微积分范例函数ex01
大学数学基础教程：一元函数微积分
大学数学基础教程：一元函数微积分一、函数微积分的主要课题在于研究变量的变化形态。
这个说法很抽象。
说的直白一点，就是研究一个量的变化过程。
这个量可以是速度，可以是加速度，可以是生产率等等。
这些是变化的，我们称之为变量。
中学时，已经学过，描述变量的数学模型是函数。
因此从函数开始说起。
函数是中学数学的主要内容，概念这里就不重复了。
对函数概念的的理解需要重点把握定义域和对应法则，有了定义域和对应法则就确定一个函数，换句话说，确定两个函数是否相同，定义域和对应法则缺一不可。
这里有一些考题，容易因为忽视了定义域而出现错误。
函数的表示形式有多种，运用数形结合的思想，在坐标系中画函数图像，可以探索函数的性质（如单调性、周期性、奇偶性）。
研究函数的性质，有时可以在积分运算过程中简化运算。
掌握了研究方法后，复合函数、反函数和初等函数都可以自己来研究。
二、无穷小量极限方法的本质就是无穷小量的分析。
因此首先学习无穷小量。
定义设有数列{εn},如果对于任意给定的正数η>0，都能取到正整数N，使得当n>N时成立|εn|<η,则称n→∞时，{εn}是无穷小量，记作εn=ο（1）,n→∞.由定义可以看出，无穷小量的本质是可以任意小的变量。
这个需要好好理解。
掌握了该定义后，无穷小量的运算和无穷大量的定义都可以自己给出。
无穷小量之间的关系有高阶、低阶、同阶、等价。
这些概念要熟记。
三、极限极限是刻画变量变化趋势的重要工具。
好多教材中数列的极限、函数的极限、单侧极限的概念是分别给出的。
对比这些概念，给出的方法都相同，即ε-δ（N）语言。
通用模型是这样的：对于任意ε，存在δ，使得当****时成立，|f（x）-A|<ε,则称f（x）在x→**时以A为极限，记作或称f（x）收敛于A。
数列是定义域为整数集的特殊函数，函数极限的概念也可以用数列极限的形式来表述。
这里有许多题型，主要题型是：证明这类题目的一般解法是解不等式，用ε表示δ。
一元函数微积分学知识点总结
一元函数微积分学知识点总结
学习数学能使人们更符合逻辑、更有条理、更严密、更准确、更深入地思考和解决问题，能增强人们的好奇心、想象力和创造性。
导数
微分
不定积分
定积分
变限积分
反常积分
求导数
1.复合函数求导
2.分段函数求导
3.隐函数求导
4.高阶导数求导
求积分
1.凑积分法
2.换元法
3.分部积分法
4.有理函数积分法
5.运用牛顿-莱布尼茨公式
几何应用（数一、数二、数三）
1.导数的几何应用：“三点两性一线”（极值点、最值点、拐点、单调性、凹凸性、渐近线）
2.积分的几何应用：利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和函数的平均值
物理应用（数一、数二）
1.变化率问题
2.静水压力
3.抽水作功
4.质点引力
经济应用（数三）
1.边际
2.弹性
3.积分的简单经济应用
中值定理的证明
求方程的根
不等式的证明
等式的证明
【注】整个高数上册就是在讲一元函数微积分，复习这部分要整体把握，先把整个知识框架了熟于心，在复习过程中多总结知识点之间的联系。
由于最近五一集训营和真题大全解的事情比较忙，知识点精讲一直没有更新，真题出来之后五月份我会重点多讲解知识点，把整个一元函数部分每个知识点梳理一遍，希望同学们多多体谅！。
微积分大一基础知识经典讲解
微积分大一基础知识经典讲解(总7页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--Chapter1 Functions(函数)1)A function f is a rule that assigns to each element x in a set A exactly one element, called f (x ), in a set B.2)The set A is called the domain(定义域) of the function.3)The range(值域) of f is the set of all possible values of f (x ) as x varies through out the domain.⇔=)()(x g x f :Note1)(,11)(2+=--=x x g x x x f Example )()(x g x f ≠⇒ Elementary Functions(基本初等函数)1) constant functionsf (x )=c2) power functions0,)(≠=a x x f a3) exponential functions1,0,)(≠>=a a a x f x domain: R range: ),0(∞4) logarithmic functions1,0,log )(≠>=a a x x f a domain: ),0(∞ range: R5) trigonometric functionsf (x )=sin x f (x )=cos x f (x )=tan x f (x )=cot x f (x )=sec x f (x )=csc xGiven two functions f and g , the composite function(复合函数) g f is defined by ))(())((x g f x g f =Note )))((())((x h g f x h g f =Example If ,2)()(x x g and x x f -== find each function and its domain.g g d f f c f g b g f a ))))))(())(()x g f x g f a = Solution )2(x f -=422x x -=-= ]2,(}2{:domain -∞≤or x xx x g x f g x f g b -===2)())(())(()]4,0[:02,0dom ain x x ⇒⎩⎨⎧≥-≥ 4)())(())(()x x x f x f f x f f c ==== )[0, :domain ∞x x g x g g x g g d --=-==22)2())(())(()]2,2[:022,02-⇒⎩⎨⎧≥--≥-dom ain x x An elementary function(初等函数) is constructed using combinations(addition 加, subtraction 减, multiplication 乘, division 除) and composition starting with basic elementary functions.Example )9(cos )(2+=x x F is an elementary function.)))((()()(cos )(9)(2x h g f x F x x f xx g x x h ===+= 2sin1log )(x e x x f x a -+=Example is an elementary function.1)Polynomial(多项式) FunctionsR x a x a x a x a x P n n n n ∈++++=--0111)( where n is a nonnegative integer. The leading coefficient(系数) ⇒≠.0n a The degree of the polynomial is n . In particular(特别地),The leading coefficient ⇒≠.00a constant functionThe leading coefficient ⇒≠.01a linear functionThe leading coefficient ⇒≠.02a quadratic(二次) functionThe leading coefficient ⇒≠.03a cubic(三次) function2)Rational(有理) Functions}.0)(such that is {,)()()(≠=x Q x x x Q x P x f where P and Q are polynomials.3) Root FunctionsDefined Functions(分段函数)⎩⎨⎧>≤-=111)(x if x x if x x f E xample 5.