1、函数、极限、连续
函数的极限与连续性
函数的极限与连续性在数学中，函数的极限与连续性是两个重要的概念。
极限用于描述函数在某一点附近的趋近行为，而连续性则刻画了函数在整个定义域内的无间断性。
本文将深入探讨函数的极限与连续性的概念、性质以及应用。
1. 函数的极限函数的极限是指当自变量趋近于某一特定值时，函数对应的因变量的趋近行为。
数学上，我们用极限运算符来表示函数的极限，通常表示为lim f(x) = L，其中lim表示趋近的极限运算符，f(x)为给定函数，L为函数在点x趋近的极限值。
函数的极限具有以下性质：- 唯一性：如果函数存在极限，那么极限值是唯一的。
- 有界性：如果函数存在有限极限，那么函数在该点附近是有界的。
- 保号性：如果函数在某一点的极限存在且大于（或小于）零，那么该点附近的函数值都大于（或小于）零。
2. 函数的连续性函数的连续性是指函数在定义域内没有断裂或跳跃的特性。
具体而言，若函数f在某一点x=a处的极限存在且等于函数在该点的函数值f(a)，则称函数在点x=a处连续。
若函数在定义域上的每一点都连续，则称函数在该定义域上连续。
函数的连续性具有以下性质：- 初等函数的连续性：多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数在其定义域上都是连续的。
- 代数运算的连续性：两个连续函数的和、差、积仍为连续函数；若除数函数在某点不为零，那么商函数在该点连续。
- 复合函数连续性：若f(x)在点x=a处连续，g(x)在点y=f(a)处连续，那么复合函数g(f(x))在x=a处连续。
函数的极限与连续性在数学分析、微积分等领域有广泛的应用。
例如，极限理论为无穷小和无穷大的引入提供了基础，连续性可以帮助我们判断函数的可导性以及求解方程和不等式等问题。
总结起来，函数的极限与连续性是数学中重要的概念。
函数的极限描述了函数在某一点附近的趋近行为，而连续性则刻画了函数整个定义域内的无间断性。
这些概念具有各自的性质和应用，在数学的许多领域中都发挥着重要的作用。
函数的极限函数的连续性
对于函数极限有如下的运算法则：
如果，lim f (x) A, lim g(x) B
xxo
xxo
那么,
lim [ f (x) g(x)] A B
xxo
lim [ f (x) g(x)] A B
xxo
f (x) A
lim
(B 0)
xxo g(x) B
当C是常数，n是正整数时 lim [Cf (x)] C lim f (x)
1 (x 0)
（2）讨论函数f（x）= ［0,3］上的连续性
x x3
在区间
例7 讨论下列函数在给定点处的连
续性 （1）f (x) x2 4
x2
点x 2；
（2）f (x)
x 2
1,0 x,1
x x
1，
3
点 x 1 ；
； https:///gpcq/ 除权
极限问题的基本类型：
分式型，主要看分子和分母的首项系 数指各；数式型有(极00限和； 型），通过变形使得 根式型(∞─∞型)，通过有理化变形使 得各式有极限；
例1 求下列各极限
lim
x2
(
4 x2
4
x
1
) 2
x lim x0 | x |
lim
xπ 2
co
s
cos x 2
x s in
记作 lim f(x)=a或者当x→－∞时，f(x)→a x
(3)如果
lim
x
f(x)=a且
lim
x
f(x)=a，那么就
说当x趋向于无穷大时，函数f(x)的极限
是a，记作：lim f(x)=a或者当x→∞时， x
函数极限连续重要概念公式定理
函数极限连续重要概念公式定理函数的极限、连续是微积分中非常重要的概念。
它们是帮助我们研究函数性质、计算导数和积分的基础。
下面我们将详细介绍函数极限和连续的概念、常用公式和定理。
一、函数极限函数的极限是指当自变量趋向一些特定值时，函数的取值是否趋于确定的结果。
极限表示函数在其中一点的趋势和变化情况。
函数极限的概念可以分为以下几个层次：1.无穷极限当自变量趋向无穷大或无穷小时，函数的极限称为无穷极限。
常见的无穷极限有以下几种形式：- 当$x\rightarrow+\infty$时，$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=L$，表示当$x$趋向正无穷时，函数$f(x)$的极限为$L$。
- 当$x\rightarrow-\infty$时，$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=L$，表示当$x$趋向负无穷时，函数$f(x)$的极限为$L$。
- 当$x\rightarrow+\infty$时，$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty$，表示当$x$趋向正无穷时，函数$f(x)$的极限为正无穷。
- 当$x\rightarrow-\infty$时，$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty$，表示当$x$趋向负无穷时，函数$f(x)$的极限为负无穷。
2.有限极限当自变量趋向一些有限值时，函数的极限称为有限极限。
常见的有限极限有以下形式：- 当$x\rightarrow a$时，$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$，表示当$x$趋向$a$时，函数$f(x)$的极限为$L$。
3.间断点函数在一些点上不具有有限的极限时，称该点为函数的间断点。
常见的间断点有以下几种类型：- 第一类间断点：当$x\rightarrow a$时，函数极限不存在且左右极限存在，即$\lim_{x\rightarrow a^-}f(x)$和$\lim_{x\rightarrowa^+}f(x)$存在，但不相等。
经典-高数第1章：函数、极限与连续
重要结论：
基本初等函数在 其定义域上 都是连续的
函数的复合
复合函数的定义 y f x
y f u
是由u x
和 x
注意： 域内
复合而成的函数
的值域应落在f(x)的定义
理解：可以理解为换元法的过程
反三角函数 f(x)=arcsinx
初等函数
注意：高中阶段对反三角函数介绍较少，
等价无穷小（注意：不是等阶）
等价无穷小的转移定理
注意：表达 方法
无穷小量
等价无穷小转移定理的应用
经典题型
比较无穷小量的高低阶 证明无穷小(大) 求特殊的极限 计算极限中的系数值
应用
函数的连续
函数连续的定义
函数在x0连续的三个条件
函数在x0及其左右有定义 函数在x0的极限存在 函数在x0的极限值等于该点的函数值，即
经典题型：怎么判断一个表达式是不是函 数？
最主要的判断方法：一个x是对应了几个y值
定义域
自变量x的取值范围 经典题型：求定义域关注哪些要点？
①分母不能为零； ②偶次根号下非负； ③对数的真数大于零； ④正切符号下的式子不等于kπ +π /2；
值域
因变量y的值的集合
经典题型
与定义域或∞有关的极限计算
0/0型
解法：通常分子分母可以化简、消项
∞/ ∞型 解法：分子、分母同时除以最高项
极限
带有开方型 解法：有理化分子（注意：是有理化 分子）
换元法
无穷小量
无穷小量定义
注意：一定要讲函数 是在趋于某个值x0时 的无穷小，否则，趋 于另外一个值时，有 可能就不是无穷小了
函数,极限与连续
定义 1 表明，函数在某点连续含有三层意思：
它在该点的一个邻域内有定义，极限存在且极限 值等于该点处的函数值.
例 1 证明函数 y = sin x 在其定义域内连续 . 证 任取 x0 (- , + )，则因
有定义， 如果
x 0
lim y 0.
则称函数 y = f (x) 在 x0 处连续.
若函数 y = f (x) 在点 x0 处有：
x x0
lim f ( x ) f ( x 0 ) 或 lim f ( x ) f ( x 0 ) ，
x x0
则分别称函数 y = f (x) 在 x0 处是左连续或右连续.
a O c b x y = f (x)
例 9 证明方程 x3 - 4x2 + 1 = 0 在 (0, 1) 内至 少有一个实根.
