第二章 模糊数学基础(第五讲).
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(第五讲)模糊理论PPT课件
2021/3/12
6
模糊集与隶属函数（3）
例2.8 论域U={高山，刘水，秦声}，用模糊集A表 示“学习好”这个概念。
解：先给出三人的平均成绩：
高山：98分，刘水：90分，秦声：86分 上述成绩除以100后，就分别得到了各自对“学
习好”的隶属度：
μA(高山)=0.98,μA(刘水)=0.90 ,μA(秦声)=0.86 则模糊集A为：
则A：B A(u) B (u) / u
uU
1/u
[1 (u 25)2]1 / u
[1 ( 5 )2]1 / u
0u25
25uu
5
uu100
u 50
A B A(u) B (u) / u uU
[1 ( 5 )2]1 / u
[1 (u 25)2]1 / u
50uu
u 50
]1
当50 u 100
9
模糊集的表示方法（3）
• 无论论域U有限还是无限，离散还是连续， 扎德用如下记号作为模糊集A的一般表示 形式:
A A(u)/u uU
• U上的全体模糊集，记为：
F(U)={A|μA:U→[0,1]}
2021/3/12
10
模糊集的运算（1）
模糊集上的运算主要有：包含、交、并、补等等。
uu100
5
A 1/u
1[1 ( 5 )2]1 / u
2021/3/120u50
50u100
u 50
13
模糊集的运算（4）
其它的模糊集运算：
• 有界和算子 和有界积算子
A B:m in{1,A(u)B(u)} AB:m ax{0,A(u)B(u)1 }
• 概率和算子ˆ 与实数积算子·
模糊数学课件new-2013
转置矩阵，其中 aijT a ji 。
（4）模糊矩阵的 截矩阵
定义：设 A (aij )mn, 对任意的 [0,1],称
A (aij( ) )mn 为模糊矩阵A的 截矩阵，其中
aij( )
1, 0,
aij aij
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1 0.5 0.2 0
定义：设 R (rij )nn是n阶模糊方阵， I 是n阶 单位方阵，若 R满足 （1）自反性： I R； （2）对称性： RT R； 则称 R为模糊相似矩阵。
定理：设 R是n阶模糊相似矩阵，则存在一 个最小的自然数k(k n)，使得Rk 为模糊等价矩 阵，且对一切大于k 的自然数l ，恒有Rl Rk .
并： ( A B)(x) A( x) B( x),x U 表示取大； 交： ( A B)(x) A( x) B( x),x U 表示取小。 余： Ac ( x) 1 A( x),x U
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几个常用的算子： （1）Zadeh算子 (,)
a b max{a,b},a b min{a,b}
在实际问题中，不同的数据一般有不同 的量纲，为了使有不同量纲的量能进行比较， 需要将数据规格化，常用的方法有：
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（1）标准差标准化
对于第i 个变量进行标准化，就是将 xij换成 xij，即
xij
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输入数据：
输出结果（部分）：
A=[1 0.4 0.8 0.5 0.5; 0.4 1 0.4 0.4 0.4; 0.8 0.4 1 0.5 0.5; 0.5 0.4 0.5 1 0.6; 0.5 0.4 0.5 0.6 1]
（4）模糊矩阵的 截矩阵
定义：设 A (aij )mn, 对任意的 [0,1],称
A (aij( ) )mn 为模糊矩阵A的 截矩阵，其中
aij( )
1, 0,
aij aij
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1 0.5 0.2 0
定义：设 R (rij )nn是n阶模糊方阵， I 是n阶 单位方阵，若 R满足 （1）自反性： I R； （2）对称性： RT R； 则称 R为模糊相似矩阵。
定理：设 R是n阶模糊相似矩阵，则存在一 个最小的自然数k(k n)，使得Rk 为模糊等价矩 阵，且对一切大于k 的自然数l ，恒有Rl Rk .
