学期高二期中质量调查数学(理)试题(扫描版)(附答案)
高二下学期期中考试理科数学试卷含答案(共5套)
高二下学期理科数学期中考试卷第I 卷（选择题共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}(){}2|560,|ln 1A x x x B x y x =--≤==-，则AB 等于（ ）A ．[]1,6-B ．(]1,6C ．[)1,-+∞D ．[]2,3 2．复数201811z i i=++在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3． 已知命题p ：存在实数α，β，sin()sin sin αβαβ+=+；命题q ：2log 2log 2a a +≥（0a >且1a ≠）. 则下列命题为真命题的是( )A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()p q ⌝∧D ．()p q ⌝∨ 4．已知平面向量,a b 满足3a =， 23b =，且a b +与a 垂直，则a 与b 的夹角为（ ）A.6π B. 3πC. 23πD. 56π5．设a R ∈，则“1a =”是“直线1l ：240ax y +-=与直线2l ：()120x a y +++=平行”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6．设实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥+≥+-010101y x y y x ，则y x z -=2的最大值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1D ．27．执行如图所示的程序框图，如果输入的a 依次为2，2，5时，输出的s 为17，那么在判断框 中，应填入（ ） A ．?n k < B ．?n k > C ．?n k ≥ D ．?n k ≤8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A ．121B ．49C ．92D ．39．某城市关系要好的A ， B ， C ， D 四个家庭各有两个小孩共8人，分别乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置），其中A 户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有（ ）A. 48种B. 36种C. 24种D. 18种 10．已知点D C B A ,,,在同一个球的球面上，2==BC AB ，2=AC ，若四面体ABCD 的体积为332，球心O 恰好在棱DA 上，则这个球的表面积为（ ）A ． π16B ．π8 C. π4 D ．425π11．P 为双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>上一点， 12,F F 分别为C 的左、右焦点， 212PF F F ⊥，若12PF F ∆的外接圆半径是其内切圆半径的2.5倍，则C 的离心率为（ ）A ．2或3B ．2或3C ．2D ．212．已知函数()f x 是定义在()0,+∞的可导函数，()'f x 为其导函数，当0x >且1x ≠ 时，()()2'01f x xf x x +>-，若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为1-，则()1f =（ ）A. 12-B. 0C. 12D. 1第II 卷(非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．2-=⎰**** .14．5(2)(1)x x +-展开式中含3x 项的系数为 **** ．（用数字表示） 15．若sin 2cos 24παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,且,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则cos2α= **** ． 16．对任一实数序列),,,(321 a a a A =，定义新序列),,,(342312 a a a a a a A ---=∆，它的第n 项为n n a a -+1，假设序列)(A ∆∆的所有项都是1，且02212==a a ，则=2a **** ．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(本小题满分10分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足()cos 2cos b C a c B =-. （1）求角B 的大小；（2）若b =，求ABC ∆面积的最大值．18．(本小题满分12分）某工厂为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按实现拟定的价格进行试销，得到一组检测数据),(i i y x （6,,2,1 =i ）如下表所示：已知变量,x y 具有线性负相关关系，且3961=∑=i ix，48061=∑=i i y ，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其回归直线方程为：甲：544+=x y ；乙：1064+-=x y ；丙：1052.4+-=x y ，其中有且仅有一位同学的计算是正确的.（1）试判断谁的计算结果正确？并求出,a b 的值；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则该检测数据是“理想数据”.现从检测数据中随机抽取2个，求至少有一个检测数据为“理想数据”的概率．19．(本小题满分12分）已知数列{}n a 满足13a =， 121n n a a n +=-+，数列{}n b 满足12b =， 1n n n b b a n +=+-. （1）证明：{}n a n -是等比数列； （2）数列{}n c 满足()()111n n n n a nc b b +-=++，求数列{}n c 的前n 项的和n T ．20．(本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，,PD PB H =为PC 上的点，过AH 的平面分别交,PB PD 于点,M N ，且//BD 平面AMHN ． （1）证明： MN PC ⊥；（2）当H 为PC 的中点， 3PA PC AB ==， PA 与平面ABCD 所成的角为60︒，求二面角P AM N --的余弦值．21．（本题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点)22,1(P ，且离心率为22. （1）求椭圆C 的方程；（2）设21,F F 分别为椭圆C 的左、右焦点，不经过1F 的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点B A ,，如果直线1AF 、l 、1BF 的斜率依次成等差数列，求焦点2F 到直线l 的距离d 的取值范围．22．（本小题满分12分）设函数e R a a x a e x f x,),ln(2)(∈+--=为自然对数的底数.（1）若0>a ，且函数)(x f 在区间),0[+∞内单调递增，求实数a 的取值范围； （2）若320<<a ，判断函数)(x f 的零点个数并证明．高二下学期理科数学期中考试参考答案及评分标准13、2π； 14、10 ； 15、8； 16、100. 11、【解析】由于12PF F ∆为直角三角形，故外心在斜边中线上.由于22b PF a =，所以212b PF a a =+，故外接圆半径为21122b PF a a=+.设内切圆半径为r ，根据三角形的面积公式，有2221122222b b b c c a r a a a ⎛⎫⋅⋅=+++⋅ ⎪⎝⎭，解得2b r ac =+，故两圆半径比为22:2.52b b a a a c ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，化简得()()()1230e e e +--=，解得2e =或3e =.12、【解析】曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为1-，所以()'11f =- ，当0x >且1x ≠时，()()2'01f x xf x x +>-，可得1x >时， ()()2'0,f x xf x +>01x <<时， ()()2'0f x xf x +<，令()()()2,0,,g x x f x x =∈+∞ ()()()()()2'2'2'g x xf x x f x x f x xf x ⎡⎤∴=+=+⎣⎦，可得1x >时，()'0,g x >01x <<时，()'0g x <，可得函数()g x 在1x =处取得极值， ()()()'121'10,g f f ∴=+=， ()()111'122f f ∴=-⨯=，故选C.17、【解析】 (1)由()cos 2cos b C a c B =-，得()sin cos 2sin sin cos B C A C B ⋅=-⋅sin()2sin cos sin B C A B A ∴+=⋅=，又sin 0A ≠, 1cos 2B ∴=， 又0B π<<, 3B π∴=. （2）由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，∴2212a c ac =+-，∵222a c ac +≥，∴12ac ≤，当且仅当a c ==∴11sin 12222ABC S ac B ∆=≤⨯⨯=即ABC ∆面积的最大值为.……………………10分18、解：（1）∵变量y x ,具有线性负相关关系， ∴甲是错误的. 又∵3961=∑=i ix，48061=∑=i i y ，∴80,5.6==y x ，满足方程1064+-=x y ，故乙是正确的.由3961=∑=i ix，48061=∑=i i y ，得8=a ，90=b . ……………………6分（2）由计算得不是“理想数据”有3个，即(5,84),(7,80),(9,68)，从6个检测数据中随机抽取2个，共有2615C =种不同的情形，其中这两个检测数据都不是“理想数据”有233C =中情形，故至少有一个检测数据为“理想数据”的概率为：341155P =-=.……………………12分19、【解析】（1）121n n a a n +=-+()()112n n a n a n +∴-+=-，又因为112a -=，所以{}n a n -是首项为2，公比为2的等比数列. …………………4分 （2）由（1）得()11122n n n a n a --=-⋅=，又1n n n b b a n +=+-12n n n b b +∴-=()()()()121112*********n n n n n n n n b b b b b b b b n -----∴=-+-+-+=++++=≥12b =满足上式. 2nn b ∴=()()()()1112111121212121n n n n n n n n n a n c b b +++-===-++++++12231111111111212121212121321n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭………12分20、【解析】（1）证明：连结AC 交BD 于点O ，连结PO ．因为ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，且O 为AC 、BD 的中点，因为PD PB =，所以PO BD ⊥，因为AC PO O =且AC PO ⊂、平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，因为PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥．因为//BD 平面AMHN ， BD ⊂平面PBD ，且平面AMHN平面PBD MN =，所以//BD MN ，所以MN PC ⊥． ………………4分 （2）由（1）知BD AC ⊥且PO BD ⊥， 因为PA PC =，且O 为AC 的中点， 所以PO AC ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ， 所以PA 与平面ABCD 所成的角为PAO ∠， 所以，所以13,22AO PA PO PA ==， 因为3PA AB =，所以36BO PA =． 如图，分别以OA ， OB ， OP 为,,x y z 轴，建立所示空间直角坐标系， 设6PA =，则()()()()0,0,0,3,0,0,0,3,0,3,0,0O A B C -，()0,3,0,D -()3330,0,33,,0,22P H ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ 所以()9330,23,0,,0,,22DB AH ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭ ()()3,3,0,3,0,33AB AP =-=-．记平面AMHN 的法向量为()1111,,n x y z =，则11111230933022n DB y n AH x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩， 令11x =，则110,3y z ==，所以()11,0,3n =，记平面PAB 的法向量为()2222,,n x y z =，则2222223303330n AB x y n AP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令23x =，则223,1y z ==，所以()23,3,1n =，记二面角P AM N --的大小为θ，θ为锐角 则1212122339cos cos ,13213n n n n n n θ⋅====⋅⋅ 所以二面角P AM N --的余弦值为3913．……………………12分21、解析：（1）由题意，知22111,22a b c a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩考虑到222a b c =+，解得222,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程为2212x y +=. ……………………3分 （2）设直线l 的方程为y kx m =+，代入椭圆方程2212x y +=， 整理得222(12)42(1)0k x kmx m +++-=.由222(4)8(12)(1)0km k m ∆=-+->，得2221k m >-. ①设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122412kmx x k+=-+，21222(1)12m x x k -=+. 因为(1,0)F -，所以1111AF y k x =+，1221AF y k x =+. 因为1212211y yk x x =+++，且11y kx m =+，22y kx m =+， 所以12()(2)0m k x x -++=.因为直线AB ：y kx m =+不过焦点(1,0)F -，所以0m k -≠， 所以1220x x ++=，从而242014km k -+=+，即12m k k=+. ② 由①②得2212()12k k k>+-，化简得||2k > ③ 焦点2(1,0)F 到直线l ：y kx m =+的距离211|2|2k d ++===.令t =||2k >t ∈.于是23132()2t d t t t+==+.考虑到函数13()()2f t t t=+在上单调递减，则(1)f d f <<2d <<.所以d的取值范围为2). ……………………12分22、解：(1)∵函数()x f 在区间[)∞+，0内单调递增， ∴01)('≥+-=ax e x f x在区间[)∞+，0内恒成立. 即x ea x-≥-在区间[)∞+，0内恒成立. 记()x ex g x-=-，则01)('<--=-x e x g 恒成立，∴()x g 在区间[)∞+，0内单调递减, ∴()()10=≤g x g ，∴1≥a ，即实数a 的取值范围为[)∞+，1.…………………4分 (2)∵320<<a ，ax e x f x+-=1)('， 记)(')(x f x h =，则()01)('2>++=a x e x h x， 知)('x f 在区间()+∞-,a 内单调递增. 又∵011)0('<-=a f ，1'(1)01f e a=->+， ∴)('x f 在区间()+∞-,a 内存在唯一的零点0x ， 即01)('000=+-=ax ex f x ， 于是ax ex +=01，()a x x +-=00ln . 当0x x a <<-时，)(,0)('x f x f <单调递减； 当0x x >时，)(,0)('x f x f >单调递增.∴()())ln(200min 0a x a ex f x f x +--==a a ax a x x a a x 3231210000-≥-+++=+-+=，当且仅当10=+a x 时，取等号. 由320<<a ，得032>-a ， ∴()()00min >=x f x f ，即函数()x f 没有零点. …………12分高二（下）理科数学期中考试试卷一、单选题（共12题；共60分）1．()()121-1x +=⎰A. 212+π B. 214+πC. 12+πD. 21+π2．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，以A 为顶点且过点C 的抛物线的一部分在矩形内.若在矩形ABCD 内随机地投一点，则此点落在阴影部分内的概率为（）A.12 B. 23 C. 35D. 34 3．设复数z 满足()11z i i +=-，则z =（） A. 2i -- B. 1i -- C. 2i -+ D. 1i -+4．设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[42ππ，），则点P横坐标的取值范围为()A. 12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦， B. []10-，C. []01， D. 12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭， 5．已知函数，在区间（0，1）内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是A. （15，B. [15，C. （，6） D. （，66．若,则下列不等式恒成立的是 ( )A.B.C. D.7．函数f(x)＝x 3＋ax 2+bx ＋a 2在x=1处的极值为10，则数对（a,b ）为( )A. （-3,3）B. （-11,4）C. （4，-11）D.（-3,3）或（4，-11） 8.已知对于任意恒成立，则实数a 的最大值为（ ）A. 0B. 1C.D.9.函数f（x）= 的大致图象是（）A. B.C. D.10.已知函数，其导函数的图象如图，则函数的极小值为（）A. cB. a+b+cC. 8a+4b+cD. 3a+2b11.设函数的导函数为，且，，则下列不等式成立的是（）A. B.C. D.12.若函数在内无极值，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（共4题；共20分）13.若，则= ________14.球的直径为，当其内接正四棱柱的体积最大时的高为________.15.已知函数在上为减函数，则实数的取值范围是________.16.若函数在上有最小值，则实数的取值范围为________.三、解答题（共6题；共70分）17.已知．(满分10分) （1）若时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，求函数的单调区间．18.已知函数，．（满分10分）（1）若，判断函数是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理由；（2）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围.19.已知三棱锥A BCD -如图所示，其中90BAD BDC ∠=∠=︒，ADB DBC ∠=∠，面ABD 垂直面CBD.（满分14分）（1）证明：AB DC ⊥；（2）若E 为线段BC 的中点，且1AD =，tan 6CAD ∠=，求二面角B AD E --的余弦值.20.已知椭圆C1的方程为+ =1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而以双曲线C2的左、右顶点分别是椭圆C1的左、右焦点．（满分12分）（1）求双曲线C2的方程；（2）记O为坐标原点，过点Q（0，2）的直线l与双曲线C2相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为2 ，求直线l的方程．21.已知椭圆E：+ =1（a＞b＞0）过点，且离心率e为．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G 与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．（满分12分）22.已知函数f（x）=（a﹣）x2+lnx（a为实数）．（满分12分）（1）当a=0时，求函数f（x）在区间[ ，e]上的最大值和最小值；（2）若对任意的x∈（1，+∞），g（x）=f（x）﹣2ax＜0恒成立，求实数a的取值范围．19、（满分14分）20. （满分12分）21、（满分12分）答案解析部分1,B 2,B 3,A 4,D 5,B 6,C 7,C8.【答案】C【解析】【解答】依题意得令，则,当时，，当时，，所以函数先增后减，最小值为，所以.故答案为:C.9.【答案】C【解析】【解答】解：∵f（x）= ，当x=0时，f（0）=﹣3，故排除AB当x= 时，f（）=0，故排除D，故选：C10.【答案】C【解析】【解答】由导函数的图象可知，在处取得极小值，.f(2)=8a+4b+c故答案为：C。
2022-2023学年四川省成都市高二下学期期中考试数学(理)试题2【含答案】