证
设 f (x) = x3 - 4x2 + 1，由于它在 [0, 1]
上连续且 f (0) = 1 > 0， f (1) = - 2 < 0，因此由推 论可知，至少存在一点 c (0, 1) ，使得 f (c) = 0. 这表明所给方程在 (0, 1) 内至少有一个实根 .
sin(x a ) lim x a ( x a ) cos a cos x
令 x – a t ，由 x a，则 t 0.
sint 1 1 上式 lim lim . 2 t 0 t cos a cos(t a ) t 0 cos a cos(t a ) cos a
因 此 lim y 0. 这表明 y = sin x 在 x0 处连续，
高等数学-第1章--函数、极限和连续§1.3无穷小和无穷大
旧课复习（5′） 1．数列的极限；2．函数的极限； 3．极限的四则运算； 4、两个重要极限 新课内容§1.3 无穷小与无穷大（53'）1、无穷小定义如果 lim ()0x f x →ℜ=，则称ℜ→x x f 是)(时的无穷小量，简称无穷小。
例如，函数24y x =-是当2x →时的无穷小，因为2lim(24)0x x →-=，注：（1）不要把无穷小与很小的数混为一谈。
无穷小表达的是量（函数）变化状态，而不是量的大小。
一个量不管多么小，都不是无穷小量。
零是惟一可作为无穷小的常数。
（2）说一个函数是无穷小，必须指明自变量的变化趋势。
2、无穷大定义当x →ℜ时，()f x 无限增大，则称)(x f 是x →ℜ时的无穷大量，简称无穷大。
记作lim ()x f x →ℜ=∞。
例如，11lim1x x →=∞-，2lim x x →∞=∞。
注：（1）不要把无穷大与很大的数混为一谈。
（2）说一个函数是无穷大，必须指明自变量的变化趋势。
（3）按极限的定义，为无穷大的函数的极限是不存在的，但为了讨论问题方便起见，我们也说“函数的极限是无穷大”。
3、无穷大与无穷小的关系 如果lim ()x f x →ℜ=∞，那么1lim0()x f x →ℜ=； 如果lim ()0x f x →ℜ=（lim ()0x f x →ℜ≠），那么1lim()x f x →ℜ=∞。
证明从略。
例1：计算分析：分母的极限为0，不能用商的极限法则。
分子的极限不为0，如果将分式倒过来则极限为0，因此可以根据无穷大与无穷小的关系计算此极限。
2123lim54x x x x →-=∞-+ 例2 计算2332lim 21x x x x →∞++-。
分析：∞→x 时分子∞→，分母∞→，不能使用商的极限法则，可以考虑分子分母同时除以分母的最高次幂3x解 23233232lim lim 021211x x x x x x x x x→∞→∞++==+-+-。
函数的极限函数的连续性
例7 讨论下列函数在给定点处的连
续性 （1）f (x) x2 4
x2
点x 2 ；
（2）f (x)
x 2
1,0 x,1
x x
1，
3
点 x 1 ；
记作 xlimf(x)=a或者当x→－∞时，f(x)→a
(3)如果
lim
x
f(x)=a且
xlimf(x)=a，那么就
说当x趋向于无穷大时，函数f(x)的极限
是a，记作：lxim f(x)=a或者当x→∞时，
f(x)→a
常lxi数mf函(x数)存f(在x)，=c表(x示∈Rxli)m， f有(x)lx和imxlifm(xf)(=xc)
x xo
lim[ f (x) g(x)] A B
x xo
lim f (x) A (B 0) xxo g(x) B
当C是常数，n是正整数时 lim[Cf(x)]Climf (x)
xxo
xxo
lim[ f (x)]n [lim f (x)]n
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱo
xxo
这些法则对于的情况仍然适用
例2求下列函数的极限：
lim
x
3x 2 (x
1 1) 3
lim
x2
x2 x2
1 x
2
lim
x1
2
x x2
2 1 x
1
lim (
x1
x2 x2
3 1
x
1
) 1
（1）讨论函数
f（x）=
1 0
(x 0), (x 0),在点x 0处的连续性;
1 (x 0)
（2）讨论函数f（x）= ［0,3］上的连续性
函数极限和连续性
第一章 函数、极限和连续性内容提要：1.函数实质上是自变量与因变量之间按照一定法则的对应关系。
函数的概念及各种性质在考研数学中一般不作为直接的考点。
但函数是微积分的基本研究对象，绝大多数知识点都直接或间接地与函数相关，相当大的一部分题目中也要直接或间接地用到函数的各种性质。
因此，在开始微积分的学习之前，重温一遍函数的主要内容是必要的。
函数部分需要重点掌握的内容有：复合函数，分段函数的运算，反函数的概念及计算，函数的奇偶性和有界性。
2.极限是这一章的主要内容，也是整个学科的理论基础。
学习本章的核心任务是熟练掌握各种极限的计算方法，极限计算的方法牵涉到方方面面的理论，在后续很多章节都有涉及，总结起来主要有：利用四则运算，利用两个重要极限，利用等价无穷小替换，利用洛必达法则，利用变量替换，分别求左右极限，数列极限转化为函数极限，利用夹逼原理，利用单调有界原理，利用泰勒公式，利用定积分的定义等。
对于极限的计算需要大量的练习，以求熟能生巧，对各种方法融会贯通。
无穷大量和无穷小量的概念是这一部分的另一重要内容。
它们既是对极限计算的应用，又可以反过来帮助我们求极限。
学习时，要理解无穷大量和无穷小量的概念及它们的关系，重点掌握无穷小量的比较方法，理解无穷小量的高阶、同阶、等价的概念并能用等价无穷小替换计算极限。
3.函数的连续性是函数的基本性质之一，微积分中研究的函数都是连续函数或仅在有限个点间断的函数。
对函数连续性的考查也是考研数学的重要内容，考题主要集中在连续性的讨论及间断点的分类上。
对函数连续性的考查本质上还是考查极限的计算。
另外，闭区间上连续函数的性质也是需要考生有所了解的内容。
第一节 函数Ⅰ考点精讲一．基本概念1.函数：从实数集的子集D 到R 的一个映射f 称之为函数，记作(),y f x x D =∈，称x 为自变量，y 为因变量。
函数的三要素：定义域、解析式和值域（也作二要素：定义域、解析式，因为这两者可以决定值域）。
第1讲函数、极限和连续
第一讲函数、极限和连续一、考点1、理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式和函数值，尤其注意分段函数，还应会做出简单的分段函数的图像2、理解和掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性，会判断所给函数的类型3、了解原函数和其反函数之间的关系，会求简单的函数的反函数，注意理解两个函数之间的自变量和因变量之间的关系4、理解和掌握函数的四则运算与复合运算，熟练掌握复合函数的复合过程5、掌握基本初等函数的简单性质和图像6、理解极限的概念，能根据极限概念分析函数的变化趋势，会求函数在一点处的左极限和右极限，了解函数在一点处极限存在的充要条件7、了解函数的有关性质，掌握极限的四则运算8、理解无穷大量、无穷小量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量和无穷大量的关系，会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶、等阶）会运用等阶无穷小量代换求极限9、熟练掌握两个重要的极限，最重要的是要明白它们的标准形式，利用它们来简化求极限10、掌握洛必达法则，会用洛必达法则求00、∞∞、∞ - ∞，0⋅∞，00，1∞，∞0型未定式的极限11、理解函数在一点处连续和间断的概念，掌握判断简单函数在一点的连续性，理解函数在一点连续与极限存在的关系，会求函数的间断点及确定其类型12、掌握在闭区间上连续函数的性质，会运用介值定理推证一些简单的命题13、理解初等函数在其定义域上连续，会用连续求极限二、例题类型一、求函数的定义域或连续区间及其表达式例 1、求下列函数y=sin x + 1-x2的定义域。
