26.F.3小结与拓展-几道中考题

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2023年陕西省中考数学真题试卷及答案

2023年陕西省中考数学真题试卷一、选择题（共8小题,每小题3分,计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）.1.计算：35-=（） A. 2B. 2-C. 8D. 8-2.下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.3.如图,l AB ∥,2A B ∠=∠．若1108∠=︒,则2∠的度数为（）A. 36︒B. 46︒C. 72︒D. 82︒4.计算：233162xy x y ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭（） A. 453x y B. 453x y - C. 363x y D. 363x y - 5.在同一平面直角坐标系中,函数y ax =和y x a =+（a 为常数,a<0）的图象可能是（）A. B.C. D.6.如图,DE 是ABC ∆的中位线,点F 在DB 上,2DF BF =．连接EF 并延长,与CB 的延长线相交于点M ．若6BC =,则线段CM 的长为（）A.132B. 7C.152D. 87.陕西饮食文化源远流长,“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（图②）的形状示意图．AB 是O 的一部分,D 是AB 的中点,连接OD ,与弦AB 交于点C ,连接OA ,OB ．已知24AB =cm,碗深8cm CD =,则O 的半径OA 为（）A. 13cmB. 16cmC. 17cmD. 26cm8.在平面直角坐标系中,二次函数22y x mx m m =++-（m 为常数）的图像经过点(06)，.其对称轴在y 轴左侧,则该二次函数有（） A. 最大值5 B. 最大值154 C. 最小值5 D. 最小值154二、填空题（共5小题,每小题3分,计15分）.9.如图,在数轴上,点A 点B 与点A 位于原点的两侧,且与原点的距离相等．则点B 表示的数是．10.如图,正八边形的边长为2,对角线AB ,CD 相交于点E ．则线段BE 的长为___．11.点E 是菱形ABCD 的对称中心,56B ∠=︒,连接AE ,则BAE ∠的度数为___．12.如图,在矩形OABC 和正方形CDEF 中,点A 在y 轴正半轴上,点C ,F 均在x 轴正半轴上.点D 在边BC 上,2BC CD =,3AB =．若点B ,E 在同一个反比例函数的图象上,则这个反比例函数的表达式是__________．13.如图,在矩形ABCD 中,3AB =,4BC =．点E 在边AD 上,且3ED =,M ,N 分别是边AB ,BC 上的动点,且BM BN =,P 是线段CE 上的动点,连接PM ,PN ．若4PM PN +=．则线段PC 的长为___．三、解答题（共13小题,计81分．解答应写出过程）.14.解不等式：3522x x ->．15.(131()27--+-．16.化简：23121111a a a a a -⎛⎫-÷⎪--+⎝⎭． 17.如图．已知锐角ABC ∆,48B ∠=︒,请用尺规作图法,在ABC ∆内部求作一点P ．使PB PC =．且24PBC ∠=︒．（保留作图痕迹,不写作法）18.如图,在ABC ∆中,50B ∠=︒,20C ∠=︒．过点A 作AE BC ⊥,垂足为E ,延长EA 至点D ．使AD AC =．在边AC 上截取AF AB =,连接DF ．求证：DF CB =．19.一个不透明的袋子中装有四个小球,这四个小球上各标有一个数字,分别是1,1,2,3,这些小球除标有的数字外都相同．（1）从袋中随机摸出一个小球,则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为 . （2）先从袋中随机摸出一个小球,记下小球上标有的数字后,放回,摇匀,再从袋中随机摸出一个小球,记下小球上标有的数字,请利用画树状图或列表的方法、求摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率．20.小红在一家文具店买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个,共用了62元．已知她买的这种大笔记本的单价比这种小笔记本的单价多3元,求该文具店中这种大笔记本的单价． 21.一天晚上,小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯（灯杆底部不可到达）的高AB ．如图所示,当小明爸爸站在点D 处时,他在该景观灯照射下的影子长为DF ,测得2.4m DF =.当小明站在爸爸影子的顶端F 处时,测得点A 的仰角α为266︒.．已知爸爸的身高 1.8m CD =,小明眼睛到地面的距离 1.6m EF =,点F ,D ,B 在同一条直线上,EF FB ⊥,CD FB ⊥,AB FB ⊥．求该景观灯的高AB ．（参考数据：sin26.60.45︒≈,cos26.60.89︒≈,tan 26.60.50)︒≈22.经验表明,树在一定的成长阶段,其胸径（树的主干在地面以上1.3m 处的直径）越大.树就越高．通过对某种树进行测量研究,发现这种树的树高()m y 是其胸径()m x 的一次函数．已知这种树的胸径为0.2m 时,树高为20m .这种树的胸径为0.28m 时,树高为22m ．（1）求y 与x 之间的函数表达式.（2）当这种树的胸径为03m .时,其树高是多少？ 23.某校数学兴趣小组的同学们从“校园农场”中随机抽取了20棵西红柿植株,并统计了每棵植株上小西红柿的个数．其数据如下：28,36,37,39,42,45,46,47,48,50,54,54,54,54,55,60,62,62,63,64,通过对以上数据的分析整理,绘制了统计图表：根据以上信息,解答下列问题：（1）补全频数分布直方图：这20个数据的众数是 . （2）求这20个数据的平均数.（3）“校园农场“中共有300棵这种西红柿植株,请估计这300棵西红柿植株上小西红柿的总个数．24.如图,ABC ∆内接于O ,45BAC ∠=︒,过点B 作BC 的垂线,交O 于点D ,并与CA 的延长线交于点E ,作BF AC ⊥,垂足为M ,交O 于点F ．（1）求证：BD BC =. （2）若O 的半径3r =,6BE =,求线段BF 的长．25.某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门,并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为248m ,还要兼顾美观、大方,和谐、通畅等因素,设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中,如图所示：方案一,抛物线型拱门的跨度12m ON =,拱高4m PE =．其中,点N 在x 轴上,PE ON ⊥,OE EN =．方案二,抛物线型拱门的跨度8m ON '=,拱高6m P E ''=．其中,点N '在x 轴上,P E O N ''''⊥,O E E N ''''=．要在拱门中设置高为3m 的矩形框架,其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中.矩形框架ABCD 的面积记为1S ,点A,D 在抛物线上,边BC 在ON 上.方案二中,矩形框架A B C D ''''的面积记为2S ,点A ','D 在抛物线上,边B C ''在ON '上．现知,小华已正确求出方案二中,当3m A B ''=时,22S =,请你根据以上提供的相关信息,解答下列问题：（1）求方案一中抛物线的函数表达式.（2）在方案一中,当3m AB =时,求矩形框架ABCD 的面积1S 并比较1S ,2S 的大小． 26.（1）如图②,在OAB ∆中,OA OB =,120AOB ∠=︒,24AB =．若O 的半径为4,点P 在O 上,点M 在AB 上,连接PM ,求线段PM 的最小值.（2）如图②所示,五边形ABCDE 是某市工业新区的外环路,新区管委会在点B 处,点E 处是该市的一个交通枢纽．已知：90A ABC AED ∠=∠=∠=︒,10000m AB AE ==.6000m BC DE ==．根据新区的自然环境及实际需求,现要在矩形AFDE 区域内（含边界）修一个半径为30m 的圆型环道O .过圆心O ,作OM AB ⊥,垂足为M ,与O 交于点N ．连接BN ,点P 在O 上,连接EP ．其中,线段BN ,EP 及MN 是要修的三条道路.要在所修道路BN ,EP 之和最短的情况下,使所修道路MN 最短,试求此时环道O 的圆心O 到AB 的距离OM 的长．2022年陕西省中考数学真题试卷一、选择题共8小题,每小题只有一个选项是符合题意的）1. 37-的相反数是（） A. 37-B. 37C. 137-D.1372. 如图,,AB CD BC EF ∥∥．若158∠=︒,则2∠的大小为（）A. 120︒B. 122︒C. 132︒D. 148︒3. 计算：()2323x x y⋅-=（）A. 336x yB. 236x y -C. 336x y -D. 3318x y 4. 在下列条件中,能够判定ABCD 为矩形的是（）A. AB AC =B. AC BD ⊥C. AB AD =D. AC BD = 5. 如图,AD 是ABC 的高,若26BD CD ==,tan 2C ∠=,则边AB 的长为（）A.B. C. D. 6. 在同一平面直角坐标系中,直线4y x =-+与2y x m =+相交于点(3,)P n ,则关于x ,y 的方程组4020x y x y m +-=⎧⎨-+=⎩的解为（）A. 15x y =-⎧⎨=⎩ B.13x y =⎧⎨=⎩ C. 31x y =⎧⎨=⎩ D. 95x y =⎧⎨=-⎩7. 如图,ABC 内接于②,46O C ∠=︒,连接OA ,则OAB ∠=（）A. 44︒B. 45︒C. 54︒D. 67︒8. 已知二次函数y =x 2−2x −3的自变量x 1,x 2,x 3对应的函数值分别为y 1,y 2,y 3．当−1<x 1<0,1<x 2<2,x 3>3时,y 1,y 2,y 3三者之间的大小关系是（） A. 123y y y << B. 213y y y <<C. 312y y y <<D. 231y y y <<二、填空题（共5小题）9. 计算：3=______．10. 实数a ,b 在数轴上对应点的位置如图所示,则a ______b -．（填“>”“=”或“<”）11. 在20世纪70年代,我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”,在全国大规模推广,取得了很大成果．如图,利用黄金分割法,所做EF 将矩形窗框ABCD 分为上下两部分,其中E 为边AB 的黄金分割点,即2BE AE AB =⋅．已知AB 为2米,则线段BE 的长为______米．12. 已知点A (−2,m )在一个反比例函数的图象上,点A ′与点A 关于y 轴对称．若点A ′在正比例函数12y x =的图象上,则这个反比例函数的表达式为_______． 13. 如图,在菱形ABCD 中,4,7AB BD ==．若M,N 分别是边AD BC 、上的动点,且AM BN =,作,ME BD NF BD ⊥⊥,垂足分别为E,F ,则ME NF +的值为______．三、解答题（共13小题,解答应写出过程）14. 计算：015(3)|7⎛⎫⨯-+- ⎪⎝⎭． 15. 解不等式组：()21531x x x +>-⎧⎨--⎩16. 化简：212111a a a a +⎛⎫+÷⎪--⎝⎭．17. 如图,已知,,ABC CA CB ACD =∠△是ABC 的一个外角．请用尺规作图法,求作射线CP ,使CP AB ∥．（保留作图痕迹,不写作法）18. 如图,在②ABC 中,点D 在边BC 上,CD =AB ,DE ②AB ,②DCE =②A ．求证：DE =BC ．19. 如图,ABC 的顶点坐标分别为(23)(30)(11)A B C ----，，，，，．将ABC 平移后得到A B C ''',且点A 的对应点是(23)A '，,点B,C 的对应点分别是B C ''，．（1）点A,A'之间的距离是__________；'''．（2）请在图中画出A B C20. 有五个封装后外观完全相同的纸箱,且每个纸箱内各装有一个西瓜,其中,所装西瓜的重量分别为6kg,6kg,7kg,7kg,8kg．现将这五个纸箱随机摆放．（1）若从这五个纸箱中随机选1个,则所选纸箱里西瓜的重量为6kg的概率是______；（2）若从这五个纸箱中随机选2个,请利用列表或画树状图的方法,求所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15kg的概率．21. 小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示,在某一时刻,他们在阳光下,分别测得该建筑物OB的影长OC为16米,OA的影长OD为20米,小明的影长FG为2.4米,其中O,C,D,F,G五点在同一直线上,A,B,O三点在同一直线上,且AO②OD,EF②FG．已知小明的身高EF为1.8米,求旗杆的高AB．22. 如图,是一个“函数求值机”的示意图,其中y是x的函数．下面表格中,是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值．根据以上信息,解答下列问题：（1）当输入的x值为1时,输出的y值为__________；（2）求k,b的值；（3）当输出的y值为0时,求输入的x值．23. 某校为了了解本校学生“上周内做家务劳动所用的时间”（简称“劳动时间”）情况,在本校随机调查了100名学生的“劳动时间”,并进行统计,绘制了如下统计表：根据上述信息,解答下列问题：（1）这100名学生的“劳动时间”的中位数落在__________组；（2）求这100名学生的平均“劳动时间”；（3）若该校有1200名学生,请估计在该校学生中,“劳动时间”不少于90分钟的人数． 24. 如图,AB 是②O 的直径,AM 是②O 的切线,AC ,CD 是②O 的弦,且CD AB ⊥,垂足为E ,连接BD 并延长,交AM 于点P ．（1）求证：CAB APB ∠=∠；（2）若②O 的半径5,8r AC ==,求线段PD 的长．25. 现要修建一条隧道,其截面为抛物线型,如图所示,线段OE 表示水平的路面,以O 为坐标原点,以OE 所在直线为x 轴,以过点O 垂直于x 轴的直线为y 轴,建立平面直角坐标系．根据设计要求：10m OE =,该抛物线的顶点P 到OE 的距离为9m ．（1）求满足设计要求的抛物线的函数表达式；（2）现需在这一隧道内壁上安装照明灯,如图所示,即在该抛物线上的点A,B 处分别安装照明灯．已知点A,B 到OE 的距离均为6m ,求点A,B 的坐标． 26. 问题提出（1）如图1,AD 是等边ABC 的中线,点P 在AD 的延长线上,且AP AC =,则APC ∠的度数为__________．问题探究（2）如图2,在ABC 中,6,120CA CB C ==∠=︒．过点A 作AP BC ∥,且AP BC =,过点P 作直线l BC ⊥,分别交AB BC 、于点O,E ,求四边形OECA 的面积．问题解决（3）如图3,现有一块ABC 型板材,ACB ∠为钝角,45BAC ∠=︒．工人师傅想用这块板材裁出一个ABP △型部件,并要求15,BAP AP AC ∠=︒=．工人师傅在这块板材上的作法如下：②以点C 为圆心,以CA 长为半径画弧,交AB 于点D ,连接CD ； ②作CD 的垂直平分线l ,与CD 于点E ；②以点A 为圆心,以AC 长为半径画弧,交直线l 于点P ,连接AP BP 、,得ABP △．请问,若按上述作法,裁得的ABP △型部件是否符合要求？请证明你的结论．2021年陕西省中考数学真题试卷一、选择题（共8小题,每小题3分,计24分每小题只有一个选项是符合题意的）1. 计算：()32⨯-=（） A. 1B. -1C. 6D. -62. 下列图形中,是轴对称图形的是（）A. B.C. D.3. 计算：()23a b -=（）A.621a b B. 62a bC.521a b D. 32a b -4. 如图,点D,E 分别在线段BC ,AC 上,连接AD ,BE ．若35A ∠=︒,25B ∠=︒,50C ∠=︒,则1∠的大小为（）A. 60°B. 70°C. 75°D. 85°5. 如图,在菱形ABCD 中,60ABC ∠=︒,连接AC ,BD ,则ACBD的值为（）A.12B.2C.D.6. 在平面直角坐标系中,若将一次函数21y x m =+-的图象向左平移3个单位后,得到个正比例函数的图象,则m的值为（）A. -5B. 5C. -6D. 6AC=, 7. 如图,AB,BC,CD,DE是四根长度均为5cm的火柴棒,点A,C,E共线．若6cm⊥,则线段CE的长度为（）CD BCA. 6 cmB. 7 cmC.D. 8cm8. 下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：下列各选项中,正确的是A. 这个函数的图象开口向下B. 这个函数的图象与x轴无交点C. 这个函数的最小值小于-6x>时,y的值随x值的增大而增大D. 当1二、填空题（共5小题,每小题3分,计15分）9. 分解因式：32++=______．69x x x10. 正九边形一个内角的度数为______．11. 幻方,最早源于我国,古人称之为纵横图．如图所示的幻方中,各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等,则图中a的值为______．12. 若()11,A y ,()23,B y 是反比例函数2112m y m x -⎛⎫=< ⎪⎝⎭图象上的两点,则1y ,2y 的大小关系是1y ______2y （填“>”,“=”或“<”） 13. 