并： ( A B)(x) A( x) B( x),x U 表示取大； 交： ( A B)(x) A( x) B( x),x U 表示取小。 余： Ac ( x) 1 A( x),x U
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几个常用的算子： （1）Zadeh算子 (,)
a b max{a,b},a b min{a,b}
在实际问题中，不同的数据一般有不同 的量纲，为了使有不同量纲的量能进行比较， 需要将数据规格化，常用的方法有：
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（1）标准差标准化
对于第i 个变量进行标准化，就是将 xij换成 xij，即
xij
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输入数据：
输出结果（部分）：
A=[1 0.4 0.8 0.5 0.5; 0.4 1 0.4 0.4 0.4; 0.8 0.4 1 0.5 0.5; 0.5 0.4 0.5 1 0.6; 0.5 0.4 0.5 0.6 1]
第2章模糊数学基础
A A A a A , a A , , a , 12 r 1 1 2 2 rA r
由两个集合X和Y，各自的元素xX，yY构成序偶（x，y） 的集合称为集合X和Y的直积。 X Y
x 1 y X Y 1 x n
2019/2/16
பைடு நூலகம்
xy xy 11 1 2 xy 2 1 xy 2 2 y m xy n 1 xy n 2
[例2－2] 用序偶法在论域U＝1，2，3，4，5，6，7，8， 9，10中讨论“几个”这一模糊概念。 [解]
F ( 1 , 0 ) , ( 2 , 0 ) , 3 , 0 . 2 , 4 , 0 . 7 , 5 , 1 , 6 , 1 , 7 , 0 . 7 , 8 , 0 . 3 , 9 , 0 , ( 1 0 , 0 )
S 3 , 0 . 2 , 4 , 0 . 7 , 5 , 1 , 6 , 1 , 7 , 0 . 7 , 8 , 0 . 3
20
2019/2/16
3）向量表示法 将论域U中的隶属度F(ui)用来表示模糊集合F，则：
F F u , F u ,, F u 1 2 n
F u F u F u 1 2 n F u u u 1 2 n
用扎德法在论域U＝1，2，3，4，5，6，7，8，9， [例2－1] 10中讨论“几个”这一模糊概念。
0 0 0 . 2 0 . 7 1 1 0 . 7 0 . 3 0 0 [解] F 1 23 45 67 89 1 0
2019/2/16
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（3）关系矩阵 二元关系R可用二维关系矩阵表示 设X = x ,,, x , Y y ,,, y , 1 2 x n 1 2 y m R是由X到Y的关系，则关系矩阵R的第i行第j列上的元素 rij定义为
模糊数学第二章
(A∩B)∩C=A∩(B∩C); （4）吸收律：A∩(A∪B)= A, A∪(A∩B)=A; （5）分配律: (A∪B)∩C=( A∩C)∪(B∩C), (A∩B)∪C= ( A∪C)∩(B∪C);
模糊集合运算性质
（6）0-1律：A∪Φ＝A, A∩Φ＝Φ;
U∪A=U,U∩A=A; （7）还原律：(Ac)c=A; （8）对偶律：(A∪B)c= Ac∩Bc, (A∩B)c= Ac∪Bc. 互余律不成立！！ 注意 Ac∪A≠ U, A∩Ac ≠ Φ
第二章 模糊子集
本章内容
模糊子集的定义 模糊子集的运算
分解定理扩张定理
模糊性度量
隶属函数的确定
精确数学vs模糊数学
精确数学：基础——经典集合论；一个对象和一个
集合的关系只有两种可能：属于、不属于；
模糊数学：基础——模糊集合论；一个对象和一个
模糊集合的关系：对象隶属于该模糊集合的程度 （隶属度）。
且 (b; a, b) 1 ；当 x b 时单调递增；当 x b 时单调递减。
模糊集合的表示法1－zadeh表示法
论域U是有限集｛x1, x2, …, xn｝,U的任一模糊子集 A，其隶属函数为μi =μA(xi) 模糊子集A记作 A = ∑i=1n μi / xi 注意 ―∑i=1n μi / xi‖不是分式求和，只是一 符 号而已。
