高考数学复习专题09 平面向量(原卷版)

专题九 平面向量【考生存在问题报告】（一）不能准确理解向量的相关概念概念不清主要表现在向量的概念，平行向量、单位向量的概念；向量夹角的概念等.【例1】（2020·湖北省高三月考）已知点(3,7)A ，(0,11)B ，单位向量,(0)e AB λλ=<u u u v v ，则e =v （ ） A ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．34,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭【评析】本题主要考查两个重要知识点，即平行向量和单位向量的概念，因混淆了“与a r 同向的单位向量”和“与a r 平行的单位向量”这两个不同的概念，出现错解：因为2(3)45a =-+=r 故所求向量为134(3,4)(,)555a a=-=-r r ，在复习时，只有深刻理解平行向量和单位向量的概念，才能达到正确解题的目的. 【例2】（2020·山东省高三开学考试）如图，在半径为r 的定圆C 中，A 为圆上的一个定点，B 为圆上的一个动点，若AB AC AD +=u u u r u u u r u u u r ，且点D 在圆C 上，则AB AC ⋅=u u u r u u u r _____．【评析】本题主要考查了向量加法的平行四边形法则，向量数量积的运算，得到四边形ABCD 为一个内角为60o 的菱形是解题的关键.由向量加法的概念以及AC CD CB r ===可得四边形ABCD 为菱形，且60CAB ∠=o ，再由向量数量积的定义即可得结果.（二）运算理解不灵活，不能合理选择算法学生存在的主要问题是：（1）对向量运算理解不到位，比如会错把数的乘法的消去律运用在向量的数量积运算上；（2）算法选择不合理，学生往往选择常规解法，导致过繁运算，计算量过大，甚至无法解答下去.只有熟练掌握向量的运算技巧，根据题设条件合理选择算法，才能达到正确运算的目的.【例3】（2020·福建省仙游县枫亭中学高三期中）已知向量2,1(),1,),3,1(b m a b n b a a k -==+=-=-r u r r r r r r r .(1)若m n u r rP ，求k 的值； (2)当=2k 时，求m u r 与n r 夹角的余弦值．【评析】本题主要考查向量的数量积公式、向量的模以及将向量问题转化为实数计算的意识，导致过繁运算，实际还是归结为运算不注意算理的选择．在解决问题时，只有熟练掌握向量的运算技巧，根据题设条件选择合理的算法，才能达到正确运算的目的.【例4】（2020·广东省高三月考）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O ，H 分别是△ABC 的外心、垂心，且M 为BC 中点，则 （ ）A ．33AB AC HM MO +=+u u u r u u u r u u u u u r u u u u r B ．33AB AC HM MO +=-u u u r u u u r u u u u u r u u u u rC ．24AB AC HM MO u u u r u u u r u u u u r u u u u r +=+D ．24AB AC HM MO u u u r u u u r u u u u r u u u u r +=-【评析】本题考查平面向量的线性运算，以及三角形的三心问题，同时考查学生分析问题的能力和推理论证能力．构造符合题意的特殊三角形（例如直角三角形），然后利用平面向量的线性运算法则进行计算即可得解．（三）等价转换思想意识不强学生主要问题体现在：题设条件问题转换不等价，在平时复习中，关注学生对相关概念、定理、公式等的本质的挖掘与掌握至关重要.【例5】设()()321a x,,b ,,==-r r 若与的夹角为钝角，则x 的取值范围为【评析】本题主要考查向量的夹角公式，学生易错解如下：cos ||||a b a b θ⋅==r r r r 因为θ为钝角，所以0cos <θ．这是由于问题转换不等价造成的，其实向量a r 与b r 的夹角为钝角的充要条件是a b ⋅0r r <且ar 与b r 不共线．这里，a r 与b r 不共线不能忽略．【例6】（2020·吉林省高三）若向量a r ，b r满足||a =r||b =r (2)a b a +⊥r r r ，则a r 与b r 的夹角为（ ）A ．3πB ．23πC ．4πD ．34π 【评析】本题考查向量的垂直关系以及向量的夹角公式，掌握公式，细心计算，利用向量垂直关系，可得a b ⋅r r ，然后根据向量夹角公式，可得结果.