2014九年级上数学复习2平面向量的线性运算(无答案)
平面向量的线性运算知识点总结
平面向量的线性运算知识点总结平面向量是数学中的重要概念之一，它们具有方向和大小，并且可以进行线性运算。
本文将对平面向量的线性运算相关知识进行总结，包括加法、数乘和线性组合三个方面。
一、平面向量的加法平面向量的加法是指将两个向量合成为一个新向量的运算。
具体而言，设有两个向量A和B，它们的加法运算符号为"＋"，则其加法公式为：A +B = (Aₓ + Bₓ, Aᵧ + Bᵧ)其中，Aₓ和Aᵧ分别表示向量A在坐标系中的x轴和y轴上的分量，Bₓ和Bᵧ分别表示向量B在坐标系中的x轴和y轴上的分量。
需要注意的是，向量的加法满足交换律和结合律。
即：A +B = B + A(A + B) + C = A + (B + C)二、平面向量的数乘数乘是指将向量与一个实数相乘得到一个新向量的运算。
具体而言，设有一个向量A和一个实数k，它们的数乘运算符号为"·"，则其数乘公式为：k·A = (k·Aₓ, k·Aᵧ)其中，Aₓ和Aᵧ分别表示向量A在坐标系中的x轴和y轴上的分量。
数乘的运算法则如下：1. 若k>0，则k·A的方向与A的方向相同。
2. 若k<0，则k·A的方向与A的方向相反。
3. 若k=0，则k·A的方向为零向量。
4. |k·A| = |k|·|A|三、平面向量的线性组合线性组合是指将多个向量按一定比例相加得到一个新向量的运算。
具体而言，设有n个向量A₁、A₂、...、Aₙ和n个实数k₁、k₂、...、kₙ，它们的线性组合公式为：k₁A₁ + k₂A₂ + ... + kₙAₙ线性组合的运算法则如下：1. 线性组合的次序不影响结果，即k₁A₁ + k₂A₂ + ... + kₙAₙ =kₙAₙ + ... + k₂A₂ + k₁A₁。
2. 向量的线性组合满足数乘与加法的结合律，即k₁(A₁ + A₂) =k₁A₁ + k₁A₂。
初中数学知识归纳平面向量的线性运算
初中数学知识归纳平面向量的线性运算初中数学知识归纳——平面向量的线性运算一、定义平面向量是具有大小和方向的量，用有序对表示。
设有平面向量AB，表示为→AB或AB→。
向量AB的起点是A点，终点是B点。
平面向量具有以下特点：1. 等向量：具有相同的大小和方向的向量称为等向量；2. 零向量：大小为0的向量称为零向量，记作→0；3. 相反向量：与同一条线上的向量大小相等，方向相反的向量称为相反向量，记作−→AB或−AB→。
二、线性运算平面向量的线性运算包括加法和数乘。
1. 加法设有平面向量→AB和→CD，加法定义为：→AB + →CD = →AC加法满足以下性质：1. 交换律：→AB + →CD = →CD + →AB2. 结合律：→AB + (→CD + →EF) = (→AB + →CD) + →EF3. 零向量：→AB + →0 = →AB4. 相反向量：→AB + (−→AB) = →02. 数乘设有平面向量→AB和实数k，数乘定义为：k→AB = →AC数乘满足以下性质：1. 结合律：k(l→AB) = (kl)→AB2. 分配律1：(k + l)→AB = k→AB + l→AB3. 分配律2：k(→AB + →CD) = k→AB + k→CD三、运算法则平面向量的线性运算法则包括：1. 平移法则：若向量→AB平移到点C成为→AC，即：→AC = →AB + (→BC)2. 平面向量共线法则：点A、B、C三点共线的充分必要条件是向量→AB和→AC共线，即：→AB // →AC3. 向量共线法则：若向量→AB和→CD共线，则存在实数k，使得：→AB = k→CD4. 向量平分线性运算：若向量→AB和→AC平分向量→AD，则有：→AD = 0.5(→AB + →AC)四、例题解析1. 已知点A(1, 2)，B(3, -1)，C(4, 3)，求向量→AB + 2→BC的终点的坐标。
解：首先计算向量→AB和→BC：→AB = (3 - 1, -1 - 2) = (2, -3)→BC = (4 - 3, 3 - 1) = (1, 2)然后进行向量的线性运算：→AB + 2→BC = (2, -3) + 2(1, 2) = (2, -3) + (2, 4) = (4, 1)所以向量的终点的坐标为(4, 1)。
平面向量的线性运算与应用
平面向量的线性运算与应用在数学中，平面向量是一个具有大小和方向的量，常用箭头表示，用于表示平面上的物理量或几何概念。
平面向量的线性运算是指对向量进行加减和标量乘法的操作。
同时，平面向量的线性运算在许多应用中是非常重要和有用的。
一、平面向量的定义和表示平面向量由其大小和方向共同确定，通常用a→表示。
其中，大小称为向量的模，记作|a→|，方向可以用与向量平行的线段来表示。
在笛卡尔坐标系中，可以用坐标表示平面向量。
例如，向量a→可以用(ai, aj)来表示。
二、平面向量的线性运算1. 向量的加法平面向量的加法是指两个向量按照相同的方向进行相加。
设向量a→=(a1, a2)，向量b→=(b1, b2)，则向量a→+b→=(a1+b1, a2+b2)。
2. 向量的减法平面向量的减法是指两个向量按照相反的方向进行相减。
设向量a→=(a1, a2)，向量b→=(b1, b2)，则向量a→-b→=(a1-b1, a2-b2)。
3. 向量的标量乘法平面向量的标量乘法是指向量与一个标量的乘积。
设向量a→=(a1, a2)，标量k，则向量ka→=(ka1, ka2)。
三、平面向量的应用平面向量的线性运算在许多数学和物理问题中都有广泛的应用。
1. 平面几何问题在平面几何问题中，平面向量的线性运算常常用于判断点、线、圆等的位置关系，计算长度和面积等。
例如，可以利用向量的加法和减法判断线段的平行性和垂直性；可以使用向量的模计算线段的长度；可以利用向量的叉乘计算三角形的面积等。
2. 力学问题在力学中，平面向量的线性运算被广泛应用于描述物体的受力情况。
根据牛顿第二定律，物体所受的合力等于物体的质量乘以加速度，可以用平面向量的标量乘法表示。
同时，可以使用平面向量的加法和减法来计算多个力的合力，从而描述物体的运动状态。
3. 电磁学问题在电磁学中，平面向量的线性运算同样起着重要的作用。
例如，可以使用平面向量的加法和减法来计算电场的合成和分解；可以利用平面向量的叉乘来计算电磁感应产生的力和磁场等。
平面向量的线性运算
平面向量的线性运算平面向量是解决平面几何问题的重要工具。
平面向量之间可以进行线性运算，包括加减法、数量乘法和应用特殊运算规则的向量乘法。
本文将详细介绍平面向量的线性运算及其应用。
一、平面向量的基本概念在平面直角坐标系中，向量由两个有序实数对表示，分别表示向量在 x 轴和 y 轴上的分量。
设向量 a 的分量为 (a1, a2)，则向量 a 可表示为 a = a1i + a2j，其中 i 和 j 分别是 x 轴和 y 轴的单位向量。
二、平面向量的加法设有两个平面向量 a = a1i + a2j， b = b1i + b2j，其和为 c = (a1 +b1)i + (a2 + b2)j。
向量的加法满足交换律、结合律和零向量的存在性。
三、平面向量的减法设有两个平面向量 a = a1i + a2j， b = b1i + b2j，其差为 c = (a1 - b1)i + (a2 - b2)j。
向量的减法也满足交换律和结合律。
四、平面向量的数量乘法设有平面向量 a = a1i + a2j，实数 k，k与向量 a 的数量积为 k * a =ka1i + ka2j。
数量乘法满足结合律、分配律和对数乘法的分布律等性质。
五、平面向量的线性运算应用1. 向量共线与平行若有两个非零向量 a 和 b，当且仅当存在实数 k，使得 a = kb，称向量 a 和 b 共线。
若向量 a 和 b 共线且方向相同或相反，则称向量 a 和b 平行。
2. 向量的线性组合设有向量组 a1, a2, ..., an，其中每个向量的形式为 ai = ai1i + ai2j。
对于任意给定的实数 k1, k2, ..., kn，向量 b = k1a1 + k2a2 + ... + knan 称为向量组 a1, a2, ..., an 的线性组合。
3. 向量的共面性若存在不全为零的实数 k1, k2, k3，使得 k1a1 + k2a2 + k3a3 = 0，称向量组 a1, a2, a3 共面。
平面向量的线性运算一般讲解版
平面向量的线性运算[知识链接]1．向量的有关概念(1)向量：既有 又有 的量叫做向量，向量的大小叫做向量的 (或称 )．(2)零向量： 的向量叫做零向量，其方向是 的．(3)单位向量：长度等于 个单位的向量．(4)平行向量：方向 的非零向量，平行向量又叫 向量，任一组平行向量都可以移动到同一直线上．规定：0与任一向量 ．(5)相等向量：长度 且方向 的向量．(6)相反向量：与a 长度 ，方向 的向量，叫做a 的相反向量．2.向量的加法运算及其几何意义 （1）已知非零向量b a ,，在平面内任取一点A ，作B A =b C B a =,，则向量C A 叫做a 与b 的 ，记做 ，即 = C B B A += ，这种求向量和的方法，称为向量加法的 。
（2）以同一点O 为起点的两个已知向量b a ,为邻边做平行四边形0ACB ，则以O 为起点的对角线C O 就是a 与b 的和，这种做两个向量和的方法称为向量加法的 。
(3)加法的几何意义：从法则可以看中，如下图所示．3. 向量的减法运算及其几何意义 （1）定义b a -=+a ，即减去一个向量等于加上这个向量的 。
（2）如右图，,,b D A a B A ==则=C A ，=B D 。