2022-2023学年四川省成都市高二下学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．已知i 为虚数单位，复数1iiz -=，则z =（）A ．1B ．2C ．3D ．2【答案】B【分析】由复数的四则运算可得1i z =--，再由复数模的计算公式求解即可.【详解】解：因为21i (1i)i(i i )1i i i iz --⋅===--=--⋅，所以22(1)(1)2z =-+-=.故选：B.2．如图茎叶图记录了甲乙两位射箭运动员的5次比赛成绩（单位：环），若两位运动员平均成绩相同，则运动员乙成绩的方差为（）A ．2B ．3C ．9D ．16【答案】A【分析】根据甲、乙二人的平均成绩相同求出x 的值，再根据方差公式求出乙的方差即可.【详解】因为甲乙二人的平均成绩相同，所以8789909193888990919055x+++++++++=，解得2x =，故乙的平均成绩8889909192905++++=，则乙成绩的方差222222[(8890)(8990)(9090)(9190)(9290)]25s -+-+-+-+-==.故选：A.3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，则双曲线C 的离心率为（）A ．2B ．2C ．3D ．5【答案】D 【分析】先求得ba，进而求得双曲线的离心率.【详解】依题意，双曲线的一条渐近线方程为20,2x y y x -==，所以2222222,15b c c a b b e a a a a a +⎛⎫=====+= ⎪⎝⎭.故选：D4．已知m ，n 表示两条不同的直线，α表示平面．下列说法正确的是（）A ．若m α ，n α∥，则m n ∥B ．若m α⊥，n α⊥，则m n ∥C ．若m α⊥，m n ⊥，则n α∥D ．若m α ，m n ⊥，则n α⊥【答案】B【分析】根据空间直线与平面间的位置关系判断．【详解】对于A ，若m α ，n α∥，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误；对于B ，若m α⊥，n α⊥，由线面垂直的性质定理得m n ∥，故B 正确；对于C ，若m α⊥，m n ⊥，则n α∥或n ⊂α，故C 错误；对于D ，若m α ，m n ⊥，则n 与α相交、平行或n ⊂α，故D 错误．故选：B ．5．“4m =”是“直线()34420m x y -+-=与直线220mx y +-=平行”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】由直线()34420m x y -+-=与直线220mx y +-=平行可求得m 的值，集合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】若直线()34420m x y -+-=与直线220mx y +-=平行，则()()23442342m mm m ⎧-=⎪⎨--≠-⎪⎩，解得4m =.因此，“4m =”是“直线()34420m x y -+-=与直线220mx y +-=平行”的充要条件.故选：C.6．执行该程序框图，若输入的a 、b 分别为35、28，则输出的=a （）A ．1B ．7C ．14D ．28【答案】B【分析】根据程序框图列举出循环的每一步，即可得出输出结果.【详解】第一次循环，35a =，28b =，a b ¹成立，a b >成立，则35287a =-=；第二次循环，7a =，28b =，a b ¹成立，a b >不成立，则28721b =-=；第三次循环，7a =，21b =，a b ¹成立，a b >不成立，则21714b =-=；第四次循环，7a =，14b =，a b ¹成立，a b >不成立，则1477b =-=.7a b ==，则a b ¹不成立，跳出循环体，输出a 的值为7.故选：B.7．函数()()22e xf x x x =-的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】由函数()f x 有两个零点排除选项A ，C ；再借助导数探讨函数()f x 的单调性与极值情况即可判断作答．【详解】由()0f x =得，0x =或2x =，选项A ，C 不满足，即可排除A ，C由()()22e x f x x x =-求导得()()22e xx x f '=-，当2x <-或2x >时，()0f x ¢>，当22x -<<时，()0f x '<，于是得()f x 在(),2-∞-和()2,+∞上都单调递增，在()2,2-上单调递减，所以()f x 在2x =-处取极大值，在2x =处取极小值，D 不满足，B 满足．故选：B8．已知曲线1cos :sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数).若直线323x y +=与曲线C 相交于不同的两点,A B ，则AB 的值为A ．12B ．32C ．1D ．3【答案】C【详解】分析：消参求出曲线C 的普通方程：22(1)1x y -+=，再求出圆心(1,0)到直线的距离d ，则弦长222AB r d =-．详解：根据22cos sin 1θθ+=，求出曲线C 的普通方程为22(1)1x y -+=，圆心(1,0)到直线的距离3233231d -==+，所以弦长222AB r d =-321=14=-，选C.点睛：本题主要考查将参数方程化为普通方程，直线与圆相交时，弦长的计算，属于中档题．9．过椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>右焦点F 的直线l ：20x y --=交C 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12-，则椭圆C 的方程为（）A ．22184x y +=B ．22195x y +=C ．22173x y +=D ．221106x y +=【答案】A【分析】由l 与x 轴交点横坐标可得半焦距c ，设出点A ，B 坐标，利用点差法求出22,a b 的关系即可计算作答.【详解】依题意，焦点(2,0)F ，即椭圆C 的半焦距2c =，设1122(,),(,)A x y B x y ，00(,)P x y ，则有2222221122222222b x a y a b b x a y a b⎧+=⎨+=⎩，两式相减得：2212121212()()a ()()0b x x x x y y y y +-++-=，而1201202,2x x x y y y +=+=，且0012y x =-，即有2212122()()0b x x a y y --+-=，又直线l 的斜率12121y y x x -=-，因此有222a b =，而2224a b c -==，解得228,4a b ==，经验证符合题意，所以椭圆C 的方程为22184x y +=.故选：A10．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设22DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是A ．413B ．21313C ．926D ．31326【答案】A【分析】根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可．【详解】在ABD ∆中，3AD =，1BD =，120ADB ∠=︒，由余弦定理，得222cos12013AB AD BD AD BD =+-⋅︒=，所以213DF AB =.所以所求概率为224=1313DEF ABC S S ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选A.【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．11．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，2PA AB ==，4=AD ，E 为PC 的中点，则面PCD 与直线BE 所成角的余弦值为（）A ．35B ．23015C ．2515D ．10515【答案】D【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得面PCD 与直线BE 所成角的余弦值.【详解】因为PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()2,0,0B 、()2,4,0C 、()0,4,0D 、()002P ,,、()1,2,1E ，设平面PCD 的法向量为(),,n x y z = ，()2,0,0DC =uuu r，()0,4,2DP =-uuu r ，则20420n DC x n DP y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取1y =，可得()0,1,2n = ，()1,2,1BE =- ，所以，4230cos ,1565BE n BE n BE n⋅===⨯⋅，所以，22230105sin ,1cos ,11515BE n BE n ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭，因此，面PCD 与直线BE 所成角的余弦值为10515.故选：D.12．已知函数()ln 1f x x ax =+-有两个零点1x 、2x ，且12x x <，则下列命题正确的个数是（）①01a <<；②122x x a +<；③121x x ⋅>；④2111x x a->-；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】由()0f x =可得1ln xa x+=，设()ln 1x g x x +=，其中0x >，则直线y a =与函数()g x 的图象有两个交点，利用导数分析函数()g x 的单调性与极值，数形结合可判断①；构造函数()()2h x f x f x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，其中10x a <<，分析函数()h x 的单调性，可判断②③；分析出1211e x x <<<、1210x x a<<<，利用不等式的基本性质可判断④.【详解】由()0f x =可得ln 1x a x+=，令()ln 1x g x x +=，其中0x >，则直线y a =与函数()g x 的图象有两个交点，()2ln xg x x '=-，由()0g x '>可得01x <<，即函数()g x 的单调递增区间为()0,1，由()0g x '<可得1x >，即函数()g x 的单调递减区间为()1,+∞，且当10e x <<时，()ln 10x g x x+=<，当1e x >时，()ln 10x g x x +=>，如下图所示：由图可知，当01a <<时，直线y a =与函数()g x 的图象有两个交点，①对；对于②，由图可知，1211ex x <<<，因为()11ax f x a x x -'=-=，由()0f x ¢>可得10x a<<，由()0f x '<可得1x a >，所以，函数()f x 的增区间为10,a ⎛⎫⎪⎝⎭，减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，则必有1210x x a <<<，所以，110x a <<，则121x a a->，令()()222ln ln h x f x f x x a x x ax a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=----+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中10x a <<，则()212112022a x a h x a x x x x a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭'=-+=<⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则函数()h x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以，()110h x h a ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即()1120f x f x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，即()112f x f x a ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，又()20f x =，可得()212f x f x a ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，因为函数()f x 的单调递减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，则212x x a >-，即122x x a +>，②错；对于③，由1122ln 1ln 1ax x ax x =+⎧⎨=+⎩，两式相加整理可得()1212ln 22x x x x a a ++=>，所以，()12ln 0x x >，可得121x x >，③对；对于④，由图可知1211ex x <<<，则11x ->-，又因为21x a >，所以，2111x x a->-，④对.故选；C.【点睛】证明极值点偏移的相关问题，一般有以下几种方法：（1）证明122x x a +<（或122x x a +>）：①首先构造函数()()()2g x f x f a x =--，求导，确定函数()y f x =和函数()y g x =的单调性；②确定两个零点12x a x <<，且()()12f x f x =，由函数值()1g x 与()g a 的大小关系，得()()()()()1112122g x f x f a x f x f a x =--=--与零进行大小比较；③再由函数()y f x =在区间(),a +∞上的单调性得到2x 与12a x -的大小，从而证明相应问题；（2）证明212x x a <（或212x x a >）（1x 、2x 都为正数）：①首先构造函数()()2a g x f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求导，确定函数()y f x =和函数()y g x =的单调性；②确定两个零点12x a x <<，且()()12f x f x =，由函数值()1g x 与()g a 的大小关系，得()()()2211211a a g x f x f f x f x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与零进行大小比较；③再由函数()y f x =在区间(),a +∞上的单调性得到2x 与21a x 的大小，从而证明相应问题；（3）应用对数平均不等式12121212ln ln 2x x x xx x x x -+<<-证明极值点偏移：①由题中等式中产生对数；②将所得含对数的等式进行变形得到1212ln ln x x x x --；③利用对数平均不等式来证明相应的问题.二、填空题13．已知函数()sin cos f x x x =+，则π4f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭______．【答案】0【分析】求出()f x '，代值计算可得出π4f ⎛⎫' ⎪⎝⎭的值.【详解】因为()sin cos f x x x =+，则()cos sin f x x x '=-，故πππcos sin 0444f ⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭.故答案为：0.14．天府绿道是成都人民朋友圈的热门打卡地，经统计，天府绿道旅游人数x （单位：万人）与天府绿道周边商家经济收入y （单位：万元）之间具有线性相关关系，且满足回归直线方程为ˆ12.60.6yx =+，对近五个月天府绿道旅游人数和周边商家经济收入统计如下表：x23 3.5 4.57y26384360a则表中a 的值为___________.【答案】88【分析】根据样本平均值满足回归直线方程求解.【详解】样本平均值满足回归直线方程，x 的平均值为23 3.5 4.5745++++=，则y 的平均值2638436012.640.65a++++=⨯+，解得88a =，故答案为：88.15．已知函数f （x ）＝e x +ax ﹣3（a ∈R ），若对于任意的x 1，x 2∈[1，+∞）且x 1＜x 2，都有()()()211212x f x x f x a x x -<-成立，则a 的取值范围是__.【答案】（﹣∞，3]【分析】原不等式等价于()()1212f x a f x a x x ++＜，构造()()f x ah x x+=，由函数单调性的定义可知，h （x ）在[1，+∞）上单调递增，即有h '（x ）≥0在[1，+∞）上恒成立，亦即a ﹣3≤xe x ﹣e x 在[1，+∞）上恒成立，构造g （x ）＝x e x ﹣e x ，由导数求解函数g （x ）的最小值，即可得到a 的取值范围.【详解】原不等式等价于()()1212f x a f x a x x ++＜,令()()f x ah x x+=，则不等式等价于h （x 1）＜h （x 2）对于任意的x 1，x 2∈[1，+∞）且x 1＜x 2都成立，故函数h （x ）在[1，+∞）上单调递增，又函数f （x ）＝e x +ax ﹣3，则()e 3x ax a h x x +-+=，所以h '（x ）2e e 30x x x ax -+-=≥在[1，+∞）上恒成立，即x e x﹣e x +3﹣a ≥0在[1，+∞）上恒成立，即a ﹣3≤x e x ﹣e x 在[1，+∞）上恒成立，令g （x ）＝x e x ﹣e x ，因为g '（x ）＝x e x ＞0在[1，+∞）上恒成立，所以g （x ）在[1，+∞）上单调递增，则g （x ）≥g （1）＝0，所以a ﹣3≤0，解得a ≤3，所以实数a 的取值范围是（﹣∞，3].故答案为：（﹣∞，3].16．已知点F 为抛物线28y x =的焦点，()2,0M -，点N 为抛物线上一动点，当NFNM最小时，点N 恰好在以M 、F 为焦点的双曲线上，则该双曲线的渐近线的斜率的平方为______．【答案】222+【分析】作出图形，分析可知MN 与抛物线28y x =相切时，NFNM取最小值，设直线MN 的方程为2x my =-，将该直线的方程与抛物线的方程联立，求出m 的值，进而可求出点N 的坐标，利用双曲线的定义求出a 的值，结合c 的值可得出22221b ca a=-，即为所求.【详解】抛物线28y x =的焦点为()2,0F ，其准线为:2l x =-，如下图所示：过点N 作NE l ⊥，垂足为点E ，由抛物线的定义可得NF NE =，易知//EN x 轴，则NMF MNE ∠=∠，所以，cos cos NF NE MNE NMF MNMN==∠=∠，当NFNM取最小值时，NMF ∠取最大值，此时，MN 与抛物线28y x =相切，设直线MN 的方程为2x my =-，联立228x my y x=-⎧⎨=⎩可得28160y my -+=，则264640m ∆=-=，解得1m =±，由对称性，取1m =，代入28160y my -+=可得28160y y -+=，解得4y =，代入直线MN 的方程2x y =-可得2x =，即点()2,4N ，则224NF =+=，()2222442MN =++=，设双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b -=>>，由双曲线的定义可得2424a MN NF =-=-，所以，()221a =-，又因为2c =，则()221221c a ==+-，所以，()222221211222b c a a =-=+-=+.故答案为：222+.三、解答题17．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12232x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0ρθθ-=.(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)已知直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，设()2,0M ，求MA MB 的值.【答案】(1)3230x y --=，24y x=(2)323【分析】（1）根据直线参数方程消掉参数t 即可得到直线的普通方程；（2）由直线参数方程中t 的几何意义即可求解.【详解】（1）∵直线l 的参数方程为12232x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），∴消去t 可得直线l 的普通方程为:3230x y --=.∵曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0ρθθ-=，即22sin 4cos 0ρθ-ρθ=，又∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴曲线C 的直角坐标方程为24y x =.（2）将12232x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入24y x =，得238320t t --=，显然0∆>，即方程有两个不相等的实根，设点A ，B 在直线l 的参数方程中对应的参数分别是1t ，2t ，则1283t t +=，12323t t =-，∴12323MA MB t t ==.18．已知函数()32f x x x ax b =-++，若曲线()y f x =在()()0,0f 处的切线方程为1y x =-+．(1)求a ，b 的值；(2)求函数()y f x =在[]22-,上的最小值．【答案】(1)1a =-；1b =(2)9-【分析】（1）根据函数的切线方程即可求得参数值；（2）判断函数在[]22-,上单调性，进而可得最值.【详解】（1）由已知可得()01f b ==．又()232f x x x a '=-+，所以()01f a '==-．（2）由（1）可知()321f x x x x =--+，()2321f x x x '=--，令()0f x ¢>，解得13x <-或1x >，所以()f x 在12,3⎡⎫--⎪⎢⎣⎭和[]1,2上单调递增，在1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减．又()29f -=-，()10f =，所以函数()y f x =在[]22-,上的最小值为9-．19．某校组织全体学生参加“数学以我为傲”知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：[40，50），[50，60），[60，70），……，[90，100]，统计结果如图所示：(1)试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；(2)现在按分层抽样的方法在[80，90）和[90，100]两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，求两人都在[90，100]的概率．