（四）不能合理选择基底学生主要问题体现在：不能合理选择基底解决问题，原因是学生对于平面向量基本定理并没有真正理解，所以在复习中，深刻理解平面向量基本定理，让学生真正掌握定理的本质及解决问题的技巧是关键.【例7】（2020·福建省厦门双十中学高三月考）如图Rt ABC ∆中，2ABC π∠=，2AC AB =，BAC ∠平分线交△ABC 的外接圆于点D ，设AB a =u u u v v ，AC b =u u u v v ，则向量AD =u u u v（ ）A ．a b +v vB ．12a b +v vC ．12a b +v vD ．23a b +v v 【评析】本题考查了向量的平行四边形法则，共线向量基本定理，圆的性质等知识，考查分析解决问题的能力和计算能力．根据Rt ABC ∆中，的边角关系，结合圆的性质，得到四边形ABDO 为菱形，所以12AD AB AO a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r ． （五）应用意识不强，不能合理运用向量解决问题考查向量语言， 体现向量的的工具性，解决平行与垂直的问题，与三角函数和解析几何的交汇是高考常见题型，学生的主要问题就是缺乏用向量解决问题的意识，导致运算量过大，甚至无法解答下去，因此，在复习中教师应重视向量在这方面的运用指导，引导学生拓展思路，必定会有意想不到的神奇效果.【例8】（2020·海南省高三）在平面直角坐标系中，点(2,),(1,3),(1,1)A a B C -.（1）若2BA CB ⋅=-u u u r u u u r，求实数a 的值；（2）若4a =，求ABC ∆的面积.【评析】本题考查数量积的坐标表示,考查三角形面积公式的应用,考查数量积的应用. （1）由题可得(3,3),(2,2)BA a CB =-=-u u u r u u u r ,进而由2BA CB ⋅=-u u u r u u u r 求解即可；（2）由4a =可得()2,4A ,则(3,1),(2,2)BA BC ==-u u u r u u u r ,利用数量积可得cos ,BA BC 〈〉u u u r u u u r ,进而利用三角形面积公式求解即可.【命题专家现场支招】一、解决问题的思考与对策（一）加强概念学习，注重本质理解在平面向量的概念复习中，如何让学生迅速把握住本质，达成理解？重温概念的来龙去脉，理清知识网络，通过比较，对向量的概念进行辨析，在此基础上，抓住向量的两个要素：大小、方向进行拓展，将向量概念精准化．学生存在的问题之一是：概念不清，符号表示混乱，针对此问题，一方面教师在板书、表达等方面一定要准确和多方强调，另一方面，也可设置一些判断题，帮助学生辨析概念．【例9】（2020·全国高三课时练习）下列说法中错误的是（ ）A ．零向量与任一向量平行B ．方向相反的两个非零向量不一定共线C ．零向量的长度为0D ．方向相反的两个非零向量必不相等（二）加强运算训练，关注算法选择单纯看向量的运算，实际上是比较抽象的．在复习中若能恰当运用模型，运用类比，不仅可以降低难度，而且对于学生认识抽象的运算有很大的好处：比如说：向量这个概念源于物理中的力、位移，那么力的合成、位移的合成实际上就是向量加法的模型，依此为基础很容易理解并记忆平行四边形法则和三角形法则.而向量的减法则可类比于数的减法定义：在实数运算中，减法是加法的逆运算；于是向量的减法也可以看成是向量加法的逆运算；在实数运算中，减去一个数，等于加上这个数的相反数.据此，复习相反向量的概念.要注意向量运算与实数运算的差异，抓住“结果是什么？”“遵循什么样的运算律？”等问题，在类比和辨析中掌握知识.逐渐渗透在集合上定义二元运算的准则．自然形成对于“逆运算”、“逆元”等概念的了解．最终拓展学生对于运算的认识．【例10】（2020·安徽省六安一中高三月考）设M 是ABCD Y 的对角线的交点，三角形ABD 的高AP 为2，O 为任意一点，则(3)()OB OC OD OA OP OA ++-⋅-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r （ ） A ．6 B ．16 C ．24 D ．48（三）重视几何特征，关注数形结合在“平面向量”的复习教学中，数形结合是重要的思想方法之一，理解向量线性运算的几何意义更是本专题的教学目标之一，但学生往往不能做到恰当转化．数形结合的关键是把握基本量的代数形式与几何特征之间的联系，一方面复习中要时刻注意二者的联系和相互表达，学会“看图说话”，另一方面也可选择恰当的例题，对某些几何特征量进行归纳，逐渐学会“由数到形”．每种运算都要注意从几何和代数两个方面进行解读，两者并重.但要真正掌握、运用这种思想方法，还需对数和形的实质加以挖掘．