(性质)1)Symmetry(对称性)even function : x x f x f ∀=-),()( in its domain.symmetric respect to 关于) the y -axis.odd function : x x f x f ∀-=-),()( in its domain.symmetric about the origin.2) monotonicity(单调性)A function f is called increasing on interval(区间) I if I in x x x f x f 2121)()(<∀< It is called decreasing on I if I in x x x f x f 2121)()(<∀>3) boundedness(有界性)below bounded )(x e x f =E xample1above bounded )(x e x f -=E xample2below and above from bounded sin )(x x f =E xample34) periodicity (周期性)Example f (x )=sin xChapter 2 Limits and ContinuityWe write L x f ax =→)(lim and say “f (x ) approaches(tends to 趋向于) L as x tends to a ”if we can make the values of f (x ) arbitrarily(任意地) close to L by taking x to be sufficiently(足够地) close to a (on either side of a ) but not equal to a . Note a x ≠means that in finding the limit of f (x ) as x tends to a , we never consider x =a . In fact, f (x ) need not even be defined when x =a . The only thing that matters is how f is defined near a .LawsSuppose that c is a constant and the limits )(lim and )(lim x g x f ax a x →→exist. Then )(lim )(lim )]()([lim )1x g x f x g x f ax a x a x →→→±=± )(lim )(lim )]()([lim )2x g x f x g x f ax a x a x →→→⋅= 0)(lim )(lim )(lim )()(lim )3≠=→→→→x g if x g x f x g x f a x ax a x a x Note From 2), we have)(lim )(lim x f c x cf ax a x →→= integer. positive a is ,)](lim [)]([lim n x f x f n ax n a x →→= 3.1)2)NoteLimits1)left-hand limitDefinition We write L x f ax =-→)(lim and say “f (x ) tends to L as x tends to a from left ”if we can make the values of f (x ) arbitrarily close to L by taking x to be sufficiently close to a and x less than a .2)right-hand limitDefinition We write L x f ax =+→)(lim and say “f (x ) tends to L as x tends to a from right ”if we can make the values of f (x ) arbitrarily close to L by taking x to be sufficiently close to a and x greater than a .)(lim )(lim )(lim x f L x f L x f ax a x a x +-→→→==⇔= ||lim Find 0x x → Example1 Solutionxx x ||lim Find 0→ Example2 Solution(无穷小量) and infinities(无穷大量)1)Definition ⇒=∆→0)(lim x f x We say f (x ) is an infinitesimal as ∆∆→ where ,x is some number or .∞±Example1 2200lim x x x ⇒=→ is an infinitesimal as .0→x Example2 xx x 101lim ⇒=±∞→ is an infinitesimal as .±∞→x 2)Theorem 0)(lim =∆→x f x and g(x) is bounded.0)()(lim =⇒∆→x g x f xNote Example 01sin lim 0=→xx x3)Definition ⇒±∞=∆→)(lim x f x We say f (x ) is an infinity as ∆∆→ where ,x is some number or .∞± Example1 1111lim 1-⇒∞=-+→x x x is an infinity as .1+→x Example2 22lim x x x ⇒∞=∞→ is an infinity as .∞→x 4)Theorem0)(1lim )(lim )=⇒±∞=∆→∆→x f x f a x x ±∞=⇒∆∆≠=∆→∆→)(1lim at possibly except near 0)(,0)(lim )x f x f x f b x x 13124lim 423+-+∞→x x x x Example1 44213124lim xx x x x +-+=∞→ 0= 13322lim 22++-∞→n n n n Example2 2213322lim nn n n ++-=∞→ 32= x x x x 7812lim 23++∞→Example3 237812lim xx x x ++=∞→ ∞= Note ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>∞<==++++++-----∞→m n if m n if mn if b a b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 011011 ,0,0and constants are ),,0(),,,0(where 00≠≠==b a m j b n i a j i m , n are nonnegative integer.Exercises)6(),0(3122lim )1.12==⇒=-++∞→b a n bn an n )1(),1(1)1(lim )22-==⇒=--+∞→b a b ax xx x )2(),2(21lim )31-==⇒=-+→b a x b ax x43143lim )1.222=++∞→n n