅∴===, 652DE EH ∴==, 故选D ．6．如图,PA 、PB 为圆O 的切线,切点分别为A 、B,PO 交AB 于点C,PO 的延长线交圆O 于点D,下列结论不一定成立的是( )A ．PA ＝PBB ．∠BPD ＝∠APDC ．AB ⊥PD D ．AB 平分PD【答案】D【解析】 ∵PA,PB 是⊙O 的切线,∴PA ＝PB,所以A 成立；∠BPD ＝∠APD,所以B 成立；∴AB ⊥PD,所以C 成立；∵PA,PB 是⊙O 的切线,∴AB ⊥PD,且AC ＝BC,只有当AD ∥PB,BD ∥PA 时,AB 平分PD,所以D 不一定成立,故选D ．7．如图,四边形ABCD 是菱形,O 经过点A 、C 、D ,与BC 相交于点E ,连接AC 、AE ．若80D ∠=︒,则EAC ∠的度数为( )A ．20︒B ．25︒C ．30D ．35︒【答案】C【解析】 ∵四边形ABCD 是菱形,80D ∠=︒, ∴()111805022ACB DCB D ︒︒∠=∠=-∠=, ∵四边形AECD 是圆内接四边形,∴80AEB D ∠=∠=︒,∴30EAC AEB ACE ∠=∠-∠=︒,故选:C ．8．如图,在Rt ABC ∆中,90︒∠=C ,4AC =,3BC =,点O 是AB 的三等分点,半圆O 与AC 相切,M ,N 分别是BC 与半圆弧上的动点,则MN 的最小值和最大值之和是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【解析】 如图,设⊙O 与AC 相切于点D ,连接OD ,作OP BC ⊥垂足为P 交⊙O 于F ,此时垂线段OP 最短,PF 最小值为OP OF -,∵4AC =,3BC =,∴5AB =∵90OPB ︒∠=,∴OP AC∵点O 是AB 的三等分点, ∴210533OB =⨯=,23OP OB AC AB ==, ∴83OP =, ∵⊙O 与AC 相切于点D , ∴OD AC ⊥,∴OD BC ∥,∴13OD OA BC AB ==, ∴1OD =, ∴MN 最小值为85133OP OF -=-=, 如图,当N 在AB 边上时,M 与B 重合时,MN 经过圆心,经过圆心的弦最长,MN 最大值1013133=+=, 513+=633, ∴MN 长的最大值与最小值的和是6．故选:B ．二、填空题（本大题共4个小题,每小题6分,共24分）9．如图,PA 、PB 是O 的切线,A 、B 为切点,点C 、D 在⊙O 上．若∠P ＝102°,则∠A ＋∠C ＝_________°．【答案】219【解析】解:连接AB,∵PA 、PB 是⊙O 的切线,∴PA ＝PB,∵∠P ＝102°,∴∠PAB ＝∠PBA ＝12（180°−102°）＝39°, ∵∠DAB ＋∠C ＝180°,∴∠PAD ＋∠C ＝∠PAB ＋∠DAB ＋∠C ＝180°＋39°＝219°,故答案为:219°．10．如图,AC 是⊙O 的直径,B ,D 是⊙O 上的点,若⊙O 的半径为3,∠ADB ＝30°,则BC 的长为____．【答案】2π．【解析】由圆周角定理得,∠AOB ＝2∠ADB ＝60°,∴∠BOC ＝180°﹣60°＝120°,∴BC 的长＝12032180ππ⨯=, 故答案为:2π．11.如图,ABC ∆是⊙O 的内接三角形,且AB 是⊙O 的直径,点P 为⊙O 上的动点,且60BPC ︒∠=,⊙O 的半径为6,则点P 到AC 距离的最大值是___．【答案】633+． 【解析】 过O 作OM AC ⊥于M ,延长MO 交⊙O 于P ,则此时,点P 到AC 距离的最大,且点P 到AC 距离的最大值PM =,∵OM AC ⊥,60A BPC ︒∠=∠=,⊙O 的半径为6,∴6OP OA ==,∴3363322OM OA ==⨯=, ∴633PM OP OM =+=+,∴则点P 到AC 距离的最大值是633+,故答案为:633+．12．如图在正方形ABCD 中,点E 是以AB 为直径的半圆与对角线AC 的交点,若圆的半径等于1,则图中阴影部分的面积为_____．【答案】1.