例 2、 f (x ) = 1 -1x (x ≠ 0, x ≠ 1) ，求 f [ f (x )]例 3、设 f (x ) = ⎧1 + x , x < 0 ，求 f [ f (x )]⎨⎩1, x ≥ 01类型二、求函数的值域例 4、求下列函数的值域x +1（1） y = 3 - x 2 - 4x + 9 ；（2） y =； x + 2类型三、函数的性质（奇偶性、有界性、单调性和周期性） 例 5、（1）设函数 f (x ) = [x ] - x , - ∞ < x < +∞ ，则此函数是（ ）A 、有界函数B 、奇函数C 、偶函数D 、无界函数⎧ 3, x ∈[-3, 0]⎪x是（ ）(2) 函数 f (x ) = ⎨⎪-x 3, x ∈ (0, 2]⎩A. 有界函数B. 奇函数C. 偶函数D. 周期函数（3）函数 f (x ) =x sin xe cos x, 在(-∞,+∞)上是 （）A 、有界函数B 、偶函数C 、单调函数D 、周期函数类型四、极限的定义、求简单极限值、极限性质（局部有界性、唯一性、保号性、收敛性）例 6、(1)、 lim(-n n +1 n - 2) = ________.n →∞（2）若 lim( a + x ) = 3，则 a = _______x →11 - x 2x -12(3)若 lim ( x 2+1 + ax + b ) = 2, 则 a = ____, b = _____x →+∞ x +1（4）已知 f (x ) = lim ln(e n + x n) (x > 0) ，求 f (x ) （12 年）n n →∞（5）已知 f (x ) = lim x 2n-1 ，求 f (x ) （16 年）n →∞x 2n+1类型五、无穷大与无穷小例 7、(1) 设当时 x → 0 ， f (x ) 与 g (x ) 均为 x 的同阶无穷小量，则下列命题正确的是（ ） A. f (x ) + g (x ) 一定是 x 的高阶无穷小 B. f (x ) - g (x ) 一定是 x 的高阶无穷小 C. f (x )g (x ) 一定是 x 的高阶无穷小D. f (x ) (g (x ) ≠ 0) 一定是 x 的高阶无穷小g (x) 2(2) 设当 x → 0 时，函数 f (x ) = x - sin x 与 g (x ) = ax n 是等价无穷小，则常数 a ，n 的值为（ ） A. a = 1， n = 3 B. a = 1 ， n = 3 C. a = 1 ， n = 4 D. a = 1 ， n = 43 612 63sin x + x 2 cos 1(3) 极限 limx= （）(1 + cos x ) ⋅ln(1 + x )x→0Ａ. 3Ｂ. 3 Ｃ. 0 Ｄ. 不存在2（4） lim cot x ( 1 - 1) =________.sin xx →0 x类型六、抓大头准则、夹逼准则、单调有界准则、两个重要的极限例 8、（1） lim(cos x ⋅tan 1 + 2x 2+ x +1x x 2-1 ) = ________.x →∞（2） lim(1 +2 + + n ) = ________.n 2+ n + 1 n 2 + n + 2 n 2 + n + nn →∞(3) lim[1 +1 + +1 ]n=________2 ⋅3 n (n +1)n →∞1⋅ 2(4) 设 lim(1 + 2)kx = e -6 ，则 k = ________x →∞ x(5) 极限 lim 2n sinx =_________2nn →∞1(6)极限 lim(cos x ) x =_______x →0(7) 求 lim⎰0x2(1 + t )e tdt = （ ）x 2 e x 2x →0A. 1B. -1C. 0D. 不存在（8）求极限 lim ln(sin 2x + e x) - x = _____ln( x 2 + e 2 x) - 2xx→0类型七、洛必达法则（ 00 、 ∞∞ 、 ∞ - ∞ ， 0 ⋅∞ ， 00 ，1∞ ， ∞0型）例 9、求下列函数的极限π - arctan x 1 -1 1（1） lim 2 ； （2） lim cos x（3） lim( -) ； 1 x tan x x →+∞x →0+x (1 - cos x ) x →0x311（4） lim( x + 1 + x 2) x ； （5） lim(1 - sin 3x ) ；tan x x →∞x →01（6） lim(cos x ) ln(1+ x 2 ) 。
函数极限连续重要概念公式定理
一、函数、极限、连续重要概念公式定理(一)数列极限的定义与收敛数列的性质数列极限的定义:给定数列{}n x ,如果存在常数A ,对任给0ε>,存在正整数N ,使当n N >时,恒有n x A ε-<,则称A 就是数列{}n x 的当n 趋于无穷时的极限,或称数列{}n x 收敛于A ,记为lim n n x A →∞=、若{}n x 的极限不存在,则称数列{}n x 发散、收敛数列的性质:(1)唯一性:若数列{}n x 收敛,即lim n n x A →∞=,则极限就是唯一的.(2)有界性:若lim n n x A →∞=,则数列{}n x 有界,即存在0M >,使得对n ∀均有n x M ≤、(3)局部保号性:设lim n n x A →∞=,且()00A A ><或,则存在正整数N ,当n N >时,有()00n n x x ><或、(4)若数列收敛于A ,则它的任何子列也收敛于极限A 、(三)函数极限存在判别法 (了解记忆)1.海涅定理:()0lim x x f x A →=⇔对任意一串0n x x →()0,1,2,n x x n ≠=L ,都有 ()lim n n f x A →∞=.2、充要条件:(1)()()0lim ()lim lim x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=⇔==; (2)lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x f x A →∞→+∞→-∞=⇔==、3、柯西准则:()0lim x x f x A →=⇔对任意给定的0ε>,存在0δ>,当100x x δ<-<,200x x δ<-<时,有()()12f x f x ε-<、4、夹逼准则:若存在0δ>,当00x x δ<-<时,有)()()x f x x ϕφ≤≤（,且0lim ()lim (),x x x x x x A ϕφ→→==则lim ()x x f x A →=、5、单调有界准则:若对于任意两个充分大的1212,,x x x x <,有()()12f x f x <(或()()12f x f x >),且存在常数M ,使()f x M <(或()f x M >),则()lim x f x →+∞存在、(四)无穷小量的比较 (重点记忆)1、无穷小量阶的定义,设lim ()0,lim ()0x x αβ==、(1)若()lim0()x x αβ=,则称()x α就是比)x β（高阶的无穷小量、 (2)()lim ,())()x x x x ααββ=∞若则是比（低阶的无穷小量、 (3)()lim (0),())()x c c x x x ααββ=≠若则称与（就是同阶无穷小量、 (4)()lim 1,())()x x x x ααββ=若则称与（是等价的无穷小量,记为()()x x αβ~、 (5)()lim(0),0,())()k x c c k x x k x ααββ=≠>若则称是（的阶无穷小量 2、常用的等价无穷小量 (命题重点,历年必考) 当0x →时,sin arcsin tan ~,arctan ln(1)e 1x xx x x x x ⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪+⎪-⎪⎭()211cos ~2(1)1~x x x x ααα-+-是实常数 (五)重要定理 (必记内容,理解掌握)定理1 000lim ()()()x x f x A f x f x A -+→=⇔==、定理2 0lim ()()(),lim ()0x x x x f x A f x A a x a x →→=⇔=+=其中、定理3 (保号定理):0lim (),0(0),0x x f x A A A δ→=><∃>设又或则一个,当000(,),()0(()0)x x x x x f x f x δδ∈-+≠><且时，或、定理4 单调有界准则:单调增加有上界数列必有极限;单调减少有下界数列必有极限、 定理5 (夹逼定理):设在0x 的领域内,恒有)()()x f x x ϕφ≤≤（,且lim ()lim (),x x x x x x A ϕφ→→==则0lim ()x x f x A →=.定理6 无穷小量的性质:(1)有限个无穷小量的代数与为无穷小量; (2)有限个无穷小量的乘积为无穷小量; (3)无穷小量乘以有界变量为无穷小量.