分数裂项练习题
小学奥数--分数裂项-精选练习例题-含答案解析(附知识点拨及考点)
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：知识点拨教学目标分数裂项计算（1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
小学奥数--分数裂项-精选练习例题-含答案解析(附知识点拨及考点)
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
，本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-⨯- 、(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
$知识点拨教学目标分数裂项计算二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
小学奥数计算专题--分数拆分与裂项(六年级)竞赛测试.doc
小学奥数计算专题--分数拆分与裂项（六年级）竞赛测试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题评卷人得分（每空xx 分，共xx分）【题文】。
【答案】【解析】原式提醒学生注意要乘以(分母差)分之一，如改为：，计算过程就要变为：．【题文】=【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】=【答案】【解析】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。
此类问题需要从最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。
从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有，，……，原式【题文】【答案】【解析】【题文】计算：【答案】【解析】原式【题文】 = 【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】计算：【答案】【解析】原式【题文】_______【答案】【解析】根据裂项性质进行拆分为：【题文】【答案】【解析】原式【题文】计算：＝【答案】【解析】原式【题文】。
【答案】【解析】原式【题文】计算：【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】计算：【答案】【解析】原式【题文】计算：=。
【答案】【解析】原式【题文】计算：。
【答案】【解析】原式【题文】计算：【答案】【解析】分析这个算式各项的分母，可以发现它们可以表示为：，，……，，所以原式【题文】计算：．【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】首先分析出原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】计算：【答案】【解析】原式＝＋＋…+++…+＝(－)＋(－)＝＋＝＋＝【题文】【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】＝＝－＝－＝＝－＝－＝＝－＝－……＝＝－＝－原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】计算：．【答案】【解析】如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，……这一公差为2的等差数列(该数列的第个数恰好为的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算．原式也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为，所以，再将每一项的与分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相同．【题文】计算：【答案】651【解析】本题的重点在于计算括号内的算式：．这个算式不同于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情况．所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式．观察可知，，……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以所以原式．（法二）上面的方法是最直观的转化方法，但不是唯一的转化方法．由于分子成等差数列，而等差数列的通项公式为，其中为公差．如果能把分子变成这样的形式，再将与分开，每一项都变成两个分数，接下来就可以裂项了．，所以原式．（法三）本题不对分子进行转化也是可以进行计算的：所以原式．（法四）对于这类变化较多的式子，最基本的方法就是通项归纳．先找每一项的通项公式：（，3， (9)如果将分子分成和1，就是上面的法二；如果将分子分成和，就是上面的法一．【题文】计算：【答案】【解析】观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是5个连续自然数的乘积，所以可以先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数．即：原式现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，知识虑到每一项中分子、分母的对称性，可以用平方差公式：，，……原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】计算： .【答案】【解析】原式为阶乘的形式，较难进行分析，但是如果将其写成连乘积的形式，题目就豁然开朗了．原式【题文】【答案】【解析】原式＝＋＋＋＋…＋＝（）＋（）＋（）＋（）＝【题文】【答案】【解析】，，……，，所以原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】 .【答案】【解析】这题是利用平方差公式进行裂项：，原式【题文】计算：【答案】【解析】，，……所以，原式【题文】计算：【答案】【解析】原式【题文】计算：．【答案】【解析】原式【题文】计算：．【答案】【解析】，，，……由于，，，可见原式【题文】计算：．【答案】【解析】式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为，，，……，，可以发现如果分母都加上1，那么恰好都是分子的4倍，所以可以先将原式乘以4后进行计算，得出结果后除以4就得到原式的值了．原式【题文】【答案】【解析】【题文】【答案】【解析】原式==【题文】计算：【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】计算：【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式= =====【题文】计算：【答案】【解析】原式【题文】计算：【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】所以原式。
六年级分母裂项法练习题
六年级分母裂项法练习题题目：六年级分母裂项法练习题分母裂项法是解决分数加减运算中分母为多项式的情况下，将分母拆分为两个单项式的方法。
本文将提供一些六年级学生练习分母裂项法的题目，帮助他们巩固理解和提高分数运算技能。