如图,正方形ABCD 的边长为4,O 的半径为1．若O 在正方形ABCD 内平移（O 可以与该正方形的边相切）,则点A 到O 上的点的距离的最大值为______．三、解答题（共13小题,计81分解答应写出过程）14.计算：0112⎛⎫-+ ⎪⎝⎭15. 解不等式组：5431212x x x +<⎧⎪⎨+≥-⎪⎩16. 解方程：213111x x x --=+-． 17. 如图,已知直线12l l //,直线3l 分别与1l ,2l 交于点A ,B ．请用尺规作图法,在线段AB 上求作点P ,使点P 到1l ,2l 的距离相等．（保留作图痕迹,不写作法）18. 如图,//BD AC ,BD BC =,点E 在BC 上,且BE AC =．求证：D ABC ∠=∠．19. 一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时,按这种服装每件标价的8折销售10件的销售额,与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等．求这种服装每件的标价．20. 从一副普通的扑克牌中取出四张牌,它们的牌面数字分别为2,3,3,6．（1）将这四张扑克牌背面朝上,洗匀,从中随机抽取一张,则抽取的这张牌的牌面数字是3的概率为；（2）将这四张扑克牌背面朝上,洗匀．从中随机抽取一张,不放回,再从剩余的三张牌中随机抽取一张．请利用画树状图或列表的方法,求抽取的这两张牌的面数字恰好相同的概率．21. 一座吊桥的钢索立柱AD两侧各有若干条斜拉的钢索,大致如图所示．小明和小亮想用测∠为30°,由于B,D两点间的距离不易测得,通过量知识测较长钢索AB的长度,他们测得ABD∠恰好为45°,点B与点C之间的距离约为16m．已知点B,C,D共线,探究和测量,发现ACD⊥．求钢索AB的长度．（结果保留根号）AD BD22. 今年9月,第十四届全国运动会将在陕西省举行本届全运会主场馆在西安,开幕式、闭幕式均在西安举行．某校气象兴趣小组的同学们想预估一下西安市今年9月份日平均气温状况．他们收集了西安市近五年9月份每天的日平均气温,从中随机抽取了60天的日平均气温,并绘制成如下统计图：根据以上信息,回答下列问题：（1）这60天的日平均气温的中位数为______,众数为______；（2）求这60天的日平均气温的平均数；（3）若日平均气温在18②~21②的范围内（包含18②和21②）为“舒适温度”．请预估西安市今年9月份日平均气温为“舒适温度”的天数．23. 在一次机器“猫”抓机器“鼠”的展演测试中,“鼠”先从起点出发,1min 后,“猫”从同一起点出发去追“鼠”,抓住“鼠”并稍作停留后,“猫”抓着“鼠”沿原路返回“鼠”、“猫”距起点的距离()m y 与时间()min x 之间的关系如图所示．（1）在“猫”追“鼠”的过程中,“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是______m /min ；（2）求AB 的函数表达式；（3）求“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间．24. 如图,AB 是O 的直径,点E,F 在O 上,且2BF BE =,连接OE ,AF ,过点B 作O 的切线,分别与OE ,AF 的延长线交于点C,D ．（1）求证：COB A ∠=∠；（2）若6AB =,4CB =,求线段FD 的长．25. 已知抛物线228y x x =-++与x 轴交于点A,B （其中A 在点B 的左侧）,与y 轴交于点C ．（1）求点B,C 的坐标；（2）设点C '与点C 关于该抛物线的对称轴对称在y 轴上是否存在点P ,使PCC '△与POB 相似且PC 与PO 是对应边？若存在,求点P 的坐标；若不存在,请说明理由． 26. 问题提出（1）如图1,在ABCD 中,45A ∠=︒,8AB =,6AD =,E 是AD 的中点,点F 在DC 上且5DF =求四边形ABFE 的面积．（结果保留根号）问题解决（2）某市进行河滩治理,优化美化人居生态环境．如图2所示,现规划在河畔的一处滩地上建一个五边形河畔公园ABCDE 按设计要求,要在五边形河畔公园ABCDE 内挖一个四边形人工湖OPMN ,使点O,P,M,N 分别在边BC ,CD ,AE ,AB 上,且满足22BO AN CP ==,AM OC =．已知五边形ABCDE 中,90A B C ∠=∠=∠=︒,800m AB =,1200m BC =,600m CD =,900m AE =．满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要,想让人工湖面积尽可能小．请问,是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN ？若存在,求四边形OPMN 面积的最小值及这时点N 到点A 的距离；若不存在,请说明理由．2023年陕西省中考数学真题试卷答案一、选择题.1. B2. C3. A4. B5. D6. C7. A8. D二、填空题.9.10. 2+解：如图,过点F 作FG AB ⊥于G ,由题意可知,四边形CEGF 是矩形,ACE △,BFG ∆是等腰直角三角形,2AC CF FB EG ====在Rt ACE 中,2AC =,AE CE =2AE CE AC ∴===同理BG =2BE EG BG ∴=+=+故答案为：2+11. 62°解：如图,连接BE点E 是菱形ABCD 的对称中心,56ABC ∠=︒∴点E 是菱形ABCD 的两对角线的交点AE BE ∴⊥,1282ABE ABC ∠=∠=︒ 9062BAE ABE ∴∠=︒-∠=︒．故答案为：62︒．12. 18y x=解：②四边形OABC 是矩形②3OC AB ==设正方形CDEF 的边长为m②CD CF EF m ===②2BC CD =②2BC m =②()3,2B m ,()3,E m m + 设反比例函数的表达式为k y x=②()323m m m ⨯=+解得3m =或0m =（不合题意,舍去）②()3,6B②3618=⨯=k②这个反比例函数的表达式是18y x =故答案为：18y x =．13. 解：3DE AB CD ===CDE ∆∴是等腰直角三角形作点N 关于EC 的对称点N ',则N '在直线CD 上,连接PN ',如图：4PM PN +=．4PM PN BC '∴+==,即4MN '=此时M ,P ,N '三点共线且MN AD '∥,点P 在MN '的中点处2PM PN '∴==PC ∴=故答案为：三、解答题.14. 5x <-15. 1-16. 11a - 17. 解：如图,点P 即为所求．18. 证明：在ABC ∆ 中,50B ∠=︒,20C ∠=︒180110CAB B C ∴∠=︒-∠-∠=︒．AE BC ⊥．90AEC ∴∠=︒．110DAF AEC C ∴∠=∠+∠=︒DAF CAB ∠∠∴=．在DAF ∆和CAB △中AD AC DAF CAB AF AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩②()SAS DAF CAB ≅．DF CB ∴=．19. （1）12 （2）716【小问1详解】由题意可得,数字1,1,2,3中,数字1有2个所以,从袋中机摸出一个小球,则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为2142= 故答案为：12. 【小问2详解】树状图如下：由上可得,一共有16种等可能性,其中两数之积是偶数的可能性有7种 ∴摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率716． 20. 8元解：设该文具店中这种大笔记本的单价是x 元,则小笔记本的单价是()3x -元由题意可得()46362x x +-=解得：8x =.答：该文具店中这种大笔记本的单价为8元．21. 4.8m解：过点E 作EH AB ⊥,垂足为H由题意得：EH FB =, 1.6m EF BH ==设m EH FB x ==在Rt AEH △中,26.6AEH ∠=︒tan 26.60.5(m)AH EH x ∴=⋅︒≈(0.5 1.6)m AB AH BH x ∴=+=+CD FB ⊥,AB FB ⊥90CDF ABF ∴∠=∠=︒CFD AFB ∠=∠CDF ABF ∴∽ ∴CD DF AB BF= ∴1.8 2.4AB x= 34AB x ∴= ∴30.5 1.64x x =+ 解得： 6.4x =3 4.8(m)4AB x ∴== ∴该景观灯的高AB 约为4.8m ．22. （1）2515y x =+（2）22.5m【小问1详解】解：设()0y kx b k =+≠根据题意,得0.2200.2822k b k b +=⎧⎨+=⎩解之,得2515k b =⎧⎨=⎩②2515y x =+.【小问2详解】当0.3m x =时,()250.31522.5m y =⨯+=．②当这种树的胸径为0.3m 时,其树高为22.5m ．23. （1）54,见解析（2）50（3）15000个【小问1详解】由题意得,201964n =---=补全频数分布直方图如下:这20个数据中,54出现的次数最多,故众数为54．故答案为：54.【小问2详解】()1281544523665020x =⨯+++=． ∴这20个数据的平均数是50.【小问3详解】所求总个数：5030015000⨯=个．∴估计这300棵西红柿植株上小西红柿的总个数是15000个． 24. （1）见解析（2）【小问1详解】证明：如图,连接DC则45BDC BAC ∠=∠=︒BD BC ⊥9045BCD BDC ∴∠=︒-∠=︒BCD BDC ∴∠=∠．BD BC ∴=.【小问2详解】如图,90DBC ∠=︒CD ∴为O 的直径26CD r ∴==．sin 62BC CD BDC ∴=⋅∠=⨯=EC ∴===BF AC ⊥90BMC EBC ∴∠=∠=︒BCM BCM ∠=∠ΔΔBCM ECB ∴∽． ∴BC BM CM EC EB CB==BC EB BM EC ⋅∴===22BC CM EC ===连接CF ,则45F BDC ∠=∠=︒,45MCF ∠=︒MF MC ∴==BF BM MF ∴=+=25. （1）21493y x x =-+ （2）218m ,12S S >【小问1详解】解：由题意知,方案一中抛物线的顶点()64P ，设抛物线的函数表达式为()264y a x =-+ 把()00O ，代入得：()20064a =-+ 解得：19a =-②()2211464993y x x x =--+=-+. ②方案一中抛物线的函数表达式为21493y x x =-+. 【小问2详解】解：在21493y x x =-+中,令3y =得：214393x x =-+ 解得3x =或9x =②()936m BC =-=②()213618mS AB BC ⋅=⨯==.②18>②12S S >．26. （1）4（2）4047.91m解：（1）如图②,连接OP ,OM ,过点O 作OM AB '⊥,垂足为M '则OP PM OM +≥． O 半径为444PM OM OM ∴≥'≥--OA OB =．120AOB ∠=︒30A ∴∠=︒tan3012tan30OM AM ∴=︒''⋅=︒=44PM OM ∴≥-='∴线段PM 的最小值为4.（2）如图②,分别在BC ,AE 上作()30BB AA r m '==='连接A B '',B O ',OP ,OE ,B E '．OM AB ⊥,BB AB '⊥,ON BB ='∴四边形BB ON '是平行四边形．'BN B O ∴=．B O OP PE B O OE B E ++≥+'≥''BN PE B E r ∴+≥-'∴当点O 在B E '上时,BN PE +取得最小值．作O ',使圆心O '在B E '上,半径()30m r =作O M AB ''⊥,垂足为M ',并与A B ''交于点H ． ②O H A E ''∥∴②B O H ''∽②B EA '' ∴O H B H EA B A '''=''O '在矩形AFDE 区域内（含边界）∴当O '与FD 相切时,B H '最短即()'100006000304030m B H =-+=,此时,O H '也最短． M N O H ''='M N ∴''也最短．()()100003040304017.91m 10000EA B H O H B A -'''''⨯⋅∴=== ()304047.91m O M O H '∴+='='∴此时环道O 的圆心O 到AB 的距离OM 的长为4047.91m ．2022年陕西省中考数学数学真题试卷答案一、选择题1. B2. B3. C4. D5. D6. C7. A8. B二、填空题9. 2-10. <11. 1)12. y=2 x -13.2三、解答题14. 16-+15. 1x≥-16. 1a+17. 解：如图,射线CP即为所求作．18. 证明：②DE②AB②②EDC=②B．又②CD =AB ,②DCE =②A②②CDE ②②ABC (ASA)．②DE =BC ．19. 【小问1详解】解：由(23)A -，，(23)A '，得 A,A '之间的距离是2-（-2）=4．故答案为：4．【小问2详解】解：由题意,得103-1B C ''（，），（，）如图,A B C '''即为所求．20. （1）25（2）见解析,15 【小问1详解】解：所选纸箱里西瓜的重量为6kg 的概率是25 故答案为：25；【小问2详解】解：列表如下：由列表可知,共有20种等可能的结果,其中两个西瓜的重量之和为15kg的结果有4种．②41205P==．21. 解：②AD②EG②②ADO=②EGF．又②②AOD=②EFG=90°②②AOD②②EFG．②AO OD EF FG=．②1.820152.4EF ODAOFG⋅⨯===．同理,②BOC②②AOD．②BO OC AO OD=．②15161220AO OCBOOD⋅⨯===．②AB=OA−OB=3（米）．②旗杆的高AB为3米．22. （1）8 （2）26 kb=⎧⎨=⎩（3）3-【小问1详解】当x=1时,y=8×1=8；故答案为：8；【小问2详解】将（-2,2）,（0,6）代入y kx b =+,得226k b b -+=⎧⎨=⎩ 解得26k b =⎧⎨=⎩；【小问3详解】令0y =由8y x =,得08x =,②01x =<．（舍去）由26y x =+,得026x =+,②31x =-<．②输出的y 值为0时,输入的x 值为3-．23. （1）C （2）112分钟（3）912人24. （1）见解析（2）323 【小问1详解】证明：②AM 是O 的切线②90BAM ∠=︒．②CD AB ⊥②90CEA ∠=︒②AM CD ．②CDB APB ∠=∠．②CAB CDB ∠=∠②CAB APB ∠=∠．【小问2详解】解：如图,连接AD ．②AB 为直径②②ADB =90°②90CDB ADC ∠+∠=︒．②90,CAB C CDB CAB ∠+∠=︒∠=∠②ADC C ∠=∠．②8AD AC ==．②210AB r ==②6BD ==．②②BAP =②BDA =90°,②ABD =②PBA②ADB PAB △∽△． ②AB BD PB AB=． ②21005063AB PB BD ===． ②5032633DP =-=． 25.1）29(5)925y x =--+（2）(5(5A B -【小问1详解】依题意,顶点(5,9)P设抛物线的函数表达式为2(5)9y a x =-+将(0,0)代入,得20(05)9a =-+．解之,得925a =-． ②抛物线的函数表达式为29(5)925y x =--+．【小问2详解】令6y =,得29(5)9625x --+=．解之,得125,533x x =+=-+．②(5(5A B +． 26. （1）75︒（2 （3）符合要求,理由见解析【小问1详解】解：AC AP =ACP APC ∴∠=∠2()180ACD PCD CAP ∠+∠+∠=︒2(60)30180PCD ∴⨯︒+∠+︒=︒解得：15PCD ∠=︒75ACP ACD PCD ∴∠=∠+∠=︒75APC ∴∠=︒故答案为：75︒；【小问2详解】解：如图1,连接BP ．②,AP BC AP BC AC ==∥②四边形ACBP 是菱形．②6BP AC ==．②120ACB ∠=︒②60PBE ∠=︒．②l BC ⊥②cos603,sin 60BE PB PE PB =⋅︒==⋅︒=②12ABC S BC PE =⋅=△ ②30ABC ∠=︒②tan 30OE BE =⋅︒=②122OBE S BE OE =⋅=△．②ABC OBE OECA S S S =-=△△四边形．【小问3详解】解：符合要求．由作法,知AP AC =．②,45CD CA CAB =∠=︒②90ACD ∠=︒．如图2,以AC CD 、为边,作正方形ACDF ,连接PF ．②AF AC AP ==．②l 是CD 的垂直平分线②l 是AF 的垂直平分线．②PF PA =．②AFP 为等边三角形．②60FAP ∠=︒②30PAC ∠=︒②15BAP ∠=︒．②裁得的ABP △型部件符合要求．2021年陕西省中考数学真题试卷答案一、选择题1. D2. B3. A4. B5. D6. A7. D8. C二、填空题9. ()23x x +10. 140°11. -212. <13. 1+ 三、解答题14. 15. 1x <- 16. 12x =- 17. 略18. 略19. 这种服装每件的标价是110元20. （1）12；（2）1621. ()16m22. （1）19.5,19；（2）20；（3）20天．23. （1）1；（2）458y x =-+；（3）13.5min24. （1）略；（2）32525. （1）()4,0B ,()0,8C ；（2）存在,()0,16P 或160,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．26. （1（2）存在符合设计要求的四边形OPMN 面积的最小值为2470000m ,这时,点N 到点A 的距离为350m ．。

