关于高中新课程数学选修2-3概率内容的教学分析(1)

关于高中新课程数学选修2-3《概率》内容的教学分析(1)
海口市第一中学钱新一
摘要：高中新课程中的数学选修课，是课改中的一大亮点，克服了旧教材中选修课的形同虚设。

如何开设好数学选修课，本文对数学选修2-3《概率》内容（人教版A版）如何教学，从知识要求及变化、重点和难点、教学案例三个方面加以阐述。

关键词：概率;整体定位;课程标准;教学要求;重点和难点;教学案例
一、问题提出的背景
作为信息时代的公民，无论从事什么职业，都会遇到大量无组织的数据和信息，人们需要有处理和解释信息的能力，需要有根据信息做出判断和决策的能力，概率统计知识已成为现代公民知识结构中必备的成分。

一些发达国家很早就在中小学课程中加入概念统计内容，经几十年的概率统计教学，积累了较丰富的经验。

相反，这部分内容进入我国中学课程相对较晚，经过1960年、1978年、]1980年、1988年4次变动[1]，才在《九年义务教育初级中学数学教学大纲》中，将“统计初步”列入初中数学必修内容，至此，中学生开始较系统地学习统计知识。

2001年，教育部颁布的《义务教育阶段数学课程标准（实验）》中，进一步把“概率统计”作为4个模块之一，分学段地规定了统计教学内容和达到的要求。

2003年，教育部《普通高中数学课程标准》（实验稿）中，“概率统计”也是必修课5个模块之一，而且在选修模块中都是文理科学生必学内容，从而概率在中学课程中的地位得以重新确定。

由于“概率”在我国中小学数学教学中起步较晚，在实施新课程实验中，教师亟需掌握“概率”如何教，才能符合新课程标准，符合编写教材者真正的意图。

对高中新课程数学选修2-3《概率》内容，本文将从知识要求及变化、教学的重点和难点、教学案例三个方面加以阐述。

二.知识要求及变化
1.整体定位
标准对常用逻辑用语这部分内容的整体定位如下：
学生将在必修课程学习概率的基础上，学习某些离散型随机变量分布列及其均值、方差及内容，初步学会利用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象的方法，并能用所学知识解决一些简单的实际问题，进一步体会概率模型的作用及运用概率思考问题的特点，初步形成用随机观念，观察、分析问题的意识。

为了更好的理解整体定位，需要明确以下几个方面的问题：
（1）“离散型随机变量”与“样本数据”存在定位上的区别。

“离散型随机变量”与“样本数据”两者概念不能混为一谈。

“离散型随机变量”是由实验结果确定的，“样本数据”是由抽样方式确定的，导致了两者的差别。

应列举实例，加以区别。

（2）通过实例，理解所有的概念，避免过分注重形式化的倾向。

这部分内容的每个概念，都必须运用数学和生活中的大量详实事例引证或推理。

教学中不应简单从抽象的定义出发，机械地模仿，得出概念。

重点是理解“离散型随机变量及其分布列”、“均值”、“方差”、“正态分布”的概念。

（3）“随机观念”贯穿于这部分内容的始终。

首先要认识离散型随机变量的分布列对刻划随机现象的重要性；其次掌握超几何分布、二项分布是两个非常重要的应用广泛的概率模型。

另外正态分布应用更广泛。

通过这些“分布”的学习，初步学会一种方法（即利用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象的方法），形成一种意识（用随机观念观察分析问题的意识）。

但“方法”和“意识”的培养，仍然离不开实例。

2课程标准的要求
（1）离散型随机变量及其分布列
①在对具体问题的分析中，理解取有限量的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布
列对于刻划随机现象的重要性。

②通过实例（如彩票抽奖），理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用。

（2）二项分布及其应用
在具体情境中，了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解几次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。