第一题：计算下列分数运算结果，并用分母裂项法简化：1) 3/ (x + 2) + 2/ (x + 3)2) 5/ (x - 4) - 6/ (x - 5)解答：1) 分母裂项法的关键是将分母拆分成两个单项式。
对于第一题，我们可以将 (x + 2) 拆分为 (x + 1) 和 1，将 (x + 3) 拆分为 (x + 1) 和 2。
把这两个拆分后的分数相加，可以得到：3/ (x + 1) + 1/ (x + 1) + 2 = 4/ (x + 1) + 22) 同样地，对于第二题，将 (x - 4) 拆分为 (x - 5) 和 1，将 (x - 5) 拆分为 (x - 5) 和 6。
把这两个拆分后的分数相减，可以得到： 5/ (x - 5) - 6/ (x - 5) = - 1/ (x - 5)第二题：计算下列分数运算结果，并用分母裂项法简化：1) 4/ (2x + 3) + 3/ (x + 1)2) 7/ (2x - 5) - 2/ (3 - x)解答：1) 对于第一题，将 (2x + 3) 拆分为 (x + 1) 和 x + 2，将 (x + 1) 拆分为 (x + 1) 和 1。
把这两个拆分后的分数相加，可以得到： 4/ (x + 1) + 2/ (x + 1) + 3 = 6/ (x + 1) + 32) 同样地，对于第二题，将 (2x - 5) 拆分为 (3 - x) 和 2x - 1，将 (3 - x) 拆分为 (3 - x) 和 -1。
把这两个拆分后的分数相减，可以得到： 7/ (3 - x) - 2/ (3 - x) = 5/ (3 - x)以上是六年级分母裂项法练习题的解答。
小学尖子生训练-分数裂项计算 模块练习(含答案)
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：知识点拨教学目标分数裂项计算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
分数巧算之裂项法
1 1 1 将每一个分数分裂成两分数的差，即 n(n 1) n n 1
1 1 1 1 1 ...... 1 2 2 3 3 4 48 49 49 50
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ...... ( ) ( ) 1 2 2 3 3 4 48 49 49 50
(1) 1 1 1 1 1 ...... 2 6 12 20 90
( 2)
1 1 1 1 1 20 30 42 56 72
例3、计算
3 3 3 3 3 20 30 42 56 72
分析与解：这道题目和前面的例题非常相似，我们可结合前
面知识，将原式中的分数进行拆分，如：
例2、计算
5 5 5 5 5 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6
分子不是1，而是5。
我们可以这样想：
5 1 5 1 5 1 5 ; 5 ; 5 ; 1 2 1 2 2 3 2 3 3 4 3 4 5 1 5 1 5 ; 5 45 4 5 5 6 5 6
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...... 2 2 3 3 4 4 48 49 49 50
1 1 50
49 50
（去掉括号）
（中间的数都是相同的分数一减一加的形式，结果为0）
小结：
通过以上的介绍可以看到在分数计 算中，有的计算如果运用通分等思想， 由于题目过于复杂，不容易计算，而使 用裂项法就使解题变得十分的简单。
仔细观察这些分数的分母就会发现每个分母都可以 写成两个相邻数的乘积的形式： 6＝2×3 , 12＝3×4 , 20＝4×5 ，…，2450＝49×50。
裂项公式例题
裂项公式例题裂项公式在数学学习中可是个很有趣的小法宝呢！咱们一起来瞅瞅那些让人又爱又恨的裂项公式例题。
先来说说什么是裂项公式。
简单来讲，就是把一个分数拆分成两个或多个分数的差或和，这样就能让计算变得更简单、更巧妙。
比如说，有这么一道题：计算1/(1×2) + 1/(2×3) + 1/(3×4) + …… +1/(99×100) 。
这要是一个一个去通分计算，那可真是太麻烦啦！但是，咱们用裂项公式，就能轻松解决。
1/(1×2) 可以写成 1 - 1/2 ，1/(2×3) 可以写成 1/2 - 1/3 ，1/(3×4) 可以写成 1/3 - 1/4 ，以此类推，1/(99×100) 可以写成 1/99 - 1/100 。
这样一来，原式就变成了：(1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + …… + (1/99 - 1/100) 。
咱们仔细观察，就会发现中间的很多项都可以消掉，最后只剩下 1 - 1/100 ，结果就是 99/100 。
我记得之前给学生们讲这道题的时候，他们一开始都被这长长的式子给吓住了。
一个个愁眉苦脸的，感觉像是面前有一座大山。
我就引导他们去发现式子中的规律，当他们突然领悟到可以用裂项公式来解决时，那眼睛里瞬间闪着光，兴奋得不行。
那种从困惑到豁然开朗的表情转变，让我觉得当老师可真有成就感！再来看一道稍微有点难度的：计算 2/(1×3) + 2/(3×5) + 2/(5×7)+ …… + 2/(97×99) 。
这道题同样可以用裂项公式，2/(1×3) 可以写成 1 - 1/3 ，2/(3×5) 可以写成 1/3 - 1/5 ，2/(5×7) 可以写成 1/5 - 1/7 ，以此类推，2/(97×99) 可以写成 1/97 - 1/99 。
小升初裂项相消法
小升初裂项相消法裂项相消法（拆分法）是一种数学计算方法，它将一个分数拆分成两个或两个以上的分数相减或相加，然后进行计算。
这种方法也被称为拆分法。
列项相消公式有以下几种形式：1）$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$2）$\frac{1}{n(n+k)}=\frac{1}{k}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}\right)$3）$\frac{1}{n(n+k)}=\frac{(-1)^{k+1}}{k}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}\right)$4）$\frac{1}{n(n+1)(n+k)}=\frac{1}{k}\left[\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+k)(n+k+1)}\right]$5）$\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right]$另外，还有以下形式：6）$\frac{a+b}{ab}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$数列是按一定次序排列的一列数，每个数叫做这个数列的项。
数列的项数就是数列中数字的个数。
等差数列是指从第二项开始，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列。
这个常数叫做等差数列的公差。
等差数列的和可以用以下公式计算：和=（首项+末项）×项数÷2.等差数列的项数可以用以下公式计算：项数=（末项-首项）÷公差+1.等差数列的末项可以用以下公式计算：末项=首项+公差×（项数-1）。