函数与几何综合问题专练2023中考真题分类汇编(共25题)(解析版)

专题32函数与几何综合问题（25题）一、填空题1．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为()86-，，过点B 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为点C 、点A ，直线26y x =--与AB 交于点D ．与y 轴交于点E ．动点M 在线段BC 上，动点N 在直线26y x =--上，若AMN 是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形，则点M 的坐标为【答案】()8,6M -或28,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】如图，由AMN 是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形，可得N 在以AM 为直径的圆H 上，MN AN =，可得N 是圆H 与直线26y x =--的交点，当,M B 重合时，符合题意，可得()8,6M -，当N 在AM 的上方时，如图，过N 作NJ y ⊥轴于J ，延长MB 交BJ 于K ，则90NJA MKN ∠=∠=︒，8JK AB ==，证明MNK NAJ ≌，设(),26N x x --，可得MK NJ x ==-，266212KN AJ x x ==---=--，而8KJ AB ==，则2128x x ---=，再解方程可得答案．【详解】解：如图，∵AMN 是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形，∴N 在以AM 为直径的圆H 上，MN AN =，∴N 是圆H 与直线26y x =--的交点，当,M B 重合时，∵()8,6B -，则()4,3H -，∴4MH AH NH ===，符合题意，∴()8,6M -，当N 在AM 的上方时，如图，过N 作NJ y ⊥轴于J ，延长MB 交BJ 于K ，则90NJA MKN ∠=∠=︒，8JK AB ==，∴90NAJ ANJ ∠+∠=︒，【答案】392【分析】作出点()32C -，，作CD 直角三角形求得1103F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，利用待定系数法求得直线DG y ⊥轴于点G ，此时35BH +【详解】解：∵直线123y x =-+则2CP =，3OP =，∵CFP AFD ∠=∠，∴FCP FAD ∠=∠，∴tan tan FCP FAD ∠=∠，∴PF OB PC OA=，即226PF =，∴23PF =，则1103F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，设直线CD 的解析式为y kx =+则321103k b k b +=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得311k b =⎧⎨=-⎩∴直线CD 的解析式为3y x =联立，311123y x y x =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩即3971010D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，；过点D 作DG y ⊥轴于点G ，②如图2，直线BM过AC中点，直线BM解析式为1522y x=-+，AC中点坐标为910a=；③如图3，直线CM过AB中点，AB中点坐标为()3,0，5⑤如图5，直线ME ∥AC ，MN CO ∥，则EMN ACO∽∴12BE AB =，又4AB =，∴22BE =，∵53222BN =-=<，∴不成立；⑥如图6，直线ME ∥BC ，同理可得12AE AB =，∴22AE =，222NE =-，tan tan MEN CBO ∠∠=，∴155222a =-，解得212a +=；综上所述，910a =或225+或212+．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识，并分类讨论是解题的关键．二、解答题4．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，ABCD Y 的顶点B ，C 在x 轴上，D(1)求点B 的坐标；(2)若:2:1OD OC =，直线y x b =-+分别交x DC 延长线于点N ，求tan MND ∠的值；(3)在（2）的条件下，点P 在y 轴上，在直线存在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点【答案】(1)()4,0B -(2)1tan 3MND ∠=(3)存在，等腰三角形的个数是8个，1652Q ⎛- ⎝【分析】（1）解方程得到OB ，OC 的长，从而得到点（2）由:2:1OD OC =，2OC =，得4OD =线y x b =-+中，求得b 的值，从而得到直线的解析式，进而求得点45FEO ∠=︒．过点C 作CH EN ⊥于H ，过点::2:1DO OC NK CK ==，进而得到2NK CK =EC CK =，由211EC OC OE =-=-=可得CK 得到22cos EK EN KEN ==∠，在Rt ECH △中，322NH EN EH =-=，最终可得结果tan MND ∠（3）分PN PQ =，PN NQ =，PQ NQ =三大类求解，共有【详解】（1）解方程2680x x -+=，得14x =OB OC > ，（3）解：由（2）知：直线EF 解析式为设()0,P p ，(),1Q q q -+，①当5PN QN ==时，()()2223025p -+--=，()23q -+解得6p =-或2p =，6522q +=或∴1652524,22Q ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，2652Q ⎛+ ⎝如图，11PQ N 、12PQ N 、21P Q N ；②当5PQ QN ==时，由①知：1652524,22Q ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，2652,2Q ⎛+ ⎝；③当5PN PQ ==时，由①知：()10,6P -，()20,2P ，当()10,6P -时，()()22061q q -+-+-解得13q =（舍去），24q =，∴()34,3Q -，如图，当()20,2P 时，()()220215q q -++-=解得13q =（舍去），24q =-，综上，等腰三角形的个数是8个，符合题意的Q 坐标为16525,2Q ⎛- ⎝【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质，一次函数与平行四边形，等腰三角形的综合问题，数形结合思想是解题的关键．5．（2023·湖南·统考中考真题）如图，点使得DBC CAB ∠=∠，点E 是弦AC 上一动点（不与点交BC 的延长线于点N ，交O 于点M (1)BD 是O 的切线吗？请作出你的判断并给出证明；(2)记BDC ABC ADB ，，的面积分别为(3)若O 的半径为1，设FM x =，FE 自变量x 的取值范围．【答案】(1)BD 是O 的切线，证明见解析(2)152+∴在Rt OFM △中，2OF OM =∴211BF BO OF x =+=+-，AF2②若a c=，则A、B关于y轴对称，以综上，以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，此时【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用、正方形的性质等知识点，解题的关键是利用分类讨论的思想解决问题．(1)当45QPB ∠=︒时，求四边形(2)当点P 在线段AB 上移动时，设【答案】(1)438+(2)23234312x S x =++【分析】（1）连接BD 、可得PBQ 为等腰直角三角形，则四边形ABCD 为菱形，∠PB x=，23BQ=，PBQ(1)求点,A B 的坐标；(2)随着点E 在线段BC 上运动．①EDA ∠的大小是否发生变化？请说明理由；②线段BF 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；(3)当线段DE 的中点在该二次函数的因象的对称轴上时，【答案】(1)()20A ，，()13B ，；∵()2313y x =--+，∴抛物线对称轴为1x =，即1ON =，∵将线段AB 绕点A 按顺时针方向旋转∵2OA OB AC BC ====，∴四边形OACB 是菱形，∴BC OA ∥，∵DH BN ⊥，AN BN ⊥，∴DH BC OA ∥∥，∴MBE MHD ∠∠=，MEB MDH ∠∠=∵DE 的中点为点M ，∴MD ME =，∴MBE MHD ≌，∴DH BE =，∵90ANM ∠=︒，∴1809090MBE ANM ∠∠=︒-︒=︒=，∵DE 的中点为点M ，DAE 是等边三角形，∴AM DE ⊥，∴90AME ∠=︒，∴180BME NMA ∠∠+=︒，∴BME NAM ∠∠=，(1)求点,,D E C 的坐标；(2)F 是线段OE 上一点()OF EF <，连接,AF DF ①求证：DFC △是直角三角形；②DFC ∠的平分线FK 交线段DC 于点,K P 是直线坐标．【答案】(1)(3,1)C ，(0,2)D ，(6,0)E (2)①证明见解析，②点P 的坐标为(1,3)或(7,3【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点及一次函数与二次函数的交点求解即可；（2）①设(,0),F m 然后利用勾股定理求解，m-①抛物线231y x x =-++交y 轴于点A ，当0x =时，1,y =．(0,1),A ∴1OA ∴=,在Rt AOF 中，90AOF ∠=︒，由勾股定理得222AF OA OF +=，设(,0),F m ,OF m ∴=221AF m ∴=+，(6,0),E ．6,OE ∴=6EF OE OF m ∴=-=-，2221,AF EF += 221(6)21,m m ∴++-=122,4m m ∴==，,OF EF < 2,m ∴=2OF ∴=，(2,0)F ∴．(0,2),D 2OD ∴=，OD OF ∴=．DOF ∴ 是等腰直角三角形，45OFD ∴∠=︒．过点C 作CG x ⊥轴，垂足为G ．(3,1),C 1,3CG OG ∴==，1,GF OG OF =-= ,CG GF ∴=CGF ∴ 是等腰直角三角形，45,GFC ∴∠︒=90,DFC ∴∠=︒DFC ∴ 是直角三角形．②FK 平分,90,DFC DFC ∠∠=︒(1)BP 的长为__________，CM 的长为_________(2)求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．(3)当四边形PQMN 是轴对称图形时，直接写出x 【答案】(1)()4x -；x(2)()(241216024162x x y x x ⎧-+⎪=⎨-+<≤⎪⎩(3)43x =或83x =【分析】（1）根据正方形中心对称的性质得出OM ANP CQM ≌即可；（2）分02x <≤，2<两种情况分别画出图形，根据正方形的面积，以及平行四边形的性质即可求解；（3）根据（2）的图形，分类讨论即可求解．【详解】（1）解：依题意，1AP x x =⨯=()cm ，则∵四边形ABCD 是正方形，∴,90AD BC DAB ∠=∠=︒∥，∵点O 是正方形对角线的中点，∴,OM OP OQ ON ==，则四边形PQMN 是平行四边形，∴MQ PN =，MQ NP ∥∴PNQ MQN ∠=∠，又AD BC ∥，∴ANQ CQN ∠=∠，∴ANP MQC ∠=∠，在,ANP CQM 中，ANP MQC NAP QCM NP MQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ANP CQM ≌，∴()cm MC AP x ==故答案为：()4x -；x ．（2）解：当02x <≤时，点Q 在BC 上，由（1）可得ANP CQM ≌，同理可得PBQ MDN ≌，∵4,2,PB x QB x MC x =-==，42QC x =-，则222MCQ BPQy AB S S =-- ()()164242x x x x =--⨯--241216x x =-+；当24x <≤时，如图所示，则AP x =，224AN CQ x CB x ==-=-，()244PN AP AN x x x =-=--=-+，∴()44416y x x =-+⨯=-+；综上所述，()()2412160241624x x x y x x ⎧-+<≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩；当四边形PQMN 是菱形时，则∴()()2242x x x -+=解得：0x =（舍去）②如图所示，当PB =424x x -=-，解得x 当四边形PQMN 是菱形时，则综上所述，当四边形【点睛】本题考查了正方形的性质，动点问题，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的性质，轴对称图形，熟练掌握以上知识是解题的关键．(1)当旋转角COF ∠为多少度时，OE OF =；（直接写出结果，不要求写解答过程）(2)若点(4,3)A ，求FC 的长；(3)如图3，对角线AC 交y 轴于点M ，交直线y x =于点N ，连接FN ，将OFN △1S 与2S ，设12S S S =-，AN n =，求S 关于n 的函数表达式．【答案】(1)22.5︒(2)154FC =(3)212S n =【分析】（1）根据正方形的性质及直角三角形全等的判定及性质得出AOG ∠=45EOG ∠=︒，即可求解；（2）过点A 作AP x ⊥轴，根据勾股定理及点的坐标得出5OA =，再由相似三角形的判定和性质求解即可；（3）根据正方形的性质及四点共圆条件得出O 、C 、F 、N 四点共圆，再由圆周角定理及等腰直角三角形的判定和性质得出FN ON =，90FNO ∠=︒，过点N 作GQ BC ⊥于点G ，交OA 于点形的判定和性质得出,CG OQ CO QG ==，结合图形分别表示出1S ，2S ，得出（2）过点A 作AP x ⊥轴，如图所示：∵(4,3)A ，∴3,4AP OP ==，∴5OA =，∵正方形OABC ，∴5OC OA ==，90C ∠=∴90C APO ∠∠==︒，∵AOP COF ∠∠=，∴OCF OPA ∽ ，∴OC FC OP AP=即543FC =，∴154FC =；（3）∵正方形OABC ，∵BC OA ∥，∴GQ OA ⊥，∵90FNO ∠=︒，∴1290∠∠+=︒，∵1390∠∠+=︒，∴23∠∠=，∴(AAS)FGN NQO ≌ ∴,GN OQ FG QN ==，∵GQ BC ⊥，FCO COQ ∠∠=∴四边形COQG 为矩形，∴,CG OQ CO QG ==，∴(211S S ON OQ ===(1)直接写出结果；b =_____，c =_____，点A 的坐标为_____，tan ABC ∠=______(2)如图1，当2PCB OCA ∠=∠时，求点P 的坐标；(3)如图2，点D 在y 轴负半轴上，OD OB =，点Q 为抛物线上一点，90QBD ∠=︒，点的边,DQ DB 上的动点，QE DF =，记BE Q F +的最小值为m ．①求m 的值；②设PCB 的面积为S ，若214S m k =-，请直接写出k 的取值范围．【答案】(1)32，2，()1,0-，12(2)()2,3（3）解：①如图2，作DH ⊥∵90BQD BDQ ︒∠+∠=，HDF ∠∴QD HDF ∠=∠，∵QE DF =，DH BQ =，∴(SAS)BQE HDF ≌，∴BE FH =，∴BE QF FH QF QH +=+≥，∴Q ，F ，H 共线时，BE Q F +②如图3，作PT y ∥轴，交设22,1T a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，,P a ⎛ ⎝则21132222S a a ⎛=-+++ ⎝∴04S <≤，∴21044m k <-≤，∴0174k <-≤，∴1317k ≤<．【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何综合、二次函数与(1)直接判断AOB 的形状：AOB 是_________三角形；(2)求证：AOE BOD △≌△；(3)直线EA 交x 轴于点(,0),2C t t >．将经过B ，C 两点的抛物线21y ax =物线2y ．①若直线EA 与抛物线1y 有唯一交点，求t 的值；②若抛物线2y 的顶点P 在直线EA 上，求t 的值；③将抛物线2y 再向下平移，22(1)t -个单位，得到抛物线3y ．若点D 在抛物线【答案】(1)等腰直角三角形(2)详见解析(3)①3t =；②6t =；③126,55D ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）由(0,2),(2,0)A B 得到2OA OB ==，又由90AOB ∠=︒，即可得到结论；（2）由90EOD ∠=︒，90AOB ∠=︒得到AOE BOD ∠=∠，又有AO OB =AOE BOD △≌△；（3）①求出直线AC 的解析式和抛物线1y 的解析式，联立得()23x t -+22(3)43(3)0t t t ∆=+-⨯=-=即可得到t 的值；∵90EOD ∠=︒，90AOB ∠=︒，AOB AOD DOE ∴∠-∠=∠-∠AOE BOD ∴∠=∠，∵,AO OB OD OE ==，(SAS)AOE BOD ∴△≌△；（3）①设直线AC 的解析式为(0,2),(,0)A C t ，∴90EMO OND ∠=∠=︒，90DOE ∠=︒ ，∴EOM MEO EOM NOD ∠+∠=∠+∠∴MEO NOD ∠=∠，∵OD OE =，∴(AAS)ODN EOM ≌，∴,ON EM DN OM ==，∵OE 的解析式为2y x =-，∴设22EM OM m ==,∴DN OM m ==，EM x ⊥ 轴,∴OA EM ∥,∴~CAO CEM ，::OC CM OA EM ∴=,22t t m m∴=+,1t m t ∴=-,∴2221t EM ON OM m t ====-，DN 2,11t t D t t ⎛⎫∴ ⎪--⎝⎭, 抛物线2y 再向下平移22(1)t -个单位，得到抛物线2222(2)y x t x(1)求S 关于x 的函数解析式；(2)当x 取何值时，S 的值最大？请求出最大值．【答案】(1)23232S x x =-+(2)当2x =时，S 的最大值为23∵顶点A 的坐标为()2,23，∴()222234OA =+=，2OG =，∴1cos 2OG AOG AO ∠==，①如图②，当边E F ''与AB 相交于点M 、边G H ''与BC 相交于点N ，且矩形E F G H ''''与菱形为五边形时，试用含有t 的式子表示S ，并直接写出t 的取值范围：②当2311334t ≤≤时，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．【答案】(1)()3,2，33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)①332t <≤；②3316S ≤≤【分析】（1）根据矩形及菱形的性质可进行求解；（2）①由题意易得3,1EF E F EH E H ''''====，然后可得60ABO ∠=︒，则有32EM =，进而根据割补∵四边形ABCD 是菱形，且(3,0),(0,1),(2A B D ∴()()2230012AB AD ==-+-=，AC BD ⊥∴2AC =，∴()3,2C ，故答案为()3,2，33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）解：①∵点10,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点13,2F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点∴矩形EFGH 中，EF x ∥轴，EH x ⊥轴，EF ∴矩形E F G H ''''中，E F x ''∥轴，E H x ''⊥轴，由点()3,0A ，点()0,1B ，得3,1OA OB ==．在Rt ABO △中，tan 3OA ABO OB ∠==，得ABO ∠在Rt BME △中，由1tan 60,12EM EB EB =⋅︒=-此时面积S 最大，最大值为133S =⨯=当1134t =时，矩形E F G H ''''和菱形ABCD 由（1）可知B 、D 之间的水平距离为23，则有点由①可知：60D B ∠=∠=︒，(1)求CE的长和y关于x的函数表达式．(2)当PH PN<，且长度分别等于PH，PN，a的三条线段组成的三角形与(3)延长PN交半圆O于点Q，当1534NQ x=-时，求【答案】(1)165CE=，25412y x=-+(2)1615或2740或6041(3)17 8【分析】（1）如图1，连接OD，根据切线的性质得出出165CE=；证明四边形APMC是平行四边形，得出MN（2）根据BCE三边之比为3:4:5，可分为三种情况．当:3:4PH PN=时，分别列出比例式，进而即可求解．∵CD 切半圆O 于点D ，∴OD CE ⊥．∵32OA =，1AC =，∴52OC =，∴2CD =．∵BE CE ⊥，∴OD BE ∥，∴CD CO CE CB=，即5224CE =，∴165CE =．∵MN CB ∥，∴四边形APMC 是平行四边形，∴sin 1sin PH PH CM PA ===∠∵MN ME BC CE =，则90AQB AGQ ∠=∠=︒，∴QAB BQG ∠=∠．∵1534NQ x =-，PN y =。

北京中考数学26题

北京中考数学26题近年来，北京中考数学的题目逐渐增加了难度，其中第26题就是一道典型的代表。

这道题目考察了学生对函数图像的理解以及函数性质的掌握。

在解答这道题目时，我们需要综合运用函数的性质和图像的特点，下面就让我们一起来详细解析这道题目。

题目描述：已知函数f(x)=|x+2|-|x-1|，请回答以下问题：（1）函数f(x)的定义域是什么？（2）函数f(x)的最小值是多少？（3）函数f(x)的图像在x=1处是否有切线？首先，我们需要了解函数的定义。