1. 模糊子集的定义
设给定论域U，U到[0, 1]的任一映射μA ：U [0, 1]
都确定U的一个模糊子集A
μA叫做A的隶属函数，
μA(u) （ u∈U ）表示 u隶属于模糊子集A的程度，
称之为u对A的隶属度
模糊集合的例子
设论域U＝[0, 100]表示人的年龄，“年轻Y‖与“年老
模糊数学(讲义)
模糊数学及其应用引言任何新生事物的产生和发展，都要经过一个由弱到强,逐步成长壮大的过程，一种新理论、一种新学科的问世，往往一开始会受到许多人的怀疑甚至否定。
模糊数学自1965年L.A.Zadeh教授开创以来所走过的道路，充分证实了这一点，然而，实践是检验真理的标准，模糊数学在理论和实际应用两方面同时取得的巨大成果，不仅消除了人们的疑虑，而且使模糊数学在科学领域中，占有了自己的一席之地。
经典数学是适应力学、天文、物理、化学这类学科的需要而发展起来的，不可能不带有这些学科固有的局限性。
这些学科考察的对象，都是无生命的机械系统，大都是界限分明的清晰事物，允许人们作出非此即彼的判断，进行精确的测量，因而适于用精确方法描述和处理。
而那些难以用经典数学实现定量化的学科，特别是有关生命现象、社会现象的学科，研究的对象大多是没有明确界限的模糊事物，不允许作出非此即彼的断言，不能进行精确的测量。
清晰事物的有关参量可以精确测定，能够建立起精确的数学模型。
模糊事物无法获得必要的精确数据，不能按精确方法建立数学模型。
实践证明，对于不同质的矛盾，只有用不同质的方法才能解决。
传统方法用于力学系统高度有效，但用于对人类行为起重要作用的系统，就显得太精确了，以致于很难达到甚至无法达到。
精确方法的逻辑基础是传统的二值逻辑，即要求符合非此即彼的排中律，这对于处理清晰事物是适用的。
但用于处理模糊性事物时，就会产生逻辑悖论。
如判断企业经济效益的好坏时，用“年利税在100万元以上者为经济效益好的企业”表达，否则，便是经济效益不好的企业。
根据常识，显而易见：“比经济效益好的企业年利税少1元的企业，仍是经济效益好的企业”，而不应被划为经济效益不好的企业。
这样，从上面的两个结论出发，反复运用经典的二值逻辑，我们最后就会得到，“年利税为0者仍为经济效益好的企业”的悖论。
类似的悖论有许多，历史上最著名的有“罗素悖论”。
它们都是在用二值逻辑来处理模糊性事物时产生的。
《模糊数学教案》课件
《模糊数学教案》课件第一章：模糊数学简介1.1 模糊数学的概念与发展1.2 模糊集合的基本概念1.3 模糊数学的应用领域第二章：模糊集合的基本运算2.1 模糊集合的并、交、补运算2.2 模糊集合的余集、商集运算2.3 模糊集合的运算规律与性质第三章：模糊逻辑与模糊推理3.1 模糊逻辑的基本概念3.2 模糊推理的基本方法3.3 模糊推理的应用实例第四章：模糊控制系统4.1 模糊控制系统的原理与结构4.2 模糊控制规则的制定方法4.3 模糊控制系统的仿真与优化第五章：模糊数学在工程与应用领域的应用5.1 模糊数学在模式识别中的应用5.2 模糊数学在中的应用5.3 模糊数学在优化方法中的应用第六章：模糊数学在决策分析中的应用6.1 模糊决策树6.2 模糊综合评价方法6.3 模糊多属性决策方法第七章：模糊数学在控制理论与应用中的扩展7.1 模糊PID控制器设计7.2 模糊自适应控制方法7.3 模糊控制系统的稳定性分析第八章：模糊数学在信号处理中的应用8.1 模糊信号处理的基本概念8.2 模糊滤波器设计8.3 模糊信号识别与分类第九章：模糊数学在机器学习与数据挖掘中的应用9.1 模糊聚类分析9.2 模糊神经网络9.3 模糊数据挖掘方法第十章：模糊数学在其它领域的应用及发展趋势10.1 模糊数学在生物学中的应用10.2 模糊数学在环境科学中的应用10.3 模糊数学的未来发展趋势重点和难点解析一、模糊数学简介难点解析：理解模糊数学的哲学背景与发展历程，以及模糊集合的隶属度函数和二、模糊集合的基本运算难点解析：掌握模糊集合运算的规则，以及如何通过模糊集合的运算得到新的模糊集合。
三、模糊逻辑与模糊推理难点解析：理解模糊逻辑的推理规则，以及如何应用模糊推理解决实际问题。
四、模糊控制系统难点解析：掌握模糊控制系统的构建和运作机制，以及如何制定合适的模糊控制规则。
五、模糊数学在工程与应用领域的应用难点解析：了解模糊数学在不同领域中的应用方法，以及如何将模糊数学应用于实际问题。
模糊数学讲义第二章
则称T是一个t 模.
