2014-2015学年北师大版九年级数学下册教学同步课件3.8圆内接正多边形
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北师大版九年级数学下册：3.8 圆内接正多边形 课件(共14张PPT)
方法二
（1）以圆周上任意一点为圆心， 以圆的半径为半径作弧，与圆周 交于一点； （2）以得到的交点为圆心，以圆 的半径为半径作弧与圆周交于另 一点，依次下去，在圆周上等到 六个点； （3）依次连接这六个点，就得到 了这个圆的内接正六边形。
分别求出半径为6cm的 圆内接正三角形的边长和 边心距。
B
A
· CBiblioteka 有一个亭子它的地 基半径为r的正六边 形,求地基的周长和 面积.
这有何难
r
1 如果一个正多边形的中心角是720，那么这个正 多边形的边数是
2 已知一个正六边形的边心距是 3 ，则它的半径
为.
A B C D E F
A
B
C
D
E
F
顶点都在同一个圆上的 正多边形叫做圆内接正 多边形。这个圆叫做该 正多边形的外接圆
把一个圆n等分（n≥3），依次连 接各分点，我们就可以作出一个圆内 接正多边形。
如图3－35，五边形ABCDE是圆O的 内接正五边形，圆心O叫做这个正五边 形的中心；OA是这个正五边形的半径； ∠AOB是这个正五边形的中心角； OM⊥BC，垂足为M，OM是这个正五边形 的的边心距。在其他的正多边形中也 有同样的定义。
第三章 圆
3.8 圆内接正多边形
北京师范大学出版社
有一个亭子它的地 基半径为r的正六 边形,求地基的周 长和面积
这有何难
r
学习目标
1 了解圆内接正多边形的定义及相关概念；
2 掌握正多边形边长、中心角及边心距的求法； 3 会用尺规作图的方法作一个圆的某些内接正多边形。
圆内接正多边形
顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多 边形。这个圆叫做该正多边形的外接圆。
北师大版九年级数学下册第三章3.8_圆内接正多边形(共28张PPT)
⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为 顶点的五边形是这个圆的外切正五边形.
⌒ ⌒ ⌒⌒ ⌒ 证明:(1〕∵AB=BC=CD=DE=EA，
A
∴AB=BC=CD=DE=EA，
∵B⌒CE=⌒CDA⌒=3AB，
1
B2
5E
∴∠1=∠2， 同理∠2=∠3=∠4=∠5，
3
4
C
D
又∵顶点A，B，C，D，E都在⊙O上，
∴五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形.
〔2〕连接OA，OB，OC，那么 ∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB. ∵TP，PQ，QR分别是以A，B，C 为切点的⊙O的切线， ∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ. ∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB.
P B Q
C
A
T
E O
S
D R
又∵A⌒B=⌒BC， ∴AB=BC， ∴△PAB与△QBC是全等的等腰三角形. ∴∠P=∠Q,PQ=2PA. 同理∠Q=∠R=∠S=∠T，
A
求证：正五边形的对角线相等
B
E
C
D
怎样找圆的内接正三角形？ A
D
怎样找圆的外切正三角形？
H
B
C
A
D
怎样找圆的内接正方形？
E
0
G 怎样找圆的外切正方形？
B
C
怎样找圆的内接正n边形？
F
怎样找圆的外切正n边形？
【例题】
【例1】把圆分成5等份，求证：
⑴依次连接各分点所得的五边形是这个圆的内接 正五边形；
在Rt△OBD中,∠OBD=30°,
边心距OD=1 R.
A
2
在Rt△ABD中,∠BAD=30°,
⌒ ⌒ ⌒⌒ ⌒ 证明:(1〕∵AB=BC=CD=DE=EA，
A
∴AB=BC=CD=DE=EA，
∵B⌒CE=⌒CDA⌒=3AB，
1
B2
5E
∴∠1=∠2， 同理∠2=∠3=∠4=∠5，
3
4
C
D
又∵顶点A，B，C，D，E都在⊙O上，
∴五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形.
〔2〕连接OA，OB，OC，那么 ∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB. ∵TP，PQ，QR分别是以A，B，C 为切点的⊙O的切线， ∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ. ∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB.
P B Q
C
A
T
E O
S
D R
又∵A⌒B=⌒BC， ∴AB=BC， ∴△PAB与△QBC是全等的等腰三角形. ∴∠P=∠Q,PQ=2PA. 同理∠Q=∠R=∠S=∠T，
A
求证：正五边形的对角线相等
B
E
C
D
怎样找圆的内接正三角形？ A
D
怎样找圆的外切正三角形？
H
B
C
A
D
怎样找圆的内接正方形？
E
0
G 怎样找圆的外切正方形？
B
C
怎样找圆的内接正n边形？
F
怎样找圆的外切正n边形？
【例题】
【例1】把圆分成5等份，求证：
⑴依次连接各分点所得的五边形是这个圆的内接 正五边形；
在Rt△OBD中,∠OBD=30°,
边心距OD=1 R.