【答案】(1)70.5(2)110【分析】（1）根据频率分布直方图直接代入平均数的计算公式即可求解；（2）根据分层抽样在[)80,90分组中抽取的人数为15531015⨯=+人，在[]90,100分组中抽取的人数为2人，利用古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】（1）由频率分布直方图的数据，可得这100名学生得分的平均数：()450.01550.015650.02750.03850.015950.011070.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=分．（2）在[)80,90和[]90,100两组中的人数分别为：100×(0.015×10)=15人和100×(0.01×10)=10人，所以在[)80,90分组中抽取的人数为15531015⨯=+人，记为a ，b ，c ，在[]90,100分组中抽取的人数为2人，记为1，2，所以这5人中随机抽取2人的情况有：()()()()()()()()()(){},,,1,2,1,2,1,2,12ab ac bc a a b b c c Ω=，共10种取法，其中两人得分都在[]90,100的情况只有(){}12，共有1种，所以两人得分都在[]90,100的概率为110P =．20．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形ADPQ 是梯形，PD //QA ，PD ⊥平面ABCD ，且22PD QA ==．(1)求证：BC ⊥平面QAB ；(2)求平面PBQ 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)66【分析】（1）由PD ⊥平面ABCD ，PD //QA ，可得QA ⊥平面ABCD ，进而得到QA BC ⊥，结合BC AB ⊥，进而得证；（2）以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，D 为原点建立空间直角坐标系，找出平面PBQ 与平面PCD 的法向量，根据两面的法向量即可求解．【详解】（1）证明：∵PD ⊥平面ABCD ，PD //QA ，∴QA ⊥平面ABCD ．∵BC ⊂平面ABCD ，∴QA BC ⊥．在正方形ABCD 中，BC AB ⊥，又AB QA A ⋂=，AB ，QA ⊂平面QAB ，∴BC ⊥平面QAB ．（2）建立空间直角坐标系如图：以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，D 为原点，则有()2,2,0B ，()002P ,,，()2,0,1Q ，()0,2,1QB =- ，()2,0,1PQ =- ，设平面PBQ 的一个法向量为(),,m x y z = ，则有00m QB m PQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得2020y z x z -=⎧⎨-=⎩，令2z =，则1x =，1y =，()1,1,2m = ，易知平面PCD 的一个法向量为()1,0,0n =r ，设平面PBQ 与平面PCD 所成二面角的平面角为α，则16cos 616m n m n α⋅===⨯⋅ ，即平面PBQ 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值66．21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为32，左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为C 的上顶点，且12PF F △的周长为423+．(1)求椭圆C 的方程；(2)设过定点()0,2M 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围．【答案】(1)2214x y +=(2)332,,222⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）由椭圆的定义以及离心率可得出a 、c 的值，进而可求得b 的值，由此可得出椭圆C 的方程；（2）分析可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为2y kx =+，设()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由0∆>结合0OA OB ⋅> 可求得k 的取值范围.【详解】（1）设椭圆C 的半焦距为c ．因为12PF F △的周长为121222423PF PF F F a c ++=+=+，①因为椭圆C 的离心率为32，所以32c a =，②由①②解得2a =，3c =．则221b a c =-=，所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）若直线l x ⊥轴，此时，直线l 为y 轴，则A 、O 、B 三点共线，不合乎题意，设直线l 的方程为2y kx =+，设()11,A x y 、()22,B x y ，联立()22221141612042x y k x kx y kx ⎧+=⎪⇒+++=⎨⎪=+⎩，()()()222Δ164411216430k k k =-+⨯=->，解得234k >，由韦达定理可得1221641k x x k +=-+，1221241x x k =+，则()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++，又AOB ∠为锐角，A 、O 、B 不共线，则cos 0AOB ∠>，即()()()22221212121221213216412441k k k OA OB x x y y k x x k x x k +-++⋅=+=++++=+ 22164041k k -=>+，解得204k <<，所以，2344k <<，解得322k -<<-或322k <<，所以实数k 的取值范围为332,,222⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.22．已知函数()2ln f x x x ax a =-+.（1）若()f x a ≤，求a 的取值范围；（2）若()f x 存在唯一的极小值点0x ，求a 的取值范围，并证明()0210a f x -<<.【答案】（1）1[,)e +∞（2）12a <；证明见解析；【分析】（1）可利用分离参数法，将问题转化为ln x a x ≥恒成立，然后研究ln ()x g x x=的单调性，求出最大值；（2）通过研究()f x '在()0,∞+内的变号零点，单调性情况确定唯一极小值点；若不能直接确定()f x '的零点范围及单调性，可以通过研究()g x '的零点、符号来确定()f x '的单调性，和特殊点（主要是能确定()f x '符号的点）处的函数值符号，从而确定()f x 的极值点的存在性和唯一性．【详解】(1)()f x 的定义域为()0,∞+.由()f x a ≤，得ln x a x ≥在()0,x ∈+∞恒成立，转化为max ln ()x a x ≥令ln ()x g x x =，则21ln ()x g x x -'=，∴ln ()x g x x=在()0,e 单调递增，在(),e +∞单调递减，∴()g x 的最大值为1(e)g e=，∴1a e ≥.∴a 的取值范围是1[,)e+∞.(2)设()()g x f x '=，则()ln 12g x x ax =+-，1()2g x a x'=-，0x >.①当a<0时，()0g x '>恒成立，()g x 在()0,∞+单调递增，又()1120g a =->，212121()21122(1)0a a a g e a ae a e ---=-+-=-<所以()g x 存在唯一零点()10,1x ∈.当()10,x x ∈时，()()0f x g x '=<，当()1,1x x ∈时，()()0f x g x '=>.所以()f x 存在唯一的极小值点01x x =.②当0a =时，()ln 1g x x =+，()g x 在()0,∞+单调递增，1()0g e =，所以()g x 在()0,∞+有唯一零点1e.当1(0,)∈x e时，()()0f x g x '=<，当1(,1)x e∈时，()()0f x g x '=>.所以()f x 存在唯一的极小值点01x e =.③当0a >时，令()0g x '>，得1(0,)2x a ∈；令()0g x '<，得1(,)2x a ∈+∞，∴()g x 在1(0,)2a 单调递增，在1(,)2a+∞单调递减，所以()g x 的最大值为1()ln(2)2g a a =-④当102a <<时，1()0g e<，()1120g a =->，1()02g a >，21212()212(1)10l 1n g a a aa a =-+-<--+-=-<(或用11111()20a a g eae a --=-<)由函数零点存在定理知：()g x 在区间()0,1，()1,+∞分别有一个零点2x ，3x 当()20,x x ∈时，()()0f x g x '=<；当()23,x x x ∈时，()()0f x g x '=>；所以()f x 存在唯一的极小值点02x x =，极大值点3x .⑤当12a ≥时，102g a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，()()0f x g x '=≤所以()f x 在()0,∞+单调递减，无极值点.由①②④可知，a 的取值范围为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，当()00,x x ∈时，()0f x '<；所以()f x 在()00,x 单调递减，()0,1x 单调递增.所以()0(1)0f x f <=.由()000ln 120f x x ax '=+-=，得00ln 21x ax =-.所以20000ln ()f x x ax ax =-+2000(21)x ax ax a=--+200ax a x =+-2000()(21)1f x a ax a x --=--+[]00(1)(1)1x a x =-+-，因为0(0,1)x ∈，1,2a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，所以010x -<，()01112102a x +-<⨯-=所以()0(21)0f x a -->，即()021f x a >-；所以()0210a f x -<<.【点睛】本题通过导数研究函数的零点、极值点的情况，一般是先研究导函数的零点、单调性，从而确定原函数的极值点存在性和个数．同时考查学生运用函数思想、转化思想解决问题的能力和逻辑推理、数学运算等数学素养．。
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高二期中理科数学试卷10、 若 f ( x)1 x2 b ln( x 2)在 (-1,+ ) 上是减函数，b 的取 范 是（）2第 I 卷 （ , 共 60 分）A. [ 1,)B.( 1, )C.( , 1]D.( , 1)一、 （共12 小 ，每小 5 分，共 60 分）11、点 P 是曲 yx 2ln x上任意一点 , 点 P 到直 yx 2 的距离的最小 是（）51、复数的共 复数是 ()2i(A)１(B)2(C)２(D) 2 2A 、 i 2B 、 i 2C 、2 iD 、 2 i'12、 于 R 上可 的任意函数 f （ x ），且3f (1) 0若 足（ － ）， 必有（）2、 已知 f(x)=x· sinx，f '(1) )x1 f（ x ）>0=(A ． f （0）＋ f （2） 2 f （ 1）B ． f （ 0）＋ f （2） 2 f （ 1）1+cos1 B.1 sin1+cos1 C.1 D.sin1+cos1C ． f （0）＋ f （2） > 2 f （ 1）D． f （0）＋ f （ 2） 2 f （ 1）A.3 sin1-cos133第Ⅱ卷 （非 , 共 90 分）3、 设 aR ，函数 fe xae x 的导函数为 f ' xx，且 f ' x是奇函数，则 a 为 （）5 分，共 20分）二．填空 （每小A ．0B． 1 C．2D． -124、 定积分1x13、 f (x)x , x [0,1]， 02f ( x) dx =( 2 x e ) dx 的值为（ ）2 x, x(1,2]A 2 eB e CeD2 e ．． ．1．14、若三角形内切 半径r ，三 a,b,c 三角形的面S（r a b c ）；1 112(n ≥ 2， n ∈N * )的 程中，由5、利用数学 法 明不等式1＋ 2 ＋ 3＋⋯2n － 1<f(n) n ＝ k 到 n＝ k ＋ 1 ，左 增加了 ()利用 比思想：若四面体内切球半径R ，四个面的面S 1， S 2， S 3， S 4 ；A ． 1B ． kk －1k四面体的体V=C ．2D ． 22，其中 i 是虚数 位， |z|＝ ______.15、若复数 z ＝6、由直 y= x - 4，曲 y2x 以及 x 所 成的 形面 （）1＋ 3i16、已知函数 f(x) ＝ x 3＋ 2x 2－ ax ＋ 1 在区 (－ 1,1)上恰有一个极 点， 数 a 的取 范_____．4025B.13C.D.1570 分）A.2三、解答 （本大 共37、函数 f (x)x 3ax 2bx a 21 有极 10,点 (a, b)（）17、（ 10 分） 实数 m 取怎样的值时，复数z m3 (m 22m 15)i 是：在 x（ A ） (3,3) （ B ） (4,11) （ C ） (3,3) 或 ( 4,11)（ 1）实数？（ 2）虚数？（ 3）纯虚数？（D ）不存在18、（ 12 分）已知函数f ( x) x33x .8、函数 f(x) ＝ x 2－ 2lnx 的 减区 是 ( )3, 3] 上的最大 和最小 . A ． (0,1]B ． [1，＋∞ )C ． (－∞，－ 1]∪ (0,1]D ．[ －1,0)∪ (0,1]（ 1）求函数 f ( x) 在 [29、 已知f ( x1) 2 f ( x) , f (1)，猜想 的表达式（ ）（ 2） 点 P(2,6)作曲 y f ( x) 的切 ，求此切 的方程 .f (x) 2 1 （ x N *）f (x ）A. f (x)2 x4 ； B.f ( x)2； C.f (x)1； D.f ( x)2 .2x 1x 12x 11 1 又因 f (3)18, f ( 1) 2, f (1)3919、（ 12 分）在各 正的数列a n 中 , 数列的前 n 和 S n 足 S n2, f ( )，a n,282a n⑴求 a 1 , a 2 , a 3 ；所以当 x3 ， f (x) min 18 当 x1 ， f (x)max2 ⋯⋯⋯⋯ 6 分y ( x o 33(x o 2a n（ II ） 切点 Q( x o , x o 3 3x o ) ， 所求切 方程 3x o ) 1)(x x o )⑵由⑴猜想数列的通 公式 , 并用数学 法 明你的猜想由于切 点 P(2, 6) ，6 ( x o 33x o ) 3( x o21)(2 x o ) ，220、（ 12 分）已知函数 f ( x) x 3 ax 2 bx c 在 x 与 x 1 都取得极解得 x o 0 或 x o3 所以切 方程y3x 或 y 6 24( x 2) 即(1) 求 a, b 的 与函数 f ( x) 的 区33x y 0 或 24 x y54 0(2) 若 x[ 1,2] ，不等式 f (x) 2⋯⋯⋯⋯ 12 分c 恒成立，求 c 的取 范21、（ 12 分）已知函数f ( x) 2x 3 3x 2 3.（ 1）求曲 yf ( x) 在点 x 2 的切 方程；（ 2）若关于 x 的方程 fxm 0 有三个不同的 根，求 数m 的取 范 . 19 . 解 : ⑴易求得 a 11, a 2 2 1, a 3 32⋯⋯⋯⋯ 2 分f xa 2xxln x ，其中 a0 ．⑵猜想 a nn n1(n N *)22、（ 12分）已知函数x， g⋯⋯⋯⋯ 5 分xa 的 ；（ 1）若 x1 是函数 h xf xg x 的极 点，求 数明 : ①当 n 1 , a 111, 命 成立（ 2）若 任意的 x 1 , x 21， e （ e 自然 数的底数）都有fx 1 ≥ g x 2 成立，求 数 a的取 范 ．②假 nk , a k k k 1 成立 ,n k1 ,ak 1Sk 1S k1(a k 11 ) 1(a k 1 )参考答案2ak 12a k1、 D 2 、 B 3 、 D 4 、 A 5 、D 6 、 A 7 、 B 8 、 A 9 、 B 10 、 C 11 、B 12 、 C11)1 ( kk 11 11k ,51(a k 1ak 1 2)( a k 1)13、14、S 3 +S 4）15 、116、 [ －1,7)2kk 12ak 16R （S 1 S 2317. 解：（1）当 m 22m 15 0 ，即 m 3 或 m 5 时，复数 Z 为实数；（3 分） （ 2）当 m 22m 15 0 ，即 m3 且 m5 时，复数 Z 为虚数；（ 7 分）（ 3）当 m22m15 0,且 m - 3 0 ，即 m 3 时，复数 Z 为纯虚数；（ 10 分） 18. 解：（ I ） f '( x) 3( x 1)( x 1) ，当 x[ 3, 1) 或 x (1, 3] ， f '(x) 0 ，[ 3,1],[1, 3] 函数 f (x) 的 增区22 当 x( 1,1) ， f '(x)0 ， [ 1,1] 函数f (x) 的 减区所以 , a k 2 1 2 ka k 1 1 0 , ak 1k 1 k .即 n k1 , 命 成立 .由①②知 , nN * , a nnn 1 . ⋯⋯⋯⋯ 12 分20. 解：（ 1） f ( x) x 3 ax 2 bx c, f ' ( x) 3x 2 2axb由 f '( 2 )12 4 ab 0 ， f '(1)3 2a b 0 得 a1, b23 9 32f ' ( x) 3x 2x 2 (3x 2)( x1) ，函数 f ( x) 的 区 如下表：(, 2) 2( 2,1) (1, )333f '( x)f ( x)极大极小所以函数 f ( x) 的 增区 是 (, 2) 与 (1,) , 减区 是 ( 2,1) ；⋯⋯⋯⋯ 6 分33 （ 2） f ( x)x 31 x 22xc, x [ 1,2] ，当 x2， f ( 2)22 c233 27 极大 ，而f (2) 2 c ， f (2)2 c 最大 ，要使f ( x)c 2, x [ 1,2]恒成立， 只需要c 2f (2) 2 c ，得 c 1,或 c2 ⋯⋯⋯⋯ 12 分21 解：（ 1） f ( x) 6x 26x, f (2) 12, f (2)7, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分∴曲 y f ( x) 在 x2 的切 方程 y 7 12( x 2) ，即 12x y 170 ；⋯⋯ 4 分（ 2） g (x)2x 3 3x 2 m 3, g (x) 6x 2 6x 6x(x 1)令 g ( x) 0, x 0 或 1. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分x, g ( x), g( x) 的 化情况如下表x(,0) 0 (0,1)1(1,)g ( x)g( x) Z 极大] 极小Z当 x 0, g (x) 有极大 m 3; x1, g( x) 有极小 m 2 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分由 g(x) 的 知，当且 当g(0) 0g(1) ,m 3 0 m2 ，即2, 3m 0函数 g(x) 有三个不同零点， 点 A 可作三条不同切 .所以若 点A 可作曲 yf ( x) 的三条不同切 ， m 的范 是 ( 3,2) . ⋯⋯⋯⋯ 12 分22. 解：（ 1）解法 1： ∵ hx 2xa2ln x ，其定 域0，，xa2∴ h x1．2x 2 x∵ x 1 是函数 h x 的极 点，∴ h1 0 ，即 3a20 ．∵ a0 ，∴ a3 ．当 a 3 ， x1 是函数 h x的极 点，∴ a3 ．解法 2： ∵ h xa 2ln x ，其定 域0，， 2xxa 2∴ h x12．x 2x令 h x0 ，即 2 a 2 1 0 ，整理，得 2x 2x a 2 0 ．x 2x∵ 1 8a 2 0 ，∴ hx0 的两个 根 x 1 11 8a 211 8a 24（舍去）， x 24，当 x 化 ， hx ， hx 的 化情况如下表：x 0,x 2x 2x 2 ,h x —＋h x]极小Z依 意，11 8a2 1，即 a 23 ，4∵ a 0 ，∴ a 3 ．（ 2）解： 任意的 x , x1，e 都有 f x ≥ g x成立等价于 任意的 x , x2 1， e 都12121有f x≥ gx．minmax当 x ［ 1， e ］ ， gx1 0 ．1x∴函数 g xx ln x 在 1，e 上是增函数．∴ g xmaxg ee 1 ．∵ f x1a 2x ax a1, e ， a 0 ．22，且 xxxx a x a①当 0 a 1且 x［1， e ］ ， f x0 ，x2∴函数 f xxa 2在［ 1， e ］上是增函数，x∴ fxminf 11 a2 .由 1 a 2≥ e 1a≥ e ，，得又 0 a 1，∴ a 不合 意．②当 1≤ a ≤ e ，x a x a若 1≤ x ＜ a ，则 f xx 2 0 ，x a x a若 a ＜ x ≤ e ，则 f xx20 ．∴函数 f xxa 2 上是减函数，在a ，e 上是增函数．在 1,ax∴f xfa 2a.min由 2a ≥ e 1，得 a ≥e 1，2又 1≤ a ≤ e ，∴e 1≤ a ≤ e ． 2③当 a e 且 x［ 1， e ］时， f x a x axx 20 ，∴函数 f xa 2在 1， e 上是减函数．xx∴ fxf ee a 2 .minea2由eeae ，≥，得 ≥e 1又 ae ，∴ a e ．综上所述， a 的取值范围为 e 1．2 ,。
2023-2024学年四川省成都市高二下学期期中联考数学(理)试题(含解析)