常见的t-模：
(1)Tmin ( x, y ) min( x, y ) x y; (2) TL ( x, y) max(0, x y 1);
x (3) T0 ( x, y ) y 0
(4) T ( x, y ) xy.
y 1 x 1 其它
随着x增加，Y (x)减小
Y (25) 1, Y (30) 0.5 Y (60) 0.02
1
0 .5 25 30 60
注记：
• 普通集合是模糊集的特例，特征函数即为隶属函数
• 空集 的隶属函数为 ( x) 0 • 全集 X 的隶属函数为 X ( x) 1 • 模糊集的定义与上下文有关 • 表示法 (i) 论域无限时由隶属函数表出; (ii) 论域有限时表出方法如下：
不小 Ac , 不大 Bc , 不小也不大 Ac Bc c c c c A (1) 1 A(1) 0, A (2) 0.2, A (3) 0.4, A (4) 0.6 Ac (5) 0.8, Ac (6) Ac (7) Ac (8) Ac (9) Ac (10) 1
(5) 分配律(distributivity)
A ( B C ) ( A B) ( A C ) A ( B C ) ( A B) ( A C )
(6) 存在 0-1元 A A
A
A X X A X A
(7) 复原律(involution) c c (A ) A
若A B且A , A B, 则称A真包含 于B, 记为A B.
A 时， A B x X , A( x) B( x)且 x源自 X , A( x) B( x).
常见的t-模：
(1)Tmin ( x, y ) min( x, y ) x y; (2) TL ( x, y) max(0, x y 1);
x (3) T0 ( x, y ) y 0
(4) T ( x, y ) xy.
y 1 x 1 其它
随着x增加，Y (x)减小
Y (25) 1, Y (30) 0.5 Y (60) 0.02
1
0 .5 25 30 60
注记：
• 普通集合是模糊集的特例，特征函数即为隶属函数
• 空集 的隶属函数为 ( x) 0 • 全集 X 的隶属函数为 X ( x) 1 • 模糊集的定义与上下文有关 • 表示法 (i) 论域无限时由隶属函数表出; (ii) 论域有限时表出方法如下：
不小 Ac , 不大 Bc , 不小也不大 Ac Bc c c c c A (1) 1 A(1) 0, A (2) 0.2, A (3) 0.4, A (4) 0.6 Ac (5) 0.8, Ac (6) Ac (7) Ac (8) Ac (9) Ac (10) 1
(5) 分配律(distributivity)
A ( B C ) ( A B) ( A C ) A ( B C ) ( A B) ( A C )
(6) 存在 0-1元 A A
A
A X X A X A
(7) 复原律(involution) c c (A ) A
若A B且A , A B, 则称A真包含 于B, 记为A B.
A 时， A B x X , A( x) B( x)且 x源自 X , A( x) B( x).
模糊数学教学课件
1 简洁明了
教学课件应当避免过多 的文字和复杂的图表， 尽量通过简洁明了的方 式传达概念。
2 生动有趣
利用图像、案例和幽默 来激发学生的兴趣和参 与，增强教学效果。
3 重点突出
通过颜色、字体和布局 等方式，将重点内容突 出显示，帮助学生快速 理解和记忆重点知识。
案例分析和练习
案例分析
通过实际案例，深入探讨模糊数学在决策、评估 和优化等领域的应用。
模糊数学教学课件
在本课件中，我们将探索模糊数学的定义和基本原理，分享教学课件的设计 原则，并通过案例分析和练习来加深理解。同时，我们将评估课程教学效果， 总结教学经验，并展望未来发展和趋势。
模糊数学的定义
模糊数学是一种处理不确定性和模糊性的数学方法，它基于模糊集合理论和 模糊逻辑。通过引入模糊度概念，模糊数学可以更好地描述现实世界中存在 的模糊问题。
教学经验总结
通过多年的教学实践，我们总结出以下几点教学经验：灵活运用不同的教学 方法，充分利用案例和练习，建立良好的教学氛围，关注学生的反馈和需求。
未来发展和趋势
随着科技和社会的不断发展，模糊数学将在更广泛的领域得到应用，如人工 智能、大数据分析和智能交通等。我们将继续推动模糊数学的研究和教学， 培养更多的模糊数学人才。
练习
通过练习题，帮助学生巩固所学的模糊数学知识， 培养解决实际问题的能力。
课程教学效果评估
学生参与度提高
通过生动有趣的教学方式， 学生的参与度和学习兴趣得 到了显著提高。
理解和应用能力增 强
学生通过案例分析和练习， 对模糊数学的理论和应用有 了更深入的理解和认识。
学习成果显著
课程结束时，学生的考试成 绩明显提高，掌握了模糊数 学的基本概Hale Waihona Puke 和应用技巧。基本原理和理论
第二章 模糊控制的数学基础课件
3.矢量表示法/向量表示法