A
2
在Rt△ABD中,∠BAD=30°,
九年级数学下册 第三章 圆 3.8 圆内接正多边形课件 北师大下册数学课件
是_________，所以在圆内依次截取等于_________的。D。2.圆的两条弦AB，AC分别是它的内接正 三角形与内接正。★★3.(2019·徐州鼓楼区模拟(mónǐ))正六边形的周长为12，
Image
12/10/2021
第四十五页，共四十五页。
第四十页，共四十五页。
当圆周角的顶点(dǐngdiǎn)在优A B弧 18°.
上时，AB所对的圆周角为
当圆周角的顶点在劣弧 A B上时，AB所对的圆周角为 180°-18°=162°，
∴综上所述答案为：18°或162°.
答案：18°或162°
第四十一页，共四十五页。
【一题多变】
已已知知圆圆内内接接正正三三角角形形(zhè(nzɡhèsnāɡn sjāinǎojixǎíonɡx)í的n3ɡ)面的积面为积为，则，该则圆的该内圆接的正内 边边形形的的边边心心距距是是 (( B ))
径，外接圆半径和高的比是(
)D
A.1∶2∶ B.2∶3∶4 3
C.1∶ ∶2 D.1∶2∶3
3
第四十四页，共四十五页。
内容(nèiróng)总结
8 圆内接正多边形。正多边形：_______________，_______________的多边。这个圆叫做这
No 个正多边形的___________.这个多边形叫。2.尺规作图：(1)因为与半径相等的弦长所对的圆心角。
第三页，共四十五页。
第四页，共四十五页。
这个(zhè ge)圆叫做这个(zhè ge)正多边外形接的圆___________.这个多边形
做圆内接正多边形.
第五页，共四十五页。
【探究二】应用(yìngyòng)等分圆周的方法作正多边形： 1.应用量角器，根据相等的圆心角所对的弧____相__等__(_xi，āngděng) 把360°的圆心角n等分，依次连接各个分点，得到圆内 接正n边形.
Image
12/10/2021
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第四十页，共四十五页。
当圆周角的顶点(dǐngdiǎn)在优A B弧 18°.
上时，AB所对的圆周角为
当圆周角的顶点在劣弧 A B上时，AB所对的圆周角为 180°-18°=162°，
∴综上所述答案为：18°或162°.
答案：18°或162°
第四十一页，共四十五页。
【一题多变】
已已知知圆圆内内接接正正三三角角形形(zhè(nzɡhèsnāɡn sjāinǎojixǎíonɡx)í的n3ɡ)面的积面为积为，则，该则圆的该内圆接的正内 边边形形的的边边心心距距是是 (( B ))
径，外接圆半径和高的比是(
)D
A.1∶2∶ B.2∶3∶4 3
C.1∶ ∶2 D.1∶2∶3
3
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内容(nèiróng)总结
8 圆内接正多边形。正多边形：_______________，_______________的多边。这个圆叫做这
No 个正多边形的___________.这个多边形叫。2.尺规作图：(1)因为与半径相等的弦长所对的圆心角。
第三页，共四十五页。
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这个(zhè ge)圆叫做这个(zhè ge)正多边外形接的圆___________.这个多边形
做圆内接正多边形.
第五页，共四十五页。
【探究二】应用(yìngyòng)等分圆周的方法作正多边形： 1.应用量角器，根据相等的圆心角所对的弧____相__等__(_xi，āngděng) 把360°的圆心角n等分，依次连接各个分点，得到圆内 接正n边形.
2014-2015学年北师大版九年级数学下《3.8圆内接正多边形》课件
３、边数是偶数的正多边形还是中心对称 图形，它的中心就是对称中心。
A
A
D
B
C
B
C
弦相等（多边形的边相等）
弧相等—
圆周角相等（多边形的角相等）
—多边形是正多边形
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 证明：∵AB=BC=CD=DE=EA ∴AB=BC=CD=DE=EA ⌒ ⌒ ⌒ ∵BCE=CDA=3AB ∴∠1=∠2 同理∠2=∠3=∠4=∠5 B
例 有一个亭子它的地基是半径为4m的正六边形,
求地基的周长和面积(精确到0.1平方米).
解:由于ABCDEF是正六边形，所以
360 它的中心角等于 60， 6 OBC是等边三角形，从而正 六边形的边长等于它的 半径.
F
E
A
B
2
. .O
r R P
D
C
∴亭子的周长 L=6×4=24(m)
BC 4 在RtOPC中，OC 4，PC 2 2 2 根据勾股定理，可得边 心距r
北师大版九年级下册第三章《圆》
三条边相等，三个角也 相等（60度）。 正多边形：
四条边都相等，四个 角也相等（90度）。
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
正n边形：如果一个正多边形有n(n≥3)条
边，那么这个正多边形叫做正n边形。
1、菱形是正多边形吗？矩形呢？正方形呢?