n n 51)2(5)2(5lim )211=-+-+++∞→n n n n n 343131121211lim )3=++++++∞→n n n 1)1231(lim )4222=-+++∞→n n n n n 1))1(1321211(lim )5=+++•+•∞→n n n 21)1(lim )6=-+∞→n n n n ∞=---→443lim )1.3222x x x x 23303)(lim )2x h x h x h =-+→ 343153lim )322=++++∞→x x x x x 503020503020532)15()23()32(lim )4•=+++-∞→x x x x 2)12)(11(lim )52=-+∞→xx x 0724132lim )653=++++∞→x x x x x 42113lim )721-=-+--→x x x x 1)1311(lim )831-=---→x x x 3211lim )931=--→x x x 61)31)(21)(1(lim )100=-+++→x x x x x 21))1)(2((lim )11=--++∞→x x x x ∞=-+→223)3(3lim )1.4x x x x ∞=++∞→432lim )23x x x ∞=+-∞→)325(lim )32x x x 1)2544(lim .52-=+++-∞→x x x x。
微积分
高等数学（一） 微积分目录第一章 函数及其图形 1.1预备知识1.1.1集合及其运算1.1.2绝对值极其基本性质 1.1.3区间和领域 1.2函数1.2.1函数的概念 1.2.2函数表示法 1.2.3函数的运算 1.3函数的几种基本性质 1.4反函数 1.5复合函数 1.6初等函数1.6.1基本初等函数 1.6.2初等函数1.7简单函数关系的建立1.7.1假单函数关系的建立 1.7.2经济学中几种常见的函数 第二章 极限和连续2.1数列极限2.1.1数列概念2.1.2数列极限的定义 2.1.3收敛数列的基本性质 2.2数项级数的基本概念 2.3函数极限2.3.1函数在有限点处的极限2.3.2自变量趋于无穷大时函数的极限 2.3.3有极限的函数的基本性质 2.4极限的运算法则2.5无穷小（量）和无穷大（量） 2.5.1无穷小（量） 2.5.2无穷大（量）2.5.3无穷大量与无穷小量的关系 2.5.4无穷小量的比较 2.6两个重要极限 2.6.1关于0lim→x xxsin 2.6.2关于∞→x lim （1+n1）n2.7函数的连续性和连续函数 2.7.1函数在一点处的连续 2.7.2连续函数2.7.3连续函数的运算和初等函数的连续性 2.8函数的间断点第三章 一元函数的导数和微分 3.1导数概念3.1.1两个经济问题 3.1.2导数概念和导函数 3.1.3单侧导数3.1.4函数可导与连续的关系 3.2求导法则3.2.1函数的和、差、积、商的求导法则 3.2.2反函数求道法则 3.2.3复合函数求道法则 3.3基本求导公式 3.4高阶导数 3.5函数的微分 3.5.1微分概念 3.5.2基本微分公式 3.5.3微分法则3.6导数和微分在经济学中的简单应用 3.6.1边际分析 3.6.2弹性分析第四章 微分中值定理和导数的应用 4.1微分中值定理 4.1.1罗尔定理4.1.2拉格郎日中值定理 4.2洛比达法则 4.2.100型和∞∞型未定式 4.2.2其他类型的未定式4.3函数的单调性4.4曲线的凹凸性和拐点 4.5函数的极值与最值 4.5.1函数的极值 4.5.2函数的最值 4.6渐近线4.6.1曲线的水平和竖直渐近线 4.6.2函数作图第五章 一元函数积分学 5.1原函数和不定积分的概念 5.1.1原函数和不定积分 5.1.2斜率函数的积分曲线5.1.3不定积分的基本性质5.2基本积分公式5.3换元积分法5.3.1第一换元积分法（凑微分法）5.3.2第二换元积分法5.4分部积分法5.5微分方程初步5.5.1微分方程的基本概念5.5.2可分离变量微分方程5.5.3一阶线性微分方程5.6定积分概念及其基本性质5.6.1两个经典例子5.6.2定积分概念5.6.3定积分的基本性质5.7微积分基本公式5.7.1变上限积分及其导数公式5.7.2微积分基本公式（牛顿·莱布尼茨公式）5.8定积分的还原积分法和分部积分法5.8.1定积分的换元积分法5.8.2定积分的分部积分法5.9无穷限反常积分5.10定积分的应用5.10.1平面图形的面积5.10.2旋转体的体积5.10.3由边际函数求总函数第六章多元函数微积分6.1空间解析几何基础知识6.1.1空间直角坐标系6.1.2空间中常见图形的方程6.2多元函数的基本概念6.2.1准备知识6.2.2多元函数概念6.2.3二元函数的极限6.2.4二元函数的连续性6.3偏导数6.3.1二元函数的偏导数6.3.2二阶偏导数6.4全微分6.5多元复合函数求道法则6.5.1多元复合函数求导法则6.5.2多元复合函数的全微分6.6隐函数及其求导法则6.6.1隐函数6.6.2隐函数的求导法则6.7二元函数的极值6.7.1二元函数的极值 6.7.2二元函数的最值 6.8二重积分6.8.1二重积分概念及其性质 6.8.2二重积分的计算第一章 函数及其图形1.1预备知识1.1.1集合及其运算（1） 集合与元素的概念： 一般地说，具有某种指定性质的事物的总体称为一个集合，组成这个集合的事物称为这个集合的元素。
如何学好微积分(清华名师)
性 可导性（导数） 可微性（微分）
导数 基本导数公式
导（微分） 则 函数 导
含 勒公式 必则
单 性与极值 凸性与拐
基本 念 原函数与不定
基本 分 分
有 函数与三 有 式
定分
定 分 念与性
一元函数微积分内容综述
/
两个应
无 数* 微分方 *
定分 定 分应 反常 分 数数 函数 数 一可 方
．
b
h( )
³a g(h( ))hc( )d
h(b)
³ g( )d h(a)
定分分 分：
b
b
³a f ( )d ³a c( ) ( )d
³ (
)(
)
b a
b a
(
) c(
)d
一元函数微积分内容综述
2/
（七）定 分（5--4）：应
平 图形
：
³ ³ ³ A
b
[f(
) g(
)]d
，A
b
[f(
) g(
d，
22 2
A ， A ， B C ， B C ，
a b a b k p 2
( p 2 )k
a sin
³ p sin
b cos cos
d
函 数 一 有 函数
分
Q( )
³
P(
d )
分 一 三 有 式 分 ³ R(sin , cos )d
单无 式 分
³ ³ ³ f ( a2 2 )d ， f ( a2 2 )d ， f ( 2 a2 )d ，
一元函数微 分 内容
录： （一） 内容 （二）极 （三） 函数 （四）导数与微分 （五）导数应 （六）原函数与不定 分 （七）定 分 （八）无 数 （九）常微分方 （十） ：一份往年
人大版微积分第一章函数
微积分
第一章 函数
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1.7. 反函数与复合函数 1.反函数的定义 定义1.3 设函数 y f ( x) 的定义域为集合A, 其 值域为B, 如果对于B中的每一个元素 y , 在集合A 中都有唯一确定的 x 与之对应, 则说在集合B上定 义了一个新函数, 称该函数为 y f ( x) 的反函数, 记 作 x f 1 ( y) , y B
a, b x
a, b x
a xb
a xb
a, b x
微积分
a xb
第一章 函数
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区间也可以按其长度分为: 有限区间和无限区间. 若a 和 b 均为有限的常数, 则区间 a, b , (a, b) a, b , a, b 均为有限区间
, b , a, , (, b) , (a, ) , (, )
• 邻域的概念 定义1.1 设 x 0为一实数, 为一正实数,即 0, 则称集合
无限区间有
x
x x0 , 0
为 x 0点的 邻域.