在这道题目中，函数f(x)由两个绝对值函数的差组成。

我们知道，绝对值函数的定义域是全体实数，所以这里的函数f(x)的定义域也是全体实数。

接下来，我们来求解函数f(x)的最小值。

要找到函数的最小值，我们需要找到函数的极小值点。

函数f(x)的图像有两个断点，即x=-2和x=1，这两个点是函数的转折点。

我们可以通过这两个点的函数值来判断函数的极小值。

当x<-2时，函数f(x)的表达式变为f(x)=-x-2-(x-1)，简化得到f(x)=-2x+3。

这是一个一次函数，斜率为-2，是一个向下开口的直线。

我们可以看到，当x趋向于负无穷大时，函数f(x)的值趋向于正无穷大，而斜率为-2，所以函数f(x)的图像是从正无穷大逐渐下降到一个有限值。

所以，我们可以得出结论，当x<-2时，函数f(x)的值是递增的，没有极小值点。

当-2<x<1时，函数f(x)的表达式变为f(x)=-x-2-(1-x)，简化得到f(x)=-2。

我们可以看到，在这个区间内，函数f(x)的值是一个常数-2，所以函数f(x)的最小值为-2。

当x>1时，函数f(x)的表达式变为f(x)=x+2-(x-1)，简化得到f(x)=3。

同样地，在这个区间内，函数f(x)的值是一个常数3，所以函数f(x)的最小值为3。

综上所述，函数f(x)的最小值为-2，函数的最大值为3。

最后，我们来看一下函数f(x)的图像在x=1处是否有切线。

2024年高考数学复习拓展考点精讲精练讲义 26 立体几何中的轨迹问题含详解

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展26立体几何中的轨迹问题（精讲+精练）一、立体几何中的轨迹问题立体几何轨迹问题是以空间图形为素材,去探究符合一定条件的点的运动轨迹,处于解析几何和立体几何的交汇处,要求学生有较强的空间想象能力、数学转化和化归能力,以及对解析几何和立体几何知识的全面掌握.常见的轨迹类型有直线、圆雉曲线、球面、椭球面.二、常用的解决策略(1)定义法:借助圆雉曲线的定义判断.(2)坐标法:建立合适的坐标系,用方程来表示所求点的轨迹,借助方程来判断轨迹形状.(3)交轨法:运动的点同时在两个空间几何体上,如平面与圆雉、圆柱、球相交,球与球相交,等等.(4)平面化:把空间几何关系转化到同一平面内,进而探究平面内的轨迹问题,使问题更易解决.空间问题平面化也是解决立体几何题目的一般性思路.三、轨迹是圆锥曲线的原理剖析令平面与轴线的夹角为θ0<θ<90°,圆雉的母线与轴的夹角为()090<<αα,如图②.(1)当<αθ时,截口曲线为椭圆;(2)当=αθ时,截口曲线为抛物线;(3)当>αθ时,截口曲线为双曲线.图②我们再从几何角度来证明.(1)如图③,在圆锥内放两个大小不同的球,使它们分别与截面切于点12,F F .在截口曲线上任取一点P ,过点P 作圆雉的母线,分别与两球切于点12,Q Q .由球的性质可知2112,PQ PF PQ PF ==,于是121212PF PF PQ PQ Q Q +=+=为定值,这样截口曲线上的任一点P 到两个定点12,Q Q 的距离之和为常数,由椭圆的定义知,截口曲线是椭圆.一、知识点梳理(2)如图④,在互相倒置的两个圆雉内放两个大小不同的球,使它们分别与圆雉的侧面、截面相切,两个球分别与截面切于点12,F F .在截口曲线上任取一点P ,过点P 作圆雉的母线,分别与两球切于点12,Q Q .由球的性质可知1122,PQ PF PQ PF ==,于是121212PF PF PQ PQ Q Q -=-=为定值,这样截口曲线上的任一点P 到两个定点12,Q Q 的距离之差的绝对值为常数,由双曲线的定义知,截口曲线是双曲线.(3)如图⑤,用平行于母线OM 且垂直于轴截面OMN 的平面β去截圆雉.在圆雉内放一个球,使它和圆雉的侧面与截面β相切,球与截面切于点F .设α为球与圆雉相切时切点构成的圆所在的平面,记l ⋂=αβ.在截口曲线上任取一点P ,作直线与球相切于点T ,连结PT ,有PF PT =.在母线OM 上取点,A B (B 为OM 与球的切点),使得AB PT =.过点P 作//PQ AB ,有点Q 在l 上,且FQ AB PF ==.另一方面,因为平面OMN 与α垂直,那么l ⊥平面OMN ,有l AB ⊥,所以l PQ ⊥.于是截口曲线是以点F 为焦点,l 为准线的抛物线.1.平行、垂直有关的的轨迹问题①平行有关的轨迹问题的解题策略二、题型精讲精练1.线面平行转化为面面平行得轨迹;2.平行时可利用法向量垂直关系求轨迹.②垂直有关的轨迹问题的解题策略1.可利用线线线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹;2.利用空间坐标运算求轨迹;3.利用垂直关系转化为平行关系求轨迹.【典例1】如图，在边长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 、N 分别是CC 1、C 1D 1、DD 1、CD 、BC的中点，M 在四边形EFGH 边上及其内部运动，若MN ∥面A 1BD ，则点M 轨迹的长度是（）A Ba C ．2D ．2【典例2】在正方体1111ABCD A B C D -中，Q 是正方形11B BCC 内的动点，11A Q BC ⊥，则Q 点的轨迹是（）A ．点1B B ．线段1B CC ．线段11B C D ．平面11B BCC 【答案】B【分析】如图，连接1AC ,证明1BC ⊥1B Q ,又1BC ⊥1B C ，即得解.【详解】如图，连接1AC ,因为111111111111,,,,BC AQ BC A B AQ A B A AQ A B ⊥⊥=⊂ 平面11A B Q ,所以1BC ⊥平面11A B Q ,又1B Q ⊂平面11A B Q ,所以1BC ⊥1B Q ,又1BC ⊥1B C .所以点Q 在线段1B C 上.故选：B2.距离、角度有关的的轨迹问题①距离有关的轨迹问题的解题策略1.距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹；2.利用空间坐标计算求轨迹.②角度有关的轨迹问题的解题策略1.直线与面成定角，可能是圆锥侧面;2.直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面;3.利用空间坐标系计算求轨迹.【典例3】已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为底面ABCD 内一点，若P 到棱CD ，A 1D 1距离相等的点，则点P 的轨迹是（）如图示，过P 作PE ⊥以D 为坐标原点建立空间直角坐标系2211x y -=+，平方得：【典例4】正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为AB ，11A B 的中点，P 是边11C D 上的一个点（包括端点），Q 是平面1PMB 上一动点，满足直线MN 与直线AN 夹角与直线MN 与直线NQ 的夹角相等，则点Q 所在轨迹为（）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．抛物线或双曲线【答案】D【分析】根据题设分析可知：Q 点轨迹为以AN 为母线，MN 为轴，AB 为底面直径的圆锥体，及其关于11A B 反向对称的锥体与平面1PMB 的交线，应用数形结合，结合平面与双锥面相交所成曲线的性质判断Q 所在轨迹的形状.【详解】由题设，Q 点轨迹为以AN 为母线，MN 为轴，AB 为底面直径的圆锥体，及其关于11A B 反向对称的锥体与平面1PMB 的交线，如下图示：当P 是边11C D 上移动过程中，只与下方锥体有相交，Q 点轨迹为抛物线；当P 是边11C D 上移动过程中，与上方锥体也有相交，Q 点轨迹为双曲线；故选：D3.翻折有关的的轨迹问题①翻折有关的轨迹问题的解题策略1.翻折过程中寻找不变的垂直的关系求轨迹2.翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹3.可以利用空间坐标运算求轨迹【典例5】1822年，比利时数学家Dandelin 利用圆锥曲线的两个内切球，证明了用一个平面去截圆锥，可以得到椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点），实现了椭圆截线定义与轨迹定义的统一性．在生活中，有一个常见的现象：用手电筒斜照地面上的篮球，留下的影子会形成椭圆．这是由于光线形成的圆锥被地面所截产生了椭圆的截面．如图，在地面的某个占1A 正上方有一个点光源，将小球放置在地面，使得1AA 与小球相切．若15A A =，小球半径为2，则小球在地面的影子形成的椭圆的离心率为（）A ．23B ．45C ．13D ．25【答案】A【分析】设21A F x =，从而可得15AA =，122A A x =+，23AA x =+，利用勾股定理可得10x =，再由离心率的定义即可求解.【详解】在21Rt AA A 中，设21A F x =，2DA x∴=15AA =，122A A x =+，23AA x =+，2225(2)(3)x x ∴++=+，10x ∴=，∴长轴长12212A A a ==，6a =，624c =-=则离心率23c e a ==.故选：A 【题型训练2-刷模拟】1.平行、垂直有关的的轨迹问题一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）正四棱锥S ABCD -的底面边长为2，高为2，E 是边BC 的中点，动点P 在表面上运动，并且总保持PE AC ⊥，则动点P 的轨迹的周长为（）A ．62+B ．62-C ．4D ．51+2．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB =，14AA =，E 为1DD 中点，P 为正四棱柱表面上一点，且11C P B E ⊥，则点P 的轨迹的长为（）A ．52+B ．222+C ．252+D ．132+3．（2023·江西赣州·统考二模）在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足14AA AP =，E ，F 分别为棱BC ，CD 的中点，点Q 在正方体1111ABCD A B C D -的表面上运动，满足1//AQ 面EFP ，则点Q 的轨迹所构成的周长为（）A ．5373B ．237C ．7373D ．83734．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F 分别为1AA ，AB 的中点，点P 是正方体表面上的动点，若1//C P 平面1CD EF ，则P 点在正方体表面上运动所形成的轨迹长度为（）A ．25+B ．225+C ．225+D ．2225+BBA．点P可以是棱1C．点P的轨迹是正方形6．（2023·全国·高三专题练习）已知棱长为MP平面ABD表面上，且//二、填空题8．（2023·河南·校联考模拟预测）已知正方体则点P的轨迹长度为9．（2023春·四川绵阳内切球O的球面上的动点，2.距离、角度有关的的轨迹问题一、单选题二、填空题3.翻折有关的的轨迹问题一、单选题A ．523πB ．453π2．如图，正方形ABCD 的边长为2,E 为BC 的中点，将①四棱锥P AECD -的体积最大值为255AB=，上一动点，现将AED ．．．．【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展26立体几何中的轨迹问题（精讲+精练）一、立体几何中的轨迹问题立体几何轨迹问题是以空间图形为素材,去探究符合一定条件的点的运动轨迹,处于解析几何和立体几何的交汇处,要求学生有较强的空间想象能力、数学转化和化归能力,以及对解析几何和立体几何知识的全面掌握.常见的轨迹类型有直线、圆雉曲线、球面、椭球面.二、常用的解决策略(1)定义法:借助圆雉曲线的定义判断.(2)坐标法:建立合适的坐标系,用方程来表示所求点的轨迹,借助方程来判断轨迹形状.(3)交轨法:运动的点同时在两个空间几何体上,如平面与圆雉、圆柱、球相交,球与球相交,等等.(4)平面化:把空间几何关系转化到同一平面内,进而探究平面内的轨迹问题,使问题更易解决.空间问题平面化也是解决立体几何题目的一般性思路.三、轨迹是圆锥曲线的原理剖析令平面与轴线的夹角为θ0<θ<90°,圆雉的母线与轴的夹角为()090<<αα,如图②.(2)当<αθ时,截口曲线为椭圆;(2)当=αθ时,截口曲线为抛物线;(3)当>αθ时,截口曲线为双曲线.图②我们再从几何角度来证明.(1)如图③,在圆锥内放两个大小不同的球,使它们分别与截面切于点12,F F .在截口曲线上任取一点P ,过点P 作圆雉的母线,分别与两球切于点12,Q Q .由球的性质可知2112,PQ PF PQ PF ==,于是121212PF PF PQ PQ Q Q +=+=为定值,这样截口曲线上的任一点P 到两个定点12,Q Q 的距离之和为常数,由椭圆的定义知,截口曲线是椭圆.一、知识点梳理(2)如图④,在互相倒置的两个圆雉内放两个大小不同的球,使它们分别与圆雉的侧面、截面相切,两个球分别与截面切于点12,F F .在截口曲线上任取一点P ,过点P 作圆雉的母线,分别与两球切于点12,Q Q .由球的性质可知1122,PQ PF PQ PF ==,于是121212PF PF PQ PQ Q Q -=-=为定值,这样截口曲线上的任一点P 到两个定点12,Q Q 的距离之差的绝对值为常数,由双曲线的定义知,截口曲线是双曲线.(3)如图⑤,用平行于母线OM 且垂直于轴截面OMN 的平面β去截圆雉.在圆雉内放一个球,使它和圆雉的侧面与截面β相切,球与截面切于点F .设α为球与圆雉相切时切点构成的圆所在的平面,记l ⋂=αβ.在截口曲线上任取一点P ,作直线与球相切于点T ,连结PT ,有PF PT =.在母线OM 上取点,A B (B 为OM 与球的切点),使得AB PT =.过点P 作//PQ AB ,有点Q 在l 上,且FQ AB PF ==.另一方面,因为平面OMN 与α垂直,那么l ⊥平面OMN ,有l AB ⊥,所以l PQ ⊥.于是截口曲线是以点F 为焦点,l 为准线的抛物线.1.平行、垂直有关的的轨迹问题①平行有关的轨迹问题的解题策略二、题型精讲精练1.线面平行转化为面面平行得轨迹;2.平行时可利用法向量垂直关系求轨迹.②垂直有关的轨迹问题的解题策略1.可利用线线线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹;2.利用空间坐标运算求轨迹;3.利用垂直关系转化为平行关系求轨迹.【典例1】如图，在边长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 、N 分别是CC 1、C 1D 1、DD 1、CD 、BC的中点，M 在四边形EFGH 边上及其内部运动，若MN ∥面A 1BD ，则点M 轨迹的长度是（）A Ba C ．2D ．2【典例2】在正方体1111ABCD A B C D -中，Q 是正方形11B BCC 内的动点，11A Q BC ⊥，则Q 点的轨迹是（）A ．点1B B ．线段1B CC ．线段11B C D ．平面11B BCC 【答案】B【分析】如图，连接1AC ,证明1BC ⊥1B Q ,又1BC ⊥1B C ，即得解.【详解】如图，连接1AC ,因为111111111111,,,,BC AQ BC A B AQ A B A AQ A B ⊥⊥=⊂ 平面11A B Q ,所以1BC ⊥平面11A B Q ,又1B Q ⊂平面11A B Q ,所以1BC ⊥1B Q ,又1BC ⊥1B C .所以点Q 在线段1B C 上.故选：B2.距离、角度有关的的轨迹问题①距离有关的轨迹问题的解题策略1.距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹；2.利用空间坐标计算求轨迹.②角度有关的轨迹问题的解题策略1.直线与面成定角，可能是圆锥侧面;2.直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面;3.利用空间坐标系计算求轨迹.【典例3】已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为底面ABCD 内一点，若P 到棱CD ，A 1D 1距离相等的点，则点P 的轨迹是（）如图示，过P 作PE ⊥以D 为坐标原点建立空间直角坐标系2211x y -=+，平方得：【典例4】正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为AB ，11A B 的中点，P 是边11C D 上的一个点（包括端点），Q 是平面1PMB 上一动点，满足直线MN 与直线AN 夹角与直线MN 与直线NQ 的夹角相等，则点Q 所在轨迹为（）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．抛物线或双曲线【答案】D【分析】根据题设分析可知：Q 点轨迹为以AN 为母线，MN 为轴，AB 为底面直径的圆锥体，及其关于11A B 反向对称的锥体与平面1PMB 的交线，应用数形结合，结合平面与双锥面相交所成曲线的性质判断Q 所在轨迹的形状.【详解】由题设，Q 点轨迹为以AN 为母线，MN 为轴，AB 为底面直径的圆锥体，及其关于11A B 反向对称的锥体与平面1PMB 的交线，如下图示：当P 是边11C D 上移动过程中，只与下方锥体有相交，Q 点轨迹为抛物线；当P 是边11C D 上移动过程中，与上方锥体也有相交，Q 点轨迹为双曲线；故选：D3.翻折有关的的轨迹问题①翻折有关的轨迹问题的解题策略1.翻折过程中寻找不变的垂直的关系求轨迹2.翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹3.可以利用空间坐标运算求轨迹【典例5】1822年，比利时数学家Dandelin 利用圆锥曲线的两个内切球，证明了用一个平面去截圆锥，可以得到椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点），实现了椭圆截线定义与轨迹定义的统一性．在生活中，有一个常见的现象：用手电筒斜照地面上的篮球，留下的影子会形成椭圆．这是由于光线形成的圆锥被地面所截产生了椭圆的截面．如图，在地面的某个占1A 正上方有一个点光源，将小球放置在地面，使得1AA 与小球相切．若15A A =，小球半径为2，则小球在地面的影子形成的椭圆的离心率为（）A ．23B ．45C ．13D ．25【答案】A【分析】设21A F x =，从而可得15AA =，122A A x =+，23AA x =+，利用勾股定理可得10x =，再由离心率的定义即可求解.【详解】在21Rt AA A 中，设21A F x =，2DA x∴=15AA =，122A A x =+，23AA x =+，2225(2)(3)x x ∴++=+，10x ∴=，∴长轴长12212A A a ==，6a =，624c =-=则离心率23c e a ==.故选：A 【题型训练2-刷模拟】1.平行、垂直有关的的轨迹问题一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）正四棱锥S ABCD -的底面边长为2，高为2，E 是边BC 的中点，动点P 在表面上运动，并且总保持PE AC ⊥，则动点P 的轨迹的周长为（）A ．62+B ．62-C ．4D ．51+【答案】A【分析】由题意，动点P 的轨迹为过E 且垂直AC 的平面与正四棱锥S ABCD -的交线，再根据线面垂直的性质求解即可.【详解】如图，设,AC BD 交于O ，连接SO ，由正四棱锥的性质可得，SO ⊥平面ABCD ，因为AC ⊂平面ABCD ，故SO AC ⊥.又BD AC ⊥，SO BD O ⋂=，SO BD ⊂，平面SBD ，故AC ⊥平面SBD .由题意，PE AC ⊥则动点P 的轨迹为过E 且垂直AC 的平面与正四棱锥S ABCD -的交线，即如图EFG ，则AC ⊥平面EFG .由线面垂直的性质可得平面//SBD 平面EFG ，又由面面平行的性质可得//EG SB ，//GF SD ，//EF BD ，又E 是边BC 的中点，故,,EG GF EF 分别为,,SBC SDC BCD 的中位线.由题意222,226BD SB SD ===+=，故()16622622EG EF GF ++=++=+.即动点P 的轨迹的周长为62+.故选：A2．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）在正四棱柱点，P 为正四棱柱表面上一点，且A ．52+B ．2因为11AC ⊂平面1B A 1111ED B D D ⋂=，则取1CC 中点F ，连接而11D C ⊥平面1BCC 又1,B F FE ⊂平面1B故选：D4．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，正方体P 是正方体表面上的动点，若1C P A ．25+B ．2【答案】B【分析】要满足1//C P 平面CD 中点G ，11A B 的中点H ，连结迹为三角形1C HG ，求出周长即可【详解】取1BB 的中点G ，A 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为因为,F H 为分别为11,AB A B 的中点，BB的中点A．点P可以是棱1C．点P的轨迹是正方形【答案】B【分析】如图，取棱BC的中点必过D点，进而取A D中点F【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于取棱的性质求解点P 轨迹即可求解6．（2023·全国·高三专题练习）已知棱长为表面上，且//MP 平面1ABD ，则动点A ．22B ．【详解】E 、F 、G 、M 分别是1AA 、11A D 、1B C 1AD ，//EM AB ，所以//EF 平面1ABD 1ABD //平面EFGM ，故点P 的轨迹为矩形12G =，所以22MG =，所以1EFGM S =⨯【点睛】本题考查面面平行的判定和面面平行的性质，以及正方体的截面问题，属综合中档题二、填空题【答案】10【分析】先推出BC ⊥,,EF CF AC ，推出BC 【详解】因为AB 是圆柱下底面圆又BC AD ⊥，AC AD 设过A 的母线与上底面的交点为因为⊥AE 平面ABC ，因为AE AC A = ，所以点D 在平面ACE 依题意得5AE =，OA 所以矩形AEFC 的面积为1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，则1DD AC ⊥11,,DD BD D DD BD =⊂∩平面1BDD ，于是AC ⊥平面则1AC BD ⊥，同理11⊥AB BD ，而1,,AC AB A AC AB = 令1BD 交平面1AB C 于点E ，由11B AB C B ABC V V --=，得13S 311【答案】3305π【分析】由题意画出图形，得BN ⊥平面DCP ，所以【详解】如图所示，在1BB 上取点P ，使得12BP PB =，连接112NC NB =Q ，CP BN∴⊥又DC ⊥平面11BCC B ，DC BN∴⊥又DC CP C Ç=Q ，DC ⊂平面DCP ，CP ⊂平面BN ∴⊥平面DCP又点M 是棱长为32的正方体1111ABCD A B C D -DCP 与球O 的截面圆周.2.距离、角度有关的的轨迹问题一、单选题故选：C2．（2023·河北·统考模拟预测）已知正四棱锥（底面为正方形，且顶点在底面的射影为正方形的中心的棱锥为正四棱锥）P －ABCD 的底面正方形边长为则动点Q 形成轨迹的周长为（A ．2π11根据等体积法得(143ABCD PAB S S +△∴11344423263PE ⎛⎫+⨯⨯⨯⨯=⨯ ⎪⎝⎭【详解】，取AD 的中点H ，连接EH ，则1//EH AA .1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥底面ABCD ，所以EH ⊥底面ABCD.EFH 为EF 与底面ABCD 所成的角，则60EFH ∠=︒．设正方体的棱长为a ，因为该正方体外接球的表面积为12π，22233π12π2a a ⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭，解得2a =，12AA a ===，从而23HF =，的轨迹为以H 为圆心，23为半径的圆在正方形ABCD 区域内的部分，如图中，23HG HM ==，3AH AHG πAHG ∠=，【点睛】本题考查了平面截圆锥面所得轨迹问题，考查了转化化归思想，属于难题7．（2022秋·河南·高三期末）棱长为1的正方体11ABCD A B C -则下面结论正确的有（）①若点E 满足1AE B C ⊥，则动点E 的轨迹是线段；②若点E 满足130EA C ∠=，则动点E 的轨迹是椭圆的一部分；若130EA C ∠= ，则E 在以1AC 为轴，母线所在直线为平面1BC 与圆锥的轴1AC 因为11//,A B CD 所以1A E 与CD 所成的角等于当E 为1BC 中点时，1B E tan EA B ∠二、填空题8．（2023春·湖南长沙·高三校联考阶段练习）则正方体表面到P 点距离为5的点的轨迹总长度为【答案】35π2⎛⎫+ ⎪⎝⎭【分析】根据以P 为球心，5为半径的球与正方体表面的交线长度来求得轨迹总长度【详解】以P 为球心，5为半径的球与正方体表面的交线长度即为所求，在平面11ABB A 和平面11ADD A 上轨迹是以圆心角为π2的两段弧，弧长为在平面1111D C B A 上的轨迹是以A 在平面ABCD 上的轨迹是以A 为圆心，因此，轨迹的总长度为352⎛+ ⎝故答案为：35π2⎛⎫+ ⎪⎝⎭9．（2023·全国·高三专题练习）已知三棱锥到底面ABC 的距离为4，且三棱锥【答案】43π【分析】设ABC 直角边的边长为得出球心O 到底面ABC 的距离连接,,OD OG OH ,则有OG OH =2GH a =，5GD a =且GH GD ⊥设O 到平面DCHG 的距离为：d 则在三棱锥O DGH -中，有O GDH V -所以11113232GH GD d OG ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯3.翻折有关的的轨迹问题一、单选题A ．523πB ．453π【答案】D设三棱锥S ABC -外接球的球心为,,O SAC BAC 的中心分别为易知1OO ⊥平面2,SAC OO ⊥平面BAC ，且12,,,O O O①四棱锥P AECD -的体积最大值为255③,EP CD 与平面PAD 所成角的正弦值之比为④三棱锥P AED -的外接球半径有最小值A ．①③B ．②③【答案】C取PA中点为G，则，GF EC平行且相等，四边形所以，点F的轨迹与点G的轨迹完全相同，过,H G的轨迹是H以为圆心，55HG=中点F的轨迹长度为55π.②错误；由四边形ECFG是平行四边形知//ECAB=，上一动点，现将AED．．．．。

押成都卷第26题(几何(三角形与四边形)综合压轴)(解析版)-备战2024年中考数学

押成都卷第26题押题方向一：几何（三角形与四边形）综合压轴3年成都真题考点命题趋势2023年成都卷第25题等腰三角形性质、全等（相似）的判定与性质、轨迹问题等从近年成都中考来看，几何综合压轴主要以三角形或四边形为背景，从全等过渡到相似，从定点过渡到动点，求线段长度、比值，探究数量关系等，整体难度极高，是高分段学生尽量要攻克的难点；预计2024年成都卷还将重视几何综合压轴的考查。

