高三数学一轮学案模块1函数与导数第6讲函数的表示法新人教A版
高三数学大一轮复习 函数及其表示学案 理 新人教A版
第二章 函 数 函数及其表示导学目标： 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法等)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用．自主梳理1．函数的基本概念 (1)函数定义设A ，B 是非空的 ，如果按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的 ,在集合B 中 ，称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，x 的取值范围A 叫做函数的__________，__________________叫做函数的值域．(2)函数的三要素__________、________和____________． (3)函数的表示法表示函数的常用方法有：________、________、________. (4)函数相等如果两个函数的定义域和__________完全一致，则这两个函数相等，这是判定两函数相等的依据．(5)分段函数：在函数的________内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的____________，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数是一个函数，它的定义域是各段取值区间的________，值域是各段值域的________．2．映射的概念 (1)映射的定义设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中 确定的元素y 与之对应，那么就称对应f :A →B 为从集合A 到集合B 的 .（2）由映射的定义可以看出，映射是 概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合，A 、B 必须是 数集.自我检测1．(2011·佛山模拟)设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列4个图形，其中能表示集合M 到N 的函数关系的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．(2010·湖北)函数y ＝1log 0.54x －3的定义域为( )A ．(34，1)B ．(34，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(34，1)∪(1，＋∞)3．(2010·湖北)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >02x， x ≤0，则f(f (19))等于( )A ．4 B.14C ．－4D ．－144．下列函数中，与函数y ＝x 相同的函数是( )A ．y ＝x 2xB ．y ＝(x )2C ．y ＝lg 10xD ．y ＝2log 2x5．(2011·衡水月考)函数y ＝lg(ax 2－ax ＋1)的定义域是R ，求a 的取值范围．探究点一 函数与映射的概念例1 (教材改编)下列对应关系是集合P 上的函数的是________．(1)P ＝Z ，Q ＝N *，对应关系f ：对集合P 中的元素取绝对值与集合Q 中的元素相对应； y ＝x 2，x ∈P ，y ∈Q ；（2）P ={-1,1,-2,2}，Q ={1，4}，对应关系:f :x →y =x 2,x ∈P ,y ∈Q ;(3)P ={三角形}，Q ={x |x >0}，对应关系f :对P 中三角形求面积与集合Q 中元素对应.变式迁移1 已知映射f :A →B .其中B ．其中A ＝B ＝R ，对应关系f ：x →y ＝－x 2＋2x ，对于实数k ∈B ，在集合A 中不存在元素与之对应，则k 的取值范围是 ( )A ．k >1B ．k ≥1C ．k <1D ．k ≤1 探究点二 求函数的定义域例2 (1)求函数y ＝x ＋1＋x －10lg 2－x的定义域；(2)已知函数f (2x ＋1)的定义域为(0,1)，求f (x )的定义域．变式迁移2 已知函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，那么g (x )＝f x 21＋lg x ＋1的定义域是________________________________________________________________________． 探究点三 求函数的解析式例3 (1)已知f (2x＋1)＝lg x ，求f (x )；(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )；(3)已知f (x )满足2f (x )＋f (1x)＝3x ，求f (x )．变式迁移3 (2011·武汉模拟)给出下列两个条件： (1)f (x ＋1)＝x ＋2x ；(2)f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2.试分别求出f (x )的解析式．探究点四 分段函数的应用例4 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ， x ≤0，2， x >0.若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4变式迁移 4 (2010·江苏)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1， x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的范围是________________．1．与定义域有关的几类问题第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义；第三类是不给出函数的解析式，而由f (x )的定义域确定函数f [g (x )]的定义域或由f [g (x )]的定义域确定函数f (x )的定义域．第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决． 2．解析式的求法求函数解析式的一般方法是待定系数法和换元法，除此还有代入法、拼凑法和方程组法．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列各组中的两个函数是同一函数的为 ( )(1)y 1＝x ＋3x －5x ＋3，y 2＝x －5；(2)y 1＝x ＋1x －1，y 2＝x ＋1x －1；(3)f (x )＝x ，g (x )＝x 2；(4)f (x )＝3x 4－x 3，F (x )＝x 3x －1；(5)f 1(x )＝(2x －5)2，f 2(x )＝2x －5.A ．(1)(2)B ．(2)(3)C ．(4)D ．(3)(5)2．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的公共点数目是 ( ) A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或23．(2011·洛阳模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x ≤－1，x 2－1<x <2，2x x ≥2，若f (x )＝3，则x 的值是( )A ．1B ．1或32C ．1，32或± 3D. 34．(2009·江西)函数y ＝lnx ＋1－x 2－3x ＋4的定义域为 ( )A ．(－4，－1)B ．(－4,1)C ．(－1,1)D ．(－1,1]5.（2011·台州模拟）设f :x →x 2是从集合A 到集合B 的映射，如果B ={1，2}，则A ∩B 为 ( )A ．∅B ．{1}C ．∅或{2}D ．∅或{1} 题号 1 2 3 4 5 答案 二、填空题(每小题4分，共12分)6．下列四个命题：(1)f (x )＝x －2＋1－x 有意义；(2)函数是其定义域到值域的映射；(3)函数y ＝2x (x ∈N )的图象是一条直线；(4)函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≥0，－x 2，x <0的图象是抛物线．其中正确的命题个数是________．7．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1 x ≥0x 2x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x2x ≤12 x >1，则f [g (3)]＝________，g [f (－12)]＝________.8．(2010·陕西)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝______.三、解答题(共38分)9．(12分)(1)若f (x ＋1)＝2x 2＋1，求f (x )的表达式； (2)若2f (x )－f (－x )＝x ＋1，求f (x )的表达式；(3)若函数f (x )＝xax ＋b，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，求f (x )的表达式．10．(12分)已知f (x )＝x 2＋2x －3，用图象法表示函数g (x )＝f x ＋|f x |2，并写出g (x )的解析式．11．(14分)(2011·湛江模拟)某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，销售收入R (x )(万元)满足R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋4.2x －0.8， 0≤x ≤5，10.2， x >5.假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律：(1)要使工厂有盈利，产品x 应控制在什么范围？(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？此时每台产品的售价为多少？答案 自主梳理 1．(1)数集 任意一个数x 都有唯一确定的数f(x)和它对应 定义域 函数值的集合{f(x)|x∈A} (2)定义域 值域 对应关系 (3)解析法 列表法 图象法 (4)对应关系 (5)定义域 对应关系 并集 并集 2.(1)都有唯一 一个映射 (2)函数 非空自我检测1．B [对于题图(1)：M 中属于(1,2]的元素，在N 中没有象，不符合定义；对于题图(2)：M 中属于(43，2]的元素的象，不属于集合N ，因此它不表示M 到N 的函数关系；对于题图(3)：符合M 到N 的函数关系；对于题图(4)：其象不唯一，因此也不表示M 到N 的函数关系．]2．A 3.B 4.C5．解 函数y ＝lg(ax 2－ax ＋1)的定义域是R ，即ax 2－ax ＋1>0恒成立． ①当a ＝0时，1>0恒成立；②当a ≠0时，应有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0， ∴0<a <4.综上所述，a 的取值范围为0≤a <4. 课堂活动区例1 解题导引 函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量之间是否具有函数关系，只需要检验：①定义域和对应关系是否给出；②根据给出的对应关系，自变量在其定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的函数值．(2)解析 由于(1)中集合P 中元素0在集合Q 中没有对应元素，并且(3)中集合P 不是数集，所以(1)和(3)都不是集合P 上的函数．由题意知，(2)正确．变式迁移1 A [由题意知，方程－x 2＋2x ＝k 无实数根，即x 2－2x ＋k ＝0无实数根．∴Δ＝4(1－k )<0，∴k >1时满足题意．]例2 解题导引 在(2)中函数f (2x ＋1)的定义域为(0,1)是指x 的取值范围还是2x ＋1的取值范围？f (x )中的x 与f (2x ＋1)中的2x ＋1的取值范围有什么关系？解 (1)要使函数有意义，应有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －1≠0，2－x >0，2－x ≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ≠1，x <2，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x <2，x ≠1.所以函数的定义域是{x |－1≤x <1或1<x <2}． (2)∵f (2x ＋1)的定义域为(0,1)， ∴1<2x ＋1<3，所以f (x )的定义域是(1,3)．变式迁移2 (－1，－910)∪(－910，2]解析 由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x 2≤2x ＋1>01＋lg x ＋1≠0得－1<x ≤2且x ≠－910.即定义域为(－1，－910)∪(－910，2]．例3 解题导引 函数解析式的类型与求法(1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法．(2)已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意变量的取值范围． (3)已知f (x )满足某个等式，这个等式除f (x )是未知量外，还出现其他未知量，如f (－x )、f (1x)等，要根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．解 (1)令2x ＋1＝t ，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg 2t －1，∴f (x )＝lg 2x －1，x ∈(1，＋∞)．(2)设f (x )＝ax ＋b ，(a ≠0)则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋b ＋5a ＝2x ＋17，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17，∴a ＝2，b ＝7，故f (x )＝2x ＋7.(3)2f (x )＋f (1x)＝3x ， ①把①中的x 换成1x，得2f (1x )＋f (x )＝3x， ②①×2－②，得3f (x )＝6x －3x，∴f (x )＝2x －1x.变式迁移3 解 (1)令t ＝x ＋1，∴t ≥1，x ＝(t －1)2.则f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1，即f (x )＝x 2－1，x ∈[1，＋∞)．(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∴f (x ＋2)＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋c ， 则f (x ＋2)－f (x )＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＝4，4a ＋2b ＝2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1. 又f (0)＝3，∴c ＝3，∴f (x )＝x 2－x ＋3.