【解析】如图所示:连接BE ,可得,AE BE ＝,90AEB ∠︒＝, 且阴影部分面积111221244CEB ABC ABCD SS S ⨯⨯正方形＝＝＝＝＝ 故答案为1三、解答题（本大题共3个小题,每小题12分,共36分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13．如图,点E 是ABC ∆的内心,AE 的延长线和ABC ∆的外接圆圆O 相交于点D ,过D 作直线//DG BC ．（1）求证:DG 是圆O 的切线；（2）若6DE =,63BC =,求优弧BAC 的长．【答案】（1）见解析；（2）优弧BAC 的长＝8π．【解析】（1）证明:连接OD 交BC 于H ,如图,∵点E 是ABC ∆的内心,∴AD 平分BAC ∠,即BAD CAD ∠=∠,∴BD CD =,∴OD BC ,BH CH =,∵//DG BC ,∴OD DG ⊥,∴DG 是圆O 的切线；（2）解:连接BD 、OB ,如图,∵点E 是ABC ∆的内心,∴ABE CBE ∠=∠,∵DBC BAD ∠=∠,∴DEB BAD ABE DBC CBE DBE ∠=∠+∠=∠+∠=∠ ∴6DB DE ==, ∵1332BH BC ==, 在Rt BDH ∆中,333sin BH BDH BD ∠===, ∴60BDH ∠=,而OB OD =,∴OBD ∆为等边三角形,∴60BOD ∠=,6OB BD ==,∴120BOC ∠=,∴优弧BAC 的长＝(360120)68180ππ-••=． 14．如图,四边形ABCD 内接于O ,AC 为O 的直径,D 为AC 的中点,过点D 作DE AC ,交BC 的延长线于点E ．（1）判断DE 与O 的位置关系,并说明理由； （2）若O 的半径为5,8AB =,求CE 的长．【答案】（1）详见解析；（2）254CE =． 【解析】（1）DE 与O 相切,理由如下:如图,连接OD ,∵AC 为O 的直径,∴90ADC ∠=,∵D 为AC 的中点,∴AD CD =,∴AD CD =,∴45ACD ∠=,∵OA 是AC 的中点,∴45ODC ∠=,∵DE AC ,∴45CDE DCA ∠=∠=,∴90ODE ∠=,∴DE 与O 相切； （2）∵O 的半径为5,∴10AC =,∴52AD CD ==∵AC 为O 的直径,∴90ABC ∠=, ∵8AB =,∴6BC =, ∵BAD DCE ∠=∠,45ABD CDE ∠=∠=,∴ABD CDE ∆∆,∴AB AD CD CE =, 5252CE=,∴254CE =． 15．如图,已知AB 是⊙O 的直径,CB ⊥AB,D 为圆上一点,且AD ∥OC,连接CD,AC,BD,AC 与BD 交于点M ．（1）求证:CD 为⊙O 的切线；（2）若CD 2AD,求CM MA的值．【答案】（1）见解析；（2）331=CMAM.【解析】（1）证明:连接OD,设OC交BD于K．∵AB是直径,∴∠ADB＝90°,∴AD⊥BD,∵OC∥AD,∴OC⊥BD,∴DK＝KB,∴CD＝CB,∵OD＝OB,OC＝OC,CD＝CB,∴△ODC≌△OBC（SSS）,∴∠ODC＝∠OBC,∵CB⊥AB,∴∠OBC＝90°,∴∠ODC＝90°,∴OD⊥CD,∴CD是⊙O的切线．（2）∵CD2AD,∴可以假设AD＝a,CDa,设KC＝b．∵DK＝KB,AO＝OB,∴OK＝12AD＝12a,∵∠DCK＝∠DCO,∠CKD＝∠CDO＝90°, ∴△CDK∽△COD,∴CDOC＝CKCD,∴12a b +整理得:2（ba）2+（ba）﹣4＝0,解得ba,∵CK∥AD,∴CMAM＝CKAD＝ba。
2015届中考数学专项检测：《圆》基础测试(含答案)
5
＝ 2︰ 3︰6，所以∠ B︰∠ D＝3︰5，所以∠ D的度数为 ×180°＝ 112.5 °．【答案】 C．
8
6．OA平分∠ BOC，P 是 OA上任一点， C不与点 O重合，且以 P为圆心的圆与 OC相离，那么圆 P与 OB
的位置关系是………………………………………………（
）
（A）相离 （B）相切
）
1
（A） （ a＋b＋c） r
2
1
（B）2（ a＋ b＋c）（ C） （a＋ b＋c）r
3
（ D）（ a＋ b＋c）r
【提示】连结内心与三个顶点，则△ ABC的面积等于三个三角形的面积之和，所以△
ABC的面积为
1
1
1
1