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而单调递减的函数其图象从左到右是下降的.见下图
y 单调递增 o
单调性递增开始演示!
y
单调递减
x o 单调性递减开始演示
x
例如 函数 f ( x ) x 2 在区间 (0, )上单调递 增,在区间 ( , 0) 上单调递减; 而函数 f ( x ) x 3 在定义域 ( , )上均单调递增. 其图象如下 : y
一元微积分(第一章 函数、极限、连续)
第一章 函数、极限、连续重点：1、求函数的极限（最重要的方法是L ’P 法则）2、无穷小的比较3、考察分段函数在分段点的连续性4、间断点的判定及分类5、介值定理 一、函数1、函数的定义及表示法【理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立简单应用问题的函数关系式】 函数概念 ()y f x =函数的两要素 ⎧⎨⎩定义域对应规则函数的表示方法① 显函数： ()y f x =② 隐函数：由方程(,)0F x y =确定的函数()y y x =.例：1yy xe +=确定了()y y x =⇒01x y==．③ 参数方程表示的函数：由方程()()x x t y y t =⎧⎨=⎩确定的函数()y y x =.例：2ln(1)arctan x t y t⎧=+⎨=⎩ 确定了()y f x =.④ 积分上限函数： ()()xax f t dt Φ=⎰．例：2311()(1)3xx t dt x Φ==-⎰⑤ 概率表示的函数：()()F x P X x =≤， 其中X 为随机变量，x 为实数.⑥ 分段函数：自变量不同范围内用不同式子表示的一个函数．【例】 ,0()sin ,0a x x f x x x x +≥⎧⎪=⎨<⎪⎩ ； 1sin ,0()0,0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ .如 A. 绝对值表示的函数 11111x x y x xx -≥⎧=-=⎨-<⎩ ；B. 极限表示的函数 2211()lim111nnn x x x f x x x x x x →∞⎧<-⎪=⋅==⎨+⎪->⎩； C. 其他形式 2022101()max{1,}12x x f x x xx ≤≤≤≤⎧==⎨<≤⎩ ．10sgn()0010x y x x x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩-------符号函数[]y x =--取整函数．2、函数的性质 【了解函数的有界性，单调性，周期性，奇偶性】①．有界性：()f x 在某区间I 内有定义，若存在0M >，对任意x I ∈，总有()f x M ≤， 则称()f x 在某区间I 内有界.否则称()f x 在某区间I 内无界.例：2111sin1,(0);arctan ,();,1,()2121xx x x x R x R xx e π≤≠≤∈≤<∈++． ②．单调性：()f x 在某区间I 内有定义，若12,x x I ∀∈，当12x x <时12()()f x f x ≤，就称()f x 单调上升；当12x x <时，12()()f x f x ≥，就称()f x 单调下降． 不含等号时称严格单增（或单减）.③．奇偶性：若()()f x f x -=， 则称()f x 为偶函数，偶函数的图形关于y 轴对称； 若()()f x f x -=-，则称()f x 为奇函数，奇函数的图形关于原点对称．④．周期性：()()(0)f x T f x T +=≠． （主要是三角函数）【例1】讨论()ln(f x x =的奇偶性． 【奇函数】 【例2】 设sin ()tan xf x x x e=⋅⋅，则()f x 是（ ）．A. 偶函数B. 无界函数C. 周期函数D. 单调函数． 【解】 因为 2x k ππ→+时， ()f x →∞，所以()f x 非有界即为无界函数.3、 基本初等函数 【掌握基本初等函数的性质及图形】 （反、对、幂、三、指）① 常数函数---y C =② 幂函数---y x μ= （μ为常数）例：21,y x y y x===③ 指数函数---xy a = （0,1a a >≠） ，xy e =④ 对数函数---log a y x = （0,1a a >≠） ， ln y x =， lg y x = ⑤ 三角函数---sin ,cos ,tan y x y x y x===⑥ 反三角函数---arcsin ,arctan y x y x==4、 复合函数、反函数、初等函数 【了解反函数和隐函数的概念，理解复合函数及分段函数的概 念，了解初等函数的概念】① 复合函数 (),()[()y f uu x y f x ϕϕ==⇒=；f 为外层函数，ϕ称为内层函数．② 反函数 ()y y x =的反函数为1()x fy -=或1()y fx -=.【例】3y x x y =⇒=⇒3y x =的反函数.【例】 sin xy e= 看作是由 ,sin uy e u x == 复合而成的复合函数.③ 初等函数：由六类基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合运算而得的用一个数学式子 表示的函数. 注意：分段函数一般不是初等函数。
一元微积分大一知识点总结
一元微积分大一知识点总结微积分是数学的一个重要分支，包括微分学和积分学两个部分。
在大一学习微积分的过程中，我们需要掌握一些基本的概念、理论和技巧。
本文将对一元微积分大一知识点进行总结，希望能够帮助大家复习和巩固所学内容。
一、函数与极限函数是微积分的基础，我们需要了解函数的定义、性质以及常见函数的图像和性质。
另外，理解极限的概念也是非常重要的。
1. 函数：函数的定义：函数是一种映射关系，将自变量的值映射为因变量的值。
常见函数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
函数的图像：函数图像可以通过画出关键点、研究增减性和凹凸性等方法得到。
极限的定义：函数在某一点无论从左侧还是右侧逼近时的极限都相等，则称该函数在该点有极限。
极限的性质：极限存在的充分必要条件是左极限和右极限存在且相等。
二、导数与微分导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
微分是导数的一个应用，主要用于求解函数的近似值和极值问题。
1. 导数：导数的定义：函数在一点的导数表示了函数在该点的切线斜率。
