高考数学专题04 函数的零点(第六篇)(解析版)

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第六篇函数与导数

专题04 函数的零点

【典例1】【辽宁省丹东市2020届模拟】已知设函数()ln(2)(1)ax

f x x x e =+-+.

（1）若0a =，求()f x 极值；

（2）证明：当1a >-，0a ≠时，函数()f x 在(1,)-+∞上存在零点. 【思路引导】

（1）通过求导得到()f x '，求出()0f x '=的根，列表求出()f x 的单调区间和极值.

（2）对a 进行分类，当1a >时，通过对()f x '求导，得到()f x '在()1,-+∞单调递减，找到其零点，进而得到()f x 的单调性，找到()0>0f x ，()00f <，可证()f x 在()1,-+∞上存在零点.

当01a <<时，根据（1）得到的结论，对()f x 进行放缩，得到1e 0a

f -⎛⎫> ⎪⎝⎭

，再由()00f <，可证()

f x 在()1,-+∞上存在零点. 【详解】

（1）当0a =时，()()()ln 21f x x x =+-+，定义域为()2,-+∞，由()1

02

x f x x +'=-

=+得1x =-． 当x 变化时，()

f x '，()f x 的变化情况如下表：

故当1x =-时，()f x 取得极大值()()()1ln 21110f -=---+=，无极小值． （2）()()1

e 112

ax f x a x x ⎡⎤=

-++⎣+'⎦，2x >-． 当0a >时，因为1x >-，所以()()

()2

1

e 1202ax

f x a a x x ⎡⎤=-

-++⎣+'<⎦

'， ()f x '在()1,-+∞单调递减．

因为()11e

0a

f --=->'，()1

002

f b -'=-<，

所以有且仅有一个()11,0x ∈-，使()10g x '=，

当11x x -<<时，()0f x '>，当1x x >时，()0f x '<， 所以()f x 在()11,x -单调递增，在()1,x +∞单调递减． 所以()()010f x f >-=，而()0ln210f =-<， 所以()f x 在()1,-+∞存在零点．

当10a -<<时，由（1）得()()ln 21x x +≤+， 于是e 1x x ≥+，所以()e

11ax

ax a x -≥-+>-+．

所以()()()()())

e e ln 21e 1ln 21]ax ax ax

f x x x x a x -⎡⎤⎡=+-+>-+++⎣⎣⎦

． 于是11111

11e e e 1ln e 21]e e 1ln e 1]0a a a a a

f a a -------⎡⎫⎡⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫>+-+->+--=⎪⎪⎢⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎢⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣

⎭⎣⎭．

因为()0ln210f =-<，所以所以()f x 在1e ,a -⎛⎫

+∞ ⎪⎝⎭

存在零点．

综上，当1a >-，0a ≠时，函数()f x 在()1,-+∞上存在零点．

【典例2】【河南省名校-鹤壁高中2019届高三压轴第二次考试】已知函数()2

23x

f x e x x =+-.

（1）求函数()f x '在区间[]0,1上零点个数；（其中()f x '为()f x 的导数） （2）若关于x 的不等式()()2

5312

f x x a x ≥+-+在[)1,+∞上恒成立，试求实数a 的取值范围. 【思路引导】

（1）根据()f x 可得()43x

f x e x '=+-，为递增函数，再根据零点存在性定理得出答案.

（2）将不等式整理转化为求函数()1

2x e x g x x x

=--在[)1,+∞的最小值，

利用导数判断单调性和取值范围，遂可得解. 【详解】

解：（1）函数()2

23x

f x e x x =+-的导数()43x

f x e x '=+-，

则()43x

f x e x '=+-在区间()0,1递增，

又()01320f '=-=-<，()14310f e e '=+-=+>， 则函数()f x '在区间[]0,1上只有一个零点； （2）若关于的不等式()()2

5312

f x x a x ≥

+-+在[)1,+∞上恒成立， 整理得1

2x e x a x x

≤--，

即求函数()1

2x e x g x x x

=--在[)1,+∞的最小值

由()1

2x e x g x x x =--的导数()()()222

11111122

x x e x e x g x x x x --+'=-+=-， 由1x y e x =--的导数为1x

y e '=-，可得

0x >时，0y '>，函数1x y e x =--递增，0x <时，函数1x y e x =--递减，

则10x e x --≥，即10x e x ≥+>，

当1x ≥时，()()()22

11111111

0222

x e x x x x x -++-+-≥-=>， 则()1

2x e x g x x x

=--在[)1,+∞递增，可得()()min 312g x g e ==-，

则3

2

a e ≤-

. 【典例3】【广东省茂名市2019届高三第一次综合测试】已知函数()()1

ln f x x a R ax

=+∈在1x =处的切线与直线210x y -+=平行．