河北省2020届中考数学系统复习 第六单元 圆 滚动小专题(九)与圆有关的计算与证明课件
2020河北中考总复习 圆 考点复习PPT优秀课件
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8．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，点E在CD的延长线上．
(1)若∠A＝70°，则∠C＝ 110° ； (2)若∠ABC＝80°，则∠ADE＝ 80° ．
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垂径定理及其推论
文字叙述
图形示例
定 理
推
垂直于弦的直径 平分
弦，并且平分弦所对的
两条 弧
平分弦(不是直径)的直径
垂直 于弦，并且
AB为⊙O的直径，AB与CD相交于点E.
1
若AB⊥CD，则CE ＝DE＝ 2 CD，
︵ AC
＝ A︵D，B︵C
＝ B︵D；
若CE＝DE，则AB ⊥CD，
论
平分弦所对的两条弧．
D．15个单位长度
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圆内接多边形 1．概念：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形 叫做 圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆． 2．性质：圆内接四边形的对角 互补． 3．拓展：圆内接四边形的外角等于其内对角． 如图，∠C＝∠DAE.
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圆周角定理及其推论
文字叙述
几何语言表述
圆周角 一条弧所对的圆周角等于 ∠ABC＝
定理 它所对的圆心角的 一半
1
2 ∠AOC
推论1 同弧或等弧所对的圆周角 ∠ABC＝ ∠ADC 相等
半圆(或直径)所对的圆周角 ∠ACB＝ 90°
最新2020河北中考总复习 圆 考点复习 1教育课件
【方法指导】 1.证明某条直线是圆的切线的方法： (1)若这条直线经过圆上一点，需证明这条直线和经过这一点的半径垂 直； (2)若没有明确直线经过圆上一点，需证明圆心到这条直线的距离等于 圆的半径． 2．不能或不易直接求解的边长可转化成易求两条边长的差或和．
【变式】 (2019·石家庄新华区一模)如图，在Rt△OAB中，∠AOB＝ 90°，OA＝OB＝4，以点O为圆心、2为半径画圆，点C是⊙O上任意一 点，连接BC，OC.将OC绕点O按顺时针方向旋转90°，交⊙O于点D，连接
A．5 B．6 C．7 D．8
重难点2 切线的判定 (2019·邯郸模拟)如图，在△ABC中，AB＝AC，AB是⊙O的
直径，⊙O与BC交于点D，⊙O与AC交于点E，DF⊥AC于点F，连接DE. (1)求证：D为BC中点； (2)求证：DF与⊙O相切； (3)若⊙O的半径为5，tanC＝43，则DE＝ 6 ．
【自主解答】 解：(1)证明：连接OC， ∵MN为⊙O的切线， ∴OC⊥MN. ∵BD⊥MN，∴OC∥BD. ∴∠CBD＝∠BCO. 又∵OC＝OB， ∴∠BCO＝∠ABC.∴∠CBD＝∠ABC.
(2)连接AC，在Rt△BCD中，BC＝4 5，CD＝4， ∴BD＝ BC2－CD2＝8. ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. ∴∠ACB＝∠CDB＝90°. ∵∠ABC＝∠CBD， ∴△ABC∽△CBD. ∴ABCB＝BCDB，即4AB5＝4 8 5.∴AB＝10. ∴⊙O的半径是5.
0 d④ ＞r
1 d⑤＝ r
Hale Waihona Puke 2 d⑥＜ r3．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4. (1)若以2为半径作⊙C，则斜边AB与⊙C的位置关系是相离 ； (2)若以2.4为半径作⊙C，则斜边AB与⊙C的位置关系是相切； (3)若以3为半径作⊙C，则斜边AB与⊙C的位置关系是相切 ．
2020届中考数学 几何专题：与圆有关的性质(含答案)
2020届中考数学 几何专题：与圆有关的性质（含答案）一、选择题1.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠B ＝60°，则∠CAO 的度数是( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°2.如图，⊙O 的半径为1，AB 是⊙O 的一条弦，且AB＝，则弦AB 所对圆周角的度数为（）A.30°B.60° C.30°或150° D.60°或120°3.如图，⊙P 内含于⊙O ，⊙O 的弦AB 切⊙P 于点C ，且AB ∥OP ．若阴影部分的面积为，则弦AB 的长为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．94.如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB ＝28°，则∠C 的大小为（ ）A ．28°B ．56°C ．60°D ．62°5.如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为H ，且CD ＝BD ，则AB 的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．53 96.如图，∠AOB 是⊙0的圆心角，∠AOB ＝80°，则弧AB 所对圆周角∠ACB 的度数是( )A ．40°B ．45°C ．50°D ．80°7.如图，已知⊙O 的两条弦AC ，BD 相交于点E ，∠A ＝70o ，∠C ＝50o，那么sin ∠AEB 的值为( )A. B. C. D.8.如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米， 拱的半径为13米，则拱高为( ) A ．5米 B ．8米 C ．7米 D ．5米9.