定理7 在同一变化趋势下,无穷大量的倒数为无穷小量;非零的无穷小量的倒数为无穷大量. 定理8 极限的运算法则:设()()lim ,lim f x A g x B ==,则 (1)lim(()())f x g x A B ±=± (2)lim ()()f x g x A B =⋅ (3)()lim(0)()f x AB g x B= ≠ 定理9 数列的极限存在,则其子序列的极限一定存在且就等于该数列的极限. 定理10 初等函数在其定义域的区间内连续. 定理11 设()f x 连续,则()f x 也连续.(六)重要公式 (重点记忆内容,应考必备)(1)0sin lim1x xx→=(2)11lim(1)e,lim(1)e n xx n x n→→∞+=+=、(通过变量替换,这两个公式可写成更加一般的形式:设()lim 0f x =,且()0f x ≠则有()()sin lim1f x f x =,()()1lim 1f x f x e +=⎡⎤⎣⎦)(3)10110100110,lim,,n n n n m m x m m n m a x a x a x a a n m b b x b x b x b n m---→∞-⎧ <⎪++++⎪= =⎨++++⎪⎪∞ >⎩L L . (4)函数()f x 在0x x =处连续()()()000f x f x f x -+⇔==、 (5)当x →+∞时,以下各函数趋于+∞的速度()ln ,0,(1),a x xx x a a a x >>→+∞速度由慢到快()ln ,0,(1),!,a n nn n a a a n n >>→+∞速度由慢到快(6)几个常用极限)01,n a >=1,n = limarctan 2x x π→+∞=lim arctan 2x x π→-∞=-lim arccot 0,x x →+∞= lim arccot x x π→-∞=lim e 0,x x →-∞= lim e ,x x →+∞=∞ 0lim 1x x x +→=、 (七)连续函数的概念1、 ()f x 在0x x =处连续,需满足三个条件:①()f x 在点0x 的某个领域内有定义②()f x 当0x x →时的极限存在③()()00lim x x f x f x →=()()0000lim lim 0x x x y f x x f x ∆→→⇔∆=+∆-=⎡⎤⎣⎦、 2、 ()f x 在0x 左连续:()f x 在(]00,x x δ-内有定义,且()()00lim x x f x f x -→=、 3、 ()f x 在0x 右连续:()f x 在[)00,x x δ+内有定义,且()()00lim x x f x f x +→=、 4、 ()f x 在(),a b 内连续:如果()f x 在(),a b 内点点连续.5、 ()f x 在[],a b 内连续:如果()f x 在(),a b 内连续,且左端点x a =处右连续,右端点x b =处左连续.(八)连续函数在闭区间上的性质 (重点记忆内容)1.有界性定理:设函数()f x 在[],a b 上连续,则()f x 在[],a b 上有界,即∃常数0M >,对任意的[],x a b ∈,恒有()f x M ≤.2.最大最小值定理:设函数()f x 在[],a b 上连续,则在[],a b 上()f x 至少取得最大值与最小值各一次,即,ξη∃使得:()(){}[]max ,,a x bf f x a b ξξ≤≤=∈; ()(){}[]min ,,a x bf f x a b ηη≤≤=∈、3.介值定理:若函数()f x 在[],a b 上连续,μ就是介于()f a 与()f b (或最大值M 与最小值m )之间的任一实数,则在[],a b 上至少∃一个ξ,使得()().f a b ξμξ=≤≤.4.零点定理:设函数()f x 在[],a b 上连续,且()()0f a f b ⋅<,则在(),a b 内至少∃一个ξ,使得()()0.f a b ξξ=<<(九)连续函数有关定理1.连续函数的四则运算:连续函数的与、差、积、商(分母在连续点处的数值不为零)仍为连续函数.2.反函数的连续性:单值、单调增加(减少)的连续函数,其反函数在对应区间上也单值、单调增加(减少)且连续.3.复合函数的连续性:()u x ϕ=在点0x 连续,()00x u ϕ=,而函数()y f u =在点0u 连续,则复合函数()y f x ϕ=⎡⎤⎣⎦在点0x 连续.4.初等函数的连续性:一切初等函数在其定义区间内就是连续函数.(十)间断点的定义及分类1.定义:若在0x x =处,()0lim x x f x →不存在,或()0f x 无定义,或()()00lim x x f x f x →≠,则称()f x 在0x x =处间断,0x x =称为()f x 的间断点.2.间断点的分类。
第一章 函数、极限与连续
第一章 函数 极限 连续知识点拔1.1 函数一、函数的概念设D 是一个非空数集，若存在一个对应法则f ，使得对D 内的每一个值x 都有唯一的y 值与之对应，则称这个对应法则f 是定义在数集D 上的一个函数，记作：)(x f y =，其中x 叫自变量，y 叫因变量或函数，数集D 称为函数的定义域，而数集}),(|{D x x f y y z ∈==叫函数的值域.如果D x ∈0，称函数)(x f 在0x 处有定义，函数)(x f 在0x 处的函数值记为0x x y =或)(0x f .注释:①函数定义的两个要素：定义域和对应法则；②两个函数相等条件：定义域和对应法则都相同的两个函数是相同函数，如：22)(2---=x x x x f 与1)(+=x x g 不同，因定义域不同；x x f 2sin )(=与x x g sin )(=不同，因对应法则不同；x x x x f 222cos sin )(++=与1)(2+=t t g 相同，也就是当两上函数的定义域和对应法则都相同时，即使其自变量所用的字母不同，但两个函数相同.③若定义域内的每一个x 只对应一个函数值y ，则称该函数为单值函数，若同一个x 值可对应于多于一个的函数值y ，这种函数称为多值函数.二、函数的基本性质1、函数的单调性：设函数在区间D 上有定义，如果对2121,x x D x x <∈∀且，恒有)()(21x f x f <（或)()(21x f x f >），则称)(x f 在区间D 上严格单调增加（或严格单调减少）的.如果对于D x x ∈∀21,21x x <且，有)()(21x f x f ≤ (或)()(21x f x f ≥)称)(x f 在区间D 上是单调增加（或单调减少）的.注释：（1）函数的有界性与单调性是与某个区间密切相关的，区间不同函数的有界性与单调性也不同.（2）增+增=增，增-减=增，减+减=减，减-增=减，增的倒数为减，减的倒数为增. （3）增函数与增函数或减函数与减函数的复合为单调增加函数. （4）增函数与减函数或减函数与增函数的复合为单调减少函数.2、函数的奇偶性：设D 是对称于原点的区间，若对D x ∈∀，)()(x f x f -=-有，则称)(x f 是奇函数；若有)()(x f x f =-，称)(x f 是偶函数.注释：①奇（偶）函数的定义域必须是关于原点对称的区间. ②奇函数)(x f 的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称. ③奇偶函数的运算性质1°奇函数的代数和仍为奇函数；偶函数的代数和仍为偶函数；奇函数与偶函数的代数和为非奇非偶函数；2°偶数个奇（或偶）函数的积为偶函数；奇数个奇函数的积为奇函数； 3°一奇一偶函数的积是奇函数；4°奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数；5°奇函数的原函数是偶函数；偶函数)(x f 的原函数⎰=xa dt t f x F )()(是奇函数的充要条件是0=a ，即在所有原函数中只有一个函数是奇函数.④任何一个定义域是关于原点对称的函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数和的形式，即=)(x f 2)()(2)()(x f x f x f x f -++--.3、函数的有界性：设)(x f 在区间D 上有定义，如果存在0>M ,使得对一切D x ∈都有M x f ≤)(，则称)(x f 在D 上有界，否则称为无界，即对0>∀M ，若存在D x ∈0，使得M x f >)(，称)(x f 在D 上是无界的.注释：函数的有界性与x 的取值区间有关. 