比如“向量的加法”复习中，可从“位移的合成”引入三角形法则，这是向量加法的几何法则，将其代数化，就得到：AB BC AC +=u u u r u u u r u u u r .代数化和形式化并不只是一种简洁的表示，还可挖掘其内在的含义：如这个式子其实可以脱离图形而存在，进一步得到122311n n nA A A A A A A A -+++=u u u u r u u u u r u u u u u u r u u u u rL ． 【例11】（2020·北京高三）如图，正三角形ABC 边长为2，D 是线段BC 上一点，过C 点作直线AD 的垂线，交线段AD 的延长线于点E ，则AD DE ⋅的最大值为______.（四）重视方法训练，关注基底选择 通过本专题的复习，研究用向量处理问题的两种方法：“向量法”和“坐标法”．也即面对一个实际问题，要学会选择基底或者建立平面直角坐标系．本质上这两种方法是统一的，其依据都是“平面向量基本定理”，后者是前者的特例．学生往往对于后者较为熟悉，在给定的坐标系中会处理问题，但不善于自己选择基底．事实上，这种熟悉，对于很多学生来说：只是一种简单的模仿和运算，而对于平面向量基本定理并没有真正理解.但课标对于平面向量基本定理的要求，只限于“了解”.因此，若学生程度较好，可在正交基底的基础上，引导学生选择其它的基底解决问题，强化平面向量基本定理的教学．【例12】（2020·浙江省学军中学高三期中）已知在ABC V 中，1AB =，2AC =．（1）若BAC ∠的平分线与边BC 交于点D ，求()2AD AB AC ⋅-u u u v u u u v u u u v ； （2）若点E 为BC 的中点，求2211AE BC+u u u v u u u v 的最小值． 【例13】如图，//OM AB , 点P 在由射线OM , 线段OB 及AB 的延长线围成的区域内（不含边界）运动, 且OP xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ,则x 的取值范围是____ __；当12x =-时, y 的取值范围是____ __.（五）强化问题意识，注重向量运用学生的主要问题就是缺乏用向量解决问题的意识，学生处理问题的意识不是一朝一夕形成的，教师要在教学中积极引导学生自觉地思考、转化、构图和变式，让学生不断积累思维和活动经验，要加强教学过程中对学生思维、意识和能力的培养，注重过程强化，关注解题过程的思维达成度，培养学生的悟性.【例14】（2020·安徽省高三月考）在ABC ∆中，CA CB CA CB +=-u u u v u u u v u u u v u u u v .(1) 求角C 的大小；(2)若CD AB ⊥，垂足为D ，且4CD =，求ABC ∆面积的最小值.二、典型问题剖析（一）平面向量的线性运算及坐标运算【例15】（2020·北京市十一学校高三月考）在梯形ABCD 中，AB //CD ，2AB CD =，E 为BC 中点，若AE xAB y AD =+u u u r u u u r u u u r ，则x y +=___．【例16】（2020·江西省南城一中高三期末）已知向量()3,2a =r ，()2,1b =-r ，()4,3c =r ，若()//a b c λ+r r r ，则实数λ=______.（二）平面向量基本定理及应用【例17】（2020·宁夏回族自治区银川一中高三）若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且4CD DB r AB sAC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r ，则3r s +的值为__________.（三）平面向量的数量积及应用【例18】（2020·湖南省长郡中学高三）已知向量,,a b c r r r 满足||1,||||3,0a b c b c ===⋅=r r r r r ，若2|(1)||(1)()|3P a b c b c λλλλ=+--+-+-r r r r r ，则P 的最小值为_____________. （四）平面向量的平行与垂直【例19】（2020·四川省泸县第二中学高三月考）已知向量AB u u u v ，AC u u u v 的夹角为120︒，5AB =u u u v ，2AC =u u u v ，AP AB AC λ=+u u u v u u u v u u u v .若AP BC ⊥u u u v u u u v ，则λ=__________．