如图，△ABC 内接于⊙O ，连结OA 、OB ，若∠ABO＝25°，则∠C 的度数为（ ）A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°10.一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（ ）．213322233A ．0.4米B ．0.5米C ．0.8米D ．1米11.如图，AB 是半圆O 的直径，点P 从点O 出发，沿的路径运动一周．设为，运动时间为，则下列图形能大致地刻画与之间关系的是（ ）12.如图，AB 是⊙O 的弦，OD ⊥AB 于D 交⊙O 于E ，则下列说法错误．．的是（ ）A ．AD ＝BDB ．∠ACB ＝∠AOEC ．D ．OD ＝DE13.如图，⊙O 的直径AB 垂直弦CD 于点P ，且P 是半径OB 的中点，CD ＝6cm ，则直径AB 的 长是（ ）A ．B ．C ．D ．14．如图，⊙O 的弦AB ＝6，M 是AB 上任意一点，且OM 最小值为4，则⊙O 的半径为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2OA AB BO --OP s t s t AE BE =O A ． B ．C ．D ．15．如图，⊙O 的半径为5，弦AB ＝8，M 是弦AB 上的动点，则OM 不可能为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．516．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∠CDB ＝30°,⊙O的半径为，则弦CD 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题1.如图，AB 为半圆O 的直径，延长AB 到点P ，使BP ＝AB ，PC 切半圆O 于点C ，点D 是上和点C 不重合的一点，则的度数为 .2.如图，在⊙O 中，∠ACB ＝20°，则∠AOB ＝______度.3.如图所示，A 、B 、C 、D 是圆上的点，则 度． cm 33cm 23cm 9cm 12AC D ∠17040A ∠=∠=°，°，C ∠=4.在⊙O 中，已知⊙O 的直径AB 为2，弦AC 长为，弦AD 长为．则DC 2＝______5.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上 ，OD∥AC ，若BD ＝1，则BC 的长为6.已知的直径为上的一点，，则＝ _ ．7.如图，的半径弦点为弦上一动点，则点到圆心的最短距离是 cm ．8.如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为上一点，若∠CEA ＝，则∠ABD ＝°.9.如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，若∠A CO ＝32°，则∠COB 的度数等于 ． 32O ⊙8cm AB C =，O ⊙30BAC ∠=°BC cm O 5cm OA =，8cm AB =，P AB P O BC 28BABCD 1三、解答题1.如图，AB 是⊙O 的直径，C 是弧BD 的中点，CE⊥AB，垂足为E ，BD 交CE 于点F ．（1）求证：CF ＝BF ；（2）若AD ＝2，⊙O 的半径为3，求BC 的长．2.已知：如图，⊙O 1与坐标轴交于A （1，0）、B （5，0）两点，点O 1的纵坐标为．求⊙O 1的半径．3.已知：如图，⊙O 的直径AD ＝2，，∠BAE ＝90°．(1)求△CAD 的面积；(2)如果在这个圆形区域中，随机确定一个点P ，那么点P 落在四边形ABCD 区域的概率是多少？5图2 BC CD DE ==4.如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，连结BC ，AC ，过点C 作直线CD⊥AB 于点D ，点E 是AB 上一点，直线CE 交⊙O 于点F ，连结BF ，与直线CD 交于点G ．求证：.【参考答案】选择题1. B2.DBF BG BC ⋅=23. C4. D5. B6. A7. D8. B9. C10. D11. C12. D13. D14. A15. A16. B填空题1. 30°2. 403. 304.5. 26. 47. 38. 289. 64º解答题1. 证明：（1） 连结AC ，如图。
2021年春人教版河北省数学九年级中考《 圆的有关计算》专题复习
圆的有关计算1．(2020·河北中考)如图，点O为AB的中点，分别延长OA到点C，OB到点D，使OC＝OD.以点O为圆心，分别以OA，OC为半径在CD上方作两个半圆．点P为小半圆上任一点(不与点A，B重合)，连接OP并延长交大半圆于点E，连接AE，CP.(1)①求证：△AOE≌△POC；②写出∠1，∠2和∠C三者间的数量关系，并说明理由；(2)若OC＝2OA＝2，当∠C最大时，直接指出CP与小半圆的位置关系，并求此时S扇形EOD(答案保留π)．2．(2017·河北中考)如图，AB＝16，O为AB的中点，点C在线段OB上(不与点O，B重合)，将OC绕点O逆时针旋转270°后得到扇形COD，AP，BQ分别切优弧CD于点P，Q，且点P，Q在AB异侧，连接OP.(1)求证：AP ＝BQ ；(2)当BQ ＝43 时，求QD 的长(结果保留π)；(3)若△APO 的外心在扇形COD 的内部，求OC 的取值范围．3．如图，半圆O 的直径AB ＝4，以长为2的弦PQ 为直径，向点O 方向作半圆M ，其中点P 在AQ 上且不与点A 重合，但点Q 可与点B 重合．发现 AP 的长与QB 的长之和为定值l ，求l ；思考 点M 与AB 的最大距离为 ，此时点P ，A 间的距离为 ；点M 与AB 的最小距离为 ，此时半圆M 的弧与AB 所围成的封闭图形的面积为 ；探究 当半圆M 与AB 相切时，求AP 的长．⎝⎛⎭⎪⎪⎫注：结果保留π，cos 35°＝63，cos 55°＝334.如图，在圆内接正六边形ABCDEF 中，BF ，BD 分别交AC 于点G ，H .