北理工理论力学第1章-1.3(5-1)-2013,9,23(2学时)

运 动 学第 1章 第1章 第 2章 第2章 第 3章 第3章 运动学基础 刚体的平面运动 复合运动第1章第一章 运动学基础 1.1 约束及其分类 1.2 刚体运动的分类 1.3 机构、广义坐标与自由度 1.4 点的一般运动及其描述方法 1.5 刚体的基本运动及其描述方法第1.4节41.4.3 在自然轴系中研究点的运动弧坐标形式的运动方程M动点M在已知的曲线上运动原点O：在轨迹上任取点 正负方向：以原点为界标出轨迹曲线正负向 弧坐标：动点M至原点O的弧长OM=s，并且根据点M位于原点O的正、负侧确定s正负号。

代数量s称为动点M的弧坐标。

动点M在每一瞬时的位置可由弧坐标惟一地确定：s = s (t ) ⎯弧坐标形式的运动方程。

51.4.3 在自然轴系中研究点的运动曲线的几何性质与自然轴系1、密切面 由轨迹上无限接近的两点的两 条切线所确定的极限平面。

T MM′T′密切面 —副法线方向61.4.3 在自然轴系中研究点的运动曲线的几何性质与自然轴系2、自然轴系 G G r 空间曲线Γ的方程 = r ( s ) ，M－空间曲线Γ上的动点； MT－过动点 B(副法线) G M的切线，规定其 N(主法线) 单位矢量 et 指向弧坐标正向； 从切面 MN－ 密切面内垂直于切线的直 G 线，规定其单位矢量en 指向曲率 中心； MB－ 过动点M垂直于切线和主 G G G 法线的直线，其单位矢eb = et ×en s+ sG eb G enΓ密切面 自然轴系 ：如果空间曲线上点的 曲率不等于0，则在该点存在三条 正交的直线：切线、主法线、副法线称为该点处的自然轴系，基 G G G 矢量为 et ，en ，eb ;组成的三个平面：密切面、法平面、从切面。

G M etT(切线)法平面71.4.3 在自然轴系中研究点的运动曲线的几何性质与自然轴系2、自然轴系 自然轴系 ： 正交的直线：切线、主 法线、副法线称为该点 处的自然轴系，基矢量 G G G 为et ，en ，eb ；组成的三 个平面：密切面、法平 面、从切面。

自然轴系的特点跟随动点在轨迹上作空间曲线运动。

81.4.3 在自然轴系中研究点的运动曲线的几何性质与自然轴系3、基矢量的导数 G G det det ds = dt ds dt G det ⎧大小？ =⎨ ds ⎩方向？G det d s 的大小 G G det ∆et = lim ∆s→ 0 ∆ s ds∆ θ G ∆setM´G ∆etG' etMs = s(t )s=0G rG' etG r′o∆θ G ∆ e t = 2 sin 21 ∆θ = lim ∆θ = dθ = 1 = lim ⋅ 2 sin ρ ∆s →0 ∆s ds ∆s → 0 ∆ s 2k = 1 ρ — 曲线在点M的曲率ρ — 曲线在点M的曲率半径91.4.3 在自然轴系中研究点的运动曲线的几何性质与自然轴系3、基矢量的导数 G G G d e t d e t d s de ⎧大小？ t =⎨ = dt d s d t ds ⎩方向？G G det det 1 d s 的大小： d s = ρ G det d s 的方向∆ θ G ∆setG ∆r M´G ∆etG' etMs = s(t )s=0G rG' etG r′o∆θ G ∆ e t = 2 sin 2当∆t → 0时G det G 1 = en ds ρG G ∆θ → 0，即∆et的极限方向：enG  G d et s = en ρ dtG G G dr = lim ∆r = e t d s ∆s → 0 ∆ s10速度、加速度在自然轴上的投影1、点的速度、加速度t G Gv se=)(t s s =t d d e sr GG=ts s r rv d d d d G G G ==2t nG G G s a se e ρ=+t ta v s e s e ==+G G G G nt e s e G G ρ=2、速度、加速度在自然轴上的投影sv =t 0=n v 0=bv 速度、加速度在自然轴上的投影s a =t 21sa ρ=n=b a 速度在自然轴上的投影加速度在自然轴上的投影t G G v se=2t nG G G s a se e ρ=+2、速度、加速度在自然轴上的投影sv =t 0=n v 0=bv 速度、加速度在自然轴上的投影sa =t21sa ρ=n 0=b a tt t e v e v v GG G ==nn t t e a e a a GG G +=t t t t e se a a G GG ==——切向加速度2n n n n 1a a e s e ρ==GGG ——法向加速度MsvG na G ta G aG 速度在柱坐标轴上的投影投影与速度、加速度的关系例题1.2螺线画规如图示。

杆CD 和曲柄OA 铰接，并穿过可绕轴B 转动的套筒。

已知：BO=OA=a ，AM=b ，θ随时间的变化规律为θ=ωt , ω是常数。

试求点M 的运动方程、轨迹方程及速度和加速度的大小。

COM ABDθ解1。

以点M 为研究对象，建立图示极坐标系2。

建立运动方程，求轨迹由图示几何关系：ρ= 2a cos ϕ+ b ，2ϕ=θ，可知点M 的运动方程为轨迹方程为：3。

速度分析：速度在极坐标轴上的投影为)sin(sin 22t a a v ωωϕϕρρ−=−== ωωωρωϕρϕ)()cos(/222b t a v +===COM ABDθϕρ2t ϕω=，b t a +=)/cos(22ωρ平面螺线ρ= 2a cos ϕ+ b)(cos 24422222t ab b a v v v ωωϕρ++=+=速度的大小4。