【例20】（2020·广东省高三）若平面向量a =r (cosθ,sinθ),b =r (1,﹣1),且a r ⊥b r,则sin 2θ的值是_____.（五）平面向量模的最值或范围问题(1)代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．(2)几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解【例21】（2020·浙江省高三期末）已知单位向量a r 、b r 满足22a b b -=r r r ，设向量()2c a x b a =+-r r r r ，[]0,1x ∈，则c a +r r 的取值范围是_____．【例22】（2020·山东省高三月考）已知a v 、b v 、e v 是平面向量，e v 是单位向量．若非零向量a v 与e v 的夹角为3π，向量b v 满足2430b e b -⋅+=v v v ，则a b -v v 的最小值是（ ）A 1B 1C ．2D ．2（六）数量积的最值或范围问题(1)临界分析法：结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围；(2)目标函数法：将数量积表示为某一个变量或两个变量的函数，建立函数关系式，再利用三角函数有界性、二次函数或基本不等式求最值或范围.【例23】（2020·福建省高三）已知三角形ABC 为直角三角形，点E 为斜边AB 的中点，对于线段AB 上的任意一点D 都有4CE CD BC AC ⋅=+=u u u v u u u v u u u v u u u v ， 则CD u u u r 的取值范围是（ ）A ．[2,B ．2,⎡⎣C ．2,⎡⎣D ．2,⎡⎣ 【例24】（2020·山东省枣庄八中高三月考）已知不共线向量,OA OB u u u v u u u v 夹角为α，1OA =u u u v ，2OB =u u u v ，()1OP t OA =-u u u v u u u v ，(01)OQ tOB t =≤≤u u u v u u u v ，PQ u u u v 在t t =0处取最小值，当0105t <<时，α的取值范围为（ ） A ．(0,)3π B ．(,)32ππ C ．2(,)23ππ D ．2(,)3ππ【新题好题针对训练】一、单选题1．（2020·全国高三课时练习）关于零向量，下列说法中错误的是 ( )A ．零向量是没有方向的B ．零向量的长度是0C ．零向量与任一向量平行D ．零向量的方向是任意的2．（2020·河南省高三开学考试）如图所示的ABC ∆中，点D 、E 、F 分别在边BC 、AC 、AD 上，且BD DC =，2AE EC =，2DF AF =，则向量EF =u u u r（ ）A ．1162AB AC -u u u r u u u r B ．1233AB AC -u u u r u u u r C ．1263AB AC -u u u r u u u rD ．1334AB AC -u u u v u u u v 3．（2020·湖北省恩施土家族苗族高中高三月考）在ABC ∆中，E 为线段AC 上一点，4AC AE =，P 为BE 上任一点，若AP mAB nAC =+u u u r u u u r u u u r ，且0m >，0n >，则11m n +的最小值是（ ） A ．12 B ．11 C ．10 D ．94．（2020·天津高三期末）在梯形ABCD 中，已知//AB CD ，2AB CD =，2DM MC =u u u u v u u u u v ，2CN NB =u u u v u u u v ，若AM AC AN λμ=+u u u u v u u u v u u u v ，则11λμ+=（ ） A ．1312 B ．6413 C ．3512- D ．4013-5．（2020·全国高三课时练习）设点P 是△ABC 所在平面内一点，PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 若，则点P 是△ABCA ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心6．（2020·宁夏回族自治区宁夏大学附属中学高三月考）已知向量()2,1a =r ，()0,1b =-r ，(),3c k =r .若()()2//a b b c -+r r r r ，则k 的值为（ ） A ．83 B ．2 C ．1- D ．437．