【走向高考】高三数学一轮复习 9-4直线与圆、圆与圆的位置关系课件 北师大版
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2023届一轮复习北师大版 直线与圆、圆与圆的位置关系 课件(56张)
过点(0,4)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点．若|AB|＝2 2，
则 k 的值为( )
A．－14
B．14 C．－34
D．34
D 解析：已知圆 C：(x－4)2＋(y－2)2＝r2 截 y 轴所得的弦长为 2 2， 所以圆心坐标为(4,2)，半径为 r， 则 42＋( 2)2＝r2，解得 r＝3 2． 由于过点(0,4)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，|AB|＝2 2， 则设直线 l 的方程为 y＝kx＋4， 由点到直线的距离公式可得：|4k－1＋2＋k24|＝ 3 22－ 22，解得 k ＝43．
(1)若圆(x＋1)2＋y2＝m 与圆 x2＋y2－4x＋8y－16＝0 内切，
则实数 m 的值为( )
A．1
B．11
C．121
D．1 或 121
D 解析：对 x2＋y2－4x＋8y－16＝0 进行整理，可得(x－2)2＋(y ＋4)2＝36，故两圆的圆心坐标为(－1,0)，(2，－4)，半径分别为 m， 6．因为圆(x＋1)2＋y2＝m 与圆 x2＋y2－4x＋8y－16＝0 内切，所以圆 心距 d 满足 d＝|r2－r1|，即 2＋12＋－42＝| m－6|，解得 m＝1 或 121．
3．圆 C1：x2＋(y－1)2＝1 与圆 C2：(x＋4)2＋(y－1)2＝4 的公切线
的条数为( )
A．4
B．3
C．2
D．1
A 解析：两圆的圆心距|C1C2|＝4>2＋1，所以两圆外离，两圆
的公切线有 4 条．
4．(2021·长春质检)圆 x2＋y2＝4 与圆 x2＋y2－4x＋4y－12＝0 的
(2)已知两圆 C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0 和 C2：x2＋y2－10x－12y ＋45＝0．
2025年高考数学一轮复习-9.4-直线与圆、圆与圆的位置关系【课件】
第九章
第四节
直线与圆、圆锥曲线
直线与圆、圆与圆的位置关系
必备知识·逐点夯实
核心考点·分类突破
【课标解读】
【课程标准】
1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
【核心素养】
数学抽象、数学运算、逻辑推理.
【命题说明】
考向
考法
(3)若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点,反之也成立.(
×
)
提示:(3)若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点;若两圆有且只有一个公共点,则两
圆外切或内切,故(3)错误;
(4)若两圆有公共点,则|r1-r2|≤d≤r1+r2.(
√
)
提示:(4)若两圆有公共点,则两圆外切或相交或内切,所以|r1-r2|≤d≤r1+r2,故(4)正确.
2.当两圆外切时,两圆有一条内公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线;当两圆内
切时,两圆有一条外公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线.
3.两圆相交时公共弦的性质
圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(12 +12 -4F1>0)与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2 =0(22 +22 -
x= 或x+2 y-5 =0
______________________.
【解析】由圆C方程知:圆心C(0,1),半径r= 2;
当过P的直线斜率不存在,即直线方程为
x= 2时,直线与圆C相切;
设过P点且斜率存在的圆C的切线方程为y-2=k(x- 2),即kx-y- 2k+2=0,
第四节
直线与圆、圆锥曲线
直线与圆、圆与圆的位置关系
必备知识·逐点夯实
核心考点·分类突破
【课标解读】
【课程标准】
1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
【核心素养】
数学抽象、数学运算、逻辑推理.
【命题说明】
考向
考法
(3)若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点,反之也成立.(
×
)
提示:(3)若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点;若两圆有且只有一个公共点,则两
圆外切或内切,故(3)错误;
(4)若两圆有公共点,则|r1-r2|≤d≤r1+r2.(
√
)
提示:(4)若两圆有公共点,则两圆外切或相交或内切,所以|r1-r2|≤d≤r1+r2,故(4)正确.
2.当两圆外切时,两圆有一条内公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线;当两圆内
切时,两圆有一条外公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线.