2022年成都卷第25题矩形的性质、等腰三角形性质、相似的判定与性质、勾股定理2021年成都卷第27题等腰三角形性质与判定、相似的判定与性质、旋转的性质、中位线1．（2023·四川成都·中考真题）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．在Rt ABC △中，90,C AC BC ∠=︒=，D 是AB 边上一点，且1AD BD n=（n 为正整数），E 是AC 边上的动点，过点D 作DE 的垂线交直线BC 于点F ．【初步感知】(1)如图1，当1n =时，兴趣小组探究得出结论：22AE BF AB +=，请写出证明过程．【深入探究】(2)①如图2，当2n =，且点F 在线段BC 上时，试探究线段AE BF AB ，，之间的数量关系，请写出结论并证明；②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE BF AB ，，之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）【拓展运用】(3)如图3，连接EF ，设EF 的中点为M ．若22AB =E 从点A 运动到点C 的过程中，点M 运动的路径长（用含n 的代数式表示）．【答案】(1)见解析(2)①1223AE BF AB +=，证明过程略；②当点F 在射线BC 上时，121AE BF AB n n +=+，当点F 在CB 延长线上时，121AE BF AB n n -=+(3)21n +【分析】（1）连接CD ，当1n =时，1AD BD=，即AD BD =，证明AD CD =，从而得到ADE CDF V V ≌即可解答；（2）①过BD 的中点G 作BC 的平行线，交DF 于点J ，交AC 于点H ，当2n =时，AD DG =，根据GH BC ∥，可得AHG 是等腰直角三角形，12JG FB =，根据（1）中结论可得22AE JG AG +=，再根据12JG FB =，23AG AB =，即可得到1223AE BF AB +=；②分类讨论，即当点F 在射线BC 上时；当点F 在CB 延长线上时，画出图形，根据①中的原理即可解答；（3）如图，当1E 与A 重合时，取11E F 的中点1M ，当2E 与C 重合时，取22E F 的中点2M ，可得M 的轨迹长度即为12M M 的长度，可利用建系的方法表示出1122,,,E F E F 的坐标，再利用中点公式求出12,M M ，最后利用勾股定理即可求出12M M 的长度．【详解】（1）证明：如图，连接CD ，当1n =时，1AD BD=，即AD BD =，90,C AC BC ∠=︒= ，∴45A B ∠=∠=︒，CD AB ⊥，1452FCD ACB ∠=∠=︒,CD AD ∴=，2AB BC =，即22BC AB =，DE FD ⊥ ，90ADE EDC FDC EDC ∴∠+∠=∠+∠=︒，ADE CDF\Ð=Ð在ADE V 与CDF 中，ADE CDF DA DC DAE DCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ASA ADE CDF ∴ ≌，AE CF ∴=，22BC CF BF AE BF AB ∴=+=+=；（2）①1223AE BF AB +=证明：如图，过BD 的中点G 作BC 的平行线，交DF 于点J ，交AC 于点H ，当2n =时，12AD DB =，即2AD DB =， G 是DB 的中点，AD DG ∴=，23AG AB =， HG BC ∥，90AHG C ∴∠=∠=︒，45HGA B ∠=∠=︒，45A ∠=︒ ，∴AHG 是等腰直角三角形，且DJG DBF △∽△，12JG DG FB DB ∴==，根据（1）中的结论可得22AE JG AG +=，1222222323AE JG AE FB AG AB AB ∴+=+==⨯=；故线段AE BF AB ，，之间的数量关系为1223AE BF AB +=；②解：当点F 在射线BC 上时，如图，在DB 上取一点G 使得AD DG =，过G 作BC 的平行线，交DF 于点J ，交AC 于点H ，同①，可得22AE JG AG +=，1AD BD n= ，AD DG =，1DG BD n ∴=，21AG AB n =+，同①可得1JG DG FB DB n ==，122222121AE JG AE FB AG AB AB n n n ∴+=+==⨯=++，即线段AE BF AB ，，之间数量关系为121AE BF AB n n +=+；当点F 在CB 延长线上时，如图，在DB 上取一点G 使得AD DG =，过G 作BC 的平行线，交DF 于点J ，交AC 于点H ，连接HD ；同（1）中原理，可证明()ASA DHE DGJ △≌△，可得22AE GJ AG -=，1AD BD n = ，AD DG =，1DG BD n ∴=，21AG AB n =+，同①可得1JG DG FB DB n==，122222121AE JG AE FB AG AB AB n n n ∴-=-==⨯=++即线段AE BF AB ，，之间数量关系为121AE BF AB n n -=+,综上所述，当点F 在射线BC 上时，121AE BF AB n n +=+；当点F 在CB 延长线上时，121AE BF AB n n -=+；（3）解：如图，当1E 与A 重合时，取11E F 的中点1M ，当2E 与C 重合时，取22E F 的中点2M ，可得M 的轨迹长度即为12M M 的长度，如图，以点D 为原点，1DF 为y 轴，DB 为x 轴建立平面直角坐标系，过点2E 作AB 的垂线段，交AB 于点G ，过点2F 作AB 的垂线段，交AB 于点H ，122,AD AB DB n == ，221AD n ∴=+，221n DB n =+，122,01E n ⎛⎫∴- ⎪ ⎪+⎝⎭，145F BD ∠=︒ ，1F D BD ∴=，1220,1n F n ⎛⎫∴ ⎪ ⎪+⎝⎭，1M 是11E F 的中点，122,11n M n n ⎛⎫∴- ⎪ ⎪++⎝⎭，122GB GC AB === ，221n DG DB BG n -+∴=-=+，222,21n E n ⎛⎫-+∴ ⎪ ⎪+⎝⎭，根据（2）中的结论22121AE BF AB n n -=+，22222211n n BF n AE AB n n ⎛⎫-∴=-= ⎪ ⎪++⎝⎭，22222221n n BH F H BF n -∴===+，2DH DB BH n ∴=+=，22222,1n n F n n ⎛⎫-∴- ⎪ ⎪+⎝⎭，22222222222,2222n n n n M n n ⎛⎫+--++∴ ⎪ ⎪++⎝⎭，2121M M n ∴=+．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行线的性质，正确地画出图形，作出辅助线，找对边之间的关系是解题的关键．()与A ，D 重合），连接BE ，以BE 为边在直线BE 的右侧作矩形EBFG ，使得矩形EBFG ∽矩形ABCD ，EG 交直线CD 于点H ．(1)【尝试初探】在点E 的运动过程中，ABE 与DEH △始终保持相似关系，请说明理由．(2)【深入探究】若2n =，随着E 点位置的变化，H 点的位置随之发生变化，当H 是线段CD 中点时，求tan ABE ∠的值．(3)【拓展延伸】连接BH ，FH ，当BFH △是以FH 为腰的等腰三角形时，求tan ABE ∠的值（用含n 的代数式表示）．【答案】(1)见解析(2)222-或222+(3)2n 或21n -【分析】（1）根据题意可得∠A =∠D =∠BEG =90°，可得∠DEH =∠ABE ，即可求证；（2）根据题意可得AB =2DH ，AD =2AB ，AD =4DH ，设DH =x ，AE =a ，则AB =2x ，AD =4x ，可得DE =4x -a ，再根据△ABE ∽△DEH ，可得()222a x +=或()222a -，即可求解；（3）根据题意可得EG =nBE ，然后分两种情况：当FH =BH 时，当FH =BF =nBE 时，即可求解．【详解】（1）解：根据题意得：∠A =∠D =∠BEG =90°，∴∠AEB +∠DEH =90°，∠AEB +∠ABE =90°，∴∠DEH =∠ABE ，∴△ABE ∽△DEH ；（2）解：根据题意得：AB =2DH ，AD =2AB ，∴AD =4DH ，设DH =x ，AE =a ，则AB =2x ，AD =4x ，∴DE =4x -a ，∵△ABE ∽△DEH ，∴AB AE DE DH =，∴24x a x a x =-，解得：()222a x +=或()222a -，∴()22AB a =+或()22a -，∴22tan 2AE ABE AB -∠==或222+；（3）解：∵矩形EBFG ∽矩形ABCD ，()1AD nAB n =>，∴EG =nBE ，如图，当FH =BH 时，∵∠BEH =∠FGH =90°，BE =FG ，∴Rt △BEH ≌Rt △FGH ，∴EH =GH=12EG ，∴2n EH BE =，∵△ABE ∽△DEH ，∴2DE EH n AB BE ==，即2n DE AB =，∴2n AE AD DE AB =-=，∴tan 2AE n ABE AB ∠==；如图，当FH =BF =nBE 时，222211HG FH FG n FG n BE =-=-=-，∴()21EH EG HG n n BE =-=--，∵△ABE ∽△DEH ，∴21DE EH n n AB BE ==--，即()21DE n n AB =--，∴21AE AD DE n AB =-=-，∴2tan 1AE ABE ABn ==-∠；综上所述，tan ABE ∠的值为2n 或21n -．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识是解题的关键．3．（2021·四川成都·中考真题）在Rt ABC 中，90,5,3ACB AB BC ∠=︒==，将ABC 绕点B 顺时针旋转得到A BC ''△，其中点A ，C 的对应点分别为点A '，C '．（1）如图1，当点A '落在AC 的延长线上时，求AA '的长；（2）如图2，当点C '落在AB 的延长线上时，连接CC '，交A B '于点M ，求BM 的长；（3）如图3，连接,AA CC ''，直线CC '交AA '于点D ，点E 为AC 的中点，连接DE ．在旋转过程中，DE 是否存在最小值？若存在，求出DE 的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）8AA '=；（2）1511BM =；（3）存在，最小值为1【分析】（1）根据题意利用勾股定理可求出AC 长为4．再根据旋转的性质可知AB A B '=，最后由等腰三角形的性质即可求出AA '的长．（2）作CD AC '⊥交AC '于点D ，作//CE A B '交AC '于点E ．由旋转可得A BC ABC ''∠=∠，3BC BC '==．再由平行线的性质可知CEB A BC ''∠=∠，即可推出CEB ABC ∠=∠，从而间接求出3CE BC BC '===，DE DB =．由三角形面积公式可求出125CD =．再利用勾股定理即可求出185BE =，进而求出335C E '=．最后利用平行线分线段成比例即可求出BM 的长．（3）作//AP A C ''且交CD '延长线于点P ，连接A C '．由题意易证明BCC BC C ''∠=∠，90ACP BCC '∠=︒-∠，90A C D BC C '''∠=︒-∠，即得出ACP A C D ''∠=∠．再由平行线性质可知APC A C D ''∠=∠，即得出ACP APC ∠=∠，即可证明AP AC A C ''==，由此即易证()APD A C D AAS ''≅ ，得出AD A D '=，即点D 为AA '中点．从而证明DE 为ACA ' 的中位线，即12DE A C '=．即要使DE 最小，A C '最小即可．根据三角形三边关系可得当点A C B '、、三点共线时A C '最小，且最小值即为=A C A B BC ''-，由此即可求出DE 的最小值．【详解】（1）在Rt ABC 中，2222534AC AB BC =-=-=．根据旋转性质可知AB A B '=，即ABA '△为等腰三角形．∵90ACB ∠=︒，即BC AA '⊥，∴4A C AC '==，∴8AA '=．（2）如图，作CD AC '⊥交AC '于点D ，作//CE A B '交AC '于点E ．由旋转可得ABC ABC ''∠=∠，3BC BC '==．∵//CE A B '，∴CEB A BC ''∠=∠，∴CEB ABC ∠=∠，∴3CE BC BC '===，DE DB =．∵1122ABC S AB CD AC BC == ，即543CD ⨯=⨯，∴125CD =．在Rt BCD △中，2295DB BC CD =-=，∴185BE =．∴335C E BE BC ''=+=．∵//CE A B '，∴BM BC CE C E '='，即33335BM =，∴1511BM =．（3）如图，作//AP A C ''且交C D '延长线于点P ，连接A C '．∵BC BC '=，∴BCC BC C ''∠=∠，∵180ACP ACB BCC '∠=︒-∠-∠，即90ACP BCC '∠=︒-∠，又∵90A C D BC C '''∠=︒-∠，∴ACP A C D ''∠=∠．∵//AP A C ''，∴APC A C D ''∠=∠，∴ACP APC ∠=∠，∴AP AC =，∴AP A C ''=．∴在APD △和AC D '' 中ADP A DC APD A C D AP A C '''∠=∠⎧⎪∠=∠'''⎨⎪=⎩，∴()APD A C D AAS ''≅ ，∴AD A D '=，即点D 为AA '中点．∵点E 为AC 中点，∴DE 为ACA ' 的中位线，∴12DE A C '=，即要使DE 最小，A C '最小即可．根据图可知A C A B BC ''≥-，即当点A C B '、、三点共线时A C '最小，且最小值为==53=2A C A B BC ''--．∴此时1=12DE A C '=，即DE 最小值为1．【点睛】本题为旋转综合题．考查旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行线分线段成比例，全等三角形的判定和性质，中位线的判定和性质以及三角形三边关系，综合性强，为困难题．正确的作出辅助线为难点也是解题关键．常见考点：直角、等腰、全等、相似三角形的性质与判定；特殊的四边形的性质与判定；勾股定理与逆定理；锐角三角形函数；三大几何变换；线段的垂直平分线与角平分线的性质等。

专题26 反比例函数与几何综合题型归纳-2023年中考数学二轮复习核心考点拓展训练(原卷版)