例4 解题导引 ①本题可以先确定解析式，然后通过解方程f (x )＝x 来确定解的个数；也可利用数形结合，更为简洁．②对于分段函数，一定要明确自变量所属的范围，以便于选择与之相应的对应关系． ③分段函数体现了数学的分类讨论思想，相应的问题处理应分段解决．C [方法一 若x ≤0，则f (x )＝x 2＋bx ＋c . ∵f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－42＋b ·－4＋c ＝c ，－22＋b ·－2＋c ＝－2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2， x ≤0，2， x >0.当x ≤0，由f (x )＝x ，得x 2＋4x ＋2＝x ， 解得x ＝－2，或x ＝－1；当x >0时，由f (x )＝x ，得x ＝2. ∴方程f (x )＝x 有3个解．方法二 由f (－4)＝f (0)且f (－2)＝－2，可得f (x )＝x 2＋bx ＋c 的对称轴是x ＝－2，且顶点为(－2，－2)，于是可得到f (x )的简图(如图所示)．方程f (x )＝x 的解的个数就是函数图象y ＝f (x )与y ＝x 的图象的交点的个数，所以有3个解．]变式迁移4 (－1，2－1)解析 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1， x <0的图象如图所示：f (1－x 2)>f (2x )⇔⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>2x1－x 2>0，解得－1<x <2－1.课后练习区1．C [(1)定义域不同；(2)定义域不同；(3)对应关系不同；(4)定义域相同，且对应关系相同；(5)定义域不同．]2．C [有可能是没有交点的，如果有交点，那么对于x ＝1仅有一个函数值．]3．D [该分段函数的三段各自的值域为(－∞，1]，[0,4)，[4，＋∞)，而3∈[0,4)，∴f (x )＝x 2＝3，x ＝±3，而－1<x <2，∴x ＝ 3.]4．C5．D [由已知x 2＝1或x 2＝2，解之得，x ＝±1或x ＝±2，若1∈A ，则A ∩B ＝{1}，若1∉A ，则A ∩B ＝∅，故A ∩B ＝∅或{1}．] 6．1解析 (1)x ≥2且x ≤1，不存在；(2)函数是特殊的映射；(3)该图象是由离散的点组成的；(4)该图象是两个不同的抛物线的两部分组成的，不是抛物线．故只有(2)正确．7．7 31168．29．解 (1)令t ＝x ＋1，则x ＝t －1，∴f (t )＝2(t －1)2＋1＝2t 2－4t ＋3，∴f (x )＝2x 2－4x ＋3.………………………………………………………………………………………………(4分)(2)∵2f (x )－f (－x )＝x ＋1，用－x 去替换式子中的x ，得2f (－x )－f (x )＝－x ＋1，……(6分)即有⎩⎪⎨⎪⎧2f x －f －x ＝x ＋12f －x －f x ＝－x ＋1，解方程组消去f (－x )，得f (x )＝x3＋1.……………………………………………………(8分)(3)由f (2)＝1得22a ＋b ＝1，即2a ＋b ＝2；由f (x )＝x 得x ax ＋b ＝x ，变形得x (1ax ＋b －1)＝0，解此方程得x ＝0或x ＝1－ba ，…(10分)又∵方程有唯一解，∴1－b a ＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12，∴f (x )＝2xx ＋2.……………………………………………………………………………(12分)10．解 函数f (x )的图象如图所示，……………………………………(6分)g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3x ≤－3或x ≥10 －3<x <1…………………………………………………(12分)11．解 依题意，G (x )＝x ＋2，设利润函数为f (x )，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋3.2x －2.8，0≤x ≤5，8.2－x ， x >5.………………………………………………(4分)(1)要使工厂赢利，则有f (x )>0.当0≤x ≤5时，有－0.4x 2＋3.2x －2.8>0，得1<x <7，所以1<x ≤5.………………………………………………………………(8分) 当x >5时，有8.2－x >0， 得x <8.2，所以5<x <8.2.综上所述，要使工厂赢利，应满足1<x <8.2，即产品应控制在大于100台小于820台的范围内．……………………………………………………………………………………(10分)(2)当0≤x ≤5时，f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6. 故当x ＝4时，f (x )有最大值3.6.…………………………………………………………(12分)而当x >5时，f (x )<8.2－5＝3.2.所以当工厂生产400台产品时，赢利最大，x ＝4时，每台产品售价为R 44＝2.4(万元/百台)＝240(元/台)．……………………………………………………………………………(14分)。
人教A版高中数学必修一新教案函数的表示方法一
数学 必修1：函数的表示方法(一)教学目标：在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数教学重点：图像法、列表法、解析法表示函数[来源:]教学过程：1、列表法：通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法叫列表法2、图像法：如果图形F 是函数)(x f y =的图像，则图像上的任意点的坐标满足函数的关系式，反之满足函数关系的点都在图像上.这种由图形表示函数的方法叫做图像法.[来源:]3、如果在函数)(x f y =)(A x ∈中，)(x f 是用代数式来表达的，这种方法叫做解析法4、与x 轴垂直的直线至多与函数的曲线有一个交点5、用计算机软件画出函数x x y 1+=，31)3(+++=x x y ，111-+-=x x y ，xx y 1+=的图像 420244202455-x 1x+x 3+()1x 3+()+x 1-()1x 1-()⎡⎢⎣⎤⎥⎦+x 1x +44-x6、讨论分别用a x -，a y -分别替换函数)(x f y =中的x ， y 以后函数的图像会发生哪些变化？7、讨论分别用x -，y -分别替换函数)(x f y =中的x ，y 以后函数的图像会发生哪些变化？8、讨论分别用ax ，by 分别替换函数)(x f y =中的x ，y 以后函数的图像会发生哪些变化？9、讨论分别用||x ，|)(|x f 分别替换函数)(x f y =中的x ，)(x f 以后函数的图像会发生哪些变化？10、试作出下列函数的图像：[来源:]（1）43-+=x x y （2）11-=x y [来源:Z+X+X+K] 11、若)3()3(x f x f +=-，那么函数)(x f 的图像有何性质？12、)3(x f y -=与)3(x f +的图像之间有何关系13、第44页例3课堂练习：教材第45页 练习A 、B[来源:]小结：本节课学习了图像法、列表法、解析法表示函数.课后作业：第58页 习题2-1B 第5题。
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案 导数在函数研究中的应用
第十一节 导数在函数研究中的应用1．函数的单调性了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．2．函数的极值了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)．知识点一 利用导数研究函数的单调性1．函数f (x )在某个区间(a ，b )内的单调性与其导数的正负有如下关系 (1)若f ′(x )>0，则f (x )在这个区间上是增加的． (2)若f ′(x )<0，则f (x )在这个区间上是减少的． (3)若f __′(x )＝0，则f (x )在这个区间内是常数． 2．利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)求f __′(x )．(2)在定义域内解不等式f __′(x )>0或f __′(x )<0. (3)根据结果确定f (x )的单调区间． 易误提醒1．在某个区间(a ，b )上，若f ′(x )>0，则f (x )在这个区间上单调递增；若f ′(x )<0，则f (x )在这个区间上单调递减；若f ′(x )＝0恒成立，则f (x )在这个区间上为常数函数；若f ′(x )的符号不确定，则f (x )不是单调函数．2．若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上单调递增，则f ′(x )≥0，且在(a ，b )的任意子区间，等号不恒成立；若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上单调递减，则f ′(x )≤0，且在(a ，b )的任意子区间，等号不恒成立．[自测练习]1．函数f (x )＝x ＋eln x 的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，0)和(0，＋∞)D ．R解析：函数定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋ex >0，故单调增区间是(0，＋∞)．答案：A2．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调增函数，则m 的取值范围是________． 解析：∵f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1， ∴f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m .又∵f (x )在R 上是单调增函数，∴f ′(x )≥0恒成立，∴Δ＝4－12m ≤0，即m ≥13.答案：⎣⎡⎭⎫13，＋∞ 知识点二 利用导数研究函数的极值 1．函数的极大值在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都小于x 0点的函数值，称点x 0为函数y ＝f (x )的极大值点，其函数值f (x 0)为函数的极大值．2．函数的极小值在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都大于x 0点的函数值，称点x 0为函数y ＝f (x )的极小值点，其函数值f (x 0)为函数的极小值．极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．易误提醒 f ′(x 0)＝0是x 0为f (x )的极值点的非充分非必要条件．例如，f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点；又如f (x )＝|x |，x ＝0是它的极小值点，但f ′(0)不存在．[自测练习]3.函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：导函数f ′(x )的图象与x 轴的交点中，左侧图象在x 轴下方，右侧图象在x 轴上方的只有一个，故选A.答案：A4．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9在x ＝－3时取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由题意知f ′(－3)＝0，即3×(－3)2＋2×(－3)a ＋3＝0，解得a ＝5.答案：D考点一 利用导数研究函数的单调性|(2015·高考全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围． [解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a .若a ≤0，则f ′(x )>0， 所以f (x )在(0，＋∞)单调递增． 若a >0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0. 所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 单调递增， 在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞单调递减．(2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)无最大值；当a >0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln 1a ＋a ⎝⎛⎭⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ⎝⎛⎭⎫1a >2a －2等价于ln a ＋a －1<0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)单调递增，g (1)＝0. 于是，当0<a <1时，g (a )<0；当a >1时，g (a )>0. 因此，a 的取值范围是(0,1)．利用导数研究函数的单调性应注意两点(1)在区间内f ′(x )>0(f ′(x )<0)是函数f (x )在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件． (2)可导函数f (x )在(a ，b )内是增(减)函数的充要条件是：∀x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒为零．1．已知函数f (x )＝m ln x －12x 2(m ∈R )，求函数f (x )的单调区间．解：函数f (x )＝m ln x －12x 2的定义域是(0，＋∞)．f ′(x )＝mx －x ＝m －x 2x .当m ≤0时，f ′(x )≤－x 2x＝－x <0，函数f (x )＝m ln x －12x 2在(0，＋∞)上为减函数．当m >0时，令f ′(x )＝0，得：x ＝m 或－m (舍去)． 当x ∈(0，m )时，f ′(x )>0， ∴f (x )在(0，m )上是增函数． 当x ∈(m ，＋∞)时，f ′(x )<0， ∴f (x )在(m ，＋∞)上是减函数．综上所述，当m ≤0时，f (x )的单调递减区间为(0，＋∞)，当m >0时，f (x )的单调递增区间为(0，m )，单调递减区间为(m ，＋∞)．考点二 已知单调性求参数范围|(2015·福州模拟)已知函数f (x )＝e x 2－1e x －ax (a ∈R )．(1)当a ＝32时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在[－1,1]上为单调函数，求实数a 的取值范围． [解] (1)当a ＝32时，f (x )＝e x 2－1e x －32x ，f ′(x )＝12e x [(e x )2－3e x ＋2]＝12e x (e x －1)(e x －2)，令f ′(x )＝0，得e x ＝1或e x ＝2，即x ＝0或x ＝ln 2； 令f ′(x )>0，得x <0或x >ln 2； 令f ′(x )<0，则0<x <ln 2.