3.两圆相交时公共弦的性质
圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(12 +12 -4F1>0)与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2 =0(22 +22 -
x= 或x+2 y-5 =0
______________________.
【解析】由圆C方程知:圆心C(0,1),半径r= 2;
当过P的直线斜率不存在,即直线方程为
x= 2时,直线与圆C相切;
设过P点且斜率存在的圆C的切线方程为y-2=k(x- 2),即kx-y- 2k+2=0,
北师大版高三数学一轮复习课件：第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
考点一 直线与圆的位置关 系1】 (1)已知点 M(a，b)在圆 O：x2＋y2＝1 外，则直线 ax＋by＝1 与圆 【训练
O 的位置关系是( ) A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 (2)(2017· 大连双基测试)圆 x2＋y2＝1 与直线 y＝kx＋2 没有公共点的充要条件 简答 是________．
考点一 系
直线与圆的位置关
解析 (2)当直线经过点(0，1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时 m＝1； |m| 当直线与圆相切时有圆心到直线的距离 d＝ ＝1， 32 1＋ 3
2 3 解得 m＝ (切点在第一象限)， 3 2 3 所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则 1＜m＜ . 3 答案 (2)D
|a－3＋4| 则有 ＝2 2，即|a＋1|＝4， 2
所以 a＝3 或－5.
但当 a＝3 时，直线 y＝x＋4 与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8 一定相切，
故“a＝3”是“直线 y＝x＋4 与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8 相切”的充分不必要
条件．
答案 (1)A
3 【例 1】(2)直线 y＝－ x＋m 与圆 x2＋y2＝1 在第一象限内有两个不同的交点， 3 则 m 的取值范围是( ) 简答 3 2 3 2 3 A.( 3，2) B.( 3，3) C. ， D.1， 3 3 3
考点一 系
直线与圆的位置关
规律 方法 判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用 d 与 r 的关系． (2)代数法：联立方程之后利用 Δ 判断． (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与 圆相交． 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问 题．
9.4直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习
位置关系
相离
相切
相交
方程观点
<
Δ___0
Δ___0
=
Δ___0
>
几何观点
d___r
>
d___r
=
d___r
<
图形
量化
微点拨 判断直线与圆的位置关系,常用几何法而不用代数法.
微思考 当某直线所过定点A在圆上时,该直线与圆有何位置关系?
提示:直线与圆相交或相切.
2.圆与圆的位置关系
设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=12 (r1>0),圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=22 (r2>0).
4F2>0)相交时:
(1)将两圆方程直接作差,消去x2,y2得到两圆公共弦所在直线方程;
(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦;
(3)x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R,λ≠-1)表示过两圆交点的圆系方
程(不包括C2).
基础诊断·自测
类型
辨析
改编
易错
高考
一组实数解
___________
1
内含
0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)
无解
_____
0
3.直线被圆截得的弦长
(1)几何法:弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形,弦长|AB|=2 2 − 2 .
(2)代数法:设直线y=kx+m与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0相交于点M,N,代入,消去y,得关于x
相离
相切
相交
方程观点
<
Δ___0
Δ___0
=
Δ___0
>
几何观点
d___r
>
d___r
=
d___r
<
图形
量化
微点拨 判断直线与圆的位置关系,常用几何法而不用代数法.
微思考 当某直线所过定点A在圆上时,该直线与圆有何位置关系?
提示:直线与圆相交或相切.
2.圆与圆的位置关系
设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=12 (r1>0),圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=22 (r2>0).
4F2>0)相交时:
(1)将两圆方程直接作差,消去x2,y2得到两圆公共弦所在直线方程;
(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦;
(3)x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R,λ≠-1)表示过两圆交点的圆系方
程(不包括C2).
基础诊断·自测
类型
辨析
改编
易错
高考
一组实数解
___________
1
内含
0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)
无解
_____
0
3.直线被圆截得的弦长
(1)几何法:弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形,弦长|AB|=2 2 − 2 .
(2)代数法:设直线y=kx+m与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0相交于点M,N,代入,消去y,得关于x
9-4直线与圆、圆与圆的位置关系2019高三一轮复习课件
(4)从两相交圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两 圆的公共弦所在的直线方程． ( )
(5)过圆 O： x2＋y2＝r2 上一点 P(x0， y0)的圆的切线方程是 x0x＋y0y ＝r2.