若该圆的半径为15 cm ，则线段GH 的长为 cm.5.(2020·河北模拟)如图，在扇形AOB 中，AC 为弦，∠AOB ＝140°，∠CAO ＝60°，OA ＝6，则BC 的长为（ ）A ．43 πB ．83π C ．23 π D ．2π6.．如图，从一块直径为2 m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为（ ）A.π2 m 2B ．32 π m 2C ．π m 2D ．2π m27.(2020·石家庄市模拟)如图，已知某圆锥轴截面等腰三角形的底边和高线长均为10 cm ，则这个圆锥的侧面积为（ ）A．50 cm2 B．50π cm2 C．255 cm2 D．255π cm28．(2020·衡水景县模拟)一个圆锥的底面半径是6 cm，其侧面展开图为半圆，则圆锥的母线长为（）A．9 cm B．12 cm C．15 cm D．18 cm3．一个圆锥的侧面积是底面积的4倍，则圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数为（）A．60° B．90° C．120° D．180°9.如图，以等边△ABC的一边AB为直径的半圆O交AC于点D，交BC于点E，若AB＝4，则阴影部分的面积是（）A．23 B．43C．3 D．210．(2020·衡水景县模拟)如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB ＝2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形EDF，点C恰在EF 上，则图中阴影部分的面积为（）A．π2＋12B．π－14C．π4＋12D．π4－1211.(2020·石家庄市模拟)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是（）A．3 B．2 C．22 D．2312.．(2020·保定市一模)如图，△ABD是⊙O的内接正三角形，四边形ACEF 是⊙O的内接正四边形，若线段BC恰是⊙O的一个内接正n边形的一条边，则n 等于（）A.16B．12C．10D．813．(2020·通辽中考)中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6 cm，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1 cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，PE，QB，QE，设运动时间为t(s).(1)求证：四边形PBQE为平行四边形；(2)求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比．14．(2020·孝感中考)已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠ABC的平分线与⊙O交于点D，与AC交于点E，连接CD并延长与⊙O过点A的切线交于点F，记∠BAC＝α.(1)如图1，若α＝60°，①直接写出DFDC的值为；②当⊙O的半径为2时，直接写出图中阴影部分的面积为；(2)如图2，若α＜60°，且DFDC＝23，DE＝4，求BE的长．15.创新题型(2020·河南中考)如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC 交于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为．圆的有关计算1．(2020·河北中考)如图，点O为AB的中点，分别延长OA到点C，OB到点D，使OC＝OD.以点O为圆心，分别以OA，OC为半径在CD上方作两个半圆．点P为小半圆上任一点(不与点A，B重合)，连接OP并延长交大半圆于点E，连接AE，CP.(1)①求证：△AOE≌△POC；②写出∠1，∠2和∠C三者间的数量关系，并说明理由；(2)若OC＝2OA＝2，当∠C最大时，直接指出CP与小半圆的位置关系，并求此时S 扇形EOD (答案保留π)．(1)①证明：在△AOE 和△POC 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OP ，∠AOE ＝∠POC ，OE ＝OC ，∴△AOE ≌△POC (SAS)； ②解：∠2＝∠1＋∠C . 理由：由①知，△AOE ≌△POC . ∴∠1＝∠OPC .在△POC 中，∠2＝∠OPC ＋∠C . ∴∠2＝∠1＋∠C ；(2)解：当∠C 最大时，CP 与小半圆相切．备用图中，延长CP 交大半圆于点F ，连接OP 交大半圆于点E .只有当CP 与小半圆相切于点P 时，∠C 所对DF 最长，即∠C 最大，此时OE ⊥CF .∴∠1＝∠OPC ＝90°.在Rt △AOE 中，OE ＝OC ＝2OA ＝2.∴cos ∠AOE ＝OA OE ＝12.∴∠AOE ＝60°.∴∠2＝120°. ∴S 扇形EOD ＝120π×22360 ＝4π3 .2．(2017·河北中考)如图，AB ＝16，O 为AB 的中点，点C 在线段OB 上(不与点O ，B 重合)，将OC 绕点O 逆时针旋转270°后得到扇形COD ，AP ，BQ 分别切优弧CD 于点P ，Q ，且点P ，Q 在AB 异侧，连接OP.(1)求证：AP ＝BQ ；(2)当BQ ＝43 时，求QD 的长(结果保留π)；(3)若△APO 的外心在扇形COD 的内部，求OC 的取值范围． (1)证明：连接OQ .∵AP ，BQ 分别与CD 相切， ∴OP ⊥AP ，OQ ⊥BQ . ∴∠APO ＝∠BQO ＝90°. ∵O 为AB 的中点， ∴OA ＝OB . 又∵OP ＝OQ ，∴Rt △APO ≌Rt △BQO (HL). ∴AP ＝BQ ；(2)解：∵△APO ≌△BQO ， ∴∠AOP ＝∠BOQ .∴P ，O ，Q 三点在同一直线上．在Rt △BOQ 中，cos B ＝BQ OB ＝438 ＝32，∴∠B ＝30°. ∴∠BOQ ＝60°.