F ｛F (x1) F (x2 ) F (xn｝) F ｛F (x1)，F (x2 )，，F (xn ｝)
对于上例的模糊集合“舒适温度”可以用矢量/向量表示法表示为
舒适温度 0.25,0.5,0.1,0.5,0.25
23
2.2 模糊集合
2.序偶表示法 当论域上的元素为有限个时，定义在该论域上的模糊集还可用序偶
的形式表示为：
F （x1, F (x1))，（x2 , F (x2 ))，，（xn , F (xn ))
对于上例的模糊集合“舒适温度”可以用序偶法表示为
舒适温度 (0,0.25), (10,0.5), (20,1), (30,0.5), (40,0.25)
A {u u A}
15
2.1 经典集合的简要回顾
➢集合的直积
设A、B分别为论域U、V上的集合，由A和B的各自元素 a∈A及b∈B做成的序偶（a，b）组成的集合，称为A与B 的直积，记作A×B。即：
A×B={(a，b) a∈A，b∈B}
例：若A={a，b，c}，B={1，2}，则
A×B={(a, 1) (a, 2) (b, 1) (b, 2) (c, 1) (c, 2)}
❖ 模糊控制是建立在人工经验（定性的、不精确的）基础之 上的，模仿人类的思维方式，采用模糊数学对模糊现象进 行识别和判决，给出精确的控制量，对被控对象进行控制。 模糊数学是模糊控制的数学基础，
6
2.1 概述
模糊数学
➢模糊数学是模糊控制的数学基础，将模糊性和集合 论统一起来，在不放弃集合的数学严格性的同时，使 其吸取人脑思维中对于模糊现象认识和推理的优点。
计算隶属度的函数称为隶属函数。用 A (x)表示。
F ｛F (x1) F (x2 ) F (xn｝) F ｛F (x1)，F (x2 )，，F (xn ｝)
对于上例的模糊集合“舒适温度”可以用矢量/向量表示法表示为
舒适温度 0.25,0.5,0.1,0.5,0.25
23
2.2 模糊集合
2.序偶表示法 当论域上的元素为有限个时，定义在该论域上的模糊集还可用序偶
的形式表示为：
F （x1, F (x1))，（x2 , F (x2 ))，，（xn , F (xn ))
对于上例的模糊集合“舒适温度”可以用序偶法表示为
舒适温度 (0,0.25), (10,0.5), (20,1), (30,0.5), (40,0.25)
A {u u A}
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2.1 经典集合的简要回顾
➢集合的直积
设A、B分别为论域U、V上的集合，由A和B的各自元素 a∈A及b∈B做成的序偶（a，b）组成的集合，称为A与B 的直积，记作A×B。即：
A×B={(a，b) a∈A，b∈B}
例：若A={a，b，c}，B={1，2}，则
A×B={(a, 1) (a, 2) (b, 1) (b, 2) (c, 1) (c, 2)}
❖ 模糊控制是建立在人工经验（定性的、不精确的）基础之 上的，模仿人类的思维方式，采用模糊数学对模糊现象进 行识别和判决，给出精确的控制量，对被控对象进行控制。 模糊数学是模糊控制的数学基础，
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2.1 概述
模糊数学
➢模糊数学是模糊控制的数学基础，将模糊性和集合 论统一起来，在不放弃集合的数学严格性的同时，使 其吸取人脑思维中对于模糊现象认识和推理的优点。
计算隶属度的函数称为隶属函数。用 A (x)表示。
模糊集的基本运算
定义 偏序集 (L, )称为格, 如果a, bP, 上确界a∨ b 与下确界a∧b都存在。
任意子集都有上、下确界的格称为完备格。 上、下确界运算满足分配律的格称为分配格, 这里 分配律指有限分配律。
定理 设(L, )为格, 则上、下确界运算满足: (1) 幂等律: a∨a=a, a∧a=a; (2) 交换律: a∨b=b∨a, a∧b=b∧a; (3) 结合律: (a∨b)∨c=a∨(b∨c),
例如, 论域X为1到10的所有正整数, 模糊集“近似 于5”A可表示为：
A 0 /1 0 / 2 0.3 / 3 0.7 / 4 1/ 5 1/ 6 0.7 / 7 0.3 / 8 0 / 9 0 /10
或 A 0.3 / 3 0.7 / 4 1/ 5 1/ 6 0.7 / 7 0.3 / 8 或 A (0, 0, 0.3, 0.7,1,1, 0.7, 0.3, 0, 0)
1 A(x) 0
xa xa
1
xa
A(x) ek(xa) x a, k 0
A(
x)
1 ek
( xa )2
xa x a, k 0
1
A(
x)
1
1 b(x a)c
xa x a (b, c 0)
1
xa
A(
x)
1 2
1 2
sin
b
a
[
x
a
2
b
]
0
xb
a xb
1
A(
x)
b b
x a
A={(x1, 0.55), (x2, 0.78), (x3, 0.91), (x4, 0.56)}.