基础诊断
(
考点突破
)
解析 (1)“k＝1”是“直线 x－y＋k＝0 与圆 x2＋y2＝1 相交”的充 分不必要条件． (2)除外切外，还有可能内切． (3)两圆还可能内切或内含． 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
基础诊断
考点突破
2．(2015· 安徽卷改编)直线 3x＋4y＝b 与圆 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 相 切，则 b 的值是________． 解析 圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心(1,1)到直线 3x |7－b| ＋4y＝b 的距离为 ＝1，解得 b＝2 或 b＝12. 5 答案 2 或 12
基础诊断
考点突破
(2)当直线的斜率不存在时，直线方程为 x＝2，此时，圆心到直线的 距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时， 设直线方程为 y－4＝k(x－2)，即 kx－y＋4－2k＝0，∵直线与圆相 |k－1＋4－2k| |3－k| 切， ∴圆心到直线的距离等于半径， 即 d＝ ＝ 2 2 ＝ 2 k ＋－1 k ＋1 1，
得 x－y＋2＝0. 2 又圆 x ＋y ＝4 的圆心到直线 x－y＋2＝0 的距离为 ＝ 2. 2
2 2
由勾股定理得弦长的一半为 4－2＝ 2， 所以，所求弦长为 2 2. 答案 2 2
基础诊断 考点突破
考点一
直线与圆的位置关系
【例 1】 (1)“a＝3”是“直线 y＝x＋4 与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8 相 切”的 ________ 条件 ( 从“充分不必要”“必要不充分”“充 要”“既不充分也不必要”中选填一个)． 3 (2)直线 y＝－ 3 x＋m 与圆 x2＋y2＝1 在第一象限内有两个不同的 交点，则 m 的取值范围是________．
高考数学一轮复习 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系课件
怎 么 考
从高考内容上来看直线与圆、圆与圆的位置关系
是命题热点，题型多为选择、填空题，着重考查圆的切 线与弦长的问题，难度中低档，注重数形结合思想的考 查应用.
一、直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半 径为r) 相离 图形 相切 相交
方程
量化 观点 几何 观点
＜ 0
＝ 0
＞ 0
d
＞ r
d ＝ r
d
＜
r
二、圆与圆的位置关系(⊙O1、⊙O2半径r1、r2，d＝
|O1O2|)
相离 图形 量的 |r1－r2|＜ d＝ |r 1 d＜r1＋r2 －r2| 外切 相交r2 d＝r1＋r2
d＜|r1－ r2 |
1．(教材习题改编)直线l：y－1＝k(x－1)和圆x2＋y2－ 2y＝0的位置关系是 A．相离 B．相交 ( )
3π π ∴ AMB ＝ ， ANB ANB ＝ .
2
2
∴ AMB － ANB＝π.
答案： C
[冲关锦囊]
解析：由题意知圆心为(－2,2)，r＝4. 则圆心到直线的距离d＝ 2. 又∵r＝4，∴|AB|＝2 14.
答案：2 14
5．已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－ 4x＋2y－11＝0，则两圆的公共弦所在的直线方程为
________，公共弦长为________．
解析：设两圆的交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则A、B两
3 3 C．[－ ， ] 3 3
3 3 D．(－∞，－ )∪( ，＋∞) 3 3
[自主解答]
整理曲线C1方程得，(x－1)2＋y2＝1，知曲线C1
为以点C1(1,0)为圆心，以1为半径的圆；曲线C2则表示两条直 线，即x轴与直线l：y＝m(x＋1)，显然x轴与圆C1有两个交 点，知直线l与x轴相交，故有圆心C1到直线l的距离d＝ |m1＋1－0| 3 3 <r＝1，解得m∈(－ 3 ， 3 )，又当m＝0时，直 2 m ＋1 线l与x轴重合，此时只有两个交点，应舍去．
高考数学一轮复习 104直线与圆、圆与圆的位置关系课件
说明：k 为切线斜率，同时应考虑斜率不存在的情况．
4．圆与圆的位置关系的判定 设⊙C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1＞0)， ⊙C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2＞0)，则有
□ |C1C2|＞r1＋r2⇔⊙C1 与⊙C2 8 ____；
□ |C1C2|＝r1＋r2⇔⊙C1 与⊙C2 9 ____；
3．求过点 P(x0，y0)的圆 x2＋y2＝r2 的切线方程 (1)若 P(x0，y0)在圆 x2＋y2＝r2 上，
则以 P 为切点的圆的切线方程为□7 ____________.