4．向量数乘运算及其几何意义(1)定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下：①|λa |＝ ； ②当λ>0时，λa 的方向与a 的方向 ；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向；当λ＝0时，λa ＝0 .(2)运算律设λ，μ是两个实数，则①λ(μa )＝ ；(结合律)②(λ＋μ)a ＝ ；(第一分配律) ③λ(a ＋b )＝ .(第二分配律)(3)两个向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是 .[基础检测]：A1．已知λ∈R ，则下列命题正确的是 ( ) A ．|λa |＝λ|a | B ．|λa |＝|λ|a C ．|λa |＝|λ||a | D ．|λa |>0A2．平行四边形ABCD 中，O 为AC 与BD 的交点，点E 在BC 上，且BE →＝2EC →，设AB →＝a ，AD →＝b ，则OE →为 ( )A.32a ＋76bB.12a ＋16bC.12a －16bD.12a ＋23b A3．在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________.(用a 、b 表示)A4．已知向量集合M ＝{a |a ＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R}，N ＝{b |b ＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R}，则M ∩N＝________.B5．下列四个命题：(1)对于实数m 和向量a ，b ，恒有m (a －b )＝m a －m b ；(2)对于实数m 和向量a ，b (m ∈R)，若m a ＝m b ，则a ＝b ；(3)m a ＝n a (m ，n ∈R ，a ≠0 )，则m ＝n ；(4) a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ，其中正确命题的个数为________．[典型例题]题型一 向量的有关概念A 例1、判断下列各命题是否正确.（1）若|a|=|b|，则a=b;（2）若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB=DC 是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件；（3）若a ∥b,b ∥c ，则a ∥c;（4）两向量a,b 相等的充要条件是：|a|=|b|且a ∥b ；A[变式训练]1．判断下列各命题的真假：(1)向量AB →的长度与向量BA →的长度相等；(2)向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；(3)两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；(4)两个有公共终点的向量，一定是共线向量；(5)向量AB →与向量CD →是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上；其中假命题的个数为 ( )A ．2B ．3C ．4D ．5题型二 平面向量的线性运算B 例2:(2009·山东卷)设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则 ( )A.PA →＋PB →＝0B.PC →＋PA →＝0C.PB →＋PC →＝0D.PA →＋PB →＋PC →＝0B 【变式训练】平行四边形ABCD 对角线交点C ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，OA →＝a ，OB →＝b ，用a 、b 表示OM →、ON →、MN →.题型三 平面向量共线定理及应用B 例3设两个非零向量e 1和e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，求证：A 、C 、D 三点共线；(2)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，CD →＝2e 1－ke 2，且A 、C 、D 三点共线，求k 的值．B[变式训练] 设1e ，2e 是两个不共线的向量，则向量m ＝－1e ＋k 2e (k ∈R)与向量n ＝2e －21e共线的充要条件是 ( )A ．k ＝0B ．k ＝1C ．k ＝2D ．k ＝21 【达标检测】A1．△ABC 中，BD →＝12DC →，AE →＝3ED →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则BE →＝________. B2.设O 是△ABC 内部的一点，且OA →＋2OB →＋2OC →＝0，则△ABC 和△OBC 的面积之比为( )A ．3∶2B ．5∶2C ．4∶1D ．5∶1 B3、O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的 ( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心B4．在△AOB 中，C 是AB 边上的一点，且BC CA＝λ(λ>0)，若OA →＝a ，OB →＝b . (1)当λ＝1时，用a ，b 表示OC →；(2)用a ，b 表示OC →.C5．已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 的形状是 ( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰(非等边)三角形D ．等边三角形 C6．若a ，b 是两个不共线的非零向量，t ∈R.(1)若a ，b 起点相同，t 为何值时，a ，tb ，13(a ＋b )三向量的终点在一直线上？ (2)若|a |＝|b |且a 与b 夹角为60°，t 为何值时，|a －tb |的值最小？。
平面向量的线性运算与应用
平面向量的线性运算与应用平面向量是解决平面上几何问题的重要工具之一，线性运算是平面向量的基本操作，而应用则是将线性运算应用于实际问题的过程。
本文将介绍平面向量的线性运算以及一些典型的应用。
一、平面向量的线性运算1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律，即对于任意两个向量a和b，有a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。
向量的加法可以通过将两个向量的对应分量相加得到。
2. 向量的数乘向量的数乘是指向量与一个实数相乘的操作。
设向量a，实数k，则ka为向量的数乘，即ka = (k * ax, k * ay)。
向量的数乘满足结合律和分配律。
3. 向量的减法向量的减法可以看作是加法的逆运算，即a - b = a + (-b)。
其中，-b 为向量b的相反向量，满足-b = (-1) * b。
二、平面向量的应用1. 平面几何问题平面向量可以用于解决平面几何中的一些问题，如求线段的中点、垂直平分线、三角形的重心、垂心等。
通过将问题转化为向量运算，可以简化求解过程。
2. 力的合成与分解在物理学中，力可以看作是一个有大小和方向的向量。
利用向量的加法，可以将多个力合成为一个合力，求解物体受力情况。
而利用向量的分解，则可以将一个力分解为多个分力，研究物体的运动情况。
3. 直角坐标系与向量的关系在直角坐标系中，向量可以表示为一个有序数对。
通过向量的线性运算，可以计算向量的模、单位向量、向量的夹角等。
这对于解决平面几何问题以及分析物体的运动具有重要意义。
4. 平面向量的投影向量的投影即一个向量在另一个向量上的正交投影。
通过向量的内积运算，可以计算向量的投影长度，从而解决一些与平面几何相关的问题，如点到直线的距离、直线的夹角等。
总结：平面向量的线性运算及其应用广泛应用于数学、物理等领域。
通过熟练掌握向量的线性运算规则，并将其应用于实际问题的解决中，可以提高解题效率，简化计算过程。
对于学习平面几何、力学等学科具有重要意义。
平面向量的线性运算与应用
平面向量的线性运算与应用平面向量是在平面内表示和描述位移、速度、加速度等概念的数学工具。
通过对平面向量的线性运算和应用，可以解决许多实际问题。
本文将对平面向量的线性运算和应用进行详细介绍。
一、平面向量的定义和表示在平面上选择一个定点O作为原点，建立一个平面直角坐标系。
平面上的向量可以由其起点和终点所确定的位移矢量来表示，一般用a 或者AB表示，其中a表示向量本身，AB表示向量的起点和终点。
二、平面向量的线性运算1. 平面向量的加法平面向量的加法满足三条运算法则：交换律、结合律和零向量的存在。
即对于任意的平面向量a、b、c，满足以下运算法则：（1）交换律：a + b = b + a（2）结合律：(a + b) + c = a + (b + c)（3）零向量的存在：存在一个向量0，使得a + 0 = a2. 平面向量的数乘平面向量的数乘即一个向量乘以一个实数，表示将向量的长度进行伸缩。
