2020届陕西省2017级高三4月二模考试数学(理)试卷参考答案
2020届陕西省咸阳市2017级高三第二次高考模拟考试数学(理)试卷及解析
2020届陕西省咸阳市2017级高三第二次高考模拟考试数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)注意事项：1.本试卷共4页满分150分,时间120分钟；2.答卷前,考生须准确填写自己的姓名、准考证号,并认真核准条形码上的姓名、准考证号；3.第Ⅰ卷选择题必须使用2B 铅笔填涂,第Ⅱ卷非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写,涂写要工整、清晰；4.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U =R ,{}|0A x x =>,{}|1B x x =>-,则()⋂=U C A B （ ）A. (]1,0-B. ()1,1-C. ()1,-+∞D. [)0,1 【答案】A【解析】直接用补集,交集的概念运算即可.【详解】{}|0A x x =>,{}|1B x x =>-,{}|0U C A x x =≤,则()(]1,0U C A B =-. 故选：A.2.已知复数41z i =+（i 为虚数单位）,则z 的虚部为（ ） A. 2B. 2iC. 2-D. 2i - 【答案】C【解析】按照复数的运算法则进行计算即可得出虚部.【详解】由题意得:44(1)4(1)221(1)(1)2i i z i i i i --====-++-,∴z 的虚部为2-.故选：C.3.已知向量()1,3a =,()3,2b =,向量a 在向量b 上的投影等于（ ） A. 910 B. 9 C. −3 D. 913 【答案】D 【解析】求出b 以及a b ⋅的值,即可求出向量a 在向量b 上的投影.【详解】解:由题意知,223213b =+=,13329a b ⋅=⨯+⨯=则913cos ,13a b a a b b ⋅== 故选:D. 【点睛】本题考查了向量投影的概念,考查了向量的数量积,考查了向量的模.在求一个向量a 在另一个向量b 的投影时,有两种做题思路:一是直接求,即cos ,a a b ;另外还可以由向量数量积的运算可知, cos ,a ba ab b ⋅=.4.古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数,如1,3,6,10,15,,我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”,其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”垛（如图所示,顶上一层1个球,下一层3个球,再下一层6个球,）若一“落一形”三角锥垛有10层,则该堆第10层球的个数为（ ）.A. 66B. 55C. 45D. 38【答案】B【解析】 根据三角形数的特征可得通项公式22n n n a +=,代入10n =可得选项.。
【陕西省师大附中】2017年高三年级第二次模考试题数学(理科)试卷(附答案)
P Q =（ C ．{1,0,1,2,3}-B ．2-C ．已知向量(1,1)a =，2(4,2)a b +=，则向量,a b 的夹角的余弦值为（B ．310-C 8．执行如下图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是（ ）2y-的最大值为（1C．A B，则tan32i i1nnT b==∑，求n T ．18．如图，在ABC △中，已知点D E 、分别在边AB BC 、上，且3AB AD =，2BC BE =． （1）用向量AB 、AC 表示DE ；（2）设6AB =，4AC =，60A =︒，求线段DE 的长．19．如图，AC 是圆O 的直径，点B 在圆O 上，30BAC ο∠=，BM AC ⊥交AC 于点M ，EA ⊥平面ABC ，FC EA ∥，4AC =，3EA =，1FC =．（1）证明：EM BF ⊥；（2）求平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值．20．已知圆22:1O x y +=和定点(2,1)A ，由圆O 外一点(,)P a b 向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，且满足||||PQ PA =．（1）求实数a b 、间满足的等量关系； （2）求线段PQ 长的最小值；（3）若以P 为圆心所作的圆P 与圆O 有公共点，试求半径取最小值时圆P 的方程．2,)，在（2题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分|||OB 的最大值．：不等式选讲． |1|x -+1(n n ++-）由题意可得：21DE DB BE AB BC =+=+21()AB AC AB =+-11AB AC =+ ）由1162DE AB AC =+可得： 2222211111||()624DE DE AB AC AB AB AC AC==+=++664cos60473664=⨯+⨯⨯⨯︒+⨯=. ）EA ⊥平面．又BM AC ⊥EA AC A =，BM ∴⊥平面.而EM ⊂平面AC 是圆O 的直径，∴ABC ∠又BAC ∠=EA ⊥平面EAM △与△EMF ∴∠MF BM M =而BF MBF ⊂平面（2）（理）如图，以∴(3,3,3),(3,1,1)BE BF =--=-设平面BEF 的法向量为(,,)n x y z =由0n BE =，0n BF =，得⎧-⎪⎨3x =得1y =，2z =，=(3,1,2)n ∴，所以取面ABC 的法向量为(0,0,3)AE =3,|n AE 〈〉=，Q为切点，22-OP OQ2+∞)(,2 <.OB=|||2cosπθ+∈2],4∴2sin(2陕西省2017年师大附中高三年级第二次模考试题数学（理科）试卷解析1．考点：1复数的运算；2复数与复平面内的点一一对应．２．【解析】因为，，所以；故选D.３．４．【解析】命题对任意的，都有的否定为；故选D.５．【解析】由题意，得，因为数列也是等比数列，所以，即，解得；故选C.点睛：本题若直接套用等比数列的求和公式进行求解，一是计算量较大，二是往往忽视“”的特殊情况，而采用数列的前三项进行求解，大大降低了计算量，也节省的时间，这是处理选择题或填空题常用的方法.６．【解析】因为向量，，所以，则向量的夹角的余弦值为；故选C.７．【解析】函数是偶函数，等价于，即；故选A.８．考点：程序框图.９．【解析】已知双曲线的离心率是2,故2===,解得=,所以==a+≥,当且仅当a2=时等号成立,故最小值是.故选A.１０．１１．【解析】因为函数为偶函数，所以，即函数的图象关于直线对称，即，又因为当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，因为，所以，即；故选D.点睛：本题的难点是由函数为偶函数得到函数的图象关于直线对称，也是学生易错点，特别要强调为偶函数.１２．点睛：在利用两角和与差公式或二倍角公式进行恒等变形时，记住一些常见变形可起到事半功倍的效果，如：；等.１３．【解析】１４．点睛：本题主要考查分段函数的图像与性质，其中分段函数的分段点是含有参数的，考查两个函数图像的交点，这是数形结合的数学思想，还考查了动态函数的观点.由于分段函数的分段点是含有参数的，所以需要将两个部分函数图像先行画出，并且画出的图像，然后平移，查看交点的个数，由此判断的取值范围.１５．略１６．考点：1、三棱锥的外接球；2、球面的表面积．１７．１８．【解析】试题分析:（1）现将转换为，然后利用题目给定的比例，将其转化为以为起点的向量的形式.（2）由（1）将向量两边平方，利用向量的数量积的概念，可求得.１９．２０．略２１．【解析】试题分析：（1）求导，利用导函数的零点，研究导函数的符号变化，进而确定函数的极值点；（2）求导、作差、分离常数，将问题转化为，，再转化为求函数的最值问题；（3）利用数学归纳法进行证明２２．考点：1.参数方程与普通方程互化；2.三角函数的最值.２３．。
2020届陕西省榆林市2017级高三高考线上模拟考试数学(理)试卷参考答案
(2)设直线 AB 的倾斜角为α，由(1)可得：|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝4(1＋k2)＝4(1＋tan2α)＝
co4s2α，…………………………………………………………………………………………8 分 ∴|MN|＝cos2(α4＋90°)＝sin42α，………………………………………………………………10 分 ∴四边形 AMBN 的面积为：12|AB|×|MN|＝sin2α8cos2α＝sin3222α≥32，当且仅当α＝45°或 135°，
3sinαcosα＝
3sin2α－cos2α＋1
2sin(2α－π)＋1
＝
6≤
1，α＝
π时取等
|OB|
6
6
6
2
3
号．……………………………………………………………………………………………10 分
23．[选修 4－5：不等式选讲](10 分)
4－3x，x≤0 (1) f(x)＝2| x|＋ |x －4|＝ x＋4，0＜x＜4，…… …… ……… …… ……… …… ……… 3 分
绝密★启用前
2020 年榆林市高三线上质量检测
理科数学参考答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案 C D D B A C A B D D C B
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
题号
13
14
15
16
答案
…………………………………………………………………………………………………5 分
(2)∵C3：kx－y＝0(k＞0)，∴θ＝α(α为锐角)，………………………………………………6 分
2020年陕西高三二模数学试卷(理科)
解析:
（ 1 ）由已知得
．
则
，
由
，得
，
由
，得
，
∴函数
在
上单调递减，在
上单调递增．
（ 2 ）由
，
得
，
若
，则
， 单调递减，而
，
∴ 有一个零点．
若
，可得当
时，
，
当
时，
．
14
∴在
上单调递增．在
上单调递减，
∴
．
令
，
则
．
当
时，
．
当
时，
，
∴ 在 上单调递减，在
上单调递增，而
．
∴当
时，
， 有两个零点．
当
时，
， 有一个零点．
，考虑到 ， 关于 轴对称，不妨设
，
，
则点 ， 的坐标分别为
，
，
此时 综上，
． 的面积为定值 ．
22.（ 1 ）直线 的直角坐标方程为
，曲线 的普通方程为
．
（2） ．
解析:
（ 1 ）由
，得
，
由
，
，得
，
因为
，消去 得
，
所以直线 的直角坐标方程为
，曲线 的普通方程为
．
（ 2 ）点 的直角坐标为 ，点 在直线 上，
非高薪收入群体
高薪收入群体 高薪收入群体
合计 合计
专业 专业
合计
，
所以在犯错误的概率不超过
的前提下能够判断“高薪收入群体”与所学专业有关．
（ 2 ）1 月薪频率分布表如下：
月薪（百元）
人数
频率
2020年陕西高三二模数学试卷(理科)