2) 向量表示法
当论域X={x1, x2, …, xn}时, X上的模糊集A可表示为向量 A=(A(x1), A(x2), …,A(xn)).
模糊数学原理与应用
共十六个。
14
经典集合的一些性质
设A, B是X的任意两个子集，记
A, B∈P(X), A∪B, A∩B和Ac分别表示A和
B的并集、交集和A的余（补）集。
15
集合的并、交、补运算
对于A,B,C P(X)，集合的并、交、余运算具有 如下性质： 幂等律 A∪A=A , A∩A=A 交换律 A∪B=B∪A , A∩B=B∩A 结合律 (A∪B)∪C=A∪(B∪C) ,
举例：X={上海,北京,天津,西安}为城市的集合。 模糊集合 C = “对城市的爱好”可以表示为：
C = {(上海,0.8),(北京,0.9), (天津,0.7),(西安,0.6)}
又：X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}为一个家庭可拥有自行车数目的集合
模糊集合 C = “合适的可拥有的自行车数目” C = {(0, 0.1),(1, 0.3),(2, 0.7),(3, 1.0),(4, 0.7),(5, 0.3),(6, 0.1)}
26
举例说明
例，某人事部门要对五个待安排的职员的工作能力
打分，亦即x1,x2,x3,x4,x5,设论域： U = {x1,x2,x3,x4,x5}
现分别对每个职员的工作能力按百分制给出，再除 以１００，这实际上就是给定一个从Ｕ到［０， １］闭区间的映射，例如：
x1 85分 即μＡ(x1)=0.85 x2 75分 即μＡ(x2)=0.75 x3 98分 即μＡ(x3)=0.98 x4 80分 即μＡ(x4)=0.80 x5 60分 即μＡ(x5)=0.60
(A ∩B)C=AC∪BC
2.2 模糊集合
经典集合论的特点
非真即假 ，如，A={X|X>6}
一事物要么属于某集合，要么就不属于， 这里没有模棱两可的情况 精确集合的隶属函数是分段函数：
14
经典集合的一些性质
设A, B是X的任意两个子集，记
A, B∈P(X), A∪B, A∩B和Ac分别表示A和
B的并集、交集和A的余（补）集。
15
集合的并、交、补运算
对于A,B,C P(X)，集合的并、交、余运算具有 如下性质： 幂等律 A∪A=A , A∩A=A 交换律 A∪B=B∪A , A∩B=B∩A 结合律 (A∪B)∪C=A∪(B∪C) ,
举例：X={上海,北京,天津,西安}为城市的集合。 模糊集合 C = “对城市的爱好”可以表示为：
C = {(上海,0.8),(北京,0.9), (天津,0.7),(西安,0.6)}
又：X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}为一个家庭可拥有自行车数目的集合
模糊集合 C = “合适的可拥有的自行车数目” C = {(0, 0.1),(1, 0.3),(2, 0.7),(3, 1.0),(4, 0.7),(5, 0.3),(6, 0.1)}
26
举例说明
例，某人事部门要对五个待安排的职员的工作能力
打分，亦即x1,x2,x3,x4,x5,设论域： U = {x1,x2,x3,x4,x5}
现分别对每个职员的工作能力按百分制给出，再除 以１００，这实际上就是给定一个从Ｕ到［０， １］闭区间的映射，例如：
x1 85分 即μＡ(x1)=0.85 x2 75分 即μＡ(x2)=0.75 x3 98分 即μＡ(x3)=0.98 x4 80分 即μＡ(x4)=0.80 x5 60分 即μＡ(x5)=0.60
(A ∩B)C=AC∪BC
2.2 模糊集合
经典集合论的特点
非真即假 ，如，A={X|X>6}
一事物要么属于某集合，要么就不属于， 这里没有模棱两可的情况 精确集合的隶属函数是分段函数：
模糊数学基础
1 1 1 1
这是因为R
2 0.4
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1 1 1
例3.由模糊相似关系到模糊等价关系： 平方法
1 0.2 0.3 0.4
设R 0.2 1 0.7 0.9
0.3 0.7 1 0.8
0.4 0.9 0.8
1
1 0.2 0.3 0.4 1 0.2 0.3 0.4
则 R2 0.2 1 0.7 0.9 0.2 1 0.7 0.9
其中 x j
1 n
n i 1
xij ,
sj
1 n
n i 1
( xij
xj )2
平移 • 极差变换
xij