a·r ＋ b· r ＋ c·r ＝ （a＋b＋ c） r ．【答案】 A．
2
2
（一）选择题（每题 2 分，共 20 分）
1．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的
距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有………………（
）
（A）4 个 （ B）3 个 （C）2 个 （ D）1 个
【提示】若三点在一条直线上，则不能作出过这三点的圆，故②不对．【答案】
2
2
【答案】 C．
5．圆内接四边形 ABCD中，∠ A、∠ B、∠ C 的度数比是 2︰ 3︰ 6，则∠ D的度数是（
）
（A） 67.5 ° （ B）135° （C） 112.5 ° （D） 110°
【提示】因为圆内接四边形的对角之和为 180°，则∠ A＋∠ C＝∠ B＋∠ D＝ 180°．又因为∠ A︰∠ B︰∠ C
的度数＝
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2015年中考冲刺——黄老（个性化辅导资料）——圆综合
1. (浙江丽水)如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F。
（1）求证：BE=CE；
（2）求∠CBF的度数；
（3）若AB=6，求的长。
2、(年南京)如图，AD是圆O的切线，切点为A，AB是圆O
的弦。
过点B作BC//AD，交圆O于点C，连接AC，过
点C作CD//AB，交AD于点D。
连接AO并延长交BC
于点M，交过点C的直线于点P，且∠BCP=∠ACD。
(1) 判断直线PC与圆O的位置关系，并说明理由：
(2) 若AB=9，BC=6，求PC的长。
解析：解法一：(1) 直线PC与圆O相切。
如图 ，连接CO并延长，交圆O于点N，连接BN
∵AB//CD，∴∠BAC=∠ACD。
∵∠BAC=∠BNC，∴∠BNC=∠ACD。
∵∠BCP=∠ACD，∴∠BNC=∠BCP。
∵CN是圆O的直径，∴∠CBN=90︒。
∴∠BNC+∠BCN=90︒，∴∠BCP+∠BCN=90︒。
∴∠PCO=90︒，即PC⊥OC。
又点C在圆O上，∴直线PC与圆O相切。
(4分(2) ∵AD是圆O的切线，∴AD⊥OA，即∠OAD=90︒。
∵BC//AD，∴∠OMC=180︒-∠OAD=90︒，即OM⊥BC。
∴MC=MB。
∴AB=AC。
在Rt△AMC中，∠AMC=90︒，AC=AB=9，MC= 1
2
BC=3，
由勾股定理，得AM=AC 2-MC 2 =92-32 =62。
设圆O的半径为r。
在Rt△OMC中，∠OMC=90︒，OM=AM-AO=62-r，MC=3，OC=r，
由勾股定理，得OM 2+MC 2=OC 2，即(62-r)2+32=r2。
解得r= 27
8
2。
在△OMC和△OCP中，
∵∠OMC=∠OCP，∠MOC=∠COP，
∴△OMC～△OCP 。
∴OM
OC
=
CM
PC
，即
6
2-
27
8
2
27
8
2
=
3
PC。
∴PC=
27
7。
(8分)
解法二：(1) 直线PC与圆O相切。
如图 ，连接OC。
∵AD是圆O的切线，∴AD⊥OA，
即∠OAD=90︒。
∵BC//AD，∴∠OMC=180︒-∠OAD=90︒，
即OM⊥BC。
∴MC=MB。
∴AB=AC。
∴∠MAB=∠MAC。
∴∠BAC=2∠MAC。
又∵∠MOC=2∠MAC，∴∠MOC=∠BAC。
∵AB//CD，∴∠BAC=∠ACD。
∴∠MOC=∠ACD。
又∵∠BCP=∠ACD，
∴∠MOC=∠BCP。
∵∠MOC+∠OCM=90︒，∴∠BCP+∠OCM=90︒。
∴∠PCO=90︒，即PC⊥OC。
又∵点C在圆O上，∴直线PC与圆O相切。
(2) 在Rt△AMC中，∠AMC=90︒，A C=AB=9，MC=
1
2
BC=3，
由勾股定理，得AM=AC 2-MC 2 =92-32 =62。
设圆O的半径为r。
在Rt△OMC中，∠OMC=90︒，OM=AM-AO=62-r，MC=3，OC=r，
由勾股定理，得OM 2+MC 2=OC 2，即(62-r)2+32=r2。
解得r=
27
8
2。