∴f (x )在(－∞，0]，[ln 2，＋∞)上单调递增，在(0，ln 2)上单调递减． (2)f ′(x )＝e x 2＋1e x －a ，令e x ＝t ，由于x ∈[－1,1]，∴t ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e .令h (t )＝t 2＋1t ⎝⎛⎭⎫t ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e ， h ′(t )＝12－1t 2＝t 2－22t2，∴当t ∈⎣⎡⎭⎫1e ，2时，h ′(t )<0，函数h (t )为单调减函数； 当t ∈(2，e]时，h ′(t )>0，函数h (t )为单调增函数． 故h (t )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的极小值点为t ＝ 2. 又h (e)＝e 2＋1e <h ⎝⎛⎭⎫1e ＝12e ＋e ，∴2≤h (t )≤e ＋12e.∵函数f (x )在[－1,1]上为单调函数，若函数在[－1,1]上单调递增，则a ≤t 2＋1t 对t ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e 恒成立，所以a ≤2；若函数f (x )在[－1,1]上单调递减，则a ≥t 2＋1t 对t ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e 恒成立，所以a ≥e ＋12e，综上可得a ≤ 2或a ≥e ＋12e.已知函数单调性，求参数范围的两个方法(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集．(2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则f ′(x )≥0；若函数单调递减，则f ′(x )≤0”来求解．提醒：f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上f ′(x )≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．2．已知函数f (x )＝e x －ax (a ∈R ，e 为自然对数的底数)． (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若a ＝1，函数g (x )＝(x －m )f (x )－e x ＋x 2＋x 在(2，＋∞)上为增函数，求实数m 的取值范围．解：(1)函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝e x －a . 当a ≤0时，f ′(x )>0，∴f (x )在R 上为增函数； 当a >0时，由f ′(x )＝0得x ＝ln a ，则当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在(－∞，ln a )上为减函数， 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0， ∴函数f (x )在(ln a ，＋∞)上为增函数．(2)当a ＝1时，g (x )＝(x －m )(e x －x )－e x ＋x 2＋x ， ∵g (x )在(2，＋∞)上为增函数，∴g ′(x )＝x e x －m e x ＋m ＋1≥0在(2，＋∞)上恒成立， 即m ≤x e x ＋1e x －1在(2，＋∞)上恒成立，令h (x )＝x e x ＋1e x －1，x ∈(2，＋∞)，h ′(x )＝(e x )2－x e x －2e x (e x －1)2＝e x (e x －x －2)(e x －1)2. 令L (x )＝e x －x －2，L ′(x )＝e x －1>0在(2，＋∞)上恒成立， 即L (x )＝e x －x －2在(2，＋∞)上为增函数， 即L (x )>L (2)＝e 2－4>0，∴h ′(x )>0， 即h (x )＝x e x ＋1e x －1在(2，＋∞)上为增函数，∴h (x )>h (2)＝2e 2＋1e 2－1，∴m ≤2e 2＋1e 2－1.考点三 利用导数研究极值|设函数f (x )＝x 2－ax ＋b .讨论函数f (sin x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． [解] f (sin x )＝sin 2x －a sin x ＋b ＝sin x (sin x －a )＋b ，－π2<x <π2.[f (sin x )]′＝(2sin x －a )cos x ，－π2<x <π2.因为－π2<x <π2，所以cos x >0，－2<2sin x <2.①a ≤－2，b ∈R 时，函数f (sin x )单调递增，无极值． ②a ≥2，b ∈R 时，函数f (sin x )单调递减，无极值．③对于－2<a <2，在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内存在唯一的x 0，使得2sin x 0＝a .－π2<x ≤x 0时， 函数f (sin x )单调递减；x 0≤x <π2时，函数f (sin x )单调递增．因此，－2<a <2，b ∈R 时，函数f (sin x )在x 0处有极小值 f (sin x 0)＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝b －a24.3．(2015·太原一模)已知函数f (x )＝(x 2－ax ＋a )e x －x 2，a ∈R . (1)若函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围； (2)若函数f (x )在x ＝0处取得极小值，求a 的取值范围． 解：(1)由题意得f ′(x )＝x [(x ＋2－a )e x －2]＝ x e x ⎝⎛⎭⎫x ＋2－2e x －a ，x ∈R ， ∵f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立， ∴x ＋2－2ex ≥a 在(0，＋∞)上恒成立，又函数g (x )＝x ＋2－2e x 在(0，＋∞)上单调递增，∴a ≤g (0)＝0，∴a 的取值范围是(－∞，0]．(2)由(1)得f ′(x )＝x e x ⎝⎛⎭⎫x ＋2－2e x －a ，x ∈R ， 令f ′(x )＝0，则x ＝0或x ＋2－2e x －a ＝0，即x ＝0或g (x )＝a ，∵g (x )＝x ＋2－2e x 在(－∞，＋∞)上单调递增，其值域为R ，∴存在唯一x 0∈R ，使得g (x 0)＝a ，①若x 0>0，当x ∈(－∞，0)时，g (x )<a ，f ′(x )>0；当x ∈(0，x 0)时，g (x )<a ，f ′(x )<0，∴f (x )在x ＝0处取得极大值，这与题设矛盾．②若x 0＝0，当x ∈(－∞，0)时，g (x )<a ，f ′(x )>0；当x ∈(0，＋∞)时，g (x )>a ，f ′(x )>0，∴f (x )在x ＝0处不取极值，这与题设矛盾．③若x 0<0，当x ∈(x 0,0)时，g (x )>a ，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，g (x )>a ，f ′(x )>0，∴f (x )在x ＝0处取得极小值．综上所述，x 0<0，∴a ＝g (x 0)<g (0)＝0， ∴a 的取值范围是(－∞，0)． 8.分类讨论思想在导数中的应用【典例】 (2015·贵阳期末)已知函数f (x )＝ax －ae x (a ∈R ，a ≠0)．(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的极值；(2)若函数F (x )＝f (x )＋1没有零点，求实数a 的取值范围．[思维点拨] (1)求f ′(x )后判断f (x )在(－∞，＋∞)上的单调性，可求极值． (2)分类讨论f (x )在(－∞，＋∞)的单调性，利用极值建立所求参数a 的不等式求解． [解] (1)当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋1e x ，f ′(x )＝x －2ex . 由f ′(x )＝0，得x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以函数f (x )的极小值为f (2)＝－1e2，函数f (x )无极大值．(2)F ′(x )＝f ′(x )＝a e x －(ax －a )e x e 2x ＝－a (x －2)e x .①当a <0时，F (x )，F ′(x )的变化情况如下表：若使函数F (x )没有零点，当且仅当F (2)＝ae 2＋1>0，解得a >－e 2，所以此时－e 2<a <0；②当a >0时，F (x )，F ′(x )的变化情况如下表：因为F (2)>F (1)>0，且F ⎝⎛⎭⎫1－10a ＝e1－10a －10e1－10a <e －10e1－10a <0， 所以此时函数F (x )总存在零点． (或：当x >2时，F (x )＝a (x －1)e x＋1>1，当x <2时，令F (x )＝a (x －1)e x＋1<0，即a (x －1)＋e x <0， 由于a (x －1)＋e x <a (x －1)＋e 2， 令a (x －1)＋e 2≤0，得x ≤1－e 2a ，即x ≤1－e 2a时，F (x )<0，即F (x )存在零点)综上所述，所求实数a 的取值范围是(－e 2,0)．[思想点评] 分类讨论思想在导数研究函数的应用中运用普遍常见的分类讨论点有： (1)f ′(x )＝0是否有根．(2)若f ′(x )＝0有根，根是否在定义域内． (3)若f ′(x )＝0有两根，两根大小比较问题.A 组 考点能力演练1．(2015·岳阳一模)下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝ln(－x ) C ．y ＝x e －xD ．y ＝x ＋2x解析：A 、B 为单调函数，不存在极值，C 不是奇函数，故选D. 答案：D2．(2016·厦门质检)函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(1，＋∞)D ．(0,2)解析：由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由y ′＝x －1x ≤0，解得0<x ≤1，所以函数的单调递减区间为(0,1]．答案：B3.已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx 的图象如图所示，则x 21＋x 22＝( )A.23B.43C.83D.163解析：由图象可知f (x )的图象过点(1,0)与(2,0)，x 1，x 2是函数f (x )的极值点，因此1＋b ＋c ＝0,8＋4b ＋2c ＝0，解得b ＝－3，c ＝2，所以f (x )＝x 3－3x 2＋2x ，所以f ′(x )＝3x 2－6x ＋2.x 1，x 2是方程f ′(x )＝3x 2－6x ＋2＝0的两根，因此x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝23，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝4－43＝83，故选C.答案：C4．已知函数f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫e x －1e x ，若f (x 1)<f (x 2)，则( ) A ．x 1>x 2 B ．x 1＋x 2＝0C ．x 1<x 2D ．x 21<x 22解析：因为f (－x )＝－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫e －x －1e －x ＝x ⎝⎛⎭⎫e x －1e x ＝f (x )，所以f (x )为偶函数．由f (x 1)<f (x 2)，得f (|x 1|)<f (|x 2|)(*)．又f ′(x )＝e x－1e x ＋x ⎝⎛⎭⎫e x ＋1e x ＝e 2x(x ＋1)＋x －1ex，当x ≥0时，e 2x (x ＋1)＋x －1≥e 0(0＋1)＋0－1＝0，所以f ′(x )≥0，所以f (x )在[0，＋∞)上为增函数，由(*)式得|x 1|<|x 2|，即x 21<x 22，故选D.答案：D5．若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤－∞，518 B ．(－∞，3] C.⎣⎡⎭⎫518，＋∞ D ．[3，＋∞)解析：f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3，由于f (x )在区间[1,4]上单调递减，则有f ′(x )≤0在[1,4]上恒成立，即3x 2－2tx ＋3≤0，即t ≥32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在[1,4]上恒成立，因为y ＝32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在[1,4]上单调递增，所以t ≥32⎝⎛⎭⎫4＋14＝518，故选C. 答案：C6．(2016·九江一模)已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值范围为________．解析：由题意知f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立，即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立，∵⎝⎛⎭⎫－x ＋1x max ＝83，∴2a ≥83，即a ≥43. 答案：⎣⎡⎭⎫43，＋∞7．设x 1，x 2是函数f (x )＝x 3－2ax 2＋a 2x 的两个极值点，若x 1<2<x 2，则实数a 的取值范围是________．解析：本题考查利用导数研究函数的极值及不等式的解法．由f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2＝0得x 1＝a3，x 2＝a .又∵x 1<2<x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >2，a 3<2，∴2<a <6.答案：(2,6)8．(2015·兰州一模)若函数f (x )＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝x 2－e x －ax ，∴f ′(x )＝2x －e x －a ， ∵函数f (x )＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调递增区间，∴f ′(x )＝2x －e x －a ≥0，即a ≤2x －e x 有解，设g (x )＝2x －e x ，则g ′(x )＝2－e x ，令g ′(x )＝0，解得x ＝ln 2，则当x <ln 2时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，当x >ln 2时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，∴当x ＝ln 2时，g (x )取得最大值，且g (x )max ＝g (ln 2)＝2ln 2－2，∴a ≤2ln 2－2.