（3）离散型随机变量的均值与方差
通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。

（4）正态分布
通过实际问题，借助直观（如实际问题的直观图），认识正态分布、曲线的特点及曲线所表示的意义。

3、课程标准要求的具体化和深广度分析
（1）如何理解“取有限值的离散随机变量及其分布列” 的含义。

①通过实例比较并体会“离散型随机变量” 与“随机变量” 的区别。

例如：问题1 某人射击一次可能出现命中0环，命中1环，…命中10环等结果，即可能出现的结果可以由0，1，2，…10这11个数表示。

思考：a 、某人射击一次的实验中，可能出现的结果（基本事件）是什么？
b 、为什么可以由0，1，……10这11个数字表示实验中可能出现的结果？
分析：因为实验中的可能出现的结果自然的对应着一个实数，根据这种对应关系，我们可以用结果对应的数量表示它。

如0表示命中0环，9表示命中9环等。

例如：问题2 某林场树木最高达到30米，林场树木的高度η一个随机变量。

①随机变量η可以取那些值？
②问题1中的命中环数ξ与问题2中的树木的高度η这两个随机变量取值有什么不同？ 分析：随机变量η可以取（0，30）内的一切取值，问题1中的随机变量ξ的取值是可以按一定次序一一列出；问题2中的随机变量η的取值是一区间内的一切取值。

总结：通过对问题2的思考分析（问题2随机变量η不作教学要求）突出离散型机变量的取值特征，概括定义，加深对离散型随机变量的理解。

② 注意在离散型随机变量的分布列中，研究离散型随机变量X 的可能值，只研究有限个的情
况，无限个的情况不研究，这是新课程与传统课程的差别。

另外，还必须掌握离散型随机变量的分布列具有的两个性质：
（1） p i ≥0，i=1，2，…，n （2）1n
i
i p =∑=1 例如：下面表中列出的是某随机变量的分布列的有（ ）
①
解析: 离散型随机变量的分布列要满足两个性质:(1) p i ≥0，i=1，2，…，n （2）
1n i i p =∑=1用这个标准去衡量既可得到结果。

①和④是某随机变量的分布列；
②不是。

因为()50.1P X ==-不满足性质(1)；
③也不是。

因为将概率求和不等于1，不满足性质(2)。

答案是B
（2）如何理解“两点分布、超几何分布与二项分布”。

课程标准要求只研究两点分布、超几何分布与二项分布，注意超几何分布的使用条件为不放回地抽取，二项分布的使用条件为在n 次独立重复实验中有放回地抽取。

（3）如何理解“离散型随机变量的期望与方差”的概念及其性质。

第一，通过对具体实例的分析，理解离散型随机变量的期望与方差。

离散型随机变量的期望与方差反映了离散型随机变量的平均水平，而离散型随机变量X 的方差反映了X 取值的稳定性。

例如：袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2
个球，每取到一个黑球得0分，每取到一个白球得1分，若取到一个红球则得2分，用X 表示得分数，求：
（1）X 的概率分布 （2）X 的数学期望与方差
解析：（1）由题意知，X 可取值是0，1，2，3，4。

易得其概率分布如下：
（2） EX=0×6+1×3＋2×36＋3×6＋4×36
＝9 DX 的求值略
注：要求次品数的数学期望与方差，应先列出次品数X 的分布列。

第二，通过具体实例，理解离散型随机变量的数学期望与方差的性质在解决和分析数学问题中的作用，而且只掌握具有三种关系的随机变量的数学期望和方差，三种关系是①具有线性关系的随机变量②服从两点分布③服从二项分布
例如：一次英语测验由50道选择题构成，每道有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，每个选对得3分，选错或不选均不得分，满分150分，某学生选对一道题的概率为0.7，求该生在这次测验中的成绩的期望与方差。

解析：设X 为该生选对试题个数，η为成绩，则X ∽（50，0.7），η=3X
∴EX=50×0.7=35
DX=50×0.7×0.3=10.5
故Eη=E(3X)=3EX=105
Dη=D(3X)=9DX=94.5
总结：在计算离散型随机变量的期望与方差时，首先要搞清其分布特征及分布列，然后要准确应用公式，特别是充分利用性质解题。

这样才能避免烦琐的运算过程，提高运算速度和准确度。