导数的计算方法：可以利用极限的性质来求解导数，也可以利用求导法则进行计算。
导数的性质：导数运算是线性的，满足求和、差、常数倍、乘积、商等法则。
微分的定义：微分表示了函数的变化量与自变量的变化量之间的关系。
微分的应用：微分可以用来求函数的近似值，也可以用来研究函数的极值问题。
三、积分与定积分积分是导数的逆运算，它可以用来求反函数、定积分以及解决曲线下面积的问题。
1. 不定积分：不定积分的定义：不定积分可以看作是导数的逆运算，表示了函数的原函数。
不定积分的计算方法：可以利用基本积分公式和换元积分法进行计算。
2. 定积分：定积分的定义：定积分表示了函数在一个区间上的累积效应，可以用来求解曲线下面积等问题。
定积分的计算方法：可以利用定积分的性质和积分区间的划分来计算定积分。
四、微分方程微分方程是一种包含导数的方程，它在各个学科中都有广泛的应用，尤其在物理和工程领域中扮演着重要角色。
大学微积分第一章
⼤学微积分第⼀章微积数学是⾃然科学的基础，是⾃然科学的皇后，是科学的⽆限，数学是思维的体操，它的特点是：1.概念上的⾼度抽象性；2.论证上的确切严格性；3.结果上的精密肯定性；4.应⽤上的极其⼴泛性。
第⼀章函数（Functions）微积分研究的是变量与运动的学科。
变量间的互相依赖关系叫函数关系，也就是说，微积分研究的对象是函数，所利⽤的⼯具是极限论。
因此，函数的概念是⾼等数学中最重要的概念之⼀。
§1-1 函数的概念与性质⼀、集合、区间、变量、邻域（主要讲述邻域概念）集合（---所谓集合是指具有某种（或某些）属性的⼀些对象的全体（简称“集” ）.集合中的每个对象称为该集合的元素.集合通常⽤⼤写的拉丁字母如 ,,,C B A 来表⽰,元素则⽤⼩写的拉丁字母如 ,,,,y x b a 来表⽰.当x 是集合E 的元素时，我们就说x 属于E ，记作E x ∈；当x 不是集合E 的元素时，就说x 不属于E ，记作E x ?. 集合运算-----略）。
变量（⼝述----略）。
区间：指介于某两个实数a 与b 之间的所有实数，即数集（a,b ）={x|a邻域：以点a 为中⼼，ε>0为半径的开区间，称为点a 的ε邻域，记作：∪（a, ε）=(a-ε,a+ε)={x| |x-a|<ε}。
去（空）⼼邻域：() ()(),,,oU a a a U a a εεε=-+。
为了⽅便，有时把开区间(),a a ε-称为点a 的左ε邻域，把开区间(),a a ε+称为点a 的右ε邻域.（举例）⼆、函数的概念1、函数的定义设有两个变量x y 与，变量x D ∈（实数集），如果存在某种对应法则f ，使得对于每⼀个x D ∈，都有唯⼀的⼀个实数y 与之对应，则称两个变量x y 与建⽴了⼀个函数关系，(---设数集R D ?，则称映射R D f →:为定义在D 上的函数，)通常记作 )(x f y = ，D x ∈，其中x 称为⾃变量，y 称为因变量(或函数)，D 称为定义域，记作f D ，即D D f =，f ----对应法则.包含三⼤要素：①定义域 D(f) ②对应法则（变量依赖关系的具体表现），③值域。
微积分大一上学期知识点
-
2
求区间动（定），对称轴定（动）的最值问题；
注意“两看”：一看开口，二看对称轴与给定区间的位置关系.
2.注意 y ax b (a 0, b 0) 型函数的图像在单调性中的应用：增区间为 x
(, b ] ，[ b ,) ，减区间为[ b ,0) ， (0, b ]；
a
a
a
a
⑦利用对号函数： y x 1 （如右图）； x
分结果的交集； （8）复合函数的定义域：
若已知 f (x) 的定义域[a, b]，求复合函数 f (g(x)) 的定义域，相当于求使
g(x) [a,b] 时 x 的取值范围；
若已知复合函数 f (g(x)) 的定义域，求 f (x) 的定义域，相当于求 g(x) 的值域.
2 求函数值域的方法 ①直接法：从自变量 x 的范围出发，推出 y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合 函数；
③ 函数 y f (x a) 是奇函数 f (x) 关于点 a,0 对称.
④ 若一个函数的反函数是它本身,那么它的图像关于直线 y=x 对称. 两个函数图象的对称性: ①函数 y f (x) 与函数 y f (x) 的图象关于直线 x 0 (即 y 轴)对称;
②函数 y f (mx a) 与函数 y f (b mx) 的图象关于直线 x a b 对称 2m
2.判断单调性方法：①定义法
(x1 x2) f (x1) f (x2) 0
f (x1) f (x2 ) 0 x1 x2
f (x)在a,b 上是增函数；
(x1 x2) f (x1) f (x2) 0
f (x1) f (x2 ) 0 x1 x2
f (x)在a,b上是减函数.
函数 y f (x) 与 x a f ( y a) 的图像关于直线 x - y a 成轴对称
大一微积分公式.pdf
⑺ d (sec x) = sec x tan xdx
⑻ d (csc x) = −csc x cot xdx
( ) ⑼ d ex = exdx
( ) ⑽ d ax = ax ln adx
⑾ d (ln x) = 1 dx
x
( ) ⑿ d
log a x
= 1 dx x ln a
⒀ d (arcsin x) = 1 dx ⒁ d (arccos x) = − 1 dx
（10） lim ex = x→+
（11） lim xx =1 x→0+
三、下列常用等价无穷小关系（ x → 0）
sin x x
tan x x
arcsin x x
arctan x x 1− cos x 1 x2 2
ln (1+ x) x ex −1 x
ax −1 x ln a
(1+ x) −1 x
1− x2
⒁ (arccos x) = − 1
1− x2
( ) ( ) ⒂
(arctan
x)
=
1 1+ x2
⒃ (arc cot
x)
=
−1 1+ x2
⒄
x
=1⒅
x = 1 2x
六、高阶导数的运算法则
（1） u ( x) v ( x)(n) = u ( x)(n) v ( x)(n)
（2） cu ( x)(n) = cu(n) ( x)
（3） u (ax + b)(n) = anu(n) (ax + b)
（4） u ( x) v ( x)(n) = n ( ) ( ) cnku(n−k) x v(k) x k =0
微积分第一课(函数极限)
分别讨论当 x 0及 x 1时, f ( x )的极限是否存在.