答案：(－∞，2ln 2－2)9．已知函数f (x )＝x －2ln x －ax ＋1，g (x )＝e x (2ln x －x )．(1)若函数f (x )在定义域上是增函数，求a 的取值范围； (2)求g (x )的最大值．解：(1)由题意得x >0，f ′(x )＝1－2x ＋ax2.由函数f (x )在定义域上是增函数，得f ′(x )≥0，即a ≥2x －x 2＝－(x －1)2＋1(x >0)． 因为－(x －1)2＋1≤1(当x ＝1时，取等号)， 所以a 的取值范围是[1，＋∞)． (2)g ′(x )＝e x ⎝⎛⎭⎫2x －1＋2ln x －x ， 由(1)得a ＝2时，f (x )＝x －2ln x －2x ＋1，且f (x )在定义域上是增函数，又f (1)＝0，所以，当x ∈(0,1)时，f (x )<0，当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0. 所以，当x ∈(0,1)时，g ′(x )>0，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0. 故当x ＝1时，g (x )取得最大值－e.10．(2015·安徽六校联考)设函数f (x )＝(x －1)e x －kx 2(其中k ∈R )． (1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间和极值；(2)当k ∈[0，＋∞)时，证明函数f (x )在R 上有且只有一个零点．解：(1)当k ＝1时，f (x )＝(x －1)e x －x 2，f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2x ＝x e x －2x ＝x (e x －2)， 令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝ln 2. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化如下表：∞)．f (x )的极大值为f (0)＝－1，极小值为f (ln 2)＝ －(ln 2)2＋2ln 2－2.(2)f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2kx ＝x e x －2kx ＝x (e x －2k )， 当x <1时，f (x )<0，所以f (x )在(－∞，1)上无零点． 故只需证明函数f (x )在[1，＋∞)上有且只有一个零点．①若k ∈⎣⎡⎦⎤0，e2，则当x ≥1时，f ′(x )≥0，f (x )在[1，＋∞)上单调递增． ∵f (1)＝－k ≤0，f (2)＝e 2－4k ≥e 2－2e>0， ∴f (x )在[1，＋∞)上有且只有一个零点．②若k ∈⎝⎛⎭⎫e2，＋∞，则f (x )在[1，ln 2k ]上单调递减，在[ln 2k ，＋∞)上单调递增． f (1)＝－k <0，f (k ＋1)＝k e k ＋1－k (k ＋1)2＝k [e k ＋1－(k ＋1)2]， 令g (t )＝e t －t 2，t ＝k ＋1>2，则g ′(t )＝e t －2t ， g ″(t )＝e t －2，∵t >2，∴g ″(t )>0，g ′(t )在(2，＋∞)上单调递增． ∴g ′(t )>g ′(2)＝e 2－4>0，∴g (t )在(2，＋∞)上单调递增． ∴g (t )>g (2)＝e 2－4>0. ∴f (k ＋1)>0.∴f (x )在[1，＋∞)上有且只有一个零点．综上，当k ∈[0，＋∞)时，f (x )在R 上有且只有一个零点．B 组 高考题型专练1．(2015·高考重庆卷)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值．(1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x ，讨论g (x )的单调性． 解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ， 因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝⎛⎭⎫－43＝0， 所以3a ·169＋2·⎝⎛⎭⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12. (2)由(1)得g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 3＋x 2e x， 故g ′(x )＝⎝⎛⎭⎫32x 2＋2x e x ＋⎝⎛⎭⎫12x 3＋x 2e x ＝⎝⎛⎭⎫12x 3＋52x 2＋2x e x＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x . 令g ′(x )＝0，解得x ＝0，x ＝－1或x ＝－4. 当x <－4时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数； 当－4<x <－1时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数； 当－1<x <0时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数； 当x >0时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数．综上知，g (x )在(－∞，－4)和(－1,0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数． 2．(2015·高考安徽卷)已知函数f (x )＝ax (x ＋r )2(a >0，r >0)．(1)求f (x )的定义域，并讨论f (x )的单调性； (2)若ar＝400，求f (x )在(0，＋∞)内的极值．解：(1)由题意知x ≠－r ，所求的定义域为(－∞，－r )∪(－r ，＋∞)． f (x )＝ax (x ＋r )2＝axx 2＋2rx ＋r 2，f ′(x )＝a (x 2＋2rx ＋r 2)－ax (2x ＋2r )(x 2＋2rx ＋r 2)2＝a (r －x )(x ＋r )(x ＋r )4，所以当x <－r 或x >r 时，f ′(x )<0，当－r <x <r 时，f ′(x )>0，因此，f (x )的单调递减区间为(－∞，－r )，(r ，＋∞)；f (x )的单调递增区间为(－r ，r )． (2)由(1)的解答可知f ′(r )＝0，f (x )在(0，r )上单调递增，在(r ，＋∞)上单调递减． 因此，x ＝r 是f (x )的极大值点，所以f (x )在(0，＋∞)上的极大值为f (r )＝ar (2r )2＝a 4r ＝4004＝100.3．(2016·宁夏银川一中联考)函数f (x )＝x 2－2ln x ，h (x )＝x 2－x ＋a . (1)求函数f (x )的极值；(2)设函数k (x )＝f (x )－h (x )，若函数k (x )在[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围．解：(1)∵f ′(x )＝2x －2x，令f ′(x )＝0，∵x >0，∴x ＝1.x (0,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ f (x )单调递减1单调递增∴f (x )的极小值为1，无极大值．(2)∵k (x )＝f (x )－h (x )＝－2ln x ＋x －a ，k ′(x )＝－2x ＋1.若k ′(x )＝0，则x ＝2.当x ∈[1,2)时，k ′(x )<0；当x ∈(2,3]时，k ′(x )>0. 故k (x )在x ∈[1,2)上单调递减，在x ∈(2,3]上单调递增．∴{ k (1)≥0，k (2)<0，k (3)≥0，∴{a ≤1，a >2－2ln 2，a ≤3－2ln 3， ∴实数a 的取值范围是(2－2ln 2,3－2ln 3]．。
新高考数学人教版一轮学案第二章第一节 函数及其表示
第一节函数及其表示热点命题分析学科核心素养从近五年的考查情况来看，本节是高考中的一个热点，常以基本初等函数为载体，与不等式结合考查函数的定义域、值域、解析式的求法，尤其对分段函数的求值、求参问题考查频率较高，常以选择题或填空题的形式出现，属于中、低档题.本节通过对函数的概念及其表示方法、分段函数的理解及应用考查数形结合思想、分类讨论思想的运用以及考生的数学抽象、数学运算、逻辑推理核心素养.授课提示：对应学生用书第8页知识点一函数的基本概念1．函数的定义一般地，设A，B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2．函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．3．函数的三要素：定义域、值域和对应关系．4．表示函数的常用方法：列表法、图象法和解析式法．•温馨提醒•函数问题允许多对一，但不允许一对多．与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．1．(多选题)下列图象中，能表示函数的图象的是()解析：显然，对于选项D，当x取一个正值时，有两个y值与之对应，不符合函数的定义．答案：ABC2．函数f(x)＝2x－1＋1x－2的定义域为()A．[0,2)B．(2，＋∞)C．[0,2)∪(2，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞)答案：C知识点二分段函数在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．•温馨提醒•二级结论分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．必明易错1．求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域．2．分段函数无论分成几段，都是一个函数，不要误解为是“由几个函数组成”．求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．1．若函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋2，x ≤0，2x －4，x ＞0，则f [f (1)]的值为( )A ．－10B ．10C ．－2D ．2 答案：C2．(易错题)设函数f (x )＝⎩⎨⎧(x ＋1)2，x ＜1，4－x －1，x ≥1，则使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围为________．答案：(－∞，－2]∪[0,10]3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．答案：－3授课提示：对应学生用书第9页 题型一 函数的定义域 自主探究1．已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3， 3 ]，则函数y ＝f (x )的定义域为________． 答案：[－1,2] 2．若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________．解析：因为函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，所以mx 2＋4mx ＋3≠0，所以m ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，Δ＝16m 2－12m ＜0，即m ＝0或0＜m ＜34，所以实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34求函数f (x )的定义域时，要使解析式有意义．具体如下：(1)分式中，分母不为0；(2)偶次方根中，被开方数非负；(3)对于y ＝x 0，要求x ≠0，负指数的底数不为0.题型二 函数解析式的求法 自主探究求下列函数的解析式：(1)已知f (1－sin x )＝cos 2x ，求f (x )的解析式； (2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝x 4＋1x 4，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是一次函数且3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式； (4)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求f (x )的解析式． 解析：(1)(换元法)设1－sin x ＝t ，t ∈[0,2]，则sin x ＝1－t ，因为f (1－sin x )＝cos 2x ＝1－sin 2x ，所以f (t )＝1－(1－t )2＝2t －t 2，t ∈[0,2]．即f (x )＝2x －x 2，x ∈[0,2]． (2)(配凑法)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 22－2，所以f (x )＝x 2－2，x ∈[2，＋∞)．(3)(待定系数法)因为f (x )是一次函数，可设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，所以3[a (x ＋1)＋b ]－2[a (x －1)＋b ]＝2xax ＋(5a ＋b )＝2x ＋17，因此应有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，5a ＋b ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7.故f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋7. (4)(方程组法)当x ∈(－1,1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)①.又－x ∈(－1,1)，以－x 代替x 得2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)②.由①②消去f (－x )得f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)．题型三 分段函数 多维探究高考对分段函数的考查多以选择题、填空题的形式出现，试题难度一般较小．常见的命题角度有：(1)分段函数的函数求值问题；(2)分段函数的自变量求值问题；(3)分段函数与不等式问题. 考法(一) 分段函数求值问题[例1] (1)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧f (x ＋3)，x ＜6，log 2x ，x ≥6，则f (－1)的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)若函数f (x )＝⎩⎨⎧lg (1－x )，x ＜0，－2x ，x ≥0，则f (f (－9))＝________.