以下是一些例题：例1：$\frac{1}{1\times2\times3\times4\times5\times6\times7\times8}=\ frac{1}{2}\left(\frac{1}{1\times3\times5\times7\times}\frac{1}{9 }\right)$例2：$\frac{1}{2\times6\times12\times20\times30\times42\times56}=\fr ac{1}{2\times3\times4\times5\times6}\left(\frac{1}{1\times2}+\fr ac{1}{2\times3}+\frac{1}{3\times4}+\frac{1}{4\times5}+\frac{1 }{5\times6}+\frac{1}{6\times7}+\frac{1}{7\times8}\right)$例3：$1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100$例4：$\frac{1}{3\times5\times7\times9\times11\times13}=\frac{1}{2\times3\times5\times7\times9\times11}\left(\frac{1}{1\times3}+\frac {1}{3\times5}+\frac{1}{5\times7}+\frac{1}{7\times9}+\frac{1}{ 9\times11}+\frac{1}{11\times13}\right)$例5：$1+3+5+7+9=25$例6：$-1+3-5+7-9+11-13+15-17+19=25$例7：$1+2+12+20+30=65$例8：$\frac{1}{3\times5\times7}+\frac{1}{5\times7\times9}+\frac{1}{ 7\times9\times11}=\frac{xxxxxxxx}{xxxxxxxx7}$例9：$-1+2-3+4-5+6-7+8-9+10=5$例10：$-1+2-3+4-5+6-7+8-9+10-11+12-13+14-15+16-17+18-19+20=0$例11：$2+6+12+20=40$例12：$2+6+12+20+30+42+56=168$例13：$1\times3^{-1}+4\times5^{-1}+7\times7^{-1}+10\times9^{-1}+13\times11^{-1}=2.828$1.将分数相加化简得到：$$\frac{1}{1\cdot 2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4}+\frac{1}{3\cdot 4\cdot5}+\frac{1}{4\cdot 5\cdot 6}+\frac{1}{5\cdot 6\cdot7}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1\cdot 2}-\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot 3}-\frac{1}{3\cdot 4}+\frac{1}{3\cdot 4}-\frac{1}{4\cdot 5}+\frac{1}{4\cdot 5}-\frac{1}{5\cdot6}+\frac{1}{5\cdot 6}-\frac{1}{6\cdot 7}\right)$$化简后得到：$$\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1\cdot 2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3\cdot 4}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4\cdot5}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5\cdot 6}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6\cdot 7}$$所以原式等于$$\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1\cdot 2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3\cdot 4}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4\cdot5}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5\cdot 6}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6\cdot 7}$$2.原式可化为$$\frac{1}{6}\left(\frac{1}{1\cdot 2}-\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}-\frac{1}{4\cdot5}+\frac{1}{5\cdot 6}-\frac{1}{6\cdot 7}+\frac{1}{2001\cdot 2002}\right)$$化简后得到：$$\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{1\cdot 2}-\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{3\cdot 4}-\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{4\cdot5}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{5\cdot 6}-\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6\cdot7}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{2001\cdot 2002}$$所以原式等于$$\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{1\cdot 2}-\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{3\cdot 4}-\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{4\cdot5}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{5\cdot 6}-\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6\cdot7}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{2001\cdot 2002}$$3.