D6-1空间解析几何简介(两节)

椭球面、抛物面、双曲面、锥面 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
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1. 椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a,b, c为正数)
(1)范围：
x a, y b, z c
O
(2)与坐标面的交线：椭圆
一元函数微积分学
极限与连续
导数与微分
互
逆
不定积分与定积分
常微分 方程
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多元函数微积分学
极限与连续
偏导数与全微分
互
逆
重积分与线、面积分
偏微分 方程
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第六章 多元函数微分学
第一部分 多元函数的极限与连续 第二部分 多元函数的偏导数与全微分
第一节
第六章
R 0, 0, c Q 0, b, 0
P a, 0, 0
x y z 1 a b c
即
y
z
1
b c
x 0
x 0
它是yoz坐标平面上的一条直线.
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x 1
例如,
y2
为一条空间直线.
z
z 4 x2 y2 yx0
为一条空间曲线.
z
oo
2y
1
x
o
2y
x
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绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
M (0, y, z)
O
y
两边平方
x
z2 a2( x2 y2 )
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例5 求坐标面 xOz 上的双曲线
分别绕 x
z 轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.
解: 绕 x 轴旋转 所成曲面方程为
z
x2 a2
y2 z2 c2
1
x
O y
绕 z 轴旋转所成曲面方程为
例 1 求证以 M1(4,3,1)、 M2(7,1,2)、 M3(5,2,3)
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
解 M1M2 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14, M2M3 2 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M3M1 2 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6,
同理： • A x+C z+D = 0 表示平行于 y 轴的平面; • A x+B y+D = 0 表示平行于 z 轴的平面; • C z + D = 0 表示平行于 xOy 面 的平面; • A x + D =0 表示平行于 yOz 面 的平面； • B y + D = 0 表示平行于 zOx 面 的平面.
xoz平面上的曲线f (x, z) 0 绕x轴：f ( x , y2 z2 ) 0, 绕z轴：f ( x2 y2 , z) 0.
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例3 求yoz平面上的抛物线y2 2 pz p 0绕y轴或绕z轴
所得的旋转曲面的方程.
解 因为yoz平面上的曲线f ( y, z) 0
化简得 2x 6 y 2z 7 0
说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.
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1. 曲面的一般方程
在空间直角坐标系中，三元方程
F(x, y, z) 0
z
S
F( x, y, z ) = 0
Oy x
表示一个曲面S ，称为曲面 S 的一般方程.
曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.
xO y
z
x2 y2 a2
z2 c2
1
x
O
y
这两种曲面都叫做旋转双曲面.
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2.柱面
z
引例. 分析方程
表示怎样的曲面 .
M
解 在 xOy 面上，
表示圆C,
C
O
M1
y
在圆C上任取一点 M1(x, y,0), 过此点作 x
平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 点M (x, y, z)
例如， x + y + z = 1 表示的平面为
O
x
1, 0, 0
0,1, 0
y
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Ax By Cz D 0
特殊情形： • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示通过原点的平面; • 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 表示平行于 x 轴的平面;
母线 平行于 z 轴; 准线 xOy 面上的曲线 l1. 方程 G( y, z) 0 表示 柱面,
母线 平行于 x 轴;
准线 yOz 面上的曲线 l2. 方程 H (z, x) 0 表示 柱面,
母线 平行于 y 轴; 准线 xOz 面上的曲线 l3.
z
O
x l1
y z l2
O
y
x z l3 O
x
z
R
M1• P
o
d M1M2 ?
• M2
Q N
在直角M1 NM2 及 直 角 M1PN
中，使用勾股定理
y知
x
d 2 M1P 2 PN 2 NM 2 2 ,
M1P x2 x1 , PN y2 y1 ,
zR
M1•
P
o
• M2
Q Ny
NM 2 z2 z1 ,
x
z
• M2 (x2 , y2 , z2 )
距离为 R 的轨迹 方程.
解: 设轨迹上动点为
依题意
即
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R
故所求方程为
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
z
特别,当M0在原点时,球面方程为
x2 y2 z2 R2
表示上(下)球面 .
M0
M
O
y
o
y
x1
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又如,方程组 z
表示上半球面与圆柱面的交线C.
ay
x
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特别地,空间直线是空间两个平面的交线，其一 般方程为
A1x A2 x
B1y C1z D1 0 B2 y C2z D2 0
例如,平面 x y z 1
abc
与yoz坐标平面的交线可表示为
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例2 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程. 解 因平面通过 x 轴 , 故 A D 0
设所求平面方程为
By Cz 0
代入已知点 (4, 3, 1) 得 化简,得所求平面方程
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3. 球面的一般方程
例3 求动点到定点
z
C : f (y, z) 0
O
y
x
f ( y, x2 z2 ) 0
y, z) 0 绕y轴：f ( y , x2 z2 ) 0, 绕z轴：f ( x2 z2 , z) 0.
xoy平面上的曲线f (x, y) 0 绕x轴：f ( x , y2 z2 ) 0, 绕y轴：f ( y , x2 z2 ) 0.
l
的坐标也满足方程 x2 y2 R2
沿圆周C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆
柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程, 故在空间 x2 y2 R2 表示圆柱面
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定义 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成
的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.
四、常见曲面
1．旋转曲面 定义 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转
一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转轴. 例如 :
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建立yOz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yOz 面上曲线 C: f ( y, z) 0 若点 M1(0, y1, z1) C, 则有
M2M3 M3M1 6 原结论成立.
M1
M3
M2
二、空间曲面
【引例】求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 轨迹方程.
解:设轨迹上的动点为 M (x, y, z), 则 AM BM , 即
(x 1)2 ( y 2)2 (z 3)2 (x 2)2 ( y 1)2 (z 4)2
空间解析几何简介
一、空间直角坐标系 二、空间曲面 三、空间曲线 四、常见的曲面 五、空间曲线在坐标面上的投影
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一、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念
过空间一定点 O , 由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
• 坐标原点
Ⅲ
z z 轴(竖轴)
Ⅱ
• 坐标轴
球心为 M0 ( p, q, r ), 半径为 p2 q2 r2 d
其图形可能是 一个球面 , 或点 , 或虚轨迹.
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三、空间曲线
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为
例如,方程组
S2
S1
G(x, y, z) 0 L F(x, y, z) 0
z 2C
表示圆柱面与平面的交线 C.
•
表示抛物柱面,
z
Cl
母线平行于 z 轴;
O
准线为xOy 面上的抛物线. x
•
x2 a2
y2 b2
1 表示母线平行于
z
z 轴的椭圆柱面.