∴OQ ＝12OB ＝4.∴QD 的长为（270－60）×π×4180 ＝143 π；(3)解：∵Rt △APO 的外心是OA 的中点，OA ＝8，∴△APO 的外心在扇形COD 的内部时，OC 的取值范围为4＜OC ＜8.3．(2016·河北中考)如图，半圆O 的直径AB ＝4，以长为2的弦PQ 为直径，向点O 方向作半圆M ，其中点P 在AQ 上且不与点A 重合，但点Q 可与点B 重合．发现 AP 的长与QB 的长之和为定值l ，求l ；思考 点M 与AB 的最大距离为 ，此时点P ，A 间的距离为 ；点M 与AB 的最小距离为 ，此时半圆M 的弧与AB 所围成的封闭图形的面积为 ；探究 当半圆M 与AB 相切时，求AP 的长．⎝⎛⎭⎪⎪⎫注：结果保留π，cos 35°＝63，cos 55°＝33解：发现 连接OP ，OQ ，则OP ＝OQ ＝PQ ＝2. ∴∠POQ ＝60°.∴PQ 的长为60π·2180 ＝2π3 .∴l ＝12 π·4－2π3 ＝4π3 ；思考 3 ；2；32 ；π6 －34 ；探究 半圆M 与AB 相切，分两种情况：①如图1，半圆M 与AO 切于点T 时，连接PO ，MO ，TM ，则MT ⊥AO ，OM ⊥PQ .在Rt △POM 中，sin ∠POM ＝PM PO ＝12，∴∠POM ＝30°.∴MO ＝PO cos 30°＝3 . 在Rt △TOM 中，TO ＝MO 2－MT 2＝2 ，∴cos ∠AOM ＝TO MO ＝63，即∠AOM ＝35°.∴∠POA ＝35°－30°＝5°. ∴AP 的长为5π·2180 ＝π18；②如图2，半圆M 与BO 切于点S 时，连接QO ，MO ，SM .由对称性，同理得BQ 的长为π18.由l ＝4π3 ，得AP 的长为4π3 －π18 ＝23π18 .综上所述，AP 的长为π18 或23π18.4.如图，在圆内接正六边形ABCDEF 中，BF ，BD 分别交AC 于点G ，H .若该圆的半径为15 cm ，则线段GH 的长为5.(2020·河北模拟)如图，在扇形AOB 中，AC 为弦，∠AOB ＝140°，∠CAO ＝60°，OA ＝6，则BC 的长为(B )A ．43 πB ．83π C ．23 π D ．2π6.．如图，从一块直径为2 m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为(A )A.π2 m 2B ．32 π m 2C ．π m 2D ．2π m27.(2020·石家庄市模拟)如图，已知某圆锥轴截面等腰三角形的底边和高线长均为10 cm ，则这个圆锥的侧面积为(D )A ．50 cm 2B ．50π cm 2C ．255 cm 2D ．255 π cm 28．(2020·衡水景县模拟)一个圆锥的底面半径是6 cm ，其侧面展开图为半圆，则圆锥的母线长为(B )A ．9 cmB ．12 cmC ．15 cmD ．18 cm3．一个圆锥的侧面积是底面积的4倍，则圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数为(B )A ．60°B ．90°C ．120°D ．180°9.如图，以等边△ABC的一边AB为直径的半圆O交AC于点D，交BC于点E，若AB＝4，则阴影部分的面积是(C)A．23 B．43C．3 D．210．(2020·衡水景县模拟)如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB ＝2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形EDF，点C恰在EF 上，则图中阴影部分的面积为(D)A．π2＋12B．π－14C．π4＋12D．π4－1211.(2020·石家庄市模拟)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是(B)A．3 B．2 C．22 D．2312.．(2020·保定市一模)如图，△ABD是⊙O的内接正三角形，四边形ACEF 是⊙O的内接正四边形，若线段BC恰是⊙O的一个内接正n边形的一条边，则n 等于(B)A.16B．12C．10D．813．(2020·通辽中考)中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6 cm，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1 cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，PE，QB，QE，设运动时间为t(s).(1)求证：四边形PBQE为平行四边形；(2)求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比．(1)证明：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝F A，∠BAF＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEF＝∠EF A.又∵AP＝DQ＝t cm，∴PF＝QC＝(6－t) cm.∴△ABP≌△DEQ(SAS).∴BP＝EQ.同理可证，PE＝QB.∴四边形PEQB为平行四边形；(2)解：连接BE，OA，则∠AOB＝360°6＝60°.∵OA ＝OB ，∴△AOB 是等边三角形． ∴AB ＝OA ＝6，BE ＝2OB ＝12.当t ＝0时，点P 与点A 重合，点Q 与点D 重合，四边形PBQE 即为四边形ABDE ，则∠EAF ＝∠AEF ＝30°.∴∠BAE ＝120°－30°＝90°.此时四边形ABDE 是矩形，即四边形PBQE 是矩形；当t ＝6时，点P 与点F 重合，点Q 与点C 重合，四边形PBQE 即为四边形FBCE ，同理可得∠BPE ＝90°，此时四边形PBQE 是矩形．综上所述，当t ＝0或6时，四边形PBQE 是矩形． ∴AE ＝122－62 ＝63 .∴S 矩形PBQE ＝S 矩形ABDE ＝AB ·AE ＝6×63 ＝363 .