若函数xy 1=在区间),1(+∞上有界，但在)1,0(内是无界的，因为在这个区间上函数满足定义的M 不存在，即函数的有界性与x 的取值区间有关.4、函数的周期性：设)(x f 的定义域为D ，若存在常数0>T ，伎得对D x ∈∀，必有D T x ∈±，并且有)()(x f T x f =+成立，则称)(x f 是以T 为周期的周期函数，T 称为函数)(x f 的周期，所有周期中的最小正周期叫函数)(x f 的周期.注释：①周期函数的定义域必须是无限点集，但不能是有限区间. 如：x y tan =的定义域是（+∞∞-,）且....,2,1,0,2=+≠k k x ππ②若)(x f 的周期为T ，则)(φω+x f 的周期为ωT(0≠ω)；③周期函数的和、差、积仍为周期函数，且周期为各个函数周期的最小公倍数，如：x x y 3cos 4sin +=周期是32,42ππ的最小公倍数π2，但也有例外，如：x sin ,x cos 的周期为2π，但x x y cos sin +=的周期为π；④周期函数的导数仍为周期函数，且周期不变； ⑤设)(x f 是周期为T 的函数，则它的原函数⎰=xadt t f x F )()(为周期函数的充要条件是0)(0=⎰Tdx x f ，或者说，周期函数的原函数不一定是周期函数，如：x x f cos 1)(+=是以2π为周期的函数，但其任一个原函数C x x x F ++=sin )(不是周期函数.⑥不是每一个周期函数都有最小正周期的,如:狄利克雷函数⎩⎨⎧=无理数有理数x x y ,0,1任何有理数r 都是它的周期,即若x 为有理数, r x +也是有理数,故有)(1)(r x f x f +==;若x 为无理数, r x +也是无理数,故)(0)(r x f x f +==,可见r 为)(x f 的周期,但它没有最小的正周期. 又如：C y =，C 为常数，它是周期为任意实数且没有最小正周期的周期函数.三、反函数设函数)(x f y =，其定义域为D ，值域为M ，如果对于M 中的某一个y 值（M y ∈），都可以从关系式)(x f y =确定唯一的x （D x ∈）与之对应，这样就确定了一个以y 为自变量的新函数，记为：)(1y fx -=，称函数)(1y f x -=为函数)(x f y =的反函数，它的定义域为M ，值域为D .注释：①习惯上自变量用x 表示，函数用y 表示，因此函数)(x f y =的反函数)(1y f x -=通常表示为)(1x fy -=.②反函数的定义域就是其原来函数的值域；反函数的值域就是原来函数的定义域，且有)]([)]([11x f f x x f f --==.③原来函数)(x f y =与其反函数)(1x fy -=的图像关于x y =对称（前提是在同一坐标系中），)(x f y =的图像与其反函数)(y x φ=的图像重合.④只有一一对应的函数才有反函数.⑤若)(x f 在区间I 内单调⇒)(x f 在区间I 内一定存在单值反函数，反之不一定成立，即若)(x f 在区间I 内存在单值反函数但)(x f 在区间I 内不一定单调，如： ⎩⎨⎧≤≤+≤--=10,101,)(x x x ＜x x f 在区间]1,1[-内存在单值反函数，但它在]1,1[-上不单调.四、复合函数若函数)(x u φ=在0x 处有定义，而)(u f y =在)(00x u φ=处有定义，则)]([x f y φ=称为由)(u f y =和)(x u φ=复合而成的复合函数，u 称为中间变量.注释：①只有当函数)(x u φ=的值域与)(u f y =的定义域的交集不是空集时才构成复合数. ②函数的复合：先利用外层函数关系，再利用内层函数关系而构成，如：设x x f sin )(=，x e x =)(φ，则x e x x f sin )](sin[)]([==φφ.③复合函数的分解：先找到外层函数关系，设其内部整体为中间变量u ，再依次分解，如：21)]sin [arctan(x x y +=，可设)sin arctan(x x u +=,x x v sin +=，则原来函数是由21u y = , v u arctan =，x x v sin +=复合而成.五、初等函数1、基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数这五类函数统称为基本初等函数.2、初等函数：由常数和五类基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次复合运算且可用一个数学解析式表示的函数叫初等函数.注释：初等函数必须用一个式子表示，不能用一个式表示的函数不能称为初等函数，故分段函数一般不是初等函数.3、分段函数：若函数在其定义域内的不同部分上，分别用不同的表达式表示，这类函数称为分段函数.如：符号函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=.0,1,0,0,0,1sgn x x x x 是分段函数且是有界函数和奇函数.又如： x x x x x x x y sgn .0,,0,=⎩⎨⎧<-≥==是分段函数.注释：分段函数一般不是初等函数，但若)(x f 是初等函数，则⎩⎨⎧<-≥==.0)(),(,0)(),()()(2x f x f x f x f x f x f 是初等函数. 又如：取整函数[]x y =，即“不超过x 的最大整数”是分段函数. 又如：定义在R 上的狄利克雷（Dirichlet ）函数⎩⎨⎧=.,0,1)(无理数有理数x ，x x D 是分段函数，且是有界的，)(x D 是周期函数，但没有最小的正周期，任何有理数都是它的周期，并且)(x D 还是偶函数.4、初等函数的几个特例设函数)(x f 和)(x g 都是初等函数，则（1）)(x f 是初等函数，因为=)(x f []2)(x f ；（2）最大值函数max )(=x ϕ{})(),(x g x f 和最小值函数{})(),(min )(x g x f x =ψ都是初等函数，这是因为{}[])()()()(21)(),(max )(x g x f x g x f x g x f x -++==ϕ {}[])()()()(21)(),(min )(x g x f x g x f x g x f x --+==ψ （3）幂指函数)()]([x g x f y = (0)(>x f )是初等函数，因为)(ln )()](ln[)()()]([x f x g x f x g e e x f x g ==.1.2 极限一、数列极限的定义 1、数列极限的概念设}{n x 为数列，a 为定数，若对任给的正数ε，总存在正整数N ，使得当N n >时，有ε<-a x n ，则称数列}{n x 收敛于a ，而a 称为数列}{n x 的极限，记作：a x n n =∞→lim ，或a x n →（∞→n ）.若数列}{n x 没有极限，则称数列}{n x 不收敛，或称}{n x 为发散数列. 若0lim =∞→n n x ，则称}{n x 为无穷小数列.定理 数列}{n x 收敛于a 的充要条件是：}{a x n -为无穷小数列. 2、有界数列的概念对于数列}{n x ，如果存在正数M ，使得对于一切的n x 都有不等式M x n ≤||成立，则称数列}{n x 是有界的；如果这样的正数M 不存在，则称数列}{n x 是无界的.注释：（1）若数列}{n x 收敛，则数列有界；（2）有界数列}{n x 不一定收敛，如：n n a )1(-=有界，但不收敛，所以数列有界是数列收敛的必要条件；（3）C C n =∞→lim （常数）；01lim=∞→p n n （0>p ）；0lim =∞→nn q （1<q ）； （4）等差数列的求和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n 2)1(1-+=. （5）等比数列的前n 项和公式qq a S n n --=1)1(1.3、单调数列的概念对于数列}{n x ，如果满足条件 ≤≤≤≤≤+121n n x x x x ，则称数列}{n x 为单调增加数列；如果满足条件 ≥≥≥≥≥+121n n x x x x ，则称数列}{n x 为单调减少数列.单调增加数列和单调减少数列统称为单调数列. 定理（单调有界准则） 单调有界数列必有极限.二、函数极限1、∞→x 时，函数)(x f 的极限 （1）概念定义 如果当∞→x 时，函数)(x f 无限趋近于某个确定的常数A ，则称常数A 为函数)(x f 当∞→x 时的极限，记作：A x f x =∞→)(lim 或A x f →)(（∞→x ）.