2020年陕西高三二模数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ）．A. B. C. D.2.已知集合 ,，则 （ ）．A. B. C. D.3.若变量，满足约束条件，则目标函数的最小值是（ ）．A. B. C. D.4.已知向量，满足，，则在上的投影为（ ）．A. B. C. D.5.已知函数，若，则满足条件的实数的个数是（ ）．A.B.C.D.6.设，其正态分布密度曲线如图所示，点，点，点，点，向正方形内任意投掷一粒黄豆，则该黄豆落入阴影部分的概率是（ ）．（注：，则，，）A.B.C.D.7.在公差不为的等差数列中，，，则（ ）．A.B.C.D.8.已知，且，，则（ ）．A.B.C.D.9.若将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象关于坐标原点对称，则的最小值为（ ）．A.B.C.D.10.在直三棱柱中，，，若该三棱柱的六个顶点都在同一个球面上，且，则该球的表面积的最小值为（ ）．A.B.C.D.11.已知抛物线，点，直线过焦点且与抛物线交于，两点，若，则的面积为（ ）．A.B.C.D.12.已知函数，，若存在，对任意，都有，则实数的取值范围是（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图是样本容量为的频率分布直方图，根据该图估计该样本数据的中位数与平均数的差的绝对值是 ．频率组距14.在的展开式中，的系数为，则．15.在，为的中点，且，若，则的周长为 ．16.已知双曲线，过双曲线的左焦点作一斜率为的直线交双曲线的左支于，两点，若以为直径的圆过坐标原点，则双曲线的离心率为 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.如图，正四棱锥的底边长为，侧棱长为，为上一点，且，点，分别为，上的点，且．证明：平面平面．求锐二面角的余弦值．（1）（2）18.已知正项数列的前项和为， ，．求数列的通项公式．若数列满足，令，求证：．19.某市正在进行创建全国文明城市的复验工作，为了解市民对“创建全国文明城市”的知识知晓程度，某权威调查机构对市民进行随机调查，并对调查结果进行统计，共分为优秀和一般两类，先从结果中随机抽取份，统计得出如下列联表：优秀一般总计男女总计（1）（2）（3）根据上述列联表，是否有的把握认为“创城知识的知晓程度是否为优秀与性别有关”？现从调查结果为一般的市民中，按分层抽样的方法从中抽取人，然后再从这人中随机抽取人，求这三位市民中男女都有的概率．以样本估计总体，视样本频率为概率，从全市市民中随机抽取人，用表示这人中优秀的人数，求随机变量的期望和方差．附：（其中）．（1）（2）20.已知函数．求函数的极值．当时，若函数有两个极值点，，且，求证：．（1）（2）21.已知椭圆：的离心率为，点的坐标为，且椭圆上任意一点到点的最大距离为．求椭圆的标准方程．若过点的直线与椭圆相交于，两点，点为椭圆长轴上的一点，求面积的最大值．四、选择题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程．若射线与直线和曲线分别交于，两点，求的值．23.设函数的最小值为．【答案】解析:方法一：本题考查复数的运算．由题意得，∴的虚部为，故选．方法二：∵，∴的虚部为，故选．解析:本题考查集合并集的运算．由题意可知集合，∴．故选．解析:本题考查简单的线性规划．如图所示，图中的阴影部分为不等式组所表示的平面区域（含边界），（1）（2）求的值．若，求证：．C1.B2.A3.其中，， ．先作出的图象，然后通过平移，发现当目标函数的图象经过点时，取到最小值，故选．解析:本题考查平面向量的数量积及向量的投影．由题可得，，∴，∴在上的投影为，故选．解析:本题考查分段函数及分段函数的图象．作函数的图象如图所示，x123y12O由题意可得当时，；当时，．若，则或，解得或，则或，结合函数图象可知的取值有个．故选．解析:B 4.D 5.A 6.本题考查几何概型与正态分布的相关概率的运算．由题意可得正态分布密度曲线的对称轴是，则，标准差是，而，∴，∴图中阴影部分的面积为．记“黄豆落入阴影部分”为事件，则， 故正确，错误．故选．解析:本题考查等差数列的通项公式，由题意可设数列的公差为（），则通项公式，∴，，，，∴，解得（舍去），∴．故选．解析:本题考查三角恒等变换，由题意可得，∵，∴，∴．故选：．解析:本题考查三角函数图象的平移变换与性质．由题意可得平移后的函数解析式为，若该函数图象关于坐标原点对称，则，阴影部分的面积正方形面积A 7.D 8.C 9.解得．∵，∴，∴∴的最大值为，∴．故选．解析:由题意可知外接圆的半径．设该三棱柱外接球的半径为，则．由可得，∴，∴，当且仅当，时取得最小值，∴该三棱柱外接球的表面积的最小值为．故选．解析:方法一：由题意可得抛物线的焦点，设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程得，即，设，两点的坐标为，，则由韦达定理可得，D 10.B 11.，∴，，∴，∴，∴直线的方程为，则点到直线的距离为，∴的面积为．故选．方法二：由题意可得抛物线的焦点，设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程得，即，设，两点的坐标为，，则由韦达定理可得，，∴，∴，即，∵，∴．故选．解析:本题考查函数的图象与性质、导函数及利用导函数解不等式．由题意可得，C 12.令，得，而，，，∴，，∴，∵，令，得，而，，，∴，，∴．由题意可知存在，对任意，都有等价于，即，∴，故选．解析:由样本容量为的频率分布直方图，知：的频率为，的频率为，∴该样本数据的中位数为：，该样本数据的平均数为：，∴该样本数据的中位数与平均数的差的绝对值为：，故答案为：．解析:本题考查二项式定理．∵展开式的通项为，13.或14.则由可知，展开式中的系数为，∴，即，解得或．15.解析:本题考查余弦定理．令，则，，则 ．∵，∴．又点为的中点，∴，在中，由余弦定理得，∴，∴， ，故的周长为 ．16.解析:本题考查双曲线的离心率、直线与双曲线的位置关系．设直线的方程为，与双曲线的方程联立可得，化简得，令，，则，，，∵以为直径的圆过坐标原点，∴，∴，∴，∴，即，又∵，，代入化简可得，即，（1）（2）又∵双曲线的离心率，∴．解析:∵，且，∴四边形为平行四边形，∴．∵，，，∴，∴．∵，平面，，，平面，，∴平面平面．如图：如图，连接，相交于点，连接．∵四棱锥为正四棱锥，∴，，又，∴，且，同理可得，∴，，两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，．，，，（1）证明见解析．（2）．17.，，，，（1）（2）∴，，，令平面的法向量为，则，即，解得，∴取，则，，故，同理可得平面的一个法向量，∴，∴锐二面角的余弦值为．解析:由题意可得当时，，∴；当时，， ，∴，∵，∴，∴数列的奇数项是公差为的等差数列，偶数项也是公差为的等差数列，又∵ ，∴数列是公差为的等差数列，∴．由（）知，，，∴，，两式相减得，，（1）．（2）证明见解析．18.（1）（2）（3）（1）∴，∵当时，，∴．解析:由列联表可得，∴没有的把握认为“创城知识的知晓程度是否为优秀与性别有关”．调查结果为一般的市民中有男人，女人，人数之比为，所以按分层抽样抽取的人中，男人，女人．设“这三位市民中男女都有”为事件，则（或）．由列联表可得在样本中任选一人，其优秀的概率为，∴，，，，，，，∴~，∴，，∴随机变量的期望为，方差为．解析:由题意可得（1）没有．（2）．（3）期望，方差．19.（1）当时，函数的极大值为，极小值为；当时，无极值；当时，函数的极大值为，极小值为．（2）证明见解析．20.（2）（1），当时，，函数的单调性和极值如表：递增极大值递减极小值递增∴，；当时，，，，函数在上单调递增，∴无极值；当，，函数的单调性和极值如表：递增极大值递减极小值递增∴，，综上所述，当时，函数的极大值为，极小值为；当时，无极值；当时，函数的极大值为，极小值为．由题意得，即，，由（）可知，，∴， ，∴，令，则，∴在上单调递减，∴，即，∵，∴．解析:方法一：极大值极小值极大值极小值（1）．（2）．21.（2）由题意可得离心率，又，∴，，令点为椭圆上任意一点，则，∴，∴，，∴椭圆的标准方程为．方法二：由题意可得离心率，又，∴，，令椭圆上任意一点，∴，当时，，∴，满足；当时，，解得（负值舍去），，则，不满足条件，舍去．综上，，，椭圆的标准方程为．设点坐标为，直线的方程为 ，联立直线方程与椭圆方程化简得，令，两点的坐标分别为，，（1）由韦达定理可得，，则，化简得，点到直线的距离，∴的面积，令，则，,当时，，当且仅当，时等号成立，此时，∴，∵，∴当且仅当时，取到最大值为，此时面积取到最大值，即，此时直线的方程为，点的坐标为，综上，面积的最大值为．解析:由得，将（为参数）消去参数，得直线的普通方程为，由得，将，代入上式，得，（1）直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为．（2）．22.（2）（1）（2）所以曲线的直角坐标方程为．由（）可知直线的普通方程为，化为极坐标方程得，当时，设，两点的极坐标分别为，，则，，所以．解析:由可得，则．∵，∴．由（）可知，∴，（当且仅当时等号成立），∴，故．（1）．（2）证明见解析．23.。
陕西省2020届高三4月教学质量检测卷数学(理)试题含解析
１ ｅ∈
ｅ１２，ｅ ，而
ｇ
１ ｅ２
＝１－ｅ２２，ｇ
１ ｅ
＝１－
１ｅ，ｇ（ｅ）＝１＋ｅ，∴ｇ（ｘ）ｍａｘ＝ｇ（ｅ）＝１＋ｅ，ｇ（ｘ）ｍｉｎ ＝
( ) [ ] ｇ
１ ｅ
＝１－ １ｅ，∴ｇ（ｘ）∈ Ｂ＝ １－ １ｅ，１＋ｅ ．由题
[ ] 意可知存在 ｘ１∈［－２，２］，对任意 ｘ２∈ ｅ１２，ｅ ，都有
{ ｆ（ｘ１）＝ｇ（ｘ２）等价于 Ｂ Ａ，即 ａ－ １ ２－ １ｅ≤１－ １ｅ， １＋ｅ≤ ａ＋４＋２ｅ２，
９．Ｃ 【解析】本题考查三角函数图象的平移变换与性质．由
( ) 题意可得平移后的函数解析式为 ｙ＝２ｓｉｎ ３ｘ＋π４－３ａ ，
４．Ｂ 【解析】本题考查平面向量的数量积及向量的投影 ．
由题意可得 ｜ａ｜＝２，（ａ－２ｂ）·ａ＝０ ａ２－２ａ·ｂ＝０ ２｜ａ｜｜ｂ｜ｃｏｓ〈ａ，ｂ〉＝｜ａ｜２，∴｜ｂ｜ｃｏｓ〈ａ，ｂ〉＝１，∴ｂ在 ａ上的投影为 １，故选 Ｂ． ５．Ｄ 【解析】本题考查分段函数及分段函数的图象 ．作 函数 ｆ（ｘ）的图象如图所示，由题意可得当 ０＜ｘ≤１ 时，ｆ（ｘ）≥ ０；当 ｘ＞１时，ｆ（ｘ）≤ １．若 ｆ（ｘ）＝１，则 －ｌｎｘ＝１或 －ｘ２ ＋４ｘ－３＝１，解得 ｘ＝ １ｅ或 ｘ＝２，则 ｆ（ａ）＝ １ｅ或 ｆ（ａ）＝２，结合函数图象可知 ａ的取值有 ４个，故选 Ｄ．
２０２０年陕西省高三教学质量检测卷（二） 数学（理科） 答案详解
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ ＣＢＡ ＢＤＡ Ａ Ｄ ＣＤ Ｂ Ｃ
１．Ｃ 【解析】本题考查复数的运算 ．由题意得 ｚ＝１４＋ｉ＝ （１４＋（ｉ１）（－１ｉ）－ｉ）＝４（１２－ｉ）＝２－２ｉ，∴ｚ的虚部为 －２，故 选 Ｃ． 【一题多解】∵ｚ＝１４＋ｉ＝２（１＋１ｉ）＋（ｉ１－ｉ）＝２（１－ｉ）＝２－ ２ｉ，∴ｚ的虚部为 －２，故选 Ｃ．
【陕西省师大附中】2017年高三年级第二次模考试题数学(理科)试卷及答案