[答案] (1)C (2)－2求分段函数的函数值时，应根据所给自变量的取值选择相应段的解析式求解，有时各段交替使用求值 考法(二) 求参数值问题[例2] (1)(2021·安庆模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，－1＜x ＜0，2x ，x ≥0，若实数a 满足f (a )＝f (a －1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8(2)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－1，x ≥2，log 2x ，0＜x ＜2，若f (m )＝3，则实数m 的值为________．[解析] (1)由题意得a ≥0且－1＜a －1＜0，即0＜a ＜1，由f (a )＝f (a －1)，即2a ＝a ，解得a ＝14，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝8.(2)当m ≥2时，由m 2－1＝3，得m 2＝4，解得m ＝2；当0＜m ＜2时，由log 2m ＝3，解得m ＝23＝8(舍去)．综上所述，m ＝2. [答案] (1)D (2)2求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应段上自变量的值，切记要代入检验．[题组突破]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －2，x ＞2，x 2＋2，x ≤2，则f (f (1))＝( )A ．－12 B ．2 C ．4 D ．11答案：C2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3x ＋1，x ＜1，ax 2－x ，x ≥1，若f (f (0))＝3a ，则实数a 等于( )A.12 B ．4 C ．2 D ．9答案：C函数概念中的核心素养(一)数学抽象——函数的新定义问题 解决与函数有关的新定义问题(1)联想背景：有些题目给出的新函数是以熟知的初等函数(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等)为背景定义的，可以通过阅读材料，联想和类比、拆分或构造，将新函数转化为我们熟知的基本初等函数进行求解．(2)紧扣定义：对于题目定义的新函数，通过仔细阅读，分析定义以及新函数所满足的条件，围绕定义与条件来确定解题的方向，然后准确作答．(3)巧妙赋值：如果题目所定义的新函数满足的条件是函数方程，可采用赋值法，即令x ，y 取特殊值，或为某一范围内的值，求得特殊函数值或函数解析式，再结合掌握的数学知识与方程思想来解决问题．(4)构造函数：有些新定义型函数可看成是由两个已知函数构造而成的． [例1] (多选题)(2021·深圳模拟)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f (x )的图象恰好经过n (n ∈N *)个整点，则称函数f (x )为n 阶整点函数．给出下列函数： 其中是一阶整点函数的是( ) A ．f (x )＝sin 2x B ．g (x )＝x 3 C ．h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x D ．φ(x )＝ln x .[解析] 对于函数f (x )＝sin 2x ，它的图象(图略)只经过一个整点(0,0)，所以它是一阶整点函数，对于函数g (x )＝x 3，它的图象(图略)经过整点(0,0)，(1,1)，…，所以它不是一阶整点函数，(只要找到两个整点，即可判断函数不是一阶整点函数)；对于函数h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，它的图象(图略)经过整点(0,1)，(－1,3)，…，所以它不是一阶整点函数．对y (x )＝ln x 是一阶整点函数，故选AD. [答案] AD本题意在考查考生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养．破解新定义函数题的关键是：紧扣新定义的函数的含义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利获解．(二)数学运算——分类讨论思想在分段函数中的应用[例2] 设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x ＞0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＞1的x 的取值范围是________． [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞解决分段函数问题的关键是“对号入座”，即根据自变量的取值范围，准确确定相应的对应法则，代入相应的函数解析式，转化为一般的函数在指定区间上的问题，解完之后应注意检验自变量取值范围的应用．总之，解决分段函数的策略就是“分段函数，分段解决”，即应用分类讨论思想解决．[题组突破]1．(多选题)(2021·山东菏泽一中月考)设函数f (x )的定义域为D ，∀x ∈D ，∃y ∈D ，使得f (y )＝－f (x )成立，则称f (x )为“美丽函数”．下列所给出的函数中，是“美丽函数”的是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝1x －1C ．f (x )＝ln(2x ＋3)D ．f (x )＝2x ＋3解析：函数f (x )的定义域为D ，∀x ∈D ，∃y ∈D ，使得f (y )＝－f (x )成立，所以函数f (x )的值域关于原点对称．对于选项A ，函数f (x )＝x 2的值域为[0，＋∞)，不关于原点对称，不符合题意； 对于选项B ，函数f (x )＝1x －1的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，符合题意；对于选项C ，函数f (x )＝ln(2x ＋3)的值域为R ，关于原点对称，符合题意； 对于选项D ，函数f (x )＝2x ＋3的值域为R ，关于原点对称，符合题意． 答案：BCD2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＜2，2xx ＋3，x ≥2，若f (x 0)＞1，则x 0的取值范围是________．答案：(0,2)∪(3，＋∞)。
2019-2020年高考数学一轮总复习 2.1函数的概念及表示法教案 理 新人教A版
2019-2020年高考数学一轮总复习 2.1函数的概念及表示法教案理新人教A版高考导航知识网络2.1函数的概念及表示法典例精析题型一求函数的解析式【例1】 (1)已知f(x＋1)＝x2＋x＋1，求f (x)的表达式；(2)已知f(x)＋2f(－x)＝3x2＋5x＋3，求f (x)的表达式.【解析】(1)设x＋1＝t，则x＝t－1，代入得f (x)＝(t－1)2＋(t－1)＋1＝t2－t＋1，所以f (x)＝x2－x＋1.(2)由f (x)＋2f (－x)＝3x2＋5x＋3，x换成－x，得f (－x)＋2 f (x)＝3x2－5x＋3，解得f (x)＝x2－5x＋1.【点拨】已知f(x)，g(x)，求复合函数f[g(x)]的解析式，直接把f(x)中的x换成g(x)即可，已知f[g(x)]，求f (x)的解析式，常常是设g(x)＝t，或者在f[g(x)]中凑出g(x)，再把g(x)换成x.【变式训练1】已知f ()＝，求f (x)的解析式.【解析】设＝t，则x＝，所以f (t)＝22)11(1)11(1tttt+-++--＝，所以f (x)＝(x≠－1).题型二求函数的定义域【例2】(1)求函数y＝的定义域；(2)已知f(x)的定义域为[－2,4]，求f(x2－3x)的定义域.【解析】(1)要使函数有意义，则只需要即解得－3＜x＜0或2＜x＜3，故所求的定义域为(－3,0)∪(2,3).(2)依题意，只需－2≤x2－3x≤4，解得－1≤x≤1或2≤x≤4，故f(x2－3x)的定义域为[－1,1]∪[2,4].【点拨】有解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，往往列不等式组求解.对于抽象函数f[g(x)]的定义域要把g(x)当作f(x)中的x 来对待.【变式训练2】已知函数f (2x)的定义域为[－1,1]，求f(log2x)的定义域.【解析】因为y ＝f(2x)的定义域为[－1,1]，即－1≤x≤1时2－1≤2x≤21，所以y ＝f(x)的定义域为[12，2].令12≤log2x≤2，所以2≤x≤22＝4，故所求y ＝f(log2x)的定义域为[2，4].题型三 由实际问题给出的函数【例3】 用长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架(如图)，若矩形底部长为2x ，求此框围成的面积y 与x 的函数关系式，并指出其定义域.【解析】由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，而矩形的长AB ＝2x ，设宽为a ，则有2x ＋2a ＋πx ＝l ，即a ＝－x －x ，半圆的半径为x ，所以y ＝＋(－π2x －x)·2x ＝－(2＋π2)x2＋lx. 由实际意义知－π2x －x ＞0，因x ＞0，解得0＜x ＜. 即函数y ＝－(2＋π2)x2＋lx 的定义域是{x|0＜x ＜}. 【点拨】求由实际问题确定的定义域时，除考虑函数的解析式有意义外，还要考虑使实际问题有意义.如本题使函数解析式有意义的x 的取值范围是x ∈R ，但实际问题的意义是矩形的边长为正数，而边长是用变量x 表示的，这就是实际问题对变量的制约.【变式训练3】一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x 、y ，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，记y ＝f(x)，则y ＝f(x)的图象是( )【解析】由题意得y ＝10x(2≤x≤10)，选A. 题型四 分段函数【例4】 已知函数f(x)＝(1)求f(1)＋f(－1)的值；(2)若f(a)＝1，求a 的值；(3)若f(x)＞2，求x 的取值范围.【解析】(1)由题意，得f(1)＝2，f(－1)＝2，所以f(1)＋f(－1)＝4.(2)当a ＜0时，f(a)＝a ＋3＝1，解得a ＝－2；当a≥0时，f(a)＝a2＋1＝1，解得a ＝0. 所以a ＝－2或a ＝0.(3)当x ＜0时，f(x)＝x ＋3＞2，解得－1＜x ＜0；当x≥0时，f(x)＝x2＋1＞2，解得x ＞1.所以x 的取值范围是－1＜x ＜0或x ＞1.【点拨】分段函数中，x 在不同的范围内取值时，其对应的函数关系式不同.因此，分段函数往往需要分段处理.【变式训练4】已知函数f(x)＝⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<.10,621,100|,lg |x x x x 若a ，b ，c 互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc 的取值范围是( )A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)【解析】不妨设a ＜b ＜c ，由f(a)＝f(b)＝f(c)及f(x)图象知110＜a ＜1＜b ＜10＜c ＜12，所以－lg a ＝lg b ＝－12c ＋6，所以ab ＝1，所以abc 的范围为(10,12)，故选C. 总结提高1.在函数三要素中，定义域是灵魂，对应法则是核心，因为值域由定义域和对应法则确定，所以两个函数当且仅当定义域与对应法则均相同时才表示同一个函数，而值域相同是两函数2019-2020年高考数学一轮总复习2.2 函数的单调性教案 理 新人教A版典例精析题型一 函数单调性的判断和证明【例1】讨论函数f(x)＝ax ＋1x ＋2 (a≠12)在(－2，＋∞)上的单调性. 【解析】设x1，x2为区间(－2，＋∞)上的任意两个数且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝ax1＋1x1＋2－ax2＋1x2＋2＝(x1－x2)(2a －1)(x1＋2)(x2＋2)， 因为x1∈(－2，＋∞)，x2∈(－2，＋∞)，且x1＜x2，所以x1－x2＜0，x1＋2＞0，x2＋2＞0.所以当a ＜12时，1－2a ＞0，f(x1)＞f(x2)， 函数f(x)在(－2，＋∞)上为减函数；当a ＞12时，1－2a ＜0，f(x1)＜f(x2)， 函数f(x)在(－2，＋∞)上是增函数.【点拨】运用定义判断函数的单调性，必须注意x1，x2在给定区间内的任意性，另外本题可以利用导数来判断.【变式训练1】已知函数f(x)满足f(π＋x)＝f(π－x)，且当x ∈(0，π)时，f(x)＝x ＋cos x ，则f(2)，f(3)，f(4)的大小关系是( )A. f (2)＜f (3)＜f (4)B. f (2)＜f (4)＜f (3)C. f (4)＜f (3)＜f (2)D. f (3)＜f (4)＜f (2)【解析】B.题型二 函数单调区间的求法【例2】试求出下列函数的单调区间.(1)y ＝|x －1|；(2)y ＝x2＋2|x －1|；(3)y ＝.【解析】(1)y ＝|x －1|＝所以此函数的单调递增区间是(1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，1).(2)y ＝x2＋2|x －1|＝所以此函数的单调递增区间是(1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，1).(3)由于t ＝－x2＋4x －3的单调递增区间是(－∞，2)，单调递减区间是(2，＋∞)，又底数大于1，所以此函数的单调递增区间是(－∞，2)，单调递减区间是(2，＋∞).【点拨】函数的单调区间，往往需要借助函数图象和有关结论，才能求解出.【变式训练2】在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“”如下：当a≥b 时，ab ＝a ；当a ＜b 时，ab ＝b2.则函数f (x)＝(1x)x －(2x)，x ∈[－2,2]的最大值是( )A.－1B.6C.1D.12【解析】B.题型三 函数单调性的应用【例3】已知函数f(x)的定义域为[－1,1]，且对于任意的x1，x2∈[－1,1]，当x1≠x2时，都有f(x1)－f(x2)x1－x2＞0. (1)试判断函数f(x)在区间[－1,1]上是增函数还是减函数，并证明你的结论；(2)解不等式f(5x －1)＜f(6x2).【解析】(1)当x1，x2∈[－1,1]，且x1＜x2时，由f(x1)－f(x2)x1－x2＞0，得f(x1)＜f(x2)， 所以函数f(x)在区间[－1,1]上是增函数.(2)因为f(x)在[－1,1]上是增函数.所以由f(5x －1)＜f(6x2)知，所以0≤x＜13，所求不等式的解集为{x|0≤x＜13}. 【点拨】抽象函数的单调性往往是根据定义去判断，利用函数的单调性解题时，容易犯的错误是忽略函数的定义域.【变式训练3】已知函数y ＝f(x)是R 上的偶函数，对于x ∈R 都有f(x ＋6)＝f(x)＋f(3)成立，当x1，x2∈[0,3]，且x1≠x2时，都有f(x1)－f(x2)x1－x2＞0，给出下列命题： ①f(3)＝0；②直线x ＝－6是函数y ＝f(x)的图象的一条对称轴；③函数y ＝f(x)在[－9，－6]上为增函数；④函数y ＝f(x)在[－9,9]上有四个零点.其中所有正确命题的序号为 (把所有正确命题的序号都填上).【解析】①②④.总结提高1.函数的单调区间是其定义域的子集，因此，讨论函数的单调性，必须先确定函数的定义域.2.函数的单调性可以借助函数图象来研究，增函数的图象自左向右是上升曲线，减函数的图象自左向右是下降曲线.3.导数是解决函数单调性问题的有力工具.4.利用函数单调性可比较大小、证明不等式、解不等式、求函数值域或最值等，既是一种方法，也是一种技巧，应加强函数单调性的应用，提高解题技巧.5.函数的单调性不同于周期性与奇偶性，它仅仅是函数的局部性质.。