max{
xij xij |1
min{ xij i n}
|1 i min{ xij
n} |1
i
n}
模糊相似矩阵建立方法
相似系数法 ----夹角余弦法
m
xik x jk
rij
k 1
R 是 X 上各元素之间的模糊关系，若R 满足：对于任意的x，y，
(1) 自反性：R( x , x ) = 1； (2) 对称性 ：R( x , y ) = R( y , x ) ，
则称模糊关系 R 是 X 上的一个模糊相似 关系.
当论域X = {x1, x2, …, xn}为有 限时，X 上的一个模糊相似关系 R 诱导的模糊矩阵称为模糊相似 矩阵，即R满足：
表示方法3
模糊集的运算
相等：A = B A(x) = B(x)； 包含：AB A(x)≤B(x)； 并：A∪B的隶属函数为
(A∪B)(x)=A(x)∨B(x)； 交：A∩B的隶属函数为
(A∩B)(x)=A(x)∧B(x)； 余：Ac的隶属函数为
模糊数学 第二章
P p1 , p2 ,, pm
以互补性准则为基础的非结构性 决策单元系统 具体方法与步骤如下： 设系统有n个样本组成样本集：
X x1 , x2 ,, xn
A 样本 x j 有m个目标就模糊概念“优越性” 对样本进行识别。 ~
设目标对 的相对隶属度矩阵为： A
~
r11 r12 r1n r21 r22 r2 n R rij rm1 rm 2 rmn
~
以互补性准则为基础的非结构性 决策单元系统
1 r11 1 r12 1 r1n 1 r21 1 r22 1 r2 n W ij 1 rm1 1 rm 2 1 rmn
(2-41)
（“和”中均不包括对角线0.5） 归一化即可得到目标集P的权向量，其中：
以互补性准则为基础的非结构性 决策单元系统
i
2 it
t 1
m
m(m 1)
i 1,2,, m, i t
§2.5 确定目标权重的相对隶属度理论与方法
这是确定目标权重的另一方法。“重要”与“不重要”是一对 相对概念，具有中间过渡性。因此确定目标权重，可以确定目标隶 属于”重要性”这一模糊概念的相对程度，简称目标相对重属度。 在论域P中，理想重要目标I=（1，1…，1）。理想不重要目标 O=（0，0，…，0），作为重要与不重要的相对比较标准。 设P为论域，即m个目标组成的目标集：
i d k i d l , 记标度i ekl 1, i elk 0 i d k i dl , i ekl i elk 0.5 d d i ekl 0, i elk 1 i k i l
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度低，则控制电压就大；否则，控制电压就小”时，如
果温度很低，则控制电压将该多少呢？ (2) 定义及表示 定义：含有一个条件变量和两条推理规则的推理方式。 条件变量：温度 推理规则：两条
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模糊条件推理可表示为
前提：如果x是 A
结论：y是？
规则：如果x是 A ，则y是 B ；否则y是 C
定义：含有多个 ( 一般不超过两个 ) 条件变量和一条推理
条件变量：速度误差 和速度误差变化量
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两输入模糊推理可表示为
前提：如果x是 A ，且y是
结论：z是？
规则：如果x是 A ，且y是 B ；则z是 C
B
x和y条件变量，z结论变量，均为语言变量，其论域 为U1, U2和V。 求出模糊集合“？”，推知表示的语言值，得到推理结论。
求出模糊集合 “ ？ ” ，推知表 示的语言值，得到推理结论。
x条件变量，y结论变量，均为语言变量，其论域为U和V
量论域为V上的语言值。
A 和 A是条件论域U上的两个语言值； B 和 C 是结论变
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(3) 与近似推理模糊规则的异同
该模糊规则可拆分为：
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(3) 模糊蕴涵关系 规则：如果x是 A ，且y是 B ；则z是 C
规则的前件与x、y均有关系。该规则可写为 如果(x, y)是 A B ，则z是 C 。这转化为近似推理
可见模糊蕴涵关系为
是 U1 U 2 上的模糊集合
R A B C
智能控制基础
第二章 模糊数学基础