为什么？
２、正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过n边形的中心。
4 2
2
2 3
1 1 2 亭子的面积S Lr 24 2 3 41.6(m ) 2 2
（n 2） 180 1、正n边形的一个内角的度数是_________; n 360 中心角是___________; n
九年级数学下册第三章圆8圆内接正多边形教学课件(新版)北师大版
∵TP，PQ，QR 分别是以A，B，C B
为切点的 ⊙O 的切线，
Q
∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ.
C
∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB.
A
T
E O
S
D R
又∵A⌒B=B⌒C，∴AB=BC， ∴△PAB 与 △QBC 是全等的等腰三角形. ∴∠P=∠Q,PQ=2PA. 同理可知，∠Q=∠R=∠S=∠T， QR=RS=ST=TP=2PA. ∵五边形 PQRST 的各边都与 ⊙O 相切， ∴五边形 PQRST 是 ⊙O 的外切正五边形.
连接 OB，OC ，作 OE⊥BC，垂足为 E，
∠OEB=90°，∠OBE=∠BOE=45°，
则 Rt△OBE 为等腰直角三角形，
所以 BE 2 +OE 2 =OB 2，所以 2OE 2 =OB 2，
即 OE 2 = 1 OB 2.
2
边心距OE 2 OB 2 R,
2
2
边长BC 2BE 2 2 R 2R, 2
怎样找圆的内接正三角形？ 怎样找圆的外切正三角形？ 怎样找圆的内接正方形？ 怎样找圆的外切正方形？ 怎样找圆的内接正 n 边形？ 怎样找圆的外切正 n 边形？
用心想一想
例 1 把圆分成 5 等份，求证： （1）依次连接各分点所得的五边形是这个圆的内 接正五边形； （2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点 为顶点的五边形是这个圆的外切正五边形.
证明：（1）∵A⌒B=B⌒C=C⌒D=D⌒E=E⌒A，
A
∴AB=BC=CD=DE=EA.
∵BC⌒E=CD⌒A=3A⌒B，
B
1
2
5
E
∴∠1=∠2.
34
同理可知，∠2=∠3=∠4=∠5.
3.8 圆内接正多边形(课件)九年级数学下册(北师大版)
方法归纳
利用平分圆的方法作圆内接正多边形的方法：把一个圆n等分(n≥3)，
依次连接各分点，就可以作出一个圆内接正多边形．
这个圆是这个正多边形的外接圆，正n边形的各顶点n等分其外接圆.
拓展：经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的
多边形是这个圆的外切正多边形．
二、自主合作，探究新知
以正五边形为例，了解圆内接正多边形的相关概念．
；
°
2.正n边形的每个外角都相等，都等于
；
°
3.正n边形的每个内角都相等，都等于180°−
．
二、自主合作，探究新知
典型例题
例1：如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则
∠ADE的度数是
A．60°
C． 36°
A
（C ）
B．45°
B
E
O
D． 30°
C
·
D
二、自主合作，探究新知
典型例题
作法：(1)作⊙O的任意一条直径FC；
E
D
(2)分别以F，C为圆心，以R为半径作弧，与
⊙O交于点E，A和D，B，则A，B，C，D，E，
.O
F
C
F是⊙O的六等分点；
A
(3)顺次连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，便得
到正六边形ABCDEF.
B
三、即学即练，应用知识
1．如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则
D
解：如图，作OM⊥AB于点M，连接OA，
OB，则OM为边心距，∠AOB是中心角．
由正五边形性质得∠AOB＝360°÷5＝72°，
∴ ∠AOM＝36°．
∵ AB＝ ×26＝5.2(m)，∴ AM＝2.6(m)．
利用平分圆的方法作圆内接正多边形的方法：把一个圆n等分(n≥3)，
依次连接各分点，就可以作出一个圆内接正多边形．
这个圆是这个正多边形的外接圆，正n边形的各顶点n等分其外接圆.
拓展：经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的
多边形是这个圆的外切正多边形．
二、自主合作，探究新知
以正五边形为例，了解圆内接正多边形的相关概念．
；
°
2.正n边形的每个外角都相等，都等于
；
°
3.正n边形的每个内角都相等，都等于180°−
．
二、自主合作，探究新知
典型例题
例1：如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则
∠ADE的度数是
A．60°
C． 36°
A
（C ）
B．45°
B
E
O
D． 30°
C
·
D
二、自主合作，探究新知
典型例题
作法：(1)作⊙O的任意一条直径FC；
E
D
(2)分别以F，C为圆心，以R为半径作弧，与
⊙O交于点E，A和D，B，则A，B，C，D，E，
.O
F
C
F是⊙O的六等分点；
A
(3)顺次连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，便得
到正六边形ABCDEF.