在△OMC和△OCP中，∵∠OMC=∠OCP，∠MOC=∠COP，
∴△OMC～△OCP，∴
OM
OC
=
CM
PC
，即
62-
27
8
2
27
8
2
=
3
PC。
∴PC=
27
7。
(8分)
3、（攀枝花）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O与点E，F过点A作PO的
垂线AB垂足为D，交⊙O与点B，延长BO与⊙O交与点C，连接AC，BF．
（1）求证：PB与⊙O相切；
（2）试探究线段EF，OD，OP之间的数量关系，并加以证明；
（3）若AC=12，tan∠F=，求cos∠ACB的值．
解答：（1）证明：连接OA，
∵PA与圆O相切，
∴PA⊥OA，即∠OAP=90°，
A
B
O
M
∴=，即OA2=OD•OP，EF
∵tan∠F=，
=，
=
BE•BF=
∴BD=
∴AB=2BD=
BC=
（x
∴BC=4=20
==
4、（遂宁）如图，在⊙O 中，直径AB⊥CD，垂足为E ，点M 在OC 上，AM 的延长线交⊙O 于点G ，交过C 的直线于F ，∠1=∠2，连结CB 与DG 交于点N ． （1）求证：CF 是⊙O 的切线； （2）求证：△ACM∽△DCN；
（3）若点M 是CO 的中点，⊙O 的半径为4，cos∠BOC=
4
1
，求BN 的长．
解答： （1）证明：∵△BCO 中，BO=CO ，
∴∠B=∠BCO，
在Rt△BCE 中，∠2+∠B=90°，
又∵∠1=∠2，∴∠1+∠BCO=90°，即∠FCO=90°， ∴CF 是⊙O 的切线；
（2）证明：∵AB 是⊙O 直径，∴∠ACB=∠FCO=90°， ∴∠ACB﹣∠BCO=∠FCO﹣∠BCO， 即∠3=∠1，∴∠3=∠2，
∵∠4=∠D，∴△ACM∽△DCN；
（3）解：∵⊙O 的半径为4，即AO=CO=BO=4，
在Rt△COE 中，cos∠BOC=4
1， ∴OE=CO•cos∠BOC=4×
4
1
=1， 由此可得：BE=3，AE=5，由勾股定理可得： CE===， AC===2， BC=
=
=2，
∵AB 是⊙O 直径，AB⊥CD， ∴由垂径定理得：CD=2CE=2，
∵△ACM∽△DCN，
=，
∴CN==
CN=2=
5（包头）如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB=12，求AC的长；（3）在满足（2）的条件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O的半径及sin∠ACE的值．
=，
∴AC=2
==∴AB=
中，∵sin∠ADB=，∴sin∠ADB=
，
6、(年武汉)如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，点
P 是AB 的中点，连接PA ，PB ，PC ．
（1）如图①，若∠BPC ＝60
°，求证：AP AC 3=； （2）如图②，若25
24
sin =
∠BPC ，求PAB ∠tan 的值．
解析：
（1）证明：∵弧BC ＝弧BC ，∴∠BAC ＝∠BPC ＝60°．
又∵AB ＝AC ，∴△ABC 为等边三角形
∴∠ACB ＝60°，∵点P 是弧AB 的中点，∴∠ACP ＝30°，
第22题图①
第22题图②
又∠APC ＝∠ABC ＝60°，∴AC ＝3AP ．
（2）解：连接AO 并延长交PC 于F ，过点E 作EG ⊥AC 于G ，连接OC ． ∵AB ＝AC ，∴AF ⊥BC ，BF ＝CF ．
∵点P 是弧AB 中点，∴∠ACP ＝∠PCB ，∴EG ＝EF ． ∵∠BPC ＝∠FOC ，
∴sin ∠FOC ＝sin ∠BPC=
25
24． 设FC ＝24a ，则OC ＝OA ＝25a ， ∴OF ＝7a ，AF ＝32a ．
在Rt △AFC 中，AC 2
＝AF 2
+FC 2
，∴AC ＝40a ．
在Rt △AGE 和Rt △AFC 中，sin ∠FAC ＝AC
FC
AE EG =
， ∴a
a EG a EG 402432=-，∴EG ＝12a ． ∴tan ∠PAB ＝tan ∠PCB=2
1
2412==a a CF EF ．
第22（2）题图。