专题26 反比例函数与几何综合题型归纳（原卷版）类型一反比例函数与三角形综合1．（2022秋•岚山区校级期末）如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB ＝30°，点A 在反比例函数y =6x（x ＞0）的图象上，则经过点B 的反比例函数解析式为（）A ．y =―1x B ．y =―2x C ．y =―4xD ．y =―6x2．（2022秋•金水区校级期末）如图，已知直角三角形ABO 中，AO =3，将△ABO 绕点O 点旋转至△A 'B 'O 的位置，且A '在OB 的中点，B '在反比例函数y =kx上，则k 的值为．3．（2022秋•荔湾区校级期末）如图，△ABC 是等腰三角形，AB 过原点O ，底边BC ∥x 轴，双曲线y =kx过A ，B 两点，过点C 作CD ∥y 轴交双曲线于点D ，若S △BCD ＝16，则k 的值是．4．（2023•南海区模拟）如图，在x 轴的正半轴上依次截取OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝A 3A 4＝A 4A 5，过点A 1，A 2，A 3，A 4，A 5分别作x 轴的垂线与反比例函数y =2x(x ≠0)的图象相交于点P 1，P 2，P 3，P 4，P 5，得直角三角形OP 1A 1，A 1P 2A 2，A 2P 3A 3，A 3P 4A 4，A 4P 5A 5，并设其面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，S 5，则S 2022＝．5．（2022秋•桥西区校级期末）如图，一次函数y 1＝k 1x +b 的图像与反比例函数y 2=k 2x(x ＞0)的图像相交于A （m ，6），B （6，1）两点，且与x 轴，y 轴交于点M ，N ．（1）填空：k 2＝；m ＝；在第一象限内，当y 1＞y 2时，x 的取值范围为；（2）连接OA ，OB ，求△AOB 的面积；（3）点E 在线段AB 上，过点E 作x 轴的垂线，交反比例函数图像于点F ，若EF ＝2，求点F 的坐标．6．（2022秋•龙泉驿区期末）某班在“图形与坐标”的主题学习中，第四学习小组提出如下背景“如图，在平面直角坐标系中，将一个边长为2的等边三角形ABC 沿x 轴平移（边AB 在x 轴上，点C 在x 轴上方），其中A （a ，0），三角形ABC 与反比例函数y =23x（x ＞0）交于点D ，E 两点（点D 在点E 左边）”，让其他小组提出问题，请你解答：（1）第一小组提出“当a ＝2时，求点D 的坐标”；（2）第二小组提出“若AD ＝CE ，求a 的值”；（3）第三小组提出“若将点E 绕点A 逆时针旋转60°至点E ′，点E ′恰好也在y =23x（x ＞0）上，求a 的值”．7．（2022秋•南山区期末）如图：△AOB 为等腰直角三角形，斜边OB 在x 轴上，S △OAB ＝4，一次函数y 1＝kx +b （k ≠0）的图象经过点A 交y 轴于点C ，反比例函数y 2=kx（x ＞0）的图象也经过点A ．（1）求反比例函数的解析式；（2）若CD ＝2AD ，求△COD 的面积；（3）当y 1＜y 2时对应的自变量的取值范围是．（请直接写出答案）8．（2022秋•老城区校级期中）如图，已知：直线y =12x 与双曲线y =k x （k ＞0）交于A ，B 两点，且点A的横坐标为4，若双曲线y =kx（k ＞0）上一点C 的纵坐标为8，连接AC ．（1）填空：k 的值为 8　；点B 的坐标为；点C 的坐标为．（2）直接写出关于的不等式12x ―k x≥0的解集；（3）求三角形AOC 的面积．9．（2022秋•虹口区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝kx （k ＞0）分别交反比例函数y =1x 和y =9x 在第一象限的图象于点A ，B ，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，交y =1x的图象于点C ，联结AC ，若△ABC 是等腰三角形，求k 的值．类型二反比例函数与平行四边形综合10．（2022秋•襄都区校级期末）如图，反比例函数y =kx的图象经过平行四边形ABCD 对角线的交点P ．知A ，C ，D ，三点在坐标轴上，BD ⊥DC ，平行四边形ABCD 的面积为6，则k 的值为（）A ．﹣6B ．﹣5C ．﹣4D ．﹣311．（2022秋•滨城区校级期末）如图，平行四边形OABC 的顶点O ，B 在y 轴上，顶点A 在y =―2x 上，顶点C 在y =9x上，则平行四边形OABC 的面积是．12．（2022秋•平城区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABOC 的面积为6，边OB 在x 轴上，顶点 A 、C 分别在反比例函数y =k x（x ＜0）和y =2x （x ＞0）的图象上，则k ﹣2的值为（）A ．﹣4B ．4C ．﹣6D ．613．（2022秋•高新区期末）如图，在平面直角坐标中，平行四边形ABCD 顶点A 的坐标为（1，0），点D 在反比例函数y =―6x 的图象上，点B ，C 在反比例函数y =kx（x ＞0）的图象上，CD 与y 轴交于点E ，若DE ＝CE ，∠DAO ＝45°，则k 的值为．14．（2022•湘潭县校级模拟）如图，在平面直角坐标系Oxy 中，函数y =kx （其中x ＜0）的图象经过平行四边形ABOC 的顶点A ，函数y =8x（其中x ＞0）的图象经过顶点C ，点B 在x 轴上，若点C 的横坐标为2，△AOC 的面积为6．（1）求k 的值；（2）求直线AB 的解析式．类型三反比例函数与矩形综合15．（2022秋•永城市期末）如图，直线y ＝﹣x +3与坐标轴分别相交于A ，B 两点，过A ，B 两点作矩形ABCD ，AB ＝2AD ，双曲线y =kx在第一象限经过C ，D 两点，则k 的值是（）A ．6B ．274C ．272D ．2716．（2022秋•岚山区校级期末）如右图，已知矩形OABC 的面积为1003，它的对角线OB 与双曲线y =kx相交于点D ，且OB ：OD ＝5：3，则k ＝（）A ．10B ．20C ．6D ．1217．（2022秋•达川区期末）如图，矩形AOBC 的边OA ＝3，OB ＝4，动点F 在边BC 上（不与B 、C 重合），过点F 的反比例函数y =kx的图象与边AC 交于点E ，直线EF 分别与y 轴和x 轴相交于点D 和G ．给出下列命题：①若k ＝6，则△OEF 的面积为92；②若k =218，则点C 关于直线EF 的对称点在x 轴上；③满足题设的k 的取值范围是0＜k ≤12；④若DE ⋅EG =256，则k ＝2；其中正确的命题个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个18．（2023•黔江区一模）如图，矩形ABCD 中，点A 在双曲线y =―8x上，点B ，C 在x 轴上，延长CD 至点E ，使CD ＝2DE ，连接BE 交y 轴于点F ，连接CF ，则△BFC 的面积为（）A ．5B ．6C ．7D ．819．（2022秋•荔城区校级期末）如图，点A 为双曲线y =―2x在第二象限上的动点，AO 的延长线与双曲线的另一个交点为B ，以AB 为边的矩形ABCD 满足AB ：BC ＝4：3，对角线AC ，BD 交于点P ，设P 的坐标为（m ，n ），则m ，n 满足的关系式为．20．（2022秋•滕州市校级期末）如图，矩形OABC 与反比例函数y 1=k 1x（k 1是非零常数，x ＞0）的图象交于点M ，N ，反比例函数y 2=k 2x（k 2是非零常数，x ＞0）的图象交于点B ，连接OM ，ON ．若四边形OMBN 的面积为3，则2k 2﹣2k 1＝．21．（2022秋•长安区校级期末）如图，矩形ABCD 顶点坐标分别为A （1，1），B （2，1），CB ＝2．（1）若反比例函数y =kx与的图象过点D ，则k ＝．（2）若反比例函数与矩形ABCD 的边CD 、CB 分别交于点E 、点F ，且△CEF 的面积是，则反比例函数的表达式为．（3）若反比例函数y =k x(x ＞0)的图象将矩形边界上横、纵坐标均为整数的点恰好等分成了两组，使两组点分别在双曲线两侧，则k 的取值范围是．22．（2022秋•松原期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，点C 、A 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，点D 为AB 的中点．一次函数y ＝﹣3x +6的图象经过点C 、D ，反比例函数y =kx（x ＞0）的图象经过点B ，求k 的值．23．（2022•礼县校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OC 、OA 分别在坐标轴上，且OA ＝2，OC ＝4，连接OB ．反比例函数y =k1x（x ＞0）的图象经过线段OB 的中点D ，并与AB 、BC 分别交于点B 、F ．一次函数y ＝k 2x +b 的图象经过E 、F 两点．（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式．（2）点P 是x 轴上一动点，当PE +PF 的值最小时，求点P 的坐标．25．（2022春•姑苏区校级月考）如图，在以O 为原点的平面直角坐标系中，点 A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点B （a ，b ）在第一象限，四边形OABC 是矩形，反比例函数y =kx（k ＞0，x ＞0）的图象与AB 相交于点D ，与BC 相交于点E ，且BE ＝2CE ．（1）求证：BD ＝2AD ；（2）若四边形ODBE 的面积是6，求k 的值．类型四反比例函数与菱形综合26．（2022秋•江北区校级期末）如图，菱形ABCD 的边AD ⊥y 轴，垂足为点E ，顶点A 在第二象限，顶点B 在y 轴的正半轴上，反比例函数y =kx（k ≠0，x ＞0）的图象同时经过顶点C 、D ．若点C 的横坐标为10，BE ＝3DE ，则k 的值为（）A ．15B ．6C ．154D ．1027．（2022•珠海校级三模）如图，菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y=k1x（k1＞0）和y=k2x的图象上，且∠ADC＝120°，则k2k1的值是（）A．﹣3B．―13C．3D．―3328．（2022秋•岚山区校级期末）如图，O为坐标原点，点C在x轴上．四边形OABC为菱形，D为菱形对角线AC与OB的交点，反比例函数y=kx在第一象限内的图象经过点A与点D，若菱形OABC的面积为242，则点A的坐标为．29．（2022秋•福州期末）如图，四边形ABOC为菱形，∠BOC＝60°，反比例函数y=kx(x＜0)的图象经过点B，交AC边于点P，若△BOP的面积为43，则点A的坐标为．30．（2022秋•通川区期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（5，0），函数y=kx（x＞0）的图象经过菱形OABC的顶点C，若OB•AC＝40，则k的值为．31．（2023•西山区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A 在反比例函数y =kx（k ＞0，x ＞0）的图象上，点D 的坐标为（4，3）．（1）求反比例函数的关系式；（2）设点M 在反比例函数图象上，连接MA 、MD ，若△MAD 的面积是菱形ABCD 面积的14，求点M 的坐标．类型五反比例函数与正方形综合32．（2022秋•东港市期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y =43x +4的图象与x 轴，y 轴分别交于点B ，A ，以线段AB 为边作正方形ABCD ，且点C 在反比例函数y =k x（x ＜0）的图象上，则k 的值为（）A ．﹣21B ．21C ．﹣24D ．2433．（2022秋•龙岗区校级期末）如图，反比例函数y =kx(x ＞0)图象经过正方形OABC 的顶点A ，BC 边与y轴交于点D ，若正方形OABC 的面积为12，BD ＝2CD ，则k 的值为（）A ．3B ．185C ．165D ．10334．（2022秋•济南期末）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O ，且正方形的一组对边与x 轴平行，点P （4a ，a ）是反比例函数y =k x（k ＞0）的图象上与正方形的一个交点，若图中阴影部分的面积等于16，则k 的值为（）A ．16B ．1C ．4D ．﹣1635．（2022•南关区校级模拟）如图，正方形ABCO 和正方形CDEF 的顶点B 、E 在双曲线y =6x（x ＞0）上，连接OB 、OE 、BE ，则S △OBE 的值为（）A ．2B ．2.5C ．3D ．3.536．（2022•绿园区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，大、小两个正方形的一个顶点均为坐标原点，两边分别在x 轴，y 轴的正半轴上，若经过小正方形的顶点A 的函数y =k x（x ＞0）的图象与大正方形的一边交于点B （1，3），则阴影部分的面积为（）A ．6B ．3C ．32D ．3―337．（2022秋•徐汇区期末）点A 、M 在函数y =1x （x ＞0）图象上，点B 、N 在函数y =―3x（x ＜0）图象上，分别过A 、B 作x 轴的垂线，垂足为D 、C ，再分别过M 、N 作线段AB 的垂线，垂足为Q 、P ，若四边形ABCD 与四边形MNPQ 均为正方形，则正方形MNPQ 的面积是．38．（2022秋•薛城区期末）如图，点B 是反比例函数y =k x图象上的一点，矩形OABC 的周长是20，正方形OCDF 与正方形BCGH 的面积之和为68，则k 的值为．39．（2022春•姑苏区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y =k x(x ＞0)的图象与边长等于6的正方形OABC 的两边AB ，BC 分别相交于M ，N 两点，△MON 的面积是16，动点P 从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿x 轴向右运动，记运动时间为t ，当t ＝ s 时，PM +PN 最小．40．（2022•香洲区校级三模）如图，反比例函数y =k x（k ≠0，x ＞0）的图象过点B ，E ，四边形ODEF 和ABCD 是正方形，顶点F 在x 轴的正半轴上，A ，D 在y 轴正半轴上，点C 在边DE 上，延长BC 交x 轴于点G ．若AB ＝2，则四边形CEFG 的面积为．41．（2022秋•蚌山区月考）如图，两个边长分别为a ，b （a ＞b ）的正方形连在一起，三点C ，B ，F 在同一直线上，反比例函数y =k x在第一象限的图象经过小正方形右下顶点E ．若OB 2﹣BE 2＝8，则（1）S 正方形OABC ﹣S 正方形DEFB ＝；（2）k 的值是．42．（2022•九龙坡区自主招生）如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为（0，4），点B 的坐标为（2，0），连结AB ，以线段AB 为边在第一象限内作正方形ABCD ，直线BD ：y ＝ax +b 交双曲线y =k x（k ≠0）于D 、E 两点，连结CE ．（1）求双曲线y =k x（k ≠0）和直线BD 的解析式；（2）求△BEC 的面积；（3）请直接写出不等式ax +b ＞k x 的解集．43．（2022•东湖区期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A 在y 轴上，顶点C 在x 轴上，反比例函数y ＝k 的图象过AB 边上一点E ，与BC 边交于点D ，BE ＝2，OE ＝10．（1）求k 的值；（2）直线y ＝ax +b 过点D 及线段AB 的中点F ，点P 是直线OF 上一动点，当PD +PC 的值最小时，直接写出这个最小值．44．（2021秋•榆林）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（0，2），以线段AB 为一边在第一象限内作平行四边形ABCD ，其顶点D （3，1）在反比例函数y =k x（x ＞0）的图象上．（1）求证：四边形ABCD 是正方形；（2）设将正方形ABCD 沿x 轴向左平移m （m ＞0）个单位后，得到正方形A ′B ′C ′D ′，点C 的对应点C ′恰好落在反比例函数y =k x（x ＞0）的图象上，求m 的值．45．（2022秋•宝山区校级期中）如图，已知正方形OABC 的面积为9，点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，点B 在函数y =k x （k ＞0，x ＞0）图象上，点P 是函数y =k x（k ＞0，x ＞0）图象上异于点B 的任意一点，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为点E 、F ．设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部分的面积为S ．（1）点B 的坐标是，k ＝；（2）当S =92，求点P 的坐标；（3）求出S 关于m 的函数关系式．46．（2022秋•武功县期末）如图，在平面直角坐标系中，A （﹣1，2），B （﹣1，﹣2），以AB 为边向右作正方形ABCD ，边AD 、BC 分别与y 轴交于点E 、F ，反比例函数y =k x(k ≠0)的图象经过点D ．（1）求反比例函数的表达式；（2）在反比例函数的图象上是否存在点P ，使得△PEF 的面积等于正方形ABCD 面积的一半？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．47．（2022•靖江市校级模拟）如图，在直角坐标系中，Rt △ABC 的直角边AC 在x 轴上，∠ACB ＝90°，AC＝1，反比例函数y =k x（k ＞0）的图象经过BC 边的中点D （3，1）．（1）直接写出这个反比例函数的表达式；（2）若△ABC 与△EFG 关于点M 成中心对称，且△EFG 的边FG 在y 轴的正半轴上，点E 在这个函数的图象上．①直接写出OF 的长、对称中心点M 的坐标；②连接AF，BE，证明四边形ABEF是正方形．。

2025年甘肃中考数学一轮复习中考命题探究第6章圆第24讲与圆有关的位置关系

∵OB 是⊙O 的半径，∴BE 是⊙O 的切线．
(2)当⊙O的半径为2，BC＝3时，求tan∠AEB的值．
解：∵OB＝2，
∴AB＝2OB＝4，
∴AC＝ AB 2－BC2＝ 42－32＝ 7，
AC
7
∴tan∠AEB＝tan∠ABC＝＝ .
BC 3
2．[2023省卷25题]如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的一点，CO
2025年甘肃中考数学一轮复习中考命题探究
第24讲
与圆有关的位置关系
(省卷：5年5考；兰州：3年3考)
1 考点梳理
2 重难点突破
3 甘肃5年中考真题及拓展
考点梳理
2022年版课标重要变化
探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切
线．(删除)
考点 1
点、直线与圆的位置关系
点与圆的位置关系
考点 41
三角形的外接圆与内切圆
三角形的外接圆
圆心
垂直平分线
外心：三角形三条边的⑧____________
内心：三角形三条
的交点
描述经过三角形的三个顶点的圆
图示
三角形的内切圆
角平分线
⑨_________的交点
与三角形三边都相切的圆
性质
三角形的外心到三个顶点的
三角形的内心到三角形三边的
距离相等，即OA＝OB＝OC 距离相等，即OD＝OE＝OF
3
(2)当⊙O的半径为5，sinB＝ 5 时，求CE的长．
解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°.
AC 3
∵sin B＝＝，AB＝10，∴AC＝6.
AB 5
∵∠OCE＝∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠OCB＝∠B，

2021重庆中考26题专题复习及答案1

重庆中考数学第26题专题1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．证明：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∵CG平分∠ACB，∴∠ACG＝∠BCG＝45°，∴∠A＝∠BCG，在△BCG和△CAF中，∵，∴△BCG≌△CAF（ASA），∴CF＝BG；（2）如图2，∵PC∥AG，∴∠PCA＝∠CAG，∵AC＝BC，∠ACG＝∠BCG，CG＝CG，∴△ACG≌△BCG，∴∠CAG＝∠CBE，∵∠PCG＝∠PCA+∠ACG＝∠CAG+45°＝∠CBE+45°，∠PGC＝∠GCB+∠CBE＝∠CBE+45°，∴∠PCG＝∠PGC，∴PC＝PG，∵PB＝BG+PG，BG＝CF，∴PB＝CF+CP；（3）解法一：如图3，过E作EM⊥AG，交AG于M，∵S△AEG＝AG•EM＝3，由（2）得：△ACG≌△BCG，∴BG＝AG＝6，∴×6×EM＝3，EM＝，设∠FCH＝x°，则∠GAC＝2x°，∴∠ACF＝∠EBC＝∠GAC＝2x°，∵∠ACH＝45°，∴2x+x＝45，x＝15，∴∠ACF＝∠GAC＝30°，在Rt△AEM中，AE＝2EM＝2，AM＝＝3，∴M是AG的中点，∴AE＝EG＝2，∴BE＝BG+EG＝6+2，在Rt△ECB中，∠EBC＝30°，∴CE＝BE＝3+，∴AC＝AE+EC＝2+3+＝3+3．解法二：同理得：∠CAG＝30°，AG＝BG＝6，如图4，过G作GM⊥AC于M，在Rt△AGM中，GM＝3，AM＝＝＝3，∵∠ACG＝45°，∠MGC＝90°，∴GM＝CM＝3，∴AC＝AM+CM＝3+3．2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△ADB，可推证△CEF 是等腰直角三角形，从而求得∠DCE＝135°．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．解：[问题初探]如图2，过点E作EF⊥BC交直线BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝135°，故答案为：ADB，等腰直角，135；[继续探究]如图3，过点E作EF⊥BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝45°；[拓展延伸]如图4，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，∴∠ACB＝45°当点D在射线BC上时，由[问题初探]知，∠BCM＝135°，∴∠ACM＝∠BCM﹣∠ACB＝90°，当点D在线段CB的延长线上时，由[继续探究]知，∠BCE＝45°，∴∠ACN＝∠ACB+∠BCM＝90°，∴点E是过点C垂直于AC的直线上的点，∴当BE⊥MN时，BE最小，∵∠BCE＝45°，∴∠CBE＝45°＝∠BCE，∴BE＝CE，∴BE最小＝BC＝，即：BE的最小值为．3、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．证明：（1）如图1，过点D作DE⊥AB，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠ACB＝90°，∴DC＝DE，∵∠A＝30°，DE⊥AB，∴AD＝2DE，∴AD＝2DC；（2）如图2，过点M作ME∥BD，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝30°，∵BM平分∠CBD，∴∠CBM＝15°＝∠DBM，∵ME∥BD，∴∠MEC＝∠CBD＝30°，∠EMB＝∠DBM＝∠MBE，∴ME＝BE，∵∠MEC＝30°，∠C＝90°∴CE＝MC＝，ME＝2MC＝2＝BE，∴BC＝+2，∵∠CBD＝30°，∠C＝90°，∴BC＝CD，∴CD＝1+，∴DM＝，∴△DBM的面积＝××（+2）＝1+；（3）若点N在CD上时，AD＝DG+DN，理由如下：如图3所示：延长ED使得DW＝DN，连接NW，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD，∵DN＝DW，且∠WDN＝60°∴△WDN是等边三角形，∴NW＝DN，∠W＝∠WND＝∠BNG＝∠BDN＝60°，在△WGN和△DBN中，∴△WGN≌△DBN（SAS），∴BD＝WG＝DG+DN，∴AD＝DG+DN．（3）若点N在AD上时，AD＝DG﹣DN，理由如下：如图4，延长BD至H，使得DH＝DN，连接HN，由（1）得DA＝DB，∠A＝30°．∵DE⊥AB于点E．∴∠2＝∠3＝60°．∴∠4＝∠5＝60°．∴△NDH是等边三角形．∴NH＝ND，∠H＝∠6＝60°．∴∠H＝∠2．∵∠BNG＝60°，∴∠BNG+∠7＝∠6+∠7．即∠DNG＝∠HNB．在△DNG和△HNB中，∴△DNG≌△HNB（ASA）．∴DG＝HB．∵HB＝HD+DB＝ND+AD，∴DG＝ND+AD．∴AD＝DG﹣ND．。