B
三、即学即练，应用知识
1．如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则
D
解：如图，作OM⊥AB于点M，连接OA，
OB，则OM为边心距，∠AOB是中心角．
由正五边形性质得∠AOB＝360°÷5＝72°，
∴ ∠AOM＝36°．
∵ AB＝ ×26＝5.2(m)，∴ AM＝2.6(m)．
3.8 圆内接正多边形课件(共18张PPT) 北师大版九年级下册数学
(2)90°，72°.
°
(3)∠MON＝
.
合作探究
有一个亭子(如图)，它的地基是半径为8 m的正六边形，
求地基的周长和面积.(结果保留根号)
合作探究
解:如图，连接OB、OC，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
°
∴∠BOC＝ ＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB＝8 m，
于另一点，依次下去，在圆周上得到六个点；
合作探究
(3)依次每隔一点相连接，就得到了这个圆的一个内接正三
角形.
合作探究
已知正方形ABCD的边心距OE＝ cm，求这个正方
形外接圆☉O的面积.
合作探究
解:如图，连接OC、OD，
∵☉O是正方形ABCD的外接圆，∴O是对角线AC、BD的交
点，
∴∠ODE＝∠ADC＝45°.
∴正六边形ABCDEF的周长＝6×8＝48 m.
合作探究
过O作OG⊥BC于G，
∵△OBC是等边三角形，OB＝8 m，
∴∠OBC＝60°，
∴OG＝OB·sin∠OBC＝8×
＝4
∴S△OBC＝BC·OG＝×8×4
m，
＝16 (m2)，
∴S正六边形ABCDEF＝6S△OBC＝6×16 ＝96 m2.
.
2.如图，四边形ABCD是☉O的内接正方形，P是上不同
于点C的任意一点，则∠BPC的大小是(B
A.22.5°
B.45°
C.30°
D.50°
)
合作探究
用尺规作一个已知圆的内接正三角形.
解:作法为(1)以圆周上任意一点为圆心，以圆的半径为半
°
(3)∠MON＝
.
合作探究
有一个亭子(如图)，它的地基是半径为8 m的正六边形，
求地基的周长和面积.(结果保留根号)
合作探究
解:如图，连接OB、OC，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
°
∴∠BOC＝ ＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB＝8 m，
于另一点，依次下去，在圆周上得到六个点；
合作探究
(3)依次每隔一点相连接，就得到了这个圆的一个内接正三
角形.
合作探究
已知正方形ABCD的边心距OE＝ cm，求这个正方
形外接圆☉O的面积.
合作探究
解:如图，连接OC、OD，
∵☉O是正方形ABCD的外接圆，∴O是对角线AC、BD的交
点，
∴∠ODE＝∠ADC＝45°.
∴正六边形ABCDEF的周长＝6×8＝48 m.
合作探究
过O作OG⊥BC于G，
∵△OBC是等边三角形，OB＝8 m，
∴∠OBC＝60°，
∴OG＝OB·sin∠OBC＝8×
＝4
∴S△OBC＝BC·OG＝×8×4
m，
＝16 (m2)，
∴S正六边形ABCDEF＝6S△OBC＝6×16 ＝96 m2.
.
2.如图，四边形ABCD是☉O的内接正方形，P是上不同
于点C的任意一点，则∠BPC的大小是(B
A.22.5°
B.45°
C.30°
D.50°
)
合作探究
用尺规作一个已知圆的内接正三角形.
解:作法为(1)以圆周上任意一点为圆心，以圆的半径为半
北师大版数学九年级下册3.8《圆内接正多边形》课件1 (共20张PPT)
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/82021/9/8Wednesday, September 08, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 11:43:39 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/82021/9/82021/9/8Sep-218-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/82021/9/82021/9/8Wednesday, September 08, 2021
中心角 360 n
中心角E
D
边心距把△AOB分成两个
2个全等的直角三角形 F
AO G BOG 180 n
.O
.
C
R
a
AGB
设正多边形的边长为a,半径为R,它的周长L= na。
边心距 r R2（ a）2 ， 2
面积S 1L•边心距r） （ 1na•边心距r） （
2
2
例 如图：在圆内接正六边形ABCDEF中，半径是
⑴ 求图⑴中∠MON的度数
⑵ 图⑵中∠MON的度数是 .
⑶ 请探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系为
A
D
M
O
. A
O
C
M
N
B
N
C
B
A M B
⑴
⑵
⑶
E
D
O
D
O
NC
A
M
九年级下册数学课件-3.8《圆内接正多边形》 北师大版
A B O E
·
D
C
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
我们把一个正多边形的圆心叫做这个正多边形的中心. 外接圆的半径叫做正多边形的半径. 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角. 中心到正多边形的距离叫做正多边形的边心距.
中心角
O
·
半径R
边心距r
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
例 有一个亭子,它的地基是半径为4m的正六边形,求地基的周长和面积(精 确到0.1m2).
360 60 ，△OBC是等边 解: 如图，由于ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等于 6 三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.
因此,亭子地基的周长 l =4×6=24(m). 在Rt△OPC中,OC=4, PC 利用勾股定理,可得边心距
BC 4 2， 2 2
F O r B P R C E
An
A1 A2 A3
An .