2023-2024学年四川省成都市高二下册期中联考数学（理）试题一、单选题1．AB BC BA ++=（）A ．AC B ．BCC ．ABD ．0【正确答案】B【分析】利用向量加法的运算法则求解即可．【详解】AB BC BA AC BA BC ++=+=，故选：B ．2．函数()2sin x f x x =+的导函数为（）A ．)2cos x f x x '(=-B ．)2ln2cos x f x x '(=-C ．)2cos x f x x '(=+D ．)2ln2cos x f x x'(=+【正确答案】D【分析】根据给定条件，利用求导公式及导数运算法则求解作答.【详解】函数()2sin x f x x =+，求导得)2ln2cos x f x x '(=+.故选：D3．若可导函数()f x 满足()()11lim 3x f x f x∆→+∆-=∆，则()1f '=（）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】C【分析】根据导数定义可直接得到结果.【详解】由导数的定义知.()()()111lim 3x f x f f x∆→+∆-'==∆故选：C.4．已知直线l 的方向向量为1,2,4)m (-= ，平面α的法向量为,1,2)n x =(-，若直线l 与平面α平行，则实数x 的值为（）A ．12B ．12-C ．10D ．10-【正确答案】C【分析】依题意可得m n ⊥ ，即可得到0m n ⋅=，从而得到方程，解得即可.【详解】因为直线l 的方向向量为1,2,4)m (-= ，平面α的法向量为,1,2)n x =(-，若直线l 与平面α平行，则m n ⊥ ，即0m n ⋅=，即280x --=，解得10x =.故选：C ．5．若定义在R 上的函数()f x 的导数()f x '的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．函数()f x 在区间(),0∞-上单调递减，在区间()0,∞+上单调递增B ．函数()f x 在区间(),1-∞上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减C ．函数()f x 在1x =处取极大值，无极小值D ．函数()f x 在0x =处取极大值，无极小值【正确答案】A【分析】根据导函数的正负可确定()f x 单调性，结合极值点定义可确定正确选项.【详解】对于AB ，由()f x '图象可知：当(),0x ∈-∞时，()0f x '<；当()0,x ∈+∞时，()0f x ¢>；()f x \在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，A 正确，B 错误；对于CD ，由单调性可知：()f x 在0x =处取得极小值，无极大值，CD 错误.故选：A.6．若函数()ln f x x x =在点00(,())x f x 处的切线斜率为1，则0x =（）A ．e -B ．eC ．1-D ．1【正确答案】D【分析】先求出()f x '，由已知得0()1f x '=列出方程，求解即可．【详解】因为()ln 1f x x '=+，所以()f x 在点00(,())x f x 处的切线斜率为00()ln 11k f x x '==+=，解得01x =，故选：D ．7．若关于x 的不等式e 0x x a -->恒成立，则a 的取值范围为（）A ．()e,+∞B ．(),1-∞C ．[)1,+∞D ．(],0-∞【正确答案】B【分析】令()e xf x x a =--，将问题转化为()min 0f x >，利用导数可求得()f x 单调性，从而得到()min f x ，解不等式即可求得结果.【详解】令()e xf x x a =--，则()0f x >恒成立，()min 0f x ∴>；()e 1x f x '=- ，∴当(),0x ∈-∞时，()0f x '<；当()0,x ∈+∞时，()0f x ¢>；()f x \在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，()()min 010f x f a ∴==->，解得：1a <，即a 的取值范围为(),1-∞.故选：B.8．已知正四面体A BCD -的棱长为2，若M 、N 分别是AB 、CD 的中点，则线段MN 的长为（）A ．2BCD ．2【正确答案】B【分析】以AC 、AB、AD 作为一组基底表示出MN ，再根据数量积的运算律求出MN ，即可得解.【详解】111222MN MA AN AB AC AD =+=-++，又AC 、AB、AD 两两的夹角均为π3，且2AB AC AD === ，22111222MN AB AC ⎛⎫∴=-++ ⎪⎝⎭ ()22212224AB AC AD AB AC AB AD AD AC =++-⋅-⋅+⋅2221πππ2cos 2cos 2cos 24333AB AC AD AB AC AB AD AD AC ⎛⎫=++-⋅-⋅+⋅= ⎪⎝⎭，MN ∴.故选：B ．9．函数e ()1xf x x =-的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】A【分析】根据图象结合函数定义域、单调性判断B ，C 错误；由函数在0x <时函数值的符号可判断D.【详解】由定义域为{1}x |x ≠，∴排除B ；又2e 2))1)x x f x x (-'(=(-，令)0f x '(>，得2x >，()f x ∴的单增区间为2,)(+∞，∴排除C ；当0x <时，()0f x <，∴排除D ；故选：A ．10．若函数()2ln f x x ax x =-+有两个极值点，则a 的取值范围为（）A ．02a <<B ．2222a -<<C ．22a <-22a >D ．22a >【正确答案】D【分析】函数有两个不同的极值点，则()0f x '=在()0,∞+上有两个不同的实数解，转化为二次方程在()0,∞+有两个不同的实数解，求解即可.【详解】由题意可得()f x 的定义域为()0,x ∈+∞，()21212x ax f x x a x x-+'=-+=，因为函数()f x 有两个极值点，所以2210x ax -+=在()0,∞+上有两个不同的实数解，所以28002a a ⎧->⎪⎨>⎪⎩，解得a >故选：D11．如图，半径为1的球O 是圆柱12O O 的内切球，线段AB 是球O 的一条直径，点P 是圆柱12O O 表面上的动点，则PA PB ⋅的取值范围为（）A ．[0,1]B．C ．[0,2]D ．[1,2]【正确答案】A【分析】先把,PA PB 都用PO 表示，再根据PO的模长的范围求出数量积的范围即可.【详解】))PA PB PO OA PO OB ⋅=(+⋅(+，因为线段AB 是球O 的一条直径，,1OA OB OA OB ∴-=== ,222))1PA PB PO OA PO OA PO OA PO ⋅=(+⋅(-=-=- ，又min1PO=，maxPO = [0,1]PA PB ∴⋅∈，故选：A ．12．若关于x 的不等式2(2)ln 1k x x x +≤+的解集中恰有2个整数，则k 的取值范围是（）A ．113k <≤B ．ln21183k +<≤C ．ln31ln21158k ++<≤D ．ln41ln312415k ++<≤【正确答案】C【分析】将不等式变形为ln 1(2)x k x x ++≤，令()f x =ln 1x x+，)2)g x k x (=(+，数形结合，转化为两个函数图象相交情况分析.【详解】0x >，∴不等式2(2)ln 1k x x x +≤+可化为ln 1(2)x k x x++≤，令()f x =ln 1x x+，2ln ()xf x x -∴='，由()0f x '>解得01x <<，由()0f x '<解得1x >，()f x ∴在0,1)(为增函数，()f x 在,)(1+∞为减函数，令)2)g x k x (=(+，则()g x 的图象恒过2,0)(-，若解集恰有2个整数，当0k ≤时，有无数个整数解，不满足题意；当0k >时，如图，2满足不等式且3不满足不等式，即8ln21k ≤+且15ln31k >+，ln31ln21158k ++∴<≤.故选：C ．二、填空题13．已知2,1,3)OA =(- ，1,2,4)OB =(- ，则AB =______．【正确答案】3,3,1)(-【分析】利用空间向量的坐标运算求解作答.【详解】因为2,1,3)OA =(- ，1,2,4)OB =(- ，所以3,3,1)AB OB OA =-=(-.故3,3,1)(-14．11)d x x -(2+1=⎰______．【正确答案】2【分析】利用微积分基本定理直接运算求值.【详解】()1211(21)d 2021x x x x -+=+=+=-⎰，故2．15．若函数()cos f x kx x =-在区间()0,π上单调递减，则k 的取值范围是______．【正确答案】(],1-∞-【分析】根据函数的单调性与导函数的关系，利用分离参数法解决恒成立问题，结合三角函数的性质即可求解.【详解】由题意可知，()sin f x k x '=+，因为()f x 在区间()0,π单调递减，所以()sin 0f x k x '=+≤在()0,π上恒成立，等价于()()min sin ,0,πk x x ≤-∈即可，因为()0,πx ∈，所以0sin 1x ≤≤，即1sin 0x -≤-≤，于是有1k ≤-，所以k 的取值范围是(],1-∞-.故(],1-∞-．16．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，若空间中的动点P 满足1AP AB AD AA λμν=++，[0,1]λμν∈，，，则下列命题正确的是______．（请用正确命题的序号作答）①若12λμν===，则点P 到平面1AB C ②若12λμν===，则二面角P AB C --的平面角为π4；③若12λμν++=，则三棱锥1P BDA -的体积为2；④若12λμν+-=，则点P 的轨迹构成的平面图形的面积为【正确答案】②④【分析】分别以AB ，AD ，0AA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，对于①：直接应用点到平面距离的向量公式，即可判断；对于②：直接应用面面角的向量公式，即可判断；对于③：先求出点P 到平面1BDA 的距离，即可计算出1P BDA V -，得出判断；对于④：延长1A A 至点0A ，使得102A A AA = ，取AB 中点0B ，AD 中点0D ，连接00A B ，00A D ，作出平面000B D A 与正方体的00022122)0B P D P A P λμλμ++(--=，根据空间向量共面定理得点P 在平面000B D A 上，即可作出判断．【详解】对于①：由空间向量的正交分解及其坐标表示可建立如图空间直角坐标系，所以1,1,1)P (，1(2,0,2)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，1(0,0,2)A ，向量1,1,1)AP =( ，设平面1AB C 的法向量1111,,)n x y z =(，由1(2,0,2)AB =，(2,2,0)AC =uuu r，则11100AB n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即1111220220x z x y +=⎧⎨+=⎩，取11x =-则11,1,1)n =(- ，则点P 与平面1AB C的距离为11|AP n |d |n |⋅=，故①错误；对于②：设平面ABP 的法向量2222,,)n x y z =(，又1,1,1)AP =(，1,0,0)AB =(，2200AP n AB n ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩即2222=00x y z x ++⎧⎨=⎩，取21y =-，则20,1,1)n =(- ，易得平面ABC 的一个法向量3(0,0,1)n =，设二面角P AB C --的平面角为θ，则3232cos n n |n ||n |θ⋅=⋅ θ 是锐角，∴二面角P AB C --的平面角为π4，故②正确；对于③：1AP AB AD AA λμν=++ ，(2,0,0)AB = ，(0,2,0)AD = ，1(0,0,2)AA =，2,2,2)AP λμν∴=( ，则112,2,22)A P AP AA λμν=-=(-，设平面1BDA 的法向量为4444,,)n x y z =(，由(2,2,0)BD =-，1(2,0,2)BA =- ，则4444220220x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，取41x =则41,1,1)n =( ，则点P 到平面1BDA的距离为144A P n d n ⋅== 由12λμν++=得3d易知12BDA S =(=△则三棱锥111233P BDA BDA V S d -=⋅=△，故③错误；对于④：延长1A A 至点0A ，使得102A A AA = ，取AB 中点0B ，AD 中点0D ，连接00A B ，00A D 并延长，交棱1BB ，1DD 于点E ，F ，交11A B ，11A D 延长线于点M ，N ，连接MN ，交棱11B C ，11C D 于点G ，H ，连接EG ，HF ，如图所示，则平面000B D A 与正方体的截面为六边形00B D FHGE，00B D =在平面11ABB A 中，01//AA BB ，点0B 为AB 中点，000B A A B EB ∴∠=∠，00AB BB =，在00AB A 和0BB E 中00000000AA B BEB AB A BB E AB BB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ，000()AB A BB E AAS ∴≅ ，01AA BE ∴==，1B E BE ∴=，即点E 为1BB 中点，0B E =，同理可得，0EG GH HF D F ===∴六边形00B D FHGE则其面积26S ==12λμν+-= ，1AP AB AD AA λμν=++，10001)22122)2AP AB AD AA AB AD AA λμλμλμλμ∴=++(+-=++(-- ，整理得00022122)0B P D P A P λμλμ++(--=，∴点P 在平面000B D A 上，∴当12λμν+-=，点P 的轨迹构成的平面图形的面积为故②④．三、解答题17．已知空间向量1,0,1)a =(，2,1,0)b =(- ，4,,)c λλλ=(+- ．(1)若(a b )//c +，求λ；(2)若ka b + 与2a b -相互垂直，求k ．【正确答案】(1)2λ=(2)12k =【分析】（1）根据空间向量共线公式列式求参即可；（2）根据空间向量垂直数量积为0列式求参即可.【详解】（1）311a b (,,)+=- ，()//a b c+ (a b )c μ∴+= ，R μ∈，即34)μλ=(+，且1μλ-=-，1μλ=，解得2λ=；（2）(2,1,)ka b k k +=+- ，2012a b (,,)-= ，又2210(ka b )(a b )k +⋅-=-= ，解得12k =．18．已知函数3215()2333f x x x x =-++．(1)求曲线()y =f x 在点1,1))f ((处的切线方程；(2)求函数在区间[1,4]-的最大值与最小值．【正确答案】(1)3y =(2)max )3f x (=；min 11)3f x (=-【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，并结合切点得到切线方程；（2）先利用导数求得()f x 在区间[1,4]-上的单调区间，进而求得()f x 在区间[1,4]-上的最大值与最小值.【详解】（1）1)3f (= ，∴切点为1,3)(，又2)43f x x x '(=-+ ，1)0f '∴(=，∴切线方程为301)y x -=(-，即3y =，即曲线()y =f x 在点1,1))f ((处的切线方程为3y =；（2）由（1）知2)43f x x x '(=-+，令)0f x '(>，得1x <或3x >，令)0f x '(<，得13x <<，∴函数()f x 在区间[1,1)-，3,4](为增函数，在区间[1,3]为减函数，又1)3f (= ，4)3f (=，max )1)4)3f x f f ∴(=(=(=；又111)3f (-=- ，53)3f (=，min 11)1)3f x f ∴(=(-=-.19．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1AA ==D 是1BB 的中点．(1)求异面直线1A D 与BC 所成角的余弦值；(2)证明：平面11A DC ⊥平面ADC ．【正确答案】77；(2)证明见解析.【分析】（1）分别作AC ，11A C 的中点O ，1O ，连接OB ，1OO ，以O 为坐标原点，分别以OA ，OB ，1OO 所在直线为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系，求出直线1A D 与BC 的空间向量，即可利用线线角的公式求解.（2）分别求出平面11A DC 和平面ADC 的法向量，利用法向量数量积为0，即可证明.【详解】（1）如图，分别作AC ，11A C 的中点O ，1O ，连接OB ，1OO ，在正三棱柱111ABC A B C -中，1OO ⊥底面ABC ，且BO AC ⊥，则OA ，OB ，1OO 互相垂直，以O 为坐标原点，分别以OA ，OB ，1OO 所在直线为x y z ，，轴，建立如图空间直角坐标系，已知1323AA ==11,0,23)A (，0,3,3)D (，0,3,0)B (，1,0,0)C (-，设异面直线1A D 与BC 所成角为θ，2]π(0,θ∈，1A D =(-，1,BC =(--，11cos |A D BC ||A D ||BC |θ⋅∴==⋅uuu r uu u r uuu r uu u r （2）由题可知1,0,0)A (，1C (-，112,0,0)A C =(-，AD =(- ，2,0,0)AC =(-，设平面11A DC 的法向量为()111,,m x y z =r ，则1111111020m A D x m A C x ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令11y =，0,1,1)m ∴=(r ，设平面ADC 的法向量为222,,)n x y z =(r，则2222020n AD x n AC x ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令21y =，0,1,1)n ∴=(-r ，110m n ⋅=-=r r Q ，∴平面11A DC ⊥平面ADC .20．制作一个容积为V 的圆柱体容器（有底有盖，不考虑器壁的厚度），设底面半径为r ．(1)把该容器外表面积S 表示为关于底面半径r 的函数；(2)求r 的值，使得外表面积S 最小．【正确答案】(1)()222πV S r r r=+，()0,r ∈+∞(2)r =【分析】（1）根据圆柱体积公式可表示出圆柱的高h ，结合圆柱表面积公式可表示出()S r ；（2）利用导数可求得()S r 的单调性，进而确定最值点.【详解】（1）设圆柱体水杯的高为h ，则2πV h r =，∴表面积()2222π2π2πV S r r rh r r =+=+，即()222πV S r r r=+，()0,r ∈+∞.（2）由（1）得：()224πV S r r r'=-；令()0S r '=，解得：r则当0r <<()0S r '<，()S r单调递减；当r >时，()0S r '>，()S r 单调递增；∴当r ()S r 取得最小值．21．在如图①所示的长方形ABCD 中，3AB =，2AD =，E 是DC 上的点且满足3DC EC =，现将三角形ADE 沿AE 翻折至平面APE ⊥平面ABCD （如图②），设平面PAE 与平面PBC 的交线为l ．(1)求二面角B l A --的余弦值；(2)求l 与平面ABCE 所成角的正弦值．【正确答案】(1)6655【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角B l A --的余弦值；（2）设直线AE 与BC 相交于点F ，PF 即为l ，PFO ∠是l 与平面ABCE 所成角，计算求解即可．【详解】（1）如图，取AE 的中点O ，连接PO ，2AD DE ==，则PO AE ⊥，又 平面PAE ⊥平面ABCE ，又平面PAE 平面ABCE AE =，又PO ⊂平面PAEPO ∴⊥平面ABCE ，延长DO 交AB 于点G ，由DE AB ∥，O 为AE 的中点，则2AG DE ==，OG AE ⊥，2OG OA ==，分别以OA OG OP ，，所在直线为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，)2,0,0A ,()2,0G ，()0,2,0D -，()2,0,0E ，(2P ，232B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，PO ⊥ 平面ABCE ，OG ⊂平面ABCE ，OG OP ∴⊥，又OG AE ⊥ ，AE OP O = ，,AE OP ⊂平面PAE ，所以OG ⊥平面PAE ，∴平面PAE 的法向量为OG ，且2,0)OG =，又(2,2,0)CB DA == ，232(,2)PB = ，设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z = ，则0022CB n PB n x y z ⎧⋅=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1y =，则(1,1,2)n =- ，设二面角B l A --的平面角为θ，cos ,OG n OG n OG n⋅= 由题知π(0,2θ∈，二面角B l A --（2）设直线AE 与BC 相交于点F ，F BC ∈ ，F ∈平面PBC ，同理F ∈平面PAE，由平面公理3可得∈F l ，又P l ∈，PF ∴即为l ，PO ⊥ 平面ABCE ，OF ∴是PF 在平面ABCE 内的投影，PFO ∴∠是l 与平面ABCE 所成角，由PO =，又OF =PF ∴sin PO PFO PF ∠=l ∴与平面ABCE22．已知函数()ln 1)f x x =(+，)e )x g x f x (=(．(1)求函数()g x 的导函数在0,)(+∞上的单调性；(2)证明：0,)a b ∀∈(+∞，，有)))g a b g a g b (+>(+(．【正确答案】(1)()g x '在0,)(+∞上单调递增；(2)证明见解析.【分析】（1）直接对函数求导，利用导数与函数间的关系即可求出结果；（2）构造函数()()()(00)F x g x a g x x a =+->>，，将求证结果转化判断函数值大小，再利用函数的单调性即可求出结果.【详解】（1）因为)e ()e ln(1)x x g x f x x (==+，所以e 1)e ln(1)+=e [ln(1)]11x xx g x x x x x '(=+++++，令))h x g x '(=(，即1)=e [ln(1)]1x h x x x (+++，又因为222121)e [ln(1)]=e [ln(1)]11)1)x x x h x x x x x x +'(=+++++(+(+，又因为0,)x ∈(+∞，所以11,)x +∈(+∞，即有221ln(1)0,0(1)x x x ++>>-，所以()0h x '>，所以)h x (在区间0,)(+∞上单调递增，即()g x '在0,)(+∞上单调递增；（2）由题知(0)0g =，要证)))g a b g a g b (+>(+(，即证)))0)g a b g b g a g (+-(>(-(，令()()()(00)F x g x a g x x a =+->>，，则()()()F b g b a g b =+-，(0)()(0)F g a g =-即证)0)F b F (>(，由（1）知()g x '在区间0,)(+∞上单调递增，又因为x a x +>，所以)))0F x g x a g x '''(=(+-(>，所以))()F x g x a g x (=(+-在区间0,)(+∞上单调递增，因为0b >，所以)0)F b F (>(，故命题得证．。