数乘满足以下性质：（1）对于任意的实数k，向量a和b，有 k(a+b) = ka + kb（2）对于任意的实数k和l，向量a，有 (kl)a = k(la)（3）对于任意的向量a，有 1·a = a3. 平面向量的减法平面向量的减法是指将减数的方向反转，并与被减数相加，即 a - b = a + (-b)。
其中，-b表示向量b的反向。
三、平面向量的应用平面向量的线性运算在实际问题中有广泛的应用，例如：1. 位移和速度问题平面向量的加法可以用来计算多个位移矢量的合成位移，即将多个矢量的起点连接起来，终点连接起来，用一条直线连接它们的起点和终点，这条直线的位移矢量就是合成位移。
速度是位移随时间的变化率，可以用平面向量表示。
两个向量相加可以得到合成速度，而向量的数乘可以得到速度的倍数。
2. 力的合成当一个物体受到多个力的作用时，可以使用平面向量的加法将这些力合成为一个合力。
3. 投影问题平面向量的投影可以用来解决物理问题中的投影问题，如在一个平面上，从一个点出发，以一定的角度投射一个物体，可以通过平面向量的投影来计算物体在平面上的投影的位置。
平面向量的线性运算以及坐标运算
一、同步知识梳理1、向量：既有大小，又有方向的量．(注意零向量，单位向量) 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素:起点、方向、长度．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量．2、向量加(减)法运算:⑴三角形法则的特点:首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+．⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++;③00a a a +=+=．3、向量数乘运算:⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=;②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同;当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=．⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+．二、同步例题分析例1、判断下列命题的真假。
(1）零向量是没有方向的；（2）零向量与任一向量共线;(3）零向量的方向是任意的；（4）单位向量都是相等的向量；（5）向量AB 与向量BA 的长度相等；(6)不相等的向量一定不平行；（7）若两个单位向量共线，则必相等；（8）向量就是有向线段；（9）非零向量a 的单位向量是a a；（10）若//a b ,则a b =；（11）若a b =，则a b =；（12）baCB Aa b C C-=A -AB =B若a b =，则//a b ；(13）若a b =，则a b =。
例2、给出下列几个命题： （1） 若//, //a b b c ,则//a c ；（2） 若AB DC =，则A 、B 、C 、D 四点是平行四边形的四个顶点； （3） 在平行四边形ABCD 中，一定有AB DC =; （4） 若, m n n k ==，则m k =. 其中不正确命题的个数为（ )A. 2B. 3C. 4D. 5例3、如图，在ABCD 中，1, , 3AB a AD b AN AC ===,M 为BC 的中点，则MN =________。
(完整版)平面向量的线性运算
ABabbaa a O =−→−OBA B O B a abb=−→−OB a +b ABAa +b向量的线性运算（一）1.向量的加法向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。
表示：→--AB −→−+BC =→--AC ．规定：零向量与任一向量a ，都有00a a a +=+=．【注意】：两个向量的和仍旧是向量（简称和向量）作法：在平面内任意取一点O ，作→--OA =a →--→--OB =→--OA +→--AB a +b2.向量的加法法则（1）共线向量的加法：同向向量反向向量（2）不共线向量的加法几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）。
三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。
表示：→--AB −→−+BC=→--AC ．平行四边形法则：以同一点A 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作平行四边形ABCD ，则以A 为起点的对角线→--AC 就是a 与b 的和，这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则。
如图，已知向量a 、b 在平面内任取一点A ，作→--AB =a ，=−→−BC b ，则向量−→−AC 叫做a与b 的和，记作a +b ，即a +b +=−→−AB =−→−BC −→−AC【说明】：教材中采用了三角形法则来定义，这种定义，对两向量共线时同样适用，当向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的 特殊情况：探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |; （3）当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |,当a 与b 反向时，若|a |>|b |,则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |,则a +b 的方向与b 相同，且|a +b |=|b |-|a |.（4）“向量平移”：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加3.向量加法的运算律（1）向量加法的交换律：a +b =b +a（2）向量加法的结合律：(a +b ) +c =a +(b +c ) 证明：如图：使=−→−AB a , =−→−BC b , =−→−CD c 则(a +b )+c =−→−AC +=−→−CD −→−AD ，a + (b +c )=−→−AB −→−+BD −→−=AD ,∴(a +b )+c =a +(b +c )从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行例如：()()()()a b c d b d a c +++=+++；[()]()a b c d e d a c b e ++++=++++．例题：例1. O 为正六边形的中心，作出下列向量：（1）−→−OA +−→−OC （2）−→−BC +−→−FE （3）−→−OA +−→−FE例2．如图，一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时水aaab bba +ba +b ABC ABCD三角形法则平行四边形法则的流速为h km /2，求船实际航行的速度的大小与方向。
平面向量的线性运算
平面向量的线性运算在数学中，平面向量是向量的一种，它在平面内具有长度和方向，可以用有向线段表示。
平面向量之间可以进行线性运算，包括加法和数乘。
本文将详细介绍平面向量的线性运算及其性质。
一、平面向量的定义平面向量是指具有大小和方向的向量，它们通常用加粗的小写字母表示，如a、a等。
平面向量可以用有向线段表示，线段的起点表示向量的起点，线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小。
二、平面向量的加法平面向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
设有两个平面向量a和a，它们的加法定义为：a + a = a + a这意味着向量的加法满足交换律，顺序不影响结果。
加法的几何解释为将两个向量的起点相连，然后将它们的箭头相连，新向量的起点与第一个向量的起点相同，终点与第二个向量的终点相同。
三、平面向量的数乘平面向量的数乘是指将一个向量与一个实数相乘得到一个新的向量。
设有一个平面向量a和一个实数a，它们的数乘定义为：aa = aa数乘有以下性质：1. 数乘满足结合律：(aa)a = a(aa)，其中a和a为实数。
2. 数乘满足分配律：(a + a)a = aa + aa，其中a和a为实数。
3. 数乘满足分配律：a(a + a) = aa + aa，其中a为实数，a和a为平面向量。
四、线性组合线性组合是指将一组向量与一组实数相乘并求和得到一个新的向量。
设有a个平面向量a₁、a₂、...、aa和a个实数a₁、a₂、...、aa，它们的线性组合定义为：a₁a₁ + a₂a₂ + ... + aaaa线性组合是向量加法和数乘的联合运算，这个概念在线性代数中具有重要的应用。
五、线性运算的性质1. 交换律：向量加法满足交换律，即a + a = a + a。
2. 结合律：向量加法满足结合律，即(a + a) + a = a + (a + a)，其中a、a和a为平面向量。
3. 分配律：向量加法和数乘满足分配律，即a(a + a) = aa + aa，(a + a)a = aa + aa，其中a、a为实数，a和a为平面向量。
平面向量的线性运算与应用
平面向量的线性运算与应用平面向量是数学中一个重要的概念，具有广泛的应用。
在本文中，我们将探讨平面向量的线性运算及其应用。