∴ 多边形A1A2A3A4…An是正多边形.
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3.分别求出半径为R的圆内接正三角形，正方形的边长，边心距和面积.
解：作等边△ABC的边BC上的高AD,垂足为D.连接OB，则OB=R.
1 在Rt△OBD中 ，∠OBD=30°,边心距＝OD= R. 2 1 3 在Rt△ABD中 ， ∠BAD=30°, AD OA OD R R R， 2 2
1.正八边形的中心角是（ A ） A．45° B．135° C．360° D．1080°
解答：正八边形的中心角等于360°÷8=45°；故选A．
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中考 试题
2.利用等分圆可以作正多边形，只利用直尺和圆规不能作出的多边形 是 正七边形 . 解：直接利用圆的半径即可将圆等分为6份，这样即可得出正三角形，也可以 得出正六边形，作两条互相垂直的直径即可将圆4等分，可得出正方形，但是
·
D
C
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
我们把一个正多边形的圆心叫做这个正多边形的中心. 外接圆的半径叫做正多边形的半径. 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角. 中心到正多边形的距离叫做正多边形的边心距.
中心角
O
·
半径R
边心距r
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例 有一个亭子,它的地基是半径为4m的正六边形,求地基的周长和面积(精 确到0.1m2).
360 60 ，△OBC是等边 解: 如图，由于ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等于 6 三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.
因此,亭子地基的周长 l =4×6=24(m). 在Rt△OPC中,OC=4, PC 利用勾股定理,可得边心距
BC 4 2， 2 2
F O r B P R C E
An
A1 A2 A3
An .
∴ 多边形A1A2A3A4…An是正多边形.
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
3.分别求出半径为R的圆内接正三角形，正方形的边长，边心距和面积.
解：作等边△ABC的边BC上的高AD,垂足为D.连接OB，则OB=R.
1 在Rt△OBD中 ，∠OBD=30°,边心距＝OD= R. 2 1 3 在Rt△ABD中 ， ∠BAD=30°, AD OA OD R R R， 2 2
1.正八边形的中心角是（ A ） A．45° B．135° C．360° D．1080°
解答：正八边形的中心角等于360°÷8=45°；故选A．
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
中考 试题
2.利用等分圆可以作正多边形，只利用直尺和圆规不能作出的多边形 是 正七边形 . 解：直接利用圆的半径即可将圆等分为6份，这样即可得出正三角形，也可以 得出正六边形，作两条互相垂直的直径即可将圆4等分，可得出正方形，但是
北师大版九年级数学下册圆内接正多边形课件
第三章 圆
3.8 圆内接正多边形
1.了解正多边形和圆的有关概念. 2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心 角之间的关系. 3.会应用多边形和圆的有关知识画多边形．
视察下面的三幅图片，说说图片中各包 含怎样的特殊多边形，这些多边形具有什么 样的共同点？
五条边相等，五个角都等于 72°
六条边相等，六个角都等 于120°
6 (中考)如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个
正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列 关系式错误的是( A ) A．R2－r2＝a2 B．a＝2Rsin 36° C．a＝2rtan 36° D．r＝Rcos 36°
知识点 3 正多边形的作图
利用尺规作一个已知圆的内接正六边形. 由于正六边形的中心角为60°,因此它的边长就是其外接圆 的半径R.所 以，在半径为R的圆上，依次截取等于R的弦， 就可以六等分圆，进而作出 圆内接正六边形.
正多边形： ___各__边__相__等__，__各__角__相__等_____的多边形叫做正多边形.
正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边
形叫做正n边形.
正n边形的各角相等，且每个内角为：
(n
2) n
180
；
每个外角为： 360 .
n
新课讲授
知识点
顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多 边形.这个圆叫做该正多边形的外接圆.
∴△COD为等边三角形， CD=OD=4
F
E
∴在OGRt△COOCG2 中C,GO2C=44,2CG2=2 22. 3.
A
..O
∴正六边形ABCDEF的中心角为60°，
D
边长为4，边心距为 2 3.
3.8 圆内接正多边形
1.了解正多边形和圆的有关概念. 2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心 角之间的关系. 3.会应用多边形和圆的有关知识画多边形．
视察下面的三幅图片，说说图片中各包 含怎样的特殊多边形，这些多边形具有什么 样的共同点？
五条边相等，五个角都等于 72°
六条边相等，六个角都等 于120°
6 (中考)如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个
正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列 关系式错误的是( A ) A．R2－r2＝a2 B．a＝2Rsin 36° C．a＝2rtan 36° D．r＝Rcos 36°
知识点 3 正多边形的作图
利用尺规作一个已知圆的内接正六边形. 由于正六边形的中心角为60°,因此它的边长就是其外接圆 的半径R.所 以，在半径为R的圆上，依次截取等于R的弦， 就可以六等分圆，进而作出 圆内接正六边形.