P Q =（ C ．{1,0,1,2,3}-B ．2-C ．已知向量(1,1)a =，2(4,2)a b +=，则向量,a b 的夹角的余弦值为（B ．310-C 8．执行如下图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是（ ）2y-的最大值为（1C．A B，则tan32i i1nnT b==∑，求n T ．18．如图，在ABC △中，已知点D E 、分别在边AB BC 、上，且3AB AD =，2BC BE =． （1）用向量AB 、AC 表示DE ；（2）设6AB =，4AC =，60A =︒，求线段DE 的长．19．如图，AC 是圆O 的直径，点B 在圆O 上，30BAC ο∠=，BM AC ⊥交AC 于点M ，EA ⊥平面ABC ，FC EA ∥，4AC =，3EA =，1FC =．（1）证明：EM BF ⊥；（2）求平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值．20．已知圆22:1O x y +=和定点(2,1)A ，由圆O 外一点(,)P a b 向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，且满足||||PQ PA =．（1）求实数a b 、间满足的等量关系； （2）求线段PQ 长的最小值；（3）若以P 为圆心所作的圆P 与圆O 有公共点，试求半径取最小值时圆P 的方程．2,)，在（2题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分|||OB 的最大值．：不等式选讲． |1|x -+1(n n ++-）由题意可得：21DE DB BE AB BC =+=+21()AB AC AB =+-11AB AC =+）由1162DE AB AC =+可得： 2222211111||()624DE DE AB AC AB AB AC AC==+=++664cos60473664=⨯+⨯⨯⨯︒+⨯=. ）EA ⊥平面．又BM AC ⊥EA AC A =，BM ∴⊥平面.而EM ⊂AC 是圆O 的直径，∴ABC ∠又BAC ∠=EA ⊥平面EAM △与△EMF ∴∠MF BM M =而BF MBF ⊂平面（2）（理）如图，以∴(3,3,3),(3,1,1)BE BF =--=-设平面BEF 的法向量为(,,)n x y z =由0n BE =，0n BF =，得⎧-⎪⎨3x =得1y =，2z =，=(3,1,2)n ∴，所以取面ABC 的法向量为(0,0,3)AE =3,|n AE 〈〉=，Q为切点，2-OP OQ2+∞)(,2 <.OB=|||2cosπθ+∈2],4∴2sin(2陕西省2017年师大附中高三年级第二次模考试题数学（理科）试卷解析1．考点：1复数的运算；2复数与复平面内的点一一对应．２．【解析】因为，，所以；故选D.３．４．【解析】命题对任意的，都有的否定为；故选D.５．【解析】由题意，得，因为数列也是等比数列，所以，即，解得；故选C.点睛：本题若直接套用等比数列的求和公式进行求解，一是计算量较大，二是往往忽视“”的特殊情况，而采用数列的前三项进行求解，大大降低了计算量，也节省的时间，这是处理选择题或填空题常用的方法.６．【解析】因为向量，，所以，则向量的夹角的余弦值为；故选C.７．【解析】函数是偶函数，等价于，即；故选A.８．考点：程序框图.９．【解析】已知双曲线的离心率是2,故2===,解得=,所以==a+≥,当且仅当a2=时等号成立,故最小值是.故选A.１０．１１．【解析】因为函数为偶函数，所以，即函数的图象关于直线对称，即，又因为当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，因为，所以，即；故选D.点睛：本题的难点是由函数为偶函数得到函数的图象关于直线对称，也是学生易错点，特别要强调为偶函数.１２．点睛：在利用两角和与差公式或二倍角公式进行恒等变形时，记住一些常见变形可起到事半功倍的效果，如：；等.１３．【解析】１４．点睛：本题主要考查分段函数的图像与性质，其中分段函数的分段点是含有参数的，考查两个函数图像的交点，这是数形结合的数学思想，还考查了动态函数的观点.由于分段函数的分段点是含有参数的，所以需要将两个部分函数图像先行画出，并且画出的图像，然后平移，查看交点的个数，由此判断的取值范围.１５．略１６．考点：1、三棱锥的外接球；2、球面的表面积．１７．１８．【解析】试题分析:（1）现将转换为，然后利用题目给定的比例，将其转化为以为起点的向量的形式.（2）由（1）将向量两边平方，利用向量的数量积的概念，可求得.１９．２０．略２１．【解析】试题分析：（1）求导，利用导函数的零点，研究导函数的符号变化，进而确定函数的极值点；（2）求导、作差、分离常数，将问题转化为，，再转化为求函数的最值问题；（3）利用数学归纳法进行证明２２．考点：1.参数方程与普通方程互化；2.三角函数的最值.２３．。
2020届陕西省西安市2017级高三下学期第二次教学质量检测数学(理)试卷及解析
2020届陕西省西安市2017级高三下学期第二次教学质量检测数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1. 已知R 是实数集,集合{}|2A x Z x =∈<,{}|210B x x =-≥,则()R AC B =（ ） A. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. {}1 C. {}1,0- D. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 【答案】C【解析】先求得的集合{}1,0,1A =-,1|2B x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭,进而得到R C B ,再根据集合的交集的运算,即可求解.【详解】由题意,集合{}{}|21,0,1A x Z x =∈<=-,{}1|210|2B x x x x ⎧⎫=-≥=≥⎨⎬⎩⎭, 所以1|2R C B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭,所以(){}1,0R A C B =-.故选：C . 2. 已知i 是虚数单位,复数31i z i +=+,则复数z 的共扼复数为（ ） A. 12i +B. 12i -C. 2i +D. 2i -【答案】C【解析】由复数的除法运算求出z 后,根据共轭复数概念得结论． 【详解】∵()()()()3134221112i i i i z i i i i +-+-====-++-,∴z 的共轭复数为2z i =+． 故选：C ．3. 已知向量()5,a m =,()2,2b =-,若()a b b -⊥,则实数m = ( )A. -1B. 1C. 2D. -2【答案】B【解析】 根据向量坐标的线性运算得到a b -,再根据向量垂直的坐标表示,得到关于m 的方程,解出m 的值,得到答案.【详解】因为向量()5,a m =,()2,2b =-所以()3,2a b m +=+,因为()a b b -⊥,所以()0a b b -⋅= 所以()6220m -+=解得1m =.故选：B.4. 62x ⎫⎪⎭的展开式中常数项为（ ） A. 60B. 60-C. 192-D. 192【答案】A【解析】 利用二项式定理的通项公式,通过赋值法则问题得解.【详解】二项式62x ⎫⎪⎭的展开式的通项公式为()33162r r r x r T C x -+=⋅-⋅, 令3302r -=,求得2r ．可得展开式中常数项为()226260C -=． 故选：A ． 5. 某公司生产A ,B ,C 三种不同型号轿车,产量之比依次为2:3:4,为检验该公司的产品质量,用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本,若样本中A 种型号的轿车比B 种型号的轿车少8辆,则n =（ ）A. 96B. 72C. 48D. 36。
陕西省2020届高三4月模拟考试数学(理)试题
数学（理） 共6页 第2页 2020届高三（四月）模拟考试数学（理）试题本试卷满分150分，考试时间120分钟。
选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}{}31,062≤≤=≤--∈=x xN x x Z x M ，则=⋂N M （ ）A. [1，3）B. [1，3]C. {1，2}D. {1，2，3}2.若复数)3(2i i z +=，则的共轭复数z =（ ） A.i 26-B.i 62--C. i 62+-D. i 26+-3.若向量()3,2=a ，()3,x b =，且)2(b a a -⋅=3，则实数的值为（ ）A.21-B.21C. -2D. 24.某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：℃）满足函数关系bkx e y += （ 2.718e =L 为自然对数的底数，b k ,为常数），若该食品在 0℃的保鲜时间是192小时，在 22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（ ）小时. A. 22B. 23C. 33D. 245.已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为（ ） A. 32B. 33C. 34D. 356.设R b a ∈,，若b a >，则A.ba >B.b a 11<C. 22b a >D.b a 33>7.平面∥平面β，点∈C A ,βα∈D B ,,，则直线AC ∥直线BD 的充要条件是（ ） A.AB ∥CD B.AD ∥CB C.AB 与CD 相交 D.D C B A ,,,四点共面8.抛物线x y 42=的焦点是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的一个焦点，且它们的交点M 到的距离为35，则的数学（理） 共6页 第1页值为（ )A. 4B. 2C.31D.919.设函数)22sin(32cos )(x x x f ++=π，则下列结论错误的是（ ）A.π2-为)(x f 的一个周期B.)(x f y = 的图像关于直线2π=x 对称C.)(x f 的一个零点为4π=x D.)(x f 的最大值为210.已知542cos ),4,0(=∈a a π，则)4(sin 2π+a （ ） A.51B.52C.53D.5411.已知以双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 的右焦点为圆心，以为半径的圆与直线x a b y = 交于B A ,两点，若aAB 2=，求双曲线C 的离心率为（ ）A. 2B.3C.2D.2612.定义域为的函数)(x f 满足)(2)1(x f x f =+，且当(]1,0∈x 时，x x x f -=2)(，则当[]1,2--∈x 时，)(x f 的最小值为（ ）A.161-B.81-C.41D. 0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
陕西省2020届高三第二次教学教学质量检测数学(理)答案
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陕西省咸阳市2017届高三二模理数考试试题+Word版含解析
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集为实数集，集合，，则（ ）A. B.C.D.【答案】A【解析】 {|3=>N x x 或1},<-x {|13},{1,1,2}.=-≤≤⋂=-R R C N x x M C N 选A. 2.复数（为虚数单位）的虚部是（ ）A. 1B. -1C.D.【答案】B【解析】221(1)2,112i i iz i i i ---====-+-虚部是 1.- 选B. 3.已知命题：“”，命题：“直线与直线互相垂直”，则命题是命题的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要 【答案】A4.《张丘建算经》卷上一题为“今有女善织，日益功疾，且从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，现在一月（按30天计）共织布390尺，最后一天织布21尺”，则该女第一天共织多少布？（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C【解析】由题意，设第n 天织布为,n a 数列{}n a 是等差数列，公差为d ，11152129,16302939030292a a dd a d ==+⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨⨯==+⎪⎪⎩⎩所以第一天织布为5尺，选C.5.双曲线的一条渐近线方程为，则它的离心率为（ ）A. 2B.C.或D. 2或【答案】D6.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】该几何体是切掉了四分之一个球之后剩下的几何体，23414.4=+=S πππ⨯⋅表选B. 7.