通过学习和理解这些概念，我们可以更好地应用平面向量解决实际问题。
一、平面向量的定义和表示方式平面向量可以用有序数对表示，其中第一个数表示向量在x轴上的分量，第二个数表示向量在y轴上的分量。
例如，向量a可以表示为a = （a1，a2）。
平面向量也可以使用箭头表示，箭头的指向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
二、平面向量的线性运算平面向量可以进行加法、减法和数乘等线性运算。
1. 向量加法：向量的加法是指将两个向量相加的运算。
由于向量有方向，所以向量相加要根据有向线段法则进行运算。
2. 向量减法：向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到的运算。
向量减法也要遵循有向线段法则。
3. 数乘：数乘是指将向量的每个分量都乘以一个实数得到的运算。
数乘可以改变向量的大小和方向。
三、平面向量的应用平面向量在许多领域中都有广泛的应用，包括几何、物理、工程等。
1. 几何应用：平面向量可以用于求解几何问题，如点的坐标、线段的长度、角的夹角等。
通过将几何问题转化为向量问题，可以简化计算过程。
2. 物理应用：平面向量在物理学中有着重要的应用。
例如，力可以表示为一个平面向量，通过对力的合成和分解，可以求解物体的运动、受力分析等问题。
3. 工程应用：平面向量的应用在工程领域中也非常广泛。
例如，力的分解、矢量图形的绘制、力矩的计算等都需要运用平面向量的知识。
四、平面向量的线性运算与应用实例为了更好地理解平面向量的线性运算及其应用，我们来看一个实例：假设有一辆汽车沿着某条道路行驶，速度为v1，风的速度为v2，向量v1表示汽车的速度，向量v2表示风的速度。
1. 向量加法的应用：汽车的实际速度可以表示为v = v1 + v2。
如果风向相反于汽车行驶的方向，那么汽车的实际速度会减小；如果风向与汽车行驶的方向一致，那么汽车的实际速度会增加。
平面向量的线性运算
平面向量的线性运算平面向量是平面上的有向线段，可以进行各种线性运算，包括加法、减法、数乘、内积和外积。
本文将详细介绍平面向量的线性运算。
一、平面向量的定义平面向量是平面上具有大小和方向的有向线段，通常用箭头表示，例如，向量AB用→AB表示，A为向量的起点，B为向量的终点。
平面向量可以表示为(a, b)，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的投影。
二、平面向量的加法设有平面向量→AB和→CD，它们的和向量为→AD=→AB+→CD。
向量的加法满足交换律，即→AB+→CD=→CD+→AB。
加法运算的几何解释是将向量→CD以→AB为起点进行平移，得到以A为起点，D为终点的向量→AD。
三、平面向量的减法设有平面向量→AB和→CD，它们的差向量为→AC=→AB-→CD。
向量的减法满足非交换律，即→AB-→CD≠→CD-→AB。
减法运算的几何解释是将向量→CD以→AB的起点为终点进行平移，得到以A为起点，C为终点的向量→AC。
四、平面向量的数乘对于平面向量→AB，实数k，k×→AB为平面向量的数乘。
数乘的结果是一个新的平面向量，它的长度为原向量的长度乘以数乘系数k，方向与原向量相同（当k>0时），或相反（当k<0时）。
五、平面向量的内积两个向量→AB和→CD的内积记作→AB·→CD，它等于向量→AB在→CD上的投影长度与→CD的模长之积，即|→AB|×|→CD|×cosθ，其中θ为→AB和→CD的夹角。
内积运算满足交换律，即→AB·→CD=→CD·→AB；和分配律，即(→AB+→CD)·→EF=→AB·→EF+→CD·→EF。
内积运算可以用来判断两个向量是否垂直，当且仅当向量的内积为0时，它们垂直。
六、平面向量的外积两个向量→AB和→CD的外积记作→AB×→CD，它是一个新的向量，它的模长等于两个向量构成的平行四边形的面积，方向垂直于所构成平行四边形的平面，并按右手法则确定。
平面向量的线性运算
平面向量的线性运算在数学中，平面向量是一个有大小和方向的量。
它可以表示为一个箭头，并且可以用坐标表示。
平面向量的线性运算是指对平面向量进行加法和数乘的操作。
一、平面向量的加法平面向量的加法是指将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。
如果有两个向量A和B，它们的坐标分别为(Ax, Ay)和(Bx, By)，则它们的加法可以表示为：A +B = (Ax + Bx, Ay + By)例如，如果有向量A(2, 3)和向量B(1, -2)，则它们的加法运算为：A +B = (2 + 1, 3 + (-2)) = (3, 1)二、平面向量的数乘平面向量的数乘是指一个向量与一个实数相乘的操作。
如果有一个向量A和一个实数k，则它们的数乘可以表示为：kA = (kAx, kAy)例如，如果有向量A(2, 3)和实数k = 2，则它们的数乘运算为：2A = (2 × 2, 2 × 3) = (4, 6)三、平面向量的线性运算平面向量的线性运算是指对向量加法和数乘进行组合运算。
如果有两个向量A和B，以及两个实数k和m，则它们的线性运算可以表示为：kA + mB = (kAx + mBx, kAy + mBy)例如，如果有向量A(2, 3)、向量B(1, -2)和实数k = 2，m = 3，则它们的线性运算为：2A + 3B = (2 × 2 + 3 × 1, 2 × 3 + 3 × (-2)) = (7, 0)四、平面向量的性质平面向量的线性运算具有以下性质：1. 交换律：A + B = B + A2. 结合律：(A + B) + C = A + (B + C)3. 分配律：k(A + B) = kA + kB4. 结合分配律：(k + m)A = kA + mA这些性质使得平面向量的线性运算更加方便和灵活，可以简化运算过程并推导出更多的结论。
总结：平面向量的线性运算包括加法和数乘两种操作。
平面向量的线性运算及练习
平面向量的线性运算及练习平面向量的线性运算学习过程知识点一：向量的加法（1）定义已知非零向量,a b，在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝b，则向量AC叫做a与b的和，记作a b+，即a b+＝AB＋BC＝AC．求两个向量和的运算，叫做叫向量的加法．这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．说明：①运用向量加法的三角形法则时，要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量终点的向量即为和向量.②两个向量的和仍然是一个向量，其大小、方向可以由三角形法则确定．③位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型．（2）向量加法的平行四边形法则以点O为起点作向量aOA=，OB b=，以OA,OB为邻边作OACB，则以O为起点的对角线所在向量OC就是,a b的和，记作a b+=OC。
说明：①三角形法则适合于首尾相接的两向量求和，而平行四边形法则适合于同起点的两向量求和，但两共线向量求和时，则三角形法则较为合适.②力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型．③对于零向量与任一向量00，+=+=a a a a（3）特殊位置关系的两向量的和①当向量a与b不共线时，a+b的方向不同向，且|a+b|<|a|+|b|；②当a与b同向时，则a+b、a、b同向，且|a+b|=|a|+|b|，③当a与b反向时，若|a|>|b|，则a+b的方向与a相同，且|a+b|=|a|-|b|；若|a|<|b|，则a+b的方向与b相同，且|a+b|=|b|-|a|.（4）向量加法的运算律①向量加法的交换律：a+b=b+a②向量加法的结合律：(a+b)+c=a+ (b+c)知识点二：向量的减法（1）相反向量：与a长度相同、方向相反的向量.记作-a。
⑴|λa|＝|λ||a|⑵当0λ>时，λa的方向与a的方向相同；当0λ<时，λa的方向与a的方向相反．当0λ=时，λa＝0（2）向量数乘的运算律根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律：设λ、μ⑴λ(μa)＝(λμ)a；⑵(λ＋μ)a＝λa＋μa；⑶λ(a＋b)＝λa＋λb．知识点四：向量共线的条件向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa．学习结论（1）两个向量的和仍然是向量，它的大小和方向可以由三角形法则和平行四边形法则确定，这两种法则本质上是一致的．共线向量加法的几何意义，为共线向量首尾相连接，第一个向量的起点与第二个向量的终点连接所得到的有向线段所表示的向量．（2）a b-可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量（3）实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘．向量数乘的几何意义就是几个相等向量相加．（4）向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa。
平面向量的线性运算
平面向量的线性运算平面向量是解析几何中的重要概念，它不仅可以表示方向和大小，还可以进行各种运算。