3.写出下列函数在x 1处的左极限, 右极限, 并指出函数在x 1处是否存 在极限. (1) f ( x) x 1 2 x ( 2) g ( x ) 0
( x 1) ( x 1)
x 1 4.已知f ( x ) x 1 0
但数列极限中的n只能取 正整数，其变化方式是离散 的，而且变化趋势只是 n 的情况。
1、当 x 时，函数 f ( x )的极限。
1 我们考察函数y 当x无限增大时 x 的变化趋势。为此，我们列出下表， 1 并画出函数y 的图象。 x
x 1 10 100
1000
10000 100000 ……
-1000 -0.001
-10000 -0.0001
-100000 -0.00001
… …
6
1 fx = x
4
2
-5
5
10
-2
-4
-6
当自变量x取负值并且绝对值无限 增大时，如果函数f ( x)无限趋近于一 个常数a, 就说当x趋向于负无穷大时， 函数f ( x)的极限是a, 记作： lim f ( x) a,
根据函数在一点处的极限, 左极限, 右极限的定义, 可以得出 : lim f ( x) a
x x0 x x 0
lim f ( x) lim f ( x) a
xx 0
例1.求极限 : x x lim , x 1 x 1 3 2 x x lim , x 1 x 1 3 2 x x lim x 1 x 1
高等数学
绪论
高等数学
数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的一们科学。 十七世纪以前，由于受当时生产力的局限性，人们对于数学 的认识，停留在初等数学阶段。十七世纪初，欧洲资本主义 兴起，对物理学、力学、天文学等科学提出了新问题，需要 研究事物的运动与变化过程的数量关系，初等数学的方法是 远远不够的。逐渐产生了微分和积分。 恩格斯指出：“数学中的转折点是笛卡尔的变数 ，有了变数， 微分和积分也就成为必要的了，而它们也就立刻产生。” 马克思说过：微积分要成为每个公民都知晓的学科。
e的x次定积分证明
e的x次定积分证明
若要证明e的x次定积分，我们可以使用积分定义的方法进行证明。
首先，我们将e的x次函数表示为f(x) = e^x。
然后，我们需要找到f(x)在给定区间[a, b]上的定积分。
根据积分定义，定积分可以通过将函数f(x)进行分割，并计算每个小区间上函数值与区间长度的乘积的和来近似表示。
具体地，我们将区间[a, b]划分为n个小区间，每个小区间的宽度为Δx = (b - a) / n。
在每个小区间内，我们选择一个代表点xi，并计算函数f(xi)的值。
然后，我们将函数值f(xi)与区间宽度Δx相乘，并将其累加起来，即可得到定积分的近似值。
数学表示如下：
∫[a, b] e^x dx ≈ Σ[i = 1 to n] f(xi) * Δx
当我们将n趋近于无穷大时，即Δx趋近于0，我们可以得到定积分的精确值。
数学表示如下：
∫[a, b] e^x dx = lim[n→∞] Σ[i = 1 to n] f(xi) * Δx 这就是e的x次定积分的证明过程。
e的x次方分之一,当x趋于0时的极限
当我们谈论极限的时候，我们实际上在探讨一个数列或者函数在特定条件下的趋势和表现。
在数学中，极限是一个非常重要的概念，它在微积分、实分析等数学领域中有着广泛的应用。
在本文中，我们将探讨一个特定的函数e的x次方分之一，当x趋于0时的极限值。
1. 函数f(x) = e的x次方分之一我们首先来看一下函数f(x) = e的x次方分之一的定义。
这里的e是一个常数，它的值约为2.xxx。
所以函数f(x)可以写成f(x) = e^(1/x)。
2. x趋于0的情况当x趋于0时，我们需要考察函数f(x) = e^(1/x)的极限值。
极限值的概念在数学中是非常重要的，它可以帮助我们理解函数在某一点附近的行为。
3. x趋于0的情况分析当x趋于0时，我们可以通过代入x的值来考察函数f(x)的极限值。
我们可以将x取一个足够接近0的数，比如0.1、0.01、0.001等。
4. 极限的求解通过计算f(0.1)、f(0.01)、f(0.001)等值，我们可以看到当x趋于0时，函数f(x) = e^(1/x)的值是逐渐增加的。
这是因为当x接近0时，1/x的值会变得非常大，而e的次方函数的增长速度非常快，所以整个函数的值会趋于无穷大。
5. 极限值根据以上的分析，我们可以得出结论：当x趋于0时，函数f(x) =e^(1/x)的极限值是无穷大。
这也符合我们的直觉，因为分母接近0会导致整个函数的值趋于无穷大。
6. 结论通过以上的讨论，我们可以得出结论：当x趋于0时，函数f(x) =e^(1/x)的极限值是无穷大。
这个结论对于理解e的次方函数在极限情况下的表现有着重要的意义。
在数学中，极限是一个非常重要的概念，它不仅在微积分和实分析中有着广泛的应用，还可以帮助我们理解函数在特定条件下的趋势和表现。
通过对特定函数在极限情况下的分析，我们可以更好地理解数学的奥妙之处，这对于提高数学素养和探索数学世界具有重要的意义。
希望通过本文的讨论，读者可以对e的x次方分之一在x趋于0时的极限值有更深入的理解。
微积分公式大全
微积分公式sin x dx = -cos x + C cos x dx = sin x + Ctan x dx = ln |sec x | + C cot x dx = ln |sin x | + Csec x dx = ln |sec x + tan x | + C csc x dx = ln |csc x – cot x | + C sin -1(-x) = -sin -1 x cos -1(-x) = - cos -1 x tan -1(-x) = -tan -1 x cot -1(-x) = - cot -1 x sec -1(-x) = - sec -1 x csc -1(-x) = - csc -1 xsin -1 x dx = x sin -1 x+21x -+C cos -1 x dx = x cos -1 x-21x -+C tan -1 x dx = x tan -1 x-½ln (1+x 2)+C cot -1 x dx = x cot -1 x+½ln (1+x 2)+C sec -1 x dx = x sec -1 x- ln |x+12-x |+Ccsc -1 x dx = x csc -1 x+ ln |x+12-x |+Csinh x dx = cosh x + C cosh x dx = sinh x + C tanh x dx = ln | cosh x |+ C coth x dx = ln | sinh x | + C sech x dx = -2tan -1 (e -x ) + C csch x dx = 2 ln |xx ee 211---+| + Cd uv = u d v + v d ud uv = uv = u d v + v d u→ u d v = uv - v d u cos 2θ-sin 2θ=cos2θ cos 2θ+ sin 2θ=1 cosh 2θ-sinh 2θ=1cosh 2θ+sinh 