加速度分析：加速度在极坐标轴上的投影为2224ωωϕρρρ))cos((b t a a +−=−= )sin(222t a a ωωϕρϕρϕ−=+= )(cos 244422222t ab b a a a a ωωϕρ++=+=加速度的大小为平面螺线轨迹ρ= 200cos ϕ+20设梯子的两个端点A 和B 分别沿着墙和地面滑动，它和地面夹角ϕ(t )是时间的已知函数，求梯子上M 点的运动轨迹、速度和加速度。

A )(t ϕM ab B例题1.322221,0,0x y x y ab+=≥≥且ϕ=cos a x ϕ=sin b y 由此得M 点的轨迹方程为a b 解1。

以点M 为研究对象，建立图示直角坐标系2。

建立点M 的运动方程3。

M 点的速度、加速度为(sin )(cos )v xiyj a i b j ϕϕϕϕ=+=−+G G G G G22(sin cos )(cos sin )a xi yja ib j ϕϕϕϕϕϕϕϕ=+=−++−G G G G G OA B Mx)(t ϕyϕ=cos a x ϕ=sin b y a b解1。

以点M 为研究对象，建立图示直角坐标系2。

建立点M 的运动方程3。

M 点的速度、加速度为(sin )(cos )v xiyj a i b j ϕϕϕϕ=+=−+G G G G G 22(sin cos )(cos sin )a xi yja ib j ϕϕϕϕϕϕϕϕ=+=−++−G G G G G O A B Mx)(t ϕy 当时，0ϕ= 22cos sin ϕϕϕϕ=−−G G G a a i b j2ϕ=−JJJJ G G a OM M 点加速度方向: 由M 指向O ，但n 2a OMϕ≠−JJJJ G Gx y a b22221+=yOA B M a = lx)(t ϕ b = l 2220,0x y l x y +=≥≥且例题1.3讨论M 点的运动轨迹:(sin )(cos )v a i b j ϕϕϕϕ=−+G G G(sin cos v l i j ϕϕϕ=−+G G G）,[(cos sin )]G G Gr l i j ϕϕ=+0v r ⋅=G G,即M 点的速度垂直于其矢径22(sin cos )(cos sin )a a i b j ϕϕϕϕϕϕϕϕ=−++−G G G 2(cos sin a l i j ϕϕϕ=−+G G G ）指向O 点，点M 2r ϕ=−G 0ϕ= 若a Gr G 0,v a ⋅=G G 即当a=b=l 点时，由n =G G a a思考题：M点的轨迹是什么曲线？轨迹演示例题1.4圆轮半径为R ，沿水平地面作纯滚动，轮心O 的速度为u =常数，求轮缘上一点M 的运动方程、速度、切向加速度、法向加速度和轨迹的曲率半径。

MRosin (sin )x AP OM R ϕϕϕ=−=−cos (1cos )y OP OM R ϕϕ=−=−1。

以Ｍ为研究对象，取坐标系Axy 如图所示，并设M 点所在的一个最低位置为原点A 。

取轮子转过一个角度ϕ为广义坐标。

解２。

运动方程这是旋轮线的参数方程。

式中Rtu =ϕ例题1.4解答ϕORPAxyM３。

速度分析ϕo R PAxyM u R ϕ= (sin )(1cos )x R y R ϕϕϕ=−=−x v x = y v y = ϕϕϕcos R R −=ϕϕsin R =)cos (ϕ−=1u v x ϕsin u v y =由Rtu =ϕ得到，代入上式有的大小为v G2222ϕsinu v v v yx=+=的方向为v GvG θ2ϕθcossin ==vv y 例题1.4解答３。

加速度分析的大小为a Gϕu a a a yx=+=22tv a d d t =2222ϕϕϕsinsin 2tn R u u a a a ==−=t cos 2a u ϕϕ= 曲率半径为：2n4s i n 22v R P Ma ϕρ===切向、法向加速度为cos y a u ϕϕ= sin x a u ϕϕ= x x va =y y va =)cos (ϕ−=1u v xϕsin u v y =22ϕsinu v =(1cos )(sin )v R i R j ϕϕϕϕ=−+G G Gv =V当M 点位于最高点时，即(21)k ϕπ=+2k ϕπ=V当M 点与地面接触时，即2v R i ϕ=G G为什么？OR PAxyM ϕM 点在该瞬时速度为零！VM 点的速度始终垂直于PMsin (1cos )PM AM APr r r R i R jϕϕ=−=−+−G G GG G(1cos )(sin )v R i R j ϕϕϕϕ=−+G G G(sin )(1cos )AM r R i R jϕϕϕ=−+−G G GAP r R iϕ=G G(1cos )(sin )(sin )(1cos )0PM v r R R R R ϕϕϕϕϕϕ⋅=−−+−=G GϕO R PAxy M vG例题1.4讨论VM 点加速度的方向始终指向点OxRPxyMϕAaG Ota G na G t a G na G a G ja y Gia x G cos y a u ϕϕ= sin x a u ϕϕ= a u ϕ= 即M 点加速度的方向始终指向点O 可将M 点加速度作如下分解O 1ρ2n2vPMa ==M 点的轨迹MM ϕRo ϕr r kR=k=1k=0.5k=2第1.5节311.5.1 刚体的平移平移刚体上点的速度、加速度G G G rB = rA + rABG rAB ≡ 0G aA AG G vA a BBG G vB = v AAG rAB AB G G r A rBBG vB BG G aB = aAO刚体平移时，其上各点有相同的速度和加速度。