其中，线性运算是指向量之间基于线性关系进行的运算，包括向量的加法、减法和数量乘法。
下面将详细介绍这些线性运算。
1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
设有向量A和向量A，它们的加法运算是指将向量A的终点与向量A的起点重合，将向量A的终点与此位置的终点相连接得到一个新的向量A。
表示为：A = A + A。
2. 向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
设有向量A和向量A，它们的减法运算是指将向量A取反后与向量A进行加法运算，即A = A - A，等价于A = A + (-A)。
3. 数量乘法数量乘法是指将一个向量与一个实数相乘得到一个新的向量。
设有向量A和实数A，它们的数量乘法运算是指将向量A拉长或缩短，与实数A的绝对值成正比。
当A > 0时，方向与原向量相同；当A < 0时，方向与原向量相反。
表示为：AA。
在进行向量的线性运算时，需要特别注意以下几点：1. 矢量的起点和终点在进行向量的线性运算时，需要明确矢量的起点和终点。
起点表示向量的起始位置，终点表示向量的结束位置。
2. 向量的方向向量的方向是指从起点指向终点的方向。
加法和减法运算中，可以通过将向量的起点重合来确定新向量的方向。
3. 向量的大小向量的大小是指向量的长度或模。
表示为 |A|，可以通过勾股定理来计算：|A| = √(A²+A²)，其中A和A分别为向量的水平和垂直分量。
4. 向量的单位向量单位向量是指长度为1的向量。
可以通过将向量除以它的模来得到单位向量。
表示为：A = A/|A|。
5. 向量的平行和垂直性向量A与向量A平行等价于A = AA（A为实数），向量A与向量A垂直等价于A ·A = 0（·表示向量的数量积）。
通过以上介绍，我们了解了平面向量的线性运算和相关概念。
平面向量的线性运算
平面向量的线性运算平面向量是平面上的有向线段，具有大小和方向，可以进行线性运算。
本文将介绍平面向量的加法、减法、数量乘法以及其他相关的线性运算。
一、平面向量的加法平面向量的加法满足以下性质：1. 交换律：对于任意两个向量a和b，a+b=b+a。
2. 结合律：对于任意三个向量a、b和c，(a+b)+c=a+(b+c)。
3. 零向量：对于任意向量a，存在一个特殊的向量0，称为零向量，满足a+0=a。
4. 相反向量：对于任意向量a，存在一个特殊的向量-b，称为a的相反向量，满足a+(-a)=0。
二、平面向量的减法平面向量的减法可以看作是向量加上其相反向量的过程。
即，对于任意向量a和b，a-b=a+(-b)。
三、平面向量的数量乘法平面向量的数量乘法即将一个向量乘以一个实数。
具体来说，对于任意向量a和实数k，ka是一个新的向量，满足以下性质：1. 数量乘法的结合律：对于任意向量a和实数k、l，(kl)a=k(la)。
2. 数量乘法与向量加法的分配律：对于任意向量a和实数k、l，(k+l)a=ka+la。
3. 数量乘法与实数加法的分配律：对于任意向量a和实数k、l，(k+l)a=ka+la。
4. 数量乘法与实数乘法的分配律：对于任意向量a和实数k、l，(kl)a=k(la)。
四、线性组合线性组合是指将若干个向量按照一定比例进行加法和数量乘法运算得到的向量。
具体来说，对于给定的向量a1、a2、...、an和实数k1、k2、...、kn，线性组合为k1a1+k2a2+...+knan。
五、平面向量的点积平面向量的点积也称为数量积或内积。
对于任意向量a和b，其点积记作a·b，满足以下性质：1. 交换律：对于任意向量a和b，a·b=b·a。
2. 分配律：对于任意向量a、b和c，(a+b)·c=a·c+b·c。
3. 结合律：对于任意向量a和b以及实数k，(ka)·b=k(a·b)=a·(kb)。
初中数学知识归纳平面向量的线性运算及应用
初中数学知识归纳平面向量的线性运算及应用初中数学知识归纳：平面向量的线性运算及应用一、引言初中数学中，线性运算是一个重要的概念。
在平面几何中，平面向量的线性运算是一种常见且有用的运算。
本文将归纳总结平面向量的线性运算及其应用。
二、平面向量的定义与表示平面向量是具有大小和方向的量，用有向线段表示。
在直角坐标系中，平面向量可以用坐标表示为：AB = (x, y)其中，x表示与x轴的水平距离，y表示与y轴的垂直距离。
三、平面向量的线性运算1. 平面向量的加法若有两个平面向量AB = (x₁, y₁)和CD = (x₂, y₂)，则它们的和为：AB + CD = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)2. 平面向量的数乘若有一个平面向量AB = (x, y)和一个实数k，那么它们的数乘为：kAB = (kx, ky)3. 平面向量的减法若有两个平面向量AB = (x₁, y₁)和CD = (x₂, y₂)，则它们的差为：AB - CD = (x₁ - x₂, y₁ - y₂)4. 平面向量的线性组合若有n个平面向量A₁, A₂, ..., An和n个实数k₁, k₂, ..., kn，则它们的线性组合为：k₁A₁ + k₂A₂ + ... + knAn四、平面向量的应用1. 平行向量两个向量的方向相同或相反时，它们为平行向量。
在平行四边形的性质中，平行向量具有重要的应用。
2. 向量共线与共面若有三个点A，B，C构成的两个向量AB和AC共线，则三个点A，B，C共线。
若两个向量在同一个平面内，它们为共面向量。
3. 向量的模长与方向角平面向量的模长为向量的长度，用|AB|表示。
向量的方向角为向量与水平方向的夹角，一般用α表示。
4. 平面向量的投影平面向量的投影表示一个向量在另一个向量上的投影长度，应用于解决几何问题中的投影性质。
5. 平面向量的线性相关与线性无关若存在一组实数k₁, k₂, ..., kn，使得k₁A₁ + k₂A₂ + ... + knAn = 0且不全为0，则这组向量为线性相关向量。
第02讲 平面向量的线性运算(3个知识点+4种题型+强化训练)解析版
第02讲 平面向量的线性运算（3个知识点+4种题型+强化训练）知识点一、向量加法1．向量加法的定义定义：求两个向量和的运算 叫做向量的加法． 对于零向量与任意向量a 规定0＋a ＝a ＋0＝a . 2．向量求和的法则三角形法则已知非零向量a b 在平面内任取一点A 作AB →＝a BC →＝b 则向量AC →叫做a 与b的和 记作a ＋b 即a ＋b ＝A B →＋BC →＝A C →.平行四边形法则已知两个不共线向量a b 作AB →＝a AD →＝b 以AB → AD →为邻边作▱ABCD 则对角线上的向量AC →＝a ＋b .思考：两个向量相加就是两个向量的模相加吗？[提示] 不是 向量的相加满足三角形法则 而模相加是数量的加法． 3．向量加法的运算律 (1)交换律：a ＋b ＝b ＋a .(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． 知识点二、向量减法1．相反向量(1)定义：与向量a 长度相等 方向相反的向量 叫做a 的相反向量． (2)性质：①－(－a )＝a .②对于相反向量有：a ＋(－a )＝0. ③若a b 互为相反向量 则a ＝－b a ＋b ＝0. 2．向量的减法(1)定义：a －b ＝a ＋(－b ) 即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量． (2)作法：在平面内任取一点O 作OA →＝a OB →＝b 则向量BA →＝a －b 如图所示．思考：在什么条件下|a－b|＝|a|＋|b|?[提示]当a b至少有一者为0或a b非零且反向时成立．知识点三、向量的数乘运算(1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量这种运算叫做向量的数乘记作：λa它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ＞0时λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时λa的方向与a的方向相反．(2)运算律：设λμ为任意实数则有：①λ(μ a)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μ a；③λ(a＋b)＝λa＋λb；特别地有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)；λ(a－b)＝λa－λb.(3)线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a b以及任意实数λμ1μ2恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b.(4) 共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ使b＝λa.思考：定理中把“a≠0”去掉可以吗？[提示]定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0则实数λ可以是任意实数；若a＝0b≠0则不存在实数λ使得b＝λa.知识复习题型一、向量的加法一、单选题1．在平面四边形ABCD中下列表达式化简结果与AB相等的是（）A．AC CD+B．AD DC CB++C．CA CB+--D．CB DA DC【答案】B【分析】根据平面的线性运算求得正确答案.