注释：（1）∞→x 是指x 的绝对值无限增大，它包含以下两种情况：x 取正值并无限增大，记作：+∞→x ；x 取负值且其绝对值无限增大，记作：-∞→x .（2）如果+∞→x 和-∞→x 两种情况都存在且函数的极限值相等时，则可合并写成∞→x . 定义 如果当+∞→x 时，函数)(x f 无限趋近于某个确定的常数A ，则称常数A 为函数)(x f 当+∞→x 时的极限，记作：A x f x =+∞→)(lim 或A x f →)(（+∞→x ）.如果当-∞→x 时，函数)(x f 无限趋近于某个确定的常数A ，则称常数A 为函数)(x f 当-∞→x 时的极限，记作：A x f x =-∞→)(lim 或A x f →)(（-∞→x ）.（2）函数)(x f 在∞→x 时极限存在的充要条件定理 极限A x f x =∞→)(lim 存在的充要条件是A x f x =+∞→)(lim 且A x f x =-∞→)(lim .如：由于2arctan lim π=+∞→x x ，2arctan lim π-=-∞→x x ，所以x x x x arctan lim arctan lim -∞→+∞→≠，故极限x x arctan lim ∞→不存在；又如：由于0lim =-∞→x x e ，+∞=+∞→x x e lim 即不存在，故极限xx e ∞→lim 不存在.2、0x x →时，函数)(x f 的极限 （1）函数)(x f 在0x x →时的极限概念定义 设函数)(x f 在0x 的某个去心邻域内有定义，如果当0x x →时，函数)(x f 无限地趋近于某一确定的常数A ，则称A 为函数)(x f 当0x x →时的极限，记作：A x f x x =→)(lim 0或Ax f →)(（0x x →）.注释：0x x →表示x 趋近于0x ，含以下两种情况：（1）x 从大于0x 的一侧（即右侧）趋近于0x ，记作：+→0x x ； （2）x 从大于0x 的一侧（即右侧）趋近于0x ，记作：-→0x x .（2）函数左极限与右极限的概念定义 设函数)(x f 在0x 的某个左侧邻域),(00x x δ-（0>δ）内有定义，如果当x 从0x 的左侧趋近于0x （记作：-→0x x ）时，函数)(x f 无限地趋近于某一确定的常数A ，则称A 为函数)(x f 当-→0x x 时的极限，记作：A x f x x =-→)(lim 0或A x f =-)(0或A x f =-)0(0.设函数)(x f 在0x 的某个右侧邻域),(00δ+x x （0>δ）内有定义，如果当x 从0x 的右侧趋近于0x （记作：+→0x x ）时，函数)(x f 无限地趋近于某一确定的常数A ，则称A 为函数)(x f 当+→0x x 时的极限，记作：A x f x x =+→)(lim 0或A x f =+)(0或A x f =+)0(0.（3）函数)(x f 在0x x →时极限存在的充要条件定理 极限A x f x x =→)(lim 0存在的充要条件是A x f x x =-→)(lim 0且A x f x x =+→)(lim 0.注释：该定理主要用来判定分段函数在分段点处极限是否存在的重要定理. （4）几个常用极限01lim=∞→x x ，C C x x =→0lim （常数），0sin lim 0=→x x ，1cos lim 0=→x x ，00lim x x x x =→. （5）初等函数的极限基本初等函数在定义域内任一点0x 的极限等于该点的函数值；初等函数在定义区间内任一点0x 的极限等于该点的函数值.3、函数极限的性质（1）唯一性：若极限)(lim 0x f x x →存在，则它的极限必唯一；（2）局部有界性：若)(li m 0x f x x →存在，则0>∃δ和0>M ，当δ<-<00x x 时，有M x f ≤)(；（3）保序性：设A x f x x =→)(lim 0，B x g x x =→)(lim 0，（Ⅰ）若B A >，则0>∃δ，当δ<-<00x x 时，有)()(x g x f >； （Ⅱ）若当δ<-<00x x 时，有)()(x g x f >，则B A ≥.（4）保号性：若0)(lim 0>=→A x f x x （或<0），则必0>∃δ，当δ<-<00x x 时，有0)(>x f （或0)(<x f ）若0)(>x f （或0)(<x f ），且A x f x x =→)(lim 0，则0≥A （或0≤A ）.注释：①上述的变化趋势0x x →，可以换成-→0x x ，+→0x x ，∞→x ，-∞→x ，+∞→x②若)0(0)(<>或x f ,且A x f x x =→)(lim 0，则0>A )0(<或是错误的，如)0(0)(2≠>=x x x f ，但0)(lim 0=→x f x1.3 极限的运算法则若)(lim x f ，)(lim x g 都存在，则（1）[])(lim )(lim )()(lim x g x f x g x f ±=±；（2）[])(lim )(lim )()(lim x g x f x g x f ±=，特别地)(lim )(lim x f C x Cf =； （3）)(lim )(lim )()(limx g x f x g x f =，其中0)(lim ≠x g ； （4）)]([lim )]([lim x g f x g f =； （5）[],)(lim )(lim )(lim )(x g x g x f x f =其中0)(lim >x f 且不等于1，特别地[]αα)(lim )](lim[x f x f =（α为实数）. 注释：①法则（1）（2）可以推广到有限个函数.②0x x →时有理分式极限的求法设)(x R 是有理分式，01110111)()()(b x b x b x b a x a x a x a x Q x P x R n n n n n n n n m n ++++++++==---- ，其中0≠n a ，0≠n b .（1）若0)(0≠x Q m ，则)()()()(lim 0000x R x Q x P x R m n x x ==→；（2）若0)(0=x Q m ，而0)(0≠x P n ，则∞=→)(lim 0x R x x ；（3）若0)(0=x Q m 且0)(0=x P n ，则)(x P n 与)(x Q m 一定有公因子)(0x x -，将)(x P n 与)(x Q m 因式分解，约去公因式后再计算极限.③∞→x 时有理分式极限的求法⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<∞=>=∞→.,.,.,0)(lim 时当时当时当n m n m b an m x R n n x 其中0≠n a ，0≠n b . ④无理分式极限的求法：先分子或分母有理化，在计算极限 ⑤“∞-∞”型有理分式的求法：先通分，再求极限.1.4 极限存在准则及两个重要极限一、极限存在准则夹逼定理：如果对于0x 的去心邻域内的一切x 都有)()()(x h x f x g ≤≤，且A x h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 0，则有A x f x x =→)(lim 0.二、两个重要极限 1、1sin lim0=→xx x ，1sin lim 0=→x x x ，一般的1sin lim0=∆∆→∆，∆表示任一函数)(x u ，即1)()(sin lim 0)(=→x u x u x u ；2、e xxx =+∞→)11(lim ，e x x x =+→10)1(lim ，一般的e =∆+∆∞→∆)11(lim ，e =∆+∆→∆10)1(lim ，∆表示任一函数)(x u ，即e x u x u x u =+∞→)()())(11(li m ，e x u x u x u =+→)(1)())(1(lim .1.5 无穷小量与无穷大量、无穷小的比较一、无穷小量1、无穷小量的概念若0)(lim 0=→x f x x （或0)(lim =∞→x f x ），则称)(x f 是0x x →（或∞→x ）时的无穷小量，简称无穷小；2、极限与无穷小量的关系α+=⇔=∞→→A x f A x f x x x )()(lim )(0，其中α是0x x →时的无穷小量.|)(|)(lim )(0A x f A x f x x x -⇔=∞→→是0x x →（或∞→x ）时的无穷小量.3、无穷小量的性质（1）有限个无穷小量的和、差、积仍然是无穷小量，（2）有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量。