(2)若 P(x0，y0)在圆 x2＋y2＝r2 外，则过 P 的切线方程可设为 y －y0＝k(x－x0)，利用待定系数法求解．
□ |r1－r2|＜|C1C2|＜r1＋r2⇔⊙C1 与⊙C2 10 ____； □ |C1C2|＝|r1－r2|(r1≠r2)⇔⊙C1 与⊙C2 11 ____； □ |C1C2|＜|r1－r2|⇔⊙C1 与⊙C2 12 ____.
答案：
●一点建议 直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结 合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的， “代数法”侧重于“数”，更多倾向于“坐标”与“方程”；而 “几何法”则侧重于“形”，利用了图形的性质．解题时应根据 具体条件选取合适的方法．
＝0，∴|2k－kk2＋＋1
3|＝2，解得
k＝
3 3.
∴切线方程为 y－ 3＝ 33(x－1)，即 x－ 3y＋2＝0.
答案：D
3．若直线 3x＋y＋a＝0 过圆 x2＋y2＋2x－4y＝0 的圆心，则 a
的值为( )
A．－1
B．1
C．3
D．－3
解析：由已知得圆的圆心为(－1,2)，则 3×(－1)＋2＋a＝0， ∴a＝1.
4．圆与圆的位置关系的判定 设⊙C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1＞0)， ⊙C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2＞0)，则有
□ |C1C2|＞r1＋r2⇔⊙C1 与⊙C2 8 ____；
□ |C1C2|＝r1＋r2⇔⊙C1 与⊙C2 9 ____；
3．求过点 P(x0，y0)的圆 x2＋y2＝r2 的切线方程 (1)若 P(x0，y0)在圆 x2＋y2＝r2 上，
则以 P 为切点的圆的切线方程为□7 ____________.
(2)若 P(x0，y0)在圆 x2＋y2＝r2 外，则过 P 的切线方程可设为 y －y0＝k(x－x0)，利用待定系数法求解．
□ |r1－r2|＜|C1C2|＜r1＋r2⇔⊙C1 与⊙C2 10 ____； □ |C1C2|＝|r1－r2|(r1≠r2)⇔⊙C1 与⊙C2 11 ____； □ |C1C2|＜|r1－r2|⇔⊙C1 与⊙C2 12 ____.
答案：
●一点建议 直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结 合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的， “代数法”侧重于“数”，更多倾向于“坐标”与“方程”；而 “几何法”则侧重于“形”，利用了图形的性质．解题时应根据 具体条件选取合适的方法．
＝0，∴|2k－kk2＋＋1
3|＝2，解得
k＝
3 3.
∴切线方程为 y－ 3＝ 33(x－1)，即 x－ 3y＋2＝0.
答案：D
3．若直线 3x＋y＋a＝0 过圆 x2＋y2＋2x－4y＝0 的圆心，则 a
的值为( )
A．－1
B．1
C．3
D．－3
解析：由已知得圆的圆心为(－1,2)，则 3×(－1)＋2＋a＝0， ∴a＝1.
高三数学一轮复习课件 第九章 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
心的距离|C1C2|等于
A.4
B.4 2
√C.8
D.8 2
解析 因为圆C1，C2和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，所以两圆都在第一 象限内，设圆心坐标为(a，a)，
则|a|＝ a－42＋a－12，
解得 a＝5＋2 2或 a＝5－2 2，
可取 C1(5＋2 2，5＋2 2)，C2(5－2 2，5－2 2)， 故|C1C2|＝ 4 22＋4 22＝8，故选 C.
思维升华
(1)判断两圆位置关系的方法 常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断， 一般不用代数法.重视两圆内切的情况，作图观察. (2)两圆相交时，公共弦所在直线方程的求法 两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到. (3)两圆公共弦长的求法 求两圆公共弦长，常选其中一圆，由弦心距d，半弦长 2l ，半径r构成直角三 角形，利用勾股定理求解.