【详解】AC C AD+=不符合题意.D++=+=符合题意.AD DC CB AC CB ABCA CB BA-=不符合题意.=+-+≠不符合题意.CB DA DC CB CA AB故选：B2．（2024下·全国·高一专题练习）下列等式不正确的是()①()()++=++；a b c a c b②0+=；AB BA③AC DC AB BD=++.A．②③B．②C．①D．③【答案】B【分析】根据向量加法的运算律判断即可.【详解】对于① ()()++=++正确；a b c a c b对于② 0+=错误；AB BA对于③ DC AB BD AB BD DC AC++=++=正确.故选：B3．（2024下·全国·高一专题练习）如图所示的方格纸中有定点O P Q E F G H则OP OQ+=（）A．OE B．OF C．OG D．OH【答案】B【分析】根据平行四边形法则即可求.【详解】以OP OQ 为邻边作平行四边形 可知OF 为所作平行四边形的对角线故由平行四边形法则可知OF 对应的向量OF 即所求向量． 故选：B4．（2024下·全国·高一专题练习）已知四边形ABCD 为菱形 则下列等式中成立的是（ ） A ．AB BC CA += B ．AB AC BC += C ．AC BA AD += D ．AC AD DC +=【答案】C【分析】根据菱形的性质 结合平面向量加法的运算性质进行判断即可. 【详解】对于A AB BC AC += 故A 错误；对于B 因为AB BC AC += 所以2AB AC AB BC +=+ 故B 错误； 对于C AC BA BA AC BC AD +=+== 故C 正确；对于D 因为AD DC AC += 所以2AC AD AD DC +=+ 故D 错误. 故选：C5．（2024上·河北石家庄·高一石家庄市第二十四中学校考期末）向量()AB OM BO MB +++= （ ） A ．BC B ．AB C ．AC D ．AM【答案】B【分析】利用向量加法的三角形法则及向量加法的运算律即可求解. 【详解】由()AB OM BO MB AB BO OM MB AB +++=+++= 故B 正确. 故选：B. 二、填空题6．（2024下·全国·高一专题练习）已知向量a 表示“向东航行3km” b 表示“向南航行3 km” 则a b +表示 .【答案】向东南航行32km. 【分析】根据向量加法法则分析即可.【详解】根据题意由于向量a 表示“向东航行3km” 向量b 表示“向南航行3km” 那么可知a b +表示向东南航行223332+=km. 故答案为：向东南航行32km 7．（2023·全国·高一随堂练习）化简：（1）AB BC CD ++= ； （2）AB BC CD DE EF ++++= ； （3）AB CB AC --= ； （4）12231n n A A A A A A -++⋅⋅⋅+= ． 【答案】 AD AF 0 1n A A 【分析】根据向量加减法的几何意义进行运算即可. 【详解】（1）AB BC CD AC CD AD ++=+=；（2）AB BC CD DE EF AC CD DE EF ++++=+++AD DE EF AE EF AF =++=+=； （3）0AB CB AC AB BC AC AC AC --=+-=-=； （4）122311311111n n n n n n n n A A A A A A A A A A A A A A A A ----++⋅⋅⋅+=+⋅⋅⋅+==+=.故答案为：AD ；AF ；0；1n A A . 三、解答题8．（2023·全国·高一随堂练习）如果0AB BC CA ++= 那么A B C 三点是否一定是一个三角形的三个顶点？ 【答案】不一定【分析】考虑A B C 三点是否共线即可回答.【详解】当A B C 三点共线也有0AB BC CA ++= 所以A B C 三点不一定是一个三角形的三个顶点.9．（2024下·全国·高一专题练习）如图 已知a 、b 、c 求作向量a b c ++．【答案】作图见解析【分析】在平面内任取一点O 作OA a = AB b = BC c = 利用平面向量加法的三角形法则可作出向量a b c ++.【详解】作法：如图所示 在平面内任取一点O 作OA a = AB b = BC c = 则OC OA AB BC a b c =++=++．题型二、向量的减法 一、单选题1．（2022上·江西·高三校联考阶段练习）对于非零向量a b “0a b +=”是“a b ∥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据相反向量一定是共线向量 共线向量不一定是相反向量可求解. 【详解】由0a b +=得0a b += 所以a b =- 则a b ∥； 由a b ∥得a 与b 方向相同或相反 模长不一定相等 所以0a b +=不一定成立所以“0a b +=”是“a b ∥”的充分不必要条件. 故选:A.2．（2023下·河北张家口·高一河北省尚义县第一中学校考阶段练习）向量AB CB DA -+=（ ） A ．BD B ．CDC ．DCD ．0【答案】C【分析】根据向量的概念 以及向量加减法的运算律 即可得出答案. 【详解】由AB CB DA AB BC DA AC AD DC -+=++=-=. 故选：C.3．（2024下·全国·高一专题练习）已知,a b 为非零向量 则下列说法错误的是（ ） A ．若||||||a b a b +=+ 则a 与b 方向相同B ．若||||||a b a b +=- 则a 与b 方向相反C ．若||||||a b a b +=- 则a 与b 有相等的模D ．若||||||a b a b -=- 则a 与b 方向相同 【答案】C【分析】运用向量三角不等式的取等条件求解即可.【详解】由向量三角不等式可知 只有当非零向量,a b 同向时 有||||||a b a b +=+||||||a b a b -=- 故A D 正确；只有当非零向量,a b 反向时 有||||||||b b a a +=- ||||||a b a b +=- 故B 正确 C 错误．故选：C ． 二、多选题4．（2023下·湖南怀化·高一校考期中）下列各式中结果一定为零向量的是（ ） A ．BO OM MB ++ B ．AB BC +C ．C BO OB O CO +++D ．AB AC BD CD -+-【答案】ACD【分析】利用向量的加法运算 结合零向量的意义逐项计算判断作答. 【详解】对于A 0O M BO M B MO OM ++=+= A 是； 对于B AB BC AC += AC 不一定是零向量 B 不是；对于C ()()000BO O OB OC CO B O C BO C O +++=+++=+= C 是； 对于D ()0AB AC BD CD AB AD AD BD AC CD -+-=+-+=-= D 是. 故选：ACD 5．若a 、b 为相反向量 且1a = 1b = 则a b += a b -= . 【答案】 0 2【分析】利用相反向量的定义结合平面向量的加、减法可求得结果. 【详解】因为a 、b 为相反向量 且1a = 1b = 则0a b += 2a b a -= 因此 0a b += 22a b a -==. 故答案为：0；2.6．（2022下·上海闵行·高一上海市七宝中学校考阶段练习）若向量a 与b 共线 且1==a b 则+=a b ． 【答案】0或2【分析】由题可知a 与b 相等或互为相反向量 据此即可求a b + 【详解】向量a 与b 共线 且a b = ∴a 与b 相等或互为相反向量 当a 与b 相等时 22a a b ==+ 当a 与b 互为相反向量时 0=0a b =+． 故答案为：0或2．7．（2022·高一课时练习）如图所示 中心为O 的正八边形1278A A A A 中()11,2,,7i i i a A A i +== ()1,2,,8j j b OA j == 则25257a a b b b ++++= ．（结果用i a ib 表示）【答案】6b【分析】根据向量的加减运算即可求得答案. 【详解】由题图可知 25257a a b b b ++++2356257A A A A OA OA OA =++++()()2235567OA A A OA A A OA =++++367OA OA OA =++36366OA OA OA OA b =+-==,故答案为：6b8．已知长度相等的三个非零向量,,OA OB OC 满足OA OB OC ++=0,则由A ,B ,C 三点构成的∴ABC 的形状是 三角形. 【答案】等边【详解】如图,以OA ,OB 为邻边作菱形OAFB ,则OA OB OF +=,∴OF OC +=0,∴OF =-OC . ∴O ,F ,C 三点共线. ∴四边形OAFB 是菱形, ∴CE 垂直平分AB.∴CA=CB. 同理,AB=AC.∴△ABC 为等边三角形. 四、解答题9．（2022下·河南周口·高一校考阶段练习）化简下列各式： (1)()()BA BC ED EC ---； (2)()()AC BO OA DC DO OB ++--- 【答案】(1)DA(2)0【分析】（1）根据平面向量加法和减法的运算法则化简即可得出结果； （2）首先化简出两个向量的结果 再与第三个向量进行加减运算即可求得结果. 