正多边形： ___各__边__相__等__，__各__角__相__等_____的多边形叫做正多边形.
正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边
形叫做正n边形.
正n边形的各角相等，且每个内角为：
(n
2) n
180
；
每个外角为： 360 .
n
新课讲授
知识点
顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多 边形.这个圆叫做该正多边形的外接圆.
∴△COD为等边三角形， CD=OD=4
F
E
∴在OGRt△COOCG2 中C,GO2C=44,2CG2=2 22. 3.
A
..O
∴正六边形ABCDEF的中心角为60°，
D
边长为4，边心距为 2 3.
北师大版教材适用九年级数学下册3.8圆内接正多边形课件
∴ ∠ COD = 360 = 60°
6
∴ △COD为等边三角形.
∴ CD = OC = 4.
在 Rt △ COG中，OC = 4，CG=
1
BC=
1
×4=2,
2
2
∴ OG = OC 2 CG2 42 22 2 3 .
∴正六边形的中心角为60°，边长为4,边心距为 2 3 .
知1－讲
例2 如图，五边形ABCDE内接于⊙O，∠A＝∠B＝∠C ＝∠D＝∠E. 求证：五边形ABCDE是正五边形．
∴S△OHK＝
1
3 HK·OHsin 60°
2
＝ 1 ×2×2× 2
3＝ 2
3.
又∵S正六边形＝6S△OHK，∴S正六边形＝6× 3＝6 3 .
（来自《教材》）
知1－练
2 【2017·株洲】下列圆的内接正多边形中，一条边所
对的圆心角最大的图形是( A )
A．正三角形
B．正方形
C．正五边形
D．正六边形
（来自《点拨》）
总结
知1－讲
正多边形的识别要从两个角度去看， 一是边都相等； 二是内角都相等．
（来自《点拨》）
知1－练
1 分别求出半径为6 cm的圆内接正三角形的边长和
边心距.
解：设正六边形DFHKGE的中心为O，连接OH，OK，
则△OHK为等边三角形．
由题意可得OH＝HK＝ 1 BC＝2，∠OHK＝60°，
知2－讲
（来自《点拨》）
例5 用尺规作圆的内接正方形. 已知：如图，⊙O. 求作：正方形ABCD内接于⊙O.
知2－讲
（来自《教材》）
作法： (1)如图，作两条互相垂直的直径AC，BD. (2)顺次连接 AB，BC，CD，DA. 由作图过程可知，四个中心角都是90°， 所以AB=BC= CD=DA. 因为AC，BD都是直径， 所以∠ABC = ∠BCD= ∠CDA= ∠DAB=90°. 即四边形ABCD为⊙O的内接正方形.
6
∴ △COD为等边三角形.
∴ CD = OC = 4.
在 Rt △ COG中，OC = 4，CG=
1
BC=
1
×4=2,
2
2
∴ OG = OC 2 CG2 42 22 2 3 .
∴正六边形的中心角为60°，边长为4,边心距为 2 3 .
知1－讲
例2 如图，五边形ABCDE内接于⊙O，∠A＝∠B＝∠C ＝∠D＝∠E. 求证：五边形ABCDE是正五边形．
∴S△OHK＝
1
3 HK·OHsin 60°
2
＝ 1 ×2×2× 2
3＝ 2
3.
又∵S正六边形＝6S△OHK，∴S正六边形＝6× 3＝6 3 .
（来自《教材》）
知1－练
2 【2017·株洲】下列圆的内接正多边形中，一条边所
对的圆心角最大的图形是( A )
A．正三角形
B．正方形
C．正五边形
D．正六边形
（来自《点拨》）
总结
知1－讲
正多边形的识别要从两个角度去看， 一是边都相等； 二是内角都相等．
（来自《点拨》）
知1－练
1 分别求出半径为6 cm的圆内接正三角形的边长和
边心距.
解：设正六边形DFHKGE的中心为O，连接OH，OK，
则△OHK为等边三角形．
由题意可得OH＝HK＝ 1 BC＝2，∠OHK＝60°，
知2－讲
（来自《点拨》）
例5 用尺规作圆的内接正方形. 已知：如图，⊙O. 求作：正方形ABCD内接于⊙O.
知2－讲
（来自《教材》）
作法： (1)如图，作两条互相垂直的直径AC，BD. (2)顺次连接 AB，BC，CD，DA. 由作图过程可知，四个中心角都是90°， 所以AB=BC= CD=DA. 因为AC，BD都是直径， 所以∠ABC = ∠BCD= ∠CDA= ∠DAB=90°. 即四边形ABCD为⊙O的内接正方形.