基础自测
JICHUZICE
题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( × ) (2)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在 的直线方程.( × ) (3)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.( √ ) (4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B， 则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.( √ ) (5)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切.( √ )
(2)过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为_2___2_. 解析 设 P(3,1)，圆心 C(2,2)，则|PC|＝ 2，半径 r＝2， 由题意知最短的弦过P(3,1)且与PC垂直， 所以最短弦长为 2 22－ 22＝2 2.
【走向高考】高三数学一轮复习 9-4直线与圆、圆与圆的位置关系课件 北师大版
[答案] A [解析] 解法 1：设切线 y＋1＝k(x－ 3)，
即 kx－y－ 3k－1＝0. 则圆心(0，－2)到切线距离等于圆的半径 2， |1－ 3k| ∴ 2 ＝2，∴k＝－ 3， 1＋k ∴切线方程为 3x＋y－2＝0.
解法 2：∵切点 A( 3，－1)与圆心 C(0，－2)的连线应 与切线垂直． 1 ∴切线斜率 k＝－k ＝－ 3， AC ∴切线方程为 y＋1＝－ 3(x－ 3)，即 3x＋y－2＝0. 解法 3：∵切点 A( 3，－1)在切线上， ∴排除 B、C、D.
程为__________．
[答案] (x＋1)2＋y2＝2
[解析] 本题考查了求解圆的方程．
令 y＝0，x＝－1，∴圆心坐标为(－1,0)， 由点到直线的距离公式得， |－1＋0＋3| 圆的半径 R＝ ＝ 2， 2 ∴圆的标准方程为(x＋1)2＋y2＝2.
6． 若圆 x2＋y2＝4 与圆 x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共 弦的长为 2 3，则 a＝____________.
考纲解读 1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置
关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；
2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题； 3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
考向预测
1．直线与圆、圆与圆的位置关系一直是高考考查的 重点和热点问题． 2．本部分在高考试题中多为选择题和填空题，有时 在解答题中考查直线与圆位置关系的综合问题．
知识梳理 1．直线与圆的位置关系
设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，
圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，设d为圆心(a，b)到直 线 l 的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二
全国版高考数学一轮复习第九章9-4直线与圆圆与圆的位置关系课件理北师大版
|AB|=6,则r的值为
.
答案 5
解析如图.
∵|AB|=6,∴|AD|=3.
圆x2+y2=r2的圆心为(0,0).
圆心到直线的距离|CD|=
∴|AC|=5,即r=5.
|8|
=4,
1+3
5.(2020天津,12)已知直线x- 3 y+8=0和圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点.若
|AB|=6,则r的值为
C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(22 + 22 -4F>0)交点的圆系方程为
x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)(该圆系不含圆 C2,解题时,
注意检验圆 C2 是否满足题意,以防漏解).
【考点自诊】
1.判断下列结论是否正确,正确的画“ ”,错误的画“×”.
D.
4.(2020全国2,理5)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线
2x-y-3=0的距离为(
A.
5
5
3 5
C.
5
)
2 5
B. 5
4 5
D.
5
答案 B
解析 由题意可知,圆心在第一象限.
设圆心为(a,a)(a>0),则(2-a)2+(1-a)2=a2,
解得 a=1 或 a=5.当 a=1 时,圆心为(1,1),此时圆心到直线 2x-y-3=0 的距离为
点共圆且直线AB的方程是x0x+y0y=r2.(
)
(5)联立两相交圆的方程,并消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公
.
答案 5
解析如图.
∵|AB|=6,∴|AD|=3.
圆x2+y2=r2的圆心为(0,0).
圆心到直线的距离|CD|=
∴|AC|=5,即r=5.
|8|
=4,
1+3
5.(2020天津,12)已知直线x- 3 y+8=0和圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点.若
|AB|=6,则r的值为
C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(22 + 22 -4F>0)交点的圆系方程为
x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)(该圆系不含圆 C2,解题时,
注意检验圆 C2 是否满足题意,以防漏解).
【考点自诊】
1.判断下列结论是否正确,正确的画“ ”,错误的画“×”.
D.