【详解】（1）利用平面向量的加减运算法则可得()()()BA BC ED EC BA CB ED CE CA CD CA DC DA ---=+-+=-=+=（2）由平面向量的加减运算法则可得()()()()AC BO OA DC DO OB AC BA DC OD BO ++---=+-++()0BC DC BD BC BC =-+=-=题型三 、向量的数乘运算 一、单选题1．（2023·湖南岳阳·校联考模拟预测）已知向量,a b 则()()2a b a b +--=（ ） A ．a b + B ．a b - C ．3a b + D ．3ab【答案】D【分析】直接由向量的线性运算即可求解.【详解】由题意()()2223a b a b a b a b a b +--=+-+=+. 故选：D.2．（2024上·河南焦作·高三统考期末）已知ABC 所在平面内一点D 满足102DA DB DC ++=则ABC 的面积是ABD △的面积的（ ） A ．5倍 B ．4倍C ．3倍D ．2倍【答案】A【分析】利用平面向量的线性运算计算即可．【详解】设AB 的中点为M 因为102DA DB DC ++=所以2()CD DA DB =+ 所以4CD DM = 所以点D 是线段CM 的五等分点所以5ABC ABDCM S SDM==,所以ABC 的面积是ABD △的面积的5倍． 故选：A.3．（2023下·河南洛阳·高一河南省偃师高级中学校考阶段练习）在ABC 中 点M 是AB 的中点 N 点分AC 的比为:1:2,AN NC BN =与CM 相交于E 设,AB a AC b == 则向量AE =（ ）A．1132a b+B．1223a b+C．2155a b+D．3455a b+【答案】C【分析】由三点共线性质以及平面向量基本定理解方程组即可得解.【详解】由题意,,B E N三点共线所以存在Rλ∈使得()113AE AB AN AB ACλλλλ-=+-=+同理,,C E M三点共线所以存在Rμ∈使得()112AE AC AM AC ABμμμμ-=+-=+由平面向量基本定理可得1213μλλμ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩解得21,55λμ==所以2155AE a b=+.故选：C.4．（2023·湖南永州·统考二模）在ABC中若1,2AB AC CA CB+=+=则ABC的面积的最大值为（）A．16B．15C．14D．13【答案】D【分析】设,E F分别为,BC AB的中点结合三角形相似推出43ABC ACEFS S=四边形由题意可得1||,||12AE CF==确定四边形ACEF面积的最大值即可得答案.【详解】设,E F分别为,BC AB的中点连接EF则EF AC∥则BEF△∴BCA故14BEF ABCS S=,则34ABC ACEF S S =四边形 故43ABCACEFSS =四边形 又1,2AB AC CA CB +=+= 则21,22AB AC AE CA CB CF +==+== 故1||,||12AE CF ==当AE CF ⊥时 四边形ACEF 面积最大 最大值为1111224⨯⨯=故ABC 的面积的最大值为411343⨯=故选：D 5．（2024下·全国·高一专题练习）在ABC 中 D 为AC 上一点且满足 12AD DC =，若P 为BD 的中点 且满足 AP AB AC λμ=+，则λμ+的值是 . 【答案】23【分析】根据平面向量的线性运算计算即可. 【详解】如图因为12AD DC = 所以13AD AC =则11111112222326AP AB AD AB AC AB AC =+=+⨯=+ 所以12λ=16μ= 23λμ+=.故答案为：23.6．（2024下·全国·高一专题练习）已知矩形ABCD 中 对角线交于点O 若125,3BC e DC e == 则OC = . 【答案】12 5322e e +【分析】利用向量的线性运算可得OC 的表达形式.【详解】因为ABCD 是矩形 所以1111122222OC AC AB BC DC BC ==+=+ 所以125322OC e e =+.故答案为：125322e e +7．（2022·全国·模拟预测）在平行四边形ABCD 中 点G 在AC 上 且满足3AC AG = 若DG mAB nAD =+ 则m n -= .【答案】1【分析】利用向量线性运算求得1233DG AB AD =- 与题干对照即可求解. 【详解】()11123333DG AG AD AC AD AB AD AD AB AD =-=-=+-=- 则13m = 23n =-所以1m n -=. 故答案为：1 三、解答题8．（2024下·全国·高一专题练习）若向量x y 满足23x y a += 32x y b -= a 、b 为已知向量 求向量x y ． 【答案】231313=+x a b 321313=-y a b 【分析】根据23x y a += 32x y b -= 列方程组求解. 【详解】解：由方程组2332x y ax y b +=⎧⎪⎨-=⎪⎩解得231313=+x a b 321313=-y a b .题型四、平面向量共线定理及应用一、单选题1．（2024·陕西安康·陕西省安康中学校联考模拟预测）已知平面向量a 与b 不共线 向量(),32m xa b n a x b =+=+- 若//m n 则实数x 的值为（ ）A ．1B ．13-C ．1或13-D ．1-或13【答案】C【分析】根据平面共线定理 由向量平行 求得x 满足满足的方程 求解即可. 【详解】由//m n 且,m n 均不为零向量 则()32,m n a x b λλλλ==+-∈R可得()132x x λλ=⎧⎨=-⎩ 则()3210x x --= 整理得23210x x 解得1x =或13x ． 故选：C ．2．（2024上·辽宁·高一校联考期末）已知a 与b 为非零向量,2,OA a b OB a b OC a b λμ=+=-=+ 若,,A B C 三点共线 则2λμ+=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【分析】根据三点共线可得向量共线 由此结合向量的相等列式求解 即得答案. 【详解】由题意知 ,,A B C 三点共线 故2,(2)(1)AB a b BC a b λμ=-=-++, 且,AB BC 共线故不妨设,(0)A k B k BC =≠ 则1(2)2(1)k k λμ=-⎧⎨-=+⎩ 所以122μλ+-=- 解得23λμ+=故选：D3．（2024下·全国·高一专题练习）已知21,e e 为两个不共线的向量 若向量12122,23a e e b e e =+=-+ 则下列向量中与向量2a b +共线的是（ ） A ．1252e e -+ B ．12410e e +C ．12104e e +D ．122e e +【答案】B【分析】根据向量线性运算表示12225a b e e +=+ 然后利用共线向量基本定理求解即可. 【详解】因为向量122a e e =+ 1223b e e =-+ 所以12225a b e e +=+．又()1212410225e e e e +=+ 所以12410e e +与2a b +共线． 故选：B ． 二、填空题4．（2024·全国·高三专题练习）在ABC 中 O 是边BC 的中点 AP t AO = 过点P 的直线l 交直线,AB AC 分别于,M N 两点 且,AM mAB AN nAC == 则11m n+= . 【答案】2t【分析】由三点共线的性质列式求值. 【详解】由题意：().222t t tAP t AO AB AC AB AC ==+=+ 由,,M P N 三点共线知 ()()11AP AM AN mAB nAC λλλλ=+-=+-. ()212t m t n λλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩⇒ 212t m t n λλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩消去λ 得112m n t+=. 故答案为：2t5．（2022上·河南·高二校联考期末）已知ABC 中 点D 在线段AB （不含端点）上 且满足()R CD xCA yCB x y =+∈, 则12x y+的最小值为 .【答案】322+/223+【分析】根据向量共线可得1x y += 即可利用基本不等式的乘“1”法求解. 【详解】∴(),R CD xCA yCB x y =+∈ 由于D 在线段AB （不含端点）上 故,,A D B 三点共线 所以1x y +=且00，x y >>则()121223322y xx y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭ 当且仅当2y x xy=时 即21,22x y =-=-时取等号 故12x y+有最小值322+. 故答案为：322+.6．（2024下·全国·高一专题练习）如图所示 在ABC 中 14AN NC =P 是BN 上的一点 若611AP AB mAC =+ 则实数m 的值为 ．【答案】111【分析】借助共线定理的推论即可得. 【详解】因为14AN NC = 所以5AC AN = 所以6651111AP AB mAC AB mAN =+=+ 因为P B N 三点共线 所以65111m += 解得111m =.故答案为：111. 7．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）在ABC 中 M N 分别是边AB AC 上的点 且23AN AC =13AM AB = 点O 是线段MN 上异于端点的一点 且满足340(0)OA OB OC λλ++=≠ 则λ= ．