在等比数列中，已知是方程的两根，则（ ）A. 1B.C.D. 3【答案】A【解析】在等比数列{}n a 中，因为37,a a 是方程2610x x -+=的两个根，所以373760,10,a a a a +=>⋅=>所以3750,0,0,a a a >>>因为23751,a a a ⋅==所以51,a =选A. 8.设，则展开式的常数项为（ ）A. -20B. 20C. -160D. 160 【答案】D【解析】0(cos )|(cos )(cos 0)2,a x ππ=-=---= 所以6611(2=a x x x x++）（）展开式的通项为6262162,r rrr T C x--+=⋅⋅令620,3,2r r -==展开式的常数项为33462160.T C =⋅=选D. 9.设，执行如图所示的程序框图，从输出的结果中随机取一个数，则“”的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】该程序框图表示函数23,02;1,2 3.x x y x x +≤<⎧=⎨+≤≤⎩值域是[3,10],故[3,10],a ∈5a ≤的概率是532.1037-=-10.已知实数满足，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.【答案】C11.已知圆的半径为1，为该圆上四个点，且，则的面积最大值为（ ）A. 2B. 1C.D.【答案】B【解析】因为AB AC AD →→→+= ,所以四边形ABDC 为平行四边形,又因为 ABDC 都在圆上, 所以, ,AD BC 必为圆的直径, 0,90ACD BAC ∠=∠=四边形ABDC 为矩形,2,AD =222||||||4,AC AB AD +==221||||||||1,24ABCAC AB S AB AC +=⋅⋅≤=V 当且仅当||||AC AB =时取等号,选B. 点睛:由于,,,A B C D 都在圆周上且满足平行四边形法则，必有四边形ABDC 为矩形，再应用基本不等式求解面积的最值.12.已知定义在上的函数的导函数为，对任意满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D.【答案】A点睛:构造新函数()(),xg x e f x =结合已知判断()g x 的单调性. 13.已知函数，则__________．【答案】【解析】22(3)log 21,((3))(1)12 1.f f f f ====-=-14.观察下列式子：，，，…，根据以上规律，第个不等式是_________． 【答案】【解析】不等式左边共有n 项相加，第n 项是(1)n n +，不等式右边的数依次是2491625(1),,,,,.22222n +L 15.函数的图象可由函数的图象至少向左平移__________个单位长度得到． 【答案】.【解析】sin 32sin(),sin 32sin()33y x x x y x x x ππ=+=+=-=-，将2sin()3y x π=-向左平移23π得到2sin()3y x π=+的图像.16.已知一个三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的内切球的体积为__________．【答案】点睛:由题意知，该三棱锥是正三棱锥，可以计算出它的体积，该三棱锥内切球球心与四个侧面将正三棱锥体积分为四个小三棱锥的体积之和，用等体积法找出关于内切球半径的方程，从而求出半径与内切球体积. 17.设函数．（1）求函数的单调区间； （2）在锐角中，角所对的边分别为，若，，求面积的最大值．【答案】(I )增区间为递减区间为;(Ⅱ).【解析】试题分析：(I )先根据二倍角公式将()f x 化简,再根据复合函数单调性求出()f x 的单调区间. (Ⅱ)由()0f C =得1sin ,(0,),22C C π=∈ 得,6C π=在ABC V 中由余弦定理和基本不等式得到关于ab 的不等式，从而得到面积的最大值.(Ⅱ)由得，，注意到是锐角三角形， ∴由余弦定理得 ，将,代入得由基本不等式得，即∴，即面积的最大值为.18.某中学数学老师分别用两种不同教学方式对入学数学平均分和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班（人数均为20人）进行教学（两班的学生学习数学勤奋程度和自觉性一致），数学期终考试成绩茎叶图如下：（1）学校规定：成绩不低于75分的优秀，请填写下面的联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．附：参考公式及数据（2）从两个班数学成绩不低于90分的同学中随机抽取3名，设为抽取成绩不低于95分同学人数，求的分布列和期望．【答案】（I）见解析;(Ⅱ) .(Ⅱ) 两个班数学成绩不低于分的同学中, 成绩不低于分同学人数有名, 从中随机抽取名,,，，.19.如图，正三棱柱的所有棱长均为2，为棱上一点，是的中点．（1）若是的中点，证明：平面平面； （2）若平面与平面的夹角为，求的长．【答案】（I ）见解析; (Ⅱ).【解析】试题分析：（I ）证明AD 垂直于面1A EC 中的两条相交直线，则AD 面1A EC .(Ⅱ)建立空间直角坐标系求解.(Ⅱ)取的中点为原点,直线分别为轴,建立如图所示坐标系,20.已知动点到定点和定直线的距离之比为，设动点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）过点作斜率不为0的任意一条直线与曲线交于两点，试问在轴上是否存在一点（与点不重合），使得，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．【答案】（I ）;（Ⅱ）存在点.【解析】试题分析：（I ）设M 点坐标为(,),x y 直接找出关于(,),x y 的方程,这就是曲线C 的轨迹方程. （Ⅱ） APF BPF ∠=∠可知直线BP 与AP 倾斜角互补,则0,(*)BP AP K K +=,设(,0)P m 带入(*)式,得到m 的方程,求出m 的值. 试题解析： （I ）法1：设,则依题意有整理得,即为曲线的方程.法2：由椭圆第二定义知，曲线是以为焦点，以直线为相应准线，离心率为的椭圆，易得曲线的方程为.综上知, 在轴上是存在点满足题意.点睛： （1）求曲线轨迹方程的方法有直接法，定义法，相关点法.（2）直线与曲线相交时通常都需要联立方程组找出两交点之间的关系. （3）若两直线的倾斜角互补，则它们的斜率互为相反数.21.已知三次函数的导函数且，．（1）求的极值；（2）求证：对任意，都有．【答案】（I ），;（II ）见解析.【解析】试题分析：（I ）由题意，令3()3f x x x C =-++且(0)1,f =- 所以31,()31,C f x x x =-=-+-由()f x 的单调性可知()f x 的极小值为(1),f -极大值为(1).f（II ）1212max ,(0,),()()()()x x f x g x f x g x ∀∈+∞≤⇔≤且max ()(1)1,f x f ==从而问题转化为()1g x ≥在(0,)+∞上恒成立.试题解析： （I ）依题意得，知在和上是减函数，在上是增函数∴，（II）法1：易得时，，依题意知，只要即.综上知对任意，都有.法3: 易得时，，由知, ,令,则令,则,知在递增,注意到,所以,在上是减函数，在是增函数,有,即综上知对任意，都有.点睛： （1）已知导函数求原函数.（2）本题中两次用到等价转换的思想，首先1212max ,(0,),()()()().x x f x g x f x g x ∀∈+∞≤⇔≤其次，1ln 1(1)(0)ln 1.a x x a x x x x x+≥≥>⇔+≥ 22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为：，直线的参数方程是（为参数，）．（1）求曲线的直角坐标方程； （2）设直线与曲线交于两点，且线段的中点为，求．【答案】（I ）;（II ）.【解析】试题分析：（I ）由极坐标与直角坐标互化的关系式cos ,sin x y ρθρθ== 可将曲线极坐标方程化为普通方程.（II ）将直线的参数方程代入取曲线的普通方程中，M 为,A B 中点，由t 的几何意义知120t t +=故得到关于α的方程，求出倾斜角.方法2:设,则,∵,∴,由得.方法3: 设,则由是的中点得,∵,∴,知∴,由得.方法4:依题意设直线,与联立得, 即由得,因为 ,所以.23.选修4-5：不等式选讲已知函数，且的解集为．（1）求的值；（2）若都是正实数，且，求证：．【答案】（I）;（II）见解析.【解析】试题分析：（I）考查绝对值不等式的解法（II）采用配“1”法应用基本不等式证明或者采用柯西不等式证明.方法2: ∵∴由柯西不等式得整理得当且仅当,即时取等号.。
2020届陕西省咸阳市武功县2017级高三上学期二模考试数学(理)试卷及解析
2020届陕西省咸阳市武功县2017级高三上学期二模考试数学（理）试卷★祝考试顺利★（解析版）注意事项：1.本试题分第I 卷和第II 卷两部分,第I 卷为选择题,用2B 铅笔将答案涂在答题卡上.第II 卷为非选择题,用0.5mm 黑色签字笔将答案答在答题纸上,考试结束后,只收答题纸.2.答第I 卷、第II 卷时,先将答题纸上有关项目填写清楚.3.全卷满分150分,考试时间120分钟.第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项）1.已知集合1{|2}2x A x =>,{|(2)0}B x x x =-<,则(A B = )A. (1,2)-B. (1,2)C. (0,2)D. (1,1)-【答案】C【解析】可解出集合A ,B ,然后进行交集的运算即可． 【详解】解：1{|2}2x A x =>,{|1}A x x ∴=>-,{|(2)0}B x x x =-<,{|02}B x x ∴=<<(0,2)A B ∴=． 故选：C ．2.在复平面内,与复数11i +对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】应用复数除法的运算法则,简化复数,最后确定复数对应的点的位置. 【详解】11111(1)(1)22i i i i i -==-++-,复数11i+对应的点为11(,)22-,它在第四象限,故本题选D. 3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S 若39S =,627S =,则9S =( )A. 45B. 54C. 72D. 81 【答案】B【解析】利用等差数列前n 项和的性质可求9S【详解】因为{}n a 为等差数列,所以36396,,S S S S S --为等差数列,所以()633962S S S S S -=+-即936927S =+-,所以954S =,故选B.【点睛】一般地,如果{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和,则有性质：（1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+,则m n p q a a a a +=+；（2）()1,1,2,,2k n k n n a a S k n +-+== 且()2121n n S n a -=- ； （3）2n S An Bn =+且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭等差数列；（4）232,,,n n n n n S S S S S -- 为等差数列. 4.已知向量(,2)a μ=-,(1,1)b μ=+,则1μ=是向量a 与向量b 垂直的( )A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由1μ=可得向量a 与向量b 垂直；反之,由向量a 与向量b 垂直,不一定得到1μ=．然后结合充分必要条件的判定方法得答案．【详解】解：向量(,2)a μ=-,(1,1)b μ=+,。
2020陕西省高三理科数学教学质量检测(二)答案
又∵a2－a1＝1，∴数列{an}是公差为 1 的等差数列，
∴an＝n.