中考数学26题汇编练习及答案

x 的请回答：（1）当k ＝1时，使得原等式成立的x 的个数为 _______；（2）当0＜k ＜1时，使得原等式成立的x 的个数为_______；（3）当k ＞1时，使得原等式成立的x 的个数为 _______．参考小明思考问题的方法，解决问题：关于x 的不等式只有一个整数解，求的取值范围．26．（1）小明遇到下面一道题：如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90º，∠ACB =30º，BE ⊥AC 于点E ，且．如果AB =1，求CD 边的长．小明在解题过程中发现，图1中，△CDE 与△ 相似，CD 的长度等于，线段CD 与线段的长度相等；他进一步思考：如果（是锐角），其他条件不变，那么CD 的长度可以表示为CD = ；（用含的式子表示）（2）受以上解答过程的启发，小明设计了如下的画图题：)240 ()x a a x+-<＞0a =CDE ACB ∠∠ACB α∠=αα在Rt △OMN 中，∠MON =90º，OM ＜ON ，OQ ⊥MN 于点Q ，直线l 经过点M ，且l ∥ON ．请在直线l 上找出点P 的位置，使得．请写出你的画图步骤，并在答题卡上完成相应的画图过程．（画出一个即可，保留画图痕迹，不要求证明）26 .阅读材料如图1，若点P 是⊙O 外的一点，线段PO 交⊙O 于点A,则PA 长是点P 与⊙O 上各点之间的最短距离.图1 图2 证明：延长PO 交⊙O 于点B ，显然PB>PA .如图2，在⊙O 上任取一点C （与点A ，B 不重合），连结PC ，OC .∴PA 长是点P 与⊙O 上各点之间的最短距离.NPQ ONM ∠=∠,,,,PO PC OC PO PA OA OA OC PA PC <+=+=∴<且由此可以得到真命题：圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差.请用上述真命题解决下列问题．(1)如图3，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =2，以BC 为直径的半圆交AB 于D ，P 是上的一个动点，连接AP ，则AP长的最小值是．图3(2)如图4，在边长为2的菱形中，∠=60°，是边的中点，点是边上一动点，将△沿所在的直线翻折得到△，连接,①求线段A ’M 的长度; ②求线段长的最小值.26．问题背景：在△ABC 中，AB ，BC ，AC 三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小军同学在解答这道题时，先建立了一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC （即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需要求出△ABC 的高，借用网格就能计算出它的面积．ABCD A M AD N AB AMN MN MN A 'C A 'C A '53217图4图1 图2 （1）请你直接写出△ABC 的面积________； 26．阅读下面材料：小玲遇到这样一个问题：如图1，在等腰三角形中，，，，于点，求的长．图图3小玲发现：分别以，为对称轴，分别作出△，△的轴对称图形，点的对称点分别为，，延长，交于点，得到正方形，根据勾股定理和正方形的性质就能求出的长．（如图2）请回答：的长为，的长为；参考小玲思考问题的方法，解决问题：如图3，在平面直角坐标系中，点，，点是△的外角的角平分线和的交点，求点的坐标．CBAABC AC AB =︒=∠45BAC 22=BC BC AD ⊥D AD AB AC ABD ACD D E F EB FC G AEGF AD BG AD xOy ()0,3A ()4,0B P OAB AP BP P xyPBA O G EFDDABBACC图1 图226．阅读下面材料：小凯遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AC =4，BD =6，∠AOB =30°，求四边形ABCD 的面积．小凯发现，分别过点A 、C 作直线BD 的垂线，垂足分别为点E 、F ，设AO 为m ，通过计算△ABD 与△BCD 的面积和使问题得到解决（如图2）．请回答：（1）△ABD 的面积为（用含m 的式子表示）．（2）求四边形ABCD 的面积．参考小凯思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AC =a ，BD =b ，∠AOB =（0°＜＜90°），则四边形ABCD 的面积为（用含a 、b 、的式子表示）．26.【阅读学习】刘老师提出这样一个问题：已知α为锐角，且tan α=，求sin2α的值．小娟是这样解决的：如图1，在⊙O 中，AB 是直径，点C 在⊙O 上，∠BAC =α，所以∠ACB =90°，tan α= = ．易得∠BOC =2α．设BC =x ，则AC =3x ，则AB ．作CD ⊥AB 于D ，求出CD = （用含x 的式子表示），可求得sin2α== ．【问题解决】已知，如图2，点M 、N 、P 为圆O 上的三点，且∠P =β，tan β =，求sin2β的值.ααα13BCAC1310CDOC12图1图2图326．如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 各边都平行于坐标轴，且A （-2，2），C（3，-2）．对矩形ABCD 及其内部的点进行如下操作：把每个点的横坐标乘以a ，纵坐标乘以b ，将得到的点再向右平移k （）个单位，得到矩形及其内部的点（分别与ABCD 对应）．E （2，1）经过上述操作后的对应点记为．（1）若a =2，b =-3，k =2，则点D 的坐标为，点的坐标为；（2）若（1，4），（6，-4），求点的坐标．26．阅读下面的材料：小明遇到一个问题：如图1，在□ABCD 中，点E 是边BC 的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G . 如果，求的值．他的做法是：过点E 作EH ∥AB 交BG 于点H ，那么可以得到△BAF ∽△HEF ．请回答：（1）AB 和EH 之间的数量关系是，CG 和EH 之间的数量关系是，的值为．（2）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图2，在四边形ABCD 中，DC ∥AB ，点E 是BC 延长线上一点，AE 和BD 相交于点F ．如图1图20k >''''A B C D ''''A B C D 'E 'D 'A 'C 'E 3AF EF =CDCGCDCG果，，求的值．图1 图226.在平面内，将一个图形以任意点为旋转中心，逆时针．．．旋转一个角度，得到图形，再以为中心将图形放大或缩小得到图形，使图形与图形对应线段的比为，并且图形上的任一点，它的对应点在线段或其延长线上；我们把这种图形变换叫做旋转相似变换，记为，其中点叫做旋转相似中心，叫做旋转角，叫做相似比. 如图1中的线段便是由线段经过得到的.（1）如图2，将△ABC 经过☆ 后得到△，则横线上“☆”应填下列四个点、、、中的点 .（2）如图3，△ADE 是△ABC 经过得到的，，则这个图形变换可以表示为.2AB CD =23BC BE =AFEFHG F ECDBAFECB A D G O θ'G O 'G ''G ''G G k G P ''P 'OP ()O θ,k O θk''OA OA ()302︒O ,()901,︒'''A B C ()00O ，()01D ，()0E ，-1()12C ，()A θ,k 90︒=EAB ∠12cos EAC =∠(),A 图2y x-111B'A'C'ED B ACO图3E DABC图130°A'A''OA26．如图1，在□ABCD 中，点E 是BC 边上的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G ，若AB =6，，求DG 的长．小米的发现，过点E 作交BG 于点H （如图2），经过推理和计算能够使问题得到解决．则DG = .如图3，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是射线DM 上的一点，连接BE 和AC 相交于点F ，若，，求的值（用含3AF EF =EH AB ∥BC aAD =CD bCE =BFEF,a b 图1GF E BCAD图2HGF E BCAD图3M A D26．如图①，P 为△ABC 内一点，连接PA 、PB 、PC ，在△PAB 、△PBC 和△PAC 中，如果存在一个三角形与△ABC 相似，那么就称P 为△ABC 的自相似点．（1）如图②，已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ACB ＞∠A ，CD 是AB 上的中线，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，试说明E 是△ABC 的自相似点．（2）如图③，在△ABC 中，∠A ＜∠B ＜∠C ．①利用尺规作出△ABC 的自相似点P （不写出作法，保留作图痕迹）；②如果△ABC 的内心P 是该三角形的自相似点，请直接写出该三角形三个内角的度数．BBC ADPE①②ACBC③A答案26. (本小题满分5分)解：（1）当k＝1时，使1 ；…………………………………….（2）当0＜k＜1时，2 ；…………………………………………（3）当k＞1时，使1 ．…..解决问题：将不等式240 (x a ax+-<研究函数与函数的图象的交点. ∵函数的图象经过点A (1,4)，B (2,2)，函数的图象经过点C (1,1)，D (2,4)，若函数经过点A (1,4)，则， ……………………………………………………4分结合图象可知，当时，关于x 的不等式只有一个整数解．也就是当时，关于x 的不等式只有一个整数解. ……………………5分26.解：（1）CAD ，BC . …………………………………………………………… 3分.……………………………………………………………………………4分（2）方法1：如图8，以点N 为圆心，ON 为半径作圆，交直线l 于点，，则点，为符合题意的点.……………………………………………… 5分方法2：如图9，过点N 画NO 的垂线，画NQ 的垂直平分线，直线与交于点R ，以点R 为圆心，RN 为半径作圆，交直线l 于点，，则点，为符合题意的点. ……………………………………… 5分2(0)y x a a =+>4y x=4y x=2y x =2(0)y x a a =+>3a =03a <<24(0)x a a x+<>03a <<240 ()x a a x+-<＞01tan α1P 2P 1P 2P 1m 2m 1m 2m 1P 2P 1P 2P 1.2分②由①知，点A ’在以点M 为圆心，1为半径的圆上……4分连接CM 交圆M 于点A ’，过点M 向CD 的延长线作垂线，垂足为点H.26. 解：（1）△ABC 的面积是4.5；…….2分（2）如右图: …….4分△MNP 的面积是7. …….5分26．解：的长为，的长为；…………………2分如图，过点分别作轴于点，轴于点，于点…………………3分∵和是△的外角的角平分线 ∴， ∴∴四边形是正方形，，…………4分∴ ∵， ∴',=1.3AMN A MN A M AM ∴=沿MN 所在的直线翻折得到’分2222t 123sin .2t 35722'715R MHD DH DM COS HDM MH DM HDM R CHM MH CH A C =⋅∠==⋅∠=⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴=-在中，，在中，CM=，分BG 2AD 22+P x PC ⊥C y PD ⊥D AB PE ⊥E AP BP OAB CAP EAP ∠=∠EBP DBP ∠=∠PD PE PC ==OCPD AE AC =BE BD =DO PD CP OC ===()0,3A ()4,0B 5=AB MPNxyECD PBA O∴∴,∴∴……………………5分26. 解：（1）；……………………………………………………………………………1分（2）由题意可知∠AEO =90°．∵ AO = m ，∠AOB =30°， ∴AE =．∴S △ABD =．同理，CF =．∴S △BCD =．…………………………………………………2分 ∴S 四边形ABCD = S △ABD ＋S △BCD ．…………………………………………………3分解决问题：．………………………………………………………………5分 26．解：． ……………………………………………………………………… 1分Sin2α==． ……………………………………………………………………… 2分如图，连接，并延长交⊙O 于,连接MQ ，MO ，作于．在⊙O 中，∠NMQ =90°． ∵ ∠Q=∠P =β，ＯＭ＝ＯＮ，∴ ∠MON=2∠Q=2β． ………………………………………… 3分∵ tan β=， ∴ 设MN =k ，则MQ =2k ，∴ NQ =．12=++=+BO AB OA OD OC 6==OD OC 6==PD CP ()6,6P 32m 12m m AE BD 2321=⋅1(4)2m m CF BD 23621-=⋅6=αsin 21⋅ab 10103xCD =CD OC53NO Q NO MH ⊥H 21k MQ MN 522=+H βP MO∴ OM=NQ=． ∵ ， ∴ ．∴MH=． ………………………………………………………………………………… 4分在中，sin2β=sin ∠MON =． …………………………………… 5分 26．解：（1）D （3，2），（8，-6），..................................................................................2分（2）依题可列：则a =1，k =3，2b =4，b =2，.........................................................4分（a ，b ，k 求出一个给1分）∵点E （2，1）， ∴．.....................................................................................................5分26．（本小题满分5分）解：（1）AB =3EH ，CG =2EH ，.………………………………………………3分（2）如图，过点E 作EH ∥AB 交BD 的延长线于点H .∴ EH ∥AB ∥CD ． ∵ EH ∥CD ，21k 25MH NQ MQ MN S NMQ ⋅=⋅=∆2121MH k k k ⋅=⋅52k 552MHORt ∆5425552==kkOM MH 'D 21,3 6.a k a k -+=⎧⎨+=⎩'E （5，2）32HF E CB AD∴， ∴ CD =EH ．又∵，∴ AB =2CD =EH ． ∵ EH ∥AB ，∴ △ABF ∽△EHF ． ∴．……………………………………5分 26.（1） ………………………………………………………………………………2分（2）………………………………………………………5分26．答案：DG =2； (2)如图（画图正确，正确标出点E 、F ） (3)过E 作EG ∥AD ，延长CA 交于点G ∴△CAD ∽△CGE ．∴． ∵，∴． ∴．……………………………………………………4 ∵AD ∥BC ， ∴BC ∥EG ． ∴△GEF ∽△CBF ．23CD BC EH BE ==232AB CD =434433AF AB EH EH EF EH ===E 60,k︒AD CDGE CE=CD bCE =ADb GE=AD bEG =∴． ∵， ∴．∴ (5)26.解：⑴在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 上的中线，∴， ∴CD =BD ．∴∠BCE ＝∠ABC ．……………………………….(1分) ∵BE ⊥CD ， ∴∠BEC ＝90°，∴∠BEC ＝∠ACB ．……………………………….(2分) ∴△BCE ∽△ABC ．∴E 是△ABC 的自相似点．………………………….(3分)⑵①作图略．（方法不唯一）……………………….(5分)②连接PB 、PC ．∵P 为△ABC 的内心， ∴，． ∵P 为△ABC 的自相似点， ∴△BCP ∽△ABC ．∴∠PBC ＝∠A ，∠BCP ＝∠ABC =2∠PBC =2∠A ， ∠ACB ＝2∠BCP =4∠A ． ∵∠A +∠ABC +∠ACB ＝180°． ∴∠A +2∠A +4∠A ＝180°．BC BFEG EF=BC aAD =BC abEG =BFab EF=12CD AB =12PBC ABC ∠=∠12PCB ACB ∠=∠∴． ∴该三角形三个内角的度数分别为、、．…………….(6分)1807A ∠=180736077207。

北京中考26题整理

26．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =60°，CD 平分∠ACB ，试判断BC 和AC 、AD 之间的数量关系．小明发现，利用轴对称做一个变化，在BC 上截取CA′=CA ，连接DA′，得到一对全等的三角形，从而将问题解决（如图2）．A'DDCB CBAA图1 图2请回答：（1）在图2中，小明得到的全等三角形是△ ≌△ ；（2）BC 和AC 、AD 之间的数量关系是．参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，BC =CD =10，AC =17，AD =9．求AB 的长．26．阅读下面材料：学习了三角形全等的判定方法（即“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”、“SSS ”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL ”）后，小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．小聪将命题用符号语言表示为：在△ABC 和△DEF 中，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E ．小聪想：要想解决问题，应该对∠B 进行分类研究． ∠B 可分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．第一种情况：当∠B 是直角时，如图1，在△ABC 和△DEF 中，AC =DF ，BC =EF ， ∠B =∠E =90°，根据“HL”定理，可以知道Rt △ABC ≌Rt △DEF ．第二种情况：当∠B 是锐角时，如图2，BC =EF ，∠B =∠E<90°，在射线EM 上有点D ，使DF =AC ，画出符合条件的点D ，则△ABC 和△DEF 的关系是；A ．全等B ．不全等C ．不一定全等第三种情况：当∠B 是钝角时，如图3，在△ABC 和△DEF中，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E >90°，求证：△ABC ≌△DEF ．图3DCBA图3图226．（1）请你根据下面画图要求，在图①中完成画图操作并填空．如图①，△ABC 中，∠BAC =30°，∠ACB =90°，∠P AM =∠A ．操作：（1）延长BC ．（2）将∠P AM 绕点A 逆时针方向旋转60°后，射线AM 交BC 的延长线于点D ．（3）过点D 作DQ//AB ．（4）∠P AM 旋转后，射线AP 交DQ 于点G ．（5）连结BG ．结论：ABAG= ．（2）如图②，△ABC 中，AB =AC =1，∠BAC =36°，进行如下操作：将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转α度角，并使各边长变为原来的n 倍（n >1），得到△''AB C . 当点B 、C 、'B 在同一条直线上，且四边形''ABB C 为平行四边形时（如图③），求α和n 的值．26．阅读下面的材料：小敏在数学课外小组活动中遇到这样一个问题：如果α，β都为锐角，且1tan 2α=，1tan 3β=，求αβ+的度数．小敏是这样解决问题的：如图1，把α，β放在正方形网格中，使得ABD α∠=，CBE β∠=，且BA ，BC 在直线BD 的两侧，连接AC ，可证得△ABC 是等腰直角三角形，因此可求得αβ+=∠ABC = °. 请参考小敏思考问题的方法解决问题：如果α，β都为锐角，当tan 4α=，3tan 5β=时，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON=αβ-，由此可得αβ-=______°.图① 图② 图③29．定义:对于平面直角坐标系xOy 中的线段PQ 和点M ，在△MPQ 中，当PQ 边上的高为2时，称M 为PQ 的“等高点”，称此时MP +MQ 为PQ 的“等高距离”．（1）若P (1，2)，Q (4，2) ．①在点A (1，0)，B (25，4)，C （0，3）中，PQ 的“等高点”是；②若M （t ，0）为PQ 的“等高点”，求PQ 的“等高距离”的最小值及此时t 的值.（2）若P (0，0)，PQ =2，当PQ 的“等高点”在y 轴正半轴上且“等高距离”最小时，直接写出点Q 的坐标．29．已知抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于点()1,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于点()0,3C -.（1）求该抛物线的解析式及顶点M 的坐标；（2）求△BCM 面积与△ABC 面积的比；（3）若P 是x 轴上一个动点，过P 作射线PQ ∥AC 交抛物线于点Q ，随着P 点的运动，在抛物线上是否存在这样的点Q ，使以A 、P 、Q 、C 为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.29．定义符号{}min a b ,的含义为：当a b ≥时, {}min a b b =,；当a b ＜时, {}min a b a =,．如：{}min 122-=-,，{}min 121-=-,．(1)求{}2min x -1,-2;(2)已知2min{2,3}3x x k -+-=-, 求实数k 的取值范围;(3) 已知当23x -≤≤时，22min{215,(1)}215x x m x x x --+=--.直接写出实数m 的取值范围.。

中考语文复习专题六非连续性文本阅读

方法指导： (1)仔细阅读题干，明确答题方向、要求，确定需要
提取的信息标准。 (2)通读所有材料或指定材料，整体把握材料内容。 ①理清各材料之间的关系，确定答题区域；②把握
作者的立场、观点或感情倾向，准确解读材料；③有两层或两层以上意思的文段，要分层组合；④抓住关键词或关键句，归纳概括重要信息。
A项与原文比，意思相符；B项中的“重视规划与开发” 材料中似乎没提到，但认真读材料二会发现， “ 2016 年……2019年……2020年……”就是这方面的内容，所以与材料也相符。C项完全符合材料二示意图提供的信息。D项出自材料三，但“从众心理”材料中并未提到，属于无中生有。
【参考答案】硬件：升级改造红色旅游景点，建设旅游配套设施，如建造用于再现革命历史场景的视听体验馆。文创：开发以革命文物为主题的新的文创产品，如文化衫、水杯、折扇。宣传：拓宽宣传渠道，丰富宣传形式，如举办手绘红色旅游地图趣味赛，推出红色专题电视片。服务：利用新技术提供数字化服务，丰富旅游体验，如推出馆内人工智能导游。(任选两个角度即可)
据变化；坐标图——横、纵双向观察变化趋势；饼状图—— 各部分所占比例；柱状图——柱体高度及变化趋势；示意图——示意符号、方向及提示内容；微信或QQ聊天截图— —话题及内容大意；图标——构图要素及创意；漫画——构图要素及夸张、矛盾处。
(2)根据题目要求，读懂图表的内在含义，把握题旨。 ①整体阅读，双向观察。关注图表主题、比较对象(项目)、比较角度、各种数据及变化特点。②对比分析，寻找规律。如抓最高值和最低值，把握图表中心，得出结论；分析变化趋势，明确特点，总结规律；兼顾整体变化与局部变化，既求同又存异。 (3)了解几种常见的统计规律的惯用词。如少部分、近一半、绝大部分；增长、上升、降低；递增、递减；等等。

中考数学考点总动员系列专题：26 三角形(含解析)

考点二十六：三角形聚焦考点☆温习理解一、三角形1、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。

（2）在三角形中,连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。

2、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。

推论：三角形的两边之差小于第三边。

（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时,可确定第三边的范围。

③证明线段不等关系。

3、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。

推论：①直角三角形的两个锐角互余。

②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。

③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。

二、全等三角形1、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。

直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形,判定它们全等时,还有H L 定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL ”） 2.全等三角形的性质：三、等腰三角形1、等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。

即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。

推论2：等边三角形的各个角都相等,并且每个角都等于60°。

中考英语气候变化应对单选题40题

中考英语气候变化应对单选题40题1. The main cause of global warming is the increase in _______ gases.A. oxygenB. nitrogenC. greenhouseD. hydrogen答案：C。

解析：全球变暖的主要原因是温室气体的增加。

选项A氧气、选项B氮气、选项D氢气都不是导致全球变暖的主要气体。

而greenhouse gases（温室气体），如二氧化碳等的增加会导致地球温度上升，引起全球变暖。

2. Global warming may lead to _______.A. cooler summersB. more icebergsC. rising sea levelsD. less rainfall in all areas答案：C。

解析：全球变暖可能会导致海平面上升。

因为温度升高会使冰川融化，从而使海平面上升。

选项A全球变暖会使夏天更热而不是更凉爽；选项B全球变暖会使冰川融化，冰堡会减少而不是增多；选项D全球变暖会使一些地区降雨增多，一些地区降雨减少，而不是所有地区降雨都减少。

3. Which of the following is a major source of greenhouse gases?A. Wind power plantsB. Solar energy systemsC. Burning of fossil fuelsD. Hydroelectric power stations答案：C。

解析：燃烧化石燃料是温室气体的一个主要来源。

像煤、石油和天然气等化石燃料燃烧时会释放大量的二氧化碳等温室气体。

而选项A风力发电厂、选项B太阳能系统、选项D水力发电站都是清洁能源，不会产生大量温室气体。

4. Climate change can affect _______.A. only plantsB. only animalsC. both plants and animalsD. neither plants nor animals答案：C。