函数的表示法教案（人教A版）
函数的表⽰法教案（⼈教A版）课题 §1．2．2函数的表⽰法⼀、教学任务分析1、了解函数的⼀些基本表⽰法(列表法、图象法、解析法),会根据不同实际情境选择合适的⽅法表⽰函数，树⽴应⽤数形结合的思想；2、会根据实际问题中的条件列出函数解析式，提⾼应⽤函数解决实际问题的能⼒，增加学习数学的兴趣；3、通过本节的教学，进⼀步向学⽣渗透事物间是普遍联系和相互转化的辨证唯物主义观点；4、培养学⽣把实际问题抽象成数学问题的能⼒，即数学地发现问题、提出问题和解决问题的能⼒．⼆、教学重点与难点重点：函数的三种表⽰⽅法．难点：根据不同的需要选择恰当的⽅法表⽰函数，什么才算“恰当”？三、教学⽅法尝试指导与合作交流相结合，通过⽰例的探究，使学⽣感知“三种形式”的各⾃优点. 从⽽培养学⽣恰当选⽤不同形式表⽰不同情境下的函数的能⼒．四、教学情境设计（⼀）复习回顾，引⼊课题．思考：在初中我们学习过⼏种函数的表⽰⽅法？它们分别是什么？结合课本P15给出的三个引例，说明三种表⽰⽅法的适⽤范围及其优点．总结：（1）解析法：把两个变量的函数关系, ⽤⼀个等式来表⽰, 这个等式就叫做函数的解析表达式，简称解析式；优点：简明、全⾯地概括了变量间的关系，可以通过解析式求出任意⼀个⾃变量的值所对应的函数值.（2）列表法：列出表格来表⽰两个变量之间的函数关系的⽅法叫列表法；优点：不需要计算就可以直接看出与⾃变量的值相对应的函数值．（3）图象法：利⽤函数图象来表⽰两个变量之间的函数关系的⽅法叫做图象法；优点：直观形象地表⽰⾃变量的变化，相应的函数值变化的趋势，有利于我们通过图象来研究函数的某些性质．（⼆）⽰例剖析，巩固新知．例1、（课本P19例3）某种笔记本的单价是5元，买}{(1,2,3,4,5)x x ∈个笔记本需要y 元，试⽤三种表⽰法表⽰函数()y f x =．解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5},⽤解析法可将函数y=f(x)表⽰为y=5x,x ∈{1,2,3,4,5}.⽤列表法可将函数y = f (x)表⽰为.⽤图象法可将函数y = f (x)表⽰为下图.问题：（1）⽤解析法表⽰函数是否⼀定要写出⾃变量的取值范围？函数的定义域是函数存在的前提，在写函数解析式的时候，⼀定要写出函数的定义域。
高中数学 函数的表示法导学案 新人教A版必修1 学案
某某省某某市某某区均安中学高中数学 函数的表示法导学案 新人教A版必修1【学习目标】1.了解简单的分段函数，并能简单应用；2. 理解函数的概念及三种表示分方法，会求函数解析式;3.能熟练地画出函数的图像，领悟学习数形结合思想的重要性. 4.了解映射的概念及表示方法；结合简单的对应图示，了解一一映射的概念；【课前预习】阅读教材第19-22页，完成新知学习1． 函数的表示法常用的有__________、__________、__________。
解析法：用表示两个变量之间的对应关系. 优点：简明；给自变量求函数值.图象法：用表示两个变量之间的对应关系. 优点：直观形象，反应变化趋势.列表法：来表示两个变量之间的对应关系. 优点：不需计算就可看出函数值.2．分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着，这样的函数通常叫做。
关键：“分段函数，分段处理”3．映射：一般地，设A 、B 是两个的，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的x ，在集合B 中都有的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个．记作“:f A B →”关键：A 中任意，B 中唯一；对应法则f .4．函数与映射的关系：函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，即映射. 简言之：函数一定是映射，而映射不一定是函数.5．对于映射f ：A→B，我们把集合A 中的元素叫原象，B 中与原象对应的元素叫做象。
课内探究案【预习自测】1．已知()⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=01001x x x x x f π，则()[]___________1=f f 。
2．已知223,(,0)()21,[0,)x x f x x x +∈-∞⎧=⎨+∈+∞⎩，则(0)f =；[(1)]f f -=. 3．下列对应是否是集合A 到集合B 的映射？（1）}}{{1,2,3,4,2,4,6,8A B ==，对应法则是“乘以2”；（2）A = R *，B =R ，对应法则是“求算术平方根”；（3）{}|0,A x x B =≠=R ，对应法则是“求倒数”.4．已知函数f(x ＋1)＝3x ＋2，则f(x)的解析式是 ( )A ．3x ＋2B ．3x ＋1C ．3x －1D ．3x ＋45．已知函数f(x)＝x ＋b ，若f(2)＝8，则f(0)＝________________.6．已知223,(,0)()21,[0,)x x f x x x +∈-∞⎧=⎨+∈+∞⎩，则(0)f =；[(1)]f f -=.【合作探究】例1、画出函数00x x y x x x ≥⎧==⎨-<⎩，，的图象.变式、画出分段函数1y x =-的图像例2 、画出223,(03)y x x x =--≤<的图象. 变式、画出|32|2--=x x y 的函数图像例3、下列对应不是映射的是( )．变式：下列哪些对应是从集合A 到集合B 的映射？ （1）A={|P P 是数轴上的点}，B=R ，对应关系f ：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）A={|P P 是平面直角坐标中的点}，}{(,)|,,B x y x R y R =∈∈对应关系f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（3）A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则:21f x x →+；（4）*,{0,1}A N B ==，对应法则:f x x →除以2得的余数；（5）A N =，{0,1,2}B =，:f x x →被3除所得的余数；例4、已知2(1),f x x x +=+求()f x 的解析式。
高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第6讲 对数与对数函数讲义 理(含解析)-人教版高三全
第6讲对数与对数函数[考纲解读] 1.理解对数的概念及其运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数，熟悉对数在简化运算中的作用．2.理解对数函数的概念及对数函数的相关性质，掌握其图象通过的特殊点．(重点、难点)3.通过具体实例了解对数函数模型所刻画的数量关系，并体会对数函数是一类重要的函数模型．y＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数．[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲为高考中的一个热点．预测2020年高考主要以考查对数函数的单调性的应用、最值、比较大小为主要命题方向，此外，与对数函数有关的复合函数也是一个重要的考查方向，主要以复合函数的单调性、恒成立问题呈现.1．对数2．对数函数的图象与性质续表3．反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数□01y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线□02y ＝x 对称．1．概念辨析(1)log 2x 2＝2log 2x .( )(2)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数．( )(3)函数y ＝ln 1＋x1－x 与y ＝ln (1＋x )－ln (1－x )的定义域相同．( )(4)当x >1时，若log a x >log b x ，则a <b .( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×2．小题热身(1)已知a >0，a ≠1，函数y ＝a x与y ＝log a (－x )的图象可能是( )答案 B解析 y ＝log a (－x )的定义域是(－∞，0)，所以排除A ，C ；对于选项D ，由y ＝a x的图象知0<a <1，由y ＝log a (－x )的图象知a >1，矛盾，故排除D.故选B.(2)设a ＝log 213，b ＝e －12 ，c ＝ln π，则( )A ．c <a <bB ．a <c <bC ．a <b <cD ．b <a <c 答案 C解析 a ＝log 213<0，b ＝e － 12 ∈(0,1)，c ＝ln π>1，所以a <b <c .(3)有下列结论：①lg (lg 10)＝0；②lg (ln e)＝0；③若lg x ＝1，则x ＝10；④若log 22＝x ，则x ＝1；⑤若log m n ·log 3m ＝2，则n ＝9.其中正确结论的序号是________．答案 ①②③④⑤解析 lg (lg 10)＝lg 1＝0，故①正确；lg (ln e)＝lg 1＝0，故②正确；③④正确；log m n ·log 3m ＝log 3nlog 3m·log 3m ＝log 3n ＝2，故n ＝9，故⑤正确．(4)若函数y ＝f (x )是函数y ＝2x的反函数，则f (2)＝________. 答案 1解析 由已知得f (x )＝log 2x ，所以f (2)＝log 22＝1.题型 一 对数式的化简与求值1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3－x＋1，x ≤0，则f [f (1)]＋f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312的值是________．答案 5解析 因为f (1)＝log 21＝0，所以f [f (1)]＝f (0)＝2. 因为log 312<0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝3－log 312 ＋1 ＝3log 32＋1＝2＋1＝3.所以f [f (1)]＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝2＋3＝5.2．计算下列各式： (1)lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40；(2)log 34273log 5[4 12 log 210－(33) 23 －7log 72]．解 (1)原式＝lg 2×58lg 5040＝lg54lg 54＝1.＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34log 33－log 33·log 5(10－3－2) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34－1log 55＝－14.3．已知log 189＝a,18b＝5，试用a ，b 表示log 3645. 解 因为log 189＝a,18b＝5，所以log 185＝b ，于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 189×51＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b2－a.对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．如举例说明2(1)．(3)转化：a b＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．如举例说明3中18b＝5的变形．计算下列各式：(1)计算(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25的结果为________； (2)若lg x ＋lg y ＝2lg (2x －3y )，则log 32 xy 的值为________；(3)计算：(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)＝________. 答案 (1)2 (2)2 (3)54解析 (1)原式＝lg 2(lg 2＋lg 50)＋lg 52＝lg 2×lg 100＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2lg 10＝2. (2)由已知得lg (xy )＝lg (2x －3y )2，所以xy ＝(2x －3y )2，整理得4x 2－13xy ＋9y 2＝0，即4⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2－13×x y＋9＝0，解得x y ＝1或x y ＝94.由x >0，y >0,2x －3y >0可得xy＝1，不符合题意，舍去，所以log 32 x y ＝log 3294＝2.(3)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2＝3lg 22lg 3·5lg 36lg 2＝54. 题型 二 对数函数的图象及应用1．(2019·某某模拟)函数f (x )＝lg (|x |－1)的大致图象是( )答案 B解析 易知f (x )为偶函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x －1，x >1，lg －x －1，x <－1，当x ＞1时，y ＝lg x 的图象向右平移1个单位，可得y ＝lg (x －1)的图象，结合选项可知，f (x )的大致图象是B.2．当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2) 答案 B解析 构造函数f (x )＝4x和g (x )＝log a x ，画出两个函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的草图(图略)，可知，若g (x )经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，则a ＝22，所以a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1. 条件探究1 若举例说明2变为：若方程4x＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，某某数a 的取值X围．解 若方程4x ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则函数y ＝4x和函数y ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有交点，由图象知⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a 12≤2，解得0<a ≤22. 