2θ=cosh2θ sinh -1 x dx = x sinh -1 x-21x ++ C cosh -1 x dx = x cosh -1 x-12-x + C tanh -1 x dx = x tanh -1 x+ ½ ln | 1-x 2|+ Ccoth -1 x dx = x coth -1 x- ½ ln | 1-x 2|+ Csech -1 x dx = x sech -1 x- sin -1 x + C csch -1 x dx = x csch -1 x+ sinh -1 x + Csin 3abc αβγ Rsin (α±β)=sin α cos β ± cos α sin β cos (α±β)=cos α cos β sin α sin β 2 sin α cos β = sin (α+β) + sin (α-β) 2 cos α sin β = sin (α+β) - sin (α-β) 2 cos α cos β = cos (α-β) + cos (α+β) 2 sin α sin β = cos (α-β) - cos (α+β)sin α + sin β = 2 sin ½(α+β) cos ½(α-β)sin α - sin β = 2 cos ½(α+β) sin ½(α-β) cos α + cos β = 2 cos ½(α+β) cos ½(α-β) cos α - cos β = -2 sin ½(α+β) sin ½(α-β) tan (α±β)=βαβαtan tan tan tan ±, cot (α±β)=βαβαcot cot cot cot ±e x=1+x+!22x +!33x +…+!n x n+ …sin x = x-!33x +!55x -!77x +…+)!12()1(12+-+n x n n + …cos x = 1-!22x +!44x -!66x +…+)!2()1(2n x nn -+ …ln (1+x) = x-22x +33x -44x +…+)!1()1(1+-+n x n n + …tan -1x = x-33x +55x -77x +…+)12()1(12+-+n x n n + …(1+x)r =1+r x+!2)1(-r r x 2+!3)2)(1(--r r r x 3+… -1<x<1 ∑=ni 11= n∑=ni i 1= ½n (n +1)∑=ni i 12=61n (n +1)(2n +1) ∑=ni i13= [½n (n +1)]2Γ(x) = ⎰∞0t x-1e -td t = 2⎰∞t2x-12t e-d t =⎰∞)1(ln tx-1 d t β(m , n ) =⎰10x m -1(1-x)n -1 d x =2⎰20sin π2m -1x cos 2n -1x d x =⎰∞+-+01)1(nm m x x d x希腊字母 (Greek Alphabets)大写 小写读音 大写 小写读音 大写 小写 读音 Α α alpha Ι ι iota Ρ ρ rho Β β beta Κ κ kappa Σ σ, ς sigma Γ γ gamma Λ λ lambda Τ τ tau Δ δ delta Μ μ mu Υ υ upsilon Ε ε epsilon Ν ν nu Φ φ phi Ζ ζ zeta Ξ ξ xi Χ χ khi Η η eta Ο ο omicron Ψ ψ psi Θθ thetaΠπ piΩωomega倒数关系: sin θcsc θ=1; tan θcot θ=1; cos θsec θ=1 商数关系: tan θ=θθcos sin ; cot θ= θθsin cos 平方关系: cos 2θ+ sin 2θ=1; tan 2θ+ 1= sec 2θ; 1+ cot 2θ= csc 2θ順位低順位高;顺位高d 顺位低 ; 0* =∞1* =∞∞ = 0*01 = 00 00 = )(0-∞e ; 0∞ = ∞⋅0e ; ∞1 = ∞⋅0e顺位一: 对数; 反三角(反双曲) 顺位二: 多项函数; 幂函数 顺位三: 指数; 三角(双曲)算术平均数(Arithmetic mean) nX X X X n+++= (21)中位数(Median) 取排序后中间的那位数字 众数(Mode)次数出现最多的数值几何平均数(Geometric mean) n n X X X G ⋅⋅⋅= (21)调和平均数(Harmonic mean))1...11(1121nx x x n H +++=平均差(Average Deviatoin)nX Xni||1-∑变异数(Variance)nX Xni21)(-∑ or1)(21--∑n X Xni标准差(Standard Deviation)nX Xni21)(-∑ or1)(21--∑n X Xni分配 机率函数f (x )期望值E(x )变异数V(x )动差母函数m (t )DiscreteUniform n 1 21(n +1) 121(n 2+1) tnt t ee e n --1)1(1 Continuous Uniform ab -1 21(a +b ) 121(b -a )2 ta b e e atbt )(--Bernoulli p x q 1-x (x =0, 1)p pq q +pe tBinomial ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x n p x q n -x npnpq(q+ pe t )nNegative Binomial ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x k 1p k q x pkq2p kq k t kqe p )1(-Multinomialf (x 1, x 2, …, x m -1)=np inp i (1-p i )三项 (p 1e t 1+ p1 000 000 000 000 000 000 000 000 1024 yotta Y 1 000 000 000 000 000 000 000 1021 zetta Z1 000 000 000 000 000 000 1018 exa E1 000 000 000 000 000 1015 peta P1 000 000 000 000 1012 tera T 兆1 000 000 000 109 giga G 十亿1 000 000 106 mega M 百万1 000 103 kilo K 千100 102 hecto H 百10 101 deca D 十0.1 10-1 deci d 分，十分之一0.01 10-2 centi c 厘〔或写作「厘」〕，百分之一0.001 10-3 milli m 毫，千分之一0.000 001 10-6 micro ? 微，百万分之一0.000 000 001 10-9 nano n 奈，十亿分之一0.000 000 000 001 10-12 pico p 皮，兆分之一0.000 000 000 000 001 10-15 femto f 飞〔或作「费」〕，千兆分之一0.000 000 000 000 000 001 10-18 atto a 阿0.000 000 000 000 000 000 001 10-21 zepto z0.000 000 000 000 000 000 000 001 10-24 yocto y如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