2023年新课标Ⅰ卷物理26题分析

2023年高考新课标Ⅰ卷物理第26题考查了法拉第电磁感应定律、牛顿运动定律、动量定理、焦耳定律、能量守恒定律等知识点，模型旧但问题设置新，特别在电路结构、等效电阻上的考查尤为细致.以下是笔者对本题的一些思考与拓展.1试题呈现（23年新课标Ⅰ卷物理26题）一边长为L、质量为m的正方形金属细框，每边电阻为R0，置于光滑的绝缘水平桌面（纸面）上.宽度为2L的区域内存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度大小为B，两虚线为磁场边界，如图1（a）所示.（1）使金属框以一定的初速度向右运动，进入磁场.运动过程中金属框的左、右边框始终与磁场边界平行，金属框完全穿过磁场区域后，速度大小降为它初速度的一半，求金属框的初速度大小.（2）在桌面上固定两条光滑长直金属导轨，导轨与磁场边界垂直，左端连接电阻R1=2R0，导轨电阻可忽略，金属框置于导轨上，如图1（b）所示.让金属框以与（1）中相同的初速度向右运动，进入磁场.运动过程中金属框的上、下边框处处与导轨始终接触良好.求在金属框整个运动过程中，电阻R1产生的热量.2试题分析本题以金属线框为研究对象，分析其在有界磁场运动过程中的能量转化和守恒问题，是一道综合度非常高、难度较大、区分度高的试题，具有较好的选拔功能.本题所考查的知识点多、知识综合程度高，特别注重了模型建构和科学思维的考查.本题所设置的模型在教材及往届高考和模考中都有影子，可以看出高考试题在命制时可以不拒陈题、旧题，就本题而言，在第二问中所考查的点特别细致、新颖，如金属线框完全进入磁场后因与外界有电阻组成闭合回路，回路中有感应电流，产生焦耳热；线框在磁场中有两条边与金属导轨重合，这两条边相当于被短路，不必考虑其电阻；在列动量定理的表2023年新课标Ⅰ卷物理26题分析江苏省高淳高级中学丁宏伟211300摘要：2023年高考新课标Ⅰ卷物理第26题考查了法拉第电磁感应定律、动量定理、牛顿运动定律、焦耳定律、能量守恒定律等综合应用，综合度非常高.本文分析了试题的特点并进行拓展思考，最后提出相关教学建议.关键词：电磁感应；电量；动量定理2LB BR1a b图1··13达式时容易出现错误，易写成-2BLq =m Δv ，其中q =BL 2R 总；在分析计算焦耳热的分配时容易出错.上述四条在考试中极易犯错，这就要求考生在平时的学习中能注重理解物理概念、物理规律，重视物理知识的形成过程，注重物理科学思维能力的提升.3完整解析解析：（1）设金属框刚完全进入磁场时的速度为v 1，进入磁场时，利用动量定理有-∑BIL Δt =mv 1-mv 0，进一步变形有-BLq =mv 1-mv 0，同理，出磁场过程中利用动量定理有-BLq =m 12v 0-mv 1，两式联立，可得v 0=B 2L 3mR 0.（2）进入磁场时，等效电路如图2所示，R 总=R 0+23R 0=53R 0，设完全进入磁场时的金属线框的速度为v ，根据动量定理有-∑BIL Δt =mv -mv 0，其中I 为干路电流，∑I Δt =q =ΔΦR 总，带入有-BL 3BL 25R 0=mv -mv 0，可知v =25v 0.根据能量守恒定律，这一过程中回路产生的焦耳热Q =12mv 20-12mv 2=2150mv 20，根据焦耳定律及串并联电路的特点，可得Q 1=7mv 20125.在磁场运动过程到最右边刚出磁场，等效电路如图3所示，其中R ′总=12R 0+2R 0=52R 0，由于有两条边切割磁感应线，利用动量定理有-∑B BLv R ′总L Δt =mv ′-mv ，进一步化简有-∑B BL 2R ′总L =mv ′-mv ，可得v ′=0.根据焦耳定律以及串并联电路的特点，可得Q 2=8mv 20125.故在整个过程中R 1上产生的热量Q R 1=Q 1+Q 2=15mv 20125=3B 4L 625mR 20.4拓展联想本题在最后一问中考查的知识点是两条边切割模型，因与外界形成闭合回路，金属线框完全在磁场运动中也有感应电流，这点与平时的模型有所区别.笔者思考，在磁场运动过程中不仅可以从能量的角度设置问题，是否可以从时间和空间的角度设置问题呢？比如，可以在第（2）问：在金属框进入磁场过程中，金属线框运动的时间.分析：进入磁场时，根据动量定理有-BIL ⋅d t =-B BLv R 总L ⋅d t =m ⋅d v ，对此式进行分离变量有d t =-mR 总B 2L 2v d v ，则t =mR 总B 2L 2∫v v 01vd v=mR 总B 2L 2ln v 0v ，因v =25v 0，带入有t =5mR 总3B 2L 2ln 52.从分析过程发现，若要求时间，分析时涉及微积分，故不可作为考点.联想以前学过的知识，若能加一个恒力作用，就可以求时间，笔者联想到以前做过的一题，如下：例1在倾角为θ足够长的光滑斜面上，存在着两个磁感应强度大小相等的匀强磁场，磁场方向一个垂直斜面向上，另一个垂直斜面向下，宽度均为L ，如图4所示，一个质量为m 、电阻为R 、边长也为L 的正方形线框在t =0时刻以速度v 0进入磁场，恰好做匀速直线运动，若经过一段时间，线框ab 边到达gg ′与ff ′正中间位置时，线框又恰好做匀速运动.问题：求从t =0时刻开始，R 0R 1图2R1图3··14到ab 边到达磁场下边界gg ′瞬间这一过程中，线框运动的时间是多少？分析：当进入磁场时，线框做匀速运动，设线框ab 刚到达ff ′的时间为t 1，有t 1=L v 0，当线框ab 边开始进入磁场gg ′f ′f 时，线框ab 和cd 都切割磁感应线，且产生的电动势方向相同，根据法拉第电磁感应定律有I =2BLv R，设线框ab 边从ff ′到达gg ′与ff ′正中间位置所需时间为t 2，刚到达中间位置的速度为v ，因线框恰好做匀速运动，有m g sin θ=2B 2BLv R L ，化简可得v =14v 0，规定沿斜面向下为正，根据动量定理有m g t 2sin θ-2∑B 2BLv R L Δt =m 14v 0-mv 0，m g t 2sin θ-4B 2L 2R ∑v Δt =-m 34v 0，进一步化简有t 2=2L v 0-3v 04g sin θ，则总时间t =t 1+t 2=3L v 0-3v 04g sin θ.5教学建议高考物理压轴题承担着选拔功能，能够让具有较高物理核心素养的考生脱颖而出，所以试题要有一定的区分度.该题考查知识点全面、综合度高，着重考查学生构建物理模型能力、理解能力、分析与论证能力.从解决问题的过程来看，该题涉及的知识面广，虽然所涉及的点学生较容易联想到，但易错点太多，得分率不会太高.在平时的物理习题教学中，教师应引导学生厘清物理过程，理解物理公式中字母代表的物理含义，若急于求成，思维跨度大，只会事倍功半.从答题的过程来看，因涉及知识点多，公式多且乱，这就要求在平时教学中，教师要引导学生注意规范书写，避免因一些重要的公式遗漏造成失分.参考文献［1］中华人民共和国教育部.普通高中物理课程标准（2017年版）［M ］.北京：人民教育出版社，2010.cLe LL gfa v 0b g ′f ′e ′θd图4··15。

中考英语数词用法练习题50题(答案解析)

中考英语数词用法练习题50题(答案解析)1.There are ______ students in our class.A.thirtyB.thirtiethC.thirteenD.thirteenth答案解析：A。

选项B“thirtieth”是第三十，是序数词，不符合题意；选项C“thirteen”是十三；选项D“thirteenth”是第十三，也是序数词。

题干中表达的是班级里学生的数量，应该用基数词，所以选A。

2.My sister is ______ years old.A.eightB.eighthC.eighteenD.eighteenth答案解析：C。

选项A“eight”是八；选项B“eighth”是第八；选项D“eighteenth”是第十八。

根据常理，通常情况下姐姐的年龄不太可能是八岁或者第八岁、十八岁，所以选择C“eighteen”，十八岁比较合理。

3.There are ______ days in a week.A.sevenB.seventhC.seventeenD.seventeenth答案解析：A。

选项B“seventh”是第七；选项C“seventeen”是十七；选项D“seventeenth”是第十七。

一周有七天，应该用基数词seven，所以选A。

4.I have ______ books.A.fiveB.fifthC.fifteenD.fifteenth答案解析：A。

选项B“fifth”是第五；选项C“fifteen”是十五；选项D“fifteenth”是第十五。

题干说我有几本书，应该用基数词，所以选A。

5.There are ______ months in a year.A.twelveB.twelfthC.twentyD.twentieth答案解析：A。

选项B“twelfth”是第十二；选项C“twenty”是二十；选项D“twentieth”是第二十。

2023年新疆中考物理试题(解析版)

2023年新疆中考物理试卷一、单项选择题（本大题共12小题，每小题2分，共24分。

请按答题卷中的要求作答）1. 下列物质中，最容易导电的是（）A. 铜B. 硅C. 玻璃D. 陶瓷【答案】A【解析】【详解】正常情况下，铜是导体，容易导电；硅的导电性能介于导体和绝缘体之间是半导体；玻璃、陶瓷不容易导电，属于绝缘体，故A符合题意，BCD不符合题意。

故选A。

2. 医生给病人检查时使用听诊器，是为了增大声音的（）A. 音调B. 音色C. 响度D. 频率【答案】C【解析】的【详解】听诊器是利用声音在管内空气中集中传播，减小声音分散，提高声音的响度，从而可以听到更清楚的声音，然后根据经验判断是否有病症。

故选C。

3. 汽车的轮胎常由橡胶制成，是由于橡胶具有较好的（）A. 塑性B. 弹性C. 导热性D. 透气性【答案】B【解析】【详解】用橡胶做汽车的轮胎，是因为橡胶的弹性好，能起到缓冲的作用，与塑性、导热性、透气性无关，故B符合题意，ACD不符合题意。

故选B。

4. 新疆达坂城发电站利用可再生能源发电，其利用的能源为（）A. 核能B. 风能C. 石油D. 天然气【答案】B【解析】【详解】天然气和石油是化石能源，短期内不能得到补充，所以是不可再生能源；核能是矿产资源，短期内不能得到补充，所以是不可再生能源；风能在短期内能及时得到补充，所以风能是可再生能源，故B符合题意，ACD不符合题意。

故选B。

5. 下列家用电器中，电源插头为两线插头的是（）A. 电冰箱B. 洗衣机C. 电暖气D. 电视机【答案】D【解析】【详解】电冰箱、洗衣机和电暖气等有金属外壳的家用电器，需要接地，一般采用三线插头，而电视机一般不需要接地，采用两线插头。

故选D。

6. 下列光学仪器中，利用光的反射成像的是（）A. 放大镜B. 照相机C. 潜望镜D. 近视眼镜【答案】C【解析】【详解】放大镜成正立、放大的虚像，是凸透镜成像，利用的是光的折射；照相机成倒立、缩小的实像，是凸透镜成像，利用的是光的折射；潜望镜是平面镜，成正立、等大的虚像，利用的是光的反射，近视眼镜是凹透镜，利用的是光的折射；故C符合题意，ABD不符合题意。

22.F.3小结与拓展-变换规律题

如图，抛物线y＝-(x＋1)2＋1位于ｘ轴上方的图象记为 F1，图象F2与F1关于原点O对称，将F1与F2同时沿ｘ轴向右平移P1P2的长度得到F3与F4；再将F3与F4同时沿ｘ轴向右平移P1P2的长度得到F5与F6；… ．按这样方式平移下去即可得到一系列图象F1，F2，…，Fn．它们组成“波浪抛物线”． (1)点(2016，0)在该“波浪抛物线”上吗？答： . (2)若图象Fn的顶点Tn的横坐标为2017，则图象Fn对应的解析式为，其自变量x的取值范围为．
已知二次函数y＝2(x－b)2＋b2＋1 (b为常数)，当ｂ取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，图中的实线型抛物线分别是ｂ取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上(图中虚线型抛物线)，求出这条顶点抛物线的解析式．
如图，抛物线y＝x2在第一象限内经过的整数点依次为 A1、A2、A3、…．将抛物线y＝x2沿直线L：y＝x向上平移，得一系列抛物线m1、m2、m3、…，且满足条件：① 顶点都在直线L上；②依次经过点A1、A2、A3、…．试写出抛物线m2016的解析式．
22.F.3 变换规律题
阅读：当抛物线的表达式中含有字母系数时，抛物线的顶点坐标的变化规律．如：由抛物线y＝x2－2mx＋m2＋2m－1，得y＝(x－m)2＋ 2m－1． ∴抛物线的顶点坐标为(m，2m－1) 可见，不论m取任何实数，抛物线顶点都满足关系式：y ＝2x－1．问题：(1)在上述过程中，用到的数学方法有． (2)确定抛物线y＝x2－2mx＋2m2－3m＋1顶点纵坐标

中考数学26题

1.如图，在直角梯形ABCD 中，90,60D BCD B ∠=∠=︒∠=︒，AB = 6，AD = 9，点E 是CD 上的一个动点（E 不与D 重合），过点E 作EF ∥AC ，交AD 于点F （当E 运动到C 时，EF 与AC 重合），把DEF ∆沿着EF 对折，点D 的对应点是点G ，如图①. （1）求CD 的长及1∠的度数；（2）设,DE x GEF =∆与梯形ABCD 重叠部分的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并求x 为何值时，y 的值最大？最大值是多少？（3）当点G 刚好落在线段BC 上时，如图②，若此时将所得到的EFG ∆沿直线CB 向左平移，速度为每秒1个单位，当E 点移动到线段AB 上时运动停止. 设平移时间为t （秒），在平移过程中是否存在某一时刻t ，使得ABE ∆为等腰三角形？若存在，直接写出t 的值；若不存在，请说明理由.2在直角梯形ABCD 中，AD//BC,90=∠D ,AD=6,BC=14,DC=4,边长为2的正方形EFGH 自左向右在直线BC上以1个单位/秒的速度运动，H 、E 、B 、C 在同一直线上，从E 、B 重合到E 、C 重合时停止运动，若运动时间为t 秒，连接AC 。

（1）经过多少秒时，正方形EFGH 的对角线EG 所在直线经过点A ；（2）在平移过程中，正方形EFGH 与梯形ABCD 重叠部分的面积为S ，直接写出S 与t 之间的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围；（3）若BC 的中点为P,直线HG 、EF 与折线B-A-C 分别交于M 、N,是否存在这样的t 值，使以P 、M 、N 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出相应的t 值；若不存在，请说明理由。

3.如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，5,6,12AB DC AD BC ====，点P 从点B 出发沿折线段BA AD DC --以每秒1个单位长的速度向点C 匀速运动；点Q 从点C 出发沿线段CB 方向以每秒35个单位长的速度匀速运动，过点Q 向上作射线QK BC ⊥，交折线段CD DA AB --于点E ；点P 、Q 同时开始运动，当点P 与点C 重合时停止运动，点Q 也随之停止，设P 、Q 运动的时间为t 秒(t ＞0). (1)当点P 运动到AD 上时，t 为何值时能使PQ ∥DC ？(2)设射线QK 扫过梯形ABCD 的面积为s ，求s 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围； (3)在整个运动过程中，PDQ ∆4.已知：如图1，菱形ABCD 的边长为6，60B ∠=。

2024年北京市中考数学试题 (真题)

2024年北京市初中学业水平考试数学试卷考生须知：1.本试卷共6页，共两部分.三道大题，28道小题。

满分100分。

考试时间120分钟。

2.在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。

3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4.在答题卡上.选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.B.C.D.2.如图，直线AB 和CD 相交于点O ，OE OC ⊥，若58AOC ∠=︒，则EOB ∠的大小为（）A.29︒B.32︒C.45︒D.58︒3.实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A.1b >- B.2b > C.0a b +> D.0ab >4.若关于x 的一元二次方程240x x c -+=有两个相等的实数根，则实数c 的值为（）A.16- B.4- C.4D.165.不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（）A.34B.12C.13D.146.为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为17410⨯Flops （Flops 是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到m Flops ，则m 的值为（）A.16810⨯ B.17210⨯ C.17510⨯ D.18210⨯7.下面是“作一个角使其等于AOB ∠”的尺规作图方法.（1）如图，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C ，D ；（2）作射线O A ''，以点O '为圆心，OC 长为半径画弧，交O A ''于点C '；以点C '为圆心，CD 长为半径画弧，两弧交于点D ¢；（3）过点D ¢作射线O B ''，则A O B AOB '''∠=∠.上述方法通过判定C O D COD '''△≌△得到A O B AOB '''∠=∠，其中判定C O D COD '''△≌△的依据是（）A.三边分别相等的两个三角形全等B.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等C.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等D.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等8.如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，O 为对角线的交点.将菱形ABCD 绕点O 逆时针旋转90︒得到菱形A B C D ''''，两个菱形的公共点为E ，F ，G ，H .对八边形BFB GDHD E ''给出下面四个结论：①该八边形各边长都相等；②该八边形各内角都相等；③点O 到该八边形各顶点的距离都相等；④点O 到该八边形各边所在直线的距离都相等。

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(10n)如图，直线y＝k1x＋b与反比例函数y=k2/x的图象交于A(1，6)，B(a，3)两点． ⑴求k1、k2的值； ⑵直接写出k1x+b-k2/x＞0时ｘ的范围； ⑶如图，四边形OBCD中，BC//OD，OB＝CD，OD边在 x轴上，过点C作CE⊥OD于点Ｅ，CE和反比例函数的图象交于点P，当四边形OBCD的面积为12时，请判断PC和PE 的大小关系，并说明理由．
(14n)如图，在直角梯形OABC中，BC//AO，∠AOC＝ 90°，点A、B的坐标分别为(5，0)、(2，6)，点D为AB上一点，且BD＝2AD，双曲线y＝k/x(k＞0)经过点Ｄ，交 BC于点Ｅ． ⑴求双曲线的解析式； ⑵求四边形ODBE的面积．
(13n)如图，矩形OABC的顶点A、C分别在ｘ轴和ｙ轴上，点Ｂ的坐标为(2，3)．双曲线y＝k/x(x＞0)的图象经过BC的中点Ｄ，且与AB交于点Ｅ，连接DE． ⑴求ｋ的值及点Ｅ的坐标； ⑵若点Ｆ是OC边上一点，且△FBC∽△DEB，求直线FB 的解析式．
26.F.3 几道中考题
(11n)如图，一次函数y1＝k1x＋2与反比例函数y2＝k2/x 的图象交于点A(4，m)和B(-8，-2)，与y轴交于点C． ⑴k1＝，k2＝； ⑵根据函数图象可知，当y1＞y2时，x的范围是； ⑶过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上：S△ODE＝3：1时，求点P的坐标．