条件探究2 若举例说明2变为：若不等式x 2－log a x <0对x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12恒成立，某某数a的取值X 围．解 由x 2－log a x <0得x 2<log a x ，设f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝log a x ，要使x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，不等式x 2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝x 2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上的图象在f 2(x )＝log a x 图象的下方即可．当a >1时，显然不成立；当0<a <1时，如图所示，要使x 2<log a x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上恒成立，需f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 所以有⎝ ⎛⎭⎪⎫122≤log a 12，解得a ≥116，所以116≤a <1.即实数a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫116，1.条件探究3 若举例说明2变为：当0<x ≤14时，x <log a x ，某某数a 的取值X 围．解 若x <log a x 在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14时成立，则0<a <1，且y ＝x 的图象在y ＝log a x 图象的下方，如图所示，由图象知14<log a 14， 所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a12 >14，解得116<a <1.即实数a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫116，1.1．对数函数图象的特征(1)底数与1的大小关系决定了图象的升降，即a >1时，图象上升；0<a <1时，图象下降．(2)对数函数在同一直角坐标系中的图象如图，其中图象的相对位置与底数大小有关，图中0<c <d <1<a <b .在x 轴上侧，图象从左到右相应的底数由小变大； 在x 轴下侧，图象从右到左相应的底数由小变大． (无论在x 轴的上侧还是下侧，底数都按顺时针方向变大) 2．利用对数函数的图象可求解的三类问题(1)对数型函数图象的识别．解此类问题应从对数函数y ＝log a x 的图象入手，抓住图象上的三个关键点(a,1)，(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，－1，特别地要注意a >1和0<a <1的两种不同情况．(2)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(3)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．如举例说明2.1．已知lg a ＋lg b ＝0(a >0且a ≠1，b >0且b ≠1)，则函数f (x )＝a x与g (x )＝－log b x 的图象可能是( )答案 B解析 因为lg a ＋lg b ＝0，所以lg (ab )＝0，所以ab ＝1，即b ＝1a，故g (x )＝－log b x＝－log 1ax ＝log a x ，则f (x )与g (x )互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，结合图象知，B 正确．2．设实数a ，b 是关于x 的方程|lg x |＝c 的两个不同实数根，且a <b <10，则abc 的取值X 围是________．答案 (0,1)解析 由图象可知0<a <1<b <10，又因为|lg a |＝|lg b |＝c ，所以lg a ＝－c ，lg b ＝c ， 即lg a ＝－lg b ，lg a ＋lg b ＝0， 所以ab ＝1，于是abc ＝c ，而0<c <1. 故abc 的取值X 围是(0,1)． 题型 三 对数函数的性质及应用角度1 比较对数值的大小1．(2018·某某高考)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b 答案 D解析 因为e ＝2.71828…>2，所以a ＝log 2e>log 22＝1；b ＝ln 2<ln e ＝1；又因为c ＝log 1213＝log 23>log 22＝1，又因为a ＝log 2e<log 23＝c ，所以c >a >b .角度2 解对数不等式2．(2018·某某模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12 －x ，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值X 围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－1,0)∪(1，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(0,1) 答案 C解析 若a >0，则log 2a >log 12 a ，即2log 2a >0，所以a >1.若a <0，则log 12 (－a )>log 2(－a )，即2log 2(－a )<0，所以0<－a <1，－1<a <0.综上知，实数a 的取值X 围是(－1,0)∪(1，＋∞)． 角度3 与对数函数有关的综合问题 3．已知函数f (x －3)＝log ax6－x(a >0，且a ≠1)． (1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由； (2)当0<a <1时，求函数f (x )的单调区间．解 令x －3＝u ，则x ＝u ＋3，于是f (u )＝log a 3＋u3－u (a >0，且a ≠1，－3<u <3)，所以f (x )＝log a 3＋x 3－x(a >0，且a ≠1，－3<x <3)．(1)因为f (－x )＋f (x )＝log a 3－x 3＋x ＋log a 3＋x3－x ＝log a 1＝0，所以f (－x )＝－f (x )．又定义域(－3,3)关于原点对称．所以f (x )是奇函数．(2)令t ＝3＋x 3－x ＝－1－6x －3，则t 在(－3,3)上是增函数，当0<a <1时，函数y ＝log a t是减函数，所以f (x )＝log a3＋x3－x(0<a <1)在(－3,3)上是减函数， 即函数f (x )的单调递减区间是(－3,3)．1．比较对数值大小的方法若底数为同一常数可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论若底数不同，真数相同 可以先用换底公式化为同底后，再进行比较 若底数与真数都不同 常借助1,0等中间量进行比较，如举例说明12．求解对数不等式的两种类型及方法 类型 方法形如 log a x >log a b 借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况讨论形如 log a x >b 需先将b 化为以a 为底的对数式的形式，再借助y ＝log a x 的单调性求解3．解决与对数函数有关的综合问题单调性的步骤 一求求出函数的定义域二判判断对数函数的底数与1的关系，分a >1与0<a <1两种情况判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”的原则判断函数的单调性，如举例说明3(2)1．(2016·全国卷Ⅰ)若a >b >1,0<c <1，则( ) A ．a c<b cB ．ab c<ba cC ．a log b c <b log a cD ．log a c <log b c 答案 C解析 解法一：由a >b >1,0<c <1，知a c>b c，A 错误； ∵0<c <1，∴－1<c －1<0，∴y ＝x c －1在x ∈(0，＋∞)上是减函数，∴bc －1>ac －1，又ab >0，∴ab ·bc －1>ab ·ac －1，即ab c >ba c，B 错误；易知y ＝log c x 是减函数，∴0>log c b >log c a ，∴log b c <log a c ，D 错误；由log b c <log a c <0，得－log b c >－log a c >0，又a >b >1>0，∴－a log b c >－b log a c >0，∴a log b c <b log a c ，故C 正确．解法二：依题意，不妨取a ＝10，b ＝2，c ＝12.易验证A ，B ，D 错误，只有C 正确．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0log 2x ，x >0，若f [f (x )]≥－2，则x 的取值X 围为( )A ．[－2,1]B ．[42，＋∞)C ．[－2,1]∪[42，＋∞) D．[0,1]∪[42，＋∞) 答案 C解析 解法一：①若x ≤0，则f [f (x )]＝log 22x＝x ≥－2，所以－2≤x ≤0.②若x >1，则f [f (x )]＝log 2(log 2x )≥－2，log 2x ≥2－2，x ≥2 14 ＝42，所以x ≥42. ③若0<x ≤1，则f [f (x )]＝2log 2x＝x ≥－2， 所以0<x ≤1.综上知，x 的取值X 围是[－2,1]∪[42，＋∞)． 解法二：作出函数f (x )的图象如下：由图象可知，若f [f (x )]≥－2，则f (x )≥14或f (x )≤0.再次利用图象可知x 的取值X 围是[－2,1]∪[42，＋∞)． 3．函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________．答案 －14解析 f (x )＝12log 2x ·2log 2(2x )＝log 2x (log 22＋log 2x ) ＝log 2x ＋(log 2x )2＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14， 所以当log 2x ＝－12，即x ＝22时，f (x )取得最小值－14.。
2023届高考人教A版数学一轮复习课件：函数的概念及其表示
A.0
)
B.2
C.3
D.-3
2 ()
(2)(2021广东珠海高三期中)若一次函数f(x)满足f(f(x))=x+1,则g(x)=
(x>0)的值域为
.
答案 (1)D
(2)[2,+∞)
解析 (1)由 f(x)-2f
1
f(x)=3
2
+
1
=x+2,可得
1
1
-2f(x)= +2,联立两式可得
(2)(2021湖南长沙长郡中学高三二模)已知函数f(x)= ( + 2), ≤ 0, 则
f(-5)=
.
答案 (1)B (2)e
解析 (1)当a≤0时,f(a)=a2+1=5,解得a=-2;当a>0时,f(a)=2a+3=5,解得a=1.
故选B.
e , > 0,
(2)由f(x)= ( + 2), ≤ 0, 得f(-5)=f(-5+2)=f(-3)=f(-3+2)=f(-1)=f(1+2)=f(1)=e.
的定义域是[1,+∞),则
2
+ -1
函数y=f(x)的定义域是
.
答案 (1)D
解析
(2)(1,2]
(1)因为函数 f(x)的定义域为[-2,1],所以对于函数
(3-2)
y=
,有
lg(1-)
-2 ≤ 3-2 ≤ 1,
(3-2)
解得 0<x<1,因此函数 y=
的定义域为(0,1).
1- > 0,
-2,代入 x=2 可得 f(2)=-3,故选 D.
高考数学一轮复习讲义 函数及其表示课件 新人教A版
4.由映射的定义可以看出，映射是 函数概念的推广，函 数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合(jíhé)A,
B必须是 非空数集 .
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基础自测(zìcè)
1.设集合M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，那么下面
的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的
有
()
C
A.①②③④ B.①②③ C.②③ D.② 解析 由映射的定义，要求函数在定义域上都有图 象，并且一个x对应着一个y，据此排除①④，选C.
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探究提高 求函数解析式的常用方法有:(1)代入法， 用g(x)代入f(x)中的x,即得到f［g(x)］的解析式； (2)拼凑法，对f［g(x)］的解析式进行拼凑变形， 使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边的所有 “g(x)”即可；(3)换元法，设t=g(x),解出x,代入
f［g(x)］，得f(t)的解析式即可；(4)待定系数法， 若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式,根 据特殊值，确定相关(xiāngguān)的系数即可；(5)赋值法，给变 量赋予某些特殊值，从而求出其解析式.
10分
解得0<x< 1,适合0<x<1. 故为保证本3年度利润比上年有所增加，投入成本增加
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解 （1） 令 2 1 t,则x 2 ,
x
t 1
f (t) 1g 2 , f (x) 1g 2 , x (1,). （2）设f（x）t=ax1+b（a≠0），则 x 1
3f（x+1）-2f（x-1）=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b
=ax+b+5a=2x+17，
高中数学函数的表示法(一)全册精品教案新人教A版必修