原式可化为$$\frac{1}{6}\left(\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{3\cdot 4}+\frac{1}{5\cdot 6}+\frac{1}{7\cdot8}+\frac{1}{9\cdot 10}+\frac{1}{11\cdot 12}+\frac{1}{13\cdot 14}+\frac{1}{15\cdot 16}+\frac{1}{17\cdot 18}+\frac{1}{19\cdot 20}\right)$$化简后得到：$$\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{3\cdot4}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{5\cdot6}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{7\cdot8}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{9\cdot10}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{11\cdot12}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{13\cdot14}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{15\cdot16}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{17\cdot18}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{19\cdot 20}$$所以原式等于$$\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{3\cdot4}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{5\cdot6}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{7\cdot8}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{9\cdot10}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{11\cdot12}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{13\cdot14}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{15\cdot16}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{17\cdot18}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{19\cdot 20}$$4.原式可化为$$\frac{1}{6}\left(\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{3\cdot 4}+\frac{1}{5\cdot 6}+\frac{1}{7\cdot 8}+\frac{1}{9\cdot 10}\right)$$化简后得到：$$\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{3\cdot4}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{5\cdot6}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{7\cdot8}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{9\cdot 10}$$所以原式等于$$\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{3\cdot4}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{5\cdot6}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{7\cdot8}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{9\cdot 10}$$5.原式可化为$$1+2+3+4+5+6+7+8+9+10$$化简后得到：$$1+2+3+4+5+6+7+8+9+10$$所以原式等于$$1+2+3+4+5+6+7+8+9+10$$6.原式可化为$$1-2+3-4+5-6+7-8+9-10$$化简后得到：$$1-2+3-4+5-6+7-8+9-10$$所以原式等于$$1-2+3-4+5-6+7-8+9-10$$7.原式可化为$$\frac{3}{2}-\frac{4}{3}+\frac{5}{4}-\frac{6}{5}+\frac{7}{6}-\frac{8}{7}+\frac{9}{8}-\frac{10}{9}$$化简后得到：$$\frac{3}{2}-\frac{4}{3}+\frac{5}{4}-\frac{6}{5}+\frac{7}{6}-\frac{8}{7}+\frac{9}{8}-\frac{10}{9}$$所以原式等于$$\frac{3}{2}-\frac{4}{3}+\frac{5}{4}-\frac{6}{5}+\frac{7}{6}-\frac{8}{7}+\frac{9}{8}-\frac{10}{9}$$8.原式可化为$$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4}\right)$$化简后得到：$$\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4}$$所以原式等于$$\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4}$$9.原式可化为$$1+\frac{1}{2\cdot 3\cdot4}+\frac{1}{10\cdot 11\cdot 12}$$化简后得到：$$1+\frac{1}{2\cdot 3\cdot4}+\frac{1}{10\cdot 11\cdot 12}$$所以原式等于$$1+\frac{1}{2\cdot 3\cdot4}+\frac{1}{10\cdot 11\cdot 12}$$10.原式可化为$$2+\frac{1}{1\cdot 2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot 4\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 6\cdot 7}$$化简后得到：$$2+\frac{1}{1\cdot 2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot 4\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 6\cdot 7}$$ 所以原式等于$$2+\frac{1}{1\cdot 2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot 4\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 6\cdot 7}$$11.