∵S 正六边形ABCDEF ＝6S △AOB ＝6×14 S 矩形ABDE ＝6×14 ×363 ＝543 ， ∴S 矩形PBQES 正六边形ABCDEF ＝363543 ＝23 .14．(2020·孝感中考)已知△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，∠ABC 的平分线与⊙O 交于点D ，与AC 交于点E ，连接CD 并延长与⊙O 过点A 的切线交于点F ，记∠BAC ＝α.(1)如图1，若α＝60°，①直接写出DFDC 的值为 ；②当⊙O 的半径为2时，直接写出图中阴影部分的面积为 ； (2)如图2，若α＜60°，且DF DC ＝23 ，DE ＝4，求BE 的长．解：(1)12 ；332 －2π3 ；(2)图2中，连接AD ，连接AO 并延长交⊙O 于点H ，连接DH ，则∠ADH ＝90°. ∴∠DAH ＋∠DHA ＝90°. ∵AF 与⊙O 相切，∴∠DAH ＋∠DAF ＝∠F AO ＝90°. ∴∠DAF ＝∠DHA .∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD . ∴.∴∠DHA ＝∠DAC .∴∠DAF ＝∠DAC . ∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB . ∵四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠ABC ＋∠ADC ＝180°.∵∠ADF ＋∠ADC ＝180°，∴∠ADF ＝∠ABC . ∵∠ADB ＝∠ACB ＝∠ABC ， ∴∠ADF ＝∠ADB .又∵AD ＝AD ，∴△ADF ≌△ADE (ASA). ∴DF ＝DE ＝4. ∵DF DC ＝23 ，∴DC ＝6.∵∠DCE ＝∠ABD ＝∠DBC ，∠CDE ＝∠BDC ，∴△CDE ∽△BDC . ∴CD BD ＝DE DC ，即6BD ＝46 .∴BD ＝9.∴BE＝BD－DE＝9－4＝5.15.创新题型(2020·河南中考)如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC 交于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为22＋π3．。
中考数学(河北专版)总复习考点整合 能力突破课件：滚动小专题(六) (共20张PPT)
滚动小专题(六)
与圆有关的计算问题
圆是相对独立的知识体系，是平行线、三角形、四边
形、相似形、函数、方程、解直角三角形等知识的综合
与延伸．这样的综合将构造出内容丰富、题型新颖、构 思精巧的综合试题．圆的计算包罗万象，以圆为背景， 结合三角形和四边形，对边长、角度、弧长、面积等进 行求解，通常会考查垂径定理、圆周角定理、涉及切线
3 与AB的最小距离为_____ 2 ，此时半 π 3 － 圆M的弧与AB所围成的封闭图形的面积为________ 6 4 ．
探究：当半圆M与AB相切时，求 AP 的长．
3 6 (注：结果保留π，cos 35°≈ ，cos 55°≈ ) 3 3
【答案】 解：发现：连接OP，OQ，
则OP＝OQ＝PQ＝2. ∴∠POQ＝60°.
12 已测得sin∠DOE＝ 13
.
(2)根据需要，水面要以每小 时0.5m的 解：OE＝ OD2－ED2＝ 132－122 ＝5(m)，
∴将水排干需：5÷0.5＝10(h)．
【寻考法】圆的基本性质包括垂径定理、圆周角定理等
知识，是必考知识点，常常单独设置题目，
60 π 2 2π ＝ . 180 3 1 2π 4π l＝ · 4－ ＝ . 2 3 3 的长＝ PQ
【答案】 探究：半圆 M 与 AB 相切，分两种情况：
①如图4(1)，半圆M与AO切于点T时，连接PO，MO，
TM.则MT＝PM＝1，OP＝2，MT⊥AO，
OM PQ . OM＝ OP 2－PM 2＝ 3. PM 1 ＝ . OP 2 POM＝30.在Rt △TOM中， 在Rt △POM中， sin POM＝ TO＝ OM －MT ＝
∴S阴影＝S扇形OAD－S△OED＋S△ACE＝
河北省近年届中考数学系统复习第六单元圆滚动小专题(九)与圆有关的计算与证明练习(2021年整理)
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滚动小专题（九) 与圆有关的计算与证明类型1 与切线有关的计算与证明1．如图，⊙O中，AB是⊙O的直径，G为弦AE的中点，连接OG并延长交⊙O于点D，连接BD 交AE于点F，延长AE至点C，使得FC＝BC,连接BC。
（1)求证：BC是⊙O的切线；(2)⊙O的半径为5，tan A＝错误!，求FD的长．解:(1）证明：∵点G是AE的中点，∴OD⊥AE.∴∠ODB＋∠DFG＝90°。
∵FC＝BC，∴∠CBF＝∠CFB。
∵∠CFB＝∠DFG，∴∠CBF＝∠DFG。
∵OB＝OD,∴∠ODB＝∠OBD。
∴∠OBD＋∠CBF＝∠ODB＋∠DFG＝90°，即∠ABC＝90°。
又∵OB是⊙O的半径,∴BC是⊙O的切线．(2）连接AD.∵tan∠OAG＝错误!＝错误!，∴设OG＝3x，则AG＝4x。
∴OA＝OG2＋AG2＝5x＝5，解得x＝1。
∴OG＝3，AG＝4。
∴DG＝OD－OG＝2.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADF＝90°.∵∠DAG＋∠ADG＝90°，∠ADG＋∠FDG＝90°，∴∠DAG＝∠FDG。
又∵∠AGD＝∠DGF，∴△DAG∽△FDG。
2020河北中考 考点复习课件--4与圆有关的计算
A. 2 3
C.2
π B.2
5 D. 2
12．(2019·保定高阳县模拟)如图，半圆 O 的直径 AB＝20，将半圆 O 绕点 B 按顺时针方向旋转得到半圆 O′，A′B 与A︵B交于点 P，设旋转角为 α(0° ＜α＜90°)．
(1)如图 1，当 α＝30°时． ①求 BP 的长； ②求图中阴影部分的面积(结果保留 π)；
∴BP＝AB·cos30°＝20× 23＝10 3.