4.(2020全国2,理5)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线
2x-y-3=0的距离为(
A.
5
5
3 5
C.
5
)
2 5
B. 5
4 5
D.
5
答案 B
解析 由题意可知,圆心在第一象限.
设圆心为(a,a)(a>0),则(2-a)2+(1-a)2=a2,
解得 a=1 或 a=5.当 a=1 时,圆心为(1,1),此时圆心到直线 2x-y-3=0 的距离为
点共圆且直线AB的方程是x0x+y0y=r2.(
)
(5)联立两相交圆的方程,并消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公
高三数学一轮(北师大)课件：第9章 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系
的思想.
课前自主导学
• 1.直线与圆的位置关系
• 设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，
• 圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，设d为圆心(a ，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程， 消元后得到的一方元法二次几方何法程的判代数别法式为Δ.
位置关系
相交
d_<_r
Δ_>_0
可得 |a2| ＝1，即 a＝± 2. ∴p⇒q 而 q⇒/ p，∴p 是 q 的充分而不必要条件．
• 5．(2015·安徽示范高中摸底)已知O为坐标
原点，圆C：x2＋y2＋x－6y＋3＝0与直线l： x＋2y－3＝0的两个交点为P，Q，则∠POQ ＝________.
• [答案]
[解析]
9x20＋°y2＋x－6y＋3＝0，
＋y2＝4.
• 两圆圆心分别为O1(0,1)，O2(0,0)，半径分别 为r1＝1，
• r ＝2.
4．已知 p：“a＝ 2”，q：“直线 x＋y＝0 与圆 x2＋(y－ a)2＝1 相切”，则 p 是 q 的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] 由直线 x＋y＝0 与圆 x2＋(y－a)2＝1 相切，
x＋2y－3＝0
⇒P(1,1)，Q(－3,3)，
∵O→P·O→Q＝0，
∴∠POQ＝90°.
6．直线 l：y＝k(x＋3)与圆 O：x2＋y2＝4 交于 A，B 两点，
|AB|＝2 2，则实数 k＝________.
[答案]
14 ±7
[解析] 由已知可求出圆心 O 到直线 l 的距离 d＝ 2，
即
1|3＋k| k2＝
高考数学一轮复习第九章解析几何9.4直线与圆、圆与圆的位置关系课件文北师大版
=
2√55
5
.
关闭
解析
解析
第九页，共28页。
答案
答案
10--10
知识(zhī
shi)梳理
双基自测(zì
cè)
自测(zì cè)点
评
1.对于圆的切线问题,一定要区分好是过圆上一点的切线,还是过圆外一
点的切线.
2.利用圆这种几何图形的特殊性,多考虑用几何的方法解决位置关
系、切线问题和弦长问题.
第十页，共28页。
方程为x0x+y0y=r2.
第四页，共28页。
-5知识(zhī
shi)梳理
双基自测(zì
cè)
自测(zì cè)
点评
1
3
2
4
5
1.下列结论正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)若直线与圆组成的方程组有解,则直线与圆相交或相切.(
)
(2)若两个圆的方程组成的方程组无解,则这两个圆的位置关系为外
切.(
第十九页，共28页。
--20
20考点
(kǎo
diǎn)1
考点
(kǎo
diǎn)3
考点
(kǎo
diǎn)2
解得
2√6
k<1- 或
3
6-2
x1+x2=-
1+
2√6
k>1+ .
3
2 ,y1+y2=k(x1+x2)+6=
2+6
2,
1+
= + =(x1+x2,y1+y2), =(1,-3),
?
2√3
(1)B (2)D 1<m< .