原式可化为$$\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot4}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}+\frac{1}{3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}+\frac{1}{4\cdot 5\cdot 6\cdot 7}$$化简后得到：$$\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot4}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}+\frac{1}{3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}+\frac{1}{4\cdot 5\cdot 6\cdot 7}$$所以原式等于$$\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot4}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}+\frac{1}{3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}+\frac{1}{4\cdot 5\cdot 6\cdot 7}$$。
分数裂项求和法经典例题
分数裂项求和法经典例题《分数裂项求和法经典例题》嘿，同学们！今天我想和大家分享一下分数裂项求和法，这可真是个超有趣又有点小神奇的数学方法呢。
我先给大家讲个小故事。
有一次，我们数学老师在黑板上写了一堆分数相加的式子，看起来乱乱的，就像一群调皮的小蚂蚁在黑板上爬来爬去，我当时看着就头疼，心想这可怎么算呀。
可是老师却神秘兮兮地说，咱们今天学个厉害的法子，能轻松把这堆分数加起来。
这个法子就是分数裂项求和法。
那我先来给大家说一个简单的经典例题吧。
比如说，计算1/1×2 + 1/2×3 + 1/3×4 + … + 1/99×100。
咱们来看看这个式子里面的分数有啥特点呢？你看啊，1/1×2就可以写成1 - 1/2，就好像把一个完整的东西分成了两部分，一部分是1，另一部分是1/2，但是中间是减号哦。
那1/2×3呢，就可以写成1/2 - 1/3。
嘿，你是不是有点感觉了？就像把一块蛋糕，先切成两半，再把其中一半切成三块，这时候就可以用这样有趣的方式来表示。
那这个式子就可以写成：(1 - 1/2)+(1/2 - 1/3)+(1/3 - 1/4)+ …+(1/99 - 1/100)。
这时候，你要是仔细看，就会发现一个超级神奇的事情。
前面的1/2和后面的- 1/2就像两个小冤家，碰到一起就没了，1/3和- 1/3也没了，就这样一直到99/100和- 99/100都没了。
最后就只剩下1 - 1/100啦，那答案就是99/100。
哇塞，是不是很简单？这就像变魔术一样，那么复杂的式子一下子就变得这么好算了。
再来看一个稍微难一点的例题。
计算1/2×4 + 1/4×6 + 1/6×8 + … + 1/98×100。
这个式子和前面的有点像，但是又不太一样。
咱们来想个办法，1/2×4可以写成1/2×(1/2 - 1/4)，1/4×6可以写成1/2×(1/4 - 1/6)。
小学奥数计算专题训练 分数拆分与裂项 练习试题有答案解析
小学奥数计算专题训练分数拆分与裂项练习试题一、填空题1、【答案】【解析】所以原式2、计算：【答案】【解析】原式3、计算：【答案】【解析】原式4、计算：【答案】【解析】原式5、计算：．【答案】【解析】式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为，，，……，，可以发现如果分母都加上1，那么恰好都是分子的4倍，所以可以先将原式乘以4后进行计算，得出结果后除以4就得到原式的值了．原式6、计算：．【答案】【解析】，，，……由于，，，可见原式7、计算：．【答案】【解析】原式8、计算：【答案】【解析】，，……所以，原式9、 .【答案】【解析】这题是利用平方差公式进行裂项：，原式10、计算： .【答案】【解析】原式为阶乘的形式，较难进行分析，但是如果将其写成连乘积的形式，题目就豁然开朗了．原式11、计算：．【答案】【解析】如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，……这一公差为2的等差数列(该数列的第个数恰好为的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算．原式也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为，所以，再将每一项的与分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相同．12、计算：．【答案】【解析】原式13、计算：。
【答案】【解析】原式14、计算：= 。
【答案】【解析】原式15、。
【答案】【解析】原式提醒学生注意要乘以(分母差)分之一，如改为：，计算过程就要变为：．二、计算题16、【答案】【解析】原式======17、【答案】【解析】原式18、【答案】【解析】原式19、计算：【答案】【解析】原式20、【答案】【解析】原式21、【答案】【解析】原式22、【答案】【解析】原式23、【答案】【解析】原式== 24、【答案】【解析】25、计算：【答案】【解析】原式26、【答案】【解析】原式27、【答案】【解析】，，……，，所以原式28、【答案】【解析】原式＝＋＋＋＋…＋＝（）＋（）＋（）＋（）＝29、【答案】【解析】原式30、【答案】【解析】原式31、计算：【答案】【解析】观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是5个连续自然数的乘积，所以可以先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数．即：原式现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，知识虑到每一项中分子、分母的对称性，可以用平方差公式：，，……原式32、计算：【答案】651【解析】本题的重点在于计算括号内的算式：．这个算式不同于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情况．所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式．观察可知，，……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以所以原式．（法二）上面的方法是最直观的转化方法，但不是唯一的转化方法．由于分子成等差数列，而等差数列的通项公式为，其中为公差．如果能把分子变成这样的形式，再将与分开，每一项都变成两个分数，接下来就可以裂项了．，所以原式．（法三）本题不对分子进行转化也是可以进行计算的：所以原式．（法四）对于这类变化较多的式子，最基本的方法就是通项归纳．先找每一项的通项公式：（，3， (9)如果将分子分成和1，就是上面的法二；如果将分子分成和，就是上面的法一．33、【答案】【解析】原式34、【答案】【解析】原式35、【答案】【解析】＝＝－＝－＝＝－＝－＝＝－＝－……＝＝－＝－原式36、【答案】【解析】原式37、计算：【答案】【解析】原式＝＋＋…+++…+＝(－)＋(－)＝＋＝＋＝38、【答案】【解析】原式39、【答案】【解析】首先分析出原式40、计算：【答案】【解析】分析这个算式各项的分母，可以发现它们可以表示为：，，……，，所以原式41、计算：【答案】【解析】原式42、计算：【答案】【解析】原式43、。