【最新】北师大版九年级数学下册第三章《3.8圆内接正多边形》公开课课件(共14张PPT).ppt
根据勾股定理，心可距r得 边4222 2 3
亭子的面 S积1Lr1242 22
341.6(m2)
E
.. O
D
rR
PC
1、正n边形的一个内角的度数是_（ __n___2） _•_1_8;0
n
360
中心角是_____n______; ２、正多边形的中心角与外角的大小关系是
____相__等__.
A
D
3、正方形ABCD的外接圆圆心
。2020年12月16日星期三2020/12/162020/12/162020/12/16
• 15、会当凌绝顶，一览众山小。2020年12月2020/12/162020/12/162020/12/1612/16/2020
• 16、如果一个人不知道他要驶向哪头，那么任何风都不是顺风。2020/12/162020/12/16December 16, 2020
A
∴AB=BC=CD=DE=EA ∵B⌒CE=C⌒DA=3A⌒B
1
B2
5E
∴∠1=∠2 同理∠2=∠3=∠4=∠5
3
4
C
D
又∵顶点A、B、C、D、E都在⊙O上，
∴五边形ABCDE是⊙O的内接五边形.
正多边形的中心:一个正多边形的外接圆的圆心.
正多边形的半径:
E
D
外接圆的半径
正多边形的中心角: 正多边形的每一条 边所对的圆心角.
北师大版九年级下册第三章《圆》
3.8圆内接正多边形
三条边相等，三个角也 四条边都相等，四个
相等（60度）。
角也相等（90度）。
正多边形：
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
正n边形：如果一个正多边形有n(n≥3)条
北师大版九年级下册数学课件3.8圆内接正多边形(共14张PPT)
上交作业：课本习题3.10 家庭作业：学案第二页
谢谢聆听
归纳小结
正多边形的中心:
E
D
一个正多边形的外接圆的圆心.
正多边形的半径: 外接圆的半径
F
. 中心角
半径R
O.
C
边心距r
正多边形的中心角:
正多边形的每一边所对的圆心角. A
M
B
正多边形的边心距： 中心到正多边形的一边的距离.
实践动手操作:尺规作图你能尺Biblioteka 作出正六边形吗？FE
O
A
·
D
B
C
以外接圆的半径长 为半径，在圆周上依 次截取六段相等的弧， 依次连结各等分点， 则作出正六边形. 1、先作出正六边形， 2、作边的垂直平分 线可以作正十二边形， 3、也可以作正三角 形，………
【巩固新知】分别求出半径为6的圆内接正三角形的
边长、边心距和面积.
解：过A作BC边上的高AD,垂足为D
连接OB，则OB=6，
在Rt△OBD中,∠OBD=30°,OB=6,
边心距：OD
1 6
3,BD
3
3,
2
边长：BC 6 3
S ABC
1 2
•
BC
• AD
1 2
6
3 9 27
3
B
A
·O
D
C
生活中的圆内接正多边形
圆的内接正多边形：把一个圆n等分 （n≥3），依次连接各分点，我们就可以作出
一个圆内接正多边形。
A
B
E
C
D
概念解析：
E
正多边形的中心:
一个正多边形的外接圆的圆心.
正多边形的半径:
北师大版九年级数学下册第三章《3.8 圆内接正多边形(2)》优课件
360 60 的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这 6
条弧相等的弧，就得到圆的6个等分点，顺次连接各分点，即可得出 正六边形．
利用这种
方法可以
画出任意Βιβλιοθήκη O·的正n边 形.60°
第二种方法，如图，以2cm为半径作一个⊙O，由于正六边形的半径等 于边长，所以在圆上依次截取等于2cm的弦，就可以将圆六等分，顺 次连接各分点即可．
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
O·
探究
参照图，按照一定比例，画一 个停车让行的交通标志的外缘．
练习
用等分圆周的方法画出下列图案：
•1、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2022年2月12日星期六2022/2/122022/2/122022/2/12 •2、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2022年2月2022/2/122022/2/122022/2/122/12/2022 •3、提出一个问题往往比解决一个更重要。因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，却需要有创造性的想像力，而且标志着 科学的真正进步。2022/2/122022/2/12February 12, 2022 •4、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2022/2/122022/2/122022/2/122022/2/12
8 圆内接正多边形（2） （第2课时）
实际生活中，经常会遇到画平面正多边形的问题，比如画一个六角 螺帽的平面图，画一个五角形等，这些问题都与等分圆周有关，要 制造如图中零件，也需要等分圆周．
例如，我们可以这样来画一个边长为2cm的正六边形．
第一种方法，如图，以2cm为半径作一个⊙O，用量角器画一个等于
条弧相等的弧，就得到圆的6个等分点，顺次连接各分点，即可得出 正六边形．
利用这种
方法可以
画出任意Βιβλιοθήκη O·的正n边 形.60°
第二种方法，如图，以2cm为半径作一个⊙O，由于正六边形的半径等 于边长，所以在圆上依次截取等于2cm的弦，就可以将圆六等分，顺 次连接各分点即可．
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
O·
探究
参照图，按照一定比例，画一 个停车让行的交通标志的外缘．
练习
用等分圆周的方法画出下列图案：
•1、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2022年2月12日星期六2022/2/122022/2/122022/2/12 •2、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2022年2月2022/2/122022/2/122022/2/122/12/2022 •3、提出一个问题往往比解决一个更重要。因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，却需要有创造性的想像力，而且标志着 科学的真正进步。2022/2/122022/2/12February 12, 2022 •4、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2022/2/122022/2/122022/2/122022/2/12
8 圆内接正多边形（2） （第2课时）
实际生活中，经常会遇到画平面正多边形的问题，比如画一个六角 螺帽的平面图，画一个五角形等，这些问题都与等分圆周有关，要 制造如图中零件，也需要等分圆周．
例如，我们可以这样来画一个边长为2cm的正六边形．
第一种方法，如图，以2cm为半径作一个⊙O，用量角器画一个等于
北师大版九年级数学下册第三单元《圆内接正多边形》课件
圆
圆心
圆心角
半径R
弦心距r
正多边形的有关概念及性质
类比学习
正多边形
中心
半径R
中心角
边心距r
核心知识点四
圆内接正多边形的有关计算
想一想
1、正n边形的每个中心角等于
360
n
.