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24＝0(m∈R)． (1)求证：不论m为何值，圆心在同一直线l上；
(2) 与l 平行的直线中，哪些与圆分别相交、相切、相
离． [分析] 大小． (1)用配方法将圆的一般方程配成标准方程， 求圆心坐标，消去m.(2)比较圆心到直线的距离与圆半径的
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第二章
函数与基本初等函数
[解析]
(1)证明：配方得(x－3m)2＋[y－(m－1)]2＝25. 消去 m，
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第二章
函数与基本初等函数
7．直线 l 经过点 P(5,5)，且与圆 x2＋y2＝25 相交，截得 弦长为 4 5，求 l 的方程．
[解析] 若直线 l 的斜率不存在， 直线 l： x＝5 与圆相切，
所以直线 l 的斜率存在， 设其斜率为 k， 则 l： y－5＝k(x－5)． 由圆心到直线的距离、弦的一半、半径构成直角三角形 得：25＝(2 5)
函数与基本初等函数
3．圆 x2＋y2＋4y＝0 在点 P( 3，－1)处的切线方程为 ( A. 3x＋y－2＝0 C. 3x－y＋4＝0 B. 3x＋y－4＝0 D. 3x－y＋2＝0 )
[答案] A [解析] 解法 1：设切线 y＋1＝k(x－ 3)，
即 kx－y－ 3k－1＝0. 则圆心(0，－2)到切线距离等于圆的半径 2， |1－ 3k| ∴ 2 ＝2，∴k＝－ 3， 1＋k ∴切线方程为 3x＋y－2＝0.
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第二章
函数与基本初等函数
3 k＝4时，直线 l 的方程为 3x－4y＋20＝0. 又直线 l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为 x ＝0. ∴所求直线的方程为 3x－4y＋20＝0 或 x＝0. 方法 2 设所求直线的斜率为 k，则直线的方程为 y－5 ＝kx，即 y＝kx＋5，
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第二章
函数与基本初等函数
[例 2]
已知点 P(0,5)及圆 C
x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.
(1)若直线 l 过 P 且被圆 C 截得的线段长为 4 3，求 l 的方程； (2)求过 P 点的圆 C 的弦的中点的轨迹方程．
[分析]
(1)根据弦长求法，求直线方程中的参数；(2)
[解析]
(1)证明：l：mx－y＋1－m＝0 的方程可化为
y－1＝m(x－1)，其恒过定点 P(1,1)． ∵|PC|＝ 1＋12＋1－22＝ 5<r＝ 6， ∴点 P 恒在圆 C 内，∴直线 l 与圆 C 恒交于两点． (2)由(1)及平面几何知识知，当 l 垂直于 PC 时，直线 l 2－1 1 被圆 C 截得的弦长最小，又 kPC＝ ＝－ ， 2 －1－1 1 ∴kl＝－k ＝2， PC ∴所求直线 l 的方程为 y－1＝2(x－1)，即 2x－y－1＝ 0.
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第二章
函数与基本初等函数
5 ． (2010· 天津文) 已知圆 C 的圆心是直线 x － y ＋ 1 ＝ 0 与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方
程为__________．
[答案] (x＋1)2＋y2＝2
[解析] 本题考查了求解圆的方程．
令 y＝0，x＝－1，∴圆心坐标为(－1,0)， 由点到直线的距离公式得， |－1＋0＋3| 圆的半径 R＝ ＝ 2， 2 ∴圆的标准方程为(x＋1)2＋y2＝2.
2
|5k－5| 2 ＋ 2 ， 1＋k
1 ∴k＝2或 k＝2. ∴所求直线方程为 x－2y＋5＝0 或 2x－y－5＝0.
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第二章
函数与基本初等函数
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第二章
函数与基本初等函数
[例1]
已知圆 x2 ＋y2－6mx －2(m－1)y ＋10m2 －2m－
3 A.－4，0 C. － 3 B.－∞，－4∪[0，＋∞) 2 D.－3，0
)
3 3 ， 3 3
[答案] A
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第二章
函数与基本初等函数
[解析]
如图，取 MN 中点为 H，连 CH、CN，则△
CHN 为 Rt△，又 HN＝ 3.R＝2，故 CH＝1.由 HN≥ 3 |3k＋1| 知圆心到直线的距离等于 CH 2 ≤1. k ＋1 3 3 ∴－4≤k≤0，故斜率范围是[－4，0]，选 A.
由垂直关系找等量关系．
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第二章
函数与基本初等函数
[解析]
(1)方法 1
如图所示， AB＝4 3， D 是 AB 的中
点，CD⊥AB，AD＝2 3，AC＝4， 在 Rt△ACD 中，可得 CD＝2. 设所求直线的斜率为 k，则直线的方程为 y－5＝kx， 即 kx－y＋5＝0. 由点 C 到直线 AB 的距离公式： |－2k－6＋5| 3 ＝2，得 k＝ . 4 k2＋－12
＋y2＋2x－11y＋30＝0.