高二理科数学期中质量检测试题(卷)答案
高二理科数学期中质量检测试卷（卷）答案一、选择题：本大题共个小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的..选修课本5例改编; .选修课本21第题改编; ．选修课本41P 第题改编; .选修课本32P 导数概念改编; .选修课本37P 第题改编; .选修课本21P 组第题改编; .选修课本11P 第、题改编; .选修课本108P 第题改编;.选修课本71P 组第题（）小题改编; ．选修课本83P 组第题改编; ．选修课本88P 练习第题改编; .选修课本71P 组第题改编. 二、填空题：本大题共小题，每小题分，共分..选修课本49P 组例题; .100sin10+选修课本95P 组第题改编;选修课本64P 例改编; ．①③④选修课本58P 例改编.三、解答题：本大题共小题，共分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . (本小题满分分) 选修课本12P 习题第题改编 证法一：要证 2a c b d +≤ 成立 只要证2()4ac bd +≤即可…………分只需证22222()()()ac bd a b c d +≤++即可…………分 即证22222acbd a d b c ≤+…………分 即证2()0ad bc -≥…………分 由题知,,,a b c d 都是实数，2()0ad bc -≥显然成立…………分故2ac bd +≤.…………分 证法二：22222222222()4()()()2()ac bd ac bd a b c d acbd a d b c ad bc +-=+-++=-+=--…………分由题知,,,a b c d 都是实数，2()0ad bc -≥2()40ac bd +-≤…………分故2ac bd +≤.…………分证法三：设cos ,sin ,2cos ,2sin (,)a b c d R ααββαβ====∈………分 则2cos cos 2sin sin ac bd αβαβ+=+………分2(cos cos sin sin )2cos()2αβαβαβ=+=-≤………分故2ac bd +≤.………分 证法四：向量换元也可证..(本小题满分分) 选修课本61P 例改编解: ()令033)23()(23=+-='++-='x x x x f 解得11-==x x 或………分当1-<x 时,0)(<'x f , 当11<<-x 时,0)(>'x f ,当1>x 时,0)(<'x f ………分 所以,函数在1-=x 处取得极小值,在1=x 取得极大值, ………分故1,121=-=x x ,4)1(,0)1(==-f f 所以,点、的坐标为)4,1(),0,1(B A -.………分 () 设(,)P x y ，()()221,1,4144PA PB x y x y x y y =-----=-+-=………分得动点P 的轨迹方程()2229x y +-=.………分．(本小题满分分)选修课本57P 组第题改编 解：()证明:连结交1C 于点,则为的中点． 又是的中点,连结,则∥. …………分 因为⊂平面⊄平面.所以∥平面. ……………………分 ()由＝＝得⊥. ………………分以为坐标原点的方向为轴正方向的方向为轴正方向的方向为轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系－. …………分 设＝,则()()()，＝()＝()＝()．……………分设1111(,,)n x y z =是平面的法向量,则1110,0n CD n CA ==， 即11110,220x y x z +=+=可取1(1,1,1)n =--．…………分 同理,设2n 是平面的法向量,则2210,0n CE n CA ==可取2(2,1,2)n =-．…………分 从而1212123cos ,3n n n n n n<>==, ………分 故二面角－1C －的余弦值为3.…………分. (本小题满分分) (·福建理，)解：()令()＝()－＝(＋)－，∈（，＋∞)，则有′()＝－＝－. …………分当∈(，＋∞)时，′()＜，所以()在（，＋∞)上单调递减；…………分故当＞时，()＜()＝，即当＞时，()＜.…………分()令()＝()－()＝(＋)－，∈（，＋∞)，则有′()＝－＝.…………分当≤时′()＞，所以()在（，＋∞)上单调递增，()＞()＝，故对任意正实数均满足题意．…………分当＜＜时，令′()＝，得＝＝－＞.取＝－，对任意∈(，)，恒有′()＞，…………分从而()在（，)上单调递增，()＞()＝，即()＞()．…………分。
高二下学期期中数学(理)真题02-(试卷配答案)
寄语：亲爱的小朋友，在学习过程中，的挑战就是逐级攀升的难度。
即使每一级都很陡峭，只要我们一步一个脚印地向上攀登，一层又一层地跨越，最终才能实现学习的目标。
祝愿你在学习中不断进步！相信你一定会成功。
相信你是最棒的！期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}{}0,1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,5,1,2,4,6U A B ===，则=⋃B A C U )( A ．{4,6} B ．{1,2,4,6,7}C ． {0,1,2,4,6,7}D ．{0,4,6,7}2．设复数,在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则 1z 2z 13z i =+12z z =A ．10B ．C ．D ．-109i --9i -+3．已知向量，若，则 )4,(),3,2(x b a ==)(b a a -⊥x = A ．B ．1C ．2D ．3214．等比数列{}的前n 项和为，已知，=9，，则=n a n S 32110S a a =+5a 1a A ．B ．C ．D ．131913-19-5．设，为两个平面，则的充要条件是 αβ//αβ()A ．内有无数条直线与平行 B ．内有两条相交直线与平行 αβαβC ．，平行于同一条直线 D ．，垂直于同一平面 αβαβ6. 设，则“”是“”的（）a ∈R 1a >2a a >A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则12,F F 22:13y C x -=O P C ||2OP =的面积为（ ）12PF F △A ．B ．2C ．D ．372528. 的展开式中的系数为252()x x+4x A ．10B ．20C ．40D ．8029．已知满足约束条件，若目标函数的最大值为3，y x ,⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤--≥++00202m y y x y x y x z -=2则实数m 的值为 A ．-1B ．0C ．1D ．210．设，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且面积为，A B C D ABC ∆93则三棱锥体积的最大值为 D ABC -()A ．B ．C ．D ．18312324354311．已知函数在区间上是增函数，且在)0(sin )42(cos sin 2)(22>--=ωωπωωx x x x f ]65,32[ππ-区间上恰好取得一次最大值，则的范围是 ],0[πωA ．B ．C ．D ．]53,0(]53,21[]43,21[)25,21[12．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为'()f x ，满足'()()f x f x <，且(2)f x +为偶函数，(4)1f =，则不等式()x f x e <的解集为 A ．(,0)-∞B ．()4,e +∞C ．()4,e-∞D ． (0,)+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．的内角的对边分别为，若，则__ __． ABC ∆C B A ,,c b a ,,1,135cos ,54cos ===a B A =b 14．已知函数,若,则__________．1)1ln()(2+++=x x x f 2)(=a f =-)(a f 15．古浪二中高二年级4名同学到土门3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有______种．16．已知四边形ABCD 为矩形，AB=2AD=4，M 为AB 的中点，将沿DM 折起，得到四棱ADM ∆锥，设的中点为N ，在翻折过程中，得到如下三个命题： DMBC A -1C A 1①，且的长度为定值； DM A //1平面BN BN 5②三棱锥的体积最大值为； DMC N -322③在翻折过程中，存在某个位置，使得 C A DM 1⊥其中正确命题的序号为__________．如，与交于点．将菱形沿对角线折起，得到三棱锥，60BAD ∠= AC BD O ABCD AC B ACD -点是棱的中点，． M BC 62DM =（1）求证：平面⊥平面； ODM ABC （2）求二面角的余弦值． M AD C --如图，在四棱锥的取值范围.（2）∵f （A ）＝2sin （2A 6π-）＝2，∴sin （2A 6π-）＝1，∵A ∈（0，π），2A 6π-∈（6π-，116π），∴2A 62ππ-=，解得A 3π=，…8分∵C 4π=，c ＝2，∴由正弦定理a csinA sinC=，可得a 322622c sinA sinC ⨯⋅===， …10分∴由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，可得6＝b 2+4﹣2122b ⨯⨯⨯，解得b ＝13+，（负值舍去）， …11分 ∴S △ABC 12=ab sin C 162=⨯⨯（13+）23322+⨯=． …12分19.解：（1）证明：ABCD 是菱形，,OD AC ⊥ ………1分 AD DC ∴=ADC ∆中，12,120AD DC ADC ==∠= , ∴6OD =又M 是BC 中点， 16,622OM AB MD ∴=== ………3分 222,OD OM MD DO OM +=∴⊥ ,OM AC ⊂面,,ABC OM AC O OD =∴⊥ 面ABC ………5分又 平面OD ⊂ODM 平面⊥平面………6分∴ODM ABC （2）由题意，, 又由（Ⅰ）知 建立如图所示空间直角坐,OD OC OB OC ⊥⊥OB OD ⊥标系，由条件易知 ……7分()()()6,0,0,0,63,0,0,33,3D A M - 故 设平面的法向量，则)0,36,6(),3,39,0(==AD AM MAD ),,(z y x m = 即 令，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00AD m AM m 93306630y z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩3y =-3,9x z == 所以， ………9分 )9,3,3(-=m 由条件易证平面，故取其法向量为 ………10分 OB ⊥ACD )1,0,0(=n 所以， ………11分31933||||,cos =⋅>=<n m n m n m20则有2222212c a ⎛⎫⎪⎝⎭+=，2234c a ∴=，又22222a b c c =+=+，28a ∴=，26c =， 因此，椭圆C 的标准方程为22182x y +=；……4分（2）当AB x ⊥轴时，M 位于x 轴上，且OM AB ⊥，由2OM =可得6AB =，此时132AOB S OM AB ∆=⋅=； ……5分当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为y kx t =+，与椭圆交于()11,A x y ，()22,B x y ，由22182x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222148480k x ktx t +++-=. 122814kt x x k -∴+=+，21224814t x x k-=+，从而224,1414kt t M k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭ ……7分 已知2OM =，可得()2222214116k t k+=+. ……8分()()()22222212122284814141414kt t AB k x x x x k k k ⎡⎤--⎛⎫⎡⎤=++-=+-⨯⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()()222221682114k t k k -+=++.设O 到直线AB 的距离为d ，则2221t d k=+， ()()()222222221682114114AOBk t t S k k k ∆-+=+⋅++. …10分将()2222214116k t k+=+代入化简得()()2222219241116AOB k k S k ∆+=+.令2116k p +=，则()()()22222211211192414116AOBp p k k S p k ∆-⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭==+211433433p ⎡⎤⎛⎫=--+≤⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.当且仅当3p =时取等号，此时AOB ∆的面积最大，最大值为2.综上：AOB ∆的面积最大，最大值为2. ……12分22.解（1）………1分)2)(1()1(2)1()('a e x x a e x x f x x ++=+++=（ⅰ）时，当时，；当时， 0≥a )1,(--∞∈x 0)('<x f ),1(+∞-∈x 0)('>x f 所以f(x)在单调递减，在单调递增； ……2分 )1,(--∞),1(+∞-（ⅱ）时 0<a ①若，则，所以f(x)在单调递增；……3分 ea 21-=))(1()('x x e e x x f --+=),(+∞-∞②若，则，故当时，， ea 21->1)2ln(-<-a ),1())2ln(,(+∞---∞∈ a x 0)('>x f ，；所以f(x)在单调递增，在 )1),2(ln(--∈a x 0)('<x f ),1()),2ln(,(+∞---∞a 单调递减； ………5分)1),2(ln(--a ③若，则，故当，， ea 21-<1)2ln(->-a )),2(ln()1,(+∞---∞∈a x 0)('>x f ，；所以f(x)在单调递增，在 ))2ln(,1(a x --∈0)('<x f )),2(ln(),1,(+∞---∞a 单调递减； ………6分))2ln(,1(a --（2）（ⅰ）当a>0,则由（1）知f(x)在单调递减，在单调递增， )1,(--∞),1(+∞-又，，取b 满足，且， 01)1(<-=-e f 0)0(>=a f 1-<b 2ln 2a b <-则，所以f(x)有两个零点；………8分 0)23()1()2(2)2(22>-=-+->-b b a b a b a b f （ⅱ）当a=0,则，所以f(x)只有一个零点 ………9分 x xe x f =)(（ⅲ）当a<0,①若,则由（1）知，f(x)在单调递增。
高二下学期期中考试数学(理)答案
答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵A={x|0＜x＜2}，B={x|x2≥1}={x|x≥1或x≤-1}，∴∁R B={x|-1＜x＜1}，∴A∩（∁R B）={x|0＜x＜1}．故选：B．根据补集、交集的定义即可求出．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2.【答案】D【解析】解：∵（2a+i）（1+i）=（2a-1）+（2a+1）i在复平面内所对应的点在虚轴上，∴2a-1=0，即a=．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求得a值．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】B【解析】解：设“从正方形ABCD中任取一点P，则点P落在该圆中“为事件A，由几何概型中的面积型可得：P（A）===，故选：B．由几何概型中的面积型及圆、正方形的面积公式得：P（A）===，得解．本题考查了几何概型中的面积型及圆、正方形的面积公式，属中档题．4.【答案】A【解析】解：函数f（-x）=-xcos（-x）-（-x）3=-xcosx+x3=-f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D，f（）=cos-（）3=-（）3＜0，排除B，故选：A．判断函数的奇偶性和图象的对称性，利用特殊值进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性的关系以及特殊值，结合排除法是解决本题的关键．5.【答案】B【解析】解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，若2a2为3a1和a3的等差中项，则有2×2a2=3a1+a3，变形可得4a1q=3a1+a1q2，即q2-4q+3=0，解得q=1或3；又a2-a1=2，即a1（q-1）=2，则q=3，a1=1，则a n=3n-1，则有a4=33=27；故选：B．根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，由2a2为3a1和a3的等差中项，可得2×2a2=3a1+a3，利用等比数列的通项公式代入化简为q2-4q+3=0，解得q，又a2-a1=2，即a1（q-1）=2，q≠1，分析可得a1、q的值，解可得数列{a n}的通项公式，将n=4代入计算可得答案．本题考查等比数列的性质以及通项公式，关键是掌握等比数列通项公式的形式，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：由茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分标准差要小于乙部门的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大，由茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为=0.1，=0.16，故该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率得估计值分别为0.1，0.16，故A，B，C错误；由茎叶图知，50位市民对甲部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是75，75，故样本的中位数是75，所以该市的市民对甲部门的评分的中位数的估计值是75．50位市民对乙部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是66，68，故样本的中位数是=67，所以该市的市民对乙部门的评分的中位数的估计值是67，故D正确；故选：D．根据茎叶图的知识以及样本来估计总体，进行合理的评价，恰当的描述即可．本题主要考查了茎叶图的知识，以及中位数，用样本来估计总体的统计知识，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象，可得A=1，•=-，∴ω=2．再利用五点法作图可得2•+φ=π，求得φ=，∴f（x）=sin（2x+）．为了得到g（x）=sin（ωx+）=sin（2x+）的图象，只需将f（x）的图象上所有点向右平移个单位长度，即可，故选：A．由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）得解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：由程序框图可得：m=2a-3，当i的值为1时，m=2（2a-3）-3=4a-9，当i的值为2时，m=2（4a-9）-3=8a-21，当i的值为3时，m=2（8a-21）-3=16a-45，当i的值为4时，m=2（16a-45）-3=32a-93，此时不满足循环条件，输出m=32a-93=67，解得：a=5．故选：C．模拟程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出m值时对应a的值．本题考查了模拟实验法解程序框图的应用问题，是基础题．9.【答案】C【解析】解：该几何体是由半个圆柱对接半个球而形成的，视图表示的是几何体水平放置时的情形，其表面积S=2π×12+π×12+π×2+2×2=4+5π．该几何体是由半个圆柱对接半个球而形成的，利用三视图的数据求解几何体的表面积，然后推出结果．本题考查三视图求解几何体的表面积，考查空间想象能力以及计算能力．10.【答案】C【解析】解：当甲成立，即“相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内”时，若“l、m中至少有一条与平面β相交”，则“平面α与平面β相交”成立；若“平面α与平面β相交”，则“l、m中至少有一条与平面β相交”也成立故选：C．判断乙是丙的什么条件，即看乙⇒丙、丙⇒乙是否成立．当乙成立时，直线l、m中至少有一条与平面β相交，则平面α与平面β至少有一个公共点，故相交相交．反之丙成立时，若l、m中至少有一条与平面β相交，则l∥m，由已知矛盾，故乙成立．本题考查空间两条直线、两个平面的位置关系判断、充要条件的判断，考查逻辑推理能力．11.