不等式exp(x)-1...引申出的一个不等式及其应用
不等式1x e x -≥引申出的一个不等式及其应用王永洪1（北京市海淀区北京理工大学机电学院，100081）导数公式()xxe e '=重要极限01lim 1x x e x→-=，可导函数的极值定理得到了不等式1x e x -≥，而围绕这个形式上简单的不等式及其证明过程了还有很多与自然对数（指数）有关的不等式和极限，如不等式1(0)1x x e x x x -≤-≤≥+，ln(1)(1)1x x x x x ≤+≤>-+与极限()10lim 1x x x e +→+=、111lim 11ln 2n n n →∞⎛⎫+++= ⎪⎝⎭ 2可由不等式11x x e x e --≥≥-经过适当变形和放缩处理就可以得到，关于1(0)1x xe x x x-≤-≤≥+（即11x x e x e --≤≤-），有这样的问题，是否存在这样的正数,(0,1)a b ∈，对于任意0x ≥，成立111x x xe bx ax-≤-≤++，根据x 趋于正无穷大时不等式两边的函数极限可以直接判断b 是不存在的，下面将指出这样的a 值是存在的。
考虑下面的问题：设0x ≥，11x xe ax--≤+恒成立，求a (0)a ≥的取值范围。
下面利用不等式11x xe x e --≤≤-给出解答：设()(1)(1)x f x ax e x -=+--，0x ≥.只需()0f x ≤.()(1)(1)x x f x a e axe --'=--+,利用1x x e ≤-得()(1)(1)(1)(21)(1)x x x x f x a e a e e a e ---'≤--+-⋅=-⋅-，当102a ≤≤，()0f x '≤，()f x 单调递减，()(0)0f x f ≤=.当12a >时，注意1a <，利用1x e x --≤，()(1)(1)x x f x a x axe x a ae --'≥-+=-+，0ln 1ax a<<-时，()0f x '>，则()(0)0f x f >=，不符合要求。
ex次方分之一的导数
ex次方分之一的导数
求解ex 次方分之一的导数可以使用链式法则。
链式法则是指对于一个函数f(g(x))，其导数为f'(g(x))*g'(x)。
所以，ex次方分之一的导数可以表示为：
(ex次方分之一)' = (1/ex)' = -ex次方分之二*ex'
由于ex的导数为自身，所以ex次方分之一的导数可以表示为：
(ex次方分之一)' = -ex次方分之二*ex = -ex次方分之一
所以，ex次方分之一的导数为-ex次方分之一。
这个结果在数学和工程领域都有广泛的应用。
例如，在数学中，ex次方分之一的导数可以用来解决微积分的问题，如求解不定积分或者求解某些复杂的函数的导数。
在工程领域，ex次方分之一的导数也有广泛的应用。
例如，在信号处理和控制工程中，ex次方分之一的导数可以用来描述某些系统的动态响应，从而为设计和控制这些系统提供有力的帮助。
总的来说，ex次方分之一的导数是一个重要的数学概念，它在数学和工程领域都有广泛的应用，为人类解决许多实际问题提供了有力的帮助。
ex分之1的导数
ex分之1的导数为了计算e某分之1的导数，首先需要知道指数函数的导数公式。
指数函数的导数公式是：如果f(某) = a^某 (其中a为常数且a>0且a≠1)，那么f'(某) = ln(a) 某 a^某。
要计算e某分之1的导数，我们可以将e视为底数，即a=e。
那么我们要计算的就是f(某)=e^某在某=1处的导数。
根据指数函数的导数公式，我们知道：f'(某) = ln(e) 某 e^某由于ln(e) = 1，所以f'(某) = e^某。
由此可见，e某分之1的导数等于e。
我们可以用更简单的方法来理解：e某的导数总是等于它自己。
这是因为指数函数的特殊性质。
指数函数的图像是一个递增的曲线，斜率随着某的增加而增加。
每个点上的斜率都等于函数的值。
因此，e某的导数等于e某。
这个结论可以用导数的定义来证明。
根据导数的定义，f'(某) =lim(h->0) [f(某+h)-f(某)]/h。
假设f(某) = e某，那么我们需要计算lim(h->0) [(e某+h)-e某]/h。
将e某分开来计算：lim(h->0) [(e某+h)-e某]/h = lim(h->0) e某[(e^h-1)/h]当h趋近于0时，e^h-1趋近于0。
所以，lim(h->0) e某[(e^h-1)/h] = e某某 1 = e某。
因此，e某分之1的导数等于e。
总结起来，e某分之1的导数等于e。
这意味着指数函数的斜率恒等于函数的值。
这是指数函数的重要性质之一，也是在数学和科学中广泛应用的基本原理。
ex的积分函数
ex的积分函数ex的积分函数是指以自然对数的底e为底的指数函数ex的不定积分函数。
在数学中，积分是微积分的重要概念之一，它是求函数的原函数的逆运算。
而指数函数ex是一种特殊的函数，它在数学和科学中具有广泛的应用。
首先，我们来看一下指数函数ex的定义。
指数函数ex是以常数e 为底的指数函数，其中e是一个无理数，约等于2.71828。
指数函数ex 的定义域为实数集，值域为正实数集。
它的图像是一条递增的曲线，且在x轴上的截距为1。
接下来，我们来探讨ex的积分函数。
根据积分的定义，ex的积分函数可以表示为∫ex dx。
根据指数函数的性质，我们知道ex的导数仍然是ex本身，即d(ex)/dx = ex。
因此，ex的积分函数可以直接表示为∫ex dx = ex + C，其中C为常数。
ex的积分函数的求解过程相对简单。
我们可以使用换元法或者直接利用指数函数的性质进行求解。
以换元法为例，我们可以令u = ex，那么du = ex dx。
将u和du代入原积分式中，得到∫ex dx = ∫du = u + C = ex + C。
ex的积分函数在数学和科学中有着广泛的应用。
在微积分中，积分函数是求解定积分的基础。
通过求解ex的积分函数，我们可以进一步求解ex的定积分，从而得到指数函数在不同区间上的面积。
在概率论和统计学中，指数函数也经常出现，它在描述随机事件发生的时间间隔、衰减过程等方面具有重要作用。
除了数学领域，ex的积分函数在物理学和工程学中也有着重要的应用。
在物理学中，指数函数常常出现在描述自然界中的各种现象，如放射性衰变、电路中的电荷和电流变化等。
通过求解ex的积分函数，我们可以得到这些现象的数学模型，从而更好地理解和预测实际问题。
在工程学中，ex的积分函数可以用于求解各种动态系统的响应，如控制系统、信号处理等。
总之，ex的积分函数是以自然对数的底e为底的指数函数ex的不定积分函数。
它在数学、物理学和工程学等领域中具有广泛的应用。