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第二章
函数与基本初等函数
[点评]
在研究弦长及弦中点问题时，可设弦AB两端
点的坐标分别为 A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2) ． (1) 若 OA⊥OB(O 为
原点)，则可转化为x1x2＋y1y2＝0，再结合根与系数的关系
等代数方法简化运算过程，这在解决垂直关系问题中是常 用的；(2)若弦AB的中点为(x0，y0)，圆的方程为x2＋y2＝r2，
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第二章
函数与基本初等函数
(2011· 启东调研 ) 已知圆 C ： (x ＋ 1)2 ＋ (y － 2)2 ＝ 6 ，直
线l：mx－y＋1－m＝0.
(1)求证：无论m取什么实数，直线l与圆C恒交于两点； (2)求直线l被圆C截得的弦长最小时l的方程．
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第二章
函数与基本初等函数
y＝kx＋5， 联立直线与圆的方程 2 2 x ＋y ＋4x－12y＋24＝0，
消去 y，得(1＋k2)x2＋(4－2k)x－11＝0，① 设方程①的两根为 x1，x2，
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第二章
函数与基本初等函数
x ＋x ＝2k－4 2， 1 2 1＋k 由根与系数的关系得 x x ＝－ 11 ， 1 2 1＋k2 由弦长公式得 1＋k2|x1－x2| ＝ 1＋k2[x1＋x22－4x1x2]＝4 3， 3 将②式代入，解得 k＝4， 此时直线方程为 3x－4y＋20＝0.
②
又 k 不存在时也满足题意，此时直线方程为 x＝0. ∴所求直线的方程为 x＝0 或 3x－4y＋20＝0.
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第二章
函数与基本初等函数
v
(2)设过 P 点的圆 C 的弦的中点为 D(x，y)， →· → ＝0， 则 CD⊥PD，即CD PD (x＋2，y－6)· (x，y－5)＝0，化简得所求轨迹方程为 x2
第二章
函数与基本初等函数
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第二章
函数与基本初等函数
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第二章
函数与基本初等函数
考纲解读 1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置
关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；
2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题； 3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
考向预测
x＝3m， 设圆心为(x，y)，则 y＝m－1，
得 l：x－3y－3＝0， 则不论 m 为何值，圆心恒在直线 l：x－3y－3＝0 上．
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第二章
函数与基本初等函数
(2)设与 l 平行的直线是 l1：x－3y＋b＝0， 则圆心到直线 l1 的距离为 |3m－3m－1＋b| |3＋b| d＝ ＝ . 10 10 ∵圆的半径为 r＝5， ∴当 d<r， 即－5 10－3<b<5 10－3 时， 直线与圆相交； 当 d＝r，即 b＝± 5 10－3 时，直线与圆相切； 当 d<r， 即 b<－5 10－3 或 b>5 10－3 时， 直线与圆相 离．
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第二章
函数与基本初等函数
2． 直线 ax－y＋ 2a＝0 关系是( )
(a≥0)与圆 x2＋y2＝9 的位置
A．相离 C．相切
B．相交 D．不确定
圆心 O(0,0)到直线 ax－y＋ 2a＝0 的距离
[答案] B
[解析] 2a d＝ 2 ≤1<3. a ＋1
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末页Байду номын сангаас
第二章
a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0).
方法 位置关系 相离 相外切 相交 几何法：圆心距d 与r1，r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|<d<r1＋r2 代数法：两圆方程联立 组成方程组的解的情况 无解 一解 两解
相内切
内含
d＝|r1－r2| (r1≠r2)
0≤d<|r1－r2| (r1≠r2)
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第二章
函数与基本初等函数
4 ． P(x0 ， y0) 在圆 x2 ＋ y2 ＝ r2(r>0) 上，则以 P 为切点的
切线方程为 x0x＋y0y＝r2
.
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第二章
函数与基本初等函数
基础自测 1．(2010· 江西理)直线 y＝kx＋3 与圆(x－3)2＋(y－2)2 ＝4 相交于 M，N 两点，若|MN|≥2 3，则 k 的取值范围是 (