【答案】B【解析】解：由f（x）=2x-1+2x+3=0得2x-1=-2x-3，即2x=-4x-6，作出函数y=2x与y=-4x-6的图象如图，（黑色图象），由图象知两个图象交点的横坐标x1满足-2＜x1＜-1，由g（x）=x-x-1=0得x-1=x，作出y=x-1和y=x的图象如图（红色图象）由图象知两个图象交点的横坐标x2满足2作出h（x）=（）x和y=，的图象如图（蓝色图象）由图象知两个图象交点的横坐标x3满足1＜x2＜2，综上x1，x2，x3的大小关系为x1＜x3＜x2，故选：B．利用函数与方程的关系，分别转化为y=2x与y=-4x-6的图象，y=x-1和y=x的图象，h（x）=（）x和y=的图象，利用数形结合研究x1，x2，x3的范围即可得到结论．本题主要考查函数与方程的应用，根据条件转化为两个函数图象交点问题，利用数形结合求出对应究x1，x2，x3的范围是解决本题的关键．12.【答案】B【解析】解：设MF1与圆相切于点E，因为|MF2|=|F1F2|=2c，所以△MF1F2为等腰三角形，N为MF1的中点，所以|F1E|=|MF1|，又因为在直角△F1EO中，|F1E|2=|F1O|2-a2=c2-a2，所以|F1E|=b=|MF1|①又|MF1|=|MF2|+2a=2c+2a ②，c2=a2+b2③由①②③可得c2-a2=（）2，即为4（c-a）=c+a，即3c=5a，b===a，则双曲线的渐近线方程为y=±x，即为y=±x．故选：B．先设MF1与圆相切于点E，利用|MF2|=|F1F2|，及直线MF1与圆x2+y2=a2相切，可得几何量之间的关系，从而可求双曲线的渐近线方程．本题考查直线与圆相切，考查双曲线的定义，考查双曲线的几何性质，注意运用平面几何的性质，考查运算能力，属于中档题．13.【答案】3【解析】解：∵||=2，是单位向量，且与夹角为60°，∴•（-）=-•=4-2×1×=3，故答案为：3．依题意，利用平面向量的数量积即可求得•（-）的值．本题考查平面向量数量积的运算，掌握平面向量的数量积的运算性质及定义是解决问题的关键，属于中档题．14.【答案】80【解析】解：（2x-）5的展开式中，通项公式T r+1=（2x）5-r=（-1）r25-r，令5-r=2，解得r=2．∴x2的系数=23=80．故答案为：80．利用通项公式即可得出．本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.【答案】（x-2）2+（y-√3）2=4【解析】解：∵抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，∴|PF|=|PA|，F（1，0），准线l的方程为：x=-1；设F在l上的射影为F′，又PA⊥l，依题意，∠AFF′=60°，|FF′|=2，∴|AF′|=2，PA∥x轴，∴点P的纵坐标为2，设点P的横坐标为x0，（2）2=4x0，∴x0=3，∴|PF|=|PA|=x0-（-1）=3-（-1）=4．故以PF为直径的圆的圆心为（2，），半径为2．以PF为直径的圆的标准方程为（x-2）2+（y-）2=4故答案为：（x-2）2+（y-）2=4．利用抛物线的定义，|PF|=|PA|，设F在l上的射影为F′，依题意，可求得|FF′|，|AF′|，从而可求得点P的纵坐标，代入抛物线方程可求得点P的横坐标，从而可求得|PA|．本题考查抛物线的简单性质，考查转化思想，考查解三角形的能力，属于中档题．16.【答案】200201【解析】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．则：，解得：a1=1，所以：a n=1+2（n-1）=2n-1，所以：b n=（-1）n-1=，所以：，==，故答案为：首项利用已知条件求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．17.【答案】解：（Ⅰ）∵∠BAD=60°，∠BAC=90°，∴∠DAC=30°，在△ADC中，由正弦定理可得：DCsin∠DAC =ACsin∠ADC，∴sin∠ADC=ACDC sin∠DAC=√32，∴∠ADC=120°，或60°，又∠BAD=60°，∴∠ADC=120°（Ⅱ）∵BD=2DC，∴BC=3DC，在△ABC中，由勾股定理可得：BC2=AB2+AC2，可得：9DC2=6+3DC2，∴DC=1，BD=2，AC=√3，令∠ADB=θ，由余弦定理：在△ADB中，AB2=AD2+BD2-2AD•BD•cosθ，在△ADC中，AC2=AD2+CD2-2AD•CD•cos（π-θ），可得：{3=AD2+1+2ADcosθ6=AD2+4−4ADcosθ，∴解得：AD2=2，可得：AD=√2.【解析】（Ⅰ）由已知可求∠DAC=30°，在△ADC 中，由正弦定理可得sin ∠ADC=，即可解得∠ADC=120°． （Ⅱ）由已知在△ABC 中，由勾股定理可得DC=1，BD=2，AC=，令∠ADB=θ，由余弦定理，即可解得AD 的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】证明：（1）∵平面四边形ABCD ，AB ⊥BD ，AB =BC =CD =2，BD =2√2， 面ABD ⊥面BCD ，AB ⊥BD ，面ABD ∩平面BCD =BD ，∴AB ⊥面BCD ，∴AB ⊥CD ，又AC 2=AB 2+BC 2=8，AD 2=AB 2+BD 2=12，AD 2=AC 2+CD 2=12，∴AB ⊥BC ，AB ⊥BD ，AC ⊥CD ，∵AC ∩AB =A ，∴CD ⊥平面ABC ．解：（2）AB ⊥面BCD ，如图以B 为原点，在平面BCD中，过B 作BD 的垂线为x 轴，以BD 为y 轴，以BA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则B （0，0，0），A （0，0，2），C （√2，√2，0），D （0，2√2，0），∵E 是AD 的中点，∴E （0，√2，1），∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（√2，√2，0），BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，√2，1），令平面BCE 的一个法向量为n⃗ =（x ，y ，z ）， 则{n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2x +√2y =0n⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2y +z =0，取x =1，得n ⃗ =（1，-1，√2）， ∵CD ⊥面ABC ，∴平面ABC 的一个法向量为CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-√2，√2，0），∴cos ＜n ⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞=n ⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ |⋅|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√22， ∴二面角E -BC =A 的大小为45°．【解析】（1）推导出AB ⊥面BCD ，从而AB ⊥CD ，再求出AB ⊥BC ，AB ⊥BD ，AC ⊥CD ，由此能证明CD ⊥平面ABC ．（2）以B 为原点，在平面BCD 中，过B 作BD 的垂线为x 轴，以BD 为y 轴，以BA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E-BC=A 的大小．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）由题意知X的可能取值为100，300，500，P（X=100）=2+16=0.2，90=0.4，P（X=300）=3690=0.4，P（X=500）=25+7+490∴X的分布列为：E（X）=100×0.2+300×0.4+500×0.4=340．（Ⅱ）由题意知六月份这种饮料的进货量n满足100≤n≤500，当300≤n≤500时，若最高气温不低于25，则Y=5n-3n=2n，若最高气温位于[20，25），则Y=5×300+2（n-300）-3n=900-n，若最高气温低于20，则Y=5×100+2（n-100）-3n=300-n，∴E（Y）=2n×0.4+（900-n）×0.4+（300-n）×0.2=420+0.2n，此时，n=500时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元，当100≤n≤300时，若最高气温不低于25，则Y=5n-3n=2n，若最高气温位于[20，25），则Y=5n-3n=2n，若最高气温低于20，则Y=5×100-（n-100）-300=300-n，∴E（Y）=2n×（0.4+0.4）+（300-n）×0.2=60+1.4n，此时，n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为480元，∴n=340时，Y的数学期望值为：420+0.2×340=488不是最大值，n=500时，y的数学期望达到最大值，最大值为520元．【解析】（Ⅰ）由题意知X的可能取值为100，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．（Ⅱ）六月份这种饮料的进货量n 满足100≤n≤500，当300≤n≤500时，若最高气温不低于25，则Y=5n-3n=2n ，若最高气温位于[20，25），则Y=5×300+2（n-300）-3n=900-n ，若最高气温低于20，则Y=5×100+2（n-100）-3n=300-n ，求出E （Y ）=420+0.2n ，当n=500时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元；当100≤n≤300时，若最高气温不低于25，则Y=5n-3n=2n ，若最高气温位于[20，25），则Y=5n-3n=2n ，若最高气温低于20，则Y=5×100-（n-100）-300=300-n ，E （Y ）=60+1.4n ，n=300时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为480元．由此能求出n=500时，y 的数学期望达到最大值，最大值为520元．本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）由题意可得{12c ×1=√34a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2，解得a 2=6，b 2=3， 故椭圆C 的方程为x 26+y 23=1， 证明（Ⅱ）：设直线AP 的斜率为k ，则直线BP 的斜率为-k ，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线PA 的方程为y +1=k （x -2），即y =kx +1-2k联立{y =kx +1−2k x 26+y 23=1，得（1+2k 2）x 2+4（k -2k 2）x +8k 2-8k -4=0．∴2x 1=8k 2−8k−41+2k 2，即x 1=4k 2−4k−21+2k 2设直线PB 的方程为y +1=-k （x -2），同理求得x 2=4k 2+4k−21+2k 2∴x 2-x 1=-8k 1+2k 2∴y 1-y 2=k （x 1+x 2）+2-4k =8k 1+2k 2，∴直线AB 的斜率k AB =y 2−y 1x 2−x 1=1， 易知l 与在两坐标轴的截距绝对值相等且都不为0，∴直线AB 与两坐标轴围成的三角形一定是等腰三角形【解析】（Ⅰ）由题意可得，解得a2=6，b2=3，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设直线PA的方程为y+1=k（x-2），联立直线方程和椭圆方程，求得A的横坐标，同理求得B的横坐标，进一步求得A、B的纵坐标的差，代入斜率公式得答案．本题考查椭圆标准方程的求法，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属中档题．21.【答案】解：（1）∵f(x)=12x2−2x+mlnx+2，(x＞0)，∴f′(x)=x−2+mx =x2−2x+mx，令g（x）=x2-2x+m，∵m＜1，∴△=4-4m＞0，令f’（x）=0则x=1±√1−m，当1−√1−m≤0，即m≤0时，令f’（x）＜0则x∈(0，1+√1−m)；令f’（x）＞0则x∈(1+√1−m，+∞)．此时函数在(0，1+√1−m)上单调递减；在(1+√1−m，+∞)上单调递增．当1−√1−m＞0，即0＜m＜1时，令f’（x）＜0，则x∈(1−√1−m，1+√1−m)；令f’（x）＞0则x∈(0，1−√1−m)∪(1+√1−m，+∞)，此时函数在(1−√1−m，1+√1−m)上单调递减；在(0，1−√1−m)和(1+√1−m，+∞)上单调递增．（2）由（1）知，若f（x）有两个极值点，则0＜m＜1且x1=1−√1−m∈(0，1)，x2=1+√1−m∈(1，2)，又x1，x2是x2-2x+m=0的两个根，则x1+x2=2，m=2x1−x12，∴f(x1)x2=12x12−2x1+2+(2x1−x12)lnx12−x1=12(2−x1)+x1lnx1，令ℎ(t)=12(2−t)+tlnt，t∈(0，1)，则ℎ′(t)=lnt+12，令h’（t）＜0，则t∈(0√e )，令h’（t）＞0，则t∈(√e1)，所以h（t）在(0e )上单调递减；在(e1)上单调递增．∴ℎ(t)≥ℎ(√e )=1−√e，∵ℎ(1)=12；t→0，ℎ(t)→1，∴h（t）＜1，得证．【解析】（1）首先求得导函数，然后分类讨论确定函数的单调性即可；（2）首先确定x1，x2的范围，然后结合题意证明题中的不等式即可．本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的极值，利用导数证明不等式的方法等知识，属于中等题．22.【答案】解：（Ⅰ）当θ0=3π4时，联立{θ=3π4ρ=4cosθ得A（-2√2，3π4）；同理得B（2√6，3π4），由极径的几何意义有|AB|=2√6-（-2√2）=2√6+2√2．（Ⅱ）由已知令P（ρ，θ），A（ρ1，θ），B（ρ2，θ），∵ρ1=4cosθ，ρ2=4√3sinθ，P为AB的中点，∴ρ=ρ1+ρ22=2cosθ+2√3sinθ，即ρ2=2ρcosθ+2√3sinθ，所以P点的轨迹的直角坐标方程为x2+y2-2x-2√3y=0，因为直线l不与坐标轴重合，所以需去掉（1，0），（0，√3）．【解析】（Ⅰ）用直线l的极坐标方程分别代入C1，C2的极坐标方程，再根据极径的几何意义可得；（Ⅱ）先求出AB的中点的轨迹的极坐标方程，再化成直角坐标方程．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）f （x ）={3x −2，x ≥3x +4，−12＜x ＜32−3x ，x ≤−12，其图象为（2）关于x 的不等式f （x ）≥|x -m |的解集包含[4，5]，即|2x +1|+|x -3|≥|x -m |在x ∈[4，5]上恒成立，∴|x -m |≤3x -2，即2-3x ≤m -x ≤3x -2，∴2-2x ≤m ≤4x -2，x ∈[4，5]上恒成立，∴-6≤m ≤14，故m ∈[-6，14]．【解析】（1）f （x ）=，画图即可，（2）关于x 的不等式f （x ）≥|x -m|的解集包含[4，5]，可得|x-m|≤3x -2在x ∈[4，5]上恒成立，解得即可本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，数形结合思想，是一道常规题．。
2021-2022年高二下学期期中考数学(理)试题 含答案
2021-2022年高二下学期期中考数学（理）试题含答案一、选择题（每小题5分，共60分）1．复数z=的虚部为（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i2．利用数学归纳法证明“11113212224(,)n n Nn n n++>≥∍++”的过程中，由“n=k”变到“n=k＋1”时，不等式左边的变化是 ( ) A.增加 B.增加和C.增加，并减少D.增加和，并减少3．若个人报名参加项体育比赛，每个人限报一项，则不同的报名方法的种数有（）A． B． C． D．4．若，则等于（）A．－2 B．－4 C．2 D．05．的展开式中，的系数等于，则等于（）A． B． C． D．6．3位数学家，4位物理学家，站成两排照像.其中前排3人后排4人，要求数学家要相邻，则不同的排队方法共有（）A. 5040种B. 840种 C . 720种 D. 432种7．甲乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以的比分获胜的概率为（）A． B． C． D．8．已知展开式中常数项为5670，其中是常数，则展开式中各项系数的和是A．2 B．4 C．2或4 D．1或29．从中任取个不同的数，事件＝“取到的个数之和为偶数”，事件＝“取到的个数均为偶数”，则＝（）A． B． C． D．10．在小语种提前招生考试中，某学校获得5个推荐名额，其中俄语2名，日语2名，西班牙语1名.并且日语和俄语都要求必须有男生参加.学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有（）A．20种 B．22 种C．24种D．36种11．现有三个小球全部随机放入三个盒子中，设随机变量为三个盒子中含球最多的盒子里的球数，则的数学期望为（）A． B． C．2 D．12．设函数．若存在的极值点满足，则m的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题. （每小题5分，共20分）13．若，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则|a+bi|= ．14．将标号为1,2,3,4,5的五个球放入3个不同的盒子，每个盒子至少有一个球，则一共有__________种放法.15.．的展开式中含的项的系数是_______．16．已知可导函数的导函数满足，则不等式的解集是．三、解答题：17. （本题满分10分）已知函数，其中为常数．（1）当时，求的极值；（2）若是区间内的单调函数，求实数的取值范围．18. （本题满分12分）求由曲线，直线及轴所围成的图形的面积19.（本题满分12分）已知二项式展开式中各项系数之和是各项二项式系数之和的16倍；（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中所有的有理项.20.（本题满分12分）9．某工厂在试验阶段大量生产一种零件.这种零件有A,B 两项技术指标需要检测,设各项技术指标达标与否互不影响.若有且仅有一项技术指标达标的概率为,至少一项技术指标达标的概率为.按质量检验规定:两项技术指标都达标的零件为合格品.（1）求一个零件经过检测为合格品的概率是多少？（2）任意依次抽出5个零件进行检测,求其中至多3个零件是合格品的概率是多少？（3）任意依次抽取该种零件4个,设ξ表示其中合格品的个数,求Eξ与Dξ.21．（本小题满分12分）甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球.（1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；（2）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左右手依次各取两球为两次取球）的成功取法次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望.22. （本题满分12分）已知函数．（1）若，不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）若，求证：．1．B 2．D 3．C 4．B 5．A 6．D7．A 8．C 9．B 10．C 11. A 12．C 13. 14. 150 15. 128 16.17. （1）当时，212x x1(2x1)(x1)f(x)2x1(x0)x x x--+-'=--==>所以在区间内单调递减，在内单调递增于是有极小值，无极大值（2）易知在区间内单调递增，所以由题意可得在内无解即或解得实数的取值范围是18. 由，得交点为，由定积分的几何意义得，曲线，直线及轴所围成的图形的面积为．19.（1）由已知得：，（2）通项，展开式中系数最大的项是第3项（r=2）： （3）由（2）得：，即所以展开式中所有的有理项为：（1）设、两项技术指标达标的概率分别为、 由题意得：1212125(1)(1)12111(1)(1)12P P P P P P ⎧⋅-+-⋅=⎪⎪⎨⎪--⋅-=⎪⎩ 解得：或， ∴.即，一个零件经过检测为合格品的概率为1/2（2）任意抽出5个零件进行检查，其中至多3个零件是合格品的概率为554555111312216C C ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （3）依题意知～B(4,1/2)，，21.（1）设事件为“两手所取的球不同色”， 则32993433321)(=⨯⨯+⨯+⨯-=A P . （2）依题意，的可能取值为0,1,2.左手所取的两球颜色相同的概率为，右手所取的两球颜色相同的概率为，24134318134111851)0(=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-==X P ， 18741)1851()411(185)1(=⨯-+-⨯==X P ， ， 所以Ｘ的分布列为：36197252187124130)(=⨯+⨯+⨯=X E .22.（1）由条件得ln 1x a x a x x ⎧≥⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩在上恒成立． 设，则．当时，；当时， ，所以，．要使恒成立，必须． 另一方面，当时，，要使恒成立，必须．所以，满足条件的的取值范围是．（2）当时，不等式等价于112212222ln ()1x x x x x x ->-． 令，设，则，在上单调递增，，所以，原不等式成立．28296 6E88 溈21430 53B6 厶40629 9EB5 麵i27319 6AB7 檷32230 7DE6 緦h 38759 9767 靧/38397 95FD 闽21876 5574 啴23747 5CC3 峃=。
高二下册期中考试数学试题(理)有答案