【答案】8【分析】用OA 、AN 表示出OC 、OB 从而得到6977AO AN AM λλ=+++ 再根据M O N 三点共线 得到69177λλ+=++ 解得即可. 【详解】解：因为23AN AC =13AM AB =所以()23AN OC OA =- ()13AM OB OA =- 即32OC AN OA =+ 3OB AM OA =+因为340OA OB OC λ++= 所以()333402OA AM OA AN OA λ⎛⎫++++= ⎪⎝⎭即()769AO AN AM λ+=+ 即6977AO AN AM λλ=+++ 因为M O N 三点共线 故69177λλ+=++ 解得8λ=． 故答案为：8 8．（2022下·陕西西安·高一统考期中）设,a b 是不共线的两个向量. (1)若2OA a b =- 3OB a b =+ 3OC a b =- 求证：A B C 三点共线； (2)若8a kb +与2ka b +共线 求实数k 的值. 【答案】(1)证明见解析； (2)±4.【分析】（1）要证明三点共线 即证明三点组成的两个向量共线即可. （2）由共线性质求出参数即可.【详解】（1）由2OA a b =- 3OB a b =+ 3OC a b =- 得3(2)2AB OB OA a b a b a b =-=+--=+ 3(3)242BC OC OB a b a b a b AB =-=--+=--=-因此//AB BC 且有公共点B 所以A B C 三点共线.（2）由于8a kb +与2ka b +共线 则存在实数λ 使得8(2)a kb ka b λ+=+ 即(8)(2)0k a k b λλ-+-= 而,a b 是不共线因此8020k k λλ-=⎧⎨-=⎩解得2,4k λ==或2,4k λ=-=- 所以实数k 的值是4±.9．（2024上·辽宁·高一校联考期末）如图 在ABC 中 D 是BC 上一点 G 是AD 上一点 且2AG BD DG CD== 过点G 作直线分别交,AB AC 于点,E F .(1)用向量AB 与AC 表示AD ； (2)若54AB AE = 求ACAF 和EG EF的值.【答案】(1)1233AD AB AC =+ (2)138AC AF = 1318EG EF =.【分析】（1）利用向量的线性运算求解；（2）设AC AF μ= 利用向量的线性运算和平面向量基本定理求解. 【详解】（1）2221233333AD AB BD AB BC AB BA AC AB AC =+=+=++=+.（2）因为54AB AE = 所以54AB AE =．设AC AF μ= 22122454333399189AG AD AB AC AB AC AE AF μ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭ 因为,,G E F 三点共线 所以541189μ+= 解得138μ= 所以138AC AF =.因为48513EF EA AF AB AC =+=-+424264134859945918513EG EA AG AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=+=-++=-+=-+ ⎪⎝⎭所以1318EG EF =即1318EG EF =. 10．（2024下·全国·高一专题练习）如图 在平行四边形ABCD 中 ,,AB a AD b M ==为AB 中点 N 为BD 上靠近点B 的三等分点 求证：,,M N C 三点共线．【答案】证明见解析【分析】根据三点共线要求证明//CM CN即可.【详解】∴,AB a AD b==∴BD AD AB b a=-=-．∴N是BD上靠近点B的三等分点∴11()33BN BD b a==-．∴在平行四边形中BC AD b==∴112()333CN BN BC b a b a b =-=--=--．①∴M为AB的中点∴111,()222MB a CM MC MB BC a b a b⎛⎫=∴=-=-+=-+=--⎪⎝⎭．②由①②可得32CM CN=．由向量共线定理知//CM CN．又∴CM与CN有公共点C ∴,,M N C三点共线．。
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九年级数学
第24章 第4节 平面向量的线性运算
【知识点】
1.设k 是一个实数，a 是向量，那么k 与a 相乘所得的积是一个向量记作k a
如果k ≠0，且a ≠0，那么k a 的长度|k a |=|k| |a |；k a 的方向：当k>0时 k a 与a 同方向；当k<0时 k a 与a 反方向 如果k=0 或a =0，那么k a =0 2.设m 、n 为实数 （1）m （n a =（mn a ） （2）（m+n ）a =m a +n a （3）m （a +b ）=m a +m b
3.平行向量定理 如果向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一的实数m ，使b =m a 即 ∵a //b ∴b =m a 或 a =m b 反之 ∵b =m a 或 a =m b ∴a //b
4.在实数中，0和1是特殊的数；在向量中 0和e 是特殊的向量.
5.和向量和分向量
和向量 ①平行四边形法则 ②三角形法则
如图 平行四边形ABCD AC 是对角线 如图 三角形OAB 中 则AC AD AB =+ 则OB AB OA =+ 分向量 平行四边形法则 画法（如图）
∴方向上的分向量，在是OA OB
,p
OD OE
九年级数学
【自主练习】 一、选择题
1.已知a 、b 是两个非零向量，e 是一个单位向量，下列等式中正确的是（ ） （A ）
e a
a =； （B ）
b
b a
a =
； （C ）a e a =； （D ）a a e =．
2．下列判断不正确的是……………………………………………………………（ ）
（A ）0AB BA += ； （B ）如果AB CD = ，那么AB CD =
； （C ）a b b a +=+ ；
（D ）如果a k b =⋅ （0k ≠），那么//a b
．
5、在四边形ABCD 中，向量AB 、BC 、CD 的和向量是……………………………（ ）
A 、AC
B 、DA
C 、B
D D 、AD
8．化简()(
)
AB CD BE DE -+-
的结果是（ ）
(A) CA ; (B) AC ; (C) O ; (D) AE .
5．下列语句错误的是（ ）
（A ）如果0=k 或0
=a ，那么0=a k
；
（B ）如果m 、n 是非零实数，a 是非零向量，那么a n a m a n m +=+)(； （C ）如果a
是一个非零向量，a m b =，那么b ∥a ；
（D ）如果向量b 和非零向量a
平行，那么存在唯一的实数m ，使a m b =．
二、填空题 1.计算：
)()(b a b a 331
221-++=___________ 2．若a 与单位向量e 方向相反且长度为3，则=a
．
3．如果向量a 、x 满足关系式x x a
=+)(3，用向量a 表示向量x ，则x ＝ ．
4．如右上图，在平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AB 、CD 上的中点，记
b AD a AE ==,．用含a 、b
的式子表示向量=AF ．
5.已知在梯形A B C D 中，AD ∥BC ,EF 是梯形的中位线，若
:1:3AD BC =,AD a = ，则EF =
（用a 表示）.
6.若a 与单位向量e 方向相反且长度为5，则a 用单位向量e
表示为：
=a
．
7.如果向量a 、x 满足关系式x x a
=-2，用向量a 表示向量x ，则x ＝ ．
8.如图， DE ∥BC ，且2AD =AB ，试用向量BC 表示向量DE ： ．
9．在平行四边形ABCD 中，若 =a
， =b ，则 = （用a
和b 表示）.
10．如图，已知点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，DE ∥BC ，且3AD =2DB ，试
→
→ →
→ → →
→ F
E
D
C
B
A AD AB
DB B C
A
D
E
E D
B
C
A
F
E
D
C
B
A
九年级数学
用向量BC 表示向量DE ： ．
14. 已知直线l 上依次有五个点A 、B 、C 、D 、E （如图）， 满足AB=BC=CD=DE ，如果把向量AB 作为单位向量e ， 那么向量CE DA += .（结果用单位向量e 表示） 15．如图，在ABC ∆中，D 是AB 边的中点，E 是BC 延长线上的点，且BC BE 2=，试根据下列要求表示向量DE ， （1）用BA 、BC 表示____________________； （2）用CA 、CB 表示_____________________． 三、作图题（先化简，再作图）
1.如图，已知向量a 、b ，求作向量)2
1
()2(b a b a --+．
【创新探究】
1、已知a －b ＝－c ，a ＋b ＝3c ，那么a 与b
平行吗？
2、如图，D 是△ABC 的边AC 上的一点，AD ＝
1
2
DC ，E 、F 、G 分别AD 、BD 、BC 的中点。
设AB ＝a ，AC ＝b ，试用向量a 、b
的线性组合表示向量EG
A B C D E
l A
B
C
D
E
a
b
A G
C
E
F
B
D。