（6 分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知 bn a2n 2n , an n,
∴Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n， 2Tn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)2n＋n×2n＋1，
（8 分）
两式相减得－Tn＝2＋22＋23－(n－1)2n＋1－2， 1－2
由(Ⅰ)可知 x1＝－a－1，x2＝－1，
∴g(a)在(3，4)上单调递减，
∴g(4)<g(a)<g(3)，即e34<g(a)<e53.
∵g(a)＝－ff（（xx12）），∴－e53<ff（ （xx12））<－e34.
（12 分）
21．解：(Ⅰ)解法一：由题意可得离心率 e＝c＝ 3， a2
又 a2＝b2＋c2，∴a＝2b，c＝ 3b， 令点 Q(x，y)为椭圆 C 上任意一点，
13
14
15
16
0.5
3 或1 2
5 7
3
评分标准：按参考答案给分，结果必须化简，完全正确，写错、未化简、多写答案、少写答
案均不给分，13 题评分标准：写成 1 也可给分，14 题评分标准：写成 1.5或1也可给分. 2
三、解答题：共 70 分.
评分标准
1.导函数：
求单调区间过程要清楚，最好列表，分类讨论各区间情况需做到无遗漏.遗漏不给分.
（2 分） （3 分） （4 分）
（5 分）
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知直线 l 的普通方程为 x＋y－4＝0(x≠0)，（6 分）
θ≠π 化为极坐标方程得ρcosθ＋ρsinθ－4＝0 2 ，
（7 分）
当θ＝π(ρ>0)时，设 4
陕西省汉中市2017届高三下学期第二次教学质量检测(4月模拟)数学(理)试题含答案
汉中市2017届高三年级教学质量第二次检测考试数学(理科)注意事项:1、选择题请按题号用2B 铅笔填涂方框，非选择题，除作图可使用2B 铅笔外,其余各题按题号用0。
5毫米黑色签字笔书写，否则作答无效.2、按照题号在对应的答题区域内作答，超出各题区域的答案无效，在草稿纸、试题上答题无效。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题:本题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选择项中，只有一项符合题目要求. 1、已知全集U R =,{2430}A x x x =-+≤， {3log 1}B x x =≥，则AB =( ）．A ．{3}B ．1{|1}2x x <≤ C ．{|1}x x < D ．{|01}x x << 2、已知复数412iz i+=+，则z 在复平面上对应的点在第（ )象限．A ．一B ．二C ．三D ．四3、汉中最美油菜花节期间，5名游客到四个不同景点游览,每个景点至少有一人，则不同的游览方法共有（ ）种。
A ．120 B ．625 C ． 240 D ．10244、设向量(1,)x x =-a ，(2,4)b x x =+-,则“a b ⊥”是“2x =”的（ ）条件．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要5、平面直角坐标系中,在直线x =1,y =1与坐标轴围成的正方形内任取一点，则此点落在曲线2y x =下方区域的概率为（ )．A ．13B ．23C ．49D ．596、如图所示，三个直角三角形是一个体积为320cm的几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积(单位：2cm ）等于（ )．A ．75πB ．77πC ．65πD ．55π7、公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,并创立了割圆术。
利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3。
14，这就是著名的徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n 为（ ）(参考数据:3 1.732≈,sin150.2588≈°）． A ．12 B ．4 C ．36 D ．248、在ABC ∆中,,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，若3,3a A π==,则b c +的最大值为（ ） A ．4 B ．33 C ．23 D ．2 9、如图,F 1、F 2是双曲线错误!－错误!＝1（a 〉0,b >0）的左、右焦点，过第9题图第7题图F 1的直线l 与双曲线的两支分别交于点A 、B 。
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2017年咸阳市高考模拟考试试题（二）理科数学第I 卷（共60 分）、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 iz 1丄（i 为虚数单位）的虚部是（1 iB . -1题p 是命题q 的（4.《张丘建算经》卷上一题为“今有女善织，日益功疾，且从第二天起，每天比前一天多织共织多少布?C. 56.—个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是（1•已知全集为实数集 R ，集合M { 1,1,2,4}，2N {x|x 2x3}，则 Ml (C R N)1,1,2}B • {1,2} x 2}2复数 3.已知命题p :“ m1 ”,命题q : “直线x20与直线x m y 0互相垂直”，则命A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要相同量的布, 现在一月（按30天计）共织布390尺，最后一天织布 21尺”，则该女第一天5•双曲线mx 2 ny 21(mn 0）的一条渐近线方程为 y「3x ，则它的离心率为（A . 3B . 4 C. 57D .37.在等比数列 { an }中，已知 a 3, a 7是方程x 26x 10的两根，则a 5（)A . 1B .1C.1D . 38•设a sin xdx ，则（a . x 1）6展开式的常数项为（ ）0 xA .-20B . 20 C. -160D . 1609•设x [0,3]，执行如图所示的程序框图，从输出的结果中随机取一个数 a ,则“ a 5的概率为（ ）uuu uuir uur代B,C, D 为该圆上四个点，且 AB AC AD ，贝V ABC 的面10.已知实数x, y 满足y 丑卫的取值范围是（x 1A .討[3,11]C. [i 11]D . [1,11]11.已知圆O 的半径为1,积最大值为( )2B . 1 C. 、、2 D .3B . 2f(ln 2) 3f (ln3) D . 2f (ln 2) 3f (ln3)第U 卷(共90分)满分20分，将答案填在答题纸上)13.已知函数f (x)Iog 2(x 1),x x 2 2x, x 22，则 f (f (3)).14.观察下列式子：.1 2 2，92.1 2. 2 3.3 4 8，、2"3.r"4、T"5252，根据以上规律，第 ，n 个不等式是15.函数 y sin x•、3cosx 的图象可由函数 ysin x•- 3 cosx 的图象至少向左平移个单位长度得到.16•已知一个三棱锥的所有棱长均为 ，则该三棱锥的内切球的体积为 ____________ .三、解答题 (本大题共6小题，共70分•解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤•)217.设函数 f(x) sin xcosx sin (x )(x R). 4(1) 求函数f (x)的单调区间；C(2) 在锐角 ABC 中，角A, B,C 所对的边分别为 a,b,c ，若f( ) 0，c 2，求 ABC面积的最大值.12•已知定义在R 上的函数 f(x)的导函数R 满足 f(x) f '(x)0 ,则下列结论正确的是( ) A . 2f (ln 2) 3f (ln3) C. 2f (ln2) 3f(ln3)二、填空题(每题5分，18.某中学数学老师分别用两种不同教学方式对入学数学平均分和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班(人数均为20人)进行教学(两班的学生学习数学勤奋程度和自觉性一致) ，数学期终考试成绩茎叶图如下：甲8 6 5 1 0g0 06 87 6 5 2 108 3 7 8S 3 170 1 2 5 6 89 5 7 56 5 7 7 8 957 7 & a(1 )学校规定：成绩不低于75分的优秀，请填写下面的2 2联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”•附据j__________ 忒 twf 二丘)' _K =(rt + i)(€4rf>(a+7)(6_+(/y(2)从两个班数学成绩不低于90分的同学中随机抽取3名，设为抽取成绩不低于95分同学人数，求的分布列和期望.19.如图，正三棱柱ABC ABQ,的所有棱长均为2, D为棱BB,上一点，E是AB的中占八、、♦(1 )若D是BB,的中点，证明：平面ADC, 平面AEC ；(2)若平面ADC,与平面ABC的夹角为45°，求BD的长.120.已知动点M到定点F(1,0)和定直线x 4的距离之比为一，设动点M的轨迹为曲线2C .(1)求曲线C的方程；(2)过点F作斜率不为0的任意一条直线与曲线C交于两点代B，试问在x轴上是否存在一点P (与点F不重合)，使得APF B PF，若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由.21•已知三次函数f(x)的导函数f'(x) 3x2 3且f(0) 1 ,g(x) xlnx a(a 1).x(1 )求f (x)的极值；(2)求证：对任意x1, x2 (0,)，都有f(xj g(x2).