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1
前面课程回顾
(1) 模糊逻辑（重点——模糊语言逻辑） (2) 模糊推理（重点——近似推理）
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பைடு நூலகம்
2
本节课的主要内容
(1) 模糊推理（模糊条件推理、多输入模糊 推理、多输入多规则推理）
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3
2. 模糊条件推理 (1) 工程背景 在控制系统，如下问题更常见：当规则为“如果温
解：(1) 求取模糊蕴含关系
A B A B
Ac C Ac C
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1 0.8 0.5 0.2 0.8 0.5 0.2 0.4 0.4 0.2 A B A B 0.4 0.1 0.1 0.1 0.1 0 0 0 0 Ac C Ac C 0.6 0.5 0.6 0.7 0.5 0.6 0.6 0.5 0.6 0.7 0.9 0.8 0.5 0.2 0.5 0.6 0.6 0.5 0.6 0.7
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例4：设一个系统的输入为 A 时，输出 B 为，否则输出
为 C。在输入论域U={u1,u2,u3}和输出论域V={v1,v2,v3}
1 0.4 0.1 A u1 u2 u3
0.8 0.5 0.2 B v1 v2 v3
0.5 0.6 0.7 C v1 v2 v3 0.2 1 0.4 如果系统的输入为 A ，求相应的输出 D u1 u2 u3
R A B C
R A B C
m1· m2行n列的模糊矩阵，也可是m1· m2· n的向量
问题：以模糊矩阵合成的角度， A B 与 C 能否完成合
成运算
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T A B 将 构成一个m1· m2行1列的模糊矩阵，记为 A B
R A B Ac C
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(2) 求取输出 D
0.8 0.5 0.2 0.5 0.6 0.6 D A R 0.2 1 0.4 0.5 0.6 0.7
可以采用任何的模糊集 合方法表示
13
是 U1 U2 V 上的模糊集合
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设U1、U2、V的元素个数分别为m1、m2、n，则 U1 U 2 和 U1 U2 V 分别包含m1· m 2和 m 1· m2· n 个元素； 可以采用模糊矩阵表示，也可以采用向量表示。 若采用玛丹尼方法则 R 可表示为
0.5 0.6 0.6
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3. 多输入模糊推理 (1) 工程背景
问题：在恒速控制系统中，设计两输入单输出模糊
控制器时，经常遇到如下推理规则：“如果速度误差较 大，且速度误差的变化量也较大，那么，加大控制电 压”。问：如果速度误差较小，且速度误差的变化量也 较小，则控制电压将如何调节呢？ (2) 定义及表示 规则的推理方式。 推理规则：一条
规则1：如果x是 A ，则y是 B ；
c 规则2：如果x是 A ，则y是 C ；
可见每一条规则均与近似推理中的规则相同，两条
规则间是“模糊析取(或)”的关系。 (4) 模糊蕴涵关系 规则1和规则2确定的U×V上的模糊蕴含关系分别为
A B 和 Ac C 。则模糊蕴含关系为 R A B Ac C
R A B C 例5：已知模糊规则：“如果e是 A，且ec是 B ，则u是 C ” 其中，A, B, C 分别是论域E={e1,e2},EC={ec1,ec2,ec3}, U={u1,u2,u3} 上的语言值，且
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可以采用扎德方法，也可以采用玛丹尼方法，但二
者应采用相同的方法。采用玛丹尼方法得到的模糊矩阵。
(5) 模糊推理结果 结论中的语言值为 B ，它可以通过 A 与 R 的合成 得到。
B A R A (u ) R (u, v) V uU