第一讲：函数的极限与连续
例11求极限
三、连续
（一）．理解函数在一点处连续的概念，函数在一点 处连续与函数在该点处极限存在的关系。会判断分段函数 在分段点的连续性。
连续定义： 例1、(1)如,讨论在处的极限是否存在
(2) 如果存在,求b
（二）．理解函数在一点处间断的概念，会求函数的 间断点，并会判断间断点的类型。
1、找间断点：（1）初等函数---无定义点；（2）分段函数--分段点
在工程中，常以无理数e＝2.718 281 828…作为指数函数和对数 函数的底，并且记，而后者称为自然对数函数。
图1-4
（4）三角函数 三角函数有 正弦函数、 余弦函数、 正切函数、 余切函数、 正割函数和余割函数。 其中正弦、余弦、正切和余切函数的图形见图1-4。
（5）反三角函数
图1-5
反三角函数主要包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数和反 余切函数等．它们的图形如图1-5所示。 （6）常量函数为常数 （为常数）
例2、（1）；（2）；（3）； （4）； （5）； （6）；（7）
（三）．理解“一切初等函数在其定义区间上都是连 续的”，并会利用初等函数的连续性求函数的极限。
（四）．掌握闭区间上连续函数的性质：最值定理(有 界性定理)，介值定理(零点存在定理)。会运用介值定理推 证一些简单命题。
定理1（最值存在定理）：
为自变量在此变化过程中的无穷小量（简称无穷小），记作．其
中“”是简记符号，极限的条件可以是，，中的某一个．
定义2 在自变量的某一个变化过程中，变量的绝对值无限增
大，则称为自变量在此变化过程中的无穷大量（简称无穷大），记作．
其中“”是简记符号，极限的条件可以是，，中的某一个．
2、（无穷小量的代数性质）：
高等数学-函数、极限与连续
(4) g。
能力训练1.1
B组题
1.求下列函数的定义域：
(1) y=1/+5；
(2) y=2/x-；
(3) y=log31/1-x+；(4) y=arcsinx-1/2。
2.设f(x)=，求f(0)， f， f(1)， f。
3.设f(x+1)=x2-3x+2， 求f(x)。
(1) 解析法
(2) 列表法
(3) 图形法
4.分段函数
例2 绝对值函数
例3 符号函数
图 1-3
1.1.2 函数的几种特性
图 1-
4
1.1
函数
1. 函数的有界性
2. 函数的单调性
图 1-5
3. 函数的奇偶性
图 1-6
*例4
讨论函数f(x)=ln(x+)的奇偶性。
1.1
函数
解： 函数f(x)的定义域(－∞， +∞)是对称区间， 因为
题。
1.3.1 数列的极限
1.数列
(1) 1， 1/2， 1/3， 1/4， …， 1/n， …
(2) 1/2， 2/3， 3/4， …， n/n+1， …
(3) 1， -1， 1， -1， 1， …， (-1)n+1， …
(4) 3， 31/2， 32/3， 33/4， …， 4-1/n， …
1.3
4. 函数的周期性
1.1.3 反函数
例5 求y＝3x-1的反函数。
解： 由y＝3x-1得到x＝y+1/3， 然后交换x和y， 得到y＝x+1/3， 即
y＝x+1/3是y＝3x-1的反函数。
函数的极限函数的连续性(2019年12月整理)
(3)如果
lim
x
f(x)=a且
lim
x
f(x)=a，那么就
说当x趋向于无穷大时，函数f(x)的极限
是a，记作：lim f(x)=a或者当x→∞时， x
f(x)→a
常数函数f(x)=c(x∈R)，有lim f(x)=c
函数的极限、函数的连续性
1、函数极限的定义: (1)当自变量x取正值并且无限增大时，如果 函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋 向于正无穷大时，函数f(x)的极限是a
记作：lim f(x)=a，或者当x→+∞时，f(x)→a x
(2)当自变量x取负值并且绝对值无限增大时， 如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x 趋向于负无穷大时，函数f(x)的极限是a
趋向于定值的函数极限概念：
当自变量无限趋近于x0（ x x0）时， 如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就 说当x趋向x0时，函数y=f(x)的极限是a， 记作特别地， lim f (x) a；
xx0
lim C C
x x0
lim
x x0
x
x0
lim f (x) a lim f (x) lim f (x) a
xx0
xx0
xx0
其趋中近于xlxim0x时0 f的(x左) 极 a限表，示当x从左侧
于xxl0im时x0 的f (右x)极 a限表示当x从右侧趋近
对于函数极限有如下的运算法则：
如果，lim f (x) A, lim g(x) B
xxo
xxo
那么,
lim [ f (x) g(x)] A B
函数、极限与连续-极限的定义与性质
第1章 函数,极限与连续第2讲极限地定义与性质主讲教师 |引言为了掌握变量地变化规律,往往需要从它地变化过程来判断它地变化趋势。
一尺之棰,日取其半,万世不竭。
--- 《庄子 • 天下篇》极限思想是研究变量变化趋势地基本工具,也是研究函数地一种基本方法.高等数学地一系列基本概念,都是建立在极限理论基础之上地.01 数列极限地定义本节内容02 数列极限地性质03 函数极限地定义04 函数极限地性质我们知道,按照一定顺序排列地数称为数列,记为其称为数列地第项或通项。
问题:当无限增大时,能否无限接近于某个确定地数值？如果能,是哪个数？引例割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,R 则与圆周合体而无所失矣。
--- 刘徽圆地内接正边形地面积观察下列数列地变化趋势:+∞ : , ……,（2） :1, , , ,……,（3） : -1, 1, -1, 1,……,,……（4） :1, 4,9,16,……,,……Ὅ 定义1.6对于数列当无限增大（）时,若无限趋近于一个确定地常数 ,则称为数列地极限（或称数列收敛于）,记作此时,也称数列地极限存在;否则,称数列地极限不存在（或称数列是发散地）.Ὅ 定义1.7设为一数列, 是常数,如果对于任意 ,存在 ,使当时,有,则称为数列地极限（或称数列收敛于）, 记作几何意义任意给定 ,存在N,当 时,恒有 ,即:当 时,所有地点都落在 内,只有有限个（至多 个）点落在其外。
x 2x 1x N+1x N+2x 3xa a -εa +ε2εx na -εN -1N+1N+2N+3N+4nN 1O 234a a+ε注 释（1）极限定义地关键在于什么是无限增大,什么是无限趋近;（3）研究一个数列地极限,关注地是数列后面无限项地问题,改变该数列前面任何有限多个项,都不能改变这个数列地极限;（2）不是所有地数列都有极限;例如,数列 地极限不存在.用定义证明极限时,关键是确定合适地 N (一般不唯一) !（4）"无限趋近于 "是指数列 后面地任意项与 地距离无限接近零.Ὅ 例1解设,证明:就有,故解得当时显然成立.设且,,由于所以要使,即只需取01 数列极限地定义本节内容02 数列极限地性质03 函数极限地定义04 函数极限地性质Ὅ 定理1.2Ὅ 定理1.3收敛数列地极限是唯一地。
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0
(1) g ( x ) f ( x ) h( x ), ( 2) x lim g ( x ) A, x
( x )
0
x x0 ( x )
lim h( x ) A,
那末 lim f ( x )存在, 且等于
1 2 2 例 求 lim 2 n n n 1 n n2
n 2 n nn
1 1 例 求 lim 2 2 n n 1 n 2
2 n n 1
例 求
1 2 lim 2 2 n n n 1 n n2
sin x tan x cos x cos x cot x sin x tan x sin x sec x
1 倍角公式 sin x (1 cos 2 x) 2 半角公式 sin 2 x 2sin x cos x
2
1 cos x (1 cos 2 x) 2
2
cos 2 x cos 2 x sin 2 x
x x0 ( x )
A.