1.2.3 函数的表示法（一）（一）教学目标1．知识与技能（1）了解函数的三种 8868iu 示法的各自优点，掌握用三种不同形式表示函数.（2）提高在不同情境中用不同形式表示函数的能力.2．过程与方法通过示例的分析和求解，明确函数三种不同表示法的优点，从而培养学生恰当选用函数的表示形式表示函数的能力.3．情感、态度与价值观在恰当应用不同形式表示函数的过程，感受数与形结合的动态美，体会应用辨证思维的乐趣.（二）教学重点与难点重点：选用恰当形式表示函数；难点：体会函数三种表示形式的优点.（三）教学方法尝试指导与合作交流相结合，通过示例的探究，使学生感知“三种形式”的各自优点. 从而培养学生恰当选用不同形式表示不同情境下的函数的能力.（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图1．回顾函数的有关概念.2．函数的表示方法.师：函数的概念中的关键词是什么？解析式：用数学表达式表示两个变量之将新、旧知复习回顾间的对应关系.生：集合 A 中任何一个元素在 B 中都 识有机整引入课题 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.有唯一元素与之对应.合师生：共同回顾函数三种表示形式.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.例 1 某种笔记本的单价是 5 元， 师：同一函数用三种形式表示，它们买 x (x∈{1, 2, 3, 4, 5})个笔记本需 各自有何特点.要 y 元. 试用函数的三种表示法表示函 师生合作总结三种形式的特点即优数 y = f (x).点.解析：这个函数的定义域是数集 师：举例说明在我们的日常生活中用 通过范例{1，2，3，4，5}.三种形式表示的函数分析体会用解析法可将函数 y = f (x)表示 生：（1）年级日誌表——列表法；（2） 三种表示为工厂生产图——图象法；（3）银行利 法的优点，示例剖析y = 5x, x∈{1, 2, 3, 4, 5}. 率表——列表法；（4）医务室的各年 感知不是用列表法可将函数 y = f (x)表示 级身高统计图——不是图象法.所有函数为一元一次函数 图象—图象法均能用三笔记本数一元二次函数 解析式—解析法种形式表x1 2 3 4 5 反比例函数示.钱数 y 5 10 15 20 25 师：是否所有函数均能用三种方法表用图象法可将函数 y = f (x)表示 示呢？自示例 2为下图.生：例 2 不方便使用解析法表示.例 2 解析：从表中可以知道每 位同学在每次测试中的成绩，但不 太容易分析每位同学的成绩变化情 况. 如果将“成绩”与“测试序号” 之间的关系用函数图象表示出来， 如下图，那么就能比较直观地看到 成绩变化的情况. 这对我们的分析 很有帮助.知识总结：①解析法的优点：（1）简明，全面地概括了变量间的关系；（2）通过解析式能求出任意一个自变量的值所对应的函数值.②图象法的优点：直观形象地表示 从上图我们看到，王伟同学的数学学自变量的变化，相应的函数值变化的趋 习成绩始终高于班级平均水平，学习势，有利于通过图象来研究函数的某些 情况比较稳定而且成绩优秀. 张城性质.同学的数学成绩不稳定，总是在班级③列表法的优点：不需计算便可以 平均水平上下波动，而且波动幅度较直接看出自变量的值相对应的函数 大. 赵磊同学的数学学习成绩低于值.班级平均水平，但他的成绩曲线呈上例 2 下表是某校高一（1）班三 升趋势，表明他的数学成绩在稳步提名同学在高一学年度六次数学测试的 高.成绩及班级平均分表.第第第第第第成绩测试 1 序号 次2 次3 次4 次5 次6 次师生合作总结三种方法的优点.王姓名 伟 98 87 91 92 88 95张 城 90 76 88 75 86 80赵 磊 68 65 73 72 75 82班级平均 88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6分请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.例 3 画出函数 y = |x|的图象.能力提升例 4 某中学高一年级学生李鹏， 师生合作、讨论、探究函数的图象法 (表示法的对某蔬菜基地的收益作了调查，该蔬菜 与解析法的互相转化途径，并能利用 转化及函基地种植西红柿，由历年市场行情得 图象求值域.数图象的知，从 2 月 1 日起的 300 天内，西红柿 例 3 解：由绝对值的概念，我们 应用) 培应用举例市场销售与上市时间的关系用图一的 一条折线表示；西红柿的种植成本与上有yx, x,x 0, x 0.养形与数 的转化能市时间的关系用图二的抛物线段表示， 所以，函数 y = |x|的图象如图 力和数形试解答下列问题.所示.结合思想应用意识.（注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天）（1）写出图一表示的市场售价间接函数关系 P = f (t). 写出图二表示 例 4 解：（1）由图一可得市场售的种植成本与时间的函数关系式 Q = g 价间接函数关系为，(t). （2）认定市场售价减去种植成本f(t)=300 2t t, 300,(0 t 200) (200 t 300)为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益 由图二可得种植成本间接函数最大？关系式为g (t) = 1 (t – 150)2 + 100，200(0≤t≤300) （2）设 t 时刻的纯收益为 h (t)，则由题意得： h (t) = f (t) – g (t).即 h (t) =1 200t21 2t175 2, (0t200) 1t2 2 t 1025 , (200 t 300) 200 7 2当 0 ≤ t ≤ 200 时 ， 得 h (t)= 1 (t – 50)2 + 100.200∴当 t = 50 时，h(t)取得在 t ∈[0，200]上的最大值 100；当 200＜t≤300 时，得 h (t)= 1 (t – 350)2 + 100.200∴当 t = 300 时，h (t)取得在t∈(200, 300]上的最大值 87.5.综上所述由 100＞87.5 可知，h(t)在 t∈[0, 300]上可以取得最大值是 100，此时 t = 50，即从 2月 1 日开始的第 50 天时，上市的西红柿收益最大.映射的定义：设 A，B 是两个非空 师：讲授映射的定义.了解映射形成映射 的集合，如果按某一个确定的对应关系 生：由映射观点定义函数.的含义.的概念 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x， 师生合作解答例 5.通过例题在集合 B 中都有惟一确定的元素 y 与之 例 5 解析：（1）按照建立数轴的方 分析加深对应，那么就称对应 f：A→B 为从集合 法可知，数轴上的任意一个点，都有 映射概念A 到集合 B 的一个映射.惟一的实数与之对应，所以这个对应 的理解.例 5 以下给出的对应是不是从集 f：A→B 是从集合 A 到 B 的一个映射.合 A 到 B 的映射？（2）按照建立平面直角坐标系的（1）集合 A = {P | P 是数轴上的 方法可知，平面直角坐标系中的任意点}，集合 B = R，对应关系 f：数轴上 一个点，都有惟一的一个实数对与之的点与它所代表的实数对应；对应，所以这个对应 f：A→B 是从集（2）集合 A = {P | P 是平面直角 合 A 到 B 的一个映射.坐标系中的点，集合 B = {(x | y) | x （3）由于每一个三角形只有一个∈R，y∈R}，对应关系 f：平面直角坐 内切圆与之对应，所以这个对应 f：标系中的点与它的坐标对应；A→B 是从集合 A 到 B 的一个映射.（3）集合 A = {x | x 是三角形}， （4）新华中学的每一个班级里的集合 B = {x | x 是圆}，对应关系 f： 学生都不止一个，即与一个班级对应每一个三角形都对应它的内切圆； 的学生不止一个，所以这个对应 f：（4）集合 A = {x | x 是新华中学 A→B 不是从集合 A 到 B 的一上映射.的班级}，集合 B = {x | x 是新华中学的学生}，对应关系 f：每一个班级都对应班里的学生.1．函数的表示法：解析式、图象归纳 总结法、列表法.反思总结2．解析式与图象法能进行相互转提升对函化.师生合作完成数表示的3．优点：解析式简明、全面、实 学生回顾总结，老师引导点评、阐述. 理解与掌用、图象法和列表法直观、直接、方便握函数与映射的关系：函数是实数集到实数集的特殊映射.课后作业1.2 第三课时习案学生独立完成巩固知识， 提升能力备选例题例 1 下图中可作为函数 y = f (x)的图象是（ D ）例 2 函数 y x | x | 的图象为下图中的（ C ） x例 3 作出下列函数的图象：（1）y = |x – 1| + 2 |x – 2|；（2）y = |x2 – 4x + 3|.5 3x (x 1),【解析】（1）y = |x – 1| + 2 |x – 2| = 3 x (1 x 2),3x 5 (x 2).函数的图象如图（1）所示.（2）y=|x2–4x+3|= x 2 x 4x 3 2 4x 3(x 1, 或x 3), 图象如图（2）所示 (1 x 3).图（1）例 4 已知 y = f (x)的图象如右图所示，求 f (x).【解析】f(x)x 1, x,(x 0), (0 x 1).图（2）。
《函数及其表示》学案6(人教A版必修1)
函数的表示方法(一) 学习目标：在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数学习重点：图像法、列表法、解析法表示函数学习过程：1、列表法：通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法叫列表法2、图像法：如果图形F 是函数)(x f y 的图像，则图像上的任意点的坐标满足函数的关系式，反之满足函数关系的点都在图像上.这种由图形表示函数的方法叫做图像法. 3、如果在函数)(x f y )(A x 中，)(x f 是用代数式来表达的，这种方法叫做解析法4、与x 轴垂直的直线至多与函数的曲线有一个交点5、用计算机软件画出函数x x y 1，31)3(x x y ，111x x y ，x x y 1的图像6、讨论分别用a x，a y 分别替换函数)(x f y 中的x ，y 以后函数的图像会发生哪些变化？7、讨论分别用x ，y 分别替换函数)(x f y 中的x ，y 以后函数的图像会发生哪些变化？8、讨论分别用ax ，by 分别替换函数)(x f y 中的x ，y 以后函数的图像会发生哪些变化？9、讨论分别用||x ，|)(|x f 分别替换函数)(x f y 中的x ，)(x f 以后函数的图像会发生哪些变化？10、试作出下列函数的图像：（1）43x xy （2）11x y 11、若)3()3(x f x f ，那么函数)(x f 的图像有何性质？12、)3(x f y与)3(x f 的图像之间有何关系1、分段函数由实际生活中，上海至港、澳、台地区信函部分资费表重量级别资费（元）20克及20克以内 1.5020克以上至100克4.00 100克以上至250克8.50 250克以上至500克16.70引出问题：若设信函的重量为（克）应支付的资费为元，能否建立函数的解析式？导出分段函数的概念。
2、补充综合例题例1根据下列条件分别求出函数)(x f 的解析式(1)221)1(x x x x f x xf x f 3)1(2)()2(（3）13)2(2x x x f 注：（1）观察法（2）方程法（3）换元法例2设二次函数)(x f 满足：)2()2(x f x f 且图像在y 轴上的截距为1，被x 轴截得的线段长为22，求函数)(x f 的解析式例3设)(x f 为定义在R 上的偶函数，当1x时，)(x f y 得图像经过)0,2(，斜率为1的射线，又在)(x f y 的图像中有一部分是顶点为)2,0(，且过点（-1，1）的一段抛物线，试写出函数)(x f 的表达式，并作出函数)(x f 的图像例4用长为L 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形底边长为x 2，求此框架围成的面积y 与x 的函数解析式.例5．设,)(331x x x x f 221)(x x x x g 求f [g (x )]。
2019-2020年高三数学一轮复习讲义函数图象教案新人教A版
数而言， 而本题是关于两个不同函数的对称问题， 若套用这一结论， 必然会得到一个错误的答案．
答案： D
四回归教材
1．函数 y＝ 1－ 1 的图象是 (
)
x -1
答案： B
2．把函数 y＝ ln x 的图象按向量 a＝ ( － 2,3) 平移得到 y＝ f ( x) 的图象，则 f ( x) ＝
()
A． ln( x＋ 2) － 3
右边的部分图象 , 以 为对称轴将其翻折到左边得 y＝
f (| x|) 在
左边的部分的图象．
（三）、图象对称性的证明及常见结论
1．图象对称性的证明
①证明函数图象的对称性，归结为任意点的对称性证明
. 即证明其图象上的任意一点关于对称中
心 ( 或对称轴 ) 的对称点仍在图象上．
②证明曲线 C1 与 C2 的对称性，即要证明 C1上任一点关于对称中心 ( 或对称轴 ) 的对称点在 C2 上，
变式探究①
作出下列函数的大致图象：
(1) y=2-2 x ； （ 2） y= log 1 [3( x+2)]
3
（ 3） y=|log 1 (-x)|
2
解析： (1) 作函数 y=2 x 的图象关于 x 轴对称的图象得到 y=-2 x 的图象， 再将图象向上平移 2 个单 位，可得 y=2-2 x 的图象．如图 1；
5．已知 f (x)=ex ，则函数 g (x)=|f -1 (1-x)| 的大致图象是
()
五典例分析
题型 1 作图
【例 1】 作出下列函数的大致图象：
(1) y＝ x 3 ； (2) |x|
y＝ x+2 x-1
| x －1|
； (3) y＝ |log x－ 1| ； (4) y＝ 2 .
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第六讲 函数的表示法---求解析式
一、知识梳理
求函数解析式的题型有：
（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；
（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法；
（3）已知函数图像，求函数解析式；
（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；
（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等．
二、同步练习
1. 若()23,(2)(),()f x x g x f x g x =--=则的表达式为 （ ）
A ． 2x+1
B ． 2x —1
C ．2x —3
D ． 2x+7
2．已知1)1(+=+x x f ，则函数)(x f 的解析式为 （ ）
A ．2
)(x x f = B ．)1(1)(2≥+=x x x f C ．)1(22)(2≥+-=x x x x f D ．)1(2)(2≥-=x x x x f 3．已知3
2)121(+=-x x f ，且 6)(=m f ，则m 等于（ ）
A ．41-
B ． 41
C ． 23
D ． 23-
4. 若函数)1,0)((log ≠>+=a a b x y a 的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则( )
A ．a=2,b=2
B ． a= 2 ,b=2
C ．a=2,b=1
D ．a= 2 ,b= 2
5．若函数()f x 满足2(1)2f x x x +=-，则f = 。
6.已知()()()23,2f x x g x f x =++=，则()g x = 。
7. 若)(x f 是一次函数，14)]([-=x x f f 且，则)(x f = _____ ____________。
8．若一次函数y=f (x)在区间[]1,2-上的最大值为3，最小值为1，则y=f (x)的解析式为_____
9.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)+g(x)= 11
-x ,则f(x)= ___。
10.设
23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f 的解析式.
11.设
(cos)cos2,(sin)
f x x f x
=求的解析式.
12.设
2
2
11
(),
f x x
x x
+=+
，求
()
f x
的解析式.
13.已知
()
f x是一次函数，且满足3(1)2(1)217
f x f x x
+--=+，求()
f x的解析式；
14.已知
1
2()3
f x f x
x
⎛⎫
+=
⎪
⎝⎭，求)
(x
f的解析式.
15.二次函数
)
(x
f满足x
x
f
x
f2
)
(
)1
(=
-
+，且1
)0(=
f。
（1）求
)
(x
f的解析式；。