②连接 OP. ∵AB＝20，∠ABP＝30°， ∴OB＝10，∠BOP＝120°. ∴S 阴影＝S 半圆 O′－(S 扇形 BOP－S△BOP) ＝12π×102－(120×36π0×102－12×10×sin30°×10 3) ＝50π－(1030π－25 3) ＝530π＋25 3.
(1)求△ABC 三边的长； (2)求图中由线段 EB，BC，CF 及E︵F所围成的阴影部分的面积． 解：(1)AB＝ 22＋62＝2 10， AC＝ 62＋22＝2 10， BC＝ 42＋82＝4 5.
(2)由(1)得 AB2＋AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°. 连接 AD，则 AD＝ 22＋42＝2 5. ∴S 阴影＝S△ABC－S 扇形 AEF ＝12AB·AC－14π·AD2 ＝20－5π.
6．半径为2的圆的内接正方形的面积是 8 ．
7．边长为6 cm的等边三角形的外接圆半径是 2 3形：直接利用公式计算；(2)圆中的不规则图形：采用转化的 数学思想，把不规则图形的面积采用“割补法”“平移法”“旋转法”等转化为 规则的三角形、平行四边形及扇形面积的和或差．
＝30°，CD＝2 3.则 S 阴影＝( D )
A．π B．2π
2 C.3 3 D．23π
2．(2014·河北 T19·3 分)如图，将长为 8 cm 的铁丝首尾相接围成半径为 2 cm 的扇形．则 S 扇形＝ 4 cm2.
【情况】河北省2020中考数学复习第六单元圆第24讲与圆有关的位置关系试题
【关键字】情况第24讲 与圆有关的位置关系1．在数轴上，点A 所表示的实数为3，点B 所表示的实数为a ，⊙A 的半径为2.那么下列说法中不正确的是( C )A ．当a ＜1时，点B 在⊙A 外B ．当1＜a ＜5时，点B 在⊙A 内C ．当a ＜5时，点B 在⊙A 内D ．当a ＞5时，点B 在⊙A 外2．(2016·河北模拟)如图，AB 是⊙O 的直径，下列条件中不能判定直线AT 是⊙O 的切线的是( D )A ．AB ＝4，AT ＝3，BT ＝5 B ．∠B ＝45°，AB ＝ATC ．∠B ＝55°，∠TAC ＝55°D ．∠ATC ＝∠B3．如图，从⊙O 外一点P 引圆的两条切线PA ，PB ，切点分别是A ，B ，如果∠APB ＝90°，线段PA ＝10，那么弦AB 的长是( A )A ．10 2B ．10C ．10 3D ．5 34．(2016·邵阳)如图所示，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 外一点，CA ，CD 是⊙O 的切线，A ，D 为切点，连接BD ，AD.若∠ACD ＝30°，则∠DBA 的大小是( D )A ．15°B ．30°C ．60°D ．75°5．如图，若△ABC 的三边长分别为AB ＝9，BC ＝5，CA ＝6，△ABC 的内切圆⊙O 切AB ，BC ，AC 于D ，E ，F ，则AF 的长为( A )A ．5B ．10C ．7.5D ．4提示：设AF ＝x ，根据切线长定理，得AD ＝x ，BD ＝BE ＝9－x ，CE ＝CF ＝CA －AF ＝6－x ，则有9－x ＋6－x ＝5，解得x ＝5，即AF 的长为5，故选A.6．(2016·黑龙江)若点O 是等腰△ABC 的外心，且∠BOC ＝60°，底边BC ＝2，则△ABC 的面积为( C )A ．2＋ 3 B.233C ．2＋3或2－ 3D ．4＋23或2－ 3 提示：存在如图所示的两种情况：7．(2016·株洲)如图，△ABC 的内切圆的三个切点分别为D ，E ，F ，∠A ＝75°，∠B ＝45°，则圆心角∠EOF ＝120°.8．(2015·唐山路北区模拟)如图，⊙O 是以坐标轴原点O 为圆心，半径为1的圆，∠AOB ＝45°，点P 在x 轴上运动，过点P 且与OB 平行的直线与⊙O 有公共点，则OP 的取值范围是0＜OP ≤2．9．(2016·保定模拟)如图，EB 为半圆O 的直径，点A 在EB 的延长线上，AD 切半圆O 于点D ，BC ⊥AD 于点C ，AB ＝2，半圆O 的半径为2，则BC 的长为1．10．(2016·黄石)如图，⊙O 的直径为AB ，点C 在圆周上(异于A ，B)，AD ⊥CD.(1)若BC ＝3，AB ＝5，求AC 的值；(2)若AC 是∠DAB 的平分线，求证：直线CD 是⊙O 的切线．解：(1)∵AB 是⊙O 直径，C 在⊙O 上，∴∠ACB ＝90°.又∵BC ＝3，AB ＝5，∴AC ＝AB 2－BC 2＝4.(2)证明：连接OC.