三、求极限的方法
1、用因式分解、根式有理化消去“0”因子再用极限运算法 则求极限。
2、利用无穷小的运算性质
3、极限的存在准则（夹逼准则、单调有界必有极限）
4、导数的定义
5、洛必达法则 6、定积分的定义 7、变量替换 8、级数的求和
n3 n n n) 例 求 lim( n
y sec x
余割函数
y csc x
y csc x
它们的关系：
平方和关系：
sin x
cos x
1
sin x cos x 1
2 2
tan x
cot x
tan2 x 1 se c2 x
1 cot x csc x
2 2
secx
商 的 关 系 ：
csc x
倒数关系：
tan x cot x 1 sin x csc x 1 cos x sec x 1
x2 , 1 x 0 ln x , 0 x 1 的反函数及其定义域. 2 e x 1 , 1 x 2 y
2
解 : 当 1 x 0 时 , y x ( 0 , 1] , 则 x y , y ( 0 , 1] 当 0 x 1 时, y ln x ( , 0 ] , 则 x e , y ( , 0] 当 1 x 2 时, y 2 e x 1 ( 2 , 2 e ] , y 则 x 1 ln 2 , y ( 2, 2e ] 反函数 y
则 0,当x U ( x0 , )时, f ( x ) 0(或f ( x ) 0).
o x x0
定理 (保序性) 若 l i m f ( x ) A, 且 0,当x U ( x 0 , )时,
x x0
0
f ( x ) 0(或f ( x ) 0), 则A 0(或A 0).
• 数学二：高等数学（78%）、线性代数（22%） 。
函数 ·极限·连续
一、函数
1、函数的定义
（1）定义域 （2）对应关系
2、函数定义的求法 求复杂的定义域，就是求解简单函数的定义域所 构 成的不等式组的解集。 3、函数的基本性质
奇偶行、周期性、有界性、单调性
4、分段函数
5、初等函数
（1）反函数
a (a )
xy
x y
ye
x
e 2.71828
3、对数函数 y loga x
(a 0, a 1) y ln x
y log a x
(1,0)
(a 1)
y log 1 x
a
Hale Waihona Puke loga ( x y ) loga x loga y
y l oga loga y loga x x
（2）复合函数 （3）初等函数
初等函数
（一）基本初等函数
y x (是常数) 1、幂函数 y
y x
x
y x2
1
(1,1)
y
o
1 y x
1
x
2、指数函数
y ax
1 x y( ) a
(a 0, a 1)
y ax
a
x y
a a
x
y
(a 1)
(0,1)
例 求
x
lim (sin x 1 sin x )
( x 1)95 (ax 1)5 32 , 求a的值 例 设 lim 2 50 x ( x 1)
n 2012 A ( 0, ) 求：A 、k 例 设lim k k n n ( n 1)
n3 n n n) 例 求 lim( n
其中 ( x ) 是当 x x 0 时的无穷小.
3、无穷小与无穷大的关系
4、无穷小的运算 5、无穷小的比较
穷小, 且 0. 定义: 设, 是同一过程中的两个无 (1) 如果 lim 0，就说 是比 高阶的无穷小, 记作 o( )； ( ２ ) 如果 lim ，就说 是比 低阶的无穷小． ( 3) 如果 lim C 0, 就说 与 是同阶的无穷小 ; 特殊地， 如果 lim 1, 则称 与 是等价的无穷小 ; 记作 ~ ; (4) 如果 lim C 0, k 0, 就说 是 的 k 阶的无穷小.
k
常用等价无穷小:当x 0时,
①
sin x ~ x ②tan x ~ x
和、差化积
x y x y sin x sin y 2sin cos 2 2 x y x y sin x sin y 2cos sin 2 2 x y x y cos x cos y 2cos cos 2 2 x y x y cos x cos y 2sin sin 2 2
f ( x 0 0) A.
记作 lim f ( x ) A 或
x x0 0 ( x x0 )
定理 : lim f ( x ) A f ( x0 0) f ( x0 0) A.
x x0
极限的定理
定理(保号性) 若 lim f ( x ) A, 且A 0(或A 0),
分子有理化
例 求
x
lim (sin x 1 sin x )
和差化积公式
例设
( x 1)95 (ax 1)5 lim 32 , 求a的值 2 50 x ( x 1)
1 1 例 求 lim 2 2 n n 1 n 2
2 n n 1
0, 0, 使当x0 x x 0时, 恒有 f ( x ) A .
f ( x 0 0) A.
记作 lim f ( x ) A 或
x x0 0 ( x x0 )
右极限
0, 0, 使当x 0 x x 0 时, 恒有 f ( x ) A .
n 2 n nn
例 求 xlim
4 x2 x 1 x 1 x 2 sin x
ln(2e x x 3) 例 求 xlim x 2 x sin x 1
例 求 xlim
4 x2 x 1 x 1 x 2 sin x
5、反三角函数
反正弦函数 y arcsin x
y arcsin x
定 义 域[1， 1]
值 域[
，] 2 2
反余弦函数 y arccos x
y arccos x
定义域 [1 ， 1] 值域 [0， ]
反正切函数 y arctan x
y arctan x
定义域（ ， ） 值 域 （
高等数学辅导
邹时华
Ligongkaoyanshuxue@
密码：ligongkaoyan
考试题型结构
• • • • •
单项选择题： 8小题，每小题4分，共32分 填空题：6小题，每小题4分，共24分； 解答题（包括证明题）：9小题，共94分。 试卷中各个科目所占内容结构的比例： 数学一与数学三：高等数学（56%）、线性代数 （22%）、概率论与数理统计（22%）
x
lna b ln a
b
a e
ln a x
e
x ln a
4、三角函数 正弦函数 y sin x
y sin x
余弦函数 y cos x
y cos x
正切函数 y tan x
y tan x
余切函数 y cot x
y cot x
正割函数 y sec x
y
2e
2
1 1 o 1
2x
定义域为
( , 1] ( 2 , 2 e ]
二、极限
1、极限的定义 （左右极限）
2、几个定理 有界性、保号性、保序性、唯一性、
单调有界数列必有极限、夹逼准则
3、无穷小与无穷大
4、无穷小的比较 5、两个重要极限 6、等价无穷小及其应用
极限的定义
lim f ( x ) A
3
解
f [ ( x )] [ ( x )]3 ( x )
3 sin 2 x sin 2 x (sin 2 x ) sin 2 x 1 1 3 3 f [ ( )] sin 2 sin 2 12 12 12 8 2 8 1 由于 (12) sin 2 12 2 1 所以 f [ (12)] f ( 2 ) 1 3 1 3 ( ) 2 2 8