第二学期其中考试试卷高二数学理科第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、计算复数2(ii i-是虚数单位） A ．12i + B ．12i -+ C ．12i -- D ．12i -2、函数21y x =-的图象上一点(1,0)处的切线的斜率为A ．1B ．2C ．0D ．-13、由①上行的对角线互相垂直；②菱形的对角线互相垂直；③正方形是菱形，写出一个“三段论”形式的推理，则作为大前提、小前提和结论的分别为A ．②①③B ．③①②C ．①②③D ．②③① 4、设()ln f x x x =，若0(3)f x '=，则0x = A ．2e B ．e C ．ln 22D ．ln 2 5、20cos xdx π⎰等于A ．3-B ．12C ．3D ．12- 6、若()sin cos f x x α=-，则()f α'等于A ．sin αB ．cos αC ．sin cos αα+D ．2sin α 7、函数()(3)x f x x e =-的单调区间是A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．()1,4D ．()0,38、设函数()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是9、函数3239(04)y x x x x =--<<有A ．极大值5，极小值-27B ．极大值5，极小值-11C ．极大值5，无极小值D ．极小值-27，无极大值 10、已知函数()f x 在R 上满足()122(2)x f x f x e x -=-++，则()1f '=A ．2B ．3C ．-1D ．1第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
. 11、核黄素()sin 2f x x =，则函数的导函数为()f x '= 12、复数12,z i z =-=13、在ABC ∆中，不等式1119A B C π++≥成立，在四边形ABCD 中，不等式1111162A B C D π+++≥成立；在五边形ABCDE 中，不等式11111253A B C D E π++++≥成立，猜想在n 边形12n A A A 中，有 不等式成立。
期高二期中教学质量抽测数学(理)(扫描版)(附答案)
高二下学期数学(理)三.解答题那么当时,所以当时,猜想也成立………………………………………12分17. 解:设长方体的宽为x(m),则长为2x(m),高为………2分故长方体的体积为………4分从而…………6分令V′(x)=0,解得x=0(舍去)或x=1,因此x=1.当0<x<1时,V′(x)>0;当1<x<时,V′(x)<0,故在x=1处V(x)取得极大值,并且这个极大值就是V(x)的最大值.……10分从而最大体积V=V(1)=9×12-6×13=3(m3),此时长方体的长为2 m,宽为1 m,高为1.5 m. 答:当长方体的长为2 m时,高为1.5 m时,体积最大,最大体积为3 m3｡…………12分19.解:(Ⅰ) A>B ……3分B>C……6分(Ⅱ) 推测结果为>.证明如下:法一(作差法): ∵()-()=……9分又∵……10分……11分∴>()……12分法二(综合法):∵()……8分∴……9分又∵,……11分∴>()……12分法三(分析法): 欲证>只需证……8分即证只需证即证……10分只需证即证显然成立,故原命题成立即>()……12分所以对曲线y=f (x) 与曲线公共点的个数,讨论如下:当m 时,有0个公共点;当m= ,有1个公共点;当m 有2个公共点; ……13分21解:(Ⅰ)………2分当时,恒成立,则函数在上单调递增……4分当时,由得则在上单调递增,在上单调递减…………6分(Ⅱ)存在.……………………7分由(Ⅰ)得:当时,函数在上单调递增,显然不成立; …………8分当时,在上单调递增,在上单调递减∴,。
2021-2022年高二下学期期中统一考试数学(理)试题 Word版含答案
2021-2022年高二下学期期中统一考试数学（理）试题 Word 版含答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求的． 1．复数z 满足z ＝2－i1－i，则z 等于( ) A ．1＋3i B ．3－i C.32－12iD.12＋32i 2.函数的单调减区间是（ ）A ．(0，2) B. (0，3) C. (0，1) D. (0，5)3. 已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且BC 边经过椭圆的另外一个焦点，则△ABC 的周长是（ ）A ． B. C. D. 4. 变量x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.Z ＝yx，则Z 的最小值为（ ）A ．225B ．25 C ．1D ．5.在中，045,B c b ===，那么A ＝（ ） A ． B. C. 或 D.6.函数y ＝f (x )在定义域⎝⎛⎭⎫－32，3内可导，其图象如下图所示，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为( )A. ⎣⎡⎦⎤－32，12∪[1,2)B.⎣⎡⎦⎤－1，12∪⎣⎡⎦⎤43，83 C. ⎝⎛⎦⎤－32，－1∪⎣⎡⎦⎤12，43∪⎣⎡⎦⎤83，3 D. ⎣⎡⎦⎤－13，1∪[2,3)7.“a ＞0”是“|a |＞0”的( )A ．充分不必要条件B.必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8.下图是一组有规律的图案，第（1）个图案由4个基础图形组成，第（2）个图案由7个基础图形组成，……，第（670）个图案中的基础图形个数有( ) A 、xx B 、xx C 、xx D 、xx二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 9. 抛物线的焦点坐标是_ _ _10. 命题：，则11. 若平面α，β的法向量分别为＝(－1,2,4)，＝(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为 12.13. 已知等比数列．．．．的公比q=2，其前4项和，则等于__ __ 14.已知，则函数的最大值是 。
高二数学上学期期中质检试题 理 试题(共10页)
二中2021-2021学年(xu éni án)高二上学期质量检测数学〔理〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分。
在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的，请将正确答案的代号填在题后的表格内。
〕1．假设、为实数，那么下面一定成立的是〔 〕A ．假设,那么 B ．假设,那么22b a >C ．假设,那么22b a > D ．假设,那么2．在中, 假设,那么ABC ∆的外接圆的半径为〔 〕 A ．B ．C ．D ．3．在等比数列中，假设，公比，那么=〔 〕 A ．B ．C ．D ．4．某人从2021年起，每年1月1日到银行新存入a 元(一年定期)，假设年利率为保持不变，且每年到期存款自动转为新的一年定期，到2012年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数为〔 〕(单位为元) A.B. C.D.5. ，那么的最大值为〔 〕A. 5B. 3C. 2D. 6 6．假如直线ax +2y +2=0与直线3x －y －2=0平行，那么系数a 等于( )A. B. －3 C.－D. －67．“〞是“〞的〔〕A．充分(chōngfèn)不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件8．过点〔0，3〕与抛物线有且只有一个公一共点的直线有〔〕A．1条 B．2条 C．3条 D．4条9．假设圆和关于直线对称，那么直线l的方程是〔〕A． B． C．D．10. 双曲线的一条渐近线方程是y=,它的一个焦点在抛物线的准线上，那么双曲线的方程为〔〕A． B． C．D．11．A(1,3)和直线l:2x+3y-6=0，点B在l上运动，点P是有向线段AB上的分点，且，那么点P的轨迹方程是〔〕A．6x-9y-28=0 B．6x-9y+28=0 C．6x+9y-28=0 D．6x+9y+28=012．在表格中,每格填上一个(y ī ɡè)数字后,使每一行成等差数列,每一列成等比数列,那么a+b+c 的值是( ) A. 1 B. 2 C二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分。
高二年级期中联考质量评价检测卷 数学试题(理科)及答案
高二年级期中联考质量评价检测卷数学试题（理科）考生注意： 1、考试时间120分钟，总分150分；2、所有试题必须在答题卡上作答，否则无效；3、交卷时只交答题卡，请认真填写相关信息。
一、选择题（本大题共1２小题，每小题5分，共６0分；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将答案填写在答题卡的相应位置。
） 1. 若b a >，则下列正确的是( )3. 在△ABC 中，3=a ，2=b ， 45=∠B ，则A ∠为（ ）Ａ．30°或150° Ｂ．60° Ｃ．60°或120°Ｄ．30°4. 已知实数y x ,满足 ⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤≤+1125y x y y x ，则y x z 4-=的最小值为( )A ．3-B ．0C ．5-D ．10-5.在等比数列{}n a 中，且a 1+a 4 =45，a 2+a 5 =15，则a 3+a 6的值是（ ）A.-15B.3C.5D.306. 不等式012>++bx ax 的解集是()3,2-，则b a 2+的值是（ ）A ．6B ．－6C ．18D ．－187. 等比数列}{n a 中，n T 表示前n 项的积，若13=T ，则一定有( ) A. 13=a B. 14=a C. 11=a D. 12=a 8. 若在R 上定义运算⊗：yxy x =⊗，则不等式()()0125<-⊗+x x 的解集是( )A ．6B ．7C ．8D ．510. 平面内有定点A 、B 及动点P ，设命题甲是“点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆”，命题乙是 “|PA |＋|PB |是定值”，那么甲是乙的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件11. 设}{n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为M Q P ,,,则下列等式中恒成立的是（ ）第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把选项填在答题卡上） 13.椭圆1924322=+y x 的离心率为 . 14. 若{}n a 是等差数列，2211=S ,则6a 的值为 ．15. 有一船以每小时10 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°，行驶2 h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°， 这时船与灯塔的距离为________ km.16. 设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ；则下列命题正确的是 ． ①若cc b B a A cos cos sin ==；则2π=A ②若333a b c +=；则2C π<③若()2a b c ab +<；则 ④若C B A ,,成等差数列，则π32=B ⑤若3:5:19sin :sin :sin =C B A ；则3π=A三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
学期高二期中教学质量检测数学(理)(扫描版)(附答案)
参考答案一．选择题CACAD ABDBA二．填空题11.()0,8 12.1 13.()3,2- 14. 1006 15.①④三．解答题16 (本题满分12分)解：1232513a a a +++Q ，，分别为等比数列{}n b 中的543,,b b b∴ 2213(5)(2)(13)a a a +=++ …………………………………………………..4分 即2(8)5(162)d d +=+ ，得2d = ………………………………………………………6分 21510225a q a +===+ …………………………………………………………………………8分 {}n a 的前n 项和2(1)3222n n n S n n n -=+=+………………………………………… 12分17 (本题满分12分)解：（1） 0180A B C ++=Q 由272cos 2cos 4272cos 2sin 422=-=-+C C C B A 得 ∴27)1cos 2(2cos 142=--+⋅C C 整理，得01cos 4cos 42=+-C C ……… 4分 解得：21cos =C ………………………………………………………………5分 ∵︒<<︒1800C 060=∴C ……………………………………………6分（2）由余弦定理得：C bc b a c cos 2222-+=，即ab b a -+=227∴ab b a 3)(72-+=由条件5=+b a 得ab 3257-= ………………………………………………..9分 6=∴ab ……………………………………………………………………………… 10分 a b >Q ，3,2a b ∴== …………………………………………………………….12分18. (本题满分12分)解：（1）依题意，A 蔬菜购买的公斤数x 和B 蔬菜购买的公斤数y 之间的满足的不等式组如下：⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+466032y x y x ………………………………3分 画出的平面区域如右图. ………………………………6分(2) 设餐馆加工这两种蔬菜利润为z 元，则目标函数为y x z +=2 ……………………………7分Q z x y +-=2∴z 表示过可行域内点斜率为2-的一组平行线在y 轴上的截距.联立⎩⎨⎧==+46032y y x 解得⎩⎨⎧==424y x 即)4,24(B ………………………………9分 ∴当直线过点)4,24(B 时，在y 轴上的截距最大，即524242max =+⨯=z ………………………………11分 答：餐馆应购买A 蔬菜24公斤，B 蔬菜4公斤，加工后利润最大为52元. …………12分 19 (本题满分12分)解：（1）由正弦定理，设sin sin sin a b c k A B C=== 则2c a b -=2sin sin sin k C k A k B -=2sin sin sin C A B- 所以cos 2cos cos A C B -=2sin sin sin C A B - ……………………………………3分 即(cos 2cos )sin A C B -=(2sin sin )cos C A B -，化简可得sin()2sin()A B B C +=+又A B C π++=，所以sin 2sin C A = 因此sin sin C A =2. ……………6分 （2）由sin sin C A=2得2c a = …………………………7分 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-及1cos 4B =，2b =得22214444a a a =+-⨯ 解得a =1，∴c =2， …………………………………………… 9分又因为1cos 4B =，且0B π<<，所以sin 4B =因此1acsin 2S B ==1122⨯⨯. …………………………………12分 20 (本题满分13分)解：（1）对任意*N n ∈，都有n n n S a a 4)3)(1(=+- ①当1n =时，有11(1)(3)a a a -+= 得13a = ……………………………………………………………….2分 当2n ≥时，有11(1)(n n n a a S ----+= ② …………………………………………..3分由①-②得221123234n n n n n a a a a a --+---+=11()(2)0n n n n a a a a --+--= ……………………………………5分 又数列{}n a 的各项都是正数，120n n a a -∴--= 即12n n a a --= ……………6分 所以数列{}n a 是以首项13a =，公差为2的等差数列. ………………………7分(2)由（1）知21n a n =+，设24,1n n b n N a *=∈- ………………………………..8分24411(21)14(n 1)1n b n n n n ===-+-++ 12311111(1)()()2231n n T b b b b n n ∴=++++=++-+-+L L ……………………………….10分1111n n n =-=++ ……………………….13分21 (本题满分14分)解：（1）∵n n S 2=,∴)2(,211≥=--n S n n ． ∴111222(2)n n n n n n a S S n ---=-=-=≥． ……………………………………2分 当1=n 时，2121111==≠=-a S ，∴12(1),2(2).n n n a n -=⎧=⎨≥⎩ ……………………………………… 4分 （2）∵)12(1-+=+n b b n n∴112=-b b ，323,b b -=435,b b -=L L123n n b b n --=- ,以上各式相加得：()()()()2111231352312n n n b b n n -+--=++++-==- 11b =-Q22n b n n ∴=- ……………………………………………… 9分（3）由题意得12(1),(2)2(2).n n n c n n --=⎧=⎨-⨯≥⎩∴13212)2(2221202-⨯-+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯+-=n n n T ， ∴n n n T 2)2(22212042432⨯-+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯+-=， ∴n n n n T 2)2(2222132⨯--+⋅⋅⋅+++=-- n n n 2)2(21)21(21⨯----=-=n n n n n 2)3(22)2(22⨯---=⨯---， ∴n n n T 2)3(2⨯-+=． ………………………………………14分。
高二数学第二学期期中调研测试高二数学理科知识精讲 试题
卜人入州八九几市潮王学校高二数学第二学期期中调研测试高二数学〔理科苏〕【本讲教育信息】 一.教学内容：第二学期期中调研测试高二数学〔理科〕 【模拟试题】本套试卷分第I 卷〔选择题〕和第I 卷〔非选择题〕两局部，一共120分，考试时间是是120分钟。
第I 卷〔选择题一共40分〕一.选择题〔本大题一一共10小题，每一小题4分，一共40分〕1.假设质点A 按规律3t 2s =〔位移单位：m ，时间是单位：s 〕运动，那么在t=3s 时的瞬时速度为〔〕 A.6m/sB.18m/sC.54m/sD.81m/s2.复数z 满足2|1z |=-，那么复数z 在复平面内对应的点组成的图形是〔〕 A.以)0,1(为圆心，2为半径的圆 B.以)0,1(-为圆心，2为半径的圆C.以)0,1(为圆心，2为半径的圆D.以)0,1(-为圆心，2为半径的圆 3.函数x ln x )x (f =，那么)x ('f 等于〔〕A.x ln 1+B.x ln xC.x11+D.x1x+4.以下推理正确的选项是〔〕 A.指数函数)1a 0a (ay x≠>=，是增函数，是增函数是指数函数x x )21(y ;)21(y ==B.二次函数)0a (axy 2≠=是偶函数，是偶函数是二次函数22)1x (y ;)1x (y +=+=C.减函数)0k (b kx y <+=是一次函数，是减函数是一次函数1x 2y ;1x 2y +=+=D.对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 的图象都过点〔1，0〕，)0,1(x lg y ;x lg y 的图象过点是对数函数==5.定积分⎰-dx )1x2(20的值是〔〕A.0B.2C.3D.46.函数)3x (x )x (f 2-=的减区间是〔〕A.)0,(-∞B.)2,2(-C.)2,0(D.),2(+∞7.复数z 满足i 3z )i 33(=+，那么复数z 等于〔〕A.i 2323- B.i 2323+ C.i 4343-D.i 4343+ 8.二次函数)x (f 的图象如以下列图所示，)x ('f 的图象在下面选项里面，那么这个图象是〔〕A B CD9.设)N n )(x ('f )x (f ,),x ('f )x (f ),x ('f )x (f ,x cos x sin )x (f n 1n 12010∈===+=+ ，那么)x (f 2007等于〔〕A.x cos x sin +B.x cos x sin +-C.x cos x sin -D.x cos x sin --10.把40位学生分成假设干组，使每组至少有1人，且任意两组的人数不相等，那么至多可分成〔〕 A.6组B.7组C.8组D.9组第II 卷〔非选择题一共80分〕二.填空题〔本大题一一共6小题，每一小题4分，一共24分〕 11.函数)3x 2sin()x (f π+=的导函数是。
2021-2022年高二下学期期中数学理试题 含答案
桂林中学xx 下学期期中考试高二理科数学试题2021年高二下学期期中数学理试题 含答案第Ⅰ卷(选择题, 共60分)一 、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）1. 下列说法正确的是 ( )平面和平面只有一个公共点 两两相交的三条线必共面不共面的四点中, 任何三点不共线 有三个公共点的两平面必重合 2. 设均为直线,其中在平面”“”“,n l m l l a ⊥⊥⊥且是则内α的（ ）条件 充分不必要必要不充分 充分必要既不充分也不必要3.有三个球，一个球内切于正方体的各个面，另一个球切正方体的各条棱，第三个球过正方体的各个顶点（都是同一正方体），则这三个球的体积之比为（ ）4.过三棱锥高的中点与底面平行的平面把这个三棱锥分为两部分，则这上、下两部分体积之比为( ) 1∶4 1∶7 2∶3 1∶85. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）6. 如图，四棱锥P－ABCD中，底面是边长为1的菱形，∠ABC＝60°，PA⊥底面ABCD，PA＝1，则异面直线AB与PD所成角的余弦值为 ( )2 422144237. 某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为 ( )14 24 28 488. 在正三棱柱中，则与平面所成的角的正弦值为（）9.用数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比xx0大的五位偶数共有（）48个 36个 24个 18个10．如图：已知矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，若PA⊥平面ABCD，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，的取值范围是（）＞4 ≥4 0＜＜4 0＜≤411. 若地球半径为，在北纬45°圈上有两点，且这两点间的球面距离为，则北纬45°圈所在平面与过两点的球的大圆面所成的二面角的余弦值为 ( ) 12．在棱长为1的正方体ABCD—中，若点P是棱上一点，则满足＋的点P的个数为（）4 6 8 12第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题：（本大题4小题，每小题5分，满分20分）13. 菱形中，已知,10,60cm AB BAD ==∠ 垂直于所在平面且，则到的距离为 。