∵AC 是∠DAB 的平分线，∴∠DAC ＝∠BAC.∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA.∴∠DAC ＝∠OCA.∴AD ∥OC.又∵AD ⊥DC ，∴OC ⊥DC.∴DC 是⊙O 的切线．11．(2016·丹东)如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，CD 与⊙O 相切于点D ，CE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E.(1)求证：∠BDC ＝∠A ；(2)若CE ＝4，DE ＝2，求AD 的长．解：(1)证明：连接OD.∵CD 是⊙O 切线，∴∠ODC ＝90°，即∠ODB ＋∠BDC ＝90°.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，即∠ODB ＋∠ADO ＝90°.∴∠BDC ＝∠ADO.∵OA ＝OD ，∴∠ADO ＝∠A.∴∠BDC ＝∠A.(2)∵CE ⊥AE ，∴∠E ＝∠ADB ＝90°.∴DB ∥EC.∴∠DCE ＝∠BDC.∵∠BDC ＝∠A ，∴∠A ＝∠DCE.∵∠E ＝∠E ，∴△AEC ∽△CED. ∴CE DE ＝AE CE，即EC 2＝DE ·AE. ∴16＝2(2＋AD)，即AD ＝6.12．(2016·德州)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少？”( C )A ．3步B ．5步C ．6步D ．8步13．(2015·邢台模拟)如图，已知▱ABCD 中，AB ＝5，BC ＝8，cosB ＝45，点E 是BC 边上的动点，当以CE 为半径的圆C 与边AD 不相交时，半径CE 的取值范围是( C )A ．0＜CE ≤8B ．0＜C E ≤5C ．0＜CE ≤3或5＜CE ≤8D ．3＜CE ≤514．(2016·台州)如图，在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，以边AB 的中点O 为圆心，作半圆与AC 相切，点P ，Q 分别是边BC 和半圆上的动点，连接PQ ，则PQ 长的最大值与最小值的和是( C )A ．6B ．213＋1C ．9 D.32215．(2016·河北模拟)阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：已知：在△ABC 中，∠A ＝90°.求作：⊙P ，使得点P 在边AC 上，且⊙P 与AB ，BC 都相切．小轩的主要作法如下：如图，(1)作∠ABC 的平分线BF ，与AC 交于点P ；(2)以点P 为圆心，AP 长为半径作⊙P ，所以⊙P 即为所求． 老师说：“小轩的作法正确．”请回答：⊙P 与BC 相切的依据是圆心到直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线．16．(2016·南京)如图，O 是△ABC 内一点，⊙O 与BC 相交于F ，G 两点，且与AB ，AC 分别相切于点D ，E ，DE ∥BC ，连接DF ，EG.(1)求证：AB ＝AC ；(2)已知AB ＝10，BC ＝12，求四边形DFGE 是矩形时⊙O 的半径．解：(1)证明：∵ ⊙O 与AB ，AC 分别相切于点D ，E ，∴ AD ＝AE.∴ ∠ADE ＝∠AED.∵ DE ∥BC ，∴∠B ＝∠ADE ，∠C ＝∠AED.∴ ∠B ＝∠C.∴ AB ＝AC.(2)连接AO ，交DE 于点M ，延长AO 交BC 于点N ，连接OE ，DG.设⊙O 的半径为r.∵四边形DFGE 是矩形，∴∠DFG ＝90°.∴DG 是⊙O 的直径．∵⊙O 与AB ，AC 分别相切于点D 、E ，∴OD ⊥AB ，OE ⊥AC.又∵OD ＝OE ，∴AN 平分∠BAC.又∵AB ＝AC ，∴AN ⊥BC ，BN ＝12BC ＝6. 在Rt △ABN 中，AN ＝AB 2－BN 2＝8.∵OD ⊥AB ，AN ⊥BC ，∴∠ADO ＝∠ANB ＝90°.又∠OAD ＝∠BAN ，∴△AOD ∽△ABN.∴OD BN ＝AD AN ，即r 6＝AD 8.∴AD ＝43r. ∴BD ＝AB －AD ＝10－43r. ∵ OD ⊥AB ，∴∠GDB ＝∠ANB ＝90°.又∵∠B ＝∠B ，∴△GBD ∽△ABN.∴BD BN ＝GD AN ，即10－43r 6＝2r 8，解得r ＝6017. ∴四边形DFGE 是矩形时⊙O 的半径为6017. 