（2020·鄂尔多斯市第一中学高三）已知在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，()0,2A ，2220OB OA +=，若平面内点P 满足3PB PA =u u u r u u u r ，则PO 的最大值为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4 8．（2020·湖北省高三月考）等腰直角三角形ABC 中，2ACB π∠=，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上一点，且2BP PA =，那么CP CA CP CB ⋅+⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v（ ）A ．4-B ．2-C ．2D ．49．（2020·山东省高三月考）已知3()|sin |2f x x π=，123,,A A A 为图象的顶点，O ，B ，C ，D 为()f x 与x 轴的交点，线段3A D 上有五个不同的点125,,,Q Q Q L ．记2(1,2,,5)i i n OA OQ i =⋅=u u u u v u uL u uv ，则15n n ++L 的值为（ ）A ．1532B ．45C ．452D ．1534二、填空题10．（2020·湖南省明达中学高三）已知平面向量a v 、b v 、c v 满足1a =v ，2b c ==v v ，且0b c ⋅=v v ，则当01λ≤≤时，(1)a b c λλ---v v v 的取值范围是_______ 11．（2020·江苏省高三）已知H 是ABC V 的垂心（三角形三条高所在直线的交点），1142AH AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，则cos BAC ∠的值为_______.12．（2020·江西省临川第二中学高三）设D 为ABC ∆所在平面内一点，1433AD AB AC =-+u u u vu u u v u u u v ，若()BC DC R λλ=∈u u u v u u u v ，则λ=__________． 13．（2020·全国高三专题练习）如图，在ABC V 中，3AB =,4AC =,45BAC ∠=︒,2CM MB =u u u u v u u u v ，过点M 的直线分别交射线AB 、AC 于不同的两点P 、Q ，若AP mAB =u u u v u u u v ，AQ nAC =u u u v u u u v ，则当32m =时，n =___________,AP AQ ⋅=u u u v u u u v __________．14．（2020·北京101中学高三月考）已知O 是锐角ABC ∆的外接圆圆心，A 是最大角，若cos cos sin sin B C AB AC mAO C B +=u u u v u u u v u u u v ，则m 的取值范围为________. 15．（2020·天津高三期末）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，1OB OD OC ===u u u r u u u r u u u r ，0OB OC OD ++=u u u r u u u r u u u r r ，A （1，1），则AD OB ⋅u u u r u u u r 的取值范围为___16．（2020·海南省高三）设ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为2，且满足OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则||||()OB OA OB OC R λλλ-+-∈u u u r u u u r u u u r u u u r 的最小值为________.三、解答题17．（2020·洪洞县第一中学高三期中）已知向量()()[]330a cosx sinx b x π==-∈r r ，，，，，． （1）若a b r P r ，求x 的值；（2）记()f x a b =⋅r r ，求函数y ＝f （x ）的最大值和最小值及对应的x 的值．18．（2020·江西省高三月考）在直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:163x y C +=，若圆222:O x y R +=(0)R >的一条切线与椭圆C 有两个交点,A B ，且0OA OB ⋅=u u u r u u u r .（1）求圆O 的方程；（2）已知椭圆C 的上顶点为M ，点N 在圆O 上，直线MN 与椭圆C 相交于另一点Q ，且2MN NQ =u u u u r u u u r ，求直线MN 的方程.。