四川省高二下学期期中监测数学(理)试题
理科数学注意事项：1．在作答前，考生务必将自己的姓名、考号涂写在试卷和答题卡规定的地方．考试结束，监考人员只将答题卡收回，试卷请考生自己妥善保存．2．选择题部分必须用2B 铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效．4．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．命题“，”的否定为02x ∃>320020x x -<A ．，B ．，2x ∀>3220x x -≥2x ∀>3220x x ->C ．，D ．，02x ∃<320020x x -≥02x ∃<320020x x ->2．已知复数，则的虚部为 3i3iz -=+z A ．B ．C ．D ．454i 53535i 3．函数f （x ）= 2 ln x －x 2 的单调递增区间为 A ．（－∞，－1） B ．（1，+∞） C ．（－1，1）D ．（0，1）4．用数学归纳法证明“≥（n ∈N *）”时，由n = k 到n = k + 1时，不等nn n n ++++++12111 2411试左边应添加的项是A ．B ．221121+++k k )2(21+k C ．D ．2111221121+-+-+++k k k k 11221121+-+++k k k 5．已知 =（2，0，2）， =（3，0，0）分别是平面α，β 的法向量，则平面α，β 交线的方向向a b 量可以是A ．（1，0，0）B ．（0，1，0）C ．（0，0，1）D ．（1，1，1）6．设m ∈R ，“m =－1”是“复数z =（m 2－m －2）+（m 2－3m －2）i 为纯虚数”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件7．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是① y = cos x ，x ∈R 是三角函数； ② 三角函数是周期函数；③ y = cos x ，x ∈R 是周期函数． A ．①②③B ．②①③C ．②③①D ．③②①8．函数f （x ）的导函数是，下图所示的是函数（x ∈R ）的图像，下列说法正)(x f ')()1(x f x y '⋅+=确的是A ．x =－1是f （x ）的零点B ．x = 2是f （x ）的极大值点C ．f （x ）在区间（－2，－1）上单调递增D ．f （x ）在区间[－2，2 ]上不存在极小值9．若函数y = f （x ）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y = f （x ）具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是A ．y = sin xB ．y = ln xC ．y = e xD ．y = x 310．设双曲线（0＜a ＜b ）的半焦距为c ，直线l 过（a ，0）、（0，b ）两点，且原点到12222=-b y a x 直线l 的距离为，则双曲线的离心率 c 43A ．2B ．C ．2和D ．2和332332311．作为平面直角坐标系的发明者，法国数学家笛卡尔也研究了不少优美的曲线，如笛卡尔叶形线，其在平面直角坐标系xOy 下的一般方程为x 3 + y 3－3axy = 0．某同学对a = 1情形下的笛卡尔叶形线的性质进行了探究，得到了下列结论，其中错误的是A ．曲线不经过第三象限B ．曲线关于直线y = x 对称C ．曲线与直线x + y =－1有公共点D ．曲线与直线x + y =－1没有公共点12．芯片制作的原料是晶圆，晶圆是硅元素加以纯化，晶圆越薄，成产的成本越低，但对工艺要求就越高．某大学为鼓励更多的有志青年投入到芯片事业中，成立3个科研小组，用A ，B ，C 三种不同的工艺制作芯片原料，其厚度分别为，，（单位：毫米），则三种芯片原料21sin 31=a 31sin 21=b 87cos 31=c 厚度的大小关系为A ．c ＞b ＞aB ．c ＞a ＞bC ．b ＞a ＞cD ．a ＞b ＞c第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）13．若方程的图形是双曲线，则实数m 的取值范围是．191622=-+-m y m x 14．在平面上，点（x 0，y 0）到直线Ax + By + C = 0的距离公式为，通过类比的2200||B A C By Ax d +++=方法，可求得：在空间中，点（2，1，－3）到平面x + 2y + 3z + 3 = 0的距离为．15．如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点，P 是侧面BB 1C 1C 上一点，若A 1P ∥平面AEF ， 则下列说法正确的是 ．① 线段A 1P 的最大值是② A 1P ⊥B 1D25③ A 1P 与DE 一定异面④ 三棱锥B －A 1PC 1的体积为定值16．若实数a ，b 能使不等式x ln x －a ln x ≥x + b 对任意x ∈R + 恒成立，则的取值范围是ab是．三、解答题（本大题共6小题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分）17．（本题满分10分）设F 为抛物线C ：y 2 = 2px （p ＞0）的焦点，过点F 的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，若线段AB 的中点D 的横坐标为1，︱AB ︱= 3．求点D 到抛物线C 的准线的距离和抛物线C 的方程．18．（本题满分12分）已知函数f （x ）= ax 2－1－2 ln x ，a ∈R ． （1）当a = 1时，求证：f （x ）≥0；（2）若函数f （x ）有两个零点，求实数a 的取值范围．19．（本题满分12分） 已知函数 f （x ）=ax 2+（2a －1）x －2 ln x ． 21（1）当 a = 1 时，求在点 （2，f （2）） 处的切线方程；（2）当 a ＞0 时，求证： f （x ）≥． a254-20．（本题满分12分）已知四棱锥P －ABCD 中，PB ⊥BC ，BC ∥AD ，PA = 2AD = 2，PD =． 5（1）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；（2）若AB = BC = 2，PB =，线段PC 上是否存在一点G ，使二面角G －AD －P 的余弦值为22若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．552PC PG21．（本题满分12分）设函数f （x ）=（x －1）3－ax + b ，x ∈R ，其中a ，b ∈R ． （1）求f （x ）的单调区间；（2）若f （x ）存在极值点x 0，且 f （x 1）= f （x 0），其中x 1≠x 0，求 x 1 + 2x 0 的值．22．（本题满分12分）如图，A 、F 是椭圆C ：（a ＞b ＞0）的左顶点和右焦点，P 是C 上在第一象限内的点．12222=+by a x （1）若P （1，），FP ⊥x 轴，求椭圆C 的方程；23（2）若椭圆C 的离心率为e （＜e ＜1），，求直线PA 的倾斜角θ 的正弦．210=⋅PF PA2022-2023学年度下学期质量监测高二年级数学理科试题参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）ACDDB ABBAA CA二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）13．9＜m ＜16 14．15．①④ 16．（－∞，－1 ]714三、解答题（本大题共6小题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分） 17．解：过A 、B 分别向抛物线C 的准线作垂线，垂足为E 、H ，则根据抛物线的定义，有AF = AE ，BF = BH ，所以 AE + BH = AF + BF = AB = 3． 因此在直角梯形ABHE 中，点D 到抛物线C 的准线的距离．……………… 5分 232=+=BH AE d 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），根据抛物线的定义有 ︱AF ︱=︱AE ︱=，︱BF ︱=︱BH ︱=， 12x p +22x p+∴ ︱AF ︱+︱BF ︱=︱AB ︱= p + x 1 + x 2 = 3，而 x 1 + x 2 = 2，∴ p = 1，故抛物线C 的方程y 2 = 2x ． …………………… 10分另解：显然直线l 的斜率k 存在且不为0，设方程为，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， )2(px k y -=联立y 2 = 2px和，消去y ，整理，得， )2(p x k y -=0421(222=++-p x kp x ∴ x 1 + x 2 =，x 1x 2 =，)21(2kp +42p 于是︱AB ︱2 =（x 1－x 2）2 +（y 1－y 2）2 =（1 + k 2）[（x 1 + x 2）2－4x 1x 2 ] = 9， 代入整理，得 2p （1 + k 2）= 3k 2． （1） 注意到． （2）2)21(2=+kp 所以由（1）（2）解得 p = 1，k =， 2±因此，抛物线C 的方程为y 2 = 2x ． 18．（本题满分12分）证明：（1）当a = 1时，f （x ）= x 2－1－2 ln x （x ＞0），f （1）= 0，xx x x x x f )1)(1(222)(-+=-='，当x ∈（0，1）时，f ′（x ）＜0；当x ∈（1，+∞）时，f ′（x ）＞0，∴ f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，当x = 1时，函数f （x ）取得最小值， 因此f （x ）≥f （1）= 0，即f （x ）≥0． …………………… 6分（2），x ＞0， xax x f 22)(-='① 当a ≤0时，f ′（x ）＜0，函数f （x ）在（0，+∞）上单调递减，至多有一个零点，不符合题意．② 当a ＞0时，，xax a x a xax x f )1)(1(222)(-+=-='可得当x =时，函数f （x ）取得最小值．a1当x → 0时，f （x ）→+∞；当x → +∞时，f （x ）→+∞． ∵ 函数f （x ）有两个零点，∴ f （x ）min =，解得0＜a ＜1．0ln 1ln211)1(<=--=a aaf ∴ 实数a 的取值范围是（0，1）． …………………… 12分法二 由f （x ）= ax 2－1－2 ln x = 0，得a =． 2ln 21xx+设h (x ) =，∵ f （x ）有两个零点，∴ a = h （x ）有两个解． 2ln 21x x+又h ′(x ) =． 342ln 42)ln 21(2x x x xx x x -=⋅+-⋅由h ′(x )＞0，得ln x ＜0，∴ 0＜x ＜1；由h ′(x )＜0，得ln x ＞0，∴ x ＞1，∴ 函数h （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴ h （x ）max = h （1）= 1． 当x → 0时，h （x ）→－∞，当x → +∞时，h （x ）→ 0， 画出h (x ) =的草图，如图所示， 2ln 21x x+由a = h （x ）有两个解，可知0＜a ＜1， 故实数a 的取值范围是（0，1）． 19．解：（1）当 a = 1 时，，x ＞0， x x x x f ln 221)(2-+=则，，而 f （2）= 4－2 ln 2， xx x f 21)(-+='2)2(='f 所以在点 （2，f （2）） 处的切线方程为 y = 2（x －2）+ 4－2 ln 2， 即 y = 2x －2 ln 2．…………………… 4分（2）对 f （x ）求导得，x ＞0． xx ax x a ax x f )2)(1(2)12()(+-=--+='当 a ＞0 时，令 f ′（x ）= 0 ⇒ x =，所以 x ∈（0，） 时f ′（x ）＜0 ，所以函数 f （x ）单调递a 1a1减；当x ∈（，+∞）时f ′（x ）＞0，所以函数 f （x ）单调递增，所以 f （x ）min = f （）=a 1a1． 221ln 2+-aa 只需证明 ≥ ⇔ ≥0（a ＞0） 恒成立．221ln 2+-a a a 254-11ln -+aa设，x ＞0，则，x ＞0． 11ln )(-+=x x x g 22111)(xx x x x g -=-='当x ∈（0，1）时，＜0，函数 g （x ）单调递减；当x ∈)(x g '（1，+∞）时，＞0，函数 g （x ）单调递增；所以 g （1）= 0)(x g '是 g （x ）的极小值，故g （x ）≥ g （1）= 0，表明≥011ln -+aa （a ＞0） 恒成立，故 f （x ）≥．…………………… 12分 a254-20．解：（1）由已知可知，PB ⊥BC ，BC ∥AD ，所以PB ⊥AD ． 因为PA = 2AD = 2，PD =， 5所以PA 2 + AD 2 = PD 2，所以PA ⊥AD ． 所以AD ⊥平面P AB ，而AD ⊂平面ABCD ， 所以平面PAB ⊥平面ABCD ．…………………… 4分（2）由AB = BC = 2，PB =，得PA 2 + AB 2 = PB 2，所以AB ⊥PA ，说明AB ，AD ，AP 两两垂22直，所以以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示坐标系，则A （0，0，0），D （0，1，0），P （0，0，2），C （2，2，0）．设线段PC 上存在一点G ，即（0≤λ≤1）， PC PG λ=使二面角G －AD －P 的余弦值为， 552因为=（2，2，－2），则=（2λ，2λ，－2λ）， PC PG 所以G （2λ，2λ，2－2λ），=（2λ，2λ，2－2λ），=（0，1，0）．AG AD 因为AB ⊥平面ADP ，所以平面ADP 的法向量为方向的单位向量=（1，0，0）．AB b设平面GAD 的法向量=（x ，y ，z ），a 则 ，令z = λ，得=（λ－1，0，λ），()22220AG a x y z AD a y λλλ⎧⋅=++-+⎪⎨⋅==⎪⎩ a 因为二面角G －AD －P 的平面角β 为锐角， 所以， 552122|1||,cos |cos 2=+--==><=λλλβb a b a 解得（舍去负值）． 31=λ故线段PC 上存在一点G 使二面角G －AD －P 的余弦值为，此时． (125)5231=PC PG 分21．解：（1）由f （x ）求导，可得= 3（x －1）2－a ． )(x f '下面分两种情况讨论：① 当a ≤0时，有≥0恒成立，所以f （x ）的单调递增区间为（－∞，+∞）；)(x f '② 当a ＞0时，令= 0，解得． )(x f '31ax ±=当x 变化时，，f （x ）的变化情况如下表：)(x f 'x （－∞，） 31a -31a -（，） 31a -31a + 31a +（，+∞） 31a + )(x f '+0 － 0 + f （x ）单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以f （x ）的单调递减区间为（，）， 31a -31a+单调递增区间为（－∞，），（，+∞）． …………………… 6分31a -31a +（2）因为f （x ）存在极值点，所以由（1）知a ＞0，且x 0≠1， 由题意，得= 3（x 0－1）2－a = 0，即 a = 3（x 0－1）2． )(0x f '进而由 f （x 1）= f （x 0），其中x 1≠x 0， 得（x 1－1）3－ax 1 + b =（x 0－1）3－ax 0 + b ⇔ （x 1－1）3－（x 0－1）3－ax 1 + ax 0 = 0⇔ [（x 1－1）－（x 0－1）] [（x 1－1）2 +（x 1－1）（x 0－1）+（x 0－1）2 ] －a （x 1－x 0）= 0 ⇔ （x 1－1）2 +（x 1－1）（x 0－1）+（x 0－1）2－a = 0 ⇔ （x 1－1）2 +（x 1－1）（x 0－1）－2（x 0－1）2 = 0 ⇔ [（x 1－1）+ 2（x 0－1）] [（x 1－1）－（x 0－1）] = 0 ⇔ （x 1 + 2x 0－3）（x 1－x 0）= 0 ⇔ x 1 + 2x 0 = 3．…………………… 12分22．解：（1）由已知可得c = 1，所以a 2 = b 2 + 1．又点P （1，）在椭圆C ：上，所以．2312222=+b y a x 149122=+b a 联立，解得 a 2 = 4，b 2 = 3，因此椭圆C 的方程为． …………………… 4分13422=+y x （2）由题意知A （－a ，0），F （c ，0），a 2 = b 2 + c 2，． ace =设点P 的坐标为P （x 0，y 0），则 ，， ),(00y x a PA ---=),(00y x c PF --=∵ ，∴ ，表明△PAF 是直角三角形，0=⋅PF PA PF PA ⊥于是 ，0))((2000=+---=⋅y x c x a PF PA ∴ ． ①2000020)())((x x a c ac x c x a y --+=-+=∵ P 是椭圆C 上在第一象限内的点，∵ ，即．②1220220=+by a x 22202202b a y a x b =+将①代入②得 ， 222002202])([b a x x a c ac a x b =--++即 ， 0)()()(22022022=-+-+-b ac a x a c a x a b ∴ ，0)]())[((20220=-+-+b ac a x a b a x 由于x 0 + a ＞0，∴ 只有 ，得． 0)()(2022=-+-b ac a x a b 2220)(ba b ac a x --=∵ c = ea ，b 2 = a 2－c 2，∴ ． ③222220)1()(ee e a c a c ac a x -+=-+=根据椭圆的定义，有 ，而 ，002)(||ex a x ca e PF -=-=c a AF +=||∴ 在Rt △PAF 中，有． ④ca ex a AF PF +-==0||||sin θ将③代入④得 ．…………………… 12分e e e e e e ae a a ae ae ae c a e e e a e a -=+-=++--=+-+⋅-=1)1(1)()1(sin 2222θ解法二：由题意知A （－a ，0），F （c ，0），a 2 = b 2 + c 2，， a ce =则直线PA 的方程为 y =（x + a ）tan θ，．（*）20πθ<<将直线PA 的方程与椭圆方程联立，消去y 后，得（b 2 + a 2 tan 2θ）x 2 + 2a 3 tan 2θ · x + a 4 tan 2θ－a 2b 2 = 0．（**）因为点A （－a ，0）和P （x 0，y 0）的坐标满足方程（*）和（**），所以，有，即， θθ222230tan tan 2)(a b a a x +-=-+θθ2222220tan )tan (a b a b a x +-=y 0 =（x 0 + a ）tan θ =． θθ2222tan tan 2a b ab +若，则，表明△PAF 是直角三角形， 0=⋅PF PA PF PA ⊥从而有 ︱PA ︱2 +︱PF ︱2 =︱AF ︱2，∴ （x 0 + a ）2 + y 02 +（x 0－c ）2 + y 02 =（a + c ）2， ∴ x 0 2 + y 02 +（a －c ）x 0 = ac ．将x 0、y 0代入上式，得++= ac ．222222222)tan ()tan (θθa b a b a +-2222242)tan (tan 4θθa b b a +θθ222222tan )tan )((a b a b c a a +--去分母，整理，得=， )2())(()2()(tan 22222222ac a c a c a c a ac b a a c a b +---=+--=θ2222)()2)(())((a ac c a a c c a a c a c a --=-+-+将 c = ea 代入，得 ⇔ ⇔ ，12)1(tan 22--=e e θ12)1(sin 1sin 222--=-e e θθ222)1(sin e e -=θ于是 ．ee-=1sin θ解法三：过P 作PQ ⊥x 轴于Q ，设P （x 0，y 0），则有︱AF ︱= a + c ． ∵ ，∴ PA ⊥PF ，0=⋅PF PA 得︱PA ︱=︱AF ︱· cos θ =（a + c ）cos θ，︱PF ︱=（a + c ）sin θ． 由︱PA ︱2 =︱AF ︱·（a + x 0），得（a + c ）2 cos θ =（a + x 0）， ∴ a + x 0 =（a + c ）cos 2θ ⇒ x 0 =（a + c ）cos 2 θ－a ．根据椭圆的定义有，，002)(||ex a x c a e PF -=-=而， ∴ sin θ =，c a AF +=||ca ex a +-0即 a －ex 0 =（a + c ）sin θ ⇒ ， ]sin )([10θc a a ex +-=∴ a c a c a a e--+=+-)sin 1)((]sin )([12θθ由 ，得c = ea 代入上式，整理得 e sin 2θ－sin θ + 1－e = 0， ac e =显然 sin θ≠1，所以，得 sin θ =．e e -1。