2、 正n边形的内角和等于
.
每个内角等于
.
360
n
3、正n边形的每个外角等于
. 正多边
形的中心角与外角的大小关系是相等 .
4、正n边形的边长a，半径R，边心距r之间满足
（3）依次连接这六个点，就得到了这个圆
的内接正六边形。
O
画法二：
(1)作☉O的任意一条直径AD.
(2)分别以A，D为圆心，以☉O的
半径R为半径作弧，与☉O相交于点
B，F和C，E.
(3)顺次连接AB，BC，CD，DE，EF
，FA，便得到正六边形ABCDEF.
C
B
D
A
F
E
想一想: 你能借助尺规作出圆内接正四边形吗?
形边数
2
3
2 3
1
4
2
1
2
6
3
2
2
周长
面积
O
6 3
3 3
8
12
4
Байду номын сангаас
B
D
6 3
2. 若正多边形的边心距与半径的比为1:2，则这个多边形的边
数是
3
.
3.已知一个正多边形的每个内角均为108°，则它的中心角为
72
________度．
C
知识小结
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B
中心角 360 n
中心角
E
D
边心距把△AOB分成 F 2个全等的直角三角形
180 AOG BOG n
. .O
R a
C
A G B 设正多边形的边长为a,半径为R,它的周长为L=na.
边心距r 面积S
a ， ） R（ 2
2
2
1 1 L 边心距（r） na 边心距（r） 2 2
例 有一个亭子它的地基是半径为4m的正六边形,
求地基的周长和面积(精确到0.1平方米).
解:由于ABCDEF是正六边形，所以
360 它的中心角等于 60， 6 OBC是等边三角形，从而正 六边形的边长等于它的 半径.
F
E
AB2. 来自Or R PD
C
∴亭子的周长 L=6×4=24(m)
BC 4 在RtOPC中，OC 4，PC 2 2 2 根据勾股定理，可得边 心距r
北师大版九年级下册第三章《圆》
三条边相等，三个角也 相等（60度）。 正多边形：
四条边都相等，四个 角也相等（90度）。
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
正n边形：如果一个正多边形有n(n≥3)条
边，那么这个正多边形叫做正n边形。
1、菱形是正多边形吗？矩形呢？正方形呢?
为什么？
２、正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过n边形的中心。
2 3
A
1
5
4
E
C
D
又∵顶点A、B、C、D、E都在⊙O上， ∴五边形ABCDE是⊙O的内接五边形.
正多边形的中心:一个正多边形的外接圆的圆心.
正多边形的半径: 外接圆的半径
正多边形的中心角: 正多边形的每一条 边所对的圆心角.
E
F
中心角
半径R . O.
D
边心距r
C
正多边形的边心距： A 中心到正多边形的一边的距离.
３、边数是偶数的正多边形还是中心对称 图形，它的中心就是对称中心。
A
A
D
B
C
B
C
弦相等（多边形的边相等）
弧相等—
圆周角相等（多边形的角相等）
—多边形是正多边形
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 证明：∵AB=BC=CD=DE=EA ∴AB=BC=CD=DE=EA ⌒ ⌒ ⌒ ∵BCE=CDA=3AB ∴∠1=∠2 同理∠2=∠3=∠4=∠5 B
A
3、正方形ABCD的外接圆圆心 中心 O叫做正方形ABCD的_______. 4、正方形ABCD的内切圆的 半径OE叫做正方形 ABCD的_________. 边心距
D
.O O
B E C
∠AOB ５、图中正六边形ABCDEF的中心角是 60度 它的度数是
E
D .O
F
C B
A
4 2
2
2 3
1 1 2 亭子的面积S Lr 24 2 3 41.6(m ) 2 2
（n 2） 180 1、正n边形的一个内角的度数是_________; n 360 中心角是___________; n
２、正多边形的中心角与外角的大小关系是 相等 ________.