17．如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC ，BC ∥OA ，一边OA 在x 轴上，另一边OC 在y 轴上，且OA ＝A B ＝5 cm ，BC ＝2 cm ，以OC 为直径作⊙P.(1)求⊙P 的直径；(2)⊙P 沿x 轴向右滚动过程中，当⊙P 与x 轴相切于点A 时，求⊙P 被直线AB 截得的线段AD 的长；(3)⊙P 沿x 轴向右滚动过程中，当⊙P 与直线AB 相切时，求圆心P 移动的距离．解：(1)过点B 作BD ⊥OA.由题意知：∠BCO ＝∠DOC ＝∠BDO ＝90°.∴四边形ODBC 为矩形．∴OC ＝BD ，OD ＝BC.∵BC ＝2，∴DA ＝OA －OD ＝5－2＝3.在Rt △ABD 中，根据勾股定理，得BD 2＝AB 2－DA 2，∴BD ＝4.∴CO ＝4，即⊙P 的直径是4 cm.(2)如图1所示，当⊙P 与x 轴相切于A 时， 设⊙P 与CB 所在直线相切于点E.易知P 在EA 上，且CE ＝AO ＝5，∴BE ＝3.连接ED ，EA.∵EA 为直径，∴∠EDA ＝90°.设AD ＝x ，则BD ＝5－x.由勾股定理知BE 2－BD 2＝DE 2＝AE 2－AD 2，即32－(5－x)2＝42－x 2，解得x ＝165，即AD ＝165cm. 图1 图2(3)如图2所示，当⊙P 与AB 相切时，分两种情况：第一种情况：当⊙P 滚动到⊙P 1时，设PP 1＝x ，由题意易知：PP 1＝CE ＝OG ＝x ，则BE ＝BC －CE ＝2－x, AG ＝AO －OG ＝5－x.∵⊙P 1与AB ，AO 分别相切于点F ，G ，∴AF ＝AG ＝5－x.∵⊙P 1与BC ，AB 分别相切于点E ，F ，∴BF ＝BE ＝2－x.∵AB ＝5，AF ＋BF ＝AB ，∴5－x ＋2－x ＝5.解得x ＝1，即PP 1＝1 cm ；第二种情况：当⊙P 滚动到⊙P 2时，设PP 2＝x ，由题意易知：OJ ＝CH ＝PP 2＝x ，则AJ ＝x －5，BH ＝x －2. ∵⊙P 2与AB ，CH 相切，∴BI ＝BH ＝x －2.同理，AI ＝AJ ＝x －5.∵AB ＝BI ＋AI ，∴x －2＋x －5＝5.解得x ＝6，即PP 2＝6 cm∴当⊙P 与直线AB 相切时，点P 移动的距离为1 cm 或6 cm.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。
滚动小专题(六)与圆有关的计算与证明-2020中考(河北专版)数学考点系统复习(练习册)课件(共30张PPT)
6．(2019·常德)如图，⊙O 与△ABC 的 AC 边相切于点 C，与 AB， BC 边分别交于点 D，E，DE∥OA，CE 是⊙O 的直径．
(1)求证：AB 是⊙O 的切线； (2)若 BD＝4，EC＝6，求 AC 的长． 解：(1)证明：连接 OD，CD， ∵OD＝OE， ∴∠OED＝∠ODE. ∵DE∥OA， ∴∠ODE＝∠AOD，∠OED＝∠AOC.
解：(2)当点 O 与 BC 的中点重合时，如图 1，点 O 移动了 12 cm， 设半圆与 AB 交于点 H，连接 OH，CH. ∵BC 为直径，∴∠CHB＝90°. ∵∠ABC＝45°，∴∠HCB＝45°. ∴HC＝HB. ∴OH⊥BC，OH＝OC＝OB＝6. ∴S 阴影＝S 扇形 HOC＋S△BOH＝39600π×62＋12×6×6＝(9π＋18)cm2.
运动时间 x＝18－26 2＝(9－3 2)s. 综上所述，当 x 为 0 s 或 6 s 或(9－3 2)s 时，半圆 O 与△ABC 的边所 在的直线相切．
解：连接 CO 并延长，与 AB 交于点 D， ∵CD⊥AB，∴AD＝BD＝12AB＝3 米． 在 Rt△AOD 中，∠OAB＝41.3°， ∴cos41.3°＝OADA，即 OA＝cos431.3°≈0.375＝4(米)． tan41.3°＝OADD，即 OD＝AD·tan41.3°≈3×0.88＝2.64(米)，则 CD＝CO ＋OD＝4＋2.64＝6.64(米)． 答：点 C 到弦 AB 所在直线的距离约为 6.64 米．
设 BE＝x，∵BD＝4，EC＝6， ∴42＝x(x＋6)，解得 x＝2 或 x＝－8(舍去)． ∴BE＝2，BC＝BE＋EC＝8. ∵AD，AC 是⊙O 的切线，∴AD＝AC. 设 AD＝AC＝y，在 Rt△ABC 中，AB2＝AC2＋BC2，∴(4＋y)2＝y2＋ 82，解得 y＝6. ∴AC 的长为 6.