请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22•选修4-4 :坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点0为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为：4cos2，直线I的参数方程是x 2 tcos (t为参数, 1 cos y 2 t sin0 ).(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)设直线I与曲线C交于两点代B，且线段AB的中点为M(2,2)，求54解:f(x)sin 2x [1 cos(2x 2 22)]sin 2x23.选修4-5 :不等式选讲m |x 4|(m0)，且 f(x 2) 0的解集为[3, 1].(1) 求 m 的值;(2)若a,b,c 都是正实数，且1丄丄 m ，求证:a 2b 3c2017年咸阳市高考模拟考试试题(二)理科数学参考答案、选择题：.ABACD BADCC BA三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 (17)(本小题满分12 分) 已知函数f(X ) a 2b 3c 9.、填空题：13.1 14. .12 .2 315.—316.351 1…S ABC absinC 4(23)即ABC 面积的最大值为2 .3(18)(本小题满分12 分))如图所示由 K 240(1412 6 8)冷3.6322 18 20 20教学方式有关”90分的同学中，成绩不低于95分同学人数有3名，从中随机P(3) C E 0 4 1 18 2 12⑴令2k 2x2k2(k Z)，则X k4(k Z)即f(x)的递增区间为［k ,k ](k44z)类似可得f (x)的递减区间为 (n )由 f0 得，sinc[k -,k 4 1 、 ，注意到2z)ABC 是锐角三角形,••• C由余弦定理得 c 2 a 2 b 22abcosC , 将c 2,c 代入得a 2b 2 .3ab由基本不等式得a 2b 2 4 .3ab2ab ，即 ab 4(23)2.706知，可以判断：有90 00把握认为“成绩优秀与(n )两个班数学成绩不低于 抽取3名,0,1,2,3P(0)C 435,P(1)18，P( 2)35CM 12 C ；35C丄35（19）（本小题满分12分）证明：（I）由AC BC,AE BE，知CE AB ,又平面ABC 平面ABB,A,，所以CE 平面ABB.A,而AD 平面ABBA，二AD CE在正方形ABB, A,中，由D, E分别是BB,和AB的中点知AD A,E而AEI CE E ,••• AD 平面A,EC-AD 平面ADC, •-平面ADC, 平面A EC .解：（n ）取AC的中点O为原点，直线OA,OB分别为x, y轴,建立如图所示坐标系O xyz ,ir显然平面ABC的一个法向量为n, （0,0,1）,而A(1,0,0), C,( ,,0,2),设D(0,、、3 •m)(0m 2），则UJH uuu f—AC, (2,0,2), AD (1/ 3,m)uu 设n2(x, y, z)疋平面ADC,的法向量，则(2,0,2) (x, y, z) 0 x z 0 (1, 3, m) (x, y,z) 0 x 3y mz 0取 nU C.3,1 m 「3),则 cos 賦(0，0，1)(旨 叮)& 2 二J 6 (1 m)J 6 (1 m) 2解得m 1，即BD 1 (20)(本小题满分12分)解析：(I )法1 ：设M (x, y)，则依题意有J (X 用 亍 1x 422 2整理得X y 1，即为曲线C 的方程. 43(n )存在.(21)(本小题满分12分)f (x)极小值f( 1) 3 , f(x)极大值 f(1) 1法2:由椭圆第二定义知，曲线C 是以F(1,0)为焦点，以直线X4为相应准线，离心率为1的椭圆，易得曲线 C 的方程为 —22y- 1. 43设直线l : x ty 1(t0), A(ty 11,%), B(ty 2 1,y 2),P(m,0),y 1x ty 1 3x 2 4y 212 3(ty 1)24y 2 12，即(3t 2 4)y 2 6ty723t^6t 1如29 23t 2 4APF BPF 得 k AP k BP0,即——y1——'m y 2 ty 1 1 ty 2 1 m整理得2ty 1 y 2 (1 m)( y 1 y 2):2t 3t^6t(1忙解得m综上知，在x 轴上是存在点 P(4,0)满足题意.解：(I )依题意得f(x)3x 3x 1, f (x)23x 33(x 1)(x 1)知 f (x)在(，1)和(1,)上是减函数，在(1,1)上是增函数(II )法1：易得x 0时，f (x)最大值1 ,依题意知，只要1 g(x)(x 0) 1 xl nx — (ax1)(x0)由a 1知，只要2x x In x 1(x)x21n x 1 x 0( x 0)令h(x) x2lnx 1 x(x 0)，则h (x) 2xl nx x 1注意到h (1)0当x 1 时，h(x) 0 ;当0 x1时,h(x) 0，即h(x)在(0,1)上是减函数，在(1,)是增函数，h(x)最小值h(1) 0 即h(x) 0 ,综上知对任意x y,x2 (0,)，都有f (xj g(x2)法2:易得x 由a 1知，0时，f(x)最大值1，1g(x) xlnx (x 0),令h(x)x1xI nx (x 0)x则h (x) In4 1 1 x2 1 x 1 §In x—x x注意到h (1) 0，当x 1 时，h(x)0 ;当0 x1 时，h (x)，即h(x)在(0,1)上是减函数，在(1, )是增函数，h (x)最小值h(1)1，所以h(x)最小值1,即g(x)最小值1.综上知对任意X1,X2 (0,)，都有 f (xj gg) 法3:易得x 0时，f(x)最大值1，由a 1 知,g(x) xI nx 1(x( x0),令h(x) xI nx 1 (x 0),则xh (x) In x11 -2(x 0)x(x)-x丄3 x令(x) In1x 1 2(x 0),则x0 ,知(x)在(0, )递增，注意到(1) 0 ,所以，h(x)在(0,1)上是减函数，在(1,)是增函数,有h(x)最小值1 ,即g(x)最小值 1综上知对任意X1,X2 (0,)，都有 f (xj gg)请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.4于是有 2 sin 2 4 cos ,小4cos22.解析：(I )曲线C : - 12cos ・2sin4cos(II )方法 1: x 2 t cos(2 tsin )24(2 t cos )即 t 2 sin 2y 2 t si n (4s in4cos )t 4由AB 的中点为M (2,2)得t 1 t 20，有 4sin4co s0,所以k tan 由得一4方法 2:设 AX, yj, B(X 2, y 2),则2Y 14^2(y 1 y 2)(% 祠4(X 2),y24x2y 2 4, ,••• k l tany1y 21,由0得x X 242 2方法3:设 A 》y 1),哺,y 2),(y 1 y 2),则由M (2,2)是AB 的中点得2 2_y_4y 1 y 2 4445/ym 0* y 24ry2,• y 1 0, y 2 4，知 A(0,0), B(4,4)k i tan1,由0得——4x 142y 由y 1 y 2 k 4得 kta n 1，因为0，所以 (23)解：(l )依题意 f (x 2) m x 20,即x 2 2 m ,化为直角坐标方程为:y 2 4x方法4:依题意设直线Ik(x 2),与 y 2 4x 联立得 2k(+ 2),4(II )方法 1：T1 11(a,b,c)a 2b 3c1 11a 2b 3c(a 2b 3c)(a 2b整理得a 2b 3c 93当且仅当a 2b 3c ,即 a 3,b ,c 1时取等号23(a2b2b) a(: 3c3c)(3b a3c 3c)2b 9当且仅当a2b 3c ,即a 3,b3 尹1时取等号方法2：•••1 1 a 2b 1 3c1(a,b,c 0).•.由柯西不等式得，2b 1V2b3,3c 1v3c。
陕西省黄陵中学2017届高三4月月考(高考全国统一全真模拟二)数学(理)试题(重点班)含答案
2017年高考全国统一考试全真模拟试题(二）数学（理科） 第Ⅰ卷(共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数2)1(21i i z -+=，则z 的虚部是（ ）A ．i 21 B ．21 C ．21- D ．i 21-2。
如图，已知R 是实数集,集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>-=0)1(log 21x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-=032x x xB ，则阴影部分表示的集合是（ ）A ．]1,0[B ．]1,0(C ．)1,0(D ．)1,0[3.在ABC ∆中，Q P 、分别在BC AB ,上，且BC BQ AB AP 31,31==,若b AC a AB ==,，则=PQ （）A ．b a 3131+ B ．b a 3131+- C ．b a 3131- D ．b a 3131-- 4.下列命题中正确命题的个数是（ ） （1）对于命题R x p ∈∃:,使得012<++x x，则R x p ∈∀⌝:,均有012>++x x ;(2）命题“已知R y x ∈,，若3≠+y x ,则2≠x 或1≠y "是真命题；（3)回归直线的斜率的估计值为23.1，样本点的中心为)5,4(,则回归直线方程为08.023.1+=∧x y ；（4）3=m 是直线02)3(=-++my x m 与直线056=+-y mx 互相垂直的充要条件。
A ．1B ．3 C. 2 D ．45。
如图，在平面直角坐标系xOy 中，角βα，的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合,它们的终边分别与单位圆相交于B A ,两点，若点B A ,的坐标分别为)54,53(和)53,54(-,则)cos(βα+的值为( )A ．2524- B ．257- C 。
0 D ．25246.执行如下图所示的程序框图，则输出的结果是（ )A ．2019 B ．2120 C.2221 D ．23227。
2020年陕西省高三教学质量检测卷(二)理科数学试题(质检卷)-答案
2020年陕西省高三教学质量检测卷（二）理科数学试题答案1.【答案】C【解析】本题考查复数的运算。
由题意得i i i i i i z 222)1(4)1)(1()1(414-=-=-+-=+=，z ∴的虚部为-2，故选C 。
2.【答案】B【解析】 本题考查 集合并集的运算。
由题意可知集合{}{}102≤≤=∈==y y A x x y y B ，，∴A ∪B ={x |-1≤x ≤1}，故选Ｂ。
3.【答案】A【解析】本题考查简单的线性规划。
如图所示，图中的阴影部分为不等式组所表示的平面区域（含边界），其中A (0,3)，B (1,2)，C (34,37).先作出02=-y x 的图像，然后通过平移，发现目标函数的图像经过点A (0,3)时，z 取到最小值3min -=z ，故选A 。
4.【答案】B【解析】本题考查平面向量的数量积及向量的投影。
由题意可得2=a ，2220202cos •=⇒•=⇒=(-)-a b a a a b a b a,b a ， ∴cos 1=b a,b ，∴b 在a 上的投影为1，故选B 。
5.【答案】D【解析】本题考查分段函数及分段函数的图象。
作函数)(x f 的图象如图所示，由题意可得当时10≤<x ，0)(≥x f ；当1>x 时，1)(≤x f .若1)(=x f ，则1ln =-x 或1342=-+-x x ，解得e x 1=或2=x ，则e a f 1)(=或2)(=a f ，结合函数图象可知a 的取值有4个，故选D 。
6.【答案】A【解析】本题考查几何概型与正态分布的相关概率的运算。
由题意可得正态分布密度曲线的对称轴是0=x ，则0=μ，标准差是1=σ， 而（1,2]=（μ+σ,μ+2σ]，∴1359.026827.09545.0)21(=-=≤<X P ，∴图中阴影部分的面积为1-0.1359=0.8641.记“黄豆落入阴影部分”为事件A ，则8641.0)(==正方形面积阴影部分的面积A P ，故选A 。
陕西省咸阳市2017届高三二模理数试题+Word版含解析
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集为实数集，集合，，则（ ）A. B.C.D.【答案】A【解析】 {|3=>N x x 或1},<-x {|13},{1,1,2}.=-≤≤⋂=-R R C N x x M C N 选A. 2.复数（为虚数单位）的虚部是（ ）A. 1B. -1C.D.【答案】B【解析】221(1)2,112i i iz i i i ---====-+-虚部是 1.- 选B. 3.已知命题：“”，命题：“直线与直线互相垂直”，则命题是命题的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要 【答案】A4.《张丘建算经》卷上一题为“今有女善织，日益功疾，且从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，现在一月（按30天计）共织布390尺，最后一天织布21尺”，则该女第一天共织多少布？（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C【解析】由题意，设第n 天织布为,n a 数列{}n a 是等差数列，公差为d ，11152129,16302939030292a a dd a d ==+⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨⨯==+⎪⎪⎩⎩所以第一天织布为5尺，选C.5.双曲线的一条渐近线方程为，则它的离心率为（ ）A. 2B.C.或D. 2或【答案】D6.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】该几何体是切掉了四分之一个球之后剩下的几何体，23414.4=+=S πππ⨯⋅表选B. 7.在等比数列中，已知是方程的两根，则（ ）A. 1B.C.D. 3【答案】A【解析】在等比数列{}n a 中，因为37,a a 是方程2610x x -+=的两个根，所以373760,10,a a a a +=>⋅=>所以3750,0,0,a a a >>>因为23751,a a a ⋅==所以51,a =选A. 8.设，则展开式的常数项为（ ）A. -20B. 20C. -160D. 160 【答案】D【解析】0(cos )|(cos )(cos0)2,a x ππ=-=---= 所以66(=展开式的通项为6262162,r rrr T C x--+=⋅⋅令620,3,2r r -==展开式的常数项为33462160.T C =⋅=选D. 9.设，执行如图所示的程序框图，从输出的结果中随机取一个数，则“”的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】该程序框图表示函数23,02;1,2 3.x x y x x +≤<⎧=⎨+≤≤⎩值域是[3,10],故[3,10],a ∈5a ≤的概率是532.1037-=-10.已知实数满足，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.【答案】C11.已知圆的半径为1，为该圆上四个点，且，则的面积最大值为（ ）A. 2B. 1C.D.【答案】B【解析】因为AB AC AD →→→+= ,所以四边形ABDC 为平行四边形,又因为 ABDC 都在圆上, 所以, ,AD BC 必为圆的直径, 0,90ACD BAC ∠=∠=四边形ABDC 为矩形,2,AD =222||||||4,AC AB AD +==221||||||||1,24ABCAC AB SAB AC +=⋅⋅≤=当且仅当||||AC AB =时取等号,选B. 点睛:由于,,,A B C D 都在圆周上且满足平行四边形法则，必有四边形ABDC 为矩形，再应用基本不等式求解面积的最值.12.已知定义在上的函数的导函数为，对任意满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D.【答案】A点睛:构造新函数()(),x g x e f x =结合已知判断()g x 的单调性. 13.已知函数，则__________．【答案】【解析】22(3)log 21,((3))(1)12 1.f f f f ====-=- 14.观察下列式子：，，，…，根据以上规律，第个不等式是_________． 【答案】【解析】不等式左边共有n 项相加，第n 项是，不等式右边的数依次是2491625(1),,,,,.22222n +15.函数的图象可由函数的图象至少向左平移__________个单位长度得到． 【答案】.【解析】s i n 3c o s 2s i n (,s i n 3c o s 2s i n (33y x x x y x x x ππ=+=+==-，将2s i n ()3y x π=-向左平移23π得到2sin()3y x π=+的图像.16.已知一个三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的内切球的体积为__________．【答案】点睛:由题意知，该三棱锥是正三棱锥，可以计算出它的体积，该三棱锥内切球球心与四个侧面将正三棱锥体积分为四个小三棱锥的体积之和，用等体积法找出关于内切球半径的方程，从而求出半径与内切球体积. 17.设函数．（1）求函数的单调区间； （2）在锐角中，角所对的边分别为，若，，求面积的最大值．【答案】(I )增区间为递减区间为;(Ⅱ).【解析】试题分析：(I )先根据二倍角公式将()f x 化简,再根据复合函数单调性求出()f x 的单调区间. (Ⅱ)由()0f C =得1sin ,(0,),22C C π=∈ 得,6C π=在ABC 中由余弦定理和基本不等式得到关于ab 的不等式，从而得到面积的最大值.(Ⅱ)由得，，注意到是锐角三角形， ∴由余弦定理得 ，将,代入得由基本不等式得，即∴，即面积的最大值为.18.某中学数学老师分别用两种不同教学方式对入学数学平均分和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班（人数均为20人）进行教学（两班的学生学习数学勤奋程度和自觉性一致），数学期终考试成绩茎叶图如下：（1）学校规定：成绩不低于75分的优秀，请填写下面的联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．附：参考公式及数据（2）从两个班数学成绩不低于90分的同学中随机抽取3名，设为抽取成绩不低于95分同学人数，求的分布列和期望．【答案】（I）见解析;(Ⅱ) .(Ⅱ) 两个班数学成绩不低于分的同学中, 成绩不低于分同学人数有名, 从中随机抽取名,,，，.19.如图，正三棱柱的所有棱长均为2，为棱上一点，是的中点．（1）若是的中点，证明：平面平面； （2）若平面与平面的夹角为，求的长．【答案】（I ）见解析; (Ⅱ).【解析】试题分析：（I ）证明AD 垂直于面1A EC 中的两条相交直线，则AD 面1A EC .(Ⅱ)建立空间直角坐标系求解.(Ⅱ)取的中点为原点,直线分别为轴,建立如图所示坐标系,20.已知动点到定点和定直线的距离之比为，设动点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）过点作斜率不为0的任意一条直线与曲线交于两点，试问在轴上是否存在一点（与点不重合），使得，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．【答案】（I ）;（Ⅱ）存在点.【解析】试题分析：（I ）设M 点坐标为(,),x y 直接找出关于(,),x y 的方程,这就是曲线C 的轨迹方程. （Ⅱ） APF BPF ∠=∠可知直线BP 与AP 倾斜角互补,则0,(*)BP AP K K +=,设(,0)P m 带入(*)式,得到m 的方程,求出m 的值. 试题解析： （I ）法1：设,则依题意有整理得,即为曲线的方程.法2：由椭圆第二定义知，曲线是以为焦点，以直线为相应准线，离心率为的椭圆，易得曲线的方程为.综上知, 在轴上是存在点满足题意.点睛： （1）求曲线轨迹方程的方法有直接法，定义法，相关点法.（2）直线与曲线相交时通常都需要联立方程组找出两交点之间的关系. （3）若两直线的倾斜角互补，则它们的斜率互为相反数.21.已知三次函数的导函数且，．（1）求的极值；（2）求证：对任意，都有．【答案】（I ），;（II ）见解析.【解析】试题分析：（I ）由题意，令3()3f x x x C =-++且(0)1,f =- 所以31,()31,C f x x x =-=-+-由()f x 的单调性可知()f x 的极小值为(1),f -极大值为(1).f（II ）1212max ,(0,),()()()()x x f x g x f x g x ∀∈+∞≤⇔≤且max ()(1)1,f x f ==从而问题转化为()1g x ≥在(0,)+∞上恒成立.试题解析： （I ）依题意得，知在和上是减函数，在上是增函数∴，（II）法1：易得时，，依题意知，只要即.综上知对任意，都有.法3: 易得时，，由知, ,令,则令,则,知在递增,注意到,所以,在上是减函数，在是增函数,有,即综上知对任意，都有.点睛： （1）已知导函数求原函数.（2）本题中两次用到等价转换的思想，首先1212max ,(0,),()()()().x x f x g x f x g x ∀∈+∞≤⇔≤其次，1ln 1(1)(0)ln 1.a x x a x x x x x+≥≥>⇔+≥ 22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为：，直线的参数方程是（为参数，）．（1）求曲线的直角坐标方程； （2）设直线与曲线交于两点，且线段的中点为，求．【答案】（I ）;（II ）.【解析】试题分析：（I ）由极坐标与直角坐标互化的关系式cos ,sin x y ρθρθ== 可将曲线极坐标方程化为普通方程.（II ）将直线的参数方程代入取曲线的普通方程中，M 为,A B 中点，由t 的几何意义知120t t +=故得到关于α的方程，求出倾斜角.方法2:设,则,∵,∴,由得.方法3: 设,则由是的中点得,∵,∴,知∴,由得.方法4:依题意设直线,与联立得, 即由得,因为 ,所以.23.选修4-5：不等式选讲已知函数，且的解集为．（1）求的值；（2）若都是正实数，且，求证：．【答案】（I）;（II）见解析.【解析】试题分析：（I）考查绝对值不等式的解法（II）采用配“1”法应用基本不等式证明或者采用柯西不等式证明.方法2: ∵∴由柯西不等式得整理得当且仅当,即时取等号.。
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)２
槡７
，∴Ｒｍｉｎ＝槡２７＝２槡７７，此 时 α
＋φ
＝π２，∴ｓｉｎα
＝
ｃｏｓφ
＝ ２，ｃｏｓα 槡７
＝ｓｉｎφ
＝槡３，∴ａ＝ 槡７
６７，ｂ＝
８７，∴该三
棱柱外接球的表面积的最小值为 １７６π，故选 Ｄ．
由题意可知△ ＡＢＣ外接圆的半径 ｒ＝槡３３ａ．设该三棱
( ) ( ) ２
柱外 接 球 的 半 径 为 Ｒ，则 Ｒ２ ＝ 槡３３ａ ＋
２０２０年陕西省高三教学质量检测卷（二） 数学（理科） 答案详解
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ ＣＢＡ ＢＤＡ Ａ Ｄ ＣＤ Ｂ Ｃ
１．Ｃ 【解析】本题考查复数的运算 ．由题意得 ｚ＝１４＋ｉ＝ （１４＋（ｉ１）（－１ｉ）－ｉ）＝４（１２－ｉ）＝２－２ｉ，∴ｚ的虚部为 －２，故 选 Ｃ． 【一题多解】∵ｚ＝１４＋ｉ＝２（１＋１ｉ）＋（ｉ１－ｉ）＝２（１－ｉ）＝２－ ２ｉ，∴ｚ的虚部为 －２，故选 Ｃ．
ａ＝ ６ ７，ｂ＝
６．Ａ 【解析】本题考查几何概型与正态分布的相关概率 的运算 ．由 题 意 可 得 正 态 分 布 密 度 曲 线 的 对 称 轴 是
８ ７时取得最 小 值，∴该 三 棱 柱 外 接 球 的 表 面 积 的 最 小值为 ４πＲ２＝１７６π，故选 Ｄ．
— 数学（理科）·答 １—
【一题多解】由题意可知△ＡＢＣ外接圆的半径 ｒ＝槡３３ａ．
若该函数图象关于坐标原点对称，则
π ４
－３ａ＝ｋπ（ｋ∈
Ｚ），解得 ａ＝π １２－ｋ３π（ｋ∈Ｚ）．∵ａ＞０，∴π １２－ｋ３π＞０
（ｋ∈Ｚ），∴ｋ＜ １ ４（ｋ∈Ｚ），∴ｋ的最大值为 ０，∴ａｍｉｎ＝
π １２，故选 Ｃ． １０．Ｄ 【解析】本题考查棱柱外接球表面积的运算．由题意
可知△ＡＢＣ外接圆的半径 ｒ＝槡３３ａ．设该三棱柱外接球
的图象，然 后 通 过 平 移，发 现 当 目 标 函 数 的 图 象 经 过 点 Ａ（０，３）时，ｚ取到最小值 ｚｍｉｎ＝－３，故选 Ａ．
ｘ＝０，则 μ ＝０，标 准 差 是 σ ＝１，而 （１，２］＝（μ ＋σ， μ ＋２σ］，∴Ｐ（１＜Ｘ≤２）＝０．９５４５－２０．６８２７＝０．１３５９，
∴图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为 １－０．１３５９＝０．８６４１．记
ｂ ２
２
＝
( ) ａ２
３
＋ｂ４２，由
柯
西
不
等
式
可
知
（３＋４）
ａ２ ３
＋ｂ４２
≥
（ａ＋ｂ）２，即
ａ２ ３
＋
ｂ２ ４≥
４ ７，当 且 仅 当
３ ａ２
＝
４ ｂ２
，即
３４
３ａ＝ ４ｂ时等号成立，∴当 ａ＝ ６７，ｂ＝ ８７时，Ｒ取得
最小值２槡７７，∴该三棱柱外接球的表面积的最小值为 １７６π，故选 Ｄ． １１．Ｂ 【解析】本题考查直线与抛物线的位置关系 ．由题 意可得抛物线 Ｃ的焦点 Ｆ（１，０），设直线 ｌ的方程为 ｘ＝ｍｙ＋１，联 立 直 线 ｌ与 抛 物 线 Ｃ的 方 程 得 ｙ２ ＝ ４（ｍｙ＋１），即 ｙ２－４ｍｙ－４＝０．设 Ａ，Ｂ两点的坐标为 （ｘ１，ｙ１），（ｘ２，ｙ２），则由韦达定理可得 ｙ１ ＋ｙ２ ＝４ｍ，
１＋５ｄ，∴（１＋２ｄ）２＝（１＋３ｄ）（１＋５ｄ），解得 ｄ＝－１４１
（ｄ＝０舍去），∴ａ２＝１＋ｄ＝１７１，故选 Ａ．
８．Ｄ 【解析】本题考查三角恒等变换．由题意可得 ｃｏｓβ ＝ １５３．∵－π２＜α－β ＜０，∴ｓｉｎ（α －β）＝－１ ６６ ５，∴ｓｉｎα ＝
ｓｉｎ［（α－β）＋β］＝ｓｉｎ（α －β）ｃｏｓβ ＋ｃｏｓ（α －β）ｓｉｎβ ＝ －１ ６６ ５×１５３＋６ ６３ ５×１ １２ ３＝６ ８７ ４６ ５＝ ４ ５，故选 Ｄ．
( )２
设该三棱 柱 外 接 球 的 半 径 为 Ｒ，则 Ｒ２ ＝ 槡３３ａ ＋
( )ｂ ２
２
＝
ａ２ ３
＋
ｂ４２．令
ａ＝槡３Ｒｃｏｓα，ｂ＝２Ｒｓｉｎα，则 由
ａ＋ｂ＝２可 得 槡３Ｒｃｏｓα ＋ ２Ｒｓｉｎα ＝ ２，∴ Ｒ ＝
( ２
＝
２
槡３ｃｏｓα＋２ｓｉｎα 槡７ｓｉｎ（α＋φ）
ｓｉｎφ ＝槡槡３７，ｃｏｓφ ＝
“黄 豆 落 入 阴 影 部 分 ”为 事 件 Ａ，则 Ｐ（Ａ）＝
阴影部分的面积 正方形面积
＝０．８６４１，故选
Ａ．
７．Ａ 【解析】本题考查等差数列的通项公式 ．由题意可
设数列｛ａｎ｝的公差为 ｄ（ｄ≠０），则通项公式 ａｎ ＝１＋
（ｎ－１）ｄ，∴ａ３ ＝１＋２ｄ，ａ２ ＝１＋ｄ，ａ４ ＝１＋３ｄ，ａ６ ＝
( ) ( ) ２
的半径为 Ｒ，则 Ｒ２ ＝ 槡３３ａ ＋
ｂ ２
２
．由
ａ＋ｂ＝２
可得
ｂ＝２－ａ，∴Ｒ２
＝４ａ２１＋２３ｂ２
＝４ａ２
＋３（２－ａ）２ １２
＝
( ) ７ａ２－１１２２ａ＋１２＝７
ａ２－１７２ａ＋３ ４６９ １２
＋１２－３７６＝１７２×
( ) ａ－
６ ７
２＋ ４ ７，∴Ｒ２ｍｉｎ＝ ４ ７，当 且 仅 当
２．Ｂ 【解析】本题考查集合并集的运算 ．由题意可知集合 Ｂ＝｛ｙ｜ｙ＝ｘ２，ｘ∈ Ａ｝＝｛ｙ｜０≤ ｙ≤ １｝，∴Ａ∪ Ｂ＝ ｛ｘ｜－１≤ ｘ≤１｝，故选 Ｂ．
３．Ａ 【解析】本题考查简单的线性规划 ．如图所示，图中 的阴影部分为不等式组所表示的平面区域（含边界），
( ) 其中 Ａ（０，３），Ｂ９．Ｃ 【解析】本题考查三角函数图象的平移变换与性质．由
( ) 题意可得平移后的函数解析式为 ｙ＝２ｓｉｎ ３ｘ＋π４－３ａ ，
４．Ｂ 【解析】本题考查平面向量的数量积及向量的投影 ．
由题意可得 ｜ａ｜＝２，（ａ－２ｂ）·ａ＝０ ａ２－２ａ·ｂ＝０ ２｜ａ｜｜ｂ｜ｃｏｓ〈ａ，ｂ〉＝｜ａ｜２，∴｜ｂ｜ｃｏｓ〈ａ，ｂ〉＝１，∴ｂ在 ａ上的投影为 １，故选 Ｂ． ５．Ｄ 【解析】本题考查分段函数及分段函数的图象 ．作 函数 ｆ（ｘ）的图象如图所示，由题意可得当 ０＜ｘ≤１ 时，ｆ（ｘ）≥ ０；当 ｘ＞１时，ｆ（ｘ）≤ １．若 ｆ（ｘ）＝１，则 －ｌｎｘ＝１或 －ｘ２ ＋４ｘ－３＝１，解得 ｘ＝ １ｅ或 ｘ＝２，则 ｆ（ａ）＝ １ｅ或 ｆ（ａ）＝２，结合函数图象可知 ａ的取值有 ４个，故选 Ｄ．
ｙ１ｙ２＝－４，∴｜ＡＢ｜＝槡１＋ｍ２｜ｙ１ －ｙ２｜＝槡１＋ｍ２·
槡（ｙ１＋ｙ２）２－４ｙ